12 Tajuk 5 Analisis Dan Interpretasi Data

WAJ3105 LITERASI NOMBOR

TAJUK 5 ANALISIS DAN INTERPRETASI DATA

SINOPSISTajuk ini memperkenalkan bidang statistik yang asas. Perwakilkan

data seperti carta dan graf, seterusnya membaca dan mengintepretasi

maklumat dari perwakilan data dibincangkan. Menganalisis dan

mentafsir data seperti mengenalpasti ukuran kecenderungan

memusat, serakan atau jenis taburan turut dibincangkan. Selain itu

tajuk ini juga memberi pendedahan tentang idea kebarangkalaian.

HASIL PEMBELAJARAN Membaca dan mengintepretasi maklumat data kuantitatif.

Melaksana statistik asas, seperti mengumpul, menganalisis, dan

mentafsir data bernombor.

Meneroka peristiwa berkaitan dengan peluang (idea

kebarangkalian).

KERANGKA TAJUK-TAJUK

76

ANALISIS DAN INTERPRETASI DATA

MEMBACA DAN MENGINTEPRETASI

MAKLUMAT DATA KUANTITATIF YANG TELAH

DIWAKILKAN

MENGUMPUL, MENGANALISIS DAN

MENTAFSIR DATA BERNOMBOR

MENEROKA PERISTIWA BERKAITAN PELUANG


5.1 MEMBACA DAN MENGINTEPRETASI MAKLUMAT DATA KUANTITATIF

YANG TELAH DIWAKILKAN DALAM BENTUK JADUAL, CARTA ATAU

GRAF

Data boleh diwakilkan dalam bentuk jadual, carta atau graf. Walau

bagaimanapun sebelum boleh membaca dan mengintepretasi maklumat data

kuantitatif kefahaman tentang jenis data dan jenis perwakilan data adalah

penting.

5.1.1 Pembahagian Data

Data kuantitatif boleh dibahagi kepada empat jenis skala pengukuran. Skala

boleh ditakrifkan sebagai angka yang digunakan untuk mengkelas atau

menunjukkan tahap/nilai sesuatu ukuran. Suatu data dikelaskan dalam skala

berikut.

i. nominal

ii. ordinal

iii. sela

iv. nisbah

i. Data Nominal

Nominal ialah skala yang dianggap paling mudah dan mempunyai ketepatan

yang paling rendah. Skala ini mengkategorikan pembolehubah berdasarkan

persamaan dan seterusnya memberikan nama kepada pembolehubah

berkenaan. Jantina, ras dan warna adalah contoh data nominal. Misalnya, jantina

diwakilkan dengan 1 bagi lelaki dan 2 bagi perempuan. Nilai nombor 1 bukan

bermaksud lebih kecil dari 2 atau lebih baik dari 2. Nilai nombor 1 dan 2

hanyalah melambangkan atau mewakili kategori bagi lelaki dan perempuan.

Begitu juga bagi ras dimana 1 mewakili kaum Melayu, 2 mewakili kaum Cina, 3

mewakili kaum India dan 4 mewakili kaum-kaum lain. Nombor hanya perwakilan

sesuatu kumpulan data. Begitu juga bagi warna dimana kita boleh menyatakan 1

sebagai merah, 2 sebagai kuning, 3 sebagai hijau dan sebagainya.

77


Ciri-ciri utama skala nominal adalah:

a. Setiap ahli hanya dimiliki oleh satu kategori sahaja, misalnya, individu

yang dikelaskan ke dalam kategori lelaki tidak boleh menjadi ahli kategori

jantina lain.

b. Nombor yang mewakili setiap kategori tidak mempunyai nilai

pemeringkatan, tetapi dianggap sebagai nama kategori sahaja.

c. Pengkelasan data asal bagi data nominal bersifat satu kepada satu.

ii. Data Ordinal

Ordinal ialah skala yang memberikan nilai pemeringkatan atau pangkatan. Data

ordinal boleh disusun sama ada daripada yang terendah kepada nilai yang

tertinggi atau daripada yang lemah kepada yang cemerlang. Nombor atau

kategori yang diguna menggambarkan ukuran asal pembolehubah mengikut

susunan daripada kecil kepada yang besar atau dari kategori yang kurang baik

kepada kategori yang lebih baik. Kedudukan, gred dan jawatan adalah contoh

data ordinal. Murid yang mendapat nombor 1 dalam kelas tentunya lebih baik

dari murid yang mendapat nombor 2, 3 dan seterusnya. Gred A juga lebih baik

dari gred B, C dan D. Sarjan lebih berpangkat berbanding koperal dan

lanskoperal.

Ciri-ciri utama data ordinal adalah :

a. Kategori yang digunakan bagi mengkelaskan data ordinal adalah saling

eksklusif.

b. Ukuran yang digunakan, memperlihatkan pemeringkatan secara logik.

c. Ukuran mempunyai pemberat dimana setiap kategori mempunyai

pemberat yang kurang atau lebih berbanding kategori lain.

Markah, ketinggian, berat, gred, dan jawatan adalah contoh data ordinal. Markah

80% tentunya lebih baik dari 50%. 160 cm sudah pasti lebih tinggi dari 100 cm.

Objek yang beratnya 60 kg tentunya lebih berat dari 25 kg.

78


iii. Data Sela

Skala sela mempunyai ciri pemeringkatan dan juga mempunyai perbezaan bagi

setiap unit sela yang sama nilai. Skala ini berupaya menunjukkan perbezaan

antara beberapa kategori dan ia boleh menunjukkan kesamaan dalam unit

ukuran yang digunakan. Contoh ukuran berskala sela ialah ukuran suhu. Dalam

hal ini, perbezaan suhu antara 25°C dengan 35°C adalah sama dengan

perbezaan suhu antara 5°C dengan 15°C, iaitu perbezaan 10 darjah. Nilai

perbezaan ini sama kerana ia dikira dari titik asalan iaitu 0°C. Nilai sifar (0)

merupakan suatu nilai yang arbitrari, yang tidak menggambarkan nilai kuantiti

kosong, iaitu skala sela tidak mempunyai nilai mutlak. Misalnya, suhu 0°C

merupakan nilai permulaan sistem pengukuran suhu dalam °C. Suhu 0°C di sini

bukan bermakna tidak ada kepanasan. Begitu juga dengan markah pencapaian.

Katakan pelajar A mendapat markah 90 dan pelajar B mendapat markah 75.

Bezanya adalah 15 markah. Jika pelajar C mendapat 60 markah dan pelajar D

mendapat 45 markah, bezanya juga adalah 15 markah. Kita boleh kata

perbezaan pelajar A dengan B dan perbezaan C dengan D adalah sama. Kita

tidak boleh katakan kepandaian pelajar A dua kali ganda pelajar D walau pun

pelajar A mendapat 90 markah dan pelajar D mendapat 45 markah. Sekiranya

seorang pelajar memperolehi 0 markah, tidak bererti dia tiada kepandaian

kerana nilai sifar (0) ini bukan mutlak dan hanya sebagai permulaan ukuran

sahaja.

Ciri-ciri skala sela adalah :

i. Kategori yang digunakan bagi mengkelaskan data sela adalah saling

eksklusif.

ii. Ukuran yang diguna menggambarkan susunan pemeringkatan secara logik.

iii. Ukuran yang diguna mempunyai pemberat, iaitu sesuatu ukuran sama ada

lebih kecil atau lebih besar daripada yang lain.

iv. Ukuran dalam skala sela bernilai arbitrari (tidak mutlak). Nilai sifar (0) juga

adalah arbitrari.

79


v. Perbezaan satu unit ukuran mempunyai nilai yang sama bagi semua

perbezaan ukuran.

iv. Data Nisbah

Skala nisbah ialah skala yang mempunyai semua ciri skala sela dan juga nilai

mutlak. Dalam skala nisbah nilai sifar (0) adalah kosong dan mutlak. Jarak, berat

dan wang adalah contoh data berskala nisbah. Jarak 6 km adalah dua kali jarak

3 km. Nilai wang RM10 adalah dua kali ganda nilai wang RM5. Nilai sifar (0) bagi

jarak 0 km dan RM0 adalah benar-benar tiada jarak dan tiada wang.

Apakah jenis data bagi makanan kegemaran?

Apakah jenis data bagi saiz kasut?

Apakah jenis data bagi kedudukan dalam kelas?

Apakah yang dimaksudkan dengan skala Likert?

Berikan contoh yang sesuai bagi data yang menggunakan skala

Likert.

5.1.2 Perwakilan Data

Perwakilan data boleh dibuat dalam bentuk carta dan graf. Antaranya ialah

piktograf, carta palang, histogram, graf garis, carta pai dan ogif. Lihat contoh-

contoh berikut.

80


Jualan Setem Mengikut BulanJanuari

Februari

Mac

Rajah 5.1 Piktograf

Anda dikehendaki mengumpul beberapa keratan perwakilan

data dari bahan bercetak seperti akhbar, majalah, buletin dan

sebagainya dan buat ulasan mengenai perwakilan tersebut.

Perwakilan data mestilah pelbagai seperti piktograf, carta palang,

histogram, graf garis, carta pai dan ogif.

81

50 keping setem

Rajah 5.2 Histogram

Kek

era

pan

Umur


Dapatkan maklumat tentang bagaimana cara mewakilkan data menggunakan stem and leaf, box-plot dan scattergram.

Data dalam Jadual 5.1 berikut menunjukkan data pemilikan kereta bagi 26

keluarga. Maksud data dan interpretasinya dijelaskan dalam para berikut.

Bilangan kereta Gundal Kekerapan0 31 82 123 14 2

Pembacaan data

Data dibaca secara terus mengikut bilangan kereta dan kekerapan yang diberi.

Tiga keluarga tidak memiliki kereta. Lapan keluarga memiliki sebuah kereta dan

dua belas keluarga memiliki dua buah kereta. Manakala hanya satu keluarga

memiliki sebuah kereta dan dua keluarga memiliki empat buah kereta.

Intepretasi data

Data diterjemah mengikut tujuan. Kebanyakan keluarga memiliki satu dan dua

buah kereta. Sejumlah 12 keluarga memiliki dua buah kereta dan 8 keluarga

memiliki sebuah kereta. Terdapat 3 keluarga yang kurang mampu untuk memiliki

kereta manakala ada 3 keluarga lain mampu memiliki tiga dan empat buah

kereta.

82

Jadual 5.1


Data dalam Jadual 5.1 boleh diwakilkan dalam bentuk carta palang.

Jadual 5.2 berikut adalah contoh data terkumpul yang menunjukkan umur bagi

200 orang yang berada dalam satu dewan orang ramai. Perwakilan data dalam

bentuk histogram ditunjukkan dalam Rajah 5.4.

Umur Gundal Kekerapan 0-9 8 10-19 12 20-29 24 30-39 43 40-49 41 50-59 27 60-69 23 70-79 18 80-89 3 90-99 1

83

Bilangan kereta (buah)Bilangan kereta (buah)

Rajah 5.3 Carta Palang Pemilikan Kereta Setiap Keluarga

Kek

erap

an (

kelu

arg

a)

Bilangan kereta (buah)

Jadual 5.2


Nyatakan perbezaan antara carta palang dan histogram?

Bincangkan ciri-ciri carta palang dan histogram.

Berikan 2 contoh data yang sesuai dipaparkan menggunakan

carta palang dan histogram.

Jadual berikut menunjukkan data rancangan TV yang diminati oleh sebilangan pelajar SMK Jalan Merab. Jumlah pelajar sekolah ini adalah 840 orang.

Rancangan Bilangan Pelajar

A 46B 32C 28D 25E 23F 21G 25

84

Rajah 5.4 Histogram Pengunjung Dewan Orang Ramai

Kek

erap

an (

ora

ng

)

Umur (tahun)


a. Berapakah saiz sampel yang digunakan?b. Dalam peratus terhampir, berapa peratuskah Rancangan

A diminati oleh pelajar sekolah ini?c. Berapa ramaikah pelajar sekolah ini berkemungkinan

meminati rancangan A?d. Sekiranya Jamal kurang setuju dengan hasil dapatan ini

dan dia membuat kajian ke atas 35 orang pelajar perempuan dalam kelas Pendidikan Jasmani beliau. Adakah sampel kajian Jamal rawak? Jelaskan.

5.2 MENGUMPUL, MENGANALISIS DAN MENTAFSIR DATA BERNOMBOR

5.2.1 Mengumpul Data

Data asal atau data mentah boleh digunakan terus atau dikumpulkan terlebih

dahulu untuk diwakilkan dalam bentuk yang dikehendaki. Data yang digunakan

terus atau tidak perlu dikumpulkan. Lazimnya dalam kuantiti yang kecil atau

mempunyai julat yang kecil. Misalnya data mengenai cita-cita pelajar dalam

sesuatu kelas. Perwakilan data boleh digambarkan secara terus samada melalui

piktograf, carta palang atau apa saja perwakilan yang sesuai (telah dibincangkan

dalam 5.1).

Bagi kuantiti data yang banyak atau besar julatnya, maka adalah lebih baik

dikumpulkan dahulu data tersebut dalam sela mengikut saiz kelasnya.

Perwakilan data boleh digambarkan melalui histogram atau apa saja perwakilan

yang sesuai.

Misalnya data mengenai umur orang yang datang ke dewan orang ramai. Data

ini elok dikumpulkan dahulu. Jika umur 1-5 tahun dikumpulkan, maka saiz

kelasnya adalah 5. Secara umum data boleh dikumpul dalam kelas umur

mengikut jadual berikut:

85


Umur (Tahun) Gundalan Kekerapan1 - 5 3

6 - 10 811 -15 1216 - 20 1

2

Secara statistik, bilangan kelas dan saiz kelas dapat ditentukan dengan lebih

baik melalui rumus berikut.

Bilangan kelas, K ≈ 1 + 3.3 log(n)

K = bilangan kelas yang sesuai, n = jumlah data

Saiz kelas =

3565657074

7570625062

6566787045

6260807252

6872475555

5595705568

6685686082

6066905680

6270404875

806872

575Kirakan berapa bilangan kelas (K) dan saiz kelas yang sesuai

bagi data di atas?

5.2.2 Menganalisis dan Mentafsir Data

Selain menterjemah perwakilan data, kita juga boleh mengira nilai ukuran-ukuran

kecenderungan memusat iaitu nilai min, mod dan median. Sebaran data pula

boleh dilihat melalui nilai julat, sisihan piawai dan varians.

i. Ukuran Kecenderungan Memusat

86


Secara umumnya, min adalah purata, median adalah nilai di tengah-tengah

kumpulan data yang tersusun. Mod adalah data yang mempunyai kekerapan

tertinggi atau paling kerap berlaku.

Mencari Nilai Min, Mod dan Median Data Tidak Terkumpul

Contoh berikut menunjukkan pengiraan min, median dan mod bagi data berikut.

Data : 13, 18, 13, 14, 13, 16, 14, 21, 13

a. Min adalah purata

= (13 + 18 + 13 + 14 + 13 + 16 + 14 + 21 + 13) ÷ 9 = 15

b. Median adalah nilai ditengah-tengah. Data perlu disusun dalam susunan menaik atau menurun terlebih dahulu.

13, 13, 13, 13, 14, 14, 16, 18, 21

Jumlah data ialah sembilan, Maka, nilai di tengah-tengah adalah nilai ke (9+1) ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 (nilai kelima).

13, 13, 13, 13, 14, 14, 16, 18, 21, maka median adalah 14. C

c. Mod adalah data yang mempunyai kekerapan tertinggi. Dalam senarai ini mod adalah 13.

Bagi dua set data berikut, cuba anda kirakan nilai-nilai kecenderungan memusat nya.

Set A : 2, 2, 3, 5, 5, 7, 8

Set B : 2, 3, 3, 4, 6, 7

87


Bandingkan nilai-nilai yang telah anda kira dengan yang berikut.

Ukuran Set A : 2, 2, 3, 5, 5, 7, 8 Set B : 2, 3, 3, 4, 6, 7

MinUntuk mengira min, kita perlu jumlahkan semua data dan bahagi dengan bilangan data.

Jumlahkan:2 + 2 + 3 + 5 + 5 + 7 + 8 = 32

Terdapat 7 data, maka perlu dibahagi 7: 32 ÷ 7 = 4.57...

Jadi min adalah 4.57

Jumlahkan:2 + 3 + 3 + 4 + 6 + 7 = 25

Terdapat 6 data, maka perlu dibahagi 6: 25 ÷ 6 = 4.166...

Jadi min adalah 4.17

MedianUntuk mengira median, kita perlu susunkan data secara menaik atau menurun. Nilai ditengah- tengah adalah median. Jika terdapat dua nilai ditengah, maka puratanya adalah median.

Susunkan secara menaik:2 , 2 , 3 , (5) , 5 , 7 , 8

Nombor ditengah ditandakan dalam kurungan adalah 5.

maka median adalah 5

Susunkan secara menaik:2 , 3 , (3 , 4) , 6 , 7

Nampaknya terdapat dua nilai ditengah dan puratanya adalah median.

(3 + 4) ÷ 2 = 3.5

maka median adalah 3.5

ModMod adalah data yang mempunyai kekerapan tertinggi. Mod boleh jadi lebih dari satu nilai samada dwimod atau multimod mengikut nilai pada data.

Data :2 , 2 , 3 , 5 , 5 , 7 , 8

Nilai yang kerap pada data adalah 2 dan 5. Kedua-duanya adalah nilai mod.

maka mod adalah 2 dan 5

(dwimod)

Data :2 , 3 , 3 , 4 , 6 , 7

hanya nilai 3 sahaja yang kerap berbanding nilai lain.

maka mod adalah 3

(unimod)

88


Apakah yang anda faham bagi situasi berikut.

Min bagi matapelajaran matematik kelas 5 Cempaka adalah 85 dan kelas 5 Mawar adalah 70 pada Ujian semester satu.

Mencari Nilai Min, Mod dan Median Data Terkumpul

Bagi data terkumpul, pengiraan ukuran kecenderungan memusat, seperti min,

mod, median boleh dilakukan menggunakan rumus.

Anda digalakkan secara berkumpulan membuat pembelajaran kendiri mengenai

ukuran kecenderungan memusat bagi data terkumpul. Dilampirkan bersama

sedikit panduan untuk anda.

a. Min

Min adalah purata dan ia dikira menggunakan nilai titik tengah. Pengiraannya

boleh menggunakan rumus berikut.

b. Median

Nilai median bagi data tidak terkumpul adalah nilai yang terletak ditengah-tengah

apabila data tersebut disusun secara menaik. Bagi data yang terkumpul,

pengiraan median agak rumit dan boleh menggunakan rumus berikut:

di manaL = had bawah selang kelas mediancfp = jumlah terkumpul kekerapan sehingga kelas tersebut, tetapi tidak melibatkan kekerapan kelas median fmed = kekerapan medianW = keluasan selang kelas median (had atas kelas – had

89


bawah kelas)N = jumlah bilangan kekerapan

c. ModKelas mod adalah selang kelas yang mempunyai kekerapan yang tertinggi.

ii. Ukuran Serakan

Ukuran serakan menerangkan sebaran atau taburan sesuatu set data.

Menggunakan ukuran serakan bersama-sama ukuran kecenderungan memusat

dapat memperihalkan perwakilan data dengan lebih lengkap.

Rajah 5.5 menunjukkan tiga taburan dengan min sampel yang sama tetapi

serakan berbeza.

a. JulatJulat adalah perbezaan di antara nilai terbesar dan nilai terkecil. Walaupun ia

hanya nilai nombor tunggal tetapi merupakan ukuran serakan kasar yang dapat

menerangkan taburan sesuatu data.

Julat = Nilai terbesar – Nilai terkecil

b. Varian

Varian ialah purata jumlah kuasa dua sisihan antara min dan set nombor.

Populasi varian ditandakan dengan huruf Greek, 2 dan rumusnya ialah,

90

=50

Rajah 5.5


Menggunakan set nombor seperti berikut, kita boleh mengira variannya.

X X - ( X - )2

5 -8 649 -4 16

16 +3 917 +4 1618 +5 25

X = 65 (X - ) = 0 (X - )2 = 130

Varian =

c. Sisihan Piawai

Sisihan piawai ialah punca kuasa dua varian. Sisihan piawai populasi

ditandakan sebagai , dan dikira sebagaimana berikut.

Berdasarkan kepada contoh di atas, nilai sisihan piawai ialah

Ukuran Serakan Data Terkumpul

i. Sisihan Piawai bagi Populasi dan Sampel

Bagi data terkumpul, ukuran serakan seperti varian dan sisihan piawai dikira

menggunakan rumus seperti dalam contoh berikut.

Varian bagi sampel ditandakan sebagai s2 dan sisihan piawai ialah s.

Pengiraan varian dan sisihan piawai bagi sampel berbeza sedikit daripada

pengiraan varian dan sisihan piawai untuk populasi. Tujuan utama

pengiraan varian dan sisihan piawai untuk sampel adalah untuk

menganggar varian dan sisihan piawai untuk populasi. Menggunakan (n –

91


1) sebagai pembahagi (denominator) bagi sampel berbanding N untuk

populasi, menghasilkan penganggaran yang lebih baik untuk nilai

populasi.

Varian untuk sampel:

Sisihan piawai untuk sampel:

dan, Varian untuk populasi:

Sisihan piawai untuk populasi:

di mana, f = kekerapanM = titik tengah kelasN = f atau jumlah kekerapan populasi = min kumpulan bagi populasi.

Apa yang anda faham bagi situasi berikut .

Markah matematik kelas Cempaka berjulat 40 manakala kelas Mawar berjulat 60.

92


Berdasarkan min, mod dan median seperti yang terdapat pada serakan data dalam rajah-rajah berikut, bincangkani) sifat-sifat data, dan ii) berikan contoh- contoh yang berkaitan.

a) Taburan normal

b) Pencong positif (positively skewed)

c) Pencong negatif (negatively skewed)

93


Bincangkan tentang serakan data berikut .

a) Lengkung berikut mempunyai serakan yang berbeza tetapi min yang sama.

b) Lengkung berikut mempunyai serakan yang sama tetapi nilai minnya berbeza.

Apakah sifat-sifat yang ada pada taburan normal?

94

lengkung 2lengkung 1

lengkung 4lengkung 3


5.3 MENEROKA PERISTIWA BERKAITAN PELUANG

Meneroka peristiwa berkaitan peluang dapat memberikan idea intuitif tentang

kebarangkalian.

5.3.1 Kebarangkalian

Aida melakukan ujikaji melambung sebiji dadu adil di atas meja dan dicatatkan

kesudahannya. Adakah nombor 0 ialah kesudahannya? Mungkin jawapannya

ialah barangkali atau kurang pasti atau mustahil.

Daripada kenyataan di atas unsur-unsur ketidakpastian berlaku dan berlaku

dalam kehidupan harian. Oleh itu adalah penting untuk kita memperoleh

pengetahuan dan kemahiran dalam menentukan sejauh mana sesuatu kejadian

itu mungkin berlaku.

Dalam matematik unsur ketidakpastian dikaji dalam bidang kebarangkalian.

Kebarangkalian berlaku daripada permainan yang melibatkan peluang seperti

perjudian, kajian fizik, genetik, insuran dan sebagaimya.

Beberapa terminologi yang berkaitan dengan kebarangkalian seperti ujikaji,

kesudahan yang mungkin, ruang sampel dan peristiwa akan diberi tumpuan

dalam modul ini.

5.3.2 Ujikaji dan Kesudahan

Ujikaji ialah satu proses atau tindakan yang dilakukan untuk melihat

kepada hasil. Misalnya aktiviti melambung duit syiling, kita akan

memperhatikan kepada hasil yang berlaku.

Dalam ujikaji melambung duit syiling, terdapat dua keputusan yang

mungkin terjadi iaitu muka angka dan muka gambar dan setiap keputusan

95


ini dikenali sebagai kesudahan. Dengan kata lain kesudahan bagi suatu

ujikaji ialah keputusan yang mungkin terjadi dalam ujikaji.

5.3.3 Ruang Sampel

Ruang sampel ialah set semua kesudahan yang mungkin bagi suatu

ujikaji. Ruang sampel diwakili oleh S atau ξ dan boleh ditulis dengan

menggunakan tata tanda set. Misalnya ruang sampel bagi ujikaji

melambung sekeping duit syiling mempunyai 2 titik sampel. Semua

kesudahan yang mungkin ialah gambar (g) dan angka (a), S = { g, a }.

Begitu juga dengan ujikaji melambung sebiji dadu iaitu semua kesudahan

yang mungkin 1, 2, 3, 4, 5, 6 iaitu S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Dalam suatu ujikaji kita boleh menyenaraikan semua kesudahan yang

mungkin untuk mendapatkan ruang sampel secara aktiviti dan

penaakulan.

Contoh

Sebuah beg mengandungi guli yang berwarna putih, biru, dan hijau. Sebiji

guli dikeluarkan secara rawak daripada beg itu.

Kita boleh menentukan semua kesudahan yang mungkin bagi ujikaji

mengambil sebiji guli daripada aktiviti. Sebaliknya kita boleh juga

menentukan kesudahan yang mungkin secara penaakulan iaitu kita

menganalisis ujikaji atau situasi berkenaan dan mempertimbangkan

secara teliti semua kesudahan yang mungkin berlaku. Setiap kali guli

diambil, guli berwarna putih atau biru atau hijau mungkin dipilih. Maka

semua kesudahan yang mungkin ialah { putih, biru, hijau}.

Begitu juga kita boleh meramalkan keputusan perlawanan hoki secara

penaakulan, Terdapat 3 keputusan yang mungkin dicapai oleh

96


perlawanan tersebut iaitu menang atau seri atau kalah. Maka kesudahan

yang mungkin ialah { menang, seri, kalah }.

Terdapat dua kaedah untuk menyenaraikan semua kesudahan yang

mungkin dengan menggunakan

(a) Jadual

(b) Gambar rajah pokok

(a) Jadual

Contoh

2 biji dadu dilambung serentak, maka ruang sampelnya adalah seperti

berikut.

Dadu 2 Dadu 1 1 2 3 4 5 6

1(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

2(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

3(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

4(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

5(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

6(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

S = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }

(b) Gambar rajah pokok

Gambar rajah pokok biasanya digunakan untuk membantu menyenaraikan

semua kesudahan yang mungkin bagi suatu uji kaji yang melibatkan

pemilihan secara berturut-turut.

97


Contoh

Dalam suatu permainan tertentu, seseorang pemain perlu memilih secara

rawak dua keping kad dari sebuah kotak yang mengandungi dua keping kad

yang masing-masing berlabel a dan b.

Setelah kad pertama dipilih, kad tersebut perlu dimasukkan semula ke dalam

kotak sebelum kad kedua dipilih.

a) Senaraikan semua kesudahan yang mungkin.

b) Tuliskan ruang sampel dengan menggunakan tatatanda set.

Pilihan 1 Pilihan 2 Kesudahan a (a,a)

a b (a,b)

a (b,a)b

b (b,b)

S = { (a,a), (a,b), (b,a), (b,b) }

5.3.4 Peristiwa

Menurut bahasa peristiwa bermaksud kejadian atau perkara yang

menarik perhatian. Tanggal 31 Ogos 1957, adalah suatu peristiwa dalam

sejarah negara kita.

Dalam matematik, perkataan peristiwa menunjukkan kesudahan yang

memenuhi syarat-syarat tertentu. Peristiwa adalah subset bagi ruang

sampel.

Contoh

Apabila sebiji dadu dilambung, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

98

S E R A M


Jika A : Peristiwa mendapat nombor genap

Jika B : Peristiwa mendapat nombor perdana

Jika C : Peristiwa mendapat nombor ganjil

Maka A = { 2, 4, 6}, B = { 2, 3, 5 }, C = {1, 3, 5 }

Cuba dapatkan jawapan bagi yang berikut.

Lima keping kad seperti yang ditunjukkan di atas telah dimasukkan ke

dalam sebuah kotak. Sekeping kad itu adalah dipilih secara rawak

daripada kotak itu. Nyatakan unsur-unsur ruang sampel yang memenuhi

setiap syarat berikut.

(a) Sekeping kad berhutruf vokal dipilih

(b) Sekeping kad berhuruf konsonan dipilih

Sesuatu peristiwa A adalah mungkin bagi suatu sampel jika dan

A ≠ Φ. Jika A = Φ, maka peristiwa A adalah tidak mungkin berlaku.

Contoh

Satu nombor dua digit adalah dibentukkan daripada digit-digit 1, 2, 3. Tentukan

sama ada setiap peristiwa yang berikut adalah mungkin bagi suatu ruang sampel

atau tidak.

a) A : Peristiwa mendapat satu nombor genap,

b) B : Peristiwa mendapat satu nombor di antara 10 dan 34.

c) C : Peristiwa mendapat satu nombor dengan keadaan hasil tambah digit-

digitnya adalah lebih besar daripada 6.

Penyelesaian

S = {11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33}

a) A = {12, 22, 32} ,

99


Maka, peristiwa A adalah mungkin.

b) B = {11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33}, B = S

Maka, peristiwa B adalah mungkin.

c) C = { } = Φ

Maka, peristiwa C adalah tidak mungkin.

5.3.5 Kebarangkalian

Kebarangkalian bagi peristiwa A berlaku ialah nisbah bilangan unsur dalam peristiwa A kepada bilangan unsur dalam ruang sampel, S

P( A ) =

n ( A ) = bilangan unsur dalam peristiwa A atau bilangan kesudahan bagi peristiwa A n ( S ) = bilangan unsur dalam ruang sampel atau bilangan cubaan Kebarangkalian mempunyai nilai dari 0 hingga 1 iaitu

0 ≤ P(A) ≤ 1

P (A) = 0, bermakna peristiwa A tidak akan berlaku atau mustahil berlaku.

P (A) = 1, bermakna peristiwa A pasti atau tentu berlaku.

Contoh

Sebiji dadu adil dilambung. A ialah peristiwa mendapat nombor

perdana. Cari kebarangkalian A.

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, n( S ) = 6

A = { 2, 3, 5 }, n( A ) = 3

P( A ) =

=

=

100


Kebarangkalian tidak dapat meramalkan peristiwa secara pasti atau mutlak.

Pada amnya, bilangan kesudahan yang dijangkakan bagi peristiwa A

= (Bilangan cubaan) × P(A)

Contoh

Dua keping duit syiling dilambung sebanyak 200 kali. Tentukan bilangan

kali untuk mendapat dua gambar.

Bilangan kali untuk mendapat dua gambar = x 200

= 50

5.3.6 Kebarangkalian Peristiwa Pelengkap

Peristiwa pelengkap bagi peristiwa A dalam suatu ruang sampel S terdiri

daripada semua kesudahan S yang bukan kesudahan A. Peristiwa

pelengkap bagi peristiwa A biasanya ditandakan sebagai A.

Jika A ialah sebarang peristiwa bagi ruang sampel S dan A ialah

peristiwa pelengkapnya, iaitu kebarangkalian bagi peristiwa A tidak akan

berlaku

P( A) = 1 – P ( A )

ContohSatu huruf dipilih secara rawak daripada perkataan “NKRA”. Jika V

mewakili peristiwa mendapatkan vokal, nyatakan pelengkap V

S = { N, K, R, A }

V = { A }

V = { N, K, R }

5.3.7 Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

101


Peristiwa bergabung ialah peristiwa yang dihasilkan daripada kesatuan

atau persilangan dua peristiwa atau lebih.

Peristiwa bergabung “A atau B” dan “A dan B” masing-masing

dihasilkan daripada kesatuan dan persilangan dua peristiwa itu. Oleh itu,

kita boleh menyenaraikan semua kesudahan bagi

a) Peristiwa “A atau B” sebagai unsur set A B

b) Peristiwa “A dan B” sebagai unsur set A ∩ B.

Contoh

Sekeping duit syiling dilambungkan sebanyak dua kali. Senaraikan semua

kesudahan yang mungkin bagi peristiwa

a) Mendapat angka pada lambungan pertama atau kedua.

b) Mendapat angka pada lambungan pertama dan kedua.

S = { (a,a), (a,g), (g,a), (g,g) }

A : Peristiwa mendapat angka pada lambungan pertama

A = { (a,a), (a,g) }

B : Peristiwa mendapat angka pada lambungan kedua

B = { (a,a), (g,a) }

Peristiwa mendapat angka pada lambungan pertama atau kedua ialah

peristiwa “A atau B”.

Peristiwa “A atau B” = A B

= {(a, a) , (a, g) , (g, a)}

Peristiwa mendapat angka pada lambungan pertama dan kedua ialah

peristiwa “A dan B”.

Peristiwa “A dan B” = A ∩ B = {(a, a)}

102


Jika kita dapat menyenaraikan set kesudahan bagi peristiwa bergabung “A

atau B” dan “A dan B”, maka kita boleh mengira kebarangkalian dengan

rumus berikut.

P(A atau B) = P(A B) = , dan

P(A dan B) = P(A B) = .

Satu pemerhatian di pintu pagar sekolah telah dilakukan untuk

mencatat bilangan penumpang setiap kereta yang masuk ke

kawasan sekolah.

Berikut adalah histogram yang dibina hasil dari pemerhatian

tersebut.

Bincangkan perkara berikut.

i. Berapa buah kereta yang membawa empat penumpang?

ii. Berapa jumlah kereta yang masuk ke sekolah?

103

Kek

erap

an (

bil k

eret

a)

Bilangan penumpang (orang)


Perwakilan data berikut telah dipetik daripada beberapa

penerbitan.

Bincangkan apakah kesilapan atau kekeliruan yang terdapat

dalam perwakilan data tersebut.

Chua Yan Piaw (2006). Kaedah Dan Statistik Penyelidikan. The McGraw-Hill companies, Malalaysia.

Hopkins, K.D. (1998). Educational and Psycological Measurement and Evaluation. (8 th. Ed). Boston: Allyn and Bacon.

Jerry Howett (2000). Number power ( a real world approach toMaths). Contemporary Books. USA

Mohd Majid Konting (2000). Kaedah Penyelidikan Pendidikan. Kuala Lumpur,

Noll, V.H. & Scannel, D.P. (1992). Introductions to Educational Measurement. Boston: Houghton Mifflin Company.

Popham, W.J. (2000). Modern Educational Measurement, Practical Guidelines for Educational Leaders. (3rd. Ed). Boston: Allyn and Bacon.

Siti Rahayah Ariffin (2003). Teori, Konsep dan Amalan Dalam Pengukuran dan Penilaian. Penerbitan Pusat Pembangunan Akademik, Bangi, Universiti Kebangsaan Malaysia.

Yap Yee Khiong, Wan Chwee Seng, Ismail Abu Bakar (1985). Pengukuran Dan Penilaian dalam Pendidikan. Kuala Lumpur, Heinemann Asia. Percetakan Dewan Bahasa Dan Pusaka.

104

Documents

12 Tajuk 5 Analisis Dan Interpretasi Data