2 Fundamentos de la teoría de probabilidad

5/17/2018 2 Fundamentos de la teoría de probabilidad - slidepdf.com

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2 Fundamentos de la teoría de probabilidad

2.1 Teoría elemental de probabilidad.

2.2 Probabilidad de Eventos: Definición de espacio muestral, definición de evento, simbología, unión, intersección,diagramas de Venn.

2.3 Probabilidad con Técnicas de Conteo: Axiomas, Teoremas.

2.4 Probabilidad condicional: Dependiente, Independiente.

2.5 Ley multiplicativa.

2.6 Eventos independientes: Regla de Bayes.

2.7 Variable aleatoria.

2.8 Variables aleatorias conjuntas.

2.9 Modelos analíticos de fenómenos aleatorios discretos.

2.10 Modelos analíticos de fenómenos aleatorios continuos.

2.2.- Probabilidad de eventos

Para calcular la probabilidad de eventos es necesario que éstos se comporten de unamaner más o menos estable. Precisamente, se echa mano de la regularidadestadística, que es la propiedad de los fenómenos aleatorios, y que consiste en que alaumentar el número de repeticiones de un experimento en condiciones prácticamenteconstantes, la frecuencia relativa de ocurrencia para cada evento tiende a un valor fijo.

Sin embargo, al momento de definir la probabilidad de un evento podemos tomar encuenta los siguientes criterios:

1. La probabilidad subjetiva de un evento se la asigna la persona que hace elestudio, y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el tema.Precisamente por su carácter de subjetividad no se considera con validez

científica, aunque en la vida diaria es de las más comúnes que se utilizan al noapoyarse más que en el sentido común y los conocimientos previos, y no enresultados estadísticos.

2. La probabilidad frecuencial de un evento es el valor fijo al que tienden lasfrecuencias relativas de ocurrencia del evento de acuerdo a la regularidadestadística. Esta definición sería la más real, pero proporciona probabilidadesaproximadas, es decir, proporciona estimaciones y no valores reales. Además,los resultados son a posteriori , pues se necesita realizar el experimento parapoder obtenerlo. (Para ver un ejemplo haz click aquí .)

http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu3.html#f_relativa





http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu4.html#reg_estadistica




http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu4b.html












3. La probabilidad clásica de un evento E , que denotaremos por P (E ), sedefine como el número de eventos elementales que componen al evento E ,entre el número de eventos elementales que componen el espacio muestral:

Es la definición más utilizada porque supone de antemano, y se necesita comorequisito indispensable, que todos los eventos elementales tienen la mismaprobabilidad de ocurrir.

el espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E , S, Ω o U ) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio.

Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de muestreo es elconjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un evento o suceso escualquier subconjunto del espacio muestral, llamándose a los sucesos que contengan un

único elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer

lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría formado por los sucesos elementales{(cara, cara)} y {(cara, cruz)}.

Para algunos tipos de experimento puede haber dos o más espacios de muestreo posibles.

Por ejemplo, cuando se toma una carta de un mazo normal de 52 cartas, una posibilidad delespacio de muestreo podría ser el número (del as al rey), mientras que otra posibilidad sería

el palo (diamantes, tréboles, corazones y picas). Una descripción completa de los

resultados, sin embargo, especificaría ambos valores, número y palo, y se podría construirun espacio de muestreo que describiese cada carta individual como el producto cartesiano

de los dos espacios de muestreo descritos.

Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en una aproximación elemental a la

probabilidad, pero son también importantes en espacios de probabilidad. Un espacio de

probabilidad (Ω, F , P) incorpora un espacio de muestreo de resultados, Ω, pero define unconjunto de sucesos de interés, la σ-álgebra F , por la cuál se define la medida de

probabilidad P.

Tipos de espacio muestralPodemos diferenciar entre dos tipos de espacios muestrales: discretos y continuos.

[editar] Discretos

Son aquellos espacios donde el número de sucesos elementales es finito o infinito

numerable.

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto



http://es.wikipedia.org/wiki/Experimento_aleatorio



http://es.wikipedia.org/wiki/Evento_estad%C3%ADstico



http://es.wikipedia.org/wiki/Cartas



http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesiano



http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad


http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_probabilidad



http://es.wikipedia.org/wiki/Sigma-%C3%A1lgebra




http://es.wikipedia.org/wiki/Medida_de_probabilidad




http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_muestral&action=edit&section=2



http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_numerable
















[ editar ] Espacio Probabilístico discreto

Es aquel cuyo espacio muestral es discreto.Podemos diferenciar varios tipos de espacio

probabilístico discreto:

[ editar ] Espacio Probabilistico Discreto Equiprobable

Su espacio muestral es finito de tamaño n.

La probabilidad de cualquier suceso elemental E es

, de aquí se deduce que para todo suceso A la probabilidad es

[ editar ] Espacio Probabilistico Finito

Su espacio muestral es discreto finito.

Hay al menos 2 sucesos elementales que cumplen.

[ editar ] Procesos Estocasticos Finitos Y Diagramas de Árbol

Un proceso estocástico es una sucesión finita de experimentos aleatorios, cada uno de ellos

con un nº finito de resultados posibles. Se representan con diagrama de árbol.

[editar] Ejemplo

Imaginemos que se lanzan una moneda y un dado

La probabilidad de un camino es la multiplicacion de sus probabilidades.

La probabilidad de sacar una cara y un tres será ---->

La probabilidad de un suceso cualquiera es la suma de las probabilidades de los caminos

La probabilidad de sacar impar será ---->























Evento. Es un conjunto de resultados que tiene cierta característica común. Los eventos pueden ser:

Evento seguro. Es aquel que tiene todos los posibles resultados.

Evento imposible. Es aquel que no tiene un posible resultado.

Evento complementario. Es aquel evento que esta compuesto por los eventos que no están en esteevento.

Eventos mutuamente excluyentes. Para que un evento sea mutuamente excluyente debe cumplirseque A"B=Ø.

Evento colectivamente exhaustivo. Un conjuntos de eventos E1, E2,...En son colectivamenteexhaustivos cuando E1U E2.... UEn= S, donde S es el espacio muestral

Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática y Lógica declases conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar

gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjuntomediante un círculo o un óvalo. La posición relativa en el plano de tales círculos muestra la

relación entre los conjuntos. Por ejemplo, si los círculos de los conjuntos A y B se solapan,

se muestra un área común a ambos conjuntos que contiene todos los elementos contenidos a

la vez en A y en B. Si el círculo del conjunto A aparece dentro del círculo de otro B, es quetodos los elementos de A también están contenidos en B.

Diagrama de Venn mostrando la intersección de dos

conjuntos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica



http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_de_clases




http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos



http://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntos










AXIOMAS Y TEOREMAS.

B) AXIOMAS Y TEOREMAS.

Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremasque a continuación se enumeran.

1)La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero yuno.

0 p(A) 1

2)La probabilidad de que ocurra el espacio muestral debe de ser 1.

p( ) = 1

3)Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la p(A B) = p(A) + p(B)Generalizando:

Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces;

p(A1 A2 ......... An) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)

TEOREMAS

TEOREMA 1. Si es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra debe ser cero.

p( )=0

DEMOSTRACIÓN:Si sumamos a un evento A cualquiera, como y A son dos eventos mutuamente

excluyentes, entonces p(A )=p(A) +p( )=p(A). LQQD

TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 – p(A)

Ac



DEMOSTRACIÓN:Si el espacio muestral , se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego=A Ac, por tanto p( )=p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que p( )=1,

por tanto, p(Ac)= 1 - p(A) .LQQD

TEOREMA 3. Si un evento A B, entonces la p(A) p(B).

DEMOSTRACIÓN:Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menosA), por tanto, B=A (B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A) 0entonces se cumple que p(A) p(B). LQQD

TEOREMA 4. La p( A \ B )= p(A) – p(A B)

DEMOSTRACIÓN: Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces el evento A sepuede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y A B, por tanto,A=(A \ B) (A B), luego p(A)=p(A \ B) + p(A B), entonces, p(A \ B) = p(A) – p(A B).LQQD

TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(A B)=p(A) + p(B) – p(A B).

A B

A B



DEMOSTRACIÓN:Si A B = (A \ B) B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por loque p(A B) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) – p(A B), por tanto, p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B). LQQD

COROLARIO:

Para tres eventos A, B y C, p(A B C) = p(A) + p(B) + p(C) – p(A B) – p(A C) – (B C) + p(A B C).

A B

A B

A B

A B C A

B C C



E) PROBABILIDAD CONDICIONAL

Sea un espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde p(E) 0, sideseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (el que tambiénes definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces

deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional, la que se determinacomo se muestra;

Donde:

p(A E) = probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurrió p(A E) = probabilidad de que ocurra A y E a un mismo tiempo p(E) = probabilidad de que ocurra E

Luego;

Por tanto:

Donde:

A E = número de elementos comunes a los eventos A y E

E = número de elementos del evento E

Luego entonces podemos usar cualquiera de las dos fórmulas para calcular laprobabilidad condicional de A dado que E ya ocurrió.

Ejemplos: 1. Se lanza al aire dos dados normales, si la suma de los números que aparecen esde por lo menos siete, a. determine la probabilidad de que en el segundo dadoaparezca el número cuatro, b. Determine la probabilidad de que ambos números

) E ( p

) E A( p) E | A( p

E A) E A(P

E ) E (P

E

E A) E | A(P

E

A

A E



sean pares, c. Determine la probabilidad de que en el primer dado aparezca elnumero dos.

Solución: El espacio muestral es el mismo que cuando se lanza un dado dos veces y se

muestra a continuación;

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

= (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

a. a. Para calcular una probabilidad condicional es necesario definir los eventos

A y E, siendo estos,A = evento de que en el segundo dado aparezca el número cuatro,E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete,(que es que es el evento que está condicionando)

E = 21 elementos, los que suman siete o más

(6,1) (5,2) (6,2)

E = (4,3) (5,3) (6,3)

(3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

A = 6 elementos, los que en el segundo dado aparece el cuatro

A = (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

Luego,

A E = (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) , A E = 4 elementos

Por tanto;

p(A E) = A E / E = 4/21 = 0.19048

b. b. E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lomenos siete



(6,1) (5,2) (6,2)

E = (4,3) (5,3) (6,3)

(3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

A = evento de que ambos números sean pares

(2,2) (4,2) (6,2)

A = (2,4) (4,4) (6,4)

(2,6) (4,6) (6,6)

(6,2)

A E = (4,4) (6,4) A E = 6 elementos

(2,6) (4,6) (6,6)

p(A E) = A E / E = 6/ 21= 0.28571

c. c. E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lomenos

siete

(6,1)

(5,2) (6,2) E = (4,3) (5,3) (6,3) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

A = evento de que en el primer dado aparezca el número dos



(2,1) (2,2)

A = (2,3)

(2,4)(2,5)(2,6)

A E = (2,5) , A E = 1 elemento

P(A E) = A E / E = 1/21= 0.04762

2.Se seleccionan al azar dos números de entre los números del 1 al 9, si la suma de

los números que aparecen es par, a. Determine la probabilidad de que ambosnúmeros sean pares, b. Determine la probabilidad de que ambos números seanimpares.

Solución:

= 9C2 = 36 maneras de seleccionar dos números de entre nueve que se tienen

(1,2)(1,3) (2,3)(1,4) (2,4) (3,4)

= (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)(1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7) (1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8) (1,9) (2,9) (3,9) (4,9) (5,9) (6,9) (7,9) (8,9)

a. a. E = evento de que la suma de los números que se seleccionan sea par

(1,3)

(2,4)E = (1,5) (3,5)(2,6) (4,6)(1,3) (3,7) (5,7)(2,8) (4,8) (6,8)(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

E = 16 elementos




(2,4)

A = (2,6) (4,6)

(2,8) (4,8) (6,8)

A = 6 elementos

(2,4)

A E = (2,6) (4,6)

(2,8) (4,8) (6,8)

A E = 6 elementos , p(A E) = A E / E = 6/16 = 0.375

b. b. E = evento de que la suma de los números seleccionados es par

(1,3)(2,4)

E = (1,5) (3,5)(2,6) (4,6)(1,3) (3,7) (5,7)(2,8) (4,8) (6,8)(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

A = evento de que ambos números sean impares

(1,3)

A = (1,5) (3,5)

(1,7) (3,7) (5,7)

(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

A = 10 elementos ,

(1,3)



A E = (1,5) (3,5)

(1,7) (3,7) (5,7)

(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

A E = 10 elementos; p(A E)= A E / E = 10/16 = 0.625

Este ejercicio también puede ser resuelto haciendo uso de las combinaciones; elespacio muestral puede ser definido;

= 9C2 = 36 maneras de seleccionar los dos números

a. a. E = evento de que la suma de los números seleccionados sea par

Para que la suma de dos números sea par, forzosamente ambos deben ser pares oimpares, por tanto,

E = selección de dos números pares o de dos impares = 4C2 + 5C2


A = 4C2

A E = 4C2 = 6 maneras de seleccionar dos números pares

A E = 6 elementos

p(A E) = A E / E = 6/16 = 0.375

b. b. E = evento de que la suma de los números seleccionados sea par

E = 4C2 + 5C2 = 16 maneras de seleccionar dos números de entre nueve

A = evento de que ambos números sean impares

A = 5C2 = 10 maneras de seleccionar dos números impares

A E = 5C2 = 10

p(A E = A E / E = 10/16 = 0.625



3. Dada la siguiente tabla referente a la producción de flechas para camión de cargapesada; se inspeccionan 200 flechas del tipo A y B, 300 del tipo C y 400 del tipo D, acontinuación se presentan los resultados obtenidos en la inspección;

TIPO FLECHA

DEFECTO A B C D TOTAL I 54 23 40 15 132

II 28 12 14 5 59

S - DEF 118 165 246 380 909

TOTAL 200 200 300 400 1100

a. a. Si se selecciona una flecha al azar y resulta que es una flecha del tipo B,¿cuál es la probabilidad de que no tenga defectos, b. Si la flecha seleccionada esdel tipo C, ¿cuál es la probabilidad de que tenga defectos del tipo II?, c. Si laflecha seleccionada tiene defectos del tipo I, ¿cuál es la probabilidad de que sea

del tipo A, d. ¿cuál es la probabilidad de que una flecha no tenga defectos?, e.¿cuál es la probabilidad de que una flecha tenga defectos?

Solución:

a. Definiremos los eventos;

E = evento de que la flecha seleccionada sea del tipo B = 200 elementos o flechas

A = evento de que la flecha seleccionada no tenga defectos = 909 flechas o

elementos

A E = 165 elementos del tipo B y que no tienen defectos

p(A E) = A E / E = 165/200 = 0.825

b. b. E = evento de que la flecha sea del tipo C = 300 flechas

A = evento de que la flecha tenga defectos del tipo II = 59 flechas

A E = 14 flechas del tipo C y que tienen defectos del II

p(A E) = A E / E = 14/300 = 0.04667

c. c. E = evento de que la flecha tenga defectos del tipo I = 132 flechas



A = evento de que la flecha sea del tipo A = 200 flechas

A E = 54 flechas con defectos del tipo I y del tipo A

p(A E) = A E / E = 54 / 132 = 0.40901

d. En este caso se trata de una probabilidad simple, ya que no hay un evento queesté condicionando al evento del cual se desea determinar su probabilidad

D = evento de que una flecha no tenga defectos = 909 flechas

= 1100 flechas

p(D) = 909/1100 = 0.82636

d. d. F = evento de que una flecha tenga defectos = 132 + 59 = 191 flechas

= 1100 flechas

p(F) = 191 / 1100 = 0.17364

4. Una pareja de recién casa dos ha decidido formar una familia de solo tres hijos, a.determine la probabilidad de que tenga puros hijos varones, b. ¿cuál es laprobabilidad de que tenga como máximo un hijo varón, c. ¿cuál es la probabilidad de

que su segundo hijo sea varón, d. Si esta familia tiene por lo menos una hija, ¿cuál esla probabilidad de que el segundo hijo sea varón?, e. Si esta familia tiene comomáximo un hijo varón, ¿cuál es la probabilidad de que tenga puras hijas?

Solución:

Lo primero que hay que obtener para resolver este problema es el espacio muestral,para lo cual nos podemos ayudar con un diagrama de árbol en donde representemosuno tras otro el nacimiento de cada uno de sus hijos, en donde solo consideraremospartos de un solo bebé, no múltiples y se considera que existe la misma probabilidadde que nazca un varón o una niña.

Y el espacio muestral obtenido es: H = niño

M = niña

= HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM

a. a. A = evento de que la familia tenga puros hijos varones



A = HHH

p(A) = 1/8 = 0.125

b. b. B = evento de que la familia tenga como máximo un hijo varón

B = ningún hijo varón o un hijo varón = MMM, HMM, MHM, MMH

p(B) = 4/8 = 1/2 =0.5

c. c. C = evento de que el segundo hijo de la familia sea varónC = HHH, HHM, MHH, MHM

P(C) = 4/8 =1/2 = 0.5

d. d. Como en este caso se trata de calcular una probabilidad de tipocondicional, se requiere definir dos eventos, el evento E que es el quecondiciona y el evento A;

E = evento de que la familia tenga por lo menos una hija

E = tenga una o más hijas

E = HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM = 7 elementos

A = evento de que el segundo hijo sea varón

A = HHH, HHM, MHH, MHM

A E = HHM, MHH, MHM = 3 elementos

Luego;

p(A E) = A E / E = 3/7 = 0.42857

e. e. E = evento de que la familia tenga como máximo un hijo varón

A = evento de que la familia tenga puras hijas

E = MMM, MHM, MMH, HMM = 4 elementos

A = MMM

A E = MMM = 1 elemento

P(A E) = A E / E = 1/4 = 0.25



5. Según las estadísticas, la probabilidad de que un auto que llega a ciertagasolinera cargue gasolina es de 0.79, mientras que la probabilidad de que pongaaceite al motor es de 0.11 y la probabilidad de que ponga gasolina y aceite al motores de 0.06, a. Sí un auto carga gasolina, ¿cuál es la probabilidad de que pongaaceite?, b. Sí un auto pone aceite al motor, ¿cuál es la probabilidad de que ponga

gasolina?

Solución:

a. a. E = evento de que un auto cargue gasolina

b. b.

p(E) = 0.79

A = evento de que un auto ponga aceite al motor

P(A) = 0.11

A E = evento de que un auto ponga gasolina y aceite

p(A E) = 0.07

p(A E) = p(A E)/p(E) = 0.07/ 0.79 = 0.0881

c. c. E = evento de que un auto ponga aceite al motor

P(E) = 0.11

A = evento de que un auto ponga gasolinaP(A) = 0.79

A E = evento de que un auto ponga aceite al motor y ponga gasolina

P(A E) = 0.07

P(A E) = p(A E)/ p(E) = 0.07/0.11 = 0.63636

6.- La probabilidad de que un auto de carreras cargue gasolina en cierto circuitoen la primera media hora de recorrido es de 0.58, la probabilidad de que cambiede neumáticos en esa primera media hora de recorrido es de 0.16, la probabilidadde que cargue gasolina y cambie de neumáticos en la primera media hora derecorrido es de 0.05, a. ¿Cuál es la probabilidad de que cargue gasolina o cambiede neumáticos en la primera media hora de recorrido?, b. ¿cuál es la probabilidadde que no cargue combustible y de neumáticos en la primera media hora derecorrido, c. Si el auto cambia de neumáticos en la primera media hora derecorrido, ¿cuál es la probabilidad de que cargue combustible también?, d. Si el



auto carga combustible en la primera media hora de recorrido, ¿cuál es laprobabilidad de que cambie de neumáticos también?

Solución:

a. a. A = evento de que cargue gasolina en la primera media hora derecorrido

P(A) = 0.58

B = evento de que cambie de neumáticos en la primera hora de recorrido

P(B) = 0.16

A B = evento de que cargue combustible y cambie de neumáticos en laprimera hora de recorrido

P(A B) = 0.05P(cargue gasolina o cambie de neumáticos) = p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B) = 0.58 + 0.16 – 0.05 = 0.69

b. b. p( no cargue combustible y no cambie de neumáticos) = 1 – p(A B)= 1 – 0.69 = 0.31

c. c. E = evento de que el auto cambie de neumáticos en la primeramedia hora de recorrido

A = evento de que el auto cargue combustible en la primera media hora derecorrido

p(A E) = p(A E)/ p(E) = 0.05/0.16 = 0.3125

d. d. E = evento de que el auto cargue combustible en la primera mediahora de recorrido

A = es el evento de que el auto cambie de neumáticos en la primera mediahora de recorrido

p(A E) = p(A E)/p(E) = 0.05/0.58 = 0.08621



La ley multiplicativa de probabilidades indica que la probabilidad de que dos

sucesos A y B ocurran simultáneamente es igual a:

La ley multiplicativa anterior se utiliza también con el fin de determinar una probabilidad

condicional a partir de los valores de y :

Supongamos, por ejemplo, que queremos estudiar la incidencia del hecho de ser fumador

como factor de riesgo en el desarrollo de una enfermedad en una determinada población.

Para ello se diseñó un estudio prospectivo y, tras seleccionar una muestra de 180 sujetos,

los resultados son los que se muestran en la Tabla 1. Considerando toda la muestra, la

probabilidad de desarrollar la enfermedad (E) en la población de estudio es:

Concepto de variable aleatoria

Se llama variable aleatoria (v.a.) a toda aplicación que asocia a cada elemento del espacio muestral () de un experimento, un número real.

Ejemplo 1:

Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. Llamaremos C a Cara y X a

Cruz, el espacio muestral será:={CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}

Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como el número de caras, estamos asociando a cada suceso un

número, así:

X (CCC)=3 X (CCX)=2 X (XXC)=1 X (XXX)=0

Ejemplo 2:

Consideremos el experimento que consiste en lanzar un dado dos veces. El espacio muestral será:={(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)

(3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5)

(6,6) }

Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como la suma de las puntuaciones, entonces

X ((1,1))=2 X ((3,4))=7 X ((2,6))=8 X ((5,6))=11

Las variables aleatorias las podemos clasificar en discretas, si pueda tomar un número finito o infinito

numerable de valores o continuas si dado un intervalo (a,b) la variable puede tomar todos los

valores comprendidos entre a y b.



Se l lama variable aleatoria a toda función que asocia a cada

elemento del espacio muestral E un número real.

Se ut i l izan letras mayúsculas X, Y, . . . para designar var iables

aleator ias, y las respectivas minúsculas (x, y, . . .) para designar

valores concretos de las mismas.

Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede

tomar valores enteros .

Ejemplos

El número de h ijos de una famil ia, la puntuación obtenida al

lanzar un dado.

Variable aleatoria continua

Una variable aleatoria continua es aque l la que puede tomar

todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la

recta rea l .

Ejemplos

La altura de los alumnos de una c lase, las horas de duración de

una p i la .



Eventos Independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un

evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o

eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición,es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se

obtuvo.

Ejemplo:

lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el

resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que

ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.

Eventos dependientes

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de

uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando

tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional

para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P(A|B) indica

la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

P(A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y B)/P(A)

http://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtml



http://www.monografias.com/trabajos/explodemo/explodemo.shtml



http://www.monografias.com/trabajos/aire/aire.shtml






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2 Fundamentos de la teoría de probabilidad