1 Fazni portret dvodimenzionalnog linearnog dinamiqkog ... 1 Fazni portret dvodimenzionalnog linearnog

  • View
    2

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of 1 Fazni portret dvodimenzionalnog linearnog dinamiqkog ... 1 Fazni portret dvodimenzionalnog...

  • 1 Fazni portret dvodimenzionalnog linearnog dinamiqkog sistema sa

    konstantnim koeficijentima

    profesor: Marija Miki�

    Posmatrajmo homogen linearan dinamiqki sistem sa konstantnim koeficijentima oblika

    x′1(t) = a11x1 + a12x2

    x′2(t) = a21x1 + a22x2,

    tj. sistem oblika

    (1) X ′(t) = A ·X,

    gde je A = [aij ] 2 i,j=1, aij ∈ R, i, j ∈ {1, 2}. Neka su λ1 i λ2 sopstvene vrednosti matrice A, a γ1 i γ2 odgovaraju�i

    linearno nezavisni sopstveni (uopxteni) vektori kada su sopstvene vrednosti realne, odnosno realni i imaginarni delovi sopstvenog vektora kada su sopstvene vrednosti kompleksne. Neka je matrica T matrica transformacije oblika T = [γ1, γ2]. Tada je matrica J = T

    −1AT matrica koja ima jedan od slede�a qetiri oblika

    J1 =

    [ λ1 0 0 λ2

    ] , J2 =

    [ α β −β α

    ] , J3 =

    [ λ1 0 0 λ1

    ] , J4 =

    [ λ1 1 0 λ1

    ] .

    U �e i da skiciramo fazni portret dinamiqkog sistema (1) posmatra�emo �egov kanonski oblik (kada matricu A svedemo na �ordanovu normalnu formu) tj. dinamiqki sistem oblika

    (2) X ′(t) = J ·X.

    Razlikova�emo sluqajeve u zavisnosti od sopstvenih vrednosti matrice A.

    1) Sopstvene vrednosti matrice A su realne i razliqite.

    U ovom sluqaju matrica sistema (2) je oblika

    J =

    [ λ1 0 0 λ2

    ] .

    Odgovaraju�i sopstveni vektori su γ1 =

    [ 1 0

    ] i γ2 =

    [ 0 1

    ] . Stoga je opxte rexe�e dinamiqkog sistema (2)

    X(t) = c1e λ1t

    [ 1 0

    ] + c2e

    λ2t

    [ 0 1

    ] , c1, c2 ∈ R.

    Oznaqimo sa X1(t) = e λ1t

    [ 1 0

    ] i X2 = e

    λ2t

    [ 0 1

    ] .

    1.1) Neka je λ1 < λ2 < 0. Kako nacrtati fazni portret dinamiqkog sistema (2) u ovom sluqaju?

    Primetimo da je jedini ekvilibrijum ovog dinamiqkog sistema X∗ = (0,0). Kako je ekvilibrijum projekcija tri- vijalnog rexe�a na faznu ravan, to je ekvilibrijum sistema jedna �egova trajektorija. Primetimo da u preostalim sluqajevima

    x1(t)→ 0 i x2(t)→ 0 kada t→∞,

    x1(t)→∞ i x2(t)→∞ kada t→ −∞,

    tj. smer faznih trajektorija je odre�en sopstvenim vrednostima matrice (a pravac faznih trajektorija je odre�en sopstvenim vektorima).

  • Lako mo�emo odrediti jox qetiri fazne trajektori posmatranog dinamiqkog sistema. Ako je:

    1) c1 = 1 i c2 = 0, rexe�e sistema je x1(t) = e λ1t, x2(t) = 0. Fazna trajektorija je poluprava x2(x1) = 0, x1 > 0.

    2) c1 = −1 i c2 = 0, rexe�e sistema je x1(t) = −eλ1t, x2(t) = 0. Fazna trajektorija je poluprava x2(x1) = 0, x1 < 0. 3) c1 = 0 i c2 = 1, rexe�e sistema je x1(t) = 0, x2(t) = e

    λ2t. Fazna trajektorija je poluprava x1 = 0, x2 > 0.

    4) c1 = 0 i c2 = −1, rexe�e sistema je x1(t) = 0, x2(t) = −eλ2t. Fazna trajektorija je poluprava x1 = 0, x2 < 0.

    �elimo da odredimo i ostale fazne trajektorije. Posmatrajmo sluqaj kada su na primer c1, c2 > 0 (u preostalim sluqajevima ide analogno zbog simetrije). Kako je x1(t) = c1e

    λ1t, a x2(t) = c2e λ2t, to je

    x2 = c2e λ2t = c2

    ( eλ1t

    )λ2 λ1 = c2 ·

    ( x1 c1

    )λ2 λ1

    = c · x λ2 λ1 1 , gde je c > 0.

    Na slikama ispod prikazana je jedna fazna trajektorija (kada je c = 1) u sluqaju kada je λ2λ1 = 1 2 i fazni portret

    dinamiqkog sistema u tom sluqaju. Ekvilibrijum se u ovom sluqaju naziva stabilan qvor.

    Primetimo da kada t→∞, kako je λ1 < λ2 < 0, eλ2t opada sporije nego eλ1t, pa je dominantan vektorX2(t). Primetimo da kada t→ −∞, kako je λ1 < λ2 < 0, eλ1t raste br�e nego eλ2t, pa je dominantan vektor X1(t).

    �elimo da vidimo kako �e izgledati fazni portret u sluqaju kada imamo sistem (1). To �emo objasniti na primeru.

    Primer 1. Skicirati fazni portret dinamiqkog sistema

    x′1 = −x1 + 2x2

    x′2 = −3x2.

    Sopstvene vrednosti matrice sistema A su λ1 = −3 i λ2 = −1. Stoga se matrica A mo�e svesti na matricu

    J =

    [ −3 0 0 −1

    ] .

    Sopstveni vektor koji odgovara sopstvenoj vrednosti λ1 = −3 je γ1 = [

    1 −1

    ] , a sopstveni vektor koji odgovara sop-

    stvenoj vrednosti λ2 = −1 je γ2 = [ 1 0

    ] . Stoga je opxte rexe�e dinamiqkog sistema (2)

    X(t) = c1e −3t

    [ 1 −1

    ] + c2e

    −t [ 1 0

    ] , c1, c2 ∈ R.

    Jedini ekvilibrijum ovog dinamiqkog sistema jeste X∗ = (0,0). Kako je on projekcija integralne krive trivijalnog rexe�a na faznu ravan, to je taqka ekvilibrijuma jedna fazna trajektorija. Lako mo�emo odrediti jox qetiri fazne trajektori posmatranog dinamiqkog sistema.

  • Ako je:

    1) (c1, c2) = (1, 0), rexe�e je x1(t) = e −3t, x2(t) = −e−3t. Fazna trajektorija je poluprava x2(x1) = −x1, x1 > 0.

    2) (c1, c2) = (−1, 0), rexe�e je x1(t) = −e−3t, x2(t) = e−3t. Fazna trajektorija je poluprava x2(x1) = −x1, x1 < 0. 3) (c1, c2) = (0, 1), rexe�e je x1(t) = e

    −t, x2(t) = 0. Fazna trajektorija je poluprava x2(x1) = 0, x1 > 0.

    3) (c1, c2) = (0,−1), rexe�e je x1(t) = −e−t, x2(t) = 0. Fazna trajektorija je poluprava x2(x1) = 0, x1 < 0.

    Primetimo da kada t→∞, eλ2t opada sporije nego eλ1t, pa je dominantan vektor X2(t). Primetimo da kada t→ −∞, eλ1t raste br�e nego eλ2t, pa je dominantan vektor X1(t). Ekvilibrijum i u ovom sluqaju je stabilan qvor. Fazni portret dinamiqkog sistema (1) je prikazan na slici levo, a dinamiqkog sistema (2) na slici desno.

    Primetimo da fazni portreti dinamiqkih sistema (1) i (2) nisu identiqni, ali se tip polo�aja ravnote�e ne me�a i oquvana je orijentacija trajektorija.

    1.2) Neka je 0 < λ2 < λ1. Primetimo da je jedini ekvilibrijum i ovog dinamiqkog sistema X ∗ = (0,0). Primetimo

    da u preostalim sluqajevima x1(t)→ 0 i x2(t)→ 0 kada t→ −∞,

    x1(t)→∞ i x2(t)→∞ kada t→∞,

    tj. smer kreta�a faznih trajektorija je odre�en sopstvenim vrednostima matrice (a pravac kreta�a faznih trajek- torija je odre�en sopstvenim vektorima). Skicira�e faznog portreta u ovom sluqaju je analogno kao u prethodnom, samo je smer trajektorija suprotan. Fazni portret dinamiqkog sistema prikazan je na slici ispod.

    Ekvilibrijum se u ovom sluqaju naziva se nestabilan qvor.

    1.3) Neka je λ1 < 0 < λ2. Primetimo da je jedini ekvilibrijum ovog dinamiqkog sistema X ∗ = (0,0). Primetimo

    da u preostalim sluqajevima x1(t)→ 0 i x2(t)→∞ kada t→∞,

    x1(t)→∞ i x2(t)→ 0 kada t→ −∞.

  • Fazne trajektorije koje dobijamo u sluqajevima kada su (c1, c2) = (1, 0), (c1, c2) = (−1, 0), (c1, c2) = (0, 1) i (c1, c2) = (0,−1) su iste kao u prethodna dva sluqaja (samo treba voditi raquna o smeru tajektorija).

    �elimo da odredimo i ostale fazne trajektorije. Posmatrajmo sluqaj kada su na primer c1, c2 > 0 (u preostalim sluqajevima ide analogno zbog simetrije). Kako je x1(t) = c1e

    λ1t, a x2(t) = c2e λ2t, to je

    x2 = c2 ( eλ1t

    )λ2 λ1 = c2 ·

    ( x1 c1

    )λ2 λ1

    = c · x λ2 λ1 1 , gde je c > 0.

    Primetimo da je sada λ2λ1 < 0, stoga fazne trajektorije izgledaju drugaqije nego u prethodna dva sluqaja. Na

    slikama ispod prikazana je jedna fazna trajektorija (kada je c = 1) u sluqaju kada je λ2λ1 = −1 i fazni portret dinamiqkog sistema u tom sluqaju. Ekvilibrijum se u ovom sluqaju naziva sedlo.

    Primetimo da kada t→∞, kako va�i da je λ1 < λ2, vektor X2(t) je dominantan vektor. Primetimo da kada t→ −∞, kako va�i da je λ1 < λ2, vektor X1(t) je dominantan vektor.

    1.4) Neka je λ1 = 0 i λ2 6= 0. Tada je matrica sistema (2)

    J =

    [ 0 0 0 λ2

    ] .

    Odgovaraju�i sopstveni vektori su γ1 =

    [ 1 0

    ] i γ2 =

    [ 0 1

    ] . Stoga je opxte rexe�e dinamiqkog sistema (2)

    X(t) = c1

    [ 1 0

    ] + c2e

    λ2t

    [ 0 1

    ] , c1, c2 ∈ R.

    Primetimo da u ovom sluqaju imamo beskonaqno mnogo ekvilibrijuma i oni su oblika X∗ = (s,0), s ∈ R, tj. svaka taqka x1-ose je ekvilibrijum. Kako je x1(t) = c1, a x2(t) = c2e

    λ2t, to je su fazne trajektorije poluprave x1 = c1, x2 > 0, za svako fiksirano c1 ∈ R i x1 = c1, x2 < 0, za svako fiksirano c1 ∈ R. Smer faznih trajektorija zavisi od znaka sopstvene vrednosti λ2. Na slici levo prikazan je fazni portret dinamiqkog sistema kada je λ2 > 0, a na slici desno kada je λ2 < 0. Ekvilibrijumi u ovom sluqaju su neizolovani qvorovi.

  • 2) Sopstvene vrednosti matrice A su konjugovano kompleksne.

    U ovom sluqaju matrica sistema (2) je oblika

    J =

    [ α β −β α

    ] ,

    gde su α, β ∈ R, β 6= 0. Sopstveni vektor koji odgovara sopstvenoj vrednosti λ1 = α + iβ je γ1 = [ 1 i

    ] . Stoga je

    kompleksno rexe�e dinamiqkog sistema (2)

    Xk(t) = e (α+iβ)t

    [ 1 i

    ] = eαt

    [ cos(βt) − sin(βt)

    ] + ieαt

    [ sin(βt) cos(βt)

    ] .

    Kako su realni i imaginarni deo ovog kompleksnog rexe�a linearno nezavisna rexe�a sistema to je opxte rexe�e sistema

    X(t) = c1e αt

    [ cos(βt) − sin(βt)

    ] + c2e

    αt

    [ sin(βt) cos(βt)

    ] , c1, c2 ∈ R.

    Primetimo da je x21(t) + x

    2 2(t) = e

    2αt(c21 + c 2 2),

    za svako t ∈ R. U zavisnosti od vrednosti realnog parametra α razlikova�emo sluqajeve.