1. Mécanique-chapitre 2

Partie I : Mécanique

Chapitre 2 : Mouvement en une dimension

Résumé

1. La vélocité moyenne est le rapport du déplacement ∆x par l'intervalle de temps ∆t.

2. La vélocité instantanée v est la limite de ce rapport dans lorsque l'intervalle de temps se tend vers zéro. Il s'agit de la dérivée de x par rapport à t:

La vélocité instantanée est représentée graphiquement par la pente de la courbe x en fonction de t. En une dimension, la vélocité moyenne et la vélocité instantanée peuvent être soit positive ou négative. La grandeur(ou module ou valeur absolue) de la vélocité instantanée est appelée la vitesse.

3. L’accélération moyenne est le rapport de la variation de la vélocité ∆v à l'intervalle de temps ∆t:

L'accélération instantanée est la limite de ce rapport lorsque l'intervalle de temps se rapproche de zéro. L’accélération instantanée est la dérivée de v par rapport à t, qui est la dérivée seconde de x par rapport à t:


L'accélération instantanée est représentée graphiquement comme la pente de la courbe de v en fonction de t.

4. Dans le cas particulier de l'accélération constante, on a les formules suivantes:

Un exemple courant de mouvement avec une accélération constante est le mouvement d'un objet, près de la surface de la terre en chute libre sous l'influence de la gravité. Dans ce cas, l'accélération du corps est dirigé vers le bas et a la grandeur g = 9,81 m/s2 = 32,2 m/s2.

5. Le déplacement est représenté graphiquement comme l'aire sous la courbe de v en fonction de t. Cette zone est l'intégrale de v par rapport au temps à partir d’un certain instant initial t1 jusqu’à un certain final t2. Il s’écrit

De même, le changement de vitesse pendant un certain temps est

représentée graphiquement comme l'aire sous la courbe de l’accélération en fonction de temps t.


Objectifs

A la fin de cette leçon vous devriez:

1. Être capable de définir le déplacement, la vitesse et l'accélération.

2. Être capable de faire la distinction entre la vitesse et la vélocité.

3. Être capable de calculer la vitesse instantanée à partir d'un graphe de la position en fonction du temps.

4. Connaître les équations importantes relatives déplacement, vitesse, accélération, et le temps qui s'appliquent lorsque l'accélération est constante, et les utiliser pour résoudre les problèmes.

5. Etre en mesure de calculer le déplacement d'une particule de la courbe de la vitesse v en fonction du temps et la variation de la vélocité d'une particule à partir de la courbe de l’accélération a en fonction du t en trouvant les zones sous les courbes appropriées.

6 Savoir définir, expliquer, ou d'identifier:

Particules, vitesse, déplacement, vitesse moyenne, vitesse instantanée, pente d’une droite, dérivée, accélération moyenne, accélération instantanée, Problème à valeur initiale, Intégrale.

7 Savoir dire si les énoncés suivants sont vrais ou faux. Si l'énoncé est vrai, expliquer pourquoi il est vrai. S’il est faux, donner un contre-exemple.

7.1. L'équation ∆x = v0t + 12at 2 est vraie pour tout mouvement dans en

seule dimension.

7.2. Si la vitesse est nulle à un instant, l'accélération doit également être nulle à cet instant.

7.3. Si l'accélération est égale à zéro, le corps ne peut pas se déplacer.

7.4. Si l'accélération est égale à zéro, la courbe du position x par rapport à t est une ligne droite.

7.5. L'équation ∆x = vav ∆t vaut pour tout mouvement dans une seule dimension.

8. Savoir résoudre les problèmes suivants :

Problèmes


Sauf instruction contraire, utiliser g = 9,81 m/s2 = 32,2 m/s2 pour l'accélération due à la pesanteur.

Niveau I

Vitesse, de déplacement, et la vitesse

1. Un coureur qui court 2 km en 5 min, puis prend 10 min à pied vers le point de départ.

(a)Quelle est la vélocité moyenne pour les 5 premières minutes?(b)Quelle est la vélocité moyenne pour le temps passé à marcher?(c)Quelle est la vélocité moyenne pour le total de parcourt?(d)Quelle est la vitesse moyenne pour le total de parcourt?

2. Résoudre le problème 1 si le coureur ne marchait qu’à mi-chemin en 10 min, puis s'arrêta.

3. Une particule est en x = +5 m à t = 0, x = -7 m à t = 6 s, et x = 2 m à l'instant t = 10 s. Déterminer la vitesse moyenne de la particule dans l'intervalle

(a) t = 0 à t = 6 s,(b) t = 6 s à t = 10 s, et(c) t = 0 à t = 10 s.

4. Un conducteur commence un voyage de 200 km à midi.

(a) Il conduit sans escale et arrive à sa destination à 17h30 Calculer sa vitesse moyenne pour le voyage.(b) Elle conduit pendant 3 h, se repose pendant 1/2h, et continue de conduire, en arrive à 17h30. Calculer sa vitesse moyenne.(c) Après 2h de repos, il se rend à la maison, en prenant 6 h pour le retour. Quel est son vitesse moyenne pour le total du voyage aller-retour?

(d) Quel est son déplacement?

5. Une voiture se déplace en ligne droite avec une vélocité moyenne de 80 kilomètres par heure pendant 2,5 heures, puis avec une vélocité moyenne de 40 kilomètres par heure pendant 1,5 h.(a) Quel est le déplacement total pendant ce voyage de 4 heures ?(b) Quelle est la vélocité moyenne pour le total du voyage?

6. Vous conduisez dans le Kentucky, vous remarquez que le marqueur mile sur l'autoroute est de 325. Vous continuez tout droit jusqu’au marquer de mile marker 0 de l'autre côté de l'Etat en 6 h. Vous avez alors


le désir du poulet frit, de sorte que vous faite demi-tour et revenez en 25 km en arrière pour une collation. Ce retour prend 30 min.

(a) Quel a été votre vitesse moyenne en miles par heure pour le parcourt de 350 km?(b) Quelle a été votre vélocité moyenne pendant le voyage?(c) Quelle a été votre vitesse moyenne pour les dernier 25 km?

7. (a) Combien de temps cela prend-il à un jet supersonique volant à 2,4 fois la vitesse du son de survoler l'Atlantique, qui est environ 5500 km de large? La vitesse du son à 350 m/s.(b) Combien de temps cela prend-il un jet subsonique volant à 0,9 fois la vitesse du son pour faire le même voyage? En supposant qu'il faut 2 h au départ et à l’arrivé du voyage pour se rendre à l'aéroport ou revenir de l'aéroport et de vérifier ou de prendre vos bagages, quel est votre vitesse moyenne de votre domicile à votre destination finale pour les(c) le jet supersonique et(b) le jet subsonique?

8. Comme vous conduisez le long d’une 'autoroute, votre compteur de vitesse ne fonctionne plus. Vous mesurez votre vitesse en mesurant le temps qu'il faut pour voyager entre bornes kilométriques.

(a) Combien de secondes doivent s'écouler entre bornes kilométriques si votre vitesse moyenne est de 55 mi/h?

(b) Quelle est votre vitesse moyenne en miles par heure si le temps entre les marqueurs de milles est de 45s?

9. La lumière voyage à une vitesse de c = 3 x 108 m/s.

(a) Combien de temps la lumière mettra-t-elle pour voyager du soleil à la terre, sur une distance de 1,5 x 1011 m?

(b) Combien de temps cela prend-il la lumière pour voyager de la Lune à la Terre, une distance de 3,84 x 108 m?

(c) Une année-lumière est une unité de distance égale à la distance parcourue par la lumière en 1 an. Trouver la distance équivalente de 1 année-lumière en kilomètres et en miles.


10. L’étoile la plus proche, Proxima du Centaure, est à une distance de 4,1 x 1013 km.

(a) Combien de temps est nécessaire pour un signal lumineux envoyé de la terre pour atteindre Proxima du Centaure?

(b) Combien d'années faudrait-il d'un vaisseau spatial voyageant à une vitesse de 10-4 c pour atteindre l’étoile la plus proche étoile? (Voir le problème 9.)

11. Une voiture qui fait un voyage de 100 km couvre les premiers 50 km à une vitesse de 40 km/h. A quelle vitesse doit-elle couvrir, les 50 km restant pour que sa vitesse moyenne sur l’entièreté du trajet soit de 50 kilomètres par heure?

Vitesse instantanée

12. Pour chacune des quatre graphes de x en fonction de t dans la figure 2-13, indiquer si

(a) La vitesse à l'instant t2 est supérieure , inférieure ou égale à la vitesse à l'instant t1 et

(b) La vitesse à l'instant t2 est supérieure , inférieure ou égale à la vitesse à l'instant t1.

Figure 2-13 graphiques de x en fonction de t pour le problème 12.


13. D'après le graphique de x en fonction de t de la figure 2-14,

(a) Trouver la vitesse moyenne entre les temps t = 0 et t = 2s.

(b) Trouver la vitesse instantanée à t = 2s, en mesurant la pente de la tangente indiquée.

Figure 2-14 Graphique de x en fonction de t avec une ligne tangente à t = 2s pour le problème 13.

14. Pour le graphe de x en fonction de t de la figure 2-15, trouver la vélocité moyenne durant les intervalles de temps ∆t = t2 - 0,75 s lorsque t2 est 1.75 s , 1.5 s, 1,25 s, et 1,0 s. Quelle est la vitesse instantanée à l’instant t = 0,75 s?


Figure 2-15 Graphique de x en fonction de t pour le problème 14.

15. Pour le graphe de x en fonction de t montré sur la figure 2-16,

(a) Trouver la vitesse moyenne de l'intervalle t = 1 s à t = 5 s.(b) Trouver la vitesse instantanée à t = 4 s.(c) A quel instant la vitesse de la particule est-elle égale à zéro?

Figure 2-16 Graphique de x par rapport au temps t avec la tangente à l'instant t = 4 s pour le problème 15.

2-3 Accélération

16. Une voiture se déplace à 45 kilomètres par heure au temps t = 0. Il accélère avec une accélération constante de (10 km / h).s.

(a) Quelle est la vitesse de la voiture va à l'instant t = 1 s? A t = 2 s?(b) Quelle est sa vitesse à un instant t en général?


17. A t = 5 s un objet se déplace à 5 m/s. A t = 8 s sa vitesse est de -1 m/s. Trouver l'accélération moyenne pour cet intervalle.

18. Indiquer si l'accélération est positive, négative ou nulle pour chacune des fonctions de position x (t) dans la figure 2-17.

Figure 2-17 graphiques de r en fonction de t pour le problème 18.

Mouvement avec accélération constante

19. Une voiture accélère du repos à une accélération constante de 8 m/s2.


(a) Quelle est sa vitesse au bout de 10 s?(b) A quelle distance se trouve-t-elle au bout de 10 s?(c) Quelle est sa vitesse moyenne dans l'intervalle t = 0 à t = 10s?

20. Un objet dont la vitesse initiale de 5 m/s a une accélération constante de 2 m/s2. Quand sa vitesse est-elle de 15 m/s, quelle distance a-t-il parcourue?

21. Un objet avec une accélération constante a une vitesse v = 10 m/s lorsqu'il est en position x = 6 m et v = 15 m/s lorsqu'il est en x = 10 m. Quel est son accélération?

22. Un objet a une accélération constante a = 4 m/s2. Sa vitesse est de 1 m/s à t = 0, quand il est en x = 7 m. A quelle vitesse se déplace-t-il quand il est en position x = 8 m? A quel instant est-ce?

23. Une particule part du repos et accélère à 10 m/s2 , combien de temps la particule mettra pour parcourir 100 m. Quelle est sa vitesse au bout de cette distance de 100 m? Quelle est la vitesse moyenne?

24. Une balle est lancée vers le haut avec une vitesse initiale de 20 m/s.(a) Quelle est la durée de la balle en l'air?(b) Quelle est la plus grande hauteur atteinte par la balle?(c) A quel instant le ballon est-il à 15 m au-dessus du sol?

25. Supposons un fusil tire une balle directement vers le haut avec une vitesse de 300 m/s. En négligeant le frottement de l'air, à quelle hauteur la balle montera-t-elle?

26. La distance minimale pour un arrêt contrôlé ou distance de freinage, à partir de 98 km/h, pour une certaine voiture est de 50 m. Trouvez l'accélération, à supposer qu'elle soit constante, et exprimez votre réponse comme une fraction de l'accélération d’un mouvement en chute en raison de la gravité. Combien de temps faut-il à la voiture pour s'arrêter?

27. Une voiture peut décélérer à environ 1g. (C'est, de l'amplitude de

l’accélération a est de 1g)

(a) Combien de temps la voiture mettra pour s’arrêter si elle roule à la vitesse de 885 km/h?(b) Quelle sera la distance d’arrêt ?

2-5 Intégration


28. La vitesse d'une particule est donnée par v = 6t + 3, où t est en secondes et v est en mètres par seconde.

(a) Esquissez la vitesse v (t) en fonction de t, trouvez l'aire sous la courbe pour l'intervalle de temps de t = 0 à t = 5 s.(b) Trouver la fonction générale de position x (t). Utilisez ce résultat pour calculer le déplacement pendant l'intervalle de t = 0 à t = 5s.

29. Esquissez la vitesse d'une particule en mètres par seconde est donnée par v=7-4t, où t est en secondes.(a) Esquissez v (t) en fonction de t, et de trouver l’aire de la zone entre la courbe et l'axe des t à partir de t = 2s jusque t = 6s.(b) Trouver la fonction position x (t) par l'intégration, et l'utiliser le résultat pour trouver le déplacement pendant l'intervalle t = 2s à t = 6s.(c) Quelle est la vitesse moyenne de cet intervalle?

30. Figure 2-18 montre la vitesse d'une particule en fonction du temps.(a) Quelle est l'amplitude en mètres de l'aire du rectangle indiqué?(b) Trouver le déplacement approximatif de la particule pour les intervalles de t = 1s commençant à t = 1s et t = 2s.(c) Quelle est la vitesse moyenne approximative pour l'intervalle de t = 1s à t = 3s?

Figure 2-18 Graphique de la vitesse v en fonction de t pour les problèmes 30 et 41.


Niveau II

31. Figure 2-19 montre la position d'une particule en fonction du temps. Déterminer la vitesse moyenne des intervalles de temps a, b, c et d indiquées dans la figure.


32. La position d'une particule dépend du temps selon la formule x = (1 m/s2) t2 - (5 m/s)t + 1m. (a) Trouver le déplacement et la vitesse moyenne dans l'intervalle t = 3s à t = 4 s.(b) Trouver une formule générale pour le déplacement dans l'intervalle de temps allant de t à t + ∆t.(c) Trouver la vitesse instantanée à l’instant t.


33. La hauteur d'un projectile donné est liée au temps par y = -5(t-5)2 + 125, où y est en mètres et t est en secondes.

(a) Faites une esquisse de la fonction y en fonction de t pour t = 0 à t = 10 s.(b) Trouver la vitesse moyenne pour chacun des intervalles de temps 1-s entre les valeurs de temps intégrante de t = 0 à t = 10 s. Dessinez vav en fonction de t.(c) Déterminer la vitesse instantanée en fonction du temps.

34. Une particule se déplace avec une vitesse donnée par v(t) = 8t - 7, où v(t) est en mètres par seconde et t est en secondes.

(a) Trouvez l'accélération moyenne pour les intervalles de 1s commençant à t = 3s et t = 4s.(b) Esquissez v en fonction de t.

Quelle est l'accélération instantanée à tout moment t?

35. La position d'une particule en fonction du temps est donnée par

t, s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11x , m 0 5 15 45 65 70 60 -30 -50 -50 -55 -55

Dessiner x en fonction de t, et dessiner une courbe lisse x (t). Indiquez les instants ou les intervalles de temps pour laquelle

(a) la vitesse est la plus grande,(b) la vitesse est minimum,(c) la vitesse est nulle,(d) la vitesse est constante,(e) l'accélération est positive, et(f) l'accélération est négative.

36. La position d'un objet est lié au temps par x = at2 - bt + c, où a = 8/m2, b = 6 m/s, et c = 4 m. Déterminer la vitesse instantanée et de l'accélération en fonction du temps.

37. Une balle est lâchée d'une hauteur de 3 m et rebondit sur le sol à une hauteur de 2 m.

(a) Quelle est la vitesse de la balle lorsqu’elle atteint le sol?(b) Quelle est la vitesse de la balle lorsqu’elle quitte le sol?(c) Si elle est en contact avec le sol pendant 0,02 s, ce sont les amplitudes et la direction de son accélération moyenne durant cet intervalle?


38.Le vitesse d'une particule en mètres par seconde est donnée par v = 7t + 5, où t est en secondes. Trouver la fonction générale de position x (t).

39. L'accélération d'une certaine fusée est donnée par a = Ct , où C est

une constante.(a) Trouver la fonction générale de position x (t).(b) Trouver la position et la vitesse à l'instant t = 5s si x = 0 et v = 0 à t = 0 et C = 3m/s3.

40. Figure 2-20 montre l'accélération d'une particule en fonction du temps.(a) Quelle est l'aire du rectangle indiqué?(b) La particule part du repos à l'instant t = 0. Trouver la vitesse à l'instant t = 1,2, et 3 s en comptant les rectangles sous la courbe. (c) Dessinez la courbe a (t) en fonction de t à partir de vos résultats pour la partie (b), et estimer dans quelle mesure la particule se déplace dans l'intervalle t = 0 à t = 3 s.

Figure 2-20 Graphe d'une fonction de t pour le problème 40.

41. L'équation de la courbe représentée sur la Figure 2-18 est v = 0.5t2 m/s. Trouver le déplacement de la particule pour l'intervalle t = 1s et t=3 s par intégration, et comparer cette réponse avec votre réponse au problème 30. Est-ce la vélocité moyenne est-elle égale à la moyenne des vélocités initiales et finales de ce cas?


42. Une voiture qui roule à une vitesse constante de 20 m/s passe une intersection à l'instant t = 0, et 5s plus tard, une autre voiture passe la même intersection en se déplaçant de 30 m/s dans la même direction.

(a) Trace la position des fonctions x1(t) et x2(t) pour les deux voitures. (b) Trouver l’instant auquel la deuxième voiture rattrapera la première.(c) Quelle distance de l'intersection les deux voitures ont parcouru lorsque cela se produit?(C’est-à-dire lorsque la seconde voiture rattrape la première)

43. Un lièvre et une tortue commencent une course de 10 km à l'instant t = 0. La lièvre court à 4 m/s et distance rapidement la tortue qui court à 1 m/s (en réalité, environ 10 fois plus vite qu'une tortue peut effectivement se déplacer, mais pratique pour ce problème). Après avoir couru pendant 5 min, le lièvre s'arrête et s'endort. Sa sieste dure 135 min. Il se réveille et court à nouveau à 4 m/s, mais perd la course. Dessiner les courbes de x en fonction de t pour le lièvre et la tortue sur les mêmes axes. A quel moment la tortue dépasse-t-elle le lièvre? A quelle distance derrière se trouve le lièvre lorsque la tortue traverse la ligne d'arrivée? Combien de temps peut sieste le lièvre et encore gagner la course?

44. Une particule se déplace avec une accélération constante de 3 m/s2. A t = 4s, il est à x = 100 m. A t = 6s, il a une vitesse v = 15 m/s. Trouver sa position à l'instant t = 6 s.

45. La figure 2-21, montre la position d'une voiture tracée en fonction du temps. A quel instant des instants t0 à t7 est

(a) La vitesse négative,(b) la vitesse positive,(c) l'une vitesse nulle,(d) l'accélération négative,(e) l'accélération positive, et(f) l'accélération nulle?


Figure graphique 2-21 de la position d'un véhicule en fonction du temps pour le problème 45.

46. Il a été constaté que les galaxies s'éloignent de la terre à une vitesse qui est proportionnelle à leur distance de la terre. Cette découverte est connue comme la loi de Hubble. La vitesse d'une galaxie qui se trouve à une distance est donnée par v = H.r, où H est la constante de Hubble, ce qui équivaut à 1,58 x 10-18 s-1. Quelle est la vitesse d'une galaxie

(a) 5 x 1022 m de la terre et(b) 2 x 1025 m de la terre?(c) Si chacune de ces galaxies a parcouru à vitesse constante, il y combien de temps étaient-elles toutes les deux situées au même endroit que la terre?

47. Pour chacun des graphiques de la figure 2-22, indiquer(a) A quel moment l'accélération de l'objet est négative, positive, et égal à zéro;(b) A quel moment l'accélération est constante, et(c) A quel moment la vitesse instantanée est égale à zéro.

Figure 2-22 graphiques de (a) v en fonction de t (b) x en fonction de pour le problème 47.


48. Dans le glissement de terrain de Blackhawk en Californie, une masse de roche et de boue est tombé de 460 m vers le bas d'une montagne, puis parcouru 8 km à travers une plaine sur un coussin d'air comprimé. Supposons que pierre tombée avec l'accélération de la chute libre en raison de la gravité, puis de glisser horizontalement avec une décélération constante.

(a) Combien de temps a-t-il fallu à la pierre pour tomber de 460 m?(b) A quelle vitesse la pierre atteint-elle le fond?(c) Combien de temps la pierre mettra-t-elle pour glisser sur 8 km horizontalement?

49. Une voiture de police poursuit un chauffard qui roule à 125 km/h. La vitesse maximale de la voiture de police est de 190 km / h. La voiture de police se déplace du repos avec une accélération constante de (8km/h)s jusqu'à ce que sa vitesse atteint 190 kilomètres par heure. Elle se déplace alors à vitesse constante.

(a) Quand est-ce la voiture de police rattrapera-t-elle le chauffard si elle démarre juste quand le chauffard passe devant elle?

(b) Quelle est la distance parcourue par chaque voiture ?(c) Dessiner x (t) pour chaque voiture.

50. Lorsque la voiture de police du problème 49 se déplace à 190 kilomètres par heure et est à 100 m derrière le chauffard (se déplaçant à 125 kilomètres par heure), le chauffard voit la voiture de police et freine.

(a) En supposant que chaque voiture peut freiner avec une décélération de 6 m/s2 et que le conducteur de la voiture de la police freine dès qu'il


voit les feux de freinage du chauffard, c’est-à-dire, sans temps de réaction, montrent que les voitures entrent en collision.(b) Les voitures entrent collision combien de temps après que le chauffard ait freiné?(c) L'intervalle entre le moment où l'agent de police voit les feux de freinage du chauffard et le temps qu'il met lui-même à freiner est appelé son temps de réaction T. Discuter comment le temps de réaction affecte ce problème.

51. Un glisseur se déplace le long d’un banc à coussin d'air avec une

accélération constante a. Il est projeté à partir du début de la piste (x =

0) avec une vitesse initiale v0. A l'instant t = 8 s, il est à x = 100 cm et se déplace le long du banc à une vitesse v = -15 cm/s. Trouver la vitesse initiale vo et l'accélération a.

52. Une charge de briques est soulevée par une grue à la vitesse constante de 5 m/s quand une brique tombe de 6 mètres du sol. Décrire le mouvement de la brique en esquissant x (t).(a) Quelle est la plus grande hauteur atteinte par la brique au-dessus du sol? (b) Combien de temps cela prend-il pour atteindre le sol? (c) Quelle est sa vitesse juste avant qu'elle ne touche le sol?

53. Un étudiant en cours courant à 9 m/s est de 40 m derrière Eddy lorsqu’Eddy démarre à partir de repos sur sa moto avec une accélération de 0,9 m/s2.(a) Combien de temps cela prend-il pour que Eddy rattrape l'étudiant?(b) Quel est l'intervalle de temps pendant lequel l'étudiant reste en avance sur Eddy?

54. Une automobile accélère de repos à 2 m/s2 pendant 20 s.La vitesse est ensuite maintenu constant pendant 20 s, après quoi il y a une accélération de - 3 m/s2 jusqu'à l'automobile s'arrête.Quelle est la distance totale parcourue?

55. Un pot de fleur tombe d'une corniche d'un immeuble. Une personne dans un appartement en dessous, qui a un chronomètre à portée de main, note que le pot de fleur prend 0,2 s pour passer devant sa fenêtre, ce qui a de 4 m de haut. Quelle est la distance entre le haut de la fenêtre et la corniche à partir de laquelle le pot est tombé?

56. Un pilote saute d'un avion en flammes sans parachute. Il atteint une vitesse de 120 kilomètres par heure avant l'impact. Le pilote peut survivre à une décélération de 35g. Il tombe sur un tas de paille. En


supposant que la décélération uniforme, quelle doit être la hauteur du tas de foin pour que le pilote ait une chance de survivre?

57. Un boulon se détache de la partie inférieure d'un ascenseur qui se déplace vers le haut à une vitesse de 6 m/s. Le boulon atteint le fond de la cage d'ascenseur dans trois seconde.(a) A quelle hauteur était l'ascenseur lorsque le boulon s'est détaché? (b) Quelle est la vitesse du boulon quand il touche le fond de la cage de l’ascenseur ?

58. Un archer tire une flèche qui produit un bruit très fort quand il frappe sa cible. La vitesse moyenne de la flèche est de 150 m/s. L'archer entend l'impact exactement 1 s après le tir de la flèche. Si la vitesse du son est de 340 m/s, à quelle distance est la cible?

Niveau III

59. Esquisser une seule courbe de la vitesse v en fonction t dans sur laquelle il ya des instants ou des segments pour lesquels

(a) L'accélération est égale à zéro et constante alors que la vitesse n'est pas nulle;(b) L'accélération est égale à zéro mais non constante; (c) La vitesse et l'accélération sont toutes les deux positives;(d) La vitesse et l'accélération sont toutes les deux négatives;(e) La vitesse est positive et l'accélération est négative;(f) La vitesse est négative et l'accélération est positive, et(g) la vitesse est nulle, mais n'est pas l'accélération.

60. Quand une voiture roule à la vitesse v1 tourne à un coin, le conducteur voit une autre voiture se déplaçant à une vitesse plus lente v2 à une distance d devant. (a) Si l'accélération maximale que peuvent fournir les freins du

conducteur est a, montrer que la distance d doit être supérieur à (v1−v2)

2

2a

pour éviter la collision entre les deux voiture.(b) Évaluer cette distance pour v1 = 90 km/h, v2 = 45 km/h, et a = 6 m/s2. (c) Estimer ou mesurer votre temps de réaction, et de calculer l'effet qu'elle aurait sur la distance dans la partie (b).

61. Un passager court à sa vitesse maximale de 8 m/s pour rattraper un train. Quand il est à une distance d de la plus proche portière du train, le train part du repos avec une accélération constante a = 1,0 m/s2 loin de lui.


(a) Si d = 30 m et que le passager continue à courir, sera-t-il capable d’attraper le train? (b) Dessinez la fonction de la position x(t) du train, en choisissant x = 0 à t = 0. Sur le même graphique, dessiner x(t) pour le passager pour diverses distances de séparation initiale d, y compris d = 30 m et la distance de séparation critique dc de telle sorte qu’il attrape le train de justesse.(c) Pour la distance de séparation critique dc, quelle est la vitesse du train, lorsque le passager l’attrape? Quelle est la vitesse moyenne du train pour l'intervalle de temps de t = 0 jusqu'à ce qu'il l'attrape? Quelle est la valeur de dc ?

62. Un train commence à partir d'une station avec une accélération constante de 0,40 m/s2. Un passager arrive sur le quai 6,0 s après le bout arrière du train ait quitté le même point. Quelle est la vitesse minimale constante à laquelle le passager peut courir et prendre le train? Esquisser les courbes pour le mouvement du passager et le train en fonction du temps.

63. La balle A est tombée du haut d'un immeuble à l'instant même où la balle de B est lancé verticalement vers le haut à partir du sol. Quand les balles entrent en collision, ils se déplacent dans des directions opposées, et la vitesse de A est le double de la vitesse de B. A quelle fraction de la hauteur du bâtiment la collision se produit-elle?

64. Résoudre des problèmes 63 si la collision se produit lorsque les billes se déplacent dans la même direction et la vitesse de A est 4 fois supérieure à celle de B.

65 La figure 2-23 est un graphe de v en fonction de t pour une particule se déplaçant le long d'une ligne droite. La position de la particule au temps t = 0 est x0 = 5 m.(a) Trouver x pour t divers moments en comptant les carrés et esquisser


x en fonction de t. (b) Dessinez l'accélération en fonction du temps t.

Figure 2-23 Graphique de v en fonction de t pour le problème 65

66. Figure 2-24 montre le graphe de x en fonction de t pour un corps en mouvement le long d'une ligne droite. Dessinez les graphiques bruts de x en fonction de t et de v en fonction de t pour ce mouvement.


67. La position d'un corps oscillant sur un ressort est donnée par x = A sin ωt, où A et ω sont des constantes et ont les valeurs A = 5 cm et ω =0,175s

. Esquissez x en fonction de t pour l’intervalle de temps

commençant à t = 0 jusque t = 36 s.


(a) Mesurer la pente de votre graphique à l'instant t = 0 pour trouver la vitesse en ce moment.(b) Calculer la vitesse moyenne pour une série d'intervalles commençant à t = 0 et se terminant à l'instant t = 6, 3, 2, 1, 0,5, et 0,25 s.(c) Calculer dx/dt et de trouver la vitesse au temps t = 0.

68. Une voiture a une accélération maximale a, qui reste constante à des

vitesses élevées, et il a une décélération maximale 2a. La voiture doit

parcourir une courte distance L, commençant et se terminant au repos, en un minimum de temps T. (La distance est si courte que la voiture ne peut jamais atteindre la vitesse maximale.) Après quelle fraction de L le conducteur bouger son pied de la pédale d'accélérateur pour freiner, et quelle fraction du temps de parcourt s'est écoulé lorsqu’elle arrive à point?

69. Le Tableau 2-2 répertorie certains records de piste mondiaux pour les courses de sprints courts. Un modèle simple du sprint suppose qu'un

sprinter part du repos, accélère avec une accélération constante a pour

un court laps de temps T, puis tourne avec une vitesse constante v0 = aT. Selon ce modèle, pour les temps t supérieur à T, la distance x varie linéairement avec le temps.

(a) Faire un diagramme de la distance x en fonction du temps t par rapport aux données de la table.(b) Mettre en place une équation de x en fonction de T selon le modèle

simple décrit, et montrer que pour t>T, x peut s'écrire x = v0 (t - 12T).

(c) Reliez les points sur votre graphique avec une ligne droite, et déterminer la pente et l'interception de cette ligne avec l'axe du temps. A

partir du fait que la pente est v0 et l'ordonnée à l'origine est 12v0T, calculer

l'accélération a.(d) Le record pour x = 200 m est de 19,5 s. Discuter de l'applicabilité du modèle simple pour les courses de 200 m ou plus.

xyd m t,s50 5.1


50 5.560 5.9

60 6.5100 9.1

100 9.9

70. Un missile Sprint ABM peut accélérer à 100 g. Si un ICBM est détecté à une altitude de 100 km se déplaçant en ligne droite vers le bas à une vitesse constante de 3 x 104 km/h et le missile ABM est tiré pour l'intercepter, à quel moment et à quelle l'altitude l'interception aura lieu? Remarque: Vous pouvez négliger l'accélération de la pesanteur dans ce problème. Pourquoi?

71. L'accélération d'une particule tombant sous l'influence de la gravité et une force de résistance, tel que la résistance de l'air, est donnée par

où g est l'accélération de chute libre due à la pesanteur et b est une constante qui dépend de la masse et la forme de la particule et du milieu. Supposons que la particule commence avec une vitesse zéro à l'instant t = 0. (a) Discuter qualitativement comment la vitesse v varie avec le temps à partir de votre connaissance du taux de variation de la vitesse dv/dt donnée par cette équation. Quelle est la valeur de la vitesse lorsque l'accélération est nulle? C'est ce qu'on appelle la vitesse terminale.(b) Esquissez la solution v (t) en fonction de t, sans résolution de l'équation. Cela peut être fait comme suit : A l’instant t = 0, v est zéro et la pente est g. Dessinez un segment de droite, en négligeant tout changement de la pente pour un intervalle de temps court. A la fin de cet intervalle, la vitesse n'est pas nulle, de sorte que le pente est inférieure à g. Esquisser un autre segment de droite avec une pente plus faible. Poursuivre jusqu'à ce que la pente soit égale à zéro et la vitesse soit égale à la vitesse terminale.

72. Suppose que, dans un mouvement donné, l’accélération est une fonction de x, où a (x) = 2x m/s2.

(a) Si la vitesse à x = 1 m est égal à zéro, que vaut la vitesse à x = 3 m?(b) Combien de temps cela prend-il pour aller de x = 1 m à 3m x =?

73. Supposer qu'une particule se déplace en ligne droite de telle sorte que, à tout instant t, sa position, sa vitesse et son accélération ont tous la même valeur numérique. Donner à la position x en fonction du temps.


74. Une voiture typique a une décélération maximale d'environ 7 m/s2, et le temps de réaction typique du conducteur (temps minimum que le conducteur met à freiner lorsqu’il aperçoit un obstacle) est de 0,50 s. Une commission scolaire établit la limite de vitesse dans une zone scolaire pour répondre à la condition que toutes les voitures puissent être en mesure de s'arrêter à une distance de 4 m d’un éventuel obstacle.

(a) Quelle est la vitesse maximale devrait être autorisée pour une automobile typique?(b) Quelle fraction de cette distance de 4 m est due au temps de réaction?

75. Un objet se déplaçant en ligne droite double sa vitesse à chaque seconde pendant les premières 10 secondes. La vitesse initiale est de 2 m/s.

(a) Trace une fonction lisse v (t) qui donne la vitesse.(b) Quelle est la vitesse moyenne sur les premières 10 secondes?

76. Supposons qu'un objet en mouvement rapide rencontre une résistance de telle sorte que sa vitesse est réduite de moitié pour chaque seconde qui s'écoule. Que la vitesse initiale de 1000 m/s.(a) Trace une fonction lisse v (t) qui donne la vitesse.(b) Quelle est la vitesse moyenne sur le premier 10 s?


Introduction.

La description du mouvement des objets est un élément important de la description de l'univers physique. En effet, il était au centre du développement de la science d'Aristote à Galilée. Les lois qui expliquent comment les objets tombent ont été développées bien avant que Newton n’expliquent pourquoi les choses tombent. Une des premières énigmes scientifiques concernaient le mouvement apparent du soleil dans le ciel et le mouvement saisonnier des planètes et des étoiles. Un grand triomphe de la mécanique newtonienne a été la découverte que le mouvement de la terre et les autres planètes autour du soleil pourrait être expliqué en termes d'une force d'attraction entre le soleil et les planètes.

Dans ce chapitre et le suivant, nous nous intéresserons à la description du mouvement (cinématique) sans se soucier de ses causes. (Nous allons examiner les causes du mouvement dans le chapitre 4 lorsque nous étudierons les lois de Newton.) Nous limiterons notre discussion dans ce chapitre à un mouvement dans une dimension, c’est-à-dire, le mouvement le long d'une ligne droite. Un exemple simple d'une dimension de mouvement est une voiture se déplaçant le long d'une route plate, droite, et étroite. Pour des mouvements avec de telles limitations ou restrictions, il n'y a que deux directions possibles, ce qui nous distinguons en désignant l'uns positive et l'autre négative.

Pour simplifier notre discussion du mouvement, nous allons commencer avec des objets dont la position peut être décrite par la de localisation d’un point. Un tel objet est appelé une particule. On a tendance à penser d'une particule comme un objet très petit, mais en réalité aucune limite de taille est impliquée par le mot "particule". Par exemple, il est parfois commode de considérer la terre comme une particule se déplaçant autour du soleil dans un trajectoire à peu près circulaire. (Certes, lorsqu'on la regarde à partir d'une planète lointaine ou une galaxie lointaine, la terre ressemble à un point.) Dans de tels cas, nous ne nous intéressons qu'au mouvement du centre de la terre ; de telle sorte que nous pouvons ignorer la taille et le mouvement de rotation de la terre. Dans certains problèmes astronomiques, tout le système solaire ou même une galaxie entière est parfois considérée comme une particule. Lorsque nous analysons la rotation ou la structure interne d'un objet, on ne peut plus le traiter comme une seule particule. Mais notre étude du mouvement des particules est utile même dans ces cas, car tout objet, quelle que soit la complexité, peut être considérée comme une collection ou un «système» de particules.


2-1 Vitesse, Déplacement, et Vélocité.

Nous sommes tous familiers avec le concept de vitesse. On définit la vitesse moyenne d'une particule comme le rapport de la distance totale parcourue à la durée totale:

Vitessemoyenne=Distance totaleTemps total

L'unité SI de la vitesse moyenne est de mètres par seconde (m/s), et le ft/s en US CUSTOMARY UNIT) en pays anglophones, l’unité de vitesse familière utilisée tous les jours est le mile par heure (mi/h). Dans le monde entier, l'unité la plus courante est kilomètres par heure (km/h). Si vous conduisez à 200 km en 5 h, votre vitesse moyenne est de (200km) / (5h) = 40 km/h. La vitesse moyenne ne vous dit rien au sujet des détails du voyage. Vous pouvez avoir conduit à une vitesse constante de 40 km/h durant les 5h, ou que vous ayez conduit plus rapidement une partie du temps et plus lentement le reste du temps ou que vous ayez arrêté pendant une heure, puis conduit à des vitesses variables pendant les 4heures restantes.

Le concept de vélocité est similaire à celle de la vitesse mais en diffère parce qu'il comprend la direction du mouvement. Pour comprendre ce concept, nous présentons d'abord l'idée de déplacement. Mettons en place un système de coordonnées en choisissant un point de référence sur une ligne comme origine O. Pour tout autre point P sur la ligne nous attribuons un nombre x qui indique dans quelle mesure le point P est éloigné de l'origine. La valeur de x dépend de l'unité (pieds, mètres ou autre) choisis pour mesurer la distance. Le signe de x dépend de sa position par rapport à l'origine. La convention habituelle que nous choisissons est que les points à la droite de l'origine O ont des valeurs de x positives et celles à gauche de O, les valeurs négatives.

La figure 2-1 montre une voiture (que l'on peut considérer comme une particule) qui est à la position x1 à un temps t 1 et à la position x2 au temps t 2. La modification de la position de la particule, x2 - x1, est appelé le déplacement de la particule. Il est d'usage d'utiliser la lettre grecque ∆ (delta en majuscule) pour indiquer le changement dans la quantité. Ainsi, le changement de x s’écrit ∆ x:

Définition du déplacement x=x2−x1 2-1


La notation ∆ x (lire «delta x") est pour une quantité unique, la variation de x. A ne pas confondre avec le produit de Δ et x ; de même que cos θ est n’est pas le produit de cos et θ .

Figure 2-1 Quand la voiture se déplace du point x1au point x2, son déplacement est ∆ x = x2−x1 .

La vélocité est le taux auquel la position change. La vélocité moyenne de la particule est défini comme le rapport ∆ x de déplacement et de l'intervalle de temps ∆t = t2 – t1:

Définition de la vélocité moyenne ∆ x∆ t

= x2−x1t1−t2

2-2

Notez que le déplacement et la vélocité moyenne peuvent être soit positive ou négative, selon que x2 est plus ou moins que x1. La valeur positive de Δ indique un mouvement vers la droite et une valeur négative indique un mouvement vers la gauche.

Exemple 2-1

Un escargot est à la position x1 = 18 mm à l’instant t 1 = 2s et se t trouve à la position x2= 14 mm à l’instant t 2 = 7s. Trouvez le déplacement et la vélocité moyenne de l'escargot pour cet intervalle de temps.

Par la définition, le déplacement de l'escargot est

∆x = x2 - x1 = 14 mm – 18 mm = -4 mm

et la vélocité moyenne est

vav = ΔxΔt

= x2−x1t2−t1

= 14mm−18mm7 s−2 s =

−4mm5 s

= -0.8 mm/s

Le déplacement et la moyenne vélocité moyenne sont négatives, ce qui indique que l'escargot déplacé vers la gauche.


Notez que l’unité « millimètre par seconde » est incluse dans la réponse à la moyenne observée dans l'exemple 2-1. Comme il y a beaucoup d'autres choix possibles pour les unités de longueur (par exemple, pieds, pouces, miles, d'années-lumière) et le temps (par exemple, heures, jours, années), il est essentiel d'inclure l'unité avec une réponse numérique. Dire que la vélocité moyenne d'une particule est de -3" est dénuée de sens.

Exemple 2-2

Jusqu’où peut aller une voiture en 5 min, si sa vélocité moyenne est de 80 km / h pendant cet intervalle de temps?

Nous sommes intéressés par le déplacement pendant un intervalle de temps de 5 min. Partant de l'équation 2-2, le déplacement ∆x est donnée par

∆x = aav ∆ t

Puisque le temps est donné en minutes et la vélocité moyenne en kilomètres par heure, nous devons convertir ou le temps en heures ou la vélocité moyenne en kilomètres par minute. En convertissant vélocité moyenne en kilomètres par minute, nous obtenons

vav = 80km1h

x 1h60min

= 4 km3min

.

Alors ∆x = 4 km3min

x 5 min = 6.67 km.

Exercice

Un coureur court avec une vélocité moyenne de 0,25 km/min suivant une ligne droite. Combien de temps faut-il pour parcourir une distance de 10 km? (Réponse: 40 min)


Exemple 2-3

Une coureuse parcourt 100 m en 12 s, puis se retourne et fait du jogging à 50 m en arrière en direction du point de départ en 30 s. Quels sont sa vitesse moyenne et la vélocité moyenne pour le parcours total.?

La distance totale parcourue est de 100 m + 50 m = 150 m, et le temps total est de 42s. La vitesse moyenne est donc (150 m) / (42 s) = 3,57 m/s. Notez que ce n'est pas la moyenne des vitesse en course et en jogging parce qu'elle a couru pendant 12 s, mais fait du jogging pendant 30 s. Pour trouver la vélocité moyenne, nous trouvons d'abord le déplacement total. Si son point de départ x1 est pris comme origine(x1 = 0) , alors son point d’arrivée x2 50 m, son déplacement total est x2 - x1 = 50 m. La moyenne est alors

vav=∆x∆ t

= 50m42 s

= +1.19 m/s

Encore une fois, ce n'est pas la moyenne de vélocité de course (8,33 m/s) et de jogging(-1,67 m/s) parce que les temps sont différents.

La Figure 2-2 montre un graphique de x en fonction de t pour un certain mouvement arbitraire le long de l'axe x. Chaque point de la courbe a une valeur de x, qui est l'emplacement de la particule à un moment donné, et une valeur de t, qui est le temps auquel la particule a été à cet endroit. Sur le graphique, nous avons tracé une ligne droite entre la position étiquetée P1 et la position étiquetés P2. Le déplacement ∆x = x2 - x1 et l'intervalle de temps ∆ t = t2 - t1 entre ces points sont indiqués. La ligne entre P1 et P2 est l'hypoténuse du triangle dont les côtés ∆x et ∆t. Le rapport ∆x/∆t est appelé la pente de cette droite. En termes géométriques, il s'agit d'une mesure de la pente de la ligne droite dans le graphique. Pour un intervalle donné ∆t, plus raide est la ligne, plus grande est valeur de ∆x/∆t. Comme la pente de cette ligne est tout simplement la vélocité moyenne pour l’intervalle∆ t , nous avons une représentation géométrique de la moyenne.


Figure 2-2 Graphique de x par rapport à t pour une particule se déplaçant dans une seule dimension. Les points P1 et P2

sont reliés par une ligne droite. La vélocité moyenne est la pente de cette droite, ∆x/∆t qui dépend de l'intervalle de temps ∆ t , comme indiqué par le fait que la ligne de P1 à P’2 a une pente plus importante que la ligne de P1 à P2.

La vélocité moyenne est la pente de la ligne droite reliant les points ( x1t 1) et (x2t 2).

Si la vélocité n’est pas constante, la vélocité moyenne dépendra de l'intervalle de temps sur lequel elle est calculée. Par exemple, dans la Figure 2-2, si nous avions choisi un intervalle de temps plus petit en

choisissant un temps t 2' plus proche de t 1, la vélocité moyenne serait plus

grande, comme indiqué par la plus grande pente de la ligne reliant les

points P1 et P2' .

Questions

1. Quel est le sens (s’il en a un) de la déclaration suivante? "La vélocité moyenne de la voiture à 9 heures était de 60 km/h."

2. Est-il est possible que la vélocité moyenne pendant un certain intervalle de temps soit égale à zéro, même si la vélocité moyenne pour un intervalle plus court inclus dans le premier intervalle n'est pas zéro? Expliquez.

3. Quelle est la vélocité moyenne approximative des voitures de course lors de la course d’'Indianapolis 500?



2-2 La vélocité instantanée

A première vue, définir la vitesse d'une particule à un instant précis donné, peut sembler impossible. A un instantt 1, la particule est en un seul point x1. Si elle est à un seul point, comment peut-il se déplacer? D'autre part, si elle ne se déplace pas, ne devrait-il pas rester au même point? C'est un paradoxe séculaire, qui peut être résolu quand on sait que, pour observer le mouvement et donc le définir, il faut regarder la position de l'objet à plus d'une fois. Il est alors possible de définir la vitesse à un instant en utilisant un procédé limite.

Figure 2-3 Graphique de x en fonction de t à partir de la figure 2-2. Au fur et à mesure que l’intervalle de temps commençant à l'instant t 1 diminue, la vitesse moyenne de l'intervalle se rapproche de la pente de la tangente à la courbe à l’instant temps t 1. La vitesse instantanée est définie comme la pente de cette tangente.

La figure 2-3 est la même courbe de déplacement x en fonction du temps t, comme la figure 2-2, montrant une séquence d'intervalles de temps, Δt1, Δt2, Δt3,. . . . Chaque intervalle est petite que le précédent. Pour chaque intervalle de temps Δt, la vitesse moyenne est la pente de la droite correspondant à cet intervalle. La figure montre qu’au fur et à mesure que l'intervalle de temps diminue, les lignes droites deviennent plus raides, mais en étant jamais plus inclinées que la tangente à la courbe au point t1. La vélocité instantanée à l'instant t 1 est définie comme la pente de cette tangente.

La vitesse instantanée à un instant quelconque donné est la pente de la tangente à la courbe x en fonction de t à cet instant-là.

Il est important de réaliser que déplacement ∆x dépend de l’intervalle de temps ∆t. Lorsque ∆t approche de zéro, ∆x approche zéro aussi comme on


peut le voir sur la figure2-3, et le rapport ∆x/∆t se rapproche de la pente de la tangente à la courbe. Comme la pente de la tangente est the limite du rapport Δx/Δt lorsque Δt → 0. On peut redéfinir la vitesse instantanée :

Définition de lavélocitée instantanée

La vitesse instantanée est la limite du rapport ∆x/∆t quand ∆t tend vers zéro.

v = limΔt→0

∆ x /∆ t la pente de la tangente à la courbe de x en fonction de x

2-4

Cette limite est appelée la dérivée de x par rapport à t. Dans la notation habituelle, le dérivé est écrit dx / dt :

v = limΔt→0

∆ x /∆ t = dydx

Cette pente peut être positive (x croît augmente) ou négatif (x décroît); en conséquence, la vitesse instantanée peut être positif ou négatif dans un mouvement en une dimension. La norme ou la valeur absolue de la vitesse instantanée est appelée la vitesse instantanée.

Exemple

Figure 2-4 Graphique de x en fonction de t pour l'exemple 2-4. La vitesse instantanée au temps t = 2 s peut se trouve en mesurant la pente de la tangente à la courbe à cet instant.


La position d'une particule est donnée par la courbe représentée sur la figure 2-4. Trouver la vitesse instantanée à l’instant t = 2 s. Quelle est la plus grande vitesse? Quand est-elle nulle? Est-elle jamais négative?

Dans la figure, nous avons esquissé la ligne tangente à la courbe au temps t = 2 s. La pente de cette ligne est mesurée à partir de la figure est égale à (4,5 m) / (3 s) = 1,5 m/s. Ainsi v = 1,5 m/s au temps t = 2s. Selon la figure, la pente (et donc la vitesse) est le plus grand à environ t = 4 s. La vitesse est nulle au temps t = 0s set t = 6s, comme indiqué par le fait que les lignes tangentes à ces instants sont horizontales et ont ainsi les pentes nulles. Après t = 6 s, la courbe a une pente négative, indiquant que la vitesse est négative. (La pente de la tangente à une courbe en un point donné est souvent appelée simplement comme la «pente de la courbe" à ce point.)

Exemple 2-5

Figure 2-5 Graphique de la fonction x (t) = 5t 2 pour l'exemple 2-5. Les tangentes sont tracées aux instants t1, t2, et t3. Les pentes de ces droites tangentes augmentent régulièrement, passant de t1 à t2 et de t2 à t3, ce qui indique que la vitesse instantanée augmente régulièrement avec le temps.

La position d'une pierre que l’on laisse tomber du repos du haut d'une falaise est donnée par x = 5t 2, où x est en mètres, mesurée positivement


vers le bas de la position initiale à l'instant t = 0, et t est en secondes. Trouver la vitesse de la pierre en tout moment. (Nous avons omis l’indication explicite des unités pour simplifier la notation.)

La courbe correspondant à x = 5t 2 est montrée dans la Figure 2-5. Les tangentes ont été tracées pour trois instants différents, t1, t2, et t3. Les pentes de ces lignes diffèrent. Au fur et à mesure que le temps passe, la pente de la courbe augmente, ce qui indique que la vitesse instantanée augment avec le temps. Nous pouvons calculer la vitesse à un instant t par le calcul de la valeur dérivée dx/dt directement à partir de la définition dans l'équation 2-3. A l'instant t, la position est x(t) = 5t 2

A l’instant ∆t tard, à t + ∆t, la position est x (t + ∆t), qui est donnée par

x(t + ∆ t) = 5( t+∆ t )2 =

= 5[t 2+2t ∆ t+ (∆ t )2 ])

= [5 t 2+10 t ∆ t+5 (∆ t )2 ]

Le déplacement, dans cet intervalle de temps est donc

∆x = x(t + ∆ t) – x(t) = [5 t 2+10 t ∆ t+5 (∆ t )2 ] - 5t 2

= 10t ∆ t + 5 (∆ t )2

La vitesse moyenne dans cet intervalle de temps est

vav=ΔxΔt

=¿10 t ∆ t+5 (∆ t )2

Δt=10 t+5 Δt

En considérant des intervalles de temps de plus en plus courts, ∆ t approche zéro, de sorte que le second terme, se rapproche de zéro, tandis que le premier terme, 10t, reste inchangée. La vitesse instantanée au temps t est donc

v = limΔt→0

ΔxΔt

= 10t.

Pour cet exemple, la vitesse instantanée est proportionnelle au temps.

Notez que si l'on met dans l'équation 2-3 Δt directement égale à 0, alors Δx serait également 0 et le rapport Δx/Δt ne serait pas défini. Toutefois, en commençant par une équation qui représente la manière dont x varie en fonction de t, nous avons calculé exactement la limite de Δx/Δt lorsque Δt approche zéro.


Il est instructif d'examiner numériquement le processus de limites en calculant la vitesse moyenne des intervalles de temps de plus en plus petits. Le tableau 2-1 donne la vitesse moyenne pour Exemple 2-5 pour t = 2 s et divers intervalles de temps Δt , chacune plus courte que la précédente. Le tableau montre que, pour des intervalles de temps très petits, la vitesse moyenne est à peu près égale à la vitesse instantanée, ce

qui est de 20 m/s. La différence entre Δx/Δt et limΔt→0

ΔxΔt

peut être rendue

arbitrairement petite en choisissant Δt suffisamment petite.

Il est important de distinguer soigneusement entre la vitesse moyenne et vitesse instantanée. Selon la coutume, le mot "vélocité" à lui seul est censé signifier la vélocité instantanée.

Velocity for various time intervals ∆ t beginning at t=2s for the function x = 5t2

Δt ,s Δx,m ΔxΔt

ms

1.00 25 250.50 11.25 22.50.20 4.20 21.00.10 2.05 20.50.05 1.0125 20.250.01 0.2005 20.050.005 0.100125 20.0250.001 0.02005 20.005

0.0001 0.00200005 20.005

Question

4. Si la vélocité instantanée ne change pas, est-ce que les vélocités moyennes pour différents intervalles diffèrent-ils?

5. Si vav = 0 pour un certain intervalle de temps Δt, la vélocité instantanée doit-elle nécessairement être égale à zéro à un instant donné dans l'intervalle? Justifiez votre réponse en esquissant la de x en fonction de t courbe qui a Δx = 0 pour un certain intervalle de Δt.


2-3 Accélération

Lorsque la vitesse instantanée d'une particule varie avec le temps, comme dans l'exemple 2-5, on dit que la particule s'accélérer. L'accélération moyenne dans intervalle de temps particulier ∆t = t 2 - t 1 est définie comme le rapport ∆x/∆t, où ∆v = v2 - v1 est la variation de la vitesse instantanée de l'intervalle de temps:

Définition de l’accélération moyenne.

aav=ΔvΔt

2-5

Les dimensions de l'accélération sont la longueur divisée par le temps au carré. Unités pratiques sont mètres par seconde par seconde, écrite de

façon plus compacte : mètre par seconde au carré(m

s2¿, ou les pieds par

seconde au carré (ft

s2). Par exemple, si nous disons qu’une particule

s'accélération de 5m

s2, nous voulons dire que, si elle commence au repos,

après 1s il se déplace avec une vitesse de 5 m/s, après 2s il se déplace avec une vitesse de 10 m/s, au bout de 3 s il se déplace avec une vitesse de 15 m/s, et ainsi de suite.

L'accélération instantanée est la limite du rapport ΔvΔt

lorsque Δt tend

vers zéro. Il nous traçons le graphique de la vitesse en fonction du temps, l'accélération instantanée au temps t est définie comme la pente de la tangente à la courbe en ce moment:

Définition de l’accélération instantanée :

a= lim∆t →0

ΔvΔt

= la pente de la tangente à la courbe de v en

fonction de t

L'accélération est ainsi la dérivée de la vitesse par rapport au temps. La

notation mathématique cette dérivé est dvdt

. Comme la vitesse est la

dérivée de la position x par rapport à t, l'accélération est la dérivée

seconde de x par rapport à t, qui est habituellement écrite d2 vd t2

. Nous


pouvons voir la raison de cette notation en écrivant que l'accélération dv/dt et en remplaçant v par dx/dt:

a = dvdt

= d ( dxdt )dt

= dx xd t 2

2-7

Si la vitesse est constante, l'accélération est nulle parce que Δv = 0 pour tous les intervalles de temps. Dans ce cas, la pente de la courbe de x en fonction de t correspondante ne change pas. Dans l’exemple 2-5 nous avons constaté que pour la fonction de la position x = (5m/s2)t2, la vitesse augmente linéairement avec le temps : v = (10m/s2) t. Dans ce cas, l'accélération est constante et égale à 10 m/s2, qui est la pente de courbe la correspondante de x en fonction de t.

Nous verrons dans le chapitre 4 que l'accélération est directement proportionnelle à la force nette qui s’exerce sur la particule.

Exemple 2-6

Une voiture rapide peut accélérer de 0 à 90 km / h en 5 s. Quelle est l'accélération moyenne au cours de cette période? Comparez cela avec l'accélération en chute libre en raison de la gravité, ce qui est de 9,81 m/s2.

De équation 2-5, nous trouvons accélération moyenne

aav = ∆v∆ t

= 90km /h5 s

= 18 km/h.s

Pour comparer cette accélération avec l'accélération due à la pesanteur, nous la convertissons en mètres par seconde carrée en utilisant h = 3600 s. Donc

18kmh . s

x 1h3600 s

= 5 m

s2

C'est environ la moitié de l'accélération en chute libre due à la gravité (pesanteur).

Exercices


Une voiture se déplace à 45 kilomètres par heure au temps t = 0. Il accélère à un taux constant de 10 km/h.s. A quelle vitesse de déplacera-t-elle à l'instant t = 2 s? (Réponse: 65 km/h).

Exemple 2-7

La position d'une particule est donnée par x = Ct2, où C est une constante avec dont l'unité est m/s3. Déterminer la vitesse et l'accélération en fonction du temps. Comme dans l'exemple 2-5, on peut calculer la vitesse en calculant la dérivée dx/dt directement à partir de sa définition comme

limt →0

∆x∆ t

(Equation 2-3). A un certain moment t la position est x(t) = Ct3. A

un instant ultérieur t + ∆t, la position est

Le déplacement est donc

La vélocité moyenne pour cet intervalle de temps est

Comme ∆ t → 0, les deux termes contenant ∆ t approche zéro et le terme 3Ct2 reste inchangé. La vitesse instantanée au temps t est donc:

On trouve l'accélération en répétant le processus et en trouver la dérivé de v par rapport à t, qui est la dérivée seconde de x par rapport à t. Nous omettons une partie ce calcul dans cette dérivation, car il est semblable à celui qui vient d’être montré. Le changement de vitesse pour le intervalle de temps t à t + ∆t


Nous divisons cette expression par ∆ t pour obtenir l'accélération moyenne de cet intervalle:

L'accélération instantanée est donc

Dans cet exemple l'accélération n'est pas constante mais augmente avec le temps.

Dans les exemples vus jusqu’ici, nous avons calculé les dérivés directement à partir de la définition en prenant la limite appropriée explicitement. Il est utile d'examiner les diverses propriétés du processus de dérivation et d'élaborer des règles qui nous permettent de calculer les dérivées de nombreuses fonctions rapidement, sans application de la définition à chaque fois. Tableau de l’annexe A-4 le contient une liste de ces règles, suivies de brèves discussions de leurs origines. Nous allons utiliser ces règles sans commentaire et laisser une étude détaillée au cours de calcul.

La règle 7 dans le tableau de l’annexe A-4 est utilisé si souvent que nous le répétons ici. Si x est une fonction simple puissance de x, tels que

où C et n sont des constantes, la dérivée de x par rapport à t est donnée par

Nous avons déjà vu des applications de cette règle. Par exemple, pour la fonction de la position de l'exemple 2-7, x = Ct3, nous avons trouvé v = dx/dt = 3Ct2 et a = dv/dt = 6Ct.

Questions


6. Donner un exemple d'un mouvement pour lequel la vitesse est négative, mais l'accélération est positive, par exemple, dessiner une graphe de v en de fonction t.

7. Donner un exemple d'un mouvement pour lequel à la fois l'accélération et la vitesse sont négatifs.

8. Est-il possible pour une particule d'avoir une vitesse nulle et l'accélération non nulle?

2-4 Mouvement avec une accélération constante.

Figure 2-5 Vitesse moyenne sur une accélération constante.

Le mouvement d'une particule qui a une accélération constante est commun dans la nature. Par exemple, si on néglige la résistance de l'air tous les objets tombent verticalement avec une accélération constante due à la pesanteur. L'accélération de la pesanteur est désignée par g dont la valeur approximative est

Une accélération constante signifie que la pente de la courbe de la vitesse en fonction de temps est constante, c'est-à la vitesse varie linéairement avec le temps. Si la vitesse est au temps t = 0, sa valeur v à un instant t est donnée par suite

La vitesse en fonction de temps lorsque l’accélération constante,


Si la particule démarre à x0 au temps t = 0 et sa position est x au temps t, le déplacement ∆x = x – x0 est donnée par

∆ x = vavt

(Cette équation est la même que l'équation 2-2, dans laquelle t a remplacé ∆t parce que nous avons choisi la valeur initiale de t égale à zéro.)

Pour une accélération constante, la vitesse varie linéairement avec le temps et la vitesse moyenne est la valeur moyenne des vitesses initiales et finales, comme représenté sur la figure 2-6. Ceci n’est pas vrai si

l’accélération n’est pas constante.

Si v0 est la vitesse initiale et v une vitesse finale, la vitesse moyenne est de 1/2 (v0 + v).

Vélocité moyenne lorsque l’accélération est constante.

Le déplacement est alors

Nous pouvons éliminer v en substituant v = v0 + at partir de l'équation 2-9:

La fonction de position est donc

Le déplacement x en fonction du temps t lorsque l’accélération est constante


nous pouvons éliminer l'instant t en utilisant les équations 2-9 et 2-12a et obtenir une relation entre le déplacement ∆x, l'accélération a, et les vitesses initiale et finale. La résolution de l'équation 2-9 pour t =(v-vo)/a et en remplacement t par ce résultat dans l'équation 2-12a, nous obtenons

En multipliant chaque côté par a et réécriture les termes, nous obtenons

ou

La vitesse en fonction du déplacement lorsque l’accélération est constante

L’équation 2-13 est utile, par exemple, si nous voulons trouver la vitesse finale d'une balle qu’on laisse tomber du repos d’une certaine hauteur x et nous ne sommes pas intéressés par le temps de chute.

Nous allons maintenant examiner quelques exemples de problèmes d'accélération constante. La première étape dans la résolution de ce problème est de choisir un système de coordonnées pratique. Lorsque cela est possible, nous choisirons comme origine l'emplacement de la particule à l'instant t = 0 de sorte que x0 = 0. Le choix de la direction positive de l'axe x détermine le sens positif pour la vitesse et l'accélération. Bien que ce choix soit arbitraire, un choix judicieux pour le sens positif peut rendre la solution d'un problème plus facile. Par exemple, si nous avons un problème dans lequel nous laisser tomber une balle d'une certaine hauteur, il est plus facile de choisir comme direction positive la direction vers le bas. Puis l'accélération est positive (car l'accélération due à la pesanteur est toujours orientée vers le bas, et la vitesse est également positif puisque la balle ne se déplace que vers le bas. D'autre part, si l'on lance une balle vers le haut, il est généralement plus commode de choisir la direction vers le haut comme positive. L'accélération est négative, puis, et la vitesse est positive lorsque le ballon se déplace vers le haut et négative lorsqu'elle se déplace vers le bas.


La prochaine étape dans la résolution d'un problème à accélération constante est de mettre les informations données dans une équation. Par exemple, on écrira vo = 0 si la vitesse initiale est donnée en tant que zéro. Ensuite, énumérer les quantités qu’il faut trouver, par exemple, v =? si la vitesse finale est demandée. Ensuite, choisir parmi les équations (2-9 à 2-13) qui contiennent les quantités indiquées et inconnus, et ensuite résoudre pour la quantité inconnue demandée. Lorsque cela est possible, c’est toujours une bonne idée pour résoudre un problème de deux façons différentes pour vérifier votre solution. Enfin, vous devriez vérifier votre réponse pour voir si elle est raisonnable. Par exemple, si un ballon est lancé vers le haut et que vous trouvez qu'il se déplace 4500 m avant d'atteindre son point culminant, vous avez probablement fait une erreur de calcul.

Exemple 2-8

Une balle est lancée vers le haut avec une vitesse initiale de 30 m/s. Si son accélération est de 10 m/s2 dirigée vers le bas, combien de temps la balle prendra-t-elle pour atteindre son point culminant, et quelle est la hauteur la plus élevée atteinte? (Dans cet exemple, nous approximons la valeur de l'accélération de la pesanteur à 10 m/s2 pour simplifier les calculs.)

Nous choisissons l'origine à la position initiale de la balle et prendre la direction vers le haut pour être positif. Les quantités indiquées sont v0 = 30 m/s et a = -10 m/s2. L'accélération est négative, car elle orientée dans le sens descendant. Comme la balle se déplace vers le haut (v est positive), la vitesse diminue de sa valeur initiale jusqu'à ce qu'elle soit égale à zéro. Lorsque la vitesse est nulle, la balle est à son plus haut point. Il commence alors à tomber, et la vitesse devient négative, ce qui indique que la balle est en mouvement descendant. Nous cherchons à trouver le temps t =? lorsque la vitesse v est égale à zéro. L’équation 2-9 contient le temps inconnus t en termes des quantités données v0, a, et v:

Notez que les unités sont correctes.


Nous pouvons trouver la distance parcourue par l'équation 2-11. Puisque la vitesse initiale est de +30 m/s et la vitesse finale est 0, la vitesse moyenne pour le mouvement vers le haut est de 15 m/s. La distance parcourue est alors

On peut aussi trouver ∆x de l'équation 2-12a, mais le calcul est un peu plus difficile et il y a plus de chance de faire une erreur. Nous allons utiliser cette méthode pour vérifier notre résultat, cependant.

Exemple 2-9

Quelle est la durée totale du ballon dans l'air dans l'exemple 2-8.

Nous pourrions deviner la réponse à 6 s, puisque, par symétrie, si elle prend 3,0s à monter de 45 m, il prendra le temps même de tomber de 45 m. Ceci est correct. Nous pouvons aussi trouver ce temps de l'équation 2-12a en posant ∆x = 0.

En factorisant, nous obtenons

Les deux solutions sont t = 0 et

La solution t = 0 correspond à la condition initiale que la balle était à x0 à l'instant t = 0.


Les figures 2-7a et 2-7b montrent les graphiques du déplacement x et de la vitesse v de la balle fonction de t dans les exemples 2-8 et 2-9. Noter qu’à l’instant t=3,0s, la vitesse de la balle est zéro, mais la pente de la courbe de la vitesse v par en fonction de temps est non nulle. La pente de la courbe de la vitesse v par en fonction de temps a la valeur -10m/s2 en cet instant et à tous les autres instants parce que l'accélération est constante. Notez que lorsque la balle se déplace vers le haut, sa vélocité est positive et décroissante ainsi sa vitesse est en baisse. Quand il se déplace vers le bas, sa vélocité est négative et décroissante, de sorte que sa vitesse augmente.

Figure 2-7 (a) Le graphique du déplacement x en fonction de t pour la balle lancée en l'air dans les exemples 2-8 et 2-9. La courbe est une parabole, x = (30 m/s) t - 1/2 (10 m/s2) t2. (b) Le graphique de v en fonction de t pour la même balle. La vitesse diminue de façon constante de sa valeur initiale de 30 m/s à sa valeur finale de -30 m/s juste avant que le ballon touche le sol. A l'instant t = 3,0 s, lorsque la balle est à son plus haut point, la vitesse est nulle, mais son taux de variation est de -10 m/s2, le même qu'à tout autre moment.

Exercice

Une voiture partie accélère avec une accélération de 8 m/s2.

(a) Quelle est sa vitesse au bout de 10 s?

(b) A quelle distance se trouve la voiture au bout de 10 s?


(c) Quelle est sa vitesse moyenne dans l'intervalle t=0 à t=10 s?

[Réponses: (a) 80 m/s, (b) 400 m, (c) 40 m/s]

Exemple 2-10

Une voiture roulant à 30 m/s (environ 67 mi/h) freine pour s’arrêter. Si l’accélération (décélération) est de -5 m/s2, quelle distance voiture parcourue par la voiture avant de s'arrêter? Cette distance est appelée la distance de freinage.

Dans cet exemple, nous choisissons la direction initiale du mouvement d'être positif. La distance d'arrêt sera alors également positive, mais l'accélération sera négative. (Une accélération qui provoque la diminution de la vitesse s’ appelle la décélération.) Dans ce problème, on nous donne la vitesse initiale v0 = 30 m/s, la vitesse finale v = 0, l'accélération a=-5 m/s2, et nous souhaitons de trouver la distance parcourue ∆x =?. Nous n'avons pas besoin de savoir le temps qu'il faut à la voiture de s'arrêter, de sorte équation 2-13 est la plus commode. En posant v = 0 dans l'équation 2-13, nous avons

Notez que ceci est une distance considérable. La force qui produit la décélération est de frottement entre les pneus et la route. Sur une chaussée mouillée ou du gravier, de la force de frottement est plus petite et l'accélération est inférieure à 5 m/s2, donnant une distance d'arrêt plus grande.

Exemple 2-11.

Quelle est la distance d'arrêt dans les mêmes conditions que dans l’exemple 2-10 si la voiture se déplaçait initialement à 15 m/s?

De l’équation 2-13 avec v = 0, nous voyons que la distance d'arrêt est proportionnelle au carré de la vitesse initiale. Si on double la vitesse, la distance d'arrêt est augmentée par un facteur 4. De même, si nous divisons par deux la vitesse initiale, la distance d'arrêt est réduite par un


facteur 4. La distance d'arrêt correspondante à une vitesse initiale de 15

m/s est donc un quart de celle à 30 m/s, ou 14

(90 m) = 22,5 m.

Parfois, même lorsque l'accélération n'est pas constante, de précieux renseignements peuvent être obtenus sur le mouvement d'un objet en supposant que les formules d'accélération constante continuent à s'appliquer à ce mouvement et à analyser ce qui se passe dans un tel cas idéal.

Exemple 2-12

Une voiture qui roule 100 kilomètres par heure (environ 62 mi/ h) s'écrase dans un mur de béton, qui ne bouge pas. Combien de temps faudra-t-il à la voiture pour s’immobiliser, et quelle est son accélération?

Dans cet exemple, il n'est pas exact de considérer la voiture comme une particule, car les différentes parties de la voiture ont des accélérations différentes. En outre, les accélérations ne sont pas constantes. Néanmoins, nous supposons que le crash de la voiture peut être décrit par une décélération constante d'une particule ponctuelle. Nous avons


besoin de plus amples renseignements afin de trouver le temps d’arrêt et la décélération. L'information manquante est la distance d'arrêt. On peut estimer cette information à partir de notre connaissance pratique. Le centre de la voiture bouge d’une distance bien inférieure à la moitié de la longueur de la voiture. (Sinon, la voiture serait aplatie.) Une estimation raisonnable de la distance d'arrêt se situe probablement entre 0,5 et 1,0 m. Servons-nous de 0,75 m comme notre estimation. On peut alors trouver le temps qu'il faut à la voiture pour s’arrêter à partir de ∆x = vavΔt

avec vav = 12v0 = 50 km/h = 14 m/s. (Comme nous faisons des estimations,

deux chiffres significatifs suffisent.) Alors

Puisque la voiture est amenée de v0 = 100 km/h = 28 m/s au repos pendant cet intervalle, l'accélération est

Pour avoir une idée de l'ampleur de cette accélération, nous notons que c'est plus de 50 fois l'accélération due à la pesanteur.

Exemple 2-13


Figure 2-8 Graphes de x en fonction de t pour la voiture en excès de vitesse (xc) et la voiture de police (xp) pour l’Exemple 2-13. La courbe correspondante à la voiture de police a une pente nulle à l'instant t = 0 car la voiture de police commence à partir de repos. Il attrape la voiture en excès de vitesse à l'instant t = 20 s. Notez qu'à ce moment-là la pente de xp(t) est supérieure à celle de xc(t). A t = 20 s, la voiture de police se déplace deux fois plus vite que la voiture qui est en excès de vitesse.

Une voiture roule 80 km/h dans une zone scolaire. Un véhicule de police part du repos au même moment que chauffard passe, et accélère avec une accélération constante de 8 (km/h).s.

(a) Quand est-ce que la voiture de la police rattrapera-t-elle la voiture du chauffard?

(b) Quelle est la vitesse la voiture de police quand elle rattrape chauffard?

Ce problème est plus difficile parce qu'il ya deux objets en mouvement. Nous prenons pour origine la position originale des deux voitures, avec la direction positive dans le sens du mouvement, et de définir t=0 au l’instant où le chauffard passe la voiture de police.

(a) Puisque la voiture roule à vitesse constante, sa position xc est donnée par l'équation 2-12b, avec x0 = 0 et a = 0:

La position xp de la voiture de police est donnée par

Nous trouvons le temps auquel les deux voitures se rencontre(sont à la même position) en posant xc = xp et en résolvant pour t;

ou

Les deux solutions sont


t = 0

correspondant aux conditions initiales et

La voiture de police rattrape donc le chauffard au temps t = 20s

(b) La vitesse de la voiture de police est donnée par l'équation 2-9, avec v0 = 0:

A t=20s, la vitesse de la voiture de police est

A cet instant, la vitesse de la voiture de police est le double de celle du chauffard. Ce doit être vrai parce que la vitesse moyenne de la voiture de police est la moitié de sa vitesse finale, et depuis les deux voitures ont couvert la même distance dans le même temps, ils doivent avoir les vitesses moyennes égales. Figure 2-8 montre courbes distance x en fonction du temps pour les deux voitures.

Questions

9. Deux garçons se tenant debout sur un pont jette deux roches à pic dans l'eau ci-dessous. Ils jettent les roches au même moment, mais l’une frappe l'eau avant l'autre. Comment cela est-il possible si les roches ont la même accélération?

10. Une balle est lancée vers le haut. Quelle est sa vitesse au sommet de son vol? Quel est son accélération à ce moment-là?


2-5 Intégration.

Nous avons appris à obtenir la vitesse et l'accélération à partir d'une fonction de la position par la différenciation. Le problème inverse consiste à trouver la fonction x de position à partir de la vitesse v ou l'accélération a. Pour ce faire nous utilisons un procédé appelé intégration. Considérons, par exemple, le problème de trouver la vitesse et la position à partir l’accélération donnée. Si nous savons comment l'accélération varie en fonction du temps, nous pouvons trouver la vitesse en trouvant la fonction v(t) dont la dérivée est l'accélération. Par exemple, si l'accélération est constante,

la vitesse est la fonction du temps qui est telle que, lorsque différenciée (dérivée) est égale à cette constante. Une telle fonction est

Cependant cette n'est pas l'expression la plus générale pour une fonction v(t) qui satisfait à la relation dv/dt=a. En particulier, nous pouvons ajouter une constante à moins sans changer la valeur de sa dérivée par rapport au temps. Appelant cette constante v0, nous avons

La constante v0 est la vitesse initiale. La fonction de position x(t) est que la fonction dont la dérivée est la vitesse:

Nous pouvons traiter chaque terme séparément. La fonction dont la dérivée est une constante v0 est v0t plus une constante. La fonction dont la

dérivée est à est 12at 2 plus une constante x0. (Ce résultat est facilement

vérifié par la différenciation.) En combinant ces résultats nous avons pour la fonction de position :


Chaque fois que nous trouvons une fonction à partir de sa dérivée, nous devons ajouter une constante arbitraire dans la fonction générale. Puisque nous passons par le processus d'intégration à deux reprises pour trouver x(t) à partir de l'accélération, deux constantes apparaissent. Ces constantes sont généralement déterminées à partir de la vitesse et la position à un instant déterminé, qui est généralement choisi être t = 0. Ils sont donc appelés les conditions initiales. Le problème "étant donné un a(t), trouver x(t)" est appelé le problème à de valeur initiale. La solution dépend de la forme de la fonction a a(t) et des valeurs de v et x, à un moment particulier. Ce problème est particulièrement important en physique, car l'accélération d'une particule est déterminée par les forces qui agissent sur elle. Ainsi, si nous connaissons la force agissant sur une particule et la position et la vitesse de la particule à un certain moment donné, nous pouvons trouver sa position x(t) à tous les autres instants.

Figure 2-9 Le déplacement durant l’intervalle ∆t est égale à la surface sous la courbe de vitesse en fonction du temps pour dans cet intervalle. Pour v (t) = Vo = constante, le déplacement est égale à l'aire du rectangle montré.

Figure 2-9 Le déplacement pour le ∆t intervalle est égale à la surface sous la courbe de vitesse en fonction du temps pour cet intervalle. Pour


v(t) = v0 = constante, le déplacement est égale à l'aire du rectangle montré.

Le problème de l'intégration est lié à la difficulté de trouver l'aire sous la courbe. Prenons le cas d'une vitesse constante v0. Le changement de position pendant un certain Ax At intervalle de temps est tout simplement le temps de vitesse l'intervalle de temps:

C'est l'aire sous la courbe de l’accélération a en fonction de t, comme on le voit dans la Figure 2-9. Cette interprétation graphique du déplacement comme l'aire sous la courbe de v en fonction de t est vrai aussi bien pour le cas dans lequel la vitesse est constante, que pour le cas dans lequel la vitesse varie, comme dans la figure 2-10. Dans ce cas, l'aire sous la courbe peut être approchée par divisant d'abord l'intervalle de temps dans un certain nombre de petits intervalles, Δt1, les Δt2, etc, et dessiner un ensemble de zones rectangulaires. L'aire du rectangle est ombrée viΔti, qui est approximativement égale à la Δxi déplacement de la particule pendant l'intervalle de Δti. Nous pouvons faire l’approximation aussi bonne que nous le souhaitons en prenant suffisamment de rectangles et en prenant ∆t très petit. La somme des zones rectangulaires est donc d'environ la somme des déplacements au cours des intervalles de temps et est approximativement égale au déplacement total entre les temps t1 à t2.

Figure 2-10 Graphique de la fonction générale v(t) en fonction de t. Le déplacement pour l'intervalle Δti; est d'environ viΔti qui est indiqué par la zone hachurée rectangulaire. Le déplacement total entre les instants t1 à t2 est l'aire sous la courbe de cet intervalle, qui peut être approchée par la somme des aires des rectangles.

Mathématiquement, nous écrivons ce que


où la lettre grecque Σ (majuscule de la lettre grecque sigma) est synonyme de «somme» «Pour la limite des intervalles de temps de plus en plus petite, cette somme est égale à l'aire sous la courbe, ce qui équivaut au déplacement. Cette limite est appelée intégrale et est écrit

Il est utile de penser au signe de l'intégrale ∫ comme un S allongé qui indique une somme. Les limites t1 et t2 indiquent les valeurs initiales et finales de la variable t.

Le changement de vitesse pendant un certain intervalle de temps peut également être interprété comme l'aire sous la courbe de l’accélération a en fonction de t pour cet intervalle. Ce qui s’est écrit :

La vitesse moyenne a une interprétation géométrique simple en termes de l'aire sous la courbe. Considérons la courbe a(t), c’est-à-dire de l’accélération a en fonction du temps t dans la figure 2-11. Le déplacement ∆x pendant l'intervalle de temps ∆t = t2 - t1 est indiqué par la zone ombrée. Par la définition de la vitesse moyenne dans cet intervalle (équation 2-2), le déplacement est le produit de vav et ∆t:


Figure 2-11 Interprétation géométrique de la vitesse moyenne. Par définition, vav = Ax / At. Ainsi, la zone rectangulaire vav (t2 - t1) doit être égal au déplacement dans l'intervalle de temps t2 - t1 Il s'ensuit que la zone rectangulaire vav (t2 - t1) et la zone ombrée sous la courbe doit être égal.


Exemple 2-14Exemple 2-14

Une particule part du repos et se déplace avec une accélération constante. Montrer, en calculant l'aire sous la courbe de la vitesse v en fonction du temps t que la vitesse moyenne pendant un certain intervalle de temps commençant à t = 0 est égal à la moitié de la vitesse finale.

Figure 2-12 Preuve que vav = 12v f pour une particule partant du repos

et se déplaçant avec une accélération constante. Le déplacement est

égale à l'aire sous la courbe, ce qui équivaut à égal 12v f ∆v. Il est aussi

égal vavΔt, afin vav = 12vf

La figure 2-12 montre la courbe de l’accélération a(t) en fonction de du temps t pour ce problème. Le déplacement à partir de t = 0 à un certain temps t final est indiqué par la zone ombrée. La superficie de ce triangle

est 12vfΔt où vf est la vitesse finale. Le déplacement est

La vitesse moyenne est la moitié de la vitesse finale dans cet intervalle de temps.

Documents

1. Mécanique-chapitre 2