VECTORES

RAZONES Y PROPORCIONES1. Razn.- Se llama razn, a la comparacin de dos cantidades. Esta comparacin se puede hacer de dos maneras.

Razn Aritmtica.- Es la comparacin entre dos cantidades por medio de una diferencia.

a b = r

Razn Geomtrica.- Es la comparacin entre dos cantidades por medio de un cociente.

2. Proporcin.- Se llama proporcin a la igualdad de dos razones de la misma clase.

Clases

Proporcin Aritmtica.- Es la igualdad de 2 razones aritmticas.

a. Proporcin Aritmtica Discreta.- Es cuando todos los trminos son diferentes entre si.

a b = c d

a y c: antecedentes

b y d: consecuentes

d: cuarta diferencial

b. Proporcin Aritmtica Continua.- Es cuando los trminos medios son iguales.a b = b c

b: media diferencial o media aritmtica

c: tercera diferencial

Proporcin Geomtrica.- Es la igualdad de dos razones geomtricas.

Clases

a. Proporcin Geomtrica Discreta.- Es cuando todos los trminos son diferentes entre si, donde:

b; c: medios

a; d: extremos

d: cuarta proporcional

b. Proporcin Geomtrica Continua.- Es cuando los trminos medios son iguales.

b: media proporcional o media geomtrica

c: tercera proporcional

SERIE DE RAZONES GEOMTRICAS EQUIVALENTES

Se denomina asi al conjunto de ms de dos razones que tienen el mismo valor:

Ejemplo:

En general definimos la serie:

Donde:

: Antecedentes

: Consecuentes

K: Constante de proporcionalidad

PROPIEDADES

PROPIEDAD DE LAS PROPORCIONES

Dada:

1. a . d = b. c

2.

3.

4.

5.

6.

PONGO A PRUEBA MI APRENDIZAJE1. El valor de la razn aritmtica de dos nmeros es 20 y el valor de su razn geomtrica es 7/3. Calcular la suma de dichos nmeros.A)40 B) 50C) 60D)70E) 802. En una proporcin geomtrica continua la suma de los trminos extremos es 26 y su diferencia es 10 . Calcular la media proporcional. A)9

B) 12C)15D)16E) 183. Calcular la cuarta diferencial de 27; 13 y 39; la tercera diferencial de 33 y 24 ; y la media diferencial de 49 y 17. Dar como respuesta, la suma de dichos nmerosA) 70B) 71C) 72D) 73E) 74

4. Se sabe que :M es la tercera proporcional de 81 y 9A es la media proporcional de 512 Y 2

R es la cuarta proporcional de 56, 7 y 64

Hallar la cuarta proporcional de R, A, M

A) 1 B) 2C) 4D) 8E) 95. En una proporcin geomtrica continua el producto de los 4 trminos es 1296 y el producto de los antecedentes es 24.

Hallar la tercera proporcional.

A) 9 B) 12C) 15D) 8E) 66. En una caja se tiene lapiceros azules, rojos y negros. Se observa que por cada 4 azules hay 3 rojos y por cada 5 rojos hay 6 negros. Si la cantidad de lapiceros azules exede a los rojos en 20 En cunto excede los lapiceros negros a los rojos ?A) 11 B) 12C) 14D) 15E) 167. A una fiesta concurren 400 personas entre hombres y mujeres, asistiendo 3 hombres por cada 2 mujeres. Luego de 2 horas por cada 2 hombres hay una mujer. Cuntas parejas se retiraron?A) 40B) 180C) 80D) 90E) 608. En una proporcin geomtrica continua de razn 3, uno de los trminos extremos es 8 veces ms que el otro. Hallar la media geomtrica. La diferencia de extremos es 32.A)20 B)144C)36D) 4E) 129. En una proporcin geomtrica continua, el producto de sus cuatro trminos es 256 y la suma de los mismos es 18. Calcular la diferencia entre el mayor y menor de los trminos, si se sabe que son enteros.

A)2 B)4C)6D)8E) Problema absurdo

10. En una proporcin continua la suma de los antecedentes es 18 y la suma del primero y ultimo termino es 15. Calcule la suma de los consecuentes, si la razn y todos los trminos son enteros.A) 8 B) 9C) 12D)16E) 1511. En una serie de 3 razones geomtricas equivalentes y continuas, el primer antecedente es 64 veces el ltimo consecuente. Hallar el valor de la constante de proporcionalidad.A) 1 B) 2C) 4D) 8E) 612.

EMBED Equation.3 adems 2a +b +c = 54Calcular : E= a+ 2b +c

A) 60B) 64C) 70D) 72E) 8013. Si:

Hallar U+N+S+C+H Si. H=5A) 400B) 395C) 340D) 480E) 32014. Si: , adems:

a.d.e.h = 216 y b.c.f = 54 Hallar g

A) 1B) 2C) 4D) 6E) 815. Si: y

hallar :

EMBED Equation.3 A)3

B) 320C) 330D) 340E) 38016. Si: ; a+c = 4 ; += 20 ; entonces , k es igual a : A) 25 B) 20C) 4D) 1/4E) 1/2517. si : y += 320 ; siendo a , b , c, k, naturales y distintos entre si, entonces , a +b +c es igual a : A) 542 B) 1046C) 1156D) 545E) 109218. Si: ; adems

Hallar el valor E =

A) 3

B) 4C) 5D) 6E) 9

19. Se sabe que :

, adems ( p+q+r+s)(h+l+m+n) = 6724

Hallar el valor numrico de la expresin :

M = + ( +++)A) 82B) 164C) 123D) 81E) 63

20. 20. Sabiendo que : y = 221

Hallar : ( a+b+c+d)

A) 35B) 53C) 37D) 51E) 25TAREA DOMICILIARIA01.Si dos nmeros estn en la relacin de 11a 5 ; y la suma de ambos es 240, entonces , el menor , es A) 60B) 70C) 80D) 75E) 9002.Sabiendo que:

y a.c+b.d = 14400.

La suma de los antecedentes es:

A) 252 B) 280C) 336D) 560E) 67203.En una caja, se tiene 15 bolas blancas y 12 bolas rojas Cuntas bolas blancas se deben aumentar para que la relacin entre bolas blancas y rojas sea de 3 a 2?A) 3

B) 2C) 5 D) 7E) 804. En una proporcin geomtrica continua la suma de los extremos es 34 y la diferencia de los mismos es 16. Hallar la media proporcional.

A) 12B) 15C) 18D) 21E) 1305.En una proporcin geomtrica la suma de los extremos es 21 y la suma de los medios es 19.

Hallar el mayor de los trminos de dicha proporcin si la suma de los cuadrados de los cuatro trminos es 442

A) 10B) 16C) 15D) 12E) 2006.Si:

Hallar: d

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 3207.Dada la serie de razones iguales:

Se cumple:

y

Hallar: k

A) 0.2 B) 0.6C) 0.8D) 0.1E) 0.48. Sabiendo que :

Y a b + c = 36

Calcular : el valor de d

A) 20 B) 25C) 42D) 52E) 48

9. Si:

Y (a+ b ) ( c + d ) ( e + f) =

Calcule : +

A) 119 B) 125C) 64D) 128E) 25610. A es la media proporcional de 25 y 9. B es la cuarta proporcional de 30, A y 8

Hallar: (A + B)

A) 15 B) 19C) 23D) 30E) 17PROMEDIOS

Definicin.- Es un valor, el cul es un indicativo del conjunto de datos, tiende a situarse en la parte central del conjunto de datos.

CLASES DE PROMEDIOS

1. MEDIA ARITMTICA (M.A).- Tambin llamado promedio aritmtico. Esta dado por la suma de las cantidades dividida entre el nmero de cantidades.

Ejemplos:

En general:

2. MEDIA GEOMTRICA (M.G).- Tambin llamado promedio geomtrico. Est dado `por el producto de las cantidades extrayendo la raz del nmero de cantidades a dicho producto.Ejemplo:

En general:

3. MEDIA ARMONICA (M.H).- Tambin llamado promedio armnico. Est dado por el nmero de cantidades dividido entre la suma de las inversas de cada una de las cantidades.Ejemplos:

En general:

PROPIEDADES

1. Para un conjunto de nmeros

2. Para dos nmeros

3. La diferencia entre la media aritmtica y la media geomtrica de dos nmeros (a y b) est dada por:

A est expresin se le conoce como: Formula que da el error que se comete al tomar la MA por laMG.

PONGO A PRUEBA MI APRENDIZAJE1. Hallar la de: 4; 6; 8; 10

Rta.

2. Hallar la de: 8; 16; 1/64 y 128

Rta.

3. Calcule la M.H. de 8; 12 y 18

A) 206/23 B) 208/19

C) 206/17

D) 205/11

E) 216/194. El promedio aritmtico de 20 nmeros es 60 y el promedio de otros 30 nmeros es 40. Cul es el promedio aritmtico de los 50 nmeros ?

A) 42 B) 34C) 46D) 48E) 505. El promedio de 45 nmeros es 11. Si se agrega un nmero ms el valor del promedio se ve incrementado en 14 unidades . Qu nmero se agreg?

A) 655B) 656C) 657D) 654E) 6586. El promedio geomtrico de los nmeros:

2 ; 4 ; 8 ; ; es igual a 512. Calcular n

A) 17B) 18C) 19D) 16E) 157. El doble de la M. A de dos nmeros es igual al cuadrado de su M. G. ms uno. Si uno de los nmeros es 18. Cul es el otro?

A) 2 B) 4 C) 3 D) 1 E) 58. La media aritmtica de dos nmeros es menor en 36 unidades que el mayor; la media geomtrica es el triple del menor.

Calcular el promedio armnico de dichos nmeros .

A) 9.6B) 12.8C) 14.4D) 16.2E) 19.69. Calcular n si el promedio armnico de:

es : s

A) 31B) 33C) 35D) 37E) 3910. Si el promedio armnico de 5 nmeros es 10 y el promedio armnico de otros 10 nmeros es 40. Calcular el promedio armnico de los 15 nmeros.

A) 25B) 30C) 20D) 15E) 2411. Un ciclista recorre un circuito cuadrado, el primer tramo lo hace a razn de 42 Km/h , el segundo a razn de 30 Km/h; el tercero a razn de 20 Km/h y el ultimo a razn de 12 Km/h Cul es su velocidad promedio para todo su recorrido ?

A) 20 Km/h B) 21 Km/h C) 24 Km/h

D) 25Km/h

E) 26 Km/h 12. Hallar la media armnica de a , b y c. Si sabemos que: MG (a ; b ) = 20 ; M G ( b , c ) = 30 ; M G ( a ; c ) = 40

A) 360/29B) 480/29C) 560/29D) 920/29E) 720/2913. El promedio aritmtico de las edades de 6 personas es 32 aos. Si ninguno de ellos tiene menos de 28 aos Cul es la mxima edad que podra tener uno de ellos?

A) 48B) 50C) 54D) 52E) 5614. Para 2 nmeros enteros positivos, diferentes entre si y diferentes de la unidad se cumple:

EMBED Equation.3 Dar la suma de estos nmeros.

A) 16B) 90C) 10D) 12E) 19

15. El promedio de 5 nmeros es X. Si el promedio de dos de ellos es Cul es el promedio de los otros tres?

A)

B)

C)

D)

E)

16. La M. H de los nmeros :

12, 20, 30, ..; 600 es :

A) 73B) 74C) 75D) 76E) 7717.Si para dos cantidades se cumple que :

M.A.M.H + 2.M.G = 195 . Halle el producto de los nmeros

A) 167B) 124C) 96D) 169E) 12018. La media aritmtica de 15 pares de 2 cifras es 24 y de otros 20 pares tambin de 2 cifras es 66. Cul es la media aritmtica de los nmeros pares de 2 cifras no considerados?

A) 69B) 75C) 73D) 55E) 6019. Un tren recorre la distancia que separa dos ciudades P y Q a una velocidad de 80 km/h, pero al regreso de Q hacia P a 120 km/h Cul es la velocidad promedio en km/h de su recorrido total?

A) 72B) 80C) 92D) 96E) 10020. El promedio de 12 nmeros es 15, al agregarle dos nmeros el promedio aumenta en 5 unidades. Calcular el mayor nmero agregado si se sabe que la diferencia de dichos nmeros es 50.

A) 82B) 75C) 48D) 85E) 78

TAREA DOMICILIARIA 1.Calcular el promedio armnico de : 6 , 12 y 6

A) 2,4B) 4,8C) 7,2D) 1,2E) 3,62. Si la media aritmtica de dos nmeros es 10 y su media geomtrica es 4 ; entonces, su media armnica, es:

A) 4,8B) 6,9C) 9,6D)8,4E) 10,13. El mayor promedio de 2 nmeros es 10, mientras que el menor promedio es 5,1

Calcular la diferencia de dichos nmeros.

A) 14B) 21C) 8D)4E) 6

4. El promedio de 48 nmeros es 36, si se le agrega los nmeros 80 y X , el valor se ve incrementado en 4 unidades. Dar como respuesta la suma de las cifras de X.

A) 9 B)10C) 11D) 12 E) 13

5. El promedio geomtrico de los nmeros:

3; 9; 27;; es 729. E l valor de n, es:

A) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 14

6. Si para dos cantidades se cumple que:

MA. MH + 2. MG = 195. Hallar el producto de los nmeros.

A)1 67 B) 124 C) 96D) 169 E) 120

7. Si la suma de dos nmeros enteros es 18 y su media armnica y su media aritmtica son nmeros consecutivos.

Calcule la diferencia de los nmeros.

A)6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10

8. Calcule la media armonca de los 10 primeros trminos de la siguiente sucesin.

8; 24; 48; 80

A) 40 B) 40.62C) 42.3D) 44 E) 43.39. Si la media geomtrica de dos nmeros es 14 y su media armnica . Hallar los nmeros.

Dar la suma de cifras del mayor.

A) 3 B) 10 C) 13 D) 5 E) 610. La M. A de 15 nmeros pares de dos cifras es 36 y de otros 15 nmeros tambin pares de dos cifras es 48. Cual es la M.A de los nmeros pares de dos cifras no considerados?

A) 68 B) 70 C) 74 D) 46 E) 7811. Un Africano sale a correr todas los das en un circuito de forma cuadrada con las siguientes velocidades;,

y .

Si la velocidad promedio es . Hallar. V

A) 12 B) 20 C) 15 D) 18 E) 24

MAGNITUDES PROPORCIONALES

MAGNITUD.- Es todo aquello susceptible de variacin (aumento o disminucin) y que puede ser medido.

CLASIFICACIN

1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Notacin: D.P ( Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al aumentar o disminuir una de ellas, entonces la otra aumenta o disminuye en las mismas condiciones.

Notacin: A es D.P a B A ( B

Ejemplo:

(A) # de huevos8162432

(B) costo s/2468

Se cumple:

Se concluye que: Si dos magnitudes (A y B) son directamente proporcionales, el cociente de sus valores correspondientes es una constante, llamada constante de proporcionalidad.

Graficando el ejemplo planteado al principio, observaremos que se trata de una recta. En efecto

2. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Notacin: (I.P )

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar o disminuir una de ellas, entonces la otra disminuye o aumenta en las mismas condiciones.

Notacin:

Ejemplo(A) # de obreros2468

(B) # de das241286

Se cumple:

Se concluye que: Si dos magnitudes (A y B) son inversamente proporcionales, el producto de sus valores correspondientes es una constante, llamada constante de proporcionalidad.

Graficando el ejemplo planteado lneas arriba, observaremos que se trata de una hiprbole. En efecto:

PROPIEDADES DE LAS MAGNITUDESI) Si:

Si:

II) Si:

Si:

III) Si:

IV) Para 3 magnitudes

Si: )Si: )Se cumple:

V) En General:Si

NOTA

1. Dos engranajes en contacto o concatenados

2. Dos engranajes unidos mediante un eje comn

PONGO A PRUEBA MI APRENDIZAJEA850C

Ba56

1. La magnitud A es D.P a la magnitud B cuando A= 48 ; B = 28. Calcular el valor que toma B, cuando A= 12

A) 7 B) 14 C) 21 D) 4 E) 8

2. A es I.P a B , cuando A = 72 ; B= 8. Calcular A cuando B=32

A128206

B5045X60

A) 9 B) 18 C) 24 D) 36 E) 48

3. El sueldo de un obrero es D.P al cuadrado de sus aos de servicio, si uno con 6 aos de servicio recibe un sueldo de s/ 1800 Cul ser el sueldo de uno con 5 aos de servicio?

A) s/ 1000 B) s/ 1200 C) s/ 1250

D) s/ 1300 E) s/ 15004. Si el precio de un diamante es D.P al cuadrado de su volumen y teniendo un diamante de S/ 36000, se le divide en 3 partes iguales. Cunto se pierde debido al fraccionamiento?

A) S/. 24000 B) S/. 18000 C) S/. 4000

D) S/. 12000

E) S/. 6000

5. Con cierta cantidad de gasolina un camin slo puede recorrer 40 km con 2 toneladas de carga. Cuntos km podr recorrer dicho camin con la misma cantidad de gasolina si lleva una carga de 5 TN, sabiendo que el recorrido es I.P a la carga que lleva?

A) 16 B) 20 C) 24 D) 28 E) 32

6. Si A es D. P a B. e I. P a C , Calcular el valor de C cuando A= 10 y B= 8 si cuando A= 8, B= 6 y C= 30

A) 20 B) 24 C) 28 D) 32 E) 36

7. A es D.P a e I.P a . Cuando A= 10; B= 25 y C= 4. Calcular A cuando B= 64 y C=8

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 128. En el grfico mostrando, X es D.P a Y. Calcular: (A + B)

A) 8 B) 42 C) 60 D) 63 E) 859. Del siguiente grfico de magnitudes proporcionales. Calcular (a + b)

A) 10 B)11

C) 12

D) 14

E) 1510.Analizar el grfico correspondiente a las magnitudes P y Q y calcular : p - q

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 2411.Siendo la magnitud A.D.P al cuadrado de la magnitud B, determinar a + c , si el siguiente cuadro representa los valores de las magnitudes respetivas

A) 74 B) 68 C) 72 D) 82 E) 3112. Halle la suma de cifras de x , si en la siguiente tabla se muestran los valores de las magnitudes A y B, donde estas guardan cierta relacin de proporcionalidad.A) 18 B) 9 C) 12 D) 14 E) 1613. Segn la ley de Boyle , la presin es I.P al volumen que contiene determinada cantidad de gas. A qu presin esta sometido un gas, si al aumentar la presin en tres atmsferas el volumen vara en un 30 % ?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 914. El precio de un celular varia en forma directamente proporcional al nmero de funciones que posee e inversamente proporcional al cuadrado de su peso. Si un celular que cuesta S/. 300 pesa 120 g y posee 5 funciones , calcule el peso de otro celular cuyo costo es de s/ 1350 y puede realizar 10 funciones

A) 100 g B) 50 g C) 60 g D) 80 g E) 75 g15. Una rueda A de 80dientes engrana con otro rueda B de 50 dientes. Fijo al eje B, hay otra rueda C de 15 dientes que engrana con una rueda D de 40 dientes. Si A da 120 vueltas por minuto. Cuntas vueltas dar la medida D?

A) 70 B) 72 C) 60 D) 90 E) 9616. Si : y n . Hallar P cuando m es 3 , si cuando m= 2 ; P= 6

A) 2

B) 2 C) 2 D) 2

E) 2

17. Se tienen las magnitudes A , B y C donde :

B (C es constante )A ( B es constante )

Si cuando A = 16 ; B= 6 y C= 3 , calcule A cuando B= 10 y C = 5 A) 14 B) 28 C) 16 D) 32 E) 1218. La magnitud A es I.P a , adems cuando A es igual a 6 entonces B es igual a 16. Hallar B cuando A es igual a 4.

A) 16 B) 36 C) 24 D) 12 E) 18

19. El precio de un libro varia en forma proporcional al nmero de hojas que posee e inversamente proporcional al numero de ejemplares editados. Si un libro de 480 pginas, del cual se han editado 1500 ejemplares, cuesta S/.32. Cunto costar un libro de 300 hojas si se editan 500 ejemplares ms?

A) S/.60 B)S/.50 C) S/.40 D) S/.30 E) S/.2020. Si A es directamente proporcional a la raz cuadrada de B y A es inversamente proporcional al cuadrado de C. Cmo varia A cuando B cuadruplica y C se triplica?A) Aumenta en 1/3 B) Disminuye en 2/9 C) Se reduce a la mitad D) Aumenta en 4/5 E) Disminuye en 7/9

TAREA DOMICILIARIA1. Si A es D.P a B y cuando A=800 ; B= 250, entonces, el valor de A cuando B= 75 , es:

A) 240 B) 150 C) 160 D) 260 E) 1802. Se tiene dos magnitudes A y B tales que A es I.P .B adems cuando A= 20 entonces B= 24. Hallar B cuando A= 30

A) 32 B) 24 C) 28 D) 12 E) 16

3. A es D.P a e. I.P. a. si B= 8 y C= 16, entonces , A=4. Luego, cuando B=12 y C= 36 , el valor de A , es :

A) 7 B) 8 C) 6 D) 9 E) 104. La magnitud A es I.P a . Los valores de A y C se dan, en la siguiente tabla: A 30 X 1512

C 4 9 Y25

El valor de x + y , es : A) 34 B) 29 C) 37 D) 35 E) 365.El precio de un diamante es D.P al cuadrado de su peso. Si un diamante de ste tipo que vale S/.600 , se parte en 2 pedazos , de los cuales uno es los 2/3 del otro. Qu prdida sufri dicho diamante al romperse?

A) S/.132 B) S/.144 C) S/.148

D) S/.266 E) S/.2886. Del siguiente grfico de magnitudes proporcionales. Calcular: (a + b)

A) 10 B) 43 C) 64D) 46E) 347. Si la siguiente grfica muestra dos magnitudes I.P Hallar el valor de: x + y

A) 14 B) 9C) 10D) 11E) 13

8. Se sabe que A es D.P a (Cuando C es constante ) y C es I.P a (Cuando B es constante ) , cuando A= 36, B= 2 y C=3. Hallar A, cuando A) B) C) D) E)

9. El valor de una tela es D.P. al rea e I.P. a su peso. Si una tela de 2 m2 con 5 kg de peso cuesta S/. 80. Cunto costar una tela de 3 m2 con 10 kg de peso?A) S/. 50 B) S/. 60 C) S/. 64 D) S/. 40 E) S/. 45

10. Si una magnitud A es D.P. a B y C e I.P. a D2, entonces la variacin que experiment A cuando B se duplica, C aumenta en su doble y D se reduce a la mitad.

A) Aumenta 23 veces su valor

B) Aumenta 30 veces su valor

C) Se reduce en de su valor

D) Se duplica

E) Aumenta 35 veces su valor

REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTAConcepto: Es la relacin que existe entre los valores de dos magnitudes en el cual cualquiera de los cuatro valores puede ser incgnita, se clasifica:

A. Regla de Tres Simple

1. Regla de Tres Simple Directa: Cuando se relaciona dos magnitudes directamente proporcionales (ambas magnitudes aumentan o disminuyen) entonces los valores se multiplican en forma cruzada, formando una x.

2. Regla de Tres Simple Inversa: Cuando se relacionan dos magnitudes inversamente proporcionales (una aumenta y la otra disminuye o viceversa) entonces se multiplica en forma frontal.

Magnitud Magnitud

A B

a1 b1 x b2

B. Regla de Tres Compuesta: Es cuando se relaciona ms de 2 magnitudes y entre las relaciones establecidas cualquiera puede ser incgnita. Existen varios mtodos, pero para nuestro caso usaremos el mtodo de las rayas que el rpido y prctico. Se basa en:PRIMER MTODO (Mtodos de las Rayas)

Accin: son quellos que realizan la actividad y pueden ser las personas, animales o mquinaria.

Circunstancia: son las cualidades, obstaculos que presentan aquellos que realizan la actividad, como rendimiento, habilidad, das, horas, racin, entusiasmo, eficiencia, etc.

Efecto: es aquello que se va hacer o realizar puede ser una obra (puente, carretera,.....................etc) Puede estar acompaado de su resistencia o dificultad que presenta la obra.

Luego: si x es la incgnita, la multiplicacin de los valores de una de las rayas ser igual al producto de valores de la otra. Entonces:

SEGUNDO MTODO: Por ProporcionalidadPrimero: se dispone de datos de manera que los valores pertenecientes a una misma magnitud estn en una misma columna.

Segundo: se compara la magnitud donde se encuentra la incgnita y las dems magnitudes con el siguiente resultado.

PONGO A PRUEBA MI APRENDIZAJE1. Un ciclista corre en 30 segundos 750 metros de una carretera. Cuntos metros recorrer en 50 segundos?A) 1 250B) 1 000 C) 1 500

D) 1 750E) 9002. 3 docenas de limones cuestan S/. 4. Cunto costarn 9 docenas de estos mismos limones?A) S/. 10B) S/. 12

C) S/. 15

D) S/. 6

E) S/. 83. Un barco tiene vveres para 78 tripulantes durante 22 das, pero solo viajan 66 personas. Qu tiempo durarn los vveres?A) 18 dasB) 19 das

C) 24 das

D) 26 dasE) 28 das

4. Una pared cuadrada de 10 m de lado es pintada y se pag por dicho trabajo S/. 120. Cunto se pagara si el lado fuera de 5 m?A) S/. 60 B) S/. 50

C) S/. 45 D) S/. 30E) S/. 255. 15 obreros han hecho la mitad de un trabajo en 20 das. En ese momento abandonan el trabajo 5 obreros. Cuntos das tardarn en terminar el trabajo los obreros que quedan?A) 24

B) 26

C) 28

D) 30

C) 326. 20 operarios pueden producir 120 pares de zapatos en 18 das. Cuntos operarios pueden producir 160 zapatos en 24 das?A) 7

B) 10

C) 8

D) 9

C) 11

7. En un zoolgico se necesitan 720 kg d carne para alimentar durante el mes de noviembre a 5 leones. Cuntos kg se necesitarn para dar de comer a 3 leones ms durante 25 das?A) 960

B) 990

C) 970

D) 980

C) 1 0008. Samuel decide hace un trabajo en 18 das, pero tard 6 das ms por trabajar d horas menos cada da. Cuntas horas diarias trabajo?A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

C) 7

9. Sabiendo que un buey atado a una cuerda de 3 m de largo tarda 5 das en comerse toda la hierba que se encuentra a su alcance, Cunto se tardar si cuerda fuera de 6 m?A) 10 dasB) 20 das

C) 15 das

D) 25 das C) 30 das

10. Si 12 gatos cazan 12 ratones en 12 minutos, entonces en cuntos minutos un gato cazar a un ratnA) 1

B) 2

C) 3

D) 6

C) 12

11. Un cubo metlico pesa 270 kg. Cuntos kg pesara si duplicsemos la arista del cubo?

A) 1 790B) 1 890

C) 1 650

D) 2 160C) 1 560

12. Juan es el doble de rpido de Luis, pero la tercera parte de Pedro. Si Luis y Pedro hacen una obra en 27 das, en cuntos das haran la misma obra los 3 juntos?

A) 18B) 21

C) 24D) 25E) 1513. Un albail pens hacer un muro en 15 das, pero tard 6 das mas por trabajar 2 horas menos cada da. Cuntas horas trabajo diariamente?A) 3hB) 4h

C) 5h

D) 6hE) 7h14. Un contratista dice que puede acabar un tramo de autopista en 3 das si le proporcionan cierto tipo de mquinas, pero con 3 mquinas adicionales del mismo tipo puede hacer el trabajo en 2 das. Cuntos das empleara una mquina para hacer el trabajo?A) 6

B) 12

C) 15

D) 18E) 36

15. Cierto nmero de personas pueden cavar una zanja en 6 das trabajando 8 horas diarias; pero con 3 personas adicionales el trabajo se hara en 5 das. En cuntos das podr cavar dicha zanja una sola persona?A) 15B) 45

C) 60D) 90E) 12016. En una isla 15 nufragos que tienen alimentos para 17 das y luego de 5 das mueren 3. Para cuntos das ms de lo previsto tendrn alimentos?A) 2

B) 3

C) 4D) 5

E) 617. Si N es el nmero de obreros que pueden hacer una obra en 3N/4 das trabajando N/3 horas diarias, cul es el nmero N de obreros si 2 N obreros hacen la misma obra en 72 horas?A) 18B) 21

C) 24

D) 27E) 30

18. Una guarnicin de 2 250 hombres tienen provisiones para 70 das. Al terminar el da 29 salen 200 hombres. Cunto tiempo podrn durar las provisiones que quedan, al resto de la guarnicin?A) 30B) 45

C) 60D) 75E) 9019. Un grupo de obreros promete hace una obra en 15 das, pero cuando ya haban trabajado 5 das contratan 9 obreros ms, con los que terminaron el trabajo 2 das antes. Cuntos obreros haban en el grupo inicialmente?A) 45

B) 39

C) 36D) 27

E) 1820. En un cuartel se calcul que los alimentos alcanzaban para 65 das, pero al trmino de 20 das se retiraron 200 soldados por lo que los alimentos duraron para 15 das de lo calculado. Cuntos eran los soldados inicialmente?A) 400

B) 480

C) 550

D) 600

E) 800

21. 20 obreros han hecho 1/3 de un trabajo en 12 das. En ese momento abandonan el trabajo 8 obreros. Cuntos das se emple en hacer toda la obra?

A) 28

B) 52

C) 40D) 64

E) 3022. En 48 das, 15 obreros han hecho 1/5 de una obra que les fue encomendad. Cuntos das emplear otra cuadrilla de 24 obreros triplemente hbiles para terminar la obra?A) 20

B) 30

C) 40

D) 50

E) 60

23. En 12 das, 8 obreros han hecho los 2/3 de una obra. Si en ese momento se retiran 6 obreros, cuntos das demorarn los obreros restantes para terminar la obra?A) 36

B) 12

C) 48

D) 24

E) 15

24. Un obrero que ha trabajado 30 das, ha hecho 60 metros de cierta obra. Cuntos das emplearon 7 obreros para hacer 140 metros de la otra obra, cuya dificultad es a la primera como 3 a 2?

A) 10

B) 15

C) 20

D) 25

E) 30

25. Una compaa industrial posee 3 mquinas de 84% de rendimiento para producir 1 600 envases cada 6 das de 8 horas diarias de trabajo. Si se desea producir 3 000 envases a 4 das trabajando 7 horas diarias, cuntas mquinas de 90% de rendimiento se requieren?A) 8

B) 7

C) 4

D) 6

E) 9

26. 44 obreros trabajando 10 horas diarias han empleado 12 das para hacer una zanja de 40 metros de largo, 2 metros de ancho y 1.25 metros de profundidad. Cuntos das mas emplearn 24 obreros trabajando 8 horas diarias para abrir otra zanja de 200 metros de largo, 3 metros de ancho y 1 metro de profundidad?

A) 15

B) 12

C) 6

D) 3

E) 2

27. 5 obreros cuya habilidad es como 6 son capaces de hacer 30 mesas y sillas en 16 das. En cuntos das 8 obreros cuya habilidad es como 2 son capaces de hacer 20 meses y 12 sillas, sabiendo que hacer una mesa representa el triple de trabajo que hacer una silla?

A) 14

B) 16

C) 18

D) 20

E) 12

28. Se contrat una obra para ser terminada en 30 das, empleando 15 obreros y trabajando 10 h/d. Despus de 8 das de trabajo se acord que la obra quedase terminada 12 das antes del plazo estipulado y as se hizo. Cuntos obreros ms debieron emplearse teniendo en cuenta que se aument en una hora el trabajo diario?

A) 12

B) 18

C) 15

D) 25

E) 22

29. Con 8 obreros se puede hacer una obra en 20 das. Con 10 obreros 4 veces ms rpidos que los anteriores, en cuntos das se har una obra 9 veces ms difcil que la anterior?A) 30

B) 31

C) 32

D) 34

E) 35

30. Un pozo de 6 m de dimetro y 9 m de profundidad ha sido hecho por 18 hombres en 20 das. Si se quiere aumento un 1 metro de radio del pozo y el trabajo ser hecho por 14 hombres, cuntos das demandar dicha ampliacin?

A) 10

B) 20

C) 30

D) 40

E) 50

31. Una cuadrilla de 42 obreros pueden terminar un trabajo en 21 das. Al cabo del dcimo da de labor renuncian 28 obreros y 4 das despus comunican al contratista que termine la obra en el plazo fijado inicialmente, para lo cual contrata obreros adicionales. Cuntos contrata?

A) 44

B) 11

C) 33

D) 55

E) 22

32. 20 obreros cavan una zanja de 40m de largo en 12 das. Despus de cierto tiempo de trabajo se decide aumentar el largo en 20 m, para lo cual se contratan 10 obreros ms, cuya habilidad es los 2/3 de los anteriores. Si la obra se acaba a los 15 das de empezada, a los cuntos das se aument el personal?

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

33. Una guarnicin de 600 soldados tiene vveres para 50 das. Pasados 6 das mueren en una batalla cierto nmero de ellos. Luego de 15 das ms, todos los muertos fueron reemplazados. Si los vveres alcanzaron para 2 das ms, cuntos murieron en la batalla?

A) 40

B) 45

C) 50D) 60

E) 8034. Un terreno de 10 acres puede alimentar a 12 bueyes por 16 semanas, o a 18 bueyes por 8 semanas. Cuntos bueyes podrn alimentarse en un campo de 40 acres durante 6 semanas, si el pasto crece regularmente todo el tiempo?A) 32

B) 70

C) 128D) 96

E) 8835. Una obra se inicia y cada da que pasa se va despidiendo un obrero, hasta que el ltimo da slo qued un obrero, el cual concluy la obra. Si el primer da se hizo 1/17 de la obra, halle el nmero de obreros que conformaban la cuadrilla.A) 14

B) 17

C) 21D) 28

E) 3336. 15 obresos pueden terminar una obra trabajando 8 h/d en 26 das. Al cabo de 10 das se despiden 5 obreros; pasados 6 das ms se contratan nuevos obreros. Cuntos obreros se tendr que contratar para terminar la obra en el plazo fijado inicialmente?A) 12

B) 6

C) 8D) 10

E) 1637. La hierba crece en todo el prado con igual rapidez y espesura. 70 vaca se comen toda la hierba en 24 das y 20 vacas se comen toda la hierba en 60 das. cuntas vacas se comeran toda la hierba en 96 das?A) 44

B) 11

C) 33

D) 55

E) 22

38. 8 obreros construyen 8 casas en 8 aos. Cuntos hombres que trabajen con el doble de esfuerzo se necesitan para construir un nmero doble de casas en un tiempo 50% menor que el anterior?A) 10

B) 12

C) 14D) 16

E) 1839. 15 albailes trabajando 12 h/d durante 16 das pueden hacer una zanja de 4 m de largo, 2 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Cuntas horas por da deben trabajar 20 albailes durante 18 das para hacer una zanja de 3 m de largo; 1.5 m de ancho y 2 m de profundidad?

A) 3

B) 4

C) 5D) 6

E) 740. 4 varones y 5 mujeres hacen un trabajo en 54 das. Cuntos das realizarn el mismo trabajo 6 varones y 5 mujeres sabiendo que el trabajo realizado por una mujer es los 3/5 del trabajo hecho por un varn?A) 80

B) 84

C) 88D) 92

E) 96TAREA DOMICILIARIA41. Un grupo de obreros pueden hacer una obra en 4 meses. Si con 108 albailes ms lo haran en 40 das. Cuntos obreros hubieron al principio?A) 44

B) 45

C) 54

D) 52

E) 58

42. Para hacer un cubo compacto de 6 cm de arista se ha utilizado 24 horas. Qu parte de un cubo del doble de arista se habr construido en 32 horas?A) 1/5

B) 1/6

C) 1/7

D) 1/4

E) 1/8

43. Un buey sujeto a un poste por medio de una cuerda de 6 m del longitud demora 1 hora y media en comer la hierba que est a su alcance. Cunto hubiera demorado, si la cuerda tuviera 8 m de longitud?A) 2 h 21 min

B) 1 h 41 min

C) 2 h 40 min

D) 2 h 47 min

E) 2 h 20 min44. La eficiencia de Pedro, Juan y Luis estn en relacin con los nmeros 1; 2 y 3, respectivamente. Si Juan y Luis hacen la obra en 18 da. En cuntos das harn la obra trabajando los tres juntos?

A) 10

B) 12

C) 15

D) 18

E) 21

45. Si 18 obreros realizan la construccin de una casa en 50 das, en cuntos das lo harn si 10 obreros aumentan su rendimiento en 20%?A) 35

B) 40

C) 36

D) 45

E) 42

46. Con S/. 1200 se puede pintar 3 cubos de 9 cm de arista. Cuntos cubos de 27 cm de lado se podr pintar con S/. 3600?A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

47. Un contratista dice que puede terminar un tramo de autopista en 3 das si se le proporcionan cierto tipo de mquinas pero con 3 mquinas adicionales de dicho tipo pueden hacer el trabajo en 2 das. Si el rendimiento de la mquina es el mismo. Cuntos das emplear una mquina para hacer el trabajo?A) 12

B) 21

C) 15

D) 18

E) 24

48. Una cuadrilla de 35 obreros pueden terminar una obra en 27 das. Al cabo de 6 das de trabajo, se les junta cierto nmero de obreros de otro grupo de modo que en 15 das terminan lo que falta de una obra Cuntos obreros eran del segundo grupo?

A) 13

B) 14

C) 15

D) 16

E) 18

49. Una fbrica tiene petrleo suficiente para 20 das, consumiendo dos barriles diarios. Cuntos barriles menos se debe consumir diariamente para que el petrleo alcance para 30 das?A) 1

C) 2/3

C) 3/4

D) 4/3

E) 1/3

50. Csar es el doble de rpido que Julio, quien a su vez es el triple de rpido que Francisco. Si Csar y Julio hacen un trabajo en 120 das. En cuntos das harn los tres el mismo trabajo?

A) 115

B) 112

C) 120

D) 110

E) 108

51. Dos secretarias copian 350 problemas en una semana. Cuntas secretarias seran necesarias para copiar 600 problemas en 4 das?

A) 3

B) 5

C) 6

D) 7

E) 9

52. Si 12 hombres hacen 72 mesas en 6 das, Cuntas mesas harn 3 hombres en 2 das?

A) 2

B) 3

C) 6D) 9

E) 1253. Un alumno hbil puede resolver 20 problemas durante 2 horas. Cuntos problemas resolver otro alumno cuya habilidad es 1.2 a la anterior y cuyos problemas tienen el doble de dificultad que los primeros en tres horas?

A) 12

B) 18

C) 20

D) 22

E) 26

54. El nmero de obreros de una contrata se aumenta en los 2/5, la jornada de trabajo se disminuye en 1/3 y la dificultad de la obra es los 2/5 de lo normal entonces el tiempo requerido.A) Aumenta 1/3

B) Disminuye 4/7

C) Es los 2/3

D) Es los 4/7

E) No vara

55. Si se sabe que 36 hombres hacen una obra en 9 das; Cuntos das necesitarn 9 hombres para hacer la misma obra; si esto son 3 veces ms rpido que los anteriores y trabajarn sobre un terreno cuya dureza es 3 veces la del primeroA) 25

C) 27

C) 20

D) 30

E) 128

56. Una cuadrilla de 15 obreros se comprometen a terminar una obra en 14 das; al cabo de 9 das slo han hecho los 3/7 de la obra. Con cuntos obreros tendrn que ser reforzados para terminar la obra en el tiempo estipulado?

A) 32

B) 15

C) 18D) 21

E) 2457. Sesenta hombres puedan cavar una zanja de 800 m3 en 50 das. Cuntos das necesitarn 100 hombres 50% ms eficeientes para cavar otra zanja de 1200 m3 en un terreno cuya dureza es 3 veces la del anterior?

A) 60

B) 90

C) 100

D) 120

E) 80

58. Para hacer 360 m de una obra; 30 obreros trabajan 24 das a razn de 10 H/d. Cuntos das trabajando 8 H/d; necesitarn 32 obreros para hacer 1600 m de la misma obra?

A) 100

B) 115

C) 175

D) 125

E) 15059. La volante de una mquina gira 400 vueltas en 15 minutos produciendo 324m de alambre en 1 hora y 30 minutos. Qu tiempo emplear otra mquina del mismo rendimiento que la anterior si su volante da 600 vueltas 3en 18 minutos y produce 378m de alambre?

A) 30

B) 48

C) 60D) 84

E) 9060. Se sabe que 30 carpinteros en 6 das pueden hacer 90 mesas o 150 sillas. Hallar x, sabiendo que 20 de estos carpinteros en 15 das han hecho 120 mesas y x sillas.A) 30

B) 48

C) 42

D) 48

E) 50

CAUSA CIRCUNSTANCIA EFECTO

a1 a2 a3 a4 a5 a6

2

b

c

a

4

1

36

51

X

Y

a

24

51

85

B

A

5

EMBED Equation.3

B

EMBED Equation.3

85

b

10

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

B

A

B

A

Hiprbole Equiltera

12224

8

6

y

x

8

P

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Extremos

A

Hiprbole Equiltera

(# de das)

(# Obreros)

8

6

4

2

8

6

12

24

B

A

2

4

6

8

rectAA

B

Costo S/.

(# de huevos)

Medios

Extremos

Medios

A

32

razn geomtrica

antecedente

24

16

8

Hiprbole Equiltera

244

15

q

p

40

60

P

P

Q

b1. b2.x.b4..a5.a6 = a1.a2.a3.a4 .b5.b6

consecuente

b1 b2 x b4 b5 b6

Razn aritmtica

consecuente

antecedente

PAGE 11

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