02_Osciladores Acoplados

Vibr

aciones y Ondas Osciladores Acoplados Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013

Ejercicios Propuestos:

1) Se unen dos péndulos idénticos mediante un muelle de acoplamiento ligero. Cada péndulo tiene una longitud de 0,4 m y están situados en un lugar donde g = 9,8 m/s2. Estando conectado el muelle de acoplo, se sujeta uno de los péndulos y se encuentra que el periodo del otro es de 1,25 s. exactamente.

a) Si ninguno de los péndulos está sujeto ¿Cuáles son los períodos de los dos modos normales?b) ¿Cuál es el intervalo de tiempo entre dos amplitudes posibles máximas sucesivas de un péndulo

después que uno de ellos se retira lateralmente y luego se deja en libertad?

2) Dos osciladores armónicos A y B, de masa m y constantes kA y kB, respectivamente, se acoplan juntos mediante un muelle de constante kC. Halla las frecuencias normales ω’ y ω” y describe los

modos normales de oscilación si se cumple la relación: k C2 =k A k B .

3) Se conectan dos objetos, A y B, cada uno de ellos de masa m, mediante muelles, según se ve en la figura. El muelle de acoplo tiene una constante kc, y los otros dos tienen una constante k 0. Si se sujeta B, A vibra con una frecuencia de 1,81 s-1. La frecuencia ν1 del modo normal inferior es 1,14 s-1.

a) Comprueba personalmente que las ecuaciones del movimiento de A y B son:

md2 x A

dt2=−k0 x A−kc (x A−xB )

md2 xB

dt2=−k0 xB−kc (x B−x A )

b) Siω0=√k0 /m , demuestra que las frecuencias angulares ω1 y ω2 de los modos normales

vienen dadas por:

ω1=ω0 ;ω2=[ω02+(2kc/m )]

12

Vibr



Y que la frecuencia angular de A cuando se sujeta B (xB = 0 siempre) viene dada por:

ωA=[ω02+(kc/m )]

12

c) Utilizando los datos numéricos anteriores calcula la frecuencia esperada (ν2) del modo normal más alto. (El valor observado fue de 2,27s-1)

d) A partir de estos mismos datos calcula el cocientek c/k0 , de las dos constantes de los muelles.

4) La molécula de CO2 puede asemejarse a un sistema constituido por una masa central m2 unida por muelles iguales de constante k a dos masas m1 y m3 (siendo m3 = m1).

a) Plantea y resuelve las ecuaciones de los dos modos normales en los cuales las masas oscilan a lo largo de la recta que une sus centros. (La ecuación de movimiento para m 3 es

m3 (d2 x3/dt 2 )=−k (x3−x2)θ y pueden escribirse ecuaciones semejantes para m1 y m2)

b) Haciendo m1 = m3 = 16 unidades y m2 = 12 unidades ¿Cuál será el cociente de las frecuencias de ambos modos, admitiendo que fuese aplicable la descripción clásica?

5) El esquema muestra una masa M1 sobre un plano sin rozamiento unida a un soporte O mediante un muelle de rigidez k. La masa M2 está sujeta a M1 mediante una cuerda de longitud l.

a) Utilizando la aproximación de oscilaciones pequeñas:

sin θ≈ tanθ=x2−x1

lY partiendo de F = ma, deduce las ecuaciones de movimiento de M1 y M2:

M 1 x1=−kx1−M 2gl ( x2−x1) M2 x2=−

M 2g

l (x2−x1 )b) Para M1 = M2 =M3, utiliza las ecuaciones para obtener las frecuencias normales del sistema.

c) ¿Cuáles son los movimientos de modo normales para M1 = M2 = M y g/ l >>k /M ?

Vibr



6) Se sujeta por sus extremos a dos soportes fijos una cuerda de longitud 3l y masa despreciable. La tensión de la cuerda es T.

Apn=Cn sinθa) Se sujeta una partícula de masa m a una distancia l de un extremo de la cuerda, como está

indicado. Escribe la ecuación para las oscilaciones transversales pequeñas de m y halla el período.

b) Se une una partícula adicional de masa m a la cuerda como se ve en la figura, dividiéndola en tres segmentos iguales cada uno de ellos con tensión T. Dibuja el aspecto de la cuerda y la posición de las masas en los dos modos normales separados de las oscilaciones transversales.

c) Calcula ω para el modo normal que tenga mayor frecuencia.

7) Considerando un sistema de N osciladores acoplados asociados a una frecuencia ω < 2ω0, es decir,

y0=0 ; y N+1=hcosωt. Halla las amplitudes resultantes de los N osciladores.

Indicaciones: Las ecuaciones diferenciales del movimiento son las mismas que en el caso sin impulsar, sólo son diferentes las condiciones límite. De aquí que pueda

ensayarse Ap=C sin αp

, y determinar así los valores necesarios de α y C.Si ω < 2ω0, α es complejo y las ondas se amortiguan exponencialmente en el espacio.

Vibr



Ejercicios Resueltos:

1) Se unen dos péndulos idénticos mediante un muelle de acoplamiento ligero. Cada péndulo tiene una longitud de 0,4 m y están situados en un lugar donde g = 9,8 m/s2. Estando conectado el muelle de acoplo, se sujeta uno de los péndulos y se encuentra que el periodo del otro es de 1,25 s. exactamente.

a) Si ninguno de los péndulos está sujeto ¿Cuáles son los períodos de los dos modos normales?

Según vimos en clase, los dos modos normales de vibración son:

Donde ω02=g / l , que será la velocidad angular de los péndulos. En el primero los dos péndulos

oscilan en fase y por tanto no inducen elongación en el muelle que los une, mientras que en el

segundo los dos péndulos tienen un desfase de π /2y por tanto ambos inducen elongación en el muelle que los une.

Por tanto las ecuaciones dinámicas para este sistema serán:

m a=m( d2 x A

dt 2−(−ω0

2 x A ))=−kx A+kxB⇒md2 x A

dt2+mω0

2 x A+kx A−kx B=0

m a=m( d2 xB

dt2−(−ω0

2 xB ))=−kxB+kx A⇒md2 xB

dt2+mω0

2 xB+kx B−kx A=0

Si reordenamos las ecuaciones del sistema obtendremos:

Vibr



md2 x A

dt2+mω0

2 x A+kx A−kx B=md2 x A

dt2+mω0

2 x A+k ( x A−xB )=0

md2 xB

dt2+mω0

2 x B+kxB−kx A=md2 xB

dt2+mω0

2 x B−k (x A−xB )=0

Como los sistemas de ecuaciones diferenciales simultáneas son, en general difíciles de resolver, buscamos combinaciones lineales que nos permitan resolver cada sistema por separado.

md2 x A

dt 2+mω0

2 x A+k (x A−x B)=0

md2 x B

dt 2+mω0

2 x B−k (x A−xB )=0

md2 (x A+xB )

dt2+mω0

2 ( x A+xB )=0

md2 x A

dt 2+mω0

2 x A+k (x A− xB )=0

−[m d2 xB

dt2+mω0

2 xB−k (x A−xB )]=0

md2 (x A−x B )

dt 2+mω0

2 (x A−x B )+2k (x A−x B)=0

Que son los modos normales de vibración, por lo que todo el sistema queda reducido a estas dos ecuaciones diferenciales:

md2 (x A+xB )dt2

+mω02 (x A+xB )=0 ¿}¿¿⇒m

d2q1

dt2+mω0

2q1=0 ¿ ¿¿ md2 ( x A−xB )

dt2+mω0

2 ( x A−xB )+2k ( xA−xB )=0 ¿}¿¿⇒md2q2

dt2+mω0

2q2+2kq2=0 ¿¿Si resolvemos estos sistemas vemos que la solución para q1 y q2 será:

q1=(x A+xB )⇒ md2q1

dt2+mω0

2q1=0 ⇒d2q1

dt2+ω0

2 q1=0

q2=( x A−xB )⇒ { md2q2

dt 2+mω0

2q2+2kq2=0

⇒d2q2

dt 2+ω0

2q2+2km

q2=d2q2

dt 2+ω0

2 q2+2ωc2q2=

¿d2q2

dt 2+(ω0

2+2ωc2)q2=

d2 q2

dt2+ω' 2q2=0

} ⇒d2q2

dt2+ω'2q2=0

Por lo tanto tendremos que los valores de la velocidad angular para cada modo normal será:

ω0=√ gl

ω'=√ω02+2ωc

2⇒ωc=√ km

El valor del periodo del primer modo normal de vibración es muy sencillo, será el mismo que el de un péndulo con la misma longitud que nos indican en el enunciado:

Vibr



ω0=√gl

¿}¿¿⇒√ gl=2π

T⇒T=2π √ l

g=2π √ 0,4

9,8=1 ,27 s¿

Vibr



El segundo modo normal es un poco más difícil porque mezcla el periodo del oscilador armónico con el periodo del péndulo. Podemos obtener éste a partir del periodo del sistema, manteniendo fijo uno de los péndulos, dado que si se mantiene fijo uno de los péndulos el péndulo restante se comporta como si no estuviera acoplado. El sistema quedará:

Si planteamos la ecuación dinámica para este sistema obtendremos:

m a=m( d2 x B

dt 2−(−ω0

2 xB ))=−kxB⇒md2 xB

dt 2+mω0

2 x B+kxB=0⇒

⇒d2 xB

dt 2+ω0

2 xB+km

x B=0⇒d2 xB

dt 2+ω0

2 x B+ωc2 xB=0⇒

d2 xB

dt 2+(ω0

2+ωc2) x B=0⇒

⇒d2x B

dt 2+ω rSup { size 8{2} } x rSub { size 8{B} } =0 drarrow ω=√ω0

2+ωc2

Como ya sabemos el valor de T0 y T”, podemos obtener el valor de Tc:

ω= sqrt {ω rSub { size 8{0} } rSup { size 8{2} } +ω rSub { size 8{c} } rSup { size 8{2} } } drarrow { {2π} over {T=√( 2πT 0

)2

+( 2πT c

)2

⇒ 2πT } } =2π sqrt { left ( { {1} over {T rSub { size 8{0} } } } right ) rSup { size 8{2} } + left ( { {1} over {T rSub { size 8{c} } } } right ) rSup { size 8{2} } } drarrow } {} # drarrow left ( { {1} over {T

¿¿2=( 1T 0

)2

+( 1T c

)2

⇒( 1T c

)2

=( 1T } } right ) rSup { size 8{2} } - left ( { {1} over {T rSub { size 8{0} } } } right ) rSup { size 8{2} } drarrow {} # drarrow T rSub { size 8{c} } = { {1} over { sqrt { left ( { {1} over {T )

2

−( 1T 0

)2

¿¿¿= 1√¿¿¿ ¿

Por tanto una vez hemos obtenido Tc, ya podemos obtener el periodo del segundo modo normal de vibración.

ω'=√ω02+2ωc

2 ¿}¿¿ 2 πT '

=√( 2πT 0

)2

+2( 2πTc

)2

=2 π √ 1T 0

2+ 2

T c2=2 π √ 1

2πgl+ 2

T c2⇒ ¿⇒T '= 1

√ 1

T 02+

2

T c2

= 1

√ 12π

9,80,4

+ 2

(0 ,55 )2

=0 ,31s ¿¿

Vibr



b) ¿Cuál es el intervalo de tiempo entre dos amplitudes posibles máximas sucesivas de un péndulo después que uno de ellos se retira lateralmente y luego se deja en libertad?

El movimiento del sistema corresponderá a la superposición de las ecuaciones de movimiento de los dos modos normales de vibración.

Si resolvemos las ecuaciones diferenciales para cada una de las coordenadas normales, obtendremos:

q1=Ceiω0 t

⇒{q1 =−i [C2 eiω0 t

−C2

e−iω0 t ]⇒q1=C sin (ω0t )

q ' 1 =C2

eiω0 t

+C2

e−iω0 t

⇒q ' 1 =C cos ( ω0 t )

q2=Ce iω' t ⇒{q2=−i [D2 e iω' t−D2

e−iω ' t ]⇒q2=Dsin (ω' t )

q ' 2=D2

eiω ' t+ D2

e−iω ' t⇒q ' 2=D cos (ω' t )

Como quiera que el movimiento real de los péndulos es una superposición de estas coordenadas, obtenemos el movimiento de los péndulos deshaciendo la combinación lineal que usamos para obtener q1 y q2:

x A=12 (q1+q2 )⇒ {x A=

12 (C sin (ω0 t )+ Dsin ( ω' t ) )

x A=12 (C cos (ω0 t )+D cos (ω' t ) )

xB=12

(q1−q2)⇒{xB=12 (C sin (ω0 t )−D sin (ω' t ) )

xB=12 (C cos (ω0 t )−D cos (ω' t ) )

Esta adición-sustracción de senos y cosenos la podemos desarrollar como un producto de senos y cosenos.

{x A=12 ( A0sin (ω0 t )+ A0 sin (ω' t ))=

A0

2 (2sin12 (ω0 t+ω' t )cos

12 (ω0 t−ω' t ))=A0sin [12 (ω0+ω' ) t ]cos [12 (ω0−ω' ) t ]

x A=12 ( A0cos (ω0 t )+ A0cos ( ω' t ) )=

A0

2 (2 cos12 (ω0 t+ω' t )cos

12 (ω0 t−ω' t ))=A0cos [12 (ω0+ω' ) t ]cos [12 (ω0−ω' ) t ]

{xB=12 ( A0sin (ω0 t )−A0sin (ω' t ) )=

A0

2 (2cos12 (ω0 t +ω' t )sin

12 (ω0 t−ω' t ))=A0 cos[12 (ω0+ω' ) t ]sin [12 (ω0−ω' ) t ]

xB=12 ( A0cos (ω0 t )−A0cos (ω' t ) )=

A0

2 (2 sin12

(ω0 t−ω' t ) sin12

(ω0 t +ω' t ))=A0sin [12 (ω0−ω' )t ]sin [12 (ω0+ω' ) t ]En cualquier caso vemos que el movimiento de los péndulos presenta una pulsación con una velocidad angular :

Δω=12 (ω0−ω' )

Y una envolvente que tiene una velocidad angular:

Vibr



ω=12 (ω0+ω' )

Vibr



Si representamos gráficamente el movimiento de los péndulos, vemos que el intervalo entre dos amplitudes máximas es el periodo de la envolvente:

XA

0.00 5.00 10.00 15.00

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

XB

0.00 5.00 10.00 15.00

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

Como regla mnemotécnica piensa que la velocidad angular más pequeña será la de la envolvente, dado que es la que oscila menos veces por unidad de tiempo.

Por tanto, lo que nos están pidiendo en el ejercicio es:

Δω=12

(ω0−ω' ) ¿}¿¿2πT

=12 ( 2 π

T 0

−2 πT ' )⇒T=

21T 0

− 1T '

=2

10 ,31

− 11 ,27

=0 ,81 s ¿

Como quiera que, a priori, es imposible decidir cuál de los dos periodos será mayor, el orden de éstos se decide cuándo se reduce al valor numérico de tal manera que el resultado ha de ser siempre positivo.

T=2π / Δω T=2π / Δω

Vibr



2) Dos osciladores armónicos A y B, de masa m y constantes kA y kB, respectivamente, se acoplan juntos mediante un muelle de constante kC. Halla las frecuencias normales ω’ y ω” y describe los

modos normales de oscilación si se cumple la relación: k C2 =k A k B .

Los dos modos normales que encontramos para este sistema serán:

En el primer modo normal se estiran los muelles A y B, aunque desfasados, pero no el muelle C, y en cambio en el segundo modo normal se estiran todos los muelles, vibrando en fase los muelles A y B y estando el muelle C desfasado con respecto a A y B.

Por tanto las ecuaciones dinámicas serán:

md2 x A

dt 2=−k A x A−k C xC

md2 xB

dt2=−k B xB−kC xC

Si consideramos que xC=(x A−xB ) , con respecto a xA, pero

xC=(x B−x A ) , con respecto a xB

entonces obtendremos las siguientes ecuaciones dinámicas:

md2 x A

dt 2=−k A x A−k C (x A−xB )⇒m

d2 x A

dt2=−k A x A−k C (x A−xB )

md2 x B

dt2=−kB xB−kC (x B−x A )⇒m

d2x B

dt 2=−k B xB+k C (x A−xB )

A partir de estas ecuaciones dinámicas podemos obtener las coordenadas normales del sistema, que serán las que expresan los modos normales de vibración:

md2 x A


md2 xB

dt2=−k B x B+kC ( x A−xB )

md2 (x A+x B)

dt2=−k A x A−kB xB

md2 x A


−[m d2 xB

dt2=−k B x B+kC ( x A−xB )]

md2 (x A−xB )

dt2=−k A x A+kB xB−2kC (x A−x B )

Pero como vemos no es posible ir más allá, porque para avanzar por este método necesitaríamos que se cumpliera la condición adicional que kA = kB.

Vibr



Vibr



Para sortear este escollo y resolver el sistema, recurriremos a un método algo más general. Proponemos las siguientes funciones de prueba:

x A=C A e iωt dx A

dt=iC A ωeiωt d2 x A

dt2=−C A ω2e iωt

xB=CB e iωtdxB

dt=iCB ωeiωt

d2 xB

dt2=−CB ω2e iωt

Introducimos ahora estas funciones de prueba en la ecuación diferencial:

md2 x A

dt 2=−k A x A−k C (x A−xB )⇒−mCA ω2e iωt=−k A CA e iωt−kC (C A eiωt−CBeiωt )⇒−mCA ω2=−k A CA−kC (C A−CB )

md2 xB

dt 2=−kB xB+kC (x A−x B)⇒−mCB ω2 eiωt=−k BCB e iωt+kC (C A eiωt−CB eiωt )⇒−mCBω2=−k BCB+kC (C A−CB )

A partir de estas ecuaciones obtenemos el valor de CA y CB:

{−mCA ω2=−k A C A−k C (C A−C B) ¿ ¿¿¿¿

¿Podemos utilizar la expresión de estos cocientes para obtener el valor de ω como el resultado de una ecuación de segundo grado:CA

CB

=kC

−mω2+k A+kC

=−mω2+k B+kC

kC

⇒ kC2 =(−mω2+kB+kC ) (−mω2+k A+kC)⇒

⇒ kC2 =m2ω4−mk A ω2−mkC ω2−mkB ω2+k A kB+k B kC−mkC ω2+k A kC+kC

2

⇒0=m2ω4−m (k A+k B+2kC )ω2+(k A kB+kB kC+k A kC)Por lo tanto la ecuación de segundo grado que hay que resolver será:

0=m2ω4−m (k A+kB+2kC )ω2+(k A k B+kB kC+k A kC )A partir de esta ecuación obtenemos los valores de ω, que serán la velocidad angular de los modos normales de vibración:

Vibr



ω2=m (k A+k B+2kC )±√ (m (k A+k B+2kC ))2−4m2 (k A kB+k B kC+k A k C)

2m2=

¿m (k A+kB+2kC )

2m2±√(m (k A+k B+2k C) )2−4 m2(k A k B+k B kC+k A kC )

2m2=

¿k A+k B+2k C

2m±√m2 (k A+k B+2k C)2

4m4−

4 m2 (k A k B+k Bk C+k A kC )4m4

=

¿k A+kB+2kC

2m±√ (k A+kB+2kC )2

4m2−

k A k B+kB kC+k A kC

m2=

¿k A+k B+2k C

2m±√( k A+k B+2kC

2m )2

−k A k B+kB kC+k A kC

m2

De donde las velocidades angulares de los modos normales de vibración serán:

ω'=[k A+k B+2kC

2m+√(k A+k B+2kC

2m )2


m2 ]1

2

ω= left [ { {k rSub { size 8{A} } +k rSub { size 8{B} } +2k rSub { size 8{C} } } over {2m} } - sqrt { left ( { {k rSub { size 8{A} } +k rSub { size 8{B} } +2k rSub { size 8{C} } } over {2m} } right ) rSup { size 8{2} } - { {k rSub { size 8{A} } k rSub { size 8{B} } +k rSub { size 8{B} } k rSub { size 8{C} } +k rSub { size 8{A} } k rSub { size 8{C} } } over {m rSup { size 8{2} } } } } right ] rSup { size 8{ {1} wideslash {2} } } {} } } {¿

¿

Si se cumple la condición de k C2 =k A k B entonces el sistema queda simplificado:

Vibr



ω'=[k A+k B+2kC

2m+√(k A+k B+2kC

2m )2


m2 ]1

2

=

¿ [k A+k B+2kC

2m+√ (k A+kB )2+2 (k A+k B )kC+4 kC

2

(2m )2−

k A kB+kB kC+k A kC

m2 ]1

2

=

¿ [k A+k B+2kC

2m+√ (k A+kB )2+2k A k C+2k B kC+4 kC

2

4m2−

k A kB+k B kC+k A k C

m2 ]1

2

=

¿ [k A+k B+2kC


2 −4 (k A kB+k B kC+k A kC )4m2 ]

12

=

¿ [k A+k B+2kC


2 −4 k A k B−4 k Bk C−4 k A kC

4m2 ]1

2

=

¿ [k A+k B+2kC

2m+√ (k A+kB )2+4k A k B−4k A k B−2k B kC−2k A kC

4m2 ]1

2

=

¿ [k A+k B+2kC

2m+√ (k A+kB )2−2k B kC−2k A k C

4m2 ]1

2

=[k A+k B+2kC

2m+√k A

2 +kB2 +2k A k B−2k B kC−2k A kC

4 m2 ]1

2

=

¿ [k A+k B+2kC

2m+√k A

2 +kB2 +2kC

2 −2k B kC−2k A kC

4m2 ]1

2

=[k A+k B+2kC

2m+√k A

2 +kB2 +2kC (kC−kB−k A )

4m2 ]1

2

Vibr



Y por tanto quedan los dos modos normales:

ω'=[k A+k B+2kC

2m+√k A

2 +kB2 +2kC (kC−k B−k A )

4 m2 ]1

2

ω= left [ { {k rSub { size 8{A} } +k rSub { size 8{B} } +2k rSub { size 8{C} } } over {2m} } - sqrt { { {k rSub { size 8{A} } rSup { size 8{2} } +k rSub { size 8{B} } rSup { size 8{2} } +2k rSub { size 8{C} } left (k rSub { size 8{C} } - k rSub { size 8{B} } - k rSub { size 8{A} } right )} over {4m rSup { size 8{2} } } } } right ] rSup { size 8{ {1} wideslash {2} } } {} } } {¿

¿

Vibr



3) Se conectan dos objetos, A y B, cada uno de ellos de masa m, mediante muelles, según se ve en la figura. El muelle de acoplo tiene una constante kc, y los otros dos tienen una constante k 0. Si se sujeta B, A vibra con una frecuencia de 1,81 s-1. La frecuencia ν1 del modo normal inferior es 1,14 s-1.

a) Comprueba personalmente que las ecuaciones del movimiento de A y B son:

md2 x A

dt2=−k0 x A−kc (x A−xB )

md2 xB

dt2=−k0 xB−kc (x B−x A )

Igualmente que el sistema del problema anterior, presentará los siguientes modos normales de vibración:

Por tanto las ecuaciones dinámicas del sistema serán:

md2 x A

dt 2=−k0 x A−kC xC

md2 xB

dt 2=−k0 xB−kC xC

Si consideramos que xC=(x A−xB ) , con respecto a xA, pero

xC=(x B−x A ) , con respecto a xB entonces obtendremos las siguientes ecuaciones dinámicas:

md2 x A

dt 2=−k0 x A−kC ( x A−xB )

md2 xB

dt 2=−k0 xB−kC ( xB−x A )

Que son las ecuaciones dinámicas que nos indicaban al principio.

b) Siω0=√k0 /m , demuestra que las frecuencias angulares ω1 y ω2 de los modos normales

vienen dadas por:

ω1=ω0 ;ω2=[ω02+(2kc/m )]

12

Y que la frecuencia angular de A cuando se sujeta B (xB = 0 siempre) viene dada por:

ωA=[ω02+(kc/m )]

12

Vibr



Para hallar los modos normales de vibración del sistema hemos de obtener las ecuaciones dinámicas, en función de las coordenadas normales del sistema:

md2 x A

dt2=−k0 x A−kC ( x A−xB )

md2x B

dt2=−k0 x B+kC ( xA−xB )

md2 (x A+xB )dt2

=−k 0 x A−k 0 xB

md2 (x A+xB )dt2

=−k 0 (x A+xB )

md2 x A

dt2=−k0 x A−kC ( x A−xB )

−[m d2 xB

dt2=−k0 x B+kC ( x A−xB )]

md2 (x A−x B )dt2

=−k0 x A+k 0 xB−2kC (x A− xB )

md2 (x A−x B )dt2

=−k0 (x A−xB )−2kC (x A−xB )Por tanto las ecuaciones dinámicas en función de las coordenadas normales serán:

q1=( x A+xB )⇒md2 q1

dt2=−k0q1 q2=(x A−x B)⇒m

d2q2

dt2=−k 0q2−2kC q2

Si reordenamos estas ecuaciones diferenciales obtendremos:

d2q1

dt 2+

k 0

mq1=0

d2q2

dt 2+(k0+2kC )q2 =0

Por tanto las soluciones de estas ecuaciones diferenciales serán:

ω1=ω0=√ k0

mω2=√ k0

m+

2kC

m=√ω0

2+2k C

mSi se sujeta una de las masas tendremos el siguiente esquema:

Y por tanto la ecuación dinámica de la masa restante será:

md2 x A

dt2=−k0 x A−kC x A=−(k 0+kC) x A ⇒

d2 x A

dt2+( k0

m+

k C

m )x A=0

La solución a esta ecuación diferencial es por tanto:

ω=√ k0

m+

kC

m=√ω0

2+kC

mDe acuerdo con lo que habíamos visto antes.

c) Utilizando los datos numéricos anteriores calcula la frecuencia esperada (ν2) del modo normal más alto. (El valor observado fue de 2,27s-1)

El valor de ν1 nos da el valor de la frecuencia de los osciladores de los extremos:

ω1=ω0=√ k0

m⇒ω1=2 πν1=2 πν0⇒ ν1=ν0=1 ,14 s−1

La frecuencia de oscilación del sistema trabado nos indica el valor del cociente k C/m , a partir

del que podemos obtener el valor de ν2:

Vibr



ω=√ω02+

kC

m⇒ω2=ω0

2+kC

m⇒ (2 π )2ν2=(2π )2ν0

2+kC

m⇒

kC

m=(2π )2( ν2−ν0

2)

ω2=√ω02+

2kC

m=√ (2π )2 ν0

2+2 (2π )2 (ν2−ν02)=2 π √ν0

2+2 (ν2−ν02 )⇒2 πν2=2 π √ν0

2+2 (ν2−ν02 )⇒

⇒ ν2=√ν02+2( ν2−ν0

2)=√(1 ,14 )2+2( (1 ,81 )2−(1 ,14 )2)=2 ,29 s−1

d) A partir de estos mismos datos calcula el cocientek c/k0 , de las dos constantes de los muelles.

Como no sabemos el valor de m, no podemos determinar el valor de kC y k0, pero podemos determinar el cociente entre las dos constantes elásticas:

kC

m=(2π )2 (ν2−ν0

2) ¿}¿¿⇒kC

k0

=(2 π )2 (ν2−ν0

2 )(2 π )2 ν0

2=

ν2−ν02

ν02

=1,812−1 ,142

1 ,142=1 ,52¿

Vibr



4) La molécula de CO2 puede asemejarse a un sistema constituido por una masa central m2 unida por muelles iguales de constante k a dos masas m1 y m3 (siendo m3 = m1).

a) Plantea y resuelve las ecuaciones de los dos modos normales en los cuales las masas oscilan a lo largo de la recta que une sus centros. (La ecuación de movimiento para m 3 es

m3 (d2 x3/dt 2 )=−k (x3−x2) y pueden escribirse ecuaciones semejantes para m1 y m2)

De acuerdo con lo que hemos estado viendo en los sistemas anteriores, también presentará dos modos normales de vibración en la dirección que une los centros de los átomos.

En el primer modo normal consideramos el átomo de carbono estático y los átomos de oxígeno en movimiento, en cambio en el segundo, los átomos de oxígeno estarán estáticos y el de carbono en movimiento. Las ecuaciones dinámicas por tanto serán:

m1

d2 x1

dt2=−k (x1−x2)

m2

d2 x2

dt2=−k (x2−x1)−k (x2−x3 )

m3

d2 x3

dt2=−k ( x3−x2)

Como la primera y la segunda ecuación se refieren a los átomos de oxígeno son la misma, puesto que son indistinguibles uno de otro, por lo tanto el sistema queda reducido a:

m1

d2 x1

dt2=−k (x1−x2)

m2

d2 x2

dt2=−2k (x2−x1 )

A partir de aquí podemos obtener las ecuaciones en coordenadas normales:

Vibr



m2[m1

d2x1

dt2=−k (x1−x2 )]

m1[m2

d2 x2

dt 2=2k (x1−x2 )]

m1m2

d2 (x1+x2)dt 2

=−(m2−2m1 )k ( x1−x2)

m2 [m1

d2 x1

dt2=−k (x1−x2)]

−m1 [m2

d2 x2

dt2=2k (x1−x2)]

m1m2

d2 (x1−x2)dt 2

=−(m2+2m1)k (x1−x2)Al igual que en el problema 2) el método de las coordenadas normales no nos permite resolver el sistema, por lo tanto no queda más solución que obtener la solución por el método general. Se plantean las funciones de prueba:

x1=C1e iωt dx1

dt=iC1 ωeiωt d2 x1

dt 2=−C1ω2eiωt

x2=C2e iωtdx 2

dt=iC 2ωeiωt

d2 x2

dt 2=−C2ω2eiωt

Introducimos estas funciones de prueba en las ecuaciones dinámicas de los núcleos atómicos:

{−m1C1 ω2e iωt=−k (C1eiωt−C2e iωt ) ¿ ¿¿¿¿

¿A partir de aquí podemos obtener el valor de ω2 mediante una ecuación de segundo grado:

C1

C2

=−k

−m1ω2+k=

−m2ω2+2k

−2k

−2k2=(−m2ω2+2k ) (−m1 ω2+k )−2k2=m1m2ω4−2m1 kω2−m2kω2+2k2

Por lo tanto la ecuación que hay que resolver es:

0=m1m2ω4−(m2+2m1)kω2+4k 2

Y a partir de aquí ya podemos obtener el valor de ω2 como resultado de esta ecuación de 2º grado.

Vibr



ω2=(m2+2m1 )k±√(m2+2m1 )2k 2−16m1m2k 2

2m1m2

=

¿(m2+2m1) k±k √ (m2+2m1)2−16m1 m2

2m1 m2

=

¿m2+2m1

2m1m2

k±√(m2+2m1 )2−16m1m2

2m1m2

k=

¿ (m2+2m1

2m1m2

±√ (m2+2m1 )2−16m1m2

4 m12m2

2 )k=¿(m2+2m1

2m1m2

±√(m2+2m1

2m1m2)2

− 4m1m2

)kDe donde obtenemos los valores para las velocidades angulares de los modos normales de vibración:

ω'=[(m2+2m1

2m1m2

+√(m2+2m1

2m1m2)2

−4m1 m2

)k ]1

2

ω= left [ left ( { {m rSub { size 8{2} } +2m rSub { size 8{1} } } over {2m rSub { size 8{1} } m rSub { size 8{2} } } } - sqrt { left ( { {m rSub { size 8{2} } +2m rSub { size 8{1} } } over {2m rSub { size 8{1} } m rSub { size 8{2} } } } right ) rSup { size 8{2} } - { {4} over {m rSub { size 8{1} } m rSub { size 8{2} } } } } right )k right ] rSup { size 8{ {1} wideslash {2} } } {} } } {¿

¿

b) Haciendo m1 = m3 = 16 unidades y m2 = 12 unidades ¿Cuál será el cociente de las frecuencias de ambos modos, admitiendo que fuese aplicable la descripción clásica?

No podemos determinar el valor absoluto de las frecuencias porque no sabemos la fuerza relativa del enlace de la molécula de CO2, pero si podemos obtener los valores relativos de las frecuencias:

Vibr



ω'ω} } = { { left [ left ( { {m rSub { size 8{2} } +2m rSub { size 8{1} } } over {2m rSub { size 8{1} } m rSub { size 8{2} } } } + sq rt { left ( { {m rSub { size 8{2} } +2m rSub { size 8{1} } } over {2m rSub { size 8{1} } m rSub { size 8{2} } } } righ t ) rSup { size 8{2} } - { {4} over {m rSub { size 8{1} } m rSub { size 8{2} } } } } righ t )k righ t ] rSup { size 8{ {1} wideslash {2} } } } over { left [ left ( { {m rSub { size 8{2} } +2m rSub { size 8{1} } } over {2m rSub { size 8{1} } m rSub { size 8{2} } } } - sq rt { left ( { {m rSub { size 8{2} } +2m rSub { size 8{1} } } over {2m rSub { size 8{1} } m rSub { size 8{2} } } } righ t ) rSup { size 8{2} } - { {4} over {m rSub { size 8{1} } m rSub { size 8{2} } } } } righ t )k righ t ] rSup { size 8{ {1} wideslash {2} } } } } ={}} {} # = left [ { { left ( { {m rSub { size 8{2} } +2m rSub { size 8{1} } } over {2m rSub { size 8{1} } m rSub { size 8{2} } } } + sq rt { left ( { {m rSub { size 8{2} } +2m rSub { size 8{1} } } over {2m rSub { size 8{1} } m rSub { size 8{2} } } } righ t ) rSup { size 8{2} } - { {4} over {m rSub { size 8{1} } m rSub { size 8{2} } } } } righ t )} over { left ( { {m rSub { size 8{2} } +2m rSub { size 8{1} } } over {2m rSub { size 8{1} } m rSub { size 8{2} } } } - sq rt { left ( { {m rSub { size 8{2} } +2m rSub { size 8{1} } } over {2m rSub { size 8{1} } m rSub { size 8{2} } } } righ t ) rSup { size 8{2} } - { {4} over {m rSub { size 8{1} } m rSub { size 8{2} } } } } righ t )} } righ t ] rSup { size 8{ {1} wideslas h { 2 } } } = { } { } # = l e f t [ { { l e f t ( { { 12 +2·16 } over {2 ·16 ·12 } } + sq rt { left ( { {12 +2·16 } over {2 ·16 ·12 } } righ t ) rSup { size 8{2} } - { {4} over {12 ·16 } } } righ t )} over { left ( { {12 +2·16 } over {2 ·16 ·12 } } - sq rt { left ( { {12 +2·16 } over {2 ·16 ·12 } } righ t ) rSup { size 8{2} } - { {4} over {12 ·16 } } } righ t )} } righ t ] rSup { size 8{ {1} wideslash {2} } } ={} {} # = left [ { { left ( 0 , 11+ sq rt { left (0 , 11 righ t ) rSup { size 8{2} } - 0 , 02 } righ t )} over { left (0 ,11 - sq rt { left (0 , 11 righ t ) rSup { size 8{2} } - 0 , 02 } righ t )} } righ t ] rSup { size 8{ {1} wideslash {2} } } = left [ { { left (0 ,11+ sq rt { left (0 , 11 righ t ) rSup { size 8{2} } - 0 , 02 } righ t )} over { left (0 ,11 - sq rt { left (0 , 11 righ t ) rSup { size 8{2} } - 0 , 02 } righ t )} } righ t ] rSup { size 8{ {1} wideslash {2} } } {} } } {¿

¿¿

¿¿

Vibr



5) El esquema muestra una masa M1 sobre un plano sin rozamiento unida a un soporte O mediante un muelle de rigidez k. La masa M2 está sujeta a M1 mediante una cuerda de longitud l.

a) Utilizando la aproximación de oscilaciones pequeñas:

sin θ≈ tanθ=x2−x1

lY partiendo de F = ma, deduce las ecuaciones de movimiento de M1 y M2:

M 1 x1=−kx1−M 2gl ( x2−x1) M2 x2=−

M 2g

l (x2−x1 )Si planteamos el sistema de fuerzas:

Las ecuaciones dinámicas serán:

M 1

d2 x1

dt2=−kx1−M 2g sinθ

M 2

d2 x2

dt2=−M 2 g sinθ

Si planteamos la aproximación para ángulos pequeños, encontraremos:

M 1

d2 x1

dt2=−kx1−M 2g

x2−x1

l⇒ M 1

d2 x1

dt 2=−kx1−M 2

gl (x2−x1 )

M 2

d2 x2

dt2=−M 2g

x2−x1

l⇒ M 2

d2 x2

dt 2=−M 2

gl (x2−x1 )

Que son las ecuaciones que nos proponían inicialmente.

Vibr



Vibr



b) Para M1 = M2 =M, utiliza las ecuaciones para obtener las frecuencias normales del sistema.

Combinamos ahora las dos ecuaciones anteriores para obtener las ecuaciones dinámicas en función de las coordenadas normales del sistema:

M 1

d2 x1

dt 2=−kx1−M 2

gl

(x2−x1)

M 2

d2 x2

dt 2=−M 2

gl

(x2−x1)

M 1

d2 x1

dt2+M 2

d2 x2

dt 2=−kx 1−2 M 2

gl

(x2−x1 )

M 1

d2x1

dt2=−kx1−M 2

gl (x2−x1)

−[M 2

d2 x2

dt 2=−M 2

gl

( x2−x1 )]M 1

d2x1

dt2−M 2

d2 x2

dt 2=−kx1

Si M1 = M2 = M el sistema se simplifica enormemente, quedando:

Md2 x1

dt 2+M

d2 x2

dt 2=−kx1−2M

gl

(x2−x1 ) ⇒d2 ( x1+x2)

dt 2=−

kM

x1−2gl

(x2−x1)

Md2 x1

dt2−M

d2 x2

dt2=−kx1 ⇒

d2 (x1−x2 )dt2

=− kM

x1

Sin embargo, nuevamente (problema 2)) no es posible resolver este sistema por el método de las coordenadas normales, puesto que no es posible hallar una combinación lineal que nos separe completamente ambas. No quedará más solución que recurrir al método general:

x1=C1e iωt dx1

dt=iC1 ωeiωt d2 x1

dt 2=−C1ω2eiωt

x2=C2e iωtdx 2

dt=iC 2ωeiωt

d2 x2

dt 2=−C2ω2eiωt

Introducimos estas funciones de prueba en las ecuaciones iniciales, con la aproximación M 1 = M2 = M

Vibr



{M d2 x1

dt 2=−kx1−M

gl (x2−x1 )¿ ¿¿¿

¿

¿

A partir de estos cocientes extraemos el valor de ω, a partir de una ecuación de 2º grado:

C1

C2

=−M

gl

(−Mω2+k−Mgl )

=(−ω2+ g

l )gl

−M ( gl )

2

=(−ω2+ gl )(−Mω2+k−M

gl )

−M ( gl )

2

=Mω4−ω2k+Mω2 gl−Mω2 g

l+k

gl−M ( g

l )2

0=Mω4−ω2k+kgl−M ( g

l )2

+M ( gl )

2

0=Mω4−ω2k+kgl

Esta es la ecuación de 2º grado que hay que resolver, por lo tanto:

ω2=k±√k2−4 k2 g

l2 M

=k±√(1−4

gl )k2

2M=

k±k √1−4gl

2 M= k

2M± k

2M √1−4gl

Y así las frecuencias de los modos normales de vibración serán:

Vibr



ω'=[k2 M+k

2 M √1−4gl ]

12

2πν '=[k2 M+k

2M √1−4gl ]

12

ν '=12π [k2M

+k2 M √1−4

gl ]

12

¿¿

c) ¿Cuáles son los movimientos de modo normales para M1 = M2 = M y g/ l >>k /M ?

Si g/ l >>k /M , la frecuencia de los modos normales de vibración se convierte en imaginaria, por lo que el sistema se comportará como un péndulo fijo. Lo que estará sucediendo es que M es muy grande, comparado con la constante elástica del muelle y entonces no podrá vibrar, por lo que desaparece el acoplamiento, el único movimiento posible, por tanto será el del péndulo.

Vibr



6) Se sujeta por sus extremos a dos soportes fijos una cuerda de longitud 3l y masa despreciable. La tensión de la cuerda es T.

Apn=Cn sinθa) Se sujeta una partícula de masa m a una distancia l de un extremo de la cuerda, como está

indicado. Escribe la ecuación para las oscilaciones transversales pequeñas de m y halla el período.

El sistema de fuerzas para el primer caso será:

La ecuación dinámica por tanto será:

(0 ,−md2 yn

dt2 )=(T cos αn+1−T cos αn−1 ,T sin α n+1−T sin αn−1)¿ {T cosα n+1−T cosα n−1=0 ¿¿¿

La ecuación que nos interesa es la de la dirección vertical, ya que da un resultado diferente de 0. Si aplicamos la aproximación para ángulos pequeños:

sin α≈ tan α=yn− yn+1

l

Vibr



Por tanto nos quedará la ecuación diferencial:

−md2 yn

dt 2=T sin αn+1−T sin α n−1=T

yn− yn+1

l−T

yn−1− yn

2 l=

T2l (2 yn−2 yn+1− yn−1+ y n)=

3T2l

yn−T2 l (2 yn−1+ yn+1 )=3

T2 l

yn−T2l

2 yn−1−T2 l

yn+1⇒−d2 yn

dt 2=3

T2lm

yn−T2 lm

2 y n−1−T2lm

yn+1

⇒−d2 yn

dt 2=3ω0

2 yn−2ω02 yn−1−ω0

2 yn+1⇒

¿

{−d2 yn

dt 2=3ω0

2 yn−ω02 (2 yn−1+ y n+1 )¿ ¿¿¿

Como yn-1 y yn+1 son los extremos de la cuerda están fijos, por lo que la ecuación diferencial queda:

−d2 yn

dt2=3 ω0

2 yn¿}¿¿⇒ω2=3ω0

2⇒ω=√3ω02=√ 3 T

2 lm⇒ 2π

T=√ 3T

2 lm⇒T=2 π √ 2lm

3 T¿

b) Se une una partícula adicional de masa m a la cuerda como se ve en la figura, dividiéndola en tres segmentos iguales cada uno de ellos con tensión T. Dibuja el aspecto de la cuerda y la posición de las masas en los dos modos normales separados de las oscilaciones transversales.

c) Calcula ω para el modo normal que tenga mayor frecuencia.

La ecuación diferencial para una cuerda con n masas equiespaciadas será:

−md2 yn

dt2=T sin αn+1−T sin αn−1=T

yn− yn+1

l−T

yn−1− yn

l=

Tl ( yn− yn+1− yn−1+ yn )=

2Tl

yn−Tl ( yn−1+ yn+1)=2

Tl

yn−Tl

yn−1−Tl

yn+1⇒−d2 yn

dt2=2

Tlm

yn−Tlm

yn−1−T2 lm

yn+1

⇒−d2 yn

dt2=2ω0

2 yn−ω02 yn−1−ω0

2 yn+1⇒

¿

{−d2 yn

dt2=2ω0

2 yn−ω02 ( yn−1+ yn+1) ¿ ¿¿¿

Vibr



Vibr



Si introducimos Apn=Cn sinθ

como función de prueba:

Apn=Cn sinθdApn

dt=Cn

dθdt

cosθd2 A pn

dt 2=−Cn( dθ

dt )2

sin θ

Introducimos ahora esta serie de ecuaciones en la ecuación diferencial:

Cnω2 sinθ=2ω02Cn sinθ−ω0

2 (Cn−1 sinθ+Cn+1 sin θ )Cn ω2=2ω0

2Cn−ω02Cn−1+ω0

2Cn+1

Cn ω2−2ω02Cn=−ω0

2Cn−1+ω02Cn+1

ω2−2ω02

ω02

=Cn+1−Cn−1

Cn

La cuerda tiene 4 nodos, de los cuales el nodo 1 y el 4 están inmóviles, por lo que los modos normales de vibración serán:

ω2−2ω02

ω02

=C2

C1

=C2

0=∞

ω2−2ω02

ω02

=C3−C1

C2

=C3−0

C2

=1

ω2−2ω02

ω02

=0−C2

C3

=−1

ω2−2ω02

ω02

=−C3

C4

=−C3

0=∞

En los extremos la expresión no es válida, porque están estacionarios, por lo tanto las soluciones del sistema serán:

ω2−2ω02

ω02

=±1⇒ω2−2ω02=±ω0

2⇒ω2=2ω02±ω0

2 ¿ {ω2=2ω02+ω0

2=3ω02⇒ω=√3ω0 ¿ ¿¿

La solución que nos están pidiendo será la del modo normal que tenga mayor frecuencia:

ω=√3ω0=√ 3Tlm

Vibr



7) Considerando un sistema de N osciladores acoplados asociados a una frecuencia ω < 2ω0, es decir,

y0=0 ; y N+1=hcosωt. Halla las amplitudes resultantes de los N osciladores.

Indicaciones: Las ecuaciones diferenciales del movimiento son las mismas que en el caso sin impulsar, sólo son diferentes las condiciones límite. De aquí que pueda

ensayarse Ap=C sin αp

, y determinar así los valores necesarios de α y C.Si ω < 2ω0, α es complejo y las ondas se amortiguan exponencialmente en el espacio.

En el ejercicio anterior obtuvimos la ecuación diferencial para un sistema con n masas equiespaciadas:

−d2 yn

dt2=2ω0

2 yn−ω02 ( yn−1+ yn+1) ω0

2= Tlm

Introducimos ahora la expresión que proponen en el enunciado. En primer lugar calculamos las derivadas:

Ap=C cosαpdA p

dt=.−Cp

dαdt

sin αpd2 A p

dt 2=−Cp2 ω2 cos αp

Ahora ya podemos introducir estas expresiones en la ecuación diferencial:

Cp2 ω2 cos αp=2ω02C cosαp−ω0

2 (C cosα ( p−1 )+C cos α ( p+1 ) )( p2 ω2−2ω0

2 )cos αp=−ω02 (cosα ( p−1 )+cos α ( p+1 ) )

−p2ω2−2ω0

2

ω02

=cosα ( p−1 )+cosα ( p+1 )

cosαp

−p2ω2−2ω0

2

ω02

=cos ( αp−α )+cos (αp+α )

cosαp

−p2ω2−2ω0

2

ω02

= cosαp cosα +sin αp sin α+cos αpcos α−sin αp sin αcosαp

−p2ω2−2ω0

2

ω02

= cos αpcos α+cos αpcos αcosαp

=cos α

Por lo tanto obtenemos que el valor de α será:

cos α=−p2 ω2−2ω0

2

ω02

⇒α=arccos[− p2 ω2−2ω02

ω02 ]

Si se ha de cumplir que ω < 2ω0, entonces p2 = 1, y entonces quedará:

α=arccos [−ω2−2ω02

ω02 ]

Como el extremo de la cuerda está libre α debe ser múltiplo de π en ese punto, para que se

cumpla quey N+1=hcosωt

:

Vibr



( N+1 ) α=pπ⇒α= pπ(N+1 )

Vibr



Introducimos este resultado en la función de prueba y obtenemos el valor de C, de acuerdo con las condiciones de contorno:

y N+1=hcosωt=C cos( pπ(N+1 ) )cosωt⇒C=h

1

cos ( pπ(N+1 ) )

Como p=1, entonces quedará:

C=h1

cos ( π(N+1 ) )

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02_Osciladores Acoplados