0809 Corpuri Inscrise Si Circumscrise

5/25/2018 0809 Corpuri Inscrise Si Circumscrise

1/23

151

9. Corpuri nscrise. Corpuri circumscrise

RezumatO categorie de probleme interesante i diferite n acelai timp o constituie

combinaiile de corpuri.Tema constituie puncte de plecare pentru rezolvarea acestor tipuri de

probleme? De probleme ncepnd cu atenta poziionare a corpurilor n spaiuimprimnd un desen adecvat demonstraiilor cerute.

De multe ori este util s raionm ntr-un auxiliary care conine proiecineproiecii ale elementelor puse n discuie.

n cele ce urmeaz vom analiza situaii n care apar configuraii de doucorpuri.

9.1 Prismi sfere

Definiie: O sfer este nscris ntr-o prism dac ea este tangent tuturorfeelor prismei.

Observaii: - Centrul sferei este la distan egal de feele prismei deci peplanele bisectoare ale unghiurilor diedre.

- nlimea prismei este egalcu diametrul sferei.- Pentru prisma dreapt, proiecia ortogonal a sferei pe planul

bazei prismei este un cerc nscris n baza prismei.Proprietate: - Unui paralelipiped i se poate nscrie o sferdaci numai dac

ariile feelor sunt egale. Dem.(exerciiu)Definiie: - O prismeste nscris ntr-o sferdactoate vrfurile prismei se

aflpe o sfer(echivalent cu a spune csfera este circumscrisprismei).

Observaii: - Centrul sferei este la egaldistande vrfurile prismei- Planele mediatoare ale oricrei muchii conin centrul sferei.- O prism este inscriptibil ntr-o sfer dac i numai dac

planele mediatoare sunt concurente.Proprietate: - Unui paralelipiped i se poate nscrie o sferdaci numai

dace paralelipiped dreptunghic. (intersecia diagonalei estecentrul sferei)

Probleme rezolvate

R9.1.1Aplicaie: - Baza unei prisme regulate este un ptrat de latura. Dac

nlimea prismei este h atunci sse calculeze raza sfereicircumscrise prismei.


2/23

152

D

o

Soluie: Fie ABCDABCD prisma i O1, O2 centrele bazelor.

Planele mediatoare ale laturilor bazelor au comundreapta O1O2. Decimijlocul lui [O1O2] este centrul sferei circumscrise.

n planul ACC1A1 considerm OO1C cu OO1=h/2; O1C=a2/2. Deciraza OC este egalcu R=(h2+2a2)/2.

Observaie: n cazul particular h=a (cub) raza sferei circumscrise cubului de

muchie a este R=2

3a.

R9.1.2. Fie M, N mijloacele muchiilor AB,respectiv AD ale cubului ABCDABCD. Sse arate ca sfera nscrisin cub este tangentla

planul determinat de punctele M, N i A. Concurs pentru ocuparea catedrelor vacante1998

Soluie:Planele (AMN) i (ACCA) sunt

perpendiculare pentru cMN AC iAA MN => MN (ACCA); MN (AMN)=> (AMN) (ACCA).

O2

A B

CD

O

O1

BA

CD


3/23

153

Deci piciorul perpendicularei lui O pe (AMN)

AP.Calculm OS unde S=PrAPO i artm cOS=

2

a.

n seciunea ACCA calculm aria trapezului APQR n doumoduri:

[APQR]=2

)( hbB += a

aa

+

2

4

2

2

2

=8

23 2a.

[APQR]= [ARO]+[PQO]+ [AOP]=2

22

2 aa

+2

24

2 aa

+2

'PAOS=

8

22 a+

16

22 a+

8

23aOS.

Gsim OS8

23a =

16

23

8

23

22

aaOS

8

23a = =>

16

23 2aOS= .

2

a

Deci S

2;0a

.

Observaie: Se cunoate o generalizare a acestei probleme pe care vinvitmso demonstrai:

DacM

[AB]; N

[AD] i P

[AA] a.i. AM=,AN=i AP=, atunci sfera nscrisn cubul dat este tangentplanului (M,N,P) daci numai dacare loc relaia:

a=++++ 222222

2

.(vezi [2])

R9.1.3. Se considercubul ABCDEFGH de latura i M un punct arbitrar ales pe

sfera nscrisa n cub. Sse arate c22 8aMA = -(G.M. 4! 1985).


4/23

154

Soluie:Se aplicTh. Medianei n MHC, MGB, MFA, MED pentru care MO este

median. Rezult: MO 2 = ( )

4

2 222 HCMCMH +; MO 2

= ( )

4

2 222 BGMBME +; MO 2 =

( )4

2 222 AFMAMF +;MO 2

= ( )

4

2 222 EDMDME +;

=> ( ) 22222

222 84434

44442 aMAaaa

dMOMA ==>=

+=+= .

R9.1.4. Fie un cub ABCDABCD. Demonstrai cexisto sfer(S) care trece prinpunctele A,B,C,D i este tangentla planul (ABCD).

Concursul anual al rezolvatorilor Liviu Parsan 2001Soluie:

Vom demonstra existenta punnd n evidentcentrul i raza sferei cu proprietatea dinenun. Centrul sferei este pe perpendiculara in centrul bazei ABCD, pe planul (ABCD)

pentru cdaca exista atunci A,B,C,D aparin unui cerc unic al sferei i linia centreloreste perpendicularpe (ABCD).Deosebim cazurile OInt(ABCD,ABCD] sau OInt.Convine (i deducem prin calculul distantei de la O la O1centrul lui ABCD) OInt[ABCD, ABCD].

Notm OO1=x i R=a-x iar OO2=R=OC. Exprimm OC=2

22 ax + i OO2=a-x.

Egalnd obinem: ( )xaa

x =+2

22 2

)(2

2

xaa

= 2 x 2

))((2

2

xxaxxaa

+=

22

2)2(2

2

==>= a

xaxaaa

axa = 42 => 4

a

x= .

Deci am pus n eviden ( )R;0 cu O la4

a

de O1 i R=4

3acu proprietatea cerut.


5/23

155

R9.1.5. Fie o sferde raza 6 cm. Determinai ct la sutdina) volumul cubului nscris n sferreprezintvolumul sferei;b) volumul cubului circumscris sferei reprezintvolumul sferei;

(Artur Bluc)

Soluie :

a) volumul cubului este3

3200% %73,36 .

b) volumul sferei este %.3,52%3

50

9.2. Prismi cilindru

Definiie: Un cilindru drept este nscris ntr-o prismdacsuprafaa lateralasa este tangentfeelor laterale ale prismei, iar bazele cilindrului sunt cercuri nscrise n

bazele prismei.Observaie :

1) Dac un cilindru circular drept este nscris ntr-o prism atunci prisma estedreapt

2) Liniile de-a lungul crora suprafaa lateral a cilindrului este tangent feelorlaterale ale prismei sunt segmente perpendiculare pe bazele prismei.

Definiie : O prism este nscrisa ntr-un cilindru circular drept dac bazele suntpoligoane nscrise n cercurile bazelor cilindrului.

Observaie :nlimea cilindrului coincide cu nlimea prismei.

Probleme rezolvate

R9.2.1. Muchia unui cub este a. S se determine volumul unui cilindru circulardrept nscris n cub astfel nct diagonala cubului sfie axa cilindrului, iar cercurile

bazelor sunt tangente acelor diagonale ale feelor cubului care nu au puncte ncomun cu diagonala consideratca ax.

Soluie :

n figur am luat diagonala [BD1] a cubului ca axa de rotaie pentru cilindru.Bazele cilindrului vor fi tangente diagonalelor feelor laterale [AB1], [AC], [B1C]i respectiv [A1C1], [DC1], [DA1]. Cercurile de baza ale cilindrului sunt nscrise ntriunghiurile AB1C, A1DC1. Fie O1, O2 centrele acestor cercuri. Mai ntiobservm cdin AC||A1C1, AB1||DC1i (AC, AB1), (A1C1, DC1) fiind perechi dedrepte concurente se deduce paralelismul planelor (AB1C), (A1DC1). Pe de alt

parte [BB1][BC][BA] => proiecia lui B pe planul ACB1 coincide cu centrul

cercului circumscris. Cum ACB1echilateral de latur 2a se deduce ccentrele


6/23

156

cercurilor nscris i circumscris n ACB1 coincid. Deci pr(ACB1)B=O1. Analogpr(A1DC1)D=O2. Calculm nlimea cilindrului i raza sa.

3ah= (diagonala cubului) BO1-D1O2. n piramida triunghiular regulat

BAB1C avem BO1=2

12 AOAB unde AB=a, AO1=

3

2ma =

3

6

2

6

3

2 aa= ,

ma- mediana echilateral de latur a. Raza este raza cercului nscris n AB1C

echilateral de latur 2a . R= .6

6a

p

S= Deci volumul este

V= .18

3

3

3

6

322 aaahr ==

R9.2.2. Un cilindru echilateral este nscris ntr-o prismpatrulaterregulat. Esteprisma un cub? Calculai At i V pentru cilindru dacR=9.

Soluie :Rspunsul este evident afirmativ, cilindrul echilateral fiind cilindrul circular

drept cu seciunea axialptrat.Avand G=2r=10 rezulta At=150i V=500.

R9.2.3. O prismregulateste nscrisa ntr-un cilindru i un cilindru se nscrie naceastprism. Determinati raportul volumelor acestor cilindrii n cazurile n care

prisma este :1) triunghiular;2) patrulater;3) hexagonal;

Soluie:Dacr, R noteazrazele cercurilor nscrise respectiv circumscrise bazei vom

avea kR

r

hR

hr

V

v r

c

c =

=

=

2

2

1) ;43

3

36

32

=

=

=

a

a

Rrk

2) ;2

1

2

22

2

2

=

=

=

a

a

R

rk


7/23

157

3) ;4

323

2

2

=

=

=

a

a

R

rk

R9.2.4. Diagonala seciunii axiale a unui cilindru echilateral este a. Aflai volumulprismei octogonale regulate nscrise n cilindru.

Soluie :

Gsim R=4

2ai h=

2

2a. Aria bazei prismei este Ao= =

2

1

8

360sin8 2

o

R

.4

2

2

2

4

24

2

2

2 aa=

Deci volumul este V= .

442

2

4

2

2

2 332 aaaa=

=

Observaie : Invitm cititorii scalculeze volumul prismei regulate cu baza unpoligon regulat cu n laturi, nscrise n cilindru.

9.3. Piramida i sfera

Definiie: O sferse numete nscrisa ntr-o piramiddaceste tangenttuturorfeelor piramidei.

Observaie:1) Dac I este centrul sferei nscrise atunci este echidistant fat de feele

piramidei ;2) Orice muchie a bazei este perpendicularpe planul determinat de centrul sferei

nscrise i proieciile acestuia pe feele adiacentei muchiei.


8/23

158

3) I este intersecia planelor bisectoare ale unghiurilor diedre ale piramidei ireciproc.Propoziii :1) O sferpoate fi nscrisa ntr-o piramidtriunghiular.2) O sferpoate fi nscrisa ntr-o piramidregulat.

Definiie : O sferse numete circumscrisunei piramide dactoate vrfurilepiramidei se aflpe sfer.

Observaie :1) Vrfurile piramidei se aflla aceeai distantde centrul sferei.2) Centrul sferei circumscrise este punctul de intersecie al planelor mediatoare

ale muchiilor i bazelor.

3) Proiecia centrului sferei pe fiecare fateste centrul cercului circumscris feei.Recomandri : Este indicat sprecizm prin construcie centrul sferei Adesea este convenabil sconstruim o seciune auxiliarcare smpartcombinaiasfer-piramidn doupri simetrice ridicnd problema la una de geometrie plan.

Probleme rezolvate

R9.3.1. O piramidtriunghiularregulatare muchia lateralde lungime l i estenscrisa ntr-o sferde razR. Sse calculeze volumul piramidei.

Soluie :Fie SABC piramida regulatnscrisa n sfera de centru O i D mijlocul muchiei [SA].

Atunci OD=4

22 lR . SOD


9/23

159

dreptunghic n I avem AI=44

22

2

2222 lR

Rl

RllSISA == . Deoarece AI

raza cercului circumscris bazei A[ABC]=

44

33 222

2 lR

R

li volumul

v=

48

3 223

4 lR

R

l.

9.4. Trunchi de piramidi sfer

Definiie: O sferse numete nscrisa ntr-un trunchi de piramiddacea estetangentbazelor i feelor laterale ale trunchiului de piramid.Observaie :

1) Diametrul sferei este egal cu nlimea trunchiului2) Centrul sferei nscrise este la intersecia planelor bisectoare ale unghiurilor

diedre ale trunchiului de piarmid3) Raza sferei se calculeaz unind centrul cu vrfurile trunchiului mprind

trunchiul n piramide de naltime raza sferei . V=3

Sr cu S-aria total a

trunchiului.Definiie: O sfer se numete circumscris unui trunchi de piramid dac

vrfurile trunchiului se aflpe suprafaa sferei.Observaie:

1) Centrul sferei se aflla intersecia planelor mediatoare ale muchiilor.2) Proiectia centrului sferei circumscrise pe feele trunchiului coincide cu

centrele cercurilor circumscrise acelor fee.

Probleme rezolvate

R9.4.1. Un trunchi de piramidpatrulaterregulateste nscris ntr-o sferde razRaa nct baza mare a trunchiului de piramideste nscrisa ntr-un cerc mare al sferei.Latura bazei mici reprezintjumtate din latura bazei mari. Aflai volumul trunchiuluide piramid.

Soluie :

Fie ABCDABCD tetraedul dat. Volumul V= ( )''3

SSSSh

++ cu S aria bazei mari

i S aria bazei mici. Avem( )

.4

1''

' 2

2

==AB

BA

S

S Deci S= .

4

S Rezulta V= .

12

7hS Dar


10/23

160

S=AB

2

=2R

2

. Pentru a gsi OO=h lucrm n OOA dreptunghic. Deci OO=

( ) ( ) .4

3

42'''

22

2 RRROAOA == Finalizand V= .

12

37

212

237

32

RRR=

9.5. Cilindru i sfer

Definiie: O sfer se numete nscrisa ntr-un cilindru drept dac sfera estetangentsuprafeei laterale a cilindrului de-a lungul unui cerc mare al sferei situat ntr-un plan paralel cu bazele.

Observaie:1) Centrul sferei este pe axa de rotatie a cilindrului;2) Diametrul bazei cilindrului este egal cu diametrul sferei i este egal cu

nlimea cilindrului;Definiie: Un cilindru circular drept se spune c este nscris ntr-o sferdac

cercurile bazei sunt cercuri mici ale sferei.Observaie:Centrul sferei coincide cu mijlocul axei cilindrului.

Definiie: Un cilindru se numeste echilateral sau echilater dacseciunea axiala cilindrului este ptrat.

Recomandri:Este util n rezolvarea problemelor s considerm o seciune auxiliar care

imparte configuratia n doua parti simetrice, de regul s contin axa de rotatie. Deexemplu ar putea fi seciunea axial.

Probleme rezolvate

R9.5.1. Sse nscrie n sfera de raza R un cilindru de volum maxim.Soluie:

Notm cu r -raza cercului, baza a cilindrului, cu R raza sferei circumscrise i h naltimea cilindrului.


11/23

161

Avem V= r

2

h. Considerm seciunea axialABBA. n OO1A dreptunghic n O1

avem R2=r2+2

4

hsau h=

22

2 rR . Volumul V=2r2 .

22

rR Maximul lui V se

atinge pentru acelai r pentru care este atins maximul expresiei

.22

16

2222

2

2

= rR

rrV

Cum suma factorilor

22222

122 R

rRrr=

++ constant

aplicand inegalitatea echivalentcu inegalitatea mediilor

3

6

3

2222

2222

33

2222

RrRrr

rRrr

=

++

(ct.) deducem cmaximul se

atinge pentru egalitatea factorilor

222

2 rR

r= sau

3

2Rr= pentru care

Vmax= .33

4

3

R

R.9.5.2. Dintre toti cilindrii de acelai volum 2a3sse determine acela care estenscris n sfera cea mai mic.

Soluie:

Cilindrul cutat are raza .26

3

3

a R9.3.2. Se considertetraedru regulat avnd lungimea unei muchii egalcu a


12/23

162

a)Determinai razele sferelor circumscrisi nscrisn tetraedru .b)Sse arate cexisto sfercare este tangenttuturor muchiilor tetraedruluii determinate de raza ei .

c)Sse calculeze ariile seciunilor determinate n tetraedru i n sfere de unplan paralel cu una din feele tetraedrului , la o distanegalcu a patra parte dinnlimea tetraedrului .

Soluie :

a)Fie VABCD tetraedru nscris n sfercu

centrul O i Ocentrul bazei ABC , V=soV

BO=

3

2mb=

3

2a

3

3

2

3 aa= . n VBV

dreptunghic n B (VV- diametrul sferei)aplicnd teorema catetei obinem :

VB=VVVOsau a =2R6

3a. De aici

R=4

6a.

Pentru a calcula raza sferei nscrise calculm volumul tertraedrului n doumoduri :

(a) S =

4

32ai V =

2 31 3 6 2

3 4 3 12

a a a =

(b) Descompunei tetraedrul n patru tetraedre cu vrful n I i baze feele laterale , cunlimile din I raze ale sfere nscrise .

V=3

32rai rezolvnd ecuaia rezultatobinem r =

12

6

4

3 a

S

v=

b) Sfera se sprijinpe muchiile tetraedului n punctele se tangen .Segmentul careunesc cu vrf al tetraedului pnla punctele de tangensunt egale .De unde deducemc punctele de tangen coincid cu mijloacele laturile tetraedului . Cu aceast

observaie se calculeazuor raza obinnd a4

2a.

Observaie :De fapt centrul sferei este punctul de concurenal bimedianelorcongruente n tetraedru regulat .

c)Raportul de asemnare este k=4

3de aici aria seciunii n tetraedru este

S =16

9

4

32a=

64

39 2aetc.

V

BA

O1

CO

V


13/23

163

R103.3. Fie R i r razele sferelor circumscrise respectiv nscrise unei piramidepatrulatere regulate . Sse arate c:

Soluie : 2a fiind latura bazei si h nlimea, R =h

ha

2

2 2 +, r= )( 22 aha

h

a+

calculnd raportulr

R=

)11(2

2

+

+

x

x=k , unde x=

2

2

a

h obinem x +4(1+k-

k)x+4+8k=0 cu =16k(k-2k-1) , i din condiia 0 deducem k 2 +1 .

R9.3.4.Fie O un punct pe muchia AB a tetraedului ABCD . Sfera circumscris

tetraedului AOCD intersecteazBC i BD n M, respective N, iar sfera circumscristetraedrului BOCD intersecteazAC si AD n P respectiv Q . Demonstrai cOMN ~

OQPIndicaie : Folosii faptul cACMO este patrulater unscriptibil .

9.6. Con i sfer

Definiii : 1) O sfereste nscrisntr-un con circular drept daceste tangentbazeiconului n centrul acesteia i este tangentsuprafeei laterale a conului de-a lungul unuicerc situate intr-un plan paralel cu planul bazei conului.

2) Un con se spune nscris ntr-o sferdacvrful conului i cercul de bazal conului se aflpe sfer.3) Un con se numete echilater dacseciunea axiala conului este un

triunghi echilateral .

Probleme rezolvate

R9.6.1.Sse circumscrie sferei de razr conul de volum minim.Soluie : V=rh/2 .Exprimat r i h n funcie de r. Considernd o seciune axial ncon obinem un cerc de razr nscris n VAB isoscel .Folosind asemnarea VOT ~

VOA avem R/r =

)2( rhh

h

(VT= h(h-2r) din puterea punctului V n raport cu cercul) De aici

R =rh

hr

2

2

rezultV =

)2(3

22

rh

hr


14/23

164

V este minim , atunci raportulrh

hr2

22

este minim atunci cnd raportul

)2

1(h

2r

2

122 h

r

rh

rh=

.Produsul )

h

2r-(1

2

h

r este maxim cnd

h

r

h

r 21

2= sau

h=4r Aadar volumul minim dac h = 4r , R =r 2 cnd V=3

8 3r.

R9.6.2. ntr-un con sunt aezate cinci sfere egale . Patru din ele se aflpe baza conuluiastfel nct oricare din aceste patru sfere este tangent la alte dousfere de pe bazaconului i la suprafaa laterala conului . A cincea sfereste tangentcelorlalte patrusfere i la suprafaa lateral a conului .Determinai volumul conului dac sferele auraza egalcu r.

Soluie :n seciunile desenate OOOOptrat de latura 2r .n OEO,OO=2r ,OE=r 2 deci OE/OO=

2

1, adicm unghiul (OOE) =

45 . VAD OOE . Deci h = R nsh= )122(2

22 +=++ rr

rr . Acum

volumul se calculeazuor V=3

)122(3 +r.


15/23

165

Enun: S se determine aria prilor, din sfera circumscris unui cub de muchie a,determinate de planele feelor cubului.Soluie: Planele feelor cubului mpart sfera n 12 unghiuri diedre i ase patrulaterecurbilinii (corespunzator celor ase fee ale cubului). Dac x noteaz aria din sferdeterminatde m unghi diedru, iar y not. aria unui patrulater curbiliniu atunci:

4x+y=2

)33(2 a

, de unde se obine12x-6y=3a2

x=4

)32(2

a i y=2

)13(2

a

Enun: O sfernscrisntr-un con care are unghiul de la varf al seciunii axiale egal cu. n aceastsferse nscrie un con care are acelai unghi la varf n seciunea axial. Sse determine sinusul unghiului dacraportul dintre volumul primului con i al celuide-al doilea este egal cu a.

Soluie:Exprimm raza r ca raza cercului nscris n seciunea axiala conului mic

folosind formulele S=pr; S=r

abc

4; r=

1

2 sin

rG

G

+

; r=

sin

2r

Egalnd exprimrile obinem:

sin2=2

12 )(

G

rGr +

sin2= )1( 12G

r

G

r+

sin2= )1(* 12G

r

G

g

g

r+

Dar2

sin;2

sin 12

==G

r

g

r

iar3

13 1)(a

aG

g== . nlocuind obinem ecuaia trigonometric

sin2=3

1sin (1 sin )

2 2a

+


16/23

166

Folosind 2 2sin (2sin cos )2 2 = i apoi formula fundamentala trigonometriei

obinem 4sin2 31

(1 sin )(1 sin ) sin (1 sin ) / : (1 sin )sin2 2 2 2 2 2 2a

+ = + +

3

1)

2sin1(

2sin4

a=

Notm sin x=

2

obinem 4x-4x2=

3

1

aechivalent cu

(2x-1)2=1-3

1

acu x=

3

11

2

1

2

1

a+

Enun: Dou sfere de raz r i o sfer de razR, (R>r) se afl pe un plan, tangenteexterior una alteia. Sse determine raza sferei tangenttuturor sferelor i planului.

Soluie: Notm cu OR, O1, O2i Oxcentrele sferelor de raxe R, r, r, x (x este lungimearazei cutate)

Din condiiile de tangena obinem lungimiile O2OR=O1OR=R+r;OROx=R+xO1Ox=O2Ox=x+rFie M, N, P proieciilepe planul ale punctelor Ox, O2i Or unde O2este punctul detangenal sferelor de razr.Estimm lungimiile MN i (a1+a2) i din egalitatea lor obinem o ecuaie n

necunoscuta x a carei soluie pozitivva reprezenta raza cautatMN=2 R r ; 2221 44 rRrrxraa +=+

222 ()442 rRrrxrRx =

4|:44)4(44 222 rRrrxrrxrRxRx =+

xRrRrxRrrRxrxrRxRrrxRx 222 4)(;)4( =+=+ x2(R+r)2-2Rr x(R+r)+R2r2=4Rrx2-Rr2xx2(R2+2Rr+r2-4Rr)-x Rr(2R+2r-r)+R2r2=0x2(R-r)2-xRr(2R+r)+R2r2=0=R2r2(2r+r)2-4R2r2(R-r)2=R2r2[4R2+4Rr+r2-4R2+8Rr-4r2]=R2r2[12Rr-3r2]3R2r2 [4Rr-r2]

x1,2= 2

2

)(2

)4(3)2(

rR

rRrRrrRRr

++


17/23

167

Observm c ambele soluii sunt pozitive. Algebric deducem c exist dou sferesimultan tangente celor trei i planului una n spaiul dintre sfere i plan i una n afarasferelor, lateral acestora.

RO= 2

2

)(2

])4(32[

rR

rRrrRRr

++

RO= 2

2

)(2

])4(32[

rR

rRrrRRr

+

9.7. Prismi con

Definiie: o prisma este nscris intr-un con circular drept dac toate vrfurile bazeisuperioare a prismei se aflpe suprafaa laterala conului; iar baza inferioara prismeise afla pe baza conului.

Probleme rezolvate

R9.7.1 Generatoarea uni con are lungimea l i formeazcu nlimea conului unghiul. n con se nscrie o prismhexagonalregulat. Determinai aria prismei. Pentru cevaloare a lui aceastsuprafaeste cea mai mare, daca l este constant ?

R9.7.2 Un con este nscris ntr-un cub astfel nct baza conului este nscrisn una dinfeele cubului, iar vrful conului este centrul feei opuse. Determinai raportulvolumelor cubului i conului.

M N

Rx

x+R

Ox

x+rR+r

R+r

Q

x+r

O1

O2

P

r

r


18/23

168

Soluii : R9.7.1 Aprism=)4/(sin4

2sin32

22

+

l ; =/4

3lsin2/4sin(/4+) ; =/4.

R9.7.2 nlimea conului este ct muchia cubului : Raza bazei este apotema. Deci

Vcon=12

3aa/12 . Vcub=a . Vcon/Vcub=/12.

9.8. Sferi trunchi de con

Definiii: 1) O sfer se numete nscris intr-un trunchi de con dac este tangentbazelor trunchiului n centrele lor i suprafeei laterale a trunchiului.

2) Un trunchi de con este nscris intr-o sfer dac cercurile bazelortrunchiului sunt cercuri pe sfer.

Probleme rezolvate

R9.8.1 Un trunchi de con este circumscris unei sfere. tiind c generatoarea

trunchiului face cu planul bazei un unghi de msura , sse afle raportul volumelortrunchiului de con care se formeazprin secionarea trunchiului da cu planul dus princercul su de tangencu sfera.R9.8.2. Dou sfere sunt tangente exterior. S se afle aria laterala i volumultrunchiului de con care are ca baz cercurile de tangen cu cele dou sfere alesuprafeei laterale a conului circumscris sferelor.R9.8.3. Un trunchi de con este circumscris unei sfere de raz r i este nscris ntr-osferde razR. Cunoscnd distana d dintre centrele celor dousfere sse calculezevolumul trunchiului de con.


19/23

169

Soluii:Enun: Un trunchi de con este circumscris unei sfere de raz r i este nscris ntr-osfera de razR. Cunoscnd distana d dintre centrele celor dousfere, sse calculezevolumul trunchiului de con.Soluie: Raionnd ntr-o seciune axiala trunchiului observm c:h=2r;

R1=2

2 )( drR

R2= 22 )( drR + nlocuind n formula volumului

V=

3

h(R1

2+R22+R1R2)

Obinem

V=2

3

r(R2-(r-d)2+R2-(r+d)2)+ ])(][)([ 2222 drRdvR + )

In AO1B observm cm(AO1B) = 180O - m(O1O1A) - m(BO1O

2) = m(O1BO2) +

m(O1AO1)=

2

1m(ABO2) +

2

1m(BAO1) =

2

1[m(ABO2)+ m(BAO1)] =

2

1 180O= 90O

Dac C este punctul de tangent atunci O1C2 = BC AC (Teorema nlimii in

AO1B). scrisn termenii dai relaia este r2=R1R2

deci V=3

2 r(R2 (r - d)2+ R2- (r + d)2+ R1R2) =

3

2 r(2R2- 2r2 2d2+ r2)

=3

2 r(2R2 r2 2d2)

V2

A

B

C

O

O1

R

O2

R1

R2

d

v-dR

v

v


20/23

170

Enun:Dousfere de centru O1 i O2 au razele R1 i R2 i sunt tangente exterior. Sse aflearia lateral i volumul trunchiului de con, care are ca baze cercurile de tangen cucele dousfere ale suprafeei laterale a conului circumscris sferelor.

M

N

O1

O2

90O-

2 RR

A

B

C

D

O1 O2

R1 R2

M N

R rV


21/23

171

Soluie: Gsim generatoarea trunchiului G=2 21RR . n trapez Dac notm cu =

m(AO1O2) = m(CO2V) (alterne interne) Obinem R=R1sin; r=R2sin. ns raionnd

n trapezul AO1O2C sin =21

212

RR

RR

+i cos =

21

21

RR

RR

+

.

nlimea MN = h = R1+R2 - cos (R1 - R2) = R1+R2-21

21 )(

RR

RR

+

=

21

221

221 )()(

RR

RRRR

+

+=

21

214

RR

RR

+

Putem calcula

Al= G(R + r) = 2 21RR (R1+R2)sin = 2 21RR (R1+ R2)

)(

2

21

21

RR

RR

+= 4R1R2

V= 1 2 1 22 2 2 21 2 1 21 2 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 24 4( ) [( ) ( ) ]

3 3 ( )

+ + = + +

+ + + +

R R R RR R R RhR r Rr R R R R

R R R R R R R R=

=3 3 2 2 2 2

2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 22 3

1 2 1 2 1 2

4 4 4 4 16 ( )

3 ( ) 3 ( )

+ += + +

+ + +

R R R R R R R R R RhR R R R

R R R R R R

=

=3

21

2221

21

22

21

)(3

)(16

RR

RRRRRR

+

++

Enun: Un trunchi de con este circumscris unei sfere. tiind cgeneratoareatrunchiului face cu planul bazei mari un unghi de msura , s se afle raportulvolumelor trunchiurilor de con care se formeaz prin secionarea trunchiului dat cuplanul dus prin cercul su de tangena cu sfera.(caz particular =60O)

SoluieVom exprima att R ct i nlimile celor doutrunchiuri de con n funcie de r raza

sferei nscrise. Lucrnd ntr-o seciune axialobinem:H=2R

R1+ R2=sin

h RezultR1=r

sin

cos1+ R2= r

sin

cos1

R1- R2=cos

sin

h

Patrulaterul OO1BM este inscriptibil deci m(OOm) = aadar R = r sinapoih1= r(1 - cos) iar h2= 2r h1= r(1 + cos)


22/23

172

V1=3

1h (R22+R2+R2 R)= ]cos1sinsin

)cos1()[cos1(3

22

23

++r

V2 =3 2

2 2 221 1 2

(1 cos )( ) (1 cos )[ sin 1 cos ]

3 3 sin

++ + = + + + +

h rR R R R

Folosind formula fundamentala trigonometriei obinem

2 22 2 31

2

(1 cos ) (1 cos )(cos 3cos 3) / (3 cos cos cos )

1 cos 1 cos

+= + + + =

+

V

V

=2

32 3

1 cos cos 3cos 3( ) 1 cos 3 cos cos cos

+ +

+ +

Cazul particular =60Oimpune R1=r 3 ; R2=r33

h1=r2

1h2=r

2

3R=r

2

3

2 2 2

1

2 22 2

3 3 3 3 32 (3 ) ( )1 15 33 4 4 1 4 43 1 3 13 13( )3 12 3 4 2( )3 3 4 2

+ + + ++

= = =+ +

+ +

r

r r rV

rVr

r r

A B

CD

N M

r

r

R

R1

R2

O1

O

O

O2

R1

R2


23/23

173

Enun: Dousfere de aceeai razr sunt tangente una alteia. Determinai raza sfereitangente feelor unghiului diedru precum i sferelor date.

Soluie: Exprimm sinO

MNOP=

2

Echivalent sin242 xxr

rx

+

=

Prin ridicare la ptrat scriem ecuaia:

(x-r)2 = sin2 )4(22xxr+

x2(1-2sin2 2

)- x r(1+2sin2 2

)+r2=0

x2 cos 2x r(2-cos) + r2= 0=4r2 (2 - cos)2 4r2cos==4r2(4 4cos+ cos2- cos)==4r2(4 5cos+ cos2)==4r2(cos-1)(cos-4) > 0

x1,2=

cos2

)4)(cos1(cos2)cos2(2 + rr=

=

cos

])4)(cos1(coscos2[ +r

Observaie Deducem cexistdousfere cu proprietatea cutat

R0 =

cos

])4)(cos1(coscos2[ +r

r0=

cos

])4)(cos1(coscos2[ r

Bibliografie

[1] Manual pentru clasa a X-a:-Edit. MATHPRESS, M.GANFA;2000[2] Teme alese de geometrie- Edit. Plus Bucureti[3] Olimpiade i concursuri- ARTUR BALAUC, Edit. TAIDA,Iasi 2002[4] Matematici pentru concursuri colare- T. Andreescu+Col; Edit. GIL-ZALU,2001.

Documents

0809 Corpuri Inscrise Si Circumscrise