-
16. Valószínűség számítás
16.1. Klasszikus modell
16.1.1. Dobjunk fel két kockát egyszerre. Mennyi annak a
valószínűsége annak, hogy a dobott pontok összege
8?
16.1.2. Dobjunk fel két kockát egyszerre. Mennyi annak a
valószínűsége annak, hogy a dobott pontok összege
legfeljebb 5?
16.1.3. Dobjunk fel két kockát egyszerre. Mennyi annak a
valószínűsége annak, hogy a dobott pontok összege
legfeljebb 10?
16.1.4. Dobjunk fel három kockát egyszerre. Mennyi annak a
valószínűsége annak, hogy a dobott pontok
összege legalább 17?
16.1.5. Dobjunk fel három kockát egyszerre. Mennyi annak a
valószínűsége annak, hogy a dobott pontok
összege legalább 6?
16.1.6. Egy kockával addig dobunk, míg a dobott szám nem 6-os.
Mennyi annak a valószínűsége annak,
hogy:
a) 3-szor dobtunk
b) legalább 3-szor dobunk
c) legfeljebb 3-szor dobunk
16.1.7. Egy kockával addig dobunk, míg a dobott szám nem 6-os.
Mennyi annak a valószínűsége annak,
hogy:
a) 5-ször dobtunk
b) legalább 4-ször dobunk
c) legfeljebb 4-szer dobunk
16.1.8. Dobjunk fel két kockát egyszerre. Mennyi annak a
valószínűsége annak, hogy a dobott pontok szorzata
0-ra végződik?
16.1.9. Dobjunk fel három kockát egyszerre. Mennyi annak a
valószínűsége annak, hogy a dobott pontok
szorzata 0-ra végződik?
16.1.10. Az AALGEBR betűket találomra egymás mellé írva, mennyi
annak a valószínűsége, hogy az
ALGEBRA szót írjuk le?
16.1.11. A 32 lapos kártyacsomagból 4 lapot húzunk ki egymás
után, visszatevés nélkül.
a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy másodikra királyt
húztunk?
b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első és utolsó király
lesz?
-
16.1.12. A 32 lapos kártyacsomagból 5 lapot húzunk ki egymás
után, visszatevés nélkül.
a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy másodikra pirosat
húztunk?
b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első és utolsó piros
lesz?
16.1.13. A 32 lapos magyar kártyacsomagból kihúzunk 6 lapot.
Mennyi annak a valószínűsége, hogy e hat
lap között mindegyik szín előfordul?
16.1.14. Egy csomag magyar kártyát jól összekeverünk. Mennyi
annak a valószínűsége, hogy a 4 ász
egymás után helyezkedik el?
16.1.15. Mennyi a valószínűsége, hogy ha valakinek az 52 lapos
francia kártyából 13 lapot kiosztanak,
akkor legfeljebb 3 ásza lesz?
16.1.16. Mennyi a valószínűsége, hogy 7 kockával dobva pontosan
3 db 1 lesz benne?
16.1.17. Mennyi a valószínűsége, hogy 6 kockával dobva pontosan
2 db 1-es, és 1 db 2-es lesz benne?
16.1.18. Egy pénzérmét 10-szer egymás után feldobunk. Ha fejet
kapunk, azt F-fel, ha írást, azt I-vel jelöljük.
Mennyi annak a valószínűsége, hogy az F és I betűknek ez a 10
elemű sorozata tartalmaz két azonos betűt
egymás után?
16.1.19. Egy pénzérme egyik oldalán 5-ös, másik oldalán 4-es
van. Feldobjuk háromszor. Milyen
összegeket, milyen valószínűséggel kaphatunk?
16.1.20. Egy pénzérme egyik oldalán 5-ös, másik oldalán 6-os
van. Feldobjuk négyszer. Milyen összegeket,
milyen valószínűséggel kaphatunk?
16.1.21. Egy dobozban 12 db piros golyó van és még valamennyi
fehér és zöld. Annak a valószínűsége, hogy
pirosat vagy fehéret veszünk ki találomra 2/3. Annak, hogy
fehéret vagy zöldet választunk ki találomra 3/5.
Mennyi fehér és mennyi zöld golyó van a dobozban?
16.1.22. Egy dobozban 18 db piros golyó van és még valamennyi
fehér és zöld. Annak a valószínűsége, hogy
pirosat vagy fehéret veszünk ki találomra 9/11. Annak, hogy
fehéret vagy zöldet választunk ki találomra 8/11.
Mennyi fehér és mennyi zöld golyó van a dobozban?
16.1.23. Egy urnában 6 piros, több fehér és fekete golyó van.
Annak a valószínűsége, hogy egy golyót kihúzva,
az fehér vagy fekete lesz: 5
3; hogy piros vagy fekete színű lesz:
3
2. Hány fehér és fekete golyó van az urnában?
16.1.24. Legalább hányszor kell két kockát egyszerre feldobni,
hogy 0,9-nél nagyobb valószínűséggel
kapjunk 6-t?
16.1.25. Legalább hányszor kell két kockát egyszerre feldobni,
hogy 0,98-nél nagyobb valószínűséggel
kapjunk 5 vagy 6-t?
-
16.1.26. Két testvér ugyanabba a 27-es létszámú osztályba jár.
Egy gyors sorakozónál mindenki beáll
valahova.
a) Mennyi a valószínűsége, hogy a két testvér között pontosan
10-en állnak?
b) Hogyan változik az eredmény, ha kör alakban helyezkednek
el?
16.1.27. A 32 lapos magyar kártyából 4 lapot véletlenszerűen
kiválasztunk. Mennyi annak a valószínűsége,
hogy a kihúzott lapok között pontosan egy piros és egy ász
lesz?
16.2. Mintavétel visszatevéssel és visszatevés nélkül
16.2.1. Egy dominókészletben a dominók mindkét térfelén
elhelyezett pöttyök száma 0-9-ig lehetséges.
Kiválasztunk 2 dominót. Mi a valószínűsége, hogy ezek a dominó
szabályai szerint összeilleszthetők, azaz az
egyik dominó valamelyik térfelén lévő pöttyszám megegyezik a
másik dominó valamely térfelén lévő
pöttyszámmal?
16.2.2. Egy dominókészletben a dominók mindkét térfelén
elhelyezett pöttyök száma 0-8-ig lehetséges.
Kiválasztunk 2 dominót. Mi a valószínűsége, hogy ezek a dominó
szabályai szerint összeilleszthetők, azaz az
egyik dominó valamelyik térfelén lévő pöttyszám megegyezik a
másik dominó valamely térfelén lévő
pöttyszámmal?
16.2.3. Nyolc szabályos pénzérmét feldobunk. a) Mekkora a
valószínűsége, hogy több írás lesz, mint fej?
b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a fejek és írások
különbségének abszolútértéke 2-nél nagyobb?
16.2.4. Hét szabályos pénzérmét feldobunk. a) Mekkora a
valószínűsége, hogy több írás lesz, mint fej? b)
Mekkora annak a valószínűsége, hogy a fejek és írások különbsége
legalább 2?
16.2.5. 100 alma közül 10 férges. Mennyi a valószínűsége, hogy
válogatás nélkül 5 almát kivéve, közöttük
lesz férges alma?
16.2.6. Egy kalapban 3 fekete és 4 fehér golyó van. Egyesével
kihúzzuk a golyókat. a) Mi a valószínűsége
annak, hogy az utolsó golyó fehér lesz? b) Hétszer húzunk most
is, de minden egyes húzás után visszatesszük
a kihúzott golyót. Mi a valószínűsége annak, hogy legfeljebb
egyszer húzunk fehéret?
16.2.7. Egy kalapban 3 fekete és 3 fehér golyó van. Egyesével
kihúzzuk a golyókat. a) Mi a valószínűsége
annak, hogy az utolsó golyó fehér lesz? b) Hétszer húzunk most
is, de minden egyes húzás után visszatesszük
a kihúzott golyót. Mi a valószínűsége annak, hogy legfeljebb
kétszer húzunk fehéret?
16.2.8. Egy kalapban 8 fehér és 12 fekete golyó van. Kihúzunk 6
golyót. Adjuk meg a következő
események valószínűségét! A kiválasztottak között:
a) Mind a 6 fehér
b) 3 fekete
c) legfeljebb 1 fehér
d) legalább 2 fekete
16.2.9. Egy kalapban 14 golyó van, megszámozva 1-től 14-ig az
egész számokkal. Kihúzunk hármat. Mi a
valószínűsége, hogy a kihúzott számok
-
a) Szorzata
b) Összege
osztható hárommal?
16.2.10. Egy kalapban 17 golyó van, megszámozva 1-től 17-ig az
egész számokkal. Kihúzunk hármat. Mi a
valószínűsége, hogy a kihúzott számok
a) Szorzata
b) Összege
osztható hárommal?
16.2.11. Egy 20 fős társaságban van 6 fiatal, 9 középkorú, a
többi nyugdíjas. Kiválasztunk közülük 7 főt.
Adjuk meg a következő események valószínűségét! A kiválasztottak
között:
a) 3 fiatal
b) 2 fiatal, 4 középkorú és 1 nyugdíjas
c) legfeljebb 1 nyugdíjas
d) van köztük fiatal
16.2.12. Egy üzemben naponta 120 terméket állítanak elő, amiből
átlagosan 5% selejt. Egyik nap
kiválasztunk 8-at az aznap legyártott termékek közül, úgy hogy a
kiválasztottakat nem tesszük vissza. Adjuk
meg a következő események valószínűségét! A kiválasztottak
között:
a) nincs selejtes
b) legalább 2 selejtes
16.2.13. Egy iskola diákjainak 2%-a zseni. Kiválasztunk 10 főt
Adjuk meg a következő események
valószínűségét! A kiválasztottak között:
a) pontosan 3 zseni?
b) legfeljebb 2 zseni
c) legalább 2 zseni
16.2.14. Egy üzemben a legyártott termékek közül 10-et
kiválasztva, annak a valószínűsége, hogy van
selejtes a kiválasztottak között 0.40126. Hány %-a selejt a
naponta legyártott termékeknek?
16.2.15. Egy üzemben a legyártott termékek közül 7-et
kiválasztva, annak a valószínűsége, hogy van selejtes
a kiválasztottak között 0.19202. Hány %-a selejt a naponta
legyártott termékeknek?
16.2.16. Egy üzemben a legyártott termékek közül átlagosan 4%
selejt. Hány darabot válasszunk ki a
termékek közül, hogy annak a valószínűsége, hogy van közöttük
selejt 0.2786?
16.2.17. Egy üzemben a legyártott termékek közül átlagosan 3%
selejt. Hány darabot válasszunk ki a
termékek közül, hogy annak a valószínűsége, hogy van közöttük
selejt 0.3062?
16.2.18. Egy kalapban van 6 piros, és 5 kék golyó.
a) Kiválasztunk 4 golyót visszatevés nélkül. Mi a valószínűsége,
hogy különböző színűek?
b) Kiválasztunk 4 golyót visszatevéssel. Mi a valószínűsége,
hogy 2 piros és 2 kék lesz a kiválasztottak között?
-
16.3. Geometriai valószínűség
16.3.1. Egy 20cm oldalú négyzet alakú céltáblára 5 cm sugarú
kört rajzolunk. Mennyi a valószínűsége,
hogy a találat ezen a körön kívül éri a céltáblát?
16.3.2. Egy céltábla koncentrikus körökből áll egy 25 cm oldalú
négyzetlapon. A 10 pontot érő 1 cm sugarú,
a 9 pontot érő 2 cm sugarú, és így tovább, az 1 pontot érő 10 cm
sugarú. Egy lövés után mennyi a
valószínűsége, hogy:
a) Legalább 8 pontot lövünk
b) Pontosan 5 pontot lövünk
c) Nincs érvényes találatunk?
16.3.3. Egység sugarú kör alakú céltáblára lövünk. A találat
valószínűsége egyenletes eloszlású. A céltáblát
koncentrikus körökkel 10 részre akarjuk osztani úgy, hogy minden
részbe egyenlő valószínűséggel essen a
találat. Mekkorák legyenek a sugarak?
16.3.4. Egy szabályos tízszög beírható körének sugara 5cm.
Kiválasztjuk a sokszög egy belső pontját.
Mekkora a valószínűsége, hogy egy adott három szomszédos csúcs
(pl. ABC) által meghatározott háromszög
belső pontját választottuk ki?
16.3.5. Egy szabályos nyolcszög legrövidebb átlója 10m.
Kiválasztjuk a sokszög egy belső pontját. Mekkora
a valószínűsége, hogy egy adott három szomszédos csúcs (pl. ABC)
által meghatározott háromszög belső
pontját választottuk ki?
16.3.6. Egy téglalap csúcspontjainak koordinátái: A(0,0),
B(0,1), C(4,1), D(4,0) Mekkora a valószínűsége
annak, hogy ha az ABCD téglalap egy belső pontját kiválasztjuk,
akkor az az 5x+2y=4, illetve 5x+2y=6
egyenesek által határolt síkrészből való?
16.3.7. Egy téglalap csúcspontjainak koordinátái: A(0,0),
B(0,1), C(2,1), D(2,0) Mekkora a valószínűsége
annak, hogy ha az ABCD téglalap egy belső pontját kiválasztjuk,
akkor az
a) a 2x+5y=7 egyenes „feletti” síkrészből való?
b) a 2x+5y=5 egyenes „alatti” síkrészből való?
c a 2x+5y=7 és a 2x+5y=5 egyenesek által határolt síkrészből
való?
16.3.8. Az x2+y2+4x-6y+9=0 egyenletű kör egy belső pontját
kiválasztva, mekkora a valószínűsége annak,
hogy a kiválasztott pont a P(-2,-3) ponttól 1 egységtől nagyobb
távolságra van?
16.3.9. Az x2+y2-8x+10y+25=0 egyenletű kör egy belső pontját
kiválasztva, mekkora a valószínűsége
annak, hogy a kiválasztott pont a P(4,-5) ponttól 3 egységtől
nem nagyobb távolságra van?
16.3.10. A (0,7) intervallumon véletlenszerűen felveszünk egy P
pontot. Annak valószínűsége, hogy ez a 3-
nak r sugarú környezetébe esik 0,2. Határozzuk meg az r
értékét!
16.3.11. Egy r sugarú kör kerületén felveszünk egy P pontot. Ezt
követően a körlapon véletlenszerűen
választunk egy pontot. Mennyi a valószínűsége, hogy a két pont
távolsága: 𝑑 > √2 ∙ 𝑟 ?
-
16.3.12. Egy egységnyi szakaszon véletlenszerűen kijelölünk két
pontot. Mennyi a valószínűsége, hogy az
így keletkezett három szakaszból egy háromszög
szerkeszthető?
16.3.13. Egy r sugarú körvonalon véletlenszerűen kijelölünk
három pontot. Mennyi a valószínűsége, hogy a
három pont egy hegyesszögű háromszöget alkot?
16.3.14. Egy egységnyi szakaszt egy tetszőleges ponttal két
részre osztunk, majd a nagyobbikat még egy
ponttal szintén két részre. Mennyi a valószínűsége, hogy a
kapott három szakaszból egy háromszög
szerkeszthető?
16.3.15. Válasszunk három szakaszt véletlenszerűen a (0, d)
intervallumból. Mennyi a valószínűsége, hogy
a szakaszokból háromszög szerkeszthető?
16.3.16. Véletlenszerűen választunk az egységnyinél kisebb
élhosszúságú téglatestet. Mennyi a
valószínűsége, hogy a téglatest testátlója az egységnél
kisebb?
16.3.17. Az A és B várost 450 km kábel köti össze. A kábel
meghibásodása egyenletes eloszlású az egész
szakaszon. Mennyi a valószínűsége, hogy az első hiba az A
várostól 180 km-nél távolabbi helyen következik
be?
16.3.18. Egy egységnyi hosszúságú szakaszon véletlenszerűen
kijelölünk két pontot. Mennyi a valószínűsége,
hogy a köztük lévő távolság kisebb, mint d, ahol 0 < 𝑑 <
1?
16.3.19. Egy házaspár megbeszélte, hogy 9 és 10 óra között
találkoznak egy téren. Az érkezés a megbeszélt
időn belül véletlenszerű. Mennyi a valószínűsége, hogy az
először érkezőnek nem kell 20 percnél többet várnia
a másikra?
16.3.20. Egy házaspár megbeszélte, hogy 9 és 10 óra között
találkoznak egy téren. Az érkezés a megbeszélt
időn belül véletlenszerű. Mennyi a valószínűsége, hogy nem
fognak találkozni, ha csak 15 percet várnak a
másikra?
16.3.21. . Egy kikötőbe 12 órán belül véletlenszerűen két hajó
érkezik. Az elsőnek érkező hajó rögtön elkezdi
a kirakodást. Az egyik hajónak 1 órát, a másiknak 2 órát vesz
igénybe a rakodás. Ha valamelyik hajó rakodik,
akkor a másiknak várakoznia kell. Mennyi a valószínűsége, hogy
valamelyik hajónak várakoznia kell a
kirakodásra?
16.3.22. Két darab egymás mellett futó 200 m hosszú kábelen
szeretnének kijelölni egy-egy szakaszt. Milyen
hosszú szakaszt kell választani, hogy 0,5 valószínűséggel ne
kerüljenek még részben sem egymás mellé a
kiválasztott részek?
16.3.23. Legyen egy n hosszúságú szakasz egyik végpontja P. Ezen
a szakaszon választunk két pontot
véletlenszerűen. Legyenek ezek Q és R. Mennyi a valószínűsége,
hogy a Q pont közelebb van a P-hez, mint
az R-hez?
16.3.24. A [0,1] intervallumon felveszünk véletlenszerűen két
pontot. Mennyi a valószínűsége, hogy ezek a
pontok közelebb vannak egymáshoz, mint a 0 pont és a hozzá
közelebb eső pont távolsága?
-
16.3.25. Egy egységnyi hosszúságú szakaszon véletlenszerűen
választunk két pontot. Mennyi a
valószínűsége, hogy a két pont közelebb lesz egymáshoz, mint
bármelyikük a végpontokhoz?
16.3.26. Egy egységnyi hosszúságú szakaszon véletlenszerűen
választunk két pontot. Mennyi a
valószínűsége, hogy a létrejövő három szakasz egyike sem
hosszabb, mint egy adott h hosszúság, ahol 1
3≤
ℎ ≤ 1?
16.4. Feltételes valószínűség
16.4.1. Három kockát feldobunk. Feltéve, hogy a dobott számok
között nincs két egyforma, mennyi a valószínűsége,
hogy legalább az egyiken 6-os van?
16.4.2. Ha nagyon sok kétgyerekes család közül kiválasztunk
véletlenszerűen egyet, és megtudjuk, hogy legalább az
egyik gyerek lány, akkor mennyi a valószínűsége, hogy van fiú is
a családban?
16.4.3. Három kockával dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy az
egyik kockával 6-ost dobunk, feltéve, hogy a
dobott számok összege 12.
16.4.4. Bizonyítsa be, hogy ha P A 0 7, és P B 0 8, , akkor P A
B 0 625, !
16.4.5. Hat azonos alakú doboz közül az első 4-ben 1-1 golyó
van, mégpedig fehér és kék. A hatodik dobozban 4
fehér és 1 kék golyó van. Az egyik találomra választott dobozból
véletlenszerűen kiveszünk egy golyót. A kivett golyó
fehér lett. Mennyi a valószínűsége, hogy a hatodik dobozból
való?
16.4.6. Öt kalap közül az elsőben 1 fehér és 1 fekete, a
másodikban 2 fehér és 1 fekete, a harmadikban 3 fehér és 1
fekete, a negyedikben 4 fehér és 1 fekete, az ötödikben pedig 5
fehér, és 1 fekete golyó van. Az egyik találomra választott
kalapból véletlenszerűen kiveszünk egy golyót.
a) A kivett golyó fehér lett. Mennyi a valószínűsége, hogy az
ötödik dobozból való?
b) A kivett golyó fekete lett. Mennyi a valószínűsége, hogy az
első dobozból való?
16.4.7. Kimutatták, hogy egy ország lakosságának 20%-a dohányos,
nekik 85%-a szenved egy bizonyos típusú
betegségben, míg a nem dohányosoknak mindössze 4%-a.
Kiválasztunk egy embert.
a) A kiválasztott beteg. Mennyi a valószínűsége, hogy
dohányzik?
b) A kiválasztott egészséges. Mennyi a valószínűsége, hogy nem
dohányzik?
16.4.8. Kimutatták, hogy egy iskola diákjainak 5%-a nagyon magas
IQ-val rendelkezik. Közülük 95%-a kitűnő, míg
a többieknek mindössze 45%-a. Kiválasztunk egy diákot.
a) A kiválasztott nem kitűnő. Mennyi a valószínűsége, hogy magas
IQ-val rendelkezik?
b) A kiválasztott kitűnő. Mennyi a valószínűsége, hogy nem
rendelkezik magas IQ-val?
16.4.9. Van egy-egy szabályos ,,dobótetraéderünk", és
dobókockánk. Mindegyik test lapjaira egytől kezdve felírtuk
az első néhány pozitív egészet, tehát a tetraéderre 1-től 4-ig,
a kockára 1-től 6-ig. Feldobunk két szabályos érmét. Ha
mindkettő fej, akkor a kockával, egyébként a tetraéderrel
dobunk. 1-est dobtunk. Mennyi az esélye, hogy pontosan egy
fejet dobtunk?
16.4.10. Van egy-egy szabályos ,,dobótetraéderünk", és
dobókockánk. Mindegyik test lapjaira egytől kezdve felírtuk
az első néhány pozitív egészet, tehát a tetraéderre 1-től 4-ig,
a kockára 1-től 6-ig. Feldobunk két szabályos érmét. Ha
-
van közöttük fej, akkor a kockával, egyébként a tetraéderrel
dobunk. 1-est dobtunk. Mennyi az esélye, hogy nem
dobtunk fejet?
16.5. Valószínűségi változó, eloszlás, várható érték
16.5.1. Szabályos dobókockával dobunk. A ζ valószínűségi változó
jelentse a dobott értéket. Adjuk meg ζ
eloszlását és várható értékét!
16.5.2. Két szabályos dobókockával dobunk. A ζ valószínűségi
változó jelentse a dobott számok összegét.
Adjuk meg ζ eloszlását és várható értékét!
16.5.3. Egy dobókocka egy oldalán 1-es, két oldalán 2-es, és
három oldalán 3-as szerepel. Egyszer dobunk
a kockával. A ζ valószínűségi változó jelentse a dobott értéket.
Adjuk meg ζ eloszlását és várható értékét!
16.5.4. Egy 20 fős társaságban 12 nő van. Kiválasztunk 4 embert.
A ζ valószínűségi változó jelentse a
kiválasztott nők számát. Adjuk meg ζ eloszlását és várható
értékét!
16.5.5. Egy kalapban 6 fekete és 4 fehér golyó van. Kiválasztunk
három golyót. A ζ valószínűségi változó
jelentse a kiválasztott fehérek számát. Adjuk meg ζ eloszlását
és várható értékét!
16.5.6. Egy célra lövéskor 0.2 a találat valószínűsége.
Háromszor lövünk a célra. A ζ valószínűségi változó
jelentse a találatok számát. Adjuk meg ζ eloszlását és várható
értékét!
16.5.7. Influenzajárvány idején gyakran előfordul, hogy minden
10.-ik ember megfertőződik az influenza
vírussal. Kiválasztunk két embert véletlenszerűen a járványos
időszakban. A ζ valószínűségi változó jelentse
a kiválasztottak között a megbetegedett emberek számát. Adjuk
meg ζ eloszlását és várható értékét!
16.5.8. Profi focisták 85%-a értékesíti az általuk végrehajtott
büntetőket. Egy profi focista az edzésen 4
büntetőt lő gyakorlásképpen. A ζ valószínűségi változó jelentse
a sikerrel végrehajtott büntetők számát. Adjuk
meg ζ eloszlását és várható értékét!
16.6. Vegyes feladatok
16.6.1. A lottóban legyen minden szelvény telitalálatának
valószínűsége k (0
-
d) 10 véletlenszerűen (nem feltétlenül különbözően kitöltött
szelvény közül legfeljebb 1 lesz telitalálatos.
e) 1000 eladott szelvény esetén mekkora lesz a szervezők
lottóhúzásból származó bevétele?
16.6.3. Egy metrószerelvény egy ajtajának esetén a kinyílás
valószínűsége k. Ez minden ajtó esetén
egyforma. Mi a valószínűsége annak, hogy:
a) Egy megállóban a 10 ajtó közül legalább egy kinyílik?
b) Egy megállóban a 10 ajtó közül legfeljebb kettő nyílik
ki?
c) Mekkora k értéktől fog az ajtók közül mind kinyílni legalább
90%-os valószínűséggel?
16.6.4. András és Béla évek óta teniszeznek. Tapasztalatok
alapján elmondható, hogy András nyerésének
valószínűsége k.
a) Mi a valószínűsége annak, hogy 5 lejátszott meccsből legalább
1-et András nyer?
b) Mekkora k értéktől lesz annak a valószínűsége legalább 0.8,
hogy Béla legfeljebb 1 meccset nyer, ha kétszer
játszanak?
c) Három lejátszott meccs esetén mekkora k érték esetén lesz
András győztes meccseinek várható értéke 2?
16.6.5. 4 lány és 4 fiú moziba megy.
a) Leülnek egymás mellé egy sorban. Mi a valószínűsége, hogy
fiúk és lányok felváltva ülnek?
b) Amikor vége az előadásnak, egymás után sorban jönnek ki az
ajtón. Mi a valószínűége annak, hogy az első
4 között két fiú és két lány lesz?
c) Mind a 8-an felírják a nevüket egy cédulára, és belerakják
egy kalapba. Ezután sorban kihúzzák a cédulákat
úgy, hogy minden húzás után visszateszik a kihúzott nevet. Mi a
valószínűsége, hogy az első 5 húzás után egy
adott nevet kétszer is kihúztak?
Megoldások
16.1. Klasszikus modell
Ebben a részfejezetben minden elemei esemény előfordulásának
valószínűsége megegyezik, így
alkalmazhatjuk a valószínűségszámítás klasszikus modelljét,
azaz:
számaeset
összes
aesetekszámkedvezőAP , a továbbiakban
ö
kAP
16.1.1. Kedvező esetek száma 5, (2,6), (6,2), (3,5), (5,3),
(4,4). Az összes lehetőség 62=36, így a keresett
valószínűség:
36
5
ö
kAP
16.1.2. Az előzőhöz hasonlóan,
18
5
36
10
ö
kAP
16.1.3. A komplementer esemény, a dobott számok összege legalább
11, ennek valószínűsége az előzőkhez
hasonlóan,
12
1
36
3
ö
kAP , így
12
111 APAP
-
16.1.4. Az előzőhöz hasonlóan,
54
1
216
4
ö
kAP
16.1.5. A komplementer esemény, a dobott számok összege
legfeljebb 5, ennek valószínűsége az előzőkhez
hasonlóan,
108
5
216
10
ö
kAP , így
108
1031 APAP
16.1.6.
a) Ez úgy következhet be, hogy az első két dobás nem 6-s (5·5=25
féleképpen), és a 3. dobás 6-os (egy
féleképpen), tehát a kedvező esetek száma 25·1=25, az összes
lehetőség pedig 63=216. Így a keresett
valószínűség:
216
25
ö
kAP
b) A komplementer esemény, hogy egyszer vagy kétszer dobunk. Az
első dobás csak 6-os lehet, ennek
valószínűsége 6
1, vagy kétszer dobunk azaz első dobás nem hatos, és a 2. dobás
hatos. Ennek valószínűsége
36
5. Mivel ezek kizáró események, ezért a komplementer esemény
valószínűsége
36
11. Így a keresett
esemény valószínűsége: 36
251 APAP
c) Egyszer, vagy kétszer, vagy háromszor dobunk. Kizáró
események, így a valószínűség:
216
91
216
25
36
5
6
1AP
16.1.7. :,
a) 7776
625
6
155
4
AP
b) 7776
625
6
155
4
AP
16.1.8. Egy kettesnek vagy négyesnek vagy hatosnak, és egy
ötösnek lenni kell a dobott számok között, így a
kedvező lehetőségek száma 3·2!=6. Az összes lehetőség pedig
62=36
Így a keresett valószínűség 6
1
36
6AP
16.1.9. Egy kettesnek vagy négyesnek vagy hatosnak, és egy
ötösnek lenni kell a dobott számok között. Ha a
harmadik szám nem ezek közül kerül ki, akkor az 2 féle lehet,
így ezt a három számot sorba is kell rendezni,
ebből így van 2·3!·3=36 lehetőség. Azért vesszük a
háromszorosát, hogy az ötös mellett melyik szám van a
2,4,6 közül. Ha a harmadik szám a kettes, akkor 3 féleképpen
lehet őket sorba rendezni (2-2-5, 2-5-2, 5-2-2),
ugyanígy három lehetőség van, ha a harmadik szám az ötös,
négyes, vagy hatos. A kedvező esetek száma ezek
alapján 36+3·4=48. Az összes lehetőség pedig 63=216.
-
Így a keresett valószínűség 9
2
216
48AP
16.1.10. A kedvező esetek száma 1, Az összes lehetőség pedig az
A betük ismétlődése miatt , 2520!2
!7 .
Így a keresett valószínűség: 2520
1AP
16.1.11.
a) A második húzás 4 féle lehet, mivel 4 király van. A másik
három húzás már 31·30·29 féleképpen
lehetséges. Az összes lehetőség: 32·31·30·29. Így a keresett
valószínűség: 8
1
932·31·30·2
4·31·30·29AP
b) Az előzőhöz hasonlóan, 248
3
932·31·30·2
4·30·29·3AP
16.1.12. a) Az előzőhöz hasonlóan 4
1
28932·31·30·2
288·31·30·29
AP
b) Az előzőhöz hasonlóan, 124
7
28932·31·30·2
288·7·30·29
AP
16.1.13. Két eset lehetséges: Egy színből 3 db, és a maradék
három színből 1 – 1 db, vagy két színből 2 – 2
db, és a maradék két színből 1 – 1 db.
Így a kedvező lehetőségek száma: 4157441
8
1
8
2
8
2
8
2
4
1
8
1
8
1
8
3
8
1
4
.
.4588,0906192
415744
6
32
1
8
1
8
2
8
2
8
2
4
1
8
1
8
1
8
3
8
1
4
P
16.1.14. .0008,032!
!29!4
P
16.1.15. P(legfeljebb 3 ász lesz) = 1 – P(4 ász lesz) =
9974,0
13
52
9
48
4
4
1
.
16.1.16. Az összes kimenetelek száma : 76 , kedvező kimenetelek
száma: 3 helyen lehet 1-es, a maradék
négy hely mindegyikére 5-féle szám jöhet, 54, ezt még meg kell
szorozni annyival ahány féleképpen
-
előfordulhat 3 helyen az 1 szám, azaz hányféleképpen tudunk 7
helyből 3-at kiválasztani?
3
7.
078,06
3
75
7
4
AP
16.1.17. 0823,06
1
4
2
64
6
3
AP
16.1.18. P(van két azonos betű) = 1 – P(nincs két azonos betű) =
.998,02
21
10
16.1.19. A lehetséges összegek: 15, ennek valószínűsége 8
11 AP , 14, ennek valószínűsége,
8
32 AP ,
13, ennek valószínűsége, 8
33 AP , 12, ennek valószínűsége,
8
14 AP .
16.1.20. A lehetséges összegek: 24, ennek valószínűsége 16
11 AP , 23, ennek valószínűsége,
4
1
16
42 AP , 22, ennek valószínűsége,
8
3
16
6
16
2
4
3
AP , 21, ennek valószínűsége, 4
1
16
44 AP ,
20, ennek valószínűsége, 16
15 AP
16.1.21. Legyen a fehér golyók száma:x, a zöldeké:y.
A piros vagy fehér golyó választásának valószínűsége: 3
2
yx12
x12
összes
kedvezőpvfP
A fehér vagy zöld golyó választásának valószínűsége: 5
3
yx12
yx
összes
kedvezőpvzP
Ilye módon egy két egyenletből álló kétismeretlenes
egyenletrendszerhez jutunk, annak a megoldását
keressük. Az elsőből kifejezzük x-t:
122
22243361221233
2
12
12
yx
yxxyxxyx
x
Ezt a második egyenletbe helyettesítjük:
812-102 xés 1060696015
912355
3
3
123
5
3
12212
122
5
3
12
yyyy
yyy
y
yy
yy
yx
yx
-
Tehát 8 fehér és 10 zöld golyó van a dobozban.
16.1.22. Az előző alapján 9 fehér és 6 zöld golyó van a
dobozban.
16.1.23. Az előző alapján 5 fehér és 4 fekete golyó van a
dobozban.
16.1.24. Komplementer esemény, n-szer feldobva a két kockát,
nincs közöttük 6-os: 52n. Az összes
lehetőség 62n. A kedvező esetek száma: 62n-52n.
nnn
összes
kedvezőAP
n
n
n
nn
3,6
36
25ln
1,0ln
36
25ln1,0ln
36
251,0
9,036
251
36
2536
Azaz 7 vagy annál több dobás esetén lesz a két kockán 0,9-nél
nagyobb valószínűséggel 6-os.
16.1.25. Az előző feladat alapján: n > 4,82. Azaz 5 vagy
annál több dobás esetén lesz a két kockán 0,98-nál
nagyobb valószínűséggel 5 vagy 6-os.
16.1.26. a) I. megoldás: A többi 25 embert berendezzük 25!
féleképpen, és utána beszúrjuk a két testvért
közéjük, a két testvér lehetséges pozíciói: 1 és 12, 2 és 13,
...., 16 és 27. Ez 16 lehetőség. Így a 25!·16-ot
megszorozzuk még kettővel, mert a két testvér lehetséges
sorrendjei. Tehát szerintem a kedvező lehetőségek
száma 25!·2·16, így a keresett valószínűség: 0,04558
II. megoldás: Kiválasztjuk azt a 10-et, aki a két testvér között
áll, és sorba rendezzük.
Ezután ezt megszorzzuk kettővel, hogy melyik testvér melyik
szélén áll. Ezt a 12 embert "összeragasztva"
egy sorba rendezendő a maradék 15 ember mellé, azaz 16 elemet
kell még sorba rendezni. Így ekkor a kedvező
esetek száma !162!1010
25
. Ezt ha elosztom az összes lehetőséggel, ugyanúgy 0,04558 a
keresett
valószínűség.
b) Mivel egy embert rögzíteni kell a ciklikusság miatt, mind az
összes, mind a kedvező esetnél, így 27-ed
részét vesszük mindkettőnek, a keresett valószínűség nem
változik. P(B) = 0,04558
16.1.27. Két eset lehetséges: A piros ász vagy a 4 választott
között van, vagy nincs közöttük.
Így .1596,0
4
32
2
21
1
7
1
3
3
21
1
1
P
16.2. Mintavétel visszatevéssel és visszatevés nélkül
-
16.2.1. A dominókészlet 55 db-os, ebből 10 db van, aminek
mindkét térfelén ugyanannyi pöttyszám van,
illetve 452
10
db olyan van, amelynek a térfelein különböző a pöttyszám. Az
összeilleszthetőség
kétféleképpen valósulhat meg. I. amikor az egyik dominó
ugyanolyan pöttyszámú mindkét térfélen, például
(0,0), és ehhez 9 másik dominó illeszthető (0,1)….(0,9), ez 9
db. Így ezen lehetőségek száma: 10·9=90. II.
Amikor mindkét dominó mindkét térfelén különbözőek a
pöttyszámok. Az első kiválasztott dominó bármelyik
lehet a 45 ilyen dominóból, legyen például a (0,1). Kizárva most
az egyenlő pöttyszámú dominókat az
illeszthető dominón vagy 0 kell, hogy legyen (0,2)….(0,9), vagy
1-es: (1,2)…..(1,9). Ez 45·16 lehetőség, de
minden esetet kétszer tartalmaz, mert ha elsőre az (1,2)-t
választjuk, akkor másodjára lehet a (0,1). Így a
kedvező esetek száma 90 + 2
1645 = 450. Az összes lehetőség
2
55=1485. Így a keresett valószínűség
1485
450)( AP =
33
10
16.2.2. 55
18
2
452
143689
)(
AP
16.2.3. a) Az összes lehetőség 28=256. Ebből
4
8=70 esetben lesz 4 fej, és 4 írás. Marad 186 eset, amikor
különböző a fejek és írások száma. Szimmetria miatt 93 esetben
lesz több írás. Így a keresett valószínűség
256
93AP .
b) A fejek és írások számának különbsége nagyobb, mint kettő, ha
8 fej, vagy 7 fej és 1 írás, vagy 6 fej és 2
írás. Ezek száma sorrendben
8
8,
7
8,
6
8. Ezek összege 37. Szimmetria miatt az is jó, ha az írások
száma
nagyobb legalább hárommal, mint a fejek száma, ezért a kedvező
lehetőségek száma: 74. Így a keresett
valószínűség 256
74AP .
16.2.4. a) Mivel 7 érmét dobunk fel, ugyanakkora annak a
valószínűsége, hogy több fej van, mint annak,
hogy több írás. Így a keresett valószínűség P(A)=0.5.
b) 128
29
128
5
7
6
7
7
7
AP
16.2.5.
A: lesz férges a választottak között, A: nem lesz férges a
választottak között.
-
.4162,0
5
100
5
90
11
APAP
16.2.6. a) Az összes lehetőség
3
7=35. Kedvező ha fehér marad utoljára, tehát 3 fehér és a három
fekete
lett kihúzva az első hat húzás alkalmával, ez
3
6 féleképpen valósulhat meg. Így a keresett valószínűség
7
4
3
7
3
6
AP . b) A feltételeknek az felel meg, ha egyszer sem (I), vagy
egyszer húzunk fehéret (II). Az
összes lehetőség 77, mert mind a hét húzás alkalmával a
visszatevés miatt mind a hét golyót kihúzhatjuk.
Kedvező, (I): 37, (II), 4·36, de ez utóbbit még 7-el meg kell
szorozni, aszerint, hogy hányadik dobás a fehér.
Így a keresett valószínűség 0274.07
73437
67
AP
16.2.7. a) P(A)=0.5. b) 34375.06
2
633
1
6333
6
4256
AP
16.2.8.
a) 9690
7
6
20
6
8
AP ≈ 0.00072
b) 969
308
6
20
3
12
3
8
BP ≈0.3179
c) 646
121
6
20
6
12
5
12
1
8
CP ≈ 0.1873
d) 1938
1902
6
20
6
8
1
12
5
8
1
DP ≈ 0.9819
16.2.9. a) A szorzat osztható hárommal, ha a kihúzott számok
között legalább 1 osztható hárommal, azaz a
3,6,9,12 szerepel a kihúzott számok között. Így komplementer
eseménnyel érdemes dolgozni: a kihúzott
-
három szám között egyik sincs a fentiek közül. Így a keresett
valószínűség:
3
14
3
10
1AP ≈ 0.6703
b) Az összeg osztható hárommal, ha I. mindhárom szám ugyanazt az
osztási maradékot adja hárommal, vagy
II. mindhárom kiválasztott szám különböző osztási maradékot ad.
Osztási maradékok szerint csoportosítva a
számokat: 0 maradék - 3,6,9,12 – 4db, 1 maradék – 1,4,7,10,13 -
5db, 2 maradék – 2,5,8,11,14 – 5db. Így a
kedvező esetek száma az I. esetben
3
5
3
5
3
4, a II. esetben 554 , Így a keresett valószínűség:
3
14
543
52
3
42
BP ≈ 0.3407
16.2.10. Az előző feladat alapján a) P(A) ≈ 0.6765 b) P(B) ≈
0.338
16.2.11.
a)
7
20
4
14
3
6
AP ≈ 0.2583
b)
7
20
1
5
4
9
2
6
BP ≈ 0.1219
c)
7
20
7
15
6
15
1
5
CP ≈ 0.4058
d)
7
20
7
14
1DP ≈ 0.9557
16.2.12. Egy üzemben naponta 120 terméket állítanak elő, amiből
átlagosan 5% selejt. Egyik nap
kiválasztunk 8-at az aznap legyártott termékek közül, úgy hogy a
kiválasztottakat nem tesszük vissza. Adjuk
meg a következő események valószínűségét! A kiválasztottak
között:
a)
8
120
8
114
AP ≈ 0.655
-
b)
8
120
1
6
7
114
8
114
1BP ≈ 0.0512
16.2.13.
a) 73 98.002.03
10
AP ≈ 0.00083
b) 829110 98.002.02
1098.002.0
1
1098.0
BP ≈ 0.9991
C)
9110 98.002.0
1
1098.01CP ≈ 0.0162
16.2.14. A komplementer esemény az, hogy nincs selejtes termék,
azaz mind jó. Ennek valószínűsége:
0.59874. 10xAP =0.59874. Ebből x=0.95. Tehát 95%-a
valószínűsége, hogy egy kiválasztott termék jó, így a selejtes
termék kiválasztásának valószínűsége 5%.
16.2.15. Az előző feladat alapján a selejtes termék
kiválasztásának valószínűsége 3%.
16.2.16. Annak a valószínűsége, hogy egy terméket kiválasztunk,
és az jó: 0.96. Annak a valószínűsége,
hogy minden kiválasztott termék jó: 0.7214. 0.96x=0.7214. Ebből
96.0lg
7214.0lgx . Így a kiválasztott termékek
száma 8.
16.2.17. Az előző feladat alapján a kiválasztott termékek száma
12.
16.2.18. a) Komplementer eseménnyel dolgozunk, amely szerint
mind a 3 golyó piros, vagy mind a 3 kék.
Így a keresett valószínűség:
4
11
4
5
4
6
1AP ≈ 0.0606
b) Binomiális eloszlással dolgozunk. A piros húzásának
valószínűsége 11
6p , a kék húzásának valószínűsége
11
51 p , így a a keresett valószínűség
22
11
5
11
6
2
4
BP ≈ 0.3688?
16.2.19.
16.3. Geometriai valószínűség
-
16.3.1. 0837.0400
25400
T
tAP
16.3.2.
a) 04524.0625
9
T
tAP
b) 05529.0625
2536
T
tAP
c) 04524.0625
100625
T
tAP
16.3.3. A sugarak: √0,1; √0,2; ⋯ ; √0,9; 1
16.3.4. Az ábrán a sokszög főátlói által meghatározott
egyenlő
szárú háromszögek közül látható két szomszédos. Legyen a
sokszög
középpontja O. Ekkor a beírt kör sugarából, és az AOB =36°
segítségével aköré írt kör sugara
18cos
5R , így a sokszög területe
18cos
36sin125
2
36sin10
2
2RT . A sokszög oldala
1810182 tgtgra , egy belső szöge 144°, így az ABC
háromszög területe
144sin18502
144sin 22
tga
t . Így a keresett valószínűség
0382.0
18cos
36sin125
144sin1850
2
2
tg
T
tAP
16.3.5. Az előző feladat alapján a megoldás P(A) ≈ 0.0586
16.3.6. Ábrázoljuk a téglalap csúcsait, illetve az egyeneseket,
xy2
52 és .
2
53 xy A téglalap
oldalegyenesei az x=0, x=4, y=0, y=1 egyenesek. Ezekből a
metszéspontok:
1,
5
4E ,
1,
5
2F ,
0,
5
4E ,
1,
5
4G ,
1,
5
6H . A téglalap területe 4 területegység, az
ABFG trapéz területe 5
31
2
5
2
5
4
1
t , az EHDC trapéz
területe 35
151
2
5
14
5
16
1
t . Így az FGHE négyszög
-
területe: 5
23
5
34
T . Így a keresett valószínűség
10
1
4
5
2
ABCD
FGHE
T
TAP
16.3.7. Az előző feladat alapján:
a) 10
1
2
5
1
AP
b) 5
3
2
5
6
AP
c) 10
3
2
5
6
5
1
1
AP
16.3.8. 75.02
122
22
T
tAP
16.3.9. 5625.04
32
2
T
tAP
16.3.10. A 3-nak r sugarú környezete 2r hosszú. Annak
valószínűsége, hogy ebbe a környezetbe esik a P
pont: 7
2rAP A feltétel szerint:
5
1
7
2
r. Ebből:
10
7r .
16.3.11. A mellékelt ábra alapján a P ponttól 2r távolságra
lévő
pontok azok a P középpontú 2r sugarú köríven helyezkednek el.
Így
a kedvező terület a világosszürkével jelölt „holdacska” melynek
területét
(t2) megkapjuk, ha az O középpontú r sugarú félkör területéből
kivonjuk
a sötétszürkével jelölt körszelet (t1) területét. Ez utóbbi
pedig megvan,
ha a P középpontú 2r sugarú negyed körcikk területéből kivonjuk
az
ABP háromszög területét.
1
22
2
4
2 222
2
r
rrt , 22
2
1 122
rrr
t
.
Így
12
2
1 r
r
T
tAP
16.3.12. Az egységnyi szakaszon kijelölt pontok távolsága az
egyik végponttól legyen x és y. A két pont
jelölése az egységnyi négyzet (x,y) pontjának véletlenszerű
kiválasztásával ekvivalens. A négyzet területe:
𝑇 = 1.
A három szakaszból akkor szerkeszthető háromszög, ha bármelyik
kettő összege nagyobb a harmadiknál.
Két eset lehetséges:
-
1. Ha 𝑥 < 𝑦, akkor a három szakasz: 𝑥, 𝑦 − 𝑥, 1 − 𝑦. Ezekre
kell, hogy teljesüljön a háromszög
egyenlőtlenség:
1 − 𝑥 > 𝑥, 𝑣𝑎𝑔𝑦𝑖𝑠 𝑥 <1
2
𝑥 + 1 − 𝑦 > 𝑦 − 𝑥, 𝑣𝑎𝑔𝑦𝑖𝑠 𝑦 < 𝑥 +1
2
𝑦 > 1 − 𝑦, 𝑣𝑎𝑔𝑦𝑖𝑠 𝑦 >1
2
2. Ha 𝑦 < 𝑥, akkor az előző esethez hasonló
egyenlőtlenségeket
kapunk, csak az x és y felcserélődnek. Tehát:
𝑦 <1
2, 𝑦 > 𝑥 −
1
2, 𝑥 >
1
2
A feltételeknek megfelelő pontok a vonalkázott területre
esnek,
melynek a területe: 𝑡 =1
4. Vagyis: 𝑃 =
𝑡
𝑇=
1
4 a valószínűsége,
hogy a véletlenszerűen választott szakaszokból háromszög
szerkeszthető.
16.3.13. Az AB ív hossza legyen x, az AC ív pedig y. Az x és y a
(0, 2𝑟𝜋) intervallumba eső számok. Ezeknek
feleltessük meg a sík 2𝑟𝜋 oldalú négyzetének (x, y) koordinátájú
pontjait.
A háromszög akkor hegyesszögű, ha a háromszög szögeihez tartozó
kerületi
szögek körívei a félkörtől kisebbek. Két eset lehetséges:
1. Ha 𝑥 < 𝑦, akkor az alábbi egyenlőtlenségeknek kell
teljesülni:
A C csúcshoz tartozó x körívre: 𝑥 < 𝑟𝜋
Az A csúcshoz tartozó 𝑦 − 𝑥 körívre: 𝑦 − 𝑥 < 𝑟𝜋, azaz : 𝑦
< 𝑥 + 𝑟𝜋
A B csúcshoz tartozó 2𝑟𝜋 − 𝑦 körívre: 2𝑟𝜋 − 𝑦 < 𝑟𝜋, azaz: 𝑦
> 𝑟𝜋
2. Ha 𝑦 < 𝑥, akkor az előző esethez hasonló
egyenlőtlenségeket kapunk, csak az x és y felcserélődnek.
A két esetnek megfelelő pontok a 2𝑟𝜋 oldalú négyzetben vannak.
Hasonlósági transzformációval ezt
átvihetjük az egységnyi négyzetbe. Az előző feladat megoldása
alapján:
𝑡 =1
4 és 𝑇 = 1 miatt: 𝑃 =
𝑡
𝑇=
1
4.
-
16.3.14. Legyen az első pont után létrejövő nagyobbik szakasz
x
hosszúságú. Ekkor 1
2≤ 𝑥 ≤ 1 teljesül. A második pont felvétele
után az egyik végponttól mért távolság legyen xy. Ekkor 0 ≤ 𝑦
≤
1 teljesül. A kapott x és y értékeknek feleltessük meg a sík
(x,y)
koordinátájú pontjait. Ezek a pontok egy téglalapra esnek,
melynek területe: 𝑇 =1
2. A három szakaszból akkor szerkeszthető
háromszög, ha a hosszabb szakasz részei sem nagyobbak 1
2-nél.
Ekkor:𝑥 −1
2≤ 𝑥𝑦 ≤
1
2
Ezt x-szel osztva:
1 −1
2𝑥≤ 𝑦 ≤
1
2𝑥
Az egyenlőtlenségeknek megfelelő pontok a vonalkázott területre
esnek, amelynek a területe:
𝑡 = ∫ (1
𝑥− 1) 𝑑𝑥 = [𝑙𝑛𝑥 − 𝑥] = 0 − 1 − 𝑙𝑛
1
2+
1
2= 𝑙𝑛2 −
1
2
1
12
Ezért a keresett valószínűség:
𝑃 =𝑡
𝑇=
𝑙𝑛2 −12
12
= 2𝑙𝑛2 − 1
16.3.15.
Legyen a három szakasz x,y,z. Ennek a számhármasnak
megfeleltethető a térben egy d élű kocka egy (x,y,z)
pontja. Ennek a kockának a térfogat: 𝑉 = 𝑑3. A kérdezett
valószínűség akkor nem következik be, ha a
koordináták között az alábbi összefüggések valamelyike
teljesül:
𝑥 + 𝑦 < 𝑧; 𝑦 + 𝑧 < 𝑥; 𝑥 + 𝑧 < 𝑦
Ezek egy-egy tetraéder pontjait adják, amelyek a d élű kocka
egy-egy síkkal történő metszésével keletkeznek.
A tetraéderek három, egy csúcsból induló, egymásra merőleges éle
d hosszúságú. Ezért a térfogatuk
egyenként: 𝑉 =𝑑3
6. Ha a három tetraédert a kockából elvesszük, akkor a megmaradó
test pontjaiban
teljesülnek a feladat feltételei. A maradék test térfogata:
𝑣 = 𝑑3 − 3 ∙𝑑3
6=
𝑑3
2
Ezért a kérdezett valószínűség:
𝑃 =𝑣
𝑉=
𝑑3
2𝑑3
=1
2
16.3.16.
Legyenek a téglatest élei x,y,z. A szakaszok véletlenszerű
kiválasztásának a (0,1) intervallumban
megfeleltethető az egységnyi kocka (x,y,z) pontjának véletlen
választása. A kockának a kérdésnek megfelelő
pontjaira az alábbi összefüggésnek kell teljesülnie:
-
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 < 1
Tehát a kockának az origó középpontú, egységnyi sugarú gömbbe
eső pontjai felelnek meg a feltételnek.
Ezek egy nyolcad gömbben helyezkednek el, melynek a
térfogata:
𝑣 =1
8∙
4𝜋
3=
𝜋
6
Tehát a kérdezett valószínűség:
𝑃 =𝑣
𝑉=
𝜋61
=𝜋
6
16.3.17.
Legyen C a vizsgált esemény! A meghibásodás valószínűsége
arányos a szakasz hosszával, vagyis:
𝑃(𝐶)
𝑃(𝐶̅)=
450 − 180
180
A 𝑃(𝐶) + 𝑃(𝐶̅) = 1 miatt:
𝑃(𝐶) = (1 − 𝑃(𝐶)) ∙270
180=
3
2−
3
2∙ 𝑃(𝐶)
5
2∙ 𝑃(𝐶) =
3
2 , azaz 𝑃(𝐶) =
3
5.
16.3.18.
A pontok távolsága a szakasz egyik végpontjától legyen x és y. A
két pont felvétele ekvivalens azzal, hogy a
sík egységnégyzetének egyik (x,y) pontját választjuk.
A négyzet területe: 𝑇 = 1. A kérdésben szereplő esemény
akkor
teljesül, ha |𝑦 − 𝑥| < 𝑑. Ennek az egyenlőtlenségnek
megfelelnek az
egységnégyzetnek az 𝑦 = 𝑥 + 𝑑 é𝑠 𝑦 = 𝑥 − 𝑑 egyenesek közötti
vonalkázott rész pontjai. A vonalkázott rész területe:
𝑡 = 1 − (1 − 𝑑)2 = 𝑑(2 − 𝑑)
Ezért a kérdezett valószínűség:
𝑃 =𝑡
𝑇= 𝑑(2 − 𝑑)
16.3.19.
Érkezzen az első személy x, a második y perccel 9 óra után.
Ezeknek feleljen meg a sík egységnégyzetének
(x,y) koordinátájú pontja.
-
A négyzet területe: 𝑇 = 1. A kérdésben szereplő esemény
akkor
teljesül, ha |𝑦 − 𝑥| ≤1
3. Ebből két összefüggésnek kell teljesülnie:
𝑦 ≥ 𝑥 −1
3 é𝑠 𝑦 ≤ 𝑥 +
1
3
Az egyenlőtlenségeknek megfelelő pontok a vonalkázott
területre
esnek, melynek a területe:
𝑡 = 1 − (2
3)
2
= 1 −4
9=
5
9
Ezért a keresett valószínűség:
𝑃 =𝑡
𝑇=
5
9
16.3.20. Érkezzen az első személy x, a második y perccel 9 óra
után. Ezeknek feleljen meg a sík
egységnégyzetének (x,y) koordinátájú pontja.
A négyzet területe: 𝑇 = 1. A kérdésben szereplő esemény akkor
teljesül, ha:
|𝑦 − 𝑥| >1
4
Ebből két összefüggésnek kell teljesülnie:
𝑦 > 𝑥 +1
4 é𝑠 𝑦 < 𝑥 −
1
4
Az egyenlőtlenségeknek megfelelő pontok a vonalkázott
területre
esnek, melynek a területe:
𝑡 = (3
4)
2
=9
16
Ezért a keresett valószínűség:
𝑃 =𝑡
𝑇=
9
16
16.3.21. A 12 órás időtartam kezdetétől az 1 órás rakodási idejű
hajó érkezéséig eltelt idő legyen x, a 2 órásé
y. Ezeknek feleljen meg a sík 12 egységnyi négyzetének (x,y)
koordinátájú pontjai.
-
A négyzet területe: 𝑇 = 122 = 144 egység. Két eset
lehetséges:
1. Ha 𝑥 < 𝑦, akkor 𝑦 − 𝑥 < 1, azaz 𝑦 < 𝑥 + 1.
2. Ha 𝑥 > 𝑦, akkor 𝑥 − 𝑦 < 2, azaz 𝑦 > 𝑥 − 2.
A két esetnek megfelelő pontok a vonalkázott területre esnek. Ez
a
terület:
𝑡 = 144 − (102
2+
112
2) = 33,5
Ezért a keresett valószínűség:
𝑃 =𝑡
𝑇=
33,5
144= 0,23
16.3.22. A keresett hosszúság legyen d. A d hosszúságú szakasz
kezdőpontja a kábel elejétől legyen x méter,
a másikon y méter. E két szakasznak megfeleltethetjük a (200-d)
oldalú négyzet (x,y) koordinátájú pontjait.
Ekkor a négyzet területe: 𝑇 = (200 − 𝑑)2. A kívánt esemény
csak
akkor teljesül, ha: 𝑑 < 100, illetve |𝑥 − 𝑦| > 𝑑. Ez két
esetben
lehetséges:
1. 𝑥 − 𝑦 > 𝑑, vagyis 𝑦 < 𝑥 − 𝑑.
2. 𝑥 − 𝑦 < −𝑑, vagyis 𝑦 > 𝑥 + 𝑑.
Ezen feltételnek megfelelő pontok a vonalkázott részben
vannak,
melynek területe:
𝑡 = (200 − 2𝑑)2. A keresett valószínűség:
𝑃 =𝑡
𝑇=
(200 − 2𝑑)2
(200 − 𝑑)2=
1
2
Mindkét oldalból vonjunk négyzetgyököt:
200 − 2𝑑
200 − 𝑑=
1
√2
Rendezzük és oldjuk meg az egyenletet. Ekkor:
𝑑 = 200 ∙√2 − 1
2√2 − 1≈ 45
Tehát közelítőleg 45 méteres szakaszokat kell kijelölni.
-
16.3.23. Az n hosszúságú szakasznak feleljen meg a (0,1)
intervallum, a
P végpontnak pedig az origó. A Q és R pontnak a (0,1)
intervallum x és y
koordinátájú pontja úgy, hogy a távolságok aránya nem változik.
Mivel az
x és y megválasztása véletlenszerű, ezért a sík
egységnégyzetének egy (x,y)
pontját adják.
A négyzet területe: 𝑇 = 1. A kérdésben szereplő esemény akkor
teljesül,
ha:
𝑥 < 𝑦 − 𝑥, vagyis 2𝑥 < 𝑦. Ennek az egyenlőtlenségnek
megfelel az ábrán
látható vonalkázott rész területe, vagyis 𝑡 =1
4.
Ezért a keresett valószínűség:
𝑃 =𝑡
𝑇=
1
4
16.3.24. Jelöljük y-nal a 0 ponthoz közelebb eső pont
koordinátáját, és
x-szel a távolabbiét. Ekkor teljesülnek az alábbi
egyenlőtlenségek:
0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 1 (1)
A két pont közelebb van egymáshoz, mint a 0-hoz az y
koordinátájú
pont, ha 𝑥 − 𝑦 < 𝑦, vagyis 𝑥 < 2𝑦. Ha az (x,y)
számpárnak
megfeleltetjük a sík pontjait, akkor az (1) egyenlőtlenségek
egy
háromszöget határoznak meg.
Ebben a kedvező eseteket azok a pontok adják, melyekre 𝑥 <
2𝑦.
Ezeknek az ábrán látható vonalkázott rész felel meg. Ezért a
keresett
valószínűség: 𝑃 =𝑡
𝑇=
1
2
16.3.25. A pontoknak az egyik végponttól mért távolsága legyen x
és y. Ha az (x,y) számpárnak
megfeleltetjük a sík pontjait, akkor az egységnégyzetet pontjait
kapjuk, melynek területe: 𝑇 = 1. Az esemény
két esetben teljesül:
1. Ha 𝑥 < 𝑦, akkor:
𝑦 − 𝑥 < 𝑥, vagyis 𝑦 < 2𝑥
𝑦 − 𝑥 < 1 − 𝑦, vagyis 𝑦 <𝑥
2+
1
2
2. Ha 𝑥 > 𝑦, akkor:
𝑦 − 𝑥 < 𝑦, vagyis 𝑦 >𝑥
2
𝑦 − 𝑥 < 1 − 𝑥, vagyis 𝑦 > 2𝑥 − 1
A kedvező eseteknek az alábbi ábrán látható vonalkázott rész
területe
felel meg:
Számítsuk ki az OPQR rombusz területét! Ez az átlók szorzatának
a
felével egyenlő, vagyis:
-
𝑡 =√2 ∙
√23
2=
1
3
Ezért a keresett valószínűség:
𝑃 =𝑡
𝑇=
1
3
16.3.26. A pontoknak az egyik végponttól mért távolsága legyen x
és y. Ha az (x,y) számpárnak
megfeleltetjük a sík pontjait, akkor az egységnégyzet pontjait
kapjuk, melynek területe: 𝑇 = 1. Az esemény
két esetben teljesül:
1. Ha 𝑥 < 𝑦, akkor:
𝑥 < ℎ é𝑠 𝑦 − 𝑥 < ℎ, vagyis 𝑦 < 𝑥 + ℎ
1 − 𝑦 < ℎ, vagyis 𝑦 > 1 − ℎ
2. Ha 𝑥 > 𝑦, akkor:
𝑦 < ℎ é𝑠 𝑥 − 𝑦 < ℎ, vagyis 𝑦 > 𝑥 − ℎ
1 − 𝑥 < ℎ, vagyis 𝑥 > 1 − ℎ
Mindkét esetben további két részt különböztethetünk meg a h
értéke alapján:
a, Ha 1
3≤ ℎ ≤
1
2, akkor az alábbi ábrán látható vonalkázott rész a
kedvező eset Ennek területe:
𝑡 = (3ℎ − 1)2
b, Ha 1
2≤ ℎ ≤ 1, akkor az alábbi ábrán látható vonalkázott rész a
kedvező eset Ennek területe:
𝑡 = 1 − 3(1 − ℎ)2
Ezért a keresett valószínűség:
𝑃 =𝑡
𝑇= {
(3ℎ − 1)2, ℎ𝑎 1
3≤ ℎ ≤
1
2
1 − 3(1 − ℎ)2, ℎ𝑎 1
2≤ ℎ ≤ 1
16.4. Feltételes valószínűség
16.4.1. A : Van hatos dobás. B : Nincs két egyforma dobás.
36
456 BP
,
36
453 ABP
.
-
Így
.5,0456
453
BP
ABPBAP
16.4.2. A lehetséges esetek: fffllfll , , , .
A : Van lány a családban. B : Fiú is van a családban.
.3
2
4
34
2
AP
BAPABP
16.4.3. A: az egyik kockán 6-os van. B: a dobott számok összege
12.
Az összes esetek száma:36 .
A B esemény a következő esetekben következik be:
A dobások eredménye: 1, 5, 6 darabszám: 3! = 6
2, 4, 6 3! = 6
2, 5, 5 32!
!3
3, 3, 6 32!
!3
3, 4, 5 3! = 6
4, 4, 4 1
6,025
15
6
256
15
3
3
BP
ABPBAP
.
16.4.4. BAPBPAPBAP . Mivel 1 BAP , ezért 1 BAPBPAP ,
vagyis 5,018,07,01 BPAPBAP . Így
625,08,0
5,0
BP
BAPBAP .
16.4.5. Először vizsgáljuk meg a fehér golyó húzásának
valószínűségét! 20
11
60
33
5
4
6
1
2
1
6
5BP .
A hatodik dobozból való fehér golyó húzásának valószínűsége:
15
2
30
4
5
4
6
1BAP . Így a keresett
valószínűség: 33
8
165
40
20
1115
2
BP
ABPBAP
-
16.4.6. a) Először vizsgáljuk meg a fehér golyó húzásának
valószínűségét!
100
71
6
5
5
1
5
4
5
1
4
3
5
1
3
2
5
1
2
1
5
1BP . Az ötödik dobozból való fehér golyó húzásának
valószínűsége:
6
1
30
5
6
5
5
1BAP . Így a keresett valószínűség:
21350
100
716
1
BP
ABPBAP
b) Először vizsgáljuk meg a fekete golyó húzásának
valószínűségét!
100
29
6
1
5
1
5
1
5
1
4
1
5
1
3
1
5
1
2
1
5
1BP . Az első dobozból való fekete golyó húzásának
valószínűsége:
10
1
2
1
5
1BAP . Így a keresett valószínűség:
29
100
2910
1
BP
ABPBAP
16.4.7. a) Először vizsgáljuk meg a beteg kiválasztásának
valószínűségét!
202.004.08.085.02.0 BP . Annak valószínűsége, hogy dohányos
beteget választunk ki:
17.085.02.0 BAP . Így a keresett valószínűség:
8416.0202.0
17.0
BP
ABPBAP
b) Először vizsgáljuk meg az egészséges ember kiválasztásának
valószínűségét!
798.096.08.015.02.0 BP . Annak valószínűsége, hogy egészséges
nem dohányzót választunk ki:
768.096.08.0 BAP . Így a keresett valószínűség:
9624.0798.0
768.0
BP
ABPBAP
16.4.8.
a) Az előző feladat alapján a keresett valószínűség: 0.00476
b) Az előző feladat alapján a keresett valószínűség: 0.9
16.4.9. A keresett valószínűség: 11
9
6
1
4
1
4
1
4
34
1
4
3
BP
ABPBAP
16.4.10. A keresett valószínűség: 3
1
4
1
4
1
6
1
4
34
1
4
1
BP
ABPBAP
16.5. Valószínűségi változó, eloszlás, várható érték
16.5.1. Az eloszlás: ;6
16;
6
15;
6
14;
6
13;
6
12;
6
11 PPPPPP A
várható érték: 2
76
6
15
6
14
6
13
6
12
6
11
6
1M .
-
16.5.2. Az eloszlás: ;36
56;
36
45;
36
34;
36
23;
36
12 PPPPP
;36
112;
36
211;
36
310;
36
49;
36
58;
36
67 PPPPPP A várható érték:
3
2212
36
211
36
210
36
39
36
48
36
57
36
66
36
55
36
44
36
33
36
22
36
1M
16.5.3. Az eloszlás: ;2
1
6
33;
3
1
6
22;
6
11 PPP A várható érték:
3
73
2
12
3
11
6
1M
16.5.4. Az eloszlás: ;1615
616
4
20
2
8
2
12
2;1615
224
4
20
3
8
1
12
1;969
14
4
20
4
8
0
12
0
PPP
969
352
4
20
1
8
3
12
3
P ; 323
33
4
20
0
8
4
12
4
P . A várható érték:
4.24323
333
969
3522
1615
6161
1615
2240
969
14M .
16.5.5. Az eloszlás: ;10
3
3
10
1
6
2
4
2;2
1
3
10
2
6
1
4
1;6
1
3
10
3
6
0
4
0
PPP
30
1
3
10
0
6
3
4
3
P ;. A várható érték: 2.1330
12
10
31
2
10
6
1M .
16.5.6. Az eloszlás:
;125
128.02.0
2
32;
125
488.02.0
1
31;
125
648.02.0
0
30 122130
PPP
125
18.02.0
3
33 03
P ;. A várható érték: 6.03
125
12
125
121
125
480
125
64M .
16.5.7. ;100
19.01.0
2
22;
100
189.01.0
1
21;
100
819.01.0
0
20 021120
PPP
A várható érték: 2.02100
11
100
180
100
81M .
-
16.5.8. ;15.085.02
42;15.085.0
1
41;15.085.0
0
40 223140
PPP
;15.085.04
44;15.085.0
3
43 0413
PP 4.3M
16.6. Vegyes feladatok
16.6.1. a) A legalább egy találat értelmében a következő
lehetőségekkel számolni: I: mindkét húzásnál nyer, ennek
valószínűsége: k2. II. Az első húzásnál nyer, a másodiknál nem:
k·(1-k)=k-k2. III. A másodiknál nyer, az elsőnél nem,
ez szintén k-k2. Mivel ezek kizáró események, a keresett
valószínűség ezek összege: P(A)=2k-k2.
b) Ha a két szelvény egyformán van kitöltve a telitalálat
valószínűsége k. Ha különböző módon, akkor 2k.
c) Az összehasonlításhoz mindkét b) –beli lehetőséget meg kell
vizsgálni. Ha egyformán van kitöltve a két
szelvény, akkor az a) szabály a kedvezőbb, mivel 2k-k2>k,
mert átrendezve k-k2=k·(1-k)>0, mert k>0, és 1-
k>0. Ha különbözőképpen van a két szelvény kitöltve, akkor a
b) beli szabály a kedvezőbb, 2k>2k-k2, mert
átrendezve k2>0.
16.6.2. Egy rendezvényen lottóhúzást szerveznek. Egy szelvényen
20 szám (az első 20 pozitív egész)
található, ebből kell 4-et megjelölni. Csak a telitalálat, vagy
a három találat nyer. Egy szelvény ára 500 ft. A
telitalálat értéke 10.000 ft, a három találaté 2.000 ft.
Határozzuk meg a következő események valószínűségét!
a) 4 vagy 3 találattal lehet nyerni, .1342,0
4
20
1
16
3
4
4
4
AP
b) .075,0
4
20
3
14
1
BP , .009288,0
4
20
2
10
2
BP
c) A sorrendre vonatkozó feltétel független a kihúzott
számoktól, A kihúzott számok a húzás sorrendjében
csökkenő, vagy növekvő sorrendben követik egymást így a keresett
valószínűség: .12
1
!4
2CP
d) Egy szabályosan kitöltött szelvény telitalálatának
valószínűsége .4845
1
4
20
1
p Binomiális eloszlással
dolgozunk. A legfeljebb 1 telitalálat 0 vagy 1 telitalálatot
jelent, ami kizáró események így
9.110
4845
4844
4845
1
1
10
4845
4844
DP ≈ 0.8775
e) 1000 eladott szelvény esetén mekkora lesz a szervezők
lottóhúzásból származó haszna? A bevétel:
500·1000=500.000 ft. Egy szelvény esetén a kiadás várható
értéke:
000.24845
1
16
3
4
000.104845
1
M ≈ 28.48. 1000 eladott szelvény esetén a kiadás várható
értéke:
28.483 Ft. Így a várható haszon: 471.517 ft.
16.6.3.
-
a) Annak a valószínűsége, hogy egy ajtó nem nyílik ki: 1-k.
Annak, hogy egyik sem nyílik ki 101 k . Ez a
komplementer esemény valószínűsége, így a keresett valószínűség:
1011)( kAP .
b) 82910 12
101
1
101)( kkkkkAP
c) k ≥ 0.9895
16.6.4.
a) Komplementer esemény: András egyszer sem nyer, ez alapján
511)( kAP
b) 8.0211
2)( 22
kkkkkBP . Ebből 5528.0k
c) A valószínűségi változó jelentse András győzelmeinek a számát
három meccsből.
;36311
3)1(;1)0( 32
213 kkkkkPkP
322 3312
3)2( kkkkP
; ;)3( 3kP
András győzelmeinek várható értéke a három meccsből:
23366363)3(3)2(2)1(1)0(0 33232 kkkkkkkPPPP
Ebből 3
2k
16.6.5.
a) 35
1
!8
!4!42
AP
b) 35
18
4
8
2
42
BP
c) 1047.08
7
8
1
2
5)(
32
cP
