07_Otpornost Celicnih Konstrukcija Kod Potresa - Numericki Primjer 14_15

Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije

http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)

Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer

prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 1

OTPORNOST ČELIČNIH KONSTRUKCIJA

KOD POTRESA - NUMERIČKI PRIMJER

SADRŽAJ

1. OPĆENITO ........................................................................................................................................................ 3

1.1. KARAKTERISTIKE MATERIJALA ................................................................................................................... 3 1.2. GEOMETRIJA ............................................................................................................................................... 3 1.3. STATIČKI SUSTAV ....................................................................................................................................... 4

2. OPTEREĆENJA ............................................................................................................................................... 4

2.1. ANALIZA OPTEREĆENJA .............................................................................................................................. 4 2.1.1. Međukatna konstrukcija ........................................................................................................................ 4 2.1.2. Pregradne stijene .................................................................................................................................. 5 2.1.3. Stupovi ................................................................................................................................................... 5 2.1.4. Nosači.................................................................................................................................................... 5

3. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE ....................................................................................................... 6

3.1. KRITERIJI ZA KONSTRUKCIJSKU PRAVILNOST.............................................................................................. 6 3.1.1. Općenito ................................................................................................................................................ 6

3.1.1 KRITERIJI ZA GEOMETRIJSKU PRAVILNOST U TLOCRTU ............................................................................... 6 3.1.2. Kriteriji za geometrijsku pravilnost u presjeku ..................................................................................... 6 3.1.3. Zaključak ............................................................................................................................................... 6

4. POTRESNO DJELOVANJE ............................................................................................................................ 6

4.1. OPĆENITO ................................................................................................................................................... 6 4.2. FAKTOR PONAŠANJA Q ................................................................................................................................ 7 4.3. RAČUNSKI SPEKTAR ODZIVA ....................................................................................................................... 7 4.4. KOMBINACIJE DJELOVANJA ZA SEIZMIČKU RAČUNSKU SITUACIJU .............................................................. 8

5. ANALIZA UČINKA POTRESA PREMA MODALNOJ METODI NA TEMELJU SPEKTRA

ODZIVA ............................................................................................................................................................. 9

5.1. OPĆENITO ................................................................................................................................................... 9 5.2. ANALIZA U POPREČNOM SMJERU (SMJER X) ................................................................................................ 9

5.2.1. Proračun masa ...................................................................................................................................... 9 5.2.2. Određivanje matrice krutosti i matrice fleksibilnosti .......................................................................... 10 5.2.3. Učinak potresa .................................................................................................................................... 12 5.2.4. Unutarnje sile i momenti savijanja uslijed djelovanja potresa ........................................................... 13 5.2.5. Djelovanje torzije ................................................................................................................................ 15 5.2.6. Unutarnje sile i momenti u poprečnom smjeru x ................................................................................. 17

5.3. DOKAZ ZA POPREČNI SMJER ...................................................................................................................... 17 5.3.1. Općenito .............................................................................................................................................. 17 5.3.2. Krajnje granično stanje ....................................................................................................................... 18 5.3.3. Granično stanje uporabe (ograničenje oštećenja) .............................................................................. 19

5.4. ANALIZA U UZDUŽNOM SMJERU (SMJER Y) ............................................................................................... 19 5.4.1. Proračun masa .................................................................................................................................... 19

http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3





5.4.2. Određivanje matrice krutosti i matrice fleksibilnosti .......................................................................... 20 5.4.3. Učinak potresa .................................................................................................................................... 22 5.4.4. Unutarnje sile i momenti savijanja uslijed djelovanja potresa ........................................................... 23 5.4.5. Djelovanje torzije ................................................................................................................................ 24 5.4.6. Unutarnje sile i momenti u uzdužnom smjeru y ................................................................................... 26

5.5. DOKAZ ZA UZDUŽNI SMJER ....................................................................................................................... 27 5.5.1. Općenito .............................................................................................................................................. 27 5.5.2. Krajnje granično stanje ....................................................................................................................... 27 5.5.3. Granično stanje uporabe (ograničenje oštećenja) .............................................................................. 28






1. OPĆENITO

U ovome primjeru analizira se ponašanje čelične konstrukcije uslijed djelovanja potresa. Vertikalna

stabilizacija u poprečnom smjeru osigurana je dvoetažnim okvirom koji su zglobno oslonjeni na temelje.

U uzdužnom smjeru stabilizacija konstrukcije osigurana je vezovima izvedenim s vlačnim dijagonalama.

Horizontalna stabilizacija predviđena je AB pločama koje djeluju kao posmične dijafragme u korovnoj

ravnini kao i u ravnini kata.

1.1. Karakteristike materijala

Kvaliteta čelika: S 235

Gustoća: 3m/kN5,78 odnosno:

3m/kg7850

Modul elastičnosti: E = 210 000 N/mm2

Poissonov koeficijent: 3,0

Modul posmika: 25

/76980)3,01(2

101,2

)1(2mmN

EG

1.2. Geometrija

Slika 1. Tlocrt, uzdužni presjek i poprečni presjek






1.3. Statički sustav

Slika 2. Poprečni presjek

Slika 3. Uzdužni presjek

2. OPTEREĆENJA

2.1. Analiza opterećenja

2.1.1. Međukatna konstrukcija

Stalna djelovanja:

Debljina ploče 28 cm: 3,85 kN/m2

Slojevi poda, 10 cm: 1,60 kN/m2

Vapneno-cementna žbuka debljine 1,5 cm: 0,30 kN/m2

Karakteristično stalno djelovanje: kg = 5,75 kN/m2






Promjenjiva djelovanja:

Karakteristično promjenjivo djelovanje kq = 5,00 kN/m2

Dodatno korisno djelovanje na zahtjev naručitelja: 4,00 kN/m2

Ukupno karakteristično promjenjivo djelovanje: kq = 9,00 kN/m2

Krovna konstrukcija: 0,40 kN/m2

Karakteristično stalno djelovanje kg = 0,40 kN/m2

Dodatno promjenjivo djelovanje: kq = 1,00 kN/m2

Opterećenje snijegom: ks = 1,70 kN/m2

Opterećenje vjetrom kw =:-0,8 kN/m2; 0,6 kN/m2

Za slučajeve opterećenja vjetrom i snijegom usvajaju se pojednostavljene pretpostavke.

2.1.2. Pregradne stijene

Pregradne stijene predviđene su kao sendvič elementi težine kg = 1,00 kN/m2

2.1.3. Stupovi

Prema konceptu niske razgradnje seizmičke energije svi primarni elementi (seizmički) pripadaju klasama

poprečnih presjeka 1, 2 ili 3. Za početnu vrijednost stupa odabrana je vrijednost HEB 300 s vlastitom

težinom 1,17 kN/m. Poprečni presjek stupa svrstan je u klasu 1.

Stup (HEB 300): 1,17 kN/m (Klasa presjeka 1)

2.1.4. Nosači

Za uzdužne i poprečne nosače na koti +3,00 odabrani su:

Uzdužni nosači: IPE 300

Poprečni nosači: HEB 300

Za uzdužne i poprečne nosače na koti +6,00 odabrani su:

Uzdužni nosači: IPE 300

Poprečni nosači: IPE 300

Uzdužni nosači (IPE 300) : 0,42 kN/m (Klasa presjeka 1)

Poprečni nosači (IPE 300): 0,42 kN/m (Klasa presjeka 1)

Poprečni nosači (HEB 300): 1,17 kN/m (Klasa presjeka 1)






3. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE

3.1. Kriteriji za konstrukcijsku pravilnost

3.1.1. Općenito

Konstrukcijska pravilnost prema EN 1998-1:2004, točka 4.2.3 predviđena je za tlocrt (horizontalna

pravilnost) i presjek (vertikalna pravilnost).

3.1.1 Kriteriji za geometrijsku pravilnost u tlocrtu

Konstrukcijska pravilnost u tlocrtu se ocjenjuje prema EN 1998-1:2004

EN 1998-1:2004, točka 4.2.3.2 (2) Kriterij je zadovoljen


EN 1998-1:2004, točka 4.2.3.2 (4) Kriterij nije mjerodavan

EN 1998-1:2004, točka 4.2.3.2 (5) 414,20,7

0,15

l

l

min

max Kriterij je zadovoljen

EN 1998-1:2004, točka 4.2.3.2 (6) Provjera pravilnosti u tlocrtu je relativno jednostavna tako da nema

ekscentriciteta e0x i e0y tako da nije potreban točan dokaz konstrukcije na torziju.

3.1.2. Kriteriji za geometrijsku pravilnost u presjeku

Konstrukcijska pravilnost u presjeku se ocjenjuje prema EN 1998-1:2004, točka 4.2.3.3


EN 1998-1:2004, točka 4.2.3.3 (3) Kriterij nije zadovoljen

Mase na koti +3,00 su daleko veće od onih na koti + 6,00. To znači da uvjet postupnog smanjenja masa

od temelja do vrha zgrade nije zadovoljen.

EN 1998-1:2004, Točka 4.2.3.3 (4) Kriterij nije zadovoljen

Nejednolika raspodjela masa daje različita naprezanja u katovima. Dimenzije stupova između katova su

jednake, tako da u drugoj etaži omjer stvarne otpornosti i potrebne otpornosti u odnosu na taj omjer u

prvoj etaži osjetno odstupa.

EN 1998-1:2004, Točka 4.2.3.2 (5) Kriterij nije mjerodavan

3.1.3. Zaključak

Kriteriji pravilnosti tlocrta su zadovoljeni. Međutim, kriteriji pravilnosti presjeka nisu zadovoljeni. U tom

slučaju potrebno je provesti modalnu analizu pomoću spektra odziva.

4. POTRESNO DJELOVANJE

4.1. Općenito

Faktor važnosti konstrukcije odabran je za kategoriju 2 tako da je: 0,1I

Horizontalno ubrzanje tla gRIg aa prema EN 1998-1:2004, točka 3.2.2.2






2gR s/m03,1a

Vertikalno ubrzanje tla 0,45vg gRa a prema EN 1998-1:2004, točka 3.2.2.3 (1);

20,46 /vga m s

Vertikalni učinak potresa nije potrebno uzeti u obzir ukoliko je zadovoljen uvjet 22,5 /vga m s . U ovom

slučaju ovaj je uvjet zadovoljen.

U ovisnosti kategorije tla B definirani su parametri elastičnog spektra odziva tipa 1:

S = 1,2; TB = 0,15 s; TC = 0,5 s; TD = 2,0 s;

Kriterij za vrlo nisku razinu seizmičnosti:

2 21,0 1,03 1,2 1,236 / 0,49 /I gRa S m s m s Uvjet nije zadovoljen

Kriterij za nisku razinu seizmičnosti:

2 21,0 1,03 1,2 1,236 / 0,98 /I gRa S m s m s Uvjet nije zadovoljen

Prema kriterijima iz EN 1998:2004, točka 3.2.1(4), razina seizmičnosti je visoka.

Proračun će se provesti pomoću dva ravninska modela.

4.2. Faktor ponašanja q

Faktor ponašanja q može se odabrati sa vrijednosti q = 2,0 jer je predviđeno ponašanje konstrukcije s

niskom razgradnjom seizmičke energije (kozervativno). Obzirom na to da nije zadovoljen uvjet

pravilnosti presjeka faktor ponašanja treba reducirati s vrijednošću 0,8. Faktor ponašanja za određivanje

računskog spektra odziva iznosi:

6,18,02q

4.3. Računski spektar odziva

Za horizontalne komponente potresnog djelovanja, računski spektar Sd(T) je definiran prema sljedećim

izrazima (vidi sliku 4.)

3

2

q

5,2

T

T

3

2Sa)T(S:TT0

BgdB

3

2

6,1

5,2

15,0

T

3

22,103,1)T(S:15,0T0 d

q

5,2Sa)T(S:TTT gdCB






93,16,1

5,22,103,1)T(S:5,0T15,0 d

g

Cg

dDC

a

T

T

q

5,2Sa

)T(S:TTT

03,12,0

T

5,0

6,1

5,22,103,1

)T(S:0,2T5,0 d

g

2

DCg

dD

a

T

TT

q

5,2Sa

)T(STT

03,12,0

T

0,25,0

6,1

5,22,103,1

)T(ST0,2 2d

Računski spektar odziva prikazan je na slici 4.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.0

0

0.5

0

1.0

0

1.5

0

2.0

0

2.5

0

3.0

0

3.5

0

Sd(T)

T

Slika 4. Računski spektar odziva

4.4. Kombinacije djelovanja za seizmičku računsku situaciju

1i

i,ki,2Edj,k Q""A""P""G ( EkIEd AA )

8,0skladište,2 (za kategoriju E prema EN 1990:2002,točka A.1.2.2)

0,0krov,2 (za kategoriju H prema EN 1990:2002, Točka A.1.2.2)

0,0snijeg,2 (za mjesta niža od 1000 m.n.v. prema EN 1990:2002, točka A.1.2.2)

0,0vjetar,2 (prema EN 1990:2002, točka A.1.2.2)






5. ANALIZA UČINKA POTRESA PREMA MODALNOJ

METODI NA TEMELJU SPEKTRA ODZIVA

5.1. Općenito

Učinak potresa i analiza provest će se prema modalnoj analizi.

Za određivanje progiba tj. horizontalnih pomaka primijenit će se princip virtualnih sila.

dxEI

MMw

5.2. Analiza u poprečnom smjeru (smjer x)

5.2.1. Proračun masa

Utjecajne površine za proračun masa po katovima prikazane su na slici 5.

Slika 5. Mjerodavne površine za proračun masa

Matrica masa dobiva se uzimanjem u obzir utjecajnih površina prema tablicama 1. i 2.

kg405000,0

00,051240m~






Tablica 1. Masa m1 na koti +3,00

Element Količina

Utjecajne dužine Opt. Težina Masa

Faktor

Komb.

masa lE bE hE kN/m

kN/m2 m kN t i,E t

Stalna djelovanja

Uzdužmi nosač IPE

300 2,00 5,00 0,42 4,20 0,43 0,43

Poprečni nosač

IPE 300 1,00 7,00 1,17 8,19 0,83 0,83

Stupovi

HEB 300 2,00 3,00 1,17 7,02 0,72 0,72

Ploča 1,00 5,00 7,00 5,75 201,3 20,51 20,51

Zid 2,00 5,00 3,00 1,00 30,0 3,06 3,06

Ostala djelovanja

Korisno opterećenje

ploči 1,00 5,00 7,00 9,00 315,0 32,11 0,80 25,69

Masa m1: 51,24


Element Količina

Utjecajne dužine Opt. Težina Masa

Faktor

Komb.

masa lE bE hE kN/m

kN/m2 kom m kN t i,E t

Stalna djelovanja

Uzdužni nosač IPE 300 2,00 5,00 0,42 4,20 0,43 0,43

Poprečni nosač

IPE 300 1,00 7,00 0,42 2,94 0,30 0,30

Stupovi

HEB 300 2,00 1,50 1,17 3,51 0,36 0,36

Ploča 1,00 5,00 7,00 0,40 14,0 1,43 1,43

Zid 2,00 5,00 1,50 1,00 15,0 1,53 1,53

Ostala djelovanja

Opterećenje snijegom 1,00 5,00 7,00 1,70 59,50 6,07 0,00 0,00

Korisno opterećenje na

krovu 1,00 5,00 7,00 1,00 35,00 3,57 0,00 0,00

Masa m2: 4,05

5.2.2. Određivanje matrice krutosti i matrice fleksibilnosti

Horizontalni pomaci sustava određuju se jediničnim silama na koti +3,00 i koti +6,00

Horizontalni pomaci uslijed jedinične sile na koti +3,00 prikazani su na slici 6.

Kota +3,00: mm17,0u11

Kota +6,00: mm24,0u12






Slika 6. Jedinična sila na koti +3,00


Kota +3,00: mm24,0u21

Kota +6,00: mm41,0u22


Matrica fleksibilnosti glasi:

N/m7,0E10,407E40,2

07E40,207E70,1

uu

uua~

2221

1211

Matrica krutosti:

N/m78,5860491474,71083419

74,7108341952,29788433a~k

~ 1

Dinamička matrica

03E661,102E230,1

04E720,903E711,8m~a~d

~

Za dinamičku matricu odredit će se samo vlastite vrijednosti i vlastiti vektori. Na slici 8. su prikazane

koordinate prvog vlastitog oblika 1 i drugog vlastitog oblika 2 iz matrice vlastitog vektora (modalne

matrice), koji su normirani na vrijednost 1 (vidi sliku 8).






115,0688,0

00,100,1

21

x

Slika 8. Vlastiti oblici

5.2.3. Učinak potresa

Vlastite kružne frekvencije iz kojih slijede vlastite frekvencije f mogu se odrediti iz vlastitih

vrijednosti dinamičke matrice:

04E48,2

02E01,1j ;

f21

;

Hz11,10

58,1f j

;

s099,0

63,0Tj

.

Za određene vlastite periode dobivaju se iz računskog spektra odziva sljedeće vrijednosti spektra odziva

(vidi sliku 4.):

554,1

931,1)T(Sd

Za proračun spektra odziva potrebna je modalna analiza, kako bi se povezani sustav jednadžbi sustava sa

više stupnjeva slobode raščlanio na sustav jednadžbi sa jednim stupnjem slobode.

oblik

oblik






Faktor učešća iznosi:

.kg23,8351

48,31139em~

~ T*j

Ukoliko se svi stupnjevi slobode sustava nalaze u smjeru ubrzanja tla, faktor prijenosa e

postaje jedinični

faktor.

Modalne mase dobivaju se korištenjem uvjeta ortogonalnosti vlastitih oblika:

,kg96,725400,0

00,065,31528~m~

~m~ T*

U gornjem izrazu sa *m~ označena je matrica modalnih masa.

Iznos j-tog stanja vlastitih oblika za djelovanje potresa k-tog kata dobiva se prema sljedećem izrazu:

).T(Smm

F jdj,kk*j

*j

j,k

Doprinosi stanja 1 i 2 vlastitih oblika predočeni su u sljedećoj matrici:

Mod.2Mod.1

2

1j,k

03,444251,85710

53,551331,53194

)m0,6(F

)m0,3(FF~

Efektivne mase (zamjenske mase) dobivaju se iz:

*2

, *e jmm

Omjer efektivnih udjela masa u odnosu na ukupnu masu (faktor zamjenske mase) dobiva se iz izraza:

m

m je

j

,

U konkretnom slučaju dobivaju se sljedeći faktori

.013,0;987,0 21

Prema EN 1998-1:2004 suma efektivnih modalnih masa mora iznositi najmanje 90% ukupne mase

građevine. Također, modalni doprinos efektivnih modalnih masa mora se uzeti u obzir ukoliko je taj

doprinos veći od 5% ukupne mase. Na taj način potrebno je uzeti u obzir samo prvi vlastiti oblik.

5.2.4. Unutarnje sile i momenti savijanja uslijed djelovanja potresa

Horizontalne sile koje su dobivene iz prvih vlastitih oblika iznose:

kN86,10

kN53,94

)m0,6(F

)m0,3(F

2

1

Raspodjele momenta savijanja, poprečnih i uzdužnih sila prikazane su na slikama 9., 10. i 11.






Slika 9. Momenti savijanja u kNm

Slika 10. Poprečne sile u kN

Slika 11. Uzdužne sile u kN






5.2.5. Djelovanje torzije

Prema normi EN 1998 kod razmatranja dva ravninska modela potrebno je uzeti u obzir slučajno

djelovanje torzije. Istovremeno, kod primjene ta dva ravninska modela potrebno je za slučajni

ekscentricitet uzeti dvostruku vrijednost. Napone u pojedinim elementima potrebno je pomnožiti s

koeficijentom .

2,1L

x)26,0(1

e

Slika 12. Slučajno djelovanje torzije

Na slici 13. prikazane su oznake elemenata:

Slika 13. Oznake elemenata

Unutarnje sile i momenti savijanja koji su dobiveni uzimajući u obzir slučajno djelovanje torzije prikazani

su na slikama 14., 15. i 16.






Slika 14. Momenti savijanja

Slika 15. Poprečne sile

Slika 16. Uzdužne sile






Unutarnje sile i momenti savijanja (Mz, Fy, Fx) prikazani su u tablici 3.

Tablica 3. Unutarnje sile i momenti savijanja

Element Čvor Moment savijanja Mz Poprečna sila Fz Uzdužna sila Fx

kN.m kN kN

1 I 0,000 -63,556 59,786

1 J 190,67 -63,556 59,786

2 I 16,959 -6,1731 10,166

2 J 35,478 -6,1731 10,166

3 I 35,478 10,166 -6,8569

3 J -35,684 10,166 -6,8569

4 I -35,684 -6,8569 -10,166

4 J -15,114 -6,8569 -10,166

5 I -188,74 -62,914 -59,786

5 J 0,000 -62,914 -59,786

6 I 173,71 49,62 -56,057

6 J -173,63 49,62 -56,057

5.2.6. Unutarnje sile i momenti u poprečnom smjeru x

Kombinacija djelovanja u slučaju seizmičke računske kombinacije glasi:

;QAGE i,ki,2Edj,kd

).Q0,0Q0,0QQ8,0(AGE snijegvjetarkrov_korisnospremište_.korEdj,kd

5.3. Dokaz za poprečni smjer

5.3.1. Općenito

Dokaz mora sadržavati krajnje granično stanje (izbjegavanje kolapsa) i granično stanje uporabe

(ograničenje oštećenja). Dokaz važi za zgrade, koje u pogledu važnosti ne pripadaju kategoriji 4, ukoliko

su sadržani sljedeći uvjeti:

EN 1998-1:2004, točka 4.4.1 (2a) Uvjet nije zadovoljen

Ukupna poprečna sila u slučaju djelovanja potresa iznosi:

kN47,126)556,63914,62(0,1VEd

Ukupna poprečna sila u kombinaciji s vjetrom dobiva se iz opterećenja vjetrom za visinu zgrade koja

iznosi 6 m:

;m/kN0,4wD ;m/kN0,3wS

kN63)6364(5,1VEd

Prema EN 1998-1:2004, točka 4.4.1 (2b) zahtjev nije zadovoljen.

Kriterij pravilnosti presjeka također nije zadovoljen (vidi točku 3.1.3)

Napomena: Na temelju EN 1998 točka 4.4.1. za provedbu dokaza potresa može se provesti procjena

postoji li druga mjerodavna kombinacija djelovanja koja daje veći učinak od potresne.






Kod pravilne zgrade obzirom na tlocrt i presjek, koja nije svrstana u kategoriju 4. preporuča se provjeriti

uvjet prema točki 4.4.1. (2a) prije modalne analize.

Ako se držimo ovog zahtjeva osjetno se skraćuje postupak proračuna.

Procjena ukupne poprečne sile dobiva se prema izrazu: .mSF db

Za određivanje računskog spektra Sd faktor ponašanja q može se usvojiti konzervativno s vrijednosti q

=1,5. Masa i faktor korekcije odrede se prema EN 1998:2004, točka 4.3.3.2.2.

Ako je ukupna poprečna sila uslijed potresa manja od druge računske kombinacije (npr. vjetar) nije

potreban dokaz prema EN 1998 i dimenzioniranje se provodi prema EN 1993-1-1.

5.3.2. Krajnje granično stanje

Krajnje granično stanje definirano je izrazom:

dd RE

Utjecaj teorije 2. reda nije potrebno uzeti u obzir ukoliko je zadovoljen slijedeći uvjet:

.10,0hV

dP

tot

rtot

Za prvi kat vrijedi:

;81,9mmP 21tot

;kN39,54281,905,424,51Ptot

;kN47,126VV Edtot

.mm84,35ddd 00,0kota,s00,3kota,sr

Proračun horizontalnog pomaka dobiva se prema izrazu

;dqd eds

;mm00,0d 00,0kota,s

.mm84,354,226,1d 00,3kota,s

Koeficijent za kat iznosi:

10,005,0000374,126

84,3539,524

Za krov vrijedi:

;81,9mP 2tot

;kN73,3981,905,4Ptot

;kN03,13857,6173,6Vtot

mm2,15ddd 00,3kota,s00,6kota,sr






Proračun horizontalnog pomaka iznosi

;dqd eds

.mm84,354,226,1d 00,3kota,s

.mm04,519,316,1d 00,6kota,s

Koeficijent za krov iznosi:

10,00015,0300003,13

2,1573,39

Uvjeti za kat i za krov su zadovoljeni što znači da se utjecaj teorije drugog reda ne uzima u obzir.

Napominje se da je potrebno dokazati i ostale kriterije krajnjeg graničnog stanja.

5.3.3. Granično stanje uporabe (ograničenje oštećenja)

Međusobni pomak katova potrebno je ograničiti. U ovom slučaju uvjet za zgrade koje posjeduju duktilne

ne konstrukcijske elemente vrijedi:

hdr 0075,0

Koeficijent smanjenja usvaja se s vrijednosti 5,0

Za kat: 5,2282,17:vrijedimm64,35dr

Za krov : 5,226,7:vrijedimm2,15dr

5.4. Analiza u uzdužnom smjeru (smjer y)

5.4.1. Proračun masa

Utjecajne površine za proračun masa po katovima prikazane su na slici 17.

Slika 17. Mjerodavne površine za proračun masa

Matrica masa dobiva se uzimanjem u obzir utjecajnih površina prema tablici 4. i tablici 5.






.kg746000,0

00,079770m~


Element Količina

Utjecajne dužine Opt. Težina

Ma

sa

Faktor

Komb.

masa lE bE hE kN/m

kN/m2 kom m kN t i,E t

Stalna djelovanja

Uzd. nosač IPE

330 1,00 15,00 0,42 6,30 0,64 0,64

Popr. nosač

IPE 300 4,00 3,50 1,17 16,38 1,67 1,67

Stupovi

HEB 300 4,00 3,00 1,17 14,04 1,43 1,43

AB rebr. ploča 1,00 15,00 3,50 5,75 301,9 30,77 30,77

Poprečni zid 2,00 3,50 3,00 1,00 21,00 2,14 2,14

Uzdužni zid 1,00 15,00 3,00 1,00 45,00 4,59 4,59

Ostala djelovanja

Kor. opt.na krovu 1,00 15,00 3,50 9,00 472,5 48,17 0,80 38,53

Masa m1: 79,77


Element

Količina Utjecajne dužine Opt. Težina Masa

Faktor

Komb.

masa kom

lE bE hE kN/m

kN/m2 m kN t i,E t

Stalna djelovanja

Uzd. nosač IPE 300 1,00 15,00 0,42 6,30 0,64 0,64

Popr. nosač

IPE 330 4,00 3,50 1,50 0,42 5,88 0,60 0,60

Stupovi

HEB 300 4,00 1,17 7,02 0,72 0,72

Krovna ploča 1,00 15,00 3,50 0,40 21,00 2,14 2,14

Poprečni zid 2,00 3,50 1,50 1,00 10,50 1,07 1,07

Uzdužni zid 1,00 5,00 1,50 1,00 22,50 2,29 2,29

Ostala djelovanja

Optereć. snijegom 1,00 15,00 3,50 1,70 89,25 9,10 0,00 0,00

Korisno opterećenje na

krovu 1,00 5,00 3,50 1,00 52,50 5,35 0,00 0,00

Masa m2: 7,46

5.4.2. Određivanje matrice krutosti i matrice fleksibilnosti

Horizontalni pomaci sustava određuju se jediničnim silama na koti +3,00 i koti +6,00


Kota +3,00: mm016,0u11

Kota +6,00: mm016,0u12








Kota +3,00: mm016,0u21

Kota +6,00: mm033,0u22


Matrica fleksibilnosti glasi:

N/m08E30,308E60,1

08E60,108E60,1

uu

uua~

2221

1211

Matrica krutosti:

.m/N41,5298235841,52982358

41,5298235841,529323121a~k

~ 1

Dinamička matrica

04E462,203E267,1

04E194,103E267,1m~a~d

~

Određivanje vlastitih vektora:

1 : prvi vlastiti oblik;

2 : drugi vlastiti oblik;

103,0910,0

00,100,1

21

x






Vlastiti oblici prikazani su na slici 29.

Slika 20. Vlastiti oblici

5.4.3. Učinak potresa

Vlastite kružne frekvencije i vlastite frekvencije f mogu se odrediti iz vlastitih vrijednosti

dinamičke matrice:

04E15,1

03E41,1j ;

f21

;

Hz84,14

24,4f j

;

.s067,0

236,0Tj

Za određene vlastite periode dobivaju se iz računskog spektra sljedeće vrijednosti spektra (vidi sliku 4.):

.319,1

931,1)T(Sd

Faktor učešća iznosi:

.kg73,738

48,04280em

~ T*j

Modalne mase dobivaju se korištenjem uvjeta ortogonalnosti vlastitih oblika:

.kg66,830200,0

00,058,50273~m

~m~ T*

Iznos j-tog stanja vlastitih oblika za djelovanje potresa k-tog kata dobiva se prema sljedećem izrazu:

oblik

oblik






.)T(Smm

F jdj,kk*j

*j

j,k

Doprinosi stanja 1 i 2 vlastitih oblika predočeni su u sljedećoj matrici:

mod.2mod.1

2

1d*

*j

j,k83,87497,68615

46,96124,627152

)m0,6(F

)m0,3(F)T(Sm~

m~F~

Efektivne mase (zamjenske mase) dobivaju se iz:

*

2*

j,em~

m

,

Omjer efektivnih udjela masa u odnosu na ukupnu masu (faktor zamjenske mase) dobiva se iz izraza:

m

m j,ej

U konkretnom slučaju dobivaju se sljedeći faktori

001,0,999,0 21

Potrebno je uzeti u obzir samo prvi vlastiti oblik.

.N97,68615

24,627152

)m0,6(F

)m0,3(FF~

2

1x,k

5.4.4. Unutarnje sile i momenti savijanja uslijed djelovanja potresa

Unutarnje sile koje su dobivene iz prvih vlastitih oblika iznose:

kN69,15

63,152

)m0,6(F

)m0,3(F

2

1

Raspodjele momenta savijanja, poprečnih i uzdužnih sila prikazane su na slici 21, slici 22. i slici 23.

Slika 21. Moment savijanja u kNm






Slika 22. Poprečne sile u kN

Slika 23. Uzdužne sile u kN

5.4.5. Djelovanje torzije

Prema normi EN 1998 kod razmatranja dva ravninska modela potrebno je uzeti u obzir slučajno

djelovanje torzije. Istovremeno, kod primjene ta dva ravninska modela potrebno je za slučajni

ekscentricitet uzeti dvostruku vrijednost. Naponi u pojedinim elementima potrebno je pomnožiti s

koeficijentom .

.6,1L

x2,11

e






Slika 24. Slučajno djelovanje torzije

Unutarnje sile i momenti savijanja koji su dobiveni uzimajući u obzir slučajno djelovanje torzije prikazani

su na slici 25., slici 26. i slici 27.

Slika 25. Raspodjela momenta savijanja u kNm

Slika 26. Raspodjela poprečnih sila u kN






Slika 27. Raspodjela uzdužnih sila u kN

5.4.6. Unutarnje sile i momenti u uzdužnom smjeru y

Kombinacija djelovanja u slučaju seizmičke računske kombinacije (pogledaj točku 5.2.6):

Na slici 28. prikazane su oznake elemenata:

Slika 28. Oznake elemenata

Tablica 6. Unutarnje sile i momenti savijanja za seizmičku računsku kombinaciju

Unut. sile Element A B C

kota ±0,00 +3,00 +3,00 +6,00 ±0,00 +3,00

NSd,max kN -38,98 -24,97 -14,16 -0,15 -80,24 -76,73

NSd,min kN -204,12 -190,12 -26,82 -12,81 -291,84 -288,33

Unut. sile Element D E F

kota +3,00 +6,00 ±0,00 +3,00 +3,00 +6,00

NSd,max kN -11,52 -8,01 -70,54 -67,03 -3,32 0,19

NSd,min kN -16,18 -12,67 -301,5 -298,0 -24,38 -20,87






Tablica 6. Unutarnje sile i momenti savijanja za seizmičku računsku kombinaciju (nastavak)

Unut. sile Element G H

I J kota ±0,00 +3,00 +3,00 +6,00

NSd,max kN -38,72 -24,71 -12,49 1,51 155,83 92,22

NSd,min kN -204,39 -190,38 -28,49 -14,48 -152,46 -91,76

Unut. sile Element K L M N Mjerodavna dijagonala

NSd,max kN 44,01 18,97 25,27 10,77 90,41

NSd,min kN -40,64 -19,93 -27,55 -11,73 -92,88

5.5. Dokaz za uzdužni smjer

5.5.1. Općenito

Dokaz mora sadržavati krajnje granično stanje (izbjegavanje kolapsa) i granično stanje uporabe

(ograničenje oštećenja). Dokaz važi za zgrade, koje u pogledu značenja ne pripadaju kategoriji 4, ukoliko

su sadržani sljedeći uvjeti:

EN 1998-1:2004, točka 4.4.1 (2a) Uvjet nije zadovoljen

Ukupna poprečna sila u slučaju djelovanja potresa iznosi:

kN3,269)4,6036,5732,8122,70(0,1VEd

Kontrola pomoću usporedbe s učinkom potresa uključujući torziju

kN3,269)69,1563,152(6,1VEd

Ukupna poprečna sila u kombinaciji s vjetrom dobiva se iz opterećenja vjetrom za visinu zgrade koja

iznosi 6 m:

;m/kN8,2wD

;m/kN1,2wS

kN1,44)61,268,2(6,1VEd

Prema EN 1998-1:2004, točka 4.4.1 (2b) zahtjev nije zadovoljen.

5.5.2. Krajnje granično stanje

Krajnje granično stanje definirano je izrazom:

dd RE

Utjecaj teorije 2. reda nije potrebno uzeti u obzir ukoliko je zadovoljen slijedeći uvjet:

.10,0hV

dP

tot

rtot

Za prvi kat vrijedi:

;81,9)mm(P 21tot






;kN7,85581,9)46,777,79(Ptot

;kN3,269VV Edtot


Proračun horizontalnog pomaka dobiva se prema izrazu

eds dqd

.mm0,0d 00,0kota,s

.mm88,63,46,1d 00,3kota,s

Koeficijent za kat iznosi:

.10007,030003,269

88,67,855

Za krov vrijedi:

;81,9)m(P 2tot

;kN2,7381,9)46,7(Ptot

kN1,25Vtot


Proračun horizontalnog pomaka iznosi

eds dqd

.mm88,63,46,1d 00,3kota,s

.mm72,62,46,1d 00,6kota,s

Koeficijent za krov iznosi:

10,000015,000031,25

16,02,73

Uvjeti za kat i za krov su zadovoljeni što znači da se utjecaj teorije drugog reda ne uzima u obzir.

Napominje se da je potrebno dokazati i ostale kriterije krajnjeg graničnog stanja.

5.5.3. Granično stanje uporabe (ograničenje oštećenja)

Međusobni pomak katova potrebno je ograničiti. U ovom slučaju uvjet za zgrade koje posjeduju duktilne

nekonstrukcijske elemente vrijedi:

h0075,0dr

Koeficijent smanjenja usvaja se s vrijednosti 5,0

mm88,6dr : 5,2244,3

mm16,0dr : 5,2208,0


Documents

07_Otpornost Celicnih Konstrukcija Kod Potresa - Numericki Primjer 14_15