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GRAFICO DI UNA FUNZIONEGRAFICO DI UNA FUNZIONE

• DEFINIZIONE DI GRAFICODEFINIZIONE DI GRAFICO• SIMMETRIE SIMMETRIE • GRAFICI DI FUNZIONI ELEMENTARI GRAFICI DI FUNZIONI ELEMENTARI

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ESEMPIO INTRODUTTIVOESEMPIO INTRODUTTIVO:: Data la funzione Data la funzione y = xy = x22-x-x

definita in R a valori in R, calcolando le immagini di alcuni definita in R a valori in R, calcolando le immagini di alcuni elementi del dominio otteniamo la tabella:elementi del dominio otteniamo la tabella:

x y

1 0 2 2 3 6 0 0-1 2-2-3

6 12

Consideriamo le coppie x , y come punti e rappresentiamoli su un piano cartesiano .

.

.

.

.

.

.

Considerando tutti gli elementi del domino e le loro immagini si Considerando tutti gli elementi del domino e le loro immagini si ha un insieme infinito di punti che costituiranno il GRAFICO ha un insieme infinito di punti che costituiranno il GRAFICO della funzionedella funzione

DEFINIZIONE DI GRAFICODEFINIZIONE DI GRAFICO

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Definizione 1 ( grafico di una funzione) Data una funzione definita nell’insieme A a valori in B , si dice grafico della funzione l’insieme dei punti del piano cartesiano del tipo ( x , f(x) ) ottenuti per tutti gli elementi x appartenenti al dominio A.

OsservazioneOsservazione

Nel grafico di una funzione non può mai accadere che due punti abbiano la stessa ascissa poiché per definizione di funzione l’immagine di ogni elemento x del dominio deve essere unica .

NON può essere il NON può essere il grafico di una funzionegrafico di una funzione

Graficamente quindi ogni retta parellela all’asse y può incontrare il grafico di una funzione al massimo in un punto

NON può essere il NON può essere il grafico di una funzionegrafico di una funzione

xx

yy11

yy22

yy33 .. ..

.. .

. .

x

Può essere il grafico Può essere il grafico di una funzionedi una funzione

xx

yy ..

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SIMMETRIE NEL GRAFICO DI UNA FUNZIONESIMMETRIE NEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE

ESEMPI

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

Questi grafici di Questi grafici di funzione sono funzione sono simmetrici rispetto simmetrici rispetto all’asseall’asse yy

Questi grafici di Questi grafici di funzione sono funzione sono simmetrici simmetrici rispetto rispetto all’origineall’origine degli assidegli assi

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Definizione 2 ( Definizione 2 ( funzione pari, funzione disparifunzione pari, funzione dispari ) ) Data una funzione f definita in un insieme Data una funzione f definita in un insieme A A simmetrico rispetto allo 0simmetrico rispetto allo 0 (cioè tale che se (cioè tale che se x x A A allora anche allora anche -x -x AA

per ogni x di A) , per ogni x di A) , se risulta :se risulta :

f(-x) = -f(x) , x A allora la funzione si dirà DISPARI (ed il suo grafico risulterà simmetrico rispetto all’origine degli assi)

f(-x) = f(x) , x A allora la funzione si dirà PARI (ed il suo grafico risulterà simmetrico rispetto all’asse y)

Osservazione Osservazione Se una funzione è pari o dispari e conosciamo il suo Se una funzione è pari o dispari e conosciamo il suo andamento per andamento per x x [0 , + [0 , + ) ) allora possiamo dedurre il suo andamento allora possiamo dedurre il suo andamento per per x x (- (- , , 00) )

P Infatti, quando f è pari, se il punto P( x0, y0) appartiene al grafico allora vi appartiene anche il punto P’(-x0, y0)

x0

y0 .

-x0

P’.x0

.Quando f è dispari, se il punto P( x0, y0) appartiene al grafico allora vi appartiene anche il punto P’(-x0, - y0)

y0P

. -y0

-x0

P’

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GRAFICI DI FUNZIONI ELEMENTARIGRAFICI DI FUNZIONI ELEMENTARI

FUNZIONE COSTANTE y = k

Dominio: R

Codominio: { k }

Grafico: retta parallela all’asse x di equazione y = k x

y

O

k

FUNZIONE LINEARE (RETTA) y = m x + q

Dominio: R

Codominio: R

Grafico: retta di coefficiente angolare m , inclinata verso l’alto se m > 0, verso il basso se m < 0

x

y

O

m > 0

x

y

O

m < 0

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FUNZIONE QUADRATICA (PARABOLA)

Dominio: R

Grafico: parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y , concavità verso l’alto se a > 0, verso il basso se a < 0

y = a x2 + b x + c

x

y

O

a > 0

a < 0

xO

y

k < 0

FUNZIONE DI PROPORZIONALITA’ INVERSA

Dominio: R – { 0 } (ovvero x 0)

Codominio: R – { 0 }

Simmetrie: funzione dispari

Grafico: se k > 0 il grafico è nel primo e nel terzo quadrante, mentre se k < 0 il grafico si trova nel secondo e nel quarto quadrante (in entrambi i casi il grafico è una iperbole equilatera riferita agli asintoti)

y = x

k

xO

y

k > 0

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FUNZIONE ESPONENZIALE y = a x con a > 0 , a 1

Dominio: R

Codominio: ( 0, +)

Grafico: si trova sempre al di sopra dell’asse x ed interseca l’asse y nel punto (0,1).

x

y

O

.

y = a x

(a > 1)

1

Se 0 < a < 1 quando x tende a + y tende a 0 ; quando x tende a - y tende a +

x

y

O

.

y = a x

(0 < a < 1)

1

Se a > 1 quando x tende a + anche y tende a + ; quando x tende a - y tende a 0

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FUNZIONE LOGARITMICA

Dominio: ( 0, + )

Codominio: R

Grafico: si trova sempre a destra dell’asse y ed interseca l’asse x nel punto (1,0).

y = loga x con a > 0 , a 1

y = loga x

(a > 1)

Se a > 1 quando x tende a + anche y tende a + ; quando x tende a 0 y tende a -

x

y

O.1

Se 0 < a < 1 quando x tende a + y tende a - ; quando x tende a 0 y tende a +

y = loga x

(0 < a < 1)

x

y

O.1