Upload
catalin-calina
View
97
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
1
Tema 1
Obiectul fizicii. Legătura fizicii cu celelalte ştiinţe şi cu
tehnica. Dezvoltarea fizicii în România. Mărimi fizice şi
unităţi de măsură. Analiză dimensională
1.1 Introducere Cuvântul fizică este de origine greacă (physis=natură). Denumirea a fost
dată de Aristotel, semnificând faptul că fizica este o ştiinţă a naturii. Deşi era o
personalitate proeminentă a lumii antice, totuşi în domeniul fizicii toate ideile
sale s-au dovedit a fi greşite, exceptând denumirea dată ştiinţei respective.
Obiectul fizicii îl constituie studierea structurii materiei, a proprietăţilor ei
generale şi a formelor sale de mişcare (mecanică, termică, cuantică, nucleară
etc.), a transformărilor reciproce ale acestor forme de mişcare.
Dezvoltarea ştiinţelor şi a tehnicii nu poate fi concepută astăzi fără
dezvoltarea şi aprofundarea cunoştinţelor la disciplina fizică, precum şi la
celelalte discipline fundamentale ca matematica, chimia, biologia. Astfel, unele
legi descoperite iniţial la chimie au precedat formularea unor legi ale fizicii. Ca
un exemplu, legile proporţiilor simple sau multiple au condus la ideea
discontinuităţii materiei, inspirându-l pe Avogadro să formuleze legea
volumelor la fizica moleculară. Pot fi date mai multe exemple în care
dezvoltarea uneia dintre ştiinţele fundamentale a influenţat dezvoltarea celorlalte:
apariţia calculului diferenţial şi integral la matematică, teoria relativităţii sau
teoria cuantelor la fizică, biofotonica etc.
În ţara noastră fizica s-a bucurat dintotdeauna de o atenţie deosebită, unii
fizicieni români aducând contribuţii importante la dezvoltarea acestei discipline,
atât pe plan naţional cât şi internaţional. Cei mai importanţi dintre aceştia sunt:
Dragomir Hurmuzescu (1865-1954) a efectuat cercetări în domeniul
electricităţii şi fizicii radiaţiilor Roëntgen, a construit electroscopul care îi
poartă numele, a măsurat constanta electrodinamică.
Ştefan Procopiu (1890-1972), fizician de renume mondial s-a ocupat, pe
lângă activitatea didactică, şi de cercetarea ştiinţifică. A stabilit printr-un
raţionament ingenios, pentru prima dată în lume, valoarea momentului magnetic
molecular sau magnetonul teoretic, în anul 1912, când era încă student. Nu i s-a
acordat Premiul Nobel pentru această descoperire dintr-o neglijenţă a comisiei.
În anul 1921 a descoperit fenomenul depolarizării luminii de către suspensii şi
coloizi (fenomenul Procopiu), iar în 1930 a descoperit efectul Procopiu, care
constă în efectul circular al discontinuităţilor magnetice. A fost desemnat de
două ori în comisia pentru nominalizări la premiul Nobel.
Ion Agârbiceanu (1907-1971) a fost profesor la Institutul Politehnic
Bucureşti, având cercetări în domeniul fizicii atomice şi spectroscopiei. În anul
1962 a fost construit sub conducerea sa, la Institutul de Fizică Atomică din
Bucureşti-Măgurele, primul laser cu gaz din ţară şi unul dintre primele din lume.
2
Horia Hulubei (1896-1972) a fost profesor la Universitatea Bucureşti,
bucurându-se de aprecierea marilor savanţi ai vremii. S-a remarcat prin lucrări în
domeniul spectroscopiei optice, de raze X şi , şi în domeniul fizicii nucleare.
Eugen Bădărău (1887-1975) a fost profesor la Universitatea Bucureşti şi
academician. A avut lucrări importante în domeniile opticii, spectroscopiei şi
acusticii, A iniţiat cecetări asupra descărcărilor electrice în gaze şi plasmei în
România, a explicat mecanismul descărcărilor luminiscente în arc.
1.2 Metode de cercetare în fizică Fizica a devenit o ştiinţă de sine stătătoare în perioada de după Renaşterea
italiană, când metoda experimentală de studiu promovată de Galileo Galilei a
relevat aspectele profunde ale unor fenomene din natură. Galilei a fost primul
care a ţinut să verifice experimental legi şi postulate considerate valabile apriori,
ca de exemplu căderea liberă a corpurilor. Prin utilizarea planului înclinat,
Galilei reducea acceleraţia de cădere, mărind astfel timpul de măsurare a
distanţelor. De atunci se spune că „ştiinţa a coborât din Cer pe Pământ pe planul
înclinat al lui Galilei”.
În secolele XVII-XVIII s-a realizat prima împărţire a fizicii pe ramuri,
cristalizându-se în sec XIX ramurile clasice: mecanica, termodinamica,
electricitatea şi optica. În această perioadă începe să fie utilizată şi metoda
teoretică de studiu, bazată pe metodele matematicii clasice. Teoriile fizicii s-au
dezvoltat în două direcţii:
- fenomenologică, care porneşte de la proprietăţile macroscopice ale
corpurilor;
- microscopică, care porneşte de la structura internă a corpurilor.
Teoriile sunt considerate concludente dacă prin aplicarea fiecăreia dintre cele
două metode se obţin rezultate identice în studierea unui fenomen.
În sec. IX-XX au apărut ramurile moderne ale fizicii: fizica particulelor
elementare, fizica atomului, solidului, plasmei, mecanica cuantică etc.
Teoriile fizicii moderne pornesc de la ipoteze asupra structurii intime a
corpurilor, care prin interpretări matematice devansează realizările practice
bazate pe teoriile respective. Intervalul de timp de la o descoperire la aplicaţia
practică bazată pe aceasta a scăzut constant o dată cu trecerea timpului. Astfel,
de la descoperirea fisiunii nucleare în anul 1934 până la construirea primului
reactor nuclear au trecut 8 ani, iar de la formularea teoriei tranzistorilor până la
realizarea lor au trecut numai 3 ani (1951). În prezent, în ţările dezvoltate acest
interval de timp a scăzut până la ordinul zilelor, datorită progresului tehnologic
şi concurenţei acerbe pe piaţa produselor de înaltă tehnologie.
Înainte de perioada comunismului, în ţara noastră fizica s-a dezvoltat
datorită unor personalităţi ştiinţifice recunoscute de comunitatea internaţională,
care au studiat în străinătate, fiind în contact cu cercurile ştiinţifice ale vremii.
Cu toate acestea, nu exista o bază de mase, deoarece numai cei din familiile
înstărite îşi puteau permite studii în străinătate. În perioada comunismului s-a
3
creat această bază, creându-se condiţiile pentru dezvoltarea pe orizontală a
acestei ştiinţe, însă fără criterii clare de departajare a valorilor. Aceasta
înseamnă că puterea de decizie nu aparţinea de obicei persoanelor cele mai
competente din punct de vedere ştiinţific, ci se acorda după alte criterii. Cu toate
acestea, s-au creat unele condiţii pentru dezvoltarea ştiinţei şi promovarea
cercetării fundamentale, însă gestionarea relaţiei cu cercetarea aplicativă şi
producţia de bunuri a fost de asemenea deficitară.
În învăţământul superior au fost create primele facultăţi de fizică
prevăzute cu secţii de specialitate în aproape toate domeniile fizicii, precum şi
institute de cercetare (I.C.F.I.Z. în Bucureşti, Institutul de Izotopi Stabili în Cluj,
Institutul de Reactori Nucleari din Piteşti etc.). Printre domeniile de cercetare-
dezvoltate s-au numărat următoarele:
- energetica nucleară, cu aplicaţii industriale cum ar fi centrala nucleară de
la Cernavodă;
- aplicaţiile laserilor în industrie (geodezie, prelucrarea materialelor,
aliniere, energetica nucleară), biologie (biofotonica), medicină (terapie şi
chirurgie cu laser, imagistică medicală), informatică (optical computing),
tehnica militară (telemetrie laser, sisteme de pază şi alarmare, ghidarea
proiectilelor în fascicul laser, aparatură de vedere pe timp de noapte) etc.
- fizica materialelor, cu scopul de a crea materiale noi şi performante
pentru industria electronică, energetică, aeronautică etc.
- optica neliniară, fizica semiconductoarelor ş.a.
În special în cursul istoriei recente se pot da numeroase exemple privind
rolul ştiinţei (şi al fizicii în special) în influenţarea relaţiilor internaţionale,
geopolitice, a geografiei, istoriei, a strategiei militare etc. prin impactul pe care
l-a avut folosirea unor descoperiri ştiinţifice. Astfel, al doilea război mondial se
putea prelungi cu câţiva ani datorită rezistenţei puternice opuse de trupele
japoneze trupelor aliate în Pacific. Aruncarea a două bombe atomice asupra
teritoriului japonez a convins guvernul japonez să capituleze. În războiul din
Vietnam s-au testat pentru prima dată telemetrele cu laser, care asigurau o
precizie de lovire de 15 cm la o distanţă de 10 km, fapt care s-a dovedit în final
insuficient, pentru că SUA au suferit în final o înfrângere umilitoare. În războiul
din insulele Malvine (Falkland) dintre Marea Britanie şi Argentina trupele
britanice au utilizat în premieră aparatură de vedere pe timp de noapte, ceea ce
le-a permis să obţină capitularea adversarului datorită superiorităţii tehnice, deşi
acesta era mult superior numeric şi lupta pe teren propriu.
Din cele discutate se poate desprinde ideea că fizica este o ştiinţă
experimentală, rezultatele obţinute în procesul de măsurare având un rol
fundamental în enunţarea ideilor şi a legilor fizicii. Pentru formularea cantitativă
a acestor legi se folosesc noţiuni şi procedee matematice corespunzătoare. În
acest sens enumerăm câteva idei ale unor savanţi despre rolul măsurării în fizică.
William Thompson (lord Kelvin): ”Când putem măsura mărimea despre
care vorbim şi o putem exprima printr-un număr, atunci noi ştim ceva despre ea;
4
dar când nu o putem exprima printr-un număr, cunoaşterea noastră este slabă şi
nesatisfăcătoare”.
D. I. Mendeleev: ”Ştiinţa începe atunci când încep măsurătorile”.
Max Planck, reluând o idee a lui Galilei, îndemna pe fizicieni să măsoare
tot ce este măsurabil şi să facă măsurabil tot ceea ce nu este încă măsurabil.
1.3 Mărimi fizice şi unităţi de măsură În urma observaţiilor şi a experimentelor asupra diferitelor sisteme de
corpuri, s-a constatat că acestea prezintă unele proprietăţi comune cum ar fi:
inerţia, masa, volumul, culoarea, forma etc. Astfel, multitudinea informaţiilor
obţinute despre sistemele fizice în procesele de observare directă sau măsurare
prin intermediul diferitelor instrumente de măsură, pot fi grupate în mai multe
clase de echivalenţă disjuncte. Fiecărei clase i se asociază o proprietate fizică a
corpurilor sau sistemelor de corpuri materiale. Proprietăţile fizice ale diferitelor
sisteme de corpuri materiale, care pe lângă operaţia de echivalenţă
corespunzătoare admit şi o operaţie de ordonare a elementelor componente, se
numesc mărimi fizice.
Operaţia sau procedeul de ordonare prezintă următoarele proprietăţi:
- asimetria: Dacă elementul x este mai mic în raport cu operaţia considerată
decât elementul y , atunci elementul y nu poate fi mai mic decât x în raport cu
altă operaţie de ordonare:
x y y x ;
- tranzitivitatea: Dacă în raport cu operaţia de ordonare adoptată sunt valabile
inegalităţile
( x y şi y z ),
atunci aceasta implică şi inegalitatea:
x z .
1.4 Simboluri Pentru exprimarea cât mai simplă a legilor şi teoremelor fizicii cu ajutorul
formulelor, se folosesc diferite simboluri pentru mărimile respective. De
asemenea, pentru exprimarea cât mai simplă a rezultatelor unei măsurători se
aleg simboluri pentru unităţile mărimilor respective şi pentru valorile mărimilor
faţă de acele unităţi. Simbolul mărimii fizice se va scrie ca produsul simbolic
dintre valoare şi unitatea de măsură. Este necesar întotdeauna să se specifice
într-o formulă fizică sensul simbolurilor folosite, adică acela pentru valoare,
mărime, sau unitate. Dacă simbolul folosit reprezintă o valoare, se va specifica
şi sistemul de unităţi. O categorie aparte de simboluri o reprezintă anumite
5
operaţii matematice care se efectuează asupra unor mărimi fizice, ca de exemplu
operaţii aritmetice, vectoriale, operaţii de diferenţiere şi integrare etc.
1.5 Măsurarea unei mărimi fizice Fizica studiază fenomenele din natură cu ajutorul mărimilor. Mărimile
reprezintă acele proprietăţi fizice ale corpurilor materiale care sunt măsurabile.
Prin măsurare mărimea respectivă se compară cu o anumită mărime de aceeaşi
natură, stabilindu-se raportul între acea mărime şi mărimea cu care se compară.
Din punct de vedere al măsurabilităţii există două grupuri de mărimi: direct
măsurabile şi indirect măsurabile.
Mărimile direct măsurabile (mărimile fizice propriu zise) sunt acele
mărimi pentru care se pot defini operaţiile de egalitate şi adunare, care la rândul
lor permit efectuarea raportului a două mărimi de aceeaşi natură, prin urmare şi
stabilirea procedeului de măsurare. Alegând pentru astfel de mărimi mărimea
unitate, se pot măsura direct celelalte mărimi prin procedeul stabilit. Exemplele
cuprind majoritatea mărimilor folosite în fizică: lungimea, masa, energia,
unghiul, greutatea etc.
Mărimile indirect măsurabile sunt acelea pentru care se poate defini
numai operaţia de egalitate, întrucât adunarea nu are sens fizic. Exemple:
temperatura, potenţialul electrostatic, altitudinea, densitatea etc. Formarea
raportului a două mărimi de aceeaşi natură nefiind posibil, aceste mărimi pot fi
făcute totuşi măsurabile indirect. Pentru aceasta se alege un corp cu proprietăţi
potrivite pentru punerea în evidenţă a mărimii fizice de măsurat şi un reper
convenţional, observând poziţia corpului respectiv faţă de reperul dat (de
exemplu la măsurarea temperaturii se urmăreşte meniscul alcoolului din tubul
capilar al unui termometru).
Definirea egalităţii şi adunării permit trecerea la definiţia raportului a
două mărimi de aceeaşi natură. De exemplu, raportul a două lungimi AB şi
A B este egal, prin definiţie, cu de câte ori trebuie pusă la cap lungimea A B
pentru a reproduce o lungime egală cu AB , obţinându-se un număr pentru
raportul AB A B . Dacă acest număr nu este întreg, se împarte lungimea A B
într-un număr din ce în ce mai mic de părţi egale până când se poate obţine din
aceste fracţiuni, prin punerea lor una în continuarea alteia, o lungime egală cu
AB . Pentru a trece de la noţiunea de raport la noţiunea de măsurare este
suficient să alegem printre mărimile de aceeaşi natură (notate generic cu A ) o
anumită mărime unitate, notată cu A . Raportul dintre mărimea fizică A şi
unitatea A se numeşte valoarea mărimii A , notată cu simbolul A :
A
AA
Alegând ca unitate o altă mărime 1A de aceeaşi natură, valoarea mărimii A va
fi:
6
1
1
AA
A .
În consecinţă, putem defini măsurarea ca fiind compararea mărimii de măsurat
cu o anumită mărime unitate (raportul dintre valoarea mărimii de măsurat şi
unitatea aleasă).
Un criteriu de clasificare pentru mărimile fizice poate fi caracterul pe care
îl prezintă acestea faţă de simetria fenomenelor. După acest criteriu se pot
menţiona mărimile scalare (masa, densitatea, energia etc.), vectorii (forţa, viteza
etc.), tensorii de ordinul doi (momentul cuplului de forţe, inducţia magnetică
etc.) şi pseudoscalarii (volumul, fluxul inducţiei electrice etc.).
Anumite proprietăţi fizice cum ar fi forma, electronegativitatea, distribuţia
spaţială, nu sunt măsurabile. Deşi admit o operaţie de echivalenţă, ele nu se pot
ordona în cadrul clasei de echivalenţă din care fac parte. Culoarea a fost multă
vreme considerată o proprietate şi nu o mărime fizică, însă o dată cu asocierea
unei valori a mărimii lungime de undă pentru fiecare culoare, în cadrul teoriei
electromagnetice a luminii, culoarea a devenit o mărime fizică.
Proprietăţile fizice ale căror elemente fizice admit o operaţie de ordonare,
care caracterizează stările posibile ale unui corp sau ale unui sistem de corpuri
limitat în timp şi spaţiu, reprezintă parametri fizici ai sistemului respectiv (de
exemplu, presiunea şi temperatura unui gaz aflat în diferite condiţii). Mărimile
fizice se referă la proprietăţile fizice ale tuturor corpurilor sau sistemelor de
corpuri din natură, corespunzătoare claselor de echivalenţă respective (masă,
lungime, presiune etc.).
Prin măsurare se atribuie valori individuale (numere), conform unor
reguli stabilite, parametrilor sau mărimilor fizice care caracterizează stările
posibile ale sistemelor studiate. O anumită valoare a unui parametru fizic, în
condiţii date, reprezintă o cantitate fizică sau un element component al
parametrului fizic considerat.
Orice mărime fizică este caracterizată printr-o latură calitativă şi o latură
cantitativă. Mărimile care exprimă aceeaşi proprietate calitativă, dar se
deosebesc prin latura cantitativă, se numesc mărimi de aceeaşi natură. Mărimile
de aceeaşi natură pot fi mai mari sau mai mici, mai intense sau mai slabe, ceea
ce constituie latura cantitativă a mărimii fizice respective. De exemplu, forţa
caracterizează interacţiunea dintre două sau mai multe corpuri şi este calitativ
diferită de acceleraţie, care caracterizează modul de variaţie a vitezei în timp.
Valoarea unui parametru fizic depinde nu numai de unitatea de măsură în
care se exprimă numărul respectiv, ci şi de calitatea procedeului de măsurare.
Ştiinţa care se ocupă de mijloacele şi procedeele de măsură pentru mărimile
fizice, de unităţile lor de măsură şi de totalitatea normelor privitoare la folosirea
măsurilor, a mijloacelor şi metodelor de măsură pentru toate mărimile fizice, se
numeşte metrologie (de la metros=măsurare şi logos=a vorbi, a număra, ceea ce
se traduce prin ştiinţa măsurărilor), constituind o ramură importantă a fizicii.
7
Perfecţionarea tehnicilor de măsurare şi elaborarea de noi procedee de măsură,
pe baza acumulării de noi cunoştinţe în fizică şi a dezvoltării tehnicii, determină
ca această ştiinţă să fie deschisă. Astfel în zilele noastre este posibilă măsurarea
unor mărimi fizice care cu zeci de ani în urmă erau considerate nemăsurabile (în
domeniul fizicii atomice şi nucleare, particulelor elementare, spectroscopiei etc.).
Alegerea unităţii de măsură nu este impusă de nici o lege a fizicii, ci
numai de considerente de ordin practic (exactitate, reproductibilitate, arie mare
de acoperire, comoditate în folosire). De asemenea, alegerea unei unităţi de
măsură pentru o mărime fizică conduce la stabilirea unităţilor de măsură pentru
alte mărimi fizice. De exemplu, unitatea de măsură a vitezei depinde de unităţile
de măsură pentru spaţiu şi timp. Se impune rezervarea unui număr minim de
mărimi fizice independente între ele, numite mărimi fundamentale, astfel ca
unităţile de măsură pentru toate celelalte mărimi fizice să depindă numai de
acestea. Unităţile de măsură stabilite pentru mărimile fizice fundamentale se
numesc unităţi fundamentale.
Mărimile fizice ale căror unităţi se exprimă prin combinaţii ale unităţilor
fundamentale se numesc mărimi derivate, iar unităţile lor se numesc unităţi
derivate. Împărţirea mărimilor fizice în cele două categorii este de mare
importanţă practică, deoarece permite reducerea numărului de unităţi pentru care
trebuie confecţionate măsuri standardizate. Acestea reproduc o unitate de
mărime şi se numesc etaloanele mărimii respective.
1.6 Relaţii între mărimi Cele mai generale relaţii între mărimi sunt legile. Acestea se descoperă pe
cale experimentală (legea lui Coulomb de la electrostatică, legea lui Newton la
mecanică, legea lui Faraday a inducţiei electromagnetice) sau pe cale pur
teoretică (legea-ecuaţia lui Schrodinger la mecanica cuantică, ecuaţiile lui
Lagrange la mecanica analitică etc.). Principiile sau postulatele se enunţă
pornind de la constatarea că toate consecinţele ce decurg din acestea sunt
verificate experimental; aşadar, lucrurile se întâmplă conform postulatelor, chiar
dacă nu se ştie exact de ce se desfăşoară în acest mod. Dacă la un moment dat
teoria se va completa pe baza unor noi ipoteze rezultate din experimente, este
posibil ca unele postulate să fie demonstrate, şi astfel să devină teoreme sau legi.
Există şi legi cu caracter mai limitat, denumite legi de material, în care
intervin mărimi caracteristice diferitelor materiale, ca de exemplu legile frecării,
legea difuziei la mecanică, legea lui Hooke la elasticitate, legea polarizaţiei
electrice de la electricitate. În cazul legii lui Hooke modulul de elasticitate poate
depinde de diferiţi parametri (presiune, temperatură etc.), furnizând pentru
materialele cunoscute un număr mare de legi de material.
Teoremele reprezintă relaţii între mărimi care se stabilesc pe cale
deductivă din legile de material, folosind metode matematice, ca de exemplu
operatori diferenţiali, calculul algebric, calculul integral, De exemplu, teorema
lui Coulomb de la electrostatică se poate deduce din legea fluxului electric a lui
8
Gauss. Tendinţa este ca în timp, prin găsirea unor legi mai generale cu ajutorul
fizicii teoretice, numărul legilor să scadă, astfel că unele dintre acestea să devină
teoreme. De exemplu, legea gazelor ideale a devenit o teoremă de când ea a fost
dedusă în fizica statistică plecând de la legile mecanicii, cu utilizarea calculului
probabilităţilor de la fizica statistică. De asemenea, legile lui Kirchoff au devenit
teoremele lui Kirchoff de când au fost deduse din legile de conservare pentru
energie şi sarcina electrică. Este de asemenea de remarcat că în cadrul unui
capitol al fizicii, chiar dacă numărul de legi generale rămâne constant, sistemul
de legi generale se poate schimba. Astfel, la electrostatică legea generală a lui
Coulomb poate fi înlocuită de legea lui Gauss, deoarece aceasta este mai
generală decât fosta lege a lui Coulomb, care astfel devine teoremă.
Relaţiile de definiţie determină unele mărimi fizice. De exemplu, se
defineşte densitatea de energie ca raportul dintre energia W dintr-o zonă a
spaţiului şi volumul V în care aceasta este conţinută:
Ww
V
Avantajul utilizării simbolului (egal prin definiţie) este faptul că într-o singură
relaţie se poate scrie atât definiţia unei mărimi, cât şi legea care dă dependenţa
mărimii respective de alte mărimi fizice, ca de exemplu legea lui Gauss pentru
fluxul câmpului electric:
e
S
qE dS
Legile şi teoremele fizice se exprimă în general prin formule, însă există
şi legi ce se exprimă prin fraze: de exemplu legea a treia a dinamicii, sau prima
lege a frecării (forţa de frecare dintre două corpuri nu depinde de mărimea
suprafeţei de contact dintre acele corpuri).
1.7 Mărimi fundamentale şi mărimi derivate Unele mărimi ca timpul sau spaţiul
nu pot fi definite în funcţie de alte
mărimi deja determinate, neexistând relaţii de definiţie pentru aceste două
mărimi. Acest fapt se reflectă asupra faptului că numărul de relaţii principale
dintre mărimile fizice este mai mic decât numărul mărimilor fizice. Aşadar,
pentru a determina toate mărimile cunoscute este nevoie să alegem un număr
anume de mărimi fundamentale, iar celelalte mărimi pe care le numim derivate
să fie definite toate în funcţie de mărimile fundamentale.
Mărimile fundamentale se definesc în mod direct, prin indicarea
procedeului de măsurare şi stabilirea unităţii de măsură. Cu toate acestea,
procedeul de măsurare a unei mărimi fundamentale nu este complet arbitrar, el
Problema referitoare la faptul dacă spaţiul este sau nu mărime fundamentală este încă
controversată
9
trebuind să satisfacă condiţia generală ca raportul valorilor a două mărimi
fundamentale de aceeaşi natură să fie independent de unitatea de măsură folosită
(acest raport trebuie să rămână constant când se schimbă unitatea de măsură).
Definiţia lungimii ar fi mărimea care se măsoară punând cap la cap unitatea de
lungime astfel încât numărul de suprapuneri ale lungimii unitate peste lungimea
de măsurat să fie minim. Unitatea de lungime se alege în funcţie de o anumită
lungime care se găseşte în natură, sau o lungime construită de om in anumite
condiţii şi păstrată cu anumite precauţii.
Unităţile de măsură pentru mărimile fundamentale pot fi alese arbitrar,
independent unele faţă de altele. Pentru mărimile derivate însă unităţile nu pot fi
alese independent, ele depinzând de cele ale mărimilor fundamentale la fel cum
depinde mărimea derivată faţă de mărimile fundamentale. Din această relaţie de
dependenţă se obţine şi procedeul de măsurare.
Mărimile fundamentale din fizică se introduc într-o anumită ordine, prin
legi în care apar două mărimi noi faţă de celelalte mărimi determinate în alte
capitole ale fizicii. Primul capitol este considerat geometria, ale cărei postulate
sunt legi experimentale în fizică, şi în care este nevoie de o singură mărime
fundamentală, lungimea. Prima relaţie din cinematică, care defineşte viteza:
lv
t
introduce două mărimi noi, viteza şi timpul. Alegând timpul drept mărime
fundamentală putem determina viteza, astfel că în cinematică este nevoie de
două mărimi fundamentale: lungimea l şi timpul t .
În dinamică, pe lângă lungime şi timp mai este nevoie de o mărime
fundamentală, care poate fi masa m sau forţa ;F de regulă se alege masa.
În electricitate şi fotometrie sunt necesare patru mărimi fundamentale,
primele trei fiind l , t şi m , cea de-a patra fiind respectiv intensitatea curentului
electric i , respectiv intensitatea luminoasă I . În termodinamică şi căldură sunt
necesare cinci mărimi fundamentale: l , t şi m , a patra şi a cincea fiind
temperatura , respectiv cantitatea de substanţă n .
Numărul unităţilor fundamentale fiecare din capitol al fizicii este arbitrar,
acesta fiind mai mare sau mai mic în funcţie de numărul constantelor cu
dimensiuni (constante universale). De exemplu, dacă în electricitate s-ar scrie
relaţia dintre intensitatea curentului electric şi variaţia sarcinii electrice în timp
prin introducerea unei constante cu dimensiuni :
dqi
dt ,
atunci electromagnetismul ar avea nevoie de cinci mărimi fundamentale,
deoarece ar trebui aleasă, pe lângă mărimile fundamentale deja menţionate, şi
sarcina electrică (sistemul Gauss).
10
Numărul mărimilor fundamentale poate fi redus prin anumite relaţii de
legătură între lungime şi timp care conţin o constantă universală, ca de exemplu
l c t , unde c este viteza luminii în vid. Luând viteza luminii egală cu unitatea,
se poate determina timpul în funcţie de lungime şi astfel timpul devine o mărime
derivată, cu unitatea definită ca timpul în care lumina parcurge unitatea de
lungime în vid. În această situaţie mărimile dinamicii s-ar putea determina cu
ajutorul unei singure mărimi fundamentale, lungimea. Însă din punct de vedere
practic aceste sisteme cu un număr redus de mărimi fundamentale nu sunt utile.
Pe lângă noţiunile de mărime fundamentală şi derivată se mai utilizează,
atunci când relaţiile fizice sunt scrise sub o formă foarte generală, cu mai multe
constante fizice, termenii de mărime primitivă şi mărime secundară. Constantele
fizice fiind şi ele mărimi fizice, numărul mărimilor devine mult mai mare decât
numărul relaţiilor dintre ele, în consecinţă ar trebui ales un număr mai mare de
mărimi care se definesc direct. Aceste mărimi se mai numesc şi mărimi
primitive, şi se definesc în mod direct prin indicarea procedeului de măsură şi
stabilirea unităţii de măsură. Mărimile secundare se definesc cu ajutorul
mărimilor primitive. În final, o parte dintre mărimile primitive (în general cele
pentru care se pot realiza etaloane) se aleg drept mărimi fundamentale, celelalte
mărimi primitive şi mărimile secundare devenind mărimi derivate, care se
definesc numai în funcţie de mărimile fundamentale.
1.8 Calculul cu mărimi şi calculul cu valori Plecând de la relaţia ce defineşte mărimea fizică A drept produsul
simbolic între valoarea A şi unitatea de măsură A
A A A , (1.1)
putem efectua pentru deducerea teoremelor din fizică operaţii direct cu mărimi,
fie cu valorile acestora. Pentru a face deosebirea între calculul cu mărimi şi cel
cu valori, precizăm câteva reguli privind principalele operaţii utilizate.
Egalitatea se poate defini numai pentru mărimi de aceeaşi natură. De
exemplu, din cauza naturii lor diferite, densitatea relativă a unui mediu nu poate
fi egală cu permitivitatea sau cu permeabilitatea relativă, chiar dacă aceste
mărimi adimensionale ar avea aceeaşi valoare. Pentru fiecare tip de mărimi
stabilirea egalităţii cere cel puţin un procedeu particular. Într-un fel sunt egali
doi curenţi, în alt fel sunt egale două densităţi sau două lungimi.
Adunarea se defineşte de asemenea numai între două mărimi de aceeaşi
natură. Acestea pot fi adunate dacă în definiţia lor nu intervine o constantă
aditivă arbitrară (alegerea arbitrară a unei origini), aşa cum se întâmplă cu
temperatura faţă de o temperatură de origine, potenţialul electric faţă de Pământ
(considerat ca un conductor de potenţial nul) etc.. Nu are sens fizic adunarea
mărimilor de natură diferită, ca de exemplu energia cu momentul forţei, chiar
dacă acestea prezintă aceleşi dimensiuni.
11
Suma a două mărimi fizice de aceeaşi natură se defineşte prin relaţia:
A B A A B B (1.2)
Adunarea valorilor a două mărimi de aceeaşi natură are însă un caracter
mai restrictiv, astfel că se pot aduna numai valori care reprezintă rezultatul unor
măsurători făcute cu aceeaşi unitate. De exemplu, prin adunarea lungimilor
15ml şi
22cml obţinem lungimea l :
1 25m+2cm = 502cm = 5,02m.l l l
Folosind relaţia dintre unitatea de lungime şi submultiplii acesteia s-a obţinut
pentru lungimea sumă forma obişnuită, ca produs între valoare şi unitate:
1m=100cm
Adunând valorile celor două lungimi s-ar obţine 5 2 7, ceea ce nu are sens
fizic.
Dacă mărimile ce reprezintă cei doi termeni ai sumei sunt exprimate în
aceeaşi unitate de măsură, de exemplu A , atunci se poate da factor comun
această unitate în formula (1.2):
A B A A B A A B A . (1.3)
Dacă întâmplător valorile a două mărimi ce se adună sunt egale, această valoare
nu poate fi dată ca factor comun decât în cazul când mărimile sunt exprimate în
aceeaşi unitate de măsură.
Ridicarea la putere a unei mărimi se face la fel ca ridicarea la putere a
unui produs obişnuit, cu precizarea că puterea factorului simbolic unitate
constituie o unitate derivată. De exemplu, ridicând la puterea a treia o lungime
l x m , obţinem:
3 3 3ml x ,
unde metrul cub reprezintă o unitate derivată.
Înmulţirea mai multor mărimi reprezintă produsul acelor mărimi, după
regulile înmulţirii obişnuite în algebră. Factorul simbolic al produsului, care se
obţine prin înmulţirea factorilor simbolici ai fiecărei mărimi, reprezintă o unitate
derivată. Înmulţind de exemplu forţa 5NF cu distanţa 10ml , obţinem
lucrul mecanic (energia) W :
5N 10m 50N m=50J.W F l
Astfel, energia are valoarea de 50, iar factorul N m reprezintă o unitate derivată.
Atât mărimile cât şi unităţile vor fi tratate ca factori algebrici. Din exemplul de
mai sus se poate observa că o relaţie care exprimă produsul a două mărimi se
poate desface în cazul general într-o relaţie de valori şi o alta între unităţi:
W Fl , (1.4)
12
cu F F F , l l l , W W W , sau NF F , ml l , JW W .
Astfel, relaţia (1.4) se desface în relaţiile
W F l şi 1J=1N 1m.W F l (1.5)
Singurele dificultăţi la desfacerea unei relaţii între mărimi în două relaţii,
una între valori şi alta între unităţi, apar când relaţia dintre mărimi conţine un
coeficient numeric. De obicei acest coeficient numeric trece în relaţia dintre
valori, relaţia dintre unităţi rămânând fără coeficient numeric. În acest caz
unităţile formate sunt coerente, nefiind legate prin coeficienţi numerici. De
exemplu formula ariei unui cerc, care se scrie ca relaţie între mărimi:
2A r
se desface de obicei sub forma 2
A r şi 2
A r .
În unele cazuri însă se foloseşte coeficientul numeric în relaţia dintre unităţi:
2
A r ;2
A r ,
Astfel, noua unitate de arie va fi metrul circular:
2
c1m m ,
definit ca aria unui cerc a cărui rază este de un metru. Se poate observa uşor că
metrul circular este o mărime necoerentă.
1.9 Formule fizice. Coeficientul parazit Aşa cum s-a arătat, oricărei entităţi (mărimi) fizice X i se asociază o
valoare numerică X şi o unitate de măsură X , astfel că:
X X X ,
unde X este un număr adimensional fiind raportul a două mărimi de aceeaşi
natură. Dacă se măsoară mărimea X cu unităţi diferite, se obţin valori diferite:
1 2
1 2
; ,X X
X XX X
de unde
21
2 1
XX
X X (1.6)
Relaţia (1.6) constituie o teoremă fundamentală a unităţilor de măsură şi
stabileşte că raportul valorilor numerice ale unor entităţi fizice este egal cu
inversul raportului unităţilor de măsură.
Între o formulă fizică şi o formulă matematică există unele deosebiri.
Formulele fizice cuprind mărimi măsurabile pentru care trebuie indicate valorile,
13
cât şi unităţile de măsură, în timp ce în formulele matematice intră numai
simbolurile mărimilor respective. Să luăm drept un exemplu formula volumului,
care din punct de vedere matematic se scrie:
3V X (1.7)
Din punct de vedere fizic însă formula (1.7) trebuie scrisă astfel:
333
V V V
X X X
3
33 3 3XV V X X V X K X
V ,
unde
3X
KV
(1.8)
se numeşte coeficient parazit al formulei fizice, iar valoarea sa depinde de
unităţile de măsură ale mărimilor care intră în formula (1.7). De exemplu, dacă
3 31litru = 1dm 10 mV şi 1mX 3
3
110
10K
.
Dacă volumul se măsoară în 3m , 1K , şi se spune că s-a lucrat într-un
sistem coerent de unităţi de măsură. Eliminarea coeficientului parazit conduce
la o condiţionare a unităţilor de măsură pentru unităţile mărimilor derivate,
pentru care trebuie alese numai acele unităţi care rezultă din unităţile mărimilor
fundamentale. Când 1K (relaţia de condiţionare pentru unitatea de volum),
relaţia fizică se va scrie 3
V X şi coincide cu relaţia matematică 3V X .
Prezenţa coeficientului parazit în formulele fizice conduce la complicarea
formei acestora. Pentru eliminarea coeficientului parazit era nevoie de un sistem
coerent de unităţi de măsură, care să conţină un număr restrâns de unităţi
fundamentale, ca şi unităţi derivate care să rezulte din unităţile fundamentale.
1.10 Ecuaţii între mărimi şi ecuaţii între valori numerice În ştiinţă şi în tehnică se utilizează două tipuri de ecuaţii:
- ecuaţii între mărimi, în care mărimea fizică (produsul între valoarea numerică
şi unitate) este indicată printr-un simbol literal. Aceste ecuaţii au avantajul că
sunt independente de alegerea unităţilor de măsură;
- ecuaţii între valori numerice, unde valorile numerice ale mărimilor fizice
depind de alegerea unităţilor de măsură pentru mărimile corespunzătoare.
Să considerăm ecuaţia vitezei în mişcarea rectilinie şi uniformă:
lv
t
Dacă folosim drept unităţi de măsură metrul pentru lungime, secunda pentru
timp şi metrul pe secundă pentru viteză, obţinem ecuaţia între valorile numerice:
14
lv
t
Dacă însă folosim drept unităţi de măsură metrul pentru lungime, secunda pentru
timp şi kilometrul pe oră pentru viteză, ţinând cont că 31km=10 m şi 1h=3600s ,
atunci -3m 10 km 3600 km
1 =1 =3,6s 1h h
, şi obţinem ecuaţia între valorile numerice:
m
km/ h
s
3,6l
vt
Este evident că alegând alte unităţi de măsură vom obţine în loc de numărul 3,6
alt număr. Dacă nu se precizează unităţile de măsură într-o ecuaţie între valori
numerice, atunci ecuaţia nu poate fi utilizată sub această formă.
1.11 Dimensiunile mărimilor. Sisteme de dimensiuni S-a arătat că procedeul de măsurare a mărimilor fundamentale nu este
arbitrar, condiţia generală impusă fiind ca raportul valorilor a două mărimi
fundamentale de aceeaşi natură să fie independent de unitatea aleasă. Această
condiţie generală se impune şi la definiţia sau determinarea mărimilor derivate.
Pentru ca raportul dintre valorile a două mărimi derivate de aceeaşi natură să fie
independent de unitatea aleasă, relaţiile prin care se definesc sau se determină
mărimile derivate în funcţie de mărimile fundamentale nu sunt arbitrare.
S-a arătat de asemenea că raportul valorilor unei aceleaşi mărimi se modifică cu
schimbarea unităţilor, fiind egal cu inversul raportului dintre unităţi.
Problema esenţială este de a determina în ce condiţii se respectă cerinţa
principală si generală referitoare la independenţa de unităţile de măsură a
raportului dintre valorile a două mărimi de aceeaşi natură. În acest scop vom
considera două mărimi derivate de aceeaşi natură notate cu 1
A şi 2
A , măsurate
fiecare cu două unităţi de măsură, A şi A :
1 1 1
2 2 2
A A A A A
A A A A A
(1.9)
Vom stabili forma funcţiei prin care valoarea mărimii derivate depinde de
valorile mărimilor fundamentale (să presupunem lungimea, timpul şi masa în
demonstraţia ce urmează), astfel încât raportul valorilor celor două mărimi
1
2
A
A,
respectiv
1
2
A
A
, să fie independent de unitatea aleasă, adică să fie independent
de unităţile alese pentru măsurarea mărimilor fundamentale. În acest scop,
presupunem pentru funcţie o formă de tipul:
15
1, ,A f l t m , (1.10)
care indică expresia valorii 1A a mărimii derivate faţă de unitatea A în
funcţie de valorile ,l t şi m ale lungimii-tip, timpului-tip şi respectiv masei-tip
în anumite unităţi, şi funcţia:
1, ,A f k l k t k m , (1.11)
indicând expresia valorii 1A a mărimii derivate faţă de unitatea A în funcţie
de valorile ,l k l t k t şi m k m ale lungimii-tip, timpului-tip şi respectiv
masei-tip în unităţile al căror sistem conţine şi unitatea A .
Condiţia generală cere ca raportul valorilor mărimilor derivate 1
A şi 2
A
să nu depindă de unităţile alese, conform relaţiilor (1.9):
1 1
2 2
A A
A A
(1.12)
Ţinând cont de relaţiile (1.10) şi (1.11), relaţia (1.12) devine:
1 1
2 2
, , , ,
, , , ,
f l t m f k l k t k m
f l t m f k l k t k m
(1.13)
Egalitatea din expresia (1.13) este îndeplinită dacă funcţia din membrul al doilea
nu depinde de ,k k şi ,k ceea ce este posibil numai dacă funcţia f este de
forma produsului unor puteri:
, , p q rf l t m Cl t m , (1.14)
unde ,p q şi r sunt numere arbitrare întregi sau fracţionare care pot avea valori
pozitive, nule sau negative. Factorul C este o constantă care nu depinde de
unităţile mărimilor fundamentale. Produsele şi puterile pot reprezenta oricare
dintre produsele sau puterile definite în calculul cu aceste mărimi. Numai pentru
această formă a funcţiei f se poate simplifica produsul p q rk k k între
numărător şi numitor. În acest caz, raportul dintre valorile celor două mărimi
derivate 1
A şi 2
A nu depinde de unitatea aleasă de măsură pentru aceste mărimi.
Deoarece unitatea mărimii derivate depinde de unităţile mărimilor fundamentale,
rezultă că acest raport rămâne constant chiar dacă se schimbă independent
unităţile mărimilor fundamentale. Plecând de la aceste consideraţii se ajunge la
introducerea noţiunii de dimensiune.
Pornind de la formula (1.14) se poate scrie expresia raportului a două
valori ale mărimii A faţă de unităţile A şi B :
1
1
.
p q rp q r
p q r
A l t m l t m
A l t m l t m
16
Chiar în cazul schimbării unităţilor fundamentale, raportul
1
1
A
A a două valori
ale aceleaşi mărimi derivate este egal cu produsul rapoartelor
L, T, M,l t m
l t m
la puterile ,p q şi r :
1
1
L T Mp q rA
A
(1.15)
(valorile mărimilor fundamentale în cele două sisteme de unităţi din care fac
parte respectiv unităţile A şi A ). Produsul (1.15) se numeşte şi dimensiunea
(sau ecuaţia dimensională) mărimii derivate A , şi se notează simbolic
LTM
L T Mp q rA (1.16)
Relaţia (1.16) se poate citi astfel: Mărimea A are dimensiunea p în raport cu
lungimea, q în raport cu timpul şi r în raport cu masa. În cazul 0p q r :
0 0 0
LTML T M 1A
prin urmare mărimea respectivă este o mărime numerică, fără dimensiuni.
Nedepinzând de mărimile fundamentale, nici unitatea sa nu va depinde de
unităţile fundamentale. De obicei unitatea mărimilor fără dimensiuni se ia
numărul unitate. Ecuaţia dimensională pentru o mărime derivată presupune de
fapt cunoaşterea valorii coeficienţilor ,p q şi r , iar pentru a o obţine se
explicitează relaţia de definiţie până în membrul al doilea apar numai mărimi
fundamentale. De exemplu, puterea P se defineşte astfel:
2
2 3
W F l m a l m l l m lP
t t t t t t
,
iar ecuaţia dimensională este:
2 -3
LTML T M.P
Teoremele folosite pentru stabilirea dimensiunilor mărimilor derivate sunt
următoarele:
1. Dimensiunile unei mărimi D egală cu produsul a două mărimi A şi B sunt
egale cu produsul dimensiunilor celor două mărimi:
D A B A B
Dacă LTM
L T Mp q rA şi LTM
L T Mp q rB
, atunci LTM
L T Mp p q q r rD .
17
2. Dimensiunile unei mărimi D egală cu raportul mărimilor A şi B sunt egale
cu raportul dimensiunilor celor două mărimi:
AAD
B B
,
sau LTM
L T Mp p q q r rD
3. Dimensiunile unei mărimi D egală cu mărimea A ridicată la puterea n sunt
egale cu puterea a n -a a dimensiunilor mărimii A :
nnD A A ,
sau LTM
L T M .np nq nrD
Prima teoremă se demonstrează scriind fiecare mărime ca produsul între
valoare şi unitate, presupunând că fiecare mărime se măsoară cu două unităţi:
A A A A A
B B B B B
D D D D D
Relaţia care exprimă mărimea D A B se poate scrie sub două forme,
D A B sau D A B ; împărţind membru cu membru obţinem:
D A B
D A B
Ţinând cont de relaţia (1.15) şi de relaţia corespunzătoare pentru mărimea B :
L T Mp q rB
B
(1.17)
obţinem
L T Mp p q q r rD
D
,
adică relaţia
D A B
În acelaşi mod se demonstrează, fără dificultate, celelalte teoreme.
Importanţa ecuaţiilor de dimensiuni constă în următoarele:
- permit verificarea omogenităţii formulelor fizice;
- cu aceste ecuaţii se pot stabili ecuaţiile unităţilor;
- intervin în problemele de schimbare a unităţilor.
18
Un sistem de dimensiuni se caracterizează prin grupul mărimilor
fundamentale din care se pot determina univoc toate celelalte mărimi fizice.
Deşi sistemul de dimensiuni din fiecare capitol al fizicii este complet arbitrar în
privinţa naturii şi numărului mărimilor fundamentale, se pun două condiţii:
- formulele fizicii să fie scrise cu un număr cât mai mic de constante universale,
ceea ce ar conduce la un număr minim de mărimi fundamentale;
- să existe cât mai puţine posibil mărimi cu aceleaşi dimensiuni, fapt ce ar
conduce la un număr cât mai mare de mărimi fundamentale.
Pentru sistemul ales în prezent, deşi există mărimi cu aceeaşi dimensiuni,
numărul acestora este foarte mic. În mecanică de exemplu, dimensiunile
momentului forţei coincid cu ale energiei, şi ale viscozităţii cinematice cu ale
modulului de difuzie. În electricitate coincid dimensiunile fluxului inducţiei
electrice cu ale sarcinii electrice, şi ale inducţiei electrice cu ale densităţii
superficiale de sarcină electrică. Aceste egalităţi dimensionale ridică însă
problema dacă mărimile respective sunt sau nu de aceeaşi natură.
Două sisteme de dimensiuni pot diferi atât prin numărul mărimilor
fundamentale, cât şi prin natura acestora. Din punctul de vedere al naturii
mărimilor fundamentale, se aleg acele mărimi pentru care realizarea de etaloane,
în scopul concretizării unităţii fundamentale, este mai uşoară (de exemplu, se
preferă masa în locul forţei sau impulsului). Din punctul de vedere al
dimensiunilor se alege acel sistem de dimensiuni în care ecuaţiile de dimensiuni
au forma cea mai simplă (exponenţii mărimilor fundamentale din ecuaţia
dimensiunilor să fie cât mai mici, de exemplu egali cu 1 sau cel mult cu 2).
1.12 Mărimi de aceeaşi natură şi mărimi de natură diferită După cum s-a arătat, numărul mărimilor cu aceleaşi dimensiuni dintr-un
sistem de dimensiuni este cu atât mai mare cu cât numărul mărimilor
fundamentale este mai mic. Două mărimi cu aceleaşi dimensiuni într-un sistem
de dimensiuni pot avea dimensiuni diferite în alt sistem de dimensiuni. De
exemplu, în sistemul LTM modulul de difuzie şi viscozitatea cinematică au
aceleaşi dimensiuni 2 -1L T . În sistemul de dimensiuni LTF modulul de difuzie
are dimensiunile 2 -1L T , iar viscozitatea cinematică -2L TF . Întrucât în sisteme
diferite de dimensiuni există mărimi diferite care au aceleaşi dimensiuni, apare
firesc întrebarea dacă mărimile cu aceleaşi dimensiuni sunt în realitate de
aceeaşi natură, sau se poate întâmpla ca mărimi cu aceleaşi dimensiuni să fie de
natură diferită?
Aşa cum s-a arătat, în procesul măsurării comparăm o mărime cu o altă
mărime de aceeaşi natură numită unitate. Evident că toate mărimile de aceeaşi
natură se vor măsuara cu aceeaşi unitate şi în acelaşi mod, adică folosind acelaşi
procedeu de măsurare. Astfel, trebuie să adăugăm la condiţia ca două mărimi să
fie de aceeaşi natură şi pe aceea referitoare la măsurarea cu acelaşi procedeu.
19
Lucrul mecanic şi momentul unei forţe sunt un exemplu de mărimi cu
aceleaşi dimensiuni (în sistemele LTM şi LTF ), însă de natură diferită.
Procedeele de măsură fiind diferite, cele două mărimi se vor măsura cu unităţi
diferite. Un alt exemplu este cazul mărimilor fără dimensiuni (numerele pure,
unghiul plan, unghiul solid, panta, concentraţia procentuală, densitatea relativă
etc.). Aceste mărimi sunt de natură diferită, deoarece fiecare dintre ele are un
anumit procedeu de măsurare, iar aceste procedee sunt diferite când trecem de la
o mărime la alta. În consecinţă, unităţile pentru aceste mărimi vor fi diferite:
pentru numerele pure unitatea va fi cifra unu (simbol 1), pentru unghiul plan –
radianul, pentru unghiul solid – steradianul, pentru pantă – procentul ş.a.m.d.
O altă problemă importantă la stabilirea unităţilor de măsură este dacă din
relaţiile fizice se pot delimita sau nu mărimile de aceeaşi natură. Acest lucru este
important la stabilirea unităţilor, deoarece pentru două mărimi de aceeaşi natură
se foloseşte aceeaşi unitate de măsură. Mărimile de aceeaşi natură pot fi legate
prin anumite relaţii de egalitate, ca de exemplu teorema energiei cinetice:
2 2 2
2 1
1
2 2
mv mvF dr
Mărimile din această formulă (energia cinetică şi lucrul mecanic) au acelaşi
procedeu de măsurare, deci sunt de aceeaşi natură şi se măsoară cu aceeaşi
unitate de măsură. Însă între mărimi de natură diferită, deşi cu aceleaşi
dimensiuni (lucrul mecanic şi momentul forţei) nu există o relaţie de egalitate.
1.13 Omogenitatea relaţiilor fizice Relaţiile fizice din orice capitol al fizicii trebuie să fie valabile
independent de sistemul de unităţi adoptat. Aşadar, schimbarea unităţilor de
măsură nu trebuie să modifice egalitatea dintre cei doi membri ai unei relaţii.
Aceasta presupune ca toţi membri care intră într-o relaţie fizică să fie de aceeaşi
natură. În calculul dimensional acest fapt se rezumă la următoarea afirmaţie: o
anumită relaţie este omogenă dacă toţi termenii săi au aceleaşi dimensiuni (şi
deci aceeaşi natură). De exemplu, în teorema variaţiei impulsului:
2
2 1
1
mv mv F dt
se poate observa uşor că fiecare termen are dimensiunile -1LT M .
Derivata dy x
dx are aceleaşi dimensiuni cu raportul creşterilor finite
y
x
, după
cum şi integrala y x dx are aceleaşi dimensiuni cu produsul y x .
Dacă două mărimi sunt identice:
X Y ,
20
condiţia de omogenitate a formulelor fizice impune ca X şi Y să aibă aceleaşi
dimensiuni. Dacă 1 1 1 1 1 1 1L M T N I JX şi 2 2 2 2 2 2 2L M T N I JY , în
relaţia dimensională:
X Y
trebuie îndeplinite condiţiile:
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2; ; ; ; ; ;
Numai în acest caz legile fizicii rămân invariante faţă de schimbarea unităţilor
de măsură ale mărimilor fizice fundamentale.
Ţinând seama de condiţia de omogenitate a formulelor fizice, se poate
verifica dacă o formulă fizică este corectă, sau se pot stabili anumite formule
fizice dacă ştim de cine depinde mărimea pentru care stabilim formula respectivă.
Exemplul 1
Să presupunem că formula perioadei P a unui pendul matematic ar fi:
2πg
Pl
Ecuaţia dimensională este în acest caz
1 2 1 2
P g l
Dimensiunile mărimilor care apar în formulă sunt:
-2
LTLTg ;
LTMLL ;
LTMTP .
Din relaţiile de mai sus obţinem:
1 1 1
-2 --12 2 2
LT= T = L T L = TP
ceea ce este imposibil, de unde rezultă că formula perioadei este incorectă.
Stabilirea formulei corecte se face prin analiză dimensională cunoscând că
perioada pendulului depinde de lungimea sa l şi de acceleraţia gravitaţională g :
α βP l g ,
Ecuaţia dimensională a perioadei va fi:
-2 -2
LTT L L T L TP ,
Din condiţia de omogenitate obţinem sistemul de ecuaţii şi soluţia acestuia:
2 1 1 1α , β
0 2 2
,
astfel formula fizică se va scrie, până la un factor adimensional:
21
lP
g
Valoarea factorului adimensional se stabileşte, în general, pe baza unor calcule
teoretice şi în cazul de faţă are valoarea 2π , astfel că formula riguroasă este
2πl
Pg
.
1.14 Constante fizice Constantele fizice sunt de două feluri:
- constante de material (tensiunea superficială, modulul lui Young, căldura
specifcă etc.)
- constante universale (viteza luminii în vid, constanta gazelor ideale, constanta
gravitaţională, constanta structurii fine, constanta lui Planck, anumite constante
numerice etc.).
Constantele universale sunt de două categorii: constante numerice sau
coeficienţi numerici (de exemplu 2 care apare în formula perioadei pendulului)
şi constante dimensionale, a căror valoare depinde de unităţile alese pentru
măsurarea mărimilor respective (constanta atracţiei universale 8 3 -2 1 11 3 -2 16,67 10 cm s g 6,67 10 m s kgK ). Trebuie precizat că dacă într-o
formulă se introduce valoarea unei constante universale cu dimensiuni, formula
nu mai poate fi interpretată ca o relaţie între mărimi, ci ca o relaţie între valori, şi
în acest caz trebuie indicate între paranteze unităţile folosite.
1.15 Dimensiunea unei mărimi fizice
Orice mărime fizică X se poate exprima în funcţie de alte mărimi
printr-o ecuaţie. Această expresie poate să conţină o sumă de termeni, fiecare
dintre aceşti termeni fiind exprimat prin produsul puterilor mărimilor
fundamentale , , ,.....A B C care aparţin unui set ales. Uneori acest produs este
multiplicat cu un factor numeric, având forma ......k A B C , unde ansamblul
exponenţilor , , ..... este acelaşi pentru fiecare termen. Dimensiunea mărimii
X va fi astfel exprimată prin produsul dimensiunilor
......X A B C
,
unde , , ...A B C reprezintă dimensiunile mărimilor fundamentale , , .....A B C ,
iar , , .... se numesc exponenţi dimensionali. O mărime cu exponenţii
dimensionali egali cu zero se numeşte mărime fără dimensiune, produsul său de
dimensiuni sau dimensiunea sa fiind 1, iar mărimea se exprimă printr-un număr.
Exemplul 2.
22
Exprimând dimensiunile mărimilor fundamentale lungime, masă, timp,
temperatură termodinamică, cantitate de substanţă, curent electric şi intensitate
luminoasă prin simbolurile indicate mai jos:
L, M, T, Θ, N, I, Jl m t n i I ,
se pot exprima dimensiunile oricărei mărimi fizice prin simbolurile respective şi
exponenţii dimensionali corespunzători unei anumite mărimi (tabelul 1).
Tabelul 1. Dimensiunile unor mărimi fizice
Mărimea Dimensiunea Mărimea Dimensiunea
Viteză -1LT Rezistenţa
electrică
2 -3 -2L T MI
Viteză unghiulară -1T Inductanţă 2 -2 -2L T MI Forţă -2LT M Permeabilitate -3 -2LT MI Energie 2 -2L T M Capacitate
electrică
-2 4 -1 2L T M I
Potenţial electric 2 -3 -1L T MI Densitate relativă 1
Permitivitate -3 4 -1 2L T M I Inducţie
magnetică
-2 -1T MI
Flux magnetic 2 -2 -1L T MI Capacitate
calorică
2 -2 -1L T M
Iluminare -2L J Căldură specifică 2 -2 -1L T
Constanta Faraday -1TN I Randament
energetic
1
1.16 Analiza dimensională a formulelor fizice După cum se ştie, Sistemul Internaţional cuprinde în prezent 7 unităţi
fundamentale şi două unităţi suplimentare. Într-un sistem coerent, unităţile
mărimilor derivate trebuie să se exprime numai prin unităţi fundamentale sau
suplimentare. Este clar că o unitate derivată se poate exprima şi prin mai puţin
de 7 unităţi fundamentale, de exemplu în mecanică, unde mărimile derivate se
pot exprima prin numai trei mărimi fundamentale: lungime, timp şi masă.
Referitor la legea a doua a dinamicii, forma matematică a acesteia este:
F ma
Relaţia dimensională se va scrie:
[ ] [ ] [ ]F m a ,
unde [ ] Mm şi -2L Ta , astfel că
-2M L TF .
23
F ma reprezintă legea fizică, iar [ ] [ ] [ ]F m a reprezintă relaţia
dimensională între mărimile fizice corespunzătoare.
După cum s-a arătat în secţiunea 1.9, dacă înlocuim mărimile din formula
fizică cu valorile acestor mărimi, forma formulei ce exprimă relaţia între mărimi
nu se schimbă (indiferent de unităţile de măsură folosite), numai dacă se admite
că unităţile de măsură pentru mărimile derivate se pot scrie în funcţie de
unităţile de măsură ale mărimilor fundamentale printr-o expresie de forma:
α β γ δ ε φL M T N I JX
.
Altfel spus, orice mărime X trebuie exprimată dimensional sub forma unui
monom algebric format din puteri ale simbolurilor mărimilor fundamentale,
exponentul fiecărei puteri fiind egal cu indicele puterii la care acea mărime
fundamentală intră în definiţia mărimii derivate ( α, β, γ … se mai numesc şi
dimensiunile mărimii derivate în raport cu mărimea fundamentală
corespunzătoare: , , ...L M T ). În exemplul 3 se arată cum se determină
dimensiunile pentru unele dintre aceste mărimi.
Exemplul 3.
Să deducem formula vitezei luminii în vid cunoscând că ea depinde de
permitivitatea electrică 0ε şi de permeabilitatea magnetică 0μ a vidului.
α β
0 0ε μc
Pentru a stabili dimensiunile mărimilor 0ε şi 0μ , se procedează astfel:
- din formula lucrului mecanic L efectuat asupra unei sarcini electrice q care
se deplasează sub diferenţa de potenţial U :
qUL ,
rezultă
-2
2 -3 -1
LTMI
MLT L=L T MI
IT
F lU
q i t
L,
de unde rezultă şi unitatea pentru tensiune, voltul, exprimat în unităţile celor 4
mărimi fundamentale folosite din sistemul SI:
2
3
1kg m1V=
s A
.
Din legea inducţiei magnetice
dU
dt
rezultă
24
2 -3 -1 2 -2 -1
LTMIML T I T=L T MIU t
Din relaţia de definiţie a fluxului vectorului inducţie a câmpului magnetic:
B S
rezultă
2 -2 -1
-2 -1
2LTMI
ML T I=T MI
LB
S
Din relaţia de definiţie a inducţiei câmpului magnetic în vid:
0μB H
rezultă
-2 -1
-2 -2
0 LTMI
MT I L=LT MI
I
B
H
Din formula de definiţie a capacităţii electrice C :
qC
U
rezultă
-2 4 -1 2
2 -3 -1LTMI
IT=L T M I
ML T I
qC
U .
Din formula capacităţii unui condensator (de exemplu condensatorul plan):
0ε SC
d
rezultă
-2 4 -1 2
-3 4 -1 2
0 2LTMI
LL T M I=L T M I
L
d C
S
Ecuaţia dimensională a vitezei luminii va fi:
-1 3 4 2 2 2 3 4 2 2 2
0 0LTMILT L T M I M T I L T M Ic L
.
Din condiţia de omogenitate obţinem sistemul de ecuaţii şi soluţia acestuia
3 1 1 1,
1 4 2 2 2
astfel formula fizică se va scrie, până la un factor adimensional:
25
1
20 0
0 0
1c
Se observă ca în această formulă factorul adimensional este egal cu unitatea.
Exemplul 4.
Să se adapteze relaţia care exprimă lungimea de undă asociată unei
particule elementare nerelativiste de masă m , sarcină q , accelerată la tensiunea
U , în funcţie de unităţile: nanometru ( nm ) pentru lungimea de undă; masa
electronului (e
m ) pentru masa m a particulei; sarcina electronului ( e ) pentru
sarcina q a particulei; voltul ( V ) pentru tensiunea de accelerare U .
2
h
mqU ,
unde 346,62 10 J sh reprezintă constanta lui Planck. Relaţia între valori
corespunzătoare sistemului SI este:
346,62 10
m2
kg C V
m q U
Transformând metrul în nm , kilogramul în mase electronice şi coulombul în
sarcini electronice din relaţiile cunoscute:
9 31 19
e1nm 10 m; m 9,1 10 kg; e 1,6 10 C.
obţinem:
e
1,22
nm
m e V
m q U
(1.18)
Din formula (1.18) rezultă că pentru un electron accelerat la o tensiune de 1V,
lungimea de undă asociată va avea valoarea 1,22 nm.
1.17 Unităţi fundamentale şi unităţi derivate Unităţile fundamentale se aleg pentru măsurarea mărimilor fundamentale,
independent unele faţă de altele, alegerea fiind convenţională.
Unităţile derivate sunt cele cu care se măsoară mărimile derivate. Aceste
unităţi nu sunt independente nici între ele, nici faţă de unităţile fundamentale.
Regulile după care se formează unităţile derivate stabilesc mai multe aspecte
care caracterizează o unitate derivată: ecuaţia unităţii, denumirea, definiţia şi
formula de transformare în alte unităţi.
26
Plecând de la relaţia de definiţie a mărimii derivate se stabilesc, în această
ordine:
a) ecuaţia dimensiunilor mărimii derivate din relaţia prin care se determină
această mărime;
b) ecuaţia unităţii, prin înlocuirea mărimilor fundamentale din ecuaţia
dimensiunilor cu unităţile fundamentale corespunzătoare. Pentru că în ecuaţia
dimensiunilor nu apar coeficienţi numerici, aceştia nu vor apare nici în ecuaţia
unităţii;
c) denumirea unităţii se face cu ajutorul ecuaţiei unităţii sau direct din relaţia de
definiţie;
d) definiţia, în care unitatea mărimii respective se obţine în cazul în care toate
celelalte mărimi vor fi egale fiecare cu unitatea corespunzătoare fiecăreia;
e) formula de transformare, care se obţine din ecuaţia unităţii înlocuind unităţile
fundamentale cu formulele lor de transformare.
Drept exemplu, să stabilim unitatea pentru energie din relaţia 212
W mv ,
care conţine coeficientul numeric 12
, având numele special Joule şi simbolul J.
a) 2 -2
LTML T M;W b) 2 -2m s kg;
SIW c) 2 -21m s kg=1J; d) 1JW dacă
2kgm şi 1mvs
. Definiţie: Joule-ul este energia cinetică a unui corp cu
masa de două kilograme, care se deplasează cu o viteză de un metru pe secundă.
e) 4 2 -2 3 5 2 -2 71J 10 cm 1s 10 g=10 cm s g=10 erg .
Unităţile derivate stabilite prin procedeul de mai sus se mai numesc coerente.
Coerenţa este dimensională, deoarece la baza definiţiei acestor unităţi stă ecuaţia
dimensiunilor mărimii. În consecinţă, indiferent de relaţiile care conţin mărimea
respectivă (în cazul de sus energia) se obţine aceeaşi ecuaţie a unităţii mărimii.
Două unităţi sunt identice numai dacă atât ecuaţia unităţii, cât şi definiţia sunt
aceleaşi. De exemplu, deşi au aceeaşi ecuaţie, unitatea pentru momentul forţei şi
pentru lucrul mecanic nu au aceeaşi definiţie. Deşi mărimile au aceleaşi
dimensiuni, ele sunt de natură diferită, în consecinţă unităţile celor două mărimi
au denumiri diferite: 1N m 1J. Diferenţierea procedeelor de măsurare atrage
după sine diferenţierea definiţiilor unităţilor.
1.18 Sisteme de unităţi Un sistem de unităţi trebuie să posede un grup de unităţi fundamentale.
Unui sistem de dimensiuni îi pot corespunde mai multe sisteme de unităţi, ca de
exemplu sistemului de dimensiuni LMT îi corespund sistemele de unităţi MKS
(metru-kilogram-secundă) şi CGS (centimetru-gram-secundă).
Pentru folosirea practică a sistemelor de unităţi este nevoie ca unităţile
fundamentale să fie concretizate şi păstrate în condiţii speciale, ceea ce se
realizează sub forma etaloanelor. Nu se realizează însă etaloane pentru unităţile
fundamentale ale tuturor sistemelor de unităţi. Unităţile fundamentale ale altor
27
sisteme de unităţi decât sistemul principal se definesc prin anumite relaţii în
funcţie de unităţile sistemului principal. Ca exemplu prezentăm cazul sistemului
,CGS unde centimetrul şi gramul diferă de metru şi kilogram. Nu se realizează
alt etalon pentru centimetru sau gram, ci se definesc în funcţie de metru şi
kilogram astfel:
-2 -31cm=10 m; 1g=10 kg; 1s=1s
Un sistem de unităţi trebuie să îndeplinească anumite condiţii:
- să fie practic, adică la măsurarea mărimilor uzuale să nu fie nevoie de valori
foarte mari sau foarte mici;
- să fie general, care să se aplice în toate capitolele fizicii;
- să fie coerent, în care unităţile derivate se formează după principiul coerenţei
dimensionale; între aceste unităţi nu există coeficienţi numerici;
- unităţile fundamentale să fie independente între ele din punct de vedere
dimensional. Din acest punct de vedere chiar şi Sistemul Internaţional are
neajunsuri, deoarece în definiţia amperului se foloseşte metrul şi kilogramul.
1.19 Etaloane şi măsuri În paragraful 1.15 s-a arătat că pentru folosirea unităţilor este nevoie de
concretizarea acestora, prin relaţiile de definiţie sau de determinare a mărimii,
conform unor operaţii precizate. Întrucât pentru mărimile fundamentale
concretizarea nu se poate obţine în acest mod, se folosesc aşa numitele etaloane.
Etaloanele trebuie să satisfacă o serie de cerinţe, printre care:
- să poată fi reconstituite in orice moment;
- să prezinte variaţii minime faţă de influenţa factorilor externi (presiune,
temperatură, umiditate etc;
- materialele din care sunt confecţionate să nu sufere modificări de
structură fizico-chimică în timp;
- să fie uşor de folosit în tehnica de măsurare.
Trebuie precizat că nu este nevoie ca pentru toate unităţile fundamentale
din diferite sisteme de unităţi să existe câte un etalon. Cu toate acestea, numărul
etaloanelor este egal cu numărul unităţilor fundamentale.
Metrologia se ocupă cu realizarea şi conservarea etaloanelor. Etaloanele
sunt de mai multe ordine: prototip, etalon de primul ordin, de ordinul doi, de
ordinul trei etc. Etaloanele prototip de lungime şi masă (metrul şi kilogramul)
sunt depozitate în camerele speciale ale pavilionului Breteuil de la Sèvres –
Franţa. Cu acestea sunt închise etaloane de prim ordin. După acestea se
realizează copii, care constituie etaloane de ordinul doi, care se distribuie
diferitelor ţări. În aceste ţări se construiesc etaloane de ordinul trei, folosite de
institutele meteorologice şi institutele de cercetări. După aceste etaloane de
ordinul trei se realizează măsurile, care sunt folosite în practica zilnică. Există
măsuri de lungime – rigle, rulete, de mase – cutia cu greutăţi, ca şi măsuri ale
unor unităţi derivate - de exemplu măsurile de capacitate.
28
Tendinţa actuală este ca în locul etaloanelor artificiale să se folosească
etaloane naturale. Astfel, pentru etalonul de lungime s-a căutat lungimea de
undă a unei radiaţii electromagnetice emise în anumite condiţii, apoi lungimea
drumului parcurs de lumină în vid, într-un interval precizat de timp.
1.20 Sisteme coerente de unităţi Unităţile pot fi alese arbitrar, însă o astfel de alegere a unei unităţi pentru
fiecare mărime ar conduce la introducerea de noi factori numerici în ecuaţiile
între valorile numerice. Este totuşi posibilă şi chiar logică alegerea unui sistem
de unităţi astfel ca ecuaţiile între valori numerice (cu factorii numerici incluşi) să
aibă aceeaşi formă cu ecuaţiile corespunzătoare între mărimi. Un sistem de
unităţi definit în acest mod se numeşte coerent în raport cu sistemul de mărimi şi
de ecuaţii considerat. Sistemul Internaţional de Unităţi SI este un astfel de
sistem. Acest sistem este dat în ISO 31-1, ISO 31-10, ISO 31-12 şi ISO 31-13.
Unităţile necoerente sunt legate de cele coerente prin relaţii cu coeficienţi
numerici, ca de exemplu caloria în funcţie de joule:
1cal=4,18J
Pentru un sistem anumit de mărimi şi ecuaţii se obţine un sistem coerent
de unităţi definind mai întâi unităţile mărimilor fundamentale, adică unităţile
fundamentale. Pentru fiecare mărime derivată, definiţia unităţii derivate
corespunzătoare în funcţie de unităţile fundamentale se dă printr-o expresie
algebrică obţinută prin înlocuirea în produsul de dimensiuni a simbolurilor
dimensiunilor fundamentale cu simbolurile unităţilor fundamentale. În cazul
particular al unei mărimi cu dimensiunea unu, unitatea este 1. Într-un astfel de
sistem coerent de unităţi, nici un factor numeric diferit de numărul 1 nu
figurează în expresiile unităţilor derivate (date în funcţie de unităţile
fundamentale) - a se vedea exemple în tabelul 2.
Tabelul 2. Unităţi derivate într-un sistem coerent de unităţi
Mărimea Ecuaţia Dimensiunea Simbolul unităţii
derivate
Viteză dlv
dt
1LT -1m s
Forţă 2
2
d lF m
dt
2MLT -2kg m s
Energie cinetică 21
2c
E mv 2 2ML T
2 -2kg m s
Energie potenţială p
E mgh 2 2ML T 2 -2kg m s
Energie mecanică 21
2E mv mgh
2 2ML T 2 -2kg m s
29
Randament
energetic u
c
L
L
1 1
Căldura molară dQC
dT
2 2ML T 2 -2kg m s
Fluxul magnetic B S
2 -2 -1L T MI 2 -2 -1kg m s A
Denumirea Sistem Internaţional de Unităţi, prescurtat SI, a fost adoptată
la a 11-a Conferinţă Generală de Măsuri şi Greutăţi, în 1960. România a aderat
la acest sistem prin hotărârea Consiliului de Miniştri nr.550 din 31 august 1961.
SI cuprinde patru categorii de unităţi: 1 - fundamentale; 2 - derivate
(grupele a, b şi c); 3 - suplimentare; 4 - unităţi derivate ce se exprimă prin
unităţi suplimentare. Acestea formează împreună sistemul coerent de unităţi SI.
În 1960 CGPM (Conférence Générale des Poids et Mesures) a clasat
unităţile pentru unghiul plan (radianul) şi unghiul solid (steradianul) în categoria
unităţilor suplimentare. În 1980 Comitetul Internaţional de Măsuri şi Greutăţi a
hotărât să considere clasa unităţilor suplimentare în SI ca o clasă de unităţi
derivate fără dimensiune. CGPM a lăsat libertatea fiecăruia de a le utiliza sau nu
în expresiile unităţilor SI derivate. Deşi în aceaste condiţii unitatea coerentă
pentru unghiul plan şi pentru unghiul solid este numărul 1, în cele mai multe
aplicaţii se utilizezează totuşi denumirile speciale radian şi steradian în locul
numărului 1. În continuare vom considera unităţile suplimentare în cadrul
unităţilor derivate cu denumiri speciale, astfel vor fi numai două categorii de
unităţi – fundamentale şi derivate.
1. Unităţile fundamentale sunt: lungimea (unitatea metru, simbol m),
masa (kilogram, kg), timpul (secundă, s), curentul electric (amper, A),
temperatura termodinamică (kelvin, K), cantitatea de substanţă (mol, mol),
intensitatea luminoasă (candelă, cd).
Definiţiile unităţilor fundamentale
Metrul reprezintă lungimea drumului parcurs de lumină în vid, într-un
interval de timp de 1 299 792 458dintr-o secundă.
Prototipul kilogramului rămâne cel confirmat de prima Conferinţă
Generală de Măsuri şi Greutăţi, de la Paris din 1889. Este confecţionat din
platină iridiată.
Secunda reprezentă durata a 9.192.631.770 perioade ale radiaţiei
corespunzătoare tranziţiei între cele două niveluri hiperfine ale stării
fundamentale a atomului de cesiu 133.
Kelvinul reprezintă1
273,16 din temperatura termodinamică a punctului
triplu al apei.
Molul reprezintă cantitatea de substanţă dintr-un sistem ce conţine atâtea
entităţi elementare (atomi, molecule, grupări de molecule etc.) câţi atomi conţine
30
o masă de 0,012kg de carbon 12, adică un număr de atomi egal cu numărul lui
Avogadro 23 16,02252 10 molAN .
Amperul reprezintă intensitatea curentului electric constant care, menţinut
în două conductoare paralele, rectilinii, de lungime infinită, de secţiunea
circulară neglijabilă, aşezate în vid la o distanţă de 1m unul de celălalt, ar
produce între cele două conductoare o forţă de 72 10 N pe unitatea de lungime.
Candela este intensitatea luminoasă, într-o direcţie dată, a unei surse care
emite o radiaţie monocromatică cu frecvenţa de 12540 10 Hz şi a cărei intensitate
radiantă în acea direcţie este 1 683dintr-un watt pe steradian.
Aceste unităţi fundamentale, ca şi etaloanele lor, nu sunt stabilite o dată
pentru totdeauna prin definiţiile enunţate mai sus. Este posibil ca în urma
cercetărilor din domeniile de vârf ale fizicii (corp solid, fizică nucleară etc.) să
se impună elaborarea altor unităţi fundamentale.
2. Unităţi derivate
Expresiile unităţilor derivate coerente în funcţie de unităţile fundamentale
se pot obţine din expresiile produselor de dimensiuni şi utilizând următoarele
substituiri formale:
L m; M kg; T s; I A; Θ K; N mol; J cd
Se admite folosirea unor anumite combinaţii sau a anumitor denumiri
speciale pentru a deosebi mărimile care au aceeaşi dimensiune. Se pot distinge
trei grupe de unităţi derivate, notate în continuare cu a), b) şi c)
a) unităţi derivate exprimate prin unităţile fundamentale: aria 2m ,
volumul 3m , viteza m s , acceleraţia 2m s , numărul de undă -1m ,
densitatea 3kg m , densitatea de curent 2A m , intensitatea câmpului
magnetic A m , concentraţia cantităţii de substanţă 3mol m .
b) Unităţi derivate cu denumiri speciale (tabelul 3)
Tabelul 3. Unităţi SI derivate cu denumiri speciale, incluzând şi unităţile SI
suplimentare
Mărimea derivată Unitatea SI derivată
Denumire
specială
Simbol Expresie în funcţie de unităţi SI
fundamentale şi/sau SI derivate
unghi plan radian rad 1rad =1m/m=1
unghi solid steradian sr 2 21sr =1m /m =1
frecvenţă hertz Hz -11Hz =1s
forţă newton N 21N =1kg m/s
presiune, tensiune
mecanică
pascal Pa 2 21Pa =1N/m kg m s
31
enrgie, lucru mecanic,
cantitate de căldură
joule J 2 21J=1N m=kg m s
putere, flux radiant watt W 2 31W=1J s=m kg s
sarcină electrică,
cantitate de electricitate
coulomb C 1C=1A s
potenţial electric, diferenţă
de potenţial, tensiune
electrică,
tensiune electromotoare
volt V 2 -3 -11V=1W/1A=J C=m kg s A
capacitate electrică farad F 2 -1 4 21F=1C/V=m kg s A
rezistenţă electrică ohm Ω 2 -3 -21Ω=1V/A=m kg s A
conductanţă electrică siemens S -1 -2 -1 3 21S=1Ω =A V=m kg s A
flux al inducţiei magnetice weber Wb 2 -2 -11Wb=1V s=m kg s A
inducţie magnetică tesla T 2 2 -11T=1Wb/m =kg s A
inductanţă henry H 2 -2 -21H=1Wb/A=m kg s A
temperatură Celsius grad
Celsius
°C 1 C=1K
flux luminos lumen lm 1lm=1cd sr
iluminare lux lx 2 21lx=1lm/m =1cd sr m
Dintre unităţile S.I. derivate care conţin şi unităţi suplimentare, pe lângă cele cu
denumiri speciale (lumen şi lux), enumerăm viteza unghiulară -1ω rad s sau s ,
acceleraţia unghiulară 2ε rad s , intensitatea energetică W/sr , luminanţa
energetică -1 -2W sr m .
Definiţia unităţilor suplimentare S.I.
Unghiul plan (simbol , , , , ...... ) este unghiul dintre două
semidrepte care pornesc din acelaşi punct. Se defineşte ca raportul dintre
lungimea arcului subîntins pe un cerc (cu centrul în punctul considerat) şi
lungimea razei cercului, prin formula:
AB
r , (1.19)
unde AB este arcul subântins de laturile unghiului la
centru, iar r este raza cercului (fig.1).
Unitatea de unghi plan este radianul, care
reprezintă unghiul plan cuprins între două raze ce
delimitează pe circumferinţa unui cerc un arc de
rB
Figura 1. Radianul
A
32
lungime egală cu cea a razei AB r . Unghiul plan maxim exprimat în radiani
corespunde unui arc de lungime 2 r , şi are valoarea max
2πα 2πrad.
r
r
Unghiul solid (simbol ) este unghiul solid al unui con. Se defineşte ca
raportul între aria delimitată pe suprafaţa unei sfere (având centrul în vârful
conului) şi pătratul razei sferei, prin formula:
2Ω
S
r
(1.20)
unde S este suprafaţa intersectată pe o sferă de
rază r de un con cu unghiul la vârf 2 , având
vârful în centrul sferei (fig.2). Unitatea de unghi
solid este steradianul. Un steradian reprezintă unghiul
solid care, având vârful în centrul unei sfere,
delimitează pe suprafaţa acestei sfere o arie egală cu
cea a unui pătrat a cărui latură este egală cu raza
sferei 2S r . De la geometrie se ştie că aria
segmentului de sferă S este dată de formula 2πS rh , unde (1 cosα)h r
reprezintă înălţimea calotei sferice, astfel că
22π (1 cosα)S r .
Conform definiţiei, formula unghiului solid Ω va fi:
2Ω 2π(1 cosα)
S
r
, (1.21)
de unde prin diferenţiere obţinem:
Ω 2πsinα αd d . (1.22)
Formula (1.21) indică relaţia dintre unghiul solid şi unghiul plan .
c) Unităţi derivate care se exprimă folosind denumiri speciale (tabelul 4)
Tabelul 4. Unităţi SI derivate cu folosirea denumirilor speciale
Mărimea derivată Unitatea SI derivată
Denumirea unităţii în
SI
Simbol Expresia în unităţi
SI fundamentale
momentul forţei metru- newton N m 2 -2m kg s
densitate de flux termic,
iluminare energetică
watt pe metru pătrat 2W m -3kg s
capacitate termică joule pe kelvin J K 2 -2 -1m kg s K
capacitate termică masică joule pe kilogram
kelvin J kg K 2 -2 -1m s K
r S
h
Figura 2. Steradianul
33
energie masică joule pe kilogram J/kg 2 -2m s
energie volumică joule pe metru cub 3J/m -1 -2m kg s
intensitate a câmpului
electric
volt pe metru V/m -3 -1m kg s A
sarcină electrică
volumică
coulomb pe metru
cub
3C/m -3m s A
permitivitate farad pe metru F/m -3 -1 4 2m kg s A
permeabilitate henry pe metru H/m -2 -2m kg s A
energie molară joule pe mol J/mol 2 -2 -1m kg s mol
capacitate termică molară joule pe mol kelvin J/mol k 2 -2 -1m kg s k
Din tabelul 4 se poate observa avantajul utilizării de simboluri sau denumiri
speciale în expresiile unităţilor compuse. Astfel, utilizând unitatea derivată volt
( 2 -3 -11V=1m kg s A ), simbolul unităţii SI pentru permitivitate se poate scrie
sub forma mai simplă -1 -1s A m V . Utilizând unitatea derivată joule
( 2 -21J=1m kg s ), simbolul unităţii SI pentru entropia molară se poate scrie sub
forma simplă -1 -1J K mol ;
Unitatea unu
Unitatea coerentă a oricărei mărimi cu dimensiune unu este unitatea unu,
simbol 1. În general, acest număr nu se scrie în mod explicit când se exprimă
valoarea unei asemenea mărimi (cu excepţia unor mărimi cu denumiri speciale,
când, în funcţie de context, pot fi sau nu utilizate). Exemple:
indicele de refracţie 1,53 1 1,53n , unghi plan α=0,5rad=0,5; unghi solid
Ω=3,5sr=3,5 .
Simbolurile mărimilor
Sunt constituite dintr-o singură literă a alfabetului latin sau grec, uneori cu
indice interior sau alte semne distinctive. Se tipăresc cu caractere italice,
indiferent de caracterele folosite în text. Indicii inferiori care reprezintă simbolul
unei mărimi fizice se tipăreşte tot cu caracter italic, ca şi mărimea. Ceilalţi indici
inferiori se tipăresc cu caractere romane drepte.
Exemplul 5
Indici italici p
C (p=presiunea) n n
a b (n=nr. curent) x
p (x=coordonata x)
Indici drepţi g
C (g = gaz) r
(r = relativ) e
(e = electric)
Simbolurile mărimilor trebuie tipărite cu litere mici, în afara acelor mărimi
pentru care denumirea derivă de la un nume propriu ca de exemplu:
m (metru); s (secundă); A (amper); Wb (weber)
34
1.21 Unităţile speciale Se introduc pentru situaţii speciale întâlnite în anumite fenomene.
Exemplul 6
Torrul se foloseşte ca unitate de presiune deoarece presiunile joase se
măsoară cu manometrul cu mercur. Expresia torrului este:
2
N1torr =133,3
m
Ora se foloseşte curent pentru măsurarea timpului în activităţile umane zilnice:
1h=60min=3600s
Tabelul 5. Prefixe pentru multiplii şi submultiplii zecimali ai unităţilor SI
Factorul Prefixul Factorul
Prefixul
Denumire Simbol Denumire Simbol 2410 yotta Y 2410
yocto y 2110 zetta Z 2110
zepto z 1810 exa E 1810
atto a 1510 peta P 1510
femto f 1210 tera T 1210
pico p 910 giga G 910
nano n 610 mega M 610
micro μ 310 kilo k 310
mili m 210 hecto h 210
centi c
10 deca da 110 deci d
Bibliografie 1. Mircea Oncescu. Mărimi şi Unităţi în Fizică, vol.I. Editura Tehnică,
Bucureşti, 1955
2. Traian I. Creţu, Corneliu Ghizdeanu. Metode de măsurare şi prelucrare a
datelor experimentale – pentru uzul studenţilor. Institutul Politehnic Bucureşti,
1980
3. Traian I. Creţu. Fizica Generală Vol.I. Editura Tehnică, Bucureşti, 1986
4. Jerome V. Scholle. Metrology. Addison Wesley Longman Inc., 1993
5. Institutul Român de Standardizare. Unităţi de Măsură. Colecţie de standarde.
Editura Tehnică, Bucureşti, 1997
6. Arjana Davidescu. Metrologie generală, Ed. Politehnică, Timişoara, 2001
7. Preben Horwath, Fiona Redgrave. Metrology – in short, 2nd
edition, MKom
Aps, Denmark, 2003
8. Jay L. Bucher (editor), The Metrology Handbook, Measurement Quality
Division, ASQ, 2004