1

1°ORDINE: risposta ad altri segnali semplici1°ORDINE: risposta ad altri segnali semplici

RAMPARAMPA

qqii==qqoo=0=0 se t<0se t<0

qqisist=0t=0 se tse t00.

Quindi:Quindi:

D q kq to is 1.

La soluzione è:La soluzione è:

q kq e to is

t

.

2

L’errore di misura è:L’errore di misura è:

e q e qm is

t

is

. .

eem,tm,t eem,ssm,ss

eem,t m,t riguarda il transitorio; sparisce in fretta se riguarda il transitorio; sparisce in fretta se è piccola è piccola

eem,ssm,ss riguarda il regime; riguarda il regime; piccola migliora la situazione piccola migliora la situazione

Lo strumento “legge” l’input di Lo strumento “legge” l’input di secondi prima (ritardo) secondi prima (ritardo)

TRANSITORIOTRANSITORIO REGIMEREGIME

RAMPARAMPA

3

RAMPARAMPAqqii

qqii

..

qqisis

..

tt

tt

tt

qqii qqoo/k/k

eem,ssm,ss== qis.. ritardo a regimeritardo a regime

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/t/

eemm/e/em,ssm,ss

4

IMPULSOIMPULSO

Impulso di “intensità”Impulso di “intensità”

Durata infinitesima picco infinitamente alto, area pari ad Durata infinitesima picco infinitamente alto, area pari ad A. Se A=1A. Se A=1 =1=1

tplim0T

p(t)p(t)

TT

A/TA/T

tt

A=costanteA=costante L’impulso si può considerare L’impulso si può considerare come successione di due come successione di due gradinigradini

TT

A/TA/T

tt

qqii

qqoo

T/2T/2

2A/T2A/T

tt

qqii

qqoo

5

Per 0 < t Per 0 < t T T

T

kAkqq1D io E’ come uno scalinoE’ come uno scalino

Per t > TPer t > T

0kqq1D io

La soluzione è, per TLa soluzione è, per T 00

t

ekA

qo

Matematicamente anche qMatematicamente anche qoo si porta dal valore 0 ad un si porta dal valore 0 ad un

valore finito in un tempo infinitesimo; questo è possibile valore finito in un tempo infinitesimo; questo è possibile solo con un trasferimento infinito di energia (impulso solo con un trasferimento infinito di energia (impulso matematico). La realtà fisica è ben diversa.matematico). La realtà fisica è ben diversa.

6

Se però la durata dell’impulso è sufficientemente piccola Se però la durata dell’impulso è sufficientemente piccola (in relazione al tempo di risposta del sistema) il sistema (in relazione al tempo di risposta del sistema) il sistema risponde in maniera simile ad un vero impulso.risponde in maniera simile ad un vero impulso.

ESEMPIOESEMPIO

A=1A=1 T=0.01T=0.01

qqoo==

te1

k1000 0 t t T T

01.0

01.0

e

e e1k100t

T T t t

7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1t

t

k

qo

8

OSSERVAZIONI:OSSERVAZIONI:

La risposta all’impulso è il comportamento di un sistema La risposta all’impulso è il comportamento di un sistema non forzato con condizioni iniziali non nullenon forzato con condizioni iniziali non nulle

Nella realtà non è possibile applicare ad un sistema fisico Nella realtà non è possibile applicare ad un sistema fisico né il gradino perfetto, né l’impulso perfetto.né il gradino perfetto, né l’impulso perfetto.

La derivata di un “gradino reale” è un “impulso reale”La derivata di un “gradino reale” è un “impulso reale”

9

Strumenti del secondo ordine:Strumenti del secondo ordine:EquazioneEquazione

ioooo

12o

2

2 qbqadt

dqa

dt

qda

io

o

o

o

0

12

0

2o q

a

b

a

aD

a

aD

a

aq

ion2

n

2kqq1

hD2D

10

Parametri fondamentali:Parametri fondamentali:

o

oa

bk

2

on a

a

20

1aa2

ah

Sensibilità staticaSensibilità statica

Pulsazione propriaPulsazione propria

2

f nn Frequenza propriaFrequenza propria

Parametro adimensionale di Parametro adimensionale di smorzamentosmorzamento

Si ricorda che questi parametri non sempre sono Si ricorda che questi parametri non sempre sono facilmente identificabili e comunque, pur conducendo uno facilmente identificabili e comunque, pur conducendo uno studio analitico, vanno identificati per via sperimentale.studio analitico, vanno identificati per via sperimentale.

11

2°ORDINE: risposta ad alcuni segnali semplici2°ORDINE: risposta ad alcuni segnali semplici

GRADINOGRADINO

Se il gradino ha ampiezza qSe il gradino ha ampiezza qisis si ha: si ha:

ison2

n

2kqq1

hD2D

Condizioni iniziali:Condizioni iniziali: qqoo=0=0 t=0t=0++

dqdqoo/dt=0/dt=0 t=0 t=0 ++

La soluzione è diversa nei tre casi in cui lo smorzamento è La soluzione è diversa nei tre casi in cui lo smorzamento è maggiore, uguale o minore dello smorzamento critico. maggiore, uguale o minore dello smorzamento critico.

12

La figura illustra, in forma adimesionalizzata, la risposta La figura illustra, in forma adimesionalizzata, la risposta al gradino dello strumento del secondo ordineal gradino dello strumento del secondo ordine

cn2

2

th

is

o rr se 1th1sinh1

e

kq

q n

ct

nis

o rr se 1et1kq

q n

13

nn è un’indicazione diretta della è un’indicazione diretta della velocità della rispostavelocità della risposta: :

dato h, raddoppiare dato h, raddoppiare nn significa dimezzare il tempo con il significa dimezzare il tempo con il

quale si raggiunge un determinato punto della curva.quale si raggiunge un determinato punto della curva.L’effetto di L’effetto di hh è evidente: un è evidente: un incrementoincremento nel valore di h nel valore di h riduce l’oscillazione, ma rallenta la rispostariduce l’oscillazione, ma rallenta la risposta dello dello strumento nel senso che il primo attraversamento del strumento nel senso che il primo attraversamento del valore finale è ritardato.valore finale è ritardato.Si dice Si dice sovraelongazionesovraelongazione o o sorpassosorpasso il rapporto tra la il rapporto tra la massima ampiezza di oscillazione attorno al valore di massima ampiezza di oscillazione attorno al valore di regime ed il valore di regime stesso.regime ed il valore di regime stesso.

14

CONSIDERAZIONI IMPORTANTICONSIDERAZIONI IMPORTANTISe consideriamo a regime il sistema quando l’oscillazione Se consideriamo a regime il sistema quando l’oscillazione si mantiene in una banda di ±10% del valore finale, il si mantiene in una banda di ±10% del valore finale, il valore ottimale di h è 0.6 (valore ottimale di h è 0.6 (settling timesettling time di 2.4 di 2.4 nn, dove si , dove si

definisce come settling time il tempo, dopo il gradino, definisce come settling time il tempo, dopo il gradino, impiegato dallo strumento per raggiungere una fascia di impiegato dallo strumento per raggiungere una fascia di tolleranza attorno al valore di regime senza più uscirne).tolleranza attorno al valore di regime senza più uscirne).Se però il settling time è del 5%, h tra 0.7 e 0.8 è ottimale.Se però il settling time è del 5%, h tra 0.7 e 0.8 è ottimale.Il tutto è ancora complicato dal fatto che i gradini “reali” Il tutto è ancora complicato dal fatto che i gradini “reali” hanno grande influenza su h ottimale.hanno grande influenza su h ottimale.

11

0.950.95

1.051.05

Definizione di settling timeDefinizione di settling time

15

2°ORDINE: 2°ORDINE: risposta in frequenzarisposta in frequenza

La funzione di trasferimento sinusoidale è:La funzione di trasferimento sinusoidale è:

q

qi

k

ih

i

o

i

n n

2

2 1

OppureOppure

2

n

2

22

n

i

o

h41

1i

qk

q

tan 1 2h

n

n

16

17

2°ORDINE: 2°ORDINE: risposta in frequenzarisposta in frequenzaSi ricorda che lo strumento è pronto, ossia non distorce il Si ricorda che lo strumento è pronto, ossia non distorce il segnale in ingresso qi, se il modulo della funzione di segnale in ingresso qi, se il modulo della funzione di trasferimento è costante per tutte le armoniche e se la fase trasferimento è costante per tutte le armoniche e se la fase è 0 rad, è 0 rad, rad o proporzionale all’ordine dell’armonica. rad o proporzionale all’ordine dell’armonica.Questo avviene per valori di Questo avviene per valori di <<<<nn.(non è così per il .(non è così per il

sismografo anche se è uno strumento del secondo ordine).sismografo anche se è uno strumento del secondo ordine).Ovviamente, se Ovviamente, se nn cresce, lo strumento sarà pronto per cresce, lo strumento sarà pronto per

maggiori. Per misurare alte frequenze in qmaggiori. Per misurare alte frequenze in q ii, occorrono , occorrono

strumenti con alte strumenti con alte nn..

Nel caso del galvanometro, poichéNel caso del galvanometro, poiché , occorrerà un , occorrerà un basso J e una k elevatabasso J e una k elevataUn limite sul valore di k viene però dalla sensibilità, Un limite sul valore di k viene però dalla sensibilità, penalizzata da alti k.penalizzata da alti k.

nkJ

18

Anche in questo caso è possiile esprimere la funzione di Anche in questo caso è possiile esprimere la funzione di trasferimento per mezzo del diagramma di Nyquist.trasferimento per mezzo del diagramma di Nyquist.

19

2°ORDINE: 2°ORDINE: risposta in frequenzarisposta in frequenzah si può sfruttarlo per allargare la zona in cui lo h si può sfruttarlo per allargare la zona in cui lo strumento è pronto.strumento è pronto.Se hSe h0.7 la curva delo modulo della funzione di 0.7 la curva delo modulo della funzione di trasferimentoparte con tangente orizzontale e si mantiene trasferimentoparte con tangente orizzontale e si mantiene circa costante fino in prossimità della risonanza. La fase è circa costante fino in prossimità della risonanza. La fase è proporzionale all’ordine dell’armonica.proporzionale all’ordine dell’armonica.

Provare a simulare questa situazione al calcolatoreProvare a simulare questa situazione al calcolatore

20

Anche in questo caso esistono altri segnali semplici con cui Anche in questo caso esistono altri segnali semplici con cui valutare il comportamento del sistema.valutare il comportamento del sistema.

RAMPARAMPA

21

RAMPA FINO AD UN REGIMERAMPA FINO AD UN REGIME

Si analizza la risposta a questo segnale perché è il più Si analizza la risposta a questo segnale perché è il più vicino al gradino reale. Infatti strumenti con alta vicino al gradino reale. Infatti strumenti con alta nn e e

basso h (tipicamente quelli al quarzo) sembrerebbero basso h (tipicamente quelli al quarzo) sembrerebbero rispondere molto male al gradino ideale, mentre invece rispondere molto male al gradino ideale, mentre invece hanno un ottimo comportamento.hanno un ottimo comportamento.

22

Risposta al gradino di sistemi Risposta al gradino di sistemi poco smorzatipoco smorzati

Rampa fino ad un regimeRampa fino ad un regime

Confronto input-output nel Confronto input-output nel caso di rampa fino ad un caso di rampa fino ad un regime regime

23

2°ORDINE: 2°ORDINE: IMPULSOIMPULSOL’equazione è sempre:L’equazione è sempre:

D hDq

n no

2

22

1 0

Condizioni iniziali:Condizioni iniziali:

qo 0

dq

dtkAo

n 2

t=0t=0++

Da dove viene? Da dove viene?

24

q q hq kqo

n no i 2

2 q kq

hq qo i

no o n

2 2

25

2°ORDINE: 2°ORDINE: IMPULSOIMPULSO