1 GMC 6001- Dynamique des structures. Différentes discrétisations spatiales 2 GMC 6001- Dynamique des structures

1

GMC 6001APPLICATION À LA DYNAMIQUE DES STRUCTURES

GMC 6001- Dynamique des structures

2

Différentes discrétisations spatiales


3

Système discret 1 DDL en vibration libre Réponse apériodique


3)0(

2)0(

065

x

x

xxx

4

Réponse apériodique limite


1)0(

1)0(

044

x

x

xxx

Système discret 1 DDL en vibration libre

5

Réponse périodique


1)0(

1)0(

0

x

x

xxx


6

Réponse périodique : amortissement variable


0 xxx

1)0( 1)0( xx

0 5.0 xxx 0 1.0 xxx


7

Réponse périodique : avec/sans amortissement


0 xxx

1)0( 1)0( xx

0 xx


8

6 5 txxx

3)0( 2)0( xx

txxx

Système discret 1 DDL en vibration forcée

1)0( 1)0( xx

Excitation générale (linéaire ici)

9GMC 6001- Dynamique des structures

) sin( txxx

0)0( 0)0( xx

)2sin( txxx

Système discret 1 DDL en vibration forcée Excitation harmonique

10GMC 6001- Dynamique des structures

4 txx

0)0( 0)0( xx

)2sin( 4 txx

Système discret 1 DDL en vibration forcée Non amorti

11GMC 6001- Dynamique des structures0)0( 0)0( xx

)2sin( 4 txx

Système discret 1 DDL en vibration forcée Non amorti 2/1

)4sin( 4 txx


)6.0sin( 4 txx


)sin( 4 txx


) 5.0sin( 4 txx


) 55.0sin( 4 txx


) 5.0sin( 4 txx

Système discret 1 DDL en vibration forcée A la résonance sans et avec amortissement 2/1

) 5.0sin( 1.0 4 txxx

15

Représentation des modes propres


16

Système discret à 2DDL en vibration libre


044

0416 4

212

211

xxx

xxx

0)0( 5)0( 0)0( 3)0( 2211 xxxx

17

Système discret à 2DDL en vibration forcée avec amortissement proportionnel (a=0 et b=1)


2

1.

31

11.

31

11 .

21

11

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

0)0( 0)0( 0)0( 0)0( 2211 xxxx

20

01

11

01

HL

1

1.

20

01.

20

01

2

1

2

1

2

1

r

r

r

r

r

r

rxxr .10

11 .

10

11

0)0( 0)0( 0)0( 0)0( 2211 rrrr

18



1

1.

20

01.

20

01

2

1

2

1

2

1

r

r

r

r

r

r

0)0( 0)0( 0)0( 0)0( 2211 rrrr

19



2

1.

31

11.

31

11 .

21

11

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

0)0( 0)0( 0)0( 0)0( 2211 xxxx

20

Passage en 2d : élément de barre


Matrice de rigidité

sin

cos

..

..

..

..

..

..

22

22

22

22

)(

1

)(

s

c

où

sscssc

sccscc

sscssc

sccscc

L

AEPKPK iXYi

cossin00

sincos00

00cossin

00sincos

P

21



Matrice de masse (consitante)

sin

cos

2. 2.

. 2 2.

. 2. 2

.. 2 2

.6

....

22

22

22

22

)(

1

)(

s

c

où

sscssc

sccscc

sscssc

sccscc

LAPMPM iXYi

cossin00

sincos00

00cossin

00sincos

P

22



Matrice de masse (diagonale)

sin

cos

. 00

. 00

00.

00.

.2

....

2

2

2

2

)(

1

)(

s

c

où

ssc

scc

ssc

scc

LAPMPM iXYi

cossin00

sincos00

00cossin

00sincos

P

23

Élément de poutre en flexion pure


Matrice de rigidité (repère local)

22

22

3)(

.4.6.2.6

.612.612

.2.6.4.6

.612.612

..

LLLL

LL

LLLL

LL

L

IEK i

24

Élément de poutre en flexion pure


Matrice de masse (repère local)

22

22

)(

.4.22.3.13

.22156.1354

.3.13.4.22

.1354.22156

.420

..

LLLL

LL

LLLL

LL

LAM i

25

Modes propres: 2 éléments de barre


L=1, 2 premiers modes Solution exacte

26

Modes propres: poutre en flexion encastrée-libre


Un seul élément de poutre L=10, 2 premiers modes

27

Modes propres: poutre en flexion encastrée-libre


Convergence 2 premiers modes

28

Modes propres d’une poutre en flexion


29

Modes propres d’une poutre en flexion


30

Superposition modale: 2 éléments de barre


)(2 tr )(3 tr

31

Superposition modale : 2 éléments de barre


)(2 tu )(3 tu

32

Méthode directe (Newmark-Wilson): 2 éléments de barre


)(2 tuNewmark Superposition

modale

33

Méthode de Newmark-Wilson: 2 éléments de barre


)(3 tuNewmark Superposition

modale

34

Méthode de Newmark-Wilson: influence du pas de temps


)(2 tu

Δt = 0.05 Δt = 0.1 Δt = 0.25

35

Méthode de Newmark-Wilson: influence du pas de temps


)(2 tu

Δt = 0.5 Δt = 1.0 Δt = 2.0

36

Méthode des différences finies: influence du pas de temps


)(2 tu

Δt = 0.05 Δt = 0.1 Δt = 0.25

37

Méthode des différences finies: influence du pas de temps


)(2 tu

Δt = 0.5 Δt = 1.0 Δt = 2.0

38

Comparaison des deux méthodes


)(2 tu

Δt = 0.05 Δt = 0.1 Δt = 0.25

Newmark

Diff finies

39

Comparaison des deux méthodes


)(2 tu

Δt = 0.5 Δt = 1.0 Δt = 2.0

Newmark

Diff finies

40

Système discret à 2DDL en vibration forcée avec amortissement proportionnel


2

1.

31

11.

31

11 .

21

11

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

0)0( 0)0( 0)0( 0)0( 2211 xxxx

)(1 tx )(2 tx

41

Système discret à 2DDL en vibration forcée avec amortissement proportionnelNewmark-Wilson


)(1 tx

Δt = 0.15

42

Système discret à 2DDL en vibration forcée avec amortissement proportionnel Newmark-Wilson


)(2 tx

Δt = 0.15

43

Système discret à 2DDL en vibration forcée avec amortissement proportionnelNewmark-Wilson


)(1 tx

Δt = 0.6

44



)(2 tx

Δt = 0.6

45



)(1 tx

Δt = 1.5

46



)(2 tx

Δt = 1.5

47

Système discret à 2DDL en vibration forcée avec amortissement proportionnel . Comparaison des deux méthodes Newmark -Wilson (a=0.5, b=0.5)


)(1 tx

Δt = 0.25

)(2 tx

Différences finies Newmark

48

Système discret à 2DDL en vibration forcée avec amortissement proportionnel . Comparaison des deux méthodes Newmark-Wilson (a=0.5, b=0.5)


Δt = 0.25


49



)(1 tx

Δt = 0.5

)(2 tx


50



)(1 tx

Δt = 1.0

)(2 tx


51

Système discret à 2DDL en vibration forcée avec amortissement proportionnel . Paramètres de Newmark


)(1 tx

Δt = 0.5

)(2 tx

a = 0.5 et b=0.5 a = 0.5 et b = 0.3333

52



)(1 tx

Δt = 1.0

)(2 tx

a = 0.5 et b=0.5 a = 0.5 et b = 0.3333

53



)(1 tx

Δt = 1.5

)(2 tx

a = 0.5 et b=0.5 a = 0.5 et b = 0.3333

54



)(1 tx

Δt = 1.9

)(2 tx

a = 0.5 et b=0.5 a = 0.5 et b = 0.3333

55

Réponse dynamique comparée : 2 éléments de barre


)(2 tu

1 1.0 E

Matrice de masse diagonale

MAPLE COSMOS/M

56



)(3 tu

1 1.0 E


MAPLE COSMOS/M

57



)(2 tu

1 1 E


MAPLE COSMOS/M

58



)(3 tu

1 1 E


MAPLE COSMOS/M

59



)(2 tu

1 50 E


MAPLE COSMOS/M

60



)(3 tu

1 50 E


MAPLE COSMOS/M

61



)(3 tu

1 1.0 E


Matrice de masse complète

62



)(3 tu

1 1 E



63



)(3 tu

1 50 E



64



)(2 tu

50 1 E



65



)(3 tu

50 1 E



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