1001746 Uvod u Analizu Tankostjenih Stapova

UDBENICI SVEUILITA U SPLITUMANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM SPALATENSIS

IzdavaKigen d.o.o. Zagreb

Za izdavaaErna Lojna Lihtar

UrednikNenad Lihtar

Recenzentidr. sc. Ivo Alfirevi

dr. sc. eljko Domazetdr. sc. eljan Lozina

Grafiki urednikNedjeljko Zari

Oblikovanje naslovniceBiserka Paan

Lektura i korekturaFikret Cacan

TisakGIPA d.o.o., Zagreb

Izdava i autor se zahvaljuju tvrtkamaTLM d.d. i HRVATSKI REGISTAR BRODOVA d.o.o.

za novanu potporu u izdavanju ovog udbenika.

Senat Sveuilita u Splitu prihvatio je ovo djelo kao udbenik Sveuilita u Splituodlukom broj 04-5/10-1-03 od 15. svibnja 2003.

Ni jedan dio ove knjige ne smije se umnoavati bez prethodne suglasnosti Izdavaa i Autora.

CIP zapis dostupan u raunalnom katalogu Nacionalne i sveuiline knjinice u Zagrebu pod brojem 641788

ISBN 978-953-6970-21-6

Radoslav Pavazza

UVOD U ANALIZU TANKOSTJENIH TAPOVA

Zagreb, srpanj 2007 .

PREDGOVOR

Ovaj udbenik sadri, u poneto opsenijem obliku, gradivo koje se predaje unutarpojedinih kolegija Mehanike vrstih deformabilnih tijela (Mehanike materijala, Nauke ovrstoi, Otpornosti materijala) na tehnikim fakultetima, posebno na strojarsko- brodogra-evnim i graevinskim, uglavnom na dodiplomskom studiju, a koje se odnosi na tapoveotvorenog tankostjenog presjeka, odnosno, sustave tapova otvorenog tankostjenog presje-ka.

Udbenik je takoer namijenjen inenjerima koji se s problematikom tankostjenihkonstrukcija sastavljenih od tapova otvorenog tankostjenog presjeka susreu u praksi.

U udbeniku su dane osnove teorije tapova otvorenog tankostjenog presjeka (po V.Z. Vlasovu). Takoer, dane su osnove analize tapova otvorenog tankostjenog presjeka po-mou metode poetnih parametara.

Rijeen je velik broj primjera, pri emu su neki, radi preglednosti, dani tablino. Te-ilo se jednostavnim izrazima, slinima onim u elementarnoj teoriji savijanja tapa. U tusvrhu razraen je niz funkcija, koje se u izrazima javljaju kao faktori a odnose na geome-trijske znaajke tapova, takoer dane tablino.

Teorija tapova otvorenog tankostjenog presjeka obraena je u prvom poglavlju: di-ferencijalne jednadbe, komponente unutarnjih sila i naprezanja te rubni uvjeti. Takoer sudane tablice geometrijskih i sektorskih znaajka nekih presjeka.

U drugom poglavlju razmatrano je savijanje tapova, utjecaj smicanja na savijanje tesloeno savijanje. Uz velik broj primjera dan je tablini pregled vanijih sluajeva savija-nja s utjecajem smicanja.

U treem poglavlju obraeno je uvijanje tapova te utjecaj smicanja na uvijanje. Ri-jeen je vei broj primjera, a neki znaajniji dani su tablino.

U etvrtom poglavlju razmatrani su ravninski sustavi tapova otvorenog tankostjenogpresjeka: definicija, osnovni sustav, simetrija i antisimetrija, metoda izjednaenja pomaka.

Recenzenti ovoga udbenika su dr. sc. Ivo Alfirevi, redovni profesor Fakulteta stro-jarstva i brodogradnje u Zagrebu te dr. sc. eljan Lozina i dr. sc. eljko Domazet, redovniprofesori Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje u Splitu. Svi su oni svojim pri-mjedbama i savjetima doprinijeli kvaliteti udbenika. Njima i ostalima koje nisam spome-nuo zahvaljujem se na pruenoj pomoi.

U Splitu, svibnja 2007. Autor

Predgovor

Sadraj

S A D R A J

POPIS VANIJIH OZNAKA

1. Uvod u teoriju tapova otvorenog tankostjenog presjeka . . . . . . . . . . . .11

1.1 tap otvorenog tankostjenog presjeka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.2 Geometrijske znaajke poprenih presjeka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 1.3 Pretpostavke o deformiranju i naprezanju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .281.4 Vanjsko optereenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .281.5 Pomaci i deformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291.6 Naprezanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331.7 Diferencijalne jednadbe ravnotee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .361.8 Diferencijalne jednadbe ravnotee u glavnim koordinatama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .391.9 Sredite savijanja i sredite uvijanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .401.10 Komponente unutarnjih sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .411.11 Rubni uvjeti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .461.12 Geometrijske znaajke nekih presjeka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

2. Savijanje tapova otvorenog tankostjenog presjeka . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

2.1 Integriranje diferencijalne jednadbe tapa optereenog na savijanje (metoda poetnih parametara) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

2.2 Utjecaj smicanja na savijanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .832.3 Utjecaj uzdune sile na savijanje (sloeno savijanje) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1202.4 Neki primjeri savijanja tapa s utjecajem smicanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

3. Uvijanje tapova otvorenog tankostjenog presjeka . . . . . . . . . . . . . . . . .170

3.1 Integriranje diferencijalne jednadbe tapa optereenog na uvijanje (metoda poetnih parametara) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170

3.2 Utjecaj koncentriranog momenta savijanja na uvijanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1973.3 Utjecaj koncentrirane uzdune sile na uvijanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1993.4 Utjecaj smicanja na uvijanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2003.5 Neki primjeri uvijanja tapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .214

4. Ravninski sustavi tapova otvorenog tankostjenog presjeka . . . . . . .237

4.1 Definicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237 4.2 Metoda izjednaenja pomaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .255

KAZALO

LITERATURA

7POPIS VANIJIH OZNAKA

A povrina poprenog presjekawrA smina povrina poprenog presjeka pri savijanju

1A , 2A , 0A povrina gornjeg pojasa, odnosno, donjeg pojasa, odnosno, struka I-profilab bimoment na jedinicu duljine; irina pojasa simetrinog I-profila

eb efektivna irina pojasa

1b , 2b irina gornjeg pojasa, odnosno, donjeg pojasa I-profila B bimoment B koncentrirani bimoment

wC , CE koeficijent podatnosti elastinog oslonca u odnosu na progib, odnosno, kut nagiba progibne linije CD , C- koeficijent podatnosti elastinog oslonca u odnosu na kut uvijanja, odnosno, relativni kut uvijanja D stupanj statike neodreenosti u odnosu na komponente zQ , yM i PME modul elastinostif funkcija optereenjaF sila; broj poprenih zglobova G modul smicanja h visina srednje linije I-profila

Ph , 0Ph udaljenost glavnog pola od tangente na srednju liniju razmatrane toke, odnosno, od ishodine toke M

1Ph , 2Ph udaljenost glavnog pola od srednje linije gornjeg pojasa, odnosno donjeg pojasa I-profila

1Th , 2Th udaljenost teita od srednje linije gornjeg pojasa, odnosno donjeg pojasaI-profila

H koeficijent savijanja PI moment tromosti poprenog povrine u odnosu na glavni pol P

Popis vanijih oznaka

8

PrI smicajni moment tromosti povrine u odnosu na glavni pol P

yI , zI aksijalni moment tromosti povrine u odnosu na os y, odnosno, os z

yzI , zyI devijacijski moment tromosti povrine u odnosu na os y, odnosno, os z

yI Z , zI Z sektorski devijacijski moment tromosti povrine u odnosu na os yi sektorsku koordinatuZ , odnosno, os z i sektorsku koordinatuZ

1yI Z , 1zI Z sektorski devijacijski moment tromosti povrine u odnosu na os y

i sektorsku koordinatu 1Z , odnosno, os z i sektorsku koordinatu 1ZIZ sektorski moment tromosti povrine I vektor optereenja

,d rI dodatna matrica r-tog polja

wk , kD faktor smicanja pri savijanju, odnosno, uvijanju K broj nezavisnih zatvorenih krutih kontural duljina tapa L duljina srednje linije m moment na jedinicu duljine, broj polja

Pm moment na jedinicu duljine u odnosu na glavni pol P

ym , zm moment na jedinicu duljine u odnosu na os y

ydm dodatni moment na jedinicu duljine od uzdune sile u odnosu na os ymZ moment izvitoperenja na jedinicu duljineM ishodina toka, moment

PM moment uvijanja

PM

koncentrirani moment uvijanja

tM moment istog uvijanja

yM , zM moment savijanja u odnosu na os y, odnosno, oz z

yM

koncentrirani moment savijanja

zMD moment savijanja zbog uvijanja u odnosu na os z, u odnosu na

glavne koordinate MZ moment izvitoperenja n broj tapova vezanih vrstim vorom, broj polja N stupanj statike neodreenosti u odnosu na komponente zQ , yM , PM i B, uzduna sila

wN uzduna sila zbog uvijanja, u odnosu na glavne koordinate Oxyz pravokutni koordinatni sustav

xp , yp , zp sila na jedinicu povrine u smjeru osi x, odnosno, osi y, odnosno osi zP glavni pol (sredite savijanja, odnosno, uvijanja, odnosno smicanja)

yq , zq sila na jedinicu duljine u smjeru osi y, odnosno osi z

zrq reducirana sila na jedinicu duljine u smjeru os z

yQ , zQ poprena sila u smjeru osi y, odnosno osi z

zQ

koncentrirana poprena sila u smjeru osi z


9

zrQ reducirana poprena sila u smjeru os zR prividni broj jednostavnih sfernih zglobova s , sD krivocrtna koordinata u odnosu na komponentu PD

ws krivocrtna koordinata u odnosu na komponentu PwS toka srednje linije

yS , zS statiki moment povrine u odnosu na os y, odnosno os z

yS

, zS

statiki moment dijela povrine u odnosu na os y, odnosno os zSZ sektorski statiki moment povrine (u odnosu na koordinatu Z )

2SZ sektorski statiki moment povrine (u odnosu na koordinatu 2Z )SZ

sektorski statiki moment dijela povrine

t debljina stjenke 1t , 2t , 0t debljina gornjeg pojasa, odnosno gornjeg pojasa, odnosno struka

T teiteMu , Su pomak ishodine toke M, odnosno, proizvoljne toke S u smjeru osi x

Wu pomak ishodine toke W u smjeru osi xU prividan broj jednostavnih bimomentnih zglobova v argument funkcija sloenog savijanja, odnosno, uvijanja, progib tapa u smjeru osi y

Pv , Pw pomak glavnog pola u smjeru osi y, odnosno, osi z (progib tapa u smjeru osi y, odnosno, osi z

v vektor stanja (na mjestu x )0v poetni vektor stanja (na mjestu 0x )

1,ra drv dodatni vektor stanja (na mjestu 1rx a )w progib (u smjeru osi z)

sw dodatni progib zbog smicanja (u smjeru osi z)

uw ukupni progib (u smjeru osi z)

1yW , 1zW moment otpora gornjeg pojasa I-profila u odnosu na os y, odnosno, os z

2 yW , 2zW moment otpora donjeg pojasa I-profila u odnosu na os y, odnosno, os z

1W Z , 2W Z sektorski moment otpora gornjeg pojasa, odnosno, donjeg pojasa I-profila u odnosu na sektorsku koordinatu Zx , y, z pravokutne koordinate (osi pravokutnog sustava Oxyz)X nepoznata sila, odnosno, moment, odnosno bimoment D kut uvijanja (u odnosu na glavni pol P)

PD kut uvijanja u odnosu na glavni pol P

sD dodatni kut uvijanja zbog smicanja (u odnosu na glavni pol P)

uD ukupni kut uvijanja (u odnosu na glavni pol P)E kut nagiba progibne linije u odnosu na y

sE dodatni kut nagiba progibne linije zbog smicanja J kut nagiba progibne linije u odnosu na os z

x[J kutna deformacija (u smjeru tangente [ )


10

xH duljinska deformacija u smjeru os x

xHKN

funkcije smicanja

- relativni kut uvijanja s- dodatni relativni kut uvijanja zbog smicanja

u- ukupni relativni kut uvijanja N faktor smicanja EN faktor ukljetenja odnosu na nagib progibne linijeE

-N faktor ukljetenja odnosu na relativni kut uvijanja -Q Poissonov faktor

xV normalno naprezanje u smjeru osi x

x[W ukupno tangencijalno naprezanje cx[W ,

lx[W tangencijalno naprezanje pri savijanju i izvitoperenju, odnosno istom

uvijanju MF\

funkcije sloenog savijanja

Z glavna sektorska koordinata1Z sektorska koordinata za proizvoljni pol 1P

2Z sektorska koordinata za glavni pol P

11

1. Uvod u teoriju tapova otvorenog tankostjenog presjeka

1.1 tap otvorenog tankostjenog presjeka

Pod tapom, u mehanici deformabilnih tijela (mehanici materijala), podrazumijeva se, openito, vrsto deformabilno tijelo (prizmatino ili neprizmatino, pravocrtne ili krivocrtne uzdune osi) malih dimenzija poprenog presjeka, h i b, prema duljini, l (slika 1.1). Pritom se razlikuje tap punog presjeka (slika 1.1a) od tapa tankostjenog presjeka(slika 1.1b, c). Ako su dimenzije presjeka priblino jednake, presjek se naziva punim (slika 1.1a). Ako je najmanja dimenzija presjeka mnogo manja od ostalih dimenzija, presjek se naziva tankostjenim (priblino: 10h bt ). Ako je kontura presjeka zatvorena (duljine: L),presjek se naziva zatvorenim (slika 1.1b). Ako je kontura otvorena, presjek se naziva otvorenim (slika1.1c).

Slika 1.1. tap: a) tap punog presjeka; tap zatvorenoga tankostjenog presjeka; c) tap otvorenoga tankostjenog presjeka

Pri optereenju tapovi otvorenoga tankostjenog presjeka deformiraju se razliito od tapova punog presjeka, kao i od tapova zatvorenog presjeka. Temeljna pretpostavka o nainu deformiranja koja vrijedi za tapove punog presjeka, da popreni presjeci ostaju


12

ravni i okomiti na elastinu liniju, odnosno, uzdunu os tapa, ne odgovara stvarnosti u sluaju tapova otvorenoga tankostjenog presjeka.

Slika 1.2. Srednja ploha tankostjenog tapa

Temeljno svojstvo tankostjenih tapova, da je debljina presjeka znatno manja od ostalih dimenzija presjeka, doputa da se analiza ogranii na srednju plohu tapa (slika 1.2), odnosno, srednju liniju presjeka (konturu). Pod srednjom plohom razumijeva se ploha kojoj je svaka toka raspolovnica debljine stjenke presjeka. Srednja linija dobiva se kad se srednja ploha presjee poprenomravninom koja je okomita na uzdunu os tapa.

Slika 1.3. Pravokutni i krivocrtni sustav koordinata

Poloaj neke toke S srednje plohe odreen je trima pravokutnim koordinatama: S(x,y,z). Poloaj toke S moe se takoer odrediti dvjema koordinatama: S(x,s); prva koordinata odgovara pravokutnoj koordinati x, dok je druga krivocrtna koordinata s,odreena u odnosu na ishodinu toku M (slika 1.3). Napokon, poloaj toke S moe se odrediti pomou sektorske koordinate Z : S(x,Z ), koja je odreena u odnosu na ishodinu toku M i pol P.


13

Slika 1.4. Sektorska koordinata

Sektorska koordinata jednaka je dvostrukoj povrini koju opie radijvektor PS)))&

, iz pola P, od toke M do toke S (slika 1.4):

0d

s

Ph sZ , d dPh sZ , (1.1)

gdje je ( )h h s okomica iz pola P na tangentu u toki S. Diferencijal sektorske koordinate pozitivan je ako radijvektor PS

)))& zakree oko pola P, du ds, suprotno kazaljki na satu; u

suprotnom je negativan. Sektorska koordinata toke S prema tome moe biti pozitivna, negativna ili jednaka nuli.

Slika 1.5. Veza izmeu sektorske koordinate i pravokutnih koordinata

Veza izmeu sektorske koordinate i pravokutnih koordinata odreena je izrazom (slika 1.5)

sin cosP y zh y a z aM M ,

gdje su ( )y y s i ( )z z s pravokutne koordinate u ravnini presjeka a ( )sM M iji kut ini


14

tangenta t u toki S s osi Oy, odnosno, izrazom

d dyd dP y zzh y a z as s

,

gdje je

dsindzs

M , dcosdys

M .

Uvrtenjem u (1.1) dobiva se

0

d ds

y zy a z z a yZ . (1.2)

PRIMJER 1.1

Za srednju liniju na slici 1.6a) odrediti raspodjelu sektorske koordinate. Zadano: R.

Slika 1.6. Uz primjer 1.1: a) srednja linija, s polom P i ishodinom tokom M; b) uz odreivanjesektorske koordinate; c) sektorska koordinata Z

Za 0 \ Md d , 0 M Sd d , 0 M St t (slika 1.6b) bit e 2 cosPh R R\ , pa je (slika 1.6c)

2 20 0

d 2cos 1 d 2sins

Ph s R RM

Z \ \ \ M .


15

PRIMJER 1.2 Za srednju liniju na slici 1.7a) odrediti raspodjelu sektorske koordinate. Zadano: a.

Slika 1.7. Uz primjer 1.1: a) srednja linija, s polom P i ishodinom tokom M; b) sektorska koordinata Z

Izlazi da je (slika 1.7b)

asZ , 0 s ad d ;

> @2 2( ) ( )a a s a a a s aZ , 3a s ad d ;2 3 ( 3 )a a s aZ , 3 4a s ad d ;

asZ , 0 s at t ;

> @2 2( ) ( )a a s a a a s aZ , 2a s a t t .

PRIMJER 1.3

Za srednju liniju na slici iz primjera 1.1 odrediti raspodjelu sektorske koordinate s pomou pravokutnih koordinata (slika 1.8).

Slika 1.8. Uz primjer 1.3: veza izmeu sektorske koordinate i pravokutnih koordinata


16

Za toku S (slika 1.6b) bit e

cosy R M , sinz R M ,

odnosno,

d sin dy R M M , d cos dz R M M .

Pol P odreen je koordinatama

2ya R , 0za .

Uvrtenjem u (1.2), dobiva se

2 20

1 2cos d 2sinR RM

Z M M M M .

1.2 Geometrijske znaajke poprenih presjeka

U teoriji tapova otvorenog tankostjenog presjeka rabe se karakteristike poprenihpresjeka u pravokutnim koordinatama (y i z): statiki momenti povrine

dy AS z A , dz AS y A ; (1.3)

aksijalni momenti tromosti

2 dy AI z A ,2 dz AI y A ;

(1.4) devijacijski momenti tromosti

dyz zy AI I yz A , (1.5) gdje je s A oznaena povrina poprenog presjeka; u sektorskim koordinatama: sektorski statiki moment

dA

S AZ Z ; (1.6)

sektorski moment tromosti

2 dA

I AZ Z ; (1.7)

sektorski devijacijski momenti tromosti

dy AI z AZ Z , dz AI y AZ Z . (1.8)

1.2 Geometrijske znaajke tapova otvorenog tankostjenog presjeka

17

Ako je

0y zI IZ Z , 0y zS S . (1.9)

pravokutne koordinate y i z nazivaju se glavnim koordinatama. U tom sluaju su Oy i Ozglavne osi tromosti (glavne teine osi).

Slika 1.9. Uz Vereaginovo pravilo

Pri odreivanju sektorskih karakteristika moe posluiti Vereaginovo pravilo o integriranju produkta dviju funkcija, od kojih je jedna linearna.

Ako se proizvoljna funkcija oznai sa ( )f f x a linearna s g kx l (slika 1.9), moe se napisati

d d db b b T T Ta a afg x k fx x l f x kx lA A kx l Ag ,gdje je Tx koordinata teita povrine A, koju ini proizvoljna funkcija unutar odsjeka ab,a Tg ordinata linearne funkcije na mjestu teita povrine A. Prema tome, odreeniintegral produkta dviju funkcija, od kojih je jedna linearna a druga proizvoljna, jednak je produktu povrine koju ini proizvoljna funkcija i ordinate linearne funkcije na mjestu gdje povrina koju ini proizvoljna funkcija ima teite.

PRIMJER 1.4

Za popreni presjek na slici 1.10a) odrediti sektorske karakteristike. Zadano: osi Oy i Oz, pol P i ishodinu toka M (slika 1.10b); a.

Sektorske karakteristike za zadani popreni presjek, za pravokutne koordinatne osi Oy i Oz, ishodinu toku M i pol P, mogu se odrediti pomou Vereaginova pravila, za pravokutne koordinate y i z (slike 1.10c,d) te sektorsku koordinatu Z (slika 1.10e), kako slijedi:

2 31d d 22A L

S A t s a a t a tZ Z Z ;


18

2 2 2 2 51 2 2d d 22 3 3A L

I A t s a a a t a tZ Z Z ;

2 21 1d d 02 2y A L

I z A t z s a a a a a a tZ Z Z ;

2 21 2 1 2d d 02 3 2 3y A L

I y A t y s a a a a a a tZ Z Z .

Slika 1.10. Uz primjer 1.4: a) zadani popreni presjek; b) srednja linija s koordinatnim osima Oy i Oz, ishodinom tokom M i polom P; c) koordinata y; d) koordinata z;

e) sektorska koordinata ZPromjena sektorske koordinate pri pomaku pola. Na slici 1.11 prikazane su dvije sektorske koordinate toke S, za dva razliita pola 1P i 2P i istu ishodinu toku M.

Sektorska koordinata za ishodinu toku M i pol 2P , po izrazu (1.2), glasi

2 0 d ds

y zy b z z b yZ ,tj., ako se prvoj zagradi doda i oduzme ya a drugoj za ,

2 0 0d d d ds s

y z y y z zy a z z a y b a z b a yZ .


19

Slika 1.11. Promjenu sektorske koordinate pri pomaku pola

Prvi integral predstavlja sektorsku koordinatu za ishodinu toku M i pol 1P , 1Z , pa je

2 1 0 0y zz z y yZ Z ' ' , (1.10) gdje je

y y yb a' , z z zb a' , 0 (0)y y , 0 (0)z z .

Odatle pravilo: pomak pola uzrokuje promjenu sektorske koordinate po zakonu pravca.

Promjena sektorske koordinate pri pomaku pola. Na slici 1.12 prikazane su dvije sektorske koordinate toke S, za dvije razliite ishodine toke 1M i 2M i isti pol P.

Sektorska koordinata za pol P i ishodinu toku 1M glasi

1

1 0d

s

Ph sZ ,

dok za pol P i ishodinu toku 2M glasi

2

2 0d

s

Ph sZ .

Slika 1.12. Promjena sektorske koordinate pri pomaku ishodine toke


20

Proizlazi da je

2 1 0d

sh s CZ Z ,

budui da je 1 2s s s . tj.

2 1 CZ Z . (1.11)

Pravilo glasi: pomak ishodine toke uzrokuje promjenu sektorske koordinate za konstantu. Pomou pravila o pomaku pola i ishodine toke moe se uvijek nai sektorska koordinata za koju e biti

0y zI IZ Z , 0SZ . (1.12)

Neka je zadana sektorska koordinata 1Z , odreena polom 1P i ishodinom tokom M,te pravokutne koordinate y i z, toke S. Uvrtenjem izraza (1.10) u prvi izraz (1.12), dobi-va se

22 1 0 0d d d d 0y z y zA A A A Az z A z A yz A z y z AZ Z ' ' ' ' ,

22 1 0 0d d d d 0y z y zA A A A Ay y A yz A y A z y y AZ Z ' ' ' ' .

Ako su y i z glavne koordinate, imajui u vidu izraze (1.3), (1.4), (1.5) i (1.9), moe se napisati

10y y yI IZ ' , 1 0z z zI IZ ' ,

odnosno,1y

yy

IIZ' , 1zz

z

IIZ' . (1.13)

Izrazi (1.13) odreuju pol 2P , u odnosu na pol 1P , za kojeg je ispunjen uvjet dan prvim izrazom (1.12), koji se naziva glavnim polom i koji se oznaava, najee, samo sa P. Pritom je izbor ishodine toke M proizvoljan, budui da ne utjee na sektorske devijacijske momente tromosti.

Naime, ako se u izraz (1.8) uvrsti sektorska koordinata za neku novu ishodinu tokuM c

CZ Zc ,dobiva se

d d dA A A

z A z A C z AZ Zc , d d dA A Ay A y A C y AZ Zc .

Budui da su y i z glavne koordinate, bit e

d dA A

z A z AZ Zc , d dA Ay A y AZ Zc .


21

Da bi bio ispunjen i drugi uvjet dan izrazom (1.12), potrebno je korigirati sektorsku koordinatu 2Z , odreenu glavnim polom P.

Ako se u drugi izraz (1.12) uvrsti

2 CZ Z , (1.14) bit e

22d d d 0

A A AA A C A S CAZZ Z .

Odatle je

2S

CAZ , (1.15)

gdje je 2

SZ sektorski statiki moment za koordinatu 2Z . Sektorska koordinata dana izrazi-ma (1.14) i (1.15) jest glavna sektorska koordinata, za koju su ispunjena oba uvjeta (1.12). Sektorski moment tromosti za glavnu sektorsku koordinatu naziva se glavnim sektorskim momentom tromosti.

Postupak za odreivanje glavne sektorske koordinate:

1. Odrediti glavne osi tromosti poprenog presjeka, y i z (tj. glavne koordinate y i z), te glavne momente tromosti yI i zI .

2. Odabrati slobodno pol 1P i ishodinu toku M; zatim odrediti sektorsku koordinatu 1Z , te sektorske devijacijske momente tromosti 1yI Z i 1zI Z .

3. Pomou izraza (1.13) odrediti poloaj glavnog pola P.4. Odrediti sektorsku koordinatu 2Z (za pol P i ishodinu toku M).5. Odrediti sektorski statiki moment

2SZ (za sektorsku koordinatu 2Z ).

6. Pomou izraza (1.15) odrediti korekcijsku konstantu C.7. Pomou i izraza (1.14) odrediti glavnu sektorsku koordinatu Z .

Tim je postupkom izbjegnuto odreivanje glavne ishodine toke, koja uz glavni pol odreuje glavnu sektorsku koordinatu. Naime, odreivanje te toke najee vodi vie-znanom rjeenju.

Ako popreni presjek ima jednu os simetrije, glavni pol i glavna ishodina toka lee u osi simetrije. Ako pak popreni presjek ima dvije osi simetrije, glavni pol i glavna ishodina toka lee u istoj toki, koja se poklapa s teitem presjeka.

Naime, ako presjek ima jednu os simetrije, na primjer os Oy, koordinata y bit esimetrina koordinata u odnosu na os Oy. Ako se pol 1P i ishodina toka M odaberu tako da lee na osi Oy, sektorska koordinata 1Z bit e antisimetrina u odnosu na os Oy, pa je po drugom izrazu (1.8)

10zI Z , a po izrazu (1.13) i 0z' , tj. glavni pol lei u osi Oy.

Sektorska koordinata 2Z bit e takoer antisimetrina u odnosu na os Oy, pa je 2 0SZ .Odatle je, imajui u vidu izraze (1.14) i (1.15), sektorska koordinata 2Z glavna sektorska koordinata, pa prema tome i glavna ishodina toka lei na osi simetrije.


22

Postupak za odreivanje glavne sektorske koordinate za sluaj da popreni presjek ima jednu os simetrije:

1. Odrediti antisimetrinu pravokutnu koordinatu (z ili y) u odnosu na os simetrije (Oy ili Oz), te glavne momente tromosti ( yI ili zI ).

2. Odabrati pol 1P i ishodinu toku tako da lee u osi simetrije (Oy ili Oz). Zatim odrediti sektorsku koordinatu 1Z te sektorski devijacijski moment tromosti (

1yI Z ili 1zI Z ).

3. Pomou izraza (1.13) odrediti poloaj glavnog pola P.4. Odrediti glavnu sektorsku koordinatu Z .

PRIMJER 1.5

Za popreni presjek na slici 1.13a) odrediti glavni sektorski moment tromosti. Zadano: b, h, t, d.

Slika 1.13. Uz primjer 1.5: a) zadani popreni presjek; b) srednja linija s koordinatnim osima Oy i Oz, ishodinom tokom M i polom 1P ; c) koordinata z; c) sektorska

koordinata 1Z ; e) glavna sektorska koordinata Z


23

Antisimetrina koordinata z, u odnosu na os simetrije Oy (slika 1.13b), prikazana je na slici 1.13c). Za os Oy (glavni) moment tromosti glasi

23 3 2

212 2 12 2ydh h dh bh tI bt

.

Budui da je debljina stjenke mala, vlastiti moment tromosti, u ovom sluaju pojasa, moe se zanemariti, u odnosu na Steinerov dodatak.

Pol 1P i ishodina toka M odabrani su tako da lee u jednoj toki, u presjecitu osi simetrije i srednje linije (slika 1.13b). Sektorska koordinata za pol 1P i ishodinu toku M ,

1Z , prikazana je na slici 1.13d).

Sektorski devijacijski moment tromosti 1y

I Z odreen je izrazom

1

2 2

11 1d2 2 2 2 2 2 4y A

bh h bh h b hI z A b t b t tZ Z .

Prema tome, poloaj pola odreen je izrazom:

1

23

yy

y

I bdhIbt

Z'

.

Glavni sektorski moment odreen je izrazom (1.7):

2 1 2 1 2d 2 22 2 2 3 2 2 2 3 2

y y y yyA

h h h hhI A d tZ Z' ' ' '

'

3 2 23 31 22

2 2 3 2 12 6y

y y y y y

h dh h h tb b b t b' ' ' ' ' '

.

PRIMJER 1.6

Za popreni presjek na slici 1.14a) odrediti glavni sektorski moment tromosti. Zadano: 1b , 2b , 1t , 2t .

Antisimetrina koordinata y, u odnosu na os simetrije Oz, prikazana je na slici 1.14b). U odnosu na os Oz glavni moment tromosti glasi

1 2z z zI I I ;3

1 11 12z

t bI ,3

2 22 12z

t bI .

Pol 1P i ishodina toka M odabrani su tako da lee u istoj toki, u presjecitu srednje linije donjeg pojasa i struka. U ovom sluaju ima neizmjerno ishodinih toaka;naime, svaka toka srednje linije struka ima svojstvo ishodine toke. Za pol 1P i ishodine toke M odreena je zatim sektorska koordinata 1Z (slika 1.14c).


24

Sektorski devijacijski moment tromosti 1z

I Z odreen je izrazom

1

1 1 1 1 1 11 1 1

1 2 1 2d2 2 2 3 2 2 2 2 3 2z A

b h b b b h b bI y A t tZ Z

31 1

1 112 zb t h I h .

Poloaj pola odreen je izrazom:

1 1

1 2

z zz

z z z

I I hI I IZ'

.

Slika 1.14. Uz primjer 1.6: a) zadani popreni presjek; b) srednja linija s koordinatnim osima Oy i Oz, ishodinom tokom M i polom 1P ; c) koordinata y; d) sektorska koordinata 1Z ;

e) glavna sektorska koordinata Z


25

Glavni sektorski moment odreen je izrazom:

2 1 1 1 11 2d 22 2 2 3 2z zA

b b bI A h h tZ Z ' '

22 2 2 1 12

1 222 2 2 3 2

z zz z

z

b b b I It hI ' '

.

PRIMJER 1.7

Za popreni presjek na slici 1.15a) odrediti glavni sektorski moment tromosti. Zadano: a, t.

Povrina poprenog presjeka:

2,5 2 5,5A at at at at .

Statiki momenti povrine (slika 1.15b):

22,5 2,5 .1, 25 5,625yS at a t a tc ,20,5 2 2,5zS at a at a a tc .

Koordinate teita, u odnosu na osi Myc i Mzc :

0, 455zTSy aAcc , 1,022yT

Sz a

Ac

Momenti tromosti u odnosu na osi Myc i Mzc :

3

2 32,52,5 11,463y

t aI at a a tc ,

3332 3,0

3 3zt ataI a tc ,

30,5 2,5 1, 25yzI at a a a tc .

Momenti tromosti u odnosu na teine os T y i T z :

2 23 311,46 5,5 1,022 5,715y y TI I A z a t at a a tc c ,

2 23 33,0 5,5 0,455 1,861z z TI I A y a t at a a tc ,

3 31, 25 5,5 0, 455 1.022 1,308yz yz T TI I Ay z a t at a a a tc c c .

Glavni momenti tromosti, u odnosu na glavne osi tromosti Ty i Tz :

2

2 3 3, 3,788 2,3292 2

y z y zy z yz

I I I II I a t a t

r r

,

36,12yI a t ,31, 46zI a t .


26

Slika 1.15. Uz primjer 1.7: a) zadani popreni presjek; b) srednja linija s pravokutnim koordinatnim osima, ishodinom tokom M i polom 1P , te glavnim polom P; c) koordinata y ;

d) koordinata z , e) glavna koordinata y; f) glavna koordinata z; g) sektorska koordinata 1Z ; h) sektorska koordinata 2Z ;

i) glavna sektorska koordinata Z


27

Kut koji ine glavne osi tromosti s teinim osima:

0

2tg 2 0,678yz

y z

II I

M

, 17,11M $ .

Glavne pravokutne koordinate y i z, za glavne osi tromosti, odreene su izrazima (slike 1.15e,f):

cos sin 0,956 0,294y y z y zM M ,

sin cos 0,294 0,956z y z y zM M .

Za Pol 1P i ishodinu toku M, odreena je sektorska koordinata 1Z (slika 3.15g).

Sektorski devijacijski momenti tromosti:

1

2 41

1 1d 2,5 1,25 0,29 1,682 3y A

I z A a a a a t a tZ Z ,

1

2 41

1 2d 2,5 0,955 0,7962 3z A

I y A a a a t a tZ Z .

Koordinate glavnog pola P, u odnosu na pol 1P :

1 0, 275yyy

Ia

IZ' , 1 0,545zz

z

Ia

IZ' .

Sektorska koordinata 2Z za glavni pol P i ishodinu toku M prikazana je na slici 1.15h).

Sektorski statiki moment:

2 2 22 2

1 1 1d 0,998 1,06 1,06 2,52 2 2A

S A a a a a t a a tZ Z

2 31 0,880 2 2,242

a a t a t .

Korekcijska konstanta:

2 20, 407S

C aAZ

Glavna sektorska koordinata odreena je izrazom 2 CZ Z (slika 1.15i)

Glavni moment tromosti:

2 2 2 2 21 2 1 2d 1,41 1,41 0,554 0,5542 3 2 3A

I A a a a t a a a tZ Z

2 2 2 21 2 1 20,408 2,5 0,408 0,554 2,5 0,5542 3 2 3

a a a t a a a t

2 2 2 2 51 2 1 20,472 2 0,472 0,407 2 0,407 0,9052 3 2 3

a a a t a a a t a t .


28

1.3 Pretpostavke o deformiranju i naprezanju

Teorija tapova otvorenoga tankostjenog presjeka poiva na ovim pretpostavkama:

1. Oblik poprenog presjeka ne mijenja se tijekom deformiranja. 2. Kutne deformacije u srednjoj plohi jednake su nuli. 3. Normalna naprezanja jednaka su nuli, osim u smjeru izvodnice srednje plohe. 4. Posmina naprezanja jednaka su nuli, osim u smjeru tangente na srednju liniju. 5. Normalna naprezanja raspodijeljena su jednoliko po debljini stjenke. 6. Posmina naprezanja raspodijeljena su linearno po debljini stjenke.

Prvu pretpostavku treba shvatiti tako da projekcija srednje linije na ravninu popre-nog presjeka ostaje nepromijenjenom tijekom deformiranja. U stvarnosti, ta pretpostavka nikad nije u cijelosti ispunjena. Meutim, radi se najee o malim promjenama oblika, koje se mogu zanemariti.

Drugu pretpostavku treba shvatiti tako da ne podrazumijeva kako su i posmina naprezanja jednaka nuli. Rije je samo o tome da su kutne deformacija vrlo male te ne utjeu znaajno na normalna naprezanja. Posmicajna naprezanja mogu se odrediti iz uvjeta ravnotee, pomou normalnih naprezanja u smjeru izvodnice srednje plohe, kao u sluaju savijanja tapa punog presjeka

Trea pretpostavka podrazumijeva da su normalna naprezanja okomita na izvodnicu srednje plohe znatno manja od normalnih naprezanja u smjeru izvodnice srednje plohe, te se mogu zanemariti. Ta pretpostavka podrazumijeva da su tapovi dovoljno dugaki te se normalna naprezanja u smjeru tangente na srednju liniju mogu zanemariti, slino kao u sluaju savijanju tapa punog presjeka.

etvrta, peta i esta pretpostavka izravno su u vezi s temeljnim svojstvom tankostjenih tapova: da je debljina stjenke mala prema duljini srednje linije.

1.4 Vanjsko optereenje

Zahvaljujui maloj debljini stjenke, moe se pretpostaviti da vanjsko optereenjedjeluje u srednjoj plohi tapa.

U nekoj toki srednje plohe S djelovat e sile na jedinicu povrine, u smjeru osi Ox,Oy i Oz (slika 1.16a)

( , )x xp p x s , ( , )y yp p x s , ( , )z zp p x s . (1.16)

Integriranjem po duljini srednje linije, dobivaju se sile na jedinicu duljine ( )x xq q x ,( )y yq q x , ( )z zq q x , u smjeru osi Ox, Oy i Oz, odnosno, momenti na jedinicu duljine ( )x xm m x , ( )y ym m x , ( )z zm m x u odnosu na osi Ox, Oy i Oz, (1.16b):

dx xLq p s , dy yLq p s , dz zLq p s ;

dx z yLm p y p z s , dy xLm p z s , dz xLm p y s . (1.17)

1.5 Pomaci i deformacije

29

Slika 1.16. Vanjsko optereenje tapa: a) sile na jedinicu povrine; b) sile na jedinicu duljine


Pomak toke S srednje plohe moe se definirati komponentnim pomacima: ( , )S Su u x s u smjeru osi x; ( , )S Sv v x s u smjeru tangente na srednju liniju[ ;( , )S Sw w x s u smjeru normale K na tangentu [ (slika 1.17).

Slika 1.17. Komponentni pomaci toke S srednje plohe

Budui da se srednja linija po prvoj pretpostavci ne iskrivljuje u ravnini poprenogpresjeka, pomaci toke S u ravnini poprenog presjeka mogu se izraziti s pomou bilo koje toke koja lei u toj ravnini, na primjer toke P (slika 1.18):

( )P Pv v x , ( )P Pw w x , ( )P P xD D , (1.18)


30

gdje su Pv i Pw pomaci toke P u smjeru osi Oy i Oz, odnosno, pomaci srednje linije kao krute konture u smjeru osi Oy i Oz, dok je PD zakret srednje linije kao krute konture oko toke P. Podrazumijeva se da se toka P pomie zajedno sa srednjom linijom, kao da je za nju kruto vezana.

Slika 1. 18. Veza izmeu pomaka toaka P i 1P , koji se pomiu zajedno sa srednjom linijom

Veza izmeu pomaka toaka P i 1P , koje se pomiu zajedno sa srednjom linijom, odreena je izrazima (slika 1.18)

1P P z z P

v v b a D , 1P P y y P

w w b a D , (1.19)

gdje su 1P

v i1P

w pomaci toke 1P , koja je odreena koordinatama yb i zb . Podrazumijeva se da je PD mali kut ( tg P PD D| ).

Slika 1.19. Pomaci toke S u ravnini poprenog presjekau koordinatnom sustavu Oyz, odnosno, SK[


31

Ako se toka 1P zamijeni tokom S, koja lei u srednjoj liniji, bit e (slika 1.19)

S P z Pv v z a D , S P y Pw w y a D , (1.20)

gdje su ( , )S Sv v x s i ( , )S Sw w x s pomaci toke S u smjeru osi Oy i Oz; odnosno,

cos sinS S Sv v wM M , sin cosS S Sw v wM M . (1.21)

Uvrtenjem izraza (1.21) u (1.20), dobiva se

cos sinS P P P Pv v w hM M D , sin cosS P P P Pw v w hM M Dc , (1.22) gdje je

sin cosy zh y a z aM M , cos siny zh y a z aM Mc . (1.23) Za 0P Pv w , bit e

S Pv hD , S Pw hDc .

Slika 1. 20. Pomaci toke S srednje plohe

Na slici 1.20 prikazan je element srednje plohe stranica ds, dx prije deformiranja i nakon deformiranja. Duljinske deformacije stranica ds i dx glase

d

d

S

Sx

u x uxx x

H

www w

,d

d

S

S

v s vxs s[

H

www w

. (1.24)

Kutna deformacija glasi

d d

d d

S S

x x x

u vs xs xs x[ [ [

J J J

w ww wccc

S Su vs x

w w w w

, (1.25)


32

gdje je

tgJ J| , d d dSvs s ss

w |w

, d d dSux x xx

w |w

.

Po treoj pretpostavci su normalna naprezanja u smjeru tangente [ jednaka nuli, tj. mogu se zanemariti, pa se deformacija [H moe iskljuiti iz daljnjeg razmatranja.

Po drugoj pretpostavci kutne deformacije u srednjoj plohi jednake su nuli, pa je

0S Su vs x

w w w w

. (1.26)

Odatle je

0d

s SS

vu s fx

w w

. (1.27)

Funkcija ( )f f x moe se odrediti iz uvjeta

, ( ) ( )S Mu x M f x u x , (1.28) gdje je Mu pomak ishodine toke M u smjeru osi x.

Uvrtenjem prvog izraza (1.22) u (1.27), imajui u vidu (1.29), dobiva se

d d dd d d

P P PS M

v wu u y zx x x

D Z , (1.29)

gdje je

cos d ds yM , sin d ds xM , d dPh s Z .

Slika 1.21. Pomaci toke S u smjeru osi x


33

Prvi lan u izrazu (1.29) predstavlja translaciju poprenog presjeka kao krute figure, odreenu pomakom ishodine toke M u smjeru osi x. Drugi lan predstavlja pomak u smjeru osi x zbog zakreta poprenog presjeka kao krute figure u odnosu na os z, odreenkutom ( )xJ J . Trei lan predstavlja pomak u smjeru osi x zbog zakreta poprenogpresjeka kao krute figure u odnosu na os y, odreen kutom ( )xE E , etvrti lanpredstavlja deplanaciju (ili izvitoperenje) poprenog presjeka, odreenu relativnim kutom uvijanja ( )x- - (slika 1.22).

Izraz (1.29) moe se, dakle, prikazati u obliku

S Mu u y zJ E -Z , (1.30)

gdje jedd

Pvx

J , dd

Pwx

E , dd

P

xD- . (1.31)

Duljinska deformacija, nakon uvrtenja izraza (1.30) u prvi izraz (1.21), glasi

2 2 2

2 2 2

d d d dd d d d

M P P Px

u v wy zx x x x

DH Z . (1.32)

1.6 Naprezanja

Po treoj pretpostavci, normalna naprezanja svode se na komponentu u smjeru osi x,pa je, po Hookeovu zakonu,

x xEV H , (1.33)

odnosno, nakon uvrtenja (1.32), 2 2 2

2 2 2

d d d dd d d d

M P P Px

u v wE y zx x x x

DV Z

, (1.34)

gdje je E modul elastinosti.

Slika 1.22. Raspodjela tangencijalnog naprezanja po debljini stjenke: a) ukupno tangencijalno naprezanje x[W ; b) jednoliko tangencijalno naprezanje

cx[W ;

c) linearno tangencijalno naprezanje lx[W


34

Po estoj pretpostavci, tangencijalno naprezanje raspodijeljeno je linearno po debljini stjenke (slika 1.22a); moe se dobiti superpozicijom jedne jednolike raspodjele

( )c cx x x[ [W W (slika 1.22b) i jedne linearne raspodjele ( )l lx x x[ [W W (1.22c), koja formalno od-

govara raspodjeli tangencijalnog naprezanja pri istom uvijanju (St. Venantovu uvijanju).

Maksimalna veliina linearnog naprezanja odreena je izrazom

l tx

t

M tI[

W , (1.35)

gdje je ( )t tM M x moment istog uvijanja, odreen izrazom

dd

Pt t tM GI GIx

D - , (1.36)

gdje je31

3t i tiI s t (1.37)

torzijski moment tromosti , pri emu je is duljina i-tog odsjeka stjenke, a it debljina.

Pritom treba imati u vidu da je ovdje moment uvijanja tM vezan za toku, za pol P(to kod istog uvijanja nije sluaj). Zatim, ovdje se pretpostavlja da je relativni kut uvijanja funkcija koordinate x (to kod istog uvijanja takoer nije sluaj). Stoga, radi se samo formalno o analogiji sa istim uvijanjem.

Slika 1.23 Ravnotea elementa stjenke

Jednoliko tangencijalno naprezanje moe se odrediti iz uvjeta ravnotee elementa stjenke (slika 1.23). Iz uvjeta da je iznos projekcija svih sila u smjeru osi x jednaka nuli proizlazi

0xx xtt

px s

[WV ww w w

. (1.38)

Odatle je

0 0

1 d ds sxc c

x x

ts p s f

t x[ [V

W Ww

w . (1.39)

1.6 Naprezanja

35

Funkcija ( )f f x moe se odrediti iz uvjeta

( ) , ( )cx Mf t M x M T x[W , (1.40)tj. da je produkt tangencijalnog naprezanja i debljine stjenke na mjestu ishodine tokejednak toku tangencijalnog naprezanja ( )MT x na tom mjestu (slika 1.24).

Slika 1.24. Ravnotea odsjeka stjenke

Uvrtenjem izraza (1.34) i (1.40) u (1.39), imajui u vidu da je d dA t s , dobiva se 2 3 3

2 3 30 0 0 0

d d d1 d d d dd d d

s s s sc M P Px M

u v wT p s E A y A z At x x x[

W

3

3 0

d dd

sP A

xD Z

.

Imajui u vidu da je

0

ds

A A s , 0 ds

zy A S s , 0 ds

yz A S s , 0 ds

A S sZZ ,moe se gornji izraz napisati u obliku

2 3 3

2 3 30

d d d1 d ( ) ( ) ( )d d d

sc M P Px M z y

u v wT p s E A s S s S st x x x[

W

3

3

d ( )d

P S sx ZD

. (1.41)


36

Izraz (1.41) moe se takoer napisati u obliku 2 3 3

2 3 3

d d d1 dd d d

c M P Px x z ys

u v wp s E A S St x x x[

W

3

3

dd

P Sx ZD

, (1.42)

gdje je s krivocrtna koordinata s ishoditem na slobodnom rubu, na mjestu gdje je tangencijalno naprezanje jednako nuli (slika 1.24):

ds

A A

, dys

S z A

, dzs

S y A

, ds

S AZ Z

, (1.43) gdje je ddA t s ;

s C s , (1.44)

gdje je C konstanta koja se moe odrediti iz uvjeta da je s jednako nuli na slobodnom rubu; znaajka presjeka A naziva se povrinom odsjeenog dijela presjeka, yS

i zS

statikim momentima povrine odsjeenog dijela (statikim momentom dijela povrine), a SZ

sektorskim statikim momentom odsjeenog dijela (sektorskim statikim momentom

dijela povrine) .

Naprezanja su, dakle, odreena, za zadani oblik poprenog presjeka, funkcijama (pomaka): ( )P Pu u x , ( )P Pv v x , ( )P Pw w x , ( )P P xD D .

1.7 Diferencijalne jednadbe ravnotee

Funkcije Pu , Pv , Pw i PD mogu se odrediti iz uvjeta ravnotee odsjeka tapa duljine dx (slika 1.25).

Slika 1.25. Ravnotea odsjeka tapa


37

Vanjsko optereenje moe se reducirati na os koja je paralelna osi Ox i prolazi kroz pol P, pa izraz (1.4) prelazi u

dP z y y zLm p y a p z a s . (1.45)

Pritom se moe pretpostaviti da je

dt tLM M s , (1.46) gdje je ( )t tM M x moment istog uvijanja na jedinici duljine.

Uvjeti ravnotee mogu se, imajui u vidu izraze (1.17), napisati u obliku

d d d 0xx xLt

F x s q xxVw

w ,

cos d d d 0

cx

y yL

tF x s q x

x[W M

w

w ,

sin d d d 0

cx

z zL

tF x s q x

x[W M

w

w ,

d d d d d 0d

cx t

P PL

t MM x h s x m xx x[Ww

w . (1.47)

gdje je

dd d d d dd

t ttL L

M Mx s M s x xx x x

w w w w

.

Imajui u vidu da je (slike 1.5 i 1.6)

d dt s A cos d ds yM , sin d ds zM , d dPh s Z ,

mogu se izrazi (1.47) napisati u obliku

d 0x xA A qxVw w ,

d 0

cx

yL

ty q

x[Ww

w ,

d 0

cx

zL

tz q

x[Ww

w ,

d d 0d

cx t

PL

t M mx x[W Z

w

w . (1.48)


38

Parcijalnim integriranjem posljednje tri jednadbe prelaze u

d 0

gc cx x

yLd

t ty y s q

x s x[ [W W w ww

w w w ,

d 0

gc cx x

zLd

t tz z s q

x s x[ [W W w ww

w w w ,

dd 0d

gc cx x t

PLd

t t Ms mx s x x[ [W WZ Z

w ww w w w

, (1.49)

gdje su d i g donja i gornja granica, tj. slobodni rubovi, na kojima je 0cx[W , pa otpadaju prvi lanovi. Prema tome izrazi (1.48) prelaze u

d 0x xA A qxVw w ,

d 0

cx

yL

ty s q

s x[W ww

w w ,

d 0

cx

zL

tz s q

s x[W ww

w w ,

dd 0d

cx t

PL

t Ms ms x x

[WZ ww

w w , (1.50)

Uvrtenjem izraza (1.34), (1.36) i (1.42) u (1.50) dobiva se

2 3 3 3

2 3 3 3

d d d dd d d d 0d d d d

M P P PxA A A A

u v wE A E y A E z A E A qx x x x

D Z ,3 4 4 4

23 4 4 4

d d d dd d d dd d d d

M P P PyA A A A

u v wE y A E y A E yz A E y A qx x x x

D Z

0xL

py dsx

w w ,

3 4 4 42

3 4 4 4


M P P PzA A A A

u v wE z A E yz A E z A E z A qx x x x

D Z 0x

L

pz dsx

w w ,

3 4 4 42

3 4 4 4


M P P PPA A A A

u v wE A E y A E z A E A mx x x x

DZ Z Z Z 2d 0d

xPt L

pGI dsx xD Z w

w .


39

U matrinom obliku moe se napisati

2 3 3 3

3 4 4 4

3 4 4 4

3 4 4 4 2

dd

1dddd

x

z yzM

yz z yz z

P

yy yz y yP z

tPz y

P

qAD S D S D S D mu qS D I D I D I D xv

mS D I D I D I D Ew qxGIS D I D I D I D D bE mx

Z

Z

Z

Z Z Z Z D

, (1.51)

gdje je

dA

A A , dz AS y A , dz AS z A , dAS AZ Z ,2dz AI y A , dyz AI yz A , dz AI y AZ Z ,

2dy AI z A , dy AI z AZ Z ,

2dA

I AZ Z ; (1.52)

d dd

xzL

pm y sx x

w w ,

dd

dy x

L

m p z sx x

w w ,

d dd

xL

pb z sx x

Zw w , (1.53)

gdje je

dxLb p sZ (1.54)

bimoment na jedinicu duljine, analogno definiciji momenta na jedinicu duljine, po (1.17); 2

22

dDdx

{ ,3

33

dDdx

{ ,4

42

dDdx

{ .

1.8 Diferencijalne jednadbe ravnotee u glavnim koordinatama

Ako su y, z i Z glavne koordinate, imajui u vidu (1.9), jednabe (1.51) prelaze u

2dd

Mx

uEA qx

,

4

4

d dd

P zz y

v mEI qx dx

,

4

4

dd ,d

yPy z

mwEI qx dx

4 2

4 2

d d dd d

P Pt P

bEI GI mx x dxZD D . (1.55)


40

Prva jednadba odnosi se na pomake ishodine toke M u smjeru osi x (diferencijalna jednadba tapa optereenog na rastezanje); druga jednadba odnosi se na pomake glavnog pola P u smjeru osi y (diferencijalna jednadba tapa optereenog na savijanja u horizontalnoj ravnini); trea jednadba odnosi se na pomake glavnog pola P u smjeru osi z(diferencijalna jednadba tapa optereenog na savijanje u vertikalnoj ravnini); etvrtajednadba odnosi se na kutne zakrete poprenih presjeka oko glavnog pola P (diferenci-jalna jednadba tapa optereenog na uvijanje).

1.9 Sredite savijanja i sredite uvijanja

Kako proizlazi iz jednadbi (1.55), tap e se samo savijati ako je:

a) 0xp , tj. ako je po izrazima (1.17) i (1.54), 0xq , 0ym , 0zm i 0b ;

b) 0Pm , tj. ako se komponente optereenja yp i zp mogu reducirati samo na kompo-nente yq i zq (slika 1.25), koje prolaze kroz os koja je paralelna osi x i prolazi kroz glavni pol P.

Os kroz koju moraju proi pravci djelovanja optereenja yq i zq naziva se os savijanja, a glavni pol P sredite savijanja.

Sustav diferencijalnih jednadba (1.55) u tom sluaju glasi

2

2

d 0d

MuEAx

,4

2

dd

Pz y

vEI qx

,4

2

dd

Py z

wEI qx

,

4 2

4 2

d d .d d

P Pt PEI GI mx xZ

D D (1.56)

Prva jednadba odnosi se na pomak tapa kao krutog tijela u smjeru osi x; druga i treajednadba odnose se na pomake glavnog pola P u smjeru osi y i z; etvrta jednadba odnosi se na kutne zakrete poprenih presjeka oko glavnog pola P.

tap e se samo uvijati ako je:

a) 0xp , tj. ako je 0xq , 0ym , 0zm i 0b ;

b) 0yq i 0zq , tj. ako se komponente optereenja 0yp i 0zp mogu reducirati samo na komponentu Pm , koja djeluje oko osi koja je paralelna osi x i prolazi kroz glavni pol P.

Os oko koje djeluje optereenje Pm zove se os uvijanja, a glavni pol P srediteuvijanja.

Sustav diferencijalnih jednadbi (1.55) u tom sluaju glasi

2

2

d 0d

MuEAx

,4

2

d 0d

Pz

vEIx

,4

2

d 0d

Py

wEIx

,

4 2

4 2

d d .d d

P Pt PEI GI mx xZ

D D (1.57)

1.9 Sredite savijanja i sredite uvijanja

41

Prva jednadba odnosi se na pomake tapa kao krutog tijela u smjeru osi x; druga i treajednadba odnose se na pomake tapa kao krutog tijela u smjeru osi y i z; etvrtajednadba odnosi se na kutne zakrete poprenih presjeka oko glavnog pola P. Proizlazi da os savijanja i os uvijanja jesu jedna te ista os (koja je paralelna osi x i prolazi kroz glavni pol P), odnosno, da sredite savijanja i sredite uvijanja jest jedna te ista toka (glavi pol P). Os savijanja odnosno, os uvijanja naziva se jo i osi smicanja,a sredite savijanja odnosno, sredite uvijanja sreditem smicanja.

U sluaju da je 0yp i 0zp , sustav (1.55) prelazi u

2

2

dd

Mx

uEA qx

,4

2

d dd d

P zz

v mEIx x

,4

4

ddd d

yPy

mwEIx x

,

4 2

4 2

d d d .d d d

P Pt

bEI GIx x xZD D (1.58)

tap se rastee, savija i uvija.

Optereenje moe biti tako rasporeeno po poprenom presjeku da je 0ym i 0zm , pa sustav (1.55) prelazi u

2

2

dd

Mx

uEA qx

,4

2

d 0d

Pz

vEIx

,4

4

d 0d

Py

wEIx

,

4 2

4 2

d d d .d d d

P Pt


tap se rastee i uvija.

Optereenje xp moe biti tako raspodijeljeno da je 0xq , pa sustav (1.55) prelazi u

2

2

d 0d

MuEAx

,4

2

d dd d

P zz

v mEIx x

,4

4

ddd d

yPy

mwEIx x

,

4 2

4 2

d d d .d d d

P Pt


tap se savija i uvija.

1.10 Komponente unutarnjih sila

Integrali produkta normalnog naprezanja xV i glavnih koordinata 1, y, z i Z po povrini poprenog presjeka daju komponente unutarnjih sila:

dxA A NV , dx zA y A MV , dx yA z A MV ,

dxA A BV Z , (1.61)


42

gdje je ( )N N x uzduna sila, ( )y yM M x moment savijanja u odnosu na os Oy, i ( )z zM M x momenti savijanja u odnosu na os O z i ( )B B x bimoment.

Uvrtenjem izraza (1.34) u (1.61), dobiva se

dd

MuEA Nx

,2

2

dd

Pz z

vEI Mx

,2

2

dd

Py y

wEI Mx

,

2

2

dd

PEI BxZD . (1.62)

Integrali produkta tangencijalnog naprezanja cx[W i funkcija cosM , sinM i Ph po povrini poprenog presjeka daju komponente unutarnjih sila:

cos dcx yA A Q[W M , sin dcx zA

A Q[W M , dxc PA h A M[ ZW , (1.63)

gdje je ( )y yQ Q x poprena sila u smjeru osi y, ( )z zQ Q x poprena sila u smjeru osi Ozi ( )M M xZ Z moment izvitoperenja.

Uvrtenjem izraza za tangencijalno naprezanje (1.43) u (1.63), dobiva se

2

2

dd

Pz z y

vEI m Qx

,3

3

dd

Py y z

wEI m Qx

,3

3

dd

PEI b MxZ ZD , (1.64)

gdje je ( )M M xZ Z moment izvitoperenja;

cos d cos d dA t s t yM M , sin d sin d dA t s t zM M ;

d d d d dgx x x x zL s s L Ldy p s p s y y p s p y s m

,

d d d d dgx x x x yL s s L Ldz p s p s z z p s p z s m

,

d d d d dgx x x xL s s L Ldp s p s p s p s bZ Z Z Z

; d d 0g zdL L AA y A y y dA y A S

,

d d 0g ydL L AA z A z z dA z A S

,

d d 0gdL L A

A A dA A SZZ Z Z Z

;

2d d dgz z z zdL L AS y S y y S y A I

,

d d d 0gz z z yzdL L AS z S z z S yz A I

,


43

d d d 0gz z z zdL L AS S S y A I ZZ Z Z Z

;

d d d 0gy y y zydL L AS y S y y S yz A I ,

2d d dgy y y ydL L AS z S z z S z A I ,

d d d 0gy y y ydL L AS S S z A I ZZ Z Z Z ;

d d d 0g zdL L AS y S y y S y A IZ Z Z ZZ

,

d d d 0g ydL L AS z S z z S z A IZ Z Z ZZ

,

2d d dgdL L A

S S S A IZ Z Z ZZ Z Z Z

.

Imajui u vidu (1.62) i (1.64) vrijedi:

2

2

d dd d

Mx

u NEA qx x

,

3

3

d dd d

P zz y z

v MEI Q mx x

,

3

3

ddd d

yPy z y

MwEI Q mx x

,

3

3

d dd d

P BEI M bx xZ ZD , (1.65)

te4 2

4 2

dd d d dd d d d d

yP z z zz y

Qv M m mEI qx x x x x

,

24

4 2

d d dd dd d d d d

y y yP zy z

M m mw QEI qx x x x x

,

4 2

4 2

dd d d dd d d d d

P MB b bEI mx x x x x

ZZ Z

D , (1.66)

gdje je imajui u vidu etvrti izraz (1.55) 2dd

PP tm m GI xZ

D ,


44

odnosno, imajui u vidu (1.22)

dd

tP

Mm mxZ

. (1.67)

Moment ( )m m xZ Z naziva se momentom izvitoperenja na jedinicu duljine.

Budui da je

P tM M MZ , (1.68)bit e

dd

PP

Mmx

. (1.69)

Slika 1.26. Komponente unutarnjih sila

Komponente unutarnjih sila, kao pozitivne veliine, prikazane su na lijevom, negativnom presjeku i desnom, pozitivnom presjeku na slici 1.26. Komponente N, yQ ,

zQ , yM , zM i PM mogu se odrediti iz uvjeta ravnotee. Komponente MZ i B mogu se odrediti samo ako je poznata komponenta pomaka PD .

Bimoment uzrokuje deplanaciju (izvitoperenje) poprenog presjeka; u statikomsmislu, predstavlja sustav samouravnoteenih sila pa se simboliki prikazuje pomou dviju meusobno jednakih, suprotno usmjerenih sprega sila.

Normalno naprezanje (1.34) pomou komponenata unutarnjih sila, imajui u vidu izraze (1.63), glasi

yzx

z y

MMN By zA I I IZ

V Z . (1.70)

Tangencijalno naprezanje (1.43), imajui u vidu (1.64) i prvi izraz (1.65), glasi

1 d y z z z y ycx xsz y

Q m S Q m S M b SAp s qt A I t I t I t

Z Z[

Z

W

. (1.71)


45

Ukupno tangencijalno naprezanje glasi

1 d y z z z y yc tx xsz y t

Q m S Q m S M b S MAp s q tt A I t I t I t I

Z Z[

Z

W

.

(1.72)

Posljednji lan u izrazu (1.70) karakteristian je samo za tankostjeni tap i predstavlja komponentu normalnog naprezanja pri izvitoperenju. U izrazu (1.72) za tankostjeni tap karakteristini su prvi, etvrti i peti lan, i predstavljaju komponente tangencijalnognaprezanja pri izvitoperenju.

Analogija izmeu uvijanja i savijanja. Usporeivanjem izraza za savijanje i uvijanje tapova otvorenoga tankostjenog presjeka moe se uoiti formalna analogija, dana tablicom 1.1. Analogija je samo formalna, budui da veliina mZ nije poznata (kao to jest analogna veliina zq ).

Tablica. 1.1. Analogija izmeu uvijanja i savijanja

Savijanje Uvijanje

1. Geometrijske znaajke

Statiki moment povrine Sektorski statiki moment povrine

dy AS z A . dAS AZ Z . Aksijalni moment tromosti Sektorski moment tromosti

2 dy AI z A .2 d

AI AZ Z .

2. Vanjsko optereenje

zq sila na jedinicu duljine; mZ moment izvitoperenja na jedinicu duljine;

ym moment na jedinicu duljine. b bimoment na jedinicu duljine.

3. Pomaci

Pw progib; PD kut uvijanja;E kut nagiba. - relativni kut uvijanja.

4. Komponente unutarnjih sila

zQ poprena sila; MZ moment izvitoperenja;

yM moment savijanja. B bimoment.


46

5. Diferencijalne ovisnosti

d ;d

Pwx

E d ;d

P

xD -

d;

dy

z y

MQ m

x d ;

dB M bx Z

2

2

d d dd ;d d d d

y y yzz

M m mQ qx x x x

2

2

dd d d ;d d d d

MB b bmx x x x

ZZ

2

2

d ;d

Py y

wEI Mx

2

2

d ;d

PEI BxZD

3

3

d ;d

Py z y

wEI Q mx

3

3

d ;d

PEI M bxZ ZD

4

4

dd ;d d

yPy z

mwEI qx x

4

4

d d .d d

P bEI mx xZ ZD

6. Naprezanja

yx

y

Mz

IV ; x

BIZ

V Z ;

z y yx

y

Q m SI t[

W

; cxy

M b SI t

Z Z[W

.

1.11 Rubni uvjeti

Prva skupina rubnih uvjeta odnosi se na rastezanje tapa. Po prvom izrazu (1.62) bit e

A

AM Mx x

u u

, dd

A

AM

x x

uEA Nx

, (1.73)

gdje je A proizvoljna toka du osi x, odnosno, popreni presjek. Druga skupina odnosi se na savijanje tapa u horizontalnoj ravnini. Po drugom izra-zu (1.62) bit e

A

AP Px x

v v

, dd

A

AP

x x

vx

J

,

2

2

dd

A

APz z

x x

vEI Mx

,3

2

dd

A

APz z y

x x

vEI m Qx

. (1.74)

1.11 Rubni uvjeti

47

Trea skupina odnosi se na savijanje tapa u vertikalnoj ravnini. Po treem izrazu (1.62) bit e

A

AP Px x

w w

, dd

A

AP

x x

wx

E

,

2

2

dd

A

APy y

x x

wEI Mx

,3

2

dd

A

APy y z

x x

wEI m Qx

. (1.75)

etvrta skupina odnosi se na uvijanje tapa. Po etvrtom izrazu (1.62) bit e:

A

AP Px x

D D

, dd

A

AP

x xxD -

,

2

2

dd

A

APy

x x

EI BxD

,3

2

d dd d

A

AP Pt P

x x

EI GI b Mx xZD D

. (1.76)

Rubni uvjeti mogu se zadati pomou pomaka:

AM Mu u

, AP Pv v

, Ap Pw w

, Ap PD D

,

AJ J , AE E , AP P- -

, (1.77)

odnosno, pomou sila

AN N , Ay yQ Q

, Az zQ Q

, AP PM M

,

Ay yM M

, Az zM M

, AB B , (1.78)

gdje je s ( ) oznaena zadana veliina na rubu (A). Pritom je

dxaB p AZ

, (1.79)

odnosno,

1xi

n

ii

B F Z

, (1,80)

gdje je xiF

zadana sila, u smjeru osi Ox, na mjestu odreenom sektorskom koordinatom.

Rubni uvjeti mogu biti zadani pomacima ili silama, ili pomacima i silama.

Oslonac koji onemoguava pomake poprenog presjeka kao krute figure u smjeru osi Ox i Oz naziva se zglobnim osloncem (slika 1.27a); klizni zglobni oslonac onemoguavapomake u smjeru osi Oz (slika 1.27b). Imajui u vidu izraze (1.75) bit e

0A

P x xw

0APw ,

2

2

d 0d

A

P

x x

wx

0AyM . (1.81)


48

Slika 1.27. Oslanjanje tapa optereenog na savijanje/uvijanje: a) zglobni oslonac; b) klizni zglobni oslonac; c) ukljetenje; d) slobodni kraj

Oslonac koji onemoguava zakret poprenog presjeka kao krute figure u odnosu na os Oy naziva se ukljetenje (slika 1.7c):

0A

P x xw

0APw , d 0d

A

P

x x

wx

0AE . (1.82)

Na slobodnom kraju tapa presjek se neometano pomie kao kruta figura u smjeru osi Oz te zakree u odnosu na os Oy (slika 1.27d):

2

2

d 0d

A

P

x x

wx

0AyM ,3

2

d 0d

A

Py y

x x

wEI mx

0AzQ . (1.83)

Slino je sa savijanjem u horizontalnoj ravnini izrazi (1.74). Za zglobni oslonac bit e

A

AP Px x

v v

0APv ,2

2

d 0d

A

P

x x

vx

0AzM ; (1.84)

za ukljetenje bit e

0A

P x xv

0APv , d 0d

A

P

x x

vx

0AJ : (1.85)

za slobodan kraj bit e

2

2

d 0d

A

P

x x

vx

0AzM ,3

2

d 0d

A

Py z

x x

vEI mx

0AyQ . (1.86)

Oslonac koji onemoguava kutni zakret poprenog presjeka kao krute figure oko osi uvijanja, uz neometano izvitoperenje naziva se zglobnim osloncem, analogno savijanju (slika 1.27a); isti smisao ima i klizni zglobni oslonac (1.27b). Po izrazima (1.76) bit e

0A

P x xD

0APD ,

2

2

d 0d

A

P

x xxD

0AB . (1.87)

1.11 Rubni uvjeti

49

Oslonac koji onemoguava kutni zakret poprenog presjeka kao krute figure oko osi uvijanja te izvitoperenje naziva se ukljetenje, analogno savijanju (slika 1.27c):

0A

P x xD

0APD , d 0d

A

P

x xxD

0A- . (1.88)

Na slobodnom kraju tapa popreni presjek neometano se zakree i izvitoperuje (slika 1.27d):

2

2

d 0d

A

P

x xxD

0AzM ,3

2

d d 0d d

A

P Pt

x x

EI GI bx xZD D

0APM .

(1.89) Za elastini zglobni oslonac, koji ne omoguava u potpunosti pomak poprenogpresjeka u smjeru osi Oz (slika 1.28a), bit e

,

,

3,

3

ddA B

A B

A B PP w y yx x

x x

ww C EI mx

#

,

, ,

A B

A B A BP w zx x

w C Q

r ,

,

2

2

d 0d

A B

P

x x

wx

, 0A ByM , (1.90)

gdje je wC koeficijent podatnosti oslonca u odnosu na pomak poprenog presjeka kao krute figure u smjeru osi Oz.

Slika 1.28. Elastino oslanjanje tapa optereenog na savijanje/uvijanje: a) elastini zglobni oslonac; b) elastino ukljetenje; c) elastino ukljetenje na elastinom zglobnom osloncu

Za elastino ukljetenje, koje ne onemoguava u potpunosti zakret poprenogpresjeka kao krute figure u odnosu na os Oy (slika 1.28b) bit e

,0

A BP x x

w

, 0A BPw ,

, ,

2,

2

d dd d

A B A B

A BP Py

x x x x

w wC EIx xE

r ,

, ,

A B

A B A Byx x

C MEE r , (1.91)


50

gdje je CE koeficijent podatnosti oslonca u odnosu na zakret poprenog presjeka kao krute figure u odnosu na os y. Za elastino ukljetenje na elastinom zglobnom osloncu, koje ne onemoguava u potpunosti pomak poprenog presjeka kao krute figure u odnosu na os y i u smjeru osi z(slika 1.28c), bit e

,

,

3,

3

ddA B

A B

A B PP w y yx x

x x

ww C EI mx

#

,

, ,

A B

A B A BP w zx x

w C Q

r ,

, ,

2,

2

d dd d

A B A B

A BP Py

x x x x

w wC EIx xE

r ,

, ,

A B

A B A Byx x

C MEE r . (1.92)

Slino je za horizontalnu ravninu. Za elastini zglobni oslonac bit e

,

,

3,

3

ddA B

A B

A B PP v z zx x

x x

wv C EI mx

#

,

, ,

A B

A B A BP v yx x

v C Q

r ,

,

2

2

d 0d

A B

P

x x

vx

, 0A BzM ; (1.93)

za elastino ukljetenje bit e

,0

A BP x x

v

, 0A BPv ,

, ,

2,

2

d dd d

A B A B

A BP Pz

x x x x

v vC EIx xJ

# ,

, ,

A B

A B A Bzx x

C MJJ r ; (1.94)

za elastino ukljetenje na elastinom zglobnom osloncu bit e

,

,

3,

3

ddA B

A B

A B PP v z zx x

x x

vv C EI mx

#

,

, ,

A B

A B A BP v yx x

v C Q

r ,

, ,

2,

2

d dd d

A B A B

A BP Pz

x x x x

v vC EIx xJ

r ,

, ,

A B

A B A Bzx x

C MJJ r . (1.95)

gdje je CJ koeficijent podatnosti oslonca u odnosu na zakret poprenog presjeka kao krute figure u odnosu na os Oz. Elastino oslanjanje za uvijanje tapa analogno je elastinom oslanjanju za savijanje tapa (slika 1.28).

Za elastini zglobni oslonac, koji ne onemoguava u potpunosti zakret poprenog

1.11 Rubni uvjeti

51

presjeka kao krute figure oko osi uvijanja, vrijedi: (slika 1.28a)

,

,

3,

3

d dd dA B

A B

A B P PP tx x

x x

C EI GI bx xD ZD DD

#

,

, ,

A B

A B A BP Px x

C MDD r ,

,

2

2

d 0d

A B

P

x xxD

, 0A BB , (1.96)

gdje je CD koeficijent podatnosti oslonca u odnosu na zakret poprenog presjeka kao krute figure oko osi uvijanja.

Za elastino ukljetenje, koje ne onemoguava u potpunosti izvitoperenje poprenogpresjeka (slika 1.28b), bit e

,0

A BP x x

D

, 0A BPD ,

, ,

2,

2

d dd d

A B A B

A BP P

x x x x

C EIx x- ZD D

r ,

, ,

A B

A B A Bx x

C B-- r , (1.97)

gdje je C- koeficijent podatnosti oslonca u odnosu na izvitoperenje poprenog presjeka.

Za elastino ukljetenje na elastinom osloncu, koje ne onemoguava u potpunosti izvitoperenje i zakret poprenog presjeka kao krute figure oko osi uvijanja (slika 1.28c) bit e

,

,

3,

3

d dd dA B

A B

A B P PP tx x

x x

C EI GI bx xD ZD DD

#

,

, ,

A B

A B A BP Px x

C MDD r ,

, ,

2,

2

d dd d

A B A B

A BP P

x x x x

C EIx x- ZD D

r ,

, ,

A B

A B A Bx x

C B-- r , (1.98)

Vanjsko optereenje moe biti zadano du uzdunih rubova tapa silama na jedinicu duljine (smicajnim silama). Ako je optereenje zadano du ruba 1 i ruba 2 silama

1 1( )T T x i 2 2 ( )T T x bit e

1 2xq T T , 0yq , 0zq , 0Pm ,

1 1 2 2ym T z T z , 1 1 2 2zm T y T y , 1 1 2 2b T TZ Z , (1.99)

gdje su 1y , 1z i 2y , 2z pravokutne koordinate rubova 1 i 2, a 1Z i 2Z sektorske koordinate.

U tom sluaju izraz za tangencijalno naprezanje (1.72) prelazi u

1

1 y z z z y yc tx x

z y t

Q m S Q m S M b S MAT q tt A I t I t I t I

Z Z[

Z

W

, (1.100)


52

gdje je 0A za rub 1 i A A za rub 2.

1. 12. Geometrijske znaajke nekih presjeka

U tablici 1.2 dane su geometrijske znaajke nekih presjeka.

Tab. 1.2. Geometrijske znaajke nekih presjeka

I-profil

Slika 1. Geometrijske znaajke presjeka: a) zadani presjek; b) srednja linija, teite T i glavni pol P; c) glavna pravokutna koordinata y; d) glavna pravokutna koordinata z,


Povrina

0 1 2A A A A ; 0 0A ht , 1 1 1A b t , 2 2 2A b t .

1.12 Geometrijske znaajke presjeka

53

Poloaj teita

A

AAhh T

02

121

,A

AAhh T

01

221

.

Momenti tromosti

1 2 0 1 2 02

1 13 4

y

A A A A A AI h

A

, 2 21 1 2 2112zI Ab A b .

Momenti otpora

02

021021

1

21

41

31

AA

AAAAAAhW y

,01

021021

2

21

41

31

AA

AAAAAAhW y

;

22

1 1 1 21

16z

bW Ab Ab

,

21

2 2 2 12

16z

bW A b Ab

.

Poloaj glavnog pola2

2 21 2 2

1 1 2 2P

A bh hAb A b

,2

1 12 2 2

1 1 2 2P

Abh hAb A b

.

Sektorski moment tromosti

2 221 2 1 2

2 21 1 2 212A A b bhI

Ab A bZ

.

Sektorski momenti otpora

1 11 6

Ab hW Z , 2 22 6A b hW Z .

Raspodjela statikih momenata tromosti dijela povrine

1

2bs s , 10

2bsd d :

11 1 1 1 2y T T

bS h s t h t s ,

221 1 1

12 2 2 4zb t bsS s t s

,

2

21 1 11 1 1

12 2 4

PP

h t bS b s h s t sZ

;


54

c)

s

s

s

s

s

M

s

SySy

Sy

ss

M

ss

Sz

Sz

A h1 1T2

2

t h0 1T 2+

A1( h1T

**

**

*

ss

ss

SZ

SZ

*

*

8

A b1 18

8

8

M

MM

M

b)a)

M

Slika 2. Statiki momenti dijela povrine: a) statiki moment yS

; b) statiki moment;

sektorski statiki moment SZ

1

2bs s , 10

2bst t :

11 1 1 1 2y T T

bS h s t h t s ,

221 1 1


,

2

21 1 11 1 1

12 2 4

PP

h t bS b s h s t sZ

;

1Ts h s

, 10 Ts ht t :

2 201 1 1 0 1 1 12 2y T T T TtsS h A h s t h A h s

,


55

2Ts h s

, 20 Ts hd d ;

2 202 2 2 0 2 2 22 2y T T T TtsS h A h s t h A h s

,

2

2bs s , 20

2bsd d :

22 2 2 2 2y T T

bS h s t h t s ,

222 2 2


,

2

22 2 22 2 2

12 2 4

PP

h t bS b s h s t sZ

,

2

2bs s , 20

2bst t ,

22 2 2 2 2y T T

bS h s t h t s ,

222 2 2


,

2

22 2 22 2 2

12 2 4

PP

h t bS b s h s t sZ

.

Simetrini I-profil

1 2b b b , 1 2t t

Povrina

0 12A A A ; 0 0A ht , 1 1A bt .

Poloaj teita

1 2 2T Thh h .

Momenti tromosti

20

12 6yAhI A

,2

1

6zAbI .

Momenti otpora

01 6y

AW h A , 1

3zAbI .


56

Poloaj glavnog pola

1 2 2P Phh h .

Sektorski moment tromosti 2 2

1

24Ab hIZ .

Sektorski moment otpora

1

6AbhWZ .

Raspodjela statikih momenata dijela povrine

2bs s , 0

2bsd d :

112 2 2y

hth bS s t s ,

221

12 2 2 4zt bb sS s t s

,

2

211

14 4 4

ht bS b s hs t sZ

;

2hs s , 0

2hsd d ;

220

1 0 22 2 2 2 2 4yth h s h hS A s t A s

.

U-profil

Povrina

0 12A A A ; 0 0A ht , 1 1A bt .

Poloaj teita

01T

Ah hA

, 02 1TAh hA

.

Momenti tromosti

20 02 33y

A h AIA

,

20

1 612zAbI AA

.

Momenti otpora

01 2 33y

AAhWA

,

0

00

0

2 3

3 1y

AA h AW A

A


57

Poloaj glavnog pola

0

1 0

36P

A hhA A

.

Sektorski moment tromosti

2 20 1 0

1 0

2 312 6

A h b A AIA AZ

.

Sektorski moment otpora

12

P

IWbh

ZZ , 0

2

P

IWb h h

ZZ

.

Slika 3. Geometrijske znaajke presjeka: a) zadani presjek; b) srednja linija, teite T i glavni pol P; c) glavna pravokutna koordinata y; d) glavna pravokutna koordinata z,


Raspodjela statikih momenata tromosti dijela povrine

1 1 1 1 2y T TbS h s t h t s

,2bs s , 0

2bst t ,


58

1 1 1 012 2y T T

sS h bt h s t

2 21 1 1 01 12 2T Th bt h s t , 1Ts h s

, 10 Ts ht t ,

2 20 0 0 012 2y T TsS h s t h s t

, 0Ts h s

, 00 Ts hd d ,

1 1 1 1 2y T TbS h s t h t s

,2bs s , 0

2bst t ,

1 1 1 012 2y T T

sS h bt h s t

2 21 1 1 01 12 2T Th bt h s t , 1Ts h s

, 10 Ts hd d ,

2 20 0 0 012 2y T TsS h s t h s t

, 0Ts h s

, 00 Ts ht t ,

Slika 4. Statiki momenti dijela povrine: a) statiki moment yS

; b) statiki moment zS

;

sektorski statiki moment SZ


59

s h s , 0 s hd d

002 2zbtbS s t h s , 024 P

bS h h s s tZ

024 Pb h h h s h s t ,

2bs s , 0

2bsd d

2

20 01 1

1 12 2 2 2 4z

hbt hbt bS b s s t s t

,

012

4 2 2 2P

P Pbhbt bS h h h h s s tZ

2

201

124 2 4P P

bt bh h h s h t

,

s h s , 0 s ht t

002 2zbtbS s t h s , 024 P

bS h h s s tZ

024 Pb h h h s h s t ,

2bs s , 0

2bst t

2

20 01 1

1 12 2 2 2 4z

hbt hbt bS b s s t s t

,

012

4 2 2 2P

P Pbhbt bS h h h h s s tZ

2

201

124 2 4P P

bt bh h h s h t

.

Documents

1001746 Uvod u Analizu Tankostjenih Stapova