12-Neparametarski_testovi

Neparametarske metode Do sada prikazane metode za upoređivanje dve ili više grupa podataka zasnivaju se na

pretpostavci da su podaci normalno raspodeljeni. Ove metode se uvek zasnivaju na teoriji verovatnoće i uvek se u njima pojavljuje potreba za ocenjivanjem pojedinih parametara (srednje vrednosti, standardne devijacije ili varijanse). Zato se ove metode označavaju kao parametarske. Međutim, kada ne može da se sa sigurnošću utvrdi da je raspodela jedne grupe podataka normalna, izračunavanje pojedinih parametara i primena para metarskih metoda daju vrlo nepouzdane zaključke. U tim slučajevima se primenjuju neparametarske metode, koje se ne zasnivaju na pretpostavci da postoji bilo koja verovatnoća raspodele.

Neparametarskim metodama mogu da se porede kako dve, tako i više grupa poda taka. Ovde će biti objašnjene metode koje se najčešće koriste.

Neparametarski t-test (Mann-Whitney U test)

Mann-Whitney U test je ekvivalentan parametarskom t-testu, jer se njime porede dve grupe podataka, ali preko medijana. Nulta i alternativna hipoteza glase:

H0 : Me1 = Me2

HA : Me1 ≠ Me2

Princip poređenja grupa se sastoji u tome da se vrednosti u grupama urede po veličini, a zatim obeleže rednim brojevima posmatrajući obe grupe istovremeno. Ako se vrednosti u grupama razlikuju, onda će se u jednoj grupi nalaziti veći, a u drugoj manji redni brojevi (jer su u tom slučaju u jednoj grupi pretežno veće, a u drugoj pretežno manje vrednosti), pa se i zbirovi rednih brojeva razlikuju. Suprotno ovome, ako se vrednosti u dve grupe ne razlikuju, onda su redni brojevi ravnomerno raspoređeni, pa se u obe grupe nalaze i veći i manji redni brojevi, odnosno sume rednih brojeva su približno jednake. Iz ovoga se vidi da sami podaci u grupama ne služe za poređenje, već se dalje operiše sa njihovim rednim brojevima, tačnije rečeno sa sumama rednih brojeva u pojedinim grupama.

Izrazi kojima se upoređuju sume rednih brojeva zavise od broja podataka u grupama. Ovaj test može da se koristi i kada grupe sadrže vrlo mali broj podataka (manje od 9), ali su zaključci koji se tom prilikom dobijaju nepouzdani, jer su izvedeni iz malog broja podataka. Ovde će biti objašnjena dva načina primene U-testa:

a) kada je N1 ≤ 20 i 9 ≤ N2 ≤ 20 (sa N1 se obeležava grupa sa manjim brojem, a sa N2 grupa sa većim brojem podataka) i

b) kada je N1 ≥ 9 i N2 ≥ 20.

Mann-Whitney U-test za N1 ≤ 20 i 9 ≤ N2 ≤ 20

Izraz za izračunavanje U glasi:

( )∑−

++= 1

1121 R

2

1NNNNU

odnosno

Statistika u farmaciji 2

( )∑−

++= 2

2221 R

2

1NNNNU

gde je

Σ R1 - suma rednih brojeva u grupi čiji je ukupan broj podataka N1, a

Σ R2 - suma rednih brojeva u grupi čiji je ukupan broj podataka N2.

Odnos između ove dve vrednosti je sledeći:

U = N1N2 - U'

Ovaj izraz služi i za jednostavnije izračunavanje, tako da je umesto izračunavanja obe vrednosti U i U' prema gore navedenim izrazima, dovoljno da se izračuna samo jedna, a druga se izračuna iz navedenog odnosa.

Manja od dobijenih vrednosti U upoređuje se sa kritičnom vrednošću U iz tabele za željeni nivo verovatnoće i odgovarajući broj podataka i ako je manja od kritične vrednosti razlika između dve grupe je statistički značajna. Statistički značajna razlika pokazuje da posmatrane grupe ne pripadaju istoj populaciji.

PRIMER 1.: Kod dve grupe dece različite starosti sa dijagnozom astma, određena je vrednost IgE (rezultati su dati u IJ/ml). Pokazati da li ima značajne razlike u sadržaju IgE kod dece do 5 godina (grupa 1) i dece od 6 do 10 godina (grupa 2). U grupi 1 broj poda taka je N1 = 11, a u grupi 2 N2 = 13.

grupa 1 r.br.(R1) grupa 2 r.br.(R2)

192 2 55 1

230 4 202 3

250 5.5 290 7

250 5.5 305 9

300 8 310 10

450 13 334 11

720 18 446 12

930 19 452 14

1100 21 510 15

1165 22 584 16

1850 24 710 17

1000 20

1200 23

ukupno Σ R1=142 Σ R2=158

Rešenje: Rangiranje, odnosno obeležavanje vrednosti rednim brojevima izvodi se posmatranjem obe grupe istovremeno. Najniža vrednost u obe grupe je 55 i ona dobija redni broj 1, sledeća je 192 i ona ima redni broj 2 itd. Vrednost 250 se pojavljuje dva puta i ona će u oba slučaja imati redni broj 5,5, koji predstavlja srednju vrednost između rednih brojeva 5 i 6. U slučajevima kada se neke vrednosti pojavljuju više puta, njihov redni broj se određuje kao srednja vrednost rednih brojeva koje one zauzimaju. U našem primeru vrednost 250 se pojavila dva puta i zauzela redna mesta 5 i 6, tako da sledeća vrednost po veličini, 290 nosi redni broj 7. Numerisanje se tako izvodi do poslednje najveće vrednosti i ako nije napravljena greška poslednja, najveća vrednost imaće redni broj koji je jednak zbiru podataka u obe grupe (u našem primeru je to 24).

S. Spasić: Predavanja 200/2010. 3

( )

76671311U

67142661431422

111111311U

' =−×=

=−+=−++×=

Kritična vrednost U za verovatnoću p = 0,05 i broj podataka N1 = 11 i N2 = 13 iznosi 37, a

kako je izračunata vrednost U = 67, odnosno veća od kritične, znači da razlika između ove dve grupe dece nije statistički značajna.

Mann-Whitney U-test za N1 ≥ 9 i N2 ≥ 20

Kada se broj podataka u grupama povećava, raspodela vrednosti U se vrlo brzo približava normalnoj raspodeli, tako da se značajnost izračunate vrednosti U može da oceni uz pomoć izraza:

( )12

1NNNN2

NNU

z2121

21

++

−=

Vrednost z ima normalnu raspodelu sa srednjom vrednošću nula i standardnom

devijacijom jedan, a značajnost izračunate vrednosti z se upoređuje sa vrednostima iz tabele normalne raspodele za željeni nivo značajnosti. Za verovatnoću p = 0,05 kritična vrednost z iz tabele za normalnu raspodelu iznosi 1,96, što znači da je razlika između dve grupe statistički značajna ako je izračunata vrednost z veća od ove.

Vrednost U se izračunava prema ranije navedenim izrazima, a u izraz za z može da se uvrsti i U i U'. Od toga da li će se uvrstiti U ili U' u izraz za z zavisi samo znak dobijenog rezultata, ali ne i njegova apsolutna vrednost.

PRIMER 2.: Pokazati da li se značajno razlikuju vrednosti ALT kod pacijenata sa cirozom jetre (N1 = 19) i kod pacijenata sa hroničnim hepatitom (N2 = 21).

410 300 200 180 150 95 110 120 74 84 95 ciroza:

130 18 20 25 30 28 32 48

790 720 520 420 435 450 470 390 38 45 75 hepatit:

380 340 310 200 190 180 50 48 76 95


grupa 1

(ciroza) r. br. (R2)

grupa 2

(hepatit) r. br. (R1)

18 1 38 7

20 2 45 8

25 3 48 9.5

28 4 50 11

30 5 75 13

32 6 76 14

48 9.5 95 17

74 12 180 23.5

84 15 190 25

95 17 200 26.5

95 17 310 29

110 19 340 30

120 20 380 31

130 21 390 32

150 22 420 34

180 23.5 435 35

200 26.5 450 36

300 28 470 37

410 33 520 38

720 39

790 40

Σ R1=284,5 Σ R2=535,5

Rešenje: Najniža vrednost u skupu je 18 i ona nosi redni broj 1, sledeća je 20 sa rednim brojem 2 i tako sve do vrednosti 48 koja se pojavljuje dva puta. Do vrednosti 48 zauzeto je 8 mesta, odnosno 8 rednih brojeva, tako da se vrednosti 48 raspoređuju na mesta 9 i 10 i nose redni broj 9,5. Sledeća vrednost je 50 sa rednim brojem 11 (9 i 10 su već iskorišćeni) i skup se dalje rangira do vrednosti 95 koja se pojavljuje tri puta (dva puta u grupi 1 i jedanput u grupi 2). Do vrednosti 95 rangirano je 15 vrednosti, tako da tri vrednosti 95 treba da zauzmu redna mesta 16, 17 i 18. Njih ćemo obeležiti srednjom vrednošću ova tri redna broja, a to je 17. Sledeća vrednost u skupu je 110 i ona nosi redni broj 19 (jer su 16, 17 i 18 iskorišćeni). Rangiranje vrednosti u skupu nastavljamo do poslednje, najveće vrednosti 790 koja ima redni broj 40, što odgovara zbiru podataka u obe grupe. ( )

( )844,2

922,36105

25,1363

5,1995,304

12121192119

22119

5,304z

5,3045,2841903995,2842

119192119U

==−=++×

×−=

=−+=−++×=

Ako se u izraz za z uvrsti U' dobiće se rezultat sa istom apsolutnom vrednošću, ali suprotnog znaka, što ne utiče na tumačenje značajnosti razlike.


( )

( )844,2

922,36105

5,1383

5,1995,94

12121192119

22119

5,94z

5,945,5352313995,5352

121212119U'

−=−=−=++×

×−=

=−+=−++×=

Izračunata vrednost z je veća od kritične vrednosti 1,96, koja se dobija iz tabele normalne raspodele za verovatnoću p = 0,05, što govori da je razlika između ove dve grupe statistički značajna.

Prednost Mann-Whitney U testa u odnosu na Student t-test je u tome što na krajnji rezultat ne utiče rasipanje rezultata unutar grupe, što smo imali u ovom slučaju. Obe posmatrane grupe imaju veliku standardnu devijaciju jer je razlika između najniže i najviše vrednosti velika, što bi se odrazilo na vrednost t, koja bi zbog toga bila manja od kritične vrednosti za odgovarajući broj stepena slobode.

Zadaci za vežbanje

1. Kod 15 muškaraca i 10 žena određena je koncentracija apo A. Pokazati da li postoji značajna razlika u koncentraciji ovog proteina u odnosu na pol.

muškarci:

2,04 2,69 2,30 1,40 2,20 1,95 2,30 2,50 1,41 1,76 2,41 3,00 1,51

2,32 1,90

žene:

1,82 1,46 1,90 2,60 2,50 2,40 2,30 1,65 2,20 2,62

2. Kod 16 zdravih osoba i kod 15 osoba koje su bile u akutnom napadu infarkta miokarda određena je koncentracija arahidonske kiseline metodom tečne hromatografije. Pokazati da li između dobijenih vrednosti postoji značajna razlika, uzimajući u obzir nivo verovatnoće 0,05 (rezultati su izraženi u µmol/L).

kontrolna grupa:

1,8 1,7 3,7 2,0 1,6 2,9 1,8 1,0 4,9 5,2 2,8 13,7 3,2

2,1 3,4 6,8

pacijenti u akutnom napadu infarkta miokarda:

12,4 2,1 8,7 7,4 5,2 4,9 2,5 2,9 2,8 3,4 8,1 6,0 3,0

1,4 2,2

3. Koncentracija beta-2-MG u serumu (mg/L) određena je kod grupe zdravih osoba, kao i kod osoba koje su izložene uticaju olova. Pokazati da li ima značajne razlike u koncentraciji ovog proteina kod ispitivanih grupa.

zdrave osobe:

1,27 1,9 1,37 1,2 2,02 2,04 1,2 1,25 1,30 1,27 1,2 2,08 1,24


1,25 1,4 1,35 1,2 1,61 1,8 1,92 1,77 1,64 1,17 2,1

pacijenti eksponirani olovu

2,36 1,45 1,17 2,3 1,45 2,45 2,42 2,86 3,64 1,66 1,61 1,30 2,30

2,43 1,7 1,20 2,4 1,72 1,61 1,35 1,51 1,50 1,56 2,55 2,38 1,46

4. Kod akutnog virusnog hepatita određena je koncentracija T4 (nmol/L) u akutnoj fazi bolesti i potom u fazi oporavka. Pokazati da li je razlika između ove dve grupe značajna.

akutna faza:

193 135 148 160 167 193 184 181 156 123 175 172 141 206 141

163 147 125 112 175 149 167 82 135 139 84 141

faza oporavka:

139 136 136 135 96 87 116 144 84 111 111 145 141 112 46

130 112 123 111 96 154 162 84 122 129 116 116

5. Kod 26 muškaraca i 24 žene određena je koncentracija apo B. Pokazati da li postoji značajna razlika u koncentraciji ovog proteina u odnosu na pol.

muškarci:

1,58 1,30 1,84 1,23 1,60 1,53 1,60 1,29 1,50 1,36 1,50 1,80 1,40

1,60 1,13 1,35 1,35 1,70 1,75 1,13 1,60 1,40 1,20 1,13 1,18 1,48

žene:

1,29 1,32 1,40 1,65 1,23 1,45 1,80 1,22 1,76 1,57 1,20 1,55 1,09

1,60 1,30 1,27 0,86 1,37 1,40 1,60 1,60 1,08 1,15 1,20


Neparametarska korelacija

Postoji više načina za izračavanje neparametarske korelacije, ali se najčešće primenjuje Spearman-ova korelacija, posebno zbog toga što je jednostavna za izračunavanje. Kao i drugi neparametarski testovi i Spearman-ova korelacija zasnovana je na rangiranju podataka u ispitivanim grupama x i y. Nulta hipoteza koja se postavlja glasi:

H0: x i y su nezavisni

a alternativna hipoteza

HA: x i y su u pozitivnoj/negativnoj korelaciji.

Mera za korelaciju izračunatu ovom metodom je Spearman-ov koeficijent korelacije koji se obeležava sa ρ koji se izračunava prema izrazu:

) 1 - N ( Nd 6

- 1 = 2

2∑ρ

Postupak izračunavanja ide tako da se vrednosti u grupi x obeleže rednim brojevima od 1 do N, a zatim se posebno rangiraju vrednosti u grupi y. N odgovara broju parova x, y vrednosti. Za svaki x, y par vrednosti izračuna se razlika d između njihovih rednih brojeva, dobijena razlika se kvadrira i na kraju nađe suma dobijenih kvadrata, koja se uvrsti u gornji izraz za ρ . Ako je 4 < N < 30 dobijena vrednost ρ upoređuje se sa tabličnom vrednošću za ρ za izabranu verovatnoću i broj parova vrednosti N. Nulta hipoteza se prihvata ako je izračunata vrednost ρ manja od tablične, što znači da su dve posmatrane grupe podataka nezavisne, odnosno među njima ne postoji korelacija. Ako je izračunato ρ sa pozitivnim predznakom korelacija je upravna (kako rastu vrednosti u jednoj, tako rastu i vrednosti u drugoj grupi), a ako je sa negativnim predznakom korelacija je obrnuta.

Ako je broj parova vrednosti veći od 30 značajnost izračunate vrednosti ρ određuje se preko standardne jedinice z:

1 - N = z ρ Nulta hipoteza se prihvata, odnosno posmatrane grupe su nezavisne (među njima nema

korelacije) ako je izračunata vrednost manja od vrednosti z koja se nalazi u tablici standardne normalne raspodele za izabranu verovatnoću (za verovatnoću 0,05 iz tablice je z = 1,96, a za verovatnoću 0,01 je z = 2,32). Ako je izračunata vrednost z veća od tablične, nulta hipoteza se odbacuje i zaključak je da između posmatranih grupa postoji korelacija.

Kada je N > 10 značajnost vrednosti ρ može da se odredi i pomoću izraza:

ρρ

2 - 1

2 - N = t

Izračunata vrednost t upoređuje se sa tabličnom za željenu verovatnoću i broj stepena

slobode φ = N-2 i ako je izračunato t veće od tabličnog zaključ_ak je da se nulta hipoteza odbacuje, odnosno između posmatranih grupa postoji korelacija.

PRIMER 1.: Kod 10 pacijenata sa dijagnozom epilepsije određena je koncentracija većeg broja individualnih proteina plazme. Pokazati da li postoji korelacija između koncentracija transferina i alfa-1-antitripsina (vrednosti su date u g/L).

transferin r.br. x alfa-1-AT r.br. y d d2

2,57 5 2,57 6 -1 1

2,24 4 2,39 4 0 0

2,23 3 2,96 7 -4 16


2,73 6 3,11 9 -3 9

2,22 2 2,30 3 -1 1

2,77 7 2,55 5 2 4

2,78 8 2,16 2 6 36

2,91 9 2,97 8 1 1

2,02 2 2,06 1 1 1

2,96 10 3,52 10 0 0

Σ d2 = 69

0,582 = ) 1 - 100 ( 10

69 x 6 - 1 = ρ

Tablična vrednost ρ za verovatnoću 0,05 i broj parova 10 je ρ = 0,5515, kako je naša

izračunata vrednost ρ nešto veća od ove zaključak je da se nulta hipoteza odbacuje, odnosno između posmatranih grupa ima značajne korelacije. Međutim ovaj zaključak je na granici značajnosti i poželjno je da se proveri ako se ρ = 0,582 uvrsti u izraz za t:

2,024 = 0,3387 - 1

2 - 10 0,582 = t

Tablična vrednost t za verovatnoću 0,05 i φ = 8 je 2,306, odnosno veća je od izračunate

vrednosti t, što znači da se nulta hipoteza prihvata i zaključak je da su posmatrane grupe nezavisne, odnosno među njima nema korelacije. Ovaj zaključak je suprotan prethodnom, što se dešava kada je ρ na granici značajnosti, kao u ovom slučaju. Kada dođemo u ovakvu situaciju najbolje je ponoviti eksperimentalni postupak,

Kod Spearman-ovog testa neparametarske korelacije problem mogu da predstavljaju vrednosti koje se ponavljaju i zbog toga nose iste redne brojeve. U takvim slučajevima tabela kritičnih vrednosti ρ sa kojima se upoređuju izračunate vrednosti ρ nije odgovarajuća i potrebno izvršiti korekciju izračunate vrednosti ρ. Pravilo je da se ovakva korekcija izvodi samo ako je broj vrednosti koje se ponavljaju veliki, ali nekad i sa jednom ili dve vrednosti koje se ponavljaju korigovano ρ daje druga_iji zaključak. Korekcioni faktor za vrednosti koje se ponavljaju je

12t - t = T

3

gde je t broj vrednosti koje se ponavljaju za jedan isti redni broj. Kada se koristi

korekcioni faktor ρ se izračunava prema izrazu:

y x 2

d - y + x = 22

22

∑∑

∑∑∑ρ2

U ovoj jednačini su:

T - 12

N - N = x x

32 ∑∑

gde je Tx suma vrednosti T za različite redne brojeve koji se ponavljaju u x i

T - 12

N - N = y y

32

∑∑

gde je Ty suma vrednosti T za različite redne brojeve koji se ponavljaju u y.

PRIMER 2.: Kod 15 pacijenata sa epilepsijom koji su duže od 2 godine dobijali fenitoin određena je koncentracija prealbumina (PA, vrednosti su date u g/L). Pokazati da li postoji


korelacija između koncentracije proteina i koncentracije leka u krvi (PHT, vrednosti su date u µmol/L).

Redni brojevi za svaku grupu i njihove razlike prikazane su u tabeli, a ako se Σ d2 = 871,5 uvrsti u izraz za ρ dobiće se:

0,556 - = 1,556 - 1 = ) 1 - 225 ( 15

871,5 x 6 - 1 = ρ

Tablična vrednost ρ za verovatnoću 0,05 i N = 15 iznosi ρ = 0,4429, a kako je izračunata

vrednost veća od ove zaključak je da nulta hipoteza odbacuje, odnosno među posmatranim grupama postoji korelacija. Zbog negativnog predznaka u izračunatoj vrednosti ρ korelacija je obrnuta, odnosno kako raste koncentracija leka, tako se smanjuje koncentracija proteina.

Uočava se da u ovom primeru ima vrednosti koje se ponavljaju, tako da može da se primeni korekcioni faktor T. U grupi x vrednosti imamo sledeće grupe rednih brojeva koji se ponavljaju: 1,5; 4; 6,5; 11,5 i 14,5. Od ovih pet grupa četiri grupe se odnose na po dve vrednosti koje se ponavljaju, a jedna (grupa sa rednim brojem 4) na tri vrednosti koje se ponavljaju. Prema tome, prvo izračunavamo Tx za grupe vrednosti koje se ponavljaju dva puta

0,5 = 126

= 12

2 - 2 = T3

x

i za grupe vrednosti koje se ponavljaju tri puta

2 = 1224

= 12

3 - 3 = T3

x

Iz ovih izračunavanja dobijamo da je 4 = 2 + (0,5) 4 = T x∑ , zato što imamo četiri grupe vrednosti koje se ponavljaju dva puta i jednu grupu vrednosti koja se ponavlja jedanput. Iz ovoga sledi da je:

276 = 4 - 12

15 - 15 = x 3

2∑

PA r.br. x PHT r.br. y d d2

0,34 8 13,2 5 3 9

0,44 14,5 5,6 1 13,5 182,25

0,38 10 19,6 7 3 9

0,44 14,5 8,0 3 11,5 132,25

0,36 9 41,2 13 -4 16

0,29 1,5 35,2 12 -10,5 110,25

0,42 13 20,0 8,5 4,5 20,25

0,31 4 20,0 8,5 -4,5 20,25

0,31 4 10,4 4 0 0

0,40 11,5 6,8 2 9,5 90,25

0,29 1,5 32,6 10,5 -9 81

0,40 11,5 13,6 6 5,5 30,25

0,31 4 32,6 10,5 -6,5 42,25

0,32 6,5 47,6 14 -7,5 56,25

0,32 6,5 62,8 15 -8,5 72,25

Σ d2 = 871,5


U grupi y imamo dve grupe vrednosti koje se ponavljaju dva puta i imaju redne brojeve 7,5 i 10,5, pa izračunavamo samo Ty za njih:

0,5 = 126

= 12

2 - 2 = T3

y

Iz ovoga sledi da je 1 = (0,5) 2 = T y∑

, odnosno

279 = 1 - 12

15 - 15 = y 3

2∑

Iz tabele imamo da je Σ d2 = 871,5, pa je:

0,570 - = 554,992

316,5 - =

279 x 276 2

871,5 - 279 + 276 = ρ

Ovako izračunata vrednost ρ je nešto veća od one koja je izračunata bez korekcionog

faktora T, ali je zaključak isti.

Zadaci za vežbanje

1. Kod 20 trudnica određivana je koncentracija c-reaktivnog proteina tokom cele trudnoće. Pokazati da li postoji korelacija između lunarnog meseca trudnoće i koncentracije proteina (prikazana koncentracija predstavlja srednju vrednost za ispitivanu populaciju).

mesec 2 3 4 5 6 7 8 9 10

CRP 2,08 2,51 2,63 2,39 2,42 2,45 3,13 4,19 2,63

2. Kod 12 studenata je proučavana zavisnost između broja sati nedeljno provedenih u učenju za vreme ispitnog roka i srednje ocene dobijene u istom roku. Pokazati da li između dobijenih vrednosti postoji korelacija.

sati 24 17 20 41 52 23 48 17 15 29 25 30

ocena

9,6 6,0 6,7 9,6 9,7 9,1 9,8 6,5 6,3 9,3 8,4 9,0

3. Kod 20 trud-nica određivana je koncentracija alfa-1-kiselog glikoproteina tokom cele trudnoće. Pokazati da li postoji korelacija između meseca trudnoće i koncentracije proteina (prikazana koncentracija predstavlja srednju vrednost za ispitivanu populaciju).

mesec 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A-1-KGP 0,74 0,65 0,61 0,56 0,52 0,54 0,59 0,74 0,54

4. Kod 20 trudnica određivana je koncentracija prealbumina tokom cele trudnoće. Pokazati da li postoji korelacija između meseca trudnoće i koncentracije proteina (prikazana koncentracija predstavlja srednju vrednost za ispitivanu populaciju).

mesec 2 3 4 5 6 7 8 9 10

PA 0,33 0,31 0,29 0,32 0,30 0,34 0,33 0,38 0,30

Documents

12-Neparametarski_testovi