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14 Derivadas Parciais


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14.2 Limites e Continuidade


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Limites e Continuidade

Vamos comparar o comportamento das funes

e

quandox e y seaproximam de 0 [e, portanto, o ponto (x, y)se aproxima da origem].


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As Tabelas 1 e 2 mostram valores de f(x, y) e g(x, y), compreciso de trs casas decimais, para pontos (x, y)prximos da origem. (Observe que nenhuma das funesest definida na origem.)

Tabela 1

Valores de f(x, y)


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Tabela 2

Valores de g(x, y)


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Parece que, quando (x, y) se aproxima de (0, 0), os valoresde f(x, y) se aproximam de 1, enquantoao passo que osvalores de g(x, y) no se aproximam de valor algum. Essanossa observao baseada em evidncias numricas est

correta, e podemos escrevemos

e no existe


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Em geral, usamos a notao

para indicar os valores de f(x, y) se aproximam do nmeroL medida que o ponto (x, y) se aproxima do ponto (a, b)ao longo de qualquer caminho que esteja no domnio de f.


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Em outras palavras, podemos tornar os valores de f(x, y)se aproximarem a L como quisermos ao pegar o ponto(x, y) suficientemente perto do ponto (a, b), mas no iguala (a, b). Uma definio mais precisa a seguinte:


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Outras notaes para o limite da Definio 1 so

e f(x, y) L como (x, y) (a, b)

Para funes de uma nica varivel, quando fazemosxtender a a, s existem duas direes possveis deaproximao, pela esquerda ou pela direita. Lembremos apartir do Captulo 2 que se limx a-f(x) limx a+f(x), ento

limx af

(x) no existe.


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J para as funes de duas variveis essa situao no to simples porque porque existem infinitas maneiras de(x, y) se aproximar de (a, b) por uma quantidade infinita dedirees de qualquer maneira que se queira (veja a Figura

3), bastando que (x, y) se mantenha no domnio de f.

Figura 3


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A Definio 1 diz que a distncia entre f(x, y) e L pode serfeita arbitrariamente pequena se tomarmos a distncia de(x, y) para (a, b) suficientemente pequena (mas no nula).

A definio refere-se somente distncia entre (x,y) e

(a, b). Ela no refere-se direo da abordagem. Portanto,se o limite existe, f(x, y) deve se aproximar do mesmovalor-limite, independentemente do modo como (x, y) seaproxima de (a, b).


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Assim, se acharmos dois caminhos diferentes deaproximao ao longo dos quais f(x, y) tenha limites

diferentes, segue ento que lim(x,y) (a,b)f(x,y) no existe.


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Exemplo 1

Mostre que no existe.

SOLUO: Seja f(x,y) = (x2y2)/(x2+ y2). Primeiro,vamos considerar (0, 0) ao longo do eixox. Ento, y= 0 df(x,0) =x2/x2= 1 para todos osx 0, portanto

f(x,y) 1 quando (x,y) (0,0) ao longo do eixox


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Exemplo 1 Soluo

Agora, vamos fazer a abordagem ao longo do eixo yaocolocarx= 0. Ento para todos y 0,

portanto

f

(x,y) 1 como (x,y) (0, 0) ao longo do eixo y

(Veja a Figura 4.)11

Figura 4

continuao


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Exemplo 1 Soluo

Como ftem dois limites diferentes ao longo de duas retasdiferentes, o limite no existe. (Isso confirma a conjecturaque fizemos com base na evidncia numricas no inciodesta seo.)

continuao


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Vamos agora olhar o caso em que o limite existe. Comopara a funo de uma nica varivel, o clculo do limite defunes de duas variveis pode ser muito simplificadousando-se as propriedades dos limites. As Propriedades

do Limite podem ser estendidas para as funes de duasvariveis. O limite da soma a soma dos limites; o limitedo produto o produto dos limites; e assim por diante. Emparticular, as seguintes equaes so verdadeiras:

O Teorema do Confronto tambm vale.


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Continuidade


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Continuidade

Lembremo-nos de que o clculo de limites de funescontnuasde uma nica varivel fcil. Ele pode serobtido por substituio direta, porque, pela definio defuno contnua, limx af(x) = f(a). Funes contnuas de

duas variveis tambm so definidas pela propriedade dasubstituio direta.


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Continuidade

O significado intuitivo de continuidade que, se o ponto(x,y) varia de uma pequena quantidade, o valor de f(x,y)variar de uma pequena quantidade. Isso quer dizer que asuperfcie que corresponde ao grfico de uma funo

contnua no tem buracos ou rupturas.Usando as propriedades de limites, podemos ver quesoma, diferena, produto e quociente de funes contnuasso contnuos em seus domnios. Vamos usar esse fato

para dar exemplos de funes contnuas.Uma funo polinomial de duas variveis (ousimplesmente polinmio) uma soma de termos da formacxmyn, onde c uma constante e me nso nmerosinteiros no negativos.


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2020

Continuidade

Uma funo racional uma razo de polinmios. Porexemplo,

f(x,y) =x4+ 5x3y2+ 6xy47y + 6

um polinmio, ao passo que

uma funo racional.


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Continuidade

Os limites em mostram que as funes f(x,y) =x,g(x,y) = ye h(x, y) = cso contnuas. Como qualquerpolinmio pode ser obtido a partir das funes f, ge hpormultiplicao e adio, segue que todos os polinmios so

funes contnuas em . Da mesma forma, qualquerfuno racional contnua em seu domnio, porque ela oquociente de funes contnuas.


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Exemplo 5

Calcule

SOLUO: Como f(x,y) =x2y3x3y2+ 3x + 2y umpolinmio, ela contnua em qualquer lugar, portanto

podemos calcular seu limite pela substituio direta:

(x2y3x3y2+ 3x + 2y) = 12 231322+ 3 1 + 2 2 = 11


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Continuidade

Como para as funes de uma varivel, a composio outra maneira de combinar funes contnuas para obteroutra tambm contnua. De fato, pode ser mostrado que,se f uma funo contnua de duas variveis e g uma

funo contnua de uma nica varivel definida na imagemf, a funo composta h= g fdefinida por h(x, y) =(f(x, y)) tambm contnua.


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Funes de Trs ou Mais Variveis


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Tudo o que fizemos at aqui pode ser estendido para asfunes com trs ou mais variveis. A notao

significa que os valores de f(x,y,z) se aproximam donmero L medida que o ponto (x,y,z) se aproxima doponto (a,b,c) ao longo de qualquer caminho que esteja no

domnio de f.


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Em funo da distncia entre dois pontos (x, y, z) e(a, b, c) em dado por ,podemos escrever a definio precisa da seguinte forma: > 0 h um nmero correspondente > 0 tal que

se (x, y, z) est no domnio de f e 0

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