of 34 /34
1 Tema 1 Obiectul fizicii. Legătura fizicii cu celelalte ştiinţe şi cu tehnica. Dezvoltarea fizicii în România. Mărimi fizice şi unităţi de măsură. Analiză dimensională 1.1 Introducere Cuvântul fizică este de origine greacă (physis=natură). Denumirea a fost dată de Aristotel, semnificând faptul că fizica este o ştiinţă a naturii. Deşi era o personalitate proeminentă a lumii antice, totuşi în domeniul fizicii toate ideile sale s-au dovedit a fi greşite, exceptând denumirea dată ştiinţei respective. Obiectul fizicii îl constituie studierea structurii materiei, a proprietăţilor ei generale şi a formelor sale de mişcare (mecanică, termică, cuantică, nucleară etc.), a transformărilor reciproce ale acestor forme de mişcare. Dezvoltarea ştiinţelor şi a tehnicii nu poate fi concepută astăzi fără dezvoltarea şi aprofundarea cunoştinţelor la disciplina fizică, precum şi la celelalte discipline fundamentale ca matematica, chimia, biologia. Astfel, unele legi descoperite iniţial la chimie au precedat formularea unor legi ale fizicii. Ca un exemplu, legile proporţiilor simple sau multiple au condus la ideea discontinuităţii materiei, inspirându-l pe Avogadro să formuleze legea volumelor la fizica moleculară. Pot fi date mai multe exemple în care dezvoltarea uneia dintre ştiinţele fundamentale a influenţat dezvoltarea celorlalte: apariţia calculului diferenţial şi integral la matematică, teoria relativităţii sau teoria cuantelor la fizică, biofotonica etc. În ţara noastră fizica s-a bucurat dintotdeauna de o atenţie deosebită, unii fizicieni români aducând contribuţii importante la dezvoltarea acestei discipline, atât pe plan naţional cât şi internaţional. Cei mai importanţi dintre aceştia sunt: Dragomir Hurmuzescu (1865-1954) a efectuat cercetări în domeniul electricităţii şi fizicii radiaţiilor Roëntgen, a construit electroscopul care îi poartă numele, a măsurat constanta electrodinamică. Ştefan Procopiu (1890-1972), fizician de renume mondial s-a ocupat, pe lângă activitatea didactică, şi de cercetarea ştiinţifică. A st abilit printr-un raţionament ingenios, pentru prima dată în lume, valoarea momentului magnetic molecular sau magnetonul teoretic, în anul 1912, când era încă student. Nu i s-a acordat Premiul Nobel pentru această descoperire dintr -o neglijenţă a comisiei. În anul 1921 a descoperit fenomenul depolarizării luminii de către suspensii şi coloizi (fenomenul Procopiu), iar în 1930 a descoperit efectul Procopiu, care constă în efectul circular al discontinuităţilor magnetice. A fost desemnat de două ori în comisia pentru nominalizări la premiul Nobel. Ion Agârbiceanu (1907-1971) a fost profesor la Institutul Politehnic Bucureşti, având cercetări în domeniul fizicii atomice şi spectroscopiei. În anul 1962 a fost construit sub conducerea sa, la Institutul de Fizică Atomică din Bucureşti-Măgurele, primul laser cu gaz din ţară şi unul dintre primele din lume.

1 Obiectul Fizicii - Final

Embed Size (px)

Text of 1 Obiectul Fizicii - Final

  • 1

    Tema 1

    Obiectul fizicii. Legtura fizicii cu celelalte tiine i cu tehnica. Dezvoltarea fizicii n Romnia. Mrimi fizice i

    uniti de msur. Analiz dimensional

    1.1 Introducere Cuvntul fizic este de origine greac (physis=natur). Denumirea a fost

    dat de Aristotel, semnificnd faptul c fizica este o tiin a naturii. Dei era o personalitate proeminent a lumii antice, totui n domeniul fizicii toate ideile sale s-au dovedit a fi greite, exceptnd denumirea dat tiinei respective.

    Obiectul fizicii l constituie studierea structurii materiei, a proprietilor ei generale i a formelor sale de micare (mecanic, termic, cuantic, nuclear etc.), a transformrilor reciproce ale acestor forme de micare.

    Dezvoltarea tiinelor i a tehnicii nu poate fi conceput astzi fr dezvoltarea i aprofundarea cunotinelor la disciplina fizic, precum i la celelalte discipline fundamentale ca matematica, chimia, biologia. Astfel, unele

    legi descoperite iniial la chimie au precedat formularea unor legi ale fizicii. Ca un exemplu, legile proporiilor simple sau multiple au condus la ideea discontinuitii materiei, inspirndu-l pe Avogadro s formuleze legea volumelor la fizica molecular. Pot fi date mai multe exemple n care dezvoltarea uneia dintre tiinele fundamentale a influenat dezvoltarea celorlalte: apariia calculului diferenial i integral la matematic, teoria relativitii sau teoria cuantelor la fizic, biofotonica etc.

    n ara noastr fizica s-a bucurat dintotdeauna de o atenie deosebit, unii fizicieni romni aducnd contribuii importante la dezvoltarea acestei discipline, att pe plan naional ct i internaional. Cei mai importani dintre acetia sunt:

    Dragomir Hurmuzescu (1865-1954) a efectuat cercetri n domeniul electricitii i fizicii radiaiilor Rontgen, a construit electroscopul care i poart numele, a msurat constanta electrodinamic.

    tefan Procopiu (1890-1972), fizician de renume mondial s-a ocupat, pe lng activitatea didactic, i de cercetarea tiinific. A stabilit printr-un raionament ingenios, pentru prima dat n lume, valoarea momentului magnetic molecular sau magnetonul teoretic, n anul 1912, cnd era nc student. Nu i s-a acordat Premiul Nobel pentru aceast descoperire dintr-o neglijen a comisiei. n anul 1921 a descoperit fenomenul depolarizrii luminii de ctre suspensii i coloizi (fenomenul Procopiu), iar n 1930 a descoperit efectul Procopiu, care const n efectul circular al discontinuitilor magnetice. A fost desemnat de dou ori n comisia pentru nominalizri la premiul Nobel.

    Ion Agrbiceanu (1907-1971) a fost profesor la Institutul Politehnic Bucureti, avnd cercetri n domeniul fizicii atomice i spectroscopiei. n anul 1962 a fost construit sub conducerea sa, la Institutul de Fizic Atomic din Bucureti-Mgurele, primul laser cu gaz din ar i unul dintre primele din lume.

  • 2

    Horia Hulubei (1896-1972) a fost profesor la Universitatea Bucureti, bucurndu-se de aprecierea marilor savani ai vremii. S-a remarcat prin lucrri n domeniul spectroscopiei optice, de raze X i , i n domeniul fizicii nucleare.

    Eugen Bdru (1887-1975) a fost profesor la Universitatea Bucureti i academician. A avut lucrri importante n domeniile opticii, spectroscopiei i acusticii, A iniiat cecetri asupra descrcrilor electrice n gaze i plasmei n Romnia, a explicat mecanismul descrcrilor luminiscente n arc.

    1.2 Metode de cercetare n fizic Fizica a devenit o tiin de sine stttoare n perioada de dup Renaterea

    italian, cnd metoda experimental de studiu promovat de Galileo Galilei a relevat aspectele profunde ale unor fenomene din natur. Galilei a fost primul care a inut s verifice experimental legi i postulate considerate valabile apriori, ca de exemplu cderea liber a corpurilor. Prin utilizarea planului nclinat, Galilei reducea acceleraia de cdere, mrind astfel timpul de msurare a distanelor. De atunci se spune c tiina a cobort din Cer pe Pmnt pe planul nclinat al lui Galilei.

    n secolele XVII-XVIII s-a realizat prima mprire a fizicii pe ramuri, cristalizndu-se n sec XIX ramurile clasice: mecanica, termodinamica, electricitatea i optica. n aceast perioad ncepe s fie utilizat i metoda teoretic de studiu, bazat pe metodele matematicii clasice. Teoriile fizicii s-au dezvoltat n dou direcii:

    - fenomenologic, care pornete de la proprietile macroscopice ale corpurilor;

    - microscopic, care pornete de la structura intern a corpurilor. Teoriile sunt considerate concludente dac prin aplicarea fiecreia dintre cele dou metode se obin rezultate identice n studierea unui fenomen.

    n sec. IX-XX au aprut ramurile moderne ale fizicii: fizica particulelor elementare, fizica atomului, solidului, plasmei, mecanica cuantic etc.

    Teoriile fizicii moderne pornesc de la ipoteze asupra structurii intime a

    corpurilor, care prin interpretri matematice devanseaz realizrile practice bazate pe teoriile respective. Intervalul de timp de la o descoperire la aplicaia practic bazat pe aceasta a sczut constant o dat cu trecerea timpului. Astfel, de la descoperirea fisiunii nucleare n anul 1934 pn la construirea primului reactor nuclear au trecut 8 ani, iar de la formularea teoriei tranzistorilor pn la realizarea lor au trecut numai 3 ani (1951). n prezent, n rile dezvoltate acest interval de timp a sczut pn la ordinul zilelor, datorit progresului tehnologic i concurenei acerbe pe piaa produselor de nalt tehnologie.

    nainte de perioada comunismului, n ara noastr fizica s-a dezvoltat datorit unor personaliti tiinifice recunoscute de comunitatea internaional, care au studiat n strintate, fiind n contact cu cercurile tiinifice ale vremii. Cu toate acestea, nu exista o baz de mase, deoarece numai cei din familiile nstrite i puteau permite studii n strintate. n perioada comunismului s-a

  • 3

    creat aceast baz, crendu-se condiiile pentru dezvoltarea pe orizontal a acestei tiine, ns fr criterii clare de departajare a valorilor. Aceasta nseamn c puterea de decizie nu aparinea de obicei persoanelor cele mai competente din punct de vedere tiinific, ci se acorda dup alte criterii. Cu toate acestea, s-au creat unele condiii pentru dezvoltarea tiinei i promovarea cercetrii fundamentale, ns gestionarea relaiei cu cercetarea aplicativ i producia de bunuri a fost de asemenea deficitar.

    n nvmntul superior au fost create primele faculti de fizic prevzute cu secii de specialitate n aproape toate domeniile fizicii, precum i institute de cercetare (I.C.F.I.Z. n Bucureti, Institutul de Izotopi Stabili n Cluj, Institutul de Reactori Nucleari din Piteti etc.). Printre domeniile de cercetare-dezvoltate s-au numrat urmtoarele:

    - energetica nuclear, cu aplicaii industriale cum ar fi centrala nuclear de la Cernavod;

    - aplicaiile laserilor n industrie (geodezie, prelucrarea materialelor, aliniere, energetica nuclear), biologie (biofotonica), medicin (terapie i chirurgie cu laser, imagistic medical), informatic (optical computing), tehnica militar (telemetrie laser, sisteme de paz i alarmare, ghidarea proiectilelor n fascicul laser, aparatur de vedere pe timp de noapte) etc.

    - fizica materialelor, cu scopul de a crea materiale noi i performante pentru industria electronic, energetic, aeronautic etc.

    - optica neliniar, fizica semiconductoarelor .a. n special n cursul istoriei recente se pot da numeroase exemple privind

    rolul tiinei (i al fizicii n special) n influenarea relaiilor internaionale, geopolitice, a geografiei, istoriei, a strategiei militare etc. prin impactul pe care

    l-a avut folosirea unor descoperiri tiinifice. Astfel, al doilea rzboi mondial se putea prelungi cu civa ani datorit rezistenei puternice opuse de trupele japoneze trupelor aliate n Pacific. Aruncarea a dou bombe atomice asupra teritoriului japonez a convins guvernul japonez s capituleze. n rzboiul din Vietnam s-au testat pentru prima dat telemetrele cu laser, care asigurau o precizie de lovire de 15 cm la o distan de 10 km, fapt care s-a dovedit n final insuficient, pentru c SUA au suferit n final o nfrngere umilitoare. n rzboiul din insulele Malvine (Falkland) dintre Marea Britanie i Argentina trupele britanice au utilizat n premier aparatur de vedere pe timp de noapte, ceea ce le-a permis s obin capitularea adversarului datorit superioritii tehnice, dei acesta era mult superior numeric i lupta pe teren propriu.

    Din cele discutate se poate desprinde ideea c fizica este o tiin experimental, rezultatele obinute n procesul de msurare avnd un rol fundamental n enunarea ideilor i a legilor fizicii. Pentru formularea cantitativ a acestor legi se folosesc noiuni i procedee matematice corespunztoare. n acest sens enumerm cteva idei ale unor savani despre rolul msurrii n fizic.

    William Thompson (lord Kelvin): Cnd putem msura mrimea despre care vorbim i o putem exprima printr-un numr, atunci noi tim ceva despre ea;

  • 4

    dar cnd nu o putem exprima printr-un numr, cunoaterea noastr este slab i nesatisfctoare.

    D. I. Mendeleev: tiina ncepe atunci cnd ncep msurtorile. Max Planck, relund o idee a lui Galilei, ndemna pe fizicieni s msoare

    tot ce este msurabil i s fac msurabil tot ceea ce nu este nc msurabil.

    1.3 Mrimi fizice i uniti de msur n urma observaiilor i a experimentelor asupra diferitelor sisteme de

    corpuri, s-a constatat c acestea prezint unele proprieti comune cum ar fi: ineria, masa, volumul, culoarea, forma etc. Astfel, multitudinea informaiilor obinute despre sistemele fizice n procesele de observare direct sau msurare prin intermediul diferitelor instrumente de msur, pot fi grupate n mai multe clase de echivalen disjuncte. Fiecrei clase i se asociaz o proprietate fizic a corpurilor sau sistemelor de corpuri materiale. Proprietile fizice ale diferitelor sisteme de corpuri materiale, care pe lng operaia de echivalen corespunztoare admit i o operaie de ordonare a elementelor componente, se numesc mrimi fizice.

    Operaia sau procedeul de ordonare prezint urmtoarele proprieti: - asimetria: Dac elementul x este mai mic n raport cu operaia considerat dect elementul y , atunci elementul y nu poate fi mai mic dect x n raport cu

    alt operaie de ordonare:

    x y y x ;

    - tranzitivitatea: Dac n raport cu operaia de ordonare adoptat sunt valabile inegalitile

    ( x y i y z ),

    atunci aceasta implic i inegalitatea:

    x z .

    1.4 Simboluri Pentru exprimarea ct mai simpl a legilor i teoremelor fizicii cu ajutorul formulelor, se folosesc diferite simboluri pentru mrimile respective. De asemenea, pentru exprimarea ct mai simpl a rezultatelor unei msurtori se aleg simboluri pentru unitile mrimilor respective i pentru valorile mrimilor fa de acele uniti. Simbolul mrimii fizice se va scrie ca produsul simbolic dintre valoare i unitatea de msur. Este necesar ntotdeauna s se specifice ntr-o formul fizic sensul simbolurilor folosite, adic acela pentru valoare, mrime, sau unitate. Dac simbolul folosit reprezint o valoare, se va specifica i sistemul de uniti. O categorie aparte de simboluri o reprezint anumite

  • 5

    operaii matematice care se efectueaz asupra unor mrimi fizice, ca de exemplu operaii aritmetice, vectoriale, operaii de difereniere i integrare etc.

    1.5 Msurarea unei mrimi fizice Fizica studiaz fenomenele din natur cu ajutorul mrimilor. Mrimile

    reprezint acele proprieti fizice ale corpurilor materiale care sunt msurabile. Prin msurare mrimea respectiv se compar cu o anumit mrime de aceeai natur, stabilindu-se raportul ntre acea mrime i mrimea cu care se compar. Din punct de vedere al msurabilitii exist dou grupuri de mrimi: direct msurabile i indirect msurabile.

    Mrimile direct msurabile (mrimile fizice propriu zise) sunt acele mrimi pentru care se pot defini operaiile de egalitate i adunare, care la rndul lor permit efectuarea raportului a dou mrimi de aceeai natur, prin urmare i stabilirea procedeului de msurare. Alegnd pentru astfel de mrimi mrimea unitate, se pot msura direct celelalte mrimi prin procedeul stabilit. Exemplele cuprind majoritatea mrimilor folosite n fizic: lungimea, masa, energia, unghiul, greutatea etc.

    Mrimile indirect msurabile sunt acelea pentru care se poate defini numai operaia de egalitate, ntruct adunarea nu are sens fizic. Exemple: temperatura, potenialul electrostatic, altitudinea, densitatea etc. Formarea raportului a dou mrimi de aceeai natur nefiind posibil, aceste mrimi pot fi fcute totui msurabile indirect. Pentru aceasta se alege un corp cu proprieti potrivite pentru punerea n eviden a mrimii fizice de msurat i un reper convenional, observnd poziia corpului respectiv fa de reperul dat (de exemplu la msurarea temperaturii se urmrete meniscul alcoolului din tubul capilar al unui termometru).

    Definirea egalitii i adunrii permit trecerea la definiia raportului a dou mrimi de aceeai natur. De exemplu, raportul a dou lungimi AB i AB este egal, prin definiie, cu de cte ori trebuie pus la cap lungimea AB pentru a reproduce o lungime egal cu AB , obinndu-se un numr pentru raportul AB AB . Dac acest numr nu este ntreg, se mparte lungimea AB

    ntr-un numr din ce n ce mai mic de pri egale pn cnd se poate obine din aceste fraciuni, prin punerea lor una n continuarea alteia, o lungime egal cu AB . Pentru a trece de la noiunea de raport la noiunea de msurare este suficient s alegem printre mrimile de aceeai natur (notate generic cu A ) o

    anumit mrime unitate, notat cu A . Raportul dintre mrimea fizic A i

    unitatea A se numete valoarea mrimii A , notat cu simbolul A :

    A

    AA

    Alegnd ca unitate o alt mrime 1A de aceeai natur, valoarea mrimii A va

    fi:

  • 6

    1

    1

    AA

    A .

    n consecin, putem defini msurarea ca fiind compararea mrimii de msurat cu o anumit mrime unitate (raportul dintre valoarea mrimii de msurat i unitatea aleas).

    Un criteriu de clasificare pentru mrimile fizice poate fi caracterul pe care l prezint acestea fa de simetria fenomenelor. Dup acest criteriu se pot meniona mrimile scalare (masa, densitatea, energia etc.), vectorii (fora, viteza etc.), tensorii de ordinul doi (momentul cuplului de fore, inducia magnetic etc.) i pseudoscalarii (volumul, fluxul induciei electrice etc.).

    Anumite proprieti fizice cum ar fi forma, electronegativitatea, distribuia spaial, nu sunt msurabile. Dei admit o operaie de echivalen, ele nu se pot ordona n cadrul clasei de echivalen din care fac parte. Culoarea a fost mult vreme considerat o proprietate i nu o mrime fizic, ns o dat cu asocierea unei valori a mrimii lungime de und pentru fiecare culoare, n cadrul teoriei electromagnetice a luminii, culoarea a devenit o mrime fizic.

    Proprietile fizice ale cror elemente fizice admit o operaie de ordonare, care caracterizeaz strile posibile ale unui corp sau ale unui sistem de corpuri limitat n timp i spaiu, reprezint parametri fizici ai sistemului respectiv (de exemplu, presiunea i temperatura unui gaz aflat n diferite condiii). Mrimile fizice se refer la proprietile fizice ale tuturor corpurilor sau sistemelor de corpuri din natur, corespunztoare claselor de echivalen respective (mas, lungime, presiune etc.).

    Prin msurare se atribuie valori individuale (numere), conform unor reguli stabilite, parametrilor sau mrimilor fizice care caracterizeaz strile posibile ale sistemelor studiate. O anumit valoare a unui parametru fizic, n condiii date, reprezint o cantitate fizic sau un element component al parametrului fizic considerat.

    Orice mrime fizic este caracterizat printr-o latur calitativ i o latur cantitativ. Mrimile care exprim aceeai proprietate calitativ, dar se deosebesc prin latura cantitativ, se numesc mrimi de aceeai natur. Mrimile de aceeai natur pot fi mai mari sau mai mici, mai intense sau mai slabe, ceea ce constituie latura cantitativ a mrimii fizice respective. De exemplu, fora caracterizeaz interaciunea dintre dou sau mai multe corpuri i este calitativ diferit de acceleraie, care caracterizeaz modul de variaie a vitezei n timp.

    Valoarea unui parametru fizic depinde nu numai de unitatea de msur n care se exprim numrul respectiv, ci i de calitatea procedeului de msurare. tiina care se ocup de mijloacele i procedeele de msur pentru mrimile fizice, de unitile lor de msur i de totalitatea normelor privitoare la folosirea msurilor, a mijloacelor i metodelor de msur pentru toate mrimile fizice, se numete metrologie (de la metros=msurare i logos=a vorbi, a numra, ceea ce se traduce prin tiina msurrilor), constituind o ramur important a fizicii.

  • 7

    Perfecionarea tehnicilor de msurare i elaborarea de noi procedee de msur, pe baza acumulrii de noi cunotine n fizic i a dezvoltrii tehnicii, determin ca aceast tiin s fie deschis. Astfel n zilele noastre este posibil msurarea unor mrimi fizice care cu zeci de ani n urm erau considerate nemsurabile (n domeniul fizicii atomice i nucleare, particulelor elementare, spectroscopiei etc.).

    Alegerea unitii de msur nu este impus de nici o lege a fizicii, ci numai de considerente de ordin practic (exactitate, reproductibilitate, arie mare

    de acoperire, comoditate n folosire). De asemenea, alegerea unei uniti de msur pentru o mrime fizic conduce la stabilirea unitilor de msur pentru alte mrimi fizice. De exemplu, unitatea de msur a vitezei depinde de unitile de msur pentru spaiu i timp. Se impune rezervarea unui numr minim de mrimi fizice independente ntre ele, numite mrimi fundamentale, astfel ca unitile de msur pentru toate celelalte mrimi fizice s depind numai de acestea. Unitile de msur stabilite pentru mrimile fizice fundamentale se numesc uniti fundamentale.

    Mrimile fizice ale cror uniti se exprim prin combinaii ale unitilor fundamentale se numesc mrimi derivate, iar unitile lor se numesc uniti derivate. mprirea mrimilor fizice n cele dou categorii este de mare importan practic, deoarece permite reducerea numrului de uniti pentru care trebuie confecionate msuri standardizate. Acestea reproduc o unitate de mrime i se numesc etaloanele mrimii respective.

    1.6 Relaii ntre mrimi Cele mai generale relaii ntre mrimi sunt legile. Acestea se descoper pe cale experimental (legea lui Coulomb de la electrostatic, legea lui Newton la mecanic, legea lui Faraday a induciei electromagnetice) sau pe cale pur teoretic (legea-ecuaia lui Schrodinger la mecanica cuantic, ecuaiile lui Lagrange la mecanica analitic etc.). Principiile sau postulatele se enun pornind de la constatarea c toate consecinele ce decurg din acestea sunt verificate experimental; aadar, lucrurile se ntmpl conform postulatelor, chiar dac nu se tie exact de ce se desfoar n acest mod. Dac la un moment dat teoria se va completa pe baza unor noi ipoteze rezultate din experimente, este

    posibil ca unele postulate s fie demonstrate, i astfel s devin teoreme sau legi. Exist i legi cu caracter mai limitat, denumite legi de material, n care

    intervin mrimi caracteristice diferitelor materiale, ca de exemplu legile frecrii, legea difuziei la mecanic, legea lui Hooke la elasticitate, legea polarizaiei electrice de la electricitate. n cazul legii lui Hooke modulul de elasticitate poate depinde de diferii parametri (presiune, temperatur etc.), furniznd pentru materialele cunoscute un numr mare de legi de material.

    Teoremele reprezint relaii ntre mrimi care se stabilesc pe cale deductiv din legile de material, folosind metode matematice, ca de exemplu operatori difereniali, calculul algebric, calculul integral, De exemplu, teorema lui Coulomb de la electrostatic se poate deduce din legea fluxului electric a lui

  • 8

    Gauss. Tendina este ca n timp, prin gsirea unor legi mai generale cu ajutorul fizicii teoretice, numrul legilor s scad, astfel c unele dintre acestea s devin teoreme. De exemplu, legea gazelor ideale a devenit o teorem de cnd ea a fost dedus n fizica statistic plecnd de la legile mecanicii, cu utilizarea calculului probabilitilor de la fizica statistic. De asemenea, legile lui Kirchoff au devenit teoremele lui Kirchoff de cnd au fost deduse din legile de conservare pentru energie i sarcina electric. Este de asemenea de remarcat c n cadrul unui capitol al fizicii, chiar dac numrul de legi generale rmne constant, sistemul de legi generale se poate schimba. Astfel, la electrostatic legea general a lui Coulomb poate fi nlocuit de legea lui Gauss, deoarece aceasta este mai general dect fosta lege a lui Coulomb, care astfel devine teorem.

    Relaiile de definiie determin unele mrimi fizice. De exemplu, se definete densitatea de energie ca raportul dintre energia W dintr-o zon a spaiului i volumul V n care aceasta este coninut:

    Ww

    V

    Avantajul utilizrii simbolului (egal prin definiie) este faptul c ntr-o singur relaie se poate scrie att definiia unei mrimi, ct i legea care d dependena mrimii respective de alte mrimi fizice, ca de exemplu legea lui Gauss pentru fluxul cmpului electric:

    e

    S

    qE dS

    Legile i teoremele fizice se exprim n general prin formule, ns exist i legi ce se exprim prin fraze: de exemplu legea a treia a dinamicii, sau prima lege a frecrii (fora de frecare dintre dou corpuri nu depinde de mrimea suprafeei de contact dintre acele corpuri).

    1.7 Mrimi fundamentale i mrimi derivate Unele mrimi ca timpul sau spaiul nu pot fi definite n funcie de alte mrimi deja determinate, neexistnd relaii de definiie pentru aceste dou mrimi. Acest fapt se reflect asupra faptului c numrul de relaii principale dintre mrimile fizice este mai mic dect numrul mrimilor fizice. Aadar, pentru a determina toate mrimile cunoscute este nevoie s alegem un numr anume de mrimi fundamentale, iar celelalte mrimi pe care le numim derivate s fie definite toate n funcie de mrimile fundamentale.

    Mrimile fundamentale se definesc n mod direct, prin indicarea procedeului de msurare i stabilirea unitii de msur. Cu toate acestea, procedeul de msurare a unei mrimi fundamentale nu este complet arbitrar, el

    Problema referitoare la faptul dac spaiul este sau nu mrime fundamental este nc

    controversat

  • 9

    trebuind s satisfac condiia general ca raportul valorilor a dou mrimi fundamentale de aceeai natur s fie independent de unitatea de msur folosit (acest raport trebuie s rmn constant cnd se schimb unitatea de msur). Definiia lungimii ar fi mrimea care se msoar punnd cap la cap unitatea de lungime astfel nct numrul de suprapuneri ale lungimii unitate peste lungimea de msurat s fie minim. Unitatea de lungime se alege n funcie de o anumit lungime care se gsete n natur, sau o lungime construit de om in anumite condiii i pstrat cu anumite precauii.

    Unitile de msur pentru mrimile fundamentale pot fi alese arbitrar, independent unele fa de altele. Pentru mrimile derivate ns unitile nu pot fi alese independent, ele depinznd de cele ale mrimilor fundamentale la fel cum depinde mrimea derivat fa de mrimile fundamentale. Din aceast relaie de dependen se obine i procedeul de msurare.

    Mrimile fundamentale din fizic se introduc ntr-o anumit ordine, prin legi n care apar dou mrimi noi fa de celelalte mrimi determinate n alte capitole ale fizicii. Primul capitol este considerat geometria, ale crei postulate sunt legi experimentale n fizic, i n care este nevoie de o singur mrime fundamental, lungimea. Prima relaie din cinematic, care definete viteza:

    lv

    t

    introduce dou mrimi noi, viteza i timpul. Alegnd timpul drept mrime fundamental putem determina viteza, astfel c n cinematic este nevoie de dou mrimi fundamentale: lungimea l i timpul t .

    n dinamic, pe lng lungime i timp mai este nevoie de o mrime fundamental, care poate fi masa m sau fora ;F de regul se alege masa.

    n electricitate i fotometrie sunt necesare patru mrimi fundamentale, primele trei fiind l , t i m , cea de-a patra fiind respectiv intensitatea curentului electric i , respectiv intensitatea luminoas I . n termodinamic i cldur sunt necesare cinci mrimi fundamentale: l , t i m , a patra i a cincea fiind temperatura , respectiv cantitatea de substan n . Numrul unitilor fundamentale fiecare din capitol al fizicii este arbitrar, acesta fiind mai mare sau mai mic n funcie de numrul constantelor cu dimensiuni (constante universale). De exemplu, dac n electricitate s-ar scrie relaia dintre intensitatea curentului electric i variaia sarcinii electrice n timp prin introducerea unei constante cu dimensiuni :

    dqi

    dt ,

    atunci electromagnetismul ar avea nevoie de cinci mrimi fundamentale, deoarece ar trebui aleas, pe lng mrimile fundamentale deja menionate, i sarcina electric (sistemul Gauss).

  • 10

    Numrul mrimilor fundamentale poate fi redus prin anumite relaii de legtur ntre lungime i timp care conin o constant universal, ca de exemplu l c t , unde c este viteza luminii n vid. Lund viteza luminii egal cu unitatea, se poate determina timpul n funcie de lungime i astfel timpul devine o mrime derivat, cu unitatea definit ca timpul n care lumina parcurge unitatea de lungime n vid. n aceast situaie mrimile dinamicii s-ar putea determina cu ajutorul unei singure mrimi fundamentale, lungimea. ns din punct de vedere practic aceste sisteme cu un numr redus de mrimi fundamentale nu sunt utile. Pe lng noiunile de mrime fundamental i derivat se mai utilizeaz, atunci cnd relaiile fizice sunt scrise sub o form foarte general, cu mai multe constante fizice, termenii de mrime primitiv i mrime secundar. Constantele fizice fiind i ele mrimi fizice, numrul mrimilor devine mult mai mare dect numrul relaiilor dintre ele, n consecin ar trebui ales un numr mai mare de mrimi care se definesc direct. Aceste mrimi se mai numesc i mrimi primitive, i se definesc n mod direct prin indicarea procedeului de msur i stabilirea unitii de msur. Mrimile secundare se definesc cu ajutorul mrimilor primitive. n final, o parte dintre mrimile primitive (n general cele pentru care se pot realiza etaloane) se aleg drept mrimi fundamentale, celelalte mrimi primitive i mrimile secundare devenind mrimi derivate, care se definesc numai n funcie de mrimile fundamentale.

    1.8 Calculul cu mrimi i calculul cu valori Plecnd de la relaia ce definete mrimea fizic A drept produsul

    simbolic ntre valoarea A i unitatea de msur A

    A A A , (1.1)

    putem efectua pentru deducerea teoremelor din fizic operaii direct cu mrimi, fie cu valorile acestora. Pentru a face deosebirea ntre calculul cu mrimi i cel cu valori, precizm cteva reguli privind principalele operaii utilizate.

    Egalitatea se poate defini numai pentru mrimi de aceeai natur. De exemplu, din cauza naturii lor diferite, densitatea relativ a unui mediu nu poate fi egal cu permitivitatea sau cu permeabilitatea relativ, chiar dac aceste mrimi adimensionale ar avea aceeai valoare. Pentru fiecare tip de mrimi stabilirea egalitii cere cel puin un procedeu particular. ntr-un fel sunt egali doi cureni, n alt fel sunt egale dou densiti sau dou lungimi.

    Adunarea se definete de asemenea numai ntre dou mrimi de aceeai natur. Acestea pot fi adunate dac n definiia lor nu intervine o constant aditiv arbitrar (alegerea arbitrar a unei origini), aa cum se ntmpl cu temperatura fa de o temperatur de origine, potenialul electric fa de Pmnt (considerat ca un conductor de potenial nul) etc.. Nu are sens fizic adunarea mrimilor de natur diferit, ca de exemplu energia cu momentul forei, chiar dac acestea prezint acelei dimensiuni.

  • 11

    Suma a dou mrimi fizice de aceeai natur se definete prin relaia:

    A B A A B B (1.2)

    Adunarea valorilor a dou mrimi de aceeai natur are ns un caracter mai restrictiv, astfel c se pot aduna numai valori care reprezint rezultatul unor msurtori fcute cu aceeai unitate. De exemplu, prin adunarea lungimilor

    15ml i

    22cml obinem lungimea l :

    1 25m+2cm = 502cm = 5,02m.l l l

    Folosind relaia dintre unitatea de lungime i submultiplii acesteia s-a obinut pentru lungimea sum forma obinuit, ca produs ntre valoare i unitate:

    1m=100cm

    Adunnd valorile celor dou lungimi s-ar obine 5 2 7, ceea ce nu are sens

    fizic.

    Dac mrimile ce reprezint cei doi termeni ai sumei sunt exprimate n

    aceeai unitate de msur, de exemplu A , atunci se poate da factor comun

    aceast unitate n formula (1.2):

    A B A A B A A B A . (1.3)

    Dac ntmpltor valorile a dou mrimi ce se adun sunt egale, aceast valoare nu poate fi dat ca factor comun dect n cazul cnd mrimile sunt exprimate n aceeai unitate de msur.

    Ridicarea la putere a unei mrimi se face la fel ca ridicarea la putere a unui produs obinuit, cu precizarea c puterea factorului simbolic unitate constituie o unitate derivat. De exemplu, ridicnd la puterea a treia o lungime l x m , obinem:

    3 3 3ml x ,

    unde metrul cub reprezint o unitate derivat. nmulirea mai multor mrimi reprezint produsul acelor mrimi, dup

    regulile nmulirii obinuite n algebr. Factorul simbolic al produsului, care se obine prin nmulirea factorilor simbolici ai fiecrei mrimi, reprezint o unitate derivat. nmulind de exemplu fora 5NF cu distana 10ml , obinem

    lucrul mecanic (energia) W :

    5N 10m 50N m=50J.W F l

    Astfel, energia are valoarea de 50, iar factorul N m reprezint o unitate derivat. Att mrimile ct i unitile vor fi tratate ca factori algebrici. Din exemplul de mai sus se poate observa c o relaie care exprim produsul a dou mrimi se poate desface n cazul general ntr-o relaie de valori i o alta ntre uniti:

    W Fl , (1.4)

  • 12

    cu F F F , l l l , W W W , sau NF F , ml l , JW W . Astfel, relaia (1.4) se desface n relaiile

    W F l i 1J=1N 1m.W F l (1.5)

    Singurele dificulti la desfacerea unei relaii ntre mrimi n dou relaii, una ntre valori i alta ntre uniti, apar cnd relaia dintre mrimi conine un coeficient numeric. De obicei acest coeficient numeric trece n relaia dintre valori, relaia dintre uniti rmnnd fr coeficient numeric. n acest caz unitile formate sunt coerente, nefiind legate prin coeficieni numerici. De exemplu formula ariei unui cerc, care se scrie ca relaie ntre mrimi:

    2A r

    se desface de obicei sub forma 2

    A r i 2

    A r .

    n unele cazuri ns se folosete coeficientul numeric n relaia dintre uniti:

    2

    A r ;2

    A r ,

    Astfel, noua unitate de arie va fi metrul circular:

    2

    c1m m ,

    definit ca aria unui cerc a crui raz este de un metru. Se poate observa uor c metrul circular este o mrime necoerent.

    1.9 Formule fizice. Coeficientul parazit Aa cum s-a artat, oricrei entiti (mrimi) fizice X i se asociaz o

    valoare numeric X i o unitate de msur X , astfel c:

    X X X ,

    unde X este un numr adimensional fiind raportul a dou mrimi de aceeai natur. Dac se msoar mrimea X cu uniti diferite, se obin valori diferite:

    1 21 2

    ; ,X X

    X XX X

    de unde

    21

    2 1

    XX

    X X (1.6)

    Relaia (1.6) constituie o teorem fundamental a unitilor de msur i stabilete c raportul valorilor numerice ale unor entiti fizice este egal cu inversul raportului unitilor de msur.

    ntre o formul fizic i o formul matematic exist unele deosebiri. Formulele fizice cuprind mrimi msurabile pentru care trebuie indicate valorile,

  • 13

    ct i unitile de msur, n timp ce n formulele matematice intr numai simbolurile mrimilor respective. S lum drept un exemplu formula volumului, care din punct de vedere matematic se scrie:

    3V X (1.7)

    Din punct de vedere fizic ns formula (1.7) trebuie scris astfel:

    333

    V V V

    X X X

    3

    33 3 3XV V X X V X K X

    V ,

    unde

    3X

    KV

    (1.8)

    se numete coeficient parazit al formulei fizice, iar valoarea sa depinde de unitile de msur ale mrimilor care intr n formula (1.7). De exemplu, dac

    3 31litru = 1dm 10 mV i 1mX 33

    110

    10K

    .

    Dac volumul se msoar n 3m , 1K , i se spune c s-a lucrat ntr-un sistem coerent de uniti de msur. Eliminarea coeficientului parazit conduce la o condiionare a unitilor de msur pentru unitile mrimilor derivate, pentru care trebuie alese numai acele uniti care rezult din unitile mrimilor fundamentale. Cnd 1K (relaia de condiionare pentru unitatea de volum),

    relaia fizic se va scrie 3

    V X i coincide cu relaia matematic 3V X .

    Prezena coeficientului parazit n formulele fizice conduce la complicarea formei acestora. Pentru eliminarea coeficientului parazit era nevoie de un sistem

    coerent de uniti de msur, care s conin un numr restrns de uniti fundamentale, ca i uniti derivate care s rezulte din unitile fundamentale.

    1.10 Ecuaii ntre mrimi i ecuaii ntre valori numerice n tiin i n tehnic se utilizeaz dou tipuri de ecuaii:

    - ecuaii ntre mrimi, n care mrimea fizic (produsul ntre valoarea numeric i unitate) este indicat printr-un simbol literal. Aceste ecuaii au avantajul c sunt independente de alegerea unitilor de msur; - ecuaii ntre valori numerice, unde valorile numerice ale mrimilor fizice depind de alegerea unitilor de msur pentru mrimile corespunztoare. S considerm ecuaia vitezei n micarea rectilinie i uniform:

    lv

    t

    Dac folosim drept uniti de msur metrul pentru lungime, secunda pentru timp i metrul pe secund pentru vitez, obinem ecuaia ntre valorile numerice:

  • 14

    lv

    t

    Dac ns folosim drept uniti de msur metrul pentru lungime, secunda pentru

    timp i kilometrul pe or pentru vitez, innd cont c 31km=10 m i 1h=3600s ,

    atunci -3m 10 km 3600 km

    1 =1 =3,6s 1h h

    , i obinem ecuaia ntre valorile numerice:

    m

    km/ h

    s

    3,6l

    vt

    Este evident c alegnd alte uniti de msur vom obine n loc de numrul 3,6 alt numr. Dac nu se precizeaz unitile de msur ntr-o ecuaie ntre valori numerice, atunci ecuaia nu poate fi utilizat sub aceast form.

    1.11 Dimensiunile mrimilor. Sisteme de dimensiuni S-a artat c procedeul de msurare a mrimilor fundamentale nu este arbitrar, condiia general impus fiind ca raportul valorilor a dou mrimi fundamentale de aceeai natur s fie independent de unitatea aleas. Aceast condiie general se impune i la definiia sau determinarea mrimilor derivate. Pentru ca raportul dintre valorile a dou mrimi derivate de aceeai natur s fie independent de unitatea aleas, relaiile prin care se definesc sau se determin mrimile derivate n funcie de mrimile fundamentale nu sunt arbitrare. S-a artat de asemenea c raportul valorilor unei aceleai mrimi se modific cu schimbarea unitilor, fiind egal cu inversul raportului dintre uniti.

    Problema esenial este de a determina n ce condiii se respect cerina principal si general referitoare la independena de unitile de msur a raportului dintre valorile a dou mrimi de aceeai natur. n acest scop vom considera dou mrimi derivate de aceeai natur notate cu

    1A i

    2A , msurate

    fiecare cu dou uniti de msur, A i A :

    1 1 1

    2 2 2

    A A A A A

    A A A A A

    (1.9)

    Vom stabili forma funciei prin care valoarea mrimii derivate depinde de valorile mrimilor fundamentale (s presupunem lungimea, timpul i masa n

    demonstraia ce urmeaz), astfel nct raportul valorilor celor dou mrimi

    1

    2

    A

    A,

    respectiv

    1

    2

    A

    A

    , s fie independent de unitatea aleas, adic s fie independent

    de unitile alese pentru msurarea mrimilor fundamentale. n acest scop, presupunem pentru funcie o form de tipul:

  • 15

    1 , ,A f l t m , (1.10)

    care indic expresia valorii 1A a mrimii derivate fa de unitatea A n funcie de valorile ,l t i m ale lungimii-tip, timpului-tip i respectiv masei-tip

    n anumite uniti, i funcia:

    1 , ,A f k l k t k m , (1.11)

    indicnd expresia valorii 1A a mrimii derivate fa de unitatea A n funcie de valorile ,l k l t k t i m k m ale lungimii-tip, timpului-tip i respectiv

    masei-tip n unitile al cror sistem conine i unitatea A .

    Condiia general cere ca raportul valorilor mrimilor derivate 1A i

    2A

    s nu depind de unitile alese, conform relaiilor (1.9):

    1 1

    2 2

    A A

    A A

    (1.12)

    innd cont de relaiile (1.10) i (1.11), relaia (1.12) devine:

    1 1

    2 2

    , , , ,

    , , , ,

    f l t m f k l k t k m

    f l t m f k l k t k m

    (1.13)

    Egalitatea din expresia (1.13) este ndeplinit dac funcia din membrul al doilea nu depinde de ,k k i ,k ceea ce este posibil numai dac funcia f este de

    forma produsului unor puteri:

    , , p q rf l t m Cl t m , (1.14)

    unde ,p q i r sunt numere arbitrare ntregi sau fracionare care pot avea valori

    pozitive, nule sau negative. Factorul C este o constant care nu depinde de unitile mrimilor fundamentale. Produsele i puterile pot reprezenta oricare dintre produsele sau puterile definite n calculul cu aceste mrimi. Numai pentru

    aceast form a funciei f se poate simplifica produsul p q rk k k ntre

    numrtor i numitor. n acest caz, raportul dintre valorile celor dou mrimi derivate

    1A i

    2A nu depinde de unitatea aleas de msur pentru aceste mrimi.

    Deoarece unitatea mrimii derivate depinde de unitile mrimilor fundamentale, rezult c acest raport rmne constant chiar dac se schimb independent unitile mrimilor fundamentale. Plecnd de la aceste consideraii se ajunge la introducerea noiunii de dimensiune. Pornind de la formula (1.14) se poate scrie expresia raportului a dou

    valori ale mrimii A fa de unitile A i B :

    1

    1

    .

    p q rp q r

    p q r

    A l t m l t m

    A l t m l t m

  • 16

    Chiar n cazul schimbrii unitilor fundamentale, raportul

    1

    1

    A

    A a dou valori

    ale aceleai mrimi derivate este egal cu produsul rapoartelor

    L, T, M,l t m

    l t m

    la puterile ,p q i r :

    11

    L T Mp q rA

    A

    (1.15)

    (valorile mrimilor fundamentale n cele dou sisteme de uniti din care fac

    parte respectiv unitile A i A ). Produsul (1.15) se numete i dimensiunea

    (sau ecuaia dimensional) mrimii derivate A , i se noteaz simbolic

    LTM

    L T Mp q rA (1.16)

    Relaia (1.16) se poate citi astfel: Mrimea A are dimensiunea p n raport cu

    lungimea, q n raport cu timpul i r n raport cu masa. n cazul 0p q r :

    0 0 0LTM

    L T M 1A

    prin urmare mrimea respectiv este o mrime numeric, fr dimensiuni. Nedepinznd de mrimile fundamentale, nici unitatea sa nu va depinde de unitile fundamentale. De obicei unitatea mrimilor fr dimensiuni se ia numrul unitate. Ecuaia dimensional pentru o mrime derivat presupune de fapt cunoaterea valorii coeficienilor ,p q i r , iar pentru a o obine se

    expliciteaz relaia de definiie pn n membrul al doilea apar numai mrimi fundamentale. De exemplu, puterea P se definete astfel:

    2

    2 3

    W F l m a l m l l m lP

    t t t t t t

    ,

    iar ecuaia dimensional este:

    2 -3LTM

    L T M.P

    Teoremele folosite pentru stabilirea dimensiunilor mrimilor derivate sunt urmtoarele: 1. Dimensiunile unei mrimi D egal cu produsul a dou mrimi A i B sunt egale cu produsul dimensiunilor celor dou mrimi:

    D A B A B

    Dac LTM

    L T Mp q rA i LTM

    L T Mp q rB

    , atunci LTM

    L T Mp p q q r rD .

  • 17

    2. Dimensiunile unei mrimi D egal cu raportul mrimilor A i B sunt egale cu raportul dimensiunilor celor dou mrimi:

    AA

    DB B

    ,

    sau LTM

    L T Mp p q q r rD

    3. Dimensiunile unei mrimi D egal cu mrimea A ridicat la puterea n sunt egale cu puterea a n -a a dimensiunilor mrimii A :

    nnD A A ,

    sau LTM

    L T M .np nq nrD

    Prima teorem se demonstreaz scriind fiecare mrime ca produsul ntre valoare i unitate, presupunnd c fiecare mrime se msoar cu dou uniti:

    A A A A A

    B B B B B

    D D D D D

    Relaia care exprim mrimea D A B se poate scrie sub dou forme,

    D A B sau D A B ; mprind membru cu membru obinem:

    D A B

    D A B

    innd cont de relaia (1.15) i de relaia corespunztoare pentru mrimea B :

    L T Mp q rB

    B

    (1.17)

    obinem

    L T Mp p q q r rD

    D

    ,

    adic relaia

    D A B

    n acelai mod se demonstreaz, fr dificultate, celelalte teoreme. Importana ecuaiilor de dimensiuni const n urmtoarele:

    - permit verificarea omogenitii formulelor fizice; - cu aceste ecuaii se pot stabili ecuaiile unitilor; - intervin n problemele de schimbare a unitilor.

  • 18

    Un sistem de dimensiuni se caracterizeaz prin grupul mrimilor fundamentale din care se pot determina univoc toate celelalte mrimi fizice. Dei sistemul de dimensiuni din fiecare capitol al fizicii este complet arbitrar n privina naturii i numrului mrimilor fundamentale, se pun dou condiii: - formulele fizicii s fie scrise cu un numr ct mai mic de constante universale, ceea ce ar conduce la un numr minim de mrimi fundamentale; - s existe ct mai puine posibil mrimi cu aceleai dimensiuni, fapt ce ar conduce la un numr ct mai mare de mrimi fundamentale. Pentru sistemul ales n prezent, dei exist mrimi cu aceeai dimensiuni, numrul acestora este foarte mic. n mecanic de exemplu, dimensiunile momentului forei coincid cu ale energiei, i ale viscozitii cinematice cu ale modulului de difuzie. n electricitate coincid dimensiunile fluxului induciei electrice cu ale sarcinii electrice, i ale induciei electrice cu ale densitii superficiale de sarcin electric. Aceste egaliti dimensionale ridic ns problema dac mrimile respective sunt sau nu de aceeai natur.

    Dou sisteme de dimensiuni pot diferi att prin numrul mrimilor fundamentale, ct i prin natura acestora. Din punctul de vedere al naturii mrimilor fundamentale, se aleg acele mrimi pentru care realizarea de etaloane, n scopul concretizrii unitii fundamentale, este mai uoar (de exemplu, se prefer masa n locul forei sau impulsului). Din punctul de vedere al dimensiunilor se alege acel sistem de dimensiuni n care ecuaiile de dimensiuni au forma cea mai simpl (exponenii mrimilor fundamentale din ecuaia dimensiunilor s fie ct mai mici, de exemplu egali cu 1 sau cel mult cu 2).

    1.12 Mrimi de aceeai natur i mrimi de natur diferit Dup cum s-a artat, numrul mrimilor cu aceleai dimensiuni dintr-un sistem de dimensiuni este cu att mai mare cu ct numrul mrimilor fundamentale este mai mic. Dou mrimi cu aceleai dimensiuni ntr-un sistem de dimensiuni pot avea dimensiuni diferite n alt sistem de dimensiuni. De exemplu, n sistemul LTM modulul de difuzie i viscozitatea cinematic au

    aceleai dimensiuni 2 -1L T . n sistemul de dimensiuni LTF modulul de difuzie are dimensiunile 2 -1L T , iar viscozitatea cinematic -2L TF . ntruct n sisteme diferite de dimensiuni exist mrimi diferite care au aceleai dimensiuni, apare firesc ntrebarea dac mrimile cu aceleai dimensiuni sunt n realitate de aceeai natur, sau se poate ntmpla ca mrimi cu aceleai dimensiuni s fie de natur diferit?

    Aa cum s-a artat, n procesul msurrii comparm o mrime cu o alt mrime de aceeai natur numit unitate. Evident c toate mrimile de aceeai natur se vor msuara cu aceeai unitate i n acelai mod, adic folosind acelai procedeu de msurare. Astfel, trebuie s adugm la condiia ca dou mrimi s fie de aceeai natur i pe aceea referitoare la msurarea cu acelai procedeu.

  • 19

    Lucrul mecanic i momentul unei fore sunt un exemplu de mrimi cu aceleai dimensiuni (n sistemele LTM i LTF ), ns de natur diferit. Procedeele de msur fiind diferite, cele dou mrimi se vor msura cu uniti diferite. Un alt exemplu este cazul mrimilor fr dimensiuni (numerele pure, unghiul plan, unghiul solid, panta, concentraia procentual, densitatea relativ etc.). Aceste mrimi sunt de natur diferit, deoarece fiecare dintre ele are un anumit procedeu de msurare, iar aceste procedee sunt diferite cnd trecem de la o mrime la alta. n consecin, unitile pentru aceste mrimi vor fi diferite: pentru numerele pure unitatea va fi cifra unu (simbol 1), pentru unghiul plan radianul, pentru unghiul solid steradianul, pentru pant procentul .a.m.d.

    O alt problem important la stabilirea unitilor de msur este dac din relaiile fizice se pot delimita sau nu mrimile de aceeai natur. Acest lucru este important la stabilirea unitilor, deoarece pentru dou mrimi de aceeai natur se folosete aceeai unitate de msur. Mrimile de aceeai natur pot fi legate prin anumite relaii de egalitate, ca de exemplu teorema energiei cinetice:

    2 2 2

    2 1

    1

    2 2

    mv mvF dr

    Mrimile din aceast formul (energia cinetic i lucrul mecanic) au acelai procedeu de msurare, deci sunt de aceeai natur i se msoar cu aceeai unitate de msur. ns ntre mrimi de natur diferit, dei cu aceleai dimensiuni (lucrul mecanic i momentul forei) nu exist o relaie de egalitate.

    1.13 Omogenitatea relaiilor fizice Relaiile fizice din orice capitol al fizicii trebuie s fie valabile independent de sistemul de uniti adoptat. Aadar, schimbarea unitilor de msur nu trebuie s modifice egalitatea dintre cei doi membri ai unei relaii. Aceasta presupune ca toi membri care intr ntr-o relaie fizic s fie de aceeai natur. n calculul dimensional acest fapt se rezum la urmtoarea afirmaie: o anumit relaie este omogen dac toi termenii si au aceleai dimensiuni (i deci aceeai natur). De exemplu, n teorema variaiei impulsului:

    2

    2 1

    1

    mv mv F dt

    se poate observa uor c fiecare termen are dimensiunile -1LT M .

    Derivata dy xdx

    are aceleai dimensiuni cu raportul creterilor finite y

    x

    , dup

    cum i integrala y x dx are aceleai dimensiuni cu produsul y x . Dac dou mrimi sunt identice:

    X Y ,

  • 20

    condiia de omogenitate a formulelor fizice impune ca X i Y s aib aceleai

    dimensiuni. Dac 1 1 1 1 1 1 1L M T N I JX i 2 2 2 2 2 2 2L M T N I JY , n relaia dimensional:

    X Y

    trebuie ndeplinite condiiile:

    1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2; ; ; ; ; ;

    Numai n acest caz legile fizicii rmn invariante fa de schimbarea unitilor de msur ale mrimilor fizice fundamentale.

    innd seama de condiia de omogenitate a formulelor fizice, se poate verifica dac o formul fizic este corect, sau se pot stabili anumite formule fizice dac tim de cine depinde mrimea pentru care stabilim formula respectiv.

    Exemplul 1

    S presupunem c formula perioadei P a unui pendul matematic ar fi:

    2g

    Pl

    Ecuaia dimensional este n acest caz

    1 2 1 2

    P g l

    Dimensiunile mrimilor care apar n formul sunt:

    -2LT

    LTg ; LTM

    LL ; LTM

    TP .

    Din relaiile de mai sus obinem:

    1 1 1

    -2 --12 2 2

    LT= T = L T L = TP

    ceea ce este imposibil, de unde rezult c formula perioadei este incorect. Stabilirea formulei corecte se face prin analiz dimensional cunoscnd c

    perioada pendulului depinde de lungimea sa l i de acceleraia gravitaional g :

    P l g ,

    Ecuaia dimensional a perioadei va fi:

    -2 -2LT

    T L L T L TP ,

    Din condiia de omogenitate obinem sistemul de ecuaii i soluia acestuia:

    2 1 1 1 ,

    0 2 2

    ,

    astfel formula fizic se va scrie, pn la un factor adimensional:

  • 21

    lP

    g

    Valoarea factorului adimensional se stabilete, n general, pe baza unor calcule teoretice i n cazul de fa are valoarea 2 , astfel c formula riguroas este

    2l

    Pg

    .

    1.14 Constante fizice Constantele fizice sunt de dou feluri: - constante de material (tensiunea superficial, modulul lui Young, cldura specifc etc.) - constante universale (viteza luminii n vid, constanta gazelor ideale, constanta gravitaional, constanta structurii fine, constanta lui Planck, anumite constante numerice etc.).

    Constantele universale sunt de dou categorii: constante numerice sau coeficieni numerici (de exemplu 2 care apare n formula perioadei pendulului) i constante dimensionale, a cror valoare depinde de unitile alese pentru msurarea mrimilor respective (constanta atraciei universale

    8 3 -2 1 11 3 -2 16,67 10 cm s g 6,67 10 m s kgK ). Trebuie precizat c dac ntr-o

    formul se introduce valoarea unei constante universale cu dimensiuni, formula nu mai poate fi interpretat ca o relaie ntre mrimi, ci ca o relaie ntre valori, i n acest caz trebuie indicate ntre paranteze unitile folosite.

    1.15 Dimensiunea unei mrimi fizice Orice mrime fizic X se poate exprima n funcie de alte mrimi printr-o ecuaie. Aceast expresie poate s conin o sum de termeni, fiecare dintre aceti termeni fiind exprimat prin produsul puterilor mrimilor fundamentale , , ,.....A B C care aparin unui set ales. Uneori acest produs este

    multiplicat cu un factor numeric, avnd forma ......k A B C , unde ansamblul exponenilor , , ..... este acelai pentru fiecare termen. Dimensiunea mrimii

    X va fi astfel exprimat prin produsul dimensiunilor

    ......X A B C

    ,

    unde , , ...A B C reprezint dimensiunile mrimilor fundamentale , , .....A B C , iar , , .... se numesc exponeni dimensionali. O mrime cu exponenii

    dimensionali egali cu zero se numete mrime fr dimensiune, produsul su de dimensiuni sau dimensiunea sa fiind 1, iar mrimea se exprim printr-un numr.

    Exemplul 2.

  • 22

    Exprimnd dimensiunile mrimilor fundamentale lungime, mas, timp, temperatur termodinamic, cantitate de substan, curent electric i intensitate luminoas prin simbolurile indicate mai jos:

    L, M, T, , N, I, Jl m t n i I ,

    se pot exprima dimensiunile oricrei mrimi fizice prin simbolurile respective i exponenii dimensionali corespunztori unei anumite mrimi (tabelul 1).

    Tabelul 1. Dimensiunile unor mrimi fizice

    Mrimea Dimensiunea Mrimea Dimensiunea

    Vitez -1LT Rezistena electric

    2 -3 -2L T MI

    Vitez unghiular -1T Inductan 2 -2 -2L T MI For -2LT M Permeabilitate -3 -2LT MI Energie 2 -2L T M Capacitate

    electric

    -2 4 -1 2L T M I

    Potenial electric 2 -3 -1L T MI Densitate relativ 1

    Permitivitate -3 4 -1 2L T M I Inducie magnetic

    -2 -1T MI

    Flux magnetic 2 -2 -1L T MI Capacitate

    caloric

    2 -2 -1L T M

    Iluminare -2L J Cldur specific 2 -2 -1L T Constanta Faraday -1TN I Randament

    energetic

    1

    1.16 Analiza dimensional a formulelor fizice Dup cum se tie, Sistemul Internaional cuprinde n prezent 7 uniti

    fundamentale i dou uniti suplimentare. ntr-un sistem coerent, unitile mrimilor derivate trebuie s se exprime numai prin uniti fundamentale sau suplimentare. Este clar c o unitate derivat se poate exprima i prin mai puin de 7 uniti fundamentale, de exemplu n mecanic, unde mrimile derivate se pot exprima prin numai trei mrimi fundamentale: lungime, timp i mas.

    Referitor la legea a doua a dinamicii, forma matematic a acesteia este:

    F ma

    Relaia dimensional se va scrie:

    [ ] [ ] [ ]F m a ,

    unde [ ] Mm i -2L Ta , astfel c

    -2M L TF .

  • 23

    F ma reprezint legea fizic, iar [ ] [ ] [ ]F m a reprezint relaia

    dimensional ntre mrimile fizice corespunztoare. Dup cum s-a artat n seciunea 1.9, dac nlocuim mrimile din formula

    fizic cu valorile acestor mrimi, forma formulei ce exprim relaia ntre mrimi nu se schimb (indiferent de unitile de msur folosite), numai dac se admite c unitile de msur pentru mrimile derivate se pot scrie n funcie de unitile de msur ale mrimilor fundamentale printr-o expresie de forma:

    L M T N I JX

    .

    Altfel spus, orice mrime X trebuie exprimat dimensional sub forma unui monom algebric format din puteri ale simbolurilor mrimilor fundamentale, exponentul fiecrei puteri fiind egal cu indicele puterii la care acea mrime fundamental intr n definiia mrimii derivate ( , , se mai numesc i

    dimensiunile mrimii derivate n raport cu mrimea fundamental corespunztoare: , , ...L M T ). n exemplul 3 se arat cum se determin

    dimensiunile pentru unele dintre aceste mrimi.

    Exemplul 3.

    S deducem formula vitezei luminii n vid cunoscnd c ea depinde de permitivitatea electric 0 i de permeabilitatea magnetic 0 a vidului.

    0 0 c

    Pentru a stabili dimensiunile mrimilor 0 i 0 , se procedeaz astfel:

    - din formula lucrului mecanic L efectuat asupra unei sarcini electrice q care

    se deplaseaz sub diferena de potenial U :

    qUL ,

    rezult

    -2

    2 -3 -1

    LTMI

    MLT L=L T MI

    IT

    F lU

    q i t

    L,

    de unde rezult i unitatea pentru tensiune, voltul, exprimat n unitile celor 4 mrimi fundamentale folosite din sistemul SI:

    2

    3

    1kg m1V=

    s A

    .

    Din legea induciei magnetice

    dU

    dt

    rezult

  • 24

    2 -3 -1 2 -2 -1LTMI

    ML T I T=L T MIU t

    Din relaia de definiie a fluxului vectorului inducie a cmpului magnetic:

    B S

    rezult

    2 -2 -1

    -2 -1

    2LTMI

    ML T I=T MI

    LB

    S

    Din relaia de definiie a induciei cmpului magnetic n vid:

    0B H

    rezult

    -2 -1

    -2 -2

    0 LTMI

    MT I L=LT MI

    I

    B

    H

    Din formula de definiie a capacitii electrice C :

    qC

    U

    rezult

    -2 4 -1 2

    2 -3 -1LTMI

    IT=L T M I

    ML T I

    qC

    U .

    Din formula capacitii unui condensator (de exemplu condensatorul plan):

    0 SCd

    rezult

    -2 4 -1 2

    -3 4 -1 2

    0 2LTMI

    LL T M I=L T M I

    L

    d C

    S

    Ecuaia dimensional a vitezei luminii va fi:

    -1 3 4 2 2 2 3 4 2 2 20 0LTMI LT L T M I M T I L T M Ic L .

    Din condiia de omogenitate obinem sistemul de ecuaii i soluia acestuia

    3 1 1 1,

    1 4 2 2 2

    astfel formula fizic se va scrie, pn la un factor adimensional:

  • 25

    1

    20 0

    0 0

    1c

    Se observ ca n aceast formul factorul adimensional este egal cu unitatea.

    Exemplul 4.

    S se adapteze relaia care exprim lungimea de und asociat unei particule elementare nerelativiste de mas m , sarcin q , accelerat la tensiunea

    U , n funcie de unitile: nanometru ( nm ) pentru lungimea de und; masa electronului (

    em ) pentru masa m a particulei; sarcina electronului ( e ) pentru

    sarcina q a particulei; voltul ( V ) pentru tensiunea de accelerare U .

    2

    h

    mqU ,

    unde 346,62 10 J sh reprezint constanta lui Planck. Relaia ntre valori

    corespunztoare sistemului SI este:

    346,62 10

    m2

    kg C V

    m q U

    Transformnd metrul n nm , kilogramul n mase electronice i coulombul n sarcini electronice din relaiile cunoscute:

    9 31 19

    e1nm 10 m; m 9,1 10 kg; e 1,6 10 C.

    obinem:

    e

    1,22

    nm

    m e V

    m qU

    (1.18)

    Din formula (1.18) rezult c pentru un electron accelerat la o tensiune de 1V, lungimea de und asociat va avea valoarea 1,22 nm.

    1.17 Uniti fundamentale i uniti derivate Unitile fundamentale se aleg pentru msurarea mrimilor fundamentale,

    independent unele fa de altele, alegerea fiind convenional. Unitile derivate sunt cele cu care se msoar mrimile derivate. Aceste

    uniti nu sunt independente nici ntre ele, nici fa de unitile fundamentale. Regulile dup care se formeaz unitile derivate stabilesc mai multe aspecte care caracterizeaz o unitate derivat: ecuaia unitii, denumirea, definiia i formula de transformare n alte uniti.

  • 26

    Plecnd de la relaia de definiie a mrimii derivate se stabilesc, n aceast ordine:

    a) ecuaia dimensiunilor mrimii derivate din relaia prin care se determin aceast mrime; b) ecuaia unitii, prin nlocuirea mrimilor fundamentale din ecuaia dimensiunilor cu unitile fundamentale corespunztoare. Pentru c n ecuaia dimensiunilor nu apar coeficieni numerici, acetia nu vor apare nici n ecuaia unitii; c) denumirea unitii se face cu ajutorul ecuaiei unitii sau direct din relaia de definiie; d) definiia, n care unitatea mrimii respective se obine n cazul n care toate celelalte mrimi vor fi egale fiecare cu unitatea corespunztoare fiecreia; e) formula de transformare, care se obine din ecuaia unitii nlocuind unitile fundamentale cu formulele lor de transformare.

    Drept exemplu, s stabilim unitatea pentru energie din relaia 212

    W mv ,

    care conine coeficientul numeric 12

    , avnd numele special Joule i simbolul J.

    a) 2 -2LTM

    L T M;W b) 2 -2m s kg;SI

    W c) 2 -21m s kg=1J; d) 1JW dac

    2kgm i 1mvs

    . Definiie: Joule-ul este energia cinetic a unui corp cu

    masa de dou kilograme, care se deplaseaz cu o vitez de un metru pe secund.

    e) 4 2 -2 3 5 2 -2 71J 10 cm 1s 10 g=10 cm s g=10 erg .

    Unitile derivate stabilite prin procedeul de mai sus se mai numesc coerente. Coerena este dimensional, deoarece la baza definiiei acestor uniti st ecuaia dimensiunilor mrimii. n consecin, indiferent de relaiile care conin mrimea respectiv (n cazul de sus energia) se obine aceeai ecuaie a unitii mrimii. Dou uniti sunt identice numai dac att ecuaia unitii, ct i definiia sunt aceleai. De exemplu, dei au aceeai ecuaie, unitatea pentru momentul forei i pentru lucrul mecanic nu au aceeai definiie. Dei mrimile au aceleai dimensiuni, ele sunt de natur diferit, n consecin unitile celor dou mrimi au denumiri diferite: 1N m 1J. Diferenierea procedeelor de msurare atrage dup sine diferenierea definiiilor unitilor.

    1.18 Sisteme de uniti Un sistem de uniti trebuie s posede un grup de uniti fundamentale. Unui sistem de dimensiuni i pot corespunde mai multe sisteme de uniti, ca de exemplu sistemului de dimensiuni LMT i corespund sistemele de uniti MKS (metru-kilogram-secund) i CGS (centimetru-gram-secund).

    Pentru folosirea practic a sistemelor de uniti este nevoie ca unitile fundamentale s fie concretizate i pstrate n condiii speciale, ceea ce se realizeaz sub forma etaloanelor. Nu se realizeaz ns etaloane pentru unitile fundamentale ale tuturor sistemelor de uniti. Unitile fundamentale ale altor

  • 27

    sisteme de uniti dect sistemul principal se definesc prin anumite relaii n funcie de unitile sistemului principal. Ca exemplu prezentm cazul sistemului

    ,CGS unde centimetrul i gramul difer de metru i kilogram. Nu se realizeaz

    alt etalon pentru centimetru sau gram, ci se definesc n funcie de metru i kilogram astfel:

    -2 -31cm=10 m; 1g=10 kg; 1s=1s

    Un sistem de uniti trebuie s ndeplineasc anumite condiii: - s fie practic, adic la msurarea mrimilor uzuale s nu fie nevoie de valori foarte mari sau foarte mici;

    - s fie general, care s se aplice n toate capitolele fizicii; - s fie coerent, n care unitile derivate se formeaz dup principiul coerenei dimensionale; ntre aceste uniti nu exist coeficieni numerici; - unitile fundamentale s fie independente ntre ele din punct de vedere dimensional. Din acest punct de vedere chiar i Sistemul Internaional are neajunsuri, deoarece n definiia amperului se folosete metrul i kilogramul.

    1.19 Etaloane i msuri n paragraful 1.15 s-a artat c pentru folosirea unitilor este nevoie de concretizarea acestora, prin relaiile de definiie sau de determinare a mrimii, conform unor operaii precizate. ntruct pentru mrimile fundamentale concretizarea nu se poate obine n acest mod, se folosesc aa numitele etaloane.

    Etaloanele trebuie s satisfac o serie de cerine, printre care: - s poat fi reconstituite in orice moment; - s prezinte variaii minime fa de influena factorilor externi (presiune, temperatur, umiditate etc; - materialele din care sunt confecionate s nu sufere modificri de structur fizico-chimic n timp; - s fie uor de folosit n tehnica de msurare. Trebuie precizat c nu este nevoie ca pentru toate unitile fundamentale

    din diferite sisteme de uniti s existe cte un etalon. Cu toate acestea, numrul etaloanelor este egal cu numrul unitilor fundamentale.

    Metrologia se ocup cu realizarea i conservarea etaloanelor. Etaloanele sunt de mai multe ordine: prototip, etalon de primul ordin, de ordinul doi, de

    ordinul trei etc. Etaloanele prototip de lungime i mas (metrul i kilogramul) sunt depozitate n camerele speciale ale pavilionului Breteuil de la Svres Frana. Cu acestea sunt nchise etaloane de prim ordin. Dup acestea se realizeaz copii, care constituie etaloane de ordinul doi, care se distribuie diferitelor ri. n aceste ri se construiesc etaloane de ordinul trei, folosite de institutele meteorologice i institutele de cercetri. Dup aceste etaloane de ordinul trei se realizeaz msurile, care sunt folosite n practica zilnic. Exist msuri de lungime rigle, rulete, de mase cutia cu greuti, ca i msuri ale unor uniti derivate - de exemplu msurile de capacitate.

  • 28

    Tendina actual este ca n locul etaloanelor artificiale s se foloseasc etaloane naturale. Astfel, pentru etalonul de lungime s-a cutat lungimea de und a unei radiaii electromagnetice emise n anumite condiii, apoi lungimea drumului parcurs de lumin n vid, ntr-un interval precizat de timp.

    1.20 Sisteme coerente de uniti Unitile pot fi alese arbitrar, ns o astfel de alegere a unei uniti pentru

    fiecare mrime ar conduce la introducerea de noi factori numerici n ecuaiile ntre valorile numerice. Este totui posibil i chiar logic alegerea unui sistem de uniti astfel ca ecuaiile ntre valori numerice (cu factorii numerici inclui) s aib aceeai form cu ecuaiile corespunztoare ntre mrimi. Un sistem de uniti definit n acest mod se numete coerent n raport cu sistemul de mrimi i de ecuaii considerat. Sistemul Internaional de Uniti SI este un astfel de sistem. Acest sistem este dat n ISO 31-1, ISO 31-10, ISO 31-12 i ISO 31-13. Unitile necoerente sunt legate de cele coerente prin relaii cu coeficieni numerici, ca de exemplu caloria n funcie de joule:

    1cal=4,18J

    Pentru un sistem anumit de mrimi i ecuaii se obine un sistem coerent de uniti definind mai nti unitile mrimilor fundamentale, adic unitile fundamentale. Pentru fiecare mrime derivat, definiia unitii derivate corespunztoare n funcie de unitile fundamentale se d printr-o expresie algebric obinut prin nlocuirea n produsul de dimensiuni a simbolurilor dimensiunilor fundamentale cu simbolurile unitilor fundamentale. n cazul particular al unei mrimi cu dimensiunea unu, unitatea este 1. ntr-un astfel de sistem coerent de uniti, nici un factor numeric diferit de numrul 1 nu figureaz n expresiile unitilor derivate (date n funcie de unitile fundamentale) - a se vedea exemple n tabelul 2.

    Tabelul 2. Uniti derivate ntr-un sistem coerent de uniti

    Mrimea Ecuaia Dimensiunea Simbolul unitii derivate

    Vitez dlv

    dt

    1LT -1m s

    For 2

    2

    d lF m

    dt

    2MLT -2kg m s

    Energie cinetic 21

    2c

    E mv 2 2ML T

    2 -2kg m s

    Energie potenial p

    E mgh 2 2ML T 2 -2kg m s

    Energie mecanic 21

    2E mv mgh

    2 2ML T 2 -2kg m s

  • 29

    Randament

    energetic u

    c

    L

    L

    1 1

    Cldura molar dQC

    dT

    2 2ML T 2 -2kg m s

    Fluxul magnetic B S

    2 -2 -1L T MI 2 -2 -1kg m s A

    Denumirea Sistem Internaional de Uniti, prescurtat SI, a fost adoptat la a 11-a Conferin General de Msuri i Greuti, n 1960. Romnia a aderat la acest sistem prin hotrrea Consiliului de Minitri nr.550 din 31 august 1961.

    SI cuprinde patru categorii de uniti: 1 - fundamentale; 2 - derivate (grupele a, b i c); 3 - suplimentare; 4 - uniti derivate ce se exprim prin uniti suplimentare. Acestea formeaz mpreun sistemul coerent de uniti SI.

    n 1960 CGPM (Confrence Gnrale des Poids et Mesures) a clasat unitile pentru unghiul plan (radianul) i unghiul solid (steradianul) n categoria unitilor suplimentare. n 1980 Comitetul Internaional de Msuri i Greuti a hotrt s considere clasa unitilor suplimentare n SI ca o clas de uniti derivate fr dimensiune. CGPM a lsat libertatea fiecruia de a le utiliza sau nu n expresiile unitilor SI derivate. Dei n aceaste condiii unitatea coerent pentru unghiul plan i pentru unghiul solid este numrul 1, n cele mai multe aplicaii se utilizezeaz totui denumirile speciale radian i steradian n locul numrului 1. n continuare vom considera unitile suplimentare n cadrul unitilor derivate cu denumiri speciale, astfel vor fi numai dou categorii de uniti fundamentale i derivate.

    1. Unitile fundamentale sunt: lungimea (unitatea metru, simbol m), masa (kilogram, kg), timpul (secund, s), curentul electric (amper, A), temperatura termodinamic (kelvin, K), cantitatea de substan (mol, mol), intensitatea luminoas (candel, cd). Definiiile unitilor fundamentale

    Metrul reprezint lungimea drumului parcurs de lumin n vid, ntr-un interval de timp de 1 299 792 458dintr-o secund.

    Prototipul kilogramului rmne cel confirmat de prima Conferin General de Msuri i Greuti, de la Paris din 1889. Este confecionat din platin iridiat.

    Secunda reprezent durata a 9.192.631.770 perioade ale radiaiei corespunztoare tranziiei ntre cele dou niveluri hiperfine ale strii fundamentale a atomului de cesiu 133.

    Kelvinul reprezint1

    273,16 din temperatura termodinamic a punctului

    triplu al apei.

    Molul reprezint cantitatea de substan dintr-un sistem ce conine attea entiti elementare (atomi, molecule, grupri de molecule etc.) ci atomi conine

  • 30

    o mas de 0,012kg de carbon 12, adic un numr de atomi egal cu numrul lui

    Avogadro 23 16,02252 10 molAN . Amperul reprezint intensitatea curentului electric constant care, meninut

    n dou conductoare paralele, rectilinii, de lungime infinit, de seciunea circular neglijabil, aezate n vid la o distan de 1m unul de cellalt, ar

    produce ntre cele dou conductoare o for de 72 10 N pe unitatea de lungime. Candela este intensitatea luminoas, ntr-o direcie dat, a unei surse care

    emite o radiaie monocromatic cu frecvena de 12540 10 Hz i a crei intensitate radiant n acea direcie este 1 683dintr-un watt pe steradian.

    Aceste uniti fundamentale, ca i etaloanele lor, nu sunt stabilite o dat pentru totdeauna prin definiiile enunate mai sus. Este posibil ca n urma cercetrilor din domeniile de vrf ale fizicii (corp solid, fizic nuclear etc.) s se impun elaborarea altor uniti fundamentale.

    2. Uniti derivate Expresiile unitilor derivate coerente n funcie de unitile fundamentale se pot obine din expresiile produselor de dimensiuni i utiliznd urmtoarele substituiri formale:

    L m; M kg; T s; I A; K; N mol; J cd

    Se admite folosirea unor anumite combinaii sau a anumitor denumiri speciale pentru a deosebi mrimile care au aceeai dimensiune. Se pot distinge trei grupe de uniti derivate, notate n continuare cu a), b) i c)

    a) uniti derivate exprimate prin unitile fundamentale: aria 2m , volumul 3m , viteza m s , acceleraia 2m s , numrul de und -1m , densitatea 3kg m , densitatea de curent 2A m , intensitatea cmpului magnetic A m , concentraia cantitii de substan 3mol m .

    b) Uniti derivate cu denumiri speciale (tabelul 3)

    Tabelul 3. Uniti SI derivate cu denumiri speciale, incluznd i unitile SI suplimentare

    Mrimea derivat Unitatea SI derivat

    Denumire

    special Simbol Expresie n funcie de uniti SI

    fundamentale i/sau SI derivate

    unghi plan radian rad 1rad =1m/m=1

    unghi solid steradian sr 2 21sr =1m /m =1

    frecven hertz Hz -11Hz =1s

    for newton N 21N =1kg m/s

    presiune, tensiune

    mecanic pascal Pa 2 21Pa =1N/m kg m s

  • 31

    enrgie, lucru mecanic,

    cantitate de cldur joule J 2 21J=1N m=kg m s

    putere, flux radiant watt W 2 31W=1J s=m kg s

    sarcin electric, cantitate de electricitate

    coulomb C 1C=1A s

    potenial electric, diferen de potenial, tensiune electric, tensiune electromotoare

    volt V 2 -3 -11V=1W/1A=J C=m kg s A

    capacitate electric farad F 2 -1 4 21F=1C/V=m kg s A

    rezisten electric ohm 2 -3 -21=1V/A=m kg s A

    conductan electric siemens S -1 -2 -1 3 21S=1 =A V=m kg s A

    flux al induciei magnetice weber Wb 2 -2 -11Wb=1V s=m kg s A

    inducie magnetic tesla T 2 2 -11T=1Wb/m =kg s A

    inductan henry H 2 -2 -21H=1Wb/A=m kg s A

    temperatur Celsius grad Celsius

    C 1 C=1K

    flux luminos lumen lm 1lm=1cd sr

    iluminare lux lx 2 21lx=1lm/m =1cd sr m

    Dintre unitile S.I. derivate care conin i uniti suplimentare, pe lng cele cu

    denumiri speciale (lumen i lux), enumerm viteza unghiular -1 rad s sau s , acceleraia unghiular 2 rad s , intensitatea energetic W/sr , luminana energetic -1 -2W sr m . Definiia unitilor suplimentare S.I.

    Unghiul plan (simbol , , , , ...... ) este unghiul dintre dou

    semidrepte care pornesc din acelai punct. Se definete ca raportul dintre lungimea arcului subntins pe un cerc (cu centrul n punctul considerat) i

    lungimea razei cercului, prin formula:

    AB

    r , (1.19)

    unde AB este arcul subntins de laturile unghiului la centru, iar r este raza cercului (fig.1).

    Unitatea de unghi plan este radianul, care

    reprezint unghiul plan cuprins ntre dou raze ce delimiteaz pe circumferina unui cerc un arc de

    rB

    Figura 1. Radianul

    A

  • 32

    lungime egal cu cea a razei AB r . Unghiul plan maxim exprimat n radiani

    corespunde unui arc de lungime 2 r , i are valoarea max2

    2rad.r

    r

    Unghiul solid (simbol ) este unghiul solid al unui con. Se definete ca raportul ntre aria delimitat pe suprafaa unei sfere (avnd centrul n vrful conului) i ptratul razei sferei, prin formula:

    2

    S

    r

    (1.20)

    unde S este suprafaa intersectat pe o sfer de raz r de un con cu unghiul la vrf 2 , avnd vrful n centrul sferei (fig.2). Unitatea de unghi solid este steradianul. Un steradian reprezint unghiul solid care, avnd vrful n centrul unei sfere, delimiteaz pe suprafaa acestei sfere o arie egal cu cea a unui ptrat a crui latur este egal cu raza

    sferei 2S r . De la geometrie se tie c aria segmentului de sfer S este dat de formula 2S rh , unde (1 cos)h r

    reprezint nlimea calotei sferice, astfel c

    22 (1 cos)S r .

    Conform definiiei, formula unghiului solid va fi:

    2 2(1 cos)

    S

    r

    , (1.21)

    de unde prin difereniere obinem:

    2sin d d . (1.22)

    Formula (1.21) indic relaia dintre unghiul solid i unghiul plan . c) Uniti derivate care se exprim folosind denumiri speciale (tabelul 4)

    Tabelul 4. Uniti SI derivate cu folosirea denumirilor speciale

    Mrimea derivat Unitatea SI derivat

    Denumirea unitii n SI

    Simbol Expresia n uniti SI fundamentale

    momentul forei metru- newton N m 2 -2m kg s

    densitate de flux termic,

    iluminare energetic watt pe metru ptrat 2W m -3kg s

    capacitate termic joule pe kelvin J K 2 -2 -1m kg s K

    capacitate termic masic joule pe kilogram kelvin

    J kg K 2 -2 -1m s K

    r S

    h

    Figura 2. Steradianul

  • 33

    energie masic joule pe kilogram J/kg 2 -2m s energie volumic joule pe metru cub 3J/m -1 -2m kg s

    intensitate a cmpului electric

    volt pe metru V/m -3 -1m kg s A

    sarcin electric volumic

    coulomb pe metru

    cub

    3C/m -3m s A

    permitivitate farad pe metru F/m -3 -1 4 2m kg s A

    permeabilitate henry pe metru H/m -2 -2m kg s A

    energie molar joule pe mol J/mol 2 -2 -1m kg s mol

    capacitate termic molar joule pe mol kelvin J/mol k 2 -2 -1m kg s k

    Din tabelul 4 se poate observa avantajul utilizrii de simboluri sau denumiri speciale n expresiile unitilor compuse. Astfel, utiliznd unitatea derivat volt

    ( 2 -3 -11V=1m kg s A ), simbolul unitii SI pentru permitivitate se poate scrie

    sub forma mai simpl -1 -1s A m V . Utiliznd unitatea derivat joule

    ( 2 -21J=1m kg s ), simbolul unitii SI pentru entropia molar se poate scrie sub

    forma simpl -1 -1J K mol ;

    Unitatea unu

    Unitatea coerent a oricrei mrimi cu dimensiune unu este unitatea unu, simbol 1. n general, acest numr nu se scrie n mod explicit cnd se exprim valoarea unei asemenea mrimi (cu excepia unor mrimi cu denumiri speciale, cnd, n funcie de context, pot fi sau nu utilizate). Exemple: indicele de refracie 1,53 1 1,53n , unghi plan =0,5rad=0,5; unghi solid

    =3,5sr=3,5 .

    Simbolurile mrimilor Sunt constituite dintr-o singur liter a alfabetului latin sau grec, uneori cu indice interior sau alte semne distinctive. Se tipresc cu caractere italice, indiferent de caracterele folosite n text. Indicii inferiori care reprezint simbolul unei mrimi fizice se tiprete tot cu caracter italic, ca i mrimea. Ceilali indici inferiori se tipresc cu caractere romane drepte.

    Exemplul 5

    Indici italici p

    C (p=presiunea) n na b (n=nr. curent) xp (x=coordonata x)

    Indici drepi g

    C (g = gaz) r

    (r = relativ) e

    (e = electric)

    Simbolurile mrimilor trebuie tiprite cu litere mici, n afara acelor mrimi pentru care denumirea deriv de la un nume propriu ca de exemplu: m (metru); s (secund); A (amper); Wb (weber)

  • 34

    1.21 Unitile speciale Se introduc pentru situaii speciale ntlnite n anumite fenomene.

    Exemplul 6

    Torrul se folosete ca unitate de presiune deoarece presiunile joase se msoar cu manometrul cu mercur. Expresia torrului este:

    2

    N1torr =133,3

    m

    Ora se folosete curent pentru msurarea timpului n activitile umane zilnice:

    1h=60min=3600s

    Tabelul 5. Prefixe pentru multiplii i submultiplii zecimali ai unitilor SI

    Factorul Prefixul Factorul

    Prefixul

    Denumire Simbol Denumire Simbol 2410 yotta Y 2410 yocto y 2110 zetta Z 2110 zepto z 1810 exa E 1810 atto a 1510 peta P 1510 femto f 1210 tera T 1210 pico p 910 giga G 910 nano n 610 mega M 610 micro 310 kilo k 310 mili m 210 hecto h 210 centi c

    10 deca da 110 deci d

    Bibliografie 1. Mircea Oncescu. Mrimi i Uniti n Fizic, vol.I. Editura Tehnic, Bucureti, 1955 2. Traian I. Creu, Corneliu Ghizdeanu. Metode de msurare i prelucrare a datelor experimentale pentru uzul studenilor. Institutul Politehnic Bucureti, 1980

    3. Traian I. Creu. Fizica General Vol.I. Editura Tehnic, Bucureti, 1986 4. Jerome V. Scholle. Metrology. Addison Wesley Longman Inc., 1993

    5. Institutul Romn de Standardizare. Uniti de Msur. Colecie de standarde. Editura Tehnic, Bucureti, 1997 6. Arjana Davidescu. Metrologie general, Ed. Politehnic, Timioara, 2001 7. Preben Horwath, Fiona Redgrave. Metrology in short, 2nd edition, MKom Aps, Denmark, 2003

    8. Jay L. Bucher (editor), The Metrology Handbook, Measurement Quality

    Division, ASQ, 2004