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Zahlen I
Von den natürlichen Zahlen zu den komplexen Zahlen und darüber hinaus.
Heute: Bis zu den reellen Zahlen
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Der Hintergrund: Fraktale
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Wo sind die wunderbaren, auch farbigen Bilder?
4
Oder
5
Nichts geht ohne Kenntnis der komplexen Zahlen
Also:
ein Vortrag über Zahlen am 7.Juli, so richtig mathematisch, unverständlich.
Erscheinen Sie pünktlich!
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Leopold Kronecker
1823 – 1891, bedeutenderZahlentheoretiker:
Die ganzen Zahlenhat der liebe Gottgemacht, alles andere ist Menschenwerk
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Richard Dedekind
1831 – 1916, u.a. Zahlentheoretiker
1887:
Was sind und wassollen die Zahlen?
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Dedekinds Standpunkt
Zahlen sind freie Schöpfungen desmenschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dingeleichter und schärfer aufzufassen
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Zahlen: Der Plan
Natürliche Zahlen, PeanoVon N zu ZRationale ZahlenDie schwierigen reellen Zahlen
C: Eulers kühnes VorgehenRechnen in CGrößere Zahlbereiche
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Natürliche Zahlen: N
1, 2, 3, 4, 5, 6, ……
Oder
0, 1, 2, 3, 4, 5, …..
Geschmacksfrage!
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Guiseppe Peano
1858 – 1932
Einfach genial, Grundlagen derMathematik,Analysis, ….Schaffte den liebenGott ab.
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Peanos N
N ist eine Menge mit
(P1) 1 ist eine natürliche Zahl(P2) Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger
(n+1)(P3) 1 ist kein Nachfolger(P4) Verschiedene Zahlen haben verschiedene
Nachfolger
!
13
Peanos N
(P5) M sei eine Teilmenge von N mit
(1) 1 ist Element von M(2) Gehört eine Zahl zu M, dann auch
deren Nachfolger.Dann gilt
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(P5)
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Peanos N
(P5) M sei eine Teilmenge von N mit
(1) 1 ist Element von M(2) Gehört eine Zahl zu M, dann auch der
Nachfolger.Dann gilt M = N.
Prinzip der vollständigen Induktion!
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Peanos N, allgemeiner
N ist eine Menge mit
(P1) Es gibt ein Element a in N (P2) Jedes Element hat einen Nachfolger(P3) a ist kein Nachfolger (a ist erstes Element)(P4) Verschiedene Zahlen haben verschiedene
Nachfolger
!
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Peanos N, allgemeiner
(P5) M sei eine Teilmenge von N mit
(1) a ist Element von M(2) Gehört eine Zahl zu M, dann auch
deren Nachfolger.Dann gilt M = N.
Prinzip der vollständigen Induktion!
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Unendliche viele Modelle von N
1, 2, 3, 4, 5, …..0, 1, 2, 3, 4, ……-3, -2, -1, 0, ….42, 43, 44, 45, …..
Entscheidend: Es gibt einen Anfang.Bei uns heißt der Anfang 1.
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Eigenschaften von N
• N ist eindeutig (bis auf „Isomorphie“).
• Es gibt eine Addition „+“ und eine Multiplikation „•“
• N ist die kleinste unendliche Menge
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John von Neumann
1903 – 1957, genialerMathematiker,
Arbeitsgebiete u.a.:
Funktionalanalysis,Informatik
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Von Neumanns Modell von N
0 = |{}|1 = |{0}|2 = |{0,1}|3 = |{0,1,2}|4 = ….
Eigentlich viel komplizierter: Erinnern Siesich der Häuptlingsmethode?
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Erster Beweis mit vollständiger Induktion
FranciscoMaurolico
1494 – 1575
Sein Beispiel folgt.
23
Beweise mit vollständiger Induktion
Blaise Pascal
1623 – 1662
Eigenschaften desPascalschen Dreiecks.
24
Eine Beobachtung
1 = 11 + 3 = 41 + 3 + 5 = 91 + 3 + 5 + 7 = 161 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
25
Eine Vermutung
Die Summe der n ersten ungeradenZahlen ist gleich n2.
1 + 3 + 5 + …. + (2n-1) = n2.
Dies gilt für jede natürliche Zahl n.
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(P5)
27
Der Beweis
Beh.: 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) = n2.
Beweis:
Induktionsverankerung: n = 1(2 – 1) = 12. Das stimmt.
28
Der Beweis
Beh.: 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) = n2.
Der Schluss von n auf n+1:
Vor.: 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) = n2
Beh.: 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) + (2n+1) = (n+1)2
Bew.:
29
Der Beweis
Beh.: 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) = n2.
Der Schluss von n auf n+1:
Vor.: 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) = n2
Beh.: 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) + (2n+1) = (n+1)2
Bew.: 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) + (2n+1) = n2 + (2n+1) = (n +1)2. Fertig!
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Eine Bewertung
Eine sichere Beweismethode.
Aber:
Man braucht eine Behauptung.Der Beweis fördert kaum die Einsicht.
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Definition durch vollst. Induktion
Beispiel:A(n) wird festgelegt durch:
A(1) = 1,A(n+1) = A(n)+2n+1, n natürl. Zahl
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Berechnung der A(n)
A(1) = 1,A(n+1) = A(n)+2n+1, n natürl. Zahl
A(1) = 1A(2) = A(1)+2+1 = 4A(3) = A(2)+2*2+1 = 4+4+1 = 9A(4) = A(3)+2*3+1 = 9+6+1 = 16
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Was Sie längst wussten:
A(n) = n2
Hintergrund:
(n+1)2 = n2+2n+1A(n+1) = A(n)+2n+1
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Die berühmteste Definition
Leonardo von Pisa,genannt Fibonacci1170 – 1250
FulminanterMathematiker
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Fibonacci Zahlen
F(1) = 1F(2) = 1F(n+1) = F(n) + F(n-1), n = 2,3,4,..
Lösung des „Kanickelvermehrungsproblems“
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Fibonacci-Zahlen
F(1) = 1F(2) = 1F(3) = 2F(4) = 3F(5) = 5F(6) = 8F(7) =13, F(10) = 55, F(20) = 6765
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Eine Formel für F(n)
n n
n1 5 1 5 1F(n)= ( 1)
2 25
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Ergänzungen
Verallgemeinerung: Lucas-Folgen
Lektüre:Fibonacci QuarterlyRibenboim: My Numbers my Friends
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Von den natürlichen zu den ganzen Zahlen
Bedarf:
Man kann in N nicht beliebig subtrahieren:
13 – 10 geht,13 – 20 geht nicht.
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Eigenschaften von Z
• Z = …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….
• Wichtig: – Z ist abzählbar,– Z ist linear geordnet,– Die Ordnung verträglich mit +, •,– Z ist ein Ring.
• Die Mathematik von Z: Zahlentheorie
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Konstruktion von Z aus N
Die Idee:
(3,5), (12,14),..,(n,n+2) steht für -2
Genauer:-2 = {(n,n+2)| n natürliche Zahl}
42
Für ExpertInnen
Man definiert in NxN:
(a,b)~(c,d) bedeutet: a+d=c+b.
Dies ist eine Äquivalenzrelation, die Äquivalenzklassen bilden Z.
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Q: Die rationalen Zahlen
Bedarf:
Man kann in Z nicht beliebigdividieren.
-12/3 geht, -12/13 geht nicht.
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Definition von Q
p{ | p, q , q 0}
q
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Eigenschaften von Q
• Wichtig: – Q ist abzählbar.– Q ist linear geordnet.– Die Ordnung verträglich mit +, •.– Q ist ein „Körper“.– Q liegt dicht auf der Zahlengeraden.
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Die Dichte von Q
47
Die Dichte von Q:
1 2 11a = , b = , m =
3 5 30
p r a+b ps + rqa= , b= , m = =
q s 2 2qs
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Konstruktion von Q aus Z
Die Idee:
(2,3), (4,6),..,(2z,3z) steht für 2/3
Genauer: 2/3 = {(2z,3z)| z ganze Zahl, nicht 0}
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Für ExpertInnen
Man definiert in Zx(Z\{0}):
(a,b)~(c,d) bedeutet: ad=cb.
Dies ist eine Äquivalenzrelation, die Äquivalenzklassen bilden Q.
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Die rationale Welt des Pythagoras
569– 475 v.Chr.
Mathematiker, Philosoph,Zahlenmystiker.
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Es gibt Zahlen, die keine Brüche sind
2 ist kein Bruch;
ist p Primzahl, so
ist p kein Bruch
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Indirekte Beweise
Um zu beweisen, dass eine Behauptung stimmt, zeigt man, dass ihr Gegenteil falsch ist.
Dies können nur Nichtbayern verstehen!
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Der Hintergrund: Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten
• Eine Behauptung ist entweder wahr oder falsch.
• Ist das Gegenteil einer Behauptung falsch, muss sie wahr sein.
• Doppelte Verneinung ist das Ursprüngliche.
• Anders in Bayern! 2
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2 ist kein Bruch.
2
2
2 2 2
Indirekt: 2 sei Bruch, :
p2 = , p, q natürliche Zahlen.
q
p p 2 = 2 =
q q
2q = p , p ist gerade,
. p
tei
=
lerfr
2rp , ist r na
e
t
md
ürger liche Zahld :a e
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2 ist kein Bruch.
2 2 2
2 2 2 2
2
pIndirekt: 2 sei Bruch, : 2 =
q
2q = p , p ist gerade,
. p = 2r, r natürliche Zahl:
2q = 4r q = 2r
q ist ger
p ist gerade
q ist gerade.
Widerspruch: p und q
teilerfremd
nicht teile
ad
rf e
d
e
m . r
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2 lebt auf der Zahlengeraden!
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Reelle Zahlen: R
Bedarf:
Es gibt Zahlen, die keine Brüche sind:
p, p Primzahl,
e,
Fast alle Za
π, fast alle
hlen sind ke
L
in
ogarithm
e Brüc
en.
he.
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Eigenschaften von R
• Wichtig:– R ist Körper.– R ist linear geordnet.– Die Ordnung ist mit „+“ und „•“
verträglich.– R ist „vollständig“.– R ist nicht abzählbar.
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Konstruktion von R aus Q
Man muss die Löcher auf derZahlengeraden stopfen:„Vervollständigung“
Methoden: Cauchy-Folgen,Intervallschachtelungen,Dedekind-Schnitte.
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Cauchy (1789 – 1857)
Schuf die Grundlagender modernen Grenzwerttheorie, mit vielen Irrungenund Wirrungen.
„Cauchy-Folgen“
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Dedekind (1831 – 1916)
Brachte den Begriff„reelle Zahl“ zueinem vorläufigen Abschluss.
1887: Was sind und wassollen die Zahlen.
„Dedekind-Schnitte“
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Konstruktion von R
Edmund Landau, 1877 – 1938
AnalytischeZahlentheorie
„Grundlagen der Analysis“, 134 S.
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Hilberts Ideen
David Hilbert,1862 – 1943
Setzte dieaxiomatischeMethode durch.
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Axiome für R
• 11 Körperaxiome• 3 Anordnungsaxiome• Das archimedische Axiom• Das Vollständigkeitsaxiom
• R ist durch diese Axiome eindeutig (bis auf „Isomorphie“) festgelegt.
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Unser Stand
,
Erweiterungen mit Zusatznutzen,
ohne Verluste.
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R ist nicht perfekt:
2
2
x -1=0: Lösbar in
x +1=0: Nicht lösbar in
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Über R hinaus: C
• Die Entstehung der komplexen Zahlen: Wildwestmathematik
• Erste Konsolidierung: Euler• Geometrische Interpretation durch
Gauß und Riemann• Moderne Sicht
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Wenn Sie mehr wissen wollen
www.wickipedia.de: Da werden Sie geholfen.
Zur Geschichte der Mathematik:
The MacTutor History of Mathematics archive
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Danach
Im September die komplexen Zahlen, danach die bunten Bilder,
Ihr Herz wird erfreut sein.
Mathe in Tholey wird weiter gehen!
