01 O-NET 1 - tewfree.com · โครงการแบรนด ซัมเมอร แคมป 2013 _____ คณิตศาสตร (1)

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2013_______________________________________ คณตศาสตร (1)

สวนท 1 (O NET) ........ โดย อ.ไพโรจน โองตว.......................................หนา 2-52

สวนท 2 (PAT 1) ......... โดย อ.ภาคภม อรามวารกล (พแทป)...............หนา 53-109

สวนท 3 (PAT 1) ......... โดย อ.ศภฤกษ สกลชยพรเลศ (คร sup’k) .....หนา 110-208

คณตศาสตร (2) ______________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2013

เซต เซตทควรรจก 1. เซตจากด (Finite Set) หมายถง เซตทมจานวนสมาชกจากด 2. เซตอนนต (Infinite Set) หมายถง เซตทมจานวนสมาชกไมจากด เปนเซตซงไมใชเซตจากด 3. เซตวาง (Empty Set) หมายถง เซตทไมมสมาชก เขยนแทนดวยสญลกษณ φ หรอ { } 4. สมบตของสบเซต ถา A เปนเซตจากดใดๆ ทมสมาชก n ตว 1. จานวนสบเซตทงหมดของเซต A = 2n ตว 2. จานวนสบเซตแททงหมดของเซต A = 2n – 1 ตว 5. สมบตของเพาเวอรเซต ให A เปนเซตใดๆ เพาเวอรเซตของ A เขยนแทนดวย P(A) 1. P(A) ≠ φ สาหรบทกๆ เซต A 2. A ∈ P(A) 3. nP(A) = 2n 4. ถา A ⊂ B แลว P(A) ⊂ P(B) 5. P(A)I P(B) = P(AI B) 6. P(A)U P(B) ⊂ P(AU B) ขอสงเกต * A ⊂ (AU B) และ B ⊂ (AU B) ** (AI B) ⊂ A และ (AI B) ⊂ B


สมบตของเซต ยเนยน อนเตอรเซคชน

1. Idempotent Laws AU A = A AU φ = A AU U = U

AI A = A AI φ = φ AI U = A

2. สมบตการเปลยนกลม (AU B)U C = AU BU C (AI B)I C = AI BI C 3. สมบตการสลบท AU B = BU A AI B = BI A 4. สมบตการแจกแจง AU (BI C) = (AU B)I (AU C) AI (BU C) = (AI B)U (AI C) 5. เอกลกษณของเซต AU φ = A AI U = A 6. Complement Laws AU A′ = U AI A′ = φ 7. De Morgan’s Laws (AU B)′ = φ (AI B)′ = U

สมบตอนๆ 8. A - B = AI B′ 9. (AU B)′ = A′I B′ (AI B)′ = A′U B′ 6. การหาจานวนสมาชกของเซต 1. ถา A และ B เปนเซตจากด และ AI B = φ แลว n(AU B) = n(A) + n(B) 2. ถา A และ B เปนเซตจากด และ AI B ≠ φ แลว n(AU B) = n(A) + n(B) – n(AI B) 3. n(AU BU C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AI B) – n(AI C) – n(BI C) + n(AI BI C) 4. n(A′) = n(U) – n(A)

ตวอยางขอสอบ 1. ให A เปนเซตจากด และ B เปนเซตอนนต ขอความใดตอไปนเปนเทจ 1) มเซตจากดทเปนสบเซตของ A 2) มเซตจากดทเปนสบเซตของ B 3) มเซตอนนตทเปนสบเซตของ A 4) มเซตอนนตทเปนสบเซตของ B 2. ให A = {1, 2, 3, ...} และ B = {{1, 2}, {3, 4, 5}, 6, 7, 8, ...} ขอใดเปนเทจ 1) A - B มสมาชก 5 ตว 2) จานวนสมาชกของเพาเวอรเซตของ B - A เทากบ 4 3) จานวนสมาชกของ (A - B)U (B - A) เปนจานวนค 4) AI B คอ เซตของจานวนนบทมคามากกวา 5


3. ถา A – B = {2, 4, 6}, B – A = {0, 1, 3} และ AU B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} แลว AI B เปนสบเซตของเซตในขอใดตอไปน

1) {0, 1, 4, 5, 6, 7} 2) {1, 2, 4, 5, 6, 8} 3) {0, 1, 3, 5, 7, 8} 4) {0, 2, 4, 5, 6, 8} 4. กาหนดให A, B และ C เปนเซตใดๆ ซง A ⊂ B พจารณาขอความตอไปน ก. (C – A) ⊂ (C – B) ข. AcI C ⊂ AcI B ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด 5. กาหนดให A และ B เปนเซต ซง n(AU B) = 88 และ n[(A – B)U (B – A)] = 76 ถา n(A) = 45 แลว

n(B) เทากบขอใดตอไปน 1) 45 2) 48 3) 53 4) 55 6. นกเรยนกลมหนงจานวน 46 คน แตละคนมเสอสเหลองหรอเสอสฟาอยางนอยสละหนงตว ถานกเรยน 39

คนมเสอสเหลอง และ 19 คนมเสอสฟา แลวนกเรยนกลมนทมเสอสเหลองและเสอสฟามจานวนเทากบขอใด 1) 9 คน 2) 10 คน 3) 11 คน 4) 12 คน 7. ในการสารวจความชอบในการดมชาเขยวและกาแฟของกลมตวอยาง 32 คน พบวา ผชอบดมชาเขยวม 18 คน ผชอบดมกาแฟม 16 คน ผไมชอบดมชาเขยวและไมชอบดมกาแฟม 8 คน จานวนคนทชอบดมชาเขยวอยางเดยวเทากบขอใดตอไปน 1) 6 คน 2) 8 คน 3) 10 คน 4) 12 คน 8. นกเรยนกลมหนงจานวน 50 คน ม 32 คน ไมชอบเลนกฬาและไมชอบฟงเพลง ถาม 6 คน ชอบฟงเพลงแต

ไมชอบเลนกฬา และม 1 คน ชอบเลนกฬาแตไมชอบฟงเพลง แลวนกเรยนในกลมนทชอบเลนกฬาและชอบฟงเพลงมจานวนเทากบขอใดตอไปน

1) 11 คน 2) 12 คน 3) 17 คน 4) 18 คน 9. ถากาหนดจานวนสมาชกของเซตตางๆ ตามตารางตอไปน

เซต AU B AU C BU C AU BU C AI BI C จานวนสมาชก 25 27 26 30 7

จานวนสมาชกของ (AI B)U C เทากบขอใดตอไปน 1) 23 2) 24 3) 25 4) 26


10. ให A และ B เปนเซตซง n(A) = 5, n(B) = 4 และ n(AI B) = 2 ถา C = (A – B)U (B – A) แลว n(P(C)) เทากบเทาใด

11. ในการสารวจงานอดเรกของนกเรยน 200 คนปรากฏวา ชอบอานหนงสอม 120 คน ชอบดภาพยนตรม 110 คน ชอบเลนกฬาม 130 คน ชอบอานหนงสอและดภาพยนตรม 60 คน ชอบอานหนงสอและเลนกฬาม 70 คน ชอบดภาพยนตรและเลนกฬาม 50 คน นกเรยนทชอบเลนกฬาเพยงอยางเดยวมกคน 12. ในการสอบถามพอบานจานวน 300 คน พบวา มคนทดมชา 100 คน มคนทดมกาแฟ 150 คน มคนทไมดมทงนาชาและกาแฟ 100 คน พอบานทดมทงชาและกาแฟมจานวนเทาใด 13. ในการสอบของนกเรยนชนประถมศกษากลมหนง พบวา มผสอบผานวชาตางๆ ดงน คณตศาสตร 36 คน สงคมศกษา 50 คน ภาษาไทย 44 คน คณตศาสตรและสงคมศกษา 15 คน ภาษาไทยและสงคมศกษา 12 คน คณตศาสตรและภาษาไทย 7 คน ทงสามวชา 5 คน จานวนผทสอบผานอยางนอยหนงวชามกคน


การใหเหตผล การใหเหตผลทางคณตศาสตรโดยทวไปสามารถแบงออกได 2 ลกษณะ คอ 1. การใหเหตผลแบบอปนย เปนการใหเหตผลโดยอาศยขอสงเกต หรอผลการทดลองจากหลายๆ ตวอยาง มาสรปเปนขอตกลง หรอขอคาดเดาทวไป หรอคาพยากรณ 2. การใหเหตผลแบบนรนย เปนการใหเหตผลโดยนาขอความทกาหนดให ซงตองยอมรบวาเปนจรงทงหมด มาเปนขออางและสนบสนนเพอสรปเปนขอความจรงใหม การตรวจสอบความสมเหตสมผลโดยใชแผนภาพเวนน–ออยเลอร รปแบบท 1 “a เปนสมาชกของ A” รปแบบท 2 “a ไมเปนสมาชกของ A”

Aa

Aa

เขยนวงกลม A โดยให a อยภายใน A เขยนวงกลม A โดยไมให a อยภายใน A รปแบบท 3 “A ทกตวเปน B” รปแบบท 4 “A บางตวเปน B”

BA

BA

เขยนวงกลม A และ B ซอนกน โดย A อยภายใน B เขยนวงกลม A และ B ตดกน สวนทแรเงาแสดงวา “A ทกตวเปน B” สวนทแรเงาแสดงวา “A บางตวเปน B” รปแบบท 5 “A บางตวไมเปน B” รปแบบท 6 “ไมม A ตวใดเปน B”

BA

BA

เขยนวงกลม A และ B ตดกน เขยนวงกลม A และ B แยกกน สวนทแรเงาแสดงวา “A บางตวไมเปน B” เพอแสดงวา “ไมม A ตวใดเปน B”


ตวอยางขอสอบ 1. เหต (1) ไมมคนขยนคนใดเปนคนตกงาน (2) มคนตกงานทเปนคนใชเงนเกง (3) มคนขยนทไมเปนคนใชเงนเกง ผล ในขอใดตอไปนเปนการสรปผลจาก เหต ขางตนทเปนไปอยางสมเหตสมผล 1. มคนขยนทเปนคนใชเงนเกง 2. มคนใชเงนเกงทเปนคนตกงาน 3. มคนใชเงนเกงทเปนคนขยน 4. มคนตกงานทเปนคนขยน 2. จงพจารณาขอความตอไปน (1) นกกฬาทกคนมสขภาพด (2) คนทมสขภาพดบางคนเปนคนด (3) ภราดรเปนนกกฬา และเปนคนด แผนภาพในขอใดตอไปนมความเปนไปไดทจะสอดคลองกบขอความทงสามขอขางตน เมอจดแทนภราดร

1) 2)

3) 4)

3. จากแบบรปทกาหนดให

1 2 47

2 4 814

3 6 1221

... a b c77

โดยการใหเหตผลแบบอปนย 2a – b + c มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 11 2) 22 3) 33 4) 44 4. พจารณาผลตางระหวางพจนของลาดบ 2, 5, 10, 17, 26, ... โดยการใหเหตผลแบบอปนย พจนท 10 ของ

ลาดบคอขอใดตอไปน 1) 145 2) 121 3) 101 4) 84


5. จงพจารณาขอความตอไปน 1. คนตกอลฟเกงทกคนเปนคนสายตาด 2. คนทตกอลฟไกลกวา 300 หลา บางคน เปนคนสายตาด 3. ธงชยตกอลฟเกงแตตไมไดไกลกวา 300 หลา แผนภาพในขอใดตอไปน มความเปนไปไดทจะสอดคลองกบขอความทงสามขางตน เมอจดแทนธงชย

1) 2)

3) 4)

6. พจารณาการใหเหตผลตอไปน เหต 1. A 2. เหดเปนพชมดอก ผล เหดเปนพชชนสง ขอสรปขางตนสมเหตสมผล ถา A แทนขอความใด 1) พชชนสงทกชนดมดอก 2) พชชนสงบางชนดมดอก 3) พชมดอกทกชนดเปนพชชนสง 4) พชมดอกบางชนดเปนพชชนสง 7. พจารณาการอางเหตตอไปน ก. เหต 1. ถาฝนไมตกแลวเดชาไปโรงเรยน 2. ฝนตก ผล เดชาไมไปโรงเรยน ข. เหต 1. รตนาขยนเรยน หรอ รตนาสอบชงทนรฐบาลได 2. รตนาไมขยนเรยน ผล รตนาสอบชงทนรฐบาลได ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. สมเหตสมผล และ ข. สมเหตสมผล 2) ก. สมเหตสมผล และ ข. ไมสมเหตสมผล 3) ก. ไมสมเหตสมผล และ ข. สมเหตสมผล 4) ก. ไมสมเหตสมผล และ ข. ไมสมเหตสมผล


ระบบจานวนจรง

แผนผงของระบบจานวน

จานวนจรง

จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ

จานวนเตม เศษสวนทไมใชจานวนเตม

ศนยจานวนเตมลบ จานวนเตมบวก จานวนจรง : Real Number (ใชสญลกษณ R แทนเซตของจานวนจรง) คอ เซตทเกดจากการยเนยนกนของเซตของจานวนตรรกยะกบเซตของจานวนอตรรกยะ เขยนบนเสนจานวนไดแบงออก ดงน 1. จานวนอตรรกยะ (ใชสญลกษณ Q′ แทนเซตของจานวนอตรรกยะ) คอ จานวนทไมสามารถเขยนในรปเศษสวนของจานวนเตมได ซงกคอทศนยมไมซาทงหลาย เชน π, e, ทศนยมไมรจบทไมซา 2. จานวนตรรกยะ (ใชสญลกษณ Q แทนเซตของจานวนตรรกยะ) คอ จานวนทเขยนเปนเศษสวนของ จานวนเตมได ซงกคอ ทศนยมซาทงหลายดงนน Q = {x | x = b

a เมอ a, b ∈ I และ b ≠ 0} จานวนเตม แบงออกเปน 3 ชนด คอ 1. จานวนเตมบวก เขยน I+ หรอ I+ แทนเซตของจานวนเตมบวก หมายถง {1, 2, 3, ...} จานวนเตมบวกเรยกชออกอยางวา จานวนนบหรอจานวนธรรมชาต ซงเขยนแทนเซตของจานวนธรรมชาตไดดวย N 2. จานวนเตมศนย เซตทม 0 เปนสมาชกเพยงตวเดยว นนคอ {0} 3. จานวนเตมลบ เขยน I- หรอ I- แทนเซตของจานวนเตมลบ หมายถง {..., -3, -2, -1} เซตของจานวนเตมเขยนแทนดวย I ดงนน I = I+U I-U {0}

คณตศาสตร (10) _____________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2013

การบวกและการคณในระบบจานวนจรง ระบบจานวนจรงประกอบดวยเซตของจานวนจรง R กบการบวกและการคณ ซงมสมบตดงน ถา a, b และ c เปนจานวนจรง

สมบต การบวก การคณ ปด 1. a + b ∈ R 6. ab ∈ R การสลบท 2. a + b = b + a 7. ab = ba การเปลยนกลม 3. (a + b) + c = a + (b + c) 8. (ab)c = a(bc) การมเอกลกษณ 4. มจานวนจรง 0

ซง 0 + a = a = a + 09. มจานวนจรง 1, 1 ≠ 0 ซง 1a = a

การมอนเวอรส 5. สาหรบ a จะมจานวนจรง -a โดยท (-a) + a = 0 = a + (-a) อาน -a วา อนเวอรสการบวกของ a

10. สาหรบ a ทไมเปน 0 จะม จานวนจรง a-1 โดยท (a-1)

(a-1)a = 1 อาน a-1 วา อนเวอรสการคณของ a

การแจกแจง 11. a(b + c) = ab + ac การแกสมการกาลงสอง การแกสมการ หรอการหาคาตอบของสมการกาลงสองตวแปรเดยว หมายถง การหาคาตอบของสมการทเขยนอยในรป ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b, c เปนคาคงตว และ a ≠ 0 ทาไดโดยอาศยความรเกยวกบจานวนจรงและการแยกตวประกอบของพหนาม ดงน แยกตวประกอบของพหนาม • พหนามในรปกาลงสองสมบรณ จะแยกตวประกอบ ดงน (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 • พหนามในรปผลตางกาลงสอง จะแยกตวประกอบดงน A2 – B2 = (A – B)(A + B) • พหนามในรปผลบวกกาลงสาม จะแยกตวประกอบดงน A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) • พหนามในรปผลตางกาลงสาม จะแยกตวประกอบดงน A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

การหาคาตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 โดยใชสตร x = 2a 4ac b b 2 -- ±

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2013______________________________________ คณตศาสตร (11)

สมบตของกรณฑทสอง 1. x = x1/2 เมอ x ≥ 0

2. 2x = |x| 3. ถา x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลว yx = yx ⋅

4. ถา x ≥ 0 และ y > 0 แลว yx = yx

การไมเทากน ความหมายและสญลกษณแทนการไมเทากน ในการเปรยบเทยบจานวนสองจานวน นอกจากการเปรยบเทยบวาเทากนและไมเทากนแลว ยงมการเปรยบเทยบวา มากกวาหรอนอยกวาไดโดยเขยนอยในรปประโยคสญลกษณ การเขยนสญลกษณแทนชวง ถา a, b ∈ R และ a < b 1. ชวงเปด a, b เขยนแทนดวย (a, b) และ (a, b) = {x|a < x < b} 2. ชวงปด a, b เขยนแทนดวย [a, b] และ [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b} 3. ชวงครงปดครงเปด a, b เขยนแทนดวย [a, b) และ [a, b) = {x|a ≤ x < b} หรอ (a, b] และ (a, b] = {x|a < x ≤ b} 4. ชวงอนนต 4.1 (a, ∞) = {x|a < x < ∞} = {x|x > a} 4.2 [a, ∞) = {x|a ≤ x < ∞} = {x|x ≤ a} 4.3 (-∞, a) = {x|-∞ < x < a} = {x|x < a} 4.4 (-∞, a] = {x|-∞ < x ≤ a} = {x|x ≤ a} 4.5 (-∞,∞) = เซตของจานวนจรง = R การเขยนชวงบนเสนจานวนจรง (a, b) = [a, b] = [a, b) = (a, b] = (a, ∞) = [a, ∞) = (-∞, a) = (-∞, a] = (-∞, ∞) =

aa

aa

0

aaaa

b

b

b

b


สมบตของการไมเทากน กาหนด x, a, b เปนจานวนจรง และ a 0 จะได x < a หรอ x > b 2. ถา (x – a)(x – b) < 0 จะได a < x 0 จะได x < a หรอ x > b

6. ถา bx

a x -- < 0 จะได a < x b

8. ถา bx

a x -- ≤ 0 จะได a ≤ x 0 |a| = 0 ถา a = 0 -a ถา a < 0 สมบตการเทากนของคาสมบรณ เมอ x และ y เปนจานวนจรง 1. |x| = |y| กตอเมอ x = y หรอ x = -y 2. |x| = |-x| 3. |xy| = |x||y|

4. yx = |y||x| , y ≠ 0

5. |x – y| = |y – x| 6. |x2| = |x|2 = x2 7. |x + y| = |x| + |y| กตอเมอ xy ≥ 0 8. |x - y| = |x| + |y| กตอเมอ xy ≤ 0

9. 2x = |x|


สมบตการไมเทากนของคาสมบรณ เมอ x และ y เปนจานวนจรง และ a เปนจานวนจรงบวก 1. |x| < a ความหมายตรงกบ -a < x < a 2. |x| ≤ a ความหมายตรงกบ -a ≤ x ≤ a 3. |x| > a ความหมายตรงกบ x < -a หรอ x > a 4. |x| ≥ a ความหมายตรงกบ x ≤ -a หรอ x ≥ a 5. x2 < y2 กตอเมอ |x| < |y| 6. |x + y| ≤ |x| + |y| 7. |x| - |y| ≤ |x - y| 8. |y| - |x| ≤ |x - y| 9. -|x| ≤ x ≤ |x|

ตวอยางขอสอบ 1. พจารณาขอความตอไปน ก. มจานวนตรรกยะทนอยทสดทมากกวา 0 ข. มจานวนอตรรกยะทนอยทสดทมากกวา 0 ขอสรปใดตอไปนกลาวถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด 2. พจารณาขอความตอไปน ก. จานวนทเปนทศนยมไมรจบบางจานวนเปนจานวนอตรรกยะ ข. จานวนทเปนทศนยมไมรจบบางจานวนเปนจานวนตรรกยะ ขอใดถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด 3. กาหนดให s, t, u และ v เปนจานวนจรง ซง s < t และ u < v พจารณาขอความตอไปน ก. s - u < t - v ข. s - v < t - u ขอใดถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด 4. พจารณาขอความตอไปน ก. ถา a และ b เปนจานวนจรงซง |a| < |b| แลว a3 < b3 ข. ถา a, b และ c เปนจานวนจรงซง ac = bc แลว a = b ขอใดถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด


5. กาหนดให a, b และ c เปนจานวนจรงซง |a|b3c > 0 พจารณาขอความตอไปน ก. ac > 0 ข. bc > 0 ขอใดถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด 6. กาหนดใหคาประมาณทถกตองถงทศนยมตาแหนงท 3 ของ 3 และ 5 คอ 1.732 และ 2.236 ตามลาดบ

พจารณาขอความตอไปน ก. 2.235 + 1.731 ≤ 5 + 3 ≤ 2.237 + 1.733 ข. 2.235 – 1.731 ≤ 5 – 3 ≤ 2.237 – 1.733 ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด 7. พจารณาขอความตอไปน ก. สมบตการมอนเวอรสการบวกของจานวนจรงกลาววา สาหรบจานวนจรง a จะมจานวนจรง b ท b + a = 0 = a + b ข. สมบตการมอนเวอรสการคณของจานวนจรงกลาววา สาหรบจานวนจรง a จะมจานวนจรง b ท ba = 1 = ab ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด 8. ให a และ b เปนจานวนตรรกยะทแตกตางกน และให c และ d เปนจานวนอตรรกยะทแตกตางกน

พจารณาขอความตอไปน ก. a – b เปนจานวนตรรกยะ ข. c – d เปนจานวนอตรรกยะ ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด 9. คาของ ( 3 - 1)-2 เปนจรงตามขอใดตอไปน 1) เปนจานวนอตรรกยะทนอยกวา 1.8 2) เปนจานวนอตรรกยะทมากกวา 1.8 3) เปนจานวนตรรกยะทนอยกวา 1.8 4) เปนจานวนตรรกยะทมากกวา 1.8 10. (|4 3 - 5 2 | - |3 5 - 5 2 | + |4 3 - 3 5 |)2 เทากบขอใด 1) 0 2) 180 3) 192 4) 200 11. ( 2 + 8 + 18 + 32 )2 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 60 2) 60 2 3) 100 2 4) 200


12. 35

2732- + 3/2

6

(64)2 มคาเทากบขอใดตอไปน

1) - 2413 2) - 6

5 3) 32 4) 24

19

13. 2

152

65

- มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 10

3 2) 107 3) 5 - 2 4) 6 - 2

14. ( 18 + 2 3 125- - 3 4 4 )3 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) –1000 2) 1000 3) 2 5 - 5 2 4) 5 2 - 2 5

15. คาของ 22)(- +

+

3222 81/2

เทากบขอใดตอไปน

1) -1 2) 1 3) 3 4) 5

16. 2

1 21 - - |2 - 2 | มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 23 - 2

2 2) 22 - 2

3 3) 25 - 2

23 4) 223 - 2

5 17. (1 - 2 )2(2 + 8 )2(1 + 2 )3(2 - 8 )3 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) –32 2) -24 3) -32 - 16 2 4) -24 - 16 2 18. ถา x ≤ 5 แลวขอใดตอไปนถก 1) x2 ≤ 25 2) |x| ≤ 25 3) x|x| ≤ 25 4) (x - |x|)2 ≤ 25 19. ผลเฉลยของสมการ 2|5 - x| = 1 อยในชวงใด 1) (-10 , -5) 2) (-6 , -4) 3) (-4 , 5) 4) (-3 , 6) 20. ถา 4

3 เปนผลเฉลยหนงของสมการ 4x2 + bx - 6 = 0 เมอ b เปนจานวนจรงแลว อกผลเฉลยหนงของสมการนมคาตรงกบขอใด

1) –2 2) - 21 3) 2

1 4) 2 21. พจารณาสมการ |x - 7| = 6 ขอสรปใดตอไปนเปนเทจ 1) คาตอบหนงของสมการมคาระหวาง 10 และ 15 2) ผลบวกของคาตอบทงหมดของสมการมคาเทากบ 14 3) สมการนมคาตอบมากกวา 2 คาตอบ 4) ในบรรดาคาตอบทงหมดของสมการ คาตอบทมคานอยทสดมคานอยกวา 3


22. ถาสมการ (x2 + 1)(2x2 – 6x + c) = 0 มรากทเปนจานวนจรงเพยง 1 ราก คาของ c จะอยในชวงใดตอไปน

1) (0, 3) 2) (3, 6) 3) (6, 9) 4) (9, 12) 23. สมการในขอใดตอไปน มคาตอบทเปนจานวนจรงมากกวา 2 คาตอบ 1) (x – 2)2 + 1 = 0 2) (x2 + 2)(x2 – 1) = 0 3) (x – 1)2(x2 + 2) = 0 4) (x – 1)2(x + 2)2 = 0

24. จานวนสมาชกของเซต {x | x = 2

|a|1 a

+ -

2a1 |a|

- เมอ a เปนจานวนจรงซงไมเทากบ 0} เทากบ

ขอใดตอไปน 1) 1 2) 2 3) 3 4) มากกวาหรอเทากบ 4 25. ผลบวกของคาตอบทกคาตอบของสมการ x3 - 2x = |x| เทากบขอใดตอไปน 1) 0 2) 3 3) 3 - 1 4) 3 + 1 26. กาหนดให I เปนเซตของจานวนเตม และ

≤∈= 32 |1 x |

1 |1 x |I x A --- แลวจานวนสมาชกของเซต A

เทากบขอใดตอไปน 1) 4 2) 5 3) 6 4) 7 27. ถา x = - 2

1 เปนรากของสมการ ax2 + 3x - 1 = 0 แลวรากอกรากหนงของสมการนมคาเทากบขอใดตอไปน

1) –5 2) - 51 3) 5

1 4) 5 28. เซตของจานวนจรง m ซงทาใหสมการ x2 - mx + 4 มรากเปนจานวนจรง เปนสบเซตของเซตใดตอไปน 1) (-5, 5) 2) (-∞, -4)U [3, ∞) 3) (-∞, 0)U [5, ∞) 4) (-∞, -3)U [4, ∞) 29. เซตคาตอบของอสมการ -1 ≤ 2 + 21

x- ≤ 1 คอเซตในขอใดตอไปน

1) [ 2 - 1, 1] 2) [ 2 - 1, 2] 3) [3 - 2 2 , 1] 4) [3 - 2 2 , 2] 30. กาหนดให ABC เปนสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก มดาน BC ยาวเทากบ 10 3 หนวย และดาน AB

ยาวเทากบ 20 หนวย ถาลากเสนตรงจากจด C ไปตงฉากกบดาน AB ทจด D แลวจะไดวาดาน CD ยาวเทากบขอใดตอไปน

1) 5 2 หนวย 2) 5 3 หนวย 3) 10 2 หนวย 4) 10 3 หนวย 31. ตองการลอมรวรอบทดนรปสเหลยมผนผาซงมพนท 65 ตารางวา โดยดานยาวของทดนยาวกวาสองเทาของ

ดานกวางอย 3 วา จะตองใชรวทมความยาวเทากบขอใดตอไปน 1) 30 วา 2) 36 วา 3) 42 วา 4) 48 วา


32. รปสามเหลยมมมฉากรปหนง มพนท 600 ตารางเซนตเมตร ถาดานประกอบมมฉากดานหนงยาวเปน 75% ของดานประกอบมมฉากอกดานหนงแลว เสนรอบรปสามเหลยมมมฉากรปนยาวกเซนตเมตร

1) 120 2) 40 3) 60 2 4) 20 2 33. ขบวนพาเหรดรปสเหลยมผนผาขบวนหนง ประกอบดวยผเดนเปนแถว แถวละเทาๆ กน (มากกวา 1 แถว

และแถวละมากกวา 1 คน) โดยเฉพาะผอยรมดานนอกทงสดานของขบวนนน ทสวมชดสแดง ซงมทงหมด 50 คน ถา x คอจานวนแถวของขบวนพาเหรด และ N คอจานวนคนทอยในขบวนพาเหรดแลว ขอใดถกตอง

1) 31x - x2 = N 2) 29x - x2 = N 3) 27x - x2 = N 4) 25x - x2 = N 34. รปสเหลยมผนผาสองรป มขนาดเทากน โดยมเสนทแยงมมยาวเปนสองเทาของดานกวาง ถานารป

สเหลยมผนผาทงสองมาวางตอกนดงรป จด A และจด B อยหางกนเปนระยะกเทาของดานกวาง

A

C

B

1) 1.5 2) 3 3) 2 4) 2 2 35. ถา x = 3 2

3 2-+ และ y = 3 2

3 2+

- แลว x2 – 4xy + y2 เทากบเทาใด

36. ถา 4

278

= 1/x

8116

และ y = 3x แลว y เทากบเทาใด

37. ถา a, b, c และ d เปนจานวนจรงซง (x – 1)2(ax + b) = cx2 + dx + 4 ทกจานวนจรง x แลว a + b + c + d

เทากบเทาใด 38. ถา (p – 2)2 = 25 และ (q + 1)2 = 81 แลว คามากทสดทเปนไปไดของ p – 2q เทากบเทาใด 39. ถาชวงเปด (a, b) เปนเซตคาตอบของอสมการ |x - 1| + |6 - 3x| < 17 และ x > 2 แลว a + b

เทากบเทาใด


เลขยกกาลง เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตม บทนยาม ถา a เปนจานวนจรงใดๆ และ n เปนจานวนเตมบวก แลว an = a × a × a × ... × a

(เมอ a มจานวน n ตว) เรยก an วา เลขยกกาลง ม a เปนฐาน และ n เปนเลขชกาลง เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ บทนยาม ถา a เปนจานวนจรงบวกใดๆ และ n เปนจานวนตรรกยะทมากกวา 1 n a = a1/n สมบตของเลขยกกาลง ถา x และ y เปนจานวนจรงใดๆ m และ n เปนจานวนเตมบวก 1. xm ⋅ xn = xm+n 2. (x ⋅ y)n = xn ⋅ yn 3. (xm)n = xmn

4. nm

xx = xm-n 5.

nyx

= n

n

yx 6. nx

1 = x-n ขอสงเกต : x0 = 1 สมการของเลขยกกาลง ถา x และ y เปนจานวนจรงบวกใดๆ m และ n เปนจานวนตรรกยะ 1. xm = xn กตอเมอ m = n 2. xm = ym กตอเมอ m = 0 โดยท x, y ≠ 0 อสมการของเลขยกกาลง ถา x และ y เปนจานวนจรงบวกใดๆ m และ n เปนจานวนตรรกยะ 1. xm < xn และ x > 1 จะไดวา m < n 2. xm < xn และ 0 < x < 1 จะไดวา m > n

ตวอยางขอสอบ 1. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงใดๆ แลวขอใดตอไปนถกตอง 1) ถา a < b แลวจะได a2 < b2 2) ถา a 0 แลว a-x > 0 4) ถา a > 0 แลว ax > a


3. ขอใดมคาตางจากขออน 1) (-1)0 2) (-1)0.2 3) (-1)0.4 4) (-1)0.8 4. ขอใดตอไปนผด 1) 10 0.9 + < 0.9 + 10 2) ( 0.9 )( 4 0.9 ) < 0.9 3) ( 0.9 )( 3 1.1 ) < ( 1.1 )( 3 0.9 ) 4) 300 125 < 200 100 5. อสมการในขอใดตอไปนเปนจรง 1) 21000 < 3600 < 10300 2) 3600 < 21000 < 10300 3) 3600 < 10300 < 21000 4) 10300 < 21000 < 3600 6. ขอใดตอไปนผด 1) (24)30 < 220 ⋅ 330 ⋅ 440 2) (24)30 < 230 ⋅ 320 ⋅ 440 3) 220 ⋅ 330 ⋅ 440 < (24)30 4) 230 ⋅ 340 ⋅ 420 < (24)30 7. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ )x2(2 = 4

(4x)

42

1) 2 2) 3 3) 4 4) 5

8. 42/3

1448 ⋅ 6

(18)1/2 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 3

2 2) 23 3) 2 4) 3

9. ถา

3x83 3

+ = 8116 แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1) - 94 2) - 9

2 3) - 91 4) 9

1 10. ถา 8x - 8(x+1) + 8(x+2) = 228 แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 3

1 2) 32 3) 3

4 4) 35

11. เซตคาตอบของอสมการ 4(2x2-4x-5) ≤ 32

1 คอเซตในขอใดตอไปน

1)

25 ,2

5- 2)

1 ,2

5- 3)

1 ,2

1- 4)

25 ,2

1-

12. ถา 4

1258

= 1/x

62516

แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 43 2) 3

2 3) 23 4) 3

4 13. ถา 4a = 2 และ 16-b = 4

1 แลว a + b เทากบเทาใด


ความสมพนธและฟงกชน คอนดบ (a, b) โดยท a คอ สมาชกตวหนา และ b คอ สมาชกตวหลง ผลคณคารทเซยน “ถา A และ B เปนเซตใดๆ ผลคณคารทเซยนของ A และ B เขยนแทนดวย A × B” นยาม A × B = {(x, y) | x ∈ A และ y ∈ B} สมบตของผลคณคารทเชยน ให A, B และ C เปนเซตใดๆ 1. ถา n(A) = m และ n(B) = n แลว n(A × B) = n(B × A) = mn 2. A × B = B × A กตอเมอ A = B หรอ A = φ หรอ B = φ แลวจะไดวา 3. A × (BU C) = (A × B)U (A × C) 4. A × (BI C) = (A × B)I (A × C) 5. A × (B - C) = (A × B) - (A × C) ความสมพนธ นยาม ให A และ B เปนเซต r เปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r เปนสบเซตของ A × B โดเมนของความสมพนธ คอ เซตของสมาชกตวหนาของทกคอนดบ (Dr) นนคอ Dr = {x | (x, y) ∈ r} เรนจของความสมพนธ คอ เซตของสมาชกตวหลงของทกคอนดบ (Rr) นนคอ Rr = {y | (x, y) ∈ r}

ถา n(A) = m และ n(B) = n แลว จานวนความสมพนธทงหมดจาก A ไป B เทากบ 2mn การหาโดเมนและเรนจในกรณท r ⊂ R × R 1. ถาเงอนไขของความสมพนธอยในรป y = ax + b โดยท a ≠ 0 จะได โดเมนและเรนจเปนจานวนจรง 2. ถาเงอนไขของความสมพนธอยในรป y = cbx

a+

โดยท a, b ≠ 0

จะได โดเมน = {x|x ≠ - dc } เรนจ = {y|y ≠ 0}

3. ถาเงอนไขของความสมพนธอยในรป y = dcx

bax ++ โดยท a, c ≠ 0

จะได โดเมน = {x|x ≠ - dc } เรนจ = {y|y ≠ c

a } 4. ถาเงอนไขความสมพนธอยในรป y = |ax + b| โดยท a ≠ 0 จะได โดเมน = R เรนจ = {y|y ≥ 0}


5. ถาเงอนไขความสมพนธอยในรป y = |ax + b| + c โดยท a ≠ 0 จะได โดเมน = R เรนจ = {y|y ≥ c} 6. ถาเงอนไขความสมพนธอยในรป y = ax2 + b ; a ≠ 0 และ a > 0 จะได โดเมน = R เรนจ = {y|y ≥ b} 7. ถาเงอนไขความสมพนธอยในรป y = bax + จะได โดเมน = {x|x ≥ - a

b }; a ≠ 0 เรนจ = {y|y ≥ 0} 8. ถาเงอนไขความสมพนธอยในรป y = bx2 + ; b > 0 จะได โดเมน = R เรนจ = {y|y ≥ b } 9. ถาเงอนไขความสมพนธอยในรป y = 22 ax - จะได โดเมน = {x|x ≤ -a หรอ x ≥ a} เรนจ = {y|y ≥ 0} 10. ถาเงอนไขความสมพนธอยในรป y = 22 xa - จะได โดเมน = {x|-a ≤ x ≤ a} เรนจ = {y|0 ≤ y ≤ a} ฟงกชน นยาม ความสมพนธ r จะเปนฟงกชน กตอเมอ ถา (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r แลว y = z การพจารณาฟงกชน 1. ความสมพนธแบบแจกแจงสมาชก : ใหพจารณาวาเปนฟงกชนหรอไม สงเกตสมาชกตวหนาของคอนดบทเปนสมาชกแตละตว ถาสมาชกไมซากน 2. ความสมพนธเปนกราฟของความสมพนธ : ใหพจารณาวาเปนฟงกชนหรอไม โดยลากเสนตรงขนานแกน y ใหตดกราฟ ถาเสนตรงทลากตดกราฟเพยง 1 จด ความสมพนธนนเปนฟงกชน ถาเสนตรงทลากตดกราฟมากกวา 1 จด ความสมพนธนนไมเปนฟงกชน 3. ความสมพนธเปนแบบบอกเงอนไข : พจารณาจากตวแปร y ของสมการในเงอนไขดงน 3.1 ถา yn เมอ n เปนจานวนค จะไมเปนฟงกชน 3.2 ถา y เปนคาสมบรณ จะไมเปนฟงกชน 3.3 ถาไมมตวแปร y จะไมเปนฟงกชน 3.4 ถาเปนอสมการ จะไมเปนฟงกชน การหาคาของฟงกชน : การหาคาของฟงกชน ทาไดโดยการแทนคา ตวแปรในฟงกชนนนดวยคาทตองการ


ฟงกชนประเภทตางๆ ฟงกชนเชงเสน นยาม ฟงกชนเชงเสน คอ ฟงกชนทอยในรป f(x) = ax + b เมอ a, b เปนจานวนจรง และ a ≠ 0 ฟงกชนคงตว คอ ฟงกชน f(x) = ax + b เมอ a = 0 และ b เปนจานวนจรง จะไดฟงกชนทอยในรป f(x) = b ฟงกชนกาลงสอง นยาม ฟงกชนกาลงสอง (Quadratic function) คอ ฟงกชนทอยในรป f(x) = ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปนจานวนจรงใดๆ และ a ≠ 0 ลกษณะของกราฟของฟงกชนขนอยกบคาของ a, b และ c เมอคาของ a เปนบวกหรอลบ จะทาใหไดกราฟเปนเสนโคงหงายหรอควา เรยกวา กราฟพาราโบลา ดงรป

เมอ a > 0 เมอ a < 0 พจารณา ฟงกชนทอยในรป f(x) = ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปนจานวนจรงใดๆ และ a ≠ 0 สามารถจดฟงกชนในรป f(x) = a(x – h)2 + h เมอ h และ k เปนจานวนจรงใดๆ และ a ≠ 0

1. จดวกกลบ (h , k) =

4ab 4ac ,2a

b 2 --

2. คาสงสดหรอคาตาสด คอ k 3. สมการแกนสมมาตร คอ x = h 4. โดเมน คอ R และเรนจ คอ [h, ∞) กรณ a > 0 หรอ (-∞, h] กรณ a < 0 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล คอ ฟงกชนทอยในรปของ y = ax เมอ a > 0 และ a ≠ 1

y = ax a > 0 และ a ≠ 1

(0, 1)

(0, 1)

- a > 1 เปนฟงกชนเพมหรอกลาวไดวา เมอ x มคาเพมใน y จะมคาเพมขน - Dr = R - Rr = R+

- 0 < a < 1 เปนฟงกชนลดหรอกลาวไดวา เมอ x มคาเพมขน y จะมคาลดลง - Dr = R - Rr = R+


ฟงกชนคาสมบรณ คอ เปนฟงกชนทอยในรป y = |x – a| + c เมอ a และ c เปนจานวนจรง กราฟจะมลกษณะเปนรปตวว (V) ฟงกชนขนบนได คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนสบเซตของ R และมคาฟงกชนเปนชวงมากกวา 2 ชวง

ตวอยางขอสอบ 1. ความสมพนธในขอใดเปนฟงกชน 1) {(0, 1), (0, 2), (2, 1), (1, 3)} 2) {(0, 2), (1, 1), (2, 2), (3, 0)} 3) {(1, 1), (2, 0), (2, 3), (3, 1)} 4) {(1, 2), (0, 3), (1, 3), (2, 2)} 2. ความสมพนธในขอใดเปนฟงกชน 1) {(1, 2), (2, 3), (3, 2), (2, 4)} 2) {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 3)} 3) {(1, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 4)} 4) {(1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 1)} 3. กาหนดให A = {a, b, c} และ B = {0, 1} ฟงกชนในขอใดตอไปน เปนฟงกชนจาก B ไป A 1) {(a, 1), (b, 0), (c, 1)} 2) {(0, b), (1, a), (1, c)} 3) {(b, 1), (c, 0)} 4) {(0, c), (1, b)} 4. กาหนดให A ={1, 2} และ B = {a, b} คอนดบในขอใดตอไปน เปนสมาชกของผลคณคารทเชยน A × B 1) (2, b) 2) (b, a) 3) (a, 1) 4) (1, 2) 5. ให A = {1, 99} ความสมพนธใน A ในขอใดไมเปนฟงกชน 1) เทากน 2) ไมเทากน 3) หารลงตว 4) หารไมลงตว 6. กาหนดให f(x) = -x2 + 4x – 10 ขอความใดตอไปนถกตอง 1) f มคาตาสดเทากบ 6 2) f ไมมคาสงสด

3) f มคาสงสดเทากบ 6 4) f

29 < -6

7. ถา P เปนจดวกกลบของพาราโบลา y = -x2 + 12x – 38 และ O เปนจดกาเนดแลวระยะทางระหวางจด

P และจด O เทากบขอใดตอไปน 1) 10 หนวย 2) 2 10 หนวย 3) 13 หนวย 4) 2 13 หนวย 8. ถา A = {1, 2, 3, 4} และ r = {(m, n) ∈ A × A | m ≤ n} แลวจานวนสมาชกในความสมพนธ r

เทากบขอใดตอไปน 1) 8 2) 10 3) 12 4) 16 9. กาหนดให r = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B และ b หารดวย a ลงตว} ถา A = {2, 3, 5} แลวความสมพนธ

r จะเปนฟงกชน เมอ B เทากบเซตใดตอไปน 1) {3, 4, 10} 2) {2, 3, 15} 3) {0, 3, 10} 4) {4, 5, 9}


10. ฟงกชน y = f(x) ในขอใดมกราฟดงรปตอไปน

X(0,1)

Y

X

y = f(x)

1) f(x) = 1 - |x| 2) f(x) = 1 + |x| 3) f(x) = |1 - x| 4) f(x) = |1 + x| 11. พาราโบลารปหนงมเสนสมมาตรขนานกบแกน Y และมจดสงสดอยทจด (a, b) ถาพาราโบลารปนตดแกน X

ทจด (-1, 0) และ (5, 0) แลว a มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 12. กราฟของฟงกชนในขอใดตอไปน ตดแกน X มากกวา 1 จด

1) y = 1 + x2 2) y = |x| - 2 3) y = |x - 1| 4) y = x

21

13. ถากราฟของ y = x2 – 2x – 8 ตดแกน X ทจด A, B และ ม C เปนจดวกกลบแลวรปสามเหลยม ABC ม

พนทเทากบขอใดตอไปน 1) 21 ตารางหนวย 2) 24 ตารางหนวย 3) 27 ตารางหนวย 4) 30 ตารางหนวย 14. ทก x ในชวงใดตอไปนทกราฟ y = -4x2 - 5x + 6 อยเหนอแกน X

1)

31 ,3

2 -- 2)

23 ,2

5 -- 3)

76 ,4

1 4)

23 ,2

1 15. ถาเสนตรง x = 3 เปนเสนสมมาตรของกราฟของฟงกชน f(x) = -x2 + (k + 5)x + (k2 – 10) เมอ k เปน

จานวนจรง แลว f มคาสงสดเทากบขอใดตอไปน 1) –4 2) 0 3) 6 4) 14 16. กาหนดให f(x) = x2 – 2x – 15 ขอใดตอไปนผด 1) f(x) ≥ -17 ทกจานวนจรง x 2) f(-3 - 2 - 3 ) > 0 3) f(1 + 3 + 5 ) = f(1 - 3 - 5 ) 4) f(-1 + 3 + 5 ) > f(-1 - 3 - 5 ) 17. จานวนในขอใดตอไปนเปนสมาชกของโดเมนของฟงกชน y =

23x xx

2 ++ +

1 x1 2x

2 --

1) –2 2) –1 3) 0 4) 1 18. คาของ a ททาใหกราฟของฟงกชน y = a(2x) ผานจด (3, 16) คอขอใดตอไปน 1) 2 2) 3 3) 4 4) 5


19. เมอเขยนกราฟของ y = ax2 + bx + c โดยท a ≠ 0 เพอหาคาตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 กราฟในขอใดตอไปนแสดงวาสมการไมมคาตอบทเปนจานวนจรง

1)

-5 -5

5

5

X

Y

X 2)

-5 -5

5

5

X

Y

X

3)

-5 -5

5

5 Y Y

X 4)

-5 -5 5

5

Y Y

X

20. ถา f(x) = -x2 + x + 2 แลวขอสรปใดถกตอง 1) f(x) ≥ 0 เมอ -1 ≤ x ≤ 2 2) จดวกกลบของกราฟของฟงกชน f อยในจตภาคทสอง 3) ฟงกชน f มคาสงสดเทากบ 2 4) ฟงกชน f มคาตาสดเทากบ 2 21. ถา f(x) = x 3 - และ g(x) = -2 + |x - 4| แลว DfU Rg คอขอใด 1) (-∞, 3] 2) [-2, ∞) 3) [-2, 3] 4) (-∞, ∞) 22. ถา f(x) = 3 - 2 x4 - แลว ขอใดตอไปนถกตอง 1) Df = [-2, 2] และ Rf = [0, 3] 2) Df = [-2, 2] และ Rf = [1, 3] 3) Df = [0, 2] และ Rf = [0, 3] 4) Df = [0, 2] และ Rf = [1, 3] 23. ถา f(x – 2) = 2x – 1 แลว f(x2) มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 2x2 – 1 2) 2x2 + 1 3) 2x2 + 3 4) 2x2 + 9


24. กาหนดใหกราฟของฟงกชน f เปนดงน

คาของ 11f(-11) - 3f(-3)f(3) คอขอใด 1) 57 2) 68 3) 75 4) 86 25. ขอใดตอไปนเปนความสมพนธทมกราฟเปนบรเวณทแรเงา

1) {(x, y) ||y| ≥ x} 2) {(x, y) ||y| ≤ x} 3) {(x, y) | y ≥ |x|} 4) {(x, y) | y ≤ |x|} 26. พาราโบลาหนงเปนกราฟของฟงกชน f(x) = 2x2 – 4x – 6 พจารณาขอความตอไปน ก. พาราโบลารปนมแกนสมมาตรคอเสนตรง x = -1 ข. พาราโบลารปนมจดวกกลบอยในจตภาคทส ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด 27. ถา f = {(1, 0), (2, 1), (3, 5), (4, 3), (5, 2)} แลว f(2) + f(3) มคาเทาใด 28. กาหนดให n(A) แทนจานวนสมาชกของเซต A ถา r1 = {(-1, -2), (0, -1), (1, 2), (2, -3), (3, 4)} r2 = {(x, y) ||y + 1| = x} แลว n(r1I r2) เทากบเทาใด

-5 -10

5

Y

X

X1

y = x

y = -x

Y


อตราสวนตรโกณมต AB คอ ดานตรงขามมมฉาก (ฉาก) AC คอ ดานประชดมม A (ชด) BC คอ ดานตรงขามมม A (ขาม) เราจะเรยกอตราสวนตางๆ ดงน 1. AB

BC คอ ไซน (sine) ของมม A เขยนยอวา sin A 2. AB

AC คอ โคไซน (cosine) ของมม A เขยนยอวา cos A 3. AC

BC คอ แทนเจนต (tangent) ของมม A เขยนยอวา tan A 4. BC

AB คอ โคซแคนต (cosecant) ของมม A เขยนยอวา cosec A 5. AC

AB คอ ซแคนต (secant) ของมม A เขยนยอวา sec A 6. BC

AC คอ โคแทนเจนต (cotangent) ของมม A เขยนยอวา cot A

โดย 1. sin A = Aมมมดานตรงขาความยาวของ มมมฉากดานตรงขาความยาวของ

= ฉากขาม

2. cos A = Aมมดานประชดความยาวของ

มมมฉากดานตรงขาความยาวของ = ฉาก

ชด 3. tan A = Aมมมดานตรงขาความยาวของ

Aมมดานประชดความยาวของ = ชด

ขาม 4. cosec A = ความยาวของดานตรงขามมมฉาก

ความยาวของดานตรงขามมม A = ขาม

ฉาก 5. sec A = ความยาวของดานตรงขามมมฉาก

ความยาวของดานประชดมม A = ชด

ฉาก 6. cot A = ความยาวของดานประชดมม A

ความยาวของดานตรงขามมม A = ขาม

ชด

B

A C


คาของอตราสวนตรโกณมต

ขนาดของมม มม

π (0°) 6π (30°) 4

π (45°) 3π (60°) 2

π (90°)

sin θ 0 21 2

2 23 1

cos θ 1 23 2

2 21 0

tan θ 0 31 1 3 หาคาไมได

ความสมพนธระหวาง sin θ, cos θ, tan θ, cosec θ, sec θ และ cot θ 1. cosec θ = θ sin

1 2. sec θ = θcos1

3. tan θ = θθ

cossin 4. cot θ = θtan

1

5. sin2 θ + cos2 θ = 1 6. tan2 θ + 1 = sec2 θ 7. 1 + cot2 θ = cosec2 θ สตรการหาความสมพนธของอตราสวนตรโกณมตเพมเตม

sin(π - θ) = sin θ sin

θπ 2 - = cos θ

sin(π + θ) = -sin θ sin

+ θπ 2 = -cos θ

cos(π - θ) = cos θ cos

θπ 2 - = sin θ

cos (π + θ) = -cos θ cos

+ θπ 2 = -sin θ การประยกตของอตราสวนตรโกณมต เสนระดบสายตา คอ เสนตรงทขนานกบผวนาทะเลหรอขนานกบพนราบ มมเงย (Angle of Elevation) คอ มมทวดสงกวาระดบสายตาขนไป มมกม (Angle of Depression) คอ มมทวดตากวาระดบสายตาลงมา

A แนวระดบสายตา

แนวระดบสายตา

C

B

มมเงย

AC

B

มมกม


ตวอยางขอสอบ 1. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B เปนมมฉาก มมม A เทากบ 30° และมพนทเทากบ 24 3

ตารางหนวย ความยาวของดาน AB เทากบขอใดตอไปน 1) 12 หนวย 2) 14 หนวย 3) 16 หนวย 4) 18 หนวย 2. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก มดาน BC ยาวเทากบ 10 3 หนวย และดาน

AB ยาวเทากบ 20 หนวย ถาลากเสนตรงจากจด C ไปตงฉากกบดาน AB ทจด D แลว จะไดวาดาน CD ยาวเทากบขอใดตอไปน

1) 5 2 หนวย 2) 5 3 หนวย 3) 10 2 หนวย 4) 10 3 หนวย 3. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมพนทเทากบ 15 ตารางหนวย และมมม C เปนมมฉาก ถา

sin B = 3 sin A แลวดาน AB ยาวเทากบขอใดตอไปน 1) 5 หนวย 2) 5 3 หนวย 3) 5 2 หนวย 4) 10 หนวย 4. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก และดาน BC ยาว 6 นว ถา D เปนจดบน ดาน

AC โดยท CDBˆ = 70° และ DBAˆ = 10° แลวดาน AB ยาวเทากบขอใดตอไปน 1) 4 3 นว 2) 5 3 นว 3) 8 นว 4) 10 นว 5. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยม ซงมมม A เปนมมฉาก และมมม B = 30° ถา D และ E เปนจด

บนดาน AB และ BC ตามลาดบ ซงทาให DE ขนานกบ AC โดยท DE ยาว 5 หนวย และ EC ยาว 6 หนวย แลว AC ยาวเทากบขอใดตอไปน

1) 7.5 หนวย 2) 8 หนวย 3) 8.5 หนวย 4) 9 หนวย 6. วงกลมวงหนงมรศม 6 หนวย และ A, B, C เปนจดบนเสนรอบวงของวงกลม ถา AB เปนเสนผานศนยกลาง

ของวงกลม และ BACˆ = 60° แลวพนทของรปสามเหลยม ABC เทากบขอใดตอไปน 1) 15 3 ตารางหนวย 2) 16 3 ตารางหนวย 3) 17 3 ตารางหนวย 4) 18 3 ตารางหนวย 7. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก และ cos B = 3

2 ถาดาน BC ยาว 1 หนวย แลวพนทของรปสามเหลยม ABC เทากบขอใดตอไปน

1) 55 ตารางหนวย 2) 4

5 ตารางหนวย 3) 35 ตารางหนวย 4) 2

5 ตารางหนวย 8. กาหนดให ABCD เปนรปสเหลยมผนผาซงมพนทเทากบ 12 ตารางหนวย และ tan DBAˆ = 3

1 ถา AE ตงฉากกบ BD ทจด E แลว AE ยาวเทากบขอใดตอไปน

1) 310 หนวย 2) 5

2 10 หนวย 3) 210 หนวย 4) 5

3 10 หนวย


9. พจารณารปสามเหลยมตอไปน โดยท EFCˆ , BACˆ , BEAˆ และ BDEˆ ตางเปนมมฉาก ขอใดตอไปนผด

1) sin ( 1 ) = sin ( 5 ) 2) cos ( 3 ) = cos ( 5 ) 3) sin ( 2 ) = cos ( 4 ) 4) cos ( 2 ) = sin ( 3 ) 10. จากรป ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) sin 21° = cos 69° 2) sin 21° = cos 21° 3) cos 21° = tan 21° 4) tan 21° = cos 69° 11. ขอใดตอไปนถกตอง 1) sin 30° < sin 45° 2) cos 30° < cos 45° 3) tan 45° < cot 45° 4) tan 60° < cot 60° 12. กาหนดใหตาราง A ตาราง B และตาราง C เปนตารางหาอตราสวนตรโกณมตของมมขนาดตางๆ ดงน

ตาราง A ตาราง B ตาราง C θ sin θ θ cos θ θ tan θ

40° 0.643 40° 0.766 40° 0.839 41° 0.656 41° 0.755 41° 0.869 42° 0.669 42° 0.743 42° 0.900

ถารปสามเหลยม ABC มมม B เปนมมฉาก มม C มขนาด 41° และสวนสง BX ยาว 1 หนวย แลวความ

ยาวของสวนของเสนตรง AX เปนดงขอใดตอไปน

A X C

B

1) ปรากฏอยในตาราง A 2) ปรากฏอยในตาราง B 3) ปรากฏอยในตาราง C 4) ไมปรากฏอยในตาราง A, B และ C 13. มมมมหนงของรปสามเหลยมมมฉากมขนาดเทากบ 60 องศา ถาเสนรอบรปของรปสามเหลยมนยาว

3 - 3 ฟตแลว ดานทยาวเปนอนดบสองมความยาวเทากบขอใด 1) 2 - 3 ฟต 2) 2 + 3 ฟต 3) 2 3 - 3 ฟต 4) 2 3 + 3 ฟต

�±�w�–�z�t�¥�–�°�•�–�Œ�‡�Ù�~�¤�”�¯�”� �–�Ù�°�w�”�Ž�Ô 2013______________________________________�w�†�§�ˆ�›�¥�•�ˆ�–�Ù (31)

14. �±�‡�•�t�¥�–�²�}�Ö�ˆ�¥�–�¥�z�ž�¥� �¤�ˆ�–�¥�•�Õ�š�Œ�ˆ�–�¨�±�t�†�”�§�ˆ�§�u� �z�”�«�”�u�Œ�¥�‡�ˆ�Õ�¥�z�µ �Š�¨�·�t�¼�¥�ž�Œ�‡�²�ž�Ö�ˆ�Õ� �³�Ž�Œ�¨�¸

θ sin θ cos θ 72° 0.951 0.309 73° 0.956 0.292 74° 0.961 0.276 75° 0.966 0.259

�”�«�”�“�¥�•�²�Œ�Š�¨�·�”�¨�u�Œ�¥�‡�¯�˜�¶�t�Š�¨�·�•�«�‡�u� �z�–�¬�Ž�•�¥�”�¯�ž�˜�¨�·�•�”�Š�¨�·�”�¨�‡�Ö�¥�Œ�Š�¤�¸�z�•�¥�”�•�¥�š 7, 24 �°�˜�£ 25 �ž�Œ�Õ�š�• �”�¨�u�Œ�¥�‡�²�t�˜�Ö�¯�w�¨�•�z

�t�¤�•�u�Ö� �²�‡�”�¥�t�Š�¨�·�•�«�‡ 1) 15° 2) 16° 3) 17° 4) 18° 15. �t��Ö� �z�š�z�{�–�Ž�Ì�‡�~�©�·�z�‰�¬�t�ˆ�§�‡�ˆ�¤�¸�z� �•�¬�Õ�•�¬�z�{�¥�t�‘�ª�¸�Œ�‰�Œ�Œ 2 �¯�”�ˆ�– �•�¥�”�¥�–�‰�{�¤�•�“�¥�‘�³�‡�Ö�ˆ�·�¼�¥�Š�¨�·�•�«�‡�Š�¨�·�”�«�”�t�Ö�” 45° �°�˜�£�•�¬�z�Š�¨�·�•�«�‡�Š�¨�·

�”�«�”�t�Ö�” 30° �–�£�•�£�Š�¥�z�•�Œ�‘�ª�¸�Œ�‰�Œ�Œ�²�Œ�°�Œ�š�t�˜�Ö� �z�Š�¨�·�t�˜�Ö� �z�Œ�¨�¸�•�¥�”�¥�–�‰�{�¤�•�“�¥�‘�³�‡�Ö�w�ª� �¯�Š�Õ�¥�²�‡ (�t�¼�¥�ž�Œ�‡�²�ž�Ö 3 ≈ 1.73) 1) 1.00 �¯�”�ˆ�– 2) 1.46 �¯�”�ˆ�– 3) 2.00 �¯�”�ˆ�– 4) 3.46 �¯�”�ˆ�– 16. �t�¼�¥�ž�Œ�‡�²�ž�Ö�•�¥�”�¯�ž�˜�¨�·�•�” ABC �”�¨ B = A + C �²�ž�Ö D �¯�Ž�Ý�Œ�{�«�‡�t�©�·�z�t�˜�¥�z�‡�Ö�¥�Œ AC �‰�Ö�¥ A = 20° �°��Ö�š BDA �”�¨

�u�Œ�¥�‡�t�¨�·� �z�›�¥ 1) 80 � �z�›�¥ 2) 100 � �z�›�¥ 3) 120 � �z�›�¥ 4) 140 � �z�›�¥ 17. �t�¼�¥�ž�Œ�‡�²�ž�Ö�•�¥�”�¯�ž�˜�¨�·�•�”�”�«�”�|�¥�t ABC �”�¨ C = 90° �²�ž�Ö D �¯�Ž�Ý�Œ�{�«�‡�•�Œ�‡�Ö�¥�Œ AB �~�©�·�z�Š�¼�¥�²�ž�Ö CD � �¤�¸�z�|�¥�t�t�¤�• AB �‰�Ö�¥

AB �•�¥�š 20 �ž�Œ�Õ�š�• �°�˜�£ CD �•�¥�š 8 �ž�Œ�Õ�š�• �°��Ö�š AD �”�¨�w�š�¥�”�•�¥�š�”�¥�t�Š�¨�·�•�«�‡�t�¨�·�ž�Œ�Õ�š�• 1) 10 2) 12 3) 14 4) 16 18. �Œ�¥�• �t. �°�˜�£�Œ�¥�• �u. �•�ª�Œ� �•�¬�Õ�•�Œ�‘�ª�¸�Œ�–�¥�•�~�©�·�z�ž�Õ�¥�z�{�¥�t�t�¼�¥�°�‘�z�¯�Ž�Ý�Œ�–�£�•�£ 10 �¯�”�ˆ�– �°�˜�£ 40 �¯�”�ˆ�– �ˆ�¥�”�˜�¼�¥�‡�¤�•

�‰�Ö�¥�Œ�¥�• �t. �”� �z�ž�˜� �‡�³�’�•�Œ�t�¼�¥�°�‘�z�‡�Ö�š�•�”�«�”�¯�z�• α � �z�›�¥ �²�Œ�u�†�£�Š�¨�·�Œ�¥�• �u. �”� �z�ž�˜� �‡�³�’�‡�š�z�¯�‡�¨�•�š�t�¤�Œ�‡�Ö�š�• �”�«�”�¯�z�• 90 - α � �z�›�¥ �‰�Ö�¥�³�”�Õ�w�§�‡�w�š�¥�”�•�¬�z�u� �z�Œ�¥�• �t. �°�˜�£�Œ�¥�• �u. �°��Ö�š�ž�˜� �‡�³�’� �•�¬�Õ�•�¬�z�{�¥�t�‘�ª�¸�Œ�–�¥�•�t�¨�·�¯�”�ˆ�–

1) 10 2) 102 3) 103 4) 20 19. �t�¼�¥�ž�Œ�‡�²�ž�Ö ABC �¯�Ž�Ý�Œ�–�¬�Ž�•�¥�”�¯�ž�˜�¨�·�•�”�Š�¨�·�”�¨�”�«�” B �¯�Ž�Ý�Œ�”�«�”�|�¥�t �‰�Ö�¥ cot A = 5

12 �°��Ö�š 10cosec A + 12sec A

�”�¨�w�Õ�¥�¯�Š�Õ�¥�²�‡ 20. �‰�Ö�¥ ABC �¯�Ž�Ý�Œ�–�¬�Ž�•�¥�”�¯�ž�˜�¨�·�•�”�Š�¨�·�”�¨�”�«�” B �¯�Ž�Ý�Œ�”�«�”�|�¥�t �°�˜�£ cos A = 5

3 �°��Ö�š cos(B - A) �”�¨�w�Õ�¥�¯�Š�Õ�¥�t�¤�•�¯�Š�Õ�¥�²�‡ 21. �‰�Ö�¥ 2cos2θ + cosθ = 1 �±�‡�•�Š�¨�· 0 ≤ θ ≤ 90° �°��Ö�š θ �¯�Ž�Ý�Œ�”�«�”�t�¨�·� �z�›�¥ 22. cosec30°

°°°°

cos59cos35sin35 sin31 tan55° �”�¨�w�Õ�¥�¯�Š�Õ�¥�t�¤�•�¯�Š�Õ�¥�²�‡

23. �t�¼�¥�ž�Œ�‡�²�ž�Ö�•�¥�”�¯�ž�˜�¨�·�•�” ABC �”�¨ AD �¯�Ž�Ý�Œ�¯�•�Ö�Œ�w�š�¥�”�•�¬�z�±�‡�•�Š�¨�· D � �•�¬�Õ�•�Œ�‡�Ö�¥�Œ BC �‰�Ö�¥�‡�Ö�¥�Œ AB �•�¥�š 5 �ž�Œ�Õ�š�•

�‡�Ö�¥�Œ AD �•�¥�š 3 �ž�Œ�Õ�š�• �°�˜�£ DAB = DCA �°��Ö�š�‡�Ö�¥�Œ BC �•�¥�š�t�¨�·�ž�Œ�Õ�š�•


ลาดบและอนกรม ลาดบ ลาดบ (Sequences) คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวกทเรยงจากนอยไปหามาก 1. ลาดบจากด คอ ลาดบทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก n ตวแรก {1, 2, 3, ..., n} 2. ลาดบอนนต คอ ลาดบทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก {1, 2, 3, ...} การเขยนลาดบจะเขยนเฉพาะสมาชกทเปนเรนจเรยงกน เชน a1, a2, a3, ..., an เรยก an วาพจนท n หรอพจนทวไป ลาดบเลขคณต คอ ลาดบทมผลตาง ซงไดจากพจนท n + 1 ลบดวยพจนท n ไดคาคงตว เรยกคาคงตวนวา “ผลตางรวม” (d) และ โดย an = a1 + (n – 1)d เมอ d = an+1 – an ลาดบเรขาคณต คอ ลาดบทมอตราสวนของพจนท n + 1 ตอพจนท n ไดคาคงตว เรยกคาคงตวนวา “อตราสวนรวม” (r) และ โดย an = a1rn-1

เมอ r = n1n

aa +

อนกรม อนกรม (Series) คอ ผลบวกของพจนทกพจนของลาดบ ให Sn แทนผลบวก n พจนแรกของอนกรม เชน S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 M = M Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an อนกรมเลขคณต คอ อนกรมทไดจากการบวกกนของลาดบเลขคณต 1. Sn = 2

n [2a1 + (n - 1)d]

2. Sn = 2n [a1 + an]


อนกรมเรขาคณต คอ อนกรมทไดจากการบวกกนของลาดบเรขาคณต

1. Sn = r 1)r (1a n

1-- เมอ r ≠ 1 และ r < 1 หรอ Sn = 1r

1) (ra n1

-- เมอ r ≠ 1 และ r > 1

2. Sn = r 1

ra a n1-- เมอ r ≠ 1 และ r < 1 หรอ Sn = 1r

ar a 1n-- เมอ r ≠ 1 และ r > 1

สญลกษณแทนการบวก ถา x1, x2, x3, ..., xN เปนคาขอมลชดหนง

∑=

N

1i 1x คอ ผลรวมของคาทกตวของขอมล

1. ∑=

N

1ic = cN เมอ c เปนคาคงตว

2. ∑=

N

1i 1x = x1 + x2 + x3 + ... + xN = 2

)1N(N +

3. ∑=

N

1i21x = 2

1x + 22x + 2

3x + ... + 2Nx =

6)1N2)(1N(N ++

4. ∑=

N

1i31x = 3

1x + 32x + 3

3x + ... + 3Nx =

4)1N(N 22 +

5. ∑=

N

1i 1cx = cx1 + cx2 + cx3 + ... + cxN = ∑=

N

1i 1xc = c2

)1N(N +

6. ∑=

+N

1i 11 ) y (x = ∑=

N

1i 1x + ∑=

N

1i 1y

ตวอยางขอสอบ 1. ลาดบเรขาคณตขอใดตอไปนมอตราสวนรวมอยในชวง (0.3, 0.5) 1) 3, 4

5 , 4825 , ... 2) 2, 3

4 , 98 , ... 3) 4, 3, 4

9 , ... 4) 5, 4, 516 , ...

2. ถาผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมหนง คอ Sn = 3n2 + 2 แลวพจนท 10 ของอนกรมนมคาเทากบ

ขอใดตอไปน 1) 57 2) 82 3) 117 4) 302

3. ∑=

+50

1kk k1)( 1 )( - มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 1300 2) 1350 3) 1400 4) 1450


4. ปาจเรมขายขนมครกในวนท 3 มกราคม ในวนแรกขายไดกาไร 100 บาท และวนตอๆ ไปจะขายไดกาไร เพมขนจากวนแรกกอนหนาวนละ 10 บาททกวน ขอใดตอไปนเปนวนทของเดอนมกราคมทปาจขายไดกาไร เฉพาะในวนนน 340 บาท

1) วนท 24 2) วนท 25 3) วนท 26 4) วนท 27 5. ถาผลบวกและผลคณของสามพจนแรกของลาดบเลขคณตทม d เปนผลตางรวมเทากบ 15 และ 80

ตามลาดบ แลว d2 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 1 2) 4 3) 9 4) 16 6. ถา a เปนจานวนจรงลบ และ a20 + 2a – 3 = 0 แลว 1 + a + a2 + … + a19 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) –2 2) –3 3) –4 4) –5 7. กาหนดให a1, a2, a3, ... เปนลาดบเลขคณตซง a30 - a10 = 30 แลว ผลตางรวมของลาดบเลขคณตน ม

คาเทากบขอใดตอไปน 1) 1.25 2) 1.5 3) 1.75 4) 2.0 8. ลาดบในขอใดตอไปนเปนลาดบเรขาคณต 1) an = 2n ⋅ 32n 2) an = 2n + 4n 3) an = 3n2 4) an = (2n)n 9. พจนท 16 ของลาดบเรขาคณต 625

1 , 51251 , 125

1 , ... เทากบขอใดตอไปน

1) 25 5 2) 125 3) 125 5 4) 625 10. กาหนดให S = {101, 102, 103, ..., 999} ถา a เทากบผลบวกของจานวนคทงหมดใน S และ b เทากบ

ผลบวกของจานวนคทงหมดใน S แลว b – a มคาเทากบขอใดตอไปน 1) -550 2) -500 3) -450 4) 450 11. พจนท 31 ของลาดบเลขคณต - 20

1 , - 301 , - 60

1 , ... มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 125 2) 30

13 3) 209 4) 15

7 12. ผลบวกของอนกรมเรขาคณต 1 – 2 + 4 – 8 + ... + 256 เทากบขอใดตอไปน 1) -171 2) -85 3) 85 4) 171 13. ถา a1, a2, a3, ... เปนลาดบเลขคณตซง a2 + a3 + a4 + ... + a9 = 100 แลว S10 = a1 + a2 + a3 + ... + a10

มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 120 2) 125 3) 130 4) 135 14. ลาดบเลขคณตในขอใดตอไปนมบางพจนเทากบ 40 1) an = 1 - 2n 2) an = 1 + 2n 3) an = 2 - 2n 4) an = 2 + 2n


15. กาหนดให a1, a2, a3 เปนลาดบเรขาคณต โดยท a1 = 2 และ a3 = 200 ถา a2 คอคาในขอใดขอหนง ตอไปน แลวขอดงกลาวคอขอใด

1) -20 2) -50 3) 60 4) 100 16. ขอใดตอไปนเปนอนกรมเรขาคณตทม 100 พจน 1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + ... + 199 2) 1 + 3

1 + 51 + ... + 1) (2n

1- + ... + 199

1 3) 1 + 2 + 4 + ... + (2n-1) + ... + 2199 4) 5

1 + 1251 + 3125

1 + ... + 12n1

5 - + ... + 1991

5

17. คาของ 1 + 6 + 11 + 16 + ... + 101 เทากบขอใดตอไปน 1) 970 2) 1020 3) 1050 4) 1071 18. กาหนดให 2

3 , 1, 21 , ... เปนลาดบเลขคณต ผลบวกของพจนท 40 และพจนท 42 เทากบขอใด

1) –18 2) –19 3) –37 4) –38 19. ใน 40 พจนแรกของลาดบ an พจนแรกของลาดบ ab = 3 + (-1)n มกพจน ทมคาเทากบพจนท 40 1) 10 2) 20 3) 30 4) 40 20. กาหนดให a1, a2, a3, ... เปนลาดบเรขาคณต ถา a2 = 8 และ a5 = -64 แลวผลบวกของ 10 พจนแรก

ของลาดบนเทากบขอใด 1) 2048 2) 1512 3) 1364 4) 1024 21. ลาดบเรขาคณตหนงมผลบวกและผลคณของ 3 พจนแรกเปน 13 และ 27 ตามลาดบ ถา r เปนอตราสวน

รวมของลาดบนแลว r + r1 มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 310 2) 3

7 3) 34 4) 3

1 22. กาหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของลาดบเลขคณต a1 , a2 , a3 , … ถา Sn = 90 และ S10 = 5

แลว a11 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) –39 2) –38 3) –37 4) –36 23. ในสวนปาแหงหนง เจาของปลกตนยคาลปตสเปนแถวดงน แถวแรก 12 ตน แถวทสอง 14 ตน แถวทสาม

16 ตน โดยปลกเพมเชนน ตามลาดบเลขคณต ถาเจาของปลกตนยคาลปตสไวทงหมด 15 แถว จะม ตนยคาลปตสในสวนปานทงหมดกตน

24. ลาดบเลขคณต -43, -34, -25, ... มพจนทมคานอยกวา 300 อยกพจน 25. ผลบวกของอนกรมเลขคณต 1 + (-2) + 4 + (-8) + ... + 256 เทากบเทาใด


ความนาจะเปน กฎการนบเบองตน 1. กฎการคณ ถาตองการทางาน k อยาง โดยทงานอยางแรกทาได n1 วธ และในแตละวธเลอกทางานอยางแรกนมวธทางานอยางทสองได n2 วธ และในแตละวธทเลอกทางานอยางแรกและทางานอยางทสองมวธทจะเลอกทางานอยางทสามได n3 วธ ฯลฯ 2. กฎการบวก ถาตองการทางานอยางใดอยางหนงใน k อยาง โดยทอยางแรกทาได n1 วธ อยางทสอง ทาได n2 แตกตางจากวธตางๆ ททางานอยางแรก อยางทสามทาได n3 วธ แตกตางจากวธตางๆ ททาในงานสองอยางแรก ฯลฯ ความนาจะเปน 1. ถาแซมเปลสเปซ S มสมาชก n(S) ตว ซงมโอกาสเกดขนเทาๆ กน และเปนเหตการณใน E ซงมสมาชก n(E) ตว 2. สมบตของความนาจะเปน 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 2. ถา A, B และ C เปนเหตการณใดๆ ใน S จะได • P(AU B) = P(A) + P(B) - P(AI B) • P(AU B) = P(A) + P(B) เมอ A และ B ไมเกดเหตการณรวมกน AI B = φ • P(AU BU C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AI B) - P(AI C) - P(BI C)

+ P(AI BI C) 3. ถา E เปนเหตการณใน S และ E′ เปนเหตการณตรงขาม แลว

จานวนวธทงหมดทจะเลอกทางานทง k อยางเทากบ n1 + n2 + n3 + … + nk วธ

จานวนวธทจะเลอกทางานอยางใดอยางหนงใน k อยาง เทากบ k321 n … n n n ×××× วธ

ความนาจะเปนของ E เทากบ P(E) = )S(n)E(n

P(E) = 1 - P(E′)


ตวอยางขอสอบ 1. ขอสอบชดหนงมสองตอน ตอนทหนงม 5 ขอ ใหเลอกตอบวาจรงหรอเทจ ตอนทสองม 5 ขอ เปนขอสอบ

แบบ 4 ตวเลอก ถาตองตอบขอสอบชดนทกขอโดยไมเวนแลว จะมวธตอบขอสอบชดนไดตางๆ กนทงหมดเทากบขอใดตอไปน 1) 52 × 54 วธ 2) 25 × 54 วธ 3) 25 × 45 วธ 4) 52 × 45 วธ

2. ในการออกรางวลแตละงวดของกองสลาก ความนาจะเปนทรางวลเลขทาย 2 ตว จะออกหมายเลขทมหลกหนวยเปนเลขค และหลกสบมากกวาหลกหนวยอย 1 เทากบขอใดตอไปน

1) 0.04 2) 0.05 3) 0.20 4) 0.25 3. ความนาจะเปนทรางวลเลขทาย 2 ตว ของสลากกนแบงรฐบาลจะออกเลขทงสองหลกเปนเลขเดยวกน

เทากบขอใดตอไปน 1) 10

1 2) 102 3) 9

1 4) 92

4. โยนลกเตา 3 ลก ความนาจะเปนทลกเตาจะขนแตมคอยางนอย 1 ลก เทากบขอใดตอไปน 1) 3

2 2) 85 3) 4

3 4) 87

5. จากการสารวจนกเรยนหองหนงจานวน 30 คน พบวา มนกเรยนไมชอบรบประทานปลา 12 คน และ

ชอบรบประทานปลาหรอกง 23 คน ถาสมนกเรยนมา 1 คน แลวความนาจะเปนทจะไดนกเรยนทชอบรบประทานกงเพยงอยางเดยวมคาเทากบขอใดตอไปน

1) 61 2) 5

1 3) 52 4) 5

3 6. กลอง 12 ใบ มหมายเลขกากบเปนเลข 1, 2, ..., 12 และกลองแตละใบบรรจลกบอล 4 ลก เปนลกบอลสดา

สแดง สขาว และสเขยว ถาสมหยบลกบอลจากกลองแตละใบ ใบละหนงลกแลว ความนาจะเปนทจะหยบได ลกบอลสแดงจากกลองหมายเลขค และไดลกบอลสดาจากกลองหมายเลขค เทากบขอใดตอไปน

1) 2

121

2)

1241

3)

1221

4)

4121

7. ครอบครวหนงมพนอง 6 คน เปนชาย 2 คน หญง 4 คน จานวนวธทจะจดใหคนทงหกยนเรยงกนเพอถายรป

โดยใหชายทงสองคนยนอยรมสองขางเสมอ เทากบขอใดตอไปน 1) 12 วธ 2) 24 วธ 3) 36 วธ 4) 48 วธ 8. กาหนดให A = {1, 2, 3}, B = {5, 6, ..., 14} และ r = {(m, n) | m ∈ A, n ∈ B} ถาสมหยบ คอนดบ

1 ค จากความสมพนธ r แลว ความนาจะเปนทจะไดคอนดบ (m , n) ซง 5 หาร n แลวเลอกเศษ 3 เทากบขอใดตอไปน

1) 151 2) 10

1 3) 51 4) 5

3


9. ชางไฟคนหนงสมหยบบนได 1 อน จากบนได 9 อน ซงมความยาว 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 และ 12 ฟต แลวนามาพาดกาแพงโดยใหปลายดานหนงหางจากกาแพง 3 ฟต ความนาจะเปนทบนไดจะทามมกบพนราบนอยกวา 60 องศา มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 91 2) 9

2 3) 93 4) 9

4 10. พจารณาขอความตอไปน ก. การทดลองสมเปนการทดลองททราบวาผลลพธอาจเปนอะไรไดบาง ข. แตละผลลพธของการทดลองสมมโอกาสเกดขนเทาๆ กน ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 11. โรงเรยนแหงหนงมรถโรงเรยน 3 คน นกเรยน 9 คน กาลงเดนไปขนรถโรงเรยนโดยสม ความนาจะเปนทไม

มนกเรยนคนใดขนรถคนแรกเทากบขอใดตอไปน

1) 9

31

2)

932

3)

991

4)

992

12. ในการคดเลอกคณะกรรมการหมบานซงประกอบดวยประธานฝายชาย 1 คน ประธานฝายหญง 1 คน

กรรมการฝายชาย 1 คน และกรรมการฝายหญง 1 คน จากผสมครชาย 4 คน และหญง 8 คน มวธการเลอกคณะกรรมการไดกวธ

1) 168 วธ 2) 324 วธ 3) 672 วธ 4) 1344 วธ 13. มาลตองการเดนทางจากเมอง A ไปยงเมอง C โดยตองเดนทางผานไปยงเมอง B กอนจากเมอง A ไปเมอง

B มาลสามารถเลอกเดนทางโดยรถยนต รถไฟ หรอเครองบนได แตจากเมอง B ไปเมอง C สามารถเดนทางไปทางเรอ รถยนตรถไฟ หรอเครองบน ขอใดตอไปนคอจานวนวธในการเดนทางจากเมอง A ไปยงเมอง C ทจะตองเดนทางโดยรถไฟเปนจานวน 1 ครง

1) 5 2) 6 3) 8 4) 9 14. โรงแรมแหงหนงมหองวางชนทหนง 15 หอง ชนทสอง 10 หอง ชนทสาม 25 หอง ถาครสมใจตองการเขา

พกในโรงแรมแหงนโดยวธสมแลว ความนาจะเปนทครสมใจจะไดเขาพกหองชนทสองของโรงแรมเทากบ ขอใดตอไปน

1) 101 2) 5

1 3) 103 4) 2

1 15. ในการหยบบตรสามใบ โดยหยบทละใบจากบตรสใบ ซงมหมายเลข 0, 1, 2 และ 3 กากบ ความนาจะเปนท

จะไดผลรวมของตวเลขบนบตรสองใบแรกนอยกวาตวเลข บนบตรใบทสามเทากบขอใด 1) 4

1 2) 43 3) 2

1 4) 32


16. ทาสเหรยญสามอนดงน เหรยญแรกดานหนงทาสขาว อกดานหนงทาสแดง เหรยญทสองดานหนงทาสแดง อกดานหนงทาสฟา เหรยญทสามดานหนงทาสฟา อกดานหนงทาสขาว โยนเหรยญทงสามขนพรอมกน ความนาจะเปนทเหรยญจะขนหนาตางสกนทงหมดเปนดงขอใด

1) 21 2) 4

1 3) 81 4) 16

1 17. กลองใบหนงบรรจสลากหมายเลข 1-10 หมายเลขละ 1 ใบ ถาสมหยบสลากจานวนสองใบ โดยหยบท

ละใบแบบไมใสคน ความนาจะเปนทจะหยบไดสลากหมายเลขตากวา 5 เพยงหนงใบเทานน เทากบขอใด 1) 9

2 2) 158 3) 35

2 4) 15611

18. ในการวดสวนสงนกเรยนแตละคนในชน พบวานกเรยนทสงทสดสง 177 เซนตเมตร และนกเรยนทเตยทสด

สง 145 เซนตเมตร พจารณาเซตของสวนสงตอไปน S = {H | เปนสวนสงในหนวยเซนตเมตรของนกเรยนในชน} T = {H | 145 ≤ H ≤ 177} เซตใดถอเปนปรภมตวอยาง (แซมเปลสเปซ) สาหรบการทดลองสมน 1) S และ T 2) S เทานน 3) T เทานน 4) ทง S และ T ไมเปนปรภมตวอยาง 19. ในการเลอกคณะกรรมการชดหนง ซงประกอบดวย ประธาน รองประธาน และเลขานการอยางละ 1 คน

จากหญง 6 คน และชาย 4 คน ความนาจะเปนทคณะกรรมการชดน จะมประธานและรองประธานเปนหญงเทากบเทาใด

1) 181 2) 12

1 3) 91 4) 3

1 20. กลองใบหนงมลกบอล 10 ลก เปนสแดง 1 ลก สนาเงน 2 ลก สขาว 2 ลก นอกนนเปนสอนๆ ความนาจะ

เปนทจะหยบลกบอล 3 ลกจากกลองใบนใหไดสแดง 1 ลก สนาเงน 1 ลก และไมไดสขาว เทากบขอใดตอไปน

1) 121 2) 10

1 3) 607 4) 15

2 21. สลากชดหนงม 10 ใบ มหมายเลข 1-10 กากบ ความนาจะเปนทจะหยบสลากพรอมกน 3 ใบ ใหมแตมรวม

เปน 10 และไมมสลากใบใดมหมายเลขสงกวา 5 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 60

1 2) 401 3) 30

1 4) 201

22. ตนรภยมระบบลอกทเปนรหสประกอบดวยตวเลขโดด 0 ถง 9 จานวน 3 หลก จานวนรหสทงหมดทมบาง

หลกซากน คอขอใด 23. จานวนวธในการจดหญง 3 คน และชาย 3 คน นงเรยงกนเปนแถว โดยใหสามภรรยาคหนงนงตดกนเสมอ

มทงหมดกวธ 24. ในการเขยนตวเลข 3 ตว จากเลขโดด 1 ถง 7 โดยทเลขโดดในหลกทงสามไมซากนเลย จะมวธเขยนตวเลข

เหลานทแสดงจานวนคไดกวธ


25. มกลอง 2 ใบ แตละใบมลกบอลหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5 อยอยางละลก ถาสมหยบลกบอลจากกลองทงสองใบน กลองละลกแลว ความนาจะเปนทจะไดลกบอลหมายเลขตางกนเทากบเทาใด

26. ถานาตวอกษรทงหมดจากคาวา AVATAR มาจดเรยงเปนคาตางๆ โดยไมจาเปนตองมความหมาย จะจดเปนคาทแตกตางกนไดกวธ

27. ตองการจดทนงใหผใหญ 3 คน กบเดก 4 คน เดนทางดวยรถยนต 7 ทนง โดยคนขบตองเปนผใหญ จะมวธการจดไดกวธ

28. จากการสารวจนกเรยนกลมหนงจานวน 100 คน ไดขอมลวามนกเรยนทสวมรองเทาขนาดตางๆ ดงน

เบอรรองเทา จานวนนกเรยน5 3 6 12 7 35 8 27 9 16 10 7 รวม 100 คน

ถาเลอกนกเรยน 1 คน จากนกเรยนกลมนอยางสม แลวความนาจะเปนทจะเลอกไดนกเรยนสวมรองเทา

เบอร 6 หรอเบอร 7 เทากบเทาใด 29. เสอ 50 ตว บรรจในกลองใบหนงมขนาดและสตางๆ เปนจานวนตามตารางตอไปน

ส ขนาด

แดง เขยว เหลอง นาเงน สม รวม

S 2 1 2 3 1 9 M 4 5 5 2 3 19 L 3 3 3 4 5 18 XL 1 1 0 1 1 4 รวม 10 10 10 10 10 50

ถาสมหยบเสอมา 1 ตว ความนาจะเปนทจะไดเสอสเขยวขนาด L หรอเสอสสมขนาด S เทากบเทาใด


สถต สถต หมายถง ตวเลขทแทนจานวนหรอขอเทจจรงของสงทเราศกษา สถต หมายถง ศาสตรทวาดวยระเบยบวธการทางสถต ซงประกอบดวย 1. การเกบรวบรวมขอมล 2. การนาเสนอขอมล 3. การวเคราะหขอมล 4. การสรปและตความหมายของขอมล ลกษณะของขอมล แยกเปน 2 ประเภท 1. ขอมลเชงปรมาณ 2. ขอมลเชงคณภาพ ขอมลเบองตนเกยวกบสถต 1. ความถ คอ ขอมลชดหนงทประกอบดวยคาคะแนนสามารถแบงออกไดเปน 1.1 ขอมลไมแจกแจงความถ (ขอมลดบ, ตารางทไมมชวงชน) 1.2 ขอมลแจกแจงความถ (ตารางทมชวงชน) 2. ความถสะสม คอ ผลรวมของความถนนกบความถของคาทนอยกวาทงหมดหรอสงกวาทงหมดอยางใดอยางหนง 3. ขดจากด คอ คากงกลางระหวางอนตรภาคชนทอยตดกน 3.1 ขดจากดบนของอนตรภาคชนใด คอ คากงกลางระหวางคะแนนทสงสดของอนตรภาคชนนนกบคะแนนตาสดของอนตรภาคชนทมคะแนนสงกวาทอยตดกน 3.2 ขดจากดลางของอนตรภาคชนใด คอ คากงกลางระหวางคะแนนตาสดของอนตรภาคชนนนกบคะแนนสงสดของอนตรภาคชนทมคะแนนตากวาทอยตดกน 4. ความกวางของอนตรภาคชน คอ ผลตางระหวางขดจากดบนและขดจากดลางของชนนน

5. คากงกลางของอนตรภาคชนใด คอ ขดจากดบน + ขดจากดลาง2

6. พสย คอ xmax - xmin คากลางของขอมล 1. คาเฉลยเลขคณต ( x ) หาไดจาก x = N

xΣ

2. มธยฐาน (Me) คอ คากลางของขอมลซงเมอเรยงขอมลจากนอยไปมากหรอจากมากไปนอย แลวจานวนขอมลทนอยกวาคานนจะเทากบจานวนขอมลทมากกวาคานน 3. ฐานนยม (Mo) ขอมลทมความถสงสดในขอมลชดนน ขอมลชดใดถามขอมลซากนหรอมความถสงสดเพยงจานวนเดยวจานวนนนเปนคาฐานนยม


คากลางของขอมล กรณขอมลไมแจกแจงความถ กรณขอมลมการแจกแจงความถ

คาเฉลยเลขคณต ( x ) x = NxΣ x = N

x fΣ

มธยฐาน (Me) Me = ขอมลตาแหนงท 21N + Me = L +

MM

fF 2

N -I

ฐานนยม (Mo) Mo = ความถทมมากทสด Mo = L +

+ 211d d

d I

ควอไทล Qr = 41)r(N + Qr = L +

fF 2

rN -I

เดไซล Dr = 101)r(N + Dr = L +

fF 10

rN -I

เปอรไซล Pr = 1001)r(N + Pr = L +

fF 100

rN -I

หมายเหต : 1. คาเฉลยสะสม รวมx = N1 1x + N2 2x + N3 3x + ... + Nk kx 2. L คอ ขดจากดลางของอนตรภาคชนทมขดจากดลางอย 3. N คอ จานวนขอมลทงหมด 4. F คอ ผลรวมของความถของอนตรภาคชนทมคาตากวาอนตรภาคชนทตองการ 5. f คอ ความถของอนตรภาคชนทตองการ 6. I คอ ความกวางของอนตรภาคชนนน 7. dn คอ ผลตางระหวางความถของอนตรภาคทมความถสงสดกบความถของอนตรภาคชนทมคาตากวาทอยตดกน 8. r คอ ตาแหนง ควอไทล เดไซล หรอเปอรเซนตไทล ทตองการ สวนเบยงเบนมาตรฐาน

S = N)x (x 2

i -Σ หรอ S = 22

i )x( N)(x -Σ


คาความแปรปรวน (S2) S2 = N

1 ∑ (x - x )2 (กรณขอมลไมไดแจกแจงความถ)

= N1 ∑ x2 - x 2 (สตรลด)

หรอ S2 = N1 ∑ f(x - x )2 (กรณขอมลไมไดแจกแจงความถ)

= N1 ∑ fx2 - x 2 (สตรลด)

คามาตรฐาน z = S

x x - (S = 2S คอ คาเบยงเบนมาตรฐาน)

ความสมพนธของ x , Med., Mod. 1. ขอมลเปนโคงปกต 2. ขอมลเบซาย 3. ขอมลเบขวา

แผนภาพกลอง (Box-and-Whisker Plot หรอ Box-Plot) แผนภาพกลองทาใหเราทราบถงลกษณะการกระจายของขอมล

คาตาสด คาสงสด

25%25%25%25%

1Q 2Q 3Q

จากแผนภาพพบวา ขอมลทอยระหวาง Q1 กบ Q2 มการกระจายมากทสด รองลงมาคอขอมลทอยระหวาง Q3 ถงคาสงสด ขอมลระหวางคาตาสดกบ Q1 และขอมลระหวาง Q2 กบ Q3 ตามลาดบ แผนภาพตน-ใบ เปนการจดขอมลเปนกลมเพอแจกแจงความถและวเคราะหขอมลเบองตนไปพรอมกน เรยกวาแผนภาพตน-ใบ (Stem-and-Leaf Plot หรอ Stem Plot) สวนประกอบของแผนภาพตน-ใบ 1. ตน เปนขอมลตงแตหลกสบขนไป 2. ใบ เปนขอมลในหลกหนวย


ตวอยางขอสอบ 1. ถาขอมลชดหนงประกอบดวย 10, 12, 15, 13 และ 10 แลวขอความใดเปนเทจ สาหรบขอมลชดน 1) มธยฐาน เทากบ 12 2) ฐานนยม นอยกวา 12 3) ฐานนยม นอยกวา คาเฉลยเลขคณต 4) คาเฉลยเลขคณต มากกวา 12 2. เมอพจารณาผลการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 39 คน พบวา เปอรเซนตไทลท 25 ของคะแนนสอบ

เทากบ 35 คะแนน และมนกเรยน 30 คน ไดคะแนนนอยกวาหรอเทากบ 80 คะแนน ถามนกเรยนทสอบได 35 คะแนนเพยงคนเดยวแลว จานวนนกเรยนทสอบไดคะแนนในชวง 35-80 คะแนน เทากบขอใดตอไปน

1) 18 คน 2) 19 คน 3) 20 คน 4) 21 คน 3. จากตารางแสดงนาหนกของนกเรยนจานวน 50 คน เปนดงน

นาหนก (กโลกรม) จานวน (คน) 30-39 4 40-49 5 50-59 13 60-69 17 70-79 6 80-89 5

ขอสรปในขอใดตอไปนไมถกตอง 1) นกเรยนกลมนสวนใหญมนาหนก 60-69 กโลกรม 2) นกเรยนทมนาหนกตากวา 50 กโลกรม ม 9 คน 3) นกเรยนทมนาหนกในชวง 50-59 กโลกรม ม 26% 4) นกเรยนทมนาหนกมากกวา 80 กโลกรม ม 10% 4. ครอบครวหนงมบตร 4 คน บตร 2 คน มนาหนกเทากนและมนาหนกนอยกวาบตรอก 2 คน ถานาหนกของ

บตรทง 4 คน มคาฐานนยม มธยฐาน และพสยเทากบ 45, 47.5 และ 7 กโลกรม ตามลาดบ แลวคาเฉลยเลขคณตของนาหนกของบตรทง 4 คน มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 46 กโลกรม 2) 47 กโลกรม 3) 48 กโลกรม 4) 49 กโลกรม


5. ถานาหนก (คดเปนกโลกรม) ของนกเรยน 2 กลม กลมละ 6 คน เขยนเปนแผนภาพตน-ใบ ไดดงน นกเรยนกลมท 1 นกเรยนกลมท 2 8 6 4 3 4 9 8 6 6 4 2 2 4 5 0 ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง 1) นาหนกเฉลยของนกเรยนกลมท 2 มากกวานาหนกเฉลยของนกเรยนกลมท 1 2) ฐานนยมของนาหนกของนกเรยนกลมท 2 มากกวาฐานนยมของนาหนกของนกเรยนกลมท 1 3) มธยฐานของนาหนกของนกเรยนกลมท 2 มากกวามธยฐานของนาหนกของนกเรยนกลมท 1 4) มธยฐานของนาหนกของนกเรยนทงหมด มากกวามธยฐานของนาหนกของนกเรยนกลมท 1 6. แผนภาพกลองตอไปนแสดงคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญง และนกเรยนชาย

คะแนนสอบ0 100

คะแนนสอบของนกเรยนชาย

คะแนนสอบของนกเรยนหญง

ขอใดตอไปนถกตอง 1) คะแนนสอบเฉลยวชาคณตศาสตรของนกเรยนชาย สงกวาคะแนนสอบเฉลยวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญง 2) คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชายมการกระจายเบขวา 3) คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญง มการกระจายมากกวาคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของ

นกเรยนชาย 4) คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญงมการกระจายเบขวา 7. ขอมลชดหนงประกอบดวย 19 จานวน ตอไปน 6 8 9 12 12 15 15 16 18 19 20 20 21 22 23 24 25 30 30 ควอไทลท 3 มคาตางจากเปอรเซนตไทลท 45 เทากบขอใดตอไปน 1) 4 2) 5 3) 6 4) 7 8. อายเฉลยของคนกลมหนงเทากบ 31 ป ถาอายเฉลยของผหญงในกลมนเทากบ 35 ป และอายเฉลยของ

ผชายในกลมนเทากบ 25 ป แลว อตราสวนระหวางจานวนผหญงตอจานวนผชายในกลมเทากบขอใดตอไปน 1) 2 : 3 2) 2 : 5 3) 3 : 2 4) 3 : 5 9. ความสมพนธระหวางกาไร (y) และราคาทน (x) ของสนคาในรานแหงหนงเปนไปตามสมการ y = 2x - 30

ถาราคาทนของสนคา 5 ชนด คอ 31, 34, 35, 36 และ 39 บาท แลวคาเฉลยเลขคณตของกาไรในการขายสนคาทง 5 ชนดน เทากบขอใดตอไปน

1) 25 บาท 2) 30 บาท 3) 35 บาท 4) 40 บาท


10. ตารางแจกแจงความถ แสดงจานวนนกเรยนในชวงอายตางๆ ของนกเรยนกลมหนงเปนดงน

ชวงอาย (ป) ความถ (คน) 1-5 4 6-10 9 11-15 2 16-20 5

อายเฉลยของนกเรยนกลมนเทากบขอใดตอไปน 1) 9 ป 2) 9.5 ป 3) 10 ป 4) 10.5 ป 11. กาหนดใหขอมลชดหนง คอ 10, 3, x, 6, 6 ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน มคาเทากบมธยฐาน แลว x

มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 3 2) 4 3) 5 4) 6 12. เมอสองปกอน นกเรยนหองหนงม 30 คน แบงออกไดเปนสองกลม กลมทหนงม 10 คน ทกคนมอาย 10 ป

และกลมท 2 ม 20 คน มอายเฉลย 8.5 ป ถาความแปรปรวนของอายนกเรยนในกลมทสอง เทากบ 0 แลว ในปจจบน ความแปรปรวนของอายนกเรยนหองน เทากบขอใดตอไปน

1) 21 2) 3

2 3) 25 4) 3

8 13. นกเรยนกลมหนงจานวน 80 คน ซงม ลาเจยก ลาดวน และลาพ รวมอยดวย ปรากฏผลการสอบดงน ลาดวนไดคะแนนตรงกบควอไทลทสาม ลาพไดคะแนนตรงกบเปอรเซนตไทลท 50 ลาเจยกไดคะแนนเปนลาดบท 30 เมอเรยงคะแนนจากมากไปหานอย ขอใดตอไปนเปนการเรยงรายชอของผทไดคะแนนนอยไปหาผทไดคะแนนมาก 1) ลาพ ลาเจยก ลาดวน 2) ลาพ ลาดวน ลาเจยก 3) ลาเจยก ลาพ ลาดวน 4) ลาเจยก ลาดวน ลาพ 14. กาหนดใหตารางแจกแจงความถสะสมของคะแนนของนกเรยนหองหนง เปนดงน

ชวงคะแนน ความถสะสม 30-39 1 40-49 11 50-59 18 60-69 20

ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง 1) นกเรยนทไดคะแนน 40-49 คะแนน มจานวน 22% 2) นกเรยนสวนใหญไดคะแนน 60-69 คะแนน 3) นกเรยนทไดคะแนนมากกวา 53 คะแนน มจานวนนอยกวา นกเรยนทไดคะแนน 40–49 คะแนน 4) นกเรยนทไดคะแนนนอยกวา 47 คะแนน มจานวนมากกวา นกเรยนทไดคะแนนมากกวา 50 คะแนน


15. จากการทดสอบนกเรยนจานวน 100 คน ใน 2 รายวชา แตละรายวชามคะแนนเตม 150 คะแนน ถาผลการทดสอบทงสองรายวชาเขยนเปนแผนภาพกลองไดดงน

0 140

คะแนนสอบรายวชาท 1

คะแนนสอบรายวชาท 2

20 40 60 80 100 120 ขอสรปในขอใดตอไปนถก 1) คะแนนสอบทงสองรายวชามการแจกแจงแบบปกต 2) จานวนนกเรยนทไดคะแนนไมเกน 80 คะแนน ในรายวชาท 1 มากกวาจานวนนกเรยนทไดคะแนนไมเกน

80 คะแนน ในรายวชาท 2 3) คะแนนสงสดทอยในกลม 25% ตาสด ของผลการสอบรายวชาท 1 นอยกวาคะแนนสงสดทอยในกลม

25% ตาสด ของผลการสอบรายวชาท 2 4) จานวนนกเรยนทไดคะแนนระหวาง 60–80 คะแนน ในการสอบรายวชาท 2 นอยกวาจานวนนกเรยนท

ไดคะแนนในชวงเดยวกน ในการสอบรายวชาท 1 16. คะแนนของผเขาสอบ 15 คน เปนดงน 45, 54, 59, 60, 62, 64, 65, 68, 70, 72, 73, 75, 76, 80, 81 ถาเกณฑในการสอบผาน คอ ตองไดคะแนนไมตากวาเปอรเซนตไทลท 60 แลว ขอใดตอไปนเปนคะแนน

ตาสดของผทสอบผาน 1) 68 2) 70 3) 72 4) 73

17. ขอมลชดหนง ถาเรยงจากนอยไปหามากแลว ไดเปนลาดบเลขคณตตอไปน 2, 5, 8, ..., 92 ควอไทลท 3 ของขอมลชดนมคาเทากบขอใดตอไปน 1) 68 2) 69 3) 71 4) 72 18. ในการแขงขนกฬามหาวทยาลยโลกครงท 24 ซงประเทศไทยเปนเจาภาพ มการสงรายชอนกกฬาจาก

ประเทศไทย 379 คน มอายเฉลย 22 ป ถามการถอนตวนกกฬาไทยออก 4 คน ซงมอาย 24, 25, 25 และ 27 ป และมการเพมนกกฬาไทยอก 5 คน ซงมอายเฉลย 17 ป แลวอายเฉลยของนกกฬาจากประเทศไทย จะเทากบขอใดตอไปน 1) 21.6 ป 2) 21.7 ป 3) 21.8 ป 4) 21.9 ป


19. กาหนดแผนภาพตน-ใบ ของขอมลชดหนง ดงน 0 3 7 5 1 6 4 3 2 0 2 1 2 3 0 1 สาหรบขอมลชดน ขอใดตอไปนเปนจรง 1) มธยฐาน < ฐานนยม < คาเฉลยเลขคณต 2) มธยฐาน < คาเฉลยเลขคณต < ฐานนยม 3) คาเฉลยเลขคณต < ฐานนยม < มธยฐาน 4) คาเฉลยเลขคณต < มธยฐาน < ฐานนยม 20. คาเฉลยเลขคณตของนาหนกของพนกงานของบรษทหนง เทากบ 48.01 กโลกรม บรษทนมพนกงานชาย

43 คน พนกงานหญง 57 คน ถาคาเฉลยเลขคณตของนาหนกพนกงานหญงเทากบ 45 กโลกรม แลวนาหนกของพนกงานชายทงหมดรวมกนเทากบขอใด

1) 2236 กโลกรม 2) 2279 กโลกรม 3) 2322 กโลกรม 4) 2365 กโลกรม 21. ถาสมตวเลขหนงตวจากขอมลชดใดๆ ซงประกอบดวยตวเลข 101 ตวแลว ขอใดตอไปนถก 1) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคามธยฐาน < 2

1

2) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคาเฉลยเลขคณต < 21

3) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคามากกวาคามธยฐาน > 21

4) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคามากกวาคาเฉลยเลขคณต > 21

22. ครสอนวทยาศาสตรมอบหมายใหนกเรยน 40 คน ทาโครงงานตามความสนใจ หลงจากตรวจรายงาน

โครงงานของทกคนแลว ผลสรปเปนดงน

ผลการประเมน จานวนโครงงานดเยยม ด

พอใช ตองแกไข

3 20 12 5

ขอมลทเกบรวบรวม เพอใหไดผลสรปขางตนเปนขอมลชนดใด 1) ขอมลปฐมภม เชงปรมาณ 2) ขอมลทตยภม เชงปรมาณ 3) ขอมลปฐมภม เชงคณภาพ 4) ขอมลทตยภม เชงคณภาพ 23. สาหรบขอมลเชงปรมาณใดๆ ทมคาสถตตอไปน คาสถตใดจะตรงกบคาของขอมลคาหนงเสมอ 1) พสย 2) คาเฉลยเลขคณต 3) มธยฐาน 4) ฐานนยม


24. ขอมลตอไปนแสดงนาหนกในหนวยกโลกรม ของนกเรยนกลมหนง 41, 88, 46, 42, 43, 49, 44, 45, 43, 95, 47, 48 คากลางในขอใดเปนคาทเหมาะสมทจะเปนตวแทนของขอมลชดน 1) มธยฐาน 2) ฐานนยม 3) คาเฉลยเลขคณต 4) คาเฉลยของคาสงสดและคาตาสด 25. แผนภาพตน-ใบ ของนาหนกในหนวยกรมของไขไก 10 ฟอง เปนดงน 5 7 8 6 7 8 9 7 0 4 4 7 8 1 ขอสรปใดเปนเทจ 1) ฐานนยมของนาหนกของไขไกมเพยงคาเดยว 2) คาเฉลยเลขคณตและมธยฐานของนาหนกของไขไกมคาเทากน 3) มไขไก 5 ฟองทมนาหนกนอยกวา 70 กรม 4) ไขไกทมนาหนกสงกวาฐานนยม มจานวนมากกวา ไขไกทมนาหนกเทากบฐานนยม 26. คะแนนสอบความรทวไปของนกเรยน 200 คน นาเสนอโดยใชแผนภาพกลองดงน

10 12 16 18 24 ขอใดเปนเทจ 1) จานวนนกเรยนททาได 12 ถง 16 คะแนน มเทากบ จานวนนกเรยนททาได 16 ถง 18 คะแนน 2) จานวนนกเรยนททาได 16 ถง 18 คะแนน มเทากบ จานวนนกเรยนททาได 18 ถง 24 คะแนน 3) จานวนนกเรยนททาได 10 ถง 12 คะแนน มเทากบ จานวนนกเรยนททาได 18 ถง 24 คะแนน 4) จานวนนกเรยนททาได 10 ถง 16 คะแนน มเทากบ จานวนนกเรยนททาได 16 ถง 24 คะแนน 27. จากการตรวจสอบลาดบทของคะแนนสอบของนาย ก และนาย ข ในวชาคณตศาสตร ทมผเขาสอบ 400 คน

ปรากฏวานาย ก สอบไดคะแนนอยในตาแหนงควอไทลท 3 และนาย ข สอบไดคะแนนอยในตาแหนงเปอรเซนตไทลท 60 จานวนนกเรยนทสอบไดคะแนนระหวางคะแนนนาย ก และคะแนนนาย ข มประมาณ กคน

1) 15 คน 2) 30 คน 3) 45 คน 4) 60 คน


28. ขอมลชดหนง มบางสวนถกนาเสนอในตารางตอไปน

อนตรภาคชน ความถ ความถสะสม ความถสมพทธ2-6 7-11 12-16 17-21

6

11 14

0.2

0.3 ชวงคะแนนใดเปนชวงคะแนนทมความถสงสด 1) 2-6 2) 7-11 3) 12-16 4) 17-21 29. ในการใชสถตเพอการตดสนใจและวางแผน สาหรบเรองทจาเปนตองมการใชขอมลและสารสนเทศ ถาขาด

ขอมลและสารสนเทศดงกลาว ผตดสนใจควรทาขนตอนใดกอน 1) เกบรวบรวมขอมล 2) เลอกวธวเคราะหขอมล 3) เลอกวธเกบรวบรวมขอมล 4) กาหนดขอมลทจาเปนตองใช 30. จานวนผวางงานทวประเทศในเดอนกนยายน ป พ.ศ. 2551 มจานวนทงสน 4.29 แสนคน ตาราง

เปรยบเทยบอตราการวางงานในเดอนกนยายน ป พ.ศ. 2550 กบป พ.ศ. 2551 เปนดงน อตราการวางงานในเดอนกนยายน

(จานวนผวางงานตอจานวนผอยในกาลงแรงงานคณ 100) พนทสารวจ ป พ.ศ. 2550 ป พ.ศ. 2551

ภาคใต ภาคตะวนออกเฉยงเหนอ ภาคเหนอ ภาคกลาง (ยกเวนกรงเทพมหานคร) กรงเทพมหานคร ทวประเทศ

1.0 0.9 1.5 1.3 1.2 1.2

1.0 1.3 1.2 0.9 1.2 1.1

พจารณาขอความตอไปน ก. จานวนผวางงานในภาคใตในเดอนกนยายนของป พ.ศ. 2550 และของป พ.ศ. 2551 เทากน ข. จานวนผอยในกาลงแรงงานทวประเทศในเดอนกนยายนป พ.ศ. 2551 มประมาณ 39 ลานคน ขอใดถกตอง 1) ก. และ ข. 2) ก. เทานน 3) ข. เทานน 4) ก. และ ข. ผด 31. ขอมลชดหนงม 10 จานวน ประกอบดวยจานวนตอไปน 4, 8, 8, 9, 14, 15, 18, 18, 22, 25 ควอไทลทสามของขอมลชดนมคาเทากบเทาใด


32. ในการสารวจนาหนกตวของนกเรยนในชนเรยนทมนกเรยน 30 คน เปนดงน นาหนก (กโลกรม) ความถสะสม (คน)

30-49 10 50-69 26 70-89 30

คาเฉลยของนาหนกตวของนกเรยนในชนเรยนนเทากบกกโลกรม 33. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนงแสดงดวยแผนภาพตน-ใบไดดงน 3 0 4 9 4 0 7 7 8 8 8 5 0 0 1 2 2 3 4 6 6 7 7 8 8 9 6 0 2 3 3 6 8 9 7 0 1 เปอรเซนตไทลท 50 ของคะแนนสอบนเทากบคะแนนเทาใด

เฉลย เซต 1. 3) 2. 3) 3. 3) 4. 4) 5. 4) 6. 4) 7. 3) 8. 1) 9. 1) 10. 32 11. 30 12. 50 13. 101 การใหเหตผล 1. 2) 2. 4) 3. 4) 4. 3) 5. 3) 6. 3) 7. 3) ระบบจานวนจรง 1. 4) 2. 1) 3. 3) 4. 2) 5. 3) 6. 1) 7. 2) 8. 2) 9. 2) 10. 1) 11. 4) 12. 1) 13. 1) 14. 1) 15. 3) 16. 4) 17. 1) 18. 3) 19. 4) 20. 1) 21. 3) 22. 2) 23. 4) 24. 2) 25. 3) 26. 4) 27. 3) 28. 4) 29. 3) 30. 2) 31. 2) 32. 1) 33. 3) 34. 4) 35. 94 36. 2 37. 2 38. 27 39. 8 เลขยกกาลง 1. 2) 2. 3) 3. 2) 4. 2) 5. 3) 6. 3) 7. 3) 8. 3) 9. 1) 10. 2) 11. 4) 12. 2) 13. 0.75


ความสมพนธและฟงกชน 1. 2) 2. 4) 3. 4) 4. 1) 5. 3) 6. 4) 7. 2) 8. 2) 9. 4) 10. 2) 11. 2) 12. 2) 13. 3) 14. 1) 15. 2) 16. 4) 17. 1) 18. 1) 19. 4) 20. 1) 21. 4) 22. 2) 23. 3) 24. 4) 25. 1) 26. 3) 27. 6 28. 2 อตราสวนตรโกณมต 1. 1) 2. 2) 3. 4) 4. 1) 5. 2) 6. 4) 7. 2) 8. 4) 9. 3) 10. 1) 11. 1) 12. 3) 13. 3) 14. 2) 15. 2) 16. 3) 17. 4) 18. 4) 19. 39 20. 0.8 21. 60 22. 2) 23. 625 ลาดบและอนกรม 1. 1) 2. 1) 3. 1) 4. 4) 5. 3) 6. 1) 7. 2) 8. 1) 9. 3) 10. 1) 11. 3) 12. 4) 13. 2) 14. 4) 15. 1) 16. 4) 17. 4) 18. 3) 19. 2) 20. 3) 21. 1) 22. 2) 23. 390 24. 39 25. 171 ความนาจะเปน 1. 3) 2. 1) 3. 1) 4. 4) 5. 1) 6. 2) 7. 3) 8. 3) 9. 2) 10. 2) 11. 2) 12. 3) 13. 1) 14. 2) 15. 1) 16. 2) 17. 2) 18. 2) 19. 4) 20. 1) 21. 1) 22. 280 23. 240 24. 120 25. 0.8 26. 120 27. 2160 28. 0.47 29. 0.08 สถต 1. 4) 2. 4) 3. 4) 4. 3) 5. 1) 6. 1) 7. 2) 8. 3) 9. 4) 10. 3) 11. 3) 12. 1) 13. 1) 14. 3) 15. 3) 16. 3) 17. 3) 18. 4) 19. 4) 20. 1) 21. 1) 22. 3) 23. 4) 24. 1) 25. 4) 26. 2) 27. 4) 28. 1) 29. 4) 30. 2) 31. 19 32. 55.5 33. 55

Documents

01 O-NET 1 - tewfree.com · โครงการแบรนด ซัมเมอร แคมป 2013 _____ คณิตศาสตร (1)