1Bertolo

Aplicações das Séries Uniformes

JUROS COMPOSTOS Séries Uniformes

2Bertolo

  

   

O Sonho é ver as formas invisíveis da distância imprecisa,e, com sensíveis movimentos da Esperança e da Vontade,

buscar na linha fria do horizonte,a árvore, a praia, a flor, a ave, a fonte,

os beijos merecidos da verdade. 

Fernando Pessoa

3Bertolo

O que veremos hoje

Coeficiente de Financiamento

Série Gradiente

Perpetuidade

Inflação e Taxa Real

4Bertolo

Coeficiente de FinanciamentoO coeficiente de financiamento é um fator financeiro que multiplicando o valor presente de um financiamento apura as prestações. Assim,

Coef.Financ.X Financiamento = Prestações

Ou

Logo o C.F. é o inverso do

nn

ii

i

1

11an i

APLICAÇÕES: - CDC – Crédito Direto ao Consumidor

- Leasing ou Arrendamento Mercantil

VP x a-1 n i = PGTO.

5Bertolo

Coeficiente de FinanciamentoVP x a-1 n i = PGTO.

Na HP – 12C

f FIN f 6

1 CHS PV

N n

Taxa i

PMT

Isto dá o a-1 n i

EXEMPLO – Construir o coeficiente financeiro de um contrato de financiamento envolvendo 15 prestações mensais, iguais e sucessivas, a uma taxa de juros de 3,5% a.m.

Solução

Na HP-12Cf FIN f 61 CHS PV15 n3,5 iPMT

Na verdade o que calculamos foi:

n

n

ii

i

1

11an i

1

6Bertolo

Outro ExemploAdmita que uma instituição financeira divulgue que seu coeficiente para financiamentos a serem liquidados em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas atinge 0,189346 (geralmente seis casas).

a.Qual o valor das prestações de um financiamento de $ 16.000?

b.Qual a taxa de juros?

7Bertolo

Soluçãoa. VP x a-1

n i = PGTO.

16.000 x 0,189346 = 3.029,54

b. Para encontrarmos a taxa de juros, recorremos a HP-12C:

16000 CHS PV

3029,54 PMT

6 N

i

Isto resulta em 3.77%

8Bertolo

Mais um exemploUma empresa está avaliando o custo de determinado financiamento. Para tanto, identificou as seguintes condições em dois bancos.a. Coeficiente = 0,119153

Pagamento = 10 prestações mensais, iguais e sucessivas

b. Coeficiente = 0,307932

Pagamento = 4 prestações trimestrais, iguais e sucessivas.

Determinar a proposta que apresenta o menor custo mensal.

Solução com vocês!!!

9Bertolo

Um agora da página 46Uma financeira publica que seus coeficientes para financiamento de carros, em 24 meses, são:

Carros 0 - km Carros Novos

0,06480 0,06815

Qual é a taxa de juros de cada coeficiente?

Resp : Carros - Novos 3,89% a.m. e Carros - Usados 4,39% a.m.

10Bertolo

Economizando para APOSENTADORIA

Um executivo, prevendo sua aposentadoria, resolve efetuar, durante 4 anos, depósitos mensais iguais à taxa de 2,5% a.m.. Este pecúlio deverá permitir 5 retiradas anuais de R$ 500.000,00, ocorrendo a primeira 2 anos após o último depósito. De quanto devem ser os depósitos mensais? Resp: R$ 9.167,56

Observação:- Neste problema temos misturadas taxas anuais e mensais. Cuidado com isso!!

11Bertolo

Solução

.........

0 1 2 3 47 48

1 2 3 4 5 6

500.000

PGTO

# 1- Determinar a taxa efetiva anual

(1+iaa)=(1+iam)12

Na HP-12C, temos:

f FIN f6

1 CHS PV

2,5 i

12 n

FV 1 –

100 x 34,49% a.a.

# 2 – Determinar o valor presente das 5 retiradas anuais

PV = 500.000 a5 34,49

Na HP -12 C

F FIN f 2

500000 CHS PMT

5 n

34,49 i

PV

12Bertolo

Solução

0 1 2 3 47 48

1 2 3 4 5 6

PGTO

1.120.217,24

# 3 Transferir este valor presente para o período 48, isto é, voltar 1 ano.

PV = FV (1+i)-1

Na HP – 12C, temos

F FIN f2

1.120.217,24 CHS FV

1 N

34,49 i

PV ..... 832.937,20

# 4 Calcular os PGTO que acumulem este valor 832.937,20

FV = PMT s48 2,5

Na HP-12C

F FIN f 2

832.937,20 CHS FV

48 N

2,5 i

PMT ..... 9.167,30

832.937,20

13Bertolo

Um Problema RealUm banco e uma empresa firmaram um contrato de empréstimo para capital de giro no valor de R$ 720.000,00, para ser liquidado em seis prestações mensais. A operação foi contratada a uma taxa de juro de 1% a.m. (equivalente a 12,68% a.a.), mais um flat (comissão antecipada) de 3,6% além do IOF de 0,0083% ao dia e da correção calculada com base na TR. Admitindo-se que a TR do dia da contratação fosse 2,84%, calcular:

a.O valor das prestações mensais; Resp: R$ 124.234,82

b.O valor corrigido da “primeira” prestação; Resp: R$ 127.763,09

c.O valor líquido creditado na conta da empresa; Resp: R$ 687.832,25

d.A taxa efetiva anual da operação tomando-se como base o valor líquido recebido pela empresa beneficiária do crédito Resp: 32,08% a.a.

A solução será enviada por e-1/2

14Bertolo

SÉRIE GRADIENTE Denomina-se série em gradiente a uma série de pagamentos G, 2G, 3G, ....., (n-1)G que ocorrem nos períodos 2, 3, 4, ......., n, respectivamente, 1 2 3 4 n

G 2G 3G (n -1) G

15Bertolo

SÉRIE GRADIENTEExistem fórmulas que não iremos tratá-las aqui. Vamos

resolver tudo na HP – 12C.

f FIN f2

0 g CF0

Valor g CFj

Valor g CFj

e daí, após introduzir todos os valores, temos duas opções:

a. Calcular o valor presente líquido (VPL) apertando f NPV

b. Calcular a taxa interna de retorno (TIR) apertando f IRR

16Bertolo

EXEMPLO1. Determine o valor atual do fluxo de caixa que se segue, a

juros de 10% por período. 0 1 2 3 4 5 6 100 120

140 160 180 250 2 00

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EXERCÍCIOS Quanto devemos aplicar hoje, a uma taxa de

juros efetiva de 6% a.m., de modo que sejam possibilitados cinco saques consecutivos? O primeiro saque deverá ser de $ 20.000 daqui a dois anos e os outros gradativamente crescentes, formando uma série gradiente uniforme igual a $ 20.000, $ 40.000, $ 60.000, $ 80.000 e $ 100.000 Resp: $ 229.187,23

Uma máquina permite uma economia de custos de $ 10.000 no 1º ano e gradativamente crescente até o 5º ano de sua vida útil. Considerando uma taxa de juros efetiva de 12% a.a., calcular o valor atual dessa economia de custos. Resp: $ 100.018,00

18Bertolo

Outro Exercício Calcular a taxa de juros efetiva cobrada

em um financiamento de $ 692,78 que será pago em cinco prestações mensais segundo o esquema a seguir.

0 1 2 3 4 5

$ 250

$ 200$ 150

$ 100$ 50

19Bertolo

PERPETUIDADE

Em algumas aplicações, o número de pagamentos ou anuidades pode ser considerado infinito (série de rendas uniformes perpétuas) e, nesse caso, a expressão do principal fica como segue:

i

PGTO

ii

iPGTOVP

n

n

]

)1(

1)1(lim[.

O limite é tomado com n. Ou, seja o principal ou valor atual de uma série de rendas uniformes perpétuas é igual ao valor da anuidade dividido pela taxa de juros.

20Bertolo

EXERCÍCIO 1

Ao participar de um Programa de Demissão Voluntária (PDV), um trabalhador recebeu da empresa $ 10.000. De modo que percebesse uma renda quinzenal indefinidamente, aplicou a importância em uma instituição financeira a juros efetivos de 1,5% a.m.. Considerando que a taxa de juros não variará, calcular o valor da renda quinzenal perpétua postecipada.

21Bertolo

EXERCÍCIO 2

O pedágio de uma rodovia estadual arrecada em média $ 200.000/mês. Calcular o valor presente dessas rendas considerando um custo de capital de 2% a.m.

22Bertolo

EXERCÍCIO 3

Uma universidade receberá uma doação à perpetuidade. O primeiro importe de $ 50.000 será aplicado na compra de livros e os seguintes de $ 10.000, a serem entregues no início de cada ano, serão usados na manutenção. A juros efetivos de 10% a.a., calcular o valor presente da doação.

23Bertolo

EXERCÍCIO 4

Uma jazida de ouro com reservas para exploração por mais de cem anos produz lucros médios de $ 4.000.000/ano. Calcular o valor da mina, considerando que nos próximos dois anos a mina não operará por motivos de renovação de equipamentos. O custo de oportunidade do capital é de 15% a.a..

24Bertolo

EXERCÍCIO 5

Uma sociedade de beneficiência pública ganhou de um mecenas uma doação de $ 25.000/ano em forma indefinida, recebidos no início de cada ano depois de transcorridos dois anos contados a partir da data da doação. A juros de 15% a.a., calcular o valor presente dessa doação.

25Bertolo

EXERCÍCIO 6

Uma ação promete pagar um dividendo de $ 3,50 por ação ao ano. Estimando-se que os dividendos cresçam a uma taxa constante de 5% a.a., calcular o valor da ação se o custo de oportunidade do capital for de 14% a.a.. Considere os dividendos como uma perpetuidade.

26Bertolo

EXERCÍCIO 7Um canal de irrigação teve um custo inicial de $

500.000. O engenheiro hidráulico projetista da obra estima que, para estar permanentemente em condições operacionais, a cada três anos deve ser realizada uma reforma do canal a um custo aproximado de $ 150.000. Pede-se:

calcular a quantia que deve ser aplicada hoje a juros de 15% a.a., de modo que assegure a reforma perpétua do canal.

Determinar o custo capitalizado do canal admitindo-se um custo do capital de 15% a.a.

27Bertolo

Para Casa Um canal de irrigação tem um custo de construção de $ 40.000.

Para mantê-lo em condições operacionais deve ser efetuada uma reforma integral ao custo de $ 8.000 a cada 5 anos indefinidamente. Calcular seu custo capitalizado a uma taxa efetiva de 8% a.a. Resp: $ 57.045,65

Uma ponte tem um custo de construção de $ 30.000 e sua vida útil é de 10 anos. Depois desse tempo deve ser reformada a cada 10 anos indefinidamente a um custo de $ 15.000. Calcular seu custo capitalizado a uma taxa efetiva de 1% a.m. Resp: $ 36.520,64

A prefeitura de uma cidade recebeu 2 propostas para construir uma passarela para pedestres. A primeira propõe construí-la de madeira ao custo de $ 10.000 com um custo de manutenção de $ 4.000 a cada 3 anos indefinidamente. A segunda propõe construí-la de aço ao custo de $ 20.000 com custo de manutenção de $ 6.000 a cada 6 anos. Considerando-se um custo do capital de 6% a.a., selecionar a melhor proposta. Resp: Custo capitalizado (madeira) = $ 30.940,65; Custo capitalizado (aço) = $ 34.336,26 selecionar de madeira

Vamos mandar por e-1/2

28Bertolo

INFLAÇÃOO processo inflacionário de uma economia pode ser entendido pela elevação generalizada dos preços dos vários bens e serviços.

Em sentido contrário, diante de uma baixa predominante dos preços de mercado dos bens e serviços, tem-se o fenômeno definido por deflação.

Tradicionalmente, o desenvolvimento da economia brasileira tem-se caracterizado pela presença marcante da inflação, apresentando taxas, na maior parte do tempo, em níveis relevantes.

É importante acrescentar, ainda, que mesmo diante de cenários econômicos de reduzida taxa de inflação, o conhecimento do juro real permanece bastante importante para a Matemática Financeira. Nestas condições, mesmo pequenas oscilações nos índices de preços produzem impacto relevante sobre as taxas de juros ao longo do tempo, alterando a competitividade dos ativos negociados no mercado.

Em contextos inflacionários, deve-se ficar atento para a denominada ilusão monetária ou rendimento aparente das aplicações e investimentos

29Bertolo

Índices de PreçosUm índice de preços procura medir a mudança que ocorre nos níveis de preços de um período para outro. No Brasil, a maioria dos cálculos de índices de preços está a cargo da Fundação Getúlio Vargas (FGV) do Rio de Janeiro, que publica mensalmente na revista Conjuntura Econômica os índices nacionais e regionais. Outras instituições que elaboram índices de preços são: o IBGE, a Fipe e o Dieese em São Paulo, a Fundare em Recife e o Ipead-UFMG em Belo Horizonte.

O índice mais geral disponível é o Índice Geral de Preços – disponibilidade interna da FGV (IGP-di). Ele é indicado para inflacionar ou deflacionar valores monetários, cujas causas foram devidas a muitos fatores, pois esse índice mede a inflação do País.

30Bertolo

Representatividade dos valores financeiros em ambientes inflacionários

O processo inflacionário obriga a quem faz cálculos financeiros, ou toma decisões de investimento ou financiamento, a prestar atenção especial ao significado econômico dos lucros e contas nominais apresentadas pelas empresas, ao impacto da inflação na avaliação dos investimentos e, sobretudo, a como o processo decisório é afetado.

Como resultado da inflação, o significado das medidas contábeis e econômicas de rentabilidade (lucros e custos) diverge e essa divergência é maior à medida que a inflação se acelera.

31Bertolo

EXEMPLO

No último trimestre do ano, o salário nominal de um operário, recebido no último dia de cada mês, foi o seguinte: outubro = $ 12.000; novembro = $ 13.800; dezembro = $ 16.560. Calcular a taxa de crescimento real do salário considerando que o índice de preços escolhido teve as seguintes variações: novembro = 19%, dezembro = 22%.

32Bertolo

SoluçãoPara deflacionar (colocar os salários em moeda de outubro), usamos um deflator que assume o valor 1,0000 em outubro. Em novembro seu valor será de 1,0000 x 1,19 = 1,1900 e em dezembro, de 1,1900 x 1,22 = 1,4518.

Mês Salário em valores nominais (1)

Variação do índice (2)

Deflator(base Out.)

(3)

Salário deflacionado (preços de Out.)

(1) / (3)

Crescimento real (% a.m.)

Crescimento aparente (% a.m.)

Out. $ 12.000 1,0000 $ 12.000

Nov. $ 13.800 19% 1,1900 $ 11.596,64

Dez. $ 16.560 22% 1,4518 $ 11.406,53

33Bertolo

SoluçãoCom os salários dos três meses colocados em moeda do mês de outubro (moeda constante de outubro), podemos, agora, calcular o crescimento real no mês de novembro:

%36,30336,0100,000.12$

64,596.11$rS

%64,10164,0164,596.11$

53,406.11$rS

O crescimento real em dezembro será:

Mês Salário em valores nominais (1)

Variação do índice (2)

Deflator(base Out) (3)

Salário deflacionado (preços de Out.) (1) / (3)

Crescimento real (% a.m.)

Crescimento aparente (% a.m.)

Out. $ 12.000 1,0000 $ 12.000

Nov. $ 13.800 19% 1,1900 $ 11.596,64 -3,36%

Dez. $ 16.560 22% 1,4518 $ 11.406,53 -1,64%

34Bertolo

Solução

Mês Salário em valores nominais (1)

Variação do índice (2)

Deflator(base Out.)

(3)

Salário deflacionado (preços de Out.) (1) / (3)

Crescimento real (% a.m.)

Crescimento aparente (% a.m.)

Out. $ 12.000 1,0000 $ 12.000

Nov. $ 13.800 19% 1,1900 $ 11.596,64 -3,36% 15%

Dez. $ 16.560 22% 1,4518 $ 11.406,53 -1,64% 20%

Em novembro houve em termos reais uma perda de -3,36% em relação ao mês de outubro e, em dezembro, houve uma perda real de -1,64% em relação ao mês anterior. No período considerado, a perda real total foi de -4,95% na capacidade geral de compra do salário:

%95,40495,0100,000.12$

53,406.11$rS

35Bertolo

SoluçãoPor outro lado, o crescimento nominal ou aparente mostra taxas positivas de 15% e 20% para os meses de novembro e dezembro, respectivamente. Este exemplo ilustra a importância de estimar o crescimento real dos fluxos e valores financeiros.

36Bertolo

Taxas de Juros Aparente x NominaisA taxa aparente (chamada nominal nas transações financeiras e comerciais) é aquela que vigora nas operações correntes.

A taxa real é o rendimento ou custo de uma operação, seja de aplicação ou captação, calculado depois de serem expurgados os efeitos inflacionários. A taxa aparente embute uma expectativa inflacionária.As taxas aparente e real relacionam-se da seguinte forma:.

(1+iaparente) = (1+ireal)(1+iinflação)

37Bertolo

EXEMPLOS

Calcular o custo real de um empréstimo contratado a uma taxa efetiva de 20%, considerando uma inflação para o mesmo período de 15% para o período

38Bertolo

Exercícios

Calcular o custo efetivo anual em moeda nacional de um empréstimo em moeda estrangeira contratado a juros nominais de 8% a.a., com capitalização mensal, considerando uma desvalorização da moeda nacional de 2% a.m..

39Bertolo

Exercícios

Uma aplicação de $ 100 teve um rendimento aparente de $35. Considerando uma inflação durante o período de investimento de 30%, calcular a rentabilidade aparente e real da operação.

40Bertolo

Exercícios

Uma pessoa comprou no início de um determinado ano um terreno por $ 140.000, vendendo-o no fim do mesmo ano por $ 220.000. Considerando uma inflação anual de 40%, estimar o ganho real da operação.

41Bertolo

Exercícios

Um capital de $ 2.000 aplicado por dois anos rende juros de 5% a.a. mais atualização monetária calculada com base nas variações do IGP-di. Considerando uma variação do IGP-di de 40% e 50% para o primeiro e segundo anos, respectivamente, calcular a rentabilidade real da operação e o montante ao fim do 2º ano.