1
1
Fundamentele algebrice ale informaticii
pentru anul I Informatică ( zi + ID) începînd cu anul universitar 2005/2006
CURSUL nr. 1
§1. Mulţimi. Operaţii cu mulţimi
În cadrul acestei lucrări vom privi mulţimile în sensul în care ele au fost privite de către
GEORG CANTOR - primul matematician care a iniţiat studiul lor sistematic (punct de vedere
cunoscut în matematică sub numele de teoria naivă a mulţimilor).
Definiţia1.1.. Dacă A şi B sunt două mulţimi, vom spune că A este inclusă în B (sau că A
este submulţime a lui B) dacă elementele lui A sunt şi elemente ale lui B; în acest caz vom scrie
A⊆B iar în caz contrar A⊈B.
Avem deci : A⊆B⇔ pentru orice x∈A ⇒x∈B
A⊈B⇔ există x∈A a.î. x∉B.
Vom spune despre mulţimile A şi B că sunt egale dacă oricare ar fi x, x∈A⇔ x∈B. Deci,
A=B⇔A⊆B şi B⊆A.
Vom spune că A este inclusă strict în B şi vom scrie A⊂B dacă A⊆B şi A≠B.
Se acceptă existenţa unei mulţimi ce nu conţine nici un element care se notează prin ∅ şi
poartă numele de mulţimea vidă. Se observă că pentru orice mulţime A, ∅⊆A (deoarece în caz
contrar ar trebui să existe x∈∅ a.î. x∉A – absurd.!).
O mulţime diferită de mulţimea vidă se zice nevidă.
Pentru o mulţime T, vom nota prin P(T) mulţimea submulţimilor sale (evident ∅, T∈P(T) ).
Următorul rezultat este imediat :
Dacă T este o mulţime oarecare iar A, B, C∈P(T), atunci :
(i) A⊆A
(ii) Dacă A⊆B şi B⊆A, atunci A=B
(iii) Dacă A⊆B şi B⊆C, atunci A⊆C.
În cadrul acestei lucrări vom utiliza deseori noţiunea de familie de elemente a unei mulţimi
indexată de o mulţime nevidă de indici I (prin aceasta înţelegând o funcţie definită pe mulţimea I cu
valori în mulţimea respectivă).
Astfel, vom scrie de exemplu (xi)i∈I pentru a desemna o familie de elemente ale unei mulţimi
sau (Ai) i∈I pentru a desemna o familie de mulţimi indexată de mulţimea I. Pentru o mulţime T şi A,
B∈P(T) definim :
A∩B={x∈T | x∈A şi x∈B}
A∪B={x∈T | x∈A sau x∈B}
A\B={x∈T | x∈A şi x∉B}
A△B=(A\B)∪(B\A).
Dacă A∩B=∅, mulţimile A şi B se zic disjuncte.
Operaţiile ∩, ∪, \ şi △ poartă numele de intersecţie, reuniune, diferenţă şi diferenţă
simetrică.
În particular, T\A se notează prin ∁T (A) (sau ∁(A) dacă nu este pericol de confuzie) şi poartă
numele de complementara lui A în T.
2
2
În mod evident, pentru A, B∈P(T) avem:
A\B=A∩∁T (B)
A△B=(A∪B)\(A∩B)=(A∩∁T (B))∪(∁T (A)∩B)
∁T (∅)=T, ∁T(T)=∅
A∪∁T (A)=T, A∩∁T (A)=∅ iar ∁T (∁T (A))=A.
De asemenea, pentru x∈T avem:
x∉A∩B ⇔ x∉A sau x∉B
x∉A∪B ⇔ x∉A şi x∉B
x∉A\B ⇔ x∉A sau x∈B
x∉A△B ⇔ (x∉A şi x∉B) sau (x∈A şi x∈B)
x∉∁T (A)⇔ x∈A.
Din cele de mai înainte deducem imediat că dacă A, B∈P(T), atunci:
∁T (A∩B)=∁T(A)∪∁T (B) şi ∁T (A∪B)=∁T (A)∩∁T (B).
Aceste ultime două egalităţi sunt cunoscute sub numele de relaţiile lui De Morgan.
Pentru o familie nevidă (Ai )i∈I de submulţimi ale lui T definim:
I
Ii
iA
∈
={x∈T | x∈Ai pentru orice i∈I} şi
U
Ii
iA
∈
={x∈T | există i∈I a.î. x∈Ai }.
Astfel, relaţiile lui De Morgan sunt adevărate într-un context mai general:
Dacă (Ai) i∈I este o familie de submulţimi ale mulţimii T, atunci:
( )i
Ii
T
Ii
iT ACAC UI
∈∈
=
şi ( )i
Ii
T
Ii
iT ACAC IU
∈∈
=
.
Următorul rezultat este imediat:
Propoziţia 1.2. Dacă T o mulţime iar A, B, C∈P(T), atunci:
(i) A∩(B∩C)=(A∩B)∩C şi A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
(ii) A∩B=B∩A şi A∪B=B∪A
(iii) A∩T=A şi A∪∅=A
(iv) A∩A=A şi A∪A=A.
Observaţia 1.3. 1. Din (i) deducem că operaţiile ∪ şi ∩ sunt asociative, din (ii) deducem că
ambele sunt comutative, din (iii) deducem că T şi ∅ sunt elementele neutre pentru ∩ şi respectiv
pentru ∪, iar din (iv) deducem că ∩ şi ∪ sunt operaţii idempotente pe P(T).
2. Prin dublă incluziune se probează imdiat că pentru oricare A, B, C∈P(T) avem:
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) şi
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ,
adică operaţiile de intersecţie şi reuniune sunt distributive una faţă de cealaltă.
Propoziţia1.4. Dacă A, B, C∈P(T), atunci:
(i) A△(B△C)=(A△B)△C
(ii) A△B=B△A
(iii) A△∅=A iar A △A=∅
(iv) A∩(B△C)=(A∩B)△(A∩C).
3
3
Demonstraţie. (i). Prin dublă incluziune se arată imediat că:
A△(B△C)=(A△B)△C=[A∩∁T(B)∩∁T(C)]∪[∁T(A)∩B∩∁T(C)]∪
∪[∁T(A)∩∁T(B)∩C]∪(A∩B∩C).
(ii), (iii) sunt evidente.
(iv). Se probează fie prin dublă incluziune, fie ţinând cont de distributivitatea intersecţiei faţă
de reuniune. ∎
Din cele de mai inainte deducem ca dacă T este o mulţime oarecare , atunci (P(T), △,∩)
este inel Boolean .
Definiţia1.5. Fiind date două obiecte x şi y se numeşte pereche ordonată a obiectelor x şi y
mulţimea notată (x, y) şi definită astfel:
(x, y)={ {x}, {x, y} }.
Se verifică acum imediat că dacă x şi y sunt două obiecte a.î. x≠y, atunci (x, y)≠(y, x) iar
dacă (x, y) şi (u, v) sunt două perechi ordonate, atunci (x, y)=(u, v) ⇔ x=u şi y=v ; în particular,
(x, y)=(y, x) ⇒x=y.
Definiţia1.6. Dacă A şi B sunt două mulţimi, mulţimea notată A×B={ (a, b) | a∈A şi
b∈B } se va numi produsul cartezian al mulţimilor A şi B.
În mod evident:
A×B≠∅ ⇔ A≠∅ şi B≠∅
A×B=∅ ⇔ A=∅ sau B=∅
A×B=B×A ⇔ A=B
A׳⊆A şi B׳⊆B ⇒ A׳×B׳⊆A×B.
Dacă A, B, C sunt trei mulţimi vom defini produsul lor cartezian prin egalitatea :
A×B×C=(A×B)×C.
Elementul ((a, b), c) din A×B×C îl vom nota mai simplu prin (a, b, c).
Mai general, dacă A1, A2, ..., An (n≥3) sunt mulţimi punem
A1× A2× ...×An =(( ...((A1×A2)×A3)× ...)×An) .
Dacă A este o mulţime finită, vom nota prin |A| numărul de elemente ale lui A. În mod
evident, dacă A şi B sunt submulţimi finite ale unei mulţimi M atunci şi A∪B este submulţime finită a
lui M iar
|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|.
Vom prezenta în continuare un rezultat mai general cunoscut sub numele de principiul
includerii şi excluderii:
Propoziţia1.7. Fie M o mulţime finită iar M1, M2, ..., Mn submulţimi ale lui M. Atunci :
( ) nn
nkji
kji
nji
ji
ni
i
n
i
i
MM
MMMMMMM
∩∩−+−
−∩∩+∩−=
−
≤
4
4
§2.Relaţii binare pe o mulţime. Relaţii de echivalenţă
Definiţia 2.1. Dacă A este o mulţime, numim relaţie binară pe A orice submulţime ρ a
produsului cartezian A×A. Dacă a, b∈A şi (a, b)∈ρ vom spune că elementul a este în relaţia ρ cu
b.
De asemenea, vom scrie aρb pentru a desemna faptul că (a, b)∈ρ.
Pentru mulţimea A vom nota prin Rel (A) mulţimea relaţiilor binare de pe A (evident, Rel
(A)=P(A×A) ).
Relaţia △A={ (a, a) | a∈A} poartă numele de diagonala produsului cartezian A×A.
Pentru ρ∈Rel (A) definim ρ-1={(a, b)∈A×A | (b, a)∈ρ}.
În mod evident, (ρ-1)-1=ρ iar dacă mai avem ρ׳∈Rel (A) a.î. ρ⊆ρ׳⇒ ρ-1⊆ρ1-׳.
Definiţia2.2. Pentru ρ, ρ׳∈Rel (A) definim compunerea lor ρ∘ρ׳ prin ρ∘ρ׳={(a, b)∈A×A
| există c∈A a.î. (a, c)∈ρ׳ şi (c, b)∈ρ}.
Rezultatul următor este imediat:
Propoziţia 2.3. Fie ρ, ρ׳, ρ׳׳∈Rel (A). Atunci:
(i) ρ∘△A=△A∘ρ=ρ
(ii) (ρ∘ρ׳)∘ρ׳׳=ρ∘(ρ׳∘ρ׳׳)
(iii) ρ⊆ρ׳⇒ ρ∘ρ׳׳⊆ρ׳∘ρ׳׳ şi ρ׳׳∘ρ⊆ρ׳׳∘ρ׳
(iv) (ρ∘ρ1-(׳=ρ1-׳∘ρ-1
(v) (ρ∪ρ1-(׳=ρ-1∪ρ1-׳ ; mai general, dacă (ρi) i∈I este o familie de relaţii binare pe A,
atunci
UU
Ii
i
Ii
i
∈
−
−
∈
=
1
1
ρρ .
Pentru n∈ℕ şi ρ∈Rel (A) definim :
>
=∆
= 1....
0
npentru
npentru
orin
A
n
4434421
ooo ρρρρ .
Se probează imediat că dacă m, n ∈ℕ atunci ρm∘ρn=ρm+n.
Definiţi 2.3. Vom spune despre o relaţie ρ∈Rel (A) că este:
i) reflexivă dacă △A ⊆ρ
ii) simetrică dacă ρ⊆ρ-1
iii) antisimetrică dacă ρ∩ρ-1⊆△A
iv) tranzitivă dacă ρ2⊆ρ.
Rezultatul următor este imediat:
Propoziţia2.4. O relaţie ρ∈Rel(A) este reflexivă ( simetrică, antisimetrică, tranzitivă )
dacă şi numai dacă ρ-1 este reflexivă ( sim
