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Derivation of stiffness and flexibility for rods beams by using dual integral equations
指導教授：陳正宗學生姓名：周克勳
學號： M95520083
National Taiwan Ocean University
MSVLABDepartment of Harbor and River
Engineering
力學聲響振動實驗室
2
摘要 前言 一維 Laplace 桿的問題介紹 Biharmonic 方程的樑問題介紹 結論
力學聲響振動實驗室
3
前言 材料力學及結構學後，發現在求解尤拉樑之傾
角、撓度、彎矩及剪力時，可由很多方法求得，如：傾角撓度法、共軛樑法與直接勁度法…等。
我們提供一套由數學推導結合物理觀念的方法來求解樑與桿之的變形分析。
力學聲響振動實驗室
4
一維 Laplace 桿的問題
力學聲響振動實驗室
(0)u ( )u L '(0)EAu '( )EAu L
2
2
( ). . 0 0
d u xG E x L
dx
欲解系統： 輔助系統：2
2
( , )( )
d U x sx s x
dx
sxxs
sxsxsxU
,2
1
,2
1
,
5
一維 Laplace 桿的問題
力學聲響振動實驗室
2 2
2 20
,( ) ,
L U x s d u xu s u x U x s dx
x dx
0
,( ) ,
x L
x
U x su s u x u x U x s
x
利用功能互換：
利用部分積分：
（邊界積分方程）
6
一維 Laplace 桿的問題
力學聲響振動實驗室
0
( ) ( , ) , (1)x L
xu s T x s u x U x s u x
0
( ) ( , ) , (2)x L
xt s M x s u x L x s u x
( , )U x s
( , )L x s
( , )T x s
( , )M x s
xn
xn
sn
sn
1
2( , )1
2
x sT x s
x s
1
2( , )1
2
x sL x s
x s
0( , )
0
x sM x s
x s
7
勁度矩陣的推導
力學聲響振動實驗室
0 (1)s s L 代入 中1 1 1
0(0) (0)2 2 21 1 ( ) 1 ( )
02 2 2
u t
u L t L
0 (2)s s L 代入 中1 1
0 0 (0) (0)2 20 0 ( ) 1 1 ( )
2 2
u t
u L t L
(0) (0)[ ] [ ]
( ) ( )
u tA Bu L t L
8
勁度矩陣的推導
力學聲響振動實驗室
其中
0 0(0) 1 0
( ) 0 1 ruL L
u uuT
u uu L
0 0(0) 1 01
( ) 0 1 rtL L
p ptT
p pt L EA
9
勁度矩陣的推導
0 0ru rt
L L
u pA T B T
u p
0 0
L L
p uK
p u
10
柔度矩陣的推導 ＳＶＤ分解
TK 其中 TC C 的特徵值所對應的特徵向量組合而成的矩陣
TC C 的特徵值所對應的特徵向量組合而成的矩陣
11
柔度矩陣的推導
力學聲響振動實驗室
11 TK F
0 0
L L
u pF
u p
12
勁度矩陣
2
1
2
12
1
2
1
02
12
10
11
11
00
00
2
1
2
12
1
2
1
Equation [A] [B] [K]= [B]-1[A]
（ 1）
Rank=1 Rank=2
（ 2）
Rank=1
NA
13
Biharmonic 方程的樑問題介紹
力學聲響振動實驗室
( )L(0)
( )u L(0)u
( )m L(0)m
( )v L(0)v
4
4
( ). . 0 0
d u xG E x L
dx
欲解系統： 輔助系統：4
4
( , )( )
d U x sx s x
dx
3
3
1( )
12( , )1( )
12
x s x sU x s
s x x s
14
Biharmonic 方程的樑問題介紹
力學聲響振動實驗室
利用功能互換及部分積分可得邊界積分方程
0( , ) ( , ) '' , ' ,
x L
xu s U x s u x x s u x M x s u x V x s u x
由對偶架構的概念可得其他三條邊界積分方程
0
' ( , ) ( , ) '' , ' ,x L
xu s U x s u x x s u x M x s u x V x s u x
0
'' ( , ) ( , ) '' , ' ,x L
m m m m xu s U x s u x x s u x M x s u x V x s u x
0
''' ( , ) ( , ) '' , ' ,x L
v v v v xu s U x s u x x s u x M x s u x V x s u x
其中 '( ) ( ) ''( ) ( ) '''( ) ( )u s s u s m s u s v s
15
Biharmonic 方程的樑問題介紹
力學聲響振動實驗室
x
( , )x s( , )U x s ( , )M x s ( , )V x s
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
s
( , )U x s
( , )mU x s
( , )vU x s
( , )x s
( , )m x s
( , )v x s
( , )M x s
( , )mM x s
( , )vM x s
( , )V x s
( , )mV x s
( , )vV x s
s
s
16 個核函數的關係
16
勁度矩陣的推導
力學聲響振動實驗室
0 0
0 0
u m
vA Bu L m L
L v L
其中 與 的取得可由四個邊界積分方程中任取兩個計算而得
A B
17
勁度矩陣的推導
力學聲響振動實驗室
其中
0 0
0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
buL L
L L
u u u
Tu L u u
L
0 0
0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 01
0 0 1 0
0 0 0 1
btL L
L L
m m m
v v vT
m L m mEI
v L v v
18
勁度矩陣的推導
力學聲響振動實驗室
0 0
0 0
m u
vK
m L u L
v L L
19
柔度矩陣的推導 ＳＶＤ分解
力學聲響振動實驗室
0 0
0 0
u m
vF
u L m L
L v L
11 TK F
20
勁度矩陣
2
10
2
10
2
10
2
10
02
1
2
1
2
12
1
2
10
2
1
002
1
4
12
1
4
100
004
1
12
14
1
12
100
4626
612612
2646
612612
0000
0000
02
1
2
1
2
12
1
2
10
2
1
2
10
2
1
2
12
1
2
1
2
10
004
1
12
14
1
12
100
4626
612612
2646
612612
Equation [A] [B] [K]= [B]-1[A]
u 、 θ
Rank=2 Rank=4
u 、 m
Rank=2 Rank=4
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勁度矩陣
0000
0000
02
1
2
1
2
12
1
2
10
2
1
02
10
2
1
02
10
2
1
004
1
12
14
1
12
100
0000
00002
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
1
2
12
1
2
1
2
10
002
1
4
12
1
4
100
u 、 v
Rank=2 Rank=3
NA
θ 、 m
Rank=1 Rank=3
NA
22
勁度矩陣
0000
00002
10
2
10
2
10
2
10
02
10
2
1
02
10
2
1
002
1
4
12
1
4
100
0000
0000
0000
0000
02
10
2
1
02
10
2
12
10
2
1
2
12
1
2
1
2
10
θ 、 v
Rank=1 Rank=3
NA
m 、 v
Rank=0 Rank=2
NA
23
結論 對偶邊界積分方程可以推導出桿及梁的
勁度與柔度矩陣 僅只有 (u-θ) 與 (u-m) 所組合的對偶積分
方程才可得勁度與柔度矩陣
力學聲響振動實驗室
24
參考文獻
J.T. Chen, Derivation of stiffness and flexibility for rods and beams by using dual integral equations
力學聲響振動實驗室
25
THANK FOR YOU LISTEN
