34
1 Tema 1 Obiectul fizicii. Legătura fizicii cu celelalte ştiinţe şi cu tehnica. Dezvoltarea fizicii în România. Mărimi fizice şi unităţi de măsură. Analiză dimensională 1.1 Introducere Cuvântul fizică este de origine greacă (physis=natură). Denumirea a fost dată de Aristotel, semnificând faptul că fizica este o ştiinţă a naturii. Deşi era o personalitate proeminentă a lumii antice, totuşi în domeniul fizicii toate ideile sale s-au dovedit a fi greşite, exceptând denumirea dată ştiinţei respective. Obiectul fizicii îl constituie studierea structurii materiei, a proprietăţilor ei generale şi a formelor sale de mişcare (mecanică, termică, cuantică, nucleară etc.), a transformărilor reciproce ale acestor forme de mişcare. Dezvoltarea ştiinţelor şi a tehnicii nu poate fi concepută astăzi fără dezvoltarea şi aprofundarea cunoştinţelor la disciplina fizică, precum şi la celelalte discipline fundamentale ca matematica, chimia, biologia. Astfel, unele legi descoperite iniţial la chimie au precedat formularea unor legi ale fizicii. Ca un exemplu, legile proporţiilor simple sau multiple au condus la ideea discontinuităţii materiei, inspirându-l pe Avogadro să formuleze legea volumelor la fizica moleculară. Pot fi date mai multe exemple în care dezvoltarea uneia dintre ştiinţele fundamentale a influenţat dezvoltarea celorlalte: apariţia calculului diferenţial şi integral la matematică, teoria relativităţii sau teoria cuantelor la fizică, biofotonica etc. În ţara noastră fizica s-a bucurat dintotdeauna de o atenţie deosebită, unii fizicieni români aducând contribuţii importante la dezvoltarea acestei discipline, atât pe plan naţional cât şi internaţional. Cei mai importanţi dintre aceştia sunt: Dragomir Hurmuzescu (1865-1954) a efectuat cercetări în domeniul electricităţii şi fizicii radiaţiilor Roëntgen, a construit electroscopul care îi poartă numele, a măsurat constanta electrodinamică. Ştefan Procopiu (1890-1972), fizician de renume mondial s-a ocupat, pe lângă activitatea didactică, şi de cercetarea ştiinţifică. A st abilit printr-un raţionament ingenios, pentru prima dată în lume, valoarea momentului magnetic molecular sau magnetonul teoretic, în anul 1912, când era încă student. Nu i s-a acordat Premiul Nobel pentru această descoperire dintr -o neglijenţă a comisiei. În anul 1921 a descoperit fenomenul depolarizării luminii de către suspensii şi coloizi (fenomenul Procopiu), iar în 1930 a descoperit efectul Procopiu, care constă în efectul circular al discontinuităţilor magnetice. A fost desemnat de două ori în comisia pentru nominalizări la premiul Nobel. Ion Agârbiceanu (1907-1971) a fost profesor la Institutul Politehnic Bucureşti, având cercetări în domeniul fizicii atomice şi spectroscopiei. În anul 1962 a fost construit sub conducerea sa, la Institutul de Fizică Atomică din Bucureşti-Măgurele, primul laser cu gaz din ţară şi unul dintre primele din lume.

1 Obiectul Fizicii - Final

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 1 Obiectul Fizicii - Final

1

Tema 1

Obiectul fizicii. Legătura fizicii cu celelalte ştiinţe şi cu

tehnica. Dezvoltarea fizicii în România. Mărimi fizice şi

unităţi de măsură. Analiză dimensională

1.1 Introducere Cuvântul fizică este de origine greacă (physis=natură). Denumirea a fost

dată de Aristotel, semnificând faptul că fizica este o ştiinţă a naturii. Deşi era o

personalitate proeminentă a lumii antice, totuşi în domeniul fizicii toate ideile

sale s-au dovedit a fi greşite, exceptând denumirea dată ştiinţei respective.

Obiectul fizicii îl constituie studierea structurii materiei, a proprietăţilor ei

generale şi a formelor sale de mişcare (mecanică, termică, cuantică, nucleară

etc.), a transformărilor reciproce ale acestor forme de mişcare.

Dezvoltarea ştiinţelor şi a tehnicii nu poate fi concepută astăzi fără

dezvoltarea şi aprofundarea cunoştinţelor la disciplina fizică, precum şi la

celelalte discipline fundamentale ca matematica, chimia, biologia. Astfel, unele

legi descoperite iniţial la chimie au precedat formularea unor legi ale fizicii. Ca

un exemplu, legile proporţiilor simple sau multiple au condus la ideea

discontinuităţii materiei, inspirându-l pe Avogadro să formuleze legea

volumelor la fizica moleculară. Pot fi date mai multe exemple în care

dezvoltarea uneia dintre ştiinţele fundamentale a influenţat dezvoltarea celorlalte:

apariţia calculului diferenţial şi integral la matematică, teoria relativităţii sau

teoria cuantelor la fizică, biofotonica etc.

În ţara noastră fizica s-a bucurat dintotdeauna de o atenţie deosebită, unii

fizicieni români aducând contribuţii importante la dezvoltarea acestei discipline,

atât pe plan naţional cât şi internaţional. Cei mai importanţi dintre aceştia sunt:

Dragomir Hurmuzescu (1865-1954) a efectuat cercetări în domeniul

electricităţii şi fizicii radiaţiilor Roëntgen, a construit electroscopul care îi

poartă numele, a măsurat constanta electrodinamică.

Ştefan Procopiu (1890-1972), fizician de renume mondial s-a ocupat, pe

lângă activitatea didactică, şi de cercetarea ştiinţifică. A stabilit printr-un

raţionament ingenios, pentru prima dată în lume, valoarea momentului magnetic

molecular sau magnetonul teoretic, în anul 1912, când era încă student. Nu i s-a

acordat Premiul Nobel pentru această descoperire dintr-o neglijenţă a comisiei.

În anul 1921 a descoperit fenomenul depolarizării luminii de către suspensii şi

coloizi (fenomenul Procopiu), iar în 1930 a descoperit efectul Procopiu, care

constă în efectul circular al discontinuităţilor magnetice. A fost desemnat de

două ori în comisia pentru nominalizări la premiul Nobel.

Ion Agârbiceanu (1907-1971) a fost profesor la Institutul Politehnic

Bucureşti, având cercetări în domeniul fizicii atomice şi spectroscopiei. În anul

1962 a fost construit sub conducerea sa, la Institutul de Fizică Atomică din

Bucureşti-Măgurele, primul laser cu gaz din ţară şi unul dintre primele din lume.

Page 2: 1 Obiectul Fizicii - Final

2

Horia Hulubei (1896-1972) a fost profesor la Universitatea Bucureşti,

bucurându-se de aprecierea marilor savanţi ai vremii. S-a remarcat prin lucrări în

domeniul spectroscopiei optice, de raze X şi , şi în domeniul fizicii nucleare.

Eugen Bădărău (1887-1975) a fost profesor la Universitatea Bucureşti şi

academician. A avut lucrări importante în domeniile opticii, spectroscopiei şi

acusticii, A iniţiat cecetări asupra descărcărilor electrice în gaze şi plasmei în

România, a explicat mecanismul descărcărilor luminiscente în arc.

1.2 Metode de cercetare în fizică Fizica a devenit o ştiinţă de sine stătătoare în perioada de după Renaşterea

italiană, când metoda experimentală de studiu promovată de Galileo Galilei a

relevat aspectele profunde ale unor fenomene din natură. Galilei a fost primul

care a ţinut să verifice experimental legi şi postulate considerate valabile apriori,

ca de exemplu căderea liberă a corpurilor. Prin utilizarea planului înclinat,

Galilei reducea acceleraţia de cădere, mărind astfel timpul de măsurare a

distanţelor. De atunci se spune că „ştiinţa a coborât din Cer pe Pământ pe planul

înclinat al lui Galilei”.

În secolele XVII-XVIII s-a realizat prima împărţire a fizicii pe ramuri,

cristalizându-se în sec XIX ramurile clasice: mecanica, termodinamica,

electricitatea şi optica. În această perioadă începe să fie utilizată şi metoda

teoretică de studiu, bazată pe metodele matematicii clasice. Teoriile fizicii s-au

dezvoltat în două direcţii:

- fenomenologică, care porneşte de la proprietăţile macroscopice ale

corpurilor;

- microscopică, care porneşte de la structura internă a corpurilor.

Teoriile sunt considerate concludente dacă prin aplicarea fiecăreia dintre cele

două metode se obţin rezultate identice în studierea unui fenomen.

În sec. IX-XX au apărut ramurile moderne ale fizicii: fizica particulelor

elementare, fizica atomului, solidului, plasmei, mecanica cuantică etc.

Teoriile fizicii moderne pornesc de la ipoteze asupra structurii intime a

corpurilor, care prin interpretări matematice devansează realizările practice

bazate pe teoriile respective. Intervalul de timp de la o descoperire la aplicaţia

practică bazată pe aceasta a scăzut constant o dată cu trecerea timpului. Astfel,

de la descoperirea fisiunii nucleare în anul 1934 până la construirea primului

reactor nuclear au trecut 8 ani, iar de la formularea teoriei tranzistorilor până la

realizarea lor au trecut numai 3 ani (1951). În prezent, în ţările dezvoltate acest

interval de timp a scăzut până la ordinul zilelor, datorită progresului tehnologic

şi concurenţei acerbe pe piaţa produselor de înaltă tehnologie.

Înainte de perioada comunismului, în ţara noastră fizica s-a dezvoltat

datorită unor personalităţi ştiinţifice recunoscute de comunitatea internaţională,

care au studiat în străinătate, fiind în contact cu cercurile ştiinţifice ale vremii.

Cu toate acestea, nu exista o bază de mase, deoarece numai cei din familiile

înstărite îşi puteau permite studii în străinătate. În perioada comunismului s-a

Page 3: 1 Obiectul Fizicii - Final

3

creat această bază, creându-se condiţiile pentru dezvoltarea pe orizontală a

acestei ştiinţe, însă fără criterii clare de departajare a valorilor. Aceasta

înseamnă că puterea de decizie nu aparţinea de obicei persoanelor cele mai

competente din punct de vedere ştiinţific, ci se acorda după alte criterii. Cu toate

acestea, s-au creat unele condiţii pentru dezvoltarea ştiinţei şi promovarea

cercetării fundamentale, însă gestionarea relaţiei cu cercetarea aplicativă şi

producţia de bunuri a fost de asemenea deficitară.

În învăţământul superior au fost create primele facultăţi de fizică

prevăzute cu secţii de specialitate în aproape toate domeniile fizicii, precum şi

institute de cercetare (I.C.F.I.Z. în Bucureşti, Institutul de Izotopi Stabili în Cluj,

Institutul de Reactori Nucleari din Piteşti etc.). Printre domeniile de cercetare-

dezvoltate s-au numărat următoarele:

- energetica nucleară, cu aplicaţii industriale cum ar fi centrala nucleară de

la Cernavodă;

- aplicaţiile laserilor în industrie (geodezie, prelucrarea materialelor,

aliniere, energetica nucleară), biologie (biofotonica), medicină (terapie şi

chirurgie cu laser, imagistică medicală), informatică (optical computing),

tehnica militară (telemetrie laser, sisteme de pază şi alarmare, ghidarea

proiectilelor în fascicul laser, aparatură de vedere pe timp de noapte) etc.

- fizica materialelor, cu scopul de a crea materiale noi şi performante

pentru industria electronică, energetică, aeronautică etc.

- optica neliniară, fizica semiconductoarelor ş.a.

În special în cursul istoriei recente se pot da numeroase exemple privind

rolul ştiinţei (şi al fizicii în special) în influenţarea relaţiilor internaţionale,

geopolitice, a geografiei, istoriei, a strategiei militare etc. prin impactul pe care

l-a avut folosirea unor descoperiri ştiinţifice. Astfel, al doilea război mondial se

putea prelungi cu câţiva ani datorită rezistenţei puternice opuse de trupele

japoneze trupelor aliate în Pacific. Aruncarea a două bombe atomice asupra

teritoriului japonez a convins guvernul japonez să capituleze. În războiul din

Vietnam s-au testat pentru prima dată telemetrele cu laser, care asigurau o

precizie de lovire de 15 cm la o distanţă de 10 km, fapt care s-a dovedit în final

insuficient, pentru că SUA au suferit în final o înfrângere umilitoare. În războiul

din insulele Malvine (Falkland) dintre Marea Britanie şi Argentina trupele

britanice au utilizat în premieră aparatură de vedere pe timp de noapte, ceea ce

le-a permis să obţină capitularea adversarului datorită superiorităţii tehnice, deşi

acesta era mult superior numeric şi lupta pe teren propriu.

Din cele discutate se poate desprinde ideea că fizica este o ştiinţă

experimentală, rezultatele obţinute în procesul de măsurare având un rol

fundamental în enunţarea ideilor şi a legilor fizicii. Pentru formularea cantitativă

a acestor legi se folosesc noţiuni şi procedee matematice corespunzătoare. În

acest sens enumerăm câteva idei ale unor savanţi despre rolul măsurării în fizică.

William Thompson (lord Kelvin): ”Când putem măsura mărimea despre

care vorbim şi o putem exprima printr-un număr, atunci noi ştim ceva despre ea;

Page 4: 1 Obiectul Fizicii - Final

4

dar când nu o putem exprima printr-un număr, cunoaşterea noastră este slabă şi

nesatisfăcătoare”.

D. I. Mendeleev: ”Ştiinţa începe atunci când încep măsurătorile”.

Max Planck, reluând o idee a lui Galilei, îndemna pe fizicieni să măsoare

tot ce este măsurabil şi să facă măsurabil tot ceea ce nu este încă măsurabil.

1.3 Mărimi fizice şi unităţi de măsură În urma observaţiilor şi a experimentelor asupra diferitelor sisteme de

corpuri, s-a constatat că acestea prezintă unele proprietăţi comune cum ar fi:

inerţia, masa, volumul, culoarea, forma etc. Astfel, multitudinea informaţiilor

obţinute despre sistemele fizice în procesele de observare directă sau măsurare

prin intermediul diferitelor instrumente de măsură, pot fi grupate în mai multe

clase de echivalenţă disjuncte. Fiecărei clase i se asociază o proprietate fizică a

corpurilor sau sistemelor de corpuri materiale. Proprietăţile fizice ale diferitelor

sisteme de corpuri materiale, care pe lângă operaţia de echivalenţă

corespunzătoare admit şi o operaţie de ordonare a elementelor componente, se

numesc mărimi fizice.

Operaţia sau procedeul de ordonare prezintă următoarele proprietăţi:

- asimetria: Dacă elementul x este mai mic în raport cu operaţia considerată

decât elementul y , atunci elementul y nu poate fi mai mic decât x în raport cu

altă operaţie de ordonare:

x y y x ;

- tranzitivitatea: Dacă în raport cu operaţia de ordonare adoptată sunt valabile

inegalităţile

( x y şi y z ),

atunci aceasta implică şi inegalitatea:

x z .

1.4 Simboluri Pentru exprimarea cât mai simplă a legilor şi teoremelor fizicii cu ajutorul

formulelor, se folosesc diferite simboluri pentru mărimile respective. De

asemenea, pentru exprimarea cât mai simplă a rezultatelor unei măsurători se

aleg simboluri pentru unităţile mărimilor respective şi pentru valorile mărimilor

faţă de acele unităţi. Simbolul mărimii fizice se va scrie ca produsul simbolic

dintre valoare şi unitatea de măsură. Este necesar întotdeauna să se specifice

într-o formulă fizică sensul simbolurilor folosite, adică acela pentru valoare,

mărime, sau unitate. Dacă simbolul folosit reprezintă o valoare, se va specifica

şi sistemul de unităţi. O categorie aparte de simboluri o reprezintă anumite

Page 5: 1 Obiectul Fizicii - Final

5

operaţii matematice care se efectuează asupra unor mărimi fizice, ca de exemplu

operaţii aritmetice, vectoriale, operaţii de diferenţiere şi integrare etc.

1.5 Măsurarea unei mărimi fizice Fizica studiază fenomenele din natură cu ajutorul mărimilor. Mărimile

reprezintă acele proprietăţi fizice ale corpurilor materiale care sunt măsurabile.

Prin măsurare mărimea respectivă se compară cu o anumită mărime de aceeaşi

natură, stabilindu-se raportul între acea mărime şi mărimea cu care se compară.

Din punct de vedere al măsurabilităţii există două grupuri de mărimi: direct

măsurabile şi indirect măsurabile.

Mărimile direct măsurabile (mărimile fizice propriu zise) sunt acele

mărimi pentru care se pot defini operaţiile de egalitate şi adunare, care la rândul

lor permit efectuarea raportului a două mărimi de aceeaşi natură, prin urmare şi

stabilirea procedeului de măsurare. Alegând pentru astfel de mărimi mărimea

unitate, se pot măsura direct celelalte mărimi prin procedeul stabilit. Exemplele

cuprind majoritatea mărimilor folosite în fizică: lungimea, masa, energia,

unghiul, greutatea etc.

Mărimile indirect măsurabile sunt acelea pentru care se poate defini

numai operaţia de egalitate, întrucât adunarea nu are sens fizic. Exemple:

temperatura, potenţialul electrostatic, altitudinea, densitatea etc. Formarea

raportului a două mărimi de aceeaşi natură nefiind posibil, aceste mărimi pot fi

făcute totuşi măsurabile indirect. Pentru aceasta se alege un corp cu proprietăţi

potrivite pentru punerea în evidenţă a mărimii fizice de măsurat şi un reper

convenţional, observând poziţia corpului respectiv faţă de reperul dat (de

exemplu la măsurarea temperaturii se urmăreşte meniscul alcoolului din tubul

capilar al unui termometru).

Definirea egalităţii şi adunării permit trecerea la definiţia raportului a

două mărimi de aceeaşi natură. De exemplu, raportul a două lungimi AB şi

A B este egal, prin definiţie, cu de câte ori trebuie pusă la cap lungimea A B

pentru a reproduce o lungime egală cu AB , obţinându-se un număr pentru

raportul AB A B . Dacă acest număr nu este întreg, se împarte lungimea A B

într-un număr din ce în ce mai mic de părţi egale până când se poate obţine din

aceste fracţiuni, prin punerea lor una în continuarea alteia, o lungime egală cu

AB . Pentru a trece de la noţiunea de raport la noţiunea de măsurare este

suficient să alegem printre mărimile de aceeaşi natură (notate generic cu A ) o

anumită mărime unitate, notată cu A . Raportul dintre mărimea fizică A şi

unitatea A se numeşte valoarea mărimii A , notată cu simbolul A :

A

AA

Alegând ca unitate o altă mărime 1A de aceeaşi natură, valoarea mărimii A va

fi:

Page 6: 1 Obiectul Fizicii - Final

6

1

1

AA

A .

În consecinţă, putem defini măsurarea ca fiind compararea mărimii de măsurat

cu o anumită mărime unitate (raportul dintre valoarea mărimii de măsurat şi

unitatea aleasă).

Un criteriu de clasificare pentru mărimile fizice poate fi caracterul pe care

îl prezintă acestea faţă de simetria fenomenelor. După acest criteriu se pot

menţiona mărimile scalare (masa, densitatea, energia etc.), vectorii (forţa, viteza

etc.), tensorii de ordinul doi (momentul cuplului de forţe, inducţia magnetică

etc.) şi pseudoscalarii (volumul, fluxul inducţiei electrice etc.).

Anumite proprietăţi fizice cum ar fi forma, electronegativitatea, distribuţia

spaţială, nu sunt măsurabile. Deşi admit o operaţie de echivalenţă, ele nu se pot

ordona în cadrul clasei de echivalenţă din care fac parte. Culoarea a fost multă

vreme considerată o proprietate şi nu o mărime fizică, însă o dată cu asocierea

unei valori a mărimii lungime de undă pentru fiecare culoare, în cadrul teoriei

electromagnetice a luminii, culoarea a devenit o mărime fizică.

Proprietăţile fizice ale căror elemente fizice admit o operaţie de ordonare,

care caracterizează stările posibile ale unui corp sau ale unui sistem de corpuri

limitat în timp şi spaţiu, reprezintă parametri fizici ai sistemului respectiv (de

exemplu, presiunea şi temperatura unui gaz aflat în diferite condiţii). Mărimile

fizice se referă la proprietăţile fizice ale tuturor corpurilor sau sistemelor de

corpuri din natură, corespunzătoare claselor de echivalenţă respective (masă,

lungime, presiune etc.).

Prin măsurare se atribuie valori individuale (numere), conform unor

reguli stabilite, parametrilor sau mărimilor fizice care caracterizează stările

posibile ale sistemelor studiate. O anumită valoare a unui parametru fizic, în

condiţii date, reprezintă o cantitate fizică sau un element component al

parametrului fizic considerat.

Orice mărime fizică este caracterizată printr-o latură calitativă şi o latură

cantitativă. Mărimile care exprimă aceeaşi proprietate calitativă, dar se

deosebesc prin latura cantitativă, se numesc mărimi de aceeaşi natură. Mărimile

de aceeaşi natură pot fi mai mari sau mai mici, mai intense sau mai slabe, ceea

ce constituie latura cantitativă a mărimii fizice respective. De exemplu, forţa

caracterizează interacţiunea dintre două sau mai multe corpuri şi este calitativ

diferită de acceleraţie, care caracterizează modul de variaţie a vitezei în timp.

Valoarea unui parametru fizic depinde nu numai de unitatea de măsură în

care se exprimă numărul respectiv, ci şi de calitatea procedeului de măsurare.

Ştiinţa care se ocupă de mijloacele şi procedeele de măsură pentru mărimile

fizice, de unităţile lor de măsură şi de totalitatea normelor privitoare la folosirea

măsurilor, a mijloacelor şi metodelor de măsură pentru toate mărimile fizice, se

numeşte metrologie (de la metros=măsurare şi logos=a vorbi, a număra, ceea ce

se traduce prin ştiinţa măsurărilor), constituind o ramură importantă a fizicii.

Page 7: 1 Obiectul Fizicii - Final

7

Perfecţionarea tehnicilor de măsurare şi elaborarea de noi procedee de măsură,

pe baza acumulării de noi cunoştinţe în fizică şi a dezvoltării tehnicii, determină

ca această ştiinţă să fie deschisă. Astfel în zilele noastre este posibilă măsurarea

unor mărimi fizice care cu zeci de ani în urmă erau considerate nemăsurabile (în

domeniul fizicii atomice şi nucleare, particulelor elementare, spectroscopiei etc.).

Alegerea unităţii de măsură nu este impusă de nici o lege a fizicii, ci

numai de considerente de ordin practic (exactitate, reproductibilitate, arie mare

de acoperire, comoditate în folosire). De asemenea, alegerea unei unităţi de

măsură pentru o mărime fizică conduce la stabilirea unităţilor de măsură pentru

alte mărimi fizice. De exemplu, unitatea de măsură a vitezei depinde de unităţile

de măsură pentru spaţiu şi timp. Se impune rezervarea unui număr minim de

mărimi fizice independente între ele, numite mărimi fundamentale, astfel ca

unităţile de măsură pentru toate celelalte mărimi fizice să depindă numai de

acestea. Unităţile de măsură stabilite pentru mărimile fizice fundamentale se

numesc unităţi fundamentale.

Mărimile fizice ale căror unităţi se exprimă prin combinaţii ale unităţilor

fundamentale se numesc mărimi derivate, iar unităţile lor se numesc unităţi

derivate. Împărţirea mărimilor fizice în cele două categorii este de mare

importanţă practică, deoarece permite reducerea numărului de unităţi pentru care

trebuie confecţionate măsuri standardizate. Acestea reproduc o unitate de

mărime şi se numesc etaloanele mărimii respective.

1.6 Relaţii între mărimi Cele mai generale relaţii între mărimi sunt legile. Acestea se descoperă pe

cale experimentală (legea lui Coulomb de la electrostatică, legea lui Newton la

mecanică, legea lui Faraday a inducţiei electromagnetice) sau pe cale pur

teoretică (legea-ecuaţia lui Schrodinger la mecanica cuantică, ecuaţiile lui

Lagrange la mecanica analitică etc.). Principiile sau postulatele se enunţă

pornind de la constatarea că toate consecinţele ce decurg din acestea sunt

verificate experimental; aşadar, lucrurile se întâmplă conform postulatelor, chiar

dacă nu se ştie exact de ce se desfăşoară în acest mod. Dacă la un moment dat

teoria se va completa pe baza unor noi ipoteze rezultate din experimente, este

posibil ca unele postulate să fie demonstrate, şi astfel să devină teoreme sau legi.

Există şi legi cu caracter mai limitat, denumite legi de material, în care

intervin mărimi caracteristice diferitelor materiale, ca de exemplu legile frecării,

legea difuziei la mecanică, legea lui Hooke la elasticitate, legea polarizaţiei

electrice de la electricitate. În cazul legii lui Hooke modulul de elasticitate poate

depinde de diferiţi parametri (presiune, temperatură etc.), furnizând pentru

materialele cunoscute un număr mare de legi de material.

Teoremele reprezintă relaţii între mărimi care se stabilesc pe cale

deductivă din legile de material, folosind metode matematice, ca de exemplu

operatori diferenţiali, calculul algebric, calculul integral, De exemplu, teorema

lui Coulomb de la electrostatică se poate deduce din legea fluxului electric a lui

Page 8: 1 Obiectul Fizicii - Final

8

Gauss. Tendinţa este ca în timp, prin găsirea unor legi mai generale cu ajutorul

fizicii teoretice, numărul legilor să scadă, astfel că unele dintre acestea să devină

teoreme. De exemplu, legea gazelor ideale a devenit o teoremă de când ea a fost

dedusă în fizica statistică plecând de la legile mecanicii, cu utilizarea calculului

probabilităţilor de la fizica statistică. De asemenea, legile lui Kirchoff au devenit

teoremele lui Kirchoff de când au fost deduse din legile de conservare pentru

energie şi sarcina electrică. Este de asemenea de remarcat că în cadrul unui

capitol al fizicii, chiar dacă numărul de legi generale rămâne constant, sistemul

de legi generale se poate schimba. Astfel, la electrostatică legea generală a lui

Coulomb poate fi înlocuită de legea lui Gauss, deoarece aceasta este mai

generală decât fosta lege a lui Coulomb, care astfel devine teoremă.

Relaţiile de definiţie determină unele mărimi fizice. De exemplu, se

defineşte densitatea de energie ca raportul dintre energia W dintr-o zonă a

spaţiului şi volumul V în care aceasta este conţinută:

Ww

V

Avantajul utilizării simbolului (egal prin definiţie) este faptul că într-o singură

relaţie se poate scrie atât definiţia unei mărimi, cât şi legea care dă dependenţa

mărimii respective de alte mărimi fizice, ca de exemplu legea lui Gauss pentru

fluxul câmpului electric:

e

S

qE dS

Legile şi teoremele fizice se exprimă în general prin formule, însă există

şi legi ce se exprimă prin fraze: de exemplu legea a treia a dinamicii, sau prima

lege a frecării (forţa de frecare dintre două corpuri nu depinde de mărimea

suprafeţei de contact dintre acele corpuri).

1.7 Mărimi fundamentale şi mărimi derivate Unele mărimi ca timpul sau spaţiul

nu pot fi definite în funcţie de alte

mărimi deja determinate, neexistând relaţii de definiţie pentru aceste două

mărimi. Acest fapt se reflectă asupra faptului că numărul de relaţii principale

dintre mărimile fizice este mai mic decât numărul mărimilor fizice. Aşadar,

pentru a determina toate mărimile cunoscute este nevoie să alegem un număr

anume de mărimi fundamentale, iar celelalte mărimi pe care le numim derivate

să fie definite toate în funcţie de mărimile fundamentale.

Mărimile fundamentale se definesc în mod direct, prin indicarea

procedeului de măsurare şi stabilirea unităţii de măsură. Cu toate acestea,

procedeul de măsurare a unei mărimi fundamentale nu este complet arbitrar, el

Problema referitoare la faptul dacă spaţiul este sau nu mărime fundamentală este încă

controversată

Page 9: 1 Obiectul Fizicii - Final

9

trebuind să satisfacă condiţia generală ca raportul valorilor a două mărimi

fundamentale de aceeaşi natură să fie independent de unitatea de măsură folosită

(acest raport trebuie să rămână constant când se schimbă unitatea de măsură).

Definiţia lungimii ar fi mărimea care se măsoară punând cap la cap unitatea de

lungime astfel încât numărul de suprapuneri ale lungimii unitate peste lungimea

de măsurat să fie minim. Unitatea de lungime se alege în funcţie de o anumită

lungime care se găseşte în natură, sau o lungime construită de om in anumite

condiţii şi păstrată cu anumite precauţii.

Unităţile de măsură pentru mărimile fundamentale pot fi alese arbitrar,

independent unele faţă de altele. Pentru mărimile derivate însă unităţile nu pot fi

alese independent, ele depinzând de cele ale mărimilor fundamentale la fel cum

depinde mărimea derivată faţă de mărimile fundamentale. Din această relaţie de

dependenţă se obţine şi procedeul de măsurare.

Mărimile fundamentale din fizică se introduc într-o anumită ordine, prin

legi în care apar două mărimi noi faţă de celelalte mărimi determinate în alte

capitole ale fizicii. Primul capitol este considerat geometria, ale cărei postulate

sunt legi experimentale în fizică, şi în care este nevoie de o singură mărime

fundamentală, lungimea. Prima relaţie din cinematică, care defineşte viteza:

lv

t

introduce două mărimi noi, viteza şi timpul. Alegând timpul drept mărime

fundamentală putem determina viteza, astfel că în cinematică este nevoie de

două mărimi fundamentale: lungimea l şi timpul t .

În dinamică, pe lângă lungime şi timp mai este nevoie de o mărime

fundamentală, care poate fi masa m sau forţa ;F de regulă se alege masa.

În electricitate şi fotometrie sunt necesare patru mărimi fundamentale,

primele trei fiind l , t şi m , cea de-a patra fiind respectiv intensitatea curentului

electric i , respectiv intensitatea luminoasă I . În termodinamică şi căldură sunt

necesare cinci mărimi fundamentale: l , t şi m , a patra şi a cincea fiind

temperatura , respectiv cantitatea de substanţă n .

Numărul unităţilor fundamentale fiecare din capitol al fizicii este arbitrar,

acesta fiind mai mare sau mai mic în funcţie de numărul constantelor cu

dimensiuni (constante universale). De exemplu, dacă în electricitate s-ar scrie

relaţia dintre intensitatea curentului electric şi variaţia sarcinii electrice în timp

prin introducerea unei constante cu dimensiuni :

dqi

dt ,

atunci electromagnetismul ar avea nevoie de cinci mărimi fundamentale,

deoarece ar trebui aleasă, pe lângă mărimile fundamentale deja menţionate, şi

sarcina electrică (sistemul Gauss).

Page 10: 1 Obiectul Fizicii - Final

10

Numărul mărimilor fundamentale poate fi redus prin anumite relaţii de

legătură între lungime şi timp care conţin o constantă universală, ca de exemplu

l c t , unde c este viteza luminii în vid. Luând viteza luminii egală cu unitatea,

se poate determina timpul în funcţie de lungime şi astfel timpul devine o mărime

derivată, cu unitatea definită ca timpul în care lumina parcurge unitatea de

lungime în vid. În această situaţie mărimile dinamicii s-ar putea determina cu

ajutorul unei singure mărimi fundamentale, lungimea. Însă din punct de vedere

practic aceste sisteme cu un număr redus de mărimi fundamentale nu sunt utile.

Pe lângă noţiunile de mărime fundamentală şi derivată se mai utilizează,

atunci când relaţiile fizice sunt scrise sub o formă foarte generală, cu mai multe

constante fizice, termenii de mărime primitivă şi mărime secundară. Constantele

fizice fiind şi ele mărimi fizice, numărul mărimilor devine mult mai mare decât

numărul relaţiilor dintre ele, în consecinţă ar trebui ales un număr mai mare de

mărimi care se definesc direct. Aceste mărimi se mai numesc şi mărimi

primitive, şi se definesc în mod direct prin indicarea procedeului de măsură şi

stabilirea unităţii de măsură. Mărimile secundare se definesc cu ajutorul

mărimilor primitive. În final, o parte dintre mărimile primitive (în general cele

pentru care se pot realiza etaloane) se aleg drept mărimi fundamentale, celelalte

mărimi primitive şi mărimile secundare devenind mărimi derivate, care se

definesc numai în funcţie de mărimile fundamentale.

1.8 Calculul cu mărimi şi calculul cu valori Plecând de la relaţia ce defineşte mărimea fizică A drept produsul

simbolic între valoarea A şi unitatea de măsură A

A A A , (1.1)

putem efectua pentru deducerea teoremelor din fizică operaţii direct cu mărimi,

fie cu valorile acestora. Pentru a face deosebirea între calculul cu mărimi şi cel

cu valori, precizăm câteva reguli privind principalele operaţii utilizate.

Egalitatea se poate defini numai pentru mărimi de aceeaşi natură. De

exemplu, din cauza naturii lor diferite, densitatea relativă a unui mediu nu poate

fi egală cu permitivitatea sau cu permeabilitatea relativă, chiar dacă aceste

mărimi adimensionale ar avea aceeaşi valoare. Pentru fiecare tip de mărimi

stabilirea egalităţii cere cel puţin un procedeu particular. Într-un fel sunt egali

doi curenţi, în alt fel sunt egale două densităţi sau două lungimi.

Adunarea se defineşte de asemenea numai între două mărimi de aceeaşi

natură. Acestea pot fi adunate dacă în definiţia lor nu intervine o constantă

aditivă arbitrară (alegerea arbitrară a unei origini), aşa cum se întâmplă cu

temperatura faţă de o temperatură de origine, potenţialul electric faţă de Pământ

(considerat ca un conductor de potenţial nul) etc.. Nu are sens fizic adunarea

mărimilor de natură diferită, ca de exemplu energia cu momentul forţei, chiar

dacă acestea prezintă aceleşi dimensiuni.

Page 11: 1 Obiectul Fizicii - Final

11

Suma a două mărimi fizice de aceeaşi natură se defineşte prin relaţia:

A B A A B B (1.2)

Adunarea valorilor a două mărimi de aceeaşi natură are însă un caracter

mai restrictiv, astfel că se pot aduna numai valori care reprezintă rezultatul unor

măsurători făcute cu aceeaşi unitate. De exemplu, prin adunarea lungimilor

15ml şi

22cml obţinem lungimea l :

1 25m+2cm = 502cm = 5,02m.l l l

Folosind relaţia dintre unitatea de lungime şi submultiplii acesteia s-a obţinut

pentru lungimea sumă forma obişnuită, ca produs între valoare şi unitate:

1m=100cm

Adunând valorile celor două lungimi s-ar obţine 5 2 7, ceea ce nu are sens

fizic.

Dacă mărimile ce reprezintă cei doi termeni ai sumei sunt exprimate în

aceeaşi unitate de măsură, de exemplu A , atunci se poate da factor comun

această unitate în formula (1.2):

A B A A B A A B A . (1.3)

Dacă întâmplător valorile a două mărimi ce se adună sunt egale, această valoare

nu poate fi dată ca factor comun decât în cazul când mărimile sunt exprimate în

aceeaşi unitate de măsură.

Ridicarea la putere a unei mărimi se face la fel ca ridicarea la putere a

unui produs obişnuit, cu precizarea că puterea factorului simbolic unitate

constituie o unitate derivată. De exemplu, ridicând la puterea a treia o lungime

l x m , obţinem:

3 3 3ml x ,

unde metrul cub reprezintă o unitate derivată.

Înmulţirea mai multor mărimi reprezintă produsul acelor mărimi, după

regulile înmulţirii obişnuite în algebră. Factorul simbolic al produsului, care se

obţine prin înmulţirea factorilor simbolici ai fiecărei mărimi, reprezintă o unitate

derivată. Înmulţind de exemplu forţa 5NF cu distanţa 10ml , obţinem

lucrul mecanic (energia) W :

5N 10m 50N m=50J.W F l

Astfel, energia are valoarea de 50, iar factorul N m reprezintă o unitate derivată.

Atât mărimile cât şi unităţile vor fi tratate ca factori algebrici. Din exemplul de

mai sus se poate observa că o relaţie care exprimă produsul a două mărimi se

poate desface în cazul general într-o relaţie de valori şi o alta între unităţi:

W Fl , (1.4)

Page 12: 1 Obiectul Fizicii - Final

12

cu F F F , l l l , W W W , sau NF F , ml l , JW W .

Astfel, relaţia (1.4) se desface în relaţiile

W F l şi 1J=1N 1m.W F l (1.5)

Singurele dificultăţi la desfacerea unei relaţii între mărimi în două relaţii,

una între valori şi alta între unităţi, apar când relaţia dintre mărimi conţine un

coeficient numeric. De obicei acest coeficient numeric trece în relaţia dintre

valori, relaţia dintre unităţi rămânând fără coeficient numeric. În acest caz

unităţile formate sunt coerente, nefiind legate prin coeficienţi numerici. De

exemplu formula ariei unui cerc, care se scrie ca relaţie între mărimi:

2A r

se desface de obicei sub forma 2

A r şi 2

A r .

În unele cazuri însă se foloseşte coeficientul numeric în relaţia dintre unităţi:

2

A r ;2

A r ,

Astfel, noua unitate de arie va fi metrul circular:

2

c1m m ,

definit ca aria unui cerc a cărui rază este de un metru. Se poate observa uşor că

metrul circular este o mărime necoerentă.

1.9 Formule fizice. Coeficientul parazit Aşa cum s-a arătat, oricărei entităţi (mărimi) fizice X i se asociază o

valoare numerică X şi o unitate de măsură X , astfel că:

X X X ,

unde X este un număr adimensional fiind raportul a două mărimi de aceeaşi

natură. Dacă se măsoară mărimea X cu unităţi diferite, se obţin valori diferite:

1 2

1 2

; ,X X

X XX X

de unde

21

2 1

XX

X X (1.6)

Relaţia (1.6) constituie o teoremă fundamentală a unităţilor de măsură şi

stabileşte că raportul valorilor numerice ale unor entităţi fizice este egal cu

inversul raportului unităţilor de măsură.

Între o formulă fizică şi o formulă matematică există unele deosebiri.

Formulele fizice cuprind mărimi măsurabile pentru care trebuie indicate valorile,

Page 13: 1 Obiectul Fizicii - Final

13

cât şi unităţile de măsură, în timp ce în formulele matematice intră numai

simbolurile mărimilor respective. Să luăm drept un exemplu formula volumului,

care din punct de vedere matematic se scrie:

3V X (1.7)

Din punct de vedere fizic însă formula (1.7) trebuie scrisă astfel:

333

V V V

X X X

3

33 3 3XV V X X V X K X

V ,

unde

3X

KV

(1.8)

se numeşte coeficient parazit al formulei fizice, iar valoarea sa depinde de

unităţile de măsură ale mărimilor care intră în formula (1.7). De exemplu, dacă

3 31litru = 1dm 10 mV şi 1mX 3

3

110

10K

.

Dacă volumul se măsoară în 3m , 1K , şi se spune că s-a lucrat într-un

sistem coerent de unităţi de măsură. Eliminarea coeficientului parazit conduce

la o condiţionare a unităţilor de măsură pentru unităţile mărimilor derivate,

pentru care trebuie alese numai acele unităţi care rezultă din unităţile mărimilor

fundamentale. Când 1K (relaţia de condiţionare pentru unitatea de volum),

relaţia fizică se va scrie 3

V X şi coincide cu relaţia matematică 3V X .

Prezenţa coeficientului parazit în formulele fizice conduce la complicarea

formei acestora. Pentru eliminarea coeficientului parazit era nevoie de un sistem

coerent de unităţi de măsură, care să conţină un număr restrâns de unităţi

fundamentale, ca şi unităţi derivate care să rezulte din unităţile fundamentale.

1.10 Ecuaţii între mărimi şi ecuaţii între valori numerice În ştiinţă şi în tehnică se utilizează două tipuri de ecuaţii:

- ecuaţii între mărimi, în care mărimea fizică (produsul între valoarea numerică

şi unitate) este indicată printr-un simbol literal. Aceste ecuaţii au avantajul că

sunt independente de alegerea unităţilor de măsură;

- ecuaţii între valori numerice, unde valorile numerice ale mărimilor fizice

depind de alegerea unităţilor de măsură pentru mărimile corespunzătoare.

Să considerăm ecuaţia vitezei în mişcarea rectilinie şi uniformă:

lv

t

Dacă folosim drept unităţi de măsură metrul pentru lungime, secunda pentru

timp şi metrul pe secundă pentru viteză, obţinem ecuaţia între valorile numerice:

Page 14: 1 Obiectul Fizicii - Final

14

lv

t

Dacă însă folosim drept unităţi de măsură metrul pentru lungime, secunda pentru

timp şi kilometrul pe oră pentru viteză, ţinând cont că 31km=10 m şi 1h=3600s ,

atunci -3m 10 km 3600 km

1 =1 =3,6s 1h h

, şi obţinem ecuaţia între valorile numerice:

m

km/ h

s

3,6l

vt

Este evident că alegând alte unităţi de măsură vom obţine în loc de numărul 3,6

alt număr. Dacă nu se precizează unităţile de măsură într-o ecuaţie între valori

numerice, atunci ecuaţia nu poate fi utilizată sub această formă.

1.11 Dimensiunile mărimilor. Sisteme de dimensiuni S-a arătat că procedeul de măsurare a mărimilor fundamentale nu este

arbitrar, condiţia generală impusă fiind ca raportul valorilor a două mărimi

fundamentale de aceeaşi natură să fie independent de unitatea aleasă. Această

condiţie generală se impune şi la definiţia sau determinarea mărimilor derivate.

Pentru ca raportul dintre valorile a două mărimi derivate de aceeaşi natură să fie

independent de unitatea aleasă, relaţiile prin care se definesc sau se determină

mărimile derivate în funcţie de mărimile fundamentale nu sunt arbitrare.

S-a arătat de asemenea că raportul valorilor unei aceleaşi mărimi se modifică cu

schimbarea unităţilor, fiind egal cu inversul raportului dintre unităţi.

Problema esenţială este de a determina în ce condiţii se respectă cerinţa

principală si generală referitoare la independenţa de unităţile de măsură a

raportului dintre valorile a două mărimi de aceeaşi natură. În acest scop vom

considera două mărimi derivate de aceeaşi natură notate cu 1

A şi 2

A , măsurate

fiecare cu două unităţi de măsură, A şi A :

1 1 1

2 2 2

A A A A A

A A A A A

(1.9)

Vom stabili forma funcţiei prin care valoarea mărimii derivate depinde de

valorile mărimilor fundamentale (să presupunem lungimea, timpul şi masa în

demonstraţia ce urmează), astfel încât raportul valorilor celor două mărimi

1

2

A

A,

respectiv

1

2

A

A

, să fie independent de unitatea aleasă, adică să fie independent

de unităţile alese pentru măsurarea mărimilor fundamentale. În acest scop,

presupunem pentru funcţie o formă de tipul:

Page 15: 1 Obiectul Fizicii - Final

15

1, ,A f l t m , (1.10)

care indică expresia valorii 1A a mărimii derivate faţă de unitatea A în

funcţie de valorile ,l t şi m ale lungimii-tip, timpului-tip şi respectiv masei-tip

în anumite unităţi, şi funcţia:

1, ,A f k l k t k m , (1.11)

indicând expresia valorii 1A a mărimii derivate faţă de unitatea A în funcţie

de valorile ,l k l t k t şi m k m ale lungimii-tip, timpului-tip şi respectiv

masei-tip în unităţile al căror sistem conţine şi unitatea A .

Condiţia generală cere ca raportul valorilor mărimilor derivate 1

A şi 2

A

să nu depindă de unităţile alese, conform relaţiilor (1.9):

1 1

2 2

A A

A A

(1.12)

Ţinând cont de relaţiile (1.10) şi (1.11), relaţia (1.12) devine:

1 1

2 2

, , , ,

, , , ,

f l t m f k l k t k m

f l t m f k l k t k m

(1.13)

Egalitatea din expresia (1.13) este îndeplinită dacă funcţia din membrul al doilea

nu depinde de ,k k şi ,k ceea ce este posibil numai dacă funcţia f este de

forma produsului unor puteri:

, , p q rf l t m Cl t m , (1.14)

unde ,p q şi r sunt numere arbitrare întregi sau fracţionare care pot avea valori

pozitive, nule sau negative. Factorul C este o constantă care nu depinde de

unităţile mărimilor fundamentale. Produsele şi puterile pot reprezenta oricare

dintre produsele sau puterile definite în calculul cu aceste mărimi. Numai pentru

această formă a funcţiei f se poate simplifica produsul p q rk k k între

numărător şi numitor. În acest caz, raportul dintre valorile celor două mărimi

derivate 1

A şi 2

A nu depinde de unitatea aleasă de măsură pentru aceste mărimi.

Deoarece unitatea mărimii derivate depinde de unităţile mărimilor fundamentale,

rezultă că acest raport rămâne constant chiar dacă se schimbă independent

unităţile mărimilor fundamentale. Plecând de la aceste consideraţii se ajunge la

introducerea noţiunii de dimensiune.

Pornind de la formula (1.14) se poate scrie expresia raportului a două

valori ale mărimii A faţă de unităţile A şi B :

1

1

.

p q rp q r

p q r

A l t m l t m

A l t m l t m

Page 16: 1 Obiectul Fizicii - Final

16

Chiar în cazul schimbării unităţilor fundamentale, raportul

1

1

A

A a două valori

ale aceleaşi mărimi derivate este egal cu produsul rapoartelor

L, T, M,l t m

l t m

la puterile ,p q şi r :

1

1

L T Mp q rA

A

(1.15)

(valorile mărimilor fundamentale în cele două sisteme de unităţi din care fac

parte respectiv unităţile A şi A ). Produsul (1.15) se numeşte şi dimensiunea

(sau ecuaţia dimensională) mărimii derivate A , şi se notează simbolic

LTM

L T Mp q rA (1.16)

Relaţia (1.16) se poate citi astfel: Mărimea A are dimensiunea p în raport cu

lungimea, q în raport cu timpul şi r în raport cu masa. În cazul 0p q r :

0 0 0

LTML T M 1A

prin urmare mărimea respectivă este o mărime numerică, fără dimensiuni.

Nedepinzând de mărimile fundamentale, nici unitatea sa nu va depinde de

unităţile fundamentale. De obicei unitatea mărimilor fără dimensiuni se ia

numărul unitate. Ecuaţia dimensională pentru o mărime derivată presupune de

fapt cunoaşterea valorii coeficienţilor ,p q şi r , iar pentru a o obţine se

explicitează relaţia de definiţie până în membrul al doilea apar numai mărimi

fundamentale. De exemplu, puterea P se defineşte astfel:

2

2 3

W F l m a l m l l m lP

t t t t t t

,

iar ecuaţia dimensională este:

2 -3

LTML T M.P

Teoremele folosite pentru stabilirea dimensiunilor mărimilor derivate sunt

următoarele:

1. Dimensiunile unei mărimi D egală cu produsul a două mărimi A şi B sunt

egale cu produsul dimensiunilor celor două mărimi:

D A B A B

Dacă LTM

L T Mp q rA şi LTM

L T Mp q rB

, atunci LTM

L T Mp p q q r rD .

Page 17: 1 Obiectul Fizicii - Final

17

2. Dimensiunile unei mărimi D egală cu raportul mărimilor A şi B sunt egale

cu raportul dimensiunilor celor două mărimi:

AAD

B B

,

sau LTM

L T Mp p q q r rD

3. Dimensiunile unei mărimi D egală cu mărimea A ridicată la puterea n sunt

egale cu puterea a n -a a dimensiunilor mărimii A :

nnD A A ,

sau LTM

L T M .np nq nrD

Prima teoremă se demonstrează scriind fiecare mărime ca produsul între

valoare şi unitate, presupunând că fiecare mărime se măsoară cu două unităţi:

A A A A A

B B B B B

D D D D D

Relaţia care exprimă mărimea D A B se poate scrie sub două forme,

D A B sau D A B ; împărţind membru cu membru obţinem:

D A B

D A B

Ţinând cont de relaţia (1.15) şi de relaţia corespunzătoare pentru mărimea B :

L T Mp q rB

B

(1.17)

obţinem

L T Mp p q q r rD

D

,

adică relaţia

D A B

În acelaşi mod se demonstrează, fără dificultate, celelalte teoreme.

Importanţa ecuaţiilor de dimensiuni constă în următoarele:

- permit verificarea omogenităţii formulelor fizice;

- cu aceste ecuaţii se pot stabili ecuaţiile unităţilor;

- intervin în problemele de schimbare a unităţilor.

Page 18: 1 Obiectul Fizicii - Final

18

Un sistem de dimensiuni se caracterizează prin grupul mărimilor

fundamentale din care se pot determina univoc toate celelalte mărimi fizice.

Deşi sistemul de dimensiuni din fiecare capitol al fizicii este complet arbitrar în

privinţa naturii şi numărului mărimilor fundamentale, se pun două condiţii:

- formulele fizicii să fie scrise cu un număr cât mai mic de constante universale,

ceea ce ar conduce la un număr minim de mărimi fundamentale;

- să existe cât mai puţine posibil mărimi cu aceleaşi dimensiuni, fapt ce ar

conduce la un număr cât mai mare de mărimi fundamentale.

Pentru sistemul ales în prezent, deşi există mărimi cu aceeaşi dimensiuni,

numărul acestora este foarte mic. În mecanică de exemplu, dimensiunile

momentului forţei coincid cu ale energiei, şi ale viscozităţii cinematice cu ale

modulului de difuzie. În electricitate coincid dimensiunile fluxului inducţiei

electrice cu ale sarcinii electrice, şi ale inducţiei electrice cu ale densităţii

superficiale de sarcină electrică. Aceste egalităţi dimensionale ridică însă

problema dacă mărimile respective sunt sau nu de aceeaşi natură.

Două sisteme de dimensiuni pot diferi atât prin numărul mărimilor

fundamentale, cât şi prin natura acestora. Din punctul de vedere al naturii

mărimilor fundamentale, se aleg acele mărimi pentru care realizarea de etaloane,

în scopul concretizării unităţii fundamentale, este mai uşoară (de exemplu, se

preferă masa în locul forţei sau impulsului). Din punctul de vedere al

dimensiunilor se alege acel sistem de dimensiuni în care ecuaţiile de dimensiuni

au forma cea mai simplă (exponenţii mărimilor fundamentale din ecuaţia

dimensiunilor să fie cât mai mici, de exemplu egali cu 1 sau cel mult cu 2).

1.12 Mărimi de aceeaşi natură şi mărimi de natură diferită După cum s-a arătat, numărul mărimilor cu aceleaşi dimensiuni dintr-un

sistem de dimensiuni este cu atât mai mare cu cât numărul mărimilor

fundamentale este mai mic. Două mărimi cu aceleaşi dimensiuni într-un sistem

de dimensiuni pot avea dimensiuni diferite în alt sistem de dimensiuni. De

exemplu, în sistemul LTM modulul de difuzie şi viscozitatea cinematică au

aceleaşi dimensiuni 2 -1L T . În sistemul de dimensiuni LTF modulul de difuzie

are dimensiunile 2 -1L T , iar viscozitatea cinematică -2L TF . Întrucât în sisteme

diferite de dimensiuni există mărimi diferite care au aceleaşi dimensiuni, apare

firesc întrebarea dacă mărimile cu aceleaşi dimensiuni sunt în realitate de

aceeaşi natură, sau se poate întâmpla ca mărimi cu aceleaşi dimensiuni să fie de

natură diferită?

Aşa cum s-a arătat, în procesul măsurării comparăm o mărime cu o altă

mărime de aceeaşi natură numită unitate. Evident că toate mărimile de aceeaşi

natură se vor măsuara cu aceeaşi unitate şi în acelaşi mod, adică folosind acelaşi

procedeu de măsurare. Astfel, trebuie să adăugăm la condiţia ca două mărimi să

fie de aceeaşi natură şi pe aceea referitoare la măsurarea cu acelaşi procedeu.

Page 19: 1 Obiectul Fizicii - Final

19

Lucrul mecanic şi momentul unei forţe sunt un exemplu de mărimi cu

aceleaşi dimensiuni (în sistemele LTM şi LTF ), însă de natură diferită.

Procedeele de măsură fiind diferite, cele două mărimi se vor măsura cu unităţi

diferite. Un alt exemplu este cazul mărimilor fără dimensiuni (numerele pure,

unghiul plan, unghiul solid, panta, concentraţia procentuală, densitatea relativă

etc.). Aceste mărimi sunt de natură diferită, deoarece fiecare dintre ele are un

anumit procedeu de măsurare, iar aceste procedee sunt diferite când trecem de la

o mărime la alta. În consecinţă, unităţile pentru aceste mărimi vor fi diferite:

pentru numerele pure unitatea va fi cifra unu (simbol 1), pentru unghiul plan –

radianul, pentru unghiul solid – steradianul, pentru pantă – procentul ş.a.m.d.

O altă problemă importantă la stabilirea unităţilor de măsură este dacă din

relaţiile fizice se pot delimita sau nu mărimile de aceeaşi natură. Acest lucru este

important la stabilirea unităţilor, deoarece pentru două mărimi de aceeaşi natură

se foloseşte aceeaşi unitate de măsură. Mărimile de aceeaşi natură pot fi legate

prin anumite relaţii de egalitate, ca de exemplu teorema energiei cinetice:

2 2 2

2 1

1

2 2

mv mvF dr

Mărimile din această formulă (energia cinetică şi lucrul mecanic) au acelaşi

procedeu de măsurare, deci sunt de aceeaşi natură şi se măsoară cu aceeaşi

unitate de măsură. Însă între mărimi de natură diferită, deşi cu aceleaşi

dimensiuni (lucrul mecanic şi momentul forţei) nu există o relaţie de egalitate.

1.13 Omogenitatea relaţiilor fizice Relaţiile fizice din orice capitol al fizicii trebuie să fie valabile

independent de sistemul de unităţi adoptat. Aşadar, schimbarea unităţilor de

măsură nu trebuie să modifice egalitatea dintre cei doi membri ai unei relaţii.

Aceasta presupune ca toţi membri care intră într-o relaţie fizică să fie de aceeaşi

natură. În calculul dimensional acest fapt se rezumă la următoarea afirmaţie: o

anumită relaţie este omogenă dacă toţi termenii săi au aceleaşi dimensiuni (şi

deci aceeaşi natură). De exemplu, în teorema variaţiei impulsului:

2

2 1

1

mv mv F dt

se poate observa uşor că fiecare termen are dimensiunile -1LT M .

Derivata dy x

dx are aceleaşi dimensiuni cu raportul creşterilor finite

y

x

, după

cum şi integrala y x dx are aceleaşi dimensiuni cu produsul y x .

Dacă două mărimi sunt identice:

X Y ,

Page 20: 1 Obiectul Fizicii - Final

20

condiţia de omogenitate a formulelor fizice impune ca X şi Y să aibă aceleaşi

dimensiuni. Dacă 1 1 1 1 1 1 1L M T N I JX şi 2 2 2 2 2 2 2L M T N I JY , în

relaţia dimensională:

X Y

trebuie îndeplinite condiţiile:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2; ; ; ; ; ;

Numai în acest caz legile fizicii rămân invariante faţă de schimbarea unităţilor

de măsură ale mărimilor fizice fundamentale.

Ţinând seama de condiţia de omogenitate a formulelor fizice, se poate

verifica dacă o formulă fizică este corectă, sau se pot stabili anumite formule

fizice dacă ştim de cine depinde mărimea pentru care stabilim formula respectivă.

Exemplul 1

Să presupunem că formula perioadei P a unui pendul matematic ar fi:

2πg

Pl

Ecuaţia dimensională este în acest caz

1 2 1 2

P g l

Dimensiunile mărimilor care apar în formulă sunt:

-2

LTLTg ;

LTMLL ;

LTMTP .

Din relaţiile de mai sus obţinem:

1 1 1

-2 --12 2 2

LT= T = L T L = TP

ceea ce este imposibil, de unde rezultă că formula perioadei este incorectă.

Stabilirea formulei corecte se face prin analiză dimensională cunoscând că

perioada pendulului depinde de lungimea sa l şi de acceleraţia gravitaţională g :

α βP l g ,

Ecuaţia dimensională a perioadei va fi:

-2 -2

LTT L L T L TP ,

Din condiţia de omogenitate obţinem sistemul de ecuaţii şi soluţia acestuia:

2 1 1 1α , β

0 2 2

,

astfel formula fizică se va scrie, până la un factor adimensional:

Page 21: 1 Obiectul Fizicii - Final

21

lP

g

Valoarea factorului adimensional se stabileşte, în general, pe baza unor calcule

teoretice şi în cazul de faţă are valoarea 2π , astfel că formula riguroasă este

2πl

Pg

.

1.14 Constante fizice Constantele fizice sunt de două feluri:

- constante de material (tensiunea superficială, modulul lui Young, căldura

specifcă etc.)

- constante universale (viteza luminii în vid, constanta gazelor ideale, constanta

gravitaţională, constanta structurii fine, constanta lui Planck, anumite constante

numerice etc.).

Constantele universale sunt de două categorii: constante numerice sau

coeficienţi numerici (de exemplu 2 care apare în formula perioadei pendulului)

şi constante dimensionale, a căror valoare depinde de unităţile alese pentru

măsurarea mărimilor respective (constanta atracţiei universale 8 3 -2 1 11 3 -2 16,67 10 cm s g 6,67 10 m s kgK ). Trebuie precizat că dacă într-o

formulă se introduce valoarea unei constante universale cu dimensiuni, formula

nu mai poate fi interpretată ca o relaţie între mărimi, ci ca o relaţie între valori, şi

în acest caz trebuie indicate între paranteze unităţile folosite.

1.15 Dimensiunea unei mărimi fizice

Orice mărime fizică X se poate exprima în funcţie de alte mărimi

printr-o ecuaţie. Această expresie poate să conţină o sumă de termeni, fiecare

dintre aceşti termeni fiind exprimat prin produsul puterilor mărimilor

fundamentale , , ,.....A B C care aparţin unui set ales. Uneori acest produs este

multiplicat cu un factor numeric, având forma ......k A B C , unde ansamblul

exponenţilor , , ..... este acelaşi pentru fiecare termen. Dimensiunea mărimii

X va fi astfel exprimată prin produsul dimensiunilor

......X A B C

,

unde , , ...A B C reprezintă dimensiunile mărimilor fundamentale , , .....A B C ,

iar , , .... se numesc exponenţi dimensionali. O mărime cu exponenţii

dimensionali egali cu zero se numeşte mărime fără dimensiune, produsul său de

dimensiuni sau dimensiunea sa fiind 1, iar mărimea se exprimă printr-un număr.

Exemplul 2.

Page 22: 1 Obiectul Fizicii - Final

22

Exprimând dimensiunile mărimilor fundamentale lungime, masă, timp,

temperatură termodinamică, cantitate de substanţă, curent electric şi intensitate

luminoasă prin simbolurile indicate mai jos:

L, M, T, Θ, N, I, Jl m t n i I ,

se pot exprima dimensiunile oricărei mărimi fizice prin simbolurile respective şi

exponenţii dimensionali corespunzători unei anumite mărimi (tabelul 1).

Tabelul 1. Dimensiunile unor mărimi fizice

Mărimea Dimensiunea Mărimea Dimensiunea

Viteză -1LT Rezistenţa

electrică

2 -3 -2L T MI

Viteză unghiulară -1T Inductanţă 2 -2 -2L T MI Forţă -2LT M Permeabilitate -3 -2LT MI Energie 2 -2L T M Capacitate

electrică

-2 4 -1 2L T M I

Potenţial electric 2 -3 -1L T MI Densitate relativă 1

Permitivitate -3 4 -1 2L T M I Inducţie

magnetică

-2 -1T MI

Flux magnetic 2 -2 -1L T MI Capacitate

calorică

2 -2 -1L T M

Iluminare -2L J Căldură specifică 2 -2 -1L T

Constanta Faraday -1TN I Randament

energetic

1

1.16 Analiza dimensională a formulelor fizice După cum se ştie, Sistemul Internaţional cuprinde în prezent 7 unităţi

fundamentale şi două unităţi suplimentare. Într-un sistem coerent, unităţile

mărimilor derivate trebuie să se exprime numai prin unităţi fundamentale sau

suplimentare. Este clar că o unitate derivată se poate exprima şi prin mai puţin

de 7 unităţi fundamentale, de exemplu în mecanică, unde mărimile derivate se

pot exprima prin numai trei mărimi fundamentale: lungime, timp şi masă.

Referitor la legea a doua a dinamicii, forma matematică a acesteia este:

F ma

Relaţia dimensională se va scrie:

[ ] [ ] [ ]F m a ,

unde [ ] Mm şi -2L Ta , astfel că

-2M L TF .

Page 23: 1 Obiectul Fizicii - Final

23

F ma reprezintă legea fizică, iar [ ] [ ] [ ]F m a reprezintă relaţia

dimensională între mărimile fizice corespunzătoare.

După cum s-a arătat în secţiunea 1.9, dacă înlocuim mărimile din formula

fizică cu valorile acestor mărimi, forma formulei ce exprimă relaţia între mărimi

nu se schimbă (indiferent de unităţile de măsură folosite), numai dacă se admite

că unităţile de măsură pentru mărimile derivate se pot scrie în funcţie de

unităţile de măsură ale mărimilor fundamentale printr-o expresie de forma:

α β γ δ ε φL M T N I JX

.

Altfel spus, orice mărime X trebuie exprimată dimensional sub forma unui

monom algebric format din puteri ale simbolurilor mărimilor fundamentale,

exponentul fiecărei puteri fiind egal cu indicele puterii la care acea mărime

fundamentală intră în definiţia mărimii derivate ( α, β, γ … se mai numesc şi

dimensiunile mărimii derivate în raport cu mărimea fundamentală

corespunzătoare: , , ...L M T ). În exemplul 3 se arată cum se determină

dimensiunile pentru unele dintre aceste mărimi.

Exemplul 3.

Să deducem formula vitezei luminii în vid cunoscând că ea depinde de

permitivitatea electrică 0ε şi de permeabilitatea magnetică 0μ a vidului.

α β

0 0ε μc

Pentru a stabili dimensiunile mărimilor 0ε şi 0μ , se procedează astfel:

- din formula lucrului mecanic L efectuat asupra unei sarcini electrice q care

se deplasează sub diferenţa de potenţial U :

qUL ,

rezultă

-2

2 -3 -1

LTMI

MLT L=L T MI

IT

F lU

q i t

L,

de unde rezultă şi unitatea pentru tensiune, voltul, exprimat în unităţile celor 4

mărimi fundamentale folosite din sistemul SI:

2

3

1kg m1V=

s A

.

Din legea inducţiei magnetice

dU

dt

rezultă

Page 24: 1 Obiectul Fizicii - Final

24

2 -3 -1 2 -2 -1

LTMIML T I T=L T MIU t

Din relaţia de definiţie a fluxului vectorului inducţie a câmpului magnetic:

B S

rezultă

2 -2 -1

-2 -1

2LTMI

ML T I=T MI

LB

S

Din relaţia de definiţie a inducţiei câmpului magnetic în vid:

0μB H

rezultă

-2 -1

-2 -2

0 LTMI

MT I L=LT MI

I

B

H

Din formula de definiţie a capacităţii electrice C :

qC

U

rezultă

-2 4 -1 2

2 -3 -1LTMI

IT=L T M I

ML T I

qC

U .

Din formula capacităţii unui condensator (de exemplu condensatorul plan):

0ε SC

d

rezultă

-2 4 -1 2

-3 4 -1 2

0 2LTMI

LL T M I=L T M I

L

d C

S

Ecuaţia dimensională a vitezei luminii va fi:

-1 3 4 2 2 2 3 4 2 2 2

0 0LTMILT L T M I M T I L T M Ic L

.

Din condiţia de omogenitate obţinem sistemul de ecuaţii şi soluţia acestuia

3 1 1 1,

1 4 2 2 2

astfel formula fizică se va scrie, până la un factor adimensional:

Page 25: 1 Obiectul Fizicii - Final

25

1

20 0

0 0

1c

Se observă ca în această formulă factorul adimensional este egal cu unitatea.

Exemplul 4.

Să se adapteze relaţia care exprimă lungimea de undă asociată unei

particule elementare nerelativiste de masă m , sarcină q , accelerată la tensiunea

U , în funcţie de unităţile: nanometru ( nm ) pentru lungimea de undă; masa

electronului (e

m ) pentru masa m a particulei; sarcina electronului ( e ) pentru

sarcina q a particulei; voltul ( V ) pentru tensiunea de accelerare U .

2

h

mqU ,

unde 346,62 10 J sh reprezintă constanta lui Planck. Relaţia între valori

corespunzătoare sistemului SI este:

346,62 10

m2

kg C V

m q U

Transformând metrul în nm , kilogramul în mase electronice şi coulombul în

sarcini electronice din relaţiile cunoscute:

9 31 19

e1nm 10 m; m 9,1 10 kg; e 1,6 10 C.

obţinem:

e

1,22

nm

m e V

m q U

(1.18)

Din formula (1.18) rezultă că pentru un electron accelerat la o tensiune de 1V,

lungimea de undă asociată va avea valoarea 1,22 nm.

1.17 Unităţi fundamentale şi unităţi derivate Unităţile fundamentale se aleg pentru măsurarea mărimilor fundamentale,

independent unele faţă de altele, alegerea fiind convenţională.

Unităţile derivate sunt cele cu care se măsoară mărimile derivate. Aceste

unităţi nu sunt independente nici între ele, nici faţă de unităţile fundamentale.

Regulile după care se formează unităţile derivate stabilesc mai multe aspecte

care caracterizează o unitate derivată: ecuaţia unităţii, denumirea, definiţia şi

formula de transformare în alte unităţi.

Page 26: 1 Obiectul Fizicii - Final

26

Plecând de la relaţia de definiţie a mărimii derivate se stabilesc, în această

ordine:

a) ecuaţia dimensiunilor mărimii derivate din relaţia prin care se determină

această mărime;

b) ecuaţia unităţii, prin înlocuirea mărimilor fundamentale din ecuaţia

dimensiunilor cu unităţile fundamentale corespunzătoare. Pentru că în ecuaţia

dimensiunilor nu apar coeficienţi numerici, aceştia nu vor apare nici în ecuaţia

unităţii;

c) denumirea unităţii se face cu ajutorul ecuaţiei unităţii sau direct din relaţia de

definiţie;

d) definiţia, în care unitatea mărimii respective se obţine în cazul în care toate

celelalte mărimi vor fi egale fiecare cu unitatea corespunzătoare fiecăreia;

e) formula de transformare, care se obţine din ecuaţia unităţii înlocuind unităţile

fundamentale cu formulele lor de transformare.

Drept exemplu, să stabilim unitatea pentru energie din relaţia 212

W mv ,

care conţine coeficientul numeric 12

, având numele special Joule şi simbolul J.

a) 2 -2

LTML T M;W b) 2 -2m s kg;

SIW c) 2 -21m s kg=1J; d) 1JW dacă

2kgm şi 1mvs

. Definiţie: Joule-ul este energia cinetică a unui corp cu

masa de două kilograme, care se deplasează cu o viteză de un metru pe secundă.

e) 4 2 -2 3 5 2 -2 71J 10 cm 1s 10 g=10 cm s g=10 erg .

Unităţile derivate stabilite prin procedeul de mai sus se mai numesc coerente.

Coerenţa este dimensională, deoarece la baza definiţiei acestor unităţi stă ecuaţia

dimensiunilor mărimii. În consecinţă, indiferent de relaţiile care conţin mărimea

respectivă (în cazul de sus energia) se obţine aceeaşi ecuaţie a unităţii mărimii.

Două unităţi sunt identice numai dacă atât ecuaţia unităţii, cât şi definiţia sunt

aceleaşi. De exemplu, deşi au aceeaşi ecuaţie, unitatea pentru momentul forţei şi

pentru lucrul mecanic nu au aceeaşi definiţie. Deşi mărimile au aceleaşi

dimensiuni, ele sunt de natură diferită, în consecinţă unităţile celor două mărimi

au denumiri diferite: 1N m 1J. Diferenţierea procedeelor de măsurare atrage

după sine diferenţierea definiţiilor unităţilor.

1.18 Sisteme de unităţi Un sistem de unităţi trebuie să posede un grup de unităţi fundamentale.

Unui sistem de dimensiuni îi pot corespunde mai multe sisteme de unităţi, ca de

exemplu sistemului de dimensiuni LMT îi corespund sistemele de unităţi MKS

(metru-kilogram-secundă) şi CGS (centimetru-gram-secundă).

Pentru folosirea practică a sistemelor de unităţi este nevoie ca unităţile

fundamentale să fie concretizate şi păstrate în condiţii speciale, ceea ce se

realizează sub forma etaloanelor. Nu se realizează însă etaloane pentru unităţile

fundamentale ale tuturor sistemelor de unităţi. Unităţile fundamentale ale altor

Page 27: 1 Obiectul Fizicii - Final

27

sisteme de unităţi decât sistemul principal se definesc prin anumite relaţii în

funcţie de unităţile sistemului principal. Ca exemplu prezentăm cazul sistemului

,CGS unde centimetrul şi gramul diferă de metru şi kilogram. Nu se realizează

alt etalon pentru centimetru sau gram, ci se definesc în funcţie de metru şi

kilogram astfel:

-2 -31cm=10 m; 1g=10 kg; 1s=1s

Un sistem de unităţi trebuie să îndeplinească anumite condiţii:

- să fie practic, adică la măsurarea mărimilor uzuale să nu fie nevoie de valori

foarte mari sau foarte mici;

- să fie general, care să se aplice în toate capitolele fizicii;

- să fie coerent, în care unităţile derivate se formează după principiul coerenţei

dimensionale; între aceste unităţi nu există coeficienţi numerici;

- unităţile fundamentale să fie independente între ele din punct de vedere

dimensional. Din acest punct de vedere chiar şi Sistemul Internaţional are

neajunsuri, deoarece în definiţia amperului se foloseşte metrul şi kilogramul.

1.19 Etaloane şi măsuri În paragraful 1.15 s-a arătat că pentru folosirea unităţilor este nevoie de

concretizarea acestora, prin relaţiile de definiţie sau de determinare a mărimii,

conform unor operaţii precizate. Întrucât pentru mărimile fundamentale

concretizarea nu se poate obţine în acest mod, se folosesc aşa numitele etaloane.

Etaloanele trebuie să satisfacă o serie de cerinţe, printre care:

- să poată fi reconstituite in orice moment;

- să prezinte variaţii minime faţă de influenţa factorilor externi (presiune,

temperatură, umiditate etc;

- materialele din care sunt confecţionate să nu sufere modificări de

structură fizico-chimică în timp;

- să fie uşor de folosit în tehnica de măsurare.

Trebuie precizat că nu este nevoie ca pentru toate unităţile fundamentale

din diferite sisteme de unităţi să existe câte un etalon. Cu toate acestea, numărul

etaloanelor este egal cu numărul unităţilor fundamentale.

Metrologia se ocupă cu realizarea şi conservarea etaloanelor. Etaloanele

sunt de mai multe ordine: prototip, etalon de primul ordin, de ordinul doi, de

ordinul trei etc. Etaloanele prototip de lungime şi masă (metrul şi kilogramul)

sunt depozitate în camerele speciale ale pavilionului Breteuil de la Sèvres –

Franţa. Cu acestea sunt închise etaloane de prim ordin. După acestea se

realizează copii, care constituie etaloane de ordinul doi, care se distribuie

diferitelor ţări. În aceste ţări se construiesc etaloane de ordinul trei, folosite de

institutele meteorologice şi institutele de cercetări. După aceste etaloane de

ordinul trei se realizează măsurile, care sunt folosite în practica zilnică. Există

măsuri de lungime – rigle, rulete, de mase – cutia cu greutăţi, ca şi măsuri ale

unor unităţi derivate - de exemplu măsurile de capacitate.

Page 28: 1 Obiectul Fizicii - Final

28

Tendinţa actuală este ca în locul etaloanelor artificiale să se folosească

etaloane naturale. Astfel, pentru etalonul de lungime s-a căutat lungimea de

undă a unei radiaţii electromagnetice emise în anumite condiţii, apoi lungimea

drumului parcurs de lumină în vid, într-un interval precizat de timp.

1.20 Sisteme coerente de unităţi Unităţile pot fi alese arbitrar, însă o astfel de alegere a unei unităţi pentru

fiecare mărime ar conduce la introducerea de noi factori numerici în ecuaţiile

între valorile numerice. Este totuşi posibilă şi chiar logică alegerea unui sistem

de unităţi astfel ca ecuaţiile între valori numerice (cu factorii numerici incluşi) să

aibă aceeaşi formă cu ecuaţiile corespunzătoare între mărimi. Un sistem de

unităţi definit în acest mod se numeşte coerent în raport cu sistemul de mărimi şi

de ecuaţii considerat. Sistemul Internaţional de Unităţi SI este un astfel de

sistem. Acest sistem este dat în ISO 31-1, ISO 31-10, ISO 31-12 şi ISO 31-13.

Unităţile necoerente sunt legate de cele coerente prin relaţii cu coeficienţi

numerici, ca de exemplu caloria în funcţie de joule:

1cal=4,18J

Pentru un sistem anumit de mărimi şi ecuaţii se obţine un sistem coerent

de unităţi definind mai întâi unităţile mărimilor fundamentale, adică unităţile

fundamentale. Pentru fiecare mărime derivată, definiţia unităţii derivate

corespunzătoare în funcţie de unităţile fundamentale se dă printr-o expresie

algebrică obţinută prin înlocuirea în produsul de dimensiuni a simbolurilor

dimensiunilor fundamentale cu simbolurile unităţilor fundamentale. În cazul

particular al unei mărimi cu dimensiunea unu, unitatea este 1. Într-un astfel de

sistem coerent de unităţi, nici un factor numeric diferit de numărul 1 nu

figurează în expresiile unităţilor derivate (date în funcţie de unităţile

fundamentale) - a se vedea exemple în tabelul 2.

Tabelul 2. Unităţi derivate într-un sistem coerent de unităţi

Mărimea Ecuaţia Dimensiunea Simbolul unităţii

derivate

Viteză dlv

dt

1LT -1m s

Forţă 2

2

d lF m

dt

2MLT -2kg m s

Energie cinetică 21

2c

E mv 2 2ML T

2 -2kg m s

Energie potenţială p

E mgh 2 2ML T 2 -2kg m s

Energie mecanică 21

2E mv mgh

2 2ML T 2 -2kg m s

Page 29: 1 Obiectul Fizicii - Final

29

Randament

energetic u

c

L

L

1 1

Căldura molară dQC

dT

2 2ML T 2 -2kg m s

Fluxul magnetic B S

2 -2 -1L T MI 2 -2 -1kg m s A

Denumirea Sistem Internaţional de Unităţi, prescurtat SI, a fost adoptată

la a 11-a Conferinţă Generală de Măsuri şi Greutăţi, în 1960. România a aderat

la acest sistem prin hotărârea Consiliului de Miniştri nr.550 din 31 august 1961.

SI cuprinde patru categorii de unităţi: 1 - fundamentale; 2 - derivate

(grupele a, b şi c); 3 - suplimentare; 4 - unităţi derivate ce se exprimă prin

unităţi suplimentare. Acestea formează împreună sistemul coerent de unităţi SI.

În 1960 CGPM (Conférence Générale des Poids et Mesures) a clasat

unităţile pentru unghiul plan (radianul) şi unghiul solid (steradianul) în categoria

unităţilor suplimentare. În 1980 Comitetul Internaţional de Măsuri şi Greutăţi a

hotărât să considere clasa unităţilor suplimentare în SI ca o clasă de unităţi

derivate fără dimensiune. CGPM a lăsat libertatea fiecăruia de a le utiliza sau nu

în expresiile unităţilor SI derivate. Deşi în aceaste condiţii unitatea coerentă

pentru unghiul plan şi pentru unghiul solid este numărul 1, în cele mai multe

aplicaţii se utilizezează totuşi denumirile speciale radian şi steradian în locul

numărului 1. În continuare vom considera unităţile suplimentare în cadrul

unităţilor derivate cu denumiri speciale, astfel vor fi numai două categorii de

unităţi – fundamentale şi derivate.

1. Unităţile fundamentale sunt: lungimea (unitatea metru, simbol m),

masa (kilogram, kg), timpul (secundă, s), curentul electric (amper, A),

temperatura termodinamică (kelvin, K), cantitatea de substanţă (mol, mol),

intensitatea luminoasă (candelă, cd).

Definiţiile unităţilor fundamentale

Metrul reprezintă lungimea drumului parcurs de lumină în vid, într-un

interval de timp de 1 299 792 458dintr-o secundă.

Prototipul kilogramului rămâne cel confirmat de prima Conferinţă

Generală de Măsuri şi Greutăţi, de la Paris din 1889. Este confecţionat din

platină iridiată.

Secunda reprezentă durata a 9.192.631.770 perioade ale radiaţiei

corespunzătoare tranziţiei între cele două niveluri hiperfine ale stării

fundamentale a atomului de cesiu 133.

Kelvinul reprezintă1

273,16 din temperatura termodinamică a punctului

triplu al apei.

Molul reprezintă cantitatea de substanţă dintr-un sistem ce conţine atâtea

entităţi elementare (atomi, molecule, grupări de molecule etc.) câţi atomi conţine

Page 30: 1 Obiectul Fizicii - Final

30

o masă de 0,012kg de carbon 12, adică un număr de atomi egal cu numărul lui

Avogadro 23 16,02252 10 molAN .

Amperul reprezintă intensitatea curentului electric constant care, menţinut

în două conductoare paralele, rectilinii, de lungime infinită, de secţiunea

circulară neglijabilă, aşezate în vid la o distanţă de 1m unul de celălalt, ar

produce între cele două conductoare o forţă de 72 10 N pe unitatea de lungime.

Candela este intensitatea luminoasă, într-o direcţie dată, a unei surse care

emite o radiaţie monocromatică cu frecvenţa de 12540 10 Hz şi a cărei intensitate

radiantă în acea direcţie este 1 683dintr-un watt pe steradian.

Aceste unităţi fundamentale, ca şi etaloanele lor, nu sunt stabilite o dată

pentru totdeauna prin definiţiile enunţate mai sus. Este posibil ca în urma

cercetărilor din domeniile de vârf ale fizicii (corp solid, fizică nucleară etc.) să

se impună elaborarea altor unităţi fundamentale.

2. Unităţi derivate

Expresiile unităţilor derivate coerente în funcţie de unităţile fundamentale

se pot obţine din expresiile produselor de dimensiuni şi utilizând următoarele

substituiri formale:

L m; M kg; T s; I A; Θ K; N mol; J cd

Se admite folosirea unor anumite combinaţii sau a anumitor denumiri

speciale pentru a deosebi mărimile care au aceeaşi dimensiune. Se pot distinge

trei grupe de unităţi derivate, notate în continuare cu a), b) şi c)

a) unităţi derivate exprimate prin unităţile fundamentale: aria 2m ,

volumul 3m , viteza m s , acceleraţia 2m s , numărul de undă -1m ,

densitatea 3kg m , densitatea de curent 2A m , intensitatea câmpului

magnetic A m , concentraţia cantităţii de substanţă 3mol m .

b) Unităţi derivate cu denumiri speciale (tabelul 3)

Tabelul 3. Unităţi SI derivate cu denumiri speciale, incluzând şi unităţile SI

suplimentare

Mărimea derivată Unitatea SI derivată

Denumire

specială

Simbol Expresie în funcţie de unităţi SI

fundamentale şi/sau SI derivate

unghi plan radian rad 1rad =1m/m=1

unghi solid steradian sr 2 21sr =1m /m =1

frecvenţă hertz Hz -11Hz =1s

forţă newton N 21N =1kg m/s

presiune, tensiune

mecanică

pascal Pa 2 21Pa =1N/m kg m s

Page 31: 1 Obiectul Fizicii - Final

31

enrgie, lucru mecanic,

cantitate de căldură

joule J 2 21J=1N m=kg m s

putere, flux radiant watt W 2 31W=1J s=m kg s

sarcină electrică,

cantitate de electricitate

coulomb C 1C=1A s

potenţial electric, diferenţă

de potenţial, tensiune

electrică,

tensiune electromotoare

volt V 2 -3 -11V=1W/1A=J C=m kg s A

capacitate electrică farad F 2 -1 4 21F=1C/V=m kg s A

rezistenţă electrică ohm Ω 2 -3 -21Ω=1V/A=m kg s A

conductanţă electrică siemens S -1 -2 -1 3 21S=1Ω =A V=m kg s A

flux al inducţiei magnetice weber Wb 2 -2 -11Wb=1V s=m kg s A

inducţie magnetică tesla T 2 2 -11T=1Wb/m =kg s A

inductanţă henry H 2 -2 -21H=1Wb/A=m kg s A

temperatură Celsius grad

Celsius

°C 1 C=1K

flux luminos lumen lm 1lm=1cd sr

iluminare lux lx 2 21lx=1lm/m =1cd sr m

Dintre unităţile S.I. derivate care conţin şi unităţi suplimentare, pe lângă cele cu

denumiri speciale (lumen şi lux), enumerăm viteza unghiulară -1ω rad s sau s ,

acceleraţia unghiulară 2ε rad s , intensitatea energetică W/sr , luminanţa

energetică -1 -2W sr m .

Definiţia unităţilor suplimentare S.I.

Unghiul plan (simbol , , , , ...... ) este unghiul dintre două

semidrepte care pornesc din acelaşi punct. Se defineşte ca raportul dintre

lungimea arcului subîntins pe un cerc (cu centrul în punctul considerat) şi

lungimea razei cercului, prin formula:

AB

r , (1.19)

unde AB este arcul subântins de laturile unghiului la

centru, iar r este raza cercului (fig.1).

Unitatea de unghi plan este radianul, care

reprezintă unghiul plan cuprins între două raze ce

delimitează pe circumferinţa unui cerc un arc de

rB

Figura 1. Radianul

A

Page 32: 1 Obiectul Fizicii - Final

32

lungime egală cu cea a razei AB r . Unghiul plan maxim exprimat în radiani

corespunde unui arc de lungime 2 r , şi are valoarea max

2πα 2πrad.

r

r

Unghiul solid (simbol ) este unghiul solid al unui con. Se defineşte ca

raportul între aria delimitată pe suprafaţa unei sfere (având centrul în vârful

conului) şi pătratul razei sferei, prin formula:

S

r

(1.20)

unde S este suprafaţa intersectată pe o sferă de

rază r de un con cu unghiul la vârf 2 , având

vârful în centrul sferei (fig.2). Unitatea de unghi

solid este steradianul. Un steradian reprezintă unghiul

solid care, având vârful în centrul unei sfere,

delimitează pe suprafaţa acestei sfere o arie egală cu

cea a unui pătrat a cărui latură este egală cu raza

sferei 2S r . De la geometrie se ştie că aria

segmentului de sferă S este dată de formula 2πS rh , unde (1 cosα)h r

reprezintă înălţimea calotei sferice, astfel că

22π (1 cosα)S r .

Conform definiţiei, formula unghiului solid Ω va fi:

2Ω 2π(1 cosα)

S

r

, (1.21)

de unde prin diferenţiere obţinem:

Ω 2πsinα αd d . (1.22)

Formula (1.21) indică relaţia dintre unghiul solid şi unghiul plan .

c) Unităţi derivate care se exprimă folosind denumiri speciale (tabelul 4)

Tabelul 4. Unităţi SI derivate cu folosirea denumirilor speciale

Mărimea derivată Unitatea SI derivată

Denumirea unităţii în

SI

Simbol Expresia în unităţi

SI fundamentale

momentul forţei metru- newton N m 2 -2m kg s

densitate de flux termic,

iluminare energetică

watt pe metru pătrat 2W m -3kg s

capacitate termică joule pe kelvin J K 2 -2 -1m kg s K

capacitate termică masică joule pe kilogram

kelvin J kg K 2 -2 -1m s K

r S

h

Figura 2. Steradianul

Page 33: 1 Obiectul Fizicii - Final

33

energie masică joule pe kilogram J/kg 2 -2m s

energie volumică joule pe metru cub 3J/m -1 -2m kg s

intensitate a câmpului

electric

volt pe metru V/m -3 -1m kg s A

sarcină electrică

volumică

coulomb pe metru

cub

3C/m -3m s A

permitivitate farad pe metru F/m -3 -1 4 2m kg s A

permeabilitate henry pe metru H/m -2 -2m kg s A

energie molară joule pe mol J/mol 2 -2 -1m kg s mol

capacitate termică molară joule pe mol kelvin J/mol k 2 -2 -1m kg s k

Din tabelul 4 se poate observa avantajul utilizării de simboluri sau denumiri

speciale în expresiile unităţilor compuse. Astfel, utilizând unitatea derivată volt

( 2 -3 -11V=1m kg s A ), simbolul unităţii SI pentru permitivitate se poate scrie

sub forma mai simplă -1 -1s A m V . Utilizând unitatea derivată joule

( 2 -21J=1m kg s ), simbolul unităţii SI pentru entropia molară se poate scrie sub

forma simplă -1 -1J K mol ;

Unitatea unu

Unitatea coerentă a oricărei mărimi cu dimensiune unu este unitatea unu,

simbol 1. În general, acest număr nu se scrie în mod explicit când se exprimă

valoarea unei asemenea mărimi (cu excepţia unor mărimi cu denumiri speciale,

când, în funcţie de context, pot fi sau nu utilizate). Exemple:

indicele de refracţie 1,53 1 1,53n , unghi plan α=0,5rad=0,5; unghi solid

Ω=3,5sr=3,5 .

Simbolurile mărimilor

Sunt constituite dintr-o singură literă a alfabetului latin sau grec, uneori cu

indice interior sau alte semne distinctive. Se tipăresc cu caractere italice,

indiferent de caracterele folosite în text. Indicii inferiori care reprezintă simbolul

unei mărimi fizice se tipăreşte tot cu caracter italic, ca şi mărimea. Ceilalţi indici

inferiori se tipăresc cu caractere romane drepte.

Exemplul 5

Indici italici p

C (p=presiunea) n n

a b (n=nr. curent) x

p (x=coordonata x)

Indici drepţi g

C (g = gaz) r

(r = relativ) e

(e = electric)

Simbolurile mărimilor trebuie tipărite cu litere mici, în afara acelor mărimi

pentru care denumirea derivă de la un nume propriu ca de exemplu:

m (metru); s (secundă); A (amper); Wb (weber)

Page 34: 1 Obiectul Fizicii - Final

34

1.21 Unităţile speciale Se introduc pentru situaţii speciale întâlnite în anumite fenomene.

Exemplul 6

Torrul se foloseşte ca unitate de presiune deoarece presiunile joase se

măsoară cu manometrul cu mercur. Expresia torrului este:

2

N1torr =133,3

m

Ora se foloseşte curent pentru măsurarea timpului în activităţile umane zilnice:

1h=60min=3600s

Tabelul 5. Prefixe pentru multiplii şi submultiplii zecimali ai unităţilor SI

Factorul Prefixul Factorul

Prefixul

Denumire Simbol Denumire Simbol 2410 yotta Y 2410

yocto y 2110 zetta Z 2110

zepto z 1810 exa E 1810

atto a 1510 peta P 1510

femto f 1210 tera T 1210

pico p 910 giga G 910

nano n 610 mega M 610

micro μ 310 kilo k 310

mili m 210 hecto h 210

centi c

10 deca da 110 deci d

Bibliografie 1. Mircea Oncescu. Mărimi şi Unităţi în Fizică, vol.I. Editura Tehnică,

Bucureşti, 1955

2. Traian I. Creţu, Corneliu Ghizdeanu. Metode de măsurare şi prelucrare a

datelor experimentale – pentru uzul studenţilor. Institutul Politehnic Bucureşti,

1980

3. Traian I. Creţu. Fizica Generală Vol.I. Editura Tehnică, Bucureşti, 1986

4. Jerome V. Scholle. Metrology. Addison Wesley Longman Inc., 1993

5. Institutul Român de Standardizare. Unităţi de Măsură. Colecţie de standarde.

Editura Tehnică, Bucureşti, 1997

6. Arjana Davidescu. Metrologie generală, Ed. Politehnică, Timişoara, 2001

7. Preben Horwath, Fiona Redgrave. Metrology – in short, 2nd

edition, MKom

Aps, Denmark, 2003

8. Jay L. Bucher (editor), The Metrology Handbook, Measurement Quality

Division, ASQ, 2004