4
[1-4] ²− ²= −ℎ . Problème Dans un repère orthonormé ℛ = (0; , ), on considère les points : (1; 3) et (7; 6). On note ( ) l’ensemble des points du plan tels que : 4 ²− = 15 On se propose de déterminer la nature de ( ) par deux méthodes différentes. Méthode I Géométrie analytique 1. Soit ( ; ) un point quelconque. Exprimer ² et ² en fonction de et , sans chercher à développer les expressions obtenues. 2. On considère le programme : For(X,-10,10,1) For(Y,-10,10,1) (X-1)²+(Y-3)²R (X-7)²+(Y-6)²S 4*R-ST If T=15 Then Disp « X= »,X Disp « Y= »,Y Pause End End End a. Que représentent respectivement , et dans ce programme ? Que représentent les valeurs de X et Y affichées par ce programme ? b. Entrer le programme sur la calculatrice et le faire tourner. En déduire quelques points appartenant à ( ), et les reporter sur la figure ci-dessous : Emettre une conjecture sur la nature de ( ). 3. Montrer qu’avec les notations de l’exercice, on a : ( ; ) ( ) + + 2 − 4 = 20 4. a. Donner la forme canonique de + 2 . b. Donner la forme canonique de − 4 . c. Déduire des questions précédentes qu’une équation de ( ) est : ( +1) +( −2) = 5² 5. Déduire de 4. c. la nature et les éléments caractéristiques de ( ). Méthode II Géométrie vectorielle 1. Démontrer que pour tout point du plan : 4 ²− = 2 + . (2 ) 2. Soit le point du plan tel que : = . a. Montrer que : 2 + =0 b. En déduire que pour tout point du plan : 2 + =3 3. Soit le symétrique de par rapport à . a. Montrer que : 2 =0 b. En déduire que pour tout point du plan : 2 = 4. Montrer que, avec les notations de l’exercice : ( ) . =5 5. Soit le milieu de [ ]. a. Placer , , sur la figure. b. Calculer les coordonnées de , et . c. Vérifier que : = 20 . d. Montrer qu’avec les notations de l’exercice : . =5⇔ =5 6. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de ( ). 1S Fin MathsEnClair.com - Tous droits réservés

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[1-4]

� � � ² − � � ² = � � − � ℎ� � � � � � .

Problème

Dans un repère orthonormé ℛ = (0; � ,⃗ �⃗), on considère

les points : � (1; 3) et � (7; 6).

On note (� ) l’ensemble des points � du plan tels que :

4� � ² − � � � = 15

On se propose de déterminer la nature de (� ) par deux

méthodes différentes.

Méthode I Géométrie analytique

1. Soit � (� ; � ) un point quelconque.

Exprimer � � ² et � � ² en fonction de � et � , sans

chercher à développer les expressions obtenues.

2. On considère le programme :

For(X,-10,10,1)

For(Y,-10,10,1)

(X-1)²+(Y-3)²R

(X-7)²+(Y-6)²S

4*R-ST

If T=15

Then

Disp « X= »,X

Disp « Y= »,Y

Pause

End

End

End

a. Que représentent respectivement � , � et � dans ce

programme ?

Que représentent les valeurs de X et Y

affichées par ce programme ?

b. Entrer le programme sur la calculatrice et le faire

tourner. En déduire quelques points appartenant à

(� ), et les reporter sur la figure ci-dessous :

Emettre une conjecture sur la nature de (� ).

3. Montrer qu’avec les notations de l’exercice,

on a :

� (� ; � ) ∈ (� ) ⇔ � � + � � + 2� − 4� = 20

4. a. Donner la forme canonique de � � + 2� .

b. Donner la forme canonique de � � − 4� .

c. Déduire des questions précédentes qu’une

équation de (� ) est :

(� + 1)� + (� − 2)� = 5²

5. Déduire de 4. c. la nature et les éléments

caractéristiques de (� ).

Méthode II Géométrie vectorielle

1. Démontrer que pour tout point � du plan :

4� � ² − � � � = � 2� �� � � � � � ⃗ + � �� � � � � � ⃗ � . (2� �� � � � � � ⃗ − � �� � � � � � ⃗)

2. Soit � le point du plan tel que : � �� � � � � ⃗ =�

�� �� � � � � ⃗.

a. Montrer que : 2� �� � � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗ = 0� ⃗

b. En déduire que pour tout point � du plan :

2� �� � � � � � ⃗ + � �� � � � � � ⃗ = 3� �� � � � � � ⃗

3. Soit � le symétrique de � par rapport à � .

a. Montrer que : 2� �� � � � � ⃗ − � �� � � � � ⃗ = 0� ⃗

b. En déduire que pour tout point � du plan :

2� �� � � � � � ⃗ − � �� � � � � � ⃗ = � �� � � � � � ⃗

4. Montrer que, avec les notations de l’exercice :

� ∈ (� ) ⇔ � �� � � � � � ⃗. � �� � � � � � ⃗ = 5

5. Soit � le milieu de [� � ].

a. Placer � , � , � sur la figure.

b. Calculer les coordonnées de � , � et � .

c. Vérifier que : � � = √20.

d. Montrer qu’avec les notations de l’exercice :

� �� � � � � � ⃗. � �� � � � � � ⃗ = 5 ⇔ � � = 5

6. Préciser la nature et les éléments caractéristiques

de (� ).

1S

Fin

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[2-4]

Corrigé

� (1; 3) et � (7; 6) ; (� ) : 4� � ² − � � � = 15

Méthode I Géométrie analytique

1. Soit � (� ; � ) un point quelconque.

Exprimer � � ² et � � ² en fonction de � et � .

Le repère ℛ est orthonormé, donc :

� � ² = (� � − � � )� + (� � − � � )²

Comme � (� ; � ) et � (1; 3), on obtient :

� � ² = (� − 1) � + (� − 3)²

De même :

� � ² = (� � − � � )� + (� � − � � )²

puis :

� � ² = (� − 7) � + (� − 6)²

2.

For(X,-10,10,1)

For(Y,-10,10,1)

(X-1)²+(Y-3)²R

(X-7)²+(Y-6)²S

4*R-ST

If T=15

Then

Disp « X= »,X

Disp « Y= »,Y

Pause

End

End

End

a. En convenant que X et Y représentent les

coordonnées d’un point � dans le repère ℛ, on

reconnait que R représente � � ², S représente � � ²

et T représente 4� � ² − � � ².

Les nombres affichés par le programme sont les

abscisses et ordonnées des points de (� ) dont les

coordonnées sont des nombres entiers compris, au

sens large, entre −10 et 10.

b. En faisant tourner le programme, on obtient :

X −6 −5 −5 −4 −4 −1Y 2 −1 5 −2 6 −3

X −1 2 2 3 3 4Y 7 −2 6 −1 5 2

On peut raisonnablement penser que l’ensemble

(� ) est un cercle, de centre Ω(−1; 2) et de rayon 5.

3. Montrer qu’avec les notations de l’exercice,

on a :

� (� ; � ) ∈ (� ) ⇔ � � + � � + � � − � � = � �

On a, avec les notations de l’exercice :

� (� ; � ) ∈ (� )

⇔ 4� � ² − � � � = 15

⇔ 4[(� − 1) � + (� − 3)� ] − [(� − 7) � + (� − 6) � ]

= 15

⇔ 4[� � − 2� + 1 + � � − 6� + 9]

− [� � − 14� + 49 + � � − 12�

+ 36] = 15

⇔ 4(� � + � � − 2� − 6� + 10)

− (� � + � � − 14� − 12� + 85)

= 15

⇔ 4� ² + 4� ² − 8� − 24� + 40 − � � − � � + 14�

+ 12� − 85 = 15

⇔ 3� ² + 3� ² + 6� − 12� − 45 = 15

⇔ 3(� � + � � + 2� − 4� − 15) = 3 × 5

⇔ � ² + � ² + 2� − 4� − 15 = 5

⇔ � ² + � ² + 2� − 4� = 20

4. a. Donner la forme canonique de � � + � � .

On a : � ² + 2� = (� + 1) � − 1.

b. Donner la forme canonique de � � − � � .

On a : � ² − 4� = (� − 2) � − 4.

c. Déduire des questions précédentes qu’une

équation de (� ) est :

(� + � )� + (� − � ) � = � ²

D’après la question 3. , une équation de (� )

est : � ² + � ² + 2� − 4� = 20

⇔ � ² + 2� + � ² − 4� = 20

⇔ (� + 1) � − 1 + (� − 2)� − 4 = 20

⇔ (� + 1) � + (� − 2) � = 25

⇔ (� + 1) � + (� − 2) � = 5²

5. Déduire de 4. c. la nature et les éléments

caractéristiques de (� ).

L’équation (� + 1) � + (� − 2) � = 5² est de la

forme (� − � � )� + (� − � � ) � = � ², avec � � = −1,

� � = 2 et � = 5, donc (� ) est le cercle de centre

Ω(−1; 2) et de rayon � = 5.

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[3-4]

Méthode II Géométrie vectorielle

1. Démontrer que pour tout point � du plan :

� � � ² − � � � = � � � �� � � � � � � ⃗+ � �� � � � � � � ⃗ � . (� � �� � � � � � � ⃗− � �� � � � � � � ⃗)

On a :

4� � � − � � �

= (2� � ) � − � � �

= (2� �� � � � � � ⃗ + � �� � � � � � ⃗)(2� �� � � � � � ⃗ − � �� � � � � � ⃗)

2. Soit � le point du plan tel que : � �� � � � � ⃗ =�

�� �� � � � � � ⃗.

a. Montrer que : � � �� � � � � ⃗ + � �� � � � � � ⃗ = �� � ⃗

� �� � � � � ⃗ =1

3� �� � � � � ⃗

⇔ 3� �� � � � � ⃗ = � �� � � � � ⃗

⇔ 3� �� � � � � ⃗ = � �� � � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗(� ℎ� � � � � )

⇔ 3� �� � � � � ⃗ − � �� � � � � ⃗ − � �� � � � � ⃗ = 0� ⃗

⇔ 2� �� � � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗ = 0� ⃗

b. En déduire que pour tout point � du plan :

� � �� � � � � � � ⃗ + � �� � � � � � � ⃗ = � � �� � � � � � � ⃗

Pour tout point � du plan :

2� �� � � � � � ⃗ + � �� � � � � � ⃗

= 2� AG� � � � � ⃗ + GM� � � � � � ⃗ � + BG� � � � � ⃗ + GM� � � � � � ⃗

= 2AG� � � � � ⃗ + 2GM� � � � � � ⃗ + BG� � � � � ⃗ + GM� � � � � � ⃗

= 2AG� � � � � ⃗ + BG� � � � � ⃗ + 3GM� � � � � � ⃗

Or, on a montré à la question précédente que :

2� �� � � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗ = 0� ⃗

Donc :

2� �� � � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗ + 3� �� � � � � � ⃗ = 3GM� � � � � � ⃗

Finalement, pour tout point � du plan :

2� �� � � � � � ⃗ + � �� � � � � � ⃗ = 3� �� � � � � � ⃗

3. Soit � le symétrique de � par rapport à � .

a. Montrer que : � � �� � � � � ⃗ − � �� � � � � � ⃗ = �� � ⃗

� est le symétrique de � par rapport à �

⇔ � est le milieu de [� � ]

⇔ � �� � � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗ = 0� ⃗

⇔ � �� � � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗ = 0� ⃗ (� ℎ� � � � � )

⇔ 2� �� � � � � ⃗ − � �� � � � � ⃗ = 0� ⃗

b. En déduire que pour tout point � du plan :

� � �� � � � � � � ⃗ − � �� � � � � � � ⃗ = � �� � � � � � ⃗

Pour tout point � du plan, on a :

2� �� � � � � � ⃗ − � �� � � � � � ⃗

= 2� � �� � � � � ⃗ + � �� � � � � � ⃗ � − � � �� � � � � ⃗ + � �� � � � � � ⃗ �

= 2� �� � � � � ⃗ + 2� �� � � � � � ⃗ − � �� � � � � ⃗ − � �� � � � � � ⃗

= 2� �� � � � � ⃗ − � �� � � � � ⃗ + 2� �� � � � � � ⃗ − � �� � � � � � ⃗

Or, on a montré à la question précédente,

que : 2� �� � � � � ⃗ − � �� � � � � ⃗ = 0� ⃗

Donc :

2� �� � � � � ⃗ − � �� � � � � ⃗ + � �� � � � � � ⃗

= 0� ⃗ + � �� � � � � � ⃗

= � �� � � � � � ⃗

On a donc bien, pour tout point � du plan :

2� �� � � � � � ⃗ − � �� � � � � � ⃗ = � �� � � � � � ⃗

4. Montrer que, avec les notations de l’énoncé :

� ∈ (� ) ⇔ � �� � � � � � ⃗. � �� � � � � � ⃗ = 5

� ∈ (� )

⇔ � 2� �� � � � � � ⃗ + � �� � � � � � ⃗ � � 2� �� � � � � � ⃗ − � �� � � � � � ⃗ � = 15

⇔ 3� �� � � � � � ⃗. � �� � � � � � ⃗ = 15

⇔ � �� � � � � � ⃗. � �� � � � � � ⃗ =15

3

⇔ � �� � � � � � ⃗. � �� � � � � � ⃗ = 5

5. Soit � le milieu de [� � ].

a. Placer � , � , � sur la figure

b. Calculer les coordonnées de � , � et � .

Coordonnées de�

On a, par définition de � : � �� � � � � ⃗ =�

�� �� � � � � ⃗

Donc :

�� � �� � � � � ⃗ =

�× � � �� � � � � ⃗

� � �� � � � � ⃗ =�

�× � � �� � � � � ⃗

�� � − � � =

�( � � − � � )

� � − � � =�

�( � � − � � )

Comme � � = 1, � � = 3, � � = 7 et � � = 6,

on obtient : �� � − 1 =

�× (7 − 1)

� � − 3 =�

�× (6 − 3)

�� � =

�+ 1

� � =�

�+ 3

�� � = 3� � = 4

Le point � est le symétrique de � pr rapport à

Il est bien entendu recommandé de vérifier

sur la figure les coordonnées du point � et

des suivants ..

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[4-4]

Coordonnées de�

Par définition, � est le symétrique de � par

rapport à � , donc � est le milieu de [� � ].

On en déduit :

�� � =

� � + � �2

� � =� � + � �

2

⇔ �2� � − � � = � �2� � − � � = � �

Comme � � = 1, � � = 3, � � = 7 et � � = 6, on

obtient :

�� � = 2(1) − 7

� � = 2(3) − 6⇔ �

� � = −5� � = 0

Coordonnées de�

Par définition, � est le milieu de [� � ]

⇔ �� � =

� � � � �

� � =� � � � �

Or, on a montré que :

� � = −5, � � = 0, � � = 3 et � � = 4,

donc on obtient :

�� � =

� � � �

� � =� � �

⇔ �� � = −1� � = 2

c. Vérifier que : � � = √ � �

Le repère ℛ est orthonormé, donc on a :

� � = � (� � − � � )� + ( � � − � � )

puis, avec les coordonnées de � et � obtenues

à la question précédente :

� � = � (−5 + 1)� + (0 − 2)²

⇔ � � = � (−4)� + (−2)²

⇔ � � = √16 + 4

⇔ � � = √20

d. Montrer qu’avec les notations de l’exercice :

� �� � � � � � � ⃗. � �� � � � � � ⃗ = � ⇔ � � = �

Avec les notations de l’exercice, on a :

� �� � � � � � ⃗. � �� � � � � � ⃗ = 5

⇔ � � �� � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗ � . � � �� � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗ � = 5

⇔ � �� � � � ⃗. � �� � � � ⃗ + � �� � � � ⃗. � �� � � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗. � �� � � � ⃗ + � �� � � � � ⃗. � �� � � � � ⃗ = 5

⇔ −� � � + � �� � � � � ⃗. � � �� � � � ⃗ + � �� � � � ⃗ � + � � � = 5

⇔ −� √20 ��+ � �� � � � � ⃗. � � ⃗ + � � � = 5

⇔ −20 + � � � = 5

⇔ � � � = 25

⇔ � � = √25

⇔ � � = 5

Préciser la nature et les éléments caractéristiques de

(� ).

(� ) est l’ensemble des points � du plan tels que :

� � = 5, c’est donc le cercle de centre � et de rayon 5.

figure récapitulative

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