1

PODSTAWY WYMIANY CIEPŁA

1. Podstawowe pojęcia w wymianie ciepła

Sposoby transportu ciepła:

przewodzenie

konwekcja

- swobodna

- wymuszona

promieniowanie

Transport ciepła w ciałach stałych odbywa się na drodze prze-

wodzenia. Z przewodzeniem ciepła mamy do czynienia, gdy

makroskopowe części ośrodka nie przemieszczają się wzglę-

dem siebie. Podczas przewodzenia cząstki materii o większej

energii przekazują swoją energię cząstkom materii o mniejszej

energii w wyniku ich wzajemnego oddziaływania. Konwekcja

jest transportem ciepła spowodowanym przemieszczaniem się i

mieszaniem się płynu. Gdy ruch płynu spowodowany jest róż-

nicą temperatur w płynie, mamy do czynienia z konwekcją

swobodną. W przypadku konwekcji wymuszonej przemiesz-

czanie płynu wywołane jest przez pompę lub sprężarkę. Trans-

port ciepła pomiędzy płynem (cieczą i gazem) a ścianką jest

nazywany wnikaniem lub przejmowaniem ciepła. Wnikanie

łączy transport ciepła na drodze konwekcji z transportem ciepła

na drodze przewodzenia. Dominującym sposobem transportu

ciepła w płynach może być przewodzenie. Promieniowanie

ciepła polega na transporcie energii w postaci promieniowania

elektromagnetycznego o określonej długości fal.

Pole temperatury

- niestacjonarne (temperatura zależy od położenia elementu

ciała oraz czasu)

tzyxfT ,,, (1.1)

- stacjonarne (temperatura w danym punkcie ciała nie zależy

od czasu)

2

zyxfT ,, (1.2a)

0

t

T (1.2b)

Zagadnienie wymiany ciepła może być:

- jednowymiarowe (temperatura zmienia się tylko względem

jednej współrzędnej),

- dwuwymiarowe (temperatura zmienia się tylko względem

dwóch współrzędnych),

- trójwymiarowe (temperatura zmienia się względem wszyst-

kich współrzędnych).

2. Przewodzenie ciepła

2.1. Prawo Fouriera

Prawo Fouriera wiąże gęstość strumienia przewodzonego cie-

pła w określonym punkcie ciała z gradientem temperatury w

tym punkcie

2grad

m

WTT q (2.1)

gdzie

Km

W jest współczynnikiem przewodzenia ciepła

(przewodnością cieplną), którego wartość zależy od rodzaju

ciała, a także od temperatury. Dla kartezjańskiego układu

współrzędnych prostokątnych

kjiz

T

y

T

x

TTT

grad (2.2)

W prostokątnym układzie współrzędnych wektor q ma trzy

współrzędne

x

Tqx

(2.3a)

y

Tq y

(2.3b)

3

z

Tqz

(2.3c)

Rys. 2-1. Zakresy wartości współczynników przewodzenia

ciepła.

2.2. Stacjonarne przewodzenie ciepła przez ściankę płaską przy

const

Równanie różniczkowe opisujące ten przypadek przewodzenia

(prawo Fouriera)

dx

dTq (2.4)

Równanie (2.4) rozwiązujemy metodą rozdzielenia zmiennych

4

dTqdx (2.5)

Dla przypadku stacjonarnego przez ściankę płaską gęstość

strumienia ciepła q jest stała. Równanie (2.5) całkujemy stro-

nami

2

1

2

1

x

x

T

T

w

w

dTqdx (2.6)

1212 ww TTxxq (2.7)

21 ww TTq

(2.8)

gdzie 12 xx jest grubością ścianki przewodzącej ciepło.

Dla ścianki o powierzchni A

21 ww TTA

AqQ

(2.9)

21 ww TTA

Q

(2.10)

2.2. Stacjonarne przewodzenie ciepła przez ściankę płaską wie-

lowarstwową

5

Do obliczenia strumienia ciepła przewodzonego przez ściankę

wielowarstwową można użyć wzoru (2.9) pod warunkiem, że

współczynnik przewodzenia ciepła zostanie zastąpiony tzw.

zastępczym współczynnikiem przewodzenia ciepła

n

i i

i

n

i

i

z

1

1

(2.11)

gdzie:

i – numer warstwy

n – liczba warstw

δi – grubość warstwy o numerze i

λi – współczynnik przewodzenia ciepła dla warstwy o numerze

i

2.3. Stacjonarne przewodzenie przez ściankę cylindryczną przy

const

6

2/ mWdr

dTq (2.12)

gdzie w przypadku ścianki cylindrycznej q zależy od promienia

r

rl

Q

A

Qq

2 (2.13)

natomiast constQ .

Podstawiamy prawą stronę równania (2.13) zamiast q w rów-

naniu (2.12)

Wdr

dTrlQ 2 (2.14)

W równaniu (2.14) rozdzielamy zmienne i całkujemy równanie

stronami

2

1

2

1

2

r

r

T

T

w

w

dTlr

drQ (2.15)

121

2 2ln ww TTlr

rQ (2.16)

21

1

221

1

2 ln

2

ln

2wwww TT

d

d

lTT

r

r

lQ

(2.17)

7

Strumień ciepła odniesiony do jednostki długości rury

mWTT

d

dl

Qq wwl /

ln

221

1

2

(2.18)

Dla ścianki wielowarstwowej

11

1

1ln

2

nn

zl TT

d

dl

Qq

(2.19)

gdzie:

n

i i

i

i

n

z

d

d

d

d

1

1

1

1

ln1

ln

(2.20)

i – numer warstwy

n – liczba warstw

di – średnica warstwy o numerze i (pierwsza warstwa, o naj-

mniejszej średnicy, ma nr 1)

λi – współczynnik przewodzenia ciepła dla warstwy o numerze

i

3. Wnikanie (przejmowanie) ciepła

Wnikaniem ciepła nazywamy wymianę ciepła pomiędzy ścian-

ką i omywającym ją płynem. Ciepło w płynie jest transporto-

wane na drodze konwekcji i przewodzenia.

8

Równanie Newtona

fw TTAQ (3.1)

Km

W2

– współczynnik wnikania (przejmowania) ciepła

zależy od:

- prędkości płynu: w,

- od kształtu, wielkości, rodzaju i temperatury powierzchni

wymiany ciepła: φ, l1, l2, ..., Tw,

- od parametrów termofizycznych płynu: Tf, p, ρ, c, λ, υ.

,,,,,,,,,,, 21 llcpTTwf wf (3.2)

Przykład

Dla wymuszonego przepływu burzliwego cieczy lub gazu w

kanale na drodze doświadczalnej określono zależność

nmC PrReNu (3.3)

gdzie typowe wartości m oraz n wynoszą: 4,0;8,0 nm .

Liczba Nusselta (bezwymiarowa)

hdNu (3.4)

Liczba Reynoldsa (bezwymiarowa)

9

hwd

Re (3.5)

gdzie sm /2 jest współczynnikiem lepkości kinematycznej.

Liczba Prandtla (bezwymiarowa)

a

Pr (3.6)

Z równania (3.4) wyznacza się współczynnik wnikania ciepła

hd

Nu [W/(m

2K] (3.7)

Współczynnik wyrównania temperatury a jest definiowany

następująco

smc

ap

/2

(3.8)

4. Przenikanie ciepła

Przenikaniem ciepła nazywamy transport ciepła od płynu o

wyższej temperaturze do płynu o niższej temperaturze przez

przegrodę.

10

221 W/mff TTkq (4.1)

gdzie

Km

W2

k jest współczynnikiem przenikania ciepła

Dla ścianki o powierzchni A

AqQ (4.2)

4.1. Przenikanie ciepła przez ściankę płaską o grubości

Wnikanie ciepła do ścianki

111 wf TTq (4.3)

Przewodzenie ciepła przez ściankę

21 ww TTq

(4.4)

Przejmowanie ciepła przez płyn

222 fw TTq (4.5)

Z (4.3)

111

qTT wf (4.6)

Z (4.4)

11

qTT ww 21 (4.7)

Z (4.5)

222

qTT fw (4.8)

Równania (4.6)-(4.8) sumujemy stronami

2121

11

qTT ff (4.9)

21

21

11

1ff TTq

(4.10)

Z porównania (4.10) z (4.1) otrzymujemy

21

111

k (4.11)

4.2. Przenikanie ciepła przez ściankę cylindryczną

221

2

11

21

1ln

2

11

dd

d

d

TTlQ

ff

(4.12)

mWTTkl

Qq ffll /21 (4.13)

gdzie

mK

Wkl jest liniowym współczynnikiem przenikania

ciepła

221

2

11

1ln

2

111

dd

d

dkl (4.14)

5. Obliczanie wymienników ciepła

12

Pojemność cieplna czynnika pcmW . Czynnik cieplejszy ma

indeks 1.

Bilans energetyczny wymiennika ciepła

'2"222

"1

'111 TTcmTTcmQ pp (5.1a)

13

'2"22

"1

'11 TTWTTWQ (5.1b)

Równanie wymiany ciepła

srTkAQ 0 (5.2)

Średnia różnica temperatur

0

0 210

A

dAATATT

A

sr

(5.3)

Średnia różnica temperatur dla wymienników współprądowych

i przeciwprądowych

"

'ln

"'

T

T

TTTsr

(5.4)

Gdzie dla współprądu

'2

'1' TTT (5.5a)

"2

"1" TTT (5.5b)

- dla przeciwprądu

"2

'1' TTT (5.5c)

'2

"1" TTT (5.5d)

Dla określonych temperatur wlotowych i wylotowych średnia

różnica temperatur jest największa przy przepływie przeciw-

prądowym, a najmniejsza dla przepływu współprądowego.

Średnia różnica temperatur dla wymienników o przepływie

krzyżowo prądowym i mieszanym (Tsrm) leży w przedziale

pomiędzy średnią dla współprądu (Tsrwp) i przeciwprądu

(Tsrpp)

srwpsrmsrpp TTT (5.6)

Średnią różnicę temperatur dla wymienników o przepływie

krzyżowym i mieszanym można wyznaczyć wykorzystując

poprawkę εΔT

14

Tsrppsrm TT (5.7)

gdzie

01 T (5.8)

RPfT , (5.9)

max

2'2

'1

'2

"2

T

T

TT

TTP

(5.10a)

2

1'2

"2

"1

'1

T

T

TT

TTR

(5.10b)

Korzystając z wykresów poprawek εΔT należy zwrócić uwagę

na to, dla jakiego przypadku są te poprawki, tzn. którym kana-

łem (w rurkach, na zewnątrz rurek) płynie czynnik gorący (1), a

którym czynnik zimny (2). W pewnych przypadkach może to

być bez znaczenia.

Każdy typ wymiennika ma swój wykres poprawek

RPfT , .