1

1.Projenin Adı :Pascal üçgeni bizi şaşırtmaya devam ediyor. 2.Projenin amacı:Bu projede lise müfredatında genellikle binom açılımındaki katsayıları bulmak için kullanılan pascal üçgeninin başka özelliklerini ortaya koymak istedik.Gerçekten de gördük ki pascal üçgeni içinde birçok güzelliği barındıran bir yapı 3.Giriş: Pascal üçgeninin bildiğimiz özellikleri yanında bilmediğimiz birçok sayı çeşidini , matematiğin birçok alanında kullandığımız değişik sayı dizlerini barındırdığını gördük. Lisede sadece binom açılımında katsayıları bulabilmek için kullandığımız pascal üçgeninin böyle gizemli bir özelliğinin olması bizi çok etkiledi. Araştırmalarımızı ilerlettikçe pascal üçgeninin yanı sıra pascal piramitini gördük.Pascal piramiti de üç terimli ifadelerin açılımındaki katsayıları yazmada çok kullanışlıydı.Bu projeyi hazırlarken birçok yeni bilgi edindik ve eğlendik. 4.Projede kullanılan yöntem:Kombinatorik , limit , toplam çarpım sembolleri yöntem olarak kullanılmıştır. Bölüm 1. Pascal üçgenindeki sayılar: Adı Pascal Üçgeni olmasına rağmen bu sayılarla tarihte ilk ilgilenen kişiler Pascal’dan çok daha önce yaşamışlardır. 1070 yılları civarında İranlı Matematikçi , astronom ve filozof Ömer HAYYAM binom açılımı ve katsayıları ile ilgili çalışmalar yapmıştır. Daha sonraları 13. yy da Pascal üçgeninin aynı modeliyle Çinli Yang Hui’nin uğraştığını biliyoruz.Bu nedenle bugün bile Çin’de bu üçgene Yang Hui Üçgeni denilmektedir.daha sonraları 1650 yılları civarına geldiğimizde Fransız Matematikçi Blaise Pascal karşımıza çıkıyor.Pascal , sık sık Pierre de Fermat ile atılan zarlarda olasılık hesaplarını tartışıyordu.Bu tartışmada ortaya çıkan değerler Pascalın bu üçgeni araştırmasında etkili olmuştur.Pascal Üçgeni bugün iki önemli alanda kullanılmaktadır.Algebra ve Olasılık.Pascal 1662 de 39 yaşında , kitabını yayınlayamadan öldü. 1665 yılında kitabı “Traite du triangle arithmetique” ( Aritmetik üçgenin bilimsel incelenmesi) yayınlandı.1700 yılında iki matematikçi Pierre Raymond de Montmort ve Abraham de Moivre , Pascalın ardından yayınladıkları makalelerde bu üçgeni kullanmışlar ve literatüre bu üçgenin Pascalın Aritmetik Üçgeni olarak geçmesini sağlamışlardır. Şimdi pascal üçgeninin nasıl oluşturulduğuna bir bakalım.

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 Yukarıda görüldüğü gibi bir önceki satırdaki rakamların toplamı bir sonraki satırdaki rakamı veriyor.Bu şekilde pascal üçgenini oluşturmak çok kolay.

Şekil - 1

2

Şekil - 2

3

Biraz daha matematiğe girersek ozaman ;

0. satır

0

0

1.satır

0

1

1

1

2.satır

0

2

1

2

2

2

3.satır

0

3

1

3

2

3

3

3

Şeklinde oluşturulabilir. Pascal üçgeninin her elemanı bulunduğu satıra göre kombinasyon işlemi ile bulunabiliyor. 1-a) Binom Açılımı : Pascal Üçgeni bizler tarafından genellikle binom açılımındaki katsayıları bulmak için kullanılır. Kombinasyon konusunu bilmeyen biri çok rahatlıkla pascal üçgenini oluşturabildiği için katsayıları bulabilir.

3

ba 1 3a + 3 ba2 + 3 2ab + 1 3b

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 Tabiki biz binom açılımını bu şekilde göstermeyeceğiz. Aşağıda binom açılımının genel ifadesi verilmiştir.

rrnn

r

n baba

)(0

rn

4

n=3 için ; Görüldüğü gibi yukarıda yazılan formül sayesinde herhangi bir binom açılımının herhangi bir terimini rahatlıkla bulabiliyoruz. Kısaca binom açılımından bahsettik. Bir sonraki bölümde ise daha yoğun olarak pascal üçgeni ve barındırdığı özelliklere bakacağız. 1-b) Pascal Üçgeni:

Pascal üçgeninde sayıların sıralanışına baktığımızda birçok tanıdık sayıyı görebiliriz.Şekil – 3 te mavi ile işaretlenmiş olanlar bildiğimiz sayma sayıları. Kırmızı ile işaretlenmiş olanlar özel bir gruba girer mi? Ya yeşil ile işaretlenmiş olanlar.Sadece bu kadar mı? Bu bölümde bu sayıları inceleyeceğiz.

3220333

0r33

3

3

2

3

1

3

0

3 )( babbabababa rr

r

3223 33 babbaa

1 1 1 1 2 1 1 3 31 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

Şekil - 3

Tepe Noktası

1.Satır

2.Satır

3.Satır

5

1-b) Çokgensel sayılar: Pascal Üçgeninde karşımıza çıkan sayılardan biri üçgensel sayılardır.Üçgensel sayıların ne olduğunu anlatmadan önce çokgensel sayı kavramına bir bakalım.Çokgensel sayılar ; üçgensel sayı , dörtgensel sayı , beşgensel sayı.... gibi sınıflandırılmaktadırlar.Bu sayıları sınıflandırırken dikkat edilecek nokta ise şudur.Örneğin özdeş küçük topları kullanarak kareler yapmak istiyoruz.İlk elemanımız herzaman 1 olarak kabul ediliyor .Daha sonraki kareyi oluşturmak için 4 topa ihtiyaç duyarız.Bir sonraki adımda ise 9 top gerekir.O zaman dörtgensel sayı elemanları 1,4,9 şeklinde gider. Şimdi aşağıda genel olarak çokgensel bir sayının herhangi bir elemanını nasıl bulacağımızı göstereceğiz. Teorem 1: Her hangi bir n-gen sayının k. Terimi

12

21211

nkkknkGn , n 3 ve k 1 dir.

İspat :

İlk olarak Gn(k) k. n- gen sayı olmak üzere tanımlayalım. Şekil-4 de görüldüğü gibi n-1 tane çubuk var. Ve her çubukta k-1 tane nokta var.( kırmızı nokta ortak nokta olduğu için sayılmıyor).Bu şekilde hesaplarsak toplamda (n-1).(k-1) tane noktamız oldu. Şekle baktığımızda bir n-gen için toplam (n-2) adet üçgen oluşmakta.Her üçgene baktığımızda toplamda 1+2+3+4+........... k-2 tane nokta görülmekte ( sarı noktalar).Buradan da bir üçgendeki sarı noktaların toplamının

2

12 kk olduğunu bulabiliriz. n-2 tane üçgen olduğundan bütün sarı noktalar

2

212 nkk olur.

Bu bulduğumuz sonuçları birleştirdiğimizde ;

12

21211

nkkknkGn genel formülü bulunur.

Şekil - 4

6

Şimdi bulduğumuz formülü kullanmaya başlayalım. İlk olarak üçgensel sayıları

bulalım. Birinci üçgensel sayı, n=3 ve k=1 için; 113 G

n=3 ve k=2 için ; 323 G

n=3 ve k=3 için ; 633 G

n=3 ve k=4 için ; 1043 G

n=3 ve k=5 için ; 1553 G

Üçgensel sayıların ilk beş elemanını bulduk.Şimdi şekil – 3 ‘e baktığımızda aynı sayıları kırmızı ile işaretlenmiş kısımda görüyoruz.Üçgensel sayılar için genel bir formül bulmak istersek de ; n=3 olarak aldığımızda

2

11

2

11212 33

kkkG

kkkkG olur.

Aslında yukarıda bulduğumuz üçgensel sayı genel formülünü pascal üçgenine bakarak da bulabiliriz.Pascal üçgenine baktığımızda üçgensel sayı dizisinin her elemanı 2’li kombinasyonlara denk gelmekte, yani C(2,2)=1 , C(3,2)=3 , C(4,2)=6 gibi. Genel Formül ise C(k,2) = k.(k+1)/2 olur. Bu sayılara neden üçgensel sayı denildiğini açıklayalım.Şekil – 5 te görüldüğü gibi özdeş toplardan üçgenler yaparsak bu üçgeni oluşturan topların sayıları bize üçgensel sayıları vermektedir. 1 3 6 10 15 21

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210,

231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703,

741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431 Üçgensel sayı dizisinde büyük puntolarla yazılmış olan sayılara dikkatinizi çekmek istiyoruz.Pascal üçgeni incelerken üçgensel sayılar dizisini gördük.Üçgensel sayıları da incelerken , bütün çift mükemmel sayıların aslında üçgensel sayı dizisinin bir elemanı olduğunu farkettik.Bu da bizi çift mükemmel sayıların üçgensel sayılar yardımıyla ifade edilebileceği sonucuna götürdü.

Şekil - 5

7

1-c) Mükemmel Sayılar: Tüm pozitif bölenlerinin toplamı kendisinin iki katına eşit olan sayılara mükemmel sayılar denir. Örneğin; 6 sayısının tüm pozitif bölenleri 1 , 2 ,3 ve 6 dır. 1+2+3 +6= 12 olur. 28 sayısını ele alalım. 1+2+4+7+14+28 = 56 olur.Şimdi neden tüm çift mükemmel sayıların üçgensel sayı dizisinde ortaya çıktığını gösterelim.

Teorem 2: 12 kq asal sayı olmak üzere qn k 12 mükemmel sayıdır.

İspat:Bir fonksiyonu tanımlayalım ve )(n tüm pozitif bölenlerin toplamı olsun. O

zaman nn 2 olduğunu gösterirsek ispatımızı tamamlamış olacağız.

q asal sayı olduğundan olur . Ayrıca 2’nin kuvveti olan bir sayının tüm

pozitif bölenlerinin sayısı ; 12)2( 1 kk dır.

)().........()()...........( 21212121

rr a

r

aaa

r

aapppppp olduğundan ;

n= ra

r

aappp ...........21

21 asal çarpanlar şeklinde yazılabilir.

olur. 2)(

2)2)(12()()2)(12()()1)(12()().2()( 11

nn

nnqqn

n

kkkkkk

Böylece ispatımızı tamamlamış olduk.

Teorem 3: q asal sayı olmak üzere , qn k 12 çift mükemmel sayı ise 12 kq

formunda bir asal sayıdır. (Mersenne Asalları)

İspat: Bir önceki ispatımızda qn k 12 mükemmel sayı ve nn 2)( olduğunu

söylemiştik.

kkkkk qqqqnqn 2)12)(1(2..2)12)(1(2)12).(1()( 1

122122 kkkk qqqq olur.

Buradan n ‘ nin mükemmel sayı olabilmesi için q asal sayısının 12 k formunda

olması gerektiği ortaya çıkmaktadır.Bu tip asallara Mersenne Asalları denir.Mersenne

Asallarını pM ile gösterirsek, )1)(12()( qn k ifadesi;

)12)(1(2)( kqnn ve 12 kp qM ve

kp qM 211 olduğundan;

)12)(2())(1(2

1 1 kkpp MMn olur.

Üçgensel sayı genel formülünün

2

13

kkkG formunda olduğunu biliyoruz .

*

8

Her çift mükemmel sayının da ))(1(2

1pp MMn formunda olduğunu

gösterdik.İspatımız tamamlanmış oldu. [ 1 ]

Aşağıdaki tabloda da pascal üçgenindeki köşegenlerin (Şekil-3 ) nasıl oluştuğunu görebiliriz.

ÇEMBER

NOKTA SAYISI

DOĞRU PARÇASI

SAYISI

ÜÇGEN SAYISI

DÖRTGEN SAYISI

BEŞGEN SAYISI

ALTIGEN SAYISI

1

0

0

0

0

0

2

1

0

0

0

0

3

3

1

0

0

0

4

6

4

1

0

0

5

10

10

5

1

0

6

15

20

15

6

1

[ 2 ]

Şekil - 6

9

1-d) e sayısı: Pascal Üçgeni ile ilgili olarak son sözlerimiz aşağıdaki şaşırtıcı ispat olacaktır.Ancak ispata geçmeden önce bazı ön bilgileri verelim. Şekil – 7 de her satırdaki sayıların çarpımının yanlarına yazıldığını görüyoruz.e sayısı hakkında da bilgi verelim. Euler sayısı veya Napier sabiti olarak bilinen bu sabit sayı matematiğin bir çok alanında kullanılmaktadır.Pi sayısı gibi kesin bir değeri yoktur. Yaklaşık değeri

2,718281828459............ dir.

n

n n

11lim ifadesinin sonucu e sayısını verir.

96

Pascal üçgeninin şöyle bir özelliği var.

Teorem 4: nS n. satırdaki sayıların çarpımı olsun. O zaman eS

SS

n

nn

n

2

11lim

dir.

İspat: Pascal üçgeninin n. satırındaki elemanlar

k

n şeklinde yazılabildiğinden;

n

k

n

n

kS

0

2

1n

0k !

n!

k

n olur. Buradan,

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

Şekil - 7

1

1

2

96

2500

162000

9

26471025

11014635520

10

!

)1(

)!1(

)1(

1)!(n

1

1

1)(n

1)!(n

1

1

)!1(1)(n 11n

2

1n

n

n

n

nn nn

!

)1(

Sn

1

n

nS nn

olur. Aynı şekilde

!

)(

S 1-n n

nS nn olur.

Son olarak

1-n

n

1

S

Slim

n

n

n S

S

ifadesinin sonucuna bakalım.

enn

n

n

n

n

n

n

n

S

Sn

n

n

nn

n

nn

n

nn

n

n

11lim

1lim

)(

)1(lim

)(

!

!

)1(lim

S

Slim

1-n

n

1

bulunur. [ 3 ] 1-d) Pascal Piramidi :Nasıl Pascal Üçgeni (a + b )n ifadesinin açılımının katsayılarını veriyorsa , pascal piramidi de (a + b + c)n ifadesinin açılımının katsayılarını vermektedir.projemizin bu bölümünde pascal Piramidinin nasıl oluşturulduğunu göreceğiz.

1

1 1

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

2 2

2

3 3 3

3

3 3

4 6

4 4 6

4

4 6 4

Şekil - 8

Tepe Noktası

1. Katman

2. Katman

3. Katman

4. Katman

6

12 12

12

11

Şekil- 8 debir Pascal Piramidi görülmektedir. Üç boyutlu olarak düşünüldüğünde bu piramidi katman katman incelememiz gerektiği ortaya çıkmaktadır.Piramidin tepe noktası sadece 1 rakamından oluşan yerdir.Birinci katman ise 1-1-1 sayılarından oluşmaktadır.İkinci katman bir önceki katmandaki rakamların toplamı ile elde edilen 1-2-1-2-1-2 katmanıdır.Bu şekilde sürdürüldüğünde bir önceki katman sayılarından bir sonraki katmanının sayılarını elde edebiliyoruz. Pascal üçgeninde görmüş olduğumuz özelliklerin bir çoğu pascal Piramidinde de vardır.İlk olarak 3. Katmanı ele alalım ; a0 c3 1 a1 c2

3 3 a2 c1

3 6 3 a3 c0

1 3 3 1 b0 b1 b2 b3 3. Katman sayıları , 1-3-3-1-3-3-1-3-3-6 dır.

32232222333336333 cabbabcbabccabcacacba

Şekil – 9 da görüldüğü gibi , açılımın katsayıları , 3. Katmandaki sayılardan oluşmaktadır. Ayrıca şekil-7 de dikkat çeken bir başka özellik ise her katmandaki sayıların toplamıdır.Tepe noktası 1 dir. Birinci katmandaki sayıların toplamı 3 tür.2. katmandaki sayıların toplamı 9 dur.3. katmandaki sayıların toplamı 27 dir. 4. Katmandaki sayıların toplamı da 81 olur. Yani; 30=1 , 31=3 , 32=9 , 33=27 , 34= 81 dir.Bu kural pascal üçgeninde de 2’nin kuvvetleri olarak karşımıza çıkmaktadır. 20=1 , 21=2 , 23=8 , 24=16 ............................(Şekil – 3) Şekil -3 de ki Pascal Üçgenini hatırlarsak bir satırdaki ardışık iki elamanın toplamı bir sonraki satırın elemanını oluşturmaktaydı. Şimdi bu özelliği ispatlayalım. Teorem 5:

11 nr ve r , n Z olmak üzere ,

r

n

r

n

r

n

1

1

1 , ( toplam özelliği)

İspat:

r)!.r!-(n

1)!.r-(nr)-(n1)!-(n

)!1()!(

)!1(

!)!1(

)!1(

1

1

1

rrn

n

rrn

n

r

n

r

n

[(n-r)] [(r)]

Şekil - 9

12

!)!.(

!

!)!.(

)!.1(

rrn

n

rrn

nn=

r

n olur. İspat tamamlanmıştır.

Şimdi de üç boyutlu piramidin yapılandırılmasında kullanacağımız bir gösterimi tanımlayalım.

!!.!.

!

c b

cba

n

a

n

şeklinde ifade edilebilir. (*)

İki boyutta ispatladığımız teoremin (teorem 5) üç boyutta karşılığı var mıdır? Teorem 6 : m +n +k= a+1 ise

kn

1

kn 1

k 1-n

1-kn

m

a

m

a

m

a

m

a

İspat:

!!)!1(

!

!)!1(!

!

)!1(!!

!

kn 1

k 1-n

1-kn

knm

a

knm

a

knm

a

m

a

m

a

m

a

kn

1

!!!

)!1(

!!!

)1(!

!!!

)(!

!!!

!!!

m

a

knm

a

knm

aa

knm

knma

knm

manaka olur.

Son olarak da Pascal Piramidinin kombinasyon kullanılarak nasıl oluşturulabileceğini görelim.

0 0 4

4

0 1 3

4

1 0 3

4

0 2 2

4

1 1 2

4

2 0 2

4

0 3 1

4

1 2 1

4

2 1 1

4

3 0 1

4

0 4 0

4

1 3 0

4

2 2 0

4

3 1 0

4

4 0 0

4

Yukarıda Pascal piramidinin 4. Katmanının nasıl oluşturulabileceği gösterilmiştir. (*) kuralını kullandığımızda her ifadenin sayısal değeri karşımıza çıkar.

(*)

Şekil - 10

13

2- Catalan Sayıları: Eugene Charles CATALAN (1814 – 1894) tarafından tanımlanmış olan sayılardır.Bu sayılar , bir çokgenin birbirini kesmeyen köşegenler tarafından kaç üçgene ayrılabileceği sorusuna cevap verir.Catalan sayıları dizisi ; 1 , 2 , 5 , 14 , 42 , 132 , 429 , ........ şeklinde giden sayılardır.

Catalan Sayılarının pascal üçgeni ile ilgisi nedir? Şimdi bu sorunun cevabını arayacağız. Pascal Üçgeninin simetri ekseni üzerindeki sayılardan ,komsu sütundaki sayıları çıkardığımızda karşımıza katalan sayıları çıkıyor.

0C = 1-0=1 , 1C =2-1=1 , 2C = 6-4=2 , 3C =20-15=5 , 4C =70-56=14.

Buradan hareketle Catalan Sayıları için genel formülü çıkrabiliriz.

Theorem 7:!)!1(

)!2(

nn

nCn

formundaki sayılara catalan sayıları denir.

1 1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

Şekil - 11

14

İspat:Pascal üçgeninin simetri eksenindeki sayılar C(2n,n) şeklinde ifade edilebilir. Bir sonraki terim ise C(2n,n+1) olarak bulunur. O zaman

1

22

n

n

n

n sonucu Catalan sayı genel formülünü sağlamalıdır.

!)!1(

)!2(

)!1(!

)!.2()1()!2(

)!1()!1(

)!2(

!!

)!2(

nn

n

nn

nnnn

nn

n

nn

n

olarak bulunur.

Şimdi Catalan Sayıların tanımında verdiğimiz çokgenlerin üçgenlere

ayrılma durumlarını inceleyelim. nC n. catalan sayı , ve çokgenimiz de n+2 gen olmak

üzere aşağıdaki şekilde Catalan Sayıları ortaya çıkmaktadır. 2-a) Çokgenlerin Üçgenlere Bölünmesi:

Bu sayıların kullanıldığı çok çeşitli problemler vardır.Yukarıda şekil – 9 daçokgenlerin birbirini kesmeyecek köşegenlerle kaç değişik yolla üçgenlere ayrılır sorusunun cevabını görüyoruz. 2-b)Dengeli Parantezler: Elimizde n tane açan ( n tanede kapatan ) parantez olsun.Bu parantezleri dengeli bir şekilde nasıl düzenleyebiliriz.Dengeli dediğimizde her açan parantezin bir kapatanı olmalı anlamı çıkmaktadır.Aşağıda görüldüğü üzere parantezlerin sıralanma sayısı Catalan Sayıları vermektedir.

Şekil - 12

15

n=0 Boş küme 1 n=1 ( ) 1 n=2 ( ) ( ) , ( ( ) ) 2 n=3 ( ) ( ) ( ) , ( ( ( ) ) ) , ( ( ) ) ( ) , ( ) ( ( ) ) , ( ( ) ( ) ) 5

n=4

( ) ( ) ( ) ( ), ()()(()), ( ) ( ( ) ) ( ), ()(()()), ( ) ( ( ( ) ) ), (())()(), ( ( ) ) ( ( ) ), (()())(), ( ( ( ) ) ) ( ),

(()()()),( ( ) ( ( ) ) ), ((())()), ( ( ( ) ( ) ) ), (((())))

14

2-c)Sıradağlar Problemi:Kombinatorik konusunda sorulan bir problem çeşidi de Sıradağlar Problemidir.Burada n tane yukarı doğru eğimli ve n tane de aşağı doğru eğimli çizgi çizerek başlangıç seviyesinin üzerinde kalan dağların sayısını bulmak amaçtır.

n=0 Boş küme 1 n=1 /\ 1

n=2

/\ /\/\ , / \

2

n=3

/\ /\ /\ /\ /\ / \

/\ /\ /\ , /\ / \ , / \ /\ , / \ , / \

5

2-d)Köşegenin Altındaki Yol Sayısı (Dyck Path): Bu soru tipinde n x n boyutundaki kare şeklindeki ızgaranın ( bir şehrin yolları da olabilir) alt köşesinden başlayarak , üst çapraz köşeye ulaşabileceğimiz kaç yol olduğu sorulur ancak köşegenin diğer tarafına geçmemek kaydıyla.Başka bir anlatımla (0,0) noktasından (n,n) noktasına , y=x doğrusunun altında kalmak şartıyla kaç değişik yoldan gidilebilir.

Şekil - 14

Şekil - 13

Şekil - 15

16

Aslında Şekil – 15 de görüldüğü gibi bu soru tipi sıradağlar soru tipine çevrilip çözülebilmektedir. Yukarıdaki 5 x 5 karesinde bir köşeden diğer köşeye köşegenin altında kalmak üzere gidebilen yol adedi aşağıda şekil – 16 de gösterilmiştir.

Görüldüğü gibi A noktasından B noktasına gitmek için toplam 42 yol vardır.Aynı sonuca catalan sayılar formülünden de ulaşabiliriz. n=5 olduğu için ;

42!5!6

!10

!)!1(

)!2(55

CC

nn

nCn olur.

Catalan Sayılarının ilk 25 elemanını içeren dizisi aşağıdaki gibidir.

Şekil - 16

17

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020,91482563640,343059613650,1289904147324, . . .

10

1 C

C , 2

1

2 C

C , 5,2

2

3 C

C , 8,2

3

4 C

C , 3

4

5 C

C , 1428,3

7

22

5

6 C

C ,

25,36

7 C

C........................, 76,3

503430596136

3241289904147

23

24 C

C

Ardışık iki elemandan büyük olanı küçük olana böldüğümüzde yukarıdaki

değerler çıkıyor.Altıncı catalan sayısının beşinci catalan sayısına oranı bize yaklaşık olarak sayısının değerini veriyor.Catalan sayıları büyüdükçe acaba bu oran bir

sayıya yakınsayacak mı yoksa artarak devam mı edecek? Şimdi bu sorunun cevabını bulalım.

n+1 . catalan sayımız ;)!1()!2(

)!22(1

nn

nCn ve n. catalan sayımız ;

!)!1(

)!2(

nn

nCn

?

!)!1(

)!2(

)!1()!2(

)!22(

lim 1

nn

n

nn

n

C

C

n

n

n

42

24lim

)1)(2(

)12)(22(lim

)!2(

!)!1(

!).1()!1).(2(

)!2)(12)(22(lim

n

n

nn

nn

n

nn

nnnn

nnn

nnn olur.

Sonuç olarak 41

n

n

C

C diyebiliriz. Yani bir sonra gelen catalan sayısı bir önceki sayının

4 katından küçük olmak zorundadır. 5.Sonuçlar ve tartışmalar: Pascal üçgeninin birçok sayı ve sayı dizisini barındırdığını gördük . Çift mükemmel sayıların bir üçgensel sayı olduğunu gösterdik .

18

Tüm üçgensel sayılar da pascal üçgeni içinde bulunduklarından pascal üçgeninin tüm çift mükemmel sayıları içerdiği sonucuna vardık. e sabitinin pascal üçgeninin içinde varolduğunu ispatladık. Nasıl pascal üçgeni iki terimli ifadelerin açılımındaki katsayıları oluşturuyorsa , üçlü ifadelerin açılımlarında da üç boyutlu pascal piramidi yapısının kullanılabileceği sonucuna vardık.Bu yapının kombinasyon kullanılarak da oluşturulabileceğini gösterdik. Birçok kombinatorik soru tipinin temelini teşkil eden Catalan sayılarının da pascal

üçgeninden türetilebilceğini gösterdik.Bu soru tiplerinden bazılarını örnek olarak

projemizde sunduk.

Bir sonraki çalışmalarımızda dört terimli ifadelerin açılımlarında katsayıları

belirleyebileceğimiz bir yapının olup olmadığı sorusuna cevap arayacağız.

6. Teşekkür: Yazarlar, bu çalışmamızdaki problemlere dikkatimizi yönelten, Matematik Zümre Başkanımız Sayın SinemÖzdemir’e, Matematik Öğretmenimiz Sayın Savaş Akyıldız’a, okulumuzda tüm olanakları bize açan Sayın Okul Müdürümüz Ömer Orhan’a samimi teşekkürlerini sunarlar. 7. Kaynaklar: [ 1 ] http://mathworld.wolfram.com [ 2 ] http://britton.disted.camosun.bc.ca/pascal/pascal.html [ 3 ] H.S BROTHERS ,” finding e in pascals triangle” Mathematics Magazine 85 no:1 2012 , 51