6

02-Din- D-parcacigin kinematigi ozet eklendi - Mehmet Omurtag · 2012-07-30 · hareket denir. Eğer hareket belli bir düzlemin dışına çıkmıyorsa bu düzlemsel (iki boyutlu)

  • Upload
    others

  • View
    6

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 02-Din- D-parcacigin kinematigi ozet eklendi - Mehmet Omurtag · 2012-07-30 · hareket denir. Eğer hareket belli bir düzlemin dışına çıkmıyorsa bu düzlemsel (iki boyutlu)
Page 2: 02-Din- D-parcacigin kinematigi ozet eklendi - Mehmet Omurtag · 2012-07-30 · hareket denir. Eğer hareket belli bir düzlemin dışına çıkmıyorsa bu düzlemsel (iki boyutlu)

TEMEL DENKLEMLER Doğrusal hareket

d / dt=v r , d / dv x t=

d / dt=a v , 2 2d / d d / da v t x t= = , d da x v v=

Sabit ivmeli doğrusal hareket

o ov v a t= + , 2 2 2 ( )o o ov v a x x= + - 21

2o o ox x v t a t= + +

Düzlemde eğrisel hareket (Kartezyen Takım)

d / dv s t= , x y= +v i j , 2 2v x y= +

x yv v x y= + = +a i j i j , 2 2a x y= +

Düzlemde eğrisel hareket (Doğal Takım)

tv=v e , v s= 2 2

t n t n

v sv s

= + = +a e e e e

, 2 2

t na a a= +

ta v s= = , 2 2/ /na v s = =

Eğrilik 2

2

d1 d

d dt

s s

= = =

e r ,

3s

´=

a v

2 2 3/ 2

1

( )

x y yx

x y

-

= =+

, 2 3/ 2[1 ( ) ]

y

y

¢¢=

¢+

Düzlemde eğrisel hareket (Kutupsal takım)

rr r = +v e e , rv r= , v r r = =

2 2rv v v= + , = , = =

2( ) ( 2 )rr r r r = - + +a e e

2ra r r= - , 2a r r = + , 2 2

ra a a= +

Uzayda eğrisel hareket (Silindirik takım)

rr r z= + +v e e k 2( ) ( 2 )rr r r r z = - + + +a e e k

Bağıl hareket

/B A B A= +r r r , /B A B A= +v v v

/B A B A= +a a a

Uzayda eğrisel hareket (Kürsel takım)

sinrr r r = + +v e e e

2 2 2

2

( sin )

(2 sin sin 2 cos )

(2 sin cos )

rr r r

r r r

r r r

= - -

+ + +

+ + -

a e

e

e

Bağıl hareket (hareketli eksen takımı)

/ /( )B A B A xy B A= + + ´v v v ω r

/ / /

/

( ) 2 ( )

( )

B A B A xy B A B A xy

B A

= + + ´ + ´

+ ´ ´

a a a α r ω v

ω ω r

Kuvvet, kütle, ivme m=F a

İş ve Enerji

A A B BT U T + = , 212A AT mv= , 21

2B BT mv=

( )d d dB

A B x y zAU F x F y F z = + +ò

Güç : P = ⋅F v

İmpuls-Momentum

=F G , m=G v , dB

A

tA Bt

t+ =òG F G

O O =M H , O m= ´H r v

( ) d ( )B

A

tO A O O Bt

t+ =òH M H

Çarpışma ( ) ( )

( ) ( )B n A n

A n B n

v ve

v v

-=

- , B A

A B

v ve

v v

-=

-

( ) ( ) ( ) ( )A A n B B n A A n B B nm v m v m v m v+ = +

( ) ( )A t A tv v= , ( ) ( )B t B tv v=

Gök mekaniği

( )2 2

1cos 1 cosd dGM GM

C er h h

= + = +

2 dk

o

GMv

r= , d

dd

GMv

r= ,

2 32 4

d

aT

GM

=

( )11 22

a r r= + , 1 2b r r=

Page 3: 02-Din- D-parcacigin kinematigi ozet eklendi - Mehmet Omurtag · 2012-07-30 · hareket denir. Eğer hareket belli bir düzlemin dışına çıkmıyorsa bu düzlemsel (iki boyutlu)

2.1 GİRİŞ

Eğer hareket eden parçacığın ivmesi sıfırdan farklı ise, bu bir dinamik olay olup, ancak ona etkiyen bir takım dengelenmemiş kuvvetler sayesin-de gerçekleşebilir. Öte yandan, mühendislikte öyle dinamik uygulamalar vardır ki, burada harekete neden olan kuvvetlerden daha çok, parçacığın izleyeceği yörünge, hız ve ivme önemlidir. Örneğin; birlikte çalışan diş-liler, mafsallı bağlantılar, belli hareketlere ayarlanmış makine elemanları, uzay araçları, roketler gibi. Bu ve benzeri mühendislik problemlerini inceleyen kinematik, sadece hareketin geometrisiyle ilgilenir.

Yörünge: Parçacığın hareketi sırasında izlediği yola yörünge denir. Eğer parçacık ya da cisim bir uzay eğrisi üstünde yol alıyorsa, buna üç boyutlu hareket denir. Eğer hareket belli bir düzlemin dışına çıkmıyorsa bu düzlemsel (iki boyutlu) hareket olur. Eğer hareket bir doğru boyunca gerçekleniyorsa, o zaman da buna doğrusal (bir boyutlu) hareket denir.

Koordinat Takımı: Yörünge hesabı yapılırken probleme uygun bir eksen takımının seçimi büyük önem taşır. Üç boyutlu hareketler için dikdörtgen (Kartezyen) koordinatlar , ,x y z , silindirik koordinatlar , ,r z ya da

küresel koordinatlar , ,r kullanılabilir. Düzlem haller için Kartezyen takımın yanı sıra, kutupsal koordinatlar ,r ya da yörüngenin teğet ve normal doğrultuları ile ilişkili doğal koordinatlar kullanılabilir. Dinamik-te bir vektörel büyüklük farklı eksen takımlarında ifade edilebilir. Fakat; bu durumda bir karışıklığa neden olmamak için her farklı koordinat takı-mında sadece ona özel olan birim vektörler kullanılır. Kartezyen takım dışındaki tüm koordinat takımlarına ait birim vektörler yörünge üstünde hareketlidir (Bakınız Şekil 2.1). Dinamikte neden farklı eksen takımları-na gereksinim duyulduğu konular ilerledikçe daha iyi anlaşılacak. Parça-cığın hareketi bazen sabit bir noktaya yerleştirilmiş bir eksen takımı kul-lanılarak belirlenirken (mutlak hareket), bazen de hareket eden bir kayna-

Page 4: 02-Din- D-parcacigin kinematigi ozet eklendi - Mehmet Omurtag · 2012-07-30 · hareket denir. Eğer hareket belli bir düzlemin dışına çıkmıyorsa bu düzlemsel (iki boyutlu)

12 DİNAMİK

.ÖRNEK 2-1. Şekil P1.1 deki koşu bandında koşan adam, bandın çalışmasını programa bağlamıştır. Eğer üretici firma bandın konum fonksiyonu

2 3( ) 90 10 mx t t t= - olacak biçiminde ayarlanmış ise, 0t = ile 6dkt =

arasında adamın hızı ile ivmesinin zamana göre değişimini grafik olarak çiziniz. Ayrıca bu süre içinde adamın koştuğu mesafeyi ve ulaştığı en büyük hızı bulunuz. Adamın koşarken bant üstündeki yerini kaybet-mediğini varsayınız.

ÇÖZÜM: Adamın ayağını bastığı koşu bandı üstündeki bir noktanın konu-muna ait konum fonksiyonu,

2 3( ) 90 10 mx t t t= - (P1.1)

dur. (2.4) de (P1.1) yerleştirilirse, adamın hız fonksiyonu,

Hız : ( )2 3 2d d90 10 180 30 [m/dk]

d d

xv t t t t

t t= = - = - (P1.2)

HESAP ESASLARI Doğrusal harekette eksen takımı başlangıcı sabit bir noktaya

yerleştirilir. Kinematik ilişkiler:

hız konum : d / dv x t=

ivme hız ya da konum : 2 2d / d d / da v t x t= = ivme konum hız : d da x v v=

Dört değişken , ,x v a ve t içinden herhangi ikisi arasında bir bağıntı biliniyorsa, üç değişkeni ilişkilendiren yukarıdaki üç kine-matik bağıntı ile üçüncü değişken bulunur.

ÖZET BİLGİ Dinamik, ivmeli parçacık ya da cisimlerin hareketini inceler. Kinematik, parçacığın ya da cismin yaptığı hareketin geometrisiyle

ilgilenir. Konum, hız ve ivme vektörel büyüklüklerdir. Doğrusal hareket

incelendiğinde skaler büyüklükler üstünden yapılacak işlemler hesaplarda sadelik sağlar. Yalnız bu durumda vektörlerin yerine kullanılan şiddetlerin işaretlerine dikkat edilmelidir.

Parçacık pozitif eksen doğrultusunda giderken hızı da pozitiftir. Aksi halde negatif işaretlidir.

Parçacık hızlanırken ivmesi pozitif, yavaşlarken negatif işaret alır.

Page 5: 02-Din- D-parcacigin kinematigi ozet eklendi - Mehmet Omurtag · 2012-07-30 · hareket denir. Eğer hareket belli bir düzlemin dışına çıkmıyorsa bu düzlemsel (iki boyutlu)

2. PARÇACIĞIN KİNEMATİĞİ 43

OA doğrultusuna göre 55 46 101B + = + =

Şekil P16.2 den yararlanabilirsiniz.

İvme vektörü:

( ) ( )2 2rr r r r = - + +a e e

( ) ( )21.6 3.14 1.04 3.14 0.64 2 3.17 1.04r = - ´ + ´ + ´ ´e e

21.796 8.6 cm / snr =- +e e

İvmenin şiddeti : ( )2 2 21.796 8.6 8.79 cm/sna= - + =

İvmenin doğrultusu : ( )1 8.6tan 78

1.796 -= =-

-

Tanım gereği tan sin / cos = dır. Yukarıda sin 0> ve cos 0<

olduğundan açı II. bölgede ölçülür (Bakınız Şekil P16.3).

OA doğrultusuna göre ( ) ( )180 55 180 78 157B + - = + - =

Şekil P16.3 den yararlanabilirsiniz.

.ÖRNEK 2-17. Şekil P17.1 deki OP kolu içinde açılmış olan radyal yarıkta serbestçe hareket edebilen P pimi, altındaki düzlemde yer alan ve kapalı yörüngesi cosr a b = - denklemiyle belirlenmiş eğrisel bir yarığa bağlı

olarak hareket etmektedir. Burada 1.2 ma = , 0.35mb= dir. 120 =

olduğunda pimin hızı 6m/snv = ve ivmesi 252m/sna = değerine ulaşı-

yor. Bu noktada açısal hız ile açısal ivme yı hesaplayınız.

ÇÖZÜM: Başlangıç olarak hesaplarda kullanılacak olan radyal koordinatın zamana göre türevleri belirlenmelidir. Yalnız problemde r ve koor-dinatları t zamanı cinsinden verilmemiş. Bunun yerine elimizde yörünge denklemi ( )r r = var. O nedenle ( )r nın zaman göre türevini bulmak

için zincir kuralından yararlanırken, bunların 120 = deki değerlerini

de ve ya bağlı olarak belirleyelim:

1.2 0.35cosr = - , 120

1.375mPr r == =

( )0.35sinr = , 120

0.303 m/snPr r =

= =

( ) ( )20.35cos 0.35sinr = + , 2 2120

0.175 0.303 m/snPr r =

= =- +

Page 6: 02-Din- D-parcacigin kinematigi ozet eklendi - Mehmet Omurtag · 2012-07-30 · hareket denir. Eğer hareket belli bir düzlemin dışına çıkmıyorsa bu düzlemsel (iki boyutlu)

2. PARÇACIĞIN KİNEMATİĞİ 57

elde edilir. ( )Tx t ve ( )By t nin zamanın fonksiyonları olduğuna dikkat

ederek (P24.2) yi zamana göre türetirsek,

2 2

0 2 T TB

T

x xy

x h=- +

+

(P24.3)

olur. Traktöre balyalardan 12mTx = uzakta iken, balyaların yukarı

çıkma hızı B Bv y= , 4 m/snT Tx v= = ve 10mh = dir. Bu büyüklükler

(P24.3) de yerleştirilirse, balyaların yukarıya doğru hızı:

2 2 2 2

12 41.54m/sn

2 2 12 10

T TB

T

x vv

x h

´= = @

+ +

2.10 İKİ PARÇACIK ARASINDA BAĞIL HAREKET

Buraya kadar, bir parçacığın hareketini sabit bir eksen takımı üstünden belirlediğimiz için hesaplanan hız ve ivme vektörleri de mutlak değerler oldu. Şimdi biraz daha ileriye gidelim ve A ve B diye iki tane hareket eden parçacık düşünelim. Sabit eksen takımı , ,x y z yi korurken, Şekil

2.26 da görüldüğü gibi ötelenerek hareket eden A noktasına , ,x y z diye

onunla birlikte hareket eden ( x x , y y , z z ) bir başka eksen takı-

mı yerleştirirsek, B parçacığının hareketini hem sabit O( , , )x y z takımı

hem de ötelenen A ( , , )x y z takımı üstünden izleyebiliriz.

Konum Vektörü: Bu amaçla B parçacığının konum vektörünü, doğrudan sabit O noktası üstünden yazabileceğimiz gibi, O noktası üstünden hare-ketli A noktasına geçerek de yazabiliriz. Şöyle ki;

/B A B A= +r r r (2.102)

Burada, sabit O takıma göre A ve B noktalarının konum vektörleri Ar ve

Br olup, B noktasının hareketli A noktasına göre konumu /B Ar dir.

Hız: (2.102) in zamana göre türevi alınırsa,

d

dB

B t=

rv /B A B A= +v v v (2.103)

olur. Burada:

d /dB B t=v r : B noktasındaki mutlak hız

d /dA A t=v r : A noktasındaki mutlak hız

/ /d /dB A B A t=v r : B noktasının A noktasına göre bağıl (relative) hızı