Embed Size (px)
DESCRIPTION
124
Citation preview
Kinematika tečnosti Lagrangeov i Eulerov pristup analizi strujanja Materijalni izvod Sistem i kontrolni volumen Oblici kretanja djelića tečnosti Kinematski pojmovi (trajektorije, strujnice, strujna cijev...) Stacionarno kretanje po strujnicama Deformacija djelića tečnosti (volumna dilatacija) Klasifikacija strujanja tečnosti Reynoldsov transportni teorem
2
Lagrangeov i Eulerov pristup analizi strujanja Lagrangeov sistem praćenja kretanja Prati se kretanje svakog djelića tečnosti (fluidnog elementa) kao
materijalne tačke od određenog početnog položaja Početni položaj (u Lagrangeovim koordinatama)
Zakon kretanja realizacija praktično nemoguća zbog činjenice da se u strujanju fluida kreće
beskonačno veliki broj fluidnih čestica
3
( )0,r r r t=
0r r=
0
0 0
0
za x xy y t tz z
ξης
= = = = == =
( )( )( )
, , ,, , ,, , ,
x x ty y tz z t
ξ η ςξ η ςξ η ς
===
⇔
⇔
Lagrangeov i Eulerov pristup analizi strujanja Eulerov sistem praćenja kretanja Prati se vremenska promjena brzine (i ostalih varijabli) u fiksnim
tačkama posmatranog prostora Polja veličina (u Eulerovim koordinatama)
Zakon kretanja (veza između Eulerovih i Lagrangeovih koordinata)
4
( )( )
( )
,,
,
v v r tp p r t
r tτ τ⇒ ⇒
==
=
( )( )
( )
, , ,, , ,
, , ,
v v x y z tp p x y z t
x y z tτ τ⇒ ⇒
==
=
⇔
( )d ,dr v r tt=
( )
( )
( )
d , , ,dd , , ,dd , , ,d
x
y
z
x v x y z tty v x y z ttz v x y z tt
=
=
=
⇔
Materijalni (substancijalni) izvod Materijalni izvod – povezuje Lagrangeov i Eulerov pristup
Traži se ukupna promjena neke veličine e koju nosi fluidni djelić
Ukupna promjena veličine e koju nosi fluidni djelić jednaka je zbiru
lokalne promjene polja e(x,y,z,t) u fiksnoj tački prostora i konvektivne promjene polja e(x,y,z,t) usljed prenosa (toka) polja e poljem brzine v
Operator materijalnog izvoda
5
∂ ∂ ∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂ ∂
d d d d de e e ee t x y zt x y z∂ ∂ ∂ ∂
= + + +∂ ∂ ∂ ∂
d d d dd d d de e e x e y e zt t x t y t z t
∂ ∂ ∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂ ∂
dd x y ze e e e ev v vt t x y z
( )∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + + + = + ⋅∇
∂ ∂ ∂ ∂ ∂d D
d D x y zv v v vt t t x y z t
Materijalni (substancijalni) izvod Ubrzanje u Lagrangeovom i Eulerovom sistemu
Promjena brzine fluidnog djelića čije se kretanje prati u Lagrangeovim koordinatama izražena u Eulerovim koordinatama
6
( )∂= = + ⋅∇
∂
DD
v va v vt t
( )∂= = + ⋅∇
∂D
Dx x
x xv va v vt t
( )∂
= = + ⋅∇∂
DD
y yy y
v va v v
t t
( )∂= = + ⋅∇
∂D
Dz z
z zv va v vt t
∂ ∂ ∂ ∂= = + + +
∂ ∂ ∂ ∂DD
x x x x xx x y z
v v v v va v v vt t x y z
DD
y y y y yy x y z
v v v v va v v v
t t x y z∂ ∂ ∂ ∂
= = + + +∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂= = + + +
∂ ∂ ∂ ∂DD
z z z z zz x y z
v v v v va v v vt t x y z
Sistem i kontrolni volumen Sistem – Količina materije (fluida) koja se može identifikovati i
razlikovati od ostatka materije (okoline); površina granice sistema se može vremenski mijenjati, ali sistem sadrži uvijek istu materiju (povezano sa Lagrangeovim pristupom)
Kontrolni volumen – izolovani dio prostora, fiksiran u vremenu i prostoru u kojem se posmatra strujanje obuhvaćen kontrolnom površinom, može biti konačan ili diferencijalno mali
(povezano sa Eulerovim pristupom) Reynoldsov transportni teorem relacija kojom se u kontrolnom
volumenu izražavaju osnovni zakoni održanja koji važe za sistem
7
Sistem i kontrolni volumen Uobičajeno se kontrolni volumen u proračunima bira tako da se jedan
dio kontrolne površine podudara sa stvarnim čvrstim površinama, a drugi dio/dijelovi su okomiti na tok tečnosti, čime se olakšava analiza toka
8
Oblici kretanja djelića tečnosti Oblici kretanja djelića tečnosti u polju brzine translacija rotacija deformacija
9
Kinematski pojmovi Putanja (trajektorija) Geometrijsko mjesto tačaka kroz koje proilazi jedan djelić
tečnosti koji je u trenutku t0 krenuo iz položaja (x0, y0, z0)
Trag Geometrijsko mjesto tačaka trenutnog položaja niza djelića
tečnosti koje su sve prošle kroz određenu fisknu tačku
10
Kinematski pojmovi Strujna linija (strujnica) Linija koja u jednom trenutku spaja vektore brzina djelića tečnosti
Jednačina strujnice
Jednačine strujnica određuju polje brzina (strujno polje). U stacionarnom bezvrtložnom strujanju trajektorije, strujnice i tragovi su iste linije.
11
d 0v l× =
= ⇒
0d d d
x y z
i j kv v vx y z
( ) ( ) ( )− + − + − =
d d d d d d 0y z z x x yv z v y i v x v z j v y v x k
( ) ( ) ( )− = − = − =d d 0, d d 0, d d 0y z z x x yv z v y v x v z v y v xd d d
x y z
x y zv v v
= =
Kinematski pojmovi Strujna cijev Površina koja se dobije spajanjem strujnica u plašt oko zatvorene
krive
Masa djelića tečnosti koji se kreće kroz beskonačno malu strujnu cijev
12
δ ρ ρ α= =d d d cosm V A l
δ ρ αδ=
d cosm A v t
δ=
dl v t
δ ρ δ= ⋅
dm v n A t
Kinematski pojmovi Maseni i volumni protok kroz beskonačno malu strujnu cijev
Maseni i volumni protok kroz strujnu cijev konačne veličine
Za nestišljivu tečnost maseni protok nestišljive tečnosti jednak je proizvodu gustine i
volumnog protoka
13
δ δ ρ ρδ
= = ⋅ =
d dm m v n A Qt
= = ⋅
d d dQ V v n A
δ ρ ρ= = ⋅ =∫ ∫ ∫
d dA A A
m m v n A Q = = ⋅∫ ∫
d dA A
Q Q v n A
ρ ρ ρ= ⋅ = =∫ ∫
d dA A
m v n A Q Q
ρ ρ= =
m Q V
Kinematski pojmovi Vrtložno vlakno Linija koja u jednom trenutku spaja vektore rotacije djelića
tečnosti (vektore vrtloženja)
Vrtložna cijev Površina koja se dobije spajanjem vrtložnih vlakana u plašt oko
zatvorene krive Cirkulacija po zatvorenoj konturi
presjeka vrtložne cijevi
14
dC
v l constΓ = ⋅ =∫
Kinematski pojmovi Za strujanje tečnosti definisano poljem brzine potrebno je pronaći: a) vezu između Lagrangeovih i Eulerovih koordinata b) komponente ubrzanja u Lagrangeovom i Eulerovom sistemu c) jednačine strujnih linija i skicirati strujno polje u trenutku t = 0 d) jednačinu trajektorije djelića tečnosti koji se u trenutku t = 0 nalazio u položaju M0(-1,-1,0) e) položaj tog istog fluidnog djelića u trenutku t = 2 i skicirati strujno polje u tom trenutku vremena f) polje vektora vrtloženja prema izrazu
15
( ) ( )v x t i y t j= + + − +
1 rot2
vω =
Kinematski pojmovi Veza između Lagrangeovih i Eulerovih koordinata polje brzine: karakteristična jednačina sistema
16
( ) ( )v x t i y t j= + + − +
ddddd 0d
x
y
z
x v x tty v y ttz vt
= = +
= = − +
= =
( ) ( )1 1 0r r r− + =
ddddd 0d
x x tty y ttzt
= +
= − +
=
d 0dd 0dd 0d
x xty ytzt
− =
+ =
=
rt
rt
rt
x Aey Bez Ce
=
=
=
dddddd
rt
rt
rt
x Arety Bretz Cret
=
=
=
⇒ ⇒
⇒
00
0
rt rt
rt rt
rt
Are AeBre BeCre
− =
+ =
=
⇒
1 0 00 1 0 00 0
rr
r
−+ =⇒
Kinematski pojmovi karakteristične vrijednosti sistema Za r1 = 0 jedno rješenje homogenog sistema Za r2 = 1 drugo rješenje homogenog sistema Za r3 = -1 treće rješenje homogenog sistema
17
1
10
1 3 3
00
t
xyz D e D⋅
==
= =
1 2 30, 1, 1r r r= = = −⇒( )2 1 0r r− =
00
0 0
AB
C
− ==⋅ =
⇒
3
000
ABC D
==≠ =
⇒
2 1
2
2
00
tx D eyz
=
=
=
0 02 0
0
AB
C
⋅ ==
=
⇒10
00
A DBC
≠ ===
⇒
3
3 2
3
0
0
t
xy D ez
−
=
=
=
2 00 0
0
AB
C
− =⋅ =
− =
⇒ 2
000
AB DC
=≠ =
=⇒
Kinematski pojmovi Opšte rješenje homogenog sistema Rješenje nehomogenog sistema (varijacija konstanti)
18
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x xy y y yz z z z
= + +
= + +
= + +⇒
1
2
3
t
t
x D ey D ez D
−
=
=
=
( )( )( )
1
2
3
t
t
x D t e
y D t e
z D t
−
=
=
=
⇒
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 1
2 2
3
d 'dd 'dd 'd
t t
t t
x D t e D t ety D t e D t etz D tt
− −
= +
= −
=
⇒
( ) ( )( ) ( )( )
1 1 1
2 2 2
3
'
'
' 0
t t t
t t t
D t e D t e D e t
D t e D t e D e t
D t
− − −
+ = +
− = − +
=
⇒
( )( )( )
1
2
3
'
'
' 0
t
t
D t e t
D t e t
D t
−
=
=
=
⇒
( )( )( )
1
2
3
'
'
' 0
t
t
D t te
D t te
D t
−=
=
=
( )( )( )
1 1
2 2
3 3
' d d
' d d
' d 0 d
tD t D t te t
D t D t te t
D t D t t
−= =
= =
= = ⋅
∫ ∫∫ ∫∫ ∫
⇒
Kinematski pojmovi Rješenje početnog (nehomogenog sistema) Veza između Lagrangeovih i Eulerovih koordinata
19
⇒
( )1 1
d dd d
d d d
tt t t t t
t t
u t v e tD t te t te e t te e C
u t v e t e
−
− − − − −− −
= == = = − + = − − +
= = = −∫ ∫∫( ) ( )1 11tD t e t C−= − + +
( )2 2
d dd d
d d d
tt t t t t
t t
u t v e tD t te t te e t te e C
u t v e t e
= == = = − = − +
= = =∫ ∫∫( ) ( )2 21tD t e t C= − +
( )3 30 dD t t C= ⋅ =∫
1
2
3
1
1
t
t
x C e ty C e tz C
−
= − −
= + −
=
0 1
0 2
0 3
11
x x Cy y Cz z C
ξης
= = = −
= = = −
= = =
1
2
3
11
CCC
ξηζ
= += +
=Za 0t = ⇒ ⇒
( )( )
1 1
1 1
t
t
x e t
y e tz
ξ
η
ζ
−
= + − −
= + + −
=
Kinematski pojmovi Komponente ubrzanja u Lagrangeovom i Eulerovom sistemu polje brzine: U Lagrangeovom sistemu
20
( ) ( )
( ) ( )
d d 1 1 1 1d dd d 1 1 1 1d dd d 0d d
t tx
t ty
z
xv e t et tyv e t et tzvt t
ξ ξ
η η
ζ
− −
= = + − − = + −
= = + + − = − + +
= = =
d d,d dr vv at t
= =
( ) ( )v x t i y t j= + + − +
( ) ( )
( ) ( )
( )
d d 1 1 1d d
d d 1 1 1d d
d d 0 0d d
t txx
y t ty
zz
va e et t
va e e
t tvat t
ξ ξ
η η− −
= = + − = +
= = − + + = +
= = =
⇒
Kinematski pojmovi Komponente ubrzanja u Lagrangeovom i Eulerovom sistemu polje brzine: U Eulerovom sistemu
Koristeći vezu između Lagrangeovih i Eulerovih koordinata vidi se da iz obrazaca za brzinu i ubrzanje u jednom sistemu slijede obrasci u drugom sistemu, tj. oba pristupa daju isti rezultat samo na drugi način
21
DD
DD
DD
x x x x xx x y z
y y y y yy y y z
z z z z zz x y z
v v v v va v v vt t x y z
v v v v va v v v
t t x y zv v v v va v v vt t x y z
∂ ∂ ∂ ∂= = + + +
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
= = + + +∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
= = + + +∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( )v x t i y t j= + + − +
( )
gradva v vtv v vt
∂= + ⋅∂∂
= + ⋅∇∂
⇒
( )( )1 11 1 1
0
x
y
z
a x t x ta y t y ta
= + + = + +
= + − + − = − +
=
Kinematski pojmovi Jednačine strujnih linija i strujno polje u trenutku t = 0 polje brzine:
22
( ) ( )v x t i y t j= + + − +
× =
d 0v ld d d
x y z
x y zv v v
= =0 0
d d d0
x y zx t y t
= =+ − + 0 0
d d
d 0
x yx t y tz
=+ − +
=
( ) ( )0 0 1
2
x t y t Cz C
+ − + = −
=
⇒ ⇒
0 0
d d
d 0
x yx t y t
z
=+ − +
=
∫ ∫
∫⇒ 0
d du y t
u y= − +
= −0
d d
d 0
x ux t u
z
= −+
=
∫ ∫
∫⇒
( ) ( )0 1
2
ln ln lnx t u Cz C
+ = − + −
=
( ) ( ) ( )0 0 1
2
ln ln lnx t y t Cz C
+ = − − + + −
=
( ) ( )0 0 1
2
x t y t Cz C
+ − + = −
=
⇒
⇒( )( ) ( )0 0 1
2
ln lnx t y t C
z C
+ − + = − =
⇒
Kinematski pojmovi strujnice u trenutku t = 0 su porodica hiperbola u horizontalnoj ravni
23
( ) ( )0 0 1
2
x t y t Cz C
+ − + = −
=za 0t = ⇒
1
2
xy Cz C− = −=
⇒ 1
2
xy Cz C
==
⇒
Kinematski pojmovi Jednačina trajektorije djelića tečnosti koji se u trenutku t = 0 nalazio u položaju M0(-1,-1,0) polje brzine: trajektorija zadanog djelića tečnosti je pravac u horizontalnoj ravni
24
( ) ( )v x t i y t j= + + − +
( )( )
1 1
1 1
t
t
x e t
y e tz
ξ
η
ζ
−
= + − −
= + + −
=
11
0
x ty tz
= − −= −=
za 0t = ⇒
11
0
ξηζ
= −= −=
⇒ 20
x yz+ = −=
1t x= − − ⇒
⇒
Kinematski pojmovi Položaj istog fluidnog djelića u trenutku t = 2 i strujno polje u tom trenutku vremena polje brzine: Položaj u t = 2 Strujno polje u t = 2
25
( ) ( )v x t i y t j= + + − +
za 2t = ⇒
1 2 1 31 2 1 1
0
x ty tz
= − − = − − = −= − = − ==
⇒ ( )2M 3,1,0−
( ) ( )0 0 1
2
x t y t Cz C
+ − + = −
=za 2t = ⇒
( )( ) 1
2
2 2x y Cz C
+ − + = −
=
Kinematski pojmovi
26
( )2M 3,1,0−
( ) ( ) 1
2
2 2x y Cz C
+ − + = −
=
Kinematski pojmovi Polje vektora vrtloženja prema izrazu polje brzine: Zadano strujno polje (polje brzina tečnosti) je bezvrtložno (potencijalno), tj. nema rotacije djelića tečnosti i u cijelom polju je
27
( ) ( )v x t i y t j= + + − +
⇒
1 rot2
vω =
1 1 1rot2 2 2
0x y z
i j k i j k
vx y z x y z
v v v x t y t
ω ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 02
y t i x t j y t x t ky z x z x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − − + − − + + − + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
{ }1 0 0 0 02
i j k = − + =
0ω =
Stacionarno kretanje po strujnicama Jednačina kontinuiteta za stacionarno strujanje U stacionarnom strujanju masa tečnosti u kontrolnom volumenu
je konstantna (promjena mase jednaka je nuli)
Za ρ = const 28
ρ ρ= = =∫ ∫2
1
d dl
V l
m V A l const
ρ= =∫2
1
d d d 0d d
l
l
m A lt t
=d dl v t
( ) ( ) ( )ρ ρ ρ ρ ρ= = = = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
d d d dd d d d d 0d d d d
l l l l l
l l l l l
m A l Av t Av t Av Qt t t t
( ) ( )ρ ρ= − = ⇒2 1
d 0dm Q Qt ( ) ( )ρ ρ= = =
1 2m Q Q const
ρ= = ⇒m Q const =Q const
Deformacija djelića tečnosti Volumna dilatacija Djelić tečnosti konstantne mase δm = ρAδl pri kretanju kroz
strujnu cijev mijenja svoj oblik
U toku vremena δt desi se promjena površine presjeka i brzine
Razlika između ulaznog i izlaznog volumena
29
δ δ∂ ∂= =∂ ∂
d , dA vA l v ll l
δ = −2 1V V V
δ δ= =1V A l Av t
δ δ δ∂ ∂ = + + ∂ ∂ 2
A vV A l v l tl l
Deformacija djelića tečnosti Nakon uvrštavanja
Nakon sređivanja i zanemarivanja malih veličina višeg reda
Volumna deformacija (dilatacija) i brzina deformacije
30
δ δ δ δ δ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + − ∂ ∂ ∂ ∂ 2A v A vV Av v l A l l Av t
l l l l
δ δ δ δ δ∂ ∂ = + + − ∂ ∂ A vV A l v l t Av tl l
δ δ δ δ∂ ∂ = + ∂ ∂ A vV v l A l tl l
( )δ δ δ
∂=
∂Av
V l tl
( )δε δ δδ
∂ ∂= = =
∂ ∂V
AvV Qt tl l l
εεδ
∂= =
∂
VV
Qt l
Klasifikacija strujanja tečnosti Vrste klasifikacija Prema viskoznosti
strujanje idealne (neviskozne) strujanje realne (viskozne) tečnosti
Prema stišljivosti strujanje stišljive strujanje nestišljive tečnosti
Prema zavisnosti strujnog polja od vremena stacionarno strujanje (nezavisno od vremena) nestacionarno strujanje (zavisno od vremena)
Prema broju nezavisno promjenjivih koordinata jedno-, dvo i trodimenzionalno strujanje
31
Klasifikacija strujanja tečnosti Prema vrtložnosti
nevrtložno ili potencijalno strujanje (vektor ugaone brzine jednak nuli) vrtložno strujanje (vektor ugaone brzine različit od nule)
Prema režimu strujanja laminarno strujanje prelazno strujanje turbulentno strujanje
Strujanje može biti i neka kombinacija navedenih tipova
nestacionarno dvodimenzionalno strujanje stišljive tečnosti stacionarno trodimenzionalno turbilentno strujanje ...
32
Reynoldsov transportni teorem Ekstenzivne veličine (ekstenzivna polja) E Fizikalna svojstva tijela (u ovom slučaju fluida) koja se kao takva
pridružuju volumenu kako cijelog tijela tako i njegovih dijelova ekstenzivne veličine E su npr. ukupna ili unutrašnja energija U, količina
kretanja , ... zavise od mase tijela (tečnosti) u posmatranom volumenu, pa se mogu
izraziti kao specifične veličine (izražene po jedinici mase) npr.
količina ekstenzivnog polja δE koju sadrži masa djelića tečnosti δm=ρdV
specifični sadržaj ekstenzivne veličine po jedinici mase (gustina ekstenzivne veličine)
33
K
δ δ ρ= = dE e m e V
( ) ( )/ / d ili / / du U m U V k K m K Vδ δ δ ρ δ δ δ ρ= = = =
( )δ δ δ ρ= =/ i / de E m e E V
Reynoldsov transportni teorem Reynoldsov transportni teorem Posmatra se brzina promjene veličine E
Ekstenzivno polje E mijenja se usljed vremenske promjene gustine polja i promjene volumena tečnosti (sistema) Dakle, prvi integral u limesu sa desne strane je zbir te dvije promjene
34
( ) ( )( )ρ= ∫
d , d , d
d d V t
E V te r t V
t t
( ) ( ) ( )ρ ρ ρ+∆∆ →
+∆
= − ∆ ∫ ∫ ∫0
d 1d lim d dd t t tt
V t V t t V t
e V e V e Vt t
( )ρ= ∫
d d dd d V t
E e Vt t
( ) ( ) ( )ρ ρ ρ+∆∆ →
− + ∆ ⋅ ∆ ∫ ∫ ∫
0
1lim d d dt t ttV t V t A t
e V e V t ev n At
Reynoldsov transportni teorem promjena polja E usljed vremenske promjene gustine polja u trenutku t
promjena polja E usljed promjene volumena tečnosti u intervalu ∆t usljed
protoka polja E kroz površinu A(t)
Nakon izražavanja prvog integrala u limesu zbirom ove dvije promjene
dobija se
35
( )ρ +∆∫ dt t
V t
e V
( ) ( ) ( )ρ ρ ρ+∆ +∆
+∆
= + ∆ ⋅∫ ∫ ∫
d d dt t t tV t t V t A t
e V e V t ev n A
( )d - promjena volumena sistema∆ = ∆ ⋅∫
A t
V t v n A
( )ρ∆ ⋅ ∆∫
d - sadržaj veličine unutar A t
t ev n A E V
Reynoldsov transportni teorem Prva dva člana u limesu se mogu izraziti kao
Rješenjem limesa dobija se izraz Reynoldsov transportni teorem
U trenutku kada sistem prolazi kroz kontrolni volumen, zbog konstantnosti granica integracije ∂/∂t se može izvući izvan integrala
Reynoldsov transportni teorem – ukupna (totalna) promjena veličine E
sistema jednaka je zbiru vremenske promjene E u kontrolnom volumenu (lokalna promjena) i protoka E kroz kontrolnu površinu (konvektivna promjena)
36
( ) ( )
( )( )
ρρ ρ+∆
∂− = ∆
∂∫ ∫ ∫d d dt t tV t V t V t
ee V e V t V
t
( )
( )( ) ( )
ρρ ρ
∂= + ⋅
∂∫ ∫ ∫ d d d d
d V t V t A t
ee V V ev n A
t t
( ) ( )
d dd d dd dV V A
KV KP
Ee V e V ev n At t t
ρ ρ ρ∂= = + ⋅
∂∫ ∫ ∫
= +ukupna promjena sistema lokalna konvektivnaE
Reynoldsov transportni teorem Izvođenje izraza za materijalni izvod iz RTT
Ukupna brzina promjene (u vremenu) veličine
Po zakonu o održanju mase, masa se ne može stvoriti niti uništiti, odnosno masa je konstantna δm = const
Reynoldsov transportni teorem (primjenom teoreme G.O. )
37
V
E e mδ= ∫
( )
( )( )
dd dd d dV t V t
mE em et t t
δδ= +∫ ∫
( )δ=
d0
dmt
( ) ( )δ ρ= =∫ ∫
d d d dd d dV t V t
E e em Vt t t
( )( ) ( )
( ) ( )( )
d d d div dd
ρ ρρ ρ
∂ ∂= + ⋅ = + ∂ ∂ ∫ ∫ ∫
V t A t V t
e eE V ev n A ev Vt t t
Reynoldsov transportni teorem Za E = m, e = δE/δm = δm/δm = 1:
Izjednačavanjem izraza za dE/dt
Materijalni izvod je ukupna promjena veličine koju nosi fluidni djelić izražena kao zbir lokalne promjene tog polja u fiksnoj tački prostora i konvektivne promjene tog polja usljed polja brzine
38
( ) ( ) ( )ρ ρρ ρ ρ ρ ρ∂ ∂ ∂
= + = + + + ⋅∂ ∂ ∂
d div div gradd
ee eev e e v v et t t t
( )( )
( )ρ ρρ ρ∂ ∂ = + = ⇔ + = ∂ ∂ ∫ d div d 0 div 0
d V t
m v V vt t t
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + ⋅ = + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
d Dgradd Dx y ze e e e e e ev e v v vt t t x y z t
= 0
( )
( ) ( )( )
ρρ ρ
∂= + ∂
∫ ∫d d div d
dV t V t
ee V ev Vt t
