1/ Lugares geométricos. Mediatriz y Bisectriz ?· La mediatriz es una recta perpendicular al punto…

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  • C O L L E G I S A N A N T O N I O D E P A D U A F R A N C I S C A N S C A R C A I X E N T

    Matemticas

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    11// Lugares geomtricos. Mediatriz y Bisectriz

    Mediatriz de un segmento de extremos A y B: Es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de A y B.

    1. Encuentra el punto M (punto medio entre A y B). 2. Halla el vector perpendicular a AB 3. Calcula la ecuacin de la recta que pasa por M y tiene

    como vector director el vector perpendicular a AB

    Bisectriz de dos rectas r y s: Es el lugar geomtrico de los puntos P(x,y) del plano que equidistan de r y de s.

    d(P, r) = d(P, s)

    Ejercicios Resueltos

    1 # Halla la ecuacin de la mediatriz del segmento AB, si A(5, 2) y B(-3, 8). La mediatriz es una recta perpendicular al punto medio del segmento AB, por lo que:

    Debe pasar por el punto Medio )5,1(2

    82,2

    35M

    como ( 8,6)v B A= - = -r es vector director, entonces el vector normal es (6,8)n =r MEDIATRIZ: ecuacin de la recta que pasa por M (1, 5) y tiene vector, (6,8) (3,4)n = =r

    y 5x 13 4

    3(y 5) = 4 (x 1) 3 y 15 = 4x 4 4x 3y + 11 = 0

    2 # Calcula las ecuaciones de las bisectrices de los ngulos que forman las rectas r: 3x 4y +1 = 0 y s: 5x + 12y 7 = 0

    3x 4y 1 5x 12y 7 3x 4y 1 5x 12y 74 139 16 25 144

    39x 52y 13 25x 60y 35 14x 112y 48 0 7x 56 24 039x 52y 13 25x 60y 35 64x 8y 22 0

    3 # Dado el tringulo de vrtices )7,2(),4,6(),1,0( RQP

    a) Halla la longitud del lado PQ b) Halla la ecuacin de la recta r sobre la que est dicho lado c) Halla la distanciadel vrtice R a esa recta r d) Calcula el rea o superficie S del tringulo

    Sol: a) d(P,Q)=3 5 b) r: x-2y+2=0 c) d(R,r)=10/ 5 d) S=15 u2

    Mediatriz: recta perpendicular en el punto

    medio de un segmento.

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    22// LA CIRCUNFERENCIA Definicin: Es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

    La distancia entre el centro y cualquier punto de la circunferencia es el radio.

    (x a)2 + (y b)2 = r2 Ecuacin reducida

    x2 + y2 + mx +ny + p = 0 Ecuacin Desarrollada

    El centro C(a, b) m na ; b2 2

    El radio 2 2r a b p

    Posicin de una recta respecto de una circunferencia

    Mediante el clculo de la distancia de un punto (el centro de la circunferencia) a la recta: Vemos si la distancia es igual, ms grande o ms pequeo que el radio.

    Si d > r La recta es exterior a la circunferencia.

    Si d < r La recta es interior a la circunferencia.

    Si d = r La recta es tangente a la circunferencia.

    Mediante la resolucin del sistema:

    2 Soluciones: La recta es interior a la circunferencia.

    1 Solucin: La recta es tangente a la circunferencia.

    No tiene solucin: La recta es exterior a la circunferencia.

    33// LA ELIPSE DEFINICIN: Es el lugar geomtrico de los punto del plano en el que la suma de distancias de los

    focos (F y F) a un punto P es constante.

    PF y PF son los radios vectores del punto P

    ELEMENTOS DE LA ELIPSE:

    Eje mayor : AA 2a ; semieje mayor: a

    Eje menor : BB 2b ; semieje menor: b

    Distancia focal:FF 2c ; semidistancia focal: c

    Focos: son los puntos F y F

    Vrtices: A, A, B y B

    PF + PF = 2a

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    RELACIN FUNDAMENTAL DE LA ELIPSE: a2 = b2 + c2

    EXCENTRICIDAD: mide el mayor o menor achatamiento de la elipse. cea

    0 < e < 1

    ECUACIN REDUCIDA DE LA ELIPSE CENTRADA EN EL ORIGEN CON LOS FOCOS SOBRE EL EJE X 22

    2 2yx 1

    a b