1.1. GRKI ALFABET

maqhmatikh texnh / episthmh=matematika vjetina, znanost

Prema pridjevu maqhmatiko=naueno, predmet uenja; znanje, znanost

1.2. SUDOVI. OSNOVE LOGIKE SUDOVASud (intuitivno) = svaka smislena izjavna reenica koja je istinita ili lana, ali nije istovremeno i istinita i lana.

Primjeri sudovaDva plus dva je jednako etiri.Istiniti sud.Dva plus tri je jednako osam.Lani sud.Koliko je sati?Nije sud.x+2=8Nije sud.Broj 0.0001 je mali broj.Nije sud.Ja sada laem.Nije sud.

Postoje izjavne reenice koje nisu sudovi!!

Sloeni sudoviJednostavne sudove moemo povezivati u sloene sudove koritenjem logikih veznika.

LOGIKI VEZNICI& = konjunkcija (i)v = disjunkcija (ili) = negacija (ne) = implikacija (ako ... onda, implicira, povlai)= ekvivalencija (ako i samo ako, ekvivalentno je)

Konjunkcija sudovaKonjunkcija sudova A i B, u oznaci A&B, sloeni je sud koji je istinit tono onda kada su oba suda A i B istinita.

itamo: A i B

Primjeri konjunkcije A = Hrvatska granii sa Slovenijom. B = Slovenija granii s Austrijom. A&B = Hrvatska granii sa Slovenijom i Slovenija granii s Austrijom. Sud A&B je istinit jer su i A i B istiniti sudovi.

Primjeri konjunkcijeA = Rajica je voe.B = Mrkva je povre.

A&B = Rajica je voe i mrkva je povre.

Sud A&B je laan jer je sud A laan (iako je sud B istinit).

Disjunkcija sudovaDisjunkcija sudova A i B, u oznaci AvB, sloeni je sud koji je laan tono onda kada su oba suda A i B lana.

itamo: A ili B

AvB je istinito u sljedeim sluajevima: oba suda A i B su istinita jedan od sudova A i B je istinit a drugi laan.

Primjeri disjunkcije A = Sada je listopad. B = 7=3+4

AvB = Sada je listopad ili 7=3+4.

Sud AvB je istinit.

Primjeri disjunkcije A = Danas je nedjelja. B = Danas nije subota.

AvB = Danas je nedjelja ili danas nije subota.

AvB je istiniti sud.

Negacija sudaNegacija suda A, u oznaci A, je sud koji je istinit tono onda kada je sud A laan.

itamo: nije Anon Ane A

Primjeri negacijeA = 3 < 4-A= 3 4

A = Kua ima krov.-A= Kua nema krov.

A = Svaka kua ima krov.-A= Postoji kua bez krova.

A = Postoji stolica s dvije noge.-A= Ne postoji stolica s dvije noge. -A= Broj nogu svake stolice je razliit od dva.

Implikacija sudovaImplikacija dvaju sudova A i B, u oznaci AB, sloeni je sud koji je laan tono onda kada je sud A istinit i sud B laan.itamo: A povlai BA implicira Bako A, onda Biz A slijedi BB je nuan uvjet za AA je dovoljan uvjet za B

Primjeri implikacijeA = Sada imamo predavanja iz Elementarne matematike. B = Svake nedjelje pada kia.

AB = Ako sada imamo predavanja iz Elementarne matematike, onda svake nedjelje pada kia.

Sud AB je laan (A je istinit a B laan).

Primjeri implikacije A = Juer je bio petak. B = 2+17=38

AB = Ako je juer bio petak, onda je 2+17=38.

Sud AB je istinit.

Ekvivalencija sudovaEkvivalencija sudova A i B, u oznaci AB, sloeni je sud koji je istinit tono onda kada su oba suda A i B istinita, ili kada su oba suda A i B lana.

itamo: A je ekvivalentno s BA je ako i samo ako je BA je onda i samo onda ako je BA je nuan i dovoljan uvjet za B ako i samo ako = akko

Primjeri ekvivalencije A = 5>0 B = Sada je listopad.

AB = 5>0 ako i samo ako je sada listopad. Sud AB je istinit (oba suda A i B su istinita).

Primjeri ekvivalencije A = 7

Primjeri ekvivalencije A = 1+2=3 B = Danas je 31.12.

AB = 1+2=3 ako i samo ako je danas 31.12.

Sud AB je laan (A je istinit a B je laan).

Tablica istinitostiInterpretacija suda:ISTINITI SUD 1LANI SUD 0

Istinitost sloenog suda sastavljenog od sudova A,B,... moemo u ovisnosti o istinitosti sudova A,B,... prikazati tablicom istinitosti ili semantikom tablicom.

Tablica istinitosti

Tablica istinitosti

Jednakost sudovaKaemo da su dva (sloena) suda A i B semantiki jednaki (ili, kratko, jednaki) ako im se pripadne semantike tablice podudaraju.

Piemo: AB

Princip dvojne negacije-(-A) A

De Morganov princip-(A&B) (-A)v(-B)

Domaa zadaa Uvjerite se da vrijedi:-(AvB) (-A)&(-B) (De Morganov princip)

PrimjeriNegiraj: Podne je i ja sam gladan. A = Podne je. B = Ja sam gladan. C = A&B = Podne je i ja sam gladan.-C = -(A&B) = (-A)v(-B) = Nije podne ili ja nisam gladan.

PrimjeriNegiraj: Pono je ili sam ja pospan. A = Pono je. B = Ja sam pospan. C = AvB = Pono je ili sam ja pospan.-C = -(AvB) = (-A)&(-B) = Nije pono i ja nisam pospan.

Negacija implikacije-(AB) A & (-B)

PrimjeriNegiraj: Ako pada kia, onda su ulice mokre. A = Pada kia. B = Ulice su mokre. C = AB = Ako pada kia, onda su ulice mokre.-C = -(AB) = A&(-B) = Pada kia i ulice nisu mokre.

PrimjeriNegiraj: Ako budem uio, onda neu pasti na ispitu. A = Uit u. B = Neu pasti na ispitu. C = AB = Ako budem uio, onda neu pasti na ispitu.-C = -(AB) = A&(-B) = Uit u i past u na ispitu.

Domaa zadaa Uvjerite se da vrijedi:AB (-A)vB

Ekvivalencija sudovaAB (AB)&(BA)

Domaa zadaa Uvjerite se da vrijedi:A&B B&AAvB BvAA&(BvC) (A&B)v(A&C)Av(B&C) (AvB)&(AvC)Av0 AA&1 AA&(-A) 00 oznaava laan sud. 1 oznaava istinit sud.

TautologijaSloeni sud je tautologija ukoliko je istinit bez obzira na istinitost sudova od kojih je sastavljen.

Primjer tautologijePrincip iskljuenja treeg

Primjer tautologije

Sudovi vezani uz ABUz sud AB veemo sudove:BA (obrat suda)(-B) (-A) (obrat po kontrapoziciji)(-A) (-B) (suprotni sud)

Sudovi vezani uz AB

Obrat po kontrapozicijiZakljuujemo:AB (-B) (-A)

Sud je istinit ako i samo ako je istinit njegov obrat po kontrapoziciji.

Obrat sudaZakljuujemo:AB BAAB (-A)(-B)

Obrat sudaZakljuujemo:BA (-A)(-B)

Obrat suda je istinit ako i samo ako je istinit suprotni sud.

Primjer Ako pada kia, onda su ulice mokre.(istiniti sud) A = Pada kia. B = Ulice su mokre.Obrat suda (BA): Ako su ulice mokre, onda pada kia. (lani sud)Obrat po kontrapoziciji ((-B) (-A)): Ako ulice nisu mokre, onda ne pada kia. (istiniti sud)Suprotni sud ((-A) (-B)): Ako ne pada kia, onda ulice nisu mokre. (lani sud)

Primjer Ako je x>0 i y>0, onda je xy>0. (istiniti sud)Obrat suda: Ako je xy>0, onda je x>0 i y>0. (lani sud)Obrat po kontrapoziciji: Ako je xy0, onda je x0 ili y0. (istiniti sud)Suprotni sud: Ako je x0 ili y0, onda je xy0. (lani sud)