2-Apunteak Zenbaki.pdf

KAPITULU I. ALDAGAI BATEKO EKUAZIOENEBAZPEN HURBILDUA: HASTAPENAK

1. ERROEN BANAPENA

Ekuazio algebraiko edo orozgaineko gehienak zailegiak dira zehatz mehatz askatzeko. Horregatik,

ekuazioaren erroen bilakuntza hurbildua eta errorearen estimazioa oso garrantsitsuak agertzen zaizkigu.

Izan bitez [a, b] tartea eta f funtzioa ondo definitua eta jarraia tarte horretan. Orduan, beronen

erroak bilatzea eta f(x) = 0 ekuazioaren soluzioak asmatzea problema baliokidea da. Berdintza hori

betetzen duen p soluzioari funtzioaren erroa esango diogu.

Batzuetan f (x) edo f (x) funtzioen existentzia funtsezkoa izango da helburua lortzeko.

Suposa dezagun f(x) = 0 ekuazioaren erro guztiak ezberdinak direla, izan ere, erro bakoitzaren

ingurune batean ez dago beste errorik. Orduan ondoko bi urrats beteko ditugu:

a) Erroen bereizketa: erro bakoitzaren ahal den [, ] ingurune txikiena aurkitzea, non

tartearen barnean ekuazioaren beste errorik ez baitago.

b) Erro hurbilduen balioak egokitzea: emaitzak gero eta obeago hurbiltzea.

Lehenbizian ondorengo bi emaitzak kontutan hartu beharko ditugu.

Tarteko balioaren teorema

Izan bitez f(x) C[a, b] eta k IR, f(a) < k < f(b), orduan, d (a, b), non f(d) = k baita.

Korolarioa

Izan bedi f(x) C[a, b] non f -k [, ]-ren muturretan zeinu ezberdinak dituen, f() f() < 0,orduan f -k tarte horren barruan gutxienez erro bat izango du, p (, ) non f(p) = 0 . Baldin f eta tartearen barnean ez badu zeinurik aldatzen, orduan f -k erro bat baino ez dauka [, ]-n.

Funtzioaren erroen bereizketaren prozesua hasteko, lehenengoan emandako tartearen partizio bat

egiten da a < 1 < ... < n < b. Gero jarraian dauden bi puntuen artean zeinu aldaketaren bat bilatzen

da, f(k) f(k+1) < 0. Eragiketa horrek erro baten existentzia adieraziko digu. Praktikan, emandakotartea 2,4,8,...,2n azpitarteetan zatituko da.

Adibideaf(x) x3 6x+ 2 = 0 ekuazioa askatu.

x aldagaia 3 1 0 +1 +3 +funtzioaren zeinuak + + + +

Hiru zeinu-aldaketa daude, ondorioz erro-banaketa (3,1), (0, 1) eta (1, 3) tarteetan egingo da.

AdibideaFuntzioaren zeinu-aldaketak finkatzeko aski da emandako tartearen muturretako balioekin eta funtzioaren

gorena eta beherena lokalekin. Adibidez askatu f(x) x4 4x 1 = 0 ekuazioa.

Funtzioaren deribatua f (x) = 4(x3 1) da eta beronen erroa x = 1 da (anizkoiztasuna=3).

x aldagaia 1 +funtzioaren zeinuak + +

Bi zeinu-aldaketak daudenez f -k bi erro erreal dauzka, (, 1)-an bat egongo da eta (1,)-an bestea.

1

Adibideaf(x) x+ ex = 0 ekuazioa askatu.

Batazbestekoaren teorema

Biz f C[a, b] C1(a, b), orduan d (a, b) non f (d) = (f(b) f(a))/(b a) betetzen den.

Muturreko balioaren teorema

Izan bedi f C[a, b], orduan, x [a, b], d1, d2 [a, b] non f(d1) f(x) f(d2) betetzen den.Horrez gain, baldin f C1(a, b), orduan d1 eta d2 tartearen muturrak dira edo f anulatuko dute.

Teorema

Izan bitez f(x)-ren p erro zehatza eta x erro hurbildua [, ]-an, non |f (x)| m1 > 0. Orduan x , |x p| |f(x)|/m1 ezberdintza bete ohi da.

AdibideaIzan bedi f(x) x4 x 1 = 0 ekuazioa [1.22, 1.23] tartean.x1 = 1.22 f(x1) = 0.0047 eta x2 = 1.23 f(x2) = 0.0589.

Puntu hauetan funtzioaren zeinuak ezberdinak direnez, (1.22, 1.23)-n f -k erro bat izango du eta aurreko

teoremaren bidez errorearen bornapena:

m1 = 6.2632 = |x1 p| 0.00476.2632 0.00075 da.

II EKUAZIOEN EBAZPEN GRAFIKOA

y = f(x) kurbak eta x = 0 ardatzak elkar ebakitzen duten puntugunean f(x)-ren erro bat dago.

Kurbaren irudiak hurbilketa zehatza bilatzen hasteko lagunduko digu. Batzuetan f(x) = g(x) + h(x)

adierazpen arruntagoaz idatz daiteke eta orduan f(x) = 0 = g(x) = h(x). Erroa y = g(x) etay = h(x) funtzioen ebakiduran dago.

Adibideax log10 x 1 = 0 ekuazioa grafikoki ebatzi.x log10 x = 1 = log10 x = 1/x, eta orain y = log10 x eta y = 1/x funtzioak marraztuko ditugu,

1 2 3 4 5 6

0.5

1

1.5

2

p 2.5 erro hurbildutzat agertu zaigu.

2

KAPITULU II. BISEKZIO ALGORITMOA

1. SARRERA ETA METODOA

Funtzioen erroen bilakuntzaren problema ebazteko ikusi behar dugun lehenengo metodoa tarteko

balioaren teoreman oinarritutako Bisekzio algoritmoa da.

Demagun f C[a, b] non f(a) f(b) < 0 betetzen den. Tarteko balioaren teoremaren korolarioarenondorioz a < p < b zenbakia existitzen da non f(p) = 0 . Baldin p tarte horren erro bakarra bada,

orduan a = a1 eta b = b1 har ditzakegu eta emandako tartea p1 = (a + b)/2 erdiguneaz zatitutako

bi azpitarte luzekidetan banatuko dugu. Baldin f(p1) = 0 bada orduan p1 erroa izango da. Bestela,

horietariko zati batean egongo da erroa eta prozesua jarraitzeko ea f(a1) eta f(p1) edo f(p1) eta

f(b1) zeinu ezberdikoak diren begiratu beharko dugu. Lehenengo kasuan a2 = a1 eta b2 = p1 izendapen

berriak izango dira eta (a2, b2) tartea hartuko dugu, bestela, a2 = p1 eta b2 = b1 izendapenekin

errepikatuko dugu prozesua. Prozesu hau eskatutako doitasuna beheragotu arte zenbait aldiz errepika

daiteke gero eta tarte txikiagoak lorturik. Tarteak n. urratsean (b a)/2n luzera izango du.Programatzerakoan infinitu iterazio ez egiteko metodo hauei geldi-erizpidea erantsi behar zaie, hau

da, N0 iterazio kopuru maximoa finkatzea edo [an, bn] tartea emandako TOL tolerantzia baino

motzagoa izatea edo |pn+1pn| azken bi hurbilketeen arteko aldea emandako baino txikiagoa izatea.

2. ALGORITMOA ETA ADIBIDEAK

Bisekzio algoritmoa

Biz f C[a, b], f(a) f(b) < 0, algoritmoak f(x) = 0 ekuazioaren soluzioa hurbilduko duSarreran: a eta b muturrak; TOL tolerantzia; N0 iterazio kopuru maximoa.

Irteeran: p ebazpen hurbildua edo porrot mezua.

Urrats 1: Hartu i = 1.

Urrats 2: i N0 den bitartean 3-6 urratsak jarraitu.Urrats 3: Hartu p = a+ (b a)/2.Urrats 4: Baldin f(p) = 0 edo (b a)/2 < TOL, orduan IRTEERA (p); GELDITU.Urrats 5: Baldin f(a) f(p) > 0, orduan a = p, bestela b = p; hartu i = i+ 1.

Urrats 6: IRTEERA (N0 iterazio egin ondoren, metodoak porrot egin du); GELDITU.(Programatzerakoan har dezagun |pn1 pn|/|pn| < 104 geldi erizpidetzat

)AdibideaBiz f(x) = x34x210. f(1) = 5 eta f(2) = 14 direnez funtzioak [1,2] tartean erro bat dauka.Funtzio honi bisekzio algoritmoaren 13 iterazio burutu ondoren: |p p13|/|p| < |b14 a14|/|a14| 0 bada eta biraka baldin g(x) < 0.

**frog**

Orain konbergentzia arintzeko bidea aipatuko dugu.

Demagun [a, b] tartean f(x) = 0 ekuazioak erro bat duela eta 0 < m1 f (x) M1 (baldinf (x) < 0 bada orduan f (x) > 0 hartuko dugu eta ondorioztapen berbera bete dezakegu). Zehatzmeatz m1 = minx[a,b] f (x) eta M1 = maxx[a,b] f (x) hartuko ditugu.

f(x) = 0 = f(x) = 0 = x = x f(x)

Har dezagun g(x) = x f(x) non konstante positibo ezezaguna baita. Puntu finkoareniterazioa betetzeko |g(x)| k < 1 izan behar duenez, egoera hau derrigortuko dugu:

0 g(x) = 1 f (x) k < 1 = 0 1 M1 1 m1 k

Azken adierazpen hau betetzeko aski da = 1/M1 hartuz eta ondorioz k = 1m1/M1 < 1 .

Adibideax3 + x = 1000 ekuazioaren erro positiborik handiena aurkitu 104 doitasunez.

Bistakoa denez erro hori 9 eta 10 zenbakien artean egon behar du, beraz har dezagun [9, 10] tartea.

f(x) = x3 + x 1000 eta f (x) = 3x2 + 1 orduan

m1 = 244 f (x) 301 =M1 = = 1M1

0.00332 eta k = 1 m1M1

0.19

x = g(x) = x (x3 + x 1000)

Laugarren iterazioan eskaturiko hurbilketa lortuko dugu 9.966667.

7

ARIKETAK

1. [1, 2] tartean puntu finkoaren iterazioaren bidez eta p0 = 1 hasierako hurbilketatzat hartuz

102 doitasunez 2sin(x) x = 0 ekuazioaren soluzioa aurkitu.2. Ikusitako teorema baten bidez [0, 2pi] tartean g(x) = 2x ekuazioak puntu finko bat bakarra

duela frogatu. Puntu finkoaren iterazioaren bidez 104 doitasunez berorren hurbilketa bat aurkitu.

Ikusitako korolarioen bidez 104 doitasuna lortzeko iterazio kopurua asmatu eta doitasun hori lortzen

duen benetako iterazio kopuruarekin konparatu.

3. Ondoko ekuazioetarako puntu finkoaren iterazioa konbergitzeko [a, b] tartea aurkitu. Erroaren

bilakuntzan 105 doitasuna lortzeko iterazio kopurua eta hurbilketak kalkulatu:

a) x =2 ex + x2

3b) x = 2

13ex c) x = 5x

d) x = 6x e) x = 1.75 +4x 7x 2 f) x =

5x2

+ 2

4. x0 > 0 xn = 12(xn1 + 2/xn1

), n 1 segidak 22-rantz konbergitzen duela frogatu.

8

KAPITULU IV. NEWTON-RAPHSONEN METODOA

1. SARRERA ETA METODOA

f(x) = 0 ekuazioaren erroak bilatzeko metodorik famatu eta eraginkorrena Newton-Raphsonena da.

Metodo beronen problemarik handiena honako hau da, soilik erroaren ingurune txikietan konbergituko

dela. Taylorren garapenaren bidez bere oinarri analitikoa aztertuko dugu.

Izan bitez f C2[a, b] eta p erroaren x [a, b] hurbilketa ona (|xp| 0 . Geometrikoki,metodoak y = f(x) kurba, (p0, f(p0) puntutik pasatzen den kurbaren ukitzailearen ordez ordezkatzen

du eta honek X-en ardatza ebakitzen dueneko puntua erroaren hurbilketatzat hartuko dugu. Prozesua

errepikatuko dugu hurbilketa ona asmatu arte. (pn, f(pn)) puntutiko kurbaren ukitzailearen ekuazioa

y f(pn) = f (pn)(x pn) da. y = 0 puntuan x aska dezakegu x = pn f(pn)/f (pn) hurbilketaberria lorturik.

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Teorema

Izan bedi f C2[a, b] , baldin f(a)f(b) < 0, f (x) , f (x) 6= 0 badira eta x [a, b] f eta f ezbadute zeinurik aldatzen, orduan, p0 [a, b] lehenengo estimazioarekin, non f(p0) f (p0) > 0 baita,Newtonen metodoak f(x) = 0 ekuazioaren erroa nahi den doitasunez hurbilduko du.

**frog**

Beraz, Newtonen metodoaren konbergentzia zihurtatzeko f(p0)f (p0) > 0 betetzen duen [a, b] tartearenmuturra p0-tzat hartuko dugu.

9

Teorema

Izan bitez f C[,] , f(a) f(b) < 0 eta f (x) 6= 0 x [a, b]. Baldin f (x) funtzioaIR osoan existitzen bada eta ez du bere zeinua aldatzen, orduan, p0 [a, b] estimazioarekin Newtonenmetodoak f(x) = 0 ekuazioaren erroa aurkituko du. Adibidez p0 = a edo p0 = b har daitezke.

**frog**

Metodo honetan hurbilketa berria lortzeko aurrekoari erantsiten zaion zuzenketa f(pn)/f (pn) da,

beraz |f (pn)|-ren tamainua konbergentzi-abiadura halabehartzen du. Baldin balio absolutu hori handiabada metodoa azkar konbergituko du, txikia bada iterazio pilo bat bete beharko ditugu emaitza ona

lortzeko eta baldin f (pn) = 0 bada orduan metodoa ezin da aplikatu.

Teorema

Izan bedi f C2[a, b] , baldin p [a, b] puntuan f(p) = 0 eta f (p) 6= 0 badira, orduan > 0 non p0 [p , p+ ] Newtonen metodoaren {pn}n=1 segidak p-rantz konbergituko den.

**frog**

Lehenengo kapituluan ikusitako |p pn| |f(pn)|/m1 bornapena erabilgarria da, baina Taylorrengarapenari esker metodo honetarako beste bornapen berezia ikusiko dugu:

0 = f(p) = f(pn) + f (pn)(p pn) + (p pn)2

2f (dn) , dn (p, pn).

Aurreko adierazpennetik p askatuz, p = pn f(pn)f (pn)

(p pn)2

2f (dn)f (pn)

eta ondorioz

pn+1 = pn f(pn)f (pn)

= p pn+1 = 12f (dn)f (pn)

(p pn)2 = |p pn+1| M22m1 (p pn)2

non M2 = maxx[a,b] |f (x)|. Baldin (M2/2m1)|p p0| k < 1 bada orduan konbergentzia azkarra(karratua) daukagu, bereziki |p pn| 10m = |p pn+1| 102m.


Newton-Raphsonen algoritmoa

Emandako p0 hasierako hurbilketarekin algoritmoak f(x) = 0 ekuazioaren ebazpen hurbildua

aurkitzen du

Sarreran: p0 hasierako hurbilketa; TOL tolerantzia; N0 iterazio kopuru maximoa.



Urrats 2: i N0 den bitartean 3-5 urratsak jarraitu.Urrats 3: Hartu

p = p0 f(p0)f (p0)

Urrats 4: Baldin f(p) = 0 edo |p p0| < TOL bada, orduan IRTEERA (p); GELDITU.Urrats 5: Hartu p0 = p eta i = i+ 1.

Urrats 6: IRTEERA (N0 iterazio egin ondoren, metodoak porrot egin du); GELDITU.

Adibideax = cosx ekuazioaren soluzio bat lortzeko, lehenbizian f(x) = cosx x = 0 gisaz idatziko eta

orain problema f(x) funtzioaren erro bat aurkitzean datza. f(pi/2) = pi/2 < 0 < 1 = f(0) denez

10

(pi/2, 1) tartean gutxienez erro bat dago eta grafikoki ikusi daiteke ez dagoela beste errorik. Deribatuaf (x) = sinx 1 izanik, Newtonen metodoaren formula

pn = pn1 cos pn1 pn1 sin pn1 1 n 1

da. Geometrikoki ikus daiteke p0 = pi/4 ona dela hasierako estimaziotzat.

p0 = 0.785398163, p2 = 0.739085178, p4 = 0.739085133.

p1 = 0.739536134, p3 = 0.739085133,

AdibideaNewtonen metodoaren bidez [1, 2] tartean f(x) = x3 + 4x2 10 ekuazioaren erroa aurkitu.

3. EBAKITZAILEAREN METODOA

Baldintzak egokiak badira eta hasierako hurbilketa nahiko zehatza bada, lehebizian ikusitako teore-

mak Newtonen metodoaren konbergentzia frogatzen du. Are gehiago, Newtonen formula eta Taylorren

garapena aztertuz metodoaren konbergentzi karratua frogatu dugu.

Nahiz eta Newtonen metodoa oso ona izan arazo bat dauka, hauxe da, f(x)-en deribatuaren balioz-

tapena, askotan f(x) funtzioarena baino askoz zailagoa da. Eragozpen hau gainditzeko ebakitzailearen

metodoari esker Newtonen metodoaren aldakuntza garrantsitsua dugu.

f (pn1) = limxpn1

f(x) f(pn1)x pn1

x = pn2 hartuz f (pn1) [f(pn1) f(pn2)]/(pn1 pn2) dugu.Baldin Newtonen formularen barnean aldakuntz hau sartzen badugu:

pn = pn1 f(pn1)f(pn1) f(pn2) (pn1 pn2) geratzenda.

ebakitzailearen algoritmoa

Emandako p0 eta p1 hasierako hurbilketekin algoritmoak f(x) = 0 ekuazioaren ebazpen hur-

bildua aurkitzen du

Sarreran: p0 eta p1 hasierako hurbilketak; TOL tolerantzia; N0 iterazio kopuru maximoa.


Urrats 1: Hartu i = 2 eta q0 = f(p0) , q1 = f(p1) definitu.

Urrats 2: i N0 den bitartean 3-6 urratsak jarraitu.Urrats 3: Hartu

p = p1 q1q1 q0 (p1 p0)

Urrats 4: Baldin f(p) = 0 edo |p p0| < TOL bada, orduan IRTEERA (p); GELDITU.Urrats 5: Hartu p0 = p1 , q0 = q1 , p1 = p , q1 = f(p) eta i = i+ 1.


11

Adibideap0 = 0.5 eta p1 = pi/4 hasierako hurbilketekin ebakitzailearen aldaraziriko metodoaren bidez

[pi/2, 0] tartean f(x) = cosx x funtzioaren erroa aurkitu.

pn = pn1 (cos pn1 pn1)(pn1 pn2)(cos pn1 pn1) (cos pn2 pn2) , n 2

p0 = 0.5, p2 = 0.736384139, p4 = 0.739085149,

p1 = 0.785398163, p3 = 0.739058139, p5 = 0.739085133.

Ikus dezakegunez metodo hau gehienetan ez da Newtonena bezain azkarra. Hala ere, nahiko arin

konbergitu du eta bisekzioaren metodoaz lortutako hurbilketa hobetzeko oso egokia da.

ARIKETAK

1. Newtonen eta ebakitzailearen metodoaren bidez 104 doitasunez ondoko ekuazioen erroak

aurkitu:

a) x3 + 3x2 1 = 0 [4, 0] ; b) x 0.8 0.2 sinx = 0 [0,/2]2. Newtonen eta ebakitzailearen metodoaren bidez 105 doitasunez ondoko ekuazioen erroak

aurkitu:

a) x3 x 1 = 0 [1, 2] ; b) x = 2 ex + x2

3c) 3x2 ex = 0 ; d) ex + 2x + 2 cosx 6 = 0

3. p0 = 2 hasierako hurbilketarekin Newtonen metodoa eta ebakitzailearenaren bidez 104 doita-

sunez 23 zenbakiaren hurbilketa asmatu.

4. Newtonen metodoaren bidez 104 doitasunez (1, 0) puntutiko y = x2 kurbaren punturik

hurbilena aurkitu ( d(x) = (x, x2) eta (1, 0) puntuen arteko luzera minimoa aurkitu).

5. f(x) = (4x 7)(x 2) funtzioak p = 1.75 puntuan erro bat dauka. Newtonen metodoaaplikatu ondoko hasierako puntuetatik:

a) p0 = 1.625 ; b) p0 = 1.875 ; d) p0 = 1.5 ; e) p0 = 1.95 ; f) p0 = 3 ; g) p0 = 7

eta emaitzaren azalpen grafikoa eman.

12

KAPITULU V. ARINTZEKO TEKNIKAK

1. ITERAZIOZKO METODOEN ERROREAREN ANALISIA

Kapitulu hau iterazio metodoen konbergentziaren ordena aztertzeaz diharduen. Baldintza berezipetan

metodo batzuen konbergentzia arindu daiteke. Konbergentzi-abiadura neurtzeko prozesua azalduko dugu.

Definizioa

Demagun {pn}n=0 segida non limn pn = p eta en = pn p n 0 diren. Baldin bi zenbakipositivo eta existitzen badira non

limn

|pn+1 p||pn p| = limn

|en+1||en| =

baita, orduan, p-rako {pn}n=0 segidaren konbergentzia errore asintotiko konstantearekiko or-deneko konbergentzia dela esango dugu. Baldin x = g(x) ekuazioa askatzeko puntu finkoaren segidaren

konbergentzia ordenekoa bada, orduan, metodoa ordenekoa dela esango dugu. Ordena konstante

asintotikoa baino garrantsitsuagoa da eta hainbat eta orden altuagoa orduan eta konbergentzi azkarragoa.

Baldin = 1 konbergentzia lineala eta = 2 konbergentzia karratua.

AdibideaIzan bedi g : [a, b] [a, b] eta |g(x)| k < 1, orduan [a, b] tartean g-k p puntu finko bat

dauka, g(p) = p. Aplika dezagun puntu finkoaren iterazioa g(x) = x problemaren ebazpen hurbildua

aurkitzeko. Baldin g(p) 6= 0 bada orduan konbergentzia lineala da:

n 1 en+1 = pn+1 p = g(pn) g(p) = g(n)(pn p) = g(n)en non n (pn, p)

Gainera limn pn = p = limn n = p. Baldin g C[a, b] bada, orduan limn g(n) = g(p) ,erebai, beraz,

limn

en+1en

= limn g

(n) = g(p) , eta limn

|en+1||en| = |g

(p)|

Baldin g(p) 6= 0 bada orduan = |g(p)| konstante asintotikoarekiko konbergentzia lineala da.

AdibideaKonbergentzia lineala eta konbergentzia karratua duten iteraziozko eskemak konparatzeko, dema-

gun lehenengoak limn |en+1|/|en| = 0.75 betetzen duela eta besteak limn |en+1|/|en|2 = 0.75.Adierazpenak errazteko |en+1|/|en| 0.75 eta |en+1|/|en|2 0.75 hartuko ditugu, ondorioz,

|en| 0.75|en1| 0.752|en2| ... 0.75n|e0|

|en| 0.75|en1|2 0.75[0.75(en2|2)2 = 0.753|en2|4 ... 0.752n1|e0|2n

Demagun ere |e0| = |e0| = 0.5 eta 108 tolerantzia beheragotu nahi dugula. Logaritmoak hartuz,

|en| = 0.75n|e0| 108 = n log10 0.75 + log10 0.5 8 1 = n log10 0.5 8log10 0.75

62

|en| = 0.752n1|e0|2n = 0.7510.3752n 108 = 2n log10 0.75 8log10 0.375= 2n 19.1 = n 5

Hasierako hurbilketa bera izanik, konbergentzia linealarekiko metodoak 62 iterazio behar izango ditu,

aldiz, konbergentzia karratua duenak 5 iterazio baino ez du beharko.

13

2. ARINTZEKO TEKNIKAK ETA NEWTONENFORMULAREN OROKORPENA

Teorema

Izan bedi p , x = g(x), ekuazioaren soluzio bat eta suposa dezagun g(p) = 0 eta g funtzioa

jarraia dela p-ren ingurune irekian. Orduan > 0 non p0 [p, p+] , pn = g(pn1) adierazpenazeraikitako {pn}n=1 segidak p-ra karratuki konbergitzen duela.

**frog**

Izan bitez f(x) = 0 ekuazioa eta beronen erroa p non f (p) 6= 0 baita. Aurreko teoremaaplikatzeko x = g(x) = x(x) f(x) funtzioa har dezakegu non (x) bornatua den. Oraingoan galderalogikoa hauxe da, Nolakoa izan behar duen (x) funtzioa, ikusitako eskemak konbergentzi karratua

edukitzeko? eta erantzuna nabaria da erebai:

g(x) = 1 (x)f(x) (x)f (x) eta g(p) = 1 (p)f (p) , beraz, g(p) = 0 (p) = 1f (p)

.

Noski orain eskema hau, pn = g(pn1) = pn1 f(pn1)/f (pn1), Newtonen formulan bihurtu egin da.Hala ere, f(pn)-rekin batera f (pn) 0-rantz joateak eragozpenak erakartzen ditu.

Definizioa

Baldin f(x) = (x p)mq(x) bada non limxp q(x) 6= 0 baita p-ri f -ren m anizkoiztasunekozeroa esango diogu. Baldin m = 1 bada orduan zero simplea esango diogu. x p-ra doanean q(x) gaia

0-ra ez duen konbergitzen f(x) funtzioaren zatia da.

Adibideaf(x) = ex x 1 funtzioan p = 0 erroaren anizkoiztasuna 2 dela frogatuko dugu.Biz q(x) = (ex x 1)/x2, orduan lHopitalaren erregelaren bitartez

limx0

q(x) = limx0

ex 12x

= limx0

ex

2=

12

= f(x) = x2 ex x 1

x2non lim

x0ex x 1

x26= 0 .

Newtonen metodoa erabiliz p0 = 1 hurbilketarekin ondoko taula eraikiko da:

p1 = 0.58198, p5 = 0.04380, p9 = 0.2775 102, p13 = 0.17358 103,p2 = 0.31906, p6 = 0.02206, p10 = 0.13881 102, p14 = 0.86773 104.p3 = 0.16800, p7 = 0.01107, p11 = 0.6942 103,p4 = 0.08634, p8 = 0.5545 102, p12 = 0.37416 103,

Bistakoa denez konbergentzia ez da karratua.

Defini dezagun (x) = f(x)/f (x) funtzioa. Baldin p f(x)-ren m anizkoiztasuneko erroa bada,

hots, f(x) = (x p)mq(x) non m 1 , orduan,

(x) =(x p)mq(x)

m(x p)m1q(x) + (x p)mq(x) =(x p)q(x)

mq(x) + (x p)q(x) .

Orain p (x)-ren zero simplea da eta Newtonen metodoa funtzioari aplika diezaiokegu ondoko

Newtonen formularen orokorpena lortuz:

g(x) = x (x)(x)

= x f(x)f(x)

[f (x)]2 f(x)f (x) .

14

Metodo honek zero anizkoitzek ematen dituzten arazoak gainditzen ditu eta baldin g funtzioak

betiko baldintzak betetzen baditu orduan konbergentzi karratua zihurtatuko du. Beronen eragozpen

bakarra f (x) funtzioa balioaztatzea da.

Adibideaf(x) = x3 + 4x2 10 = 0 funtzioari aplikaturiko Newtonen metodoa eta Newtonen formularen

orokorpenaren portaerak ikusiko ditugu.

pn = pn1 p3n1 + 4p

2n1 10

3p2n1 + 8pn1(Newtonen metodoa)

pn = pn1(p3n1 + 4p

2n1 10)(3p2n1 + 8pn1)

(3p2n1 + 8pn1)2 (p3n1 + 4p2n1 10)(6pn1 + 8)(Newtonen formularen orokorpena)

p1 = 1.373333333 p1 = 1.356898976

p2 = 1.365262015 p2 = 1.365195849

p3 = 1.365230014 p3 = 1.365230013

p4 = 1.365230013 p4 = 1.365230013

AdibideaDemagun f(x) = x4 4x2 + 4 = (x2)2(x2 + 22x+ 2) funtzioa eta x = 2 = 1.414213652.

pn = pn1 pn1 24pn1 (Newtonen metodoa)

pn = pn1 (p2n1 2)pn1(p2n1 + 2)

(Newtonen formularen orokorpena)

p1 = 1.453333333 p1 = 1.411764706

p2 = 1.436607143 p2 = 1.414211438

p3 = 1.425497619 p3 = 1.414213562

Erroa 109 doitasunez hurbiltzeko formularen orokorpenak 3 iterazio behar ditu eta Newtonenak 20.

3. KONBERGENTZIA AZKARRA ETA AITKEN-EN 2

ALGORITMOA

Aitken-en 2 metodoa linealki konbergitzen duen segidaren konbergentzia arintzeko erabili ohi da.

Demagun {pn}n=0 p-ra linealki konbergitzen duen segida, limn |en+1|/|en| = , 0 < < 1 etaidatz dezagun en+1 en eta en+2 en+1, n handietarako.

Orduan aldiberean = (pn+2 p)/(pn+1 p), = (pn+1 p)/(pn p) eta bi ekuazio hauekberdinduz:

pn+2 ppn+1 p =

pn+1 ppn p = p

pn+2pn p2n+1pn+2 2pn+1 + pn

pn+2pn p2n+1 p2n 2pn+1pnpn+2 2pn+1 + pn

(p2n + pn+2pn 2pn+1pn) (p2n+1 2pn+1pn + p2n)

pn+2 2pn+1 + pn pn (pn+1 pn)2

pn+2 2pn+1 + pnOrain pn = pn (pn+1 pn)2/(pn+2 2pn+1 + pn) adierazpenaz definituriko {pn}n=0 segidak{pn}n=0 baino azkarrago konbergitzen duela p-rantz frogatuko dugu.

15

Adibidea{pn}n=0 segidak non pn = cos(1/n) baita p = 1 punturantz linealki konbergitzen du:

p1 = 0.54030 p1 = 0.96178

p2 = 0.87758 p2 = 0.98213

p3 = 0.94496 p3 = 0.98979

p4 = 0.96891 p4 = 0.99342

p4 = 0.98981 p4 = 0.99541

Argi eta garbi {pn}n=0 segidak {pn}n=0 baino azkarrago konbergitzen du 1-erantz.

Definizioa

Izan bedi {pn}n=0 segida, pn = pn+1 pn , (n 0) adierazpenari diferentzia aurrerakorraesaten zaio eta kpn = k1(pn) , k 2 adierazpenaren bidez definituko dira, beraz,

2pn = (pn+1 pn) = pn+1 pn = pn+2 2pn+1 + pn.

pn-rako formula ondoko gisaz adieraz daiteke,

pn = pn (pn)2

2pn(n 0).

Teorema

Izan bedi {pn}n=0 p-ra linealki konbergitzen duen edozein segida non en = pn p 6= 0 n 0.Orduan {pn}n=0 aurreko segida baino azkarrago konbergituko du p-rantz, hau da:

limn

pn ppn p = 0

**frog**

Aitken-en 2 algoritmoa

Emandako p0 hasierako hurbilketarekin algoritmoak g(x) = x ekuazioaren ebazpen hurbildua

aurkitzen du

Sarreran: p0 hasierako hurbilketa; TOL toleranzia; N0 iterazio kopuru maximoa.


Urrats 1: Hartu i = 1 eta p1 = g(p0) kalkulatu.

Urrats 2: i N0 den bitartean 3-5 urratsak jarraitu.Urrats 3: Hartu p2 = g(p1) (pi+1ren kalkulua)

p = p0 (p1 p0)2

(p2 2p1 + p0) ( pi+1ren kalkulua)

Urrats 4: Baldin f(p) = 0 edo |p p0| < TOL bada, orduan IRTEERA (p); GELDITU.Urrats 5: Hartu p0 = p1 , p1 = p2; hartu i = i+ 1.


16

4. STEFFERSEN-EN ALGORITMOA

Puntu finkoaren iterazioaz lorturiko segida edo linealki konbergitzen duen edozein segidari Aitken-en

2 algoritmoaren antzekoa den Steffersen-en metodoa aplikatuz konbergentzi karratua lor dezakegu.

Aitken-en metodoa {pn}n=0 segidari zuzenean aplikatzen zaio, aldiz, Steffersen-enak p0 hurbilketap2 baino hobeagoa dela suposatzen du, beraz:

Aitken Steffersen

p0 p0

p1 = g(p0) p1 = g(p0)

p2 = g(p1) p0 = 2p0 p2 = g(p1) p0 = 2p0p3 = g(p2) p1 = 2p1 p3 = p0p4 = g(p3) p2 = 2p2 p4 = g(p3)

p5 = g(p4) p3 = 2p3 p5 = g(p4) p1 = 2p3p6 = g(p5) p4 = 2p4 p6 = p1

Steffersen-en algoritmoa

Emandako p0 hasierako hurbilketarekin algoritmoak g(x) = x ekuazioaren ebazpen hurbildua

aurkitzen du

Sarreran: p0 hasierako hurbilketa; TOL toleranzia; N0 iterazio kopuru maximoa.



Urrats 2: i N0 den bitartean 3-5 urratsak jarraitu.Urrats 3: Hartu p1 = g(p0) , p2 = g(p1) (p

(i1)1 , p

(i1)1 en kalkulua)

p = p0 (p1 p0)2

(p2 2p1 + p0) (p(i)0 ren kalkulua)

Urrats 4: Baldin f(p) = 0 edo |p p0| < TOL bada, orduan IRTEERA (p); GELDITU.Urrats 5: Hartu p0 = p; hartu i = i+ 1.


Adibideax3 + 4x2 10 = 0 ekuazioaren erroa Steffersen-en metodoaz bilatu

x3 + 4x2 10 = 0 x =

10x+ 4

= g(x)

k p(k)0 p

(k)1 p

(k)2

0 1.5 1.348399725 1.367376372

1 1.36526524 1.36522553 1.36523058

2 1.36523001

p(2)0 = 1.36523001 eta errorea 10

9 baino txikiagoa da.

17

Teorema

Demagun x = g(x) ekuazioaren p erroa non g(x) 6= 1. Baldin > 0 existitzen bada nong C3[p , p+ ] , orduan p0 [p , p+ ] Steffersen-en metodoaren konbergentzia karratua da.

Steffersen-en metodoaren eragozpena g(x) 6= 1 izan behar duela da, hots, bilatutako funtzioarenerroa sinplea izan behar du.

Adibideap0 = 1 hasierako hurbilketarekin puntu finkoaren iterazioa, Newton-en metodoa, Aitken-ena eta

Steffersen-enaren bitartez f(x) = x2 cosx funtzioaren erroaren hurbilketa bilatu x = cosx =g(x) funtzioa erabiliz.

k Puntu finkoa Aitken Steffersen Newton

0 1.0 0.820545868 0.820545868 1.0

1 0.735052587 0.823387630 0.824131023 0.838218410

2 0.861275501 0.823989495 0.824132312 0.824241868

3 0.807137102 0.824103654 0.824132312 0.824132319

4 0.831606374 0.824126663 0.824132312

5 0.820785901 0.824131189 0.824132312

6 0.825618791 0.824132089

7 0.823469674 0.824132268

8 0.824427236 0.824132304

9 0.824000957 0.824132312

10 0.824190798 0.824132312

25 0.824132312

ARIKETAK

1. p0 = pi/2 hasierako hurbilketarekin (sinx x/2)2 = 0 ekuazioaren erroa 105 doitasunezNewton-en metodoaz eta Newton-en formularen orokorpenaz hurbildu.

2. p0 = 0 hasierako hurbilketarekin ondorengo bi ekuazioen zeroak hurbildu Newton-en metodoaz,

|pn+1 pn| < 0.0002 izan arte:

f(x) = e6x + 3(log 2)2e2x (log 8)2e4x (log 2)3 = 0

f(x) = e6x + 1.441e2x 2.79e4x 0.333 = 0

3. [0, 1] tartean x2x = 0 ekuazioaren erroa 104 doitasunez Steffersen-en metodoaz aurkitu.4. Ondoko ekuazioen soluzioak Steffersen-en metodoaz 105 doitasunez aurkitu:

a) x =2 ex + x2

3; b) 3x2 ex = 0

5. pn = 1/n2 adierazpenaz eraikitako {pn}n=0 segida linealki konbergenteari Aitken-en 2metodoa aplikatu |pn p| < 102 izan arte.

18

KAPITULU VI. INTERPOLAZIO METODOAK

1. LEKUGUNE FALTSUAREN INTERPOLAZIO METODOA

Aztertu behar ditugun metodoak edozein f(x) funtzio errealaren erroak bilatzeko balio dute eta

interpolazio metodo hauek ez dute deribatuaren balioaztapenik behar.

Interpolazio metodorik ezagunena regula falsi edo lekugune faltsuaren metodoa izenekoa da.

Bisekzio metodoaren moduan a0, b0 zenbakiak hautatzen dira non f(b0) f(a0) < 0 baita, beraz[a0, b0] tartean funtzioak gutxienez erro bat du eta bere kurba (b0, f(b0)) eta (a0, f(a0)) puntuen arteko

zuzenaren ordez ordeztuko dugu. X ardatza eta zuzen horrek elkar ebakitzen duteneko p1 puntugunea

erroaren hurbilketatzat hartuko dugu. Baldin f(p1) eta f(a0) balioek zeinu berbera badaukate, orduan

a1 = p1 eta b1 = b0 izendatuko ditugu eta prozesua [a1, b1] tartean jarraituko dugu; bestela a1 = a0 eta

b1 = p1 izendatuko ditugu. Prozesu hau emandako tolerantzia beheragotu arte errepikatuko dugu.

Analitikoki ondoko gisaz adieraz daiteke:

y f(a)x a =

f(b) f(a)b a , (y = 0) = p1 = x = a (b a)

f(a)f(b) f(a)

Baldin f -ren zeinua berdina bada [ai, bi]-n, orduan tartearen mutur bat beti finkoa geratuko da.

Adibidez, baldin a muturra finkoa badago, hurrenez hurren: pn+1 = pn(pna) f(pn)/(f(pn)f(a)).Bestela b muturra finkoa egongo da eta pn+1 = pn (b pn) f(pn)/(f(b) f(pn)).

f(a) > 0 f(a) < 0

19

Lehenengoan a finkoa dago eta a < p < ... < pn+1 < pn < ... < p0 segida monotono beherakorra

eta bornatua da. Bigarrenean p0 < ... < pn < pn+1 < ... < p < b segida monotono gorakorra da.

Metodoaren portaeraren arabera ondoko ondorioa atera daiteke, zeinu bereko f eta f dituen

muturra finkoa geratuko da eta pn gaiak beste muturraren aldetik hurbilduko dira.

Metodoaren konbergentzia frogatzeko bornatua eta monotonoa den {pn}n=1 segidaren limiteakalkula dezakegu:

p = p f(p)f(p) f(a) (p a) = f(p) = 0

[a,b] tartean funtzioaren erro bakarra p da eta halabeharrez p = p.

XIV kapituluan ikusitako |pn p| |f(pn)|/m1 bornapenaz gain ondoko hau froga dezakegu.

Teorema

Izan bedi f C1[a, b] , non [a, b] tartean f(a) f(b) < 0, f (x)-k ez duen bere zeinurik aldatzeneta 0 < m1 |f (x)| M1 < + den, orduan ondoko errorearen bornapena beteko da:

|p pn| M1 m1m1

|pn pn1|.

**frog**


Lekugune faltsuaren metodoaren algoritmoa

Biz f C[a, b] eta f(a)f(b) < 0, algoritmoak f(x) = 0 ekuazioaren ebazpena hurbiltzen du.Sarreran: a eta b muturrak; TOL tolerantzia; N0 iterazio kopuru maximoa.


Urrats 1: Hartu i = 2, eta i N0 den bitartean 2-4 urratsak jarraituUrrats 2: Hartu

p = b f(b)f(b) f(a) (b a)

Urrats 3: Baldin f(a) f(p) > 0, orduan a = p, bestela b = p; hartu i = i+ 1.Urrats 4: Baldin f(p) = 0 edo (b a) < TOL, orduan IRTEERA (p); GELDITU.


Adibideaf(x) = x3 + 4x2 10 = 0 ekuazioaren erro positiboa 0.0002 doitasunez aurkitu.Erroaren banaketa: f(1.3) = 1.043 < 0 , f(1.4) = 0.584 > 0 eta f(1.4) f (1.4) > 0 da:

p0 = 1.3 f(p0) = 1.043p1 = 1.36410716 f(p1) = 0.0185573934p2 = 1.364105716 f(p2) = 0.00031260885Bigarren iterazioa bete ondoren m1 = minx[p2,b] |f (x)| = f (p2) = 16.513 eta M1 = maxx[p2,b] |f (x)| =f (b) = 17.08. Orduan ondoko bi errore bornapenak ondoriozta ditzakegu,

0 < |p p2| < |f(p2)|m1

0.189 104 < 2.0 104

0 < |p p2| < M1 m1m1

|p2 p1| 0.379 103

Bi emaitz horietatik lehenengoak nahi genuen tolerantzia beheragotu du.

20

2. MULLERREN INTERPOLAZIO METODOA

Mullerrek 1956 urtean aurkeztutako teknika honek edozein funtzioaren erroak bilatzeko balio du.

Baldin ebakitzailearen metodoak x0, x1 hasierako bi hurbilketekin (x0, f(x0)) eta (x1, f(x1)) puntue-

tatik pasatzen den zuzenaren erroa bilatzen badu, Mullerr-enak x0, x1 eta x2 hasierako hiru hur-

bilketekin (x0, f(x0)), (x1, f(x1)) eta (x2, f(x2)) puntuetatik pasatzen den polinomio karratuaren

erroa bilatuko du. Demagun P (x) = a(xx2)2+b(xx2)+d polinomio karratua. Ikusitako baldintzakbetetzeko polinomioaren koefizienteak balio bereziak izan beharko dituzte.

f(x0) = P (x0) = a(x0 x2)2 + b(x0 x2) + df(x1) = P (x1) = a(x1 x2)2 + b(x1 x2) + df(x2) = P (x2) = d

=d = f(x2)b = (x0x2)

2[f(x1)f(x2)](x1x2)2[f(x0)f(x2)](x0x2)(x1x2)(x0x1)

a = (x1x2)[f(x0)f(x2)](x0x2)[f(x1)f(x2)](x0x2)(x1x2)(x0x1)

Biribiltze errorengatik P (x) hartu beharrean P (x)/(x x2)2 erabiliko dugu. Beronen erroak

x3 x2 = 2db+b2 4ad

dira. zeinuei dagozkien bi aukeretatik b-ren zeinuduna hautatuko dugu, beraz zatikiaren izendatza-ilearen balio absoluturik handiena izango dugu eta x2-tik gertuen dagoen erroa hautatuko dugu.

x3 = x2 2db+ zeinu(b)

b2 4ad.

Era berean x4 lortzeko aurreko prozesua x1, x2 eta x3 hurbilketekin errepikatuko dugu.

Mullerren algoritmoa

Emandako x0 , x1 , x2 hasierako hurbilketetarako algoritmoak f(x) = 0 ekuazioaren ebazpen

hurbildua bilatzen du

Sarreran: x0 , x1 , x2 hasierako hurbilketak; TOL tolerantzia; N0 iterazio kopuru maximoa.


Urrats 1: Hartu:

h1 = x1 x2, h2 = x0 x2, 1 = f(x1) f(x2)h1

, 2 =f(x0) f(x2)

h2, a =

2 1h2 h1 .

Urrats 2: 2 i N0 den bitartean 3-7 urratsak jarraitu.Urrats 3: Hartu b = [f(x0) f(x1)]/(x0 x1) (h1 + h2)a , D =

b2 4f(x2)a .

Urrats 4: Baldin |bD| < |b+D| bada orduan hartu E = b+D bestela hartu E = bD.Urrats 5: Hartu h = 2f(x2)/E , p = x2 + h .Urrats 6: Baldin |h| < TOL bada, orduan IRTEERA (p); GELDITU.Urrats 7: Hartu

x0 = x1, x1 = x2, x2 = p, h1 = x1 x2, h2 = x0 x21 =

f(x1) f(x2)h1

, 2 =f(x0) f(x2)

h2, a =

2 1h2 h1 , i = i+ 1.


21

AdibideaP (x) = 16x4 40x3+5x2+20x+6 polinomioaren erroak 1.2416774, 1.9704461 eta 0.356062

0.162758i dira. Ikus dezagun Muller-en algoritmoaren bilakaera hasierako estimazio ezberdinetarako.

x0 = 0.5 , x1 = 0.5 , x2 = 0.0x3 = 0.555556 + 0.598352i f(x3) = 29.4007 3.89872ix4 = 0.435450 + 0.102101i f(x4) = 1.33223 1.19309ix5 = 0.390631 + 0.141852i f(x5) = 0.375057 0.670164ix6 = 0.357699 + 0.169926i f(x6) = 0.146746 0.00744629ix7 = 0.356051 + 0.162856i f(x7) = 0.183868 102 + 0.539780 103ix8 = 0.356062 + 0.162758i f(x8) = 0.286102 102 + 0.953674 106i

x0 = 0.5 , x1 = 1.0 , x2 = 1.5

x3 = 1.287855 f(x3) = 1.376275x4 = 1.237459 f(x4) = 1.269422 101x5 = 1.241604 f(x5) = 2.194520 103x6 = 1.241677 f(x6) = 1.321123 106x7 = 1.241677 f(x7) = 1.321123 106

x0 = 2.5 , x1 = 2.0 , x2 = 2.25

x3 = 1.960592 f(x3) = 6.113129 101x4 = 1.970564 f(x4) = 7.456961 103x5 = 1.970447 f(x5) = 3.133506 105x6 = 1.970447 f(x6) = 2.720395 106

Baldin hasierako hurbilketak onak badira Mullerren metodoak polinomioaren erroak hurbilduko ditu.

Baldin Newtonen metodoaren konbergentziaren ordena = 2 bada Mullerrena = 1.84 da eta regula

falsi-rena = 1.62 da.

ARIKETAK

1. Emandako tartetan ekuazioen erroak hurbildu regula falsiren metodoaz eta 104 doitasunez:

a) x3 2x2 5 = 0 , [1, 4] ; b) x 0.8 0.2 sin(x) = 0 , [0,/2]2. Regula falsiren metodoaz 105 doitasunez ekuazioen erroak hurbildu.

a) x =2 ex x2

3; b) ex + 2x + 2 cos(x) 6 = 0 ; c) x2 + 10 cos(x) = 0

3. Mullerren metodoaren bidez 104 doitasunez ondoko polinomioen erro errealak aurkitu:

a) P (x) = x3 2x2 5 ; b) P (x) = x3 + 3x2 1d) P (x) = x3 x 1 ; e) P (x) = x4 + 2x2 x 3

4. Regula Falsiren metodoaren bidez ondoko ekuazioen erroak aurkitu 105 doitasunez:

a) x3 x 1 = 0 [1, 2] ; b) x = 2 ex + x2

3d) 3x2 ex = 0 ; e) ex + 2x + 2 cosx 6 = 0

22

KAPITULU VII. POLINOMIO ERREALEEN ZEROAK

1. HORNERREN METODOA

P (x) = anxn + an1xn1 + ...+ a0 moduko funtzioari n. mailako polinomioa esaten zaio.

Algebraren funtsezko teorema

Baldin P (x) polinomioa n > 0 mailakoa bada, gutxienez erro bat izango du (erreala edo konplexua).

Korolarioa

Baldin P (x) = anxn+an1xn1+...+a0 polinomioa n 1 mailakoa bada, orduan x1, ..., xk erroeta m1, ...,mk IN berretzaile bakarrak existitzen dira zein P (x) = an(xx1)m1 (xxk)mk betetzenduten. Gainera

ki=1mi = n.

Hots, polinomioak bere erroen menpeko deskonposaketa bakar bat du eta baldin erro bakoitzaren

anizkoiztasuna kontutan hartzen bada orduan erroen kopurua eta polinomioaren maila berdinak dira.

Hornerren metodoa polinomioei Newton-en metodoa aplikatzean datza. Newton-en metodoaren

bitartez funtzioa eta bere deribatuaren zenbait balio kalkulatu behar dira. Baldin funtzioa n. mailako

polinomioa bada bere deribatua n1. mailako polinomioa izango da eta biak konputazionalki zehatzmehatz kalkula daitezke. n. mailako polinomioaren balioztapenak n batuketa eta n biderkaketa behar

ditu.

Teorema (Hornerren metodoa)

Izan bedi P (x) = anxn + an1xn1 + ...+ a0 polinomioa.

Baldin zn = an eta zk = ak + zk+1x0 k = n 1, ...1, 0 bada, orduan z0 = P (x0) . Gainerabaldin Q(x) = znxn1 + zn1xn2 + ...+ z1 bada orduan P (x) = (x x0)Q(x) + z0 .

**frog**

Emaitza honek P (x) polinomioaren deribatua kalkulatzeko metodoa ematen digu.

P (x) = (x x0)Q(x) + z0 = P (x) = Q(x) + (x x0)Q(x) = P (x0) = Q(x0)

AdibideaIzan bedi P (x) = 2x4 3x2 + 3x 4 polinomioa. Hornerren metodoaren bitartez P (2) eta

P (2) kalkulatu.z4 = 2, z3 = 2(2) + 0 = 4, z2 = (4)(2) 3 = 5, z1 = 5(2) + 3 = 7,

z0 = (7)(2) 4 = 10 = P (2)

P (x) = (x x0)Q(x) + z0 non (x x0) = x+ 2 , Q(x) = 2x3 4x2 + 5x 7 , z0 = 10 diren

P (2) = Q(2) denez Q(x) polinomioarekin prozesua errepikatuko dugu:z3 = 2, z2 = 2(2) 4 = 8, z1 = (8)(2) + 5 = 21

z0 = (21)(2) 7 = 49 = Q(2) = P (2)Kalkuluak eskuz egiterakoan taula batean sartuko ditugu:

x0 = 2 a4 = 2 a3 = 0 a2 = 3 a1 = 3 a0 = 4z4x0 = 4 z3x0 = 8 z2x0 = 10 z1x0 = 14

z4 = 2 z3 = 4 z2 = 5 z1 = 7 z0 = 10

23

Hornerren algoritmoa

Algoritmoak P (x) = anxn + an1xn1 + ... + a0 polinomioa eta bere deribatuaren balioa

x0 puntuan kalkulatzen ditu

Sarreran: n polinomioaren maila; a0, ...an koefizienteak; x0 puntua.

Irteeran: y = P (x0) eta z = P (x0).

Urrats 1: Hartu y = an eta z = an) .

Urrats 2: Hartu{y = x0y + ajz = x0z + y

j = n 1, n 2, ..., 1.Urrats 3: Hartu y = x0y + a0.

Urrats 4: IRTEERA (y, z); GELDITU.

Adibideax0 = 2 hasierako hurbilketarekin Newton-en metodoaz P (x) = 2x43x2+3x4 polinomioaren

erro bat bilatu. Eragiketak lau digito esangarriekin burutu.

Lehenengo iterazioa

x0 = 2 2 0 3 3 44 8 10 14

2 4 5 7 10 = P (2)

Halabeharrez Q(x) = 2x3 4x2 + 5x 7 .

x0 = 2 2 4 5 74 16 42

2 8 21 49 = Q(2) = P (2)

x1 = x0 P (x0)P (x0)

= 2 1049 1.796

Bigarren iterazioa

x1 = 1.796 2 0 3 3 43.592 6.451 6.198 5.744

2 3.592 3.451 3.198 1.744 = P (x1)3.592 12.90 29.36

2 7.184 16.35 32.56 = Q(x1) = P (x1)

x2 = x1 P (x1)P (x1)

= 1.796 1.74432.56 1.742

Baldin polinomioak soilik erro konplexuak baditu, hasierako hurbilketa errealarekin abiatuz geroz

metodo honek hurbilketa errealak bilatuko ditu eta jakina, ezin izango du erro horietara konbergitu.

Eragozpen hau gainditzeko aritmetika konplexua erabil daiteke.

24

2. DEFLAZIO TEKNIKA

Baldin xN Newton-en metodoaren bidez kalkulatutako P (x)-en erro hurbildua bada, orduan:

P (x) = (x xN )Q(x) + z0 = (x xN )Q(x) + P (xN ) (x xN )Q(x)

Har dezagun x1 = xN erro hurbildutzat eta Q1(x) beroni dagokion faktore hurbidutzat, orduan:

P (x) (x x1)Q1(x)

Era berean Q1(x) polinomioari Newton-en metodoa aplika diezaiokegu. Baldin P (x)-k n erro erreal

baditu, metodo errepikakor hau (n 2) bider aplika dezakegu hain zuzen. Azkenean geratzen den 2.mailako Qn2 polinomioaren bi erroak zuzenean kalkula ditzakegu. Teknika beroni deflazioa deritzo:

P (x) (x x1)...(x xk)Qk(x)

Teknika honen eragozpen handiena errorearen hazkunntza da. Lehenbbizian eragiketak P (x) poli-

nomioaren gainean egingo ditugu baina hurrengoetan Qk(x) polinomio laburtuen gainean egingo dira,

beraz, geroz eta kalkulu okerragoak aterako dira. Noski xk+1 Qk(x) polinomioaren erro hurbildua

da eta balio hori ez du P (x) polinomio jatorriaren hain erro hurbildu ona izan behar. Eragozpen hau

gainditzeko x1, ..., xk balioak atera ondoren berauek hasierako estimaziotzat hartuko ditugu Newton-en

metodoa P (x)-ren gainean aplikatzeko. Orain benetan P (x)-ren erroen hurbilketa onak lortuko ditugu.

Errorea txikitzeko p erroa hurbildu ondoren T (x) = P (x)/(x p) funtzioa (Wilkinson) erabildezakegu. Orain Newton-en metodoa T (x) funtzioari aplikatzen zaio:

xn+1 = xn T (xn)T (xn)

= xn [P (xn)P (xn)

1xn p

]1p1, ...ps erroak aurkitu ondoren ondoko formula orokorra erabili ohi da:

xn+1 = xn [P (xn)P (xn)

s

k=1

1xn p

]1Beraz polinomio laburtuarekin lan egin beharrean, jatorrizkoarekin egiten da.

Teorema

Izan bedi koefiziente errealekiko n 2 mailako P (x) polinomioa. Baldin P (x) polinomioareni erro guztiak errealak badira eta n ... 1 badira, orduan, edozein p0 > 1 hasierako hurbilke-tarako Newton-en metodoak 1-ra konbergitzen duen segida beherakorra eraikitzen du.

**frog**

ARIKETAK

1. Ondoko polinomioen erroak deflazio-metodoaz hurbildu |pn pn1| < 104 bete arte .a) P (x) = x3 2x2 5 ; b) P (x) = x4 + 2x2 x 3

2. Ondoko polinomioen erroak deflazio-metodoaren bidez hurbildu |pn pn1| < 105 bete arte.Lehenengoz erro errealak aurkitu, gero polinomioak laburtu eta azkenik erro konplexuak kalkulatu.

a) P (x) = x4 + 5x3 9x2 85x 136 ; b) P (x) = x4 + x3 + 3x2 + 2x 2c) P (x) = 16x4 + 88x3 + 159x2 + 76x 240 ; d) P (x) = x4 2x3 4x2 + 4x+ 4

25

Documents

2-Apunteak Zenbaki.pdf