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[1-4]
� � � ² − � � ² = � � − � ℎ� � � � � � .
Problème
Dans un repère orthonormé ℛ = (0; � ,⃗ �⃗), on considère
les points : � (1; 3) et � (7; 6).
On note (� ) l’ensemble des points � du plan tels que :
4� � ² − � � � = 15
On se propose de déterminer la nature de (� ) par deux
méthodes différentes.
Méthode I Géométrie analytique
1. Soit � (� ; � ) un point quelconque.
Exprimer � � ² et � � ² en fonction de � et � , sans
chercher à développer les expressions obtenues.
2. On considère le programme :
For(X,-10,10,1)
For(Y,-10,10,1)
(X-1)²+(Y-3)²R
(X-7)²+(Y-6)²S
4*R-ST
If T=15
Then
Disp « X= »,X
Disp « Y= »,Y
Pause
End
End
End
a. Que représentent respectivement � , � et � dans ce
programme ?
Que représentent les valeurs de X et Y
affichées par ce programme ?
b. Entrer le programme sur la calculatrice et le faire
tourner. En déduire quelques points appartenant à
(� ), et les reporter sur la figure ci-dessous :
Emettre une conjecture sur la nature de (� ).
3. Montrer qu’avec les notations de l’exercice,
on a :
� (� ; � ) ∈ (� ) ⇔ � � + � � + 2� − 4� = 20
4. a. Donner la forme canonique de � � + 2� .
b. Donner la forme canonique de � � − 4� .
c. Déduire des questions précédentes qu’une
équation de (� ) est :
(� + 1)� + (� − 2)� = 5²
5. Déduire de 4. c. la nature et les éléments
caractéristiques de (� ).
Méthode II Géométrie vectorielle
1. Démontrer que pour tout point � du plan :
4� � ² − � � � = � 2� �� � � � � � ⃗ + � �� � � � � � ⃗ � . (2� �� � � � � � ⃗ − � �� � � � � � ⃗)
2. Soit � le point du plan tel que : � �� � � � � ⃗ =�
�� �� � � � � ⃗.
a. Montrer que : 2� �� � � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗ = 0� ⃗
b. En déduire que pour tout point � du plan :
2� �� � � � � � ⃗ + � �� � � � � � ⃗ = 3� �� � � � � � ⃗
3. Soit � le symétrique de � par rapport à � .
a. Montrer que : 2� �� � � � � ⃗ − � �� � � � � ⃗ = 0� ⃗
b. En déduire que pour tout point � du plan :
2� �� � � � � � ⃗ − � �� � � � � � ⃗ = � �� � � � � � ⃗
4. Montrer que, avec les notations de l’exercice :
� ∈ (� ) ⇔ � �� � � � � � ⃗. � �� � � � � � ⃗ = 5
5. Soit � le milieu de [� � ].
a. Placer � , � , � sur la figure.
b. Calculer les coordonnées de � , � et � .
c. Vérifier que : � � = √20.
d. Montrer qu’avec les notations de l’exercice :
� �� � � � � � ⃗. � �� � � � � � ⃗ = 5 ⇔ � � = 5
6. Préciser la nature et les éléments caractéristiques
de (� ).
1S
Fin
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[2-4]
Corrigé
� (1; 3) et � (7; 6) ; (� ) : 4� � ² − � � � = 15
Méthode I Géométrie analytique
1. Soit � (� ; � ) un point quelconque.
Exprimer � � ² et � � ² en fonction de � et � .
Le repère ℛ est orthonormé, donc :
� � ² = (� � − � � )� + (� � − � � )²
Comme � (� ; � ) et � (1; 3), on obtient :
� � ² = (� − 1) � + (� − 3)²
De même :
� � ² = (� � − � � )� + (� � − � � )²
puis :
� � ² = (� − 7) � + (� − 6)²
2.
For(X,-10,10,1)
For(Y,-10,10,1)
(X-1)²+(Y-3)²R
(X-7)²+(Y-6)²S
4*R-ST
If T=15
Then
Disp « X= »,X
Disp « Y= »,Y
Pause
End
End
End
a. En convenant que X et Y représentent les
coordonnées d’un point � dans le repère ℛ, on
reconnait que R représente � � ², S représente � � ²
et T représente 4� � ² − � � ².
Les nombres affichés par le programme sont les
abscisses et ordonnées des points de (� ) dont les
coordonnées sont des nombres entiers compris, au
sens large, entre −10 et 10.
b. En faisant tourner le programme, on obtient :
X −6 −5 −5 −4 −4 −1Y 2 −1 5 −2 6 −3
X −1 2 2 3 3 4Y 7 −2 6 −1 5 2
On peut raisonnablement penser que l’ensemble
(� ) est un cercle, de centre Ω(−1; 2) et de rayon 5.
3. Montrer qu’avec les notations de l’exercice,
on a :
� (� ; � ) ∈ (� ) ⇔ � � + � � + � � − � � = � �
On a, avec les notations de l’exercice :
� (� ; � ) ∈ (� )
⇔ 4� � ² − � � � = 15
⇔ 4[(� − 1) � + (� − 3)� ] − [(� − 7) � + (� − 6) � ]
= 15
⇔ 4[� � − 2� + 1 + � � − 6� + 9]
− [� � − 14� + 49 + � � − 12�
+ 36] = 15
⇔ 4(� � + � � − 2� − 6� + 10)
− (� � + � � − 14� − 12� + 85)
= 15
⇔ 4� ² + 4� ² − 8� − 24� + 40 − � � − � � + 14�
+ 12� − 85 = 15
⇔ 3� ² + 3� ² + 6� − 12� − 45 = 15
⇔ 3(� � + � � + 2� − 4� − 15) = 3 × 5
⇔ � ² + � ² + 2� − 4� − 15 = 5
⇔ � ² + � ² + 2� − 4� = 20
4. a. Donner la forme canonique de � � + � � .
On a : � ² + 2� = (� + 1) � − 1.
b. Donner la forme canonique de � � − � � .
On a : � ² − 4� = (� − 2) � − 4.
c. Déduire des questions précédentes qu’une
équation de (� ) est :
(� + � )� + (� − � ) � = � ²
D’après la question 3. , une équation de (� )
est : � ² + � ² + 2� − 4� = 20
⇔ � ² + 2� + � ² − 4� = 20
⇔ (� + 1) � − 1 + (� − 2)� − 4 = 20
⇔ (� + 1) � + (� − 2) � = 25
⇔ (� + 1) � + (� − 2) � = 5²
5. Déduire de 4. c. la nature et les éléments
caractéristiques de (� ).
L’équation (� + 1) � + (� − 2) � = 5² est de la
forme (� − � � )� + (� − � � ) � = � ², avec � � = −1,
� � = 2 et � = 5, donc (� ) est le cercle de centre
Ω(−1; 2) et de rayon � = 5.
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[3-4]
Méthode II Géométrie vectorielle
1. Démontrer que pour tout point � du plan :
� � � ² − � � � = � � � �� � � � � � � ⃗+ � �� � � � � � � ⃗ � . (� � �� � � � � � � ⃗− � �� � � � � � � ⃗)
On a :
4� � � − � � �
= (2� � ) � − � � �
= (2� �� � � � � � ⃗ + � �� � � � � � ⃗)(2� �� � � � � � ⃗ − � �� � � � � � ⃗)
2. Soit � le point du plan tel que : � �� � � � � ⃗ =�
�� �� � � � � � ⃗.
a. Montrer que : � � �� � � � � ⃗ + � �� � � � � � ⃗ = �� � ⃗
� �� � � � � ⃗ =1
3� �� � � � � ⃗
⇔ 3� �� � � � � ⃗ = � �� � � � � ⃗
⇔ 3� �� � � � � ⃗ = � �� � � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗(� ℎ� � � � � )
⇔ 3� �� � � � � ⃗ − � �� � � � � ⃗ − � �� � � � � ⃗ = 0� ⃗
⇔ 2� �� � � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗ = 0� ⃗
b. En déduire que pour tout point � du plan :
� � �� � � � � � � ⃗ + � �� � � � � � � ⃗ = � � �� � � � � � � ⃗
Pour tout point � du plan :
2� �� � � � � � ⃗ + � �� � � � � � ⃗
= 2� AG� � � � � ⃗ + GM� � � � � � ⃗ � + BG� � � � � ⃗ + GM� � � � � � ⃗
= 2AG� � � � � ⃗ + 2GM� � � � � � ⃗ + BG� � � � � ⃗ + GM� � � � � � ⃗
= 2AG� � � � � ⃗ + BG� � � � � ⃗ + 3GM� � � � � � ⃗
Or, on a montré à la question précédente que :
2� �� � � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗ = 0� ⃗
Donc :
2� �� � � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗ + 3� �� � � � � � ⃗ = 3GM� � � � � � ⃗
Finalement, pour tout point � du plan :
2� �� � � � � � ⃗ + � �� � � � � � ⃗ = 3� �� � � � � � ⃗
3. Soit � le symétrique de � par rapport à � .
a. Montrer que : � � �� � � � � ⃗ − � �� � � � � � ⃗ = �� � ⃗
� est le symétrique de � par rapport à �
⇔ � est le milieu de [� � ]
⇔ � �� � � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗ = 0� ⃗
⇔ � �� � � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗ = 0� ⃗ (� ℎ� � � � � )
⇔ 2� �� � � � � ⃗ − � �� � � � � ⃗ = 0� ⃗
b. En déduire que pour tout point � du plan :
� � �� � � � � � � ⃗ − � �� � � � � � � ⃗ = � �� � � � � � ⃗
Pour tout point � du plan, on a :
2� �� � � � � � ⃗ − � �� � � � � � ⃗
= 2� � �� � � � � ⃗ + � �� � � � � � ⃗ � − � � �� � � � � ⃗ + � �� � � � � � ⃗ �
= 2� �� � � � � ⃗ + 2� �� � � � � � ⃗ − � �� � � � � ⃗ − � �� � � � � � ⃗
= 2� �� � � � � ⃗ − � �� � � � � ⃗ + 2� �� � � � � � ⃗ − � �� � � � � � ⃗
Or, on a montré à la question précédente,
que : 2� �� � � � � ⃗ − � �� � � � � ⃗ = 0� ⃗
Donc :
2� �� � � � � ⃗ − � �� � � � � ⃗ + � �� � � � � � ⃗
= 0� ⃗ + � �� � � � � � ⃗
= � �� � � � � � ⃗
On a donc bien, pour tout point � du plan :
2� �� � � � � � ⃗ − � �� � � � � � ⃗ = � �� � � � � � ⃗
4. Montrer que, avec les notations de l’énoncé :
� ∈ (� ) ⇔ � �� � � � � � ⃗. � �� � � � � � ⃗ = 5
� ∈ (� )
⇔ � 2� �� � � � � � ⃗ + � �� � � � � � ⃗ � � 2� �� � � � � � ⃗ − � �� � � � � � ⃗ � = 15
⇔ 3� �� � � � � � ⃗. � �� � � � � � ⃗ = 15
⇔ � �� � � � � � ⃗. � �� � � � � � ⃗ =15
3
⇔ � �� � � � � � ⃗. � �� � � � � � ⃗ = 5
5. Soit � le milieu de [� � ].
a. Placer � , � , � sur la figure
b. Calculer les coordonnées de � , � et � .
Coordonnées de�
On a, par définition de � : � �� � � � � ⃗ =�
�� �� � � � � ⃗
Donc :
�� � �� � � � � ⃗ =
�
�× � � �� � � � � ⃗
� � �� � � � � ⃗ =�
�× � � �� � � � � ⃗
�� � − � � =
�
�( � � − � � )
� � − � � =�
�( � � − � � )
Comme � � = 1, � � = 3, � � = 7 et � � = 6,
on obtient : �� � − 1 =
�
�× (7 − 1)
� � − 3 =�
�× (6 − 3)
�� � =
�
�+ 1
� � =�
�+ 3
�� � = 3� � = 4
Le point � est le symétrique de � pr rapport à
Il est bien entendu recommandé de vérifier
sur la figure les coordonnées du point � et
des suivants ..
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[4-4]
Coordonnées de�
Par définition, � est le symétrique de � par
rapport à � , donc � est le milieu de [� � ].
On en déduit :
�� � =
� � + � �2
� � =� � + � �
2
⇔ �2� � − � � = � �2� � − � � = � �
Comme � � = 1, � � = 3, � � = 7 et � � = 6, on
obtient :
�� � = 2(1) − 7
� � = 2(3) − 6⇔ �
� � = −5� � = 0
Coordonnées de�
Par définition, � est le milieu de [� � ]
⇔ �� � =
� � � � �
�
� � =� � � � �
�
Or, on a montré que :
� � = −5, � � = 0, � � = 3 et � � = 4,
donc on obtient :
�� � =
� � � �
�
� � =� � �
�
⇔ �� � = −1� � = 2
c. Vérifier que : � � = √ � �
Le repère ℛ est orthonormé, donc on a :
� � = � (� � − � � )� + ( � � − � � )
�
puis, avec les coordonnées de � et � obtenues
à la question précédente :
� � = � (−5 + 1)� + (0 − 2)²
⇔ � � = � (−4)� + (−2)²
⇔ � � = √16 + 4
⇔ � � = √20
d. Montrer qu’avec les notations de l’exercice :
� �� � � � � � � ⃗. � �� � � � � � ⃗ = � ⇔ � � = �
Avec les notations de l’exercice, on a :
� �� � � � � � ⃗. � �� � � � � � ⃗ = 5
⇔ � � �� � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗ � . � � �� � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗ � = 5
⇔ � �� � � � ⃗. � �� � � � ⃗ + � �� � � � ⃗. � �� � � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗. � �� � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗. � �� � � � � ⃗ = 5
⇔ −� � � + � �� � � � � ⃗. � � �� � � � ⃗ + � �� � � � ⃗ � + � � � = 5
⇔ −� √20 ��+ � �� � � � � ⃗. � � ⃗ + � � � = 5
⇔ −20 + � � � = 5
⇔ � � � = 25
⇔ � � = √25
⇔ � � = 5
Préciser la nature et les éléments caractéristiques de
(� ).
(� ) est l’ensemble des points � du plan tels que :
� � = 5, c’est donc le cercle de centre � et de rayon 5.
figure récapitulative
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