1 Series de Tiempo Estacionarias

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  • Analisis de Series de Tiempo Univariadas y MetodologaBox - Jenkins para prediccion

    Series de Tiempo Estacionarias

    Juan Carlos Campuzano S.

    Escuela Superior Politecnica del Litoral

    Semestre I 2013

    J. Campuzano (E.S.P.O.L) Metodologa Box - Jenkins Semestre I 2013 1 / 30

  • Contenido

    Introduccion al analisis Series de Tiempo

    Proceso Estocastico

    Procesos Estacionarios

    Funcion de Autocorrelacion

    Ejemplos de procesos de series temporales

    Ruido Blanco NormalAR(1)Paseo aleatorio

    Operadores de Rezago

    Procesos Autoregresivos

    Media Movil

    Procesos ARMA

    Ejemplos

    J. Campuzano (E.S.P.O.L) Metodologa Box - Jenkins Semestre I 2013 2 / 30

  • Analisis Series de Tiempo

    Uno de los objetivos del analisis de las series de tiempo es la prediccion.

    1 De la teora a los datos.- Se establecen las ecuaciones de regresion enfuncion de lo que dice la teora economica. Supone que la relacion seva a mantener en el tiempo.

    2 De los datos a la teora.- No hay mejor forma de predecir una variableque en funcion del comportamiento de dicha variable en el pasado.Luego se trata de dar la interpretacion economica a estos resultados.

    J. Campuzano (E.S.P.O.L) Metodologa Box - Jenkins Semestre I 2013 3 / 30

  • La prediccion cientfica pretende alcanzar dos grandes objetivos:

    Proporcionar un valor probable o previsto de algunos resultados.

    Reducir la incertidumbre sobre el rango de valores que pueden resultarde un evento futuro

    La esencia de cualquier decision de riesgo es que no se puede conocer concerteza cual sera el resultado futuro de una decision que se tomara con lainformacion disponible en el presente. El riesgo es basicamente la falta deconocimiento sobre el futuro.

    J. Campuzano (E.S.P.O.L) Metodologa Box - Jenkins Semestre I 2013 4 / 30

  • Proceso Estocastico - Definicion

    Un proceso estocastico {yt}t= es una coleccion de variables aleatoriasindexadas por un conjunto t.

    La teora de procesos estocasticos nos da una vision formal de observar lasseries de tiempo de las variables economicas.

    J. Campuzano (E.S.P.O.L) Metodologa Box - Jenkins Semestre I 2013 5 / 30

  • Procesos Estocasticos

    J. Campuzano (E.S.P.O.L) Metodologa Box - Jenkins Semestre I 2013 6 / 30

  • Procesos Estacionarios

    El problema fundamental en el analisis de series de temporales es queunicamente se pueden observar las realizaciones del proceso solo unavez. De esta manera, si la distribucion de una determinada variablepermanece sin cambio, se dice que el proceso es estacionario.

    Por ahora el interes se centra en procesos estocasticos estacionarios,en particular sobre los estacionarios en covarianza.

    J. Campuzano (E.S.P.O.L) Metodologa Box - Jenkins Semestre I 2013 7 / 30

  • Proceso estrictamente estacionario

    Un proceso estocastico zi (i = 1, 2, ...) es (estrictamente) estacionario si,para cualquier valor r finito de enteros y para cualquier conjunto desubindices, i1, i2, i3, ..., ir , la distribucion conjunta de (zi , zi1 , zi2 ..., zir )depende solo de i1 i , i2 i , ..., ir i , pero no de i. Por ejemplo, ladistribucion conjunta de (z1, z5) es la misma de (z12, z16).

    Proceso estacionario en convarianza

    Un proceso zi es debilmente estacionario (o estacionario en covarianza) si:

    1 E (zi ) no depende de i, y

    2 cov(zi , zij) existe, es finito y depende solo de j pero no de i.

    J. Campuzano (E.S.P.O.L) Metodologa Box - Jenkins Semestre I 2013 8 / 30

  • Proceso Estacionario en Covarianza

    Sean los elementos de una serie de tiempo aquellos denotados por:

    {Yt} = y1, y2, ..., yt , ...y sean la media y la varianza de las observaciones en el momento taquellas dadas por:

    t = E [Yt ]

    2t = E [(Yt )2]Sea ademas la covarianza de Yt , Ys

    cov(Yt ,Ys) = E [(Yt t)(Ys s)] = t,sUna serie es estacionaria de segundo orden si:

    t =

    2t =

    t,s = tsJ. Campuzano (E.S.P.O.L) Metodologa Box - Jenkins Semestre I 2013 9 / 30

  • Autocorrelaciones

    En ocasiones se utilizan las correlaciones en lugar de las covarianzas. As,la autocorrelacion en el rezago , se define como:

    =t,t+0

    = 0 =E [(Xt)(Xt+)E [(Xt)(Xt)]

    Una grafica de contra se conoce como autocorrelograma ofuncion de autocorrelacion y usualmente es una buena gua paraanalizar las propiedades de las series.

    J. Campuzano (E.S.P.O.L) Metodologa Box - Jenkins Semestre I 2013 10 / 30

  • Ruido Blanco Normal (Gaussiano)

    Si los t son variables aleatorias independientes y normalmente distribuidascon media cero y varianza 2, entonces se dice que siguen un procesodenominado ruido blanco normal. Esto es:

    = E [t ]

    = 0

    Var(t) = 2

    0 = 1

    = E [tt+ ]

    = 0, si 6= 0

    J. Campuzano (E.S.P.O.L) Metodologa Box - Jenkins Semestre I 2013 11 / 30

  • Proceso AR(1)

    Sea t un ruido blanco. Entonces Xt sigue un proceso AR(1) si:

    Xt = Xt1 + t , || < 1Xt = t + (Xt2 + t1)

    = t + t1 + 2Xt2= t + t1 + 2(Xt3 + t2)= t + t1 + 2t2 + 3Xt3

    . . .

    = t + t1 + 2t2 + 3t3 + ...

    =0

    iti

    E [Xt ] = 0

    J. Campuzano (E.S.P.O.L) Metodologa Box - Jenkins Semestre I 2013 12 / 30

  • Proceso AR(1)

    Las autocovarianzas estan dadas por:

    k = E [XtXt+k ]

    = E

    [ 0

    iti

    ][ 0

    it+ki

    ]

    =0

    ik+i2

    = . . .

    = 2k

    1 2

    y las autocorrelaciones por:

    k =k0

    = k , k = 0, 1, ...

    J. Campuzano (E.S.P.O.L) Metodologa Box - Jenkins Semestre I 2013 13 / 30

  • Paseo Aleatorio

    Consideremos un proceso AR(1) con = 1. Ademas mantengamos elsupuesto de que t es ruido blanco. Xt es un paseo aletorio si:

    Xt = Xt1 + t

    Es estacionario el proceso?Sea el valor en t = 0, X0 = 0. Por sustitucion:

    Xt = t + t1 + ...+ 1 + X0

    De esta manera:

    E [Xt ] = X0

    Var [Xt ] = t2

    El proceso NO es estacionario.

    J. Campuzano (E.S.P.O.L) Metodologa Box - Jenkins Semestre I 2013 14 / 30

  • Operadores de Rezago

    Sean X1, ...,Xt una serie de tiempo, se define el operador de rezago Lcomo:

    LXt = Xt1L2Xt = Xt2LpXt = Xtp

    Sea ahora el polinomio de rezagos aquel expresado como:

    (L) = 1 1L 2L2 ... pLp

    un proceso AR(p) se define como:

    Xt = 1Xt1 + 2Xt2 + ...+ pXtp + t

    Donde t es un ruido blanco. En terminos de operadores de rezago sepuede expresar como:

    J. Campuzano (E.S.P.O.L) Metodologa Box - Jenkins Semestre I 2013 15 / 30

  • Xt = 1LXt + 2L2Xt + ...+ pL

    pXt + t(1 1L 2L2 ... pLp)Xt = t

    (L)Xt = t

    Los operadores de rezago son manipulados usando las reglas ordinarias delalgebra. Dhrymes(1976).

    J. Campuzano (E.S.P.O.L) Metodologa Box - Jenkins Semestre I 2013 16 / 30

  • Procesos Autoregresivos

    Proceso AR(2)Sea el proceso AR(2) aquel definido como:

    Xt = 1Xt1 + 2Xt2 + t

    En terminos de los operadores de rezago se puede expresar como:

    (1 1L 2L2)Xt = t

    Se puede escribir el proceso como:

    Xt = (L)t

    = (1 + 1L + 2L2 + ...)t

    donde

    (1 1L 2L2)1 (1 + 1L + 2L2 + ...)

    J. Campuzano (E.S.P.O.L) Metodologa Box - Jenkins Semestre I 2013 17 / 30

  • Recordemos que el proceso AR(1) era estacionario si || < 1. Quecondiciones se deberan imponer en un proceso AR(2) para que este seaestacionario?

    Sean g1 y g2 las races de:

    (1 1L 2L2) = 0La ecuacion se puede escribir como:

    (1 g1L)(1 g2L) = 0El proceso es estacionario si |g1| < 1 y |g2| < 1. Las races pueden serreales o complejas. Estas restricciones imponen las siguientes condicionessobre 1 y 2:

    1 + 2 < 1

    1 + 2 < 1|2| < 1

    J. Campuzano (E.S.P.O.L) Metodologa Box - Jenkins Semestre I 2013 18 / 30

  • La funcion de autocorrelacion (ACF) de un proceso AR(2) estacionario sepuede obtener de la siguiente manera: multiplique el proceso

    Xt = 1Xt1 + 2Xt2 + t

    por Xtk y tome las expectativas, esto es:

    Xt 1Xt1 2Xt2 = tE [XtXtk ] 1E [Xt1Xtk ] 2E [Xt2Xtk ] = E [Xtkt ]

    k 1k1 2k2 = E [Xtkt ]

    E [Xt2Xtk ] = {2 , k = 0

    0, k = 1, 2, ...

    0 11 22 = 2 = 0 11 22k 1k1 2k2 = 0, k = 1, 2, ...

    J. Campuzano (E.S.P.O.L) Metodologa Box - Jenkins Semestre I 2013 19 / 30

  • En terminos de las autocorrelaciones, se tiene:

    k 1k1 2k2 = 0 , k=1,2,...Dadas las condiciones iniciales (0 = 1, 1 = 1) se puede resolver elproblema por sustitucion directa:Para k=1

    1 10 21 = 00 = 1

    1 = 1

    1 =1

    1 2

    J. Campuzano (E.S.P.O.L) Metodologa Box - Jenkins Semestre I 2013 20 / 30

  • Para k=2

    2 11 20 = 02 = 11 + 20

    =21

    1 2 + 2

    de la misma manera se pueden obtener los otros valores para k=3,4,...

    J. Campuzano (E.S.P.O.L) Metodologa Box - Jenkins Semestre I 2013 21 / 30

  • Varianza de un proceso AR(2)Sea k = 0

    0 11 22 = 20(1 11 22) = 2

    0

    (1

    21

    1 2 212

    1 2 22

    )= 2

    0

    (1 2 21 212 22(1 2)

    1 2

    )= 2

    0((1 + 2)(1 2 22) 2(1 + 2) 21(1 + 2)

    )= (1 2)2

    0(1 22 + 22 21

    )=

    1 21 + 2

    2

    0 =1 21 + 2

    2(1 2 1)(1 2 + 1)

    que es independiente de t.

    J. Campuzano (E.S.P.O.L) Metodologa Box - Jenkins Semestre I 2013 22 / 30

  • Proceso AR(p)

    Un proceso AR(p) se define como aquel proceso estocastico que sigue lasiguiente expresion:

    xt 1xt1 2xt2 ... pxtp = tde manera equivalente

    (1 1L 2L2 ... pLp)xt = to

    (L)xt = t

    Para un proceso AR(p)las condiciones de estacionariedad se debenplantear como sigue:

    (L) = (1 g1L)(1 g2L)...(1 gpL)las condiciones de esta