8
33 Matematik Dünyas›, 2012-III Kapak Konusu: İntegral IV x çok büyükken, e x çok küçük olur ve sinh cosh x e x 2 x - - olur. Demek ki sinh ve cosh fonksiyonlar› asemp- totiktirler ve eksponansiyel olarak büyürler. Ben- zer ekilde x, −∞’a giderken, cosh sinh x e x e 2 2 ve x x - - olur. Fonksiyonlar›n grafi€ini çizmek için türevlerini hesaplayal›m. Kolay bir hesapla, sinhʹ x = cosh x ve coshʹ x = sinh x bulunur. Buradan sinh x fonksiyonunun sürekli artt›€›, dolay›s›yla x 0 ise sinh x sinh 0 = 0 oldu€u ve dolay›s›yla cosh x fonksiyonunun x 0 için artt›€› ç›kar. sinh x’in x 0 iken pozitif oldu€u asl›nda tan›m›n kendisinden de oldukça çabuk ç›- kar. ‹kinci türevleri alal›m: sinhʹʹ x = sinh x ve coshʹʹ x = cosh x (Demek ki a sinh x + b cosh x fonksiyonlar› ƒʹʹ = ƒ diferansiyel denkleminin çözümleridir.) Buradan cosh fonksiyonunun her yerde, sinh fonksiyonu- nun ise R 0 üstünde d›bükey oldu€u ç›kar. Bu bilgilerden hareketle sinh ve cosh fonksiyonlar›n›n grafiklerini çizebiliriz: cosh ve sinh olarak yaz›- lan kosinüs ve sinüs hiperbolik fonksiyonlar›ndan geçmite k›saca sözetmi- tik 1 . Bu yaz›da bu fonksiyonlardan biraz daha derince sözedece€iz. Tan›mlardan balayal›m: sinh x e e e e 2 2 1 x x x x 2 = = ve . cosh x e e e e 2 2 1 x x x x 2 = + = + Tan›mlardan da anla›ld›€› üzere bu fonksiyonlar temel de€il, yard›mc› fonksiyonlar, çünkü ne de olsa bilinen e x fonksiyonu cinsinden yaz›l›yorlar. Nitekim bu fonksiyonlar› kullanarak birçok fonk- siyonun integralini kolayl›kla alabiliriz. unu da söyleyelim ki matematikçiler genel- likle cosh ve sinh fonksiyonlar›n› pek bilmezler ve bu fonksiyonlara çok gereksinim duymazlar. Ama herkes hayat›nda bir defa bu fonksiyonlar› görmüolmal›d›r. Uygulamada, özellikle integral almada yararl› olabilirler. Önce fonksiyonlar› biraz yak›ndan tan›yal›m, örne€in grafiklerini çizelim. Daha sonra integrale uygulamalar›n› görürüz. 1. sinh ve cosh Hiperbolik Fonksiyonlar› Fonksiyonlar›n tüm R’de tan›ml› olduklar› belli. Ayr›ca tan›mdan hemen sinh (x) = sinh x ve cosh (x) = cosh x ç›kar. Yani sinh tek bir fonksiyondur, yani (0, 0) noktas› grafi€inin simetri noktas›d›r; ayn› ekilde cosh çift bir fonksiyondur, yani y ekseni grafi€inin simetri eksenidir. sinh 0 = 0 ve cosh 0 = 1 eitlikleri de kolay. cosh fonksiyonunun pozitif ol- du€u da tan›mdan hemen anla›l›yor. Hiperbolik Fonksiyonlar 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a(x) = e x /2 ƒ(x) = sinh x b(x) = e x /2 1 Bazen sinh yerine sh ve cosh yerine ch yaz›l›r. sinh fonksiyo- nunun sindiye, cosh fonksiyonunun ise kodiye okundu€u olur.

12_03_33_40_hiperbolik

Embed Size (px)

DESCRIPTION

gfgggg

Citation preview

33

Matematik Dünyas›, 2012-III

Kapak Konusu: İntegral IV

x çok büyükken, e−x çok küçük olur ve

sinh coshx e x2x

- -

olur. Demek ki sinh ve cosh fonksiyonlar› asemp-totiktirler ve eksponansiyel olarak büyürler. Ben-zer flekilde x, −∞’a giderken,

cosh sinhx e x e2 2ve

x x- -−

− −

olur.Fonksiyonlar›n grafi€ini çizmek için türevlerini

hesaplayal›m. Kolay bir hesapla,sinhʹ x = cosh x

ve coshʹ x = sinh x

bulunur. Buradan sinh x fonksiyonunun sürekli art t› €›, dolay›s›yla x ≥ 0 ise

sinh x ≥ sinh 0 = 0 oldu€u ve dolay›s›yla cosh x fonksiyonunun x ≥ 0 için artt›€› ç›kar. sinh x’in x ≥ 0 iken pozitif oldu€u asl›nda tan›m›n kendisinden de oldukça çabuk ç›-kar.

‹kinci türevleri alal›m:sinhʹʹ x = sinh x ve coshʹʹ x = cosh x

(Demek ki a sinh x + b coshx fonksiyonlar› ƒʹʹ = ƒ

diferansiyel denkleminin çözümleridir.) Buradan cosh fonksiyonunun her yerde, sinh fonksiyonu-nun ise R≥0 üstünde d›flbükey oldu€u ç›kar. Bu bilgilerden hareketle sinh ve cosh fonksiyonlar›n›n grafiklerini çizebiliriz:

cosh ve sinh olarak ya z›-lan kosinüs ve sinüs hiperbolik

fonksiyonlar›ndan geçmiflte k›saca sö zet mifl-tik1. Bu yaz›da bu fonksiyonlardan biraz daha de rin ce sözedece€iz.

Tan›mlardan bafllayal›m:

sinhx e ee

e2 2

1x x

x

x2= − = −−

ve

.coshx e ee

e2 2

1x x

x

x2= + = +−

Tan›mlardan da anlafl›ld›€› üzere bu fonksiyonlar temel de€il, yard›mc› fonksiyonlar, çünkü ne de olsa bilinen ex fonksiyonu cinsinden yaz›l›yorlar. Nitekim bu fonksiyonlar› kullanarak birçok fonk-siyonun integralini kolayl›kla alabiliriz.

fiunu da söyleyelim ki matematikçiler genel-likle cosh ve sinh fonksiyonlar›n› pek bilmezler ve bu fonksiyonlara çok gereksinim duymazlar. Ama her kes hayat›nda bir defa bu fonksiyonlar› görmüfl olmal›d›r. Uygulamada, özellikle integral almada yararl› olabilirler.

Önce fonksiyonlar› biraz yak›ndan tan›yal›m, örne€in grafiklerini çizelim. Daha sonra integrale uygulamalar›n› görürüz.

1. sinh ve cosh Hiperbolik Fonksiyonlar›Fonksiyonlar›n tüm R’de tan›ml› olduklar›

bel li. Ayr›ca tan›mdan hemensinh (−x) = −sinh x ve cosh (−x) = cosh x

ç›kar. Yani sinh tek bir fonksiyondur, yani (0, 0) noktas› grafi€inin simetri noktas›d›r; ayn› flekilde cosh çift bir fonksiyondur, yani y ekseni grafi€inin simetri eksenidir.

sinh 0 = 0 ve cosh 0 = 1eflitlikleri de kolay. cosh fonksiyonunun pozitif ol-du €u da tan›mdan hemen anlafl›l›yor.

Hiperbolik Fonksiyonlar

1

2

3

1

2

3

1 2 3123

a(x) = ex/2

ƒ(x) = sinh x

b(x) = ex/2

1 Bazen sinh yerine sh ve cosh yerine ch yaz›l›r. sinh fonksiyo-nunun sinfl diye, cosh fonksiyonunun ise kofl diye okundu€u olur.

34

Matematik Dünyas›, 2012-III

Nas›l trigonometrik fonksiyonlar için sin(x + y) = sinx cosy + cosx siny

gibi toplama formülleri varsa, hiperbolik fonksi-yonlar için de benzer eflitlikler vard›r: cosh (x + y) = sinhx sinhy + coshx coshy sinh(x + y) = coshx sinhy + sinhx coshyHatta bu eflitliklerin kan›t› çok daha kolayd›r, ta-n›m lar dan hemen ç›kar. Bunlardan, cosh(2x) = sinh2x + cosh2x = 2cosh2x − 1 = 2sinh2x + 1 sinh(2x) = 2sinhxcoshx eflitlikleri ç›kar. Ayr›ca

coshx + sinhx = ex

eflitli€i do€rudur; bu da tan›mlardan ç›kar.Yukarda verdi€imiz cosh2x’in formülünden

cosh coshx x2 2 12= −

formülü ve bundan da,

cosh coshx x2 2

1= +

ç›kar. Benzer flekilde, x ≥ 0 için

sinh coshx x2 2

1= −

elde edilir.Tan›mlardan ya da yukarda verilen türev

for mül le rin den hiperbolik fonksiyonlar›n Taylor serilerini kolayl›kla hesaplayabiliriz. Tan›mdan, hiperbolik fonksiyonlar›n Taylor serilerine eflit ol-duk la r› hemen ç›kar:

! ! ( ) !sinhx x x xn

x3 5 2 1

n

n

3 5 2 1

0g= + + + = +3

+

=/

ve

! ! ( ) !coshx x xn

x1 2 4 2n

n

2 4 2

0g= + + + = 3=/

cosh ve sinh Fonksiyonlar›n›n Terslerisinh: R → R bir eflleflme oldu€undan, bu fonk-

si yonun tersi vard›r. Bu fonksiyonun tersi asinh olarak yaz›l›r2.

asinh fonksiyonun grafi€i elbette sinh x fonk-siyonunun y = x çapraz›na göre simetri€idir. asinh fonk siyonun grafiğini aşağıda bulabilirsiniz.

ƒ(x) = cosh x

1

a(x) = sinh x

Yukarda bulduklar›m›zdan,

cosh sinhx dx x C= +#

ve

s inh x dx = cosh x + C#

ç›kar.sin ve cos fonksiyonlar›

sin2 x + cos2 x = 1 eflitli€ini sa€lar. Bu fonksiyonlar›n hiperbolik ver-siyonlar›,

cosh2 x − sinh2 x = 1eflitli€ini sa€lar. Bu eflitlik tan›mlardan hemen ç› kar. Demek ki (cos θ, sin θ) noktas› birim çem-berin üstünde oldu€u gibi, (cosh θ, sinh θ) noktas› da x2 − y2 = 1 “birim hiperbolü”nün üstündedir, daha do€rusu sa€ ko lu nun üstündedir. Bu yüz-den trigonometrik fonksiyonlara bazen çembersel fonksiyonlar dendi€i de olur.

ƒ(x) = cosh x

1

g(x) = sinh x

h(x) = ex

1

ƒ(x) = cosh(x)

b(x) = e x/2a(x) = ex/2

2 sinh fonksiyonunun tersi bazen sinh−1, arsinh ya da arg-sinh olarak da yaz›l›r. Benzer yaz›l›m di€er hiperbolik fonksiyonlar›n birazdan tan›mlayaca€›m›z tersleri için de geçerlidir.

35

Matematik Dünyas›, 2012-III

ederiz. Geçmiş sayılarımızda çözdüğümüz bu in-tegrali bir kez daha çözelim: x = tan α ve u = sin αtan›mlar›yla,

( ) ( )

( )

( )

( ) .

cos

coscos

sinsin

ln

ln sinsin

ln sinarctansinarctan

ln

ln

ln

ln

ln

xdx d

d

d

udu

u u du

uu C

C

xx C

xx

xx

C

x x

x xC

x x x x

x xC

x x C

x x C

1

1

1

21

11

11

21

11

21

11

21

11

21

11

11

21

1

1

21

1 1

1

21 1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2 2

2 2

2 2

2

αα

αα α

αα

αα

+=

=

=−

=−

= + + −

= −+ +

= −+ +

= −+ +

=−

+

++

+

=+ −

+ ++

=+ − + +

+ ++

= + + +

= + + +

a k

# #

#

#

#

#

Demek ki bir C sabiti için,

a .sinh lnx x x C1 2= + + +a k

E€er x = 0 de€erini verirsek, C = 0 bulunur. Do-la y› s›y la,

a ( )sinh lnx x x1 52= + +a k

elde edilir. Belki beklenmedik bir eşitlik... Öte yan-dan sinh’in exp’li tanımı göze alındığında, belki de böyle bir eşitlik beklemek gerekirdi.

cosh fonksiyonu R’nin bir efl lefl me si de€ildir çünkü her x için cosh x = cosh (−x) olur, ama cosh fonksiyonu [0, ∞) aral›€›ndan [1, ∞) ara l› €› na gi-den bir eflleme verir. Bu fonksiyonun tersi acosh olarak yaz›l›r:

acosh x : [1, ∞) → [0, ∞).Yukardakine benzer hesaplar, x ≥ 1 için,

asinh fonksiyonunun türevini bulal›m. E€er ƒ bir efllemeyse,

ƒ(ƒ−1(x)) = xoldu€undan, eşitliğin her iki tarafının türevini ala-rak ve sol tarafın türevini almak için zincir kuralını uygulayarak,

ƒʹ(ƒ−1(x))⋅ (ƒ−1)ʹ(x) = 1buluruz. Bulduğumuz bu eşitliği ƒ = sinh fonksiyo-nuna uygulayacak olursak, cosh(asinhx) ⋅ asinhʹx = 1 (1)elde ederiz. Arzulanan asinhʹx değerini bulmak için, cosh(asinh x) de€erini cebirsel bir biçimde ifa de edelim:

cosh2(asinhx) − sinh2(asinh x) = 1eflitli€inden ve cosh fonksiyonunun pozitif ol ma-s›n dan,

(a ) ( )cosh sinhx x1 22= +

ç›kar. Demek ki (1) ve (2)’den

a (a ) ( )sinh cosh sinhx x x1

11 32= =+

l

bulunur. Dolay›s›yla,

a ( )sinhx

dx x C1

42+= +#

bulunur.Bu son formül akl›m›za yeni fikirler getirebilir,

çünkü

xdx

1 2+#

integralini öneski say›lar›m›zda çözmüfltük. Böy le-ce muhtemelen asinh x’i veren ilginç bir eşitlik el de

y = sinh(x)

y = x

y = asinh(x)

36

Matematik Dünyas›, 2012-III

Tahmin edilece€i üzere tanh ve coth fonk si-yon la r› n›n toplam formülü vard›r:

( )tanh tanh tanhtanh tanh

x y x yx y

1!!

!=

ve

( ) .coth coth coth tanhcoth coth

x y y x yx y 1

!!

!=

( ) , ( )

( ) ( )

sinh cosh

cosh sinh cosh

a x x

a x a x x

1 61

11 7

2

2

= −

= =−

ve

( )cosh lna x x x 1 82= + −a k

eflitliklerini verir. Bunların kanıtlarını okura alıştır-ma olarak bırakıyoruz.

acosh fonksiyonunun grafi€i flöyle:

1

1

y = cosh(x) y = x

y = acosh(x)

Di€er Hiperbolik FonksiyonlarAynen trigonometrik fonksiyonlarda oldu€u

gibi, sinh ve cosh fonksiyonlar›ndan hareketle baflka hiperbolik fonksiyonlar tan›mlan›r. İflte bu fonksiyonlar›n bir listesi:

,

,

,

.

tanh coshsinh

coth sinhcosh

sec cosh

csc sinh

x xx

e ee e

ee

x xx

e ee e

ee

x x e e ee

x x e e ee

11

11

1 21

2

1 21

2

h

h

x x

x x

x

x

x x

x x

x

x

x x x

x

x x x

x

2

2

2

2

2

2

= =+− =

+−

= =−+ =

−+

= =+

=+

= =−

=−

Bu fonksiyonlara s›ras›yla hiperbolik tanjant, hi-perbolik kotanjant, hiperbolik sekant, hiperbolik kosekant ad› verilir. Bu tan›mlardan, tanh, coth ve csch fonksiyonlar›n›n tek, sech fonksiyonunun ise çift oldu€u ç›kar. Grafiklerinin çizimleri şöyle:

1

y = sech x

y = csch(x)

1

1

y = coth(x)

y = 1

y = 1

1

1 2 3123

ƒ(x) = tanh(x)

y = 1

y = 11

37

Matematik Dünyas›, 2012-III

Al›flt›rmalar3. ∫ e−x sinh x dx integralini bulun.4. ƒ = tanh fonksiyonunun

21 ƒ ƒ ƒ3= −m

“diferansiyel denklem”ini sa€lad›€›n› gösterin.5. x = sinh α de€iflikli€ine giderek

xdx

1 2+#

integralini hesaplay›n.

Di€er Hiperbolik Fonksiyonların Tersleritanh: R → (−1, 1) bir eflleme oldu€undan, tersi

de vard›r ve tersi atanh: (−1, 1) → R

olarak yaz›l›r. coth fonksiyonunu (0, ∞) aral›€›na k›s›tlarsak,

bu aral›kla (1, ∞) aral›€› aras›nda bir acoth: (1, ∞) → (0, ∞)

efllemesi elde ederiz.sech fonksiyonunu [0, ∞) aral›€›na k›s›tlarsak,

[0, ∞) ile (0, 1] aral›€› aras›nda bir eflleme elde ederiz. Bu efllemenin tersi

asech: (0, 1] → [0, ∞)olarak gösterilir.

csch x fonksiyonunu R \ {0} kümesinin bir efl-lefl me si dir. Bu eflleflmenin tersi

acsch : R \ {0} → R \ {0}olarak gösterilir.

Örnek olarak asech sonksiyonunun türevini bu la l›m. Her zamanki gibi

sech(asech x) = xeflitli€inin türevini alaca€›z. (Elbette x ∈ (0, 1] ol-ma l›.) sechʹ(asechx)⋅asechʹx = 1 (10)elde ederiz. Demek ki sechʹ(asechx) ifadesini an la-d› €› m›z bir dilde ifade etmeliyiz:

( ) ( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )

tanh

tanh

coshsinh

sinh

sinh

x x x

x x

x xx

x x x

x x

sech asech asech sech asech

asech

asechasech

asech sech asech

asech2

$=−

=−

=−

=−

=−

l

eflitli€inden, sinh(asech x) ifadesini anlad›€›m›z da ha basit bir dile tercüme etmemiz gerekti€i an-la fl› l›r.

cosh2u − sinh2 u = 1 eflitli€ini cosh2 u’ya böler-sek, yani sech2u ile çarparsak,

Bir önceki altbölümde yap›lanlardan tanh x/2 için kimi zaman gerekebilecek hofl bir formül bu-lunur:

, ( )tanh coshsinhx

xx

2 1 9= +

nitekim,

.tanhcosh

sinh

cosh

sinh cosh

coshsinhx

x

x

x

x x

xx

22

22 2

2 2 212

= = = +

Al›flt›rmalar1. Afla€›daki formülleri kan›tlay›n:

sinh sinh sinh

cosh cosh cosh

tanhtanh

tanh tanh

sinh sinh cosh sinh cosh

cosh cosh cosh

tanhtanh tanh

tanh tanh

x x x

x x x

xx

x x

x x x x x

x x x

xx x

x x

3 3 4

3 4 3

31 3

3

4 8 4

4 8 8 1

41 6

4 4

3

3

2

3

3

4 2

2 4

3

= +

= −

=+

+

= +

= − +

=+ +

+

2. Afla€›daki formülleri kan›tlay›n:

( ) ( )

( ) ( )

sinh sinh cosh

cosh cosh cosh cosh

cosh cosh sinh sinh

sinh sinhcosh cosh

sinh coshsinh sinh

sinhx yx y x y

x yx y x y

x yx y x y

x yx y x y

x yx y x y

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

+ =+ −

+ =+ −

− =+ −

=+ − −

=+ + −

Bu hiperbolik fonksiyonlar›n türevlenebilir ol duk la rı bariz, kolayca gösterilebileceği üzere tü-rev le ri flöyledir:

.

tanh tanh seccosh

coth coth cscsinh

sec tanh sec

csc coth csc

x x xx

x x xx

x x x

x x x

1 1

1 1

h

h

h h

h h

2 22

2 22

= − = =

= − =− = −

= −

= −

l

l

l

l

Bunlar›n kolay hesaplar›n› okura b›rak›yoruz.sech2 x = 1 − tanh2 x

vecoth2 x = 1 + csch2 x

eflitliklerini de kan›tlamak kolay.

38

Matematik Dünyas›, 2012-III

Demek ki bir C sabiti için,

lnxx

xC

1 1asech 2

2=

+ −+

eflitli€i do€ru olmal›. ‹ki taraf› da x = 1’de de €er-len di rir sek C = 0 buluruz. Demek ki

. ( )lnxx

x1 113asech 2

2=

+ −

Hiperbolik fonksiyonlar›n›n terslerinin türev-leri de benzer yöntemle bulunabilir. ‹flte liste:

| |.

xx

xx

xx x

xx x

11

11

11

11

atanh

acoth

asech

acsch

2

2

2

2

=−

=−

= −−

= −+

Sa€ taraftaki ifadelerin daha aflina oldu€umuz yöntemle antitürevini bularak,

| |

ln

ln

ln

ln

x xx

x xx

x xx

x x xx

21

11

21

11

1 1

1 1

atanh

acoth

asech

acsch

2

2

= −+

= −+

=+ −

= ++

f p

eflitliklerini elde ederiz. Bu eflitliklerden kolayca

x x

x x

x x

1

1

1

asech acosh

acsch asinh

acoth atanh

=

=

=

ç›kar.Henüz bir e€rinin uzunlu€unu görmedik ama

okura gene de ç›tlatal›m: cosh fonksiyonunun al t›n-da kalan x = a’dan x = b’ye kadar olan A alanı, ayn› böl ge ye k›s›tlanan y = cosh x e€risinin x = a’dan x = b’ye kadar olan uzunlu€una eflittir, yani

( )

cosh

sinh

xdx

x dx1

alan

grafi€in uzunlu€u

a

b

a

b 2

=

= + =

#

#

olur.

1 − sinh2u ⋅sech2u = sech2u elde ederiz. Burada da u = asechx al›rsak,

1 − x2sinh2(asechx) = x2,yani

( ) ( )sinh x xx1

11asech2

=−

elde ederiz. Böylece yukardaki hesaplara devam eder sek,

( ) ( )sinhx x x

x xx

x x1

1

sech asech asech2

22

2

=−

=−−

=− −

l

buluruz. Buradan da

( )x x x x1

11asech sech asech 2= =−

−ll

buluruz. Bu son eflitlikten de

( )x x

dx x C1

12asech2−=− +#

elde edilir. Bulunan bu integral bize bir fikir vermeli, çün-

x xdx1 2−

#

integralini alman›n baflka yollar› da olmal›. İki in-teg ra li eflitleyerek bir eflitlik bulabiliriz. Nitekim, e€er integralde, x ∈ [0, π/2) için x = cos α de €i flik-li €i ne gidersek,

cos sinsin

cosx xdx d d1 2 α α

α ααα

−=− =− ###

buluruz ki, en sa€daki integrali bu yaz›da birkaç sayfa önce bulduk:

.cos ln sinsin

x xdx d C1 2

111

2 αα

αα

−=− =− −

+ +# #

Sa€daki ifadeyi x cinsinden yazal›m:

.

ln sinsin

ln sinarccossinarccos

ln

ln

x xdx C

xx C

x

xC

xx

C

1 21

11

21

11

21

1 1

1 1

1 1

2

2

2

2

2

αα

−=− −

+ +

=− −+ +

=−− −

+ −+

=−+ −

+

#

39

Matematik Dünyas›, 2012-III

cossin

cossin

cossin

coscos

cos cos

I x dx

d

d d

d d

1

1

2

2

3

2

3

2

3

αα

αα α

αα α

αα α

αα

αα

= −

=

= = −

= −

##

# #

# #

elde ederiz. Bu integralin sonunu getirebiliriz, hem bu say›da hem de önceki say›larda defa lar ca gör dük. Ama devam etmeyece€iz, çünkü hi per bo lik fonk si-yon lar la bu integral çok daha ko lay biçimde al› n›r.

‹kinci Çözüm: x = cosh α de€iflikli€ine gidelim. O zaman dx = sinh α dα ve

cosh

sinh

sinh

x 1 12 2

2

α

α

α

− = −

=

=

(α ≥ 0 olmak zorunda). Demek ki,

( )

( )

( )

( ) ( )

.

sinh

cosh

sinh

sinh

sinh cosh

I x dx

d

d

C

x x C

x x x C

x x xC

1

22 1

42

2

42

2

2 2

21

acosh acosh

acosh acosh acosh

acosh

2

2

2

α α

αα

α α

= −

=

=−

= − +

= − +

= − +

=− −

+

##

#

Genel bir kural olarak ikinci yöntemi ve yan›t biçi-mini tercih etmek gerekir.

3. Afla€›daki integrali bulun.

I x x dx1 2= + +#

Çözüm: Önce standart de€iflikliklere gidelim:

, sinhy x y z z u21

23

ve= + = =

de€ifliklikleriyle, ve Örnek 1’de bulunanla,

A

y = cosh x

‹ntegral Örnekleri1. I = ∫ cosh2 x dx integralini hesaplay›n.Birinci Çözüm: Tan›m› kullanal›m:

coshI xdx e e dx

e e dx

e x e C

2

41 2

41

2 2 2

x x

x x

x x

22

2 2

2 2

= = +

= + +

= + − +

c

^

c

m

h

m

# #

#

buluruz.‹kinci Çözüm: cosh (2x) = 2cosh2 x − 1 eflit li-

€i ni kullanal›m. Aynen yukardaki gibi

( )

( )

coshcosh

sinh

I xdxx

dx

x xC

21 2

2 42

2= =+

= + +

# #

buluruz.

2. Afla€›daki integrali hesaplay›n.

I x dx12= −#

Birinci Çözüm: Bu integrali önce eski yöntem-lerle yapmaya çal›flal›m.

cosx 1α=

de€iflikli€ine gidelim. O zaman,

cos cossindx d d1

2α αα α= =a k

ve

cos

coscos

cossin

cossin

x 1 1 1

1

22

2

2

2

2

α

αα

αα

αα

− = −

= −

=

=

olur ve

40

Matematik Dünyas›, 2012-III

Karekök içindeki ifadeye bak›nca

coshx 23

21 α= +

de€ifliminin yarar› anlafl›l›yor. Bu de€iflimle, integ-ral,

cosh sinh

sinh

coshId d

21

21

21

21

2 1α α

α α

αα=

+= +

a k

##

integraline dönüflür. E€er cosh 2x = 2cosh2 x − 1

ve (9) eflitli€ini an›msarsak gerisini biraz hesapla kolayl›kla getirebiliriz:

.

cosh cosh

coshtanh

coshsinh

I d d

dC

C xx x

C

2 1 22 2

22

2 2 2

2 1 2 13 2

2

2

2

αα

αα

α

αα

αα

= + =

= = +

= + + = −− +

+

# #

#

(Son satırda gereken küçük hesaplar: cosh a = 2x − 3 ve buradan sinh2 x = cosh2 x − 1 = (2x − 3)2 − 1 = 4(x2 − 3x + 2).) ♦

)

( )

a ( a )

a (a ) (a )

a

cosh

sinh

sinh sinh sinh

sinh sinh sinh cosh sinh

sinh

I x x dx x dx

y dy z dz

z dz udu

u uC

z zC

z z zC

z z zC

1 21

43

43

43

43

23

43 1 4

3

43

2 42

43

2 42

43

2 42

43

2 21

2 2

2 2

2 2

2

= + + = + +

= + = +

= + =

= + +

= + +

= + +

= ++

+

a

c

c

c

c

k

m

m

m

m

##

##

##

elde ederiz ve gerisi kolay.

4. Afla€›daki integrali hesaplay›n.

( )I

x x xdx

1 3 22=− − +

#

Çözüm: Önce karekök içindeki ifadeyi kareye tamamlayal›m:

( )

( ).

Ix x x

dx

x x

dx1 3 2

1 23

41

2

2

=− − +

=− − −a k

#

#