2.-Anejo de Cálculos

Anexo de Cálculos 1

Proyecto Final de Carrera: Diseño y cálculo de un reductor de velocidad para una devanadora de chapa.

1. DISEÑO DE LOS ENGRANAJES 1.1. DETERMINACIÓN DE LA RELACIÓN DE TRANSMISIÓN La relación de transmisión total del reductor se puede obtener a partir del cociente de las velocidades angulares de entrada y salida de forma que:

1500i= =12

125

Esta reducción la vamos a llevar a cabo en dos etapas.

11ª. i = 12=3,464

22ª. i = 12=3,464

Debemos destacar que la relación de transmisión en cada una de las etapas debe ser un número no entero, con el fin de que un posible fallo en uno de los dientes de una rueda no incida siempre en los mismos dientes de su rueda homóloga. 1.2. VELOCIDADES Y PAR TORSOR EN CADA UNO DE LOS EJ ES A partir de la relación de transmisión i en cada una de las etapas, la potencia P y velocidad de giro ω estableceremos el par torsor T en cada uno de los ejes de transmisión mediante la siguiente relación:

PT=ω

a) Eje de entrada

P=2200W

ω=1500rpm

P 2200

T= = =14,006Nm2·πω 1500·60

b) Eje intermedio

P=2200W

1500ω= =433,013rpm

3,464



P 2200T= = =48,517Nm

2·πω 433,013·60

c) Eje de salida

P=2200W

ω=125rpm

P 2200

T= = =168,068Nm2·πω 125·60

El número de etapas de un reductor viene determinado por el valor de la relación de transmisión i en cada una de las etapas. Si este valor es muy elevado necesitamos poner más etapas, mientras que si es muy pequeño debemos poner menos etapas. Una transmisión por engranajes cilíndricos admite una relación de transmisión de i ≤ 8, por lo que un diseño de dos etapas para este reductor es perfectamente válido y diseñar un reductor de tres etapas encarecería considerablemente el proyecto. 1.3. DIÁMETRO DEL EJE POR RIGIDEZ TORSIONAL Debido a que los ejes en un reductor no son de una longitud excesivamente elevada, el momento flector no ocasionará grandes tensiones. Sin embargo, se comprobarán los ejes a flexión, para asegurar un correcto funcionamiento del reductor. El factor más influyente a la hora de dimensionar los ejes es el momento torsor, debido a que tiene mucha más repercusión que el momento flector. Después este diámetro se puede rebajar en aquellas partes del eje en las que el momento torsor no es tan elevado o incluso no existe. El momento torsor tiene tanta importancia porque la potencia debe transmitirse de manera uniforme y una rigidez torsional baja puede plantear problemas de vibraciones torsionales y afectar al buen funcionamiento de los engranajes. Es conveniente limitar el giro a 0,25º/m de longitud en árboles de maquinaria y transmisiones. Para ello emplearemos la fórmula que determina el giro por unidad de longitud debido a la rigidez torsional:

4

Θ 32·T=

L π·d ·G



Valor de G, para el acero: G = 81GPa. Imponiendo un valor de giro por unidad de

longitud

ΘL

máximo de 0,25º/m, en función del Par (T), podremos obtener el

diámetro mínimo (dmin):

4min

32·Td =

Θπ·G· L

A continuación determinamos el diámetro de cada uno de los ejes para cumplir la especificación de rigidez torsional. Posteriormente se redondearan los diámetros para conseguir ejes normalizados, teniendo en cuenta la facilidad a la hora de proceder con su fabricación. Debido a que es difícil encontrar rodamientos comerciales de un diámetro interior cualquiera en particular, y estos deben ir montados directamente sobre el eje, tomaremos valores para los diámetros de ejes redondeados al primer múltiplos de 5 y 10 superior. a) Eje de entrada

Para T=14,006Nm

344min 10

32·T 32·14,006d = = ·10 =25,206mm

Θ π·8,1·10 ·0,25π·G· L

→ Estimamos el diámetro a 30mm

b) Eje intermedio

Para T=48,517Nm

344min 10

32·T 32·48,517d = = ·10 =34,387mm

Θ π·8,1·10 ·0,25π·G· L


c) Eje de salida

Para T=168,068Nm

344min 10

32·T 32·168,068d = = ·10 =46,913mm

Θ π·8,1·10 ·0,25π·G· L


1.4. ESTIMACIÓN DE DIÁMETROS DE ENGRANAJES. SELECCIÓN DE POSIBLES MÓDULOS Una vez obtenido el diámetro de los ejes en las secciones sometidas a torsión se procederá a determinar el diámetro de los engranajes. Para ello se estimará primero el



diámetro de la circunferencia primitiva de los piñones y acto seguido se multiplica por el valor de la relación de transmisión de cada etapa, de esta forma se obtendrá el diámetro de cada una de las ruedas. En todo el diseño del reductor se debe tener en cuenta que el tamaño del mismo sea el menor posible, sin embargo, el diámetro del piñón no puede ser excesivamente pequeño, aunque eso supongo también una reducción de la rueda. Al emplear chavetas para realizar la unión a torsión, si la circunferencia primitiva es demasiado pequeña existe peligro de que la circunferencia base quede muy próxima al fondo del chavetero mecanizado en el engranaje, lo que debilitaría excesivamente el engranaje. Conviene por tanto determinar un diámetro mínimo para cada uno de los piñones del reductor de manera que no se produzca el problema mencionado anteriormente. Para ello se tendrán en cuenta los tamaños estandarizados de chavetas y chaveteros. La fórmula utilizada para determinar el diámetro primitivo, teniendo en cuenta las observaciones anteriores es la siguiente:

dp = deje + 2 ·( prof. chavetero + dist. seg. + 1,25·m) La distancia de seguridad tendrá un valor de 2 veces el módulo. La profundidad del chavetero viene en función de la chaveta seleccionada y esta a su vez va en función del diámetro del eje. De forma que tendremos una tabla como la siguiente:

Eje entrada (mm)

Eje intermedio (mm)

Eje Salida (mm)

ØØØØeje 30 35 50

Tamaño chaveta 8 x 7 10 x 8 14 x 9

Profundidad chavetero en el cubo (h1) 3,3 3,3 3,8

distancia de seguridad (h2) 2·m 2·m 2·m



Los posibles módulos a utilizar serán aquellos que permitan la construcción de engranajes sin interferencia. La tabla siguiente muestra los números de dientes máximos en la rueda para que no se produzca interferencia en función de los dientes del piñón:

Zpiñón Zrueda máximo

12 12 13 16 14 26 15 45 16 101 17 1309 18 ∞

Además de la limitación del módulo impuesta por la interferencia de los dientes, impondremos un límite máximo de dientes que puede tener la rueda. Estableceremos como numero máximo de dientes en la rueda, 150 dientes. Conocido el módulo, se obtiene un valor aproximado del diámetro y es con este valor con el que se obtiene el número de dientes correspondiente al diámetro calculado:

1

d*z *=

m

Cabe destacar que si el resultado es un número decimal, este ha de ser aproximado al siguiente valor exacto más alto. Esto es lo que se ha hecho en la columna indicada como z1 en la tabla. A partir del número exacto de dientes z1, se obtiene el diámetro exacto despejando de la fórmula anterior, obteniendo así los resultados indicados en la columna dpiñón. El número aproximado de dientes de la rueda de la etapa se calcula con la fórmula:

2 1z *=i·z

Se repite el proceso llevado a cabo con z1* hallándose así z2 y drueda. Con los diámetros de los piñones y las ruedas se obtiene la distancia entre los centros del piñón y la rueda para cada módulo. Además se recalcula la relación de reducción para obtener su valor exacto mediante la fórmula:

2

1

zi=

z

Es ahora cuando se puede determinar si un módulo en concreto es válido o no atendiendo a los parámetros de selección ya establecidos al principio de este apartado. Dentro de los rangos de módulos válidos, se escogerán los módulos que hagan que las distancias entre los centros de los engranajes de cada etapa de reducción sean lo más parecidas posibles. Esto es debido a que de este modo se obtiene un reductor de



velocidad más compacto. Así pues los módulos escogidos son m = 2 para la primera etapa y m = 1.25 para la segunda etapa. 1.5. LUBRICANTE A UTILIZAR Para poder proceder con el cálculo de la anchura de los engranajes necesitamos conocer la viscosidad del lubricante que vamos a emplear, pero a su vez necesitamos conocer la anchura de los engranajes para poder calcular la viscosidad del aceite. Este problema lo afrontaremos suponiendo inicialmente un lubricante y una vez tengamos el engranaje dimensionado, se comprobará que el seleccionado inicialmente es correcto o de mejores características que el necesario. Para determinar la anchura del engranaje, debemos conocer la viscosidad cinemática (ν) del lubricante a una media de 40ºC durante el uso que se haga del reductor. Se seleccionará inicialmente un aceite SAE70, cuya viscosidad absoluta (µ) a una temperatura de 40ºC es de 400mPa·s. Estimando una densidad del aceite (ρ) en aproximadamente unos 900kg/m3.Por lo tanto, la viscosidad cinemática será:

-4 2µν= =444,44·10 m /sρ

1.6. ANCHURA DE LOS ENGRANAJES La anchura de los engranajes viene influida principalmente por dos factores:

a) La resistencia del diente del engranaje a flexión b) La resistencia superficial de contacto del diente

Lo ideal sería que ante estos dos factores, el coeficiente de seguridad obtenido fuera el mismo para ambos casos. Pero debido a que esto es muy difícil de conseguir, consideraremos como buen diseño, el que los dos coeficientes se aproximen. Dentro de la aproximación de los dos coeficientes de seguridad, es importante que el coeficiente de seguridad a flexión sea superior al coeficiente de seguridad por fallo superficial. Esto se debe a que un fallo superficial en el diente puede producir fallos superficiales en los dientes de su rueda homóloga y el tiempo que tardaría en romperse algún diente sería relativamente elevado, por lo que la probabilidad de detectar el fallo sería grande y nos daría tiempo a realizar una sustitución. El fallo por flexión, por el contrario, es bastante más rápido. La rotura de un diente en un engranaje haría que unos engranajes empiecen a chocar bruscamente unos con otros y esto llevaría a que se rompiesen con más facilidad el resto de los dientes de forma que se acabaría por destruir completamente los engranajes.



Además las partículas del material roto van circulando con el aceite, con lo que se pueden introducir entre los dientes con la consiguiente rotura de éstos. El método que se va a emplear es el modelo de Lewis modificado, que dicta que para calcular la tensión normal (σF0) se escogerá la componente tangencial de la carga, aplicada en el extremo del diente y una serie de coeficientes correctores que permitirán tener una mejor aproximación a la tensión real en la base del diente. Con todo ello se obtiene el ancho por flexión (bf).

En cuanto a la presión superficial que aparece en los dientes debido a la elasticidad de los materiales, el contacto entre los dientes de los engranajes, se asimila el contacto entre cilindros de ejes paralelos, de modo que se pueden aplicar las tensiones de Hertz , al caso de engranajes. Con todo ello se obtiene el ancho por presión superficial (bh) Para hallar tanto bf como bh se hará bajo las siguientes consideraciones:

• Engranajes cilíndricos de dientes rectos • Ángulo de presión α = 20º • Mismo material en piñón y rueda • Vida infinita

Además se tomará, arbitrariamente un coeficiente de seguridad de 2 ya que es necesario despejar ambos anchos, el obtenido por flexión y el obtenido por presión superficial, respectivamente de sus correspondientes expresiones. Estas expresiones vienen dadas por el cociente de la tensión máxima teórica que es capaz de soportar el material entre la tensión máxima que realmente esta soportando el material. Una vez hallados los anchos necesarios por ambos métodos se comparan de tal modo que si:

H Fb b> �Se seleccionar un módulo menor y se repite el procedimiento para

hallar la anchura de los engranajes desde el principio.

F Hb b> �Se seleccionar un módulo mayor y se repite el procedimiento para

hallar la anchura de los engranajes desde el principio. Cuando ambos anchos sean similares se adoptará la solución que cumpla:

H Fb=b b≥

Y para finalizar se hará la siguiente comprobación:



piñón piñón0,5·d b 2·d≤ ≤

El ancho mínimo que han de tener los engranajes para soportar la rotura por flexión se va a calcular a partir de la definición del coeficiente de seguridad para el caso particular de rotura por flexión:

fpF

F

SX =

σ

Donde:

Sfp: Tensión normal máxima admisible por el material en las condiciones geométricas y de funcionamiento del engranaje para una vida determinada y con un nivel de confianza conocido.

σF: Tensión normal máxima debida a la flexión que aparece en el dentado del engranaje.

La tensión nominal máxima admisible por el material se puede hallar mediante la expresión:

fp FL NT ST δRT RrT XS S ·Y ·Y ·Y ·Y ·Y=

Donde:

YST: Coeficiente de concentración de tensiones del engranaje de referencia. YNT: Coeficiente de duración (función del tipo de material y de la duración

deseada). YδrT: Coeficiente de sensibilidad a la entalla relativo, considera las posibles

diferencias entre el concentrador de tensiones del engranaje de referencia y el estudiado.

YRrT: Coeficiente de rugosidad relativa, considera el efecto de la diferencia de rugosidad entre el engranaje de prueba y el que se calcula.

YX: Coeficiente de tamaño. Y la tensión normal máxima debida a la flexión, que aparece en la base del diente, se calcula

F FO A V Fβ Fασ σ ·K ·K ·K ·K=

Donde:

σF0: Tensión nominal. KA: Coeficiente de aplicación. KV: Coeficiente dinámico. KFβ: Coeficiente de distribución de carga longitudinal. KFα: Coeficiente de distribución de carga transversal.

A su vez la tensión nominal se puede definir mediante la expresión:



tFO SA FA ε

Fσ ·Y ·Y ·Y

b·m=

Donde:

Ft: Fuerza tangencial. b: Ancho del engranaje. m: Módulo definitivo. YFa: Coeficiente de forma. YSA: Coeficiente de concentración de tensiones. Yε: Coeficiente de conducción.

Sustituyendo en la ecuación del coeficiente de seguridad obtenemos la siguiente expresión:

fp FL NT ST δRT RrT X FL NT ST δRT RrT XF

tF FO A V Fβ FαSA FA ε A V Fβ Fα

S S ·Y ·Y ·Y ·Y ·Y S ·Y ·Y ·Y ·Y ·YX = = =

Fσ σ ·K ·K ·K ·K ·Y ·Y ·Y ·K ·K ·K ·Kb·m

Y, finalmente, si despejamos esta la expresión anterior obtenemos la fórmula necesaria para obtener el ancho que deben tener los engranajes para soportar la flexión en la base de sus dientes:

t SA FA ε A V Fβ Fαf

FL NT ST δRT RrT X

X· F · Y ·Y ·Y ·K ·K ·K ·Kb =

m· S ·Y ·Y ·Y ·Y ·Y

A continuación se define cada coeficiente: YSA: COEFICIENTE DE CONCENTRACIÓN DE TENSIONES EN LA BASE DEL DIENTE Para dentados normales con ángulos de presión de 20º se usa la expresión:

-7 3 -5 2SA 1 1 1Y =2,58282·10 ·z -9,97662·10 ·z +0,01319·z +1,43766

YFA: COEFICIENTE DE FORMA PARA LA CARGA APLICADA EN EL EXTREMO Depende de la geometría del diente. Para dentados normales con un ángulo de presión de 20º su valor se obtiene mediante la fórmula:

-9 4 -6 3 -4 2FA 1 1 1 1Y =3,02709·10 z ·-2,27098·10 z ·+5,32734·10 z ·-0,04735·z +3,63291

Yε: COEFICIENTE DE CONDUCCIÓN



Permite considerar la influencia de la relación de contacto frente al trabajo de flexión en el diente del engranaje.

ε

α

0,75Y =0,25+

ε

2 2

2 2 2 21 2 1 2α 1 1 1 2 2 2

z z z +z1ε = ·senα+y +z ·y + ·senα+y +z ·y - ·senα

π·cosα 4 4 2

a11

hy =

m

a22

hy =

m

εα: Relación de conducción h1 : Altura ademdum del piñón h2 : Altura ademdum de la rueda

KA: COEFICIENTE DE APLICACIÓN Tiene en cuenta las sobrecargas dinámicas que pueden producir factores externos al engranaje. Se tiene en cuenta la naturaleza de la máquina motriz y de la máquina arrastrada. Los valores recomendados se encuentran en la siguiente tabla:

KV: COEFICIENTE DINÁMICO Este coeficiente se usa para representar las cargas dinámicas internas debidas a la vibración del piñón o la rueda sobre el árbol. Los factores que más afectan a estos coeficientes son:

• Los errores en el dentado de los engranajes • Los momentos de inercia polares de la rueda y el piñón • La rigidez de los dientes de los engranajes • La carga transmitida



Para determinar este coeficiente hay que fijar la calidad Qiso de los engranajes. Cuanto menor es el número que identifica la calidad, mayor es ésta.

t 1V

υ ·zK =1+B·

100

1t

z ·mυ =ω·

2

υt: Velocidad tangencial en m/s z1: Número de dientes del piñón B: Coeficiente función de la calidad ISO (Qiso) del engranaje

KFβ: COEFICIENTE DE DISTRIBUCIÓN DE CARGA LONGITUDINAL En este coeficiente se consideran los problemas debidos a una distribución de carga diferente a la supuesta en el cálculo de la tensión sobre los dientes de los engranajes. Los factores que más influyen en este coeficiente son:

• Errores de fabricación de los dentados • Errores de paralelismo entre los árboles • Rigidez de los distintos elementos que componen el sistema • Deformaciones térmicas

En este caso vamos a introducir una especificación de fabricación y control. Los engranajes tienen que tener previsto un rodaje en el proceso de fabricación.

2

Fβ 1 2 3

bK =F +F ·b+F ·

d



Donde:

• b: Ancho del diente. • d: Diámetro primitivo del engranaje. • Los demás coeficientes se obtienen a partir de la siguiente tabla en función

de la calidad ISO y el tipo de ajuste:

a) Se montan los engranajes sin ajustes ni rodaje posterior. b) Se ajustan durante el montaje. c) Los engranajes tienen previsto un rodaje en el proceso de fabricación.

Como se puede observar, este coeficiente depende directamente de b, por lo que Se deberá realizar una iteración final. KFα: COEFICIENTE DE DISTRIBUCIÓN DE CARGA TRANSVERSAL La distribución de la carga entre los distintos pares de dientes en contacto depende de las dimensiones de los engranajes, de la precisión de tallado, de la rigidez de los dientes y del valor de la carga tangencial transmitida.

iso FαQ 7 Y =1≤ →

iso Fα αQ 7 Y =ε≥ →

SFL: RESISTENCIA LÍMITE NOMINAL A FLEXIÓN DEL ENGRANAJE DE REFERENCIA Este factor es característico del material escogido para fabricar los engranajes y se obtiene mediante ensayos de engranajes de referencia.



YST: COEFICIENTE DE CONCENTRACIÓN DE TENSIONES DEL ENGRANAJE DE REFERENCIA Este coeficiente tiene en cuenta los concentradores de tensiones del engranaje utilizado en el ensayo. YNT: COEFICIENTE DE DURACIÓN POR FLEXIÓN Este coeficiente establece el hecho de que sometiendo al engranaje a un número de ciclos de carga reducido, se puede trabajar con un nivel de tensiones superior.

3L NTN 10 Y =2.5≤ →

0.05963 6

L NTL

3·1010 N 10 Y =

N

< ≤ →

6L NTN 3·10 Y =1≥ →

Donde NL es el número de ciclos de carga. YδrT: COEFICIENTE DE SENSIBILIDAD RELATIVO A LA ENTALLA Este coeficiente controla las posibles diferencias existentes entre el engranaje de prueba y el estudiado en lo referente al concentrador de tensiones en la base del diente. Su valor depende del coeficiente de concentración de tensiones YSA.

δrT SAY =0,4559+0,2941·Y

YRrT: COEFICIENTE DE RUGOSIDAD RELATIVA Considera el efecto de la diferencia de rugosidad entre el engranaje de ensayo y el de cálculo.

tm RrTR 1µm Y =1,026≤ →

( )1

200

tm RrT tm1µm R 40µm Y =4,299-3,259· R +1≤ ≤ →

Donde Rtm es la rugosidad superficial. YX: COEFICIENTE DE TAMAÑO Tiene en cuenta la disminución de resistencia asociada al aumento del tamaño.

xm 5 Y 1≥ → =

x5<m<30 Y =1,05·0,01·m→



xm 30 Y =0,85≥ →

Ahora se va a explicar un procedimiento similar para hallar el ancho de los engranajes de modo que estos no sufran fallos superficiales. En este caso la expresión particular del coeficiente de seguridad es:

hpH

H

SX =

σ

Donde:

Shp: Tensión de contacto máxima admisible por el material. σF: Tensión de Hertz.

La tensión de contacto máxima admisible por el material se puede hallar mediante la expresión:

hp HL N L R V WS S ·Z ·Z ·Z ·Z ·Z=

Donde:

ZN: Coeficiente de duración (función del material y la duración deseada). ZL: Coeficiente de viscosidad del lubricante. ZR: Coeficiente de rugosidad. ZV: Coeficiente de velocidad. ZW: Coeficiente de dureza, considera el deterioro que puede ocasionar sobre la

rueda la dureza del piñón. Y la tensión normal máxima debida a la flexión, que aparece en la base del diente, se calcula

H HO A V Hβ Hασ σ · K ·K ·K ·K=

Donde:

σH0: Tensión de Hertz nominal. KA: Coeficiente de aplicación. KV: Coeficiente dinámico. KHβ: Coeficiente de distribución de carga longitudinal. KHα: Coeficiente de distribución de carga transversal.

A su vez la tensión de Hertz nominal se puede definir mediante la expresión:

tHO H E ε

1

F 1+iσ Z ·Z ·Z ·

b·d i=

Donde:



Ft: Fuerza tangencial. b: Ancho del engranaje. d1: Diámetro del piñón i: Reducción de la etapa. ZH: Coeficiente geométrico. ZE: Coeficiente elástico. Zε: Coeficiente de conducción.

Sustituyendo en la ecuación del coeficiente de seguridad obtenemos la siguiente expresión:

hp HL N L R V W HL N L R V WH

H HO A V Hβ HαH E ε A V Hβ Hα

1

S S ·Z ·Z ·Z ·Z ·Z S ·Z ·Z ·Z ·Z ·ZX = = =

σ σ · K ·K ·K ·K Ft 1+iZ ·Z ·Z · · K ·K ·K ·K

b·d i

Y, finalmente, si despejamos esta la expresión anterior obtenemos la fórmula necesaria para obtener el ancho que deben tener los engranajes para que no se produzca un fallo superficial en los dientes:

( )( )

2

H E ε t A V Hβ Hα

h 2

1 HL N L R V W

1+iX· Z ·Z ·Z · F · · K ·K ·K ·K

ib =d · S ·Z ·Z ·Z ·Z ·Z

Donde: A continuación se definen los distintos coeficientes: ZH: COEFICIENTE GEOMÉTRICO QUE DEPENDE DEL ÁNGULO DE PRESIÓN Este coeficiente tiene en cuenta el ángulo de presión y el tipo de dientes de los engranajes. ZE. COEFICIENTE ELÁSTICO Este coeficiente depende de las características del material con el que están construidos los engranajes y tiene un valor constante para cada material.

E 2 21 2

1 2

1Z =

1-ν 1-νπ· +

E E

Donde

E1: Módulo de Young del material del piñón. E2: Módulo de Young del material de la rueda. ν1: Coeficiente de Poisson del material del piñón. ν2: Coeficiente de Poisson del material de la rueda.



Zε: COEFICIENTE DE CONDUCCIÓN Permite considerar el efecto producido por el reparto de carga entre varios dientes del engranaje. En el caso del dentado recto la norma ISO propone la siguiente expresión:

αε

4-εZ =

3

KHβ: COEFICIENTE DE DISTRIBUCIÓN DE CARGA LONGITUDINAL Al igual que KFβ en este coeficiente se consideran los problemas debidos a una distribución de carga sobre los dientes de los engranajes diferentes a los supuestos en el cálculo de la tensión.

2

Hβ 1 2 31

bK =H +H ·b+H ·

d

Como se puede observar, este coeficiente depende directamente de b, por lo que se deberá realizar una iteración final. Donde:

• b: Ancho del diente. • d1: Diámetro primitivo del engranaje. • Los demás coeficientes se obtienen a partir de la siguiente tabla en función

de la calidad ISO y el tipo de ajuste:

a) Se montan los engranajes sin ajustes ni rodaje posterior. b) Se ajustan durante el montaje. c) Los engranajes tienen previsto un rodaje en el proceso de fabricación.

KHα: COEFICIENTE DE DISTRIBUCIÓN DE CARGA TRANSVERSAL



La distribución de la carga entre los distintos pares de dientes en contacto depende de las dimensiones de los engranajes, de la precisión de tallado, de la rigidez de los dientes y del valor de la carga tangencial transmitida.

iso FαQ 7 Y =1≤ →

iso Fα αQ 7 Y =ε≥ →

SHL: TENSIÓN DE CONTACTO ADMISIBLE DEL MATERIAL Este factor es característico del material escogido para fabricar los engranajes y se obtiene mediante ensayos de engranajes de referencia. ZN: COEFICIENTE DE DURACIÓN Este coeficiente modifica el límite del material cuando la duración del mismo debe ser reducida. En él influyen el número de ciclos de carga al que se desea someter a los dientes del engranaje y el tipo de material con los tratamientos a los que se ha visto sometido.

5L NN 10 Z =1.3≤ →

0.087565 6

L NL

2·1010 N 2·10 Z =

N

< ≤ →

6L NN 2·10 Z =1≥ →

Donde NL es el número de ciclos de carga. ZL : COEFICIENTE DE VISCOSIDAD Considera la influencia de la viscosidad en el comportamiento de la película de aceite de lubricante.

( )ZLL ZL 2

40

4· 1-CZ =C +

801,2+

ν

Donde

• ν40 es la viscosidad cinemática del lubricante a 40º. • CZL se obtiene a partir de las siguientes expresiones:

HL ZLS 85 C =0,83< →



( )HLHL ZL

S 8585 S 120 C =0,08· 0,83

35

−< < → +

HL ZL120 S C =0,91< →

ZR: COEFICIENTE DE RUGOSIDAD Este coeficiente considera la influencia de la rugosidad superficial en la formación y comportamiento de la película de lubricante.

ZRC

Rtm100

3Z =

R

Donde:

• CZL se obtiene a partir de las siguientes expresiones:

HL ZRS 85 C =0,85< →

( )HLHL ZR

S 8585 S 120 C =0,08· 0,85

35

−< < → +

HL ZR120 S C =0,93< →

• Y la rugosidad superficial media es:

tm100 tmC

100R =R ·

D

Siendo Rtm es la rugosidad superficial y DC la distancia entre los centros de los engranajes.

ZV: COEFICIENTE DE VELOCIDAD Considera el efecto de la velocidad tangencial sobre la formación de la película de lubricante.

( )ZVV ZV 2

t

2· 1-CZ =C + =

320,8+

υ

Donde:

• υt: Velocidad tangencial en m/s



1t

z ·mυ =ω·

2

z1: Número de dientes del piñón B: Coeficiente función de la calidad ISO (Qiso) del engranaje

• CZL se obtiene a partir de las siguientes expresiones:

HL ZVS 85 C =0,85< →

( )HLHL ZV

S 8585 S 120 C =0,08· 0,85

35

−< < → +

HL ZV120 S C =0,93< →

ZW: COEFICIENTE DE RELACION DE DUREZAS Considera el posible deterioro que puede ocasionar sobre la rueda la mayor dureza del piñón.

W

HBr-130HBr 400 Z =1,2-

1700≤ →

WHBr>400 Z =1→

1.6.1. ANCHO ENGRANAJES PRIMERA ETAPA Primero se va a calcular el ancho necesario para que los dientes de los engranajes no se rompan debido a un fallo por flexión. Los valores para los coeficientes necesarios para hallar el ancho son:

Coeficiente Valor Justificación

SAY 1.71 1z =25 dientes

FAY 2.75 1z =25 dientes

εY 0.69

α=20º

1z =25 dientes

2z =87 dientes

1y =1�Dientes normales


αε =1,72

AK 1.25 La máquina motriz es un motor eléctrico y se considera que tiene un movimiento



uniforme. En cambio la máquina arrastrada, es un elevador de tijera, por lo que se presupone que tendrá choques importantes.

VK 1.04

ω=1500rpm

1z =25 dientes

m=2

tυ =3,93m/s

isoQ 5 B=0.04= →

FβK 2

b1.09429+0,0000538323·b+0,15221·

50

FαK 1 Dientes rectos de índice de calidad ISO 5

FLS 5daN/mm2

EN-GJL-200 HBr=175

STY 2.1 Coeficiente constante cuyo valor es el

indicado.

NTY 1 Vida infinita� 6LN 3·10≥

δrTY 0.959 SAY 1,71=

RrTY 1.026 iso tmQ 5 R =1,4= →

XY 1 m=2

Sabiendo además que:

Priemra Etapa 3t

1

T 14,006F = = ·10 =560,23N

d /2 50/2

m=2 Para que los engranajes de la primera etapa soporten una posible rotura por flexión, estos deben tener una anchura de:

fb =25,77mm



Ahora se pasa a calcular el ancho necesario para que los dientes de los engranajes de la no sufran una rotura debida a un fallo superficial. Los valores para los coeficientes necesarios son:


HZ 2.5 Engranajes cilíndricos de dientes

rectos. α=20º

EZ 43.21

Fundición gris. 11 2

1 2E =E =2,1·10 N/m

1 2ν =ν =0,3

εZ 0.87

α=20º

1z =25 dientes

2z =87 dientes



αε =1,72

AK 1.25

La máquina motriz es un motor eléctrico y se considera que tiene

un movimiento uniforme. En cambio la máquina arrastrada, es

un elevador de tijera, por lo que se presupone que tendrá choques

importantes.

VK 1.04

ω=1500rpm

1z =25 dientes

m=2

tυ =3,93m/s

isoQ 5 B=0.04= →

HβK 2

b1.09429+0,0000538323·b+0,15221·

50

HαK 1 Dientes rectos de índice de calidad

ISO 5

HLS 30daN/mm2 EN-GJL-200

HBr=175



NZ 1 Diseño para vida infinita.

LZ 1.132 2

40ν =444,4mm /s

HL ZLS 85 C =0,83< →

RZ 1.131

iso tmQ 5 R =1,4= →

CD =112mm

tm100R =1,32

HL ZRS 85 C =0,85< →

VZ 0.854

ω=1500rpm

1z =25 dientes

m=2

tυ =3,93m/s

isoQ 5 B=0.04= →

HL ZVS 85 C =0,85< →

WZ 1.174 HBr 175=


Priemra Etapa 3t

1

T 14,006F = = ·10 =560,23N

d /2 50/2

1d =50mm

i=3,48 Para que los engranajes de la primera etapa soporten una posible rotura por fallo superficial, estos deben tener una anchura de:

hb =25,99mm



Se comprueba ahora que los anchos cumplen las restricciones impuestas en el apartado 1.6:

f hb <b

Luego se puede establecer como ancho para los engranajes de la primera etapa:

b=26mm Y por último se observa que para un diámetro primitivo del piñón de 50mm se cumple que:


1.6.2. ANCHO ENGRANAJES SEGUNDA ETAPA Se repetirá el procedimiento seguido en el apartado anterior. Primero se calculará el ancho necesario para que los engranajes de la segunda etapa puedan soportar un fallo por fléxión. Los valores de los coeficientes necesarios en el cálculo son :


SAY 1.82 1z =40 dientes

FAY 2.45 1z =40 dientes

εY 0.67

α=20º

1z =40 dientes

2z =139 dientes



αε =1,80

AK 1.25

La máquina motriz es un motor eléctrico y se considera que tiene un movimiento uniforme. En cambio la máquina arrastrada, es un elevador de tijera, por lo que se presupone que tendrá choques importantes.

VK 1.02

ω=432rpm

1z =40 dientes

m=1,25

tυ =1.13m/s

isoQ 5 B=0.04= →

FβK 2

b1,11024+0,0000484048·b+0,1735·

50

FαK 1 Dientes rectos de índice de calidad ISO 5



FLS 16daN/mm2

EN-GJS-400-15 HBr=170

STY 2.1 Coeficiente constante cuyo valor es el

indicado.

NTY 1 Vida infinita� 6LN 3·10≥

δrTY 0.992 SAY 1,82=

RrTY 1.026 iso tmQ 5 R =1,4= →

XY 1 m=1,25


Priemra Etapa 3t

1

T 48,517F = = ·10 =1946,78N

d /2 50/2

m=2 Para que los engranajes de la primera etapa soporten una posible rotura por flexión, estos deben tener una anchura de:

fb =41,55mm

Ahora se pasa a calcular el ancho necesario para que los dientes de los engranajes de la no sufran una rotura debida a un fallo superficial. Los valores para los coeficientes necesarios son:


HZ 2.5 Engranajes cilíndricos de dientes

rectos. α=20º

EZ 43.21

Fundición gris. 11 2

1 2E =E =2,1·10 N/m

1 2ν =ν =0,3

εZ 0.86 α=20º

1z =40 dientes



2z =139 dientes



αε =1,80

AK 1.25

La máquina motriz es un motor eléctrico y se considera que tiene un movimiento uniforme. En cambio la máquina arrastrada, es un elevador de tijera, por lo que se presupone que tendrá choques importantes.

VK 1.02

ω=432rpm

1z =40 dientes

m=1,25

tυ =1,13m/s

isoQ 5 B=0.04= →

HβK 2

b1,11024+0,0000484048·b+0,1735·

50

HαK 1 Dientes rectos de índice de calidad

ISO 5

HLS 43daN/mm2

EN-GJS-400-15 HBr=170

NZ 1 Diseño para vida infinita.

LZ 1.132 2

40ν =444,4mm /s

HL ZLS 85 C =0,83< →

RZ 1.131 iso tmQ 5 R =1,4= →

CD =111,875mm

tm100R =1,32



HL ZRS 85 C =0,85< →

VZ 0.854

ω=432rpm

1z =40 dientes

m=1,25

tυ =1,13m/s

isoQ 5 B=0.04= →

HL ZVS 85 C =0,85< →

WZ 1.174 HBr 175=


Priemra Etapa 3t

1

T 48,517F = = ·10 =1496,78N

d /2 50/2

1d =50mm

i=3,475 Para que los engranajes de la primera etapa soporten una posible rotura por fallo superficial, estos deben tener una anchura de:

hb =45,26mm

Se comprueba ahora que los anchos cumplen las restricciones impuestas en el apartado 1.6:

f hb <b

Luego se puede establecer como ancho para los engranajes de la primera etapa:

b=46mm Y por último se observa que para un diámetro primitivo del piñón de 50mm se cumple que:


1.7. COMPROBACIÓN DE LA VALIDEZ DEL LUBRICANTE Tal y como se expresa en el punto 1.5 del presente documento, el lubricante debe ser comprobado una vez calculados los engranajes. La lubricación tiene una importancia vital en el contacto entre engranajes. Una mala lubricación se manifiesta en forma de problemas en las superficies del dentado del engranaje. Estos problemas pueden ser desgastes, picado superficial (pitting) o incluso gripado.



El desgaste superficial aparece cuando el espesor de la película de aceite es inferior a la rugosidad del material. Esto se suele dar en engranajes que funcionan a baja velocidad y están sometidos a cargas elevadas. Para estas aplicaciones se usan lubricantes de gran viscosidad. El fenómeno de pitting aparece a velocidades medias y cargas elevadas, y es debido principalmente a la presión de contacto que aparece entre las superficies. Se suele identificar por la aparición de pequeños cráteres superficiales. Se soluciona aumentando la viscosidad del lubricante. El gripado aparece cuando la combinación de la velocidad de deslizamiento y presión superficial hace que aumente la temperatura de contacto de manera importante. Este aumento de temperatura provoca la rotura de la película de lubricante. Al producirse el contacto metal contra metal acompañado de una presión elevada aparece una tendencia a la soldadura de las superficies. Este problema también disminuye al aumentar la viscosidad. Para determinar nuestro lubricante vamos a usar el método UNITED ya que nuestro reductor presenta velocidades medias y cargas medias. Etapa 1:

Coeficiente K:

t

1

F i+1 560,23 3,48+1K= · = · =0,0554791

b·d i 26·50 3,48

Con:

Ft: Fuerza Tangencial en da N b: Anchura del Engranaje en mm d1 : Diámetro del piñón en mm

Velocidad Tangencial:

1 -3t

z ·m 25·2υ =ω· = 432· ·10 =3,93m/s

2 2

Si 0,00025 ≤ K/ tυ ≤ 2 y tυ ≤ 20 → Se verifica la viscosidad del lubricante adecuado

mediante su viscosidad a 38ºC (ν38) con la siguiente fórmula:

3 2

38t t t

K K Klog(ν )=-0,02767· log -0,10865· log +0,3263·log +3,00079=2,20

v v v

2,20 2

38ν =10 =158,674mm /s

Verificamos que la viscosidad que se requiere es menor que la que habíamos supuesto:



2requeridaν =158,674mm /s

2SAE70ν = 444,44mm /s

Etapa 2:

Coeficiente K:

t

1

F i+1 1946,78 3,475+1K= · = · =0.109

b·d i 46·50 3,475

Con:

Ft : Fuerza Tangencial en da N b: Anchura del Engranaje en mm d1 : Diámetro del piñón en mm

Velocidad Tangencial:

1 -3t

z ·m 40·1,25υ =ω· = 432· ·10 =1.13m/s

2 2

Si 0,00025 ≤ K/ tυ ≤ 2 y tυ ≤ 20 → Se verifica la viscosidad del lubricante adecuado

mediante su viscosidad a 30ºC (ν38) con la siguiente fórmula:

3 2

38t t t

K K Klog(ν )=-0,02767· log -0,10865· log +0,3263·log +3,00079=2,59

v v v

2,59 2

38ν =10 =385,182mm /s

Verificamos que la viscosidad que se requiere es menor que la que habíamos supuesto:

2requeridaν =385,182mm /s

2SAE70ν = 444,44mm /s

Por lo tanto el lubricante elegido para calcular el ancho de diente es el correcto (SAE 70). Recordemos que una de las especificaciones era que el lubricante fuera el mismo para todo el conjunto.



2. DISEÑO DE LOS EJES Tal y como se ha realizado el cálculo, el diámetro de los ejes ya está estimado basándonos en la rigidez torsional. En este apartado vamos a comprobar que el diámetro de cada uno de los ejes cumple también a fatiga. También se intentará rebajar en lo posible el diámetro en aquellas zonas en las que esté sobredimensionado, aunque teniendo siempre en cuenta el criterio de economía en la fabricación, ya que demasiados procesos encarecen este apartado. En el cálculo a fatiga de ejes vamos a considerar el criterio de máxima tensión tangencial. Para el cual es necesario calcular varios factores de corrección que modifican el límite de fatiga del material para que este se aproxime a su valor real. Al utilizarse el mismo material (Acero E800Q) para todos los árboles del conjunto se puede establecer desde este momento las siguientes tensiones de fluencia y rotura:

yS =800MPa

uS =1000MPa

Se’ : LIMITE DE FATIGA Se destaca que la estimación del límite de fatiga de la probeta (Se’) que se puede realizar a partir del límite de rotura del material (Su) puede diferir notablemente del resultado de los ensayos de fatiga realizados sobre el material. Esto deberá tenerse en cuenta al considerar el coeficiente de seguridad a aplicar en el diseño. Para nosotros:

ue

SS '=

2

En los ensayos de laboratorio encaminados a la obtención de características a fatiga se utilizan probetas de material normalizadas en cuanto a dimensiones y calidades de acabado superficial, sometidas a estados tensionales concretos. En un punto de un componente o de una estructura no existirán las mismas condiciones y por lo tanto es de esperar que el límite de fatiga correspondiente Se difiera del obtenido en el ensayo del material. Existen multitud de factores que pueden modificar el límite de fatiga, y en general los más importantes pueden considerarse mediante factores de corrección. De esta forma para estimar el límite de fatiga de un punto concreto de una pieza puede utilizarse la siguiente expresión:

ee a b c d e

f

S 'S =K ·K ·K ·K ·K ·

K

Ka : FACTOR DE SUPERFICIE



Las probetas para ensayo de fatiga están cuidadosamente controladas para conseguir gran precisión dimensional y tienen usualmente un acabado de pulido. Este acabado se realiza en dirección axial para evitar la generación de defectos superficiales circunferenciales. En la práctica, un componente de una máquina o estructura tiene un acabado superficial muy diferente del de la probeta de ensayo, y es de suponer que esto afectará al límite de fatiga. El acabado superficial de un componente depende de su método de producción. El factor de modificación del límite de fatiga depende, por tanto, de la calidad de acabado y del límite de rotura del material. Tal y como incluye la especificación técnica el acabado superficial de los ejes es un mecanizado, por lo tanto para este reductor:

-b -0,085a u uK =a·S =1,58·S

Kb : FACTOR DE TAMAÑO El límite de fatiga de los materiales bajo condiciones de flexión y torsión varía con el tamaño del componente. El factor de tamaño, obtenido de datos experimentales sobre probetas de sección circular, para flexión rotativa y torsión, puede estimarse con la ecuación:

-0,107

b

dK =

7,62

Kc : FACTOR DE TIPO DE CARGA Para flexión tenemos que:

cK =1

Kd : FACTOR DE TEMPERATURA El limitado número de datos de ensayos disponible indica que, en el caso del acero, el límite de fatiga se incrementa ligeramente a medida que la temperatura aumenta y que decrece en el rango de 200 hasta 350ºC. Este comportamiento no es exactamente igual que el correspondiente al límite de rotura. Sin embargo, si no disponemos de más información, puede ser razonable estimar el límite de fatiga a partir del límite de rotura obtenido para la temperatura de funcionamiento, en este caso se debe utilizar un factor:

dK =1



Ke : OTRAS INFLUENCIAS El factor Ke tiene en cuenta otros factores como puede ser la confiabilidad del diseño. Si realizamos múltiples ensayos de fatiga sobre un mismo nivel de tensiones de un material, siempre existe una dispersión estadística importante de su vida a fatiga. La curva de fatiga intrínseca del material está obtenida generalmente para una confiabilidad del 50%, pero en ocasiones será necesario diseñar un componente con una confiabilidad mayor, en nuestro caso será del 99%, y es posible que no se disponga de la curva S-N para dicha confiabilidad, en este caso se puede establecer un coeficiente de corrección del límite de fatiga por confiabilidad:

eK =0,814

Kf : EFECTO DEL CONCENTRADOR DE TENSIONES Las discontinuidades en los componentes mecánicos como agujeros, cambios de sección, chaveteros, etc., producen una elevación local de las tensiones y se llaman concentradores de tensión, o entallas. Por otra parte, debido a que estamos calculando para vida infinita,

n eS =S

Debemos tener en cuenta también que solamente tenemos momento flector alternante ( mσ =0) y momento torsor medio (aτ =0).

( )2 2 2

2y y sy ym a m a a m3

N sn e

S S S S32= σ + σ + τ + τ = · M + T

X S S π·d S

Estudiaremos el coeficiente de seguridad a fatiga en diferentes secciones del eje, debido a que existen distintos concentradores de tensión que varían Kf en cada sección, al igual que distintos valores del momento flector y la existencia o no del momento torsor:

( )

3y

22y

a me

d ·π·SX=

S32· M + T

S

Los valores de las tensiones están en Mpa y los valores de los momentos están en Nm.



2.1. EJE DE ENTRADA 2.1.1. DATOS INICIALES Los datos iniciales de la primera rueda dentada son:

20º

pr

Fr

Ft

ω

Cálculos para Ft y Fr:

Datos:

p

P=2200W

ω=1500rpm

r =25mm

P 2200

T= = =14,01Nm2·πω 1500·60

t p tp

T 14,006T=F ·r F = = =560,24N

r 0,025→

r tF =F ·tan20=203,91N 2 2t rF= F +F =596,20N



2.1.2. DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS

Se calculan las Reacciones:

A B B

a·F 0,05265·596,20M 0 a·F-b·V =0 V = = =332,52N

b 0,0944Σ = → →

A B A BΣF=0 V +V F=0 V =F-V =596,20-332,52=263,68N→ − →

El eje se ve sometido por un par que actúa en el tramo que va desde el motor hasta la mitad del piñón, siendo este de 14,01Nm. A continuación se representan los diagramas de esfuerzos:

GEOMETRÍA ORIGINAL Y DEFORMADA

-0,05

0

0,05

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

DIAGRAMA DE CORTANTES (N)

-500

0

500

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES (N·m)

-20

-10

0

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

VA VB

F

a

b



DIAGRAMA DE MOMENTOS TORSORES (N·m)

0

510

15

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

2.1.3. CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE SEGURIDAD A FATIG A Esquema del eje con las secciones que se van a estudiar:

A continuación se detalla una relación de los coeficientes de fatiga de cada sección:

Sección 1 2 3 4 Diámetro 30mm 30mm 21mm 17mm

Su 1000MPa 1000MPa 1000MPa 1000MPa Sy 800MPa 800MPa 800MPa 800MPa Se' 500MPa 500MPa 500MPa 500MPa Ka 0,271 0,271 0,271 0,271 Kb 0,864 0,864 0,897 0,918 Kc 1 1 1 1 Kd 1 1 1 1 Ke 0,814 0,814 0,814 0,814 Kf 1,6 1,6 1,371 1,492 Se 59,6MPa 59,6MPa 72,3MPa 70MPa Tm 14,01Nm 0 0 0 Ma 13,76Nm 7,58Nm 6,32Nm 2,33Nm X 11,45 20,85 10,39 14,07

2.2. EJE INTERMEDIO En el eje intermedio nos encontramos con que la dirección de transmisión de cargas entre este eje y el eje de salida presenta un ángulo diferente al que presenta la dirección



de transmisión de cargas entre el eje primario y el eje intermedio. Esto nos lleva a analizar las cargas en dos planos diferentes: 2.2.1. DATOS INICIALES

Piñon 2Rueda 1

Ft

Fr

ω

rp

20º

2

2

1

1

20º

rr

ω

Fr

Ft

Los Datos de Ft1 y Fr1 los obtenemos del apartado anterior, ya que las fuerzas son las mismas que las que actúan en el Piñón 1. Por lo tanto:

1

1

Ft =560,24N

Fr =203,91N

Cálculos para Ft2 y Fr2:

Datos:

p

P=2200W

ω=432rpm

r =25mm

P 2200

T= = =48,17Nm2·πω 432·60

2 p 2p

T 48,67T=Ft ·r Ft = = =1949,58N

r 0,025→

2 2Fr =Ft ·tan20=709,59N 2 2t rF= F +F =596,20N



2.2.2. DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS El eje intermedio esta sometido a un sistema de fuerzas situado en el plano YZ y otro sistema situado en el plano XZ. Se analizarán ambos sistemas por separado. Primero se analizará el sistema de fuerzas en el plano YZ:


1 2A 1 2 B B

a·Fr +b·Fr 0,045975·203,91+0,191025·709,59M 0 a·Fr +b·Fr -c·V =0 V = = =611,50N

c 0,237Σ = → →

A B 1 2 A 1 2 BΣF=0 V +V -Fr -Fr =0 V =Fr +Fr -V =203,91+709,59-611,50=302,01N→ →

El eje se ve sometido por un par que actúa en el tramo que va desde la mitad del piñón a la mitad de la rueda, siendo este de 48,17Nm. A continuación se representan los diagramas de esfuerzos


-0,05

0

0,05

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3


-1000

-500

0

500

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

VA VB

Fr1

a

b

c

Fr2




-40

-20

0

20

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3


-100

0

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

Y en segundo lugar se estudiará el sistema de fuerzas en el plano XZ:


1 2A 1 2 B B

a·Ft b·Ft 0,05623·560,24-0,201275·1949,58M 0 a·Ft -b·Ft -c·V =0 V = = =-1462,71N

c 0,26

−Σ = → →

A 1 2 B A 1 2 BΣF=0 V -Ft +Ft +V =0 V =Ft -Ft -V =560,24+1949,58-1462,71=73,37N→ →

El eje se ve sometido por un par que actúa en el tramo que va desde la mitad del piñón a la mitad de la rueda, siendo este de 48,17Nm. A continuación se representan los diagramas de esfuerzos


-0,05

0

0,05

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

VA VB

Ft1

a

b

c

Ft2




-1000

0

1000

2000

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30


-50

0

50

100

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3


0

100

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

2.2.3. CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE SEGURIDAD A FATIG A Debido a que se han tenido que estudiar las fuerzas en dos planos diferentes, para obtener el momento flector en cada sección del eje intermedio, se tendrá que componer los momentos flectores resultantes de cada plano de la siguiente manera:

2 2YZ XZM= M +M

Los valores de las tensiones están en MPa y los valores de los momentos están en Nm. Esquema del eje con las secciones que se van a estudiar:




Sección 1 2 3 4,00 5 6 Diámetro 17mm 21mm 33mm 33mm 35mm 35mm

Su 1000MPa 1000MPa 1000MPa 1000MPa 1000MPa 1000MPa Sy 800MPa 800MPa 800MPa 800MPa 800MPa 800MPa Se' 500MPa 500MPa 500MPa 500MPa 500MPa 500MPa Ka 0,271 0,271 0,271 0,271 0,271 0,271 Kb 0,918 0,897 0,855 0,855 0,849 0,849 Kc 1 1 1 1 1 1 Kd 1 1 1 1 1 1 Ke 0,814 0,814 0,814 0,814 0,814 0,814 Kf 1,541 1,381 1,605 1,605 1,6 1,6 Se 65,8MPa 71,8MPa 58,9MPa 58,9MPa 58,7MPa 58,7MPa Tm 48,74Nm 48,74Nm 48,74Nm 48,74Nm 48,74Nm 48,74Nm

MYZ 0,33Nm 1,36Nm 1,65Nm 1,77Nm 3,37Nm 7,28Nm MXZ 1,36Nm 5,59Nm 6,8Nm 7,28Nm 13,88Nm 16,03Nm Ma 1,4Nm 5,75Nm 7Nm 7,49Nm 14,28Nm 17,61Nm X 7,47 9,03 26,41 25 16,77 13,74

Sección 7 8 9 10 11 12 Diámetro 35mm 35mm 33mm 33mm 21mm 17mm

Su 1000MPa 1000MPa 1000MPa 1000MPa 1000MPa 1000MPa Sy 800MPa 800MPa 800MPa 800MPa 800MPa 800MPa Se' 500MPa 500MPa 500MPa 500MPa 500MPa 500MPa Ka 0,271 0,271 0,271 0,271 0,271 0,271 Kb 0,849 0,849 0,855 0,855 0,897 0,918 Kc 1 1 1 1 1 1 Kd 1 1 1 1 1 1 Ke 0,814 0,814 0,814 0,814 0,814 0,814 Kf 1,6 1,6 1,605 1,605 1,381 1,541 Se 58,7MPa 58,7MPa 58,9MPa 58,9MPa 71,8MPa 65,8MPa Tm 48,74Nm 48,74Nm 48,74Nm 48,74Nm 48,74Nm 48,74Nm

MYZ 56,05Nm 67,25Nm 33,75Nm 31,41Nm 25,56Nm 10,24Nm MXZ 25,86Nm 28,11Nm 14,11Nm 13,13Nm 10,69Nm 4,28Nm Ma 61,73Nm 72,89Nm 36,58Nm 34,04Nm 27,71Nm 11,1Nm X 4 3,38 5,65 6,07 2,33 2,67



2.3. EJE DE SALIDA 2.3.1. DATOS INICIALES

20º

rr

ω

Fr

Ft

Cálculos para Ft y Fr:

Datos:

p

P=2200W

ω=124,04rpm

r =86,875mm

P 2200

T= = =169,37Nm2·πω 124,04·60

2 p 2p

T 169,37T=Ft ·r Ft = = =1949.58N

r 0,086875→

2 2

πFr =Ft ·tan 20· =709.59N

180

2 2t rF= F +F =2074,70N



2.3.2. DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS


A B B

a·F 0,05425·2074.70M 0 a·F-b·V =0 V = = =1034,01N

b 0,10885Σ = → →

A B A BΣF=0 V +V F=0 V =F-V =2074,70-1034,01=1040,69N→ − →

El eje se ve sometido por un par que actúa en el tramo que va desde el motor hasta la mitad del piñón, siendo este de 169,37Nm. A continuación se representan los diagramas de esfuerzos:


-0,05

0

0,05

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25


-2000

0

2000

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25


-100

-50

0

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

VA VB

F

a

b




0

100

200

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

2.3.3. CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE SEGURIDAD A FATIG A Esquema del eje con las secciones que se van a estudiar:


Sección 1 2 3 4 Diámetro 17mm 21mm 50mm 50mm

Su 1000MPa 1000MPa 1000MPa 1000MPa Sy 800MPa 800MPa 800MPa 800MPa Se' 500MPa 500MPa 500MPa 500MPa Ka 0,271 0,271 0,271 0,271 Kb 0,918 0,897 0,818 0,818 Kc 1 1 1 1 Kd 1 1 1 1 Ke 0,814 0,814 0,814 0,814 Kf 1,470 1,371 1,6 1,6 Se 69,1MPa 72,2MPa 56,5MPa 56,5MPa Tm 0 0 0 169,37Nm Ma 6,76Nm 19,7Nm 23,94Nm 56,46Nm X 7,23 3,327 28,95 12,01

3. DEFLEXIONES LATERALES Y ANGULARES Otro factor importante en el diseño de ejes es la rigidez. Una rigidez insuficiente, deflexiones excesivas, pueden dar lugar a un mal funcionamiento, y en consecuencia a una reducción de vida de los componentes soportados.



En general el cálculo de deflexiones laterales se puede abordar considerando el árbol como una viga y aplicando los métodos usuales de resistencia de materiales. La deflexión lateral máxima permitida es de 1mm/m de longitud del eje. La deflexión angular máxima ha de ser menor de 0,03rad. 3.1. DEFLEXIÓN LATERAL 3.1.1. EJE DE ENTRADA La máxima deformación lateral en el eje de intermedio se produce en la sección que dista 52,65mm del punto de aplicación de la reacción vertical en A y tiene un valor absoluto de -6y=1,409·10 m. Si se toma esta medida en mm y se divide por la longitud del eje en metros, se obtiene el siguiente valor de deflexión máxima para el eje de entrada:

-6 31,409·10 ·10y'= =0,0149mm/m

0,094

El cual ya es comparable a la deflexión lateral que se ha establecido como tope. Se observa que el eje cumple los requisitos impuestos:

0,0149mm/m 1mm/m≤ 3.1.2. EJE INTERMEDIO En el eje intermedio tenemos que calcular deflexiones en dos planos diferentes debido a las dos direcciones de transmisión de cargas. El primero es el plano en el que actúan las fuerzas radiales y el segundo es en el que actúan las fuerzas tangenciales. Por lo tanto hay que hacer una suma cuadrática de las deformaciones laterales en cada plano para obtener la deformación lateral total. Las deformaciones laterales máximas en ambos planos se produce en la sección que dista 18,5mm del punto de aplicación de la reacción vertical en A y tienen un valor de

-6y=1,639·10 m en el plano YZ y de -6y=1,265·10 men el plano XZ. El valor de deformación en el eje será:

( ) ( )2 2-6 -6 -6y= 1,639·10 + 1,265·10 =2.0704·10 m

Si se toma esta medida en mm y se divide por la longitud del eje en metros, se obtiene el siguiente valor de deflexión máxima para el eje de entrada:



-6 32.0704·10 ·10y'= =0,0087mm/m

0,237


0,0087mm/m 1mm/m≤ 3.1.3. EJE DE SALIDA La máxima deformación lateral en el eje de salida se produce en la sección que dista 23,5mm del punto de aplicación de la reacción vertical en A y tiene un valor absoluto de

-6y=1,461·10 m. Si se toma esta medida en mm y se divide por la longitud del eje en metros, se obtiene el siguiente valor de deflexión máxima para el eje de entrada:

-6 31,461·10 ·10y'= =0,0116mm/m

0,12585


0,0116mm/m 1mm/m≤ 3.2. DEFLEXIÓN ANGULAR 3.2.1. EJE DE ENTRADA La máxima deformación angular en el eje de entrada se produce en la última sección de aquellas que están sometidas a esfuerzos. Sección es la de aplicación de la reacción vertical B y tiene un valor absoluto de -6θ=6,856·10 rad. Si se compara con la deflexión lateral que se ha establecido como tope. Se observa que el eje cumple los requisitos impuestos:

-66,856·10 rad 0,03rad≤ 3.2.2. EJE INTERMEDIO En el eje intermedio tenemos que calcular deflexiones en dos planos diferentes debido a las dos direcciones de transmisión de cargas. El primero es el plano en el que actúan las fuerzas radiales y el segundo es en el que actúan las fuerzas tangenciales. Por lo tanto hay que hacer una suma las deformaciones angulares en cada plano para obtener la deformación angular total. Las deformaciones angulares máximas en ambos planos se producen en la última sección de aquellas que están sometidas a esfuerzos. Sección es la de aplicación de la



reacción vertical B y tiene un valor absoluto de -4YZθ =1,499·10 rad en el plano YZ y de

-4XZθ =-3,141·10 raden el plano XZ.

El valor de la deformación en el eje será:

-4 -4 -4YZ XZθ=θ +θ =1,499·10 -3,141·10 =-1,642·10 rad

Si se compara con la deflexión angular que se ha establecido como tope. Se observa que el eje cumple los requisitos impuestos:

-41,642·10 rad 0,03rad≤ 3.2.3. EJE DE SALIDA La máxima deformación angular en el eje de salida se produce en la última sección de aquellas que están sometidas a esfuerzos. Sección es la de aplicación de la reacción vertical B y tiene un valor absoluto de -5θ=3,483·10 rad. Si se compara con la deflexión lateral que se ha establecido como tope. Se observa que el eje cumple los requisitos impuestos:

-53,483·10 rad 0,03rad≤ 4. ELECCIÓN DE LOS RODAMIENTOS Para calcular los rodamientos vamos a usar el catálogo informático de SKF. El cálculo se realiza hallando un valor de C* y comparándolo con el valor de C de los distintos rodamientos de los que se dispone en los catálogos en función del diámetro interior de dichos rodamientos. La fórmula que se usa es:

q

1 23 10 1 23eq

C*L=a ·a ·L =a ·a ·

F

Siendo cada valor:

a1: Coeficiente de fiabilidad. Para una fiabilidad del 99 %, el valor de a1 es 0,33.

a23: Coeficiente por condiciones de trabajo. Este coeficiente se utiliza para mitigar los efectos de la lubricación inadecuada. En función del diámetro medio del rodamiento escogido y del régimen de trabajo se obtiene la viscosidad relativa ν1. El cociente de la viscosidad del aceite y la viscosidad relativa nos da el valor de k con el que se obtiene el valor de a23.



Feq: Fuerza transmitida equivalente. En caso de tener engranajes de dientes

rectos, no hay fuerza axial, por lo que toda la fuerza que recibe el rodamiento coincidirá con la reacción que hemos calculado en apartados anteriores de este documento multiplicada por un factor de servicio que es 2,5 en el caso de un rodamiento de bolas y 1,7 en el caso de ser un rodamiento de rodillos. Esto se hace para tener en consideración los impactos que puede producir la máquina arrastrada y que pueden aumentar el valor de la fuerza equivalente.

q: Constante que va en función del tipo de rodamiento. Siendo q = 3 para

rodamientos de bolas y q = 10/3 para rodamientos de rodillos.

C*: Capacidad de carga dinámica. Relaciona la fuerza transmitida equivalente con la vida en revoluciones del rodamiento.

Para todos los rodamientos, vamos a tomar una vida en horas H de 18000 horas, ya que de esta forma, cuando haya que sustituir los rodamientos, se sustituyan todos a la vez. Todos los datos son conocidos o se pueden deducir, excepto la carga dinámica, que será el parámetro a despejar y consecuentemente el dato de comparación para buscar en los catálogos de rodamientos aquel que sea más adecuado. Por lo tanto despejamos en función de C*:

q

q1 23 eq

eq 1 23

C* LL=a ·a · C*=F ·

F a ·a

→

4.1. ELECCIÓN DE LOS RODAMIENTOS DEL EJE DE ENTRADA Primer Rodamiento (Bolas):

q q 3eq eq 6

1 23 1 23

L ω·H 1500·18000·60C*=F · =F · =2,5·263,68· =8254,76N

a ·a a ·a 0,33·2,5·10

Por lo tanto, seleccionaremos un rodamiento SKF 16006 Y cuya C es 11,9kN, que es la inmediatamente superior a C* que hemos calculado. Características del rodamiento:



Segundo Rodamiento (Rodillos):

q q 10/3eq eq 6

1 23 1 23

L ω·H 1500·18000·60C*=F · =F · =1,7·332,52· =5497,75N

a ·a a ·a 0,33·2,5·10

Por lo tanto, seleccionaremos un rodamiento SKF N 203 ECP y cuya C es 17,2kN, que es la inmediatamente superior a C* que hemos calculado. Características del rodamiento:

4.2. ELECCIÓN DE LOS RODAMIENTOS DEL EJE INTERMEDIO Primer Rodamiento (Bolas)



2 2q q 3eq eq 6

1 23 1 23

L ω·H 432·18000·60C*=F · =F · =2,5· 73,37 302,01 · =7168,92N

a ·a a ·a 0,33·2,5·10+


Segundo Rodamiento (Rodillos):

2 2q q 10/3eq eq 6

1 23 1 23

L ω·H 432·18000·60C*=F · =F · =1,7· 1462,71 611,50 · =20081,30N

a ·a a ·a 0,33·1,75·10+

Por lo tanto, seleccionaremos un rodamiento SKF N 303 ECP Y cuya C es 24,6kN, que es la inmediatamente superior a C* que hemos calculado.



Características del rodamiento:

4.3. ELECCIÓN DE LOS RODAMIENTOS DEL EJE DE SALIDA Primer Rodamiento (Rodillos):

q q 10/3eq eq 6

1 23 1 23

L ω·H 124,04·18000·60C*=F · =F · =1,7·1040,69· =7234,10N

a ·a a ·a 0,33·0,8·10

Por lo tanto, seleccionaremos un rodamiento SKF N 203 ECP Y cuya C es 17,2kN, que es la inmediatamente superior a C* que hemos calculado. Características del rodamiento:



Segundo Rodamiento (Bolas):

q q 3eq eq 6

1 23 1 23

L ω·H 124,04·18000·60C*=F · =F · =2,5·1034,01· =18269,3N

a ·a a ·a 0,33·1,15·10


5. OTROS ELEMENTOS En este apartado se detallarán cómo van a ser las uniones a torsión de los engranajes con el eje y los elementos de fijación axial y separación de los engranajes a lo largo de los ejes. El elemento de unión a torsión elegido es la chaveta, para fijar axialmente se emplearán arandelas elásticas o los propios cambios de sección del eje y para separar axialmente se usarán casquillos separadores. 5.1. EJE DE ENTRADA 5.1.1. UNIONES A TORSIÓN. CHAVETAS Las chavetas son los elementos encargados de unir a torsión los engranajes a sus respectivos árboles. La longitud de la chaveta debe ser de al menos 1,25 veces el diámetro del eje. Según esto, para el eje de entrada tendremos una chaveta de 37,5mm y según la tabla de medidas de chavetas que aparece en la norma DIN 6885:



Sección: bxh=8x7mm

Profundidad en el eje: +0,20

1h =4 mm

Profundidad en el cubo: +0,20

2h =3,3 mm

5.1.2. FIJACIÓN AXIAL DE LOS ELEMENTOS Para posicionar axialmente los componentes montados sobre los árboles y ejes se utilizan arandelas elásticas, cambios de sección y casquillos. Se enumerarán a continuación todos los elementos que se han empleado para fijar axialmente todos los elementos del eje de entrada. Arandelas elásticas: Arandela 1

Para fijar el rodamiento de bolas por la izquierda.

Diámetro del eje: d=30mm Diámetro interior (rebaje en el eje): g=28,6mm Espesor del anillo (h11): e=1,5mm

Arandela 2

Para fijar el rodamiento de rodillos por la derecha

Diámetro del eje: d=17mm Diámetro interior (rebaje en el eje): g=16,2mm Espesor del anillo (h11): e=1mm

Casquillo espaciador (entre el rodamiento de bolas y el engranaje 1)

Diámetro interior: 30mm Diámetro exterior: 34mm Longitud: 29,4mm

Finalmente, para fijar el engranaje 1 por la derecha y el rodamiento de rodillos por la izquierda, se hará mediante cambios de sección del propio eje, siendo de 5mm y 2mm en radio respectivamente. La altura de los resaltes en los ejes, altura de los casquillos espaciadores y los radios de acuerdo en los cambios de sección necesarios para el posicionamiento y apoyo axial de los rodamientos, se han realizado siguiendo las indicaciones que se muestran en el catálogo de rodamientos SKF.



5.2. EJE INTERMEDIO 5.2.1. UNIONES A TORSIÓN. CHAVETAS Las chavetas son los elementos encargados de unir a torsión los engranajes a sus respectivos árboles. La longitud de la chaveta debe ser de al menos 1,25 veces el diámetro del eje. Según esto, para el eje intermedio tendremos una chaveta de 43,75mm y según la tabla de medidas de chavetas que aparece en la norma DIN 6885:

Sección: bxh=10x8mm


1h =5 mm


2h =3,3 mm

5.2.2. FIJACIÓN AXIAL DE LOS ELEMENTOS Se enumerarán a continuación todos los elementos que se han empleado para fijar axialmente todos los elementos del eje intermedio. Arandelas elásticas: Arandela 1



Arandela 2

Para fijar el engranaje 2 por la izquierda.

Diámetro del eje: d=35mm Diámetro interior (rebaje en el eje): g=33mm Espesor del anillo (h11): e=1,5mm

Arandela 3

Para fijar el engranaje 3 por la derecha.

Diámetro del eje: d=35mm Diámetro interior (rebaje en el eje): g=33mm Espesor del anillo (h11): e=1,5mm



Arandela 4

Para fijar el rodamiento de rodillos por la derecha.


Para fijar el engranaje 2 por la derecha, el engranaje 3 por la izquierda, se hará mediante un cambio de sección del propio eje, añadiendo en radio 5mm. Para fijar el rodamiento de bolas por la derecha y el rodamiento de rodillos por la izquierda se hará mediante un cambio de sección en el propio eje, añadiendo hasta un total en diámetro de 4mm. La altura de los resaltes en los ejes, altura de los casquillos espaciadores y los radios de acuerdo en los cambios de sección necesarios para el posicionamiento y apoyo axial de los rodamientos, se han realizado siguiendo las indicaciones que se muestran en el catálogo de rodamientos SKF. 5.3. EJE DE SALIDA 5.3.1. UNIONES A TORSIÓN. CHAVETAS La longitud de la chaveta debe ser de al menos 1,25 veces el diámetro del eje. Según esto, para el eje de salida tendremos una chaveta de 62,5mm y según la tabla de medidas de chavetas que aparece en la norma DIN 6885:

Sección: bxh=14x9mm


1h =5,5 mm


2h =3,8 mm

5.3.2. FIJACIÓN AXIAL DE LOS ELEMENTOS Se enumerarán a continuación todos los elementos que se han empleado para fijar axialmente todos los elementos del eje de salida. Arandelas elásticas: Arandela 1





Arandela 2

Para fijar el rodamiento de rodillos por la derecha

Diámetro del eje: d=50mm Diámetro interior (rebaje en el eje): g=47mm Espesor del anillo (h11): e=2mm

Casquillo espaciador (entre el rodamiento de bolas y el engranaje 1)

Diámetro interior: 50mm Diámetro exterior: 54mm Longitud: 18,35mm

Finalmente, para fijar el engranaje 4 por la izquierda y el rodamiento de rodillos por la derecha, se hará mediante cambios de sección del propio eje, siendo de 5mm y 2mm en radio respectivamente. La altura de los resaltes en los ejes, altura de los casquillos espaciadores y los radios de acuerdo en los cambios de sección necesarios para el posicionamiento y apoyo axial de los rodamientos, se han realizado siguiendo las indicaciones que se muestran en el catálogo de rodamientos SKF.

Documents

2.-Anejo de Cálculos