1. Ukol - Reseni 2011

LS 2010/2011 Mikroekonomie I Domácí úkol 1 –Vzorové řešení

1

Skupina A

Příklad 1

a) ryze kvazikonvexní, neboť pro každou konvexní kombinaci bodů x1, x2 . k≠0,1 x1≠x2 (

) platí:

ryze kvazikonkávní, neboť pro každou konvexní kombinaci bodů x1, x2 . k≠0,1 x1≠x2

platí:

b) ryze kvazikonkávní,

neboť pro každou konvexní kombinaci bodů x1, x2 . k≠0,1 x1≠x2

platí:

ryze konkávní, neboť pro každá x1 x2 Є I, x1≠x2 a pro každou λ Є(0,1):

f(λ x1 + (1- λ)x2) > λf(x1) + (1- λ)f(x2)

c) ryze kvazikonvexní, neboť pro každou konvexní kombinaci bodů x1, x2 . k≠0,1 x1≠x2 (

) platí:

konkávní, neboť pro každá x1 x2 Є I, a pro každou λ Є<0,1>:

f(λ x1 + (1- λ)x2) ≥ λf(x1) + (1- λ)f(x2)

konvexní, neboť pro každá x1 x2 Є I, a pro každou λ Є<0,1>:

f(λ x1 + (1- λ)x2) ≤ λf(x1) + (1- λ)f(x2)

Příklad 2

a) kvazikonkávní

b) (ryze) kvazikonkávní i (ryze) kvazikonvexní

c) (ryze) kvazikonkávní

Příklad 3

Množina je neprázdná, není uzavřená, je omezená a je konvexní


2

Příklad 4

Původní rozpočtové omezení: 100 : 25

a) 125 : 25 b) 150 : 30 c) 120 : 30 -> 150 : 30

Příklad 5

x1 - Jídlo ve firemní kantýně, x2 - Jídlo mimo kantýnu (měřítka os jsou různá)

Rozpočtová čára / sklon subvencované nesubvencované

B1 -3 -6

B2 -2 -4

B3 -3 -4


3

Příklad 6

a)

Pro 5 x1 < 2 x2:

MRS12 = 0

MRS21 = +∞

------------------------

Pro 5 x1 > 2 x2:

MRS21 = 0

MRS12 = +∞

------------------------

b)

MRS12 = 5/3

MRS21 =3/5

c)

MRS12 = 4 x1/ x2

MRS21 = x2/ 4x1

Skupina B

Příklad 1

(a) Tato křivka je konvexní a zároveň

ryze kvazikonvexní ( ( ) max[ ( ), ( )]f x f a f b%

( ) min[ ( ), ( )]f x f a f b% f

(b) Tato křivka je ryze kvazikonvexní

(c) Tato křivka je ryze konkávní

( ) min[ ( ), ( )]f x f a f b% f

( ) max[ ( ), ( )]f x f a f b% p

Příklad 2

(a) Kvazikonvexní

(b) Kvazikonvexní

(c) Kvazikonvexní, kvazikonkávní

Příklad 3

Množina je neprázdná, není uzavřená, je omezená a je konv

LS 2010/2011 Mikroekonomie I Domácí úkol 1

a zároveň konkávní. Splňuje ( )f x f≤ %% a zároveň

( ) max[ ( ), ( )]f x f a f b% p ; (0,1)k ∈ ; a b≠ ) a ryze kvazikonkávní

( ) min[ ( ), ( )]f x f a f b ; (0,1)k ∈ ; a b≠ )

ryze kvazikonvexní ( ( ) max[ ( ), ( )]f x f a f b% p ; (0,1)k ∈ ;

ryze konkávní ( ( )f x f%% f ; (0,1)k ∈ ). Dále je ryze kvazikonkávní

( ) min[ ( ), ( )]f x f a f b ; (0,1)k ∈ ; a b≠ ) a ryze kvazikonvexní (

( ) max[ ( ), ( )]f x f a f b ; (0,1)k ∈ ; a b≠ )

Kvazikonvexní, kvazikonkávní

Množina je neprázdná, není uzavřená, je omezená a je konvexní


4

a zároveň ( )f x f≥ %% . Dále je

ryze kvazikonkávní (

(0,1) a b≠ )

ryze kvazikonkávní(


5

Příklad 4

Příklad 5

Příklad 6

a) { }1 2 1 2( , ) max 4 ,u x x x x=

Pro 4 x1 > x2:

MRS12 = 0

MRS21 = +∞

------------------------

Pro 4 x1 < x2:

MRS21 = 0

MRS12 = +∞

b)

1 2

3 31 2 1 2( , )u x x x x=

MRS21 = 1/2 * x2 / x1 ; MRS12 = 2 * x

c) 1 2 1 2( , ) 5u x x x x= +

MRS21 = 5 ; MRS12 = 1/5


= 2 * x1 / x2


6


7

Skupina C

Příklad 1

a) Konvexní na intervalu ��, protože ∀��, �� ∈ �� , ∀ ∈ 0,1 ��í �� + 1 − �� ≤

�� + 1 − ��

Ryze kvazikonvexní na intervalu ��, protože ∀��, �� ∈ �� , ∀ ∈ 0,1 ��í �� +

1 − �� < �� , ��

b) Konkávní na intervalu �� - ∀��, �� ∈ �� , ∀ ∈ 0,1 : �� + 1 − �� ≥ �� +

1 − ��

Konvexní na intervalu �� - ∀��, �� ∈ �� , ∀ ∈ 0,1 : �� + 1 − �� ≤ �� +

1 − ��

Kvazikonkávní - �� + 1 − �� ≥ �� , ��

Kvazikonvexní - �� + 1 − �� ≤ �� , ��

c) Ryze konvexní na intervalu �� - ∀��, �� ∈ �� , ∀ ∈ 0,1 : �� + 1 − �� < �� +

1 − ��

Ryze kvazikonvexní - �� + 1 − �� < �� , ��

Ryze kvazikonkávní - �� + 1 − �� > �� , ��

Příklad 2

a) Kvazikonvexní, kvazikonkávní

b) Ryze kvazikonvexní

c) Kvazikonkávní

Příklad 3

Řešením je vyšrafovaná modrá část včetně krajních bodů. Je neprázdná, uzavřená, omezená a není

ryze konvexní


8

Příklad 4

Příklad 5

V závislosti na pochopení zadání dvě alternativy řešení.

VARIANTA 1

Za předpokladu, že by v základní variantě dodávky plynu byly jednotkové ceny různé pro KAŽDOU

spotřebovanou kWh v závislosti na odebraném množství, dostali bychom nespojité rozpočtové

omezení.

a) (hnědá, fialová a modrá – pokračuje až do x1 = 12 000) a c) (zelená)

b) Rozpočtové omezení nezaručuje jednoznačné řešení, také nezaručuje globálnost maxima d) Spotřebitel by volil nové rozpočtové omezení (zelené), dokud by jeho spotřeba plynu byla

pod 2000, od vyšší spotřeby plynu by volil původní rozpočtové omeze


9

VARIANTA 2

Za předpokladu, že by v základní variantě dodávky plynu byly jednotkové ceny různé pro KAŽDOU

DALŠÍ spotřebovanou kWh (tedy snížená cena jednotek 1000 – 2000 kWh neovlivní cenu prvních

1000 kWh), rozpočtové omezení je spojité a zalomené.

a) zelené rozpočtové omezení (B1) a c) modré rozpočtové omezení (B2)

b) Nezaručuje jednoznačné řešení pro spojité, monotonní a ryze konvexní preference a

nezaručuje, že lokální maximum je též i globálním maximem.

d) Spotřebitel by se rozhodl pro původní rozpočtové omezení, pokud by spotřeboval více než

6000 kWh. Pokud spotřebuje méně než 6000 kWh, vybere si nové rozpočtové omezení

Příklad 6

a)

"#$�� =

&��, �� &��

&��, �� &��

=2��

��

, "#$�� =

&��, �� &��

&��, �� &��

=��

2��


10

b)

"#$�� =��

��

, "#$�� =��

��

c)

Pro X1>3X2 : "#$�� = 0; "#$�� = +∞ Pro X1<3X2 : "#$�� = +∞; "#$�� = 0


11

Skupina D

Příklad 1

a) Funkce není ani konvexní ani konkávní. Funkce je kvazikonvexní, protože pro všechny x1, x2 ∈ M a pro všechna k ∈ < 0,1 > platí:

f(k x1 + (1-k) x

2) ≤ max {f(x

1), f(x

2)}

b) Funkce je ryze konvexní, protože pro všechny x1, x2 ∈ M, x1≠ x2 a pro všechna k ∈ (0, 1) platí:

f (k x1 + (1-k) x

2) < k f(x

1) + (1-k) f(x

2)

Funkce je ryze kvazikonvexní, protože pro všechny x1, x2 ∈ M, x1≠ x2 a pro všechna k ∈ 0,1 platí: f(k x

1 + (1-k) x

2) < max {f(x

1), f(x

2)}

Funkce je ryze kvazikonkávní, protože pro všechny x1, x2 ∈ M, x1≠ x2 a pro všechna k ∈ 0,1 platí: f(k x

1 + (1-k) x

2) > min {f(x

1), f(x

2)}

c) Funkce je konvexní, protože pro všechny x1, x2 ∈ M a pro všechna k ∈ < 0,1 > platí: f (k x

1 + (1-k) x

2) ≤ k f(x

1) + (1-k) f(x

2)

Funkce je konkávní, protože pro všechny x1, x2 ∈ M a pro všechna k ∈ < 0,1 > platí: f (k x

1 + (1-k) x

2) ≥ k f(x

1) + (1-k) f(x

2)

Funkce je ryze kvazikonvexní, protože pro všechny x1, x2 ∈ M, x1≠ x2 a pro všechna k ∈ 0,1 platí:

f(k x1 + (1-k) x

2) < max {f(x

1), f(x

2)}

Funkce je ryze kvazikonkávní, protože pro všechny x1, x2 ∈ M, x1≠ x2 a pro všechna k ∈ 0,1 platí:

f(k x1 + (1-k) x

2) > min {f(x

1), f(x

2)}

Příklad 2

a) Kvazikonvexní, kvazikonkávní

b) (ryze) kvazikonvexní

c) (ryze) kvazikonvexní

Příklad 3

řípustná množina je neprázdná, uzavřená, omezená a není ryze konvexní

Příklad 4

a)

c)

Příklad 5

a) a c)


b)

d)


12


13

b) Přípustná množina není konvexní, pro dané preference lze najít indiferenční křivku, která se

dotýká rozpočtové linie ve dvou bodech, tzn. řešení nemusí být jednoznačné.

d) Pokud bude spotřebitel spotřebovávat méně než 4000 jednotek statku x1 , vybere si

rozpočtové omezení B2 a pokud bude spotřebovávat více než 4000 jednotek, vybere si

rozpočtové omezení B1.

Příklad 6

a)

MRS21=

)*

)+,)*

)+-

=.

�/-=

�

/-

MRS12=

)*

)+-)*

)+,

=�/-

.=

/-

�

b)

MRS21=

)*

)+,)*

)+-

=/-

/,

MRS12=

)*

)+-)*

)+,

=/,

/-

c)

Pro 7 x1 < 2 x2:

MRS12 = 0

MRS21 = +∞

------------------------

Pro 7 x1 > 2 x2:

MRS21 = 0

MRS12 = +∞

Documents

1. Ukol - Reseni 2011