05 Kunci Jawaban Dan Pembahasan Mat 12 Ips Ktsp

1Matematika Kelas XII Program IPS

Integral

Integral Fungsi Aljabar

• Integral tak tentu• Integral tentu

• Integral substitusi• Integral parsial

Luas daerah

• Bersikap teliti dan cermat dalam menyelesaikan permasalahan.• Mampu menentukan hasil integral tak tentu fungsi aljabar.• Mampu menentukan hasil integral tentu fungsi aljabar.• Mampu menentukan hasil integral menggunakan metode substitusi.• Mampu menentukan hasil integral menggunakan metode parsial.• Mampu menentukan luas daerah menggunakan integral.

Metode Pengintegralan Penggunaan Integral

2 Integral

A. Pilihlah jawaban yang tepat.

1. Jawaban: e

∫ (4x3 + 12 x2 + 3x) dx

= 4 × 14 x4 +

12 ×

13 x3 + 3 ×

12 x2 + c

= x4 + 16 x3 +

32 x2 + c

2. Jawaban: b

∫ f(x) dx = ∫ x dx

= ∫ x12 dx

= 12

1

1+x

12 + 1 + c1

= 23 x

32 + c1

= 23 x x + c1

∫ g(x) dx = ∫ 2x3 dx

= 2 × 1

3 1+ x3 + 1 + c2

= 24 x4 + c2

= 12 x4 + c2

∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx = 23 x x +

12 x4 + c

3. Jawaban: a

∫ 23x 4x x

x x

− dx = ∫

23x 4x x

x x x x

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠dx

= ∫ (3x–12 – 4x) dx

= 12

3

1− +x–

12 + 1 –

41 1+ x1 + 1 + c

= 12

3 x12 –

42 x2 + c

= 6 x – 2x2 + c

4. Jawaban: df′(x) = 3x2 + 6x – 5 dan f(–1) = 8f(x) = ∫ f′(x) dx

= ∫ (3x2 + 6x – 5) dx

= 3 × 31

x3 + 6 × 12 x2 – 5x + c

= x3 + 3x2 – 5x + cf(–1) = 8 ⇒ (–1)3 + 3(–1)2 – 5(–1) + c = 8

⇔ –1 + 3 + 5 + c = 8⇔ c = 1

Jadi, f(x) = x3 + 3x2 – 5x + 1.

5. Jawaban: aMC = 1.000 – 8x + 6x2

TC = ∫ MC dx = (1.000 – 8x + 6x2) dx= 1.000x – 4x2 + 2x3 + c

x = 0 ⇒ TC = 40.000⇔ 0 – 0 + 0 + c = 40.000⇔ c = 40.000

Jadi, rumus biaya totalnya adalahTC = 2x3 – 4x2 + 1.000x + 40.000.

6. Jawaban: e4

2∫ (–x2 + 6x – 8) dx

= 41 3 2

3 2x 3x 8x⎡ ⎤− + −⎣ ⎦

= (–13 (4)3 + 3(4)2 – 8(4)) – (–

13 (2)3 + 3(2)2 – 8(2))

= (–643 + 48 – 32) – (–

83 + 12 – 16)

= (–163 ) – (–

203 ) =

43

7. Jawaban: e2

1−∫ (x – 1)(3x + 1) dx

= 2

1−∫ (3x2 – 2x – 1) dx

= 23 2

1x x x

−⎡ ⎤− −⎣ ⎦

= (8 – 4 – 2) – (–1 – 1 + 1)= 2 – (–1)= 3


8. Jawaban: d3

a(2x 1)+∫ dx = 10

⇔ 2x x⎡ +⎣ x2 + x3

a⎤⎦ = 10

⇔ (9 + 3) – (a2 + a) = 10⇔ 12 – a2 – a = 10⇔ a2 + a – 2 = 0⇔ (a + 2)(a – 1) = 0⇔ a = –2 atau a = 1Jadi, salah satu nilai a adalah 1.

9. Jawaban: c

2x + y = 3 ⇔ x = 3 y

2−

1

1−∫ x dy =

1

1−∫ 3 y

2−

dy

= 12

1

1−∫ (3 – y) dy

= 12

1

1

123y y

−⎡ ⎤−⎣ ⎦

= 12 ((3 –

12 ) – (–3 –

12 ))

= 12 (6)

= 3

10. Jawaban: b4

0∫ f(x) dx = 2

4

2∫ 2f(x) dx = 2 ⇔ 2

4

2∫ f(x) dx = 2

⇔4

2∫ f(x) dx = 1

4

0∫ f(x) dx =

2

0∫ f(x) dx +

4

2∫ f(x) dx

⇔ 2 = 2

0∫ f(x) dx + 1

⇔2

0∫ f(x) dx = 2 – 1 = 1

Jadi, 2

0∫ f(x) dx = 1.

1. a. ∫ x4 dx = 1

4 1+ x4 + 1 + c

= 15 x5 + c

b. ∫ 31

xdx = ∫ x–3 dx

= 1

3 1− + x–3 + 1 + c

= 12− x–2 + c

= – 21

2x + c

c. ∫ 1

x x dx = ∫ x–32 dx

= 32

1

1− +x–

32 + 1 + c

= –2x–12 + c

= –2

x + c

d. ∫ 2x

x dx = ∫ x2 –

12 dx

= ∫ x32 dx

= 32

1

1+x

32 + 1 + c

= 25 x

52 + c

= 25 x2 x + c

2. a. ∫ f(x) dx = ∫ (6x2 – 3x + 2) dx

= 6 × 13 x3 – 3 ×

12 x2 + 2x + c

= 2x3 – 32 x2 + 2x + c

b. ∫ f(x) dx = ∫ x (3x – 4 x ) dx

= ∫ (3x x – 4x) dx

= ∫ (3x32 – 4x) dx

= 3 × 25 x

52 – 4 ×

12 x2 + c

= 65 x2 x – 2x2 + c

B. Kerjakan soal-soal berikut.

4 Integral

c. ∫ f(x) dx = ∫ (3x + 2)2 dx

= ∫ (9x2 + 12x + 4) dx

= 9 × 13 x3 + 12 ×

12 x2 + 4x + c

= 3x3 + 6x2 + 4x + c

d. ∫ f(x) dx = ∫ (2 x + 1)(3 x – 2) dx

= ∫ (6x – x – 2) dx

= ∫ (6x – x12 – 2) dx

= 6 × 12 x2 –

23 x

32 – 2x + c

= 3x2 – 23 x x – 2x + c

3. f′(x) = 2x + 2y = f(x) = ∫ f′(x) dx

= ∫ (2x + 2) dx= x2 + 2x + c

Kurva melalui titik (2, 5).y = x2 + 2x + c

⇔ 5 = 22 + 2(2) + c⇔ 5 = 4 + 4 + c⇔ 5 = 8 + c⇔ c = –3Jadi, persamaan kurva tersebut y = x2 + 2x – 3.

4. MC = 12x – 8TC = ∫ MC dx

= ∫ (12x – 8) dx= 6x2 – 8x + c

TC(5) = 130⇔ 6(5)2 – 8(5) + c = 130⇔ 150 – 40 + c = 130⇔ 110 + c = 130⇔ c = 20Jadi, bentuk fungsi biaya total (dalam ribuanrupiah) adalah TC = 6x2 – 8x + 20.

5. a. f′(x) = 4 – 6xf(x) = ∫ f′(x) dx = ∫ (4 – 6x) dx

= 4x – 3x2 + cf(3) = –12 ⇒ 4(3) – 3(3)2 + c = –12

⇔ 12 – 27 + c = –12⇔ c = 3

Jadi, f(x) = –3x2 + 4x + 3.

b.2

1−∫ f(x) dx =

2

1−∫ (–3x2 + 4x + 3) dx

= 23 2

1x 2x 3x

−⎡ ⎤− + +⎣ ⎦

= (–8 + 8 + 6) – (1 + 2 – 3)= 6 – 0= 6

6. f(x) = 12x2 – 4x + 2g(x) = 8 – 2x

a.−∫1

2g(x) dx =

1

2−∫ (8 – 2x) dx =

12

28x x

−⎡ ⎤−⎣ ⎦

= (8 – 1) – (–16 – 4)= 7 – (–20)= 27

∫3

1g(x) dx = ∫

3

1(8 – 2x) dx =

32

18x x⎡ ⎤−⎣ ⎦

= (24 – 9) – (8 – 1)= 15 – 7= 8

−∫1

2g(x) dx – ∫

3

1g(x) dx = 27 – 8 = 19

b.3

2f(x) dx

−∫ =

3

2−∫ (12x2 – 4x + 2) dx

= 33 2

24x 2x 2x

−⎡ ⎤− +⎣ ⎦

= (108 – 18 + 6) – (–32 – 8 – 4)= 96 – (–44)= 140

3

2g(x) dx

−∫ =

1

2g(x) dx

−∫ +

3

1g(x) dx∫

= 27 + 8= 35

3

2f(x) dx

−∫ +

3

2g(x) dx

−∫ = 140 + 35 = 175

c.3

2(2f(x) 5g(x)) dx

−−∫

= 23

2f(x) dx

−∫ – 5

3

2g(x) dx

−∫

= 2 × 140 – 5 × 35= 280 – 175= 105

7. a.4

0∫ 10r r dr = 10

4

0∫

32r dr

= 1052

425

0

r⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

= 4(5 52 24 0− )

= 4(32 – 0)= 128


b.2

1−∫ (2p – 5) dp =

22

1p 5p

−⎡ ⎤−⎣ ⎦

= ((2)2 – 5(2) – ((–1)2 – 5(–1))= (4 – 10) – (1 + 5)= –6 – 6= –12

c.2

2

4(y

−

−∫ + 2

1y

) dy

= 2

2

4(y

−

−∫ + y–2) dy

= 2

3 1

4

1

3y y

−−

−

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

= (13 (–2)3 – (–2)–1) – (

13 (–4)3 – (–4)–1)

= 41

364

21

38

– −++

= –32 6 256 312

+ + −

= 12227

= 181211

d.0

2(x

−∫ – 2)(x + 5) dx

= 0

2

2(x

−∫ + 3x – 10) dx

= 0

3 2

2

1 3

3 2x x 10x

−

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎣ ⎦

= 0 – (13 (–2)3 +

32 (–2)2 – 10(–2))

= 83 –

122 – 20

= 223 – 6 – 20 = –23

13

8. a.3

1∫ (4x – a) dx = 12

⇔32

12x ax⎡ ⎤−⎣ ⎦ = 12

⇔ (18 – 3a) – (2 – a) = 12⇔ 16 – 2a = 12⇔ –2a = –4⇔ a = 2

b.a

1−∫ (3 – 2x) dx = –14

⇔a2

13x x

−⎡ ⎤−⎣ ⎦ = –14

⇔ (3a – a2) – (–3 – 1) = –14

⇔ 3a – a2 + 4 = –14⇔ a2 – 3a – 18 = 0⇔ (a + 3)(a – 6) = 0⇔ a = –3 atau a = 6Jadi, nilai a = 6.

9. y2 = 2 – x ⇔ x = 2 – y2

a.1

1−∫ x dy =

1

1−∫ (2 – y2) dy

= 11 3

3 12y y

−⎡ ⎤−⎣ ⎦

= (2 – 13 ) – (–2 +

13 )

= 2 – 13 + 2 –

13

= 313

b.1

0∫ (x + x2) dy

= 1

0∫ ((2 – y2) + (2 – y2)2) dy

= 1

0∫ (2 – y2 + 4 – 4y2 + y4) dy

= 1

0∫ (6 – 5y2 + y4) dy

= 6y⎡⎣ –

53 y3 +

15 y5

1

0⎤⎥⎦

= (6 – 53 +

15 ) – 0

= 48

15

10. a.5

2−∫ 2g(x) dx = 6 ⇔ 2

5

2−∫ g(x) dx = 6

⇔5

2−∫ g(x) dx = 3

b.5

2−∫ (2f(x) – 3g(x)) dx

= 25

2−∫ f(x) dx – 3

5

2−∫ g(x) dx

= 2(8) – 3(3)= 7

6 Integral

1. Jawaban: dMisalkan: u = 8 – x

dudx = –1 ⇔ –du = dx

∫ (8 – x)5 dx = ∫ u5 (–du) = – ∫ u5 du

= –16 u6 + c = –

16 (8 – x)6 + c

2. Jawaban: eMisalkan u = x2 – 2

dudx = 2x ⇔ du = 2x dx

∫ 2x 2x 2− dx = ∫ 2x 2− × 2x dx

= ∫ u du

= ∫ 12u du

= 23

32u + c

= 23 u u + c

= 23 (x2 – 2) 2x 2− + c

3. Jawaban: cMisalkan u = x2 – 6x + 2

dudx = 2x – 6 ⇔ du

dx = 2(x – 3)

⇔ du = 2(x – 3) dx∫ (x – 3)(x2 – 6x + 2) dx= ∫ (x2 – 6x + 2)(x – 3) dx

= ∫ u × 12 du

= 12 ∫ u du

= 12 (

12 u2) + c

= 14 u2 + c

= 14 (x2 – 6x + 2)2 + c

4. Jawaban: cMisalkan u = 3x2 + 9x – 1dudx = 6x + 9 = 3(2x + 3)

⇔ (2x + 3) dx = du3

∫ 2

2x 3

3x 9x 1

+

+ − dx

= ∫ (3x2 + 9x – 1)–12 × (2x + 3) dx

= ∫ 12u

− ×

du3

= 13 ∫

12u

− du

= 13 × 2u

12 + c

= 23

23x 9x 1+ − + c

5. Jawaban: aMisalkan u = x3 + 6x + 1 maka:

dudx = 3x2 + 6 = 3(x2 + 2)

⇔ (x2 + 2) dx = du3

Sehingga diperoleh:

∫122 3(x 2)(x 6x 1)+ + + dx

= ∫123(x 6x 1)+ + × (x2 + 2) dx

= ∫12u ×

du3

= 13 ∫

12u du

= 321 2

3 3 u× + c

= 29 u u + c

= 29 (x3 + 6x + 1) 3x 6x 1+ + + c

6. Jawaban: a

∫ 8x(6x – 131) dx

= 86 ∫ x(6x –

131) × 6 dx

= 43 ∫ x(6x –

131) d(6x – 1)



= 43 ∫ x d

34 (6x –

431)

= 43 (x ×

34 (6x –

431) – ∫ 3

4 (6x – 431) dx)

= x(6x – 431) –

16 ∫ (6x –

431) × 6 dx

= x(6x – 431) –

16 ×

37 (6x –

731) + c

= x(6x – 431) –

114 (6x –

731) + c

7. Jawaban: a4

1∫ f(x) dx = 6

Misalkan u = 5 – x

dudx = –1 ⇔ dx = –du

x = 1 ⇒ u = 5 – 1 = 4x = 4 ⇒ u = 5 – 4 = 14

1∫ f(5 – x) dx=

1

4∫ f(u)(–du)

= –4

1∫ f(u)(–du)

= 4

1∫ f(u) du = 6

8. Jawaban: bMisalkan u = 4 – 2x

dudx = –2 ⇔ dx =

du2−

x = 1 ⇒ u = 4 – 2 = 2x = 2 ⇒ u = 4 – 4 = 02

1∫ (4 – 2x)4 dx =

0

2∫ u4 ×

du2−

= 12−

0

2∫ u4 du

= –12

01 55 2u⎡ ⎤

⎣ ⎦

= –1

10 (05 – 25)

= –1

10 (–32)

= 3,2

9. Jawaban: cMisalkan u = 9 – x3 ⇒ du = –3x2 dx

⇔ –13 du = x2 dx

32

2

3

x

(9 x )−∫ dx = ∫ (9 – x3)

32

− × x2 dx

= –13

32u

−∫ du

= –13 (–2)u

12

− + c

= 13 2

2

3(9 x )− + c =

3

2

3 9 x− + c

2

3

2 2

0 3

x

(9 x )−∫ dx =

2

30

2

3 9 x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

= 2

3 9 8− – 2

3 9 0−

= 23 –

29

= 69 –

29 =

49

10. Jawaban: c

∫ x 4x 1+ dx

= 14 ∫ x 4x 1+ × 4 dx

= 14 ∫ x(4x +

121) d(4x + 1)

= 14 ∫ x d

23 (4x +

321)

= 14 (x ×

23 (4x +

321) – ∫ 2

3 (4x + 321) dx)

= 14 (

23 x (4x +

321) –

16 ∫ (4x +

321) × 4 dx)

= 14 (

23 x(4x +

321) –

16 ×

25 (4x +

521) ) + c

2

0x 4x 1+∫ dx

= 14

3 52 2

2

0

2 13 15

( x(4x 1) (4x 1)⎡ ⎤

+ − +⎢ ⎥⎣ ⎦

= 14 ((

23 × 2 × 27 –

115 × 243) – (0 –

115 ))

= 14 (36 –

24315 +

115 )

= 14 ×

29815

= 29860

= 42930

1. a. Misalkan u = 5 – x

dudx = –1 ⇔ dx = –du


8 Integral

∫ 2

5 x− dx = ∫ 2

u (–du)

= –2 ∫ u–12 du

= –2 × 2u12 + c

= –4 5 x− + cb. Misalkan u = x2 – 3

dudx = 2x ⇔ 2x dx = du

∫ 2x(x2 – 3)3 dx = ∫ (x2 – 3)3 × 2x dx= ∫ u3 du

= 14 u4 + c

= 14 (x2 – 3)4 + c

c. Misalkan u = 2x – 3

dudx = 2 ⇔ dx =

du2

∫ (4x – 6) 2x 3− dx

= ∫ (2(2x – 3)(2x – 3)12 dx

= 2 ∫ (2x – 3)32 dx

= 2 ∫ u32 ×

du2

= ∫ u32 du

= 25 u

52 + c

= 25 (2x – 3)2 2x 3− + c

d. Misalkan u = 4 – 3x2

dudx = –6x ⇔ x dx =

du6−

∫ 2 23x

(4 3x )− dx = 3 ∫ (4 – 3x2)–2 × x dx

= 3 ∫ u–2 × du6−

= 36− ∫ u–2 du

= – 12 ×

11− u–1 + c

= 1

2u + c

= 21

2(4 3x )− + c

= 21

8 6x− + c

2. Misalkan u = x2 – 4x – 1dudx = 2x – 4 ⇔ du = (2x – 4) dx = –2(2 – x) dx

⇔ (2 – x) dx = –12 du

x = 0 ⇒ u = 0 – 0 – 1 = –1x = 2 ⇒ u = 4 – 8 – 1 = –52

2 20

2 x

(x 4x 1)

−

− −∫ dx =

22

0(x∫ – 4x – 1)–2 (2 – x) dx

= 5

2

1u

−−

−∫ × (–

12 ) du

= –12

52

1u

−−

−∫ du

= –12

51

11u

−−−

⎡ ⎤−⎣ ⎦

= 12

5

1

1u

−

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

= 12

15

⎛⎜ −⎝ –

11⎞⎟− ⎠

= 12 (

45 )

= 25

3. Misalkan u = x4 – 3x3 + 2

dudx = (4x3 – 9x2) dx2

0∫

3 2

4 3 2(4x 9x )

(x 3x 2)−

− + dx

= 2

0∫ (x4 – 3x3 + 2)–2(4x3 – 9x2) dx

= 2

0∫ u–2 du

= –2

0

1u⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

= –2

4 30

1x 3x 2⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎣ ⎦

= –(1

16 24 2− + – 1

0 0 2− + )

= –(–16 –

12 )

= –(–46 )

= 23

4. a. ∫ x (2x – 1)4 dxMisalkan

u = x ⇒ dudx = 1

⇔ du = dxdv = (2x – 1)4 dx


⇒ v = ∫ (2x – 1)4 dx

= ∫ (2x – 1)4 × 12 d(2x – 1)

= 12 ∫ (2x – 1)4 d(2x – 1)

= 12 ×

15 (2x – 1)5

= 1

10 (2x – 1)5

∫ u dv = uv – ∫ v du∫ x (2x – 1)4 dx

= x × 1

10 (2x – 1)5 – ∫ 110 (2x – 1)5 dx

= 1

10 x(2x – 1)5 – ∫ 110 ×

12 (2x – 1)5 × 2 dx

= 1

10 x(2x – 1)5 – 1

20 × 16 (2x – 1)6 + c

= 1

10 x(2x – 1)5 – 1

120 (2x – 1)6 + c

b. ∫ 3x 2

x 4

+− dx = ∫ (3x + 2)(x – 4)–

12 dx

Misalkan

u = 3x + 2 ⇒ dudx = 3

⇔ du = 3 dx

dv = (x – 4)–12 dx

⇒ v = ∫ (x – 4)–12 dx

= ∫ (x – 4)–12 d(x – 4)

= 12

1 (x – 4)12

= 2(x – 4)12

∫ u dv = uv – ∫ v du

∫ 3x 2

x 4

+− dx

= (3x + 2) × 2(x – 4)12 – ∫ 2(x – 4)

12 × 3 dx

= (6x + 4) x 4− – 6 ∫(x – 4)12 d(x – 4)

= (6x + 4) x 4− – 6 × 23 (x – 4)

32 + c

= (6x + 4) x 4− – 4(x – 4) x 4− + c

= (6x + 4 – 4x + 16) x 4− + c

= (2x + 20) x 4− + c

5. a. Misalkanu = 4x ⇒ du = 4 dx

dv = 14 x−

dx = 12(4 x)

−− dx

⇒ v = ∫ 12(4 x)

−− dx

= – ∫ 12(4 x)

−− × (–1)dx

= – ∫ 12(4 x)

−− d(4 – x)

= –212(4 x)−

∫ u dv = uv – ∫ v du

∫ 4x4 x−

dx

= ∫ 4x d(–212(4 x)− )

= 4x (–212(4 x)− ) – ∫(–2

12(4 x)− ) × 4 dx

= –8x 12(4 x)− – 8 ∫

12(4 x)− × (–1) dx

= –8x 12(4 x)− – 8 ∫

12(4 x)− d(4 – x)

= –8x 12(4 x)− – 8 ×

23

32(4 x)− + c

= –8x 4 x− – 163

3(4 x)− + c

Jadi, ∫ f(x) dx = –8x 4 x− – 163

3(4 x)− + c.

b.3

0∫ f(x) dx =

316 33 0

8x 4 x (4 x)⎡ ⎤− − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

= (–24 – 163 ) – (0 –

1283 )

= –883 +

1283

= 403

10 Integral


1. Jawaban: cPersamaan garis:2x + 3y – 12 = 0⇔ 3y = –2x + 12

⇔ y = –23 x + 4

Daerah yang diarsir dibatasi oleh garis y = –23 x + 4

dan sumbu X pada interval –1 ≤ x ≤ 3. Luas daerahyang diarsir:

L = 3

1−∫ (–

23 x + 4) dx

2. Jawaban: c

Luas daerah yang diarsir:

L = 1

1−∫ y dx

= 1

1−∫ (4 – x2) dx

= 11 3

3 14x x

−⎡ ⎤−⎣ ⎦

= (4 – 13 ) – (–4 +

13 )

= 113 – (–

113 )

= 223

= 713

Jadu, luas daerah yang diarsir 713 satuan luas.

3. Jawaban: d


L = 5

1−∫ y dx

= 5

1−∫ (–x2 + 3x + 10) dx

= 51 33 2

3 2 1x x 10x

−⎡ ⎤− + +⎣ ⎦

= (–125

3 + 752 + 50) – (

13 +

32 – 10)

= –125

3 – 13 +

752 –

32 + 50 + 10

= –126

3 + 722 + 60

= –42 + 36 + 60= 54

Jadi, luas yang diarsir adalah 54 satuan luas.

4. Jawaban: cDaerah yang diarsir dibatasi parabolay = x2 + 1 dan sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 2.Luas daerah yang diarsir:

L = 2

0∫ (x2 + 1) dx

= ⎡⎢⎣

13 x3 + x

2

0⎤⎥⎦

= (83 + 2) – 0

= 423

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 423 satuan luas.

Y

X

y = 4 – x2

–3 –2 –1 0 1 2 3

4

Y

X

y = –x2 + 3x + 10–2 –1 0 1 2 3 4 5

10


Y

X

y = x

x + y – 6 = 0

0 4 6

I II

5. Jawaban: cDaerah yang diarsir dibatasioleh parabola y = (3 – x)2

dan sumbu X pada interval0 ≤ x ≤ 3.Luas daerah yang diarsir:

L = 3

0∫ (3 – x)2 dx

= 3

0∫ (9 – 6x + x2) dx

= 312 3

3 09x 3x x⎡ ⎤− +⎣ ⎦

= (27 – 27 + 9) – 0= 9


6. Jawaban: dPerpotongan kedua kurva:

Substitusikan y = x ke persamaan x + y – 6 = 0.

⇒ x + x – 6 = 0

⇔ ( x )2 + x – 6 = 0

⇔ ( x + 3)( x – 2) = 0

⇔ x = –3 atau x = 2

⇔ (tidak ada) x = 4

Daerah I dibatasi oleh kurva y = x dan sumbu Xpada interval 0 ≤ x ≤ 4.

Luas daerah I: LI = 4

0∫ x dx

Daerah II dibatasi oleh garis y = 6 – x dan sumbu Xpada interval 4 ≤ x ≤ 6.

Luas daerah II: LII = 6

4∫ (6 – x) dx


L = LI + LII = 4

0∫ x dx +

6

4∫ (6 – x) dx

= 4

0∫ x dx –

6

4∫ (x – 6) dx

0

Y

X3

y = (3 – x)2

9

7. Jawaban: cy = x2

y = 2x–––––– –0 = x2 – 2x⇔ x(x – 2) = 0⇔ x = 0 atau x = 2Diperoleh batas integrasi x = 0 dan x = 2.Luas daerah yang diarsir:

L = 2

0∫ (2x – x2) dx

= ⎡⎢⎣x2 –

13 x3

2

0⎤⎥⎦

= (22 – 13 (2)3) – 0

= 4 – 83 =

43


8. Jawaban: b


L = 2

0∫ ((4 – x2) – (–x + 2)) dx

= 2

0∫ (2 – x2 + x) dx

= 21 13 2

3 2 02x x x⎡ ⎤− +⎣ ⎦

= (2(2) – 13 (2)3 +

12 (2)2) – 0

= 4 – 83 + 2 =

103

Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva-kurva

tersebut adalah 103 satuan luas.

9. Jawaban: cParabola y2 = 4x untuk y > 0 dapat dituliskan

menjadi y = 2 x .Pada interval 0 < x < 2 daerah yang diarsir dibatasi

oleh kurva y = 2 x dan sumbu X, luasnya L1 =

2

02 x∫ dx.

0

Y

X

2

y = 4 – x2

4

y = –x + 22

12 Integral

Pada interval 2 < x < 4 daerah yang diarsir dibatasi

oleh kurva y = 2 x dan garis y = 2x – 4, luasnya

L2 = 4

2∫ ( 2 x – (2x – 4)) dx.


L = L1 + L2 = 2

0∫ 2 x dx +

4

2∫ ( 2 x – (2x – 4)) dx

= 2

0∫ 2 x dx +

4

2∫ 2 x dx –

4

2∫ (2x – 4) dx

= 4

0∫ 2 x dx –

4

2∫ (2x – 4) dx

10. Jawaban: e

Daerah I pada interval 2 ≤ x ≤ 4 dan dibatasi olehgaris y1 = x – 2 dan sumbu X.Luas daerah I:

LI = 4

2∫ y1 dx =

4

2∫ (x – 2) dx

= 4

2

2

12

x 2x⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦= (8 – 8) – (2 – 4)= 0 – (–2) = 2 satuan luas

Daerah II pada interval 4 ≤ x ≤ 5 dan dibatasi olehgaris y1 = x – 2 dan parabola y2 = x2 – 6x + 8.Luas daerah II:

LII = 5

4∫ (y1 – y2) dx

= 5

4∫ ((x – 2) – (x2 – 6x + 8)) dx

= 5

4∫ (7x – x2 – 10) dx

= 5

2 3

4

7 12 3

x x 10x⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦

= (175

2 – 125

3 – 50) – (56 – 643 – 40)

= –416 – (–5

13 ) = 1

16 satuan luas


L = LI + LII = 2 + 116 = 3

16

Jadi, luas daerah tersebut 316 satuan luas.

1. a. Daerah yang diarsir dibagi menjadi dua bagian.

Daerah I dibatasi parabola y = 12 x2 dan

sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 2.Daerah II dibatasi garis y = 4 – x dansumbu X pada interval 2 ≤ x ≤ 4.Luas daerah yang diarsir:L = LI + LII

= 2

0∫

12 x2 dx +

4

2∫ (4 – x) dx

= ⎡⎢⎣

16 x3

2

0⎤⎥⎦ +

⎡⎢⎣4x –

12 x2

4

2⎤⎥⎦

= (86 – 0) + (16 – 8) – (8 – 2)

= 43 + 2 = 3

13

Jadi, luas daerah yang diarsir 313 satuan luas.

b. Daerah yang diarsir dibatasi parabolay = 8 – 2x2 dan garis y = 2 – x pada interval0 ≤ x ≤ 2.Luas daerah yang diarsir:

L = 2

0∫ ((8 – 2x2) – (–x + 2)) dx

= 2

0∫ (6 – 2x2 + x) dx

= 22 13 2

3 2 06x x x⎡ ⎤− +⎣ ⎦

= 12 – 163 + 2 – 0 = 8

23


2. a. Daerah D dibatasi garis y = 2x, y = 3 – x, dansumbu X.

Y

X

0 2 4 5

y2 = x2 – 6x + 8y1 = x – 2

I

II

0

Y

X3

y = 3 – x1

y = 2x

3

2


b. Luas daerah D:

L = 1

0∫ 2x dx +

3

1∫ (3 – x) dx

= ⎡⎢⎣x2

1

0⎤⎥⎦ +

⎡⎢⎣3x –

12 x2

3

1⎤⎥⎦

= (1 – 0) + (9 – 92 ) – (3 –

12 )

= 1 + 412 – 2

12 = 3

Jadi, luas daerah D adalah 3 satuan luas.

3. Daerah D dibatasi pa-rabola y = –x2 + x + 6dan garis y = 2x + 4.y = 2x + 4y = –x2 + x + 6––––––––––––– –0 = x2 + x – 2⇔ (x + 2)(x – 1) = 0⇔ x = –2 atau x = 1Diperoleh batas pengintegralan –2 ≤ x ≤ 1.Luas daerah yang diarsir:

L = 1

2−∫ ((–x2 + x + 6) – (2x + 4)) dx

= 1

2−∫ (–x2 – x + 2) dx

= ⎡⎢⎣–

13 x3 –

12 x2 + 2x

1

2−⎤⎥⎦

= (–13 –

12 + 2) – (

83 – 2 – 4)

= (116 ) – (–3

13 ) = 4

12


4. a.

b. Luas daerah D

LI = 1

0∫ (y1 – y2) dx

= 1

0∫ ((–x + 2) – x2) dx

= 1

0∫ (–x + 2 – x2) dx

= 11 12 3

2 3 0x 2x x⎡ ⎤− + −⎣ ⎦

= (–12 + 2 –

13 )

= –36 +

126 –

26

= 76

LII = 2

1∫ (y2 – y1) dx

= 2

1∫ (x2 – (–x + 2)) dx

= 2

1∫ (x2 + x – 2) dx

= 21 13 2

3 2 1x x 2x⎡ ⎤+ −⎣ ⎦

= (83 +

42 – 4) – (

13 +

12 – 2)

= (83 – 2) – (

13 +

12 – 2)

= 83 –

13 –

12 – 2 + 2

= 83 –

13 –

12

= 166 –

26 –

36

= 116

Luas daerah yang diarsir:L = LI + LII

= 76 +

116

= 186

= 3Jadi, luas daerah D adalah 3 satuan luas.

Y

X

x = 2y1 = –x + 2

y2 = x2

–2 –1 0 1 2

4

3

2

1 III

14 Integral


1. Jawaban: d

∫ x x dx = ∫12

1x

+dx

= ∫32x dx

= 25

52x + c

= 25

2x x + c

2. Jawaban: a

∫ (2x + 3) dx = 2

1 1+ x1 + 1 + 3x + c

= 22 x2 + 3x + c

= x2 + 3x + c

3. Jawaban: a∫ x(2 + 3x) dx = ∫ (2x + 3x2) dx

= 2 × 12 x2 + 3 ×

13 x3 + c

= x2 + x3 + c

4. Jawaban: b∫ (x + 3)(3x – 1) dx= ∫ (3x2 + 8x – 3) dx= 3 ∫ x2 dx + 8 ∫ x1 dx – 3 ∫ x0 dx

= 3

2 1+ x2 + 1 + 8

1 1+ x1 + 1 – 3

0 1+ x0 + 1 + c

= x3 + 4x2 – 3x + c

5. Jawaban: c

∫ 43xx

dx = ∫ 3x3 x

= 3 ∫ x72 dx

= 3 × 29 x

92 + c

= 23 x4 x + c

6. Jawaban: cf′(x) = 4x – 3f(x) = ∫ f′(x) dx

= ∫ (4x – 3) dx= 2x2 – 3x + c

f(–1) = 9⇔ 2(–1)2 – 3(–1) + c = 9⇔ 2 + 3 + c = 9⇔ c = 4Jadi, f(x) = 2x2 – 3x + 4.

7. Jawaban: a

f(x) = ∫ f′(x) dx

= ∫ (x2 + 3x – 1) dx

= 31

x3 + 23

x2 – x + c

f(1) = 31

× 13 + 23

× 12 – 1 + c = 65

⇔31

+ 23

– 1 + c = 65

5. a. Titik potong antara kedua kurva(x + 2)2 = 10 – x2

⇔ x2 + 4x + 4 = 10 – x2

⇔ 2x2 + 4x – 6 = 0⇔ x2 + 2x – 3 = 0⇔ (x – 1) (x + 3) = 0⇔ x = 1 atau x = –3

b. Luas daerah D

L = ∫−

1

3((10 – x2) – (x + 2)2) dx

= ∫−

1

3((10 – x2) – (x2 + 4x + 4)) dx

= ∫−

1

3(6 – 2x2 – 4x) dx

= 12 3 2

3 36x x 2x

−⎡ ⎤− −⎣ ⎦

= (6 – 23 – 2) – (–18 – (–

543 ) – 18)

= (313 ) – (–18) = 21

13


y = (x + 2)2

y = 10 – x2

Y

X–3 1

D


⇔65

+ c = 65

⇔ c = 0

Jadi, f(x) = 31

x3 + 23

x2 – x.

8. Jawaban: bdydx = 3x2 + 4x – 5

Persamaan kurva:y = ∫ (3x2 + 4x – 5) dx = x3 + 2x2 – 5x + cKurva melalui titik (1, 2).(1, 2) ⇒ 2 = 1 + 2 – 5 + c

⇔ c = 4Persamaan kurva: y = x3 + 2x2 – 5x + 4

9. Jawaban: dMC = 8x – 5TC = ∫ MC dx

= ∫ (8x – 5) dx= 4x2 – 5x + c

TC(5) = 80⇔ 4(52) – 5(5) + c = 80⇔ 100 – 25 + c = 80⇔ 75 + c = 80⇔ c = 5Jadi, TC = 4x2 – 5x + 5.

10. Jawaban: d2

0∫ 2x(8 – x2) dx =

2

0∫ (16x – 2x3) dx

= 2

2 4

0

16 22 4

x x⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

= 2

2 4

0

12

8x x⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦= (32 – 8) – 0= 24

11. Jawaban: d3

b(2x∫ – 1) dx =

32

bx x⎡ ⎤−⎣ ⎦

= (32 – 3) – (b2 – b)= 6 – b2 + b

3

b(2x∫ – 1) dx = 6

⇔ 6 – b2 + b = 6⇔ b2 – b = 0⇔ b (b – 1) = 0⇔ b = 0 atau b = 1Jadi, salah satu nilai b yang memenuhi adalah 1.

12. Jawaban: d3

1∫ 3

ax

dx = 4

⇔3

1∫ ax–3 dx = 4

⇔3a 2

2 1x−

−⎡ ⎤⎣ ⎦ = 4

⇔ –a2 ( 2

13

– 211

) = 4

⇔ –a2 (

19 – 1) = 4

⇔ –a2 (–

89 ) = 4

⇔ 4a9 = 4

⇔ 4a = 36⇔ a = 9

13. Jawaban: b3

1−∫ f(x) dx = 3

3

1−∫ 2g(x) dx = –4 ⇔ 2

3

1−∫ g(x) dx = –4

⇔ 3

1−∫ g(x) dx = –2

3

1−∫ (2f(x) – g(x)) dx

= 23

1−∫ f(x) dx –

3

1−∫ g(x) dx

= 2(3) – (–2)= 8

14. Jawaban: bb

a∫ (3x – 2)2 dx = 8

c

b∫ (3x – 2)2 dx = –

b

c∫ (3x – 2)2 dx = –5

c

a∫ (3x – 2)2 dx =

b

a∫ (3x – 2)2 dx +

c

b∫ (3x – 2)2 dx

= 8 + (–5) = 3

15. Jawaban: eMisalkan u = 2x + 5

dudx = 2 ⇔ 1

2du = dx

16 Integral

∫ 26

(2x 5)+ dx = ∫ 26u

× 12 du

= 3∫ u–2 du

= 3 × 11− u–1 + c

= –3u + c

= –3

2x 5+ + c

16. Jawaban: cMisalkan u = 3x2 – 1


∫ 3x(3x2 – 1)2 dx = ∫ (3x2 – 1)2 3x dx

= ∫ u2(12 du)

= 12 ∫ u2 du

= 12 ×

13 u3 + c

= 16 (3x2 – 1)3 + c

17. Jawaban: dMisalkan u = 1 + 2x – x2

dudx = 2 – 2x = –2(x – 1)

⇔ (x – 1) dx = du2−

∫ 2 3x 1

(1 2x x )−

+ − dx

= ∫ (1 + 2x – x2)–3 × (x – 1) dx

= ∫ u–3 × du2−

= 12− ∫ u–3 du

= –12 ×

12− u–2 + c

= 14 (1 + 2x – x2)–2 + c

= 2 21

4(1 2x x )+ − + c

18. Jawaban: bMisalkan u = 1 – 2x2

dudx = –4x ⇔ du = –4x dx

∫ 2

4x

1 2x− dx = – ∫ (1 – 2x2)–

12 (–4x dx)

= – ∫ u–12 du

= – 12

1 u12 + c

= –2 u + c

= –2 21 2x− + c

19. Jawaban: cMisalkan u = x2 – 3x + 8

dudx = 2x – 3 ⇔ du = (2x – 3) dx

∫ 2

4x 6

x 3x 8

−

− +dx = ∫ (x2 – 3x +

128)

−× 2(2x – 3) dx

= ∫12u

−× 2 du

= 2 × 12

1 + 1−

1

2 1

u− +

+ c

= 2 × 212u + c

= 4 u + c

= 4 2x 3x 8− + + c

20. Jawaban: dMisalkan u = x2 – 2


2

0∫ 4x(x2 – 2)4 dx =

2

0∫ (x2 – 2)4 4x dx

= 2

0∫ u4(2 du)

= 22

0∫ u4 du

= 221 5

5 0u⎡ ⎤

⎣ ⎦

= 25

22 5

0(x 2)⎡ ⎤−⎣ ⎦

= 25 (25 – (–2)5)

= 25 (32 – (–32))

= 25 (64)

= 128

5


21. Jawaban: c1

0∫ 3x 23x 1+ dx =

12

1

0∫ 23x 1+ × 6x dx

= 12

1

0∫ ( )

12 23x 1+ d (3x2 + 1)

= 12

32

12 23

0

(3x 1)⎡ ⎤

+⎢ ⎥⎣ ⎦

= 13 (

3 32 2(3 1) (0 1)+ − + )

= 13 (8 – 1)

= 73

22. Jawaban: cMisalkanu = 4x ⇒ du = 4 dxdv = (x – 2)3 dx⇒ v = ∫ (x – 2)3 dx

= ∫ (x – 2)3 d(x – 2)

= 14 (x – 2)4

∫ u dv = uv – ∫ v du∫ 4x(x – 2)3 dx

= (4x) × 14 (x – 2)4 – ∫ 1

4 (x – 2)4 (4 dx)

= x(x – 2)4 – ∫ (x – 2)4 d(x – 2)

= x(x – 2)4 – 15 (x – 2)5 + c

= 15 (x – 2)4 (5x – (x – 2)) + c

= 15 (4x + 2)(x – 2)4 + c

23. Jawaban: dDaerah yang diarsir dibatasi oleh parabola y = (2 – x)2

dan sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 2.Luas daerah yang diarsir:

L = 2

0∫ (2 – x)2 dx

= 2

0∫ (4 – 4x + x2) dx

= 212 3

3 04x 2x x⎡ ⎤− +⎣ ⎦

= (8 – 8 + 83 ) – 0 =

83


24. Jawaban: c


L = 4

1∫ y dx

= 4

1∫ (–x2 + 4x + 5) dx

= 41 3 2

3 1x 2x 5x⎡ ⎤− + +⎣ ⎦

= (–643 + 32 + 20) – (–

13 + 2 + 5)

= (–643 + 52) – (–

13 + 7)

= 643

− +

13 + 52 – 7

= 633

− + 45

= –21 + 45 = 24Jadi, luas daerah yang diarsir 24 satuan luas.

25. Jawaban: c

L = 3

2

1( x−∫ + 4x) dx

= 3

3 2

1

13

x + 2x⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

= (–9 + 18) – (–13 + 2)

= 713 satuan luas

26. Jawaban: aTentukan titik potong antara kedua kurvay = x2 x2 = xy = x ⇔ x2 – x = 0

⇔ x(x – 1) = 0⇔ x = 0 atau x = 1

L = ∫1

0(x – x2) dx

= 1

2 3

0

1 1

2 3x x⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

= (12 –

13 ) – 0 =

16

Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva adalah16 satuan luas.

Y

X

y = –x2 + 4x + 5

8

5

–1 0 1 2 3 4 5

Y

X0 1 2 3 4

y = –x2 + 4x

18 Integral

27. Jawaban: ey = 2 ⇒ x2 – 4x – 3 = 2

⇔ x2 – 4x – 5 = 0⇔ (x + 1)(x – 5) = 0⇔ x = –1 atau x = 5

Parabola dan garis berpotongan di titik (–1, 0) dan(5, 0).


L = 5

1−∫ (2 – (x2 – 4x – 3)) dx

= 5

1−∫ (–x2 + 4x + 5) dx

= –5

1−∫ (x2 – 4x – 5) dx

= –⎡⎢⎣

13 x3 – 2x2 – 5x

5

1−⎤⎥⎦

= –((125

3 – 50 – 25) – (–13 – 2 + 5))

= –(–3313 – 2

23 ) = 36

Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva adalah36 satuan luas.

28. Jawaban: eLuas daerah pada interval 0 ≤ x ≤ 1

LI = 1

0∫ ((2 – x) – x2) dx

= 1

0∫ (2 – x – x2) dx

= 11 12 3

2 3 02x x x⎡ ⎤− −⎣ ⎦

= (2(1) – 12 (1)2 –

13 (1)3) – 0

= 2 – 12 –

13

= 76 satuan luas

Luas daerah pada interval 1 ≤ x ≤ 2

LII = 2

1∫ (x2 – (2 – x)) dx

= 2

1∫ (x2 + x – 2) dx

= 21 13 2

3 2 1x x 2x⎡ ⎤+ −⎣ ⎦

= (83 + 2 – 4) – (

13 +

12 – 2)

= 23 – (–

76 )

= 116 satuan luas

Luas daerah yang diarsir:L = LI + LII

= 76 +

116

= 186

= 3Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva adalah3 satuan luas.

29. Jawaban: cMenentukan titik potong antara kedua kurvay = x2 – x – 2y = x + 1––––––––––––––––– –0 = x2 – 2x – 3⇔ (x + 1)(x – 3) = 0⇔ x = –1 atau x = 3


L = 3

0∫ (y1 – y2) dx =

3

0∫ ((x + 1) – (x2 – x – 2)) dx

= 3

0∫ (2x – x2 + 3) dx

= 312 3

3 0x x 3x⎡ ⎤− +⎣ ⎦

= (9 – 9 + 9) – 0 = 9Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva adalah9 satuan luas.

Y

X

y1 = x + 1

y2 = x2 – x – 2

1

–1

–2

0 2 3

0

Y

X

y = x2 – 4x – 3

5–1

y = 22


30. Jawaban: cTitik potong kedua kurva:

y1 = y2⇔ 6x – x2 = x2 – 2x⇔ 2x2 – 8x = 0⇔ 2x(x – 4) = 0⇔ x = 0 atau x = 4

Luas = ∫4

0((6x – x2) – (x2 – 2x)) dx

= ∫4

0(8x – 2x2) dx

= 422 3

3 04x x⎡ ⎤−⎣ ⎦

= 4(4)2 – 32

(4)3 – 0 = 643

Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva adalah

643 satuan luas.

1. a. ∫ (2x + 3)(3x – 2) dx= ∫ (6x2 + 5x – 6) dx

= 6 × 13 x3 + 5 ×

12 x2 – 6x + c

= 2x3 + 52 x2 – 6x + c

b. ∫ (3 – 2 x )2 dx

= ∫ (9 – 12x12 + 4x) dx

= 9x – 12 × 23 x

32 + 4 ×

12 x2 + c

= 9x – 8x x + 2x2 + c

2. a.1

0∫

23x 2xx

− dx = 1

0∫ (3 – 2x) dx

= 12

03x x⎡ ⎤−⎣ ⎦

= (3 – 1) – (0 – 0)= 2

b.2

1∫ (12 – 14x + x2) dx

= ⎡⎢⎣12x – 7x2 +

13 x3

2

1⎤⎥⎦

= (24 – 28 + 83 ) – (12 – 7 +

13 )

= –623

3. a.4

1−∫ y dx =

4

1−∫ (2x + 1) dx

= ⎡⎢⎣x2 + x

4

1−⎤⎦

= (16 + 4) – (1 + (–1))= 20

b.2

0∫ (y2 – y) dx

= 2

0∫ ((2x + 1)2 – (2x + 1)) dx

= 2

0∫ (4x2 + 4x + 1 – 2x – 1) dx

= 2

0∫ (4x2 + 2x) dx

= ⎡⎢⎣

43 x3 + x2

2

0⎤⎥⎦

= (323 + 4) – 0

= 1423

4. Diketahui f′(x) = mx – 4 dengan f′(1) = 2 danf(–1) = 3.a. Tentukan rumus fungsi f(x).b. Tentukan hasil ∫ f(x) dx.Jawaban:a. f′(x) = mx – 4

f′(1) = 2 ⇒ m – 4 = 2⇔ m = 6

Diperoleh f′(x) = 6x – 4f(x) = ∫ f′(x) dx = ∫ (6x – 4) dx

= 3x2 – 4x + cf(–1) = 3 ⇒ 3(–1)2 – 4(–1) + c = 3

⇔ 3 + 4 + c = 3⇔ c = –4

Jadi, f(x) = 3x2 – 4x – 4.

Y

X0 2 4y = 6x – x2

y = x2 – 2x

6


20 Integral

b. ∫ f(x) dx = ∫ (3x2 – 4x – 4) dx= x3 – 2x2 – 4x + c

5. Misalkan u = x2 – x + 8dudx = 2x – 1 ⇔ du = (2x – 1) dx

∫ (6x – 3) 2x x 8− + dx

= 3 ∫ 2x x 8− + (2x – 1)dx

= 3 ∫ u du

= 3 ∫ u12 du

= 3 × 23 u

32 + c

= 2 3u + c

= 2u u + c

= 2(x2 – x + 8) 2x x 8− + + c

6. Misalkanu = x2 – 4x + 2dudx = 2x – 4 ⇔ du = (2x – 4) dxx = 0 → u = 0 – 0 + 2 = 2x = 1 → u = 1 – 4 + 2 = –11

0∫ 2 2

8x 16(x 4x + 2)

−−

dx

= 1

0∫ (x2 – 4x + 2)–2 × 4(2x – 4) dx

= 41

2

−

∫ u–2 du

= 41

1

2

11u

−−

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

= –41

2

1u

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

= –4(11− –

12 )

= –4 × (–32 )

= 6

7.4

2∫ 4x(x – 3)3 dx

Turunan Integral4x (x – 3)3

414 (x – 3)4

01

20 (x – 3)5

4

2∫ 4x(x – 3)4 dx

= 41 14 5

4 20 24x( (x 3) ) 4( (x 3) )⎡ ⎤− − −⎣ ⎦

= 414 5

5 2x(x 3) (x 3)⎡ ⎤− − −⎣ ⎦

= 414

5 2(x 3) (x (x 3))⎡ ⎤− − −⎣ ⎦

= 414

5 2(x 3) (5x x 3)⎡ ⎤− − +⎣ ⎦

= 414

5 2(x 3) (4x 3)⎡ ⎤− +⎣ ⎦

= (1)4 15 (16 + 3) – (–1)4 1

5 (8 + 3)

= 195 –

115

= 85 = 1

35

Jadi, 4

2∫ 4x(x – 3)3 dx = 1

35 .

8. a. Titik potong kurva dengan sumbu Xx2 – 4x + 3 = 0

⇔ (x – 1)(x – 3) = 0⇔ x = 1 atau x = 3

L = – ∫3

1(x2 – 4x + 3) dx

= –31 3 2

3 1x 2x 3x⎡ ⎤− +⎣ ⎦

= –((9 – 18 + 9) – (13 – 2 + 3))

= –(0 – 113 ) = 1

13

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 113 satuan

luas.b. Titik potong kurva dengan sumbu X

8 – 2x2 = 0⇔ 2x2 = 8⇔ x2 = 4⇔ x = 2 atau x = –2

L = 2

2(8

−∫ – 2x2) dx

= 22 3

3 28x x

−⎡ ⎤−⎣ ⎦

= (16 – 163 ) – (–16 – (–

163 ))

= 1023 – (–10

23 ) = 21

13

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 2113

satuan luas.

+⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→–⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→


9.

LI = 0

3−∫ x3 dx

= 0

4

3

1

4x

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

= –(0 – 814 )

= 814 satuan luas

LII simetris dengan LI ⇒ LII = 814 satuan luas

Jadi, L = LI + LII = 814 +

814 =

1624 = 40

12

Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva tersebut

adalah 4012 satuan luas.

10. a. Daerah D

b. Luas daerah D

L = 4

1−∫ (y1 – y2) dx

= 4

1−∫ ((–x2 + 3x + 4) – (x2 – 3x – 4)) dx

= 4

1−∫ (–2x2 + 6x + 8) dx

= 42 3 2

3 1x 3x 8x

−⎡ ⎤− + +⎣ ⎦

= (–128

3 + 48 + 32) – (23 + 3 – 8)

= (–128

3 + 80) – (23 – 5)

= –130

3 + 85

= –130

3 + 2553

= 125

3

= 4123


–3 0 3

Y

X

I

II

Y

Xy1 = –x2 + 3x + 4

y2 = x2 – 3x – 4

4

–4

–1 0 4

22 Program Linear

• Pertidaksamaan linear duavariabel (PLDV).

• Himpunan penyelesaian perti-daksamaan linear dua variabel.

• Sistem pertidaksamaan lineardua variabel.

Nilai Optimum Fungsi Objektif

• Model matematika.• Metode uji titik pojok.• Metode garis selidik.

• Bersikap kreatif dalam menyelesaikan permasalahan programlinear.

• Mampu menentukan daerah penyelesaian sistem pertidak-samaan linear dua variabel.

• Mampu menentukan sistem pertidaksamaan linear dua variabeldari suatu daerah penyelesaian.

• Mampu menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel.• Mampu menentukan nilai optimum fungsi objektif mengguna-

kan metode uji titik pojok.• Mampu menentukan nilai optimum fungsi objektif mengguna-

kan metode garis selidik.• Mampu menyelesaikan model matematika.• Mampu menafsirkan penyelesaian model matematika.• Mampu merancang dan menyelesaikan model matematika

masalah program linear.

Sistem Pertidaksamaan LinearDua Variabel

Program Linear


1. Jawaban: bGaris 3x – 5y = 15 memotong sumbu X di titik (5, 0)dan memotong sumbu Y di titik (0, –3).Uji titik (0, 0) ke 3x – 5y ≤ 15.3 × 0 – 5 × 0 ≤ 15 (bernilai benar)Daerah penyelesaian 3x – 5y ≤ 15 dibatasi garis3x – 5y = 15 dan memuat titik (0, 0).Jadi, grafik daerah himpunan penyelesaiannyaseperti grafik di bawah ini.

2. Jawaban: cPersamaan garis yang melalui titik (–2, 0) dantitik (0, 1):y 01 0

−− =

x 20 2

++

⇔ y1 =

x 22+

⇔ 2y = x + 2⇔ 2y – x = 2Titik (–1, 0) pada daerah penyelesaian.Uji titik (–1, 0) ke 2y – x.2y – x = 0 – (–1) = 1 < 2Jadi, pertidaksamaannya 2y – x < 2.

3. Jawaban: cPersamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0)adalah ax + by = ab.1) Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan

(6, 0) adalah 4x + 6y = 24 ⇔ 2x + 3y = 12.Titik (1, 1) pada daerah penyelesaian.Uji titik (1, 1) ke 2x + 3y.2x + 3y = 2 × 1 + 3 × 1 = 5 < 12Jadi, PtLDV-nya 2x + 3y ≤ 12

2) Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dantitik (–2, 0) adalah 3x – 2y = –6 ⇔ –3x + 2y = 6.Titik (1, 1) pada daerah penyelesaian.Uji titik (1, 1) ke –3x + 2y.–3x + 2y = –6 ⇔ –3 × 1 + 2 × 1 = –1 ≤ 6Jadi, PtLDV-nya –3x + 2y ≤ 6.

3) Daerah penyelesaian di kanan dan padasumbu Y, maka x ≥ 0.

4) Daerah penyelesaian di atas dan padasumbu X, maka y ≥ 0.Jadi, sistem pertidaksamaannya:x ≥ 0; y ≥ 0; 2x + 3y ≤ 12; –3x + 2y ≤ 6


X

Y

0 5

–3

4. Jawaban: a

Garis –3x + 2y = 21 melalui titik (0, 212 ) dan titik

(–7, 0).Daerah penyelesaian –3x + 2y ≤ 21 di kanan danpada garis –3x + 2y = 21.Garis –2x + 3y = 12 melalui titik (0, 4) dan titik(–6, 0).Daerah penyelesaian –2x + 3y ≥ 12 di kiri dan padagaris –2x + 3y = 12.Daerah penyelesaian x ≤ 0 di kiri dan pada sumbu Y.Jadi, daerah penyelesaian dari sistem pertidak-samaan sebagai berikut.

5. Jawaban: d1) Garis x + y = 3 melalui titik (3, 0) dan titik (0, 3).

Daerah penyelesaian x + y ≥ 3 dibatasi garisx + y = 3 dan tidak memuat (0, 0).

2) Garis y – x = 0 melalui titik (0, 0) dan titik (5, 5).Daerah penyelesaian y – x ≥ 0 dibatasi garisy – x = 0 dan memuat titik (0, 3)

3) Garis 5y – x = 20 melalui titik (0, 4) dan titik(5, 5). Daerah penyelesaian 5y – x ≤ 20 dibatasigaris 5y – x = 20 dan memuat titik (0, 0).

4) Daerah penyelesaian x ≥ 0 merupakan daerahdi kanan dan pada sumbu Y.

Dari 1), 2), 3), dan 4) diperoleh irisan keempatdaerah tersebut yaitu daerah IV.

6. Jawaban: b1) Daerah penyelesaian y ≤ 2x di kanan dan pada

garis y = 2x.2) Daerah penyelesaian 3y ≥ 2x di kiri dan pada

garis 3y = 2x.3) Daerah penyelesaian 2y + x ≤ 20 di kiri dan

pada garis 2y + x = 20.4) Daerah penyelesaian x + y ≥ 3 di kanan dan

pada garis x + y = 3.

Y

X

212

–7 –6 0

4

–3x + 2y = 21

–2x + 3y = 12

24 Program Linear

Y

X0

10

3

3 20

y = 2x

3y = 2x

2y + x = 20

x + y = 3

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan:

Dari gambar terlihat daerah penyelesaian berbentuksegi empat.

7. Jawaban: b1) Garis x – 3y = –3 melalui titik (–3, 0) dan titik

(0, –1).Uji titik (0, 0) ke x – 3y ≤ –3:0 – 3 × 0 ≤ –3 (bernilai salah)Daerah penyelesaian x – 3y ≤ –3 dibatasi garisx – 3y = –3 dan tidak memuat titik (0, 0).

2) Garis 3x + 4y = 12 melalui titik (4, 0) dan titik(0, 3).Uji titik (0, 0) ke 3x + 4y ≤ 12:3 × 0 + 4 × 0 ≤ 12 (bernilai benar)Daerah penyelesaian 3x + 4y ≤ 12 dibatasigaris 3x + 4y = 12 dan memuat titik (0, 0).

3) Daerah penyelesaian yang memenuhi x ≥ 0di kanan dan pada sumbu Y.


Daerah yang diarsir berbentuk segitiga.Panjang alas = AC = 3 – 1 = 2Menentukan koordinat titik B.Garis x – 3y = –3 dan 3x + 4y = 12 berpotongan dititik B. Eliminasi x dari kedua persamaan garis.3x + 4y = 12 × 1 3x + 4y = 12x – 3y = –3 × 3 3x – 9y = –9

––––––––––– –13y = 21

⇔ y = 2113

Substitusikan y = 2113 ke x – 3y = –3.

x – 3y = –3 ⇔ x – 3 × 2113 = –3

⇔ x – 6313 = –3

⇔ x = 6313 –

3913 =

2413

Diperoleh koordinat titik B (2413 ,

2113 ).

Tinggi segitiga = xB = 2413

L = 12 × a × t

= 12 × AC × xB

= 12 × 2 ×

2413

= 2413 = 1

1113

Jadi, luas daerah yang diarsir 11113 satuan.

8. Jawaban: ea.

ABCD berbentuk trapesium.

Luas ABCD = 12 × AB(AD + BC)

= 12 × 5(4 + 9) = 32

12 satuan

b.

ABCD berbentuk layang-layang.

Luas ABCD = 12 × AC × BD

= 12 × 7 × 4 = 14 satuan

Y

X

x – 3y = –3

–33x + 4y = 124

C

1B

A

3

0 –3 –2 –1 0 1 2 3

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

A

B

C

D

5x + 2y = –10

x + y = 2 x – y = –2

5x – 2y = 10

X

Y

X–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

5

4

3

2

1

–1

–2

–3

Y

A

B C

Dy = 3

y = –2

x = –2

x + y = 5


Y

X–4 –3 –2 –1 1 2 3

5x – 3y = 15

5

4

3

2

1

0–1–2–3

–4

–5

3x + 5y = 15

3x + 4y = –12

Y

X

3x + 2y = –4

y = 1

y = –2

3x + 2y = 11

1

–2

–2 0 3 5

Y

X

y = 2

x + 3y = –4

2x – y = –2x = –4

–4 0 2

2

–2

–3 –2 –1 0 1 2 3

5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

Y

A

B

C

D

3x + 2y = –6

3x + 2y = 6 3x – 2y = –6

3x – 2y = 6

X

c.

ABCD berbentuk persegi.Luas ABCD = AB × BC

= 13 × 13 = 13 satuan

d.

ABCD berbentuk segitiga.

Luas ABCD = 12 × BC × AD

= 12 × 10 × 6 = 30 satuan

e.

ABCD berbentuk belah ketupat.

Luas ABCD = 12 × AC × BD

= 12 × 6 × 4 = 12 satuan

Jadi, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaanyang memiliki luas 12 satuan adalah pilihan e.

9. Jawaban: b1) Pada pilihan a, d, dan e, titik (1, –2) dan (2, –1)

tidak memenuhi pertidaksamaan y ≥ 0 karena–2 < 0 dan –1 < 0.

2)

Titik (1, 2), (1, –2), (2, 1), (2, –1) di dalamdaerah penyelesaian sistem pertidaksamaanpilihan b.

3) Pada pilihan c, titik (1, –2) tidak memenuhipertidaksamaan 5x – 3y ≥ 15 karena5 × 1 – 3 × (–2) = 11 ≤ 15.

Jadi, sistem pertidaksamaan yang benar pilihan b.

10. Jawaban: ca.

Daerah penyelesaian berbentuk jajargenjang.b.

Daerah penyelesaian berbentuk segi empat.

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

Y

A

B

C

D

2x + 3y = 9

2x + 3y = –4

3x – 2y = –6

3x – 2y = 7

X

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7

7

6

5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

Y

A

B CD

y = –3

x – y = –1

3x + 2y = 12

X

26 Program Linear

c.

Daerah penyelesaian berbentuk belah ketupat.

d.

Daerah penyelesaian berbentuk layang-layang.

e.

Daerah penyelesaian berbentuk trapesium.Jadi, sistem pertidaksamaan yang daerah penyele-saiannya berbentuk belah ketupat pilihan c.

B. Uraian

1. 1) Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dantitik (–2, 0):y – 30 – 3

= x – 02 – 0−

⇔ y 33

−− =

x2−

⇔ –2(y – 3) = –3x⇔ –2y + 6 = –3x⇔ 3x – 2y = –6Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis3x – 2y = –6, maka pertidaksamaannya3x – 2y ≥ –6.

2) Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dantitik (6, 0):

y 40 4

−− =

x 06 0

−−

⇔ y 44

−− =

x6

⇔ 6(y – 4) = –4x⇔ 6y – 24 = –4x⇔ 4x + 6y = 24⇔ 2x + 3y = 12Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis2x + 3y = 12, maka pertidaksamaannya 2x +3y ≤ 12.

3) Persamaan garis yang melalui titik (0, –3) dantitik (2, 0):

y ( 3)0 ( 3)

− −− − =

x 02 0

−−

⇔ y 33+

= x2

⇔ 2(y + 3) = 3x⇔ 2y + 6 = 3x⇔ 3x – 2y = 6Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis3x – 2y = 6, maka pertidaksamaannya3x – 2y ≤ 6.

4) Daerah penyelesaian di kanan dan padasumbu Y maka x ≥ 0 dan di atas dan padasumbu X maka y ≥ 0.

Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah:3x – 2y ≥ –62x + 3y ≤ 123x – 2y ≤ 6

y ≥ 0x ≥ 0

2. a. 1) Garis x – y = –2 melalui titik (0, 2) dantitik (–2, 0).Daerah penyelesian x – y ≥ –2 dibatasigaris x – y = –2 dan memuat titik (0, 0).

2) Garis 2x + 3y = 16 melalui titik (0, 163 )

dan titik (8, 0).Daerah penyelesaian 2x + 3y ≤ 16dibatasi garis 2x + 3y = 16 dan memuattitik (0, 0).

3) Garis x – y = 3 melalui titik (0,–3) dantitik (3, 0).Daerah penyelesaian x – y ≤ 3 dibatasigaris x – y = 3 dan memuat titik (0, 0).

4) Garis 2x + 3y = 6 melalui titik (0, 2) dantitik (3, 0).Daerah penyelesaian 2x + 3y ≥ 6 dibatasigaris 2x + 3y = 6 dan tidak memuat titik(0, 0).

Y

X

2x – 3y = –6

2x + 3y = 62x – 3y = –18

2x + 3y = –6 4

2

–6 –3 0

Y

X

y = 1

y = –2

x + y = 13x – y = –13

–5 –4 0 3

1

–2

Y

X

y – x = 0

2x – 5y = 20

2x + 5y = 0

x + y = –4

–2 0 5

–2

–4


I5

4

3

2

1

1 2 3 4 5

V

VIIV

II

III

Daerah penyelesaian x + 2y ≤ 0 dibatasigaris x + 2y = 10 dan memuat titik (0, 0).

4) Daerah penyelesaian x ≥ 0 di kanan danpada sumbu Y dan daerah penyelesiany ≥ 0 di atas dan pada sumbu X.

Daerah penyelesaian:

b. Daerah penyelesaian:

LI = LVI = 12 × 2 × 1 = 1 satuan

LII = LIII = LIV = 2 × 2 = 4 satuan

LV = 12 × 2 × 2 = 2 satuan

Luas daerah himpunan penyelesaian.= LI + LII + LIII + LIV + LV + LVI= 3 LII + 2 LI + LV = 3 × 4 + 2 × 1 + 2= 12 + 2 + 2 = 16 satuanJadi, luas daerah penyelesaiannya 16 satuanluas.

4.

1) Persamaan garis yang melalui titik A(–4, 4)dan D(0, 4) adalah y = 4.Daerah penyelesaian di bawah dan pada garisy = 4 sehingga pertidaksamaannya y ≤ 4.

2) Persamaan garis yang melalui titik A(–4, 4)dan B(–4, 0) adalah x = –4.Daerah penyelesaian di kanan dan pada garisx = –4 sehingga pertidaksamaannya x ≥ –4.

Y

X

6 x – y = –2

2

–3

–2 2 6x + y = 6

x + y = 2

x – 2y = 6


b. 1) Garis x + y = 2 melalui titik (2, 0) dantitik (0, 2).Daerah penyelesaian x + y ≥ 2 dibatasigaris x + y = 2 dan tidak memuat titik(0, 0).Garis x – y = –2 melalui titik (–2, 0) dan(0, 2).Daerah penyelesaian x – y ≥ –2 dibatasigaris x – y = –2 dan memuat titik (0, 0).Garis x + y = 6 melalui titik (6, 0) dan(0, 6).Daerah penyelesaian x + y ≤ 6 dibatasigaris x + y = 6 dan memuat titik (0, 0).Garis x – 2y = 6 melalui titik (6, 0) dan(0, –3).Daerah penyelesaian x – 2y ≤ 6 dibatasigaris x – 2y = 6 dan memuat titik (0, 0).


3. a. 1) Garis 2x + y = 10 melalui titik (5, 0) dantitik (0, 10).Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 10 dibatasigaris 2x + y = 10 dan memuat titik (0, 0).

2) Garis x + y = 6 melalui titik (6, 0) dantitik (0, 6).Daerah penyelesaian x + y ≤ 6 dibatasigaris x + y = 6 dan memuat titik (0, 0).

3) Garis x + 2y = 10 melalui titik (10, 0) dantitik (0, 5).

Y

X

–3

x – y = –2

x – y = 3

2x + 3y = 16

2x + 3y = 6

–2 3 8

163

2

0 5 6 10 X

Y

x + 2y = 10

x + y = 6

2x + y = 1010

65

Y

X

A

B

C

D

–4 0 3

4

–3

28 Program Linear

A

Y

X

5

2

0

–2

–3

–4

5x – y = 13

B

C

D

x + 2y = –4

5x – 2y = –20

2 3–2

3x + 5y = 19

3) Persamaan garis yang melalui titik B(–4, 0)dan titik C(3, –3):

B

C B

y yy y

−− = B

C B

x xx x

−−

⇔y 03 0

−− − =

x 43 ( 4)

+− −

⇔ y3− = x 4

7+

⇔ 7y = –3(x + 4)⇔ 7y = –3x – 12⇔ 3x + 7y= –12Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis3x + 7y = –12 maka pertidaksamaannya3x + 7y ≥ –12.

4) Persamaan garis yang melalui titik C(3, –3)dan titik D(0, 4):

D

C D

y yy y

−− = D

C D

x xx x

−−

⇔y 43 4

−− − =

x 03 0

−−

⇔ y 47

−− =

x3

⇔ 3y – 12 = –7x⇔ 7x + 3y= 12Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis7x + 3y = 12 maka pertidaksamaannya7x + 3y ≤ 12.

Jadi, sistem pertidaksamaannya adalahy ≤ 4x ≥ –4

3x + 7y≥ –127x + 3y≤ 12

5.

Diagonal-diagonal daerah penyelesaian adalah ACdan BD.

Panjang AC = 2 2C A C A(x x ) (y y )− + −

= 2 2(2 2) ( 3 5)+ + − −

= 2 24 ( 8)+ −

= 16 + 64 = 80 = 4 5

Panjang BD = 2 2D B D B(x x ) (y y )− + −

= 2 2(3 4) (2 0)+ + +

= 2 27 2+ = 49 + 4 = 53Jadi, panjang diagonal-diagonal daerah penyelesaiansistem pertidaksamaan adalah 4 5 satuan dan

53 satuan.

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: cUji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = x + 3y:

Jadi, nilai maksimum f(x, y) = x + 3y adalah 18.

2. Jawaban: aPersamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0)adalah ax + by = ab.Persamaan garis yang melalui titik (0, 8) dan titik(8, 0) adalah 8x + 8y = 64 ⇔ x + y = 8 . . . (1)Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan titik(12, 0) adalah 4x + 12y = 48 ⇔ x + 3y = 12 . . . (2)Menentukan koordinat titik potong garis x + y = 8dan x + 3y = 12.

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2):x + 3y = 12x + y = 8––––––––––– –

2y = 4 ⇔ y = 2Substitusikan y = 2 ke dalam persamaan x + y = 8diperoleh:x + 2 = 8 ⇔ x = 6Diperoleh koordinat titik potong kedua garis (6, 2).Titik pojok daerah penyelesaian adalah A(12, 0),B(6, 2), dan C(0, 8).Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 3x + 4y.

Jadi, nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 3x + 4yadalah 26.

Titik Pojok

(2, 0)(4, 1)(6, 4)(2, 5)(0, 1)

f(x, y) = x + 3y

2 + 3 × 0 = 24 + 3 × 1 = 76 + 3 × 4 = 182 + 3 × 5 = 170 + 3 × 1 = 3

Titik Pojok

A(12, 0)B(6, 2)C(0, 8)

f(x, y) = 3x + 4y

3 × 12 + 4 × 0 = 363 × 6 + 4 × 2 = 263 × 0 + 4 × 8 = 32

← Minimum


A(0, 8)B(4, 4)

C(0, 12)

0 – 2 × 8 = –164 – 2 × 4 = –40 – 2 × 12 = –24

Titik Pojok z = x – 2y

3. Jawaban: dPersamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0)adalah ax + by = ab.Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan(–2, 0) adalah 4x – 2y = –8 ⇔ 2x – y = –4.Persamaan garis yang melalui titik (0, 2) dan(–3, 0) adalah 2x – 3y = –6.Persamaan garis yang melalui titik (0, 7) dan(7, 0) adalah 7x + 7y = 49 ⇔ x + y = 7.Garis 2x – 3y = –6 dan x + y = 7 berpotongan dititik C(3, 4).Garis 2x – y = –4 dan x + y = 7 berpotongan di titikD(1, 6).Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 3y – x.

Jadi, nilai maksimum fungsi obyektif f(x, y) = 3y –xadalah 17.

4. Jawaban: bPersamaan garis yang melalui titik (0, a) dan(b, 0) adalah ax + by = ab.Persamaan garis yang melalui titik (0, –2) dan(3, 0) adalah –2x + 3y = –6.Persamaan garis yang melalui titik (0, 5) dan(10, 0) adalah 5x + 10y = 50 ⇔ x + 2y = 10.Persamaan garis yang melalui titik (1, 0) dan sejajarsumbu Y adalah x = 1.Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan sejajarsumbu X adalah y = 3.Menentukan koordinat titik C.Titik C merupakan titik potong antara garis–2x + 3y = –6 dan x + 2y = 10.Eliminasi x dari kedua persamaan garis.–2x + 3y = –6 × 1 –2x + 3y = –6

x + 2y = 10 × 2 2x + 4y = 20–––––––––––– +

7y = 14⇔ y = 2

Substitusikan y = 2 ke persamaan garis x + 2y = 10.x + 2y = 10

⇔ x + 2 × 2 = 10⇔ x + 4 = 10⇔ x = 6Diperoleh koordinat titik C (2, 6).Menentukan koordinat titik D.Titik D merupakan titik potong antara garis y = 3dan x + 2y = 10.Substitusikan y = 3 ke persamaan garis x + 2y = 10.

x + 2y = 10⇔ x + 2 × 3 = 10⇔ x + 6 = 10⇔ x = 4

Diperoleh koordinat titik D (4, 3).Persamaan fungsi objektif f(x, y) = 5x + 5y.Titik-titik pojok daerah penyelesaian adalah A(1, 0),B(3, 0), C(6, 2), D(4, 3), dan E(1, 3).Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 5x + 5y.

Dari tabel di atas diperoleh nilai minimum f(x, y)adalah 5.Jadi, persamaan garis selidik yang menyebabkanf(x, y) mencapai minimum adalah 5x + 5y = 5.

5. Jawaban: dGaris x + y = 8 melalui titik (0, 8) dan titik (8, 0).Garis 2x + y = 12 melalui titik (0, 12) dan titik (6, 0).Garis x + y = 8 dan 2x + y = 12 berpotongan dititik B(4, 4).

Uji (0, 0) Penyelesaian

x + y ≥ 8 ⇒ 0 + 0 ≥ 8 Salah Tidak memuat titik (0, 0)2x + y ≤ 12 ⇒ 0 + 0 ≤ 12 Benar Memuat titik (0, 0)


Uji titik pojok ke fungsi objektif z = x – 2y:

Nilai maksimum z = x – 2y adalah –4 dan nilaiminimum –24.Dengan demikian, M = –4 dan m = –24.Jadi, nilai M – m = –4 – (–24) = 20.

6. Jawaban: bGaris 2x + y = 8 melalui titik (0, 8) dan titik (4, 0).Uji titik (0, 0) ke 2x + y ≤ 8.2 × 0 + 0 ≥ 8 (salah)Daerah 2x + y ≥ 8 dibatasi garis 2x + y = 8 dantidak memuat titik (0, 0).Daerah penyelesaian 0 ≤ x ≤ 7 di kanan dan padagaris x = 0, di kiri dan pada garis x = 7.

A(1, 0)B(3, 0)C(6, 2)D(4, 3)E(1, 3)

5 × 1 + 5 × 0 = 55 × 3 + 5 × 0 = 155 × 6 + 5 × 2 = 405 × 4 + 5 × 3 = 355 × 1 + 5 × 3 = 20

Titik Pojok f(x, y) = 5x + 5y

← Minimum

A(0, 4)B(0, 2)C(3, 4)D(1, 6)

3 × 4 – 0 = 123 × 2 – 0 = 63 × 4 – 3 = 93 × 6 – 1 = 17

Titik Pojok f(x, y) = 3y – x

← Maksimum

Y

X0

12

8

6 8

A

B(4, 4)

C

2x + y = 12

x + y = 8

30 Program Linear

Daerah penyelesaian 1 ≤ y ≤ 2 di atas dan padagaris y = 1, di bawah dan pada garis y = 2.Daerah penyelesaian:

Garis 2x + y = 8 berpotongan dengan garis y = 4di titik A(2, 4).Garis 2x + y = 8 berpotongan dengan y = 1 di titik

B(72 , 1).

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 5x + 10y:

Jadi, nilai minimum f(x, y) = 5x + 10y adalah 27,5.7. Jawaban: c

a. Garis 4x + y = 12 melalui titik (0, 12) dan(3, 0). Daerah penyelesaian 4x + y ≥ 12 dikanan dan pada garis 4x + y = 12.Garis 2x + y = 12 melalui titik (0, 12) dan(6, 0). Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 12 di kiridan pada garis 2x + y = 12.Garis x – 2y = –6 melalui titik (0, 3) dan(–6, 0). Daerah penyelesaian x – 2y ≥ –6 dikanan dan pada garis x – 2y = –6.

b. Daerah penyelesaian:

Garis 4x + y = 12 dan x – 2y = –6 berpotongandi titik A(2, 4). Garis 2x + y = 12 dan x – 2y = –6

berpotongan di titik D(185 ,

245 ).

c. Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y)= 10x + 15y.

Jadi, nilai maksimum f(x, y) = 10x + 15yadalah 108.

8. Jika fungsi f(x, y) = 5.000 – x – y dengan syaratx ≥ 0, y ≥ 0, x – 2y + 2 ≥ 0, dan 2x+ y – 6 ≥ 0 maka. . . .a. fungsi f mempunyai nilai minimum dan nilai

maksimumb. fungsi f tidak mempunyai nilai minimum

maupun nilai maksimumc. fungsi f mempunyai nilai minimum dan tidak

mempunyai nilai maksimumd. fungsi f mempunyai nilai maksimum dan tidak

mempunyai nilai minimume. nilai minimum dan nilai maksimum fungsi f

tidak dapat ditentukanJawaban: aGaris x – 2y = 0 melalui titik (0, 1) dan (–2, 0).Daerah penyelesaian x – 2y + 2 ≥ 0 di kanan danpada garis x – 2y + 2 = 0.Garis 2x + y – 6 = 0 melalui titik (0, 6) dan (3, 0).Daerah penyelesaian 2x + y – 6 ≥ 0 di kanan danpada garis 2x + y – 6 = 0.Daerah penyelesaian x ≥ 0 di kanan dan padasumbu Y.Daerah penyelesaian y ≥ 0 di atas dan padasumbu X.Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.

Uji titik pojok:

Dari tabel terlihat fungsi objektif f(x, y) mempunyainilai minimum 4.996 dan nilai maksimum 5.000.Jadi, pernyataan yang benar adalah pilihan a.

Y

X

y = 2

y = 1

8

4

1

0 4 72x + y = 8

B C

A D

A(2, 4)

B( 72 , 1)

C(7, 1)

D(7, 4)

5 × 2 + 10 × 4 = 50

5 × 72 + 10 × 1 = 27,5

5 × 7 + 10 × 1 = 45

5 × 7 + 10 × 4 = 75


← Minimum

Y

X

12

3

D

A

B C

x – 2y = –6

4x + y = 12–6 3 6

2x + y = 120

A(2, 4)

B(3, 0)

C(6, 0)

D( 185 , 24

5 )

10 × 2 + 15 × 4 = 80

10 × 3 + 15 × 0 = 30

10 × 6 + 15 × 0 = 60

10 × 185 + 15 × 24

5 = 108


← Maksimum

Titik Pojok

A(0, 1)O(0, 0)B(3, 0)C(2, 2)

f(x, y) = 5.000x – x – y

5.000 – 0 – 1 = 4.9995.000 – 0 – 0 = 5.0005.000 – 3 – 0 = 4.9975.000 – 2 – 2 = 4.996

Y

X

x – 2y + 2 = 0

2x + y –6 = 0

AB

C(2, 2)

–2 0 3

6

1 O


9. Jawaban: aMisalkan: x = banyak sepatu jenis I

y = banyak sepatu jenis II

Kios hanya cukup ditempati 40 pasang sepatu.Pertidaksamaan yang memenuhix + y ≤ 40 . . . (1)Modal yang dimiliki hanya Rp3.000.000,00.Pertidaksamaan yang memenuhi60.000x + 80.000y≤ 3.000.000⇔ 3x + 4y ≤ 150 . . . (2)Banyak sepatu jenis I tidak boleh negatif. Pertidak-samaan yang memenuhi x ≥ 0 . . . (3)Banyak sepatu jenis II tidak boleh negatif. Pertidak-samaan yang memenuhi y ≥ 0 . . . (4)Dari pertidaksamaan (1)–(4) diperoleh SPtLDV:

3x + 4y ≤ 150x + y ≤ 40

x ≥ 0y ≥ 0

10. Jawaban: dMisalkan: x = banyak mangga

y = banyak apelPutri harus membeli paling sedikit 3 mangga dan2 apel, maka diperoleh:x ≥ 3 dan y ≥ 2 . . . (1)Jumlah buah yang dibeli paling sedikit 7 buah, makadiperoleh:x + y ≥ 7 . . . (2)Putri mempunyai uang Rp12.000,00, sedangkanharga mangga Rp1.800,00 per buah dan harga apelRp1.500,00 per buah, maka diperoleh:1.800x + 1.500y ≤ 12.000⇔ 18x + 15y ≤ 120⇔ 6x + 5y ≤ 40 . . . (3)Dari pertidaksamaan (1), (2), dan (3) diperolehsistem pertidaksamaan berikut.

6x + 5y ≤ 40x + y ≥ 7

x ≥ 3y ≥ 2

Jadi, sistem pertidaksamaan yang sesuai adalahpilihan d.

11. Jawaban: cMisalkan: x = banyak mobil

y = banyak bus

Model matematika permasalahan tersebut adalahmemaksimumkan f(x, y) = 2.000x + 3.500y dengankendala:

x + y ≤ 586x + 24y ≤ 600 ⇔ x + 4y ≤ 100

x ≥ 0y ≥ 0


Uji titik pojok ke fungsi objektiff(x, y) = 2.000x + 3.500y

Nilai maksimum f(x, y) = 2.000x + 3.500y adalah137.000.Jadi, jika tempat parkir penuh hasil dari biaya parkirmaksimum mencapai Rp137.000,00.

12. Jawaban: dMenentukan model matematika dari permasalah-an pada soal.Misalkan: x =banyak mobil A yang disewa

y =banyak mobil B yang disewaMobil A memuat 14 orang dan mobil B memuat7 orang, sedangkan jumlah siswa 98 orang, makadiperoleh 14x + 7y ≥ 98 ⇔ 2x + y ≥ 14 . . . (1)

Mobil tipe B yang disewa tidak kurang dari 45

banyak mobil tipe A, maka diperoleh y ≥ 45 x . . . (2)

Mobil tipe B yang disewa tidak lebih dari 32 banyak

mobil tipe A, maka diperoleh y ≤ 32 x . . . (3)

Setiap mobil terisi penuh, maka fungsi objektifadalah meminimumkan f(x, y) = x + y.Dengan demikian, diperoleh model matematikasebagai berikut.

Sepatu

Jenis IJenis II

Pembatas

Banyak

xy

40

Harga

60.00080.000

3.000.000

Y

XA

C

58

25

0 58 100

B(44, 14)

x + 4y = 100x + y = 58

Titik Pojok

O(0, 0)A(58, 0)B(44, 14)C(0, 25)

f(x, y) = 2.000x + 3.500y

2.000 × 0 + 3.500 × 0 = 02.000 × 58 + 3.500 × 0 = 116.0002.000 × 44 + 3.500 × 14 = 137.0002.000 × 0 + 3.500 × 25 = 87.500

Jenis Kendaraan

MobilBus

Pembatas

Banyak

xy

58

Luas

624

600

Biaya Parkir

2.0003.500

32 Program Linear

Meminimumkan fungsi objektif f(x, y) = x + ydengan kendala:

14x + 7y ≥ 29

y ≥ 45 x

y ≤ 32 x


Menentukan koordinat titik A.Titik A merupakan perpotongan antara garis

2x + y = 14 dan y = 45 x.

Substitusikan y = 45 x ke persamaan 2x + y = 14

diperoleh:

2x + 45 x = 14

⇔ 145 x = 14

⇔ x = 5

Substitusi x = 5 ke y = 45 x sehingga diperoleh

y = 45 × 5 = 4. Dengan demikian, diperoleh koordinat

titik A(5, 4).Menentukan koordinat titik B.Titik B merupakan perpotongan antara garis

y = 32 x dan 2x + y = 14.

Substitusi y = 32 x ke persamaan 2x + y = 14

sehingga diperoleh:

2x + 32 x = 14

⇔ 72 x = 14

⇔ x = 4

Substitusi x = 4 ke dalam persamaan y = 32 x

sehingga diperoleh:

y = 32 × 4 = 6

Dengan demikian, diperoleh koordinat titik B(4, 6).Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = x + y.

Dari tabel di atas diperoleh nilai minimum fungsiobjektif f(x, y) = 9.Jadi, jumlah mobil yang disewa 9.

13. Jawaban: eMenentukan model matematika.Misalkan: x = banyak pisang cokelat

y= banyak pisang goreng

Model matematika permasalahan adalahmemaksimumkan f(x, y) = 500x + 300y dengankendala:

x + y ≤ 4001.000x + 400y ≤ 250.000 ⇔ 5x + 2y ≤ 1.250x ≥ 0, y ≥ 0

Menentukan daerah penyelesaian.Garis x + y = 400 melalui titik (0, 400) dan (400, 0).Daerah penyelesaian x + y ≤ 400 di kiri dan padagaris x + y = 400.Garis 5x + 2y = 1.250 melalui titik (0, 625) dan(250, 0).Daerah penyelesaian 5x + 2y ≤ 1.250 di kiri danpada garis 5x + 2y = 1.250.Daerah penyelesaian x ≥ 0 dan y ≥ 0 di kuadran I.Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.

Titik B merupakan perpotongan antara garis5x + 2y = 1.250 dan x + y = 400.

Titik Pojok

A(5, 4)B(4, 6)

f(x, y) = x + y

5 + 4 = 94 + 6 = 10

JenisPisang

CokelatGoreng

Pembatas

Harga

1.000400

250.000

Keuntungan

500300

Banyak

xy

400

y = 45 x

X

Y

14

y = 32 x

A

2x + y = 140 7

B

X

5x + 2y = 1.250

x + y = 400

Y

625

A

B

C400

0 250 400


X

Y

32

18

0 4 18

8x + y = 32

x + y = 18

Eliminasi x dari kedua persamaan garis. x + y = 400 × 2 2x + 2y= 8005x + 2y = 1.250 × 1 5x + 2y= 1.250

––––––––––––– ––3x = –450

⇔ x = 150Substitusikan x = 150 ke persamaan x + y = 400.

x + y = 400⇔150 + y = 400⇔ y = 250Diperoleh koordinat titik B(150, 250).Titik pojok daerah penyelesaian adalah O(0, 0),A(250, 0), B(150, 250), dan C(0, 400).Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 500x + 300y.

Dari tabel diperoleh nilai maksimum f(x, y) = 150.000.Jadi, keuntungan maksimumnya Rp150.000,00.

14. Jawaban: cMisalkan: x = banyak tanaman anggrek (pot)

y = banyak tanaman hias (pot)

Paling sedikit 30 pot tanaman anggrek.Diperoleh pertidaksamaan x ≥ 30 . . . (1)Paling sedikit 40 pot tanaman hias.Diperoleh pertidaksamaan y ≥ 40 . . . (2)Kios dapat menampung tidak lebih dari 120 pot.Diperoleh pertidaksamaan:x + y ≤ 120 . . . (3)Model matematika permasalahan adalah memaksi-mumkan f(x, y) = 10.000x + 15.000y dengankendala:

x ≥ 30y ≥ 40

x + y ≤ 120Daerah penyelesaian SPtLDV:

Uji titik pojok ke f(x, y) = 10.000x + 15.000y

Nilai maksimum f(x, y) = 10.000x + 15.000y adalah1.650.000.Jadi, keuntungan terbesar yang dapat diperolehRp1.650.000,00.

15. Jawaban: eMisalkan: x = banyak sapi

y = banyak kambing

Jenis Hewan Banyak Harga Beli Keuntungan

Sapi x 12.000.000 5.000.000Kambing y 1.500.000 700.000

Pembatas 18 48.000.000

Model matematika permasalahan adalahmemaksimumkan f(x, y) = 5.000.000x + 700.000ydengan kendala:

x + y ≤ 1812.000.000x + 1.500.000y ≤ 48.000.000⇔ 8x + y ≤ 32x ≥ 0y ≥ 0


Uji titik pojok ke f(x, y) = 5.000.000x + 700.000y:Titik Pojok f(x, y) = 5.000.000x + 700.000y

O(0,0) 5.000.000 × 0 + 700.000 × 0 = 0A(4, 0) 5.000.000 × 4 + 700.000 × 0 = 20.000.000B(2, 6) 5.000.000 × 2 + 700.000 × 16 = 21.000.000C(0, 18) 5.000.000 × 0 + 700.000 × 18 = 12.600.000

Nilai f(x, y) terbesar 21.000.000 dicapai di titik B(2, 16)atau pada saat x = 2 dan y = 16.Jadi, pendapatan terbesar diperoleh jika PakMahmud membeli 2 ekor sapi dan 16 ekor kambing.

Jenis Tanaman

AnggrekHias

Pembatas

Banyak

xy

120

Keuntungan

10.00015.000

Y

120

40

C(30, 90)

B(80, 40)A(30, 40)

X0x = 30 x + y = 120

120

y = 40

Titik Pojok

A(30, 40)B(80, 40)C(30, 90)

f(x, y) = 10.000x + 15.000y

10.000 × 30 + 15.000 × 40 = 900.00010.000 × 80 + 15.000 × 40 = 1.400.00010.000 × 30 + 15.000 × 90 = 1.650.000

Titik Pojok

O(0, 0)A(250, 0)B(150, 250)C(0, 400)

f(x, y) = 500x + 300y

500 × 0 + 300 × 0 = 0500 × 250 + 300 × 0 = 125.000500 × 150 + 300 × 250 = 150.000500 × 0 + 300 × 400 = 120.000

34 Program Linear

B. Uraian

1. a. Persamaan garis g adalah x – y = –10.Koordinat titik A(0, 25).Garis selidik yang melalui titik A memilikipersamaan x – y = –25.Koordinat titik B(15, 5).Garis selidik yang melalui titik B memilikipersamaan x – y = 10.Koordinat titik C(30, 40).Garis selidik yang melalui titik C memilikipersamaan x – y = –10.Persamaan garis melalui titik (–10, 0) dan (0, 25)adalah 25x – 10y = –250 ⇔ 5x – 2y = –50.Garis 5x – 2y = –50 dan y = 40 berpotongandi titik D.Substitusi y = 40 ke 5x – 2y = –50 diperoleh:

5x – 2 × 40 = –50⇔ 5x – 80 = –50⇔ 5x = 30⇔ x = 6Diperoleh koordinat titik D(6, 40).Garis selidik yang melalui titik D(6, 40)memiliki persamaan x – y = –36.Jadi, nilai maksimumnya 10 dan nilaiminimumnya –36.

b. Persamaan garis g adalah x + y = 4.Persamaan garis yang melalui titik (–2, 0) dan(0, 4) adalah 4x – 2y = –8 ⇔ 2x – y = –4.Persamaan garis yang melalui titik (6, 0) dan(0, 12) adalah 12x + 6y = 72 ⇔ 2x + y = 12.Persamaan garis yang melalui titik (12, 0) dan(0, 12) adalah 12x + 12y = 144 ⇔ x + y = 12.Menentukan koordinat titik A.Garis 2x – y = –4 dan 2x + y = 12 berpotongandi titik A. Eliminasi y dari kedua persamaangaris.2x – y = –42x + y = 12–––––––––– + 4x = 8 ⇔ x = 2Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan2x + y = 12.2x + y = 12 ⇔ 2 × 2 + y = 12

⇔ 4 + y = 12⇔ y = 8

Diperoleh koordinat titik A(2, 8).Menentukan koordinat titik D.Garis 2x – y = –4 dan x + y = 12 berpotongandi titik D. Eliminasi y dari kedua persamaangaris.2x – y = –4 x + y = 12–––––––––– + 3x = 8

⇔ x = 83

Substitusikan x = 83 ke persamaan x + y = 12.

x + y = 12 ⇔ 83 + y = 12

⇔ y = 12 – 83

⇔ y = 36 8

3−

⇔ y = 283

Diperoleh koordinat titik D(83 ,

283 ).

Garis selidik yang melalui titik A(2, 8) memilikipersamaan x + y = 10.Garis selidik yang melalui titik B(6, 0) memilikipersamaan x + y = 6.Garis selidik yang melalui titik C(12, 0) memilikipersamaan x + y = 12.

Garis selidik yang melalui titik D(83 ,

283 )

memiliki persamaan x + y = 12.Jadi, nilai maksimumnya 12 dan nilaiminimumnya 6.

2. a. Garis 5x + 2y = 40 melalui titik (8, 0) dan titik(0, 20).Daerah penyelesaian 5x + 2y ≤ 40 dibatasigaris 5x + 2y = 40 dan memuat titik (0, 0).Garis x + 2y = 8 melalui titik (8, 0) dan titik (0, 4).Daerah penyelesaian x + 2y ≥ 8 dibatasi garisx + 2y = 8 dan tidak memuat titik (0, 0).Garis x – 2y = –4 yang melalui titik (–4, 0)dan (0, 2).Daerah penyelesaian x – 2y ≥ –4 dibatasi garisx – 2y = –4 dan memuat titik (0, 0).Daerah penyelesaian:

Garis x – 2y = –4 dan x + 2y = 8 berpotongandi titik A. Eliminasi x dari kedua persamaangaris.x – 2y = –4x + 2y = 8–––––––––– –

–4y = –12⇔ y = 3

X

Y

20

4

0 8

5x + 2y = 40

x – 2y = –4

2

x + 2y = 8–4


Substitusikan y = 2 ke dalam persamaanx + 2y = 8.x + 2y = 8 ⇔ x + 2 × 3 = 8

⇔ x + 6 = 8⇔ x = 2

Diperoleh koordinat titik A(2, 3).Garis 5x + 2y = 40 dan x – 2y = –4 berpotongandi titik C. Eliminasi y dari kedua persamaangaris.5x + 2y = 40

x – 2y = –4––––––––––– +

6x = 36⇔ x = 6Substitusikan x = 6 ke persamaan garisx – 2y = –4.x – 2y = –4 ⇔ 6 – 2y = –4

⇔ –2y = –10⇔ y = 5

Diperoleh koordinat titik C(6, 5).Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = 6y – 3x.

Jadi, nilai maksimumnya 12.b. Garis 3y – x = 12 melalui titik (0, 4) dan titik

(–12, 0).Daerah penyelesaian 3y – x ≥ 12 di kiri danpada garis 3y – x = 12.Garis y – x = 20 melalui titik (0, 20) dan titik(–20, 0).Daerah penyelesaian y – x ≤ 20 di kanan danpada garis y – x = 20.Garis y + 2x = 32 melalui titik (0, 32) dan titik(16, 0).Daerah penyelesaian y + 2x ≥ 32 di kanandan pada garis y + 2x = 32.Daerah penyelesaian x ≤ 24 di kiri dan padagaris x = 24.Daerah penyelesaian:

A(2, 3)B(8, 0)C(6, 5)

6 × 3 – 3 × 2 = 126 × 0 – 3 × 8 = –246 × 5 – 3 × 6 = 12

Titik f(x, y) = 6y – 3x

Titik potong antara garis 3y – x = 12 dan garisy + 2x = 32 adalah A(12, 8).Titik potong antara garis y – x = 20 dan y + 2x= 32 adalah D(4, 24).Titik potong antara garis 3y – x = 12 danx = 24 adalah B(24, 12).Titik potong antara garis y – x = 20 dan x = 24adalah C(24, 44).Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = x + 2y.

Jadi, nilai minimum f(x, y) = x + 2y adalah 28.

3. Modal pedagang Rp180.000,00, sedangkan hargabeli minuman x per kaleng Rp3.000,00 dan hargabeli minuman y per kaleng Rp6.000,00 makadiperoleh:3.000x + 6.000y ≤ 180.000⇔ x + 2y ≤ 60 . . . (1)Tempat pedagang hanya mampu menampung 40kaleng minuman, maka diperoleh:x + y ≤ 40 . . . (2)Banyak minuman x dan y selalu bernilai nonnegatifmaka x ≥ 0 dan y ≥ 0 . . . (3)Dari pertidaksamaan (1), (2), dan (3) diperolehsistem pertidaksamaan sebagai berikut.

x + 2y ≤ 60x + y ≤ 40

x ≥ 0y ≥ 0

4. Misalkan: x = banyak bonekay = banyak mobil-mobilan

Jenis Banyak Harga Beli Harga Jual

Boneka x 15.000 20.000Mobil-mobilan y 45.000 65.000

Pembatas 42 900.000

Model matematika permasalahan adalah me-maksimumkan f(x, y) = 5.000x + 20.000y dengankendala:

x + y ≤ 4215.000x + 45.000y ≤ 900.000⇔ x + 3y ≤ 60

x ≥ 0y ≥ 0

A(12, 8)B(24, 12)C(24, 44)D(4, 24)

12 + 2 × 8 = 2824 + 2 × 12 = 4824 + 2 × 44 = 112 4 + 2 × 24 = 52

Titik f(x, y) = x + 2y

← Minimum

Y

X

C

B3y – x = 12

A

y + 2x = 32

–20 –12 12 16 24

44

32

2420

12

84

y – x = 20

D

36 Program Linear


Menentukan koordinat titik B.Titik B adalah perpotongan antara garis x + y = 42dan x + 3y = 60. Eliminasi x dari kedua persamaangaris.

x + y = 42x + 3y = 60–––––––––– –

2y = 18⇔ y = 9Substitusikan y = 9 ke persamaan garis x + y = 42.

x + y = 42⇔ x + 9 = 42⇔ x = 33Diperoleh koordinat titik B(33, 9).Uji titik pojok daerah penyelesaian ke fungsi objektiff(x, y) = 20.000x + 65.000y:

Nilai maksimum f(x, y) adalah 1.300.000.Jadi, pendapatan maksimum yang mungkindiperoleh pedagang tersebut Rp1.300.000,00.

5. Misalkan: x = banyak sabun Ay = banyak sabun B

Y

XA

B

C

42

20

O 42 60x + y = 42 x + 3y = 60

O(0, 0)A(42, 0)B(33, 9)C(0, 20)

20.000 × 0 + 65.000 × 0 = 020.000 × 42 + 65.000 × 0 = 840.00020.000 × 33 + 56.000 × 9 = 1.245.00020.000 × 0 + 65.000 × 20 = 1.300.000

Titik f(x, y) = 20.000x + 65.000y

Model matematika permasalahan tersebut adalahmemaksimumkan f(x, y) = 700x + 600y.dengan kendala:

x + y ≤ 5004000x + 3000y ≤ 1.800.000

⇔ 4x + 3y ≤ 1.800x ≥ 0y ≥ 0


Menentukan koordinat titik B.Garis x + y = 500 dan 4x + 3y = 1.800 berpotongandi titik B. Eliminasi y dari kedua persamaan garis.

x + y = 500 × 3 3x + 3y = 1.5004x + 3y = 1.800 × 1 4x + 3y = 1.800

––––––––––––– ––x = 300

⇔ x = 300Substitusikan x = 300 ke persamaan garisx + y = 500.x + y = 500 ⇔ 300 + y = 500

⇔ y = 200Diperoleh koordinat titik B(300, 200).Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = 700x + 600y.

Nilai maksimum f(x, y) = 700x + 600y adalah330.000 dicapai di titik B(300, 200). Hal ini berartikeuntungan maksimum Rp330.000,00 diperolehjika pedagang menjual 300 sabun A dan 200sabun B.

Jenis

AB

Pembatas

Banyak

xy

500

Keuntungan

700600

Harga Beli

4.0003.000

1.800.00

Y

X

B

A0 450 500

600

500C 4x + 3y = 1.800

x + y = 500

O(0, 0)A(450, 0)B(300, 200)C(0, 500)

700 × 0 + 600 × 0 = 0700 × 450 + 600 = 315.000700 × 300 + 600 × 200 = 330.000700 × 0 + 600 × 500 = 300.000

Titik f(x, y) = 700x + 600y


Y

X62

0 12–2

24

x – y = –2

x + 2y = 122x + y = 24

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: dGaris x – 2y = –8 memotong sumbu X di titik (–8, 0)dan memotong sumbu Y di titik (0, 4). Daerahpenyelesaian x – 2y ≥ –8 di kanan dan pada garisx – 2y = –8. Jadi, daerah penyelesaian pertidak-samaan adalah pilihan d.

2. Jawaban: cPersamaan garis yang melalui titik (–2, 0) dan titik(0, 3):

y 03 0

−− =

x 20 2

++

⇔ y3 =

x 22+

⇔ 2y = 3x + 6⇔ 3x – 2y = –6Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis3x – 2y = –6, maka pertidaksamaanya 3x – 2y ≥ –6.

3. Jawaban: bGaris y – x = 4 melalui titik (0, 4) dan titik (–4, 0).Daerah penyelesaian y – x ≥ 4 di kiri dan padagaris y – x = 4.Garis 7x + 4y = 28 melalui titik (0, 7) dan titik(4, 0).Daerah penyelesaian 7x + 4y ≤ 28 di kiri dan padagaris 7x + 4y = 28.Garis x + 2y = 4 melalui titik (0, 2) dan (4, 0).Daerah penyelesaian x + 2y ≥ 4 di kanan dan padagaris x + 2y = 4. Daerah penyelesaian y ≥ 0 diatas dan pada sumbu X dan daerah penyelesaianx ≤ 0 di kiri dan pada sumbu Y.Jadi, daerah penyelesaian yang sesuai adalahpilihan b.

4. Jawaban: b1) Garis 2x + y = 8 melalui titik (4, 0) dan titik (0, 8).

Uji titik (0, 0) ke 2x + y ≥ 8.2 × 0 + 0 = 0 ≥ 8 (bernilai salah)Daerah penyelesaian 2x + y ≥ 8 dibatasigaris 2x + y = 8 dan tidak memuat titik (0, 0).

2) Garis x + 2y = 12 melalui titik (0, 6) dan titik(12, 0).Uji titik (0, 0) ke x + 2y ≥ 12.0 + 2 × 0 = 0 ≥ 12 (bernilai salah)Daerah penyelesaian x + 2y ≥ 12 dibatasigaris x + 2y = 12 dan tidak memuat titik (0, 0).

3) Daerah penyelesaian x ≥ 0 di kanan dan padasumbu Y.

4) Daerah penyelesaian y ≥ 3 di atas dan padagaris y = 3.


Jadi, daerah penyelesaiannya ditunjukkan olehdaerah II.

5. Jawaban: dGaris x + 2y = 12 melalui titik (12, 0) dan (0, 6).Daerah penyelesaian x + 2y ≥ 12 dibatasi garisx + 2y = 12 dan tidak memuat titik (0, 0).Garis x – y = –2 melalui titik (–2, 0) dan (0, 2).Daerah penyelesaian x – y ≤ –2 dibatasi garisx – y = –2 dan tidak memuat titik (0, 0).Garis 2x + y = 24 melalui titik (12, 0) dan (0, 24).Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 24 dibatasi garis2x + y = 24 dan memuat titik (0, 0).Daerah penyelesaian x ≥ 0; y ≥ 0 adalah daerah dikuadran I.Daerah penyelesaiannya:

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah pilihan d.

6. Jawaban: bGaris x – y = –2 melalui titik (0, 2) dan (–2, 0).Daerah penyelesaian x – y ≥ –2 di kanan dan padagaris x – y = –2.Garis x – y = 1 melalui titik (0, –1) dan (1, 0).Daerah penyelesaian x – y ≤ 1 di kiri dan padagaris x – y = 1.Garis 2x + y = 2 melalui titik (0, 2) dan (1, 0).Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 2 di kiri dan padagaris 2x + y = 2.Garis 2x + y = –4 melalui titik (0, –4) dan (–2, 0).Daerah penyelesaian 2x + y ≥ –4 di kanan danpada garis 2x + y = –4.

Y

X 4 12

8

6

3

0

y = 3

2x + y = 8 x + 2y = 12

38 Program Linear

Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.

Dari gambar terlihat AB sejajar dengan DC danAD sejajar dengan BC. Hal ini berarti ABCDberbentuk jajargenjang.

7. Jawaban: cGaris x + 3y = –3 melalui (–3, 0) dan (0, –1).Daerah penyelesaian x + 3y ≥ –3 di kanan danpada garis x + 3y = –3.Garis y – x = 5 melalui (–5, 0) dan (0, 5).Daerah penyelesaian y – x ≤ 5 di kanan dan padagaris y – x = 5.Garis 4x + 3y = 12 melalui (3, 0) dan (0, 4).Daerah penyelesaian 4x + 3y ≤ 0 di kiri dan padagaris 4x + 3y = 12.Daerah penyelesaian x ≥ 0 dan y ≤ 0 di kuadran II.Daerah penyelesaian:

Dari gambar terlihat titik (–1, 1), (–1, 2), (–1, 3),(–2, 1), (–2, 2), (–3, 1), dan (–4, 1) di dalam daerahpenyelesaian.Jadi, himpunan titik yang berada di dalam daerahpenyelesaian sistem pertidaksamaan adalahpilihan c.

8. Jawaban: ea.

Titik (1, 3) dan (2, 1) di luar daerah penyelesaian.b.

Titik (1, 3) di luar daerah penyelesaian.c.

Titik (0, 3), (1, 2), dan (1, 3) di luar daerahpenyelesaian.

d.

Titik (0, 3) dan (1, 3) di luar daerahpenyelesaian.

X

Y

2x + y = –4

A

B

C

D

2x + y = 2 x – y = –2

x – y = 1

4

3

2

1

0–1

–2

–3

–4

–3 –2 –1 1 2

X

5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–5 –4 –3 –2 –10 1 2 3 4 5

Y

x + 3y = –3

4x + 3y = 12 y – x = 5

Y

X

5y – 3x = 15

2x + y = 4

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2

432

1

X

Yy – 2x = 4

3x + 5y = 15

–2 –1 0 1 2 3 4 5

4321

Y

X

x + 2y = 43y – 5x = 15

–3 –2 –1 0 1 2 3 4

54321

Y

X

2y – x = 4

3x + 5y = 15

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

32


e.

Titik (–1, 1), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2),(1, 3), dan (2, 1) di dalam daerah penyelesaian.

Jadi, himpunan titik P merupakan penyelesaianpertidaksamaan pada pilihan e.

9. Jawaban: dDaerah penyelesaian sistem pertidaksamaanx + y ≤ 8, x + y ≥ 5, dan 0 ≤ x ≤ 6:

Daerah yang diarsir berbentuk jajargenjang denganpanjang alas CD = 8 – 5 = 3 satuan dan tinggi CT= 6 – 0 = 6 satuan.Luas daerah yang diarsir = alas × tinggi

= 3 × 6 = 18 satuanJadi, luas daerah penyelesaiannya 18 satuan.

10. Jawaban: ca.

OABC berbentuk belah ketupat.

Luas OABC = 12 × diagonal × diagonal

= 12 × OB × AC

= 12 × 8 × 6 = 24 satuan

b.

ABCD berbentuk persegi panjangLuas ABCD = panjang × lebar

= AB × BC= 4 × 7= 28 satuan

c.

ABCD berbentuk persegiAB = BC

= 2 2C B C B(x x ) (y y )− + −

= 2 2( 1 4) ( 3 0)− + + − −

= 2 23 ( 3)+ − = 18Luas ABCD = sisi × sisi

= AB × BC= 18 × 18= 18 satuan

d.

ABCD berbentuk jajargenjangLuas ABCD = alas × tinggi

= AB × BE= 4 × 5= 20 satuan

Y

X

5x + 3y = 15y – 2x = 4

–2 –1 0 1 2 3

54321

Y

X

8

5

0 5 6 8

B

x + y = 8

A x + y = 5

C

D

T

Y

X

A

B C

D y = 2

y = –2

x = 4x = –3

–3 0 4

2

–2

Y

X

y – x = 4

x – y = 2

x + y = 2x + y = –4

A

B

C

D

4

2

–1–2–3–4

–4 –1 0 2

Y

X

A

B

C

O

4y – 3x = 0

3x – 4y = 24

3x + 4y = 24

3x + 4y = 0

4 8

3

–3

Y

X

x = 2

x + 5y = 2

x + 5y = –18

x = –3

A

B

C

D–3 0 2

1

–3–4

E

40 Program Linear

e.

ABCD berbentuk trapesium

Luas ABCD = 12 × AE(AD + BC)

= 12 × 4(4 + 7) = 22 satuan

Jadi, sistem pertidaksamaan yang daerah penye-lesaiannya mempunyai luas 18 satuan pilihan c.

11. Jawaban: ea.

ABCD berbentuk trapesium.

Luas ABCD = 12 × CD (AD + BC)

= 12 × 4 (9 + 3) = 24 satuan

Luas daerah penyelesaiannya 24 satuan.b.

ABCD berbentuk jajargenjang.Luas ABCD = alas × tinggi

= BC × AE = 5 × 4 = 20 satuanLuas daerah penyelesaiannya 20 satuan.

c.

ABCD berbentuk layang-layang.

Luas ABCD = 12 × BD × AC

= 12 × 6 × 4

= 12 satuanLuas daerah penyelesaiannya 12 satuan.

d.

ABCD berbentuk persegi.Luas daerah penyelesaian ABCD= AB × BC= 20 × 20 = 20 satuanLuas daerah penyelesaiannya 20 satuan.

e.

ABCD berbentuk persegi panjang.Luas ABCD = AD × DC

= 13 × 2 13= 26 satuan

Luas daerah penyelesaiannya 26 satuan.Jadi, sistem pertidaksamaan yang daerah penye-lesaiannya mempunyai luas 26 satuan adalahpilihan e.

12. Jawaban: aPersamaan garis AB yang melalui titik (–3, 0) danB(–2, –2):

y 02 0

−− −

= x ( 3)2 ( 3)

− −− − −

⇔ y2−

= x + 31

⇔ y = –2x – 6⇔ 2x + y = – 6A merupakan titik yang terletak pada garis AB,dengan absis –4.Menentukan koordinat titik A:Substitusikan nilai x = –4 ke persamaan garis2x + y = –6.

2x + y = –6⇔ 2 × (–4) + y = –6

Y

X

4x + y = 18

y – 2x = 2

A

B C

D

E

2

–2

y = 2

y = –2

–2 0 4 5

Y

X

A D

B C0 6 9

2x + 3y = 12

4 y = 4

x = 9

Y

XB C–5 0 1 6

2x + 3y = 2

Ay = 4D

2x + 3y = 12

Y

XB

D

–3–2

y – 2x = 6

A

3x – 2y = 2

C

2x + y = 6

6

2

–1

3x + 2y = –2

2 3

Y

X

B

C

0 2 3 4 62x + y = 6

A

2y – x = 2

D

2x + y = 16

6

4

2

2y – x = 12

E----

----

---

Y

X

B

C

–2 0

2x + 3y = –1

A

3x – 2y = 18

D

2x + 3y = 12

4

2y – 3x = 8

641

–3


⇔ –8 + y = –6⇔ y = 2Diperoleh koordinat titik A(–4, 2).Uji titik pojok daerah penyelesaian ke dalam fungsiobjektif f(x, y) = 4x – 2y – 1.

Nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 4x – 2y – 1 diatas mencapai minimum –21 yaitu di titik A(–4, 2).

13. Jawaban: cPersamaan garis yang melalui titik (0, a) dan(b, 0) adalah ax + by = ab.Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan (6, 0)adalah 4x + 6y = 24 ⇔ 2x + 3y = 12. . . (1)Persamaan garis yang melalui titik (0, 8) dan (4, 0)adalah 8x + 4y = 32 ⇔ 2x + y = 8 . . . (2)Menentukan titik potong antara garis 2x + 3y = 12dan 2x + y = 8.Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2).2x + 3y = 122x + y = 8

–––––––––– –2y = 4 ⇔ y = 2

Substitusikan y = 2 ke dalam persamaan (2).2x + y = 8⇔ 2x + 2 = 8

⇔ 2x = 6⇔ x = 3

Diperoleh koordinat titik potong (3, 2).Titik pojok daerah yang diarsir adalah (0, 0), (4, 0),(3, 2), dan (0, 4).Uji titik pojok ke f(x, y) = 5x + 4y.

Dari tabel di atas diperoleh nilai maksimum f(x, y)adalah 23.Jadi, nilai maksimum fungsi objektif 5x + 4yadalah 23.

14. Jawaban: dGaris x + 2y = 12 memotong sumbu X di titik(12, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 6).Garis 3x + 2y = 24 memotong sumbu X di titik(8, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 12).Menentukan titik potong antara garis x + 2y = 12dan 3x + 2y = 24.

A(–4, 2)B(–2, 2)C(4, –4)D(0, 4)

4(–4) – 2(2) – 1= –214(–2) – 2(2) – 1= –54(4) – 2(–4) – 1= 234(0) – 2(4) – 1 = –9

Titik Pojok f(x, y) = 4x – 2y – 1

Titik Pojok

(0, 0)(4, 0)(3, 2)(0, 4)

f(x, y) = 5x + 4y

5 × 0 + 4 × 0 = 0 5 × 4 + 4 × 0 = 20 5 × 3 + 4 × 2 = 23 5 × 0 + 4 × 4 = 16

Eliminasi y dari kedua persamaan garis.x + 2y = 12

3x + 2y = 24–––––––––– –

–2x = –12 ⇔ x = 6Substitusikan x = 6 ke dalam persamaan x + 2y = 12.x + 2y = 12 ⇔ 6 + 2y = 12

⇔ 2y = 6⇔ y = 3

Diperoleh koordinat titik potong (6, 3).Titik pojok daerah penyelesaiannya yaitu (12, 0),(6, 3), dan (0, 12).Uji titik pojok ke fungsi objektif.

Jadi, nilai minimum f(x, y) = 3x + 5y dari daerahyang diarsir adalah 33.

15. Jawaban: dMenentukan daerah penyelesaian.

Garis 2x + y = 7 melalui titik (0, 7) dan (312 , 0).

Daerah penyelesaian 2x + y ≥ 7 di kanan dan padagaris 2x + y = 7.Garis x + y = 5 melalui titik (0, 5) dan (5, 0).Daerah penyelesaian x + y ≥ 5 di kanan dan padagaris x + y = 5.Daerah penyelesaian x ≥ 0 di kanan dan pada garisx = 0.Daerah penyelesaian y ≥ 0 di atas dan pada garisy = 0.Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.

Menentukan titik pojok daerah penyelesaian.Titik B merupakan perpotongan antara garis2x + y = 7 dan x + y = 5.Eliminasi y dari kedua persamaan garis.2x + y = 7x + y = 5

–––––––––– –x = 2

(12, 0)(6, 3)

(0, 12)

3 × 12 + 5 × 0 = 363 × 6 + 5 × 3 = 333 × 0 + 5 × 12 = 60


← Minimum

X

Y987654321

1 2 3 4 5 6 7O

A

B

C

2x + y = 7x + y = 5

42 Program Linear

Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan garisx + y = 5.

x + y = 5⇔ 2 + y = 5⇔ y = 3Diperoleh koordinat titik B(2, 3).Titik pojok daerah penyelesaian adalah A(0, 7),B(2, 3), dan C(5, 0).Uji titik pojok ke f(x, y) = 4y – 5x.

Dari tabel diperoleh nilai minimum f(x, y) = –25.Jadi, nilai minimumnya –25.

16. Jawaban: eGaris –x + y = 4 memotong sumbu Y di titik A(0, 4).Garis 2x + y = 12 memotong sumbu X di titikB(6, 0).Garis x + y = 8 dan garis 2x + y = 12 berpotongandi titik C(4, 4).Garis –x + y = 4 dan garis 2x + y = 12 berpotongandi titik D(2, 6).Uji titik setiap titik pojok ke fungsi tujuan.

Perhatikan kolom kelima.Dari kolom kelima terlihat f(x, y) = 20x + 2ymencapai maksimum di titik B.Jadi, fungsi tujuan yang mencapai maksimum dititik B adalah f(x, y) = 20x + 2y.

17. Jawaban: aMisalkan: x = banyak penumpang pelajar/maha-

sisway = banyak penumpang umum

Daya muat bus paling banyak 50 orang, sehinggaharus memenuhi x + y ≤ 50 . . . (1)Tarif seorang pelajar/mahasiswa Rp2.000,00 dantarif seorang penumpang umum Rp3.000,00sedangkan penghasilan yang diperoleh tidakkurang dari Rp120.000,00 sehingga harusmemenuhi2.000x + 3.000y ≥ 120.000 ⇔ 2x + 3y ≥ 120 . . . (2)

Titik Pojok

A(0, 7)

B(2, 3)

C(5, 0)

f(x, y) = 4y – 5x

4 × 7 – 5 × 0 = 28

4 × 3 – 5 × 2 = 2

4 × 0 – 5 × 5 = –25

Banyak penumpang pelajar/mahasiswa atau umumtidak boleh negatif sehingga harus memenuhix ≥ 0, y ≥ 0 . . . (3)Diperoleh sistem pertidaksamaan:

x + y ≤ 502x + 3y ≥ 120

x ≥ 0y ≥ 0

Jadi, model matematika yang sesuai adalah pilihan a.

18. Ani ingin membuat dua jenis kartu undangan. Kartuundangan jenis I memerlukan 30 m2 karton warnabiru dan 25 m2 karton warna kuning, sedangkankartu undangan jenis II memerlukan 45 m2 kartonwarna biru dan 35 m2 karton warna kuning. Banyakkarton warna biru dan kuning yang dimiliki masing-masing 200 m2 dan 300 m2. Jika Ani membuatx undangan jenis I dan y undangan jenis II, Modelmatematika yang sesuai dari masalah tersebutadalah . . . .a. 30x + 25y ≤ 200, 45x + 35y ≤ 300, x ≥ 0, y ≥ 0b. 30x + 25y ≥ 200, 25x + 35y ≥ 300, x ≥ 0, y ≥ 0c. 30x + 45y ≤ 200, 25x + 35y ≤ 300, x ≥ 0, y ≥ 0d. 30x + 45y ≤ 200, 25x + 35y ≥ 300, x ≥ 0, y ≥ 0e. 30x + 45y ≥ 200, 25x + 35y ≤ 300, x ≥ 0, y ≥ 0Jawaban: cMisalkan: x = banyak kartu undangan jenis I

y = banyak kartu undangan jenis II

Karton biru yang digunakan tidak boleh melebihipersediaan yang ada sehingga diperoleh pertidak-samaan:30x + 45y ≤ 200 . . . (1)Karton kuning yang digunakan tidak boleh melebihipersediaan yang ada sehingga diperoleh pertidak-samaan 25x + 35y ≤ 300 . . . (2)Banyak kartu undangan jenis I dan II tidak bolehnegatif sehingga diperoleh pertidaksamaan:x ≥ 0 . . . (3)y ≥ 0 . . . (4)Dari pertidaksamaan (1)–(4) diperoleh sistempertidaksamaan:

30x + 45y ≤ 20025x + 35y ≤ 300

x ≥ 0y ≥ 0

Jadi, model matematika yang sesuai adalah pilihan e.

f(x, y)

A(0, 4)

B(6, 0)

C(4, 4)

D(2, 6)

–4x + 9y

36

–24

20

46

4x + 9y

36

24

52

62

10x + 18y

72

60

112

128

20x + 2y

8

120

88

52

7x + 12y

48

42

76

86

Penumpang

Pelajar/mahasiswaUmum

Pembatas

Banyak

xy

50

Tarif

2.0003.000

120.000

Kartu Undangan

Jenis IJenis II

Pembatas

Banyak

xy

Karton Biru

30 m2

45 m2

200 m2

Karton Kuning

25 m2

35 m2

300 m2


19. Jawaban: cMisalkan: x = banyak bus

y = banyak mobil


x + y ≤ 5824x + 6y ≤ 600 ⇔ 4x + y ≤ 100x ≥ 0y ≥ 0


Titik B merupakan perpotongan antara garis x + y= 58 dan 4x + y = 100. Eliminasi y dari keduapersamaan garis.

x + y = 584x + y = 100–––––––––––– –

–3x = –42⇔ x = 14Substitusikan x = 14 ke dalam persamaanx + y = 58.

x + y = 58⇔ 14 + x = 58⇔ y = 44Diperoleh koordinat titik B(14, 44).Uji titik pojok daerah penyelesaian ke dalam fungsiobjektif f(x, y) = 3.500x + 2.000y.

Nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) adalah137.500 sehingga pendapatan maksimum daribiaya parkir sebesar Rp137.500,00.

20. Jawaban: dMisalkan: x = banyak barang jenis I

y = banyak barang jenis II


x + y ≤ 22030.000x + 25.000y ≤ 6.000.000 ⇔ 6x + 5y ≤ 1.200x ≥ 0y ≥ 0


Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 4.000x +5.000y.

Nilai maksimum f(x, y) adalah 1.100.000.Jadi, keuntungan terbesar yang dapat diperolehsebesar Rp1.100.000,00.

21. Jawaban: cMisalkan: x = banyak toko tipe A

y = banyak toko tipe B

Model matematika permasalahan adalah me-maksimumkan f(x, y) = 7x + 4y (juta) dengankendala:

x + y ≤ 125100x + 75y ≤ 10.000 ⇔ 4x + 3y ≤ 400x ≥ 0y ≥ 0

Jenis

BusMobil

Pembatas

Banyak

xy

58

Luas (m2)

246

600

Biaya

3.500,002.000,00

O(0, 0)A(25, 0)B(14, 44)C(0, 58)

3.500 × 0 + 2.000 × 0 = 03.500 × 25 + 2.000 × 0 = 87.5003.500 × 14 + 2.000 × 44 = 137.5003.500 × 0 + 2.000 × 58 = 116.000

Titik Pojok f(x, y) = 3.500x + 2.000y

Y

XA

BC

58

0 25 58

1004x + y = 100

x + y = 58

Barang

Jenis IJenis II

Pembatas

Banyak

xy

220

Keuntungan

4.0005.000

Modal

30.00025.000

6.000.000

Titik Pojok

O(0, 0)A(200, 0)B(100, 120)C(0, 220)

f(x, y) = 4.000x + 5.000y

4.000 × 0 + 5.000 × 0 = 04.000 × 200 + 5.000 × 0 = 800.0004.000 × 100 + 5.000 × 120 = 1.000.0004.000 × 0 + 5.000 × 220 = 1.100.000

Y

X

B(100, 120)

200 220

240220

O A

6x + 5y = 1.200

x + y = 220

C

Barang

Tipe ATipe B

Pembatas

Banyak

xy

125

Keuntungan(Juta)

74

Luas Tanah(m2)

10075

10.000

44 Program Linear


Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = 7x + 4y (juta):

Nilai maksimum f(x, y) adalah 700 juta.Jadi, keuntungan maksimum dari penjualan tokosebesar Rp700.000.000,00.

22. Jawaban: cMisalkan: x = banyak handphone jenis A

y = banyak handphone jenis B

Handphone Banyak Harga Beli Keuntungan

Jenis A x x 1.000.000 200.000Jenis B y y 4.000.000 350.000

Pembatas 40 12 10 100.000.000

Model matematika permasalahan adalah me-maksimumkan f(x, y) = 200.000x + 350.000ydengan kendala:

x + y ≤ 401.000.000x + 4.000.000y ≤ 100.000.000⇔ x + 4y ≤ 100x ≥ 12y ≥ 10

Menentukan daerah penyelesaian SPtLDV.Persamaan garis x + y = 40 melalui (40, 0) dan (0, 40).Daerah penyelesaian x + y ≤ 40 dibatasi garisx + y = 40 dan memuat titik (0, 0).Persamaan garis x + 4y = 100 melalui (100, 0)dan (0, 25). Daerah penyelesaian x + 4y ≤ 100dibatasi garis x + 4y = 100 dan memuat titik (0, 0).

Daerah penyelesaian x ≥ 12 dibatasi garis x = 12dan tidak memuat titik (0, 0).Daerah penyelesaian y ≥ 10 dibatasi garis y = 10dan tidak memuat titik (0, 0)


Garis x = 12 dan y = 10 berpotongan di titik A(12, 10).Garis y = 10 dan x + y = 40 berpotongan di titikB(30, 10).Garis x + y = 40 dan x + 4y = 100 berpotongan dititik C(20, 20).Garis x = 12 dan x + 4y = 100 berpotongan di titikD(12, 22).Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = (200x + 350y) ribu.

Titik Pojok f(x, y) = (200x + 350y) ribu

A(12, 10) 200 × 12 + 350 × 10 = 5.900 ribuB(30, 10) 200 × 30 + 350 × 10 = 9.500 ribuC(20, 20) 200 × 20 + 350 × 20 = 11.000 ribuD(12, 22) 200 × 12 + 350 × 22 = 10.100 ribu

Nilai maksimum f(x, y) adalah 11.000 ribu dicapaidititik C(20, 20). Hal ini berarti, keuntunganmaksimum penjualan handphone adalahRp11.000.000,00 jika terjual 20 handphone A dan20 handphone B.Jadi, agar Pak Hasan memperoleh keuntunganmaksimum harus terjual 20 handphone B.

23. Jawaban: aMisalkan: x = banyak keripik rasa cokelat

y = banyak keripik rasa keju

Model matematika yang sesuai permasalahanadalah memaksimumkan fungsi objektiff(x, y) = 2.500x + 3.000y dengan kendala:

x + y ≤ 4010.000x + 15.000y ≤ 450.000

⇔ 2x + 3y ≤ 90x ≥ 0, y ≥ 0

Garis x + y = 40 melalui (0, 40) dan (40, 0).Daerah penyelesaian x + y ≤ 40 dibatasi garisx + y = 40 dan memuat titik (0, 0).Garis 2x + 3y = 90 melalui (45, 0) dan (0, 30).Daerah penyelesaian 2x + 3y ≤ 90 dibatasigaris 2x + 3y = 90 dan memuat titik (0, 0).

Titik Pojok

O(0, 0)A(100, 0)B(25, 100)C(0, 125)

Subtitusi ke f(x, y) = 7x + 4y (juta)

7 × 0 + 4 × 0 = 07 × 100 + 4 × 0 = 700 juta7 × 25 + 4 × 100 = 575 juta7 × 0 + 4 × 125 = 500 juta

Y

XAO 100 125

x + y = 125

133,3125

B(25, 100)

4x + 3y = 400

C

X

Y

x + y = 40

x + 4y = 100y = 10

x = 12

40

A (12, 10)

25

10

0 12 40

B (30, 10)

C(20, 20)D(12, 22)

100

Keripik

CokelatKeju

Pembatas

Banyak

xy

40

Modal

10.00015.000

450.000

Keuntungan

2.5003.000


Daerah penyelesaian x ≥ 0; y ≥ 0 adalah daerah dikuadran I.

Menentukan koordinat titik B.Garis x + y = 40 dan 2x + 3y = 90 berpotongan dititik B. Eliminasi x dari kedua persamaan garis.

x + y = 40 × 2 2x + 2y = 802x + 3y = 90 × 1 2x + 3y = 90

–––––––––––– ––y = –10

⇔ y = 10Substitusikan y = 10 ke persamaan x + y = 40.x + y = 40 ⇔ x + 10 = 40 ⇔ x = 30Diperoleh koordinat titik B(10, 30).Uji titik pojok ke fungsi objektif.

Nilai maksimum f(x, y) adalah 115.000.Jadi, keuntungan terbesar Rp115.000,00.

24. Jawaban: bMisalkan: x = banyak menu dengan lauk ayam

gorengy = banyak menu dengan lauk bebek

goreng


x + y ≤ 100x ≥ 50y ≥ 40

O(0, 0)

A(40, 0)

B(10, 30)

C(0, 30)

2.500 × 0 + 3.000 × 0 = 0

2.500 × 40 + 3.000 × 0 = 100.000

2.500 × 10 + 3.000 × 30 = 115.000

2.500 × 0 + 3.000 × 30 = 90.000

Titik f(x, y) = 2.500x + 3.000y


A merupakan perpotongan antara garis x = 50dengan garis y = 40.Diperoleh koordinat titik A(50, 40).B merupakan perpotongan antara garis x + y = 100dengan garis y = 40.Substitusikan y = 40 ke x + y = 100.

x + y = 100⇔ x + 40 = 100⇔ x = 60Diperoleh koordinat titik B(60, 40).C merupakan perpotongan antara garis x = 50dengan garis x + y = 100. Substitusikan x = 50 kex + y = 100.

x + y = 100⇔ 50 + y = 100⇔ y = 50Diperoleh koordinat titik C(50, 50).Uji titik pojok daerah penyelesaian ke dalam kefungsi objektif f(x, y) = 15.000x + 20.000y:

Nilai maksimum f(x, y) = 15.000x + 20.000y adalah1.750.000 dicapai di titik C(50, 50). Hal ini berartihasil penjualan maksimum diperoleh saat warungtersebut menyediakan 50 porsi menu dengan laukayam goreng dan 50 porsi menu dengan lauk bebekgoreng.

25. Jawaban: bMisalkan: x = banyak tempe

y = banyak tahu

Y

X

A B

C

100

40

0 50 100

y = 40

x + y = 100

Menu

Ayam gorengBebek goreng

Pembatas

Banyak

xy

100

Harga

15.00020.000

Porsi

x

50

Porsi

y

40

X

x + y = 40

Y

2x + 3y = 90

40

30

0 40 45A

B

C

Titik Pojok

A(50, 40)B(60, 40)C(50, 50)

f(x, y) = 15.000x + 20.000y

15.000 × 50 + 20.000 × 40 = 1.550.00015.000 × 60 + 20.000 × 40 = 1.700.00015.000 × 50 + 20.000 × 50 = 1.750.000

Jenis

TempeTahu

Pembatas

Banyak

xy

400

Keuntungan

6001.000

Harga Beli

2.5004.000

1.350.000

46 Program Linear

Model matematika permasalahan adalah me-maksimumkan f(x, y) = 600x + 1.000y dengankendala:

x + y ≤ 4002.500x + 4.500y ≤ 1.350.000 ⇔ 5x + 9y ≤ 2.700x ≥ 0y ≥ 0


Menentukan koordinat titik B.Garis x + y = 400 dan 5x + 9y = 2.700 berpotongandi titik B. Eliminasi x dari kedua persamaan garis.

x + y = 400 × 5 5x + 5y = 2.0005x + 9y = 2.700 × 1 5x + 9y = 2.700

––––––––––––– ––4y = –700

⇔ y = 175Substitusikan y = 175 kepersamaan x + y = 400.x + y = 40 ⇔ x + 175 = 40 ⇔ x = 225Diperoleh koordinat titik B(225, 175).Uji titik pojok ke f(x, y) = 500x + 1.000y:

Nilai maksimum f(x, y) = 600x + 1.000y adalah310.000.Jadi, keuntungan maksimum pedagang tersebutRp310.000,00.

26. Jawaban: eMisalkan: x = banyak tablet jenis I

y = banyak tablet jenis II

Model matematika permasalahan adalah me-minimumkan f(x, y) = 4.000x + 8.000y dengankendala:

5x + 10y ≥ 25 ⇔ x + 2y ≥ 53x + y ≥ 5x ≥ 0y ≥ 0

Garis x + 2y = 5 melalui titik (5, 0) dan (0, 52 ).

Daerah penyelesian x + 2y ≥ 5 dibatasi garisx + 2y = 5 dan tidak memuat titik (0, 0).

Garis 3x + y = 5 melalui titik (53 , 0) dan (0, 5).

Daerah penyelesaian 3x + y ≥ 5 dibatasi garis3x + y = 5 dan tidak memuat titik (0, 0).Daerah penyelesaian x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah daerahdi kuadran I.Daerah penyelesaian:

Menentukan titik potong garis x + 2y = 5 dan3x + y = 5.Eliminasi x dari kedua persamaan garis.

x + 2y = 56x + 2y = 10

–––––––––––– ––5x = –5

⇔ x = 1Substitusikan x = 1 ke persamaan x + 2y = 5.x + 2y = 5 ⇔ 1 + 2y = 5

⇔ 2y = 4⇔ y = 2

Diperoleh titik potong (1, 2).Uji titik pojok penyelesaian.

Nilai maksimum f(x, y) = 4.000x + 8.000y adalah20.000.Jadi, pengeluaran minimum untuk pembelian tabletper hari Rp20.000,00.

27. Jawaban: dMisalkan: x = banyak barang jenis I

y = banyak barang jenis II

Barang Bahan A Bahan B Bahan C Harga

Jenis I 1 3 2 40.000Jenis II 3 4 1 60.000

Pembatas 480 720 360

Titik Pojok

O(0, 0)

A(400, 0)

B(225, 175)

C(0, 300)

f(x, y) = 600x + 1.000y

600 × 0 + 1.000 × 0 = 0

600 × 400 + 1.000 × 0 = 2.400

600 × 225 + 1.000 × 175 = 310.000

600 × 0 + 1.000 × 300 = 300.000

X

400

x + y = 400

A

Y

300

0 400 540

5x + 9y = 2.700

B

C

Tablet

III

Pembatas

Banyak

xy

Harga

4.0008.000

Vitamin A

510

25

Vitamin B

31

5

Titik Pojok

(5, 0)(1, 2)(0, 5)

f(x, y) = 4.000x + 8.000y

4.000 × 5 + 8.000 × 0 = 20.0004.000 × 1 + 8.000 × 2 = 20.0004.000 × 0 + 8.000 × 5 = 40.000

Y

X

52

3x + y = 5

x + 2y = 5

5

53

5


Y

X

B

C

D(12, 36)

0 10 20 30 40

60

40

30

x + y = 40

x + y = 400

2x + y = 60

A

y = 3x

Y

X

25

24

0 25 286x + 7y = 168

x + y = 25

O A

B(7, 18)C


x + 3y ≤ 4803x + 4y ≤ 7202x + y ≤ 360

x ≥ 0y ≥ 0

Garis x + 3y = 480 melalui titik (0, 160) dan (480, 0).Garis 3x + 4y = 720 melalui titik (0, 180) dan (240, 0).Garis 2x + y = 360 melalui titik (0, 360) dan (180, 0).Uji titik (0, 0):

Pertidaksamaan Uji (0, 0) Penyelesaian

x + 3y ≤ 480 0 + 0 ≤ 480 (Benar) Memuat titik (0, 0)3x + 4y ≤ 720 0 + 0 ≤ 720 (Benar) Memuat titik (0, 0)2x + y ≤ 360 0 + 0 ≤ 360 (Benar) Memuat titik (0, 0)

Daerah penyelesaian :

Uji titik pojok ke f(x, y) = 40.000x + 60.000y:Titik Pojok f(x, y) = 40.000x + 60.000y

O(0, 0) 40.000 × 0 + 60.000 × 0 = 0A(180,0) 40.000 × 180 + 60.000 × 0 = 7.200.000B(144, 72) 40.000 × 144 + 60.000 × 72 = 10.080.000C(48, 144) 40.000 × 48 + 60.000 × 144 = 10.560.000D(0, 160) 40.000 × 0 + 60.000 × 160 = 9.600.000

Dari tabel tersebut diperoleh nilai maksimumf(x, y) = 10.560.000.Jadi, pendapatan maksimum yang diperolehRp10.560.000,00.

28. Jawaban: aMisalkan: x = banyak motor A

y = banyak motor B

Jenis Banyak Harga Beli Keuntungan(juta) (juta)

Motor A x 12 2,4Motor B y 14 2,6

Pembatas 25 336

Model matematika permasalahan adalah me-maksimumkan f(x, y) = (2,4x + 2,6y) juta dengankendala:

x + y ≤ 2512x + 14y ≤ 336 ⇔ 6x + 7y ≤ 168x ≥ 0y ≥ 0


Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = (2,4x + 2,6y) juta

Titik Pojok f(x, y) = (2,4x + 2,6y) juta

O(0, 0) 2,4 × 0 + 2,6 × 0 = 0 jutaA(25, 0) 2,4 × 25 + 2,6 × 0 = 60 jutaB(7, 18) 2,4 × 7 + 2,6 × 18 = 63,6 jutaC(0, 24) 2,4 × 0 + 2,6 × 24 = 62,4 juta

Nilai maksimum f(x, y) adalah 63,6 juta yangdicapai pada saat x = 7 dan y = 18.Jadi, agar diperoleh keuntungan maksimum harusterjual 7 sepeda motor jenis A.

29. Jawaban: dMisalkan: x = banyak gaun yang dibeli

y = banyak rok yang dibeli

Jenis Banyak Harga Keuntungan

Gaun x 60.000 25.000Rok y 30.000 20.000

Pembatas 40 1.800.000

Model matematika permasalahan adalah me-maksimumkan f(x, y) = 25.000x + 20.000ydengan kendala:

x + y ≥ 4060.000x + 30.000y ≤ 1.800.000 ⇔ 2x + y ≤ 60

y ≥ 3xx ≥ 0y ≥ 0

Y

X

360

180160

0 180 240 480

B(144, 72)

C(48, 144)

2x + y = 360 3x + 4y = 720 x + 3y = 480

A

D

O

48 Program Linear

Y

X0

100

80

40

40 60 80

C(120

7 , 4007 )

B(48, 16)A

D

5x + 2y = 2004x + 3y = 240

x + 2y = 80

Uji titik pojok:

Nilai maksimum f(x, y) = 25.000x + 20.000y adalah1.200.000.Jadi, keuntungan maksimum butik tersebutRp1.200.000,00.

30. Jawaban: eMisalkan:x = lama pengoperasian penambangan I (hari)y = lama pengoperasian penambangan II (hari)

Tempat Tinggi Menengah Rendah Biaya

Tambang I 1 4 5 2.100.000Tambang II 2 3 2 2.100.000

Pembatas 80 240 200

Model matematika permasalahan adalah me-minimumkan f(x, y) = 2.100.000(x + y) dengankendala:

x + 2y ≥ 804x + 3y ≥ 2405x + 2y ≥ 200x ≥ 0y ≥ 0

Uji titik (0, 0):Pertidaksamaan Uji (0, 0) Penyelesaian

x + 2y ≥ 80 0 + 0 ≥ 80 (Salah) Tidak memuattitik (0, 0)

4x + 3y ≥ 240 0 + 0 ≥ 240 (Salah) Tidak memuattitik (0, 0)

5x + 2y ≥ 200 0 + 0 ≥ 200 (Salah) Tidak memuattitik (0, 0)

Daerah penyelesaian SPtLDV:

Uji titik pojok ke f(x, y) = 2.100.000(x + y):

Titik Pojok f(x, y) = 2.100.000(x + y)

A(80, 0) 2.100.000(80 + 0) = 168.000.000

B(48, 16) 2.100.000(48 + 16) = 134.400.000

C(120

7,

4007

) 2.100.000(120

7 +

4007

) = 156.000.000

D(0, 100) 2.100.000(0 + 100) = 210.000.000

Titik Pojok

A(0, 60)B(0, 40)

C(10, 30)D(12,36)

f(x, y) = 2.000x + 20.000y

25.000 × 0 + 20.000 × 60 = 1.200.00025.000 × 0 + 20.000 × 40 = 800.00025.000 × 10 + 20.000 × 30 = 850.00025.000 × 12 + 20.000 × 36 = 1.020.000

Dari tabel diperoleh nilai minimum f(x, y) =2.100.000(x + y) adalah 134.400.000 dicapai di titikB(48, 16).Jadi, agar biaya pengoperasian minimum makalama penambangan I dan II dioperasikan berturut-turut selama 48 hari dan 16 hari.

B. Uraian

1. a. Persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan(b, 0) adalah ax + by = ab.Persamaan garis yang melalui titik (0, –3) dan(–2, 0) adalah –3x – 2y = 6.Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis–3x – 2y = 6 maka pertidaksamaannya–3x – 2y ≤ 6.Persamaan garis yang melalui titik (0, 1) dansejajar sumbu X adalah y = 1.Daerah penyelesaian di atas dan pada garisy = 1 maka pertidaksamaannya y ≥ 1.Persamaan garis yang melalui titik (0, –3) dan(2, 0) adalah –3x + 2y = –6.Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis–3x + 2y = –6 maka pertidaksamaannya–3x + 2y ≥ –6.Persamaan garis yang melalui titik (0, 5) dansejajar sumbu X adalah y = 5.Daerah penyelesaian di bawah dan pada garisy = 5 maka pertidaksamaannya y ≤ 5.Persamaan garis yang melalui titik (0, 5) dan(–7, 0) adalah 5x – 7y = –35.Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis5x – 7y = –35, maka pertidaksamaannya5x – 7y ≥ –35.Jadi, sistem pertidaksamaannya:

–3x – 2y ≤ 6–3x + 2y ≥ –6

5x – 7y ≥ –351 ≤ y ≤ 5

b. Persamaan garis yang melalui titik (0, 5) dantitik (–5, 0) adalah 5x – 5y = –25 ⇔ x – y = –5.Daerah penyelesaian di kanan dan pada garisx – y = –5 maka pertidaksamaannya x – y ≥ –5.Persamaan garis yang melalui titik (0, –2) dantitik (–3, 0) adalah –2x – 3y = 6 ⇔ 2x + 3y = –6.Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis2x + 3y = –6 maka pertidaksamaannya2x + 3y ≥ –6.Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dantitik (2, 0) adalah 3x + 2y = 6.Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis3x + 2y = 6 maka pertidaksamaannya3x + 2y ≤ 6.Daerah penyelesaian di kiri dan pada sumbu Y,di atas dan pada sumbu X maka pertidak-samaannya x ≤ 0 dan y ≥ 0.


Jadi, sistem pertidaksamaannya:x – y ≥ –5

2x + 3y ≥ –63x + 2y ≤ 6x ≤ 0, y ≥ 0

2. a. Garis 5y – 4x = 20 memotong sumbu X di titik(–5, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 4).Daerah penyelesaian 5y – 4x ≤ 20 di kanandan pada garis 5y – 4x = 20.Garis 3x + 2y = –6 memotong sumbu X di titik(–3, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, –2).Daerah penyelesaian 3x + 2y ≥ –6 di kanandan pada garis 3x + 2y = –6.Garis 2x + y = 2 memotong sumbu X di titik(1, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 2).Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 2 di kiri danpada garis 2x + y = 2.Daerah penyelesaian x ≤ 0 di kiri dan padasumbu Y.Daerah penyelesaian SPtLDV:

b. Garis 2x – y = –4 memotong sumbu X di titik(–2, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 4).Daerah penyelesaian 2x – y ≥ –4 di kanandan pada garis 2x – y = –4.Garis x + y = 2 memotong sumbu X di titik(2, 0) dan sumbu Y di titik (0, 2).Daerah penyelesaian x + y ≥ 2 di kanan danpada garis x + y = 2.Garis 6x + 5y = 30 memotong sumbu X dititik (5, 0) dan sumbu Y di titik (0, 6).Daerah penyelesaian 6x + 5y ≤ 30 di kiri danpada garis 6x + 5y = 30.Daerah penyelesaian x ≥ 0 dan y ≥ 0 dikuadran I.Daerah penyelesaian:

3. a.

Luas ABCD = Luas ABE + luas BCDE

= 12 × AE × BE +

12 × BE(DE + BC)

= 12 × 5 × 4 +

12 × 4(3 + 5)

= 10 + 16 = 26 satuanJadi, luas daerah penyelesaian 26 satuan.

b.

Luas ABCD = Luas ABD + luas BCD

= 12 × BD × AE +

12 × BD × OC

= 12 × 10 × 4 +

12 × 10 × 3

= 20 + 15= 35 satuan

Jadi, luas daerah penyelesaian 35 satuan.

4.

Misal garis selidik awal adalah f1: 4x – 2y = –8.Fungsi objektif f(x, y) = 4x – 2y mempunyaikoefisien x positif maka nilai minimumnya dicapaidi titik pojok yang dilalui garis selidik paling kiri.Garis selidik paling kiri melalui titik B(–2, 2)mempunyai persamaan 4x – 2y = –12 maka nilaiminimum fungsi objektif f(x, y) = 4x – 2y adalah –12.

Y

X–2 0 2 5

6

4

2

2x – y = –4

6x + 5y = 30

x + y = 2

Y

X–5 –3 0 1

4

2

–2

2x + y = 2

3x + 2y = –6

5y – 4x = 20

Y

X

A

BC

DE

2x + y = 2

y = –2

y = 2

4x + 5y = –22

–8 –3 0 1 2

2

–2

Y

X

A

B

C

DEx – 2y = 6

3x + 4y = –12

y – 2x = 8

x + 2y = 6

–4 –2 0 6

43

–3

O

Y

X

4x – 2y = –83y – 2x = 10

4x – 2y = 12

2x + y = 6

2x + 3y = 2

–5 –2 1 3

6

4

2

A

B

C D

4x – 2y = –12

f1

50 Program Linear

5.

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 3y – 2x:

Jadi, nilai maksimum f(x, y) = 3x – 2x adalah 17.

6. Keuntungan penjualan sepatu merek A dan merek Bberturut-turut Rp20.000,00 dan Rp15.000,00,sedangkan keuntungan yang diperoleh dalam atuminggu tidak kurangdari 8 juta sehingga diperolehpertidaksamaan:20.000x + 15.000y≥ 8.000.000⇔ 4x + 3y ≥ 1.600 . . . (1)Banyak sepatu merek B yang terjual dalam satuminggu tidak kurang dari 35 pasang sehinggadiperoleh pertidaksamaan y ≥ 35 . . . (2)Jumlah sepatu yang terjual dalam satu minggupaling banyak 100 pasang sehingga diperolehpertidaksamaan x + y ≤ 100 . . . (3)Banyak sepatu merek A dan merak B yang terjualtidak mungkin negatif sehingga diperoleh pertidak-samaan x ≥ 0 dan y ≥ 0 . . . (4)Dari pertidaksamaan (1)–(4) diperoleh sistempertidaksamaan

4x + 3y ≥ 1.600x + y ≤ 100

y ≥ 35x ≥ 0

7. Diketahui:x = banyak mainan A yang diproduksiy = banyak mainan B yang diproduksi

Diperoleh sistem pertidaksamaan:20x + 30y ≤ 480 ⇔ 2x + 3y ≤ 4830x + 25y ≤ 480 ⇔ 6x + 5y ≤ 96x ≥ 0y ≥ 0

Jadi, model matematika yang sesuai adalah2x + 3y ≤ 48, 6x + 5y ≤ 96, x ≥ 0, y ≥ 0.

Y

X

5x – 2y = 10

4y – x = 163x + 2y = –6

–4 –2 0 2 4

543

–3

A

B C

D

8. Sebuah perusahaan makanan ringan mendapatpasokan 80 kg kentang dan 120 kg gandum setiaphari. Setiap bungkus makanan ringan A membutuh-kan 100 gram kentang dan 200 gram gandum.Setiap bungkus makanan ringan B membutuhkan200 gram kentang dan 200 gram gandum. Labauntuk setiap bungkus makanan ringan ARp1.000,00 dan setiap bungkus makanan ringanB Rp1.200,00. Tentukan:a. model matematika permasalahan tersebut;b. laba maksimum yang mungkin diperoleh

perusahaan tersebut.Jawaban:a. Misalkan: x = banyak makanan ringan A

y = banyak makanan ringan B

Model matematika permasalahan adalahmemaksimumkan f(x, y) = 1.000x + 1.200ydengan kendala:

100x + 200y ≤ 80.000 ⇔ x + 2y ≤ 800200x + 200y ≤ 120.000 ⇔ x + y ≤ 600x ≥ 0y ≥ 0

b. Daerah penyelesaian SPtLDV:

Menentukan koordinat titik B.B merupakan perpotongan antara garisx + y = 600 dan x + 2y = 800.x + 2y = 800x + y = 600

––––––––––– –y = 200

Substitusikan y = 200 ke x + y = 600x + y = 600 ⇔ x + 200 = 600

⇔ x = 400Diperoleh koordinat titik B(400, 200).

Titik Pojok

A(–4, 3)B(–2, 0)C(2, 0)D(4, 5)

f(x, y) = 3y – 2x

3 × 3 – 2 × (–4) = 173 × 0 – 2 × (–2) = 43 × 0 – 2 × 2 = –43 × 5 – 2 × 4 = 7

← Maksimum

Mainan AMainan B

Pembatas

xy

Banyak

2030

480

Mesin I

3025

480

Mesin II

JenisMakanan

AB

Pembatas

Banyak

xy

Laba

1.0001.200

Kentang(gram)

100200

80.000

Gandum(gram)

200200

120.000

Y

XA

B

C

600

400

O 600 800

x + y = 600x + 2y = 800


X

3x + y = 30

A

30

Y

4x + 3y = 60

x + 2y = 20

B(12, 4)

C(6, 12)

D

20

10

0 10 15 20

Y

X0A

B(80, 120)

C

160 200

200

240

O

x + y = 2003x + 2y = 480

Uji titik pojok daerah penyelesaian ke dalamfungsi objektif f(x, y) = 1.000x + 1.200y:

Dari tabel diperoleh nilai maksimum f(x, y)adalah 640.000.Jadi, laba maksimum yang mungkin diperolehperusahaan itu adalah Rp640.000,00 tiap hari.

9. Misalkan: x = banyak rumah tipe Ay = banyak rumah tipe B

Jenis Banyak Luas Harga Jual(juta rupiah)

Rumah tipe A x 150 300Rumah tipe B y 100 200

Kendala 200 24.000

Model matematika permasalahan adalah me-maksimumkan f(x, y) = (300x + 200y) juta dengankendala:

x + y ≤ 200150x + 100y ≤ 24.000 ⇔ 3x + 2y ≤ 480x ≥ 0y ≥ 0

a. Garis x + y = 200 melalui titik (0, 200) dan titik(200, 0).Daerah penyelesaian x + y ≤ 200 dibatasi garisx + y = 200 dan memuat titik (0, 0).

b. Garis 3x + 2y = 480 melalui titik (160, 0) dan titik(0, 240).Daerah penyelesaian 3x + 2y ≤ 480 dibatasigaris 3x + 2y = 480 dan memuat titik (0, 0).

c. Garis x + y = 200 dan 3x + 2y = 480berpotongan di titik B(80, 120).


Uji titik pojok ke f(x, y) = (300x + 200y) juta:

Titik Pojok f(x, y) = (300x + 200y) juta

O(0, 0) (300 × 0 + 200 × 0 = 0) jutaA(160, 0) (300 × 160 + 200 × 0 = 48.000) jutaB(80, 120) (300 × 80 + 200 × 120 = 48.000) jutaC(0, 200) (300 × 0 + 200 × 200 = 40.000) juta

Nilai maksimum f(x, y) adalah 48.000 juta atau48 miliar.Jadi, pendapatan maksimum yang dapat diperoleh48 miliar rupiah.

10. Misalkan: x = banyak pengoperasian truk Iy = banyak pengoperasian truk II

Jenis BanyakSepeda Sepeda SepedaMotor A Motor B Motor C

Biaya

Truk I x 5 15 20 300.000Truk II y 10 5 15 200.000

Pembatas 100 150 300

Model matematika permasalahan adalah me-minimumkan f(x, y) = 300.000x + 200.000y dengankendala:

5x + 10y ≥ 100 ⇔ x + 2y ≥ 2015x + 5y ≥ 150 ⇔ 3x + y ≥ 30

20x + 15y ≥ 300 ⇔ 4x + 3y ≥ 60x ≥ 0y ≥ 0


Uji titik pojok ke f(x, y) = 300.000x + 200.000y:

Titik Pojok f(x, y) = 300.000x + 200.000y

A(20, 0) 300.000 × 20 + 200.000 × 0 = 6.000.000B(12, 4) 300.000 × 12 + 200.000 × 4 = 4.400.000C(6, 12) 300.000 × 6 + 200.000 × 12 = 4.200.000D(0, 30) 300.000 × 0 + 200.000 × 30 = 6.000.000

Nilai minimum f(x, y) adalah 4.200.000 dicapai padasaat x = 6 dan y = 12.Jadi, agar biaya pengoperasian minimum, truk Idioperasikan 6 kali dan truk II dioperasikan 12 kali.

Titik Pojok

O(0, 0)A(600, 0)B(400, 200)C(0, 400)

f(x, y) = 1.000x + 1.200y

1.000 × 0 + 1.200 × 0 = 01.000 × 600 + 1.200 × 0 = 600.0001.000 × 400 + 1.200 × 200 = 640.0001.000 × 0 + 1.200 × 400 = 480.000

52 Ulangan Tengah Semester 1

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: c

∫ (3x4 – 4x3 + 2x2 – x + 5) dx

= �

� �+ x5 – �

� �+ x4 + �

� �+ x3 – �

� �+ x2 + 5x + c

= �

�x5 – x4 +

�

�x3 –

�

�x2 + 5x + c

2. Jawaban: d

∫ (� � �

�

��

�

+ +) dx = ∫ (2x2 + 3x + 1) dx

= �

�x3 +

�

�x2 + x + c

3. Jawaban: c

F(x) = ∫ ( �

�

� – 3) dx =

�

� �− + x–3 + 1 – �

�x + c

= –�

�x–2 – 3x + c

= – �

�

�� – 3x + c

4. Jawaban: a

∫ 60t �� − dt

Misalkan u = 3t2 – 11 ⇔ du = 6t dt

∫ 60t �� − dt = ∫ 10(3t2 – 11)

�

� · 6t dt

= ∫ 10 × u�

� du

= 10 × �

�u

�

� + c

= 8u�

� + c

= 8(3t2 – 11)�

� + c

5. Jawaban: b

f′(x) = 36(2x – 5)5

f(x) = ∫ f′(x) dx = ∫ 36(2x – 5)5 dx

Misalkan u = 2x – 5 ⇔ du = 2 dx

Diperoleh:

f(x) = ∫ 18(2x – 5)5 × 2 dx = ∫ 18 u5 du

= 18 × �

�u6 + c

= 3u6 + c

= 3(2x – 5)6 + c

Diketahui: f(2) = 10

⇔ 3(2 × 2 – 5)6 + c = 10

⇔ 3 × 1 + c = 10

⇔ c = 7

Jadi, diperoleh fungsi f(x) = 3(2x – 5)6 + 7.

6. Jawaban: d

f(x) = ∫ (12x3 – 3x2 + 2) dx

= 12 × �

�x4 – 3 ×

�

�x3 + 2x + c

= 3x4 – x3 + 2x + c

f(2) = 46

⇔ 3(2)4 – (2)3 + 2(2) + c = 46

⇔ 48 – 8 + 4 + c = 46

⇔ 44 + c = 46

⇔ c = 2

Jadi, fungsi f(x) = 3x4 – x3 + 2x + 2.

7. Jawaban: c

Gradien kurva = f′(x) = 3x2 – 2x + 4

Persamaan kurva:

f(x) = ∫ (3x2 – 2x + 4) dx

= x3 – x2 + 4x + c

Kurva f(x) melalui titik (2, 17)

f(x) = x3 – x2 + 4x + c

⇔ 17 = 23 – 22 + 4(2) + c

⇔ 17 = 8 – 4 + 8 + c

⇔ c = 5

Jadi, persamaan kurva tersebut y = x3 – x2 + 4x + 5.

8. Jawaban: d

f(x) = ∫ (2x5 – 3x2 + 1) dx

= �

�x6 –

�

�x3 + x + c

= �

�x6 – x3 + x + c


Diketahui f(2) = 40, berarti:

40 = �

�(2)6 – 23 + 2 + c

⇔ 40 = ��

� – 8 + 2 + c

⇔ c = 40 – ��

� + 8 – 2

⇔ c = ��

�

−

⇔ c = �

� = 24

�

�

Diperoleh f(x) = �

�x6 – x3 + x + 24

�

�.

Titik potong terhadap sumbu Y diperoleh ketika

x = 0.

f(0) = �

� × 06 – 03 + 0 + 24

�

�

= 24�

�

Jadi, titik potong terhadap sumbu Y adalah (0, 24�

�).

9. Jawaban: b

�

�−∫ (f(x) – g(x)) dx

=

�

�−∫ (f(x) – g(x)) dx +

�

�∫ (f(x) – g(x)) dx

=

�

�−∫ f(x) dx –

�

�−∫ g(x) dx +

�

�∫ f(x) –

�

�∫ g(x) dx

=

�

�−∫ f(x) dx +

�

�∫ f(x) dx –

�

�−∫ g(x) +

�

�∫ g(x) dx

=

�

�−∫ f(x) dx +

�

�∫ f(x) dx –

�

�−∫ g(x) dx –

�

�∫ g(x) dx

10. Jawaban: e

�

�∫ (2x – 3x2) dx = x2 – x3

�

�

⇔ m = (42 – 43) – (02 – 03)

⇔ m = 16 – 64

⇔ m = –48

m = –48 sehingga m – 2 = –48 – 2 = –50.

Jadi, nilai m – 2 = – 50.

11. Jawaban: b

�

�−∫ � �

��

�� − dx

Misal u = x2 – 3 ⇔ du = 2x dx

∫ � �

��

�� − dx = ∫ u–3 du

= �

�− u–2 + c

= –�

��

�

�� − + c

�

�−∫ � �

��

�� − dx = –�

� � �

�

�

�

�� −

−

= –�

�( � �

�

�� − – � �

�

� � � − − )

= –�

�(1 –

�

�)

= (–�

�)(

�

�)

= –�

12. Jawaban: b

�

�∫(x + 2) dx = 12

⇔ �

�

�

�

��

+ = 12

⇔ �

�p2 + 2p – (

�

� × 32 + 2 × 3) = 12

⇔ �

�p2 + 2p –

��

� – 12 = 0

⇔ �

�p2 + 2p –

��

�= 0

⇔ p2 + 4p – 45 = 0

⇔ (p – 5)(p + 9) = 0

⇔ p = 5 atau p = –9

Oleh karena p > 0 maka nilai p = 5.

13. Jawaban: c

�

�∫ (ax2 – 2x + 1) dx =

�

�

⇔ �

�x3 – x2 + x

�

�

= �

�

⇔ (�

� × 23 – 22 + 2) – (

�

� × 13 – 12 + 1) =

�

�

⇔ (

�a – 4 + 2) – (

�

� – 1 + 1) =

�

�

⇔

�a – 2 =

�

�

⇔

�a = 2

�

�

⇔ a = 1

Jadi, nilai a = 1.


14. Jawaban: a

Misalkan: u = x2 – 2x – 3

⇒ du = (2x – 2) dx

⇔ du = 2(x – 1) dx

⇔ �

�du = (x – 1) dx

∫ (x – 1)(x2 – 2x – 3) dx

= ∫ (x2 – 2x – 3)(x – 1) dx

= ∫ �

�u du

= �

�u2 + c

= �

�(x2 – 2x – 3)2 + c

�

�∫ (x – 1)(x2 – 2x – 3) dx

= �

�(x2 – 2x – 3)2 ]�

�

= �

�(42 – 2 × 4 – 3)2 –

�

�(12 – 2 × 1 – 3)2

= �

�(5)2 –

�

�(–4)2

= ��

� –

��

�

= �

�

15. Jawaban: a

L = �

�− ∫ (x2 – 5x + 6) dx

= –�

� �

�

� �

� ��

− +

= –((�

� –

��

� + 18) – (

� –

��

� + 12))

= –(��

� –

��

� + 6)

= –(� � ��

�

− +) =

�

�

Jadi, luas daerah yang diarsir �

� satuan luas.

16. Jawaban: e

Kurva y = x2 + 1 dan y = x + 3.

Substitusikan persamaan y = x + 3 ke dalam

persamaan y = x2 + 1.

x2 + 1 = x + 3

⇔ x2 – x – 2 = 0

D = b2 – 4ac = (–1)2 – 4 × 1 × (–2) = 9

L = �

� �

��=

� �

� =

�

� = 4

�

�

Jadi, luasnya 4�

� satuan luas.

17. Jawaban: a

L1 =

�

�∫ (f(x) – g(x)) dx

L2 =

�

�∫ f(x) dx

L = L1 + L

2

=

�

�∫ (f(x) – g(x)) dx +

�

�∫ f(x) dx

=

�

�∫ f(x) dx +

�

�∫ f(x) dx –

�

�∫ g(x) dx

=

�

�∫ f(x) dx –

�

�∫ g(x) dx

18. Jawaban: b

f(x) = (x – 2)2 – 4

= x2 – 4x + 4 – 4

= x2 – 4x

g(x) = –f(x)

= –(x2 – 4x)

= –x2 + 4x

Luas daerah yang dibatasi kurva f(x) dan g(x)

= Luas daerah yang diarsir

= �

�∫ (g(x) – f(x)) dx

= �

�∫ (–x2 + 4x – (x2 – 4x)) dx

2 3

y = x2 – 5x + 6

Y

X0

X

Y

0 a b

f(x)

g(x)

L1

L2

Y

X

f(x) = x2 – 4x

g(x) = –x2 + 4x

0 4

–4


Y

X

150

125

100 1250

3x + 2y = 300

x + y = 125Y

X

6

0

y = �

�x2 + x + 6

y = 6

= �

�∫ (–2x2 + 8x) dx

= –�

� x3 + 4x2 ]�

�

= –�

�(4)3 + 4(4)2 – (–

�

�(0)3 + 4(0)2)

= – ��

�+ 64 – 0

= 21�

�

Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva f(x) dan g(x)

adalah 21�

� satuan luas.

19. Jawaban: d

Gradien kurva y adalah y′.y′ = 3x2 + 2x + 6

⇔ y = ∫ (3x2 + 2x + 6) dx

⇔ y = x3 + x2 + 6x + c

Kurva melalui (1, 12), diperoleh:

12 = 13 + 12 + 6(1) + c

⇔ 12 = 8 + c

⇔ c = 4

Persamaan kurva tersebut y = x3 + x2 + 6x + 4.

Titik potong kurva dengan sumbu Y, berarti x = 0.

y = 03 + 02 + 6 × 0 + 4

⇔ y = 4

Jadi, titik potong kurva tersebut dengan sumbu Y

adalah (0, 4).

20. Jawaban: d

f′(x) = x + 1

f(x) = ∫ (x + 1) dx = �

�x2 + x + c

Fungsi f(x) melalui titik (2, 10)

10 = �

�(2)2 + 2 + c

⇔ 10 = 4 + c

⇔ c = 6

Diperoleh f(x) = �

�x2 + x + 6.

Titik potong kurva y = 6 dan

kurva y = �

�x2 + x + 6:

6 = �

�x2 + x + 6

⇔ 0 = �

�x2 + x

⇔ 0 = x2 + 2x

⇔ 0 = x(x + 2)

⇔ x = 0 atau x = –2

L = �

�−∫ (6 – (

�

�x2 + x + 6)) dx

= �

�−∫ (–

�

�x2 – x) dx

= �

� �

�

� �

� ��

−

− −

= 0 – (

� – 2)

= �

�

Jadi, luas daerah yang dibatasi y = f(x), sumbu X,

sumbu Y, dan garis y = 6 adalah �

� satuan luas.

21. Jawaban: d

Garis x + y = 125 melalui (0, 125) dan (125, 0).

Garis 3x + 2y = 300 melalui (0,150) dan (100, 0).

1) Pertidaksamaan x + y ≤ 125

Uji titik (0, 0) ⇔ 0 + 0 ≤ 125

⇔ 0 ≤ 125 (benar)

Daerah penyelesaian pertidaksamaan

x + y ≤ 125 dibatasi garis x + y = 125 dan

memuat titik (0, 0).

2) Pertidaksamaan 3x + 2y ≤ 300

Uji titik (0, 0) ⇔ 3(0) + 2(0) ≤ 300

⇔ 0 ≤ 300 (benar)

Daerah penyelesaian pertidaksamaan

3x + 2y ≤ 300 dibatasi garis 3x + 2y = 300

dan memuat titik (0, 0).

3) Pertidaksamaan x ≥ 0

Daerah penyelesaian x ≥ 0 adalah daerah di

sebelah atas sumbu X.

4) Pertidaksamaan y ≥ 0

Daerah penyelesaian y ≥ 0 adalah daerah di

sebelah kanan sumbu Y.

Dari 1), 2), 3), dan 4) diperoleh irisan daerah

penyelesaian seperti grafik berikut.

Jadi, daerah penyelesaian yang sesuai ditunjukkan

pada pilihan d.

22. Jawaban: c

Persamaan garis yang melalui titik (0, 5) dan (2, 0).

�

� +

�

� = 1⇔ 5x + 2y = 10


Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan (6, 0).

�

� +

�

� = 1⇔ x + 2y = 6

Daerah yang diarsir terletak di sebelah kanan garis

5x + 2y = 10 dan di sebelah kiri garis x + 2y = 6.

Dengan demikian, sistem pertidaksamaannya:

5x + 2y ≥ 10, x + 2y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0

23. Jawaban: b

Garis x + 2y = 10 melalui (0, 5) dan (10, 0).

Garis 2x + y = 10 melalui (0, 10) dan (5, 0).

1) Pertidaksamaan x + 2y ≥ 10

Uji titik (0, 0) ⇔ 0 + 2(0) ≥ 10

⇔ 0 ≥ 10 (salah)

Daerah penyelesaian x + 2y ≥ 10 dibatasi

garis x + 2y = 10 dan tidak memuat (0, 0).

2) Pertidaksamaan 2x + y ≤ 10

Uji titik (0, 0) ⇔ 2(0) + 0 ≤ 10

⇔ 0 ≤ 10 (benar)

Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 10 dibatasi

garis 2x – y = 10 dan memuat (0, 0).

3) Daerah penyelesaian x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah

daerah di kuadran I.

Dari 1), 2), dan 3) diperoleh irisan daerah

penyelesaian sebagai berikut.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah II.

24. Jawaban: e

Setiap pertidaksamaan digambarkan dalam grafik

kartesius.

x – 2y ≤ 0 berarti daerah penyelesaiannya di

sebelah kiri garis x – 2y = 0 ⇔ y = �

�x.

x + y ≤ 4 berarti daerah penyelesaiannya di sebelah

kiri garis x + y = 4.

y ≤ 3x ⇔ 3x – y ≥ 0 berarti daerah penyelesaian-

nya di sebelah kanan garis 3x – y = 0 ⇔ y = 3x.

Jika digambarkan dalam

satu bidang cartesius

seperti gambar di samping.

Jadi, daerah yang me-

menuhi sistem pertidak-

samaan tersebut pada

pilihan e.

25. Jawaban: e

1) Persamaan garis melalui (0, 4) dan (4, 0)

adalah x + y = 4.

Pertidaksamaan yang sesuai dengan daerah

diarsir adalah x + y ≤ 4.

2) Persamaan garis melalui (0, 4) dan (2, 0)

adalah �

� +

�

� = 1 ⇔ 2x + y = 4.


diarsir adalah 2x + y ≥ 4.

3) Persamaan garis yang sejajar sumbu X dan

melalui (0, 1) adalah y = 1.


yang diarsir adalah y ≥ 1.

Jadi, sistem pertidaksamaan linear yang sesuai

dengan daerah penyelesaian di atas adalah

x + y ≤ 4; y ≥ 1; 2x + y ≥ 4; y ≥ 0.

26. Jawaban: d

Persamaan garis yang melalui (5, 0) dan (0, 5)

adalah x + y = 5.

Persamaan garis yang melalui (6, 0) dan (0, 4)

adalah 2x + 3y = 12.

Menentukan titik potong kedua garis mengguna-

kan eliminasi.

x + y = 5 × 3 3x + 3y = 15

2x + 3y = 12 × 1 2x + 3y = 12–––––––––––– –

x = 3

Substitusikan x = 3 ke dalam persamaan x + y = 5.

Dengan demikian, 3 + y = 5 ⇔ y = 2.

Titik potong kedua garis adalah (3, 2).

Uji titik pojok:

Jadi, nilai maksimumnya 35.

27. Jawaban: a

Untuk menghitung besar nilai maksimum f(x, y),

dapat dilakukan dengan menguji titik pojok daerah

penyelesaian itu.

Oleh karena nilai tertinggi adalah 39 maka nilai

maksimum f(x, y) = 39.

Jadi, nilai maksimum f(x, y) = 5x + 8y pada daerah

penyelesaian di atas adalah 39.

Y

X

10

5

5 100

2x + y = 10

x + 2y = 10

Y

X

4

4

y = 3x

y = �

�x

0

x + y = 4

(x, y)

(0, 4)

(3, 2)

(5, 0)

(0, 0)

F(x, y) = 7x – 2y

7 × 0 – 2 × 4 = –8

7 × 3 – 2 × 2 = 17

7 × 5 – 2 × 0 = 35

7 × 0 – 2 × 0 = 0

Titik Pojok

(1, 0)

(3, 3)

(0, 1)

(3, 0)

f(x, y) = 5x + 8y

5 × 1 + 8 × 0 = 5

5 × 3 + 8 × 3 = 39

5 × 0 + 8 × 1 = 8

5 × 3 + 8 × 0 = 15


Titik f(x, y) = 17x + 17y

A(2, 0) 17 × 2 + 17 × 0 = 34

B(5, 0) 17 × 5 + 17 × 0 = 85

C(��

�,

��

�) 17 ×

��

� + 17 ×

��

�= 70

Uji titik pojok ke fungsi objektif:

Jadi, nilai minimum dari sistem pertidaksamaandi atas adalah 10.

30. Jawaban: b

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan

5x + 2y ≥ 10; 4x + 5y ≤ 20; x ≥ 0; y ≥ 0 sebagai

berikut.

Titik C merupakan titik potong 5x + 2y = 10 dan

4x + 5y = 20.

5x + 2y= 10 × 5 25x + 10y = 50

4x + 5y= 20 × 2 8x + 10y = 40––––––––––––– –

17x = 10

⇔ x = ��

�

Substitusikan x = ��

� ke dalam persamaan

5x + 2y = 10.

⇔ 5(��

�) + 2y = 10

⇔ 2y = ��

�

−

⇔ 2y = ��

�

⇔ y = ��

�

Koordinat titik C(��

�,

��

�).


Nilai maksimumnya 85 yang dicapai pada titik

B(5, 0) atau x = 5; y = 0.

Sehingga nilai x + y = 5 + 0 = 5.

Jadi, nilai x + y = 5.

Y

XA B

C

D

4

3

2 40

Titik Z = 5x + 10y

A(2, 0) 5 × 2 + 10 × 0 = 10

B(4, 0) 5 × 4 + 10 × 0 = 20

C(0, 4) 5 × 0 + 10 × 4 = 40

D(0, 3) 5 × 0 + 10 × 3 = 30

Y

XA B

C

5

4

2 50

5x + 2y = 10 4x + 5y = 20


A(�

��,

��

��) 3 ×

�

�� + 2 ×

��

��= 6

B(6, 4) 3 × 6 + 2 × 4 = 26

C(0, 3) 3 × 0 + 2 × 3 = 6

28. Jawaban: d

Persamaan garis yang melalui (0, 3) dan (2, 0):�

� +

�

� = 1 ⇔ 3x + 2y = 6

Persamaan garis yang melalui (0, 0) dan (6, 4):

� �

� �

−− =

� �

� �

−− ⇔ �

� =

�

�

⇔ 4x – 6y = 0

⇔ 2x – 3y = 0

Untuk menghitung nilai minimum f(x, y) dapat

dilakukan dengan menguji titik pojok. Titik-titik pojok

pada daerah yang diarsir adalah A, B, C. Titik A

adalah titik potong garis 3x + 2y = 6 dan garis

2x – 3y = 0.

3x + 2y= 6 × 3 9x + 6y= 18

2x – 3y = 0 × 2 4x – 6y = 0–––––––––– +

13x = 18

⇔ x = �

��

Substitusikan x = �

�� ke dalam persamaan

2x – 3y = 0.

2x – 3y = 0 ⇔ 2�

��

– 3y = 0

⇔ ��

��= 3y

⇔ y = ��

��

Koordinat titik A (�

��,

��

��).

Uji titik pojok daerah penyelesaian:

Jadi, nilai minimum yang memenuhi daerah pe-

nyelesaian itu adalah 6.

29. Jawaban: e


x + y ≤ 4, 3x + 2y ≥ 6, x ≥ 0 dan y ≥ 0 sebagai

berikut.

Titik pojok daerah

penyelesaian di sam-

ping adalah A(2, 0); B(4,

0); C(0, 4); dan D(0, 3).


31. Jawaban: a


5x + 6y ≥ 30, 4 ≤ x ≤ 7, 0 ≤ y ≤ 4 sebagai berikut.

Koordinat titik A(6, 0), B(7, 0), C(7, 4), dan D(4, 4).

Titik E adalah titik potong garis x = 4 dengan garis

5x + 6y = 30. Substitusikan x = 4 ke dalam

persamaan 5x + 6y = 30.

5 × 4 + 6y = 30

⇔ 6y = 10

⇔ y = �

�

Koordinat titik E(4, �

�).


Jadi, nilai maksimum Z = 9x + 8y dari sistem

pertidaksamaan tersebut adalah 95.

32. Jawaban: d

Permasalah tersebut dapat dibuat tabel seperti

berikut.

Model matematika:

x + y ≤ 30 . . . (1)

6.000x + 15.000y ≤ 300.000

⇔ 2x + 5y ≤ 100 . . . (2)

x ≥ 0, y ≥ 0

33. Jawaban: d

Diketahui: x =banyak ikan lele yang dibeli (kg)

y =banyak ikan kakap yang dibeli (kg)

Harga pembelian ikan lele dan ikan kakap tidak

boleh melebihi modal yang dimiliki penjual ikan:

10.000x + 15.000y ≤ 600.000 . . . (1)

⇔ 2x + 3y ≤ 120

Jumlah berat ikan lele dan ikan kakap yang dibeli

tidak lebih dari 50 kg:

⇔ x + y ≤ 50 . . . (2)

Banyak ikan lele dan ikan kakap tidak boleh

negatif:

x ≥ 0 dan y ≥ 0 . . . (3)

Diperoleh sistem pertidaksamaan:

2x + 3y ≤ 120

x + y ≤ 50

x ≥ 0, y ≥ 0

Jadi, model matematika yang sesuai adalah

2x + 3y ≤ 120; x + y ≤ 50; x ≥ 0; y ≥ 0

34. Jawaban: c

Jumlah vitamin B yang dikonsumsi paling sedikit

18 unit diperoleh pertidaksamaan:

2x + 3y ≥ 18 . . . (1)

Jumlah vitamin C yang dikonsumsi paling sedikit

15 unit diperoleh pertidaksamaan:

3x + 2y ≥ 15 . . . (2)

Banyak tablet I dan tablet II tidak boleh negatif

diperoleh pertidaksamaan x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Model matematikanya berupa sistem pertidak-

samaan linear:

2x + 3y ≥ 18

3x + 2y ≥ 15

x ≥ 0

y ≥ 0

35. Jawaban: b

Diketahui: x = banyak motor manual

y = banyak motor matic

Persediaan motor manual paling sedikit 100 unit

dan kurang dari 150 unit, diperoleh pertidak-

samaan:

100 ≤ x ≤ 150 . . . (1)

Persediaan motor matic paling sedikit 150 unit,

diperoleh pertidaksamaan:

y ≥ 150 . . . (2)

Jumlah motor matic dan manual tidak lebih dari

400:

x + y ≤ 400

Jadi, model matematika yang sesuai adalah

x + y ≤ 400; 100 ≤ x ≤ 150; y ≥ 150

36. Jawaban: e

Misalkan: x = banyak gaun A yang dibuat

y = banyak gaun B yang dibuat

Diperoleh model matematika:

2x + 1,5y ≤ 60 ⇔ 4x + 3y ≤ 120 . . . (1)

x + 2,5y ⇔ 65 ⇔ 2x + 5y ≤ 130 . . . (2)

x ≥ 0, y ≥ 0 . . . (3)

Titik Z = 9x + 8y

A(6, 0) 9 × 6 + 8× 0 = 54

B(7, 0) 9 × 7 + 8 × 0 = 63

C(7, 4) 9 × 7 + 8 × 4 = 95

D(4, 4) 9 × 4 + 8 × 4 = 68

E(4, �

�) 9 × 4 + 8 ×

�

�= 49

�

�

Sandal Banyak Modal

Jenis I x 6.000x

Jenis II y 15.000y

Pembatas 30 300.000

Y

XA B

CD

E

y = 4

x = 4 x = 7

40

5

5x + 6y = 30

6 7

Jenis Banyak Vitamin B Vitamin C

Tablet I x 2x 3x

Tablet II y 3y 2y

Pembatas 18 15


Y

XO

A

B

C

24

15

24 30

x + y = 24

x + 2y = 30

Titik F(x, y) = 5.000x + 8.000y

O(0, 0) 5.000 × 0 + 8.000 × 0 = 0

A(24, 0) 5.000 × 24 + 8.000 × 0 = 120.000

B(18, 6) 5.000 × 18 + 8.000 × 6 = 138.000

C(0, 15) 5.000 × 0 + 8.000 × 15 = 120.000

Jenis Rumah

Tipe A

Tipe B

Pembatas

Banyak

x

y

125

Lahan (m2)

100x

75y

10.000

Keuntungan

(Juta)

10x

6y

Titik B merupakan titik potong garis x + 2y = 30

dan x + y = 24.

x + 2y = 30

x + y = 24––––––––– –

y = 6

Substitusikan y = 6 ke dalam persamaan

x + y = 24.

x + 6 = 24

⇔ x = 18

Diperoleh koordinat titik B(18, 6)


Nilai maksimum F(x, y) adalah 138.000. Jadi, hasil

maksimum tempat parkir tersebut Rp138.000,00.

38. Jawaban: d

Misalkan: x = banyak rumah tipe A

y = banyak rumah tipe B

Model matematika persoalan tersebut dapat dibuat

sebagai berikut.

100x + 75y ≤ 10.000

⇔ 4x + 3y ≤ 400

x + y ≤ 125

x ≥ 0; y ≥ 0

Memaksimumkan F(x, y) = 10.000.000x + 6.000.000y


Titik B adalah titik potong garis 4x + 3y = 400 dan

x + y = 125.

4x + 3y= 400 × 1 4x + 3y= 400

x + y = 125 × 3 3x + 3y= 375––––––––––– –⇔ x = 25

Substitusikan x = 25 ke dalam persamaan

x + 2y = 125.

Memaksimumkan f(x, y) = 500.000x + 400.000y.

4x + 3y = 120 × 1 4x + 3y = 120

2x + 5y = 130 × 2 4x + 10y = 260 ––––––––––––– –

–7y = –140

⇔ y = 20

Dengan demikian diperoleh x = 15.

Jadi, titik potongnya (15, 20).



Nilai maksimum f(15, 20) = 15.500.000.

Jadi, keuntungan maksimum Rp15.500.000,00.

37. Jawaban: d

Misalkan: x = banyak mobil yang sedang diparkir

y = banyak bus yang sedang diparkir

Model matematika pada persoalan di atas dapat

dibuat sebagai berikut.

10x + 20y ≤ 300

⇔ x + 2y ≤ 30

x + y ≤ 24

x ≥ 0; y ≥ 0

Memaksimumkan F(x, y) = 5.000x + 8.000y


tersebut:

Kendaraan

Mobil

Bus

Pembatas

Banyak

x

y

24

Luas

10x

20y

300

Biaya Parkir

5.000x

8.000y

Y

X0

40

26

30 65

4x + 3y = 120 2x + 5y = 130

Titik Pojok F(x, y) = 500.000x + 400.000y

(0, 26) 500.000 × 0 + 400.000 × 26 = 10.400.000

(15, 20) 500.000 × 15 + 400.000 × 20 = 15.500.000

(30, 0) 500.000 × 30 + 400.000 × 0 = 15.000.000

(0, 0) 500.000 × 0 + 400.000 × 0 = 0

(15, 20)

Y

XO

A

B

C

100 125

��

�

125

4x + 3y = 400

x + y = 125


⇔ 25 + y = 125

⇔ y = 100

Diperoleh koordinat titik B(25, 100).


Nilai maksimum F(x, y) = 1.000 juta = 1 miliar

dicapai pada titik A(100, 0) atau pada saat

x = 100 dan y = 0.

Jadi, keuntungan maksimum yaitu 1 miliar rupiah

dapat dicapai jika pemborong tersebut membuat

100 rumah tipe A.

39. Jawaban: d

Misalkan: x = banyak bus

y = banyak minibus

Diperoleh SPtLDV:

x + y ≥ 8

50x + 30y ≥ 300 ⇔ 5x + 3y ≥ 30

x ≥ 0

y ≥ 0

Meminimumkan f(x, y) = 900.000x + 500.000y.


Titik B merupakan perpotongan garis 5x + 3y = 30

dan x + y = 8. Koordinat B(3, 5).


Nilai minimum f(x, y) adalah 5.000.000

Jadi, biaya sewa minimum yang dikeluarkan

sekolah Rp5.000.000,00.

40. Jawaban: d

Misalkan: x = banyak arloji wanita

y = banyak arloji pria

Diperoleh model matematika:

x + y ≤ 30

60.000x + 240.000y ≤ 3.600.000

⇔ x + 4y ≤ 60

x ≥ 0, y ≥ 0

Memaksimumkan f(x, y) = 20.000x + 60.000y.


Titik B merupakan titik potong garis x + y = 30

dan x + 4y = 60.

x + 4y= 60

x + y = 30

––––––––– –

3y = 30 ⇔ y = 10

Substitusikan y = 10 ke dalam pesamaan x + y

= 30.

x + 10 = 30

⇔ x = 20

Koordinat titik B(20, 10).


Nilai maksimum f(x, y) adalah 1.000.000 yang

dicapai pada titik B(20, 10) atau x = 20 dan y = 10.

Jadi, keuntungan maksimum diperoleh jika

pedagang membeli 20 arloji wanita dan 10 arloji

pria.

Titik F(x, y) = (10x + 6y)

O(0, 0) (10 × 0 + 6 × 9 = 0) juta

A(100, 0) (10 × 100 + 6 × 0 = 1.000) juta

B(25, 100) (10 × 25 + 6 × 100 = 850) juta

C(0, 125) (10 × 0 + 6 × 125) = 750) juta

Bus

Minibus

Pembatas

Banyak Daya Angkut Harga Sewa

x

y

8

50x

30y

300

900.000x

500.000y

10

8

A

B

C

6 8

5x + 3y = 30 x + y = 8

Y

X0

Titik f(x, y) = 900.000x + 500.000y

A(8, 0) 900.000 × 8 + 500.000 × 0 = 7.200.000

B(3, 5) 900.000 × 3 + 500.000 × 5 = 5.200.000

C(0, 10) 900.000 × 0 + 500.000 × 10 = 5.000.000

Kendaraan

Jenis Arloji

Arloji wanita

Arloji pria

Pembatas

Banyak Harga Beli Keuntungan

x

y

30

60.000

240.000

3.600.000

20.000

60.000

Y

X

30

15

O 30 60

A

B

C

x + y = 30x + 4y = 60

Titik F(x, y) = 20.000x + 60.000y

O(0, 0) 20.000(0) + 60.000(0) = 0

A(30, 0) 20.000(30) + 60.000(0) = 600.000

B(20, 10) 20.000(20) + 60.000(10) = 1.000.000

C(0, 15) 20.000(0) + 60.000(15) = 900.000


B. Uraian

1. a. ∫(5x4 – 2x3 + 4x2 – 3) dx

= �

� �+ x4 + 1 – �

� �+ x3 + 1 + �

� �+ x2 + 1 – 3x + c

= �

�x5 –

�

�x4 +

�

�x3 – 3x + c

= x5 – �

�x4 +

�

�x3 – 3x + c

b. ∫(2x2 � – �

� �) dx

= ∫ (2x�

� – 3x�

�−

) dx

= �

�

�

�+x

�

� + 1 – �

�

�

�− +x

�

�− + 1

=

�

�x

� – �

�

�

−x

�

�−

= �

x

� + 6x�

�−

= �

x3 � +

�

� + c

2. a. Misalkan u = 2x2 + 1 ⇔ ��

�� = 4x ⇔

du = 4x dx

∫�

�

�� +dx =

�

�∫(2x2 + 1)

–�

� · 4x dx

= �

�∫

�

��−

du

= �

� ×

�

�

�

�� + c

= �

�

�

�� + c

= �

�

�� + + c

b. ∫ 3x�� − dx

Misalkan u = x2 – 1 ⇔ du = 2x dx

∫ 3x�� − dx =

�

�∫ (x2 – 1)

�

� · 2x dx

= �

�∫ u

�

� du

= �

� ×

�

�u

�

� + c

= u

�

� + c

= (x2 – 1)�� − + c

3. a.

�

�∫ (x2 – �

�

� + 1) dx

=

�

�∫ (x2 – x–2 + 1) dx

= �

�x3 + x–1 + x

�

�

= (�

�(3)3 + (3)–1 + 3) – (

�

�(1)3 + (1)–1 + 1)

= (9 + �

� + 3) – (

�

� + 1 + 1) = 10

b.

�

�∫ (x � + 2)2 dx

=

�

�∫ (x

�

� + 2)2 dx

=

�

�∫ (x3 + 4x

�

� + 4) dx

=�

�x4 + 4(

�

�x

�

� ) + 4x�

�

=�

�x4 +

�x

�

� + 4x�

�

= (�

�(4)4 +

�(4)

�

� + 4(4))

– (�

�(0)4 +

�(0)

�

� + 4(0))

= (64 +

�× 25 + 16) – 0

= 64 + 16 + ��

� = 131

�

�

c.

�

�−∫ �

� �

� ��

−

− + dx

Misal u = x2 – 4x + 3

⇔ du = (2x – 4) dx

⇔ du= 2(x – 2) dx

∫ �

� �

� ��

−

− + dx = ∫ �

��

� ��

−

− +

= ∫ �

��

�

= ∫ �

�u

�

�−

du

= �

�(2u

�

� ) + c

= u�

� + c

= �� − + + c


�

�−∫

�

� �

� ��

−

− + dx

= �

�

�� −

− +

= �� − + –

�� − − − +

= � –

= 0 – 2 �

= –2 �

4. a. f′(x) = 2x + �

f(x) = ∫ (2x + � ) dx = x2 + �

�x � + c

f(4) = 12

⇔ 42 + �

�4 � + c = 12

⇔ 16 + ��

� + c = 12

⇔ c = 12 – 16 – ��

� = –9

�

�

Jadi, f(x) = x2 + �

�x � – 9

�

�.

b. f′(x) = 1 + 5x–2

f(x) = ∫ (1 + 5x–2) dx

= x + �

�− x–1 + c

= x – �

� + c

f(4) = 5

⇔ 4 – �

� + c = 5

⇔ c = 5 – 4 + �

�

⇔ c = 2�

�

Jadi, f(x) = x – �

� + 2

�

�.

5.�

�∫ (2x3 – 6x2 + ax) dx = 3

⇔

�

�x4 –

�

�x3 +

�

�x2

�

�

= 3

⇔

�

�x4 – 2x3 +

�

�x2

�

�

= 3

⇔

�

� × 34 – 2 × 33 +

�

� × 32

–

�

� × 14 – 2 × 13 +

�

� × 12

= 3

⇔

�

� – 54 +

��

�

–

�

� – 2 +

�

�

= 3

⇔ �

� –

�

� – 54 + 2 +

��

� +

�

�= 3

⇔ 40 – 54 + 2 + 5a = 3

⇔ –12 + 5a = 3

⇔ 5a = 15

⇔ a = 3

Jadi, nilai a = 3.

6. Persamaan garis yang melalui (0, 2) dan (2, 0):

�

� +

�

� = 1 ⇔ x + y = 2 ⇔ y = –x + 2

Menentukan titik potong garis y = –x + 2 dan kurva

y = x2.

⇔ x2 = –x + 2

⇔ x2 + x – 2 = 0

⇔ (x – 1)(x + 2) = 0

⇔ x = 1 atau x = –2

Garis y = –x + 2 berpotongan di x = 1 atau x = –2.

LI

=

�

�∫ (y

2 – y

1) dx

=

�

�∫ (–x + 2 – x2) dx

= –�

�x2 + 2x –

�

�x3

�

�

= –�

�(1)2 + 2(1) –

�

�(1)

– (–�

� (0)2 + 2(0) –

�

�(0)3)

= –�

�+ 2 –

�

� – 0

=

� satuan luas

LII

=�

�∫ (y

1 – y

2) dx

=�

�∫ (x2 – (–x + 2)) dx

=�

�∫ (x2 + x – 2)) dx

=�

�x3 +

�

�x2 – 2x

�

�

Y

X

y1 = x2

LI L

II

0 1 2y

2 = –x + 2


Y

X

15

5

5 150

A(0, 15)

BC(15, 0)

=�

�(2)3 +

�

�(2)2 – 2(2)

– (�

�(1)3 +

�

�(1)2 – 2(1))

=

�+ 2 – 4 –

�

� –

�

� + 2

=��

� satuan luas

Luas daerah yang diarsir

= LI + L

II

=

� +

��

�

= �

� = 3 satuan luas


7. a. Pada gambar a, terdapat tiga garis yang

membatasi daerah penyelesaian.

1) Persamaan garis yang melalui (0, 1) dan

(3, 0) yaitu x + 3y = 3.

Oleh karena daerah penyelesaian di

kanan garis x + 3y = 3, pertidaksamaan

yang sesuai adalah x + 3y ≥ 3.

2) Persamaan garis yang melalui (0, 4) dan

(3, 0) yaitu 4x + 3y = 12.

Oleh karena daerah penyelesaiannya di

kiri garis 4x + 3y = 12, pertidaksamaan

yang sesuai adalah 4x + 3y ≤ 12.

3) Persamaan garis yang melalui (–�

�, 0)

dan (0, 4):

� �

� �

−−

=

�

��

�

�

�

+

+

⇔ �

�y = 4x + 6

⇔ 3y = 8x + 12

Oleh karena daerah penyelesaian di

sebelah kanan 8x – 3y = –12, pertidak-

samaannya adalah 8x – 3y ≥ –12.

Jadi, sistem pertidaksamaan yang sesuai

dengan daerah penyelesaian pada gambar c

adalah x + 3y ≥ 3; 4x + 3y ≤ 12; 8x – 3y ≥ –12.

b. Pada gambar b, terdapat empat garis yang

membatasi daerah penyelesaian.

1) Garis y = 2x. Oleh karena daerah penye-

lesaiannya di bawah y = 2x maka pertidak-

samaan yang sesuai adalah y ≤ 2x.

2) Garis y = �

�x. Oleh karena daerah

penyelesaiannya di atas y = �

�x maka

pertidaksamaan yang sesuai adalah

y ≥ �

�x.

3) Garis yang melalui (0, 3) dan (3, 0) yaitu

x + y = 3.


atas garis x + y = 3, pertidaksamaan

yang sesuai adalah x + y ≥ 3.

4) Garis yang melalui (0, 7) dan (7, 0) yaitu

x + y = 7


bawah garis x + y = 7, pertidaksamaan

yang sesuai adalah x + y ≤ 7.

Jadi, sistem pertidaksamaan yang sesuai

untuk daerah penyelesaian itu adalah

y ≤ 2x; y ≥ �

�x; x + y ≥ 3; x + y ≤ 7.

8. a.

Persamaan garis melalui (0, 15) dan (5, 0):�

� +

�

�� = 1 ⇔ 3x + y = 15


�� +

�

� = 1 ⇔ x + 3y = 15

Titik B merupakan perpotongan garis

3x + y = 15 dan x + 3y = 15.

Eliminasi y:

3x + y= 15 × 3 9x + 3y= 45

x + 3y = 15 × 1 x + 3y = 15–––––––––– –

8x = 30

⇔ x = ��

Eliminasi x:

3x + y = 15 × 1 3x + y = 15

x + 3y = 15 × 3 3x + 9y= 45––––––––––– –

–8y = –30

⇔ y = ��

Koordinat titik B (��

,

��

).


Jadi, nilai minimum f(x, y) = 25x + 20y adalah

168�

�.


A(0, 15) 25(0) + 20(15) = 300

B(��

,

��

) 25(

��

) + 20(

��

) =

��

= 168

�

�

C(15, 0) 25(15) + 20(0) = 375


b. Persamaan garis melalui (0, 16) dan (12, 0):�

�� +

�

�� = 1 ⇔ 4x + 3y = 48


�� +

�

�� = 1 ⇔ 3x + 5y = 60

Persamaan garis sejajar sumbu Y dan

melalui (3, 0) adalah x = 3.

Titik A merupakan perpotongan garis x = 3

dan garis 4x + 3y = 48.

Substitusikan x = 3 ke dalam persamaan

4x + 3y = 48.

4(3) + 3y = 48

⇔ 3y = 48 – 12

⇔ y = 12

Diperoleh koordinat A(3, 12).

Titik B merupakan perpotongan garis

4x + 3y = 48 dan 3x + 5y = 60.

Eliminasi x:

4x + 3y= 48 × 3 12x + 9y = 144

3x + 5y = 60 × 4 12x + 20y = 240––––––––––––– –

–11y = –96

⇔ y = ��

��

Eliminasi y:

4x + 3y = 48 × 5 20x + 15y = 240

3x + 5y = 60 × 3 9x + 15y = 180––––––––––––– –

11x = 60

⇔ x = ��

��

Koordinat titik B(��

��,

��

��).



315.

c. Persamaan garis melalui (0, 12) dan (8, 0):�

+

�

�� = 1 ⇔ 3x + 2y = 24


�� +

�

�� = 1 ⇔ 3x + 4y = 48

Persamaan garis melalui (0, 4) dan sejajar

sumbu X yaitu y = 4.

Titik B merupakan perpotongan garis y = 4

dan garis 3x + 2y = 24.

y = 4 ⇔ 3x + 2(4) = 24

⇔ 3x = ��

�

⇔ x = ��

�

Koordinat titik B(��

�, 4).

Titik C merupakan perpotongan garis y = 4

dengan garis 3x + 4y = 48.

y = 4 ⇔ 3x + 4(4) = 48

⇔ 3x = 32

⇔ x = ��

�

Koordinat titik C(��

�, 4).



213�

�.

9. Misalkan: x = banyak tiket kelas utama

y = banyak tiket kelas ekonomi

4x + 3y = 48

X

16

12

3 12

Y

200

A

B

C

x = 33x + 5y = 60


A(3, 12) 25(3) + 20(12) = 315

B(��

��,

��

��) 25(

��

��) + 20(

��

��) = 310

��

��

C(20, 0) 25(20) + 20(0) = 500

Y

X

12

4

8 160

A(0, 12)

B C y = 4

3x + 2y = 24 3x + 4y = 48


A(0, 12) 25(0) + 20(12) = 240

B(��

�, 4) 25(

��

�) + 20(4) = 213

�

�

C(��

�, 4) 25(

��

�) + 20(4) = 346

�

�

Kelas Banyak Bagasi Pendapatan

Utama x 50x 500.000x

Ekonomi y 20y 250.000y

Pembatas 50 1.150


Sistem pertidaksamaan linear:

x + y ≤ 50

50x + 20y ≤ 1.150

x ≥ 0

y ≥ 0

Fungsi sasaran memaksimumkan f(x, y) = 500x +

250y (dalam ribuan rupiah).


Uji titik sudut:

f(x, y) = 500x + 250y

f(0, 0) = 500 × 0 + 250 × 0 = 0

f(23, 0) = 500 × 23 + 250 × 0 = 11.500

f(5, 45) = 500 × 5 + 250 × 45 = 13.750

f(0, 50) = 500 × 0 + 250 × 50 = 12.500

Diperoleh nilai maksimum fungsi sasaran 13.750

dalam ribuan rupiah.

Jadi, pendapatan maksimumnya Rp13.750.000,00.

10. Misalkan: x = banyak tablet A

y = banyak tablet B

Persoalan di atas dapat dibuat menjadi model

matematika sebagai berikut.

12x + 6y ≥ 48 ⇔ 2x + y ≥ 8

5x + 6y ≥ 30

x ≥ 0; y ≥ 0

Meminimumkan F(x, y) = 500x + 350y


tersebut sebagai berikut.

Titik-titik pojok penyelesaiannya adalah A, B, C.

Titik B adalah titik potong antara 2x + y = 8 dan

5x + 6y = 30.

Eliminasi x:

2x + y = 9 × 6 12x + 6y = 48

5x + 6y = 30 × 1 5x + 6y = 30––––––––––– –

7x = 18 ⇔ x = �

Substitusikan x = �

ke dalam persamaan

5x + 6y = 30.

5(�

) + 6y = 30

⇔ 6y = 30 – ��

⇔ 6y =

��

⇔ y =

��

Diperoleh titik B(�

,

��

).

Uji titik pojok ke fungsi objektif

F(x, y) = 500x + 350y:

Jadi, pengeluaran minimum setiap hari adalah

Rp2.285,71.

Y

X0

50

23 50

(5, 45)57,5

Jenis Banyak Vitamin A Vitamin B Harga

Tablet I x 12x 5x 500x

Tablet II y 6y 6y 350y

Pembatas 48 30

Y

X

8

5

4 605x + 6y = 302x + y = 8

A

B

C

Titik F(x, y) = 500x + 350y

A(6, 0) 500 × 6 + 350 × 0 = 3.000

B(�

,

��

) 500 ×

�

+ 350 ×

��

= 2.285,71

C(0, 8) 500 × 0 + 350 × 8 = 2.800

66 Matriks

Matriks

Pengertian,

Notasi, dan Ordo

Matriks

• P e n g e r t i a n

Matriks

• Notasi dan Ordo

Matriks

• Jenis Matriks

• Kesamaan Dua

Matriks

Penerapan

Matriks dalam

Sistem

Persamaan

Linear

• Sistem Per-

samaan Linear

Dua Variabel

• Sistem Per-

samaan Linear

Tiga Variabel

• Menyelesaikan

Sistem Per-

samaan Linear

Menggunakan

Matriks

Penjumlahan

dan

Pengurangan

Matriks

• Pen jumlahan

Matriks

• Pengurangan

Matriks

Perkalian Matriks

• P e r k a l i a n

Skalar Matriks

• Perkalian Antar-

matriks

• Pemangkatan

Matriks

Determinan dan

Invers Matriks

• D e t e r m i n a n

Matriks

• Invers Matriks

• Bersikap percaya diri dalam melengkapi permasalahan dan menyelesaikannya.

• Mampu menjelaskan pengertian matriks.

• Mampu menyebutkan jenis matriks.

• Mampu menentukan transpos matriks.

• Mampu menggunakan kesamaan matriks untuk menentukan elemen matriks.

• Mampu melakukan pejumlahan dan pengurangan matriks.

• Mampu melakukan operasi perkalian matriks.

• Mampu menentukan hasil pemangkatan matriks.

• Mampu menentukan determinan matriks.

• Mampu menentukan invers matriks.

• Mampu menggunakan sifat determinan dan invers matriks.

• Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear menggunakan invers matriks.

• Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear menggunakan determinan matriks.


Matriks AT terdiri atas 2 baris dan 5 kolom sehingga

ordo matriks AT adalah 2 × 5.

Jadi, ordo matriks AT adalah 2 × 5.

5. Jawaban: c

A = � � �

� � �

� � �

1) Banyak baris matriks A = 3 dan banyak kolom

matriks A = 3 maka ordo matriks A = 3 × 3.

2) Pada matriks A banyak baris = banyak kolom

maka matriks A merupakan matriks persegi.

3) Semua elemen matriks A = 0 kecuali elemen

pada diagonal utama maka matriks A

merupakan matriks diagonal.

4) Semua elemen pada diagonal utama sama,

yaitu 2 dan elemen yang lain 0 maka matriks

A merupakan matriks skalar.

5) Matriks identitas adalah suatu matriks persegi

dengan elemen-elemen pada diagonal utama

sama dengan 1 dan elemen-elemen yang lain

sama dengan nol. Oleh karena elemen diago-

nal utama matriks A adalah 2 ≠ 1 maka matriks

A bukan matriks identitas.

Jadi, matriks A bukan matriks identitas.

6. Jawaban: b

Matriks diagonal adalah suatu matriks persegi yang

elemen-elemennya nol (0), kecuali elemen pada

diagonal utama (tidak semua nol).

Jadi, matriks

� � �

� � �

� � �

merupakan matriks

diagonal.

7. Jawaban: c

P = Q

⇔ ��

� � �

+ − =

� �

� �

−

Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh:

2a + b = 5 . . . (1)

a – b = –2 . . . (2)

Eliminasi b dari persamaan (1) dan (2).

2a + b = 5

a – b = –2

–––––––––– +

3a = 3

⇔ a = 1

A. Uraian

1. Jawaban: c

Dalam matriks persegi, elemen-elemen yang

terletak pada garis hubung elemen a11

dengan ann

disebut elemen diagonal utama.

Perhatikan matriks berikut.

� � �

� �

� �

− −

Elemen-elemen diagonal utama adalah 4, –2, 0.

2. Jawaban: e

Transpos dari matriks C adalah suatu matriks baru

yang terbentuk jika elemen-elemen pada baris

matriks C ditukarkan dengan elemen-elemen pada

kolomnya.

Diketahui C =

� � �

� � �

� � �

−

sehingga CT =

� � �

� � �

� � �

−

3. Jawaban: d

Matriks segitiga atas adalah suatu matriks persegi

yang semua elemen di bawah diagonal utama

berupa nol.

Perhatikan matriks pada pilihan d.

� � �

� � �

� �

��

Pada matriks di atas, semua elemen di bawah

diagonal utama berupa nol.

Jadi, matriks

� � �

� � �

� �

merupakan matriks

segitiga atas.

4. Jawaban: d

Diketahui A =

� �

� �

� �

�

� �

− −

sehingga AT =

� � � � �

� � � �

− −

68 Matriks

Substitusikan a = 1 ke dalam persamaan (2).

a – b = –2

⇔ 1 – b = –2

⇔ –b = –2 – 1

⇔ –b = –3

⇔ b = 3

Nilai b – 2a = 3 – 2(1) = 3 – 2 = 1

Jadi, nilai b – 2a adalah 1.

8. Jawaban: c

A = B

⇔

��

� ��

� ��

− −

=

��

� ��

� � �

−

Dari kesamaan matriks diperoleh:

4a = 12 ⇔ a = 3 . . . (1)

–3b = 3a ⇔ –3b = 3(3)

⇔ b = –3 . . . (2)

3c = b ⇔ 3c = –3

⇔ c = –1 . . . (3)

Jadi, nilai a + b + c = 3 + (–3) + (–1) = –1

9. Jawaban: d

AT = B ⇔� � ��

��

+ + + =

�

� �


x + y = 5 . . . (1)

4x = 8 . . . (2)

Dari persamaan (2) diperoleh:

4x = 8

⇔ x = 2

Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan (1).

x + y = 5

⇔ 2 + y = 5

⇔ y = 3

Jadi, nilai x dan y berturut-turut adalah 2 dan 3.

10. Jawaban: e

��

��

+ =

�

�


log x + log y = 0 . . . (1)

log y = 1

Menentukan nilai y:

log y = 1

⇔ log y = log 10

⇔ y = 10 . . . (2)

Substitusikan y = 10 ke dalam persamaan (1).

log x + log y = 0

⇔ log x + log 10 = 0

⇔ log x + 1 = 0

⇔ log x = –1

⇔ x = 10–1

⇔ x = �

��

�

� =

��

�

��

= 100

Jadi, nilai �

� adalah 100.

B. Uraian

1. A =

� � �

� � �

� � �

− −

a. Banyak baris = 3, banyak kolom = 3

Ordo = banyak baris × banyak kolom = 3 × 3

Jadi, ordo matriks A adalah 3 × 3.

b. Elemen-elemen pada diagonal utama adalah

2, 0, 2.

c. Elemen-elemen pada diagonal samping adalah

7, 0, –3.

2. A =

� � �

� �

� �

− −

sehingga AT =

� � �

� �

� �

− −

B =

� � � �

� � � �

� � �

− −

sehingga BT =

� � �

� � �

� � �

� �

− −

3. a. A =

��

��

��

��

��

b. Ordo matriks A = 5 × 2 dan banyak elemen

matriks A = 10.

c. AT = ��

��

4. a. R = ��

� �

− +

⇔ RT = ��

� ��

− +

Jadi, transpos matriks R adalah

��

� ��

− + .

b. RT = S

⇔ ��

� ��

− + =

� �

�

−

diagonal utama

diagonal samping



3a – b = –5 . . . (1)

6a + 7b = 8 . . . (2)

Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2).

3a – b = –5 × 2 6a – 2b = –10

6a + 7b = 8 × 1 6a + 7b = 8

––––––––––– –

–9b = –18

⇔ b = 2

Substitusikan b = 2 ke dalam persamaan (1).

3a – b = –5

⇔ 3a – 2 = –5

⇔ 3a = –5 + 2

⇔ 3a = –3

⇔ a= –1

a2b = (–1)2(2) = 1 × 2 = 2

Jadi, nilai a2b adalah 2.

5. a.��

�

=

�


4x = 8 ⇔ x = 2

y = 3

Jadi, nilai x = 2 dan y = 3.

b. (2x 3xy) = (2 6)


2x = 2 ⇔ x = 1

Substitusikan nilai x = 1 ke dalam persamaan

3xy = 6.

3xy = 6

⇔ 3 × 1 × y = 6

⇔ 3y = 6

⇔ y = 2


c.��

��

− − =

� �

��

− −


y = 2

4z = 12 ⇔ z = 3

Substitusikan nilai y = 2 ke dalam persamaan

3x – 5y = –7.

3x – 5y = –7

⇔ 3x – 5 × 2 = –7

⇔ 3x – 10 = –7

⇔ 3x = 3

⇔ x = 1

Jadi, nilai x = 1, y = 2, dan z = 3.

d.� ��

� ��

− =

� � �

� �

−


–x = 2

⇔ x = –2

Substitusikan x = –2 ke persamaan xz = –2.

xz = –2

⇔ –2 × z = –2

⇔ z = 1

Substitusikan x = 1 ke persamaan 3yz = 6.

3yz = 6

⇔ 3y × 1 = 6

⇔ 3y = 6

⇔ y = 2

Jadi, nilai x = –2, y = 2, dan z = 1.

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: c

C = A + B

=

� �

− +

� �

� �

= ��

�

−

CT = ��

�

−

Jadi, matriks CT = ��

�

− .

2. Jawaban: a

A = C + D

= �

� �

− +

� �

� �

−

= �

� �

Jadi, matriks A = �

� �

.

70 Matriks

Dari kesamaan matriks, diperoleh:

y = 2 . . . (1)

1 + x – y = 3 . . . (2)

Substitusikan y = 2 ke persamaan (2).

1 + x – y = 3 ⇔ 1 + x – 2 = 3

⇔ x – 1 = 3

⇔ x = 4

x + y = 4 + 2 = 6

Jadi, nilai x + y = 6.

7. Jawaban: c

AT – A=

� ��

� �

� � �

− − − −

–

� � �

�

��

− −− −

=

� � ��

� � �

��

− − −

Trace matriks (A – AT) = 0 + 0 + 0 = 0.

Catatan:

Elemen-elemen diagonal utama matriks A dan AT

selalu sama sehingga jumlah semua elemen

diagonal utama (A – AT) adalah nol.

8. Jawaban: a

� ��

��

− –

��

� �

− =

� ��

��

−

⇔� ��

��

+ − − − − =

� ��

��

−


p + 12 = 16 ⇔ p = 16 – 12

⇔ p = 4

2q – 7 = 11 ⇔ 2q = 11 + 7

⇔ 2q = 18

⇔ q = 9

–3r – 5 = –14 ⇔ –3r = –14 + 5

⇔ –3r = –9

⇔ r = 3

2s – 3 = 7 ⇔ 2s = 7 + 3

⇔ 2s = 10

⇔ s = 5

Jadi, nilai p, q, r, dan s yang memenuhi persamaan

di atas berturut-turut 4, 9, 3, dan 5.

9. Jawaban: e

��

� �

� ��

− +

–

�

� �

� ��

− −

=

� �

� �

� �

− − −

⇔

��

� � � �

� � ��

− − − − − − − − + −

=

� �

� �

� �

− − −

3. Jawaban: e

A + AT =

� � �

� �

� � �

− −

+

� � �

� � �

� �

− −

=

� � � � � �

� � � � �

� � � � �

+ − − + − + + + − + +

=

� �

� � �

� � �

− −

4. Jawaban: c

M = � �

� �

⇔ MT =

� �

� �

K + L – MT = � �

� �

+

� �

� �

− − –

� �

� �

= � � � � � �

� � � � � �

+ − − − − − + −

= � �

�

−

5. Jawaban: e

A + B = 2CT

⇔� �

��

+ � �

� �

−

= 2!

� �

� �

−

⇔� " � � " � ��

�� " � �� " �

−

= 2� �

� �

−

⇔� " � �

�� " � �� " �

= � �

−


p + 5 = –4 ⇔ p = –9

2q + 3 = 6 ⇔ 2q = 3 ⇔ q = �

�

3r + 2 = 8 ⇔ 3r = 6 ⇔ r = 2

p + 2q + r = –9 + 2 × �

� + 2

= –9 + 3 + 2 = –4

Jadi, nilai p + 2q + r = –4.

6. Jawaban: d

� ��

� �

− − +

� ��

� � �

+ − =

� �

� �

−

⇔� � ��

� � � � �

+ − + + + − − + =

� �

� �

−

⇔� �

� � � �

+ − − =

� �

� �

−


⇔

��

� �

� ��

+ − + −

=

� �

� �

� �

− − −

Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:

2p + 8 = –q

⇔ 2p + q = –8 . . . (1)

4p + q – 10 = –p

⇔ 4p + p + q = 10

⇔ 5p + q = 10 . . . (2)

Eliminasi q dari persamaan (1) dan (2).

2p + q = –8

5p + q = 10

–––––––––– –

–3p = –18

⇔ p = 6

Substitusikan p = 6 ke dalam persamaan (1).

2p + q = –8

⇔ 2 × 6 + q = –8

⇔ 12 + q = –8

⇔ q = –8 – 12

⇔ q = –20

4p – q = 4 × 6 – (–20)

= 24 + 20

= 44

Jadi, nilai 4p – q = 44.

10. Jawaban: e

A + B – C = ��

� �

− −

⇔� �

� �

−

+� �

�

−

– � �

� �

− −

= ��

� �

− −

⇔ � �

� � �

+ + − − =

��

� �

− −


6 + x = 8 ⇔ x = 2

2 – y = –x ⇔ 2 – y = –2 ⇔ y = 4

x + 2xy + y = 2 + 2 × 2 × 4 + 4 = 22

Jadi, nilai x + 2xy + y = 22.

B. Utaian

1. A = � �

� �

� �

⇔ AT = � � �

� � �

B = � � �

� � �

⇔ BT =

� �

� �

� �

C =

�

� �

�

− −

⇔ CT = �

� � �

− −

a. A + BT – C

= � �

� �

� �

+

� �

� �

� �

–

�

� �

�

− −

=

� � � � � ��

� � � � � �

� � � � � ��

+ − + − − + − + − + − + − −

= �

� �

� ��

− −

Jadi, A + BT – C = �

� �

� ��

− −

b. AT – B + CT

= � � �

� � �

–

� � �

� � �

+ �

� � �

− −

= � � � � � � �

� � � ��

− + − + − + − + − − + − + −

= � � ��

� � �

− −

Jadi, AT – B + CT = � � ��

� � �

− −

c. (B + CT)

= � � �

� � �

+ �

� � �

− −

= � � � �

� � � � � �

+ + + − + − =

�

� �

− −

A =

��

� �

� �

� �

×

dan (B + CT) =

��

�

� �

×

− −

Ordo matriks A tidak sama dengan ordo

matriks matriks (B + CT). Oleh karena itu,

pengurangan kedua matriks tidak dapat

dilakukan. Jadi, A – (B + CT) tidak terdefinisi.

2. a.

�

�

�

−

+ X =

�

�

�

− −

⇔ X =

�

�

�

− −

–

�

�

�

−

⇔ X =

� �

� � ��

� �

− − − − − −

⇔ X =

�

�

− −

Jadi, matriks X =

�

�

− −

72 Matriks

b. X – � �

� �

=

� �

� �

⇔ X = � �

� �

+

� �

� �

⇔ X = � � � �

� � � �

+ + + + ⇔ X =

� �

�

Jadi, matriks X = � �

�

.

c.

� �

� � �

� �

– X =

� � �

� � �

� � �

−

⇔ X =

� �

� � �

� �

–

� � �

� � �

� � �

−

⇔ X =

� � � � ��

� � � � � �

� � � � �

− − − − − − − − − −

⇔ X =

� � �

� � �

� � �

− −

Jadi, matriks X =

� � �

� � �

� � �

− −

3. a.��

� � �

− − − +

�

� �

− =

� ��

� �

⇔��

� � � � �

− + + − − − + =

� ��

� �


4x – 2 + 3 = 9 ⇔ 4x + 1 = 9

⇔ 4x = 8

⇔ x = 2

x – y – 1 = 4 ⇔ x – y = 5

⇔ 2 – y = 5

⇔ y = –3

Jadi, nilai (x, y) adalah (2, –3).

b.��

� ��

− –

�

�

− − =

��

�

−

⇔��

� ��

+ − − − + =

��

�

−


2x + 4 = 10 ⇔ 2x = 6

⇔ x = 3

4y – x + 5 = 6 ⇔ 4y – x = 1

⇔ 4y – 3 = 1

⇔ 4y = 4

⇔ y = 1

Jadi, nilai (x, y) adalah (3, 1).

4.

�

� �

� ��

− −

–

� �

� �

� �

− −

=

� �

��

� ��

− − −

⇔

� � � ��

� � � �

� � ��

− − − − − − − − − −

=

� �

��

� ��

− − −

⇔

� �

� � � �

� ��

− − − −

=

� �

��

� ��

− − −


x – y – 9 = 11 – 5y

⇔ x – y + 5y = 11 + 9

⇔ x + 4y = 20 . . . (1)

2x – 5 = –3y

⇔ 2x + 3y = 5 . . . (2)

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2).

x + 4y = 20 × 2 2x + 8x = 40

2x + 3y = 5 × 1 2x + 3y = 5

––––––––––– –

5y = 35

⇔ y = 7

Substitusikan y = 7 ke dalam persamaan (1).

x + 4y = 20

⇔ x + 4 × 7 = 20

⇔ x + 28 = 20

⇔ x = 20 – 28

⇔ x = –8

Jadi, nilai x = –8 dan y = 7.

5. a. t s d r

A =

��

��

� ��

��

��

b. Persediaan barang sekarang:

B = A + D

=

��

��

� ��

��

��

+

� � � �

� � �

� � �

� � � �

� � �


t s d r

=

��

��

��

��

��

Banyak persediaan setiap jenis barang

Televisi = 14 + 20 + 23 + 20 + 15 = 92 unit

Setrika = 18 + 23 + 17 + 12 + 16 = 86 unit

DVD player = 14 + 24 + 20 + 14 + 18

= 90 unit

Radio = 14 + 10 + 11 + 20 + 20 = 75 unit

c. Persediaan sisa barang pada akhir bulan:

C= B – R

=

��

��

��

��

��

–

��

��

��

��

��

=

�

��

��

� � � �

� � � ��

Sisa persediaan setiap jenis barang pada akhir

bulan:

Televisi = 6 + 10 + 8 + 1 + 9

= 34 unit

Setrika = 6 + 12 + 11 + 2 + 5

= 36 unit

DVD player = 8 + 9 + 6 + 9 + 5

= 37 unit

Radio = 5 + 7 + 4 + 2 + 11

= 29 unit

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: c

Dua buah matriks, misalkan A dapat dikalikan

dengan B jika banyak kolom matriks B sama

dengan banyak baris matriks A.

Jadi, matriks yang dapat dikalikan dari kanan

dengan matriks

� �

� �

# $

adalah � �

� �

.

2. Jawaban: d

A + 3B = � �

� �

−

+ 3� �

� �

−

= � �

� �

−

+ ��

��

−

= � ��

� � ��

+ − + − +

= ��

��

−

3. Jawaban: d

AB =

� �

� �

� �

−

� �

� �

−

=

� � � � � � ��

� � � ��

� � � � � � ��

× + × × − + × × + − × × − + − × × + × × − + ×

=

�

��

−

4. Jawaban: c

3A – B = C

⇔ 3� �

� �

–

� �

� �

− − =

��

� �

−

⇔��

��

–

� �

� �

− − =

��

� �

−

⇔��

��

+ − − =

��

� �

−

74 Matriks

Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:

12 + x = 10

⇔ x = 10 – 12

⇔ x = –2

3 – y = 2

⇔ –y = 2 – 3

⇔ –y = –1

⇔ y = 1

2x – y = 2 × –2 – 1

= –4 – 1

= –5

Jadi, nilai 2x – y = –5.

5. Jawaban: a

� �

� ��

−− – 3

� �

� �

− = 2

�

� �

− −

⇔� �

� ��

−− –

��

��

− =

� ��

− −

⇔�

��

− −− =

� ��

− −

Diperoleh:

–2p = –6

⇔ p = 3

2q – 6 = 6

⇔ q = 6

2p + q = 2 × 3 + 6

= 12

Jadi, nilai 2p + q = 12.

6. Jawaban: c

4X – � � � �

� � � ��

=

⇔ X = �

� � � � �

� ��

+

⇔ X = �

�

��

�

⇔ X =

��

��

Jadi, matriks X =

��

��.

7. Jawaban: a

� �

� �

−

� �

� �

−

= � � � ��

� � � � � � ��

× + − × × − + − × × + × × − + ×

= � �

� �

− −

8. Jawaban: a

5C = A + B

⇔ 5C = ��

� �

− −

+ �

� ��

− −

⇔ 5C = ��

� � � ��

+ − − + − −

⇔ 5C = ��

��

− −

⇔ C = �

�

��

��

− −

⇔ C = � �

� �

− −

C2 = C × C

= � �

� �

− −

� �

� �

− −

= ��

� �

−

C3 = C2 × C

= ��

� �

−

� �

� �

− −

= ��

��

− −

9. Jawaban: c

X = AB = � �

� � �

= � � �

� � �

× + × × + ×

= ��

�

10. Jawaban: d

A = � �

� �

⇔ AT =

� �

� �

AT – B = � �

� �

–

� �

� �

= � � � �

� � � �

− − − − =

� �

� �

−

(AT – B)2 = (AT – B)(AT – B)

= � �

� �

−

� �

� �

− =

� �

� �

−


11. Jawaban: e

(x 1)� �

� �

�

� = (3)

⇔ (2x + 2 3x)�

� = (3)

⇔ (2x2 + 2x + 3x) = (3)

⇔ (2x2 + 5x) = (3)


2x2 + 5x = 3

⇔ 2x2 + 5x – 3 = 0

⇔ (2x – 1)(x + 3) = 0

⇔ 2x – 1 = 0 atau x + 3 = 0

⇔ x = �

�atau x = –3

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah �

� atau –3.

12. Jawaban: c

A2 = � �

� �

−

� �

� �

− =

��

� �

− −

B = � �

� �

− − ⇔ BT =

� �

� �

− −

2A2 – BT = 2��

� �

− − –

� �

� �

− −

= ��

� �

− − –

� �

� �

− −

= ��

� � ��

− − − − − − − −

= � ��

� ��

− −

Jadi, matriks 2A2 – BT = � ��

� ��

− − .

13. Jawaban: c

P2 = P × P

= � �

� �

− −

� �

� �

− − =

� �

� �

Q = � �

�

⇔ QT =

� �

�

PQT = � �

� �

− −

� �

�

=

� �

�

− − − −

P2 – PQT = � �

� �

–

� �

�

− − − −

= � � ��

� � ��

− − + − − − −

= � �

� �

14. Jawaban: a

1) A2 = � �

� �

� �

� �

= � �

� �

= 2� �

� �

= 2A

Jadi, pernyataan A2 = 2A benar.

2) AB = � �

� �

�

�

= ��

��

BA = �

�

� �

� �

= ��

��

Jadi, pernyataan AB = BA benar.

3) AB = ��

��

= 2�

�

= 2B

Jadi, pernyataan AB = 2B benar.

4) BAB = B(AB)

= �

�

��

��

= ��

��

2B2 = 2�

�

�

�

= 2� �

��

= ��

��

Jadi, pernyataan BAB = 2B2 benar.

Jadi, pernyataan 1), 2), 3), dan 4) benar.

76 Matriks

15. Jawaban: d

� � � �

� � ��

−

= � �

��

– �

��

−

⇔� � � ��

��

+ + − + − +

= � � � � �

��

− − − − −

⇔��

��

= ��

��


7c = 7a ⇔ c = a . . . (1)

5a = 10 ⇔ a = 2 . . . (2)

7c = 14b ⇔ b = ��

�� =

�

�. . . (3)

Substitusikan nilai a = 2 ke dalam persamaan (1).

c = a = 2

Substitusikan nilai c = 2 ke dalam persamaan (3).

b = �

� =

�

� = 1

Diperoleh a = 2, b = 1, dan c = 2.

a + b + c = 2 + 1 + 2 = 5

Jadi, nilai a + b + c = 5.

B. Uraian

1. a. A2 = A × A = � �

� �

� �

� �

= � � � � � � � �

� � � � � � � �

× + × × + × × + × × + ×

= ��

��

b. A3 = A × A2

= � �

� �

��

��

= � ��

� ��

× + × × + × × + × × + ×

= ��

��

c. ATA = AT × A

= � �

� �

� �

� �

= � � � � � � � �

� � � � � � � �

× + × × + × × + × × + ×

= ��

� �

2. a. (P + Q)2 =

��

� � �

− − + −

= �

� �

� �

− −

= � � � �

� � � �

− − − −

= ��

� ��

− −

P2 + 2PQ + Q2

=� � � �

� �

− − − −

+ 2� � � �

� � �

− − −

+ � �

� �

−

� �

� �

−

= ��

� � � � ��

− − − + + − − −

= ��

� � ��

+ − − + − − − + − +

= � �

��

− −

Dari hasil di atas disimpulkan bahwa:

(P + Q)2 ≠ P2 + 2PQ + Q2

b. P2 – Q2

= � � � �

� �

− − − −

– � � � �

� � � �

− −

= ��

� �

− −

– � ��

��

− −

= ��

��

− −

(P + Q)(P – Q)

= � � � � � � � �

� � � � � �

− − − − + − − −

= � � � �

� � � ��

− − − −

= ��

��

− −

Dari hasil di atas disimpulkan P2 – Q2 ≠(P + Q)(P – Q).


3. a. 3

�

�

�

+ x

�

�

�

+ y

�

�

�

=

�

��

�

⇔

��

�

+

��

�

��

+

�

�

��

=

�

��

�

⇔ ��

��

� ��

+ + + + +

=

�

��

�


6 + 3x + y = 4

⇔ 3x + y = 4 – 6

⇔ 3x + y = –2 . . . (1)

12 + x = 10

⇔ x = 10 – 12

⇔ x = –2 . . . (2)

Substitusikan persamaan (2) ke dalam

persamaan (1).

3x + y = –2

⇔ 3(–2) + y = –2

⇔ –6 + y = –2

⇔ y = –2 + 6

⇔ y = 4


b.� ��

� � �

+ −

�

�

�

− −

= 5�

�

−

⇔��

� � ��

+ − − − + − =

�

��

−

⇔��

� ��

+ − − − − =

�

��

−

⇔��

� ��

+ − − − =

�

��

−


4x + 7y – 10 = 0

⇔ 4x + 7y = 10 . . . (1)

–4 – 3y = –10

⇔ –3y = –10 + 4

⇔ –3y = –6

⇔ y = 2 . . . (2)

Substitusikan persamaan (2) ke dalam

persamaan (1).

4x + 7y = 10

⇔ 4x + 7(2) = 10

⇔ 4x + 14 = 10

⇔ 4x = 10 – 14

⇔ 4x = –4

⇔ x = –1


4. A = � �

� �

− ⇔ AT =

� �

� �

−

A2 = A × A

= � �

� �

−

� �

� �

−

= ��

��

− −

A2 – I = ��

��

− − –

� �

� �

= � �

��

− −

a.�

(A2 – I) =

�

� �

��

− −

= � �

� �

− −

b. (A2 + I) – 2AT

= ��

��

− −

+ � �

� �

– 2� �

� �

−

= ��

��

− − –

��

�

−

= ��

�

− −

5. 4A +

� ��

� � ��

� ��

−

= 3B

⇔ 4(2B) +

� ��

� � ��

� ��

−

= 3B

⇔ 8B +

� ��

� � ��

� ��

−

= 3B

⇔� ��

� � ��

� ��

−

= 3B – 8B

⇔� ��

� � ��

� ��

−

= –5B

⇔ B = –�

�

� ��

� � ��

� ��

−

⇔ B = � � �

� � �

� � �

− − − − − −

78 Matriks

A = 2B

= 2� � �

� � �

� � �

− − − − − −

=

� � �

� �

� �

− − − − − −

AB = � � �

� �

� �

− − − − − −

� � �

� � �

� � �

− − − − − −

=

� ��

�

� ��

−

Jadi, AB =

� ��

�

� ��

−

.

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: e

det A = � �

� �

= 5 × 3 – 9 × 1

= 15 – 9

= 6

2. Jawaban: d

AB – C

= � �

� �

− −

� �

� �

− − –

� ��

� ��

= � � � ��

� � � ��

× + − × − × + − × − × + − × − × + − × − –

� ��

� ��

= � ��

� ��

–

� ��

� ��

= ��

� �

det (AB – C) = ��

� �

= 12 × 1 – 1 × 9

= 12 – 9

= 3

Jadi, det (AB – C) = 3.

3. Jawaban: a

Gunakan sifat:

det (PQ) = det (P) × det (Q)

= � �

� � × �

� �

= [(3 × 4) – (7 × 1)] × [(8 × 2) – (5 × 3)]

= (12 – 7) × (16 – 15)

= 5 × 1 = 5

Jadi, determinan matriks (PQ) adalah 5.

4. Jawaban: a

Det A =

� � � � �

� � � � �

� � � � �

− −−

⇔ 2p + 1 = 1 + 2 + 12 – 2 + 2 + 6

⇔ 2p + 1 = 21

⇔ 2p = 20

⇔ p = 10

Jadi, nilai p adalah 10.

5. Jawaban: e

D = 3A + B – C

= 3� �

� �

−

+ 3 45 1

− −

– 2 512 10

−

= 3 69 12

− +

3 45 1

− −

– 2 512 10

−

= 3 3 2 6 ( 4) ( 5)9 5 12 12 ( 1) 10

+ − − + − − − + − + − −

= 4 52 1

−

Determinan matriks D:

|D| = � �

� �

− = 4 × 1 – (–5) × 2 = 4 + 10 = 14

Jadi, determinan matriks D adalah 14.

6. Jawaban: d

2P – Q + R = 2� �

� �

–

� �

� �

− +

� �

� �

−

= � �

�

–

� �

� �

− +

� �

� �

−

= � � � � � �

� � � � �

+ + − + − + − −

+ + +

– – –


= � �

� �

−

det 2P – Q + R = 5 × 4 – (–4) × 4

= 20 + 16

= 36

Jadi, determinan dari 2P – Q + R = 36.

7. Jawaban: b

R–1 = �

� � � �� × − − ×� �

� �

= �

�

� �

� �

=

� �

� �

� �

S–1 = �

�

�

� � � ��× − × −�

�

� �

�

= 2�

�

� �

�

= � �

� �

Jadi, R–1S–1 =

� �

� �

� �

��

=

�

��

� �

.

8. Jawaban: b

A = M–1

= �

�� − − − �

� �

− −

= �

�

�

� �

− −

= �

� �

− −

AN = �

� �

− −

�

�

= ��

��

−

Jadi, AN = ��

��

− .

9. Jawaban: e

A–1 = �

� � � �× − ×� �

� �

− −

= –�

�

� �

� �

− −

AX = B ⇔ X = A–1 B

= –�

�

� �

� �

− −

� �

� �

= –�

�

� � � � � � � �

� � � � � � � �

× − × × − × − × + × − × + ×

= –�

�

��

��

− −

= �

� �

− −

10. Jawaban: c

B–1 = �

� �� − × − − ×� �

� �

− −

= � �

� �

− −

3A – B–1 = C

⇔ 3� �

% � �

− +

– � �

� �

− −

= �

� �

�% �

−

⇔ �

�% � ��

− +

– � �

� �

− −

= �

� �

�% �

−

⇔ � �

�% �

−

= �

� �

�% �

−


3k = 2k2 ⇔ 2k2 – 3k = 0

⇔ k(2k – 3) = 0

⇔ k = 0 atau 2k – 3 = 0

⇔ k = 0 atau k = �

�

Jadi, nilai k = 0 atau k = �

�.

B. Uraian

1. Det (AB) = det (A) x det (B)

= � �

� �

− ×

� �

� �

−

= (–2 – 3) × (12 + 2)

= –5 × 14

= –70

Jadi, determinan matriks AB adalah –70.

2. AC = B

⇔ A–1AC = A–1B

⇔ IC = A–1B

⇔ C = A–1B

⇔ C = �

� �−� �

� �

� �

� �

⇔ C = �

�

� �

� �

� �

� �

⇔ C = � �

��

80 Matriks

det C = � �

��

= 5 · 13 – 6 · 9

= 65 – 54

= 11

Jadi, determinan matriks C adalah 11.

3. P–1 – Q = � �

� �

− −

– �

� �

= � �

� �

− − −

det (P–1 – Q) = � �

� �

− −− = 12 + 18 = 30

(P–1 – Q)–1 = �

�

�#� �& '�− −

� �

� �

− − −

= �

��

� �

� �

− − − =

� �

��

� �

��

−

− −

4. a.� �

� �

− −

A = � �

� �

− −

⇔ A =

��

� �

− − −

� �

� �

− −

= �

�� − − −� �

� �

− −

� �

� �

− −

= –�

�

� �

� �

− −

� �

� �

− −

= –�

�

� �

� �

− −

= �

�

� �

� −

−

Jadi, matriks A adalah �

�

� �

� −

−

.

b. A� �

� �

−

= � ��

�

⇔ A = � ��

�

��

� �

−−

= � ��

�

�

� � � �� × − − ×� �

� �

−

= �

��

� ��

�

� �

� �

−

= �

��

��

��

= � ��

� �

Jadi, matriks A adalah � ��

� �

.

c. �

� �

– � �

� �

− −

A = �

� �

− −

⇔ �

� �

– �

� �

− −

= � �

� �

− −

A

⇔��

� �

−

= � �

� �

− −

A

⇔�

� �

� �

−− −

��

� �

−

= A

⇔�

� �� − × − − ×� �

� �

− − − −

��

� �

−

= A

⇔� �

� �

��

� �

−

= A

⇔��

� �

− −

= A

Jadi, matriks A adalah ��

� �

− −

.

d. A� �

� �

+ � �

� �

−

= �

� �

−

⇔ A� �

� �

= �

� �

−

– � �

� �

−

⇔ A� �

� �

= � �

� �

−

⇔ A = � �

� �

−

��

� �

−

⇔ A = �

� � � �× − ×� � � �

� � � �

− − −

= �

�

� �

� �

−

� �

� �

− −

= �

�

��

� �

− −

= �

� �

− −

Jadi, matriks A adalah �

� �

− −

.


5. Misalkan C = � �

��

− −

AB–1 = C

⇔ AB–1B = CB

⇔ AI = CB

⇔ A = CB

Dengan demikian, matriks A dapat ditentukan

sebagai berikut.

A = CB

= � �

��

− −

� �

� �

− −

= � ��

� ��

− × − + × − − × + × − × − + × − − × + ×

= � �

� �

Jadi, matriks A adalah � �

� �

.

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: a

Bentuk persamaan matriks dari sistem persamaan

��

� ��

− = + =

adalah � �

� �

−

�

�

=

�

�

.

2. Jawaban: c

Sistem persamaan:

��

� ��

��

+ + =− + + = + − =Dapat dinyatakan dalam persamaan matriks:

*��%� %�#$��#�

� � �

� ��

� � �

− −

�

�

�

=

�

��

Jadi, matriks koefisiennya

� � �

� ��

� � �

− −

.

3. Jawaban: a

Sistem persamaan linear:

2x + 3y = 3

4x – y = –7

Bentuk persamaan matriksnya:

� � � �

� � � �

= − −

y = �/

/=

� �

� �

� �

� �

−

−

= � � ��

� �

� �

× − − ×

−

= �

� �

� �

−

−

Jadi, nilai a yang memenuhi –26.

4. Jawaban: e


�

� �

− −

�

�

=

��

��

−

x = �/

/

⇔ 3 =

��

��

�

� �

−−

−−

⇔ 3 = ��

��

−−

⇔ 3(2p – 24) = 12p – 102

⇔ 6p – 72 = 12p – 102

⇔ 6p – 12p = –102 + 72

⇔ –6p = –30

⇔ p = 5


5. Jawaban: b

Syarat SPLDV tidak mempunyai penyelesaian

adalah D = 0, Dx ≠ 0, dan D

y ≠ 0.

Pada pilihan b:

D = � �

� � = 4 – 4 = 0

Dx =

��

� � = 12 – 4 = 8 ≠ 0

Dy =

� ��

� � = 8 – 24 = –16 ≠ 0

Oleh karena D = 0, Dx ≠ 0, dan D

y ≠ 0 maka sistem

persamaan linear pada pilihan b tidak mempunyai

penyelesaian.

82 Matriks

6. Jawaban: d

Sistem persamaan garis dalam bentuk matriks:

� �

� �

−

�

�

= �

�

D = � �

� �

− = (–2) × 2 – 3 × 1 = –7

Dx

= � �

� � = 4 × 2 – 3 × 5 = –7

Dy

= � �

� �

− = (–2) × 5 – 4 × 1 = –14

x = �/

/ =

�

�

−− = 1

y = �/

/ =

��

�

−− = 2

Jadi, titik potong kedua garis adalah (1, 2).

7. Jawaban: c

Mengubah bentuk SPLDV di atas menjadi bentuk

baku.

Misalkan �

� = a dan

�

� = b maka SPLDV menjadi:

a + b = 10

5a – 3b = 26


� �

� �

−

�

�

=

��

�

Sehingga,

�

�

=

��

� �

− −

��

�

⇔�

�

=

�

� �− −� �

� �

− − −

��

�

⇔�

�

= –

�

� �

� �

− − −

��

�

⇔�

�

= –

�

�

��

− −

⇔�

�

=

�

�

Diperoleh nilai a = 7 dan b = 3

Menentukan nilai x:

�

� = a ⇔ x =

�

� =

�

�

Jadi, nilai x = �

�.

8. Jawaban: b

Sistem persamaan garis dalam bentuk matriks:

� � � ��

� � � �

− − = − −

D = −−

� �

� � = –3 + 4 = 1

Dx

= − −− −��

� � = 30 – 10 = 20

Dy

= −−

� ��

� � = –5 + 20 = 15

x = �/

/ =

��

� = 20

y = �/

/ =

��

� = 15

Diperoleh titik A (20, 15).

Persamaan garis yang melalui A (20, 15)

dan B (3, 4):

;

< ;

� �

� �

−−

= ;

< ;

� �

� �

−−

⇒ � ��

� ��

−−

= � ��

� ��

−−

⇔ � ��

��

−−

= � ��

��

−−

⇔ –17y + 255 = –11x + 220

⇔ 17y = 11x + 35

⇔ 11x – 17y = –35

Jadi, persamaan garis p adalah 11x – 17y = –35.

9. Jawaban: b

Syarat ketiga garis di atas berpotongan di satu

titik adalah

� � � �

� � �

� � �

+ −− − = 0

⇔ ((a + 2) × (–1) × 1) + (1 × (–3) × 3) + ((–2)

× 1 × a) – ((–2) × (–1) × 3) – ((a + 2) × (–3) × a)

– (1 × 1 × 1) = 0

⇔ –a – 2 – 9 – 2a – 6 + 3a2 + 6a – 1 = 0

⇔ 3a2 + 3a – 18 = 0

⇔ (3a + 9)(a – 2) = 0

⇔ a = –3 atau a = 2

Oleh karena a > 0 maka nilai a = 2.

10. Jawaban: d

Misalkan: x = Harga 1 butir permen

y = Harga 1 buah wafer

Bentuk sistem persamaan linear dari permasalahan

di atas:

4x + 3y = 1.900

2x + 4y = 2.200

Bentuk persamaan dalam matriks:

� �

� �

�

�

=

�?��

�?��

Menentukan nilai x dan y menggunakan invers

matriks.


� �

� �

�

�

=

�?��

�?��

⇔�

�

=

��

� �

−

�?��

�?��

⇔�

�

=

�

� −� �

� �

− −

�?��

�?��

⇔�

�

=

�

��

� �

� �

− −

�?��

�?��

⇔�

�

=

�

��

�?��

�?��

⇔�

�

=

��

��

Diperoleh:

harga 1 butir permen (x) = Rp100,00

harga 1 buah wafer (y) = Rp500,00

Harga tiga butir permen dan lima buah wafer

= 3x + 5y

= 3 × 100 + 5 × 500

= 300 + 2.500

= 2.800

Jadi, harga tiga butir permen dan lima buah wafer

Rp2.800,00.

B. Uraian

1. a. Sistem persamaan linear dalam bentuk

matriks:

� � � ��

� � � �

=

1) Menggunakan invers matriks

� � � ��

� � � �

=

⇔�

�

=

��

� � �

−

⇔�

�

= �

� � � �× − ×� � ��

� � �

− −

⇔�

�

= �

��−��

�

− −

⇔�

�

= �

�

Diperoleh nilai x = 1 dan y = 2.

2) Menggunakan metode Cramer

x = �/

/=

��

� �

� �

� �

= ��

� � � �

× − ×× − ×

= ��

��

−−

= 1

y = �/

/=

� ��

� �

� �

� �

= � � ��

� � � �

× − ×× − ×

= �

��

−− = 2

Diperoleh x = 1 dan y = 2.

Jadi, penyelesaiannya x = 1 dan y = 2.

b. Sistem persamaan linear

3y – 2x = 6 ⇔ –2x + 3y = 6

x – 3 = 0 ⇔ x = 3

Bentuk persamaan matriks:

� � �

� � � �

− =


� � �

� � � �

− =

⇔ �

�

=

��

� � �

−−

⇔�

�

= �

� �� − × − ×� �

� � �

− − −

⇔�

�

= �

�−�

��

− −

⇔�

�

= �

�



x = �/

/=

�

� �

� �

� �

−

= � � �

� ��

× − ×− × − ×

= �

�

−− = 3

84 Matriks

y = �/

/=

�

� �

� �

� �

−

−

= � ��

� ��

− × − ×− × − ×

= ��

�

−− = 4



c. Sistem persamaan linear:

y = 4

x + y = 10


� � � �

� � � ��

=


� � � �

� � � ��

=

⇔�

�

=

��

� � ��

−

⇔�

�

= �

� � � �× − ×� � �

� � ��

− −

⇔�

�

= �

�−

�

− −

⇔�

�

=

�



x = �/

/=

� �

��

� �

� �

= � � � ��

� � � �

× − ×× − × =

�

−− = 6

y = �/

/=

� �

� ��

� �

� �

= � ��

� � � �

× − ×× − × =

�

�

−− =

4



2. x = �/

/

⇔ –1 =

� � �

� �

� � �

� �

− +−+

−

⇔ –1 = ��

− +−

⇔ –1 = � �

−−

⇔ 8 = 9 – t

⇔ t = 9 – 8

⇔ t = 1

Jadi, nilai t = 1.

3. Sistem persamaan:

� + � = 5

2 � – � = 1

Mengubah bentuk sistem persamaan di atas ke

dalam bentuk baku.

Misalkan: � = a dan � = b

Sehingga sistem persamaan menjadi

a + b = 5

2a – b = 1

Menentukan nilai a dan b dengan metode

determinan matriks.


� �

� �

−

�

�

=

�

�

a = �/

/ =

� �

� �

� �

� �

−

−

= � �

� �

− −− − =

�

−− = 2

b = �/

/ =

� �

� �

� �

� �−

= � ��

� �

−− − =

�

�

−− = 3

Menentukan nilai x dan y:

� = a

⇔ x = a2

⇔ x = 22

⇔ x = 4 . . . (1)

� = b

⇔ y = b2

⇔ y = 32

⇔ y = 9 . . . (2)


4. Model matematika dari permasalahan di atas

sebagai berikut.

10 buku dan 8 pensil seharga Rp70.000,00:

10x + 8y = 70.000 . . . (1)

20 buku dan 12 pensil seharga Rp127.000,00:

20x + 12y = 127.000 . . . (2)

Sistem persamaan linear yang terbentuk:

10x + 8y = 70.000

20x + 12y = 127.000

Diperoleh sistem persamaan linear dalam bentuk

matriks.

��

��

�

�

=

��?��

��?��


Menggunakan invers matriks.

��

��

�

�

=

��?��

��?��

⇔ �

�

=

��

��

−

��?��

��?��

⇔ �

�

=

�

�� × − ×��

��

− −

��?��

��?��

⇔ �

�

=

�

�� −��

��

− −

��?��

��?��

⇔ �

�

= –

�

��

��?��

��?��

− −

⇔ �

�

=

�?��

�?��

Diperoleh x = 4.400 dan y = 3.250. Jadi, harga

sebuah buku Rp4.400,00 dan harga sebuah pensil

adalah Rp3.250,00.

5. Misalkan:

x = Harga sebuah kue A

y = Harga sebuah kue B

Sistem persamaan linear dari permasalahan

tersebut.

5x + 3y = 7.000

2x + 4y = 5.600

Bentuk persamaan matriks dari sistem persamaan

tersebut:

� �

� �

�

�

=

�?��

�?��

Menggunakan invers matriks

� �

� �

�

�

=

�?��

�?��

⇔�

�

=

��

� �

−

�?��

�?��

⇔�

�

=

�

�� −� �

� �

− −

�?��

�?��

⇔�

�

=

�

��

� �

� �

− −

�?��

�?��

⇔�

�

=

�

��

��?��

��?��

⇔�

�

=

��

�?��

Diperoleh: x = 800 dan y = 1.000.

Harga 3 buah kue A dan 5 buah kue B

= 3x + 5y

= 3 × 800 + 5 × 1.000

= 2.400 + 5.000

= Rp7.400,00

Jadi, harga 3 buah kue A dan 5 buah kue B adalah

Rp7.400,00.

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: e

a12

= elemen baris ke-1 kolom ke-2 = 3

a24


a33


a12

+ a24

+ a33

= 3 + 2 + 6 = 11

2. Jawaban: c

�

� �

− merupakan matriks berordo 2 × 2.

� � �

� � �

− merupakan matriks berordo 2 × 3.

��

� �

� �

−

merupakan matriks berordo 3 × 2.

� � �

�

� � �

−


� � � �

� � � �

� � � �

− −


Jadi, matriks berordo 3 × 2 pada pilihan c.

3. Jawaban: e

Suatu matriks A dikatakan simetris jika A = AT.

Perhatikan matriks pada pilihan e.

A =

� � �

� � �

� �

− − −

⇔ AT =

� � �

� � �

� �

− − −

Oleh karena A = AT maka matriks

� � �

� � �

� �

− − − merupakan matriks simetris.

Jadi, matriks pada pilihan e merupakan matriks

simetris.

86 Matriks

4. Jawaban: e

Transpos dari matriks P adalah suatu matriks baru

yang terbentuk jika elemen-elemen pada baris

matriks P ditukar dengan elemen-elemen pada

kolomnya.

R = PT = � �

� � �

− − −

5. Jawaban: e

A = B

� ��

� ��

−

= �

� ��

−


x – 3y = –2 . . . (1)

4y = 12

⇔ y = 3 . . . (2)

Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan

(1).

x – 3y = –2

⇔ x – 3 × 3 = –2

⇔ x – 9 = –2

⇔ x = –2 + 9

⇔ x = 7

Jadi, nilai 2(x – y) = 2(7 – 3) = 2(4) = 8.

6. Jawaban: c

P – PT + Q

=

� �

� � �

� � �

− −

–

� � �

� � �

� �

− −

+

� � �

� � �

� � �

=

� � �

� �

� � �

− − −

7. Jawaban: b

−�

�� +

��

�� =

−�

��

⇔��

�

− + +

=

−�

��


6x + 4 = –2 ⇔ 6x = –6

⇔ x = –1

5y – x + 5 = 11

⇔ 5y – (–1) + 5 = 11

⇔ 5y + 6 = 11

⇔ 5y = 5

⇔ y = 1

Jadi, nilai (x, y) adalah (–1, 1).

8. Jawaban: b

X – � �

� �

− =

� �

� �

⇔ X = � �

� �

+

� �

� �

−

⇔ X = � � � �

� � � �

+ − + +

⇔ X = �

�

Transpos matriks X = XT = �

�

.

9. Jawaban: c

A + B = 3CT

⇔��

� ��

− − +

�

� �

− = 3

� �

� �

− −

⇔��

��

+ − − − + =

�

− −


3a + 6 = 9 ⇔ 3a = 3

⇔ a = 1

–2b + 4 = 6 ⇔ –2b = 2

⇔ b = –1

a + b = 1 + (–1) = 0

Jadi, nilai a + b yang memenuhi A + B = 3CT

adalah 0.

10. Jawaban: b

p�

�

�

+ 2q�

�

�

−

– r

�

�

�

−

=

�

�

�

− −

⇔�

�

�

+ ��

��

�

−

–

�

�

�

−

=

�

�

�

− −

⇔��

� ��

�

− −

=

�

�

�

− −


r = –1

2q – r = 1 ⇔ 2q – (–1) = 1

⇔ 2q + 1 = 1

⇔ q = 0

p – 2q = –2

⇔ p – 0 = –2

⇔ p = –2

Jadi, nilai p + q + r = –2 + 0 – 1 = –3.


11. Jawaban: d

� �

�

−

� � �

� � �

= � � � ��

� � � � � � � � �

× + − × × + − × × + − × × + × × + × × + ×

= ��

��

− − −

12. Jawaban: b

C2 = C × C = � �

� �

� �

� �

= � � ��

� � � �

+ + + +

= � ��

� ��

C3 = C × C2 = � �

� �

� ��

� ��

= � ��

� ��

+ + + +

= ��

��

13. Jawaban: e

det C = 0

⇔ � �

� �� − − = 0

⇔ x × 2(x – 5) + 12 = 0

⇔x × (2x – 10) + 12 = 0

⇔ 2x2 – 10x + 12 = 0

⇔ x2 – 5x + 6 = 0

⇔ (x – 2)(x – 3) = 0

⇔ x – 2 = 0 atau x – 3 = 0

⇔ x = 2 atau x = 3

Jadi, nilai x1 dan x

2 berturut-turut adalah 2 dan 3.

14. Jawaban: e

det P =

� � � � �

� � � � �

� � � � �

− −−

− −⇔ 4x – 2 = 4 – 1 + 6 + 4 + 2 + 3

⇔ 4x – 2 = 18

⇔ 4x = 18 + 2

⇔ 4x = 20

⇔ x = 5

Jadi, nilai x adalah 5.

15. Jawaban: a

AB = � � � �

� � � �

− − − −

= � � � � � � ��

� � � � � � ��

− × + × − × − + × − − × + × − × − + × −

= � �

� �

− − − −

(AB)–1 =

��

� �

−− − − −

= �

� �−

� �

� �

− −

= –�

�

� �

� �

− −

=

�

�

�

�

�

�

−

−

Jadi, invers AB adalah (AB)–1 =

�

�

�

�

�

�

−

−.

16. Jawaban: c

D = 2A + B – C

= 2� �

� �

− +

�

� �

− − –

� �

� �

− − −

= � �

− +

�

� �

− − –

� �

� �

− − −

= ��

� �

− −

Det (D) = ��

� �− − = 12 × (–2) – 13 × (–5)

= –24 + 65

= 41

Jadi, nilai determinan matriks D adalah 41.

17. Jawaban: e

C = A + B

= �

� �

+ �

� �

= ��

��

88 Matriks

C–1 = �

��

��

−

= �

�� × − ×� �

��

− −

= �

��

� �

��

− −

=

� �

� �

��

−−−−

−−−−

Jadi, invers matriks C adalah

� �

� �

��

−−−−

−−−−.

18. Jawaban: c

� �

� �

− P =

� �

��

− −

⇔�

� �

� �

− −

� �

� �

− P =

��

� �

− −

� �

��

− −

⇔ P = �

� ��− −� �

� �

−

� �

��

− −

⇔ P = �

��

� �

� �

−

� �

��

− −

⇔ P = �

��

� ��

� ��

+ − − − − +

⇔ P = �

��

� ��

��

− −

⇔ P = � �

� �

− −

Jadi, matriks P adalah � �

� �

− − .

19. Jawaban: c

� �

� �

− − X =

� �

��

−

⇔ X =

��

� �

−− −

� �

��

−

⇔ X = �

�� −� �

� �

� �

��

−

⇔ X = �

��

� �

� �

� �

��

−

⇔ X = �

��

��

��

−

⇔ X = � �

�

−

Jadi, matriks X adalah � �

�

− .

20. Jawaban: d

AB = � � � �

� � � �

= � � �

��

+ + + +

= �

��

(AB)–1 = �

�� × − ×��

��

− −

= �

� ��−��

��

− −

= �

��

��

− −

21. Jawaban: e

A = � �

� �

⇔ AT =

� �

� �

ATB = � �

� �

⇔� �

� �

B =

� �

� �

⇔ B =

��

� �

−

� �

� �

⇔ B = �

� �−� �

� �

− −

� �

� �

⇔ B = �

�

� �

� �

− −

� �

� �

⇔ B = � � � ��

� ��

× + − × × + − × − × + × − × + ×

⇔ B = � �

� �

− −

B2 = B × B

= � �

� �

− −

� �

� �

− −

= � � � ��

� ��

× + − × − × − + − × − × + × − − × − + ×

= � �

� ��

− −


22. Jawaban: d

C = A – 3B

= � �

� �

− – 3

� �

� �

− −

= � �

� �

−

– � �

− −

= �

� �

− −

C–1 = �

� � � �� × − − × −�

� �

= �

� �

23. Jawaban: e

f(A, B) = A2 + B

S + M = � �

� �

+ � �

� �

−

= � � � �

� � � �

+ + + −

= � �

� �

(S + M)2 = (S + M)(S + M)

= � �

� �

� �

� �

= � � �

� � � �

+ + + +

= �

� �

S – M = � �

� �

– � �

� �

−

= � � � �

� � � �

− − − +

= � �

�

−

f(S + M, S – M) = (S + M)2 + (S – M)

= �

� �

+ � �

�

−

= � � �

� � �

+ − + +

= ��

�

24. Jawaban: e

A = � �

� �

maka AT = � �

� �

Misalkan matriks B = � �

� �

det B = � �

� � = ad – bc

ATB = � �

� �

� �

� �

=

� �

��

det (ATB) = � �

��

= 4ad – 4bc

= 4(ad – bc)

= 4 × det B

= 4 × �

�p

= 2p

Jadi, det (ATB) adalah 2p.

25. Jawaban: a

Misalkan matriks B = � �

� �

det (B) = � �

� � = ad – bc = n

AB = � �

� �

� �

� �

=

��

��

det (AB) = ��

��

= 6ad – 6bc

= 6(ad – bc) = 6n

26. Jawaban: a


� �

� �

−

�

�

=


x = �/

/ =

�

�

� �

� �

−

− =

� �

++

= ��

� = 2

y = �/

/ =

�

�

� �

� �

− = � ��

� �

−+

= ��

�

− = –2

xy = 2 × (–2) = –4

Jadi, nilai xy adalah –4.

27. Jawaban: c

� �

� �

− −

�

�

= �

�

D = � �

� �

−−

= 2 × (–1) – (–1) × 3 = 1

90 Matriks

Dx

= � �

� �

−−

= 5 × (–1) – (–1) × 7 = 2

Dy

= � �

� � = 2 × 7 – 5 × 3 = –1

x = �/

/ =

�

� = 2

y = �/

/ =

�

�

− = –1

Jadi, kedua garis berpotongan di titik (2, –1).

28. Jawaban: c

a + 4b = 22

a + 11b = 57


� �

� ��

�

�

=

��

��

Menentukan nilai a = a0 dan b = b

0 dengan

determinan matriks.

a0 = �/

/ =

��

��

� �

� ��

= ��

��

−−

= ��

� = 2

b0 = �/

/ =

� ��

� ��

� �

� ��

= ��

��

−−

= ��

� = 5

a + 14b = 2 + 14 × 5 = 2 + 70 = 72

Jadi, nilai a0 + 14b

0 adalah 72.

29. Jawaban: e

� �

� �

−

�

�

=

��

�

⇔�

�

=

��

� �

− −

��

�

⇔�

�

=

�

� ��− −� �

� �

− − −

��

�

⇔�

�

= –

�

��

� �

� �

− − −

��

�

⇔�

�

= –

�

��

��

��

− −

⇔�

�

=

�

�

Jadi, titik potongnya adalah (3, 2).

30. Jawaban: d

Misalkan:

A1

= matriks berat barang yang dibeli di toko Maju

A2

= matriks berat barang yang dibeli di toko Laris

B1

= matriks harga barang per kg di toko Maju

B2

= matriks harga barang per kg di toko Laris

A1

= (3 10)

↑ ↑gula beras

A2

= (2 5)

↑ ↑gula beras

B1

= ��

�#��

�?��

?��

← ←

B2

= ��

�#��

�?��

?��

← ←

Jumlah uang yang dikeluarkan Bu Ani

= A1B

1 + A

2B

2

= (3 10)�?��

?��

+ (2 5)

�?��

?��

B. Uraian

1. a. A =

&��% @ &��% @@

!��

F��

��

��

←←

B =

&��% @ &��% @@

!��

F��

��

��

←←

b. Misalkan H adalah matriks total penjualan

bulan November dan Desember (dalam jutaan

rupiah)

H = A + B

= ��

�� +

��

��

=

&��% @ &��% @@

��

��

↑ ↑

Total penjualan produk I

= Rp55.000.000,00 + Rp45.000.000,00

= Rp100.000.000,00

Total penjualan produk II

= Rp35.000.000,00 + Rp65.000.000,00

= Rp100.000.000,00


c. Misalkan K adalah matriks kenaikan penjualan

produk I dan II bulan Desember (dalam jutaan

rupiah).

K = ��

�� –

��

��

=

&��% @ &��% @@

��

��

↑ ↑

Kenaikan penjualan produk I

= Rp15.000.000,00 + Rp15.000.000,00

= Rp Rp30.000.000,00

Kenaikan penjualan produk II

= Rp8.000.000,00 + Rp15.000.000,00

= Rp23.000.000,00

d. Misalkan P adalah matriks besar komisi Toni

dan Joni pada bulan Desember (dalam jutaan

rupiah).

P = (3%)��

�� =

�W�� W

�W� �W�

Besar komisi Toni

= Rp1.050.000,00 + Rp600.000,00

= Rp1.650.000,00

Besar komisi Joni

= Rp900.000,00 + Rp1.200,000

= Rp2.100.000,00

2. Laba roti per bungkus:

A =

�?��

�?��

�?��

–

�?��

�?��

�?��

=

�?��

��

��

Laba setiap roti dalam seminggu:

B = (1.000 600 1.200)

�?��

��

��

=

�?��?��

��?��

��?��

Jadi, laba toko tersebut dalam seminggu:

= Rp1.000.000,00 + Rp300.000,00 + Rp600.000,00

= Rp1.900.000,00

3.� �

� � = 4 ⇔ ad – bc = 4

det P = ��

��

++

= d(2a + 3b) – b(2c + 3d)

= 2ad + 3bd – 2bc – 3bd

= 2ad – 2bc

= 2(ad – bc)

= 2 × 4

= 8

det Q = � ��

��

+ +

= 5d(a + 3b) – 5b(c + 3d)

= 5ad + 15bd – 5bc – 15bd

= 5ad – 5bc

= 5(ad – bc)

= 5 × 4

= 20

det P + det Q = 8 + 20 = 28.

Jadi, det P + det Q adalah 28.

4. det A = 3(det B)

⇔ � � �

� �

+ = 3

� �

� � �−⇔ 3(5 + x) – 5x = 3(7(x – 2) – 27)

⇔ 15 + 3x – 5x = 3(7x – 14 – 27)

⇔ 15 – 2x = 3(7x – 41)

⇔ 15 – 2x = 21x – 123

⇔ 21x + 2x = 15 + 123

⇔ 23x = 138

⇔ x = 6


5. A = � �

� �

− −

⇔ AT = � �

� �

− −

A–1 = �

� � �� × − − − ×� �

� �

− −

= �

�−� �

� �

− −

= �

�

� �

�

− −

k det (AT) = det (A–1)

⇔ k� �

� �− −= �

�

� �

�

−

−

⇔ k(5 × (–2) – 2 × (–4)) = (1 × (–�

�) – (–2) × 1)

⇔ –2k = –�

�

⇔ k = �

�

92 Matriks

a. k + 1 = �

� + 1 =

�

�

b. k2 + k – 1 = �

�

�

+ �

�

– 1

= �

� +

�

� –

�

�

= –��

�

6. A = � �

� �

− ⇔ AT =

� �

� �

−

C–1 = �

�−

� �

�

− − =

� �

�

− −

AT + C–1 = B

⇔� �

� �

− +

� �

�

− − =

� � �

� �

+ −

⇔� � � �

� � �

+ − − − + =

� � �

� �

+ −

⇔� �

� �

− =

� � �

� �

+ −

Dari kesamaan matriks tersebut, diperoleh:

3 = t + 1

⇔ t = 3 – 1

⇔ t = 2

Jadi, nilai 2t = 2 × 2 = 4.

7. (AT)T = A = ��

� �

B–1 = �

�

� �

� �

−

=

� �

� �

� �

� �

−

B = (B–1)–1

= � � � �

� � � �

� ⋅ − ⋅ −

� �

� �

� �

� �

−

= � �

� �

�

+

� �

� �

� �

� �

−

= 2

� �

� �

� �

� �

−

= � �

� �

−

C = AB + p� �

� �

−

= ��

� �

� �

� �

−

+ � �

� �

−

= ��

� � � �

− + − +

+ � �

� �

−

= ��

� � ��

− + − +

det C = ��

� � ��

− +− +

= (2p – q)(2p + q) – (p – q)(p + q)

= (2p)2 – q2 – (p2 – q2)

= 4p2 – q2 – p2 + q2

= 3p2

Jadi, determinan matriks C adalah 3p2.

8. A–1 = �

� −� �

� �

− −

= –1� �

� �

− − =

� �

� �

− −

AT = � �

� �

a. Menentukan matriks B.

A–1B = � �

� �

−

⇔� �

� �

− − B =

� �

� �

−

⇔ B =

��

� �

−− −

� �

� �

−

⇔ B = �

� −� �

� �

− − − −

� �

� �

−

⇔ B = –1� �

� �

− − − −

� �

� �

−

⇔ B = � �

� �

� �

� �

−

⇔ B = � �

� �

Jadi, matriks B = � �

� �

.


b. Menentukan det (ATB).

ATB = � �

� �

� �

� �

=

��

��

det (ATB)= ��

��

= 238 – 240

= –2

Jadi, det (ATB) adalah –2.

9. Misalkan: x = Banyak karcis kelas I yang terjual

y = Banyak karcis kelas II yang terjual

Dari permasalahan di atas diperoleh:

x + y = 200 . . . (1)

80.000x + 60.000y = 14.300.000 . . . (2)

⇔ 4x + 3y = 715

Persamaan matriksnya:

� �

� �

�

�

=

��

��


x = �/

/ =

��

��

� �

� �

= ��

� �

−−

= ��

�

−− = 115

y = �/

/ =

� ��

� ��

� �

� �

= ��

� �

−−

= �

�

−− = 85

Jadi, terjual 115 karcis kelas I dan 85 karcis

kelas II.

10. a.� �

� � −

� �

� �

+ − =

�

�

⇔ � � ��

��

+ + − + − − =

�

�

⇔� � ��

��

+ + − + − + =

�

�

⇔� ��

��

+ − + =

�

�


x + 2y = 7 . . . (1)

2x – y + 5 = 4 ⇔ 2x – y = –1 . . . (2)

Jadi, sistem persamaannya:� ��

��

+ = − = −

.

b.� �

� � −

� �

� �

+ −

= �

�

⇔� �

� � � � � � � � �

� � � � � � � � �

− −+ = − − − −

⇔� �

� �

+ − = –

�

�

� �

� �

− − −

�

�

⇔� �

� �

+ − = –

�

�

�

��

− − − +

⇔� �

� �

+ − = –

�

�

��

��

− −

⇔� �

� �

+ − =

�

�


x + 2 = 3 ⇔ x = 1

y – 1 = 2 ⇔ y = 3

Jadi, titik potong kedua garis adalah (1, 3).

c. Garis x + 2y – 7 = 0, 2x – y + 1 = 0, dan

x + py – 16 = 0 berpotongan di satu titik jika

det A = 0 dengan

A =

� � �

� � �

� � �

− − −

det A = 0

⇔ (1 × (–1) × (–16)) + (2 × 1 × 1) + ((–7)

× 2 × p) – ((–7) × (–1) × 1) – (1 × 1 × p)

– (2 × 2 × (–16)) = 0

⇔ 16 + 2 – 14p – 7 – p + 64 = 0

⇔ –15p = –75

⇔ p = 5


koefisien x

↑ konstanta

koefisien y

↑↑

94 Ulangan Akhir Semester 1

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: c

∫ 5 3

3 28x 18x2x 3x

−−

dx = ∫3 2

22x (4x 9)x (2x 3)

−−

dx

= ∫2 22x((2x) 3 )

(2x 3)−

− dx

= ∫ 2x(2x 3)(2x 3)(2x 3)

− +− dx

= ∫ 2x(2x + 3) dx= ∫ (4x2 + 6x) dx

= 43 x3 + 3x2 + c

Jadi, ∫ 5 3

3 28x 18x2x 3x

−−

dx = 43 x3 + 3x2 + c.

2. Jawaban: d

∫ x 1x 1

−+

dx

= ∫2 2( x) 1

x 1−

+ dx

= ∫ ( x 1)( x 1)x 1

− ++

dx

= ∫( x – 1) dx

= ∫(x12 – 1) dx

= 12

1

1+x

12 + 1 – x + c

= 32

1x1

12 – x + c

= 23 x x – x + c

Jadi, ∫ x 1x 1

−+

dx = 23 x x – x + c.

3. Jawaban: eGradien garis singgung kurva di titik P(x, y) adalah

m = y′ = 12 x2 – 1, maka:

y = ∫ y′ dx

= ∫ ( 12 x2 – 1) dx

= 16 x3 – x + c

Kurva y = f(x) melalui titik (2, 13 ) maka f(2) =

13 .

f(2) = 16 × 23 – 2 + c

⇔ 13 =

86 – 2 + c

⇔ 13 =

43 – 2 + c

⇔ c = 1

Jadi, f(x) = 16 x3 – x + 1.

4. Jawaban: bKecepatan gerak peluru adalah v(t) = (–t + 6)meter/detik, maka persamaan ketinggian pelurupada saat t detik adalah:

h(t) = ∫ v(t) dt

= ∫ (–t + 6) dt

= –12 t2 + 6t + c

Tinggi yang dicapai peluru pada saat t = 2 detikadalah 11 meter, maka h(2) = 11.

h(2) = –12 × 22 + 6 × 2 + c

⇔ 11 = –2 + 12 + c⇔ c = 1Dengan demikian, diperoleh persamaan tinggi

peluru h(t) = –12 t2 + 6t + 1.

Ketinggian peluru 17 meter, berarti h(t) = 17.h(t) = 17

⇔ –12 t2 + 6t + 1 = 17

⇔ –12 t2 + 6t – 16 = 0

⇔ –t2 + 12t – 32 = 0⇔ t2 – 12t + 32 = 0⇔ (t – 4)(t – 8) = 0⇔ t – 4 = 0 atau t – 8 = 0⇔ t = 4 atau t = 8Jadi, peluru mencapai ketinggian 17 meter padasaat t = 4 detik atau t = 8 detik.


5. Jawaban: e3

0(x 2)(2x 3)∫ − + dx

= 3 2

0(2x x 6)∫ − − dx

= 31 13 2

3 2 02 x x 6x × − −

= 32 13 2

3 2 0x x 6x − −

= (18 – 92

– 18) – (0)

= – 92

= –412

Jadi, hasil dari 3

0(x 2)(2x 3)∫ − + dx = –4

12 .

6. Jawaban: cf(x) = ax + b

1

0∫ f(x) dx = 2

⇔1

0∫ (ax + b) dx = 2

⇔ a2

x2 + bx

1

0 = 2

⇔a 22

1 b 1 × + × –

a 22

0 b 0

× + × = 2

⇔ a2 + b = 2 . . . (1)

2

1∫ f(x) dx = 4

⇔2

1∫ (ax + b) dx = 4

⇔ a2

x2 + bx

2

1 = 4

⇔a 22

2 b 2

× + × – a 22

1 b 1

× + × = 4

⇔ a2

4 2b

× + – a2

b

+ = 4

⇔ 32 a + b = 4 . . . (2)

Eliminasi b dari persamaan (1) dan (2).a2 + b = 2

32 a + b = 4–––––––––– –

–a = –2⇔ a = 2

Substitusikan a = 2 ke dalam persamaan (1).a2 + b = 2

⇔ 22 + b = 2

⇔ b = 1a + b = 2 + 1 = 3Jadi, a + b = 3.

7. Jawaban: cMisalkan u = 4 – 2x maka:

dudx = –2

⇔ du = –2 dxSehingga diperoleh:∫ 6(4 – 2x)3 dx= –3 ∫(4 – 2x)3(–2) dx= –3 ∫u3 du

= –3 × 14 u4 + c

= – 34

(4 – 2x)4 + c

8. Jawaban: bMisalkan u = x2 – 6x – 12 maka:dudx = 2x – 6

⇔ dudx = –2(3 – x)

⇔ (3 – x) dx = du2−

Sehingga diperoleh:

∫ 2

3 x

x 6x 12

−

− − dx = ∫

122(x 6x 12)

−− − (3 – x) dx

= ∫12 du

2u

−−

⋅

= – 12

∫12u

−du

= – 12

× 122u + c

= 2x 6x 12− − − + c

9. Jawaban: df′(x) = (4x + 2) 2(x x 3)+ + , maka:f(x) = ∫ (f′(x) dx

= ∫ (4x + 2) 2(x x 3)+ + dx

= 2 ∫ (x2 + x + 3)12 d(x2 + x + 3)

= 2 × 32

1 (x2 + x + 3)32 + c

= 43 (x2 + x + 3)

32 + c


Grafik f(x) memotong sumbu Y di titik (0, 5 3 )

maka f(0) = 5 3 .

f(0) = 43 (02 + 0 + 3)

32 + c

⇔ 5 3 = 43 × 3 3 + c

⇔ c = 3

Diperoleh f(x) = 43 (x2 + x + 3)

32 + 3

Nilai f(2) = 43 (22 + 2 + 3)

32 + 3

= 43 × 9

32 + 3

= 43 × (32)

32 + 3

= 43 × 33 + 3

= 4 × 32 + 3

= 36 + 3

Jadi, nilai f(2) = 36 + 3 .

10. Jawaban: e

f′(x) = 2

2x 6

x 6x 2

−

− +, maka f(x) = ∫

2

2x 6

x 6x 2

−

− + dx.

Dengan integral substitusi dapat dimisalkan:u = x2 – 6x + 2

⇔ du = (2x – 6) dxDengan demikian, diperoleh:

f(x) = ∫2

2x 6

x 6x 2

−

− + dx

= ∫122(x 6x 2)

−− + × (2x – 6) dx

= ∫12u

− du

= 12

1

1− +

12

1u

− + + c

= 212u + c

= 2 2x 6x 2 c− + +

Oleh karena konstanta f(x) adalah nol, maka

diperoleh f(x) = 2 2x 6x 2− + + 0

= 2 2x 6x 2− +

∫(x – 3) f(x) dx = ∫(x – 3) × 2 2x 6x 2− + dx

= ∫(2x – 6) 2x 6x 2− + dx

= ∫ 2x 6x 2− + × (2x – 6) dx

= ∫(x2 – 6x + 2)12 d(x2 – 6x + 2)

= 23 (x2 – 6x + 2)

32 + c

= 23

2 3(x 6x 2)− + + c

Dikarenakan c = 0, maka:

∫(x – 3) f(x) dx = 23

2 3(x 6x 2)− +

11. Jawaban: bDengan integral substitusi diperoleh penyelesaiansebagai berikut.2

0∫ x2(x3 + 4)3 dx =

13

2

0∫ (x3 + 4)3 d(x3 + 4)

= 13 ×

14

23 4

0(x 4) +

= 1

12 3 4 4(2 4) (0 4) + − +

= 1

12 (124 – 44)

= 1

12 (44 × 34 – 44)

= 44

12(34 – 1)

= 643 × 80 =

5.1203

12. Jawaban: d

Daerah yang diarsir terbagi menjadi dua bagian.Daerah I dibatasi garis y1, y2, x = 0, dan x = 2.Daerah II dibatasi garis y2, y3, x = 2, dan x = 6.

Persamaan garis y1 = x + 2, y2 = –13 x + 2,

y3 = –x + 6.

Y

X

III

6

4

2

2 6

y1

y3

y20



L = 2

0∫ (y1 – y2) dx +

6

2∫ (y3 – y2) dx

= 2

0∫ (x + 2 – (–

13 x + 2)) dx +

6

2∫ (–x + 6 – (–

13 x + 2)) dx

= 2

0∫ 4

3 x dx + 6

2∫ (–

23 x + 4) dx

= 2

0∫ 4

3 x dx – 6

2∫ (

23 x – 4) dx

13. Jawaban: aMenentukan titik potong garis dan kurva.x + y = 4 ⇔ y = –x + 4Substitusi y = –x + 4 ke persamaan kurvay = x2 + 2x diperoleh:–x + 4 = x2 + 2x⇔ x2 + 3x – 4 = 0⇔ (x + 4)(x – 1) = 0⇔ x + 4 = 0 atau x – 1 = 0⇔ x = –4 atau x = 1Oleh karena titik potongnya di kanan sumbu Ymaka x = 1.Luas daerah yang diarsir:

L = 1

0∫ (y1 – y2) dx

= 1

0∫ ((–x + 4) – (x2 + 2x)) dx

= 1

0∫ (–x2 – 3x + 4) dx

= 11 33 2

3 2 0x x 4x − − +

= –13 (1 – 0) –

32 (1 – 0) + 4(1 – 0)

= –13 –

32 + 4

= 216

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 216 satuan

luas.

14. Jawaban: d

Menentukan titik potong kurva dan garis.Substitusi y = x + 4 ke persamaan kurva diperoleh:x + 4 = –x2 – 4x⇔ x2 + 5x + 4 = 0⇔ (x + 4)(x + 1) = 0⇔ x + 4 = 0 atau x + 1 = 0⇔ x = –4 atau x = –1

L = 1

4

−

−∫ (y2 – y1) dx

= 1

4

−

−∫ ((–x2 – 4x – (x + 4)) dx

= 1

4

−

−∫ (–x2 – 5x – 4) dx

= 11 53 2

3 2 4x x 4x

−

− − − −

= –13 ((–1)3 – (–4)3) –

52 ((–1)2 – (–4)2) – 4(–1 – (–4))

= –13 (–1 + 64) –

52 (1 – 16) – 4 × 3

= –21 + 3712 – 12

= 412

Jadi, luas daerah tersebut 412 satuan luas.

15. Jawaban: ePersamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0)adalah ax + by = ab.Persamaan garis yang melalui titik (0, 0) dan (2, 2)adalah y = x.Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis y = xmaka x ≤ y.Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan (4, 0)adalah 4x + 4y = 10 ⇔ x + y = 4.Daerah penyelesaian di kanan dan pada garisx + y = 4 maka x + y ≥ 4.Persamaan garis yang melalui titik (0, 8) dan (4, 0)adalah 8x + 4y = 32 ⇔ 2x + y = 8.Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis2x + y = 8 maka 2x + y ≤ 8.Daerah penyelesaian di kanan dan pada sumbu Ymaka x ≥ 0.Jadi, sistem pertidaksamaan dari daerahpenyelesaian di atas adalah x ≤ y, x + y ≥ 4,2x + y ≤ 8, x ≥ 0.

16. Jawaban: dGaris x + 3y = 6 melalui titik (6, 0) dan (0, 2). Olehkarena x + 3y ≤ 6, berarti daerah penyelesaiannyadi kiri dan pada garis x + 3y = 6.Garis 5x + y = 5 melalui titik (1, 0) dan (0, 5). Olehkarena 5x + y ≥ 5, berarti daerah penyelesaiannyadi kanan dan pada garis 5x + y = 5.

Y

X–4 –1 0

4 y1 = x + 4

y2 = –x2 – 4x


Garis 5x + 3y = 15 melalui titik (3, 0) dan (0, 5).Oleh karena 5x + 3y ≤ 15, berarti daerah pe-nyelesaiannya di kiri dan pada garis 5x + 3y = 15.Oleh karena x ≥ 0, berarti daerah penyelesaiannyadi kanan dan pada sumbu Y.Oleh karena y ≥ 0, berarti daerah penyelesaiannyadi atas dan pada sumbu X.Irisan daerah penyelesaian dari kelima pertidak-samaan dapat digambarkan sebagai berikut.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah IV.

17. Jawaban: aDaerah penyelesaian 0 ≤ x ≤ 4 di kanan dan padasumbu Y, di kiri dan pada garis x = 4.Garis 3x – 4y = 12 memotong sumbu X di titik(4, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, –3).Daerah penyelesaian 3x – 4y ≤ 12 di kiri dan padagaris 3x – 4y = 12.Garis x + 4y = 16 melalui titik (0, 4) dan titik (4, 3).Daerah penyelesaian x + 4y ≤ 16 di kiri dan padagaris x + 4y = 16.Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaansebagai berikut.

Dari gambar di atas terlihat daerah penyelesaianberbentuk trapesium.Jadi, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaanberbentuk trapesium.

18. Jawaban: dGaris y – 2x = 4 memotong sumbu X di titik (–2, 0)dan memotong sumbu Y di titik (0, 4).Daerah penyelesaian y – 2x ≤ 4 di kanan dan padagaris y – 2x = 4.Garis 2x + 3y = –12 melalui titik (–3, –2) dan (0, –4).Daerah penyelesaian 2x + 3y ≥ –12 di kanan danpada garis 2x + 3y = –12.

Y

X0

x + 4y = 16

3x – 4y = 12

4

3

–3

4

x = 4

Y

X0 1 3 6

5

2

Y

X0

4

–3 –2 2 3

–2

–4

A

B

C

D

2x – 3y = 12

2x + 3y = –12

y + 2x = 4

y – 2x = 4

Garis y + 2x = 4 memotong sumbu X di titik (2, 0)dan memotong sumbu Y di titik (0, 4).Daerah penyelesaian y + 2x ≤ 4 di kiri dan padagaris y + 2x = 4.Garis 2x – 3y = 12 melalui titik (3, –2) dan (0, –4).Daerah penyelesaian 2x – 3y ≤ 12 di kiri dan padagaris 2x – 3y = 12.

Daerah penyelesaian berbentuk layang-layang.

Luas ABCD = 12 × BD × AC

= 12 × 6 × 8 = 24 satuan luas

19. Jawaban: dDaerah penyelesaian y ≤ 4 di bawah dan pada garisy = 4.Daerah penyelesaian x ≥ –6 di kanan dan pada garisx = –6.Garis x + 2y = –6 memotong sumbu X di titik(–6, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, –3).Daerah penyelesaian x + 2y ≥ –6 di kanan danpada garis x + 2y = –6.Garis 4x + y ≤ 4 memotong sumbu X di titik (1, 0)dan memotong sumbu Y di titik (0, 4).Daerah penyelesaian 4x + y = 4 di kiri dan padagaris 4x + y = 4.Garis x + 2y = –6 dan garis 4x + y = 4 berpotongandi titik (2, –4).Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaansebagai berikut.

Uji titik pojok:

Dari tabel di atas diperoleh nilai maksimum f(x, y)= 10y – 8x adalah 88.

f(x, y) = 10y – 8x

10 × 4 – 8 × (–6) = 8810 × 0 – 8 × (–6) = 4810 × (–4) – 8 × 2 = –5610 × 4 – 8 × 0 = 40

Titik Pojok

A(–6, 4)B(–6, 0)C(2, –4)D(0,4)

Y

X0

A

B

C

D y = 4

x = –6

4x + y = 4x + 2y = –6

4

–3–4

–6 1 2


f(x, y) = 4x – 2y

4 × 0 – 2 × 6 = –124 × 0 – 2 × 4 = –84 × 3 – 2 × 1 = 104 × 6 – 2 × 4 = 164 × 6 – 2 × 6 = 12

Titik Pojok

A(0, 6)B(0, 4)C(3, 1)D(6, 4)E(6, 6)

Y

X0

A

B

C

D

6

4

1

–22 3 4 6

x = 6

y = 6

x + y = 4

x – y = 2

E

20. Jawaban: bGambar tersebut adalah penyelesaian dari sistempertidaksamaan linear 2x + y ≤ 4; 3x + 4y ≤ 12;x, y ≥ 0.Menentukan koordinat titik B.B adalah titik potong antara garis 2x + y = 4 dangaris 3x + 4y = 12.Eliminasi y dari kedua persamaan garis.2x + y = 4 × 4 8x + 4y= 163x + 4y = 12 × 1 3x + 4y = 12

–––––––––– –5x = 4 ⇔ x =

45

Substitusi x = 45 ke dalam persamaan 2x + y = 4

diperoleh:

2 × 45 + y = 4 ⇔ y =

125

Diperoleh koordinat titik B4 12

,5 5

Akan dicari fungsi objektif yang memiliki nilaimaksimum di B.

Jadi, yang mencapai maksimum di B adalah15x + 10y dan 4x + 5y.

21. Jawaban: bUji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 3y + 2x.

Oleh karena nilai minimum f(x, y) = 3y + 2x adalah4 maka persamaan garis selidik yang menyebab-kan f(x, y) mencapai minimum adalah 3y + 2x = 4.

22. Jawaban: b

f(x, y) = 3y + 2x

3 × 4 + 2 × 0 = 123 × 0 + 2 × 2 = 43 × 3 + 2 × 5 = 193 × 6 + 2 × 4 = 26

Titik Pojok

A(0, 4)B(2, 0)C(5, 3)D(4, 6)

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 4x – 2y.

Nilai minimum f(x, y) = 4x – 2y adalah –12 dicapaidi titik A(0, 6).

23. Jawaban: dMisalkan:x= banyak bolpoin merek A yang dibeli

y= banyak bolpoin merek B yang dibeliBanyak bolpoin merek A yang dibeli tidak lebihdari tiga kali banyak bolpoin B sehingga diperolehpertidaksamaan: x ≤ 3y . . . (1)Harga beli bolpoin merek A Rp1.000,00 per buahdan harga beli bolpoin merek B Rp1.500,00 perbuah, sedangkan modal untuk membeli keduamerek bolpoin hanya Rp100.000,00 sehinggadiperoleh pertidaksamaan:1.000x + 1.500y ≤ 100.000⇔ 2x + 3y ≤ 200 . . . (2)Keuntungan penjualan bolpoin merek A Rp500,00per buah dan keuntungan penjualan bolpoinmerek B Rp600,00 per buah, sedangkankeuntungan yang diperoleh paling sedikitRp30.000,00 sehingga diperoleh pertidaksamaan:500x + 600y ≥ 30.000⇔ 5x + 6y ≥ 300 . . . (3)Banyak bolpoin merek A dan merek B yang dibelitidak mungkin negatif sehingga diperolehpertidaksamaan:x ≥ 0 dan y ≥ 0 . . . (4)Dari pertidaksamaan (1) sampai dengan (4)diperoleh sistem pertidaksamaan:x ≤ 3y, 2x + 3y ≤ 200, 5x + 6y ≥ 300, x ≥ 0, y ≥ 0

24. Jawaban: eMisalkan: x = banyak roti I yang dibuat

y = banyak roti II yang dibuat

Model matematika permasalahan adalahmemaksimumkan fungsi objektif f(x, y) = 30.000x+ 20.000y dengan kendala:

2x + y ≥ 160x + y ≤ 180

x ≤ 2yx ≥ 0y ≥ 0

FungsiObjektif

15x + 10y

–20x + 15y

4x + 5y

6x – 4y

Titik Pojok

O(0, 0) A(2, 0) B( 45 , 12

5 ) C(0, 3)

0

0

0

0

30

–40

8

12 (maks)

36 (maks)

20

15 15 (maks)

–4 45

30

45 (maks)

15

–12

Roti I (x)

21

30.000

Roti II (y)

11

20.000

Maks

160180

Bahan

AB

Harga



Uji titik pojok:

Dari tabel diperoleh nilai maksimum f(x, y) =30.000x + 20.000y adalah 4.800.000 dicapai di titikD(120, 60).Jadi, banyak roti I yang harus dibuat 120 danbanyak roti II yang harus dibuat 60 agar diperolehpendapatan maksimum.

25. Jawaban: bMisalkan:x = banyak kain katun (potong)y = banyak kain sutra

Model matematika permasalahan adalahmemaksimumkan fungsi objektif f(x, y) =(15x + 21y) ribu dengan kendala:

x + y ≤ 9860.000x + 105.000y ≤ 8.400.000⇔ 4x + 7y ≤ 560x ≥ 0, y ≥ 0


Menentukan koordinat titik B.Garis x + y = 98 dan 4x + 7y = 560 berpotongandi titik B.Eliminasi x dari kedua persamaan garis. x + y = 98 × 4 4x + 4y= 3924x + 7y = 560 × 1 4x + 7y= 560

––––––––––––– ––3y = –168 ⇔ y = 56

Substitusikan y = 56 ke persamaan x + y = 98sehingga diperoleh:x + 56= 98 ⇔ x = 42Diperoleh koordinat titik B(42, 56).Titik pojok daerah penyelesaian adalah O(0, 0),A(98, 0), B(42, 56), dan C(0, 80).Uji titik pojok.

Dari tabel di atas diperoleh nilai maksimum f(x, y)adalah 1.806 ribu atau 1.806.000.Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh PakBurhan Rp1.806.000,00.

26. Jawaban: eAkan dibuat sistem pertidaksamaan yang sesuaidengan permasalahan tersebut.Misalkan: x = banyak barang A

y = banyak barang B

Model matematika permasalahan adalahmemaksimumkan f(x, y) = 25.000x + 50.000ydengan kendala:

2x + y ≤ 240x + y ≤ 180x, y ≥ 0Daerah penyelesaian:

Y

X0

A

B

C

180160

60

32

64 80 120 180

x = 2y

2x + y = 160x + y = 180

D

f(x, y) = 30.000x + 20.000y

30.000 × 0 + 20.000 × 180 = 3.600.00030.000 × 0 + 20.000 × 160 = 3.200.00030.000 × 64 + 20.000 × 32 = 2.560.00030.000 × 120 + 20.000 × 60 = 4.800.000

Titik Pojok

A(0, 180)B(0, 160)C(64, 32)D(120, 60)

Jenis Kain

KatunSutra

Persediaan

Banyak(Potong)

HargaJual

Keuntungan

xy

98

60.000 105.000

8.400.000

15.00021.000

Y

X

98

80

98 140A

B

C

0

x + y = 98

4x + 7y = 560

Titik PojokO(0, 0)A(98, 0)C(42, 56)D(0, 80)

f(x, y) = (15x + 21y) ribu

(15 × 0 + 21 × 0) = 0 ribu(15 × 98 + 21 × 0) = 1.470 ribu(15 × 42 + 21 × 56) = 1.806 ribu(15 × 0 + 21 × 80) = 1.680 ribu

Barang A (x)

21

25.000

Barang B (y)

11

50.000

Maks

240180

Mesin IMesin II

Keuntungan

240

180

O 120 180A

B

C

Y

X


Menentukan koordinat titik B.Garis 2x + y = 240 dan x + y = 180 berpotongan dititik B.Eliminasi y dari kedua persamaan garis.2x + y = 240x + y = 180

–––––––––– –x = 60

Substitusikan x = 60 ke dalam persamaanx + y = 180 sehingga diperoleh:60 + y = 180⇔ y = 120Diperoleh koordinat titik B(60, 120).Uji titik pojok ke f(x, y) = 25.000x + 50.000y atauf(x, y) = (25x + 50y) ribu.

Dari tabel diperoleh nilai maksimum f(x, y) adalah9.000 ribu atau 9.000.000.Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperolehRp9.000.000,00.

27. Jawaban: dB = 2A

⇔2a b 2a

30 16−

= 2a 1 315 bc+

⇔2a b 2a

30 16−

= 2a 2 6

30 2bc+

Dari kesamaan matriks diperoleh:2a = 6 ⇔ a = 32a – b = 2a + 2 ⇔ b = –216 = 2bc ⇔ 8 = –2c

⇔ c = –4Nilai a + b – c = 3 – 2 – (–4) = 5.

28. Jawaban: bB + C = –2AT

⇔1 a

3b c +

3 05b a−

− = –2a b b

c a b+

− −

⇔2 a

8b a c−

− + = 2a 2b 2b

2c 2b 2a− − −

− Dari kesamaan matriks diperoleh:(1) a = –2b(2) –2 = –2a – 2b

⇔ –2 = –2(–2b)–2b⇔ –2 = 2b⇔ b = –1

(3) 8b = 2c ⇔ c = 4b⇔ c = 4 × (–1) = –4

(4) –a + c = 2b – 2a ⇔ a + c = 2b⇔ a – 4 = 2 × (–1)⇔ a = 2

Nilai a + b + c = 2 + (–1) + (–4) = –3Jadi, nilai a + b + c = –3.

29. Jawaban: d

c a db 2

+ −

1 11 1−

− = 0 a d

c b 1−

− −

⇔c a d c a d

b 2 b 2− + + − −

− − + = 0 a d

c b 1−

− − Dari kesamaan matriks diperoleh:b + 2 = –1 ⇔ b = –3–b – 2 = c – b ⇔ 3 – 2 = c + 3

⇔ c = –2c – a – d = a – d ⇔ c – a = a

⇔ c = 2a⇔ –2 = 2a⇔ a = –1

–c + a + d = 0 ⇔ 2 – 1 + d = 0⇔ d = –1

Jadi, nilai (a + b + c + d)2 = (–1 – 3 – 2 – 1)2 = 49.

30. Jawaban: cS = PR + 2QT

= 2 13 4

1 21 2− −

+ 23 12 1

− −

= 1 2

1 2− −

+ 6 24 2

− − =

5 43 4

− −

Jadi, matriks S = 5 43 4

− − .

31. Jawaban: b

AB – A = 2 43 1

−

2 13 6

− − –

2 43 1

−

= 16 263 3

− –

2 43 1

−

= 14 220 2

−

Determinan matriks (AB – A):

| AB – A | = 14 220 2

− = 28 – 0 = 28

32. Jawaban: b

A – B = 2 2x 1

x 2 3−

− – 4 31 x 1

−

= 2 2x 4

x 3 4 x− −

− −

Titik

O(0, 0)A(120, 0)B(60, 120)C(0, 180)

f(x, y) = (25.000x + 50.000y) ribu

25 × 0 + 50 × 0 = 0 ribu25 × 120 + 50 × 0 = 3.000 ribu25 × 60 + 50 × 120 = 7.500 ribu25 × 0 + 50 × 180 = 9.000 ribu


|A – B| = –2(4 – x) – (x – 3)(2x – 4)⇔ –2 = –2((4 – x) + (x – 3)(x – 2))⇔ 1 = (4 – x) + (x – 3)(x – 2)⇔ 1 = 4 – x + x2 – 5x + 6⇔ x2 – 6x + 9 = 0⇔ (x – 3)2 = 0⇔ x = 3Jadi, nilai x = 3.

33. Jawaban: adet A = det B

⇔3 14 x =

2x 21 3x

⇔ 3x – 4 = 6x2 – 2⇔ 6x2 – 3x + 2 = 0Persamaan kuadrat 6x2 – 3x + 2 = 0 mempunyainilai a = 6, b = –3, dan c = 2.Oleh karena x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat

maka x1 + x2 = ba

− = 36

= 12

dan x1x2 = ca =

26 =

13 .

x12 + x2

2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2

= (12 )2 – 2 ×

13

= 14 –

23

= 3

12 – 8

12

= –5

12

Jadi, x12 + x2

2 = –5

12 .

34. Jawaban: a

x x3 x =

3 33 3

− −−

⇔ x2 – 3x = 9 + 9⇔ x2 – 3x – 18 = 0⇔ (x – 6)(x + 3) = 0⇔ x – 6 = 0 atau x + 3= 0⇔ x = 6 atau x = –3Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = –3 ataux = 6.

35. Jawaban: d

A – kI = 4 21 3

− − – k

1 00 1

= 4 21 3

− − –

k 00 k

= 4 k 2

1 3 k− −

− −

A – kI matriks singular jika |A – kI| = 0.|A – kI| = 0

⇔4 k 2

1 3 k− −− − = 0

⇔ (4 – k)(3 – k) – (–2)(–1) = 0⇔ 12 – 7k + k2 – 2 = 0⇔ k2 – 7k + 10 = 0⇔ (k – 2)(k – 5) = 0⇔ k – 2 = 0atau k – 5 = 0⇔ k = 2atau k = 5Jadi, k = 2 atau k = 5.

36. Jawaban: b

BA = 5 41 1

3 21 2

= 15 4 10 83 1 2 2

+ + + + =

19 184 4

(BA)–1 = 1

4 19 4 18× − ×4 184 19

− −

= 14

4 184 19

− −

det (BA)–1 = 21

4

(4 × 19 – 4 × 18) = 1

16 × 4 = 14

Jadi, determinan (BA)–1 = 14 .

37. Jawaban: c

A = 2 41 5

A–1 = 1

10 4−5 41 2

− −

= 16

5 41 2

− −

AX = B⇔ X = A–1B

= 16

5 4 2 61 2 7 0

− − − −

= 16

18 3012 6

− −

= 3 52 1

− −

Jadi, matriks X = 3 52 1

− −

.

38. Jawaban: b

X1 3

4 5−

= 11 1

11 18− −

⇔ X1 3

4 5−

11 34 5

−−

= 11 1

11 18− −

11 34 5

−−

⇔ XI = 11 1

11 18− −

× 15 12− −

5 34 1

− − −


⇔ X = – 117

11 111 18− −

5 34 1

− − −

= – 117

55 4 33 155 72 33 18− + +

− − −

= – 117

51 3417 51

− − − =

3 21 3

−

Jadi, matriks X yang memenuhi adalah 3 21 3

− .

39. Jawaban: eA = P + Q

= 2 43 1

+

1 21 2

− =

3 24 3

AX = BT

⇔ X = A–1BT

= 1

9 8−3 24 3

− −

7 710 9

− −

= 11

1 32 1

− =

1 32 1

−

Jadi, matriks X = 1 32 1

− .

40. Jawaban: d

p23 dari adjoint P = 11 13

21 23

p pp p

= – 1 22 3−

= –(–3 – 4)= 7

Jadi, elemen baris 2 kolom 3 adalah 7.

B. Uraian

1. ∫(6x – 3) 2x 1− dxMisalkan u = 2x – 1 maka:

dudx = 2

⇔ dx = du2

Diperoleh:

∫(6x – 3) 2x 1− dx

= ∫123(2x 1)(2x 1)− − dx

= 3 ∫32(2x 1)− dx

= 3 ∫32u du

2

= 32 ∫

32u du

= 32 × 2

5

52u + c = 3

5u2 u + c

= 35

(2x – 1)2 2x 1− + c

2. Fungsi biaya: C = f(Q)

Biaya marginal: MC = dCdQ

Oleh karena MC = dCdQ

maka C = ∫ MC dQ.

Diketahui MC = 4Q + 5 (dalam puluhan ribu) maka:

C = ∫ (4Q + 5) dQ = (2Q2 + 5Q + c) × 10.000

Untuk Q = 2 diperlukan biaya C = 300.000 sehinggaf(2) = 300.000.

f(2) = 300.000⇔ (2 × 22 + 5 × 2 + c) × 10.000 = 300.000⇔ 18 + c = 30⇔ c = 12Diperoleh fungsi biaya:C = 2Q2 + 5Q + 12 (dalam puluhan ribu) untukQ = 5 maka C = f(5).f(5) = (2 × 52 + 5 × 5 + 12) × 10.000

= (50 + 25 + 12) × 10.000= 870.000

Jadi, biaya yang diperlukan untuk memproduksi5 unit barang Rp870.000,00.

3. Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan (3, 0)adalah 3x + 3y = 9 ⇔ y = –x + 3.Kurva memotong sumbu X di titik (–1, 0) dan(3, 0) maka persamaan kurva adalah y = f(x) =a(x + 1)(x – 3).Kurva melalui titik (0, 3) maka f(0) = 3.f(0) = a(0 + 1)(0 – 3)⇔ 3 = –3a⇔ a = –1Persamaan kurva menjadi:f(x) = –(x + 1)(x – 3)

= –(x2 – 2x – 3)= –x2 + 2 + 3

Daerah yang diarsir dapat dibagi menjadi 2 bagian.Daerah 1 dibatasi kurva y1 = –x2 + 2x + 3, sumbuX negatif, dan sumbu Y positif.Daerah II dibatasi garis y2 = –x + 3, sumbu Xpositif, dan sumbu Y positif.


Luas daerah yang diarsir:L = L1 + L2

= 0

1−∫ y1 dx +

3

0∫ y2 dx

= 0

1−∫ (–x2 + 2x + 3) dx +

3

0∫ (–x + 3) dx

= 01 3 2

3 1x x 3x

− − + + +

31 22 0

x 3x − +

= – 13

(0 + 1) + (0 – 1) + 3(0 + 1) – 12

(9 – 0) + 3(3 – 0)

= – 13

– 1 + 3 – 92

+ 9

= 6 16

Jadi, luas daerah yang diarsir 6 16

satuan luas.

4. Persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0)adalah ax + by = ab.Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan (2, 0)adalah 4x + 2y = 8 ⇔ 2x + y = 4.Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis 2x+ y = 4 maka 2x + y ≥ 4 . . . (1)Persamaan garis yang melalui titik (0, –1) dan (2, 0)adalah –x + 2y = –2 ⇔ x – 2y = 2.Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis x – 2y= 2 maka x – 2y ≤ 2 . . . (2)Persamaan garis yang melalui titik (0, 6) dan (4, 0)adalah 6x + 4y = 24 ⇔ 3x + 2y = 12.Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis 3x +2y = 12 maka 3x + 2y ≤ 12 . . . (3)Daerah penyelesaian di kanan dan pada sumbu Ymaka x ≥ 0 . . . (4)Dari pertidaksamaan (1) sampai dengan (4)diperoleh sistem pertidaksamaan:

2x + y ≥ 4x – 2y ≤ 2

3x + 2y ≤ 12x ≥ 0

5.

Luas ABCD = 12

× OC (AB + CD)

= 12

× 7(3 + 4)

= 24 12

Jadi, luas daerah penyelesaiannya 24 12

satuanluas.

6. Diketahui:x = banyak paket Ay = banyak paket BHarga paket A Rp15.000,00 dan harga paket BRp20.000,00, sedangkan pendapatan minimumpenjualan Rp600.000,00 sehingga diperolehpertidaksamaan:15.000x + 20.000y ≥ 600.000⇔ 3x + 4y ≥ 120 . . . (1)Banyak paket B yang terjual tidak lebih dari32

kali banyak paket A sehingga diperolehpertidaksamaan:

y ≤ 32

x ⇔ 2y ≤ 3x

⇔ 3x – 2y ≥ 0 . . . (2)Jumlah kedua paket yang terjual tidak lebih dari80 sehingga diperoleh pertidaksamaan:x + y ≤ 80 . . . (3)Banyak paket A dan paket B yang terjual tidakmungkin negatif sehingga diperoleh pertidak-samaan:x ≥ 0, y ≥ 0 . . . (4)Dari pertidaksamaan (1) – (4) diperoleh sistempertidaksamaan:

3x + 4y ≥ 1203x – 2y ≥ 0

x + y ≤ 80x ≥ 0y ≥ 0

7. Permasalahan tersebut dapat ditulis sebagaiberikut.Misalkan:x = banyak barang Ay = banyak barang B

B

Y

X

A

D

C

x = 7

6

3

O3x + 7y = 21

2x + 7y = 42

7

Barang A (x)

645

10 juta

Barang B (y)

365

8 juta

Maks

544850

Mesin IMesin IIMesin III

Laba


Model matematika permasalahan adalahmemaksimumkan f(x, y) = (10x + 8y) juta dengankendala:

6x + 3y ≤ 54 ⇔ 2x + y ≤ 184x + 6y ≤ 48 ⇔ 2x + 3y ≤ 245x + 5y ≤ 50 ⇔ x + y ≤ 10x ≥ 0; y ≥ 0

Daerah penyelesaiannya:

Daerah penyelesaiannya adalah daerah OABCD.Menentukan koordinat titik B.Garis 2x + y = 18 dan x + y = 10 berpotongan dititik B.Eliminasi y dari kedua persamaan garis.2x + y = 18x + y = 10

––––––––– –x = 8

Substitusi x = 8 ke persamaan x + y = 10,diperoleh:

8 + y = 10⇔ y = 2Diperoleh koordinat titik B(8, 2).Menentukan koordinat titik C.Garis 2x + 3y = 24 dan x + y = 10 berpotongan dititik C. Eliminasi x dari kedua persamaan garis:2x + 3y = 24 × 1 2x + 3y = 24

x + y = 10 × 2 2x + 2y = 20––––––––––– – y = 4

Substitusi y = 4 ke x + y = 10 diperoleh:x + 4 = 10

⇔ x = 6Diperoleh koordinat titik C(6, 4).Uji titik pojok ke f(x, y) = (10 + 8) juta.

Nilai maksimum f(x, y) = (10x + 8y) juta adalah96.000.000 dicapai di titik (8, 2).Jadi, pabrik harus memproduksi 8 unit barang Adan 2 unit barang B agar diperoleh laba maksimum.

8. (ABC)T = CT(BTAT)

⇔15 6

9 0 − = CT

3 09 6−

⇔ CT = 15 6

9 0 −

13 09 6

−−

= 15 6

9 0 − × –

118

−

6 09 3

− −

= –1

18

15 69 0

−

6 09 3

− −

= –1

18

36 1854 0

− −

= 2 13 0

−

|C| = |CT| = –2 × 0 – 1 × 3 = –3Jadi, determinan matriks C adalah –3.

9. a. A = 2BT

⇔x 2

3x 2y 6−

+ = 2y 1

x 2x y− −

+

⇔x 2

3x 2y 6−

+ = 2y 2

2x 4x 2y− −

+ Dari kesamaan matriks diperoleh:x = –2y6 = 4x + 2y ⇔ 3 = 2x + y

⇔ 3 = 2(–2y) + y⇔ 3 = –3y⇔ y = –1

x = –2y = –2 × (–1) = 2Jadi, nilai x = 2 dan y = –1.

b. ( )2 1 3x y4 53 2

12

= 30

⇔ ( ) 12x 4 9 2y 5 62

+ + + + = 30

⇔ ( ) 12x 13 2y 112

+ + = 30

⇔ 2x + 13 + 4y + 22 = 30⇔ 2x + 4y + 35 = 30⇔ 2x + 4y = –5x : y = 1 : 2 ⇔ y = 2x

Titik

O(0, 0)A(9, 0)B(8, 2)C(6, 4)D(0, 8)

f(x, y) = (10x + 8y) Juta

(10 × 0 + 8 × 0) juta = 0(10 × 9 + 8 × 0) juta = 90.000.000(10 × 8 + 8 × 2) juta = 96.000.000(10 × 6 + 8 × 4) juta = 92.000.000(10 × 0 + 8 × 8) juta = 64.000.000

18

108

O 910 12

Y

X

2x + y = 18

2x + 3y = 24

x + y = 10

AB

C

D


Substitusikan y = 2x ke dalam persamaan2x + 4y = –5, diperoleh:

2x + 4 × 2x = –5⇔ 10x = –5

⇔ x = –12

Substitusikan x = –12 ke dalam persamaan

y = 2x.

y = 2x = 2 × 12

− = –1

Jadi, nilai x = –12 dan y = –1.

10. a. S = PQ – R

= 4 32 1

1 23 4

– 8 182 7

= 13 205 8

– 8 182 7

= 5 23 1

b. Invers matriks S:

S–1 = 1

5 6−1 23 5

− −

= 11−

1 23 5

− −

= 1 2

3 5−

−


Barisan dan Deret Bilangan

Barisan dan Deret

Aritmetika

• Barisan aritmetika

• Deret aritmetika

Barisan dan Deret

Geometri

• Barisan geometri

• Deret geometri

• Bunga tunggal

• Bunga majemuk

• Bersikap tekun dalam menerapkan konsep deret aritmetika, yaitu saat menabung.

• Mampu menjelaskan pengertian barisan aritmetika.

• Mampu menyebutkan rumus suku ke-n sebuah barisan aritmetika.

• Mampu menjelaskan pengertian deret aritmetika.

• Mampu menyebutkan rumus suku ke-n sebuah deret aritmetika.

• Mampu menyebutkan rumus suku tengah sebuah barisan aritmetika.

• Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret aritmetika.

• Mampu menjelaskan pengertian barisan geometri.

• Mampu menyebutkan rumus suku ke-n sebuah barisan geometri.

• Mampu menjelaskan pengertian deret geometri.

• Mampu menyebutkan rumus suku ke-n sebuah deret geometri.

• Mampu menyebutkan rumus suku tengah sebuah barisan geometri.

• Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret geometri.

• Mampu mengubah masalah bunga tunggal menjadi model matematika berbentuk barisan aritmetika.

• Mampu mengubah masalah bunga majemuk menjadi model matematika berbentuk barisan geometri.

• Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bunga tunggal dan bunga majemuk

menggunakan barisan aritmetika dan barisan geometri.

Penerapan Barisan dan Deret

dalam Kehidupan Sehari-Hari

108 Barisan dan Deret Bilangan

U7 + U

12 = a + 6b + a + 11b

= 2a + 17b

= 2 × 48 + 17 × (–16)

= 96 – 272

= –176

5. Jawaban: b

Susunan bilangannya sebagai berikut.

4, ( 4 + b), (4 + 2b), (4 + 3b), (4 + 4b), (4 + 5b), 28.

b = U6 – U5

⇔ b = 28 – (4 + 5b)

⇔ b = 24 – 5b

⇔ 6b = 24

⇔ b = 4

Jadi, beda barisan aritmetika yang terbentuk

adalah 4.

6. Jawaban: d

U5

= a + 4b = 22

U12

= a + 11b = 57–––––––––––– –

–7b = –35

⇔ b = 5

Substitusikan b = 5 ke dalam persamaan a + 4b

= 22.

a + 4b = 22

⇔ a + 4 × 5 = 22

⇔ a + 20 = 22

⇔ a = 22 – 20 = 2

Menentukan suku ke-20.

U20

= a + 19b

= 2 + 19 × 5

= 2 + 95 = 97

Jadi, suku ke-20 adalah 97.

7. Jawaban: d

a = 136

b = 131,75 – 136 = –4,25

Un

= a + (n – 1)b

⇔ 0 = 136 + (n – 1) × (–4,25)

⇔ 0 = 136 – 4,25n + 4,25

⇔ 4,25n = 140,25

⇔ n = ��

��

⇔ n = 33

8. Jawaban: b

Un = a + (n – 1)b

U3 + U5 + U7 + U9 = 104

⇔ (U1 + 2b) + (U1 + 4b) + (U1 + 6b) + (U1 + 8b) = 104

⇔ 4U1 + 20b = 104

⇔ 4(U1 + 5b) = 104

⇔ U1 + 5b = 26

⇔ U6 = 26

Jadi, U6 adalah 26.

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: d

Un

= 2n – 5

U8 + U15 = (2 × 8 – 5) + (2 × 15 – 5)

= 11 + 25

= 36

Jadi, hasil penjumlahan suku ke-8 dan suku ke-15

barisan tersebut adalah 36.

2. Jawaban: d

a = 3

b = 12 – 3 = 9

Un

= 237

Un

= a + (n – 1)b ⇒ 237 = 3 + (n – 1)9

⇔ 237 = 3 + 9n – 9

⇔ 237 = 9n – 6

⇔ 243 = 9n

⇔ n = ��

� = 27

Jadi, 237 pada barisan tersebut merupakan suku

ke-27.

3. Jawaban: d

Dari permasalahan di atas, diperoleh:

U5

= a + 4b = 57 . . . (1)

U8

= a + 7b = 87 . . . (2)

Eliminasi a dari persamaan (1) dan persamaan (2).

a + 4b = 57

a + 7b = 87––––––––––– –

–3b = –30

⇔ b = 10 . . . (3)

Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (1).

a + 4b = 57

⇔ a + 4 × 10 = 57

⇔ a + 40 = 57

⇔ a = 57 – 40

⇔ a = 17

Un

= a + (n – 1)b

⇔ 107 = 17 + (n – 1)10

⇔ 107 = 17 + 10n – 10

⇔ 107 = 7 + 10n

⇔ 10n = 107 – 7

⇔ 10n = 100

⇔ n = 10

Jadi, banyak suku barisan tersebut ada 10.

4. Jawaban: b

U6

= a + 5b

⇔ –32 = 48 + 5b

⇔ 5b = –32 – 48

⇔ 5b = –80

⇔ b = –16


9. Jawaban: a

Misalkan: U1 = a

U2 = a + b

U3 = a + 2b

U1 + U

2 + U

3= 48

⇔ a + a + b + a + 2b = 48

⇔ 3a + 3b = 48

⇔ 3(a + b) = 48

⇔ a + b = 16

⇔ a = 16 – b . . . (1)

U1 × U

2 × U

3= 3.696

⇔ a(a + b)(a + 2b) = 3.696 . . . (2)


(2).

a(a + b)(a + 2b) = 3.696

⇔ (16 – b)(16 – b + b)(16 – b + 2b) = 3.696

⇔ (16 – b) × 16 × (16 + b) = 3.696

⇔ 16(256 – b2) = 3.696

⇔ –b2 + 256 = 231

⇔ b2 = 256 – 231

⇔ b2 = 25

⇔ b = 5

Untuk b = 5 maka a = 16 – 5 = 11

U1 = a = 11

U2 = a + b = 11 + 5 = 16

U3 = a + 2b = 11 + 10 = 21

Untuk b = –5 maka a = 16 + 5 = 21

U1 = a = 21

U2 = a + b = 21 – 5 = 16

U3 = a + 2b = 21 – 10 = 11

Jadi, bilangan terbesarnya 21.

10. Jawaban: a

Barisan bilangan asli ganjil, yaitu 1, 3, 5, 7, 9, . . . .

U1 = a = 1

b = 3 – 1 = 2

Sn = 39

=

�(2 × 1 + (n – 1)2)

=

�(2 + 2n – 2)

=

� × 2n = n2

Jadi, jumlah n bilangan asli ganjil pertama

dirumuskan dengan n2.

11. Jawaban: e

a = 13

b = 11 – 13 = –2

Sn

=

�(2a + (n – 1)b)

⇔ –1.800 =

�(2 × 13 + (n – 1) × –2)

⇔ –1.800 =

�(26 – 2n + 2)

⇔ –1.800 =

�(28 – 2n)

⇔ –1.800 = 14n – n2

⇔ n2 – 14n – 1.800 = 0

⇔ (n – 50)(n + 36) = 0

⇔ n – 50 = 0 atau n + 36 = 0

⇔ n = 50 atau n = –36

Untuk n = –36 tidak memenuhi.

Jadi, banyak suku pada deret tersebut adalah 50.

12. Jawaban: d

Diketahui: U3 = 3, U8 = 23

U3 = U1 + 2b

⇔ 3 = U1 + 2b

U8 = U1 + 7b

⇔ 23 = U1 + 7b

Diperoleh:

U1 + 2b = 3

U1 + 7b = 23––––––––––– – –5b = –20

⇔ b = 4

U1 + 2 × 4 = 3

⇔ U1 = –5

S21 = ��

�(2U1 + (21 – 1)b)

= ��

�(2 × (–5) + 20 × 4)

= ��

�(–10 + 80)

= ��

� × 70

= 735

Jadi, jumlah 21 suku pertama deret tersebut 735.

13. Jawaban: e

U4 = 11⇒ a + 3b = 11

U6 = 17⇒ a + 5b = 17

–––––––––––– ––2b = –6 ⇔ b = 3

Substitusikan b = 3 ke persamaan a + 3b = 11.

a + 3 × 3 = 11 ⇔ a = 2

U9 + U

20= (a + 8b) + (a + 19b)

= 2a + 27b

= 2 × 2 + 27 × 3

= 4 + 81

= 85

Jadi, jumlah suku ke-9 dan ke-20 deret tersebut 85.

14. Jawaban: a

Diketahui U6 = 17 dan U10 = 33.

Un = U1 + (n – 1)b

⇔ U6 = U1 + 5b

⇔ 17 = U1 + 5b . . . (1)

U10 = U1 + 9b

⇔ 33 = U1 + 9b . . . (2)


Eliminasi U1 dari persamaan (1) dan (2).

U1 + 5b = 17

U1 + 9b = 33

–––––––––––– ––4b = –16

⇔ b = 4 . . . (3)

Substitusikan b = 4 ke dalam persamaan (1).

U1 + 5b = 17

⇔ U1 + 5 × 4 = 17

⇔ U1 = –3

Sn =

�(2U1 + (n – 1)b)

⇔ S40 = ��

�(2 × (–3) + 39 × 4)

⇔ S40 = 20(–6 + 156)

⇔ S40 = 20 × 150

⇔ S40 = 3.000

Jadi, jumlah 40 suku pertama deret tersebut adalah

3.000.

15. Jawaban: c

Diperoleh:

b = 4 dan U4 : U

10 = 2 : 5.

�

��

=

�

�

⇔ �

�

��

��

++ =

�

�

⇔ �

�

� �

� �

+ ×+ × =

�

�

⇔ �

�

��

��

++ =

�

�

⇔ 5U1 + 60 = 2U

1 + 72

⇔ 3U1

= 12

⇔ U1

= 4

Un = U

1 + (n – 1)b

⇔ 72 = 4 + (n – 1)4

⇔ 72 = 4 + 4n – 4

⇔ n = 18

Sn =

�(U

1 + (n – 1)b)

⇔ S18

= �

�(2 × 4 + (18 – 1)4)

⇔ S18

= 9(8 + 68)

⇔ S18

= 9 × 76

⇔ S18

= 684

Jadi, banyak kursi yang dimiliki gedung tersebut

684 kursi.

B. Uraian

1. a. Diketahui U4 + U

8 = –46.

U4 + U8 = –46

⇔ (U1 + 3b) + (U

1 + 7b) = –46

⇔ 2U1 + 10b = –46

⇔ 2(U1 + 5b) = –46

⇔ U1 + 5b = –23

⇔ U6

= –23

Jadi, suku keenam barisan tersebut adalah –23.

b. U10 = –3

⇔ U1 + 9b = –3 . . . (1)

Diketahui pula U6 = –23, sehingga:

U6 = U1 + 5b

⇔ –23 = U1 + 5b . . . (2)

U1 + 9b = –3

U1 + 5b = –23–––––––––––– –

4b = 20

⇔ b = 5

b = 5 ⇒ U1 + 5b = –23

⇔ U1 + 5 × 5 = –23

⇔ U1 = –48

Un = 47

⇔ –48 + (n – 1) b = 47

⇔ –48 + (n – 1) 5 = 47

⇔ 5n – 5 = 95

⇔ 5n = 100

⇔ n = 20

Jadi, banyak suku barisan adalah 20.

2. Suatu barisan bilangan U1, U

2, U

3, . . ., U

n

merupakan barisan aritmetika jika selisih dua suku

yang berurutan selalu tetap.

b = Un – U

n – 1

a. U2 – U

1= U

3 – U

2

⇔ (k + 3) – (k – 1) = (2k + 1) – (k + 3)

⇔ 4 = k – 2

⇔ k = 4 + 2

⇔ k = 6

Untuk k = 6 maka:

U1 = k – 1 = 6 – 1 = 5

U2 = k + 3 = 6 + 3 = 9

U3 = 2k + 1 = 12 + 1 = 13

Jadi, barisan aritmetikanya adalah 5, 9,

dan 13.

b. U2 – U

1= U

3 – U

2

⇔ (k + 2) – 2k = k – (k + 2)

⇔ –k + 2 = –2

⇔ k = 2 + 2

⇔ k = 4

Untuk k = 4 diperoleh:

U1 = 2k = 8

U2 = k + 2 = 4 + 2 = 6

U3 = k = 4

U4 = k – 2 = 4 – 2 = 2

Jadi, barisan aritmetikanya 8, 6, 4, dan 2.

3. a. U1 = –54, U

n = 6

Setelah 29 bilangan disisipkan, terbentuk

barisan aritmetika:

–54, (–54 + b), (–54 + 2b), . . . , (–54 + 29b), 6


b = Un – Un – 1

⇔ b = U31 – U30

⇔ b = 6 – (–54 + 29b)

⇔ 30b = 60

⇔ b = 2

Jadi, beda barisan tersebut adalah 2.

b. Sn =

�(2a + (n – 1)b)

= ��

�(2(–54) + (31 – 1)2)

= 31(–54) + 31(30)

= –1.674 + 930

= –744

Jadi, jumlah barisan tersebut adalah –744.

4. a. Deret bilangan:

4 + 8 + 12 + 16 + 20 + . . . + 100

b = 8 – 4 = 4

Un

= a + (n – 1)b

⇔ 100 = 4 + (n – 1)4

⇔ 100 = 4 + 4n – 4

⇔ 100 = 4n

⇔ n = 25

Misalkan:

Sx = jumlah deret bilangan seluruhnya

Sn =

�(a + U

n)

Sx

= ��

�(4 + 100)

= ��

� × 104

= 1.300

Jadi, jumlah semua bilangan dalam deret

tersebut adalah 1.300.

b. Deret bilangan yang habis dibagi 4 dan 5 dari

deret tersebut adalah 20 + 40 + 60 + 80 + 100.

b = 40 – 20

= 20

n = 5

Sy

= jumlah bilangan dari deret tersebut yang

habis dibagi 4 dan 5

Sn

=

�(a + U

n)

Sy

= �

�(20 + 100)

= �

� × 120

= 300

Jadi, jumlah bilangan dari deret tersebut yang

habis dibagi 4 dan 5 adalah 300.

5. Misalkan bilangan-bilangan itu a, a + b, a + 2b,

a + 3b, a + 4b.

Jumlah 5 bilangan aritmetika = 75 sehingga:a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) = 75

⇔ 5a + 10b = 75

⇔ a + 2b = 15

⇔ a = 15 – 2b

. . . (1)

Hasil kali bilangan terkecil dan terbesar = 161.

a(a + 4b) = 161

⇔ a2 + 4ab = 161 . . . (2)


(2).

(15 – 2b)2 + 4(15 – 2b)b = 161

⇔ 225 – 60b + 4b2 + 60b – 8b2 = 161

⇔ 225 – 4b2 = 161

⇔ –4b2 = –64

⇔ b2 = 16

⇔ b = ± 4

Untuk b = 4 maka a = 15 – 2(4) = 7

Untuk b = –4 maka a = 15 – 2(–4) = 23

Barisan tersebut: 7, 11, 15, 19, 23, atau 23, 19,

15, 11, 7.

Jadi, selisih bilangan terbesar dan terkecil

23 – 7 = 16.

2. Jawaban: b

�

�

= ��

��

⇔ ��

= r3

⇔ 8 = r3

⇔ r = 2

Substitusikan r = 2 ke dalam persamaan U2 = ar.

U2

= ar

⇔ 8 = 2a

⇔ a = 4

U7

= ar6 = 4 × 26 = 4 × 64 = 256

Jadi, suku ke-7 barisan tersebut 256.

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: e

a = 125

r = �

�

= ��

�� =

�

�

Un

= arn – 1

= 125 × �

�

�

−

= 53 × (5–1)n – 1

= 53 × 5–n + 1

= 5–n + 4

Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut 5–n + 4.


3. Jawaban: a

Un = arn – 1

U5 = ar4

⇔ 48 = ar4 . . . . (1)

U8 = ar7

⇔ –384 = ar4 × r3

⇔ –384 = 48 × r3

⇔ r3 = –8

⇔ r = � − = –2

Substitusikan r = –2 ke dalam persamaan (1).

48 = a(–2)4

⇔ a = �

��

⇔ a = 3

U4 + U6 = ar3 + ar5

= 3(–2)3 + 3(–2)5

= –24 – 96 = –120

Jadi, nilai U4 + U6 sama dengan –120.

4. Jawaban: a

Un = arn – 1

�

�

=

�

�

��

��

⇔ ��

� = r2

⇔ 9 = r2

⇔ r = 3 (karena suku-sukunya positif)

U3 = ar2

⇔ 18 = a × 9

⇔ a = 2

U7 = ar6

= 2 × 36

= 2 × 729 = 1.458

Jadi, suku ketujuh barisan tersebut adalah 1.458.

5. Jawaban: e

�

�

= �

�

⇔ �

�� =

�

�

⇔ x2 = (4x + 64) �

⇔ x2 = ��

� + 8x

⇔ 2x2 = x2 + 16x

⇔ x2 – 16x = 0

⇔ x(x – 16) = 0

⇔ x = 0 atau x = 16

Diambil x = 16 karena disyaratkan x > 0.

Jumlah ketiga suku

= (4x + 64) + x + �

= (4 × 16 + 64) + 16 + ��

= 128 + 16 + 2 = 146

Jadi, jumlah ketiga suku tersebut 146.

6. Jawaban: a

2 + 22 + 23 + . . . + 2x + 1 = 8.190

a = 2

r = �

�

=

��

� =

�

� = 2

Sn

= ��

� �

−−

⇔ 8.190 = ��

� �

−−

⇔ 8.190 = 2(2n – 1)

⇔ 4.095 = 2n – 1

⇔ 2n = 4.095 + 1

⇔ 2n = 4.096

⇔ 2n = 212

⇔ n = 12

Banyak suku deret = n = 12, sedangkan suku

terakhirnya adalah 2x + 1.

Diperoleh:

2x + 1 = 212

⇔ x + 1 = 12

⇔ x = 11


7. Jawaban: b

U3 = U1r2

⇔ 6 = U1r2

U7 = U1r6

⇔ 96 = U1r6

⇔ 96 = U1r2 · r4

⇔ 96 = 6 · r4

⇔ r4 = 16

⇔ r = ±2

Untuk r = 2 ⇒ U3 = U1 × 22

⇔ 6 = U1 × 4

⇔ U1 = �

�U9 = U1r

8

= �

� × 28 = 384

Jadi, suku ke-9 barisan tersebut 384.

8. Jawaban: d

Misalkan 5 suku awal barisan aritmetika tersebut

a – 2b, a – b, a, a + b, a + 2b.

(a – 2b) + (a – b) + a + (a + b) + (a + 2b) = 40

⇔ 5a = 40

⇔ a = 8

Barisan aritmetika menjadi:

8 – 2b, 8 – b, 8, 8 + b, 8 + 2b

Barisan geometri:

8 – 2b, (8 – b) + 2, 8 + 8

⇔ 8 – 2b, 10 – b, 16

r = ��

��

−− atau r =

��

�� −


Diperoleh:

��

��

−− =

��

�� −⇔ (10 – b)2 = (8 – 2b)16

⇔ 100 – 20b + b2 = 128 – 32b

⇔ b2 + 12b – 28 = 0

⇔ (b + 14)(b – 2) = 0

⇔ b = –14 atau b = 2

Diambil b = 2 karena disyaratkan b > 0.

U5 – U3 = (U1 + 4b) – (U1 + 2b)

= 2b = 4

Jadi, selisih suku ke-5 dan suku ke-3 adalah 4.

9. Jawaban: d

Misalkan ketiga bilangan tersebut a, ar, dan ar2.

a + ar + ar2 = 21 . . . (1)

a × ar × ar2 = 216

⇔ a3r3 = 216

⇔ ar = 6

⇔ a = �

�. . . (2)


(1).

a + ar + ar2 = 21

⇔ �

� +

�

� × r +

�

� × r2 = 21

⇔ �

� + 6 + 6r = 21

⇔ 6 + 6r + 6r2 = 21r

⇔ 6r2 – 15r + 6 = 0

⇔ 2r2 – 5r + 2 = 0

⇔ (2r – 1)(r – 2) = 0

⇔ 2r – 1 = 0 atau r – 2 = 0

⇔ r = �

� atau r = 2

Untuk r = �

� diperoleh a = 12

Barisannya: 12, 6, 3

Untuk r = 2 diperoleh a = 3

Barisannya: 3, 6, 12

Jadi, selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah

12 – 3 = 9.

10. Jawaban: a

Un = arn – 1

�

�

=

��

��

⇔ ��

�= r3

⇔ 8 = r3

⇔ r = 2

U2 = ar

⇔ 4 = a × 2

⇔ a = 2

U7 = ar6

= 2 × 26

= 27 = 128

Jadi, suku ketujuh deret tersebut adalah 128.

11. Jawaban: e

�

�

=

��

��

⇔ ��

��= r4

⇔ r4 = 16

⇔ r = 2

ar = 10

⇔ a × 2 = 10

⇔ 2a = 10

⇔ a = 5

Sn =

��

� �

−−

S9

= ��

� �

−−

= ��

�

−

= 5 × 511 = 2.555

Jadi, jumlah 9 suku pertama deret tersebut 2.555.

12. Jawaban: c

a = –2

r = �

�

= �

�− = –2

S∞ = �

� �−

= �

� �

−+

= –�

�

Jadi, jumlah dari deret tak hingga tersebut –�

�.

13. Jawaban: d

Diketahui U1 = 3 dan U2 = �

�

r = �

�

=

�

�

� =

�

�

S∞ = �

� �− = �

�

�

�− = �

�

� = 6

Jadi, jumlah dari deret geometri tak hingga tersebut

adalah 6.

14. Jawaban: d

S∞ = �

� �−

⇔ 3 = �

� �−

⇔ 3(1 – r) = 2

⇔ 3 – 3r = 2

⇔ 3r = 3 – 2


⇔ 3r = 1

⇔ r = �

�

Jadi, rasio deret tersebut �

�.

15. Jawaban: e

U7 = �

U4

⇔ ar6 = �

× ar3

⇔ r3 = �

⇔ r = �

�

Suku kelima = 1

U5 = 1

⇔ ar4 = 1

⇔ a�

�

�

= 1

⇔ a × �

��= 1

⇔ a = 16

S∞ = �

� �−= �

�

��

�−

= �

�

�� = 32

Jadi, jumlah deret tak hingga tersebut 32.

B. Uraian

1. a. U1 = k – 2, U

2 = 2k, dan U

3 = 6k

�

�

= �

�

⇔��

� �− = ��

��

⇔��

� �− = 3

⇔ 2k = 3k – 6

⇔ k = 6

Jadi, nilai k adalah 6.

b. a = U1 = k – 2 = 6 – 2 = 4

U6

= ar5

= 4 × 35

= 4 × 243 = 972

Jadi, U6 adalah 972.

2. Diketahui a = 12, r = –2, dan Sn = –16.380

Sn = ��

� �

−−

⇔ Sn

= ��

�

− −

⇔ –16.380 = ��

�

− −

⇔ –16.380 = 4(1 – (–2)n)

⇔ –4.095 = 1 – (–2)n

⇔ –4.096 = –(–2)n

⇔ (–2)n = 4.096

⇔ (–2)n = (–2)12

⇔ n = 12

Jadi, banyak suku deret tersebut adalah 12.

3. S∞ = �

� �−

⇔ 9 = �

�

�

�−

⇔ 9 = �

�

�

⇔ a = 9 × �

�

⇔ a = 6

U4

= ar3

= 6 × (�

�)3

= 6 × �

�� =

�

�

Jadi, suku pertamanya = 6 dan suku ke-4 = �

�.

4. S∞ = 5,U1 = 3x + 4

S∞ = �

� �−

⇔ 5 = ��

� �−⇔ 5 – 5r = 3x + 4

⇔ 5r = –3x + 1

⇔ r = ��

�

−

Deret geometri tak hingga tersebut mempunyai

jumlah (nilai limit) jika nilai rasionya antara –1 dan

1(–1 < r < 1).

Diperoleh:

��

�

−> –1

⇔ –3x + 1 > –5

⇔ –3x > –6

⇔ –x > –2

⇔ x < 2 . . . (1)

��

�

−< 1

⇔ –3x + 1 < 5

⇔ –3x < 4

⇔ x > –�

�. . . (2)

Dari pertidaksamaan (1) dan (2) diperoleh batasan

nilai x adalah –�

�< x < 2.

Jadi, himpunan nilai x yang memenuhi, yaitu

{x | –�

� < x < 2}.


5. Luas persegi yang paling besar:

p × p = p2

Luas persegi II: �

�p2

Luas persegi III: �

�p2, dan seterusnya.

Jumlah luas semua persegi:

p2 + �

�p2 +

�

�p2 + . . .

Diperoleh deret geometri tak hingga dengan

a = U1 = p2 dan r =

�

�.

S∞ = �

� �−

= �

�

�

�

�− =

�

�

�

� = 2p2

Jadi, jumlah luas persegi yang terbentuk 2p2.

A. Pilihlan Ganda

1. Jawaban: e

U1

= 120.000.000 – 5% × 120.000.000

= 120.000.000 – 6.000.000

= 114.000.000

U2

= U1 – 5% × 120.000.000

= 114.000.000 – 5% × 120.000.000

= 114.000.000 – 6.000.000

= 108.000.000

U3

= U2 – 5% × 120.000.000

= 108.000.000 – 5% × 120.000.000

= 108.000.000 – 6.000.000

= 102.000.000

Jadi, harga jual mobil Pak Andi pada tahun ke-3

adalah Rp102.000.000.

2. Jawaban: d

Misalkan: U1 = suhu benda pada menit ke-1

U2 = suhu benda pada menit ke-6



Suhu benda pada menit ke-21 = U5

U3 = 75, U5 = 69

Un = U1 + (n – 1)b, diperoleh:

U3 = U1 + 2b

⇔ 75 = U1 + 2b

⇔ U1 = 75 – 2b . . . (1)

U5 = U1 + 4b

⇔ 69 = U1 + 4b

⇔ U1 = 69 – 4b . . . (2)

Dari persamaan (1) dan persamaan (2) diperoleh:

75 – 2b = 69 – 4b

⇔ 6 = –2b

⇔ b = –3

U1 = 75 – 2b

= 75 – 2(–3) = 75 + 6 = 81

Jadi, suhu benda mula-mula 81°C.

3. Jawaban: d

a = 20

b = 2

n = 30

Sn =

�(2a + (n – 1)b)

S30

= ��

�(2 × 20 + (30 – 1)2)

= 15(40 + 58)

= 15 × 98

= 1.470

Jumlah seluruh kursi di gedung tersebut 1.470 buah.

4. Jawaban: c

Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan

deret aritmetika.

Diketahui: U1 = 12

b = 15 – 12 = 3

n = 12

Sn =

�(2U1 + (n – 1)b)

⇔ S12

= ��

�(2U

1 + (11 × 3))

⇔ S12

= 6(24 + 33)

⇔ S12

= 6 × 57

⇔ S12

= 342

Hasil penjualan mangga = 342 × 10.000

= 3.420.000

Jadi, hasil penjualan mangga selama 12 hari

pertama adalah Rp3.420.000,00.

5. Jawaban: b

Dari permasalahan di atas diketahui sebagai

berikut.

Sn = S

6 = 81

Un = U

6 = 6

n = 6

Nilai suku pertama (a) dan beda (b) dapat ditentu-

kan sebagai berikut.

Sn

=

�(a + U

n)

⇔ 81 = �

�(a + 6)

⇔ 81 = 3(a + 6)

⇔ 27 = a + 6

⇔ a = 21


U6

= a + 5b

⇔ 6 = 21 + 5b

⇔ –15 = 5b

⇔ b = –3

Bagian untuk anak ketiga = U3

U3 = a + 2b = 21 + 2 × (–3) = 21 – 6 = 15

Jadi, anak ketiga mendapat bagian sebanyak 15

ekor.

6. Jawaban: c

Penduduk yang belum bekerja pada tahun 2004

= 20% × 1.000.000

= 200.000

Diperoleh U1 = 200.000

U2 = U1 – 50% × U1

= U1 × (1 – 50%) = �

�U1

U3 = U2 – 50%U2

= �

�U1 – 50%(

�

�U1)

= �

�U1 (1 – 50%) =

��

�

U1

Diperoleh r = �

�

�

� =

�

�

Tahun 2012 → n = ��

�

− + 1 = 5

U5 = U1r5 – 1

= 200.000 × �

�

�

= 200.000 × �

�� = 12.500

Jadi, penduduk yang belum bekerja pada tahun

2012 sebanyak 12.500 jiwa.

7. Jawaban: a

Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan

deret aritmetika.

Diketahui S12 = 306.000 dan S18 = 513.000

Sn =

�(2a + (n – 1)b)

⇔ S12 = ��

�(2a + 11b)

⇔ 306.000 = 6(2a + 11b)

⇔ 2a + 11b = 51.000 . . . (1)

S18 = �

�(2a + 17b)

⇔ 513.000 = 9(2a + 17b)

⇔ 57.000 = 2a + 17b . . . (2)


2a + 11b = 51.000

2a + 17b = 57.000––––––––––––––– – –6b = –6.000

⇔ b = 1.000

2a + 11b = 51.000

⇔ 2a + 11 × 1.000 = 51.000

⇔ 2a = 40.000

⇔ a = 20.000

U15 = a + 14b = 20.000 + 14 × 1.000 = 34.000

Jadi, uang yang ditabung pada hari ke-15 adalah

Rp34.000,00.

8. Jawaban: e

Sisa pembayaran = 14.000.000 – 6.000.000

= 8.000.000

Waktu pembayaran = 2 × 12 bulan

= 24 bulan

M0 = 8.000.000

Mt = M0(1 + pt)

⇔ M24 = 8.000.000(1 + 3% × 24)

= 8.000.000��

��

= 8.000.000(1,72)

= 13.760.000

Jadi, besar angsuran yang harus dibayarkan

Rp13.760.000,00.

9. Jawaban: e

Mt

= M0(1 + p)t

M3

= 2.000.000(1 + 3%)3

= 2.000.000(1,03)3

= 2.000.000 × 1,0927 = 2.185.400

Jadi, uang Linda setelah tiga tahun menjadi

Rp2.185.400,00.

10. Jawaban: c

Mt = M0(1 + pt)

⇔ 22.610.000 = 17.000.000(1 + 5,5% × t)

⇔ 1 + ��

��=

��

��

⇔ ��

��=

��

�� –

��

��

⇔ ��

��=

��

��

⇔ 9.350t = 56.100

⇔ t = 6

Jadi, uang Bu Hindun akan menjadi Rp22.610.000,00

setelah 6 tahun.

B. Uraian

1. a. Barisan geometri:

1, 2, 4, 8, . . .

↓ ↓ ↓↓ U1 U2 U3

Nilai awal

Banyak bagian karton setelah pemotongan

pertama, kedua, ketiga, dan seterusnya

= 2, 4, 8, . . . .

a = U1 = 2

r = 2

Un

= arn – 1 = 2 × 2n – 1 = 2n

U6

= 26 = 64

Jadi, banyak bagian karton setelah pemotongan

keenam ada 64 potong.


4. a. Bunga pada bulan kesepuluh = 960.000

B = M0 · p · t

⇔ 960.000 = M0 · p · 10

⇔ M0 · p = 96.000

Jumlah pinjaman setelah 1 tahun 3 bulan =

9.440.000

1 tahun 3 bulan = 15 bulan

Mt = M

0(1 + pt)

⇔ Mt= M

0 + M

0 · p · t

M15

= M0 + 96.000 × 15

⇔ 9.440.000 = M0 + 1.440.000

⇔ M0= 8.000.000

Jadi, besar uang yang dipinjam Pak Abdullah

Rp8.000.000,00.

b. B = M0 · p · t

⇔ p = �

�

� �⋅ × 100%

⇔ p = ��

�� × × 100%

⇔ p = 1,2%

Jadi, suku bunga yang diberlakukan oleh

bank tersebut 1,2% per bulan.

5. M0 = 5.000.000

p = 10% per tahun

Mt = 7.320.500

Mt= M

0(1 + p)t

⇔ M0

= ��

�

�� +

⇔ M0

= Mt(1 + p)–t

⇔ 5.000.000 = 7.320.500(1 + 0,1)–t

⇔ (1,1)–t = ��

��

⇔ (1,1)–t = 0,684013455

⇔ log (1,1)–t = log (0,684013455)

⇔ –t log (1,1) = –0,16557074

⇔ –t × 0,041392685 = –0,16557074

⇔ –t = –4

⇔ t = 4

Jadi, jangka waktunya 4 tahun.

b. Un = 2n

⇔ 256 = 2n

⇔ n = 8

Jadi, karton tersebut terbagi menjadi 256

bagian pada pemotongan ke-8.

2. Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan

deret aritmetika.

Diketahui a = 15.000

b = 6.000

Sn = 495.000

Sn =

�(2a + (n – 1)b)

⇔ 495.000 =

�(2 × 15.000 + (n – 1)6.000)

⇔ 495.000 = n(15.000 + (n – 1)3.000)

⇔ 495.000 = n(15.000 + 3.000n – 3000)

⇔ 495.000 = n(12.000 + 3.000n)

⇔ 3.000n2 + 12.000n – 495.000 = 0

⇔ n2 + 4n – 165 = 0

⇔ (n + 15)(n – 11) = 0

⇔ n = –15 atau n = 11

Dipilih n = 11 karena n merupakan bilangan bulat

positif.

Jadi, Dina harus menabung selama 11 minggu.

3. Dari permasalahan tersebut diperoleh barisan

geometri dengan r = �

�.

Ketinggian pantulan pertama = U1 =

�

� × 4 = 3 m.

Ketinggian pantulan kedua = U2 =

�

� × U

1 =

�

� m.

Ketinggian pantulan ketiga = U3 =

�

� × U

2 =

��

�� m,

dan seterusnya.

S∞ = ��

� �− =

�

�

�

�− =

�

�

� = 12

Jadi, jumlah ketinggian pantulan bola hingga bola

berhenti adalah 12 m.

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: d

Un = a + (n – 1)b

⇔ U5 = a + 4b

⇔ –3 = a + 4b . . . (1)

U9 = a + 8b

⇔ 9 = a + 8b . . . (2)


a + 4b = –3

a + 8b = 9–––––––––– – –4b = –12

⇔ b = 3

b = 3 ⇒ a + 4b = –3

⇔ a + 12 = –3

⇔ a = –15


3U12 = 3(a + 11b)

= 3(–15 + 11 × 3)

= 3 × 18

= 54

2. Jawaban: b

U4 + U7 + U10 = –66

⇔ (a + 3b) + (a + 6b) + (a + 9b) = –66

⇔ 3a + 18b = –66

⇔ 3(a + 6b) = –66

⇔ a + 6b = –22

⇔ U7 = –22

Jadi, U7 = –22.

3. Jawaban: b

U1 + U4 + U6 + U8 = 32

⇔ (U1 + b) + (U1 + 3b) + (U1 + 5b) + (U1 + 7b)

= 32

⇔ 4U1 + 16b = 32

⇔ 4U1 + 16 × 5 = 32

⇔ 4U1 = –48

⇔ U1 = –12

Misalkan k = beda barisan aritmetika ke-2,

diperoleh:

V2 + V4 + V6 + V8 = 52

⇔ (V1 + k) + (V1 + 3k) + (V1 + 5k) + (V1 + 7k)

= 52

⇔ 4V1 + 16k = 52

⇔ 4V1 + 16 × 4 = 52

⇔ 4V1 = –12

⇔ V1 = –3

(U1 + U3 + U5) – (V1 + V3 + V5)

= (–12 + (U1 + 2b) + (U1 + 4b)) – (–3 + (V1 + 2k)

+ (V1 + 4k))

= (–12 + (–12 + 10) + (–12 + 20)) – (–3 + (–3 + 8)

+ (–3 + 16))

= (–36 + 30) – (–9 + 24)

= –6 – 15 = –21

Jadi, (U1 + U3 + U5) – (V1 + V3 + V5) = –21.

4. Jawaban: d

Un = U1 + (n – 1)b

U5 = U1 + 4b

⇔ –4 = U1 + 4b . . . (1)

U9 = U1 + 8b

⇔ –16 = U1 + 8b . . . (2)

Eliminasi U1 dari persamaan (1) dan persamaan (2).

U1 + 4b = –4

U1 + 8b = –16–––––––––––– – –4b = 12

⇔ b = –3

Substitusikan b = –3 ke dalam persamaan (1).

U1 + 4(–3) = –4

⇔ U1 = 8

U20 = U1 + 19b

= 8 + 19(–3) = –49

S20 = ��

�(U1 + U20)

= 10(8 + (–49)) = –410

Jadi, jumlah 20 suku pertama deret tersebut –410.

5. Jawaban: a

Sn =

�

�n(11 – n)

= �

�(11n – n2)

Sn – 1

= �

�(n – 1)(11 – (n – 1))

= �

�(n – 1)(12 – n)

= �

�(13n – n2 – 12)

Un = S

n – S

n – 1

= �

�(11n – n2) – (13n – n2 – 12)

= �

�((11n – n2 – 13n + n2 + 12))

= �

�(–2n + 12) = 6 – n

Jadi, rumus suku ke-n adalah 6 – n.

6. Jawaban: e

a2 – a1 = –p + 9 – (2p + 25)

= –p + 9 – 2p – 25 = –3p – 16

a3 – a2 = 3p + 7 – (–p + 9)

= 3p + 7 + p – 9 = 4p – 2

an + 1 – an selalu sama (konstan)

a2 – a1 = a3 – a2 ⇒ –3p – 16 = 4p – 2

⇔ 7p = –14

⇔ p = –2

a3 – a2 = 4 × (–2) – 2 = –10

a1 = 2 × (–2) + 25 = 21

Barisan yang dimaksud adalah barisan aritmetika

dengan a = 21 dan b = –10.

S10 = ��

�(2a + 9b)

= 5(2 × 21 – 9 × (10)) = –240

Jadi, jumlah semua bilangan –240.

7. Jawaban: a

S5

= 325

⇔ �

�(2a + (5 – 1)b) = 325

⇔ �

�(2a + 4b) = 325

⇔ 5a + 10b = 325

⇔ a + 2b = 325 . . . (1)

U1 + U

4 + U

13= 52

⇔ a + a + 3b + a + 12b = 52

⇔ 3a + 15b = 52

⇔ a + 5b = 26 . . . (2)



a + 2b = 65

a + 5b = 26–––––––––– –

–3b = 39

⇔ b = –13 . . . (3)

Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (1).

a + 2b = 65

⇔ a + 2(–13) = 65

⇔ a – 26 = 65

⇔ a = 65 + 26

⇔ a = 91

Jadi, suku pertama deret tersebut 91.

8. Jawaban: b

Diketahui deret aritmetika dengan:

n = 12

U12 = 200

S12 = 30

Sn =

�(a + Un)

S12 = ��

�(a + U12)

⇔ 30 = 6(a + 200)

⇔ 5 = a + 200

⇔ a = –195

Jadi, suku pertamanya –195.

9. Jawaban: d

Sn

=

�(2a + (n – 1)b)

⇔ S14

= ��

�(2a + (14 – 1)b)

⇔ 252 = 7(2a + (14 – 1)b)

⇔ 36 = 2a + 13b

U3 + U

6 + U

9 + U

12

= a + 2b + a + 5b + a + 8b + a + 11b

= 4a + 26b

= 2(2a + 13b)

= 2 × 36

= 72

Jadi, nilai U3 + U

6 + U

9 + U

12 adalah 72.

10. Jawaban: c

U3 = 950

⇔ a + 2b = 950

⇔ a + 2 · 25 = 950

⇔ a + 50 = 950

⇔ a = 900

Banyak karyawan pada tahun kelima belas = U15

.

U15

= a + 14b

= 900 + 14 · 25

= 900 + 350 = 1.250

Jadi, banyak karyawan sekarang 1.250 orang.

11. Jawaban: b

Un = arn – 1

�

�

�

�=

�

�

��

��

⇔��

�

�

��

�� = r3

⇔��

�

�

�

�

�

= r3

⇔��

��

−

= r3

⇔ 8x3 = r3

⇔ (2x)3 = r3

⇔ r = 2x

U3 = 4x2 �

⇔ ar2 = 4x2 �

⇔ a(2x)2 = 4x2 �

⇔ a × 4x2 = 4x2 �

⇔ a = �

Jadi, suku pertama barisan adalah � .

12. Jawaban: e

�

�

�

�= �

�

�

�

⇔��

��

+− =

� ��

��

++

⇔ (2k + 1)(2k + 1) = (k + 10)(4k – 1)

⇔ 4k2 + 4k + 1 = 4k2 + 39k – 10

⇔ 35k = 11

⇔ k = ��

��

Jadi, nilai k adalah ��

��.

13. Jawaban: d

a = 2

r = �

�

�

� =

�

� = 3

Ut= � � �×

⇔ art – 1 = � ��×⇔ 2 × 3t – 1 = ��

⇔ 2 × 3t – 1 = 54

⇔ 3t – 1 = 27

⇔ 3t – 1 = 33

⇔ t – 1 = 3

⇔ t = 4

Jadi, suku tengahnya adalah suku ke-4.

14. Jawaban: d

�

�

�

�=

��

��

⇔ �

��= r2


⇔ �

�= r2

⇔ r = �

� (karena r > 0)

U2 = ar

⇔ 16 = a × �

�

⇔ a = 32

U9 = ar8 = 32 × (�

�)8

= 25 ×

�

� = �

�

� =

�

Jadi, suku ke-9 barisan tersebut adalah �

.

15. Jawaban: a

�

�

�

� = �

�

��

��

⇔ ��

�= r3

⇔ r3 = 27

⇔ r = 3

ar2 = 18

⇔ a × 32 = 18

⇔ a × 9 = 18

⇔ 9a = 18

⇔ a = 2

U8

= ar7 = 2 × 37 = 2 × 2.187 = 4.374

Jadi, suku kedelapan adalah 4.374.

16. Jawaban: d

Barisan geometri:

U1, U

2, U

3, U

4, U

5, U

6

S6 = 781�

�

S5 = 156�

�

U6 = S6 – S5

⇔ ar5 = 781�

� – 156

�

�

⇔ ar5 = 625 . . . (1)

Jumlah 5 suku terakhir = 781

S6 – U

1= 781

⇔ 781�

� – a = 781

⇔ a = �

�. . . (2)

Substitusikan a = �

� ke (1).

ar5 = 625

⇔ �

� × r5 = 625

⇔ r5 = 3.125

⇔ r = � ��

⇔ r = 5

Jadi, rasio deret tersebut 5.

17. Jawaban: b

�

�

�

� = ��

��

⇔ ��

��= r2

⇔ r2 = 4

⇔ r = 2

⇔ U2

= 40

⇔ ar = 40

⇔ 2a = 40

⇔ a = 20

Un

= 160

⇔ arn – 1 = 160

⇔ 20(2)n – 1 = 160

⇔ 2n – 1 = 8

⇔ 2n – 1 = 23

⇔ n – 1 = 3

⇔ n = 4

S4

= ��

� �

−−

= ��

�

− = 20 × 15 = 300

Jadi, jumlah n suku pertamanya 300.

18. Jawaban: b

U1 = 18

U2 = 6

r = �

�

�

� =

�

� =

�

�

S∞ = ��

� �−= �

�

�

�− = 27

Jadi, jumlah suku-suku deret tersebut adalah 27.

19. Jawaban: e

x2 + 2x – 8 = 0

⇔ (x + 4)(x – 2) = 0

⇔ x1 = –4 atau x2 = 2

Diperoleh:

U1 = –4 dan U2 = 2

r = �

�

�

� =

�

�− = –

�

�

U8 = ar7

U8 = –4 × (–�

�)7 = –4 × (–

�

��) =

�

��

Jadi, suku ke-8 barisan tersebut �

��.

20. Jawaban: b

Un = 3–n

U1 = a = 3–1

U2 = 3–2

r = �

�

�

� =

�

�

�

�

−

− = 3–1

S∞ = �

� �−=

�

�

�

� �

−

−− =

�

��

��−

= �

��

�

= �

�

Jadi, jumlah tak hingga deret tersebut �

�.


21. Jawaban: c

Diketahui n = banyak potongan tali = 5, U1 = 6,

dan U5 = 96.

U5 = U1r4

⇔ 96 = 6r4

⇔ r4 = 16

⇔ r = 2

Sn =

��

� �

−−

⇔ S5 = ��

� �

−−

⇔ S5 = 6 × 31

⇔ S5 = 186

Jadi, panjang tali semula 186 cm.

22. Jawaban: b

Luas persegi-persegi tersebut membentuk barisan

geometri dengan S∞ = 640.

r = �

�

�

� = �

��

�

� � = �

� ��

� =

�

�

S∞ = �

� �−

⇔ 640 = �

�

�

�−

⇔ 640 = ��

�

�

⇔ a = 640 × �

�

⇔ a = 160

U3 = ar2 = 160 × �

�

�

= 160 × �

�� = 90

U3 = luas persegi ketiga

s3 = �� = �� = 3 �� cm

Jadi, sisi persegi ketiga adalah 3 �� cm.

23. Jawaban: b

�

�

�

� =

�

�

��

��⇔

�

��

�

= r2

⇔ �

��= r2

⇔ r = �

�

U3 = ar2

⇔ �

�= a × (

�

�)2

⇔ a = �

� × 25

⇔ a = 15

S∞ = �

� �− = ��

��

�−

= ��

�

�

= 15 × �

� =

��

� = 18

�

�

Jadi, jumlah seluruh suku barisan tersebut adalah

18�

�.

24. Jawaban: a

Diketahui S10 = 145.000

U4 + U9 = 5U3

⇔ (a + 3b) + (a + 8b) = 5(a + 2b)

⇔ 2a + 11b = 5a + 10b

⇔ 3a = b . . . (1)

Sn =

�(2a + (n – 1)b)

⇔ S10 = ��

�(2a + 9b)

⇔ 145.000 = 5(2a + 9 × 3a)

⇔ 29.000 = 2a + 27a

⇔ 29.000 = 29a

⇔ a = 1.000

Jadi, uang yang ditabung pada bulan pertama

adalah Rp1.000,00.

25. Jawaban: e

U1 = a = 100.000

U2 = 150.000

b = 150.000 – 100.000 = 50.000

n = 12

U12

= a + 11b

= 100.000 + 11 × 50.000

= 100.000 + 550.000 = 650.000

S12

= ��

�(U

1 + U

12)

= 6(100.000 + 650.000)

= 6 × 750.000 = 4.500.000

Jadi, tabungan Vivi setelah satu tahun

Rp4.500.000,00.

26. Jawaban: c

Nilai jual laptop setiap tahun membentuk barisan

geometri dengan r = �

�.

Nilai awal = 8.000.000

U1 = �

� × 8.000.000 = 6.000.000

Nilai jual setelah dipakai 3 tahun = U3

U3 = ar2 = 6.000.000 ·

��

�

= 3.375.000

Jadi, nilai jual laptop setelah dipakai 3 tahun sebesar

Rp3.375.000,00.

27. Jawaban: d

Tali terpendek = U1 = a = 3

n = 5

U5

= ar4

⇔ 48 = 3r4

⇔ 16 = r4

⇔ r = 2

Sn

= ��

� �

−− =

��

� �

−− = 3(32 – 1) = 3 × 31 = 93

Jadi, panjang tali semula adalah 93 cm.


28. Jawaban: d

M0 = Rp2.000.000,00; p = 10%; n = 5

B = M0 × p × n = 2.000.000 × 10% × 5 = 1.000.000

Jadi, besarnya bunga pada akhir tahun ke-5

adalah Rp1.000.000,00.

29. Jawaban: b

Diketahui barisan geometri dengan n = 6, U1 = 4,

dan U6 = 128.

Diperoleh:

U6 = U

1r5

⇔ 128 = 4r5

⇔ r2 = 32

⇔ r = 2

Sn =

��

� �

−−

⇔ S6 =

��

� �

−−

⇔ S6 = 4 × 63

⇔ S6 = 252

Panjang susunan potongan pita = 252 – 4

= 248 cm

Jadi, panjang susunan pita adalah 248 cm.

30. Jawaban: c

t = 5 × 2 semester = 10 semester

Mt = M

0(1 + p)t

M10

= 10.000.000(1 + 2%)10

= 10.000.000(1,02)10

≈ 12.189.944

Jadi, nilai akhir modal Bu Leni setelah 5 tahun

sekitar Rp12.189.944,00.

B. Uraian

1. a. U1 + U

3 + U

6 + U

10= 80

⇔ U1 + (U1 + 2b) + (U1 + 5b) + (U1 + 9b) = 80

⇔ 4U1 + 16b = 80

⇔ U1 + 4b = 20

⇔ U5 = 20

Jadi, suku kelima barisan adalah 20.

b. 3U1 + 12b = 3(U1 + 4b)

= 3 × 20

= 60

Jadi, nilai 3U1 + 12b = 60.

2. Un = U

1rn – 1

U1 × U3 × U5 = 27

⇔ U1 × (U1r2) × (U1r

4) = 27

⇔ (U1)3 × r6 = 27

⇔ (U1r2)3 = 27

⇔ U1r2 = 3

⇔ U3 = 3

Jadi, U3 adalah 3.

3. a. Barisan geometri

a + 1, a – 2, a + 3

�

�

�

�= �

�

�

�

⇔ � �

� �

−+ =

� �

� �

+−

⇔ (a – 2)2 = (a + 1)(a + 3)

⇔ a2 – 4a + 4 = a2 + 4a + 3

⇔ 8a = 1

⇔ a = �

Jadi, nilai a adalah �

.

b. a + 1 = �

+ 1 =

�

a – 2 = �

– 2 = –

��

a + 3 = �

+ 3 =

��

Barisan aritmetika yang terbentuk:

�

, –

��

,

��

+ x

Diperoleh: U2 – U1 = U3 – U2

⇔ –��

–

�

=

��

� +

– ��

−

⇔ –��

=

��

+ x

⇔ 5 + x = –3⇔ x = –8Jadi, nilai x adalah –8.

4. Misalkan bilangan tersebut a, a + b, a + 2b.a + (a + b) + (a + 2b) = 102

⇔ 3a + 3b = 102⇔ a + b = 34⇔ a = 34 – bBarisan geometri yang terbentuk adalaha, a + b – 18, a + 2b.

Pada barisan geometri berlaku:

r = � � �

�

+ − =

� ��

� � �

++ −

Diperoleh:

� � �

�

+ −=

� ��

� � �

++ −

⇔ ��

��

− + −− =

��

��

− +− + −

⇔ ��

�� − = ��

��

+

⇔ (34 – b)(34 + b) = 256

⇔ 1.156 – b2 = 256

⇔ b2 = 900⇔ b = 30b = 30 ⇒ a = 34 – b = 4Barisan aritmetika tersebut sebagai berikut.a, a + b, a + 2b⇔ 4, 34, 64Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah 4, 34, dan 64.


8. Jarak pendulum setiap ayunan membentuk deret

geometri tak hingga dengan a = 50 cm dan r = �

��.

S∞ = �

��

��

�− =

�

��

�� = 500 cm = 5 m

Jadi, seluruh jarak ayunan pendulum 5 m.

9. B = M0 · p · t

⇔ 280.000 = M0 × 3,5% × 1

⇔ M0 = ��

�� × 280.000

⇔ M0 = 8.000.000

Mt = M0(1 + pt)

⇔ M3 = 8.000.000(1 + 3,5% × 3)

= 8.000.000(1,105)

= 8.840.000

Jadi, jumlah uang yang diterima Pak Malik

Rp8.840.000,00.

10. M0 = 1.000.000 = 106

Mt = 1.464.100 = 1,4641 × 106

Mt = M

0(1 + p)t

M0

= Mt(1 + p)–t

⇔ 106 = 1,4641 × 106 (1 + 10%)–t

⇔ log 106 = log 1,4641 × 106 (1,1)–t

⇔ log 106 = log 1,4641 + log 106 – t log(1,1)

⇔ 6 = 0,1656 + 6 – (0,0414)t

⇔ (0,0414)t = 0,1656 + 6 – 6

⇔ (0,0414)t = 0,1656

⇔ t = ��

��

⇔ t = 4

Jadi, jangka waktunya 4 tahun.

5. a. Banyak barang yang diproduksi pada tahun

1998 = a = U1 = 3.600.

Banyak barang yang diproduksi pada tahun

2010 = U2010 – 1998

= U12

= 4.150.

Un = a + (n – 1)b

⇔ U12 = a + 11b

⇔ 4.150 = 3.600 + 11b

⇔ 11b = 550

⇔ b = 50

Jadi, besar peningkatan jumlah barang

produksi 50 unit per tahun.

b. 2014 – 1998 = 16

Sn =

�(2a + (n – 1)b)

S16 = 8(2 × 3.600 + 15 × 50) = 8(7.200 + 750)

= 8(7.950) = 63.600

Jadi, total barang yang diproduksi dari tahun1998 sampai 2014 sebanyak 63.600 unit.

6. Dari permasalahan di atas diketahui sebagai

berikut.

a = 6.000

b = 100

Un = 8.500

Un

= a + (n – 1) b

⇔ 8.500 = 6.000 + (n – 1)500

⇔ 8.500 = 6.000 + 500n – 500

⇔ 8.500 = 5.500 + 500n

⇔ 500n = 8.500 – 5.500

⇔ 500n = 3.000

⇔ n = 6

Jadi, perusahaan tersebut memproduksi 8.500 unit

tas pada tahun ke-6.

7. a = 500

r = ��

�� =

�

�

Jumlah jarak seluruhnya yang ditempuh oleh benda

tersebut sampai berhenti sebagai berikut.

S∞ = �

� �− = �

�

��

�− = �

�

�� = 2.500 m

Jadi, jumlah jarak seluruhnya yang ditempuh oleh

benda tersebut sampai berhenti 2.500 m.

124 Latihan Ujian Sekolah

Pilihlah jawaban yang tepat.

1. Jawaban: ePernyataan di atas berkuantor universal (∀), yaitu(∀x, p(x)) dengan:p(x): Tinggi peserta lebih dari 150 cm.~p(x): Tinggi peserta tidak lebih dari 150 cm.Ingkaran dari (∀x, p(x)) adalah ~(∀x, p(x)) ≡ (∃x,~p(x)).Jadi, negasi pernyataan di atas adalah ”Tinggibeberapa peserta tidak lebih dari 150 cm”.

2. Jawaban: bMisalkan: p : Cuaca cerah.

q : Lokasi wisata ramai pengunjung.Pernyataan tersebut dapat ditulis p ⇒ q.p ⇒ q ≡ ~p ∨ qJadi, pernyataan yang ekuivalen adalah ”Cuacatidak cerah atau lokasi wisata ramai pengunjung”.

3. Jawaban: eMisalkan: p: Nisa belajar dengan sungguh-

sungguh.q: Nisa dapat mengerjakan soal ujian.r: Nisa lulus ujian.

Premis 1: p ⇒ qPremis 2: q ⇒ r–––––––––––––––––Kesimpulan: p ⇒ rJadi, kesimpulan dari premis-premis di atas adalah”Jika Nisa belajar dengan sungguh-sungguh makaia lulus ujian”.

4. Jawaban: a12 3 2

1 2 36 a b9 a b

−− −

− − −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 13 2 2 3

29a b

6

−+ − +⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 15 19a b

36

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 15a b

4

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 54

a b

5. Jawaban: e( 2 3)2( 2 3)

3 5+ −

−= 2( 2 3)( 2 3)

3 5

+ −−

= 2(2 9)

3 5

−−

= 14

3 5

−−

= 14

3 5

−−

× 3 5

3 5

++

= 14(3 5)9 5

− +−

= –72 (3 + 5 )

6. Jawaban: b

n = 4log 5 × 25log 256 – 3 log 81

= 4log 5 × 52log 162 –

123 4log 3

= 4log 5 × 5log 16 – 12

4 × 3log 3

= 4log 16 – 8 × 3log 3= 2 – 8 × 1= –6

Jadi, n = –6.

7. Jawaban: cGrafik mempunyai titik puncak (1, 5) makapersamaan grafiknya: y = a(x – 1)2 + 5Grafik melalui titik (0, 3), berarti:3 = a(0 – 1)2 + 5 ⇔ a = –2y = –2(x – 1)2 + 5

= –2(x2 – 2x + 1) + 5= –2x2 + 4x + 3

Jadi, persamaan grafiknya y = –2x2 + 4x + 3.

8. Jawaban: dDari y = x2 – 4x – 45 diperoleh a = 1, b = –4, c = –45.Misalkan titik puncak grafik = (xP, yP).

xP = –b2a = – ( 4)

2 1−

⋅ = 2

yP = –D4a


= –2b 4ac

4a−

= –2( 4) 4 1 ( 45)

4 1− − × × −

×

= – 16 1804

+

= – 1964

= –49

Jadi, titik puncak grafik tersebut (2, –49).

9. Jawaban: cy = (x – 1)2 – 16

= x2 – 2x + 1 – 16= x2 – 2x – 15

a. Fungsi kuadrat memotong sumbu X jika y = 0.y = 0

⇔ x2 – 2x – 15 = 0⇔ (x + 3)(x – 5) = 0⇔ x + 3 = 0 atau x – 5 = 0⇔ x = –3 atau x = 5Titik potong dengan sumbu X adalah(–3, 0) dan (5, 0).

b. Fungsi kuadrat memotong sumbu Y jika x = 0.x = 0 ⇔ y = (0)2 – 2(0) – 15

= –15Titik potong dengan sumbu Y adalah(0, –15).

Jadi, koordinat titik potongnya adalah (–3, 0),(5, 0), dan (0, –15).

10. Jawaban: b(f g)(x) = f(g(x))

= f2x 3x 1

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

= 52x 3x 1

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

– 6

= 10x 15x 1

+−

– 6(x 1)

x 1−

−

= (10x 15) (6x 6)

x 1+ − −

−

= 4x 21

x 1+− ; x ≠ 1

11. Jawaban: cMisalkan y = g(x).

y = x 63x 1

++

⇔ 3xy + y = x + 6⇔ 3xy – x = 6 – y⇔ x(3y – 1) = 6 – y

⇔ x = 6 y3y 1

−−

⇔ g–1(x) = 6 x3x 1

−− ; x ≠ 1

3

Jadi, fungsi invers dari g(x) adalah g–1(x) = 6 x3x 1

−− ;

x ≠ 13

.

12. Jawaban: b3x2 + 2x – 8 = 0

⇔ (3x – 4)(x + 2) = 0

⇔ x1 = 43 atau x2 = –2

Disyaratkan x2 < x1 sehingga diambil x1 = 43 dan

x2 = –2.

3x1 + x2 = 3 × 43 + (–2)

= 4 – 2= 2

Jadi, 3x1 + x2 = 2.

13. Jawaban: aDari persamaan 2x2 + 13x – 24 = 0 diperoleha = 2, b = 13, c = –24.

x1 + x2 = –ba = –

132

x1 × x2= ca =

242

− = –12

1

1x +

2

1x = 2 1

1 2

x xx x

+ =

132

12

−

− = 1324

14. Jawaban: ePertidaksamaan kuadrat:

x2 – 10x + 21 < 0⇔ (x – 7)(x – 3) < 0

⇔ 3 < x < 7Jadi, himpunan penyelesaiannya:{x | 3 < x < 7; x ∈ R}

15. Jawaban: dEliminasi b dari kedua persamaan.3a + 2b = 9 × 3 9a + 6b = 274a – 3b = 29 × 2 8a – 6b= 58

–––––––––– +17a = 85

⇔ a = 5Substitusikan a = 5 ke dalam persamaan 3a + 2b = 9.a = 5 ⇒ 3a + 2b = 9

⇔ 3 × 5 + 2b = 9⇔ 15 + 2b = 9

3 7

+ – +


⇔ 2b = –6⇔ b = –3

Diperoleh a1 = 5, b1 = –3.a1 + 2b1 = 5 + 2 × (–3)

= 5 – 6 = –1Jadi, nilai a1 + 2b1 = –1.

16. Jawaban: aMisalkan: x = Harga 1 buku tulis.

y = Harga 1 buku gambar.5x + 3y = 24.7003x – 4y = 900

Eliminasi y dari sistem persamaan:5x + 3y = 24.700 × 4 20x + 12y = 98.8003x – 4y = 900 × 3 9x – 12y = 2.700

––––––––––––––––– +29x = 101.500

⇔ x = 3.500Substitusikan x = 3 ke dalam persamaan 3x – 4y= 900.x = 3.500 ⇔ 3x – 4y = 900

⇔ 3 × 3.500 – 4y = 900⇔ 10.500 – 4y = 900⇔ –4y = –9.600⇔ y = 2.400

2x + 2y = 2 × 3.500 + 2 × 2.400= 7.000 + 4.800 = 11.800

Jadi, Lulu harus membayar sebesar Rp11.800,00.

17. Jawaban: aPersamaan garis yang melalui (0,8) dan (8, 0)adalah x + y = 8.Persamaan garis yang melalui (0, 6) dan (12, 0)adalah x + 2y = 12.Perpotongan garis x + y = 8 dan x + 2y = 12:

x + y = 8x + 2y = 12––––––––– –

–y = –4⇔ y = 4Selanjutnya diperoleh nilai x = 4.Titik potong kedua garis adalah (4, 4).Menentukan nilai maksimum fungsi f(x, y)= 3x + 5y.

Jadi, nilai maksimum fungsi obyektifnya adalah32.

18. Jawaban: eMisalkan:x = banyak mainan A yang diproduksiy = banyak mainan B yang diproduksi

Diperoleh sistem pertidaksamaan:20x + 30y ≤ 480 ⇔ 2x + 3y ≤ 4825x + 25y ≤ 480 ⇔ 5x + 5y ≤ 96x ≥ 0y ≥ 0

Jadi, model matematika yang sesuai adalah2x + 3y ≤ 48, 5x + 5y ≤ 96, x ≥ 0, y ≥ 0.

19. Jawaban: ba 6 21 b 8

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

– 1 5 3

2 2 c−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 9 7 28 1 6⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=13 8 15 3 8

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔a 1 1 1

3 b 2 8 c+ −⎛ ⎞

⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ +

9 7 28 1 6⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 13 8 15 3 8

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔a 10 8 1

5 b 1 14 c+⎛ ⎞

⎜ ⎟− −⎝ ⎠=

13 8 15 3 8

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Dari kesamaan matriks diperoleh:a + 10 = 13 ⇔ a = 3b – 1 = 3 ⇔ b = 414 – c = 8 ⇔ c = 6Jadi, nilai a, b, dan c berturut-turut 3, 4, dan 6.

20. Jawaban: c

P = 2 01 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

⇒ 3P = 32 01 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

= 6 03 3

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

Q = 3 21 4

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

⇒ 2Q = 23 21 4

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

= 6 42 8

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

R = 3P – 2Q

= 6 03 3

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

– 6 42 8

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

= 0 41 5

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

|R| = 0(–5) – 4(–1) = 4Jadi, determinan R adalah 4.

21. Jawaban: b

27 36 4

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

– M = 7 34 2

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

⇔ M = 27 36 4

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

– 7 34 2

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

= 14 612 8

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

– 7 34 2

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

= 7 98 10

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

(0, 6)(4, 4)(8, 0)

3 × 0 + 5 × 6 = 303 × 4 + 5 × 4 = 323 × 8 + 5 × 0 = 24


Mainan AMainan B

Pembatas

xy

Banyak

2030

480

Mesin I

2525

480

Mesin II


M–1 = 17 10 ( 8) ( 9)× − − × −

10 98 7

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= –12

10 98 7

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

9272

5

4

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

22. Jawaban: bRumus suku ke-n deret aritmetika:Un = a + (n – 1)bU3 = 3 ⇒ a + 2b = 3 . . . (1)U8 = 23 ⇒ a + 7b = 23 . . . (2)Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2):a + 2b = 3a + 7b = 23–––––––––– –

–5b = –20 ⇔ b = 4Substitusi nilai b = 4 ke persamaan (1):⇔ a + 2(4) = 3⇔ a = 3 – 8⇔ a = –5Diperoleh a = –5 dan b = 4.Jumlah n suku pertama:

Sn = n2 [2a + (n – 1)b]

⇔ S20 = 202 [2(–5) + (20 – 1)4]

= 10[–10 + 76]= 660

Jadi, 20 suku pertama deret tersebut adalah 660.

23. Jawaban: bRumus suku ke-n deret geometri:Un = arn – 1

U4 = 12

⇔ ar3 = 12

U7 = –4⇔ ar6 = –4

7

4

UU = 1

2

4−

⇔6

3arar

= –8

⇔ r3 = –8⇔ r = –2

U4 = 12

⇔ a(–2)3 = 12

⇔ a × (–8) = 12

⇔ a = –1

16

Sn = na(1 r )

1 r−−

⇔ S8 = 8a(1 r )

1 r−−

⇔ S8 = 1 8

16 (1 ( 2) )

1 ( 2)

− − −

− −

⇔ S8 = 41 8

2(1 2 )

3

− −

⇔ S8 = 8

4 41 2

2 2

3

− +

⇔ S8 = 13

8

42 1

2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔ S8 = 13

256 116

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔ S8 = 25548 = 5

1548 = 5

516

Jadi, jumlah delapan suku pertama deret tersebut

55

16 .

24. Jawaban: ePermasalahan tersebut merupakan permasalahanderet aritmetika.U1 = 80, b = 4

Sn = n2 (2a + (n – 1) b)

⇔ S25 = 252 (2 × 80 + 24 × 4)

= 252 (160 + 96)

= 252 (256)

= 25 × 128= 3.200 kg= 32 kuintal

Jadi, banyak buah yang dihasilkan 32 kuintal.

25. Jawaban: b

n = x 8lim→−

2

2x 64

x 4x 32−

+ −

= x 8lim→−

(x 8)(x 8)(x 8)(x 4)

+ −+ −

= x 8lim→−

x 8x 4

−−

= 8 88 4

− −− −

= 1612

−− =

43


30. Jawaban: aDaerah I dibatasi olehsumbu X, garis y = 2x – 2dan interval 1 ≤ x ≤ 5.

LI = 5

1(2x 2) dx−∫

= 521

x 2x⎤− ⎦= (25 – 10) – (1 – 2)= 16 satuan luas

Daerah II dibatasi oleh sumbu X, garis y = 2x – 2,garis y = x2 – 6x + 5, dan interval 5 ≤ x ≤ 7.

LII = 7

2

5((2x 2) (x 6x 5)) dx− − − +∫

= 7

2

5(8x 7 x ) dx− −∫ =

712 33 5

4x 7x x ⎤− − ⎥⎦

= (4 × 72 – 7 × 7 – 13

× 73) – (4 × 52 – 7 × 5 – 13

× 53)

= (196 – 49 – 3433

) – (100 – 35 – 1253

)

= (147 – 3433

) – (65 – 1253

)

= 82 – 2183

= 82 – 72 23

= 9 13

Luas daerah = LI + LII

= 16 + 9 13

= 25 13

Jadi, luas daerah tersebut 25 13

satuan luas.

31. Jawaban: aBanyak susunan buku merupakan permutasi 7 dari 7.Banyak susunan buku= 7P7 = 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5.040

32. Jawaban: dBanyak cara memilih ketiga orang untuk berorasi:

= 10C3 = 10!3!(10 3)!−

= 10!3! 7! =

8 9 101 2 3× ×× × = 120

33. Jawaban: bS = {(A, 1), (A, 2), (A, 3), (A, 4), (A, 5), (A, 6),

(G, 1), (G, 2), (G, 3), (G, 4), (G, 5), (G, 6)}n(S) = 12B = kejadian muncul angka dan mata dadu genap

= {(A, 2), (A, 4), (A, 6)}n(B) = 3

P = n(B)n(S)

= 312

= 14

.

Jadi, peluang muncul angka dan mata dadu genap

adalah 14

.

n = 43 ⇒ 6n + 1 = 6 ×

43 + 1

= 8 + 1 = 9Jadi, nilai 6n + 1 = 9.

26. Jawaban: e

xlim→∞ 2

(4 x)(2x 3)x 18

− −−

= xlim→∞

2

22x 11x 12

x 18− + −

− ×

2

2

1

x1

x

= xlim→∞

2

2

11 12x x

18

x

2

1

− + −

−

= 2 0 01 0

− + −−

= 21

− = –2

27. Jawaban: af(x) = (x – 2)(x2 – 2x + 5) = uvf'(x) = u' v + uv'

= 1(x2 – 2x + 5) + (x – 2)(2x – 2)= x2 – 2x + 5 + (x – 2)(2x – 2)

f'(–1) = 1 + 2 + 5 + (–1 – 2)(–2 – 2)= 8 + (–3)(–4) = 20

28. Jawaban: df(x) = –2x3 + 4x2 – 2x + 8f′(x) = –6x2 + 8x – 2f(x) stasioner apabila:f′(x) = 0 ⇒ –6x2 + 8x – 2 = 0

⇔ 3x2 – 4x + 1 = 0⇔ (3x – 1)(x – 1) = 0

⇔ x = 13 atau x = 1

Maksimum terletak di antara naik dan turun, yaitux = 1.Jadi, fungsi f maksimum untuk x = 1.

29. Jawaban: d∫(2x3 – 9x2 + 4x – 5) dx

= 2

3 1+ x3 + 1 – 9

2 1+ x2 + 1 + 4

1 1+ x1 + 1 – 5x + c

= 24 x4 –

93 x3 +

42 x2 – 5x + c

= 12 x4 – 3x3 + 2x2 – 5x + c

113

turun naik turun– + –


34. Jawaban: bBanyak percobaan: N = 15 kali.Jumlah bola dalam kantong = 8 + 12 = 20.Banyak bola hijau = 8.

Peluang terambil bola hijau: P(H) = 8

20 .

Fh(H) = P(H) × N = 8

20 × 15 = 6

Jadi, frekuensi harapan terambil bola hijau adalah6 kali.

35. Jawaban: aBanyak siswa yang melanjutkan kuliah di FakultasTeknik = 180 – (35 + 50 + 40 + 30)

= 180 – 155= 25

Persentase banyak siswa yang melanjutkan

kuliah di Fakultas Teknik

= 25

180 × 100% = 125

9 % = 13 89 %

36. Jawaban: eMisalkan besar sudut pusat pertanian = 3nmaka besar sudut pusat ekonomi = 5nJumlah besar sudut pusat pertanian dan ekonomi= 360° – (70° + 50° + 80°)⇔ 3n + 5n = 160°⇔ 8n = 160°⇔ n = 20°Sudut pusat ekonomi = 5n = 5 × 20° = 100°.Misalkan x = banyak siswa yang memilih kuliah diFakultas Ekonomi.

sudut pusat ekonomisudut pusat sastra =

x35

⇔ 10070

°° =

x35

⇔ x = 10070

°° × 35

⇔ x = 50Jadi, siswa yang memilih kuliah di FakultasEkonomi sebanyak 50 orang.

37. Jawaban: ePoligon merupakan grafik dari titik tengah suatudata.Rata-rata tinggi badan pemain:

x = i i

i

x ff

∑∑

= 162 2 167 6 172 4 177 8 182 5

2 6 4 8 5⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

+ + + +

= 324 1.002 688 1.416 910

25+ + + +

= 4.340

25 = 173,6 cm

Jadi, rata-rata tinggi badan pemain basket tersebut173,6 cm.

38. Jawaban: eModus data terletak pada interval 30–34.L0 = 29,5d1 = 11 – 7 = 4d2 = 11 – 10 = 1c = 5

Modus = L0 + 1

1 2

dd d

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

× c

= 29,5 + 4

4 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ + ⎠ × 5

= 29,5 + 45 × 5

= 33,5Jadi, modus data adalah 33,5 tahun.

39. Jawaban: dData: 2, 1, 3, 6, 1, 4, 2 ,5Rata-rata data:

x = jumlah databanyak data

= 2 1 3 6 1 4 2 58

+ + + + + + +

= 248

= 3Ragam dari data:

S2 =18 ((2 – 3)2 + (1 – 3)2 + (3 – 3)2 + (6 – 3)2

+ (1 – 3)2 + (4 – 3)2 + (2 – 3)2 + (5 – 3)2)

=18 (1 + 4 + 0 + 9 + 4 + 1 + 1 + 4)

=18 (24) = 3

Jadi, simpangan baku dari data = 2S = 3 .

40. Jawaban: a

x = ixn

Σ

= 8 4 10 9 3 11

9+ × + + ×

= 909

= 10

Σ |xi – x | =|8 – 10| + 4|10 – 10| + |9 – 10| + 3 |11 – 10|

= 2 + 4 × 0 + 1 + 3 × 1= 6

SR = 1n Σ |xi – x | =

110 × 6 = 0,6

Jadi, simpangan rata-rata adalah 0,6.

130 Latihan Ujian Nasional


1. Jawaban: eMisalkan: p: Air sungai meluap.

q: Penduduk mengungsi.Pernyataan tersebut dapat ditulis sebagai p ⇒ q.Ingkaran dari p ⇒ q adalah ~(p ⇒ q) ≡ p ∧ ~q.Jadi, ingkaran dari pernyataan tersebut adalah ”Airsungai meluap dan penduduk tidak mengungsi” atau”Air sungai meluap tetapi penduduk tidakmengungsi”.

2. Jawaban: bMisalkan: p: Dita tidak datang.

q: Nisa menggantikan tugas Dita.Pernyataan tersebut dapat dituliskan dalam bentukimpliklasi p ⇒ q. Implikasi p ⇒ q setara dengankontraposisinya, yaitu (p ⇒ q) ≡ (~q ⇒ ~p). Jadi,pernyataan yang setara adalah ”Jika Nisa tidakmenggantikan tugas Dita maka Dita datang”.

3. Jawaban: dMisalkan: p: Ada baterai yang mati.

q: Bohlam tidak dapat menyala.Premis 1 : p ⇒ qPremis 2 : ~q–––––––––––––––––Kesimpulan : ~pJadi, kesimpulan dari premis-premis tersebutadalah ”Tidak ada baterai yang mati” atau ”Semuabaterai tidak mati”.

4. Jawaban: c12 4

33x y2xy

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 2 4

1 1 33 x y2 x y

− − −

− − = 1 + 2 3 + 42

3x y− = 72

3xy

5. Jawaban: e

3 23 2+−

= 3 23 2+−

× 3 23 2++

= 2( 3 2)

3 2+−

= 3 2 6 21

+ +

= 5 + 2 6

6. Jawaban: b

9log 6 = 2

2log 6log 9

= 2

2 2log (2× 3)

log 3

= 2 2

2log 2 + log 32 × log 3

= 1 p2p+

Jadi, 9log 6 = 1 p2p+

.

7. Jawaban: bDiketahui fungsi kuadrat f(x) = 3x2 + x – 2.Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X jika f(x) = 0.f(x) = 0⇔ 3x2 + x – 2 = 0⇔ (3x – 2)(x + 1)= 0

⇔ x = 23

atau x = –1

Titik potong f(x) = 3x2 + x – 2 dengan sumbu X

adalah (–1, 0) dan ( 23

, 0).

Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu Y jikax = 0.

f(x) = 3x2 + x – 2⇔ f(0) = 3 × 02 + 0 – 2⇔ f(0) = –2Titik potong f(x) = 3x2 + x – 2 dengan sumbu Yadalah (0, –2).

Jadi, titik potongnya adalah (23 , 0), (–1, 0), dan

(0, –2).

8. Jawaban: bFungsi y = x2 – 2x – 3 mempunyai nilai a = 1,b = –2, dan c = –3.Misalkan koordinat titik balik fungsi adalah (xP, yP).

xP = –b2a

= –( 2)2 1−× = 1


yP = –D4a

= –2b 4ac

4a−

= –2( 2) 4 1 ( 3)

4 1− − × × −

×

= –4 12

4+

= –4

Jadi, koordinat titik balik fungsi adalah (1, –4).

9. Jawaban: cMisalkan titik balik fungsi kuadrat = (p, q) = (–1, 4)maka f(x) = a(x + 1)2 + 4.Grafik fungsi melalui titik (0, 3) maka f(0) = 3.

f(0) = a(0 + 1)2 + 4⇔ 3 = a + 4⇔ a = –1Diperoleh persamaan grafik fungsi kuadrat:y = –1(x + 1)2 + 4

= –(x2 + 2x + 1) + 4= –x2 – 2x + 3

Jadi, persamaan grafik fungsi kuadrat tersebutadalah y = –x2 – 2x + 3.

10. Jawaban: df(x) = x2 – 10x + 4(f g)(x) = f(g(x))

= f(–x + 3)= (–x + 3)2 – 10(–x + 3) + 4= (x2 – 6x + 9) + 10x – 30 + 4= x2 + 4x – 17

Jadi, (f g)(x) = x2 + 4x – 17.

11. Jawaban: eMisalkan y = f(x)

y = 3x 42x 1

−+

⇔ 2xy + y = 3x – 4⇔ 2xy – 3x = –y – 4⇔ x(2y – 3) = –y – 4

⇔ x = y 4

2y 3− −

−

⇔ f–1(x) = x 4

2x 3− −

− ; x ≠ 32

f–1(1) = 1 4

2 1 3− −× − =

51

−− = 5

Jadi, f–1(1) = 5.

12. Jawaban: ex2 – x – 2 = 0

⇔ (x – 2)(x + 1) = 0⇔ x – 2 = 0 atau x + 1 = 0⇔ x = 2 atau x = –1

Diambil x2 = 2 dan x1 = –1 karena disyaratkanx2 > x1.2x1 + 3x2 = 2 × (–1) + 3 × 2

= –2 + 6= 4

Jadi, 2x1 + 3x2 = 4.

13. Jawaban: eDari persamaan kuadrat 6x2 + 7x + 2 = 0 diperoleha = 6, b = 7, dan c = 2.x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat 6x2 + 7x +2 = 0 sehingga:

x1 + x2 = – ba

= – 76

x1 × x2 = ca

= 26

= 13

Persamaan kuadrat baru akar-akarnya 3x1dan 3x2.3x1 + 3x2 = 3(x1 + x2)

= 3 × (– 76

)

= – 72

3x1 × 3x2 = 9x1 × x2

= 9 × 13

= 3Persamaan kuadrat yang baru:x2 – (3x1 + 3x2)x + (3x1 × 3x2) = 0

⇔ x2 + 72

x + 3 = 0

⇔ 2x2 + 7x + 6 = 0Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah2x2 + 7x + 6 = 0.

14. Jawaban: bDiketahui pertidaksamaan x2 + 3x – 4 < 0.Pembuat nol dari persamaan x2 + 3x – 4 = 0sebagai berikut.

x2 + 3x – 4 = 0⇔ (x + 4)(x – 1) = 0⇔ x + 4 = 0 atau x – 1 = 0⇔ x = –4 atau x = 1

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaanx2 + 3x – 4 < 0 adalah –4 < x < 1.

–4 1

+ + + + + +– – –


15. Jawaban: cx + 3y = 1 × 2 2x + 6y= 22x – y = 9 × 1 2x – y = 9

–––––––––– –7y = –7

⇔ y = –1y = –1 ⇒ 2x – y = 9

⇔ 2x + 1 = 9⇔ 2x = 8⇔ x = 4

Diperoleh x1 = x = 4 dan y1 = y = –1.x1 + y1 = 4 + (–1) = 3Jadi, x1 + y1 = 3.

16. Jawaban: eMisalkan: x = harga 1 buku tulis

y = harga 1 spidolDiperoleh sistem persamaan linear dua variabelberikut.2x + 3y = 12.000 . . . (i)

x + 2y = 6.500 . . . (ii)Eliminasi x dari (i) dan (ii).2x + 3y = 12.000 × 1 2x + 3y = 12.000x + 2y = 6.500 × 2 2x + 4y = 13.000

–––––––––––––– ––y = –1.000

⇔ y = 1.000y = 1.000 ⇒ x + 2y = 6.500

⇔ x + 2.000 = 6.500⇔ x = 4.500

Candra hanya membeli 1 buku tulis dan 1 spidolsehingga:x + y = 4.500 + 1.000 = 5.500Uang kembalian = 10.000 – 5.500

= 4.500Jadi, uang kembalian Candra Rp4.500,00.

17. Jawaban: b


Nilai minimum f(x, y) adalah 24.Jadi, nilai minimumnya 24.

18. Jawaban: dMisalkan: x = banyak helm merek A

y = banyak helm merek B

Diperoleh model matematika:Memaksimumkan fungsi objektiff(x, y) = 25.000x + 15.000y dengan kendala:

x + y ≤ 30160.000x + 80.000y ≤ 3.200.000⇔ 2x + y ≤ 40x ≥ 0y ≥ 0


Titik B merupakan perpotongan garis x + y = 30dan 2x + y = 40. Koordinat titik B(10, 20).Uji titik pojok ke fungsi objektif:

Nilai maksimum f(x, y) adalah 550.000 untukx = 10 dan y = 20.Jadi, agar laba yang diperoleh pedagangmaksimum, pedagang tersebut harus menyedia-kan 10 helm merek A dan 20 helm merek B.

19. Jawaban: e2A – B = C

⇔ 22p 2rp 3

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

– 3q 3s2 2s

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

= 5p q 6r

3p 2q 4s−⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎝ ⎠

⇔ 4p 3q 4r 3s2p 2 6 2s

− −⎛ ⎞⎜ ⎟+ − −⎝ ⎠

= 5p q 6r3p 2q 4s−⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎝ ⎠Dari kesamaan matriks diperoleh:1) 2p + 2 = 3p ⇔ p = 22) 4p – 3q = 5p – q ⇔ 4 × 2 – 3q = 5 × 2 – q

⇔ 2q = –2⇔ q = –1

Y

X0

6

–22 6

x – y = 2

(4, 2)

3x + y = 6 x + y = 6

Titik Pojok

(2, 0)(4, 2)(0, 6)

f(x, y) = 12x + 15y

12 × 2 + 15 × 0 = 2412 × 4 + 15 × 2 = 7812 × 0 + 15 × 6 = 90

Y

X

40

30

0A

B

C

20 30

2x + y = 40x + y = 30

Harga Beli

160.00080.000

3.200.000

Laba

25.00015.000

Helm

Merek AMerek B

Pembatas

Banyak

xy

30

f(x, y) = 25.000x + 15.000y

25.000 × 0 + 15.000 × 0 = 025.000 × 20 + 15.000 × 0 = 500.00025.000 × 10 + 15.000 × 20 = 550.00025.000 × 0 + 15.000 × 30 = 450.000

Titik Pojok

O(0, 0)A(20, 0)B(10, 20)C(0, 30)


3) –6 – 2s = 2q – 4s ⇔ –6 – 2s = –2 – 4s⇔ 2s = 4⇔ s = 2

4) 4r – 3s = 6r ⇔ 4r – 3 × 2 = 6r⇔ 2r = –6⇔ r = –3

Jadi, nilai pqrs = 2 × (–1) × (–3) × 2 = 12.

20. Jawaban: d

PQ – Q = 1 23 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 20 3− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

– 1 2

0 3− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 43 0−⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎝ ⎠ –

1 20 3− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 0 63 3

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

det (PQ – Q) = 0 × (–3) – (–3) × 6 = 18

21. Jawaban: d

A = 1 01 2

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

maka AT = 1 10 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

ATA = 1 10 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 01 2

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

= 2 22 4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(ATA)–1 = 18 4−

4 22 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

12

1 12 2

1⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

−

−

Jadi, invers dari matriks ATA adalah

12

1 12 2

1⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

−

−.

22. Jawaban: bMisal 7 suku deret aritmetika adalahU1, U2, U3, U4, U5, U6, U7

U1 + U2 + U3 = 45⇔ a + a + b + a + 2b = 45⇔ 3a + 3b = 45 . . . (1)U5 + U6 + U7 = 105⇔ a + 4b + a + 5b + a + 6b = 105⇔ 3a + 15b = 105 . . . (2)Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2):3a + 15b = 105

3a + 3b = 45––––––––––––– –

12b = 60⇔ b = 5Substitusi b = 5 ke persamaan (1) diperoleh:3a + 3 × 5 = 45 ⇔ 3a = 30

⇔ a = 10Nilai suku ke-4:U4 = a + 3b

= 10 + 3 × 5= 25

23. Jawaban: eMisal 5 suku deret geometri adalah

2ar

, ar , a, ar, ar2

2ar

× ar × a × ar × ar2 = 32

⇔ a5 = 25

⇔ a = 2U5 = 18 ⇔ ar2 = 18

⇔ 2r2 = 18⇔ r2 = 9⇔ r = ± 3

Oleh karena r > 0 maka r = 3.

Jumlah deret = 2ar

+ ar + a + ar + ar2

= 223

+ 23 + 2 + 2 × 3 + 2 × 32

= 29 +

23 + 2 + 6 + 18

= 2689

24. Jawaban: cDeret aritmetika:n = 10; a = 42; S10 = 330

S10 = 102 (a + U10)

⇔ 330 = 5(42 + U10)⇔ 66 = 42 + U10⇔ U10 = 24Jadi, panjang potongan pita terpendek 24 cm.

25. Jawaban: e

x 3lim→−

25x 15

2x 4x 6++ −

= x 3lim→−

25(x 3)

2(x 2x 3)+

+ −

= 52 x 3

lim→−

x 3(x 3)(x 1)

++ −

= 52 x 3

lim→−

1x 1−

= 52

× 1

3 1⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

= 52

× 14

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= –58

26. Jawaban: b

xlim→∞ ( )2x 7x 5 (x 2)− + − +

=xlim→∞ ( )2x 7x 5 (x 2)− + − +


× ( )( )

− + + +

− + + +

2

2

x 7x 5 (x 2)

x 7x 5 (x 2)

=xlim→∞

− + − +

− + + +

2 2

2

(x 7x 5) (x 2)x 7x 5 (x 2)

=xlim→∞

− + − + +

− + + +

2 2

2

(x 7x 5) (x 4x 4)x 7x 5 (x 2)

=xlim→∞

− +

− + + +2

11x 1x 7x 5 (x 2)

=xlim→∞

− +

− + + +2

1x

7 5 2x xx

11

1 (1 )

= − +− + + +

11 01 0 0 (1 0)

= −+

111 1

= –112

27. Jawaban: cMisalkan u = 2x2 – 3x.

dudx

= u′ = 4x – 3

f(x) = (2x2 – 3x)5

= u5

df(x)du

= 5u4

f′(x) = df(x)dx

= df(x)du

× dudx

= 5u4 × (4x – 3)= 5(4x – 3)(2x2 – 3x)4

28. Jawaban: cBiaya per hari

= (3x + 1.200

x – 120) (dalam juta rupiah)

Biaya x hari = ((3x + 1.200

x – 120)x)

⇔ f(x) = (3x2 + 1.200 – 120x)Agar biaya minimum f′(x) = 0

f(x) = 3x2 + 1.200 – 120x⇔ f′(x) = 6x – 120⇔ 0 = 6x – 120⇔ 6x = 120⇔ x = 20Jadi, agar biaya minimum proyek harus diselesai-kan dalam waktu 20 hari.

29. Jawaban: a0

1−∫

3 2

x 3

x 6x 1

−

− − dx

= 12

0

1−∫ (x2 – 6x – 1)

13

−

d(x2 – 6x – 1)

= 12 × 3

2

022 3

1(x 6x 1) −

⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎣ ⎦

= 34

((0 – 1) – 6(0 + 1) – 1)23

= 34

× (–8)23

= 34

× (–23)23

= 34

× (–2)2

= 3

30. Jawaban: cPersamaan kurva: y1 = f(x) = a(x + 2)(x – 6)Kurva melalui titik (0, 12) maka f(0) = 12.f(0) = a(0 + 2)(0 – 6)⇒ 12 = –12a⇔ a = –1Persamaan kurva menjadi:f(x) = –(x + 2)(x – 6)

= –(x2 – 4x – 12)= –x2 + 4x + 12

Persamaan garis: y2 = 3xLuas daerah yang diarsir:

L = 4

0∫ (y1 – y2) dx

= 4

0∫ (–x2 + 4x + 12 – 3x) dx

= 4

0∫ (12 + x – x2) dx

= 4

2 3

0

1 12 3

12x x x⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

+ −

= 12(4 – 0) + 12 (16 – 0) –

13 (64 – 0)

= 48 + 8 – 643

= 3423



31. Jawaban: bAngka-angka = 0, 1, 2, 3, 4, 5Banyak angka = 6

Banyak bilangan lebih dari 300 yang dapat disusun= 3 × 5 × 4 = 60.

32. Jawaban: cBanyak cara memilih 5 orang pengurus dari7 orang dapat diselesaikan dengan permutasi5 unsur dari 7 unsur.Banyak cara = 7P5

= 7!

(7 5)!−

= 7!2!

= 7 × 6 × 5 × 4 × 3= 2.520

Jadi, terdapat 2.520 cara memilih pengurus.

33. Jawaban: dPercobaan melemparkan dua dadu.n(S) = 36MisalkanA = kejadian jumlah kedua mata dadu habis

dibagi 5= {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (4, 6), (5, 5),

(6, 4)}n(A) = 7

P(A) = n(A)n(S)

= 736

Jadi, peluang muncul jumlah kedua mata dadu

habis dibagi 5 adalah 736

.

34. Jawaban: eBanyak percobaan = N = 180 kali.Banyak anggota ruang sampel = n(S) = 36.A = kejadian muncul mata dadu berjumlah 8

= {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}n(A) = 5

P(A) = n(A)n(S) =

536

fh(A) = P(A) × N

= 536

× 180 = 25.Jadi, frekuensi harapan muncul mata daduberjumlah 8 adalah 25.

35. Jawaban: bBesar sudut juring buruh= 360° – (90° + 50° + 160° + 15°)= 360° – 315°= 45°Banyak kepala keluarga yang bekerja sebagaiburuh

= 45°360°

× banyak kepala keluarga

= 18

× 72

= 9Jadi, kepala keluarga yang bekerja sebaai buruhsebanyak 9.

36. Jawaban: bBanyak anak = 40 + 30 + 62 + n + 22⇔ 200 = 154 + n⇔ n = 46

Persentase = 46200

× 100%

= 23%Jadi, persentase anak yang menyukai permenadalah 23%.

37. Jawaban: eTabel dari diagram tersebut sebagai berikut.

Diameter Pohon (cm) Frekuensi fk

4–6 8 87–9 16 24

10–12 6 3013–15 7 3716–18 4 4119–21 3 44

n = 44

Median data = nilai data ke-12

(44 + 1)

= nilai data ke-22,5Nilai data ke-22,5 terletak di kelas interval 7–9.L = 6,5fMe

= 16

Mekf = 8p = 3

Me = L + e

n2

Mf

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Mekf × p

= 6,5 + 442

8

16

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

× 3

= 6,5 + 1416⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

× 3

= 6,5 + 2,625= 9,125≈ 9,13

Jadi, median data 9,13 cm.

angka ratusan

3 kemungkinan (3, 4, 5)

angka satuanangka puluhan

5 kemungkinan4 kemungkinan


38. Jawaban: d

Modus data terletak pada kelas interval 40–49karena frekuensinya paling banyak.L = 39,5d1 = 10 – 5 = 5d2 = 10 – 7 = 3p = 10

Mo = L + 1

1 2

dd + d

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

× p

= 39,5 + 5

5 + 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

× 10

= 39,5 + 58 × 10

= 39,5 + 6,25= 45,75

Jadi, modus data tersebut adalah 45,75.

39. Jawaban: d

x = 7 8 6 8 3 5 4 7

8+ + + + + + +

= 488 = 6

SR =1n

8i

i=1| x x |∑ −

=18 (|7 – 6| + |8 – 6| + |6 – 6| + |8 – 6| + |3 – 6|

+ |5 – 6| + |4 – 6| + |7 – 6|)

=18 (1 + 2 + 0 + 2 + 3 + 1 + 2 + 1)

=18 (12) =

32

Jadi, simpangan rata-rata data tersebut 32 .

40. Jawaban: d

x = 3 5 6 7 9 9 10 11 12

9+ + + + + + + +

= 729

= 8

S2 =1n

9 2i

i=1(x x)∑ −

=19 [(3 – 8)2 + (5 – 8)2 + (6 – 8)2 + (7 – 8)2

+ (9 – 8)2 + (9 – 8)2 + (10 – 8)2 + (11 – 8)2

+ (12 – 8)2]

=19 (25 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 9 + 16)

= 19 (70)

= 709

Jadi, varians data tersebut adalah 709 .

Nilai

10–1920–2930–3940–4950–5960–6970–79

Frekuensi

345

10765

Documents

05 Kunci Jawaban Dan Pembahasan Mat 12 Ips Ktsp