154932147 TAJUK 2 Had Dan Keselanjaran

MTE3108 BASIC CALCULUS

1

TAJUK 2 HAD DAN KESELANJARAN 12 JAM

SINOPSIS

Aplikasi had banyak digunakan dalam bidang matematik, misalnya semasa melakukan

graf. Aplikasi had juga diperlukan dalam kalkulus pembezaan atau terbitan dan

keselanjaran.

HASIL PEMBELAJARAN

Menyatakan konsep had dan takrif had

Menyatakan teorem had

Menggunakan teorem had untuk melakukan pengiraan had

Menentukan had kiri dan kanan secara pengiraan dan lakaran graf.

Menentukan had terhingga dan tak terhingga

Menentukan garis asimptot dalam lakaran graf

Menyatakan takrif keselanjaran pada titik

Menggunakan teorem keselanjaran untuk membuktikan keselanjaran pada

sesuatu titik

Mengira had dengan menggunakan Teorem Pinching

Menyatakan had bagi fungsi trigonometri

KERANGKA TAJUK 2

2.1 Konsep had

2.2 Takrif had

2.3 Teorem had

2.4 Had kiri dan had kanan

2.5 Had terhingga dan tak terhingga

2.6 Garis asimptot dan lakaran graf

2.7 Keselanjaran pada titik

2.8 Teorem Pinching

2.9 Had bagi Fungsi Trigonometri


2

1.1. KONSEP HAD Pertimbangkan y = f(x) merupakan suatu fungsi. Dimana c dan L merupakan suatu nilai nyata, apabila x menghampiri c tetapi tidak semestinya tertakrif pada c, f(x) akan menghampiri L;

Contoh 1 : Diberi fungsi f : di mana ?4hadhad33

xxfxx

Kaedah Jadual:

x 2.8 2.9 2.99 3.01 3.1 3.2

f(x) = x+4

6.8

6.9

6.99

7.01

7.1

7.2

Kaedah Algoritma:

4hadhad33x

xxfx

3 + 4 = 7

Contoh 2 : Cari 7had2

xx

Penyelesaian:

9727hadhad22x

xxfx

3

Contoh 3 : Cari 1

12had

2

1 x

xx

x

Penyelesaian:

22

4

11

1)1(21

1

12had

22

1 x

xx

x

Latihan 1 :

Apabila x menghampiri c, f(x) akan menghampiri suatu nombor L. Pernyataan ini boleh ditulis sebagai;

Lxfcx

had


3

Cari had bagi fungsi berikut :

(a) )52(had3

xx

(b) )3(had2

4x

x

(c) 4

22had

22 x

x

x

(d) 22had1

xx

1.1.1 Teknik Menilai Had Had boleh dinilai menggunakan penggantian terus. Jika penggantian gagal, ianya

memberikan . Jadi anda boleh gunakan

i) Teknik penghapusan

ii) Mengrationalkan ungkapan

1.1.1.1 Teknik Penghapusan

Contoh 3 :

Penggantian terus memberikan , oleh itu faktorkan

1.1.1.2 Mengrationalkan ungkapan

Mengrationalkan ungkapan ialah mendarabkan fungsi dengan konjugat

Contoh 4 :


4

Cari

Penggantian terus memberikan

1.1.2 Kriteria bagi kewujudan had Suatu lengkungan yang dtunjukkan adalah graf fungsi f. Suatu nombor c pada paksi- x dan had L pada paksi-y. Apabila x menghampiri c pada paksi-x, f(x) menghampiri L pada paksi-y. Terdapat tiga kes;

Kes Satu : Lcf

Kes Dua: f tidak tertakrif pada c

Kes Tiga : f tertakrif pada c , tetapi Lcf Walau bagaimana pun semua kes menunjukkan;

Lxfcx

had

Rajah dibawah menunjukkan had semasa x menghampiri 2.


5

Dalam semua kes di atas kita boleh tulis bahawa : 1had2

xfx

Contoh 5 : Lengkapkan jadual di bawah dan anggarkan nilai hadnya.

(a) 2

4had

2

2 x

x

x

Kaedah Jadual :

x 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1

f(x)

3.9

3.99

3.999

4.001

4.01

4.1

Kaedah Algoritma:

22)2(had2

)2)(2(had

2

4had

22

2

2x

x

xx

x

x

xxx4

Graf Fungsi.

y

2

3

y y

x x x

1 1 1

2 2 2

0 0

2)1(

dan

1

f

xf 2,

2

3

2,1

x

x

xf

2,1 xxf

0


6

(b) 1

12had

2

1x x

xx

Kaedah Jadual:

x -0.9 -0.99 -0.999 -1.001 -1.01 -1.1

f(x)

0.1

0.01

0.001

-0.001

-0.01

-0.1

Kaedah Algoritma:

011)1(had1

)1)(1(had

1

12had

11

2

1x

x

xx

x

xx

xxx

x

f(x)

4

2 x x

f(x)

f(x)

f


7

(c) 3had2

xx

=

Kaedah Jadual:

x 1.8 1.9 1.99 2.01 2.1 2.2

f(x)

1.2

1.1

1.01

0.99

0.9

0.8

Kaedah Algoritma

1323had2x

x 1

Graf fungsi f(x):

(d)

12

11

12

xif

xifx

x

xg

x 1.9 1.99 1.999 2 2.1 2.2

f(x)

0.3448

0.3344

0.3334

0.333

0.3226

0.3125

3.0)(had2

xgx

Graf fungsi xg .

LATIHAN 2 :

3

3

f(x)

x


8

Kira had untuk setiap yang berikut dengan menukar persamaan kepada bentuk yang sesuai.

(a) 1

1had

21 x

x

x

(b) 8

2had

32 x

x

x

(c) 8

4had

3

2

2 x

xx

(d) 3

9had

9 y

y

y

(e) 64

4had

3

1

64 x

xx

(f) h

hx

2)2(22

0had

1.2 TAKRIF HAD Katakan )(xf tertakrif pada semua x dalam suatu selang terbuka yang terdiri daripada

c, f(x) boleh jadi tertakrif atau tidak pada titik c. Maka boleh ditulis sebagai

Lxfcx

had

jika diberi nombor 0 , maka kita boleh cari suatu nombor 0 supaya

jika cx0 , maka didapati Lxf

Contoh 6 : Buktikan 754had3

xx

Penyelesaian: Kita hendak menunjukkan bagi sebarang 0 , kita boleh cari nilai 0 supaya jika

30 x maka 754x

Untuk mendapatkan kita tulis

3434124754 xxxx .


9

iaitu 34 x atau

43x

.

Kita hendak pilih supaya jika 30 x maka

43x

Dengan mengambil 4

didapati 4

30 x maka

34 x, iaitu

754x

Ini menunjukkan bahawa 754had3

xx

LATIHAN 3 : (HAD )

1. Buktikan pernyataan berikut menggunakan , definisi bagi had.

(a) 423had2

xx

(b) 325had4

xx

(c) 385had1

xx

(d) 743had1

xx

(e) 2

93

4had

6

x

x (f) 31had 2

2x

x

y = 4x-5

0 x

y

7

3

7

7

33


10

2.3 TEOREM HAD TEOREM Jika c adalah nombor nyata, k adalah pemalar dan n adalah integer positif. 1. cx

cxhad

2. cxcx

had

3. kkcx

had

4. nncx

cxhad

5. nncx

cxhad

Jika xgxf

cxcxhaddanhad wujud, maka

6. xgxfxgxf

cxcxcxhadhadhad

7. xgxfxgxf

cxcxcxhadhadhad

8. xfkxfk

cxcxhadhad

9. xgxfxgxfcxcxcx

hadhadhad

10. 0hadjikahad

had

hadxg

xg

xf

xg

xf

cx

cx

cx

cx

11. ncx

n

cxxfxf hadhad

12. ncx

n

cxxfxf hadhad

13. cfxfcx

had

Contoh 7 : Cari had bagi fungsi berikut; 1. x

x 1had -1

2. 7had

0x

7

3. xx 2had 2


11

4. 4

3had xx

81

5. 3

64had xx

4

6.

55

2

5

2

54had3had2had432had

xxxxxxxx

55

2

54hadhad3had2

xxxxx

4)5(352 2

= 39

7. 11

1

)6(5

188

35had

12had

35

12had

2

23

2

23

2 x

xx

x

xx

x

x

x

LATIHAN 4 : 1. Cari had-had yang berikut :

(a) )3(

24had

2

2 x

xx

x

(b) )4(had2

xx

(c) 93

3had

33 y

y

yy (d)

t

t

t 1

1had

1

2. Diberi bahawa 2)(had xf

cx1)(had, xg

cx0)(had xhdan

cx

Cari nilai-nilai had yang berikut :

(a)

)]()([had xgxfcx

(b) )(2

had xfcx

(c) )(

)(had

xf

xh

cx

(d) )()(

1had

xgxfcx


12

2.4 HAD KIRI DAN KANAN

(a) Had kiri cx

Hanya merujuk nilai x yang kurang dari c (sebelah kiri c pada paksi x) Lxf

cx

had

dan disebut had sebelah kiri bagi xf semasa x menghampiri c adalah sama

dengan L .

(b) Had kanan cx

Hanya merujuk nilai x yang lebih dari c (sebelah kanan c pada paksi x) Lxf

cx

had

dan disebut had sebelah kanan bagi xf semasa x menghampiri c adalah sama dengan L .

Contoh 8 : Katakan f(x) ditakrif seperti berikut;

x

y

x > c

y

x < c

x menghampiri c dari kanan

x menghampiri c dari kiri

Had dari kanan Had dari kiri

x


13

01

00

01

x

x

x

xf

Lakarkan graf f(x) serta tentukan xf

x 0had dan xf

x 0had

Penyelesaian:

1had0

xfx

1had0

xfx Graf f(x)

2.4.1 Teorem Kewujudan Had

x

x > 0 x < 0

y


14

Jika xfcx

had dan xfcx

had kedua-duanya wujud dan bersamaan dengan L, maka

xfcx

had adalah wujud dan bersamaan dengan L

xfLxfxfcxcxcx

hadhadhad adalah wujud.

Merujuk kepada graf di bawah semasa x menghampiri 2.

Ketiga-tiga kes menunjukkan 1had

2xf

x

,

Contoh 9 : Katakan f(x) ditakrif seperti berikut:

x

xxf

Lakarkan graf f(x) serta tentukan xf

x 0had dan xf

x 0had

Penyelesaian:

1had0

xfx

dan 1had0

xfx

Graf fungsi f(x) menunjukkan had kiri tidak sama dengan had kanan maka

y

2

3

y y

x x x

1 1 1

2 2 2

0 0

1xf 2,2

3

2,1

x

x

xf 2,1 xxf


15

x

x

x 0had tidak wujud.

Contoh 10 : Jika , Tentukan xfx 1had

dan xf

x 1had

.

Seterusnya cari xfx 1had

Penyelesaian :

dan

Maka 2had

1xf

x

Graf menunjukkan semasa x = 1, f(x) = 2 (graf tidak putus).

x

f(x)

0

1

-1


16

Contoh 11 : Diberi

Cari had g(x) semasa x menghampiri 1 dari kanan dan kiri. Seterusnya tentukan had g(x) semasa x menghampiri -1 . Seterusnya lakarkan graf g(x) Penyelesaian: Graf g(x)


17

Contoh 12 :

Cari xghadx 0

, bagi

01

012 xifx

xifxxg

Penyelesaian: Had dari kanan

1101hadhad00

xxgxx

Had dari kiri

1101hadhad 2200

xxgxx

Maka 1had

0xg

x

,

Lakarkan Graf g(x)

Contoh 13 : Cari xfx 0had , bagi

0

05

xx

xxxf

Penyelesaian: Had dari kanan

5505hadhad00

xxfxx


18

Had dari kiri

0hadhad00

xxfxx

Maka xfx 0had , tidak wujud

Lakarkan graf f(x)

Contoh 14 : Diberi 428

44

xifx

xifxxf

Cari (i) xfx 4had (ii) xf

x 4

had (iii) xfx 4

had

Lakarkan graf f(x) Penyelesaian:

(i) (ii) (iii)

0)4(28had4

xfx

044had4

xfx

0had4

xfx

Contoh 15 : Diberi

313

325

22

1

2

xx

xx

xx

xf

Cari (i) xfx 2had (ii) xf

x 0had (iii) xf

x 3had

Lakarkan graf f(x) Penyelesaian:


19

LATIHAN 5 : (Had kiri dan kanan) 1. Cari had bagi yang berikut jika wujud.

(a) xxhadx

22

2

(b) 25

52

5 x

xhadx

(c) 4

22

2 x

xhadx

(d) 127

32

3 xx

xhadx

(e) x

xxhadx 21

1

1

(f) 923 x

xhad

x

(g) 4

2

4 x

xhadx

(h) x

xhadx

1

1

(i) 23

9 xhadx

(j) 44

xhadx

(k) 4

4

4 x

xhadx

(l) 3

3

3 x

xhadx

(m) 11

1,

1 xx

xxxfmanadixfhad

x

(n) 12

11,

1 xx

xxfjikaxfhad

x

(o) 2

212,

22 xxx

xxxfjikaxfhad

x

(p) 3

3

212

32

2

,3

xx

xx

xfmanadixfhadx

(q)

332

37

3

,

2

3xx

x

xx

xfjikaxfhadx

2. Diberi


20

01

00

01

xjika

xjika

xjika

xg

(a) Lakarkan graf g(x).

(b) Cari had bagi yang berikut sekiranya wujud. Jika tidak jelaskan.

(i) xgx 0lim (ii) xg

x 0lim

(iii) xg

x 0lim (iv) xg

x 0lim

3. Diberi

28

20

0

2

xifx

xifx

xifx

xh

(a) Kira setiap yang berikut jika hadnya wujud.

(i) xhhadx 0

(ii) xhhadx 0

(iii) xhx 1lim

(iv) xh

x 2lim (v) xh

x 2lim (vi) xh

x 2lim

4. Diberi

13

1222

xifx

xifxxxf

(a) Cari danxfx 1lim xf

x 1lim

(b) Adakah xfx 1lim wujud ?

(c) Lakarkan graf bagi f .

5. 1

1Diberi

2

x

xxf .

(a) Cari (i) xf

x 1lim (ii) xf

x 1lim

(b) Adakah xfx 1lim wujud ?

(c) Lakarkan graf f


21

2.4.2 Had Kanan dan Kiri Graf Contoh 16 :

Diberi graf suatu fungsi seperti di bawah.

Cari nilai bagi (i) xf

axhad Y1 (iv) xf

bxhad

Y2

(ii) xf

axhad Y2 (v) xf

bxhad

Y2

(iii) xf

axhad tidak wujud (vi) xf

bxhad

Y2

Contoh 17 :

Y1

x

Y2

b

a

f(x)


22

Graf suatu fungsi ditunjukkan seperti di bawah. Tentukan had yang berikut sekiranya

wujud (a) 3had

2xg

x

(b) 1had2

xgx

(c) xgx 2had tidak wujud (d) 2had

5xg

x

(e) 2had

5xg

x

(f) 2had5

xgx

LATIHAN 6 : Dalam Lampiran 2.5 HAD TERHINGGA DAN TAK TERHINGGA 2.5.1. Had Terhingga

x

y

3

2

1 0

1

2

4

3

4

5

y = g(x)

g(5)=1

xfcx

had

xgcx

had


23

Contoh 18 :

(a) Pertimbangkan )2(

22

1had

xx

(b) Pertimbangkan )2(

22

1had

xx dan lakarkan graf fungsi tersebut.

Kesimpulan : (a) Jika xfmakaxfxf

cxcxcxhad,hadhad

(b) Jika xfmakaxfxf

cxcxcxhad,hadhad

(c) Jika sebaliknyaatauxfmakaxfdanxf

cxcxcxhad,hadhad

Contoh 19 :

Lakarkan graf fungsi dan tentukan xfx 1had

Penyelesaian :

x 0 2

y


24

Daripada rajah di atas, didapati bahawa

xfx 1had

dan xf

x 1had

Ini bermakna xf

x 1had

. Iaitu apabila x menghampiri 1, had f(x) tidak wujud

2.5.2 Had Tak Terhingga Contoh 20 :

Kira 52

34had

x

x

x Penyelesaian :

x

x

x

x

x

x

x

x

xx 52had

34had

52

34

had52

34had

x

x

x

x

xxx

xxx

xx

xx

1had5had2had

1had3had4had

5had2had

3had4had

x 0 1

y

2

Lxfxhad


25

Latihan 7 : Kira had bagi setiap yang berikut :

(a) 4

had4 x

x

x (b) x

xx 2

2

3 9had 4

(c) 25

12had

x

x

x (d)

5

4had

32

x

x

x

2.6 GARIS ASIMPTOT Terdapat dua jenis garis asimptot, iaitu

(a) asimptot mengufuk (b) asimptot mencancang

Contoh 21 :

Rajah menunjukkan lakaran fungsi

Garis lurus x = 1 dikatakan asimptot mencancang sementara garis lurus y = 2 dikatakan asimptot mengufuk

x 0 1

y

2


26

2.7 KESELANJARAN Bilakah suatu fungsi dikatakan selanjar? Suatu fungsi dikatakan selanjar apabila grafnya berkeadaan;

Tidak putus Tidak ada lompang Tidak ada jurang/terpisah

Takrif : Keselanjaran pada suatu titik

Suatu fungsi f dikatakan selanjar pada titik c jika dan hanya jika kesemua syarat berikut dipenuhi;. (i). cf tertakrif

(ii).

cx

xfhad wujud

(iii). cfxfcx

had

Contoh 22 : Pertimbangkan fungsi

1

1

2

1

)1(

)(

x

xx

xx

xf

Adakah f(x) selanjar pada x = 1 ? Lakarkan graf f(x). Penyelesaian: Syarat keselanjaran; (i) f(1) = 2 (ii) 1had

1xf

x dan 1had

1xf

x

maka 1had1

xfx

wujud

(iii) Didapati )1(had

1fxf

x Oleh kerana syarat (iii) tidak dipenuhi, maka f(x) tidak selanjar pada x = 1


27

Contoh 23 : Diberi

2

2

3

2

1

)(

x

xx

xf

Adakah f(x) selanjar pada x = 2 ? Lakarkan graf f(x)

Penyelesaian:

Syarat keselanjaran; (i) f(2) = 3 (ii) xf

x 2had

dan xf

x 2had

maka xfx 2had

tidak wujud

(iii) Didapati )2(had

2fxf

x Syarat (ii) dan (iii) tidak dipenuhi. Maka f(x) tidak selanjar pada x = 2

Contoh 24 : Diberi

3

3

1

1

2

1

2

)(

x

x

x

xxf

. Lakarkan graf f(x)

Penyelesaian :


28

Contoh 25 : Diberi

0 x , 1

0 x, 1

)( 2xxf

Dimanakah f(x) tidak selanjar ? Lakarkan graf f(x) Penyelesaian: 2.7.1 Jenis Ketidakselanjaran

Ketidakselanjaran bolehubah pada c berlaku apabila jika nilai cf boleh

dicari/diubah supaya sama dengan nilai had pada titik c. Apakah jenis ketidakselanjaran pada contoh 22, 23, 24 dan 25 diatas ?

a a a

b b b x x

y y y

x

(a) Ketidakselanjaran

Bolehubah

(b) Ketidakselanjaran Tidak Bolehubah

(c) Ketidakselanjaran Bolehubah


29

2.7.2 Keselanjaran Pada Selang Terbuka

Sesuatu fungsi f(x) dikatakan selanjar pada selang terbuka jika dan hanya jika fungsi itu selanjar pada semua titik dalam selang terbuka (a , b).

Contoh 26 : Pertimbangkan fungsi 2

1

xxf

Fungsi f(x) selanjar pada semua titik kecuali x = 2, Maka daripada takrif di atas, f(x) selanjar pada semua selang terbuka yang tidak mengandungi 2. Contoh 27 : Dimanakah setiap fungsi berikut tidak selanjar ?

(a) 2

22

x

xxxf

01

01

)( 2

xif

xifxxfb

2,1

2,2

22

xif

xifx

xx

xfc

Penyelesaian : (a) 2f tidak tertakrif, jadi f tidak selanjar pada 2.

(b) 10f adalah tertakrif tetapi

200

1

xhadxfhadxx

tidak wujud. Jadi f tidak selanjar

pada 0.

(d) 12f adalah tertakrif dan

2

22

22 x

xxhadxfhadxx 2

12

2 x

xxxfhad

x

312

xhadx

wujud tetapi 22

fxfhadx

. Jadi f tidak selanjar pada 2.


30

2.7.3 Keselanjaran Dari Kanan

Sesuatu fungsi f(x) dikatakan selanjar dari kanan pada c jika dan hanya jika kesemua syarat berikut dipenuhi.

(i). cf tertakrif

(ii).

cx

xfhad wujud

(iii). cfxf

cxhad

Contoh 28 : Fungsi xxg Fungsi g(x) dikatakan selanjar dari kanan pada 0. Graf g(x) adalah ditunjukkan seperti di bawah.

2.7.4 Keselanjaran Dari Kiri

Sesuatu fungsi f(x) dikatakan selanjar dari kiri pada c jika dan hanya jika kesemua syarat berikut dipenuhi.

(i). cf tertakrif

(ii).

cx

xfhad wujud

(iii). cfxf

cxhad

x

y

0

g(x)


31

Contoh 29 : Fungsi )( xxh

Fungsi h(x) dikatakan selanjar dari kiri pada 0. Graf h(x) adalah ditunjukkan seperti di bawah.

2.7.5 Keselanjaran Pada Selang Tertutup

Sesuatu fungsi f(x) dikatakan selanjar pada selang tertutup [a , b] jika dan hanya jika fungsi itu selanjar pada selang terbuka (a , b). dan juga selanjar dari kanan a dan selanjar dari kiri b

dan

b a

y

x

x 0

h(x)

afxfax

had bfxfbx

had

Selanjar pada selang tertutup [a , b]

y


32

Contoh 30 : Fungsi 29 xxf

-3 , 3]

Diketahui f(x) selanjar pada selang terbuka (-3 , 3) dan juga didapati

3had3

fxfx

dan 3had3

fxfx

maka f(x) selanjar pada selang tertutup [-3 , 3] 2.7.6 Teorem Keselanjaran

Jika f dan g selanjar pada c , maka (i) gf selanjar pada c ; (ii) gf selanjar pada c ;

(iii) f selanjar pada c untuk semua nilai ;

(iv) gf selanjar pada c ;

(v)

g

f selanjar pada c dimana 0cg

2.7.6.1 Teorem : Keselanjaran Fungsi Gubahan

Jika fungsi g selanjar pada c dan f selanjar pada cg , maka fungsi gubahan

xgfxgf juga selanjar pada c .

Contoh 31 :

Diberi . Tentukan nilai x di mana h selanjar.

Penyelesaian :

Jika dan , maka .

Oleh kerana g adalah fungsi polinomial, maka g selanjar di mana-mana sahaja.

Seterusnya f selanjar pada semua nombor positif.


33

Didapati h selanjar pada semua x di mana g(x) > 0. Iaitu jika 9 x2 > 0, maka h selanjar

pada selang terbuka (-3, 3).

2.7.7 Sifat Asas Fungsi Selanjar Fungsi yang selanjar pada sesuatu titik itu grafnya tidak terputus pada titik itu. Seterusnya fungsi yang selanjar pada sesuatu selang pula grafnya tidak terputus dalam selang berkenaan. TEOREM NILAI PERTENGAHAN (The Intermediate Value Theorem)

Didapati f adalah suatu fungsi selanjar dalam selang tertutup ba, dan k

sebarang nombor antara af dan bf , maka terdapat c dalam ba,

supaya cf = k . Fungsi selanjar mencapai setiap nilai antara nilai-nilai hujungnya.

. Contoh 32 : Sepuluh minit sesudah berlepas, kelajuan sebuah kapal terbang mencapai 500 knot. Bagaimanakah anda dapat membuat kesimpulan bahawa beberapa minit sebelum itu kapal terbang tersebut telah mencapai kelajuan 345 knot? Penyelesaian :

Laju kapal terbang, , adalah fungsi selanjar dengan pemboleh ubah masa. Khususnya fungsi laju itu selanjar dalam selang masa [0, 10] minit. Laju pada hujung-hujung selang ialah

Oleh kerana 345 knot berada antara 0 dan 500 knot, dan selanjar dalam selang [0, 10] maka menurut TNP, terdapat c dalam (0, 10) sehinggakan

Ini bermakna pada suatu ketika, laju kapal terbang adalah 345 knot. Contoh 33 : Dengan menggunakan Teorem Nilai Pertengahan (TNP), cari punca bagi persamaan

02364 23 xxx yang berada diantara selang (1,2).


34

Penyelesaian : Misalnya 2364 23 xxxxf ; f selanjar.

12211 fdanf dan 0 berada antara -1 dan 12.

Menurut TNP, terdapat 2,1c sehinggakan

02364 23 ccccf .

Ini menunjukkan c adalah punca persamaan

02364 23 xxxxf

Contoh 34 : Jika xxxxf 23 , tunjukkan wujud suatu nilai c supaya 10cf .

Penyelesaian: Fungsi f adalah selanjar, misalnya dalam 3,0 , 21300 fdanf dan lagi

21100 .

Menurut TNP, terdapat 3,0c sehingga 1023 ccccf .

2.8 TEOREM PINCHING

Jika hgf dan, adalah fungsi dengan keadaan

xhxfxg

untuk semua x dalam selang terbuka yang mengandungi suatu c , Jika g dan mempunyai nilai had yang sama semasa x menghampiri ,

maka f juga mempunyai nilai had yang sama semasa x menghampiri c iaitu

Documents

154932147 TAJUK 2 Had Dan Keselanjaran