01 O NET 1 - · PDF fileคณิตศาสตร (2)_____ โครงการแบรนด ซัมเมอร แคมป 2008

คณตศาสตร (2)_______________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 20082008

เซต

1. เซต1.1 การเขยนแทนเซต

- แบบแจกแจงสมาชก เชน {1, 2, 3}- แบบบอกเงอนไขของสมาชก เชน {x ∈ I+ | x2 < 16}

1.2 เซตจากดและเซตอนนต- เซตจากด คอ เซตทมจานวนสมาชกเทากบจานวนเตมบวกใดๆ

หรอศนย- เซตอนนต คอ เซตทไมใชเซตจากด

ขอสงเกต เซตวางเปนเซตจากด1.3 เซตทเทากน → เซตสองเซตจะเทากนกตอเมอเซตทงสองมสมาชกเหมอนกนทกตว

2. เอกภพสมพทธ (U)3. สบเซตและเพาเวอรเซต

3.1 สบเซต → เซต A เปนสบเซตของเซต B กตอเมอสมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของเซต Bเขยนแทนดวย A ⊂ B

→ เซต A ไมเปนสบเซตของเซต B กตอเมอมสมาชกอยางนอยหนงตวของเซต A ทไมเปนสมาชกของเซต B เขยนแทนดวย A ⊄ Bขอสงเกต กาหนดให A และ B เปนเซตใดๆ จะไดวา

1. A ⊂ A2. φ ⊂ A3. ถา A ⊂ B และ B ⊂ A แลว A = B

R = จานวนจรงI = จานวนเตมN = จานวนนบP = จานวนเฉพาะQ = จานวนตรรกยะQ′ = จานวนอตรรกยะ

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2008 _______________________________ คณตศาสตร (3)2008

3.2 เพาเวอรเซต คอ เซตของสบเซตทงหมดของ A เขยนแทนดวย P(A) และจานวนสมาชกของ เพาเวอรเซตของเซตจากดใดๆ จะเทากบ 2n

ขอสงเกต1. φ ∈ P(A) เพราะ φ ⊂ A ดงนน φ ∈ P(A)2. φ ⊂ P(A) เพราะ φ เปนสบเซตของทกๆ เซต3. A ∈ P(A) เพราะ A ⊂ A ดงนน A ∈ P(A)

4. แผนภาพของเวนน-ออยเลอร5. ยเนยน อนเตอรเซกชนและคอมพลเมนตของเซตสญลกษณ ความหมาย แผนภาพเวนน-ออยเลอร

AU B {x|x ∈ A หรอ x ∈ B หรอ x เปนสมาชกของทงสองเซต}

A B

AI B {x|x ∈ A และ x ∈ B} A B

A - B {x|x ∈ A และ x ∉ B} A B

A′ {x|x ∈ U และ x ∉ A} A

สมบตทสาคญ1. (AU B)′ = A′I B′ 2. (AI B)′ = A′U B′3. A - B = AI B′ 4. U′ = φ5. φ′ = U

6. จานวนสมาชกของเซตจากดn(AU B) = n(A) + n(B) - n(AI B)n(AU BU C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(AI B) - n(AI C) - n(BI C) + n(AI BI C)


แนวขอสอบ

1. สวนทแรเงาในรปตรงกบเซตในขอใด1) (A′ - B)I C′2) A′U B′U C′3) A′U (B′I C)4) (AI BI C)′

2. ให A, B และ C เปนเซตทกาหนดใหในแผนภาพตามรปขอใดถกตอง1) A - (BI C) = {1, 2}2) (AU B) - C = {1, 2, 7}3) AI (BU C) = {3, 4, 6}4) (C - B)I (A - B) = {6}

3. กาหนดเอกภพสมพทธ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}และให A = {1, 2, 3, 4}

B = {3, 4, 5, 6}C = {2, 4, 6, 7}

แลว [(BI C) - A]U (AU BU C)′ คอเซตในขอใด1) {6} 2) {6, 8}3) {5, 6} 4) {5, 6, 7}

4. กาหนดให A, B และ C เปนเซต โดยทAI B = {6, 8} AU B = {4, 6, 7, 8, 9}AI C = {6, 7} AU C = {4, 5, 6, 7, 8}

B - C คอเซตในขอใด1) {8} 2) {9}3) {8, 9} 4) {4, 8}

5. ถา AU B = {3, 4, 5, 7, 8}, AU C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}AI C = φ, BI C = {8}, AI B = {3, 5} และ 4 ∉ Bแลว C คอเซตในขอใด1) {1, 2, 6, 8} 2) {1, 2, 4, 8}3) {2, 3, 4, 8} 4) {3, 4, 5, 8}

A B

C

µ

A B

C

µ

12 3

64 59

7

8


6. กาหนดเอกภพสมพทธ U = {1, 2, 3, ..., 9, 10} ถา A = {1, 2, 5, 6, 9, 10} และ B = {2, 4, 6, 8, 10}แลวสมาชกของเพาเวอรเซตของ [(AI B′)U B′] มจานวนเทาใด

7. กาหนดให A = {a, {a}, {b}, {b, c}} ขอใดถกตอง1) (A - {b, c})U {b} = {a, b, {a}, {b}, {b, c}}2) (A - {b, c})U {b} = {a, {a}, {b}}3) (A - {a, {b}}) - {a} = {{b, c}}4) (A - {a, {b}}) - {a} = {b, c}

8. ถา A และ B เปนเซตทมจานวนสมาชกเทากน โดยท n(AI B) = 3 และ n(AU B) = 11 แลวเซต B - Aจะมจานวนสมาชกเทากบขอใด1) 3 2) 43) 5 4) 6

9. นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ของโรงเรยนแหงหนงม 400 คน ในจานวนนมผลงทะเบยนเรยนวชาคณตศาสตร225 คน และลงทะเบยนเรยนวชาภาษาองกฤษ 240 คน ถามนกเรยนทไมลงทะเบยนวชาคณตศาสตร และไมลงทะเบยนเรยนวชาภาษาองกฤษ 50 คน แลวจานวนนกเรยนทลงทะเบยนเรยนวชาคณตศาสตรและไมลงทะเบยนเรยนวชาภาษาองกฤษมจานวนกคน

10. นกเรยนหองหนงม 40 คน ตองลงทะเบยนเรยนวชาภาษาฝรงเศสหรอภาษาเยอรมนอยางนอยหนงภาษาถามนกเรยนในกลมนลงทะเบยนเรยนภาษาฝรงเศส 30 คน ภาษาเยอรมน 20 คน แลวนกเรยนทเรยนภาษาฝรงเศสวชาเดยวหรอภาษาเยอรมนวชาเดยวมจานวนกคน

11. จากการสารวจนกเรยนทเรยนวชาคณตศาสตร เคม และฟสกส 170 คน พบวาทกคนชอบเรยนอยางนอย 1วชา และชอบเรยนคณตศาสตร 80 คน ชอบเรยนเคม 92 คน ชอบเรยนฟสกส 115 คน ชอบเรยนทงคณตศาสตรและเคม 52 คน ชอบเรยนทงเคมและฟสกส 57 คน ชอบเรยนคณตศาสตรและฟสกส 43 คนจานวนนกเรยนทชอบเรยนทง 3 วชา มจานวนกคน

12. ในการสอบถามผไปเทยวเขาดนจานวน 100 คน พบวา ชอบชาง 50 คน ชอบลง 35 คน ชอบหม 25 คนชอบชางอยางเดยว 30 คน ชอบหมแตไมชอบลง 20 คน ชอบชางและลงแตไมชอบหม 10 คน จงหาจานวนคนทไมชอบสตวทงสามชนด

13. กาหนดให A = {x ∈ I+ | 3 หาร x ลงตว}B = {x ∈ I+ | ห.ร.ม. ของ x และ 4 คอ 2}C = {x ∈ I+ | x ≥ 80}

จงหาจานวนสมาชกของ (AI B) - C


14. กาหนดให A, B และ C เปนเซต ถา n(B) = 42, n(C) = 28, n(AI C) = 8, n(AI BI C) = 3,n(AI BI C′) = 2, n(AI B′I C′) = 20 และ n(AU BU C) = 80 แลว n(A′I BI C) มคาเทาใด1) 5 2) 73) 10 4) 13

เฉลย

1. 1) 2. 3) 3. 2) 4. 3) 5. 1) 6. 32 7. 1) 8. 2) 9. 110 10. 3011. 35 12. 15 13. 7 14. 2)


ตวอยางขอสอบ

1. ถา A - B = {2, 4, 6}, B - A = {0, 1, 3} และ AU B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}แลว AI B เปนสบเซตของเซตในขอใด (O-NET 49 / 2 คะแนน)1) {0, 1, 4, 5, 6, 7}2) {1, 2, 4, 5, 6, 8}3) {0, 1, 3, 5, 7, 8}4) {0, 2, 4, 5, 6, 8}

2. ในการสอบถามพอบานจานวน 300 คนพบวา มคนทไมดมทงชาและกาแฟ 100 คน

มคนทดมชา 100 คนและ มคนทดมกาแฟ 150 คนพอบานทดมทงชาและกาแฟมจานวนเทาใด (O-NET 49 / 2 คะแนน)

3. กาหนดให A และ B เปนเซต ซง n(AU B) = 88 และ n[(A - B)U (B - A)] = 76 ถา n(A) = 45แลว n(B) มคาเทาใด (O-NET 50 / 2 คะแนน)1) 452) 483) 534) 55

4. นกเรยนกลมหนงจานวน 46 คน แตละคนมเสอสเหลองหรอเสอสฟาอยางนอยสละหนงตว ถานกเรยน 39 คนมเสอสเหลอง และ 19 คนมเสอสฟา แลวนกเรยนกลมนทมทงเสอสเหลองและเสอสฟามจานวนเทาใด(O-NET 50 / 2 คะแนน)1) 92) 103) 114) 12

เฉลย

1. 3) 2. 50 3. 4) 4. 4)


การใหเหตผล

1. การใหเหตผลแบบอปนย หมายถง วธการสรปผลในการคนหาความจรงจากการสงเกต หรอการทดลอง หลายครงจากกรณยอยๆ แลวนามาสรปเปนความรแบบทวไป

* ขอสรปโดยวธการใหเหตผลแบบอปนยนนไมจาเปนตองถกตองทกครง2. การใหเหตผลแบบนรนย เปนการนาความรพนฐานซงอาจเปนความเชอ ขอตกลง กฎ หรอบทนยาม

ซงเปนสงทรมากอนและยอมรบวาเปนจรง เพอหาเหตผลนาไปสขอสรปการตรวจสอบวาขอสรปสมเหตสมผลหรอไมนนสามารถตรวจสอบไดหลายวธ เชน การวาดแผนภาพ- ถาแผนภาพทวาดกรณทเปนไปไดทกกรณแสดงผลตามทกาหนด จงกลาววาการสรปผลสมเหตสมผล- แตถามแผนภาพทไมแสดงผลตามทสรปไว การสรปผลนนไมสมเหตสมผล

ตวอยางขอความและแผนภาพทแสดงความหมาย

ขอความ แผนภาพ1. สมาชก A ทกตวเปนสมาชกของ B

ตวอยาง คนขยนทกคนเปนคนเรยนเกงคนเรยนเกง

คนขยน

2. ไมมสมาชกของ A ตวใดเปนสมาชกของ Bตวอยาง ไมมคนขยนคนใดเปนคนเรยนเกง

คนขยน คนเรยนเกง

3. มสมาชกของ A บางตวเปนสมาชกของ Bตวอยาง มคนขยนบางคนเปนคนเรยนเกง


4. สมาชกของ A บางตวไมเปนสมาชกของ Bตวอยาง มคนขยนบางคนเรยนไมเกง



ขอความ แผนภาพ5. มสมาชก A หนงตวทเปนสมาชกของ B

ตวอยาง นาย ก เปนคนขยนและเรยนเกงคนขยน คนเรยนเกง

นาย ก

6. มสมาชก A บางตวไมเปนสมาชกของ Bตวอยาง นาย ก เปนคนขยนแตเรยนไมเกง

คนขยน

คนเรยนเกง

นาย ก คนขยน

คนเรยนเกง

นาย กหรอ

หมายเหต ในการแสดงวาผลสรปนนไมสมเหตสมผลเราไมจาเปนตองวาดแผนภาพทงหมดทกกรณ อาจยกตวอยางแผนภาพทแสดงวาขอสรปนนไมสมเหตสมผลเพยงกรณเดยวกพอ

คณตศาสตร (10)______________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 20082008


1. จากแผนภาพทกาหนดให ผลสรปทสมเหตสมผลตรงกบขอใด

1) นาย ก เปนนกเรยนทขยนแตไมมความรบผดชอบ2) นาย ก เปนคนทขยนแต นาย ก ไมใชนกเรยน3) คนทมความรบผดชอบบางคนเปนนกเรยน4) คนทขยนทกคนทมความรบผดชอบ

2. พจารณาการใหเหตตอไปนก. เหต 1. สงมชวตทกชนดตองหายใจ

2. ตนไมทกตนเปนสงมชวต3. ตนมะมวงเปนสงมชวต

ผล ตนมะมวงเปนตนไม

ข. เหต 1. นกทกตวเปนสตวมปก2. สตวมปกบางตวมหาง

ผล นกบางตวมหางขอใดถกตอง1) ก. และ ข. สมเหตสมผล 2) ก. สมเหตสมผล และ ข. ไมสมเหตสมผล3) ก. ไมสมเหตสมผล และ ข. สมเหตสมผล 4) ก. และ ข. ไมสมเหตสมผล

3. จงใชการใหเหตผลแบบอปนย หาผลบวกของ 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 214. พจารณารปแบบตอไปน

62 - 52 = 11562 - 452 = 1,111

5562 - 4452 = 111,111M

5,555,5562 - 4,444,4452 = xจงใชการใหเหตผลแบบอปนย เพอหาคา x

5. จงใชการใหเหตผลแบบอปนย หาวาเลขในหลกหนวยของ 22551 เปนเลขอะไร

เฉลย

1. 3) 2. 4) 3. 121 4. 11,111,111,111,111 5. 8

คนขยน คนทมความรบผดชอบ

นกเรยนนาย ก

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2008 ______________________________ คณตศาสตร (11)2008


1. เหต 1. ไมมคนขยนคนใดเปนคนตกงาน2. มคนตกงานทเปนคนใชเงนเกง3. มคนขยนทไมเปนคนใชเงนเกง

ผล ในขอใดตอไปนเปนการสรปผลจาก เหต ขางตนทเปนไปอยางสมเหตสมผล (O-NET 49 / 3 คะแนน)1) มคนขยนทเปนคนใชเงนเกง 2) มคนใชเงนเกงทเปนคนตกงาน3) มคนใชเงนเกงทเปนคนขยน 4) มคนตกงานทเปนคนขยน

2. จงพจารณาขอความตอไปนก. นกกฬาทกคนมสขภาพดข. คนทมสขภาพดบางคนเปนคนดค. ภราดรเปนนกกฬา และเปนคนด

แผนภาพในขอใดตอไปน มความเปนไปไดทจะสอดคลองกบขอความทงสามขอขางตน เมอจดแทนภราดร(O-NET 50 / 3 คะแนน)

1) 2)

3) 4)

เฉลย

1. 2) 2. 4)


จานวนจรง

1. จานวนจรงแผนผงแสดงความสมพนธของจานวนชนดตางๆ

จานวนจรง

จานวนอตรรกยะ จานวนตรรกยะ

จานวนตรรกยะทไมใชจานวนเตม จานวนเตม

จานวนเตมลบ ศนย จานวนเตมบวกหรอจานวนนบ

2. สมบตของจานวนจรงเกยวกบการบวกและการคณ2.1 สมบตของการเทากน

- สมบตการสะทอน a = a- สมบตการสมมาตร ถา a = b แลว b = a- สมบตการถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c- สมบตการบวกดวยจานวนเทากน ถา a = b แลว a + c = b + c- สมบตการคณดวยจานวนเทากน ถา a = b แลว ac = bc

2.2 สมบตของจานวนจรงเกยวกบการบวกและการคณ

สมบต การบวก การคณ1. ปด ถา a ∈ R และ b ∈ R แลว a + b ∈ R ถา a ∈ R และ b ∈ R แลว ab ∈ R2. การสลบท a + b = b + a ab = ba3. การเปลยนหม a + (b + c) = (a + b) + c a(bc) = (ab)c4. การมเอกลกษณ มจานวนจรง 0 ซง 0 + a = a = a + 0 มจานวนจรง 1 ซง 1 × a = a = a × 15. การมอนเวอรส สาหรบจานวนจรง a จะมจานวนจรง -a

ท (-a) + a = 0 = a + (-a)สาหรบจานวน a ท a ≠ 0จะมจานวนจรง a-1

ท a-1 × a = 1 = a × a-1

6. สมบตการแจกแจง a(b + c) = ab + ac


3. การนาสมบตของจานวนจรงไปใชในการแกสมการกาลงสอง3.1 การแยกตวประกอบของพหนาม

สรปสตร น2 - ล2 = (น - ล)(น + ล)น3 - ล3 = (น - ล)(น2 + นล + ล2)น3 + ล3 = (น + ล)(น2 - นล + ล2)(น ± ล)2 = น2 ± 2นล + ล2

(น ± ล)3 = น3 ± 3น2ล + 3นล2 ± ล3

3.2 การแกสมการกาลงสองตวแปรเดยว (ax2 + bx + c = 0)- แยกตวประกอบ

- ใชสตร x = 2a 4ac b b 2 -- ±

ขอสงเกต b2 - 4ac > 0 จะมคาตอบ 2 คาตอบb2 - 4ac = 0 จะมคาตอบ 1 คาตอบb2 - 4ac < 0 จะไมมคาตอบเปนจานวนจรง

4. การไมเทากน4.1 สมบตของการไมเทากน

- สมบตการถายทอดถา a > b และ b > c แลว a > c

- สมบตการบวกดวยจานวนเทากนถา a > b แลว a + c > b + c

- สมบตการคณดวยจานวนเทากนทมากกวาศนยถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc

4.2 การแกอสมการการตอบสามารถตอบในรป - เสนจานวน เชน 1 5

- เงอนไข เชน {x|1 < x < 5}- ชวง เชน (1, 5)

ขอระวงในการแกอสมการ1. หามคณตวแปรขามเครองหมายอสมการ ⇒ สามารถทาไดโดยการยายมาขางเดยวกนแลวทาฐานเทา2. กอนเขยนเสนจานวน หามหนาตวแปรตดลบ ⇒ สามารถทาไดโดยการเอาลบคณตลอดแลวกลบ

เครองหมาย3. เมอเขยนเสนจานวนเสรจแลว จดทมาจากขางลางหามเปนทบ4. จดทกจดจะตองไดรบการเขยนเสนจานวน


ตวอยาง จงหาคาตอบของอสมการ x1 ≥ 2

วธทา x1 ≥ 2

x1 - 2 ≥ 0 (ขอระวงขอท 1 : หามคณตวแปรขามเครองหมายอสมการ)

x2x 1 - ≥ 0

เอา -1 คณตลอด x1 2x - ≤ 0 ; x ≠ 0 (ขอระวงขอท 2 : กอนเขยนเสนจานวนหามหนาตวแปรตดลบ)

จดบนเสนจานวน คอ 21 , 0

+-+0

21 (ขอระวงขอท 3 : ตรวจดวามคาททาใหตวสวนเปนศนยหรอไม)

∴ เซตคาตอบของอสมการ คอ

≤< 2

1 x 0 x หรอ

21 0,

ตวอยาง จงหาคาตอบของอสมการ x1x + ≥ 3 - x

วธทา x1 x + ≥ 3 - x

x1 x + - 3 + x ≥ 0 (ขอระวงขอท 1 : หามคณตวแปรขามเครองหมายอสมการ)

x x3x 1 x 2++ - ≥ 0

x1 2x x2 +- ≥ 0

x1) 1)(x (x -- ≥ 0 ; x ≠ 0

จดบนเสนจานวน คอ 1, 1, 0 (ขอระวงขอท 4 : จดทกจดจะตองเขยนเสนจานวน)

1+-+

0-

1(ขอระวงขอท 3 : ตรวจดวามคาททาใหตวสวนเปนศนยหรอไม)∴ เซตคาตอบของอสมการ คอ {x | 0 < x ≤ 1 หรอ 1 ≤ x } หรอ (0, 1]U [1, ∝) สามารถ

เขยนเปนผลสาเรจไดคอ {x | 0 < x} หรอ (0, ∝)


5. คาสมบรณของจานวนจรง

|a| =

<

>=

0 a เมอ a0 a เมอ 0 0 a เมอ a

-

5.1 การแกสมการคาสมบรณรปท 1 |x| = a กตอเมอ x = a หรอ x = -a

ตวอยาง จงหาเซตคาตอบของสมการ |x + 1| = 2วธทา |x + 1| = 2

จะไดวา x + 1 = 2 หรอ x + 1 = -2x = 1 หรอ x = -3

∴ เซตคาตอบของสมการ คอ {1, -3}

รปท 2 |x| = y กตอเมอ x = y หรอ x = -y (ตรวจคาตอบทกครง)

ตวอยาง จงหาเซตคาตอบของสมการ |2x + 3| = 3x - 5วธทา |2x + 3| = 3x - 5

จะไดวา 2x + 3 = 3x - 5 หรอ 2x + 3 = -(3x - 5)-x = -8 2x + 3 = -3x + 5x = 8 5x = 2

x = 52

ตรวจคาตอบ |2(8) + 3| = 3(8) - 5 ตรวจคาตอบ |2

52 + 3| = 3

52 - 5

19 = 19 519 ≠ 5

19-

∴ เซตคาตอบของสมการ คอ {8}

5.2 การแกอสมการคาสมบรณรปท 1 |x| < a กตอเมอ -a < x < a

|x| ≤ a กตอเมอ -a ≤ x ≤ a

ตวอยาง จงหาเซต |x - 1| ≤ 2วธทา |x - 1| ≤ 2

จะได -2 ≤ x - 1 ≤ 2-1 ≤ x ≤ 3

∴ เซตคาตอบของอสมการ คอ {x | -1 ≤ x ≤ 3} หรอ [-1, 3]


รปท 2 |x| > a กตอเมอ x < -a หรอ x > a|x| ≥ a กตอเมอ x ≤ -a หรอ x ≥ a

ตวอยาง จงหาเซตคาตอบของอสมการ |x + 1| ≥ 3วธทา |x + 1| ≥ 3

จะได x + 1 ≤ -3 หรอ x + 1 ≥ 3x ≤ -4 หรอ x ≥ 2

-4 2

-4 2∴ เซตคาตอบของอสมการ คอ {x | x ≤ -4 หรอ 2 ≤ x } หรอ (-∝, -4]U [2, ∝)


1. คาตอบของสมการในขอใดตอไปนเปนจานวนอตรรกยะ1) x2 - 3x + 4 = 0 2) 3x2 + 4x - 15 = 03) 4x2 + 2x - 3 = 0 4) x2 + 4 = 0

2. ถา (x - 4)2 = 24 แลว (x + 6)(x - 14) มคาเทาใด3. ถาคาตอบของสมการ x2 + px + q = 0 คอ -1 และ 3 แลวคาของ p2 + q2 มคาเทาใด4. ถา 9x2 - 24x + m = 0 แลวจงหาคา m ททาใหสมการนมคาตอบเดยว5. กาหนดให x2 + m2x2 - 10x + 16 = 0 ถากาหนดใหสมการนมคาตอบเปนจานวนจรงแลว คามากทสดท

เปนไปไดของ m มคาเทาใด6. กาหนดใหวงกลม x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 ตดแกน y ทจด 2 จด แตไมตดแกน x ขอความในขอใด

ตอไปนเปนจรง1) a2 > c และ b2 > c 2) a2 > c และ b2 < c3) a2 < c และ b2 > c 4) a2 < c และ b2 < c

7. กาหนดให a > 0 ถา a + 2, a + 4, a + 6 เปนดานทงสามดานของสามเหลยมมมฉาก แลวความยาวของเสนรอบรปของสามเหลยมมมฉากรปนเทากบเทาใด

8. ตองการนาลวดหนามยาว 30 วา มาลอมทดนรปสเหลยมผนผาโดยลอมเพยงสามดาน เนองจากดานหนงกอกาแพงไว จะลอมทดนใหมความกวางและยาวเทาใด จงจะทาใหทดนแปลงนมพนท 100 ตารางวา

9. นกเรยนกลมหนงรวมเงนกนเพอซออปกรณทารายงานราคา 1,400 บาท แตปรากฏวามนกเรยนในกลมนถอนตวออกจากกลมไป 5 คน พวกทเหลอจงตองเพมเงนอกคนละ 5 บาท จงหาวาเดมนกเรยนกลมนมกคน


10. กาหนดใหเอกภพสมพทธคอเซตของจานวนจรง ถา A = (0, ∝), B = (2, ∝) และ C = (-1, 3] แลวC - (A′U B) คอชวงในขอใด1) [-2, 0) 2) (-2, 0] 3) [0, 2) 4) (0, 2]

11. เซตคาตอบของอสมการ x + 2 ≤ 2x + 1 < 3x - 5 ตรงกบขอใด1) {x|x ≥ 1} 2) {x|x > 1} 3) {x|x ≥ 6} 4) {x|x > 6}

12. เซตคาตอบของอสมการ x2 ≤ 2 - x คอเซตในขอใด1) {x|x ≤ -2 หรอ x ≥ 1} 2) {x|x ≤ -2 และ x ≥ 1}3) {x|x ≥ -2 หรอ x ≤ 1} 4) {x|x ≥ -2 และ x ≤ 1}

13. เซตของคาตอบของอสมการ x2 ≤ 4 คอเซตในขอใด1) {x|x ≤ 2} 2) {x|x ≤ 2 และ x ≤ -2}3) {x|x ≤ 2 หรอ x ≥ -2} 4) {x|x ≤ 2 และ x ≥ -2}

14. เซต

>∈ + 0 x) (10 x 21 I x - มจานวนสมาชกเทาใด

15. ถา A คอเซตคาตอบของอสมการ 3x + 5 < x - 7B คอเซตคาตอบของอสมการ x

1 < 21

แลว A′I B เทากบเทาใด16. ถา A และ B เปนเซตคาตอบของอสมการ

-2 < 42x 3 - ≤ 1 และ 5 x

4x -+ < 0 ตามลาดบ

แลวผลรวมของสมาชกทเปนจานวนเตมทงหมดของ AU B เทากบเทาใด

17. ให A เปนเซตคาตอบของอสมการ 2x 14x

+- > x และ B = {x|x เปนจานวนเตม และ -20 ≤ x ≤ 20}

จานวนสมาชกของ AI B เทากบเทาใด

18. กาหนดให S เปนเซตคาตอบของอสมการ 2x 1x

-- > x

1 และ T เปนเซตคาตอบของอสมการ 5x < x

5 จงหาจานวนเตมทมากทสดทเปนสมาชกของเซต SI T

19. ถา a เปนจานวนเตมบวกทมคานอยสดของอสมการ 53x 102x

++ ≤ 1 และ b เปนคาตอบทเปนจานวนเตมลบ

ทมคามากทสดของอสมการ 2 x 3x+ ≤ 2 แลว a + b มคาเทากบเทาใด

1) 1 2) 2 3) 3 4) 420. จงหาคา | 2 - 1| + | 2 - 3 | - | 3 - 1|21. ถา x < 2

1 แลว |x + |2x - 1|| มคาเทากบขอใด

1) x - 1 2) -x + 1 3) 3x - 1 4) -3x + 1


22. ให A คอเซตคาตอบของสมการ |3x2 + 2x - 5| = 3 แลวผลบวกของสมาชกทงหมดของ A เทากบเทาใด23. จงหาเซตคาตอบของสมการ |3x - 2| = x + 424. ให A เปนเซตคาตอบของสมการ ||4x - 1| + 3| = 10 ขอใดถกตอง

1) A ⊂

27 1,- 2) A ⊂ [-2, 2] 3) A ⊂

23 3,- 4) A ⊂ [-4, 0]

25. จงหาเซตคาตอบของอสมการ |2 - 3x| ≤ 526. จงหาเซตคาตอบของอสมการ |5 - 2x| > 327. กาหนดให A = {x|x2 - 6x - 16 ≤ 0}

B = {x|2 - x| < 5}ถา A - B = [a, b] แลว a + b มคาเทาใด

28. กาหนดให A คอ คาตอบของอสมการ 2x x2+ ≥ x และ B คอคาตอบของอสมการ |x - 1| ≤ 3 จงหาคา

B - A1) (0, 4] 2) (-2, 0) 3) [-2, 0) 4) {-2}U (0, 4]

29. จงหาเซตคาตอบของอสมการ x 2x 3x2 - ≤ 4

30. จงหาเซตคาตอบของอสมการ 3 ≤ |x + 1| ≤ 7

เฉลย

1. 3) 2. -76 3. 524. 16 5. 0.75 6. 3)7. 24 8. กวาง 5 ยาว 20 9. 4010. 4) 11. 4) 12. 4)13. 4) 14. 10 15. [-6, 0)U (2, ∝)16. 9 17. 18 18. 419. 4) 20. 0 21. 2)22. 3

4- 23.

3 ,2

1- 24. 2)

25.

37 1, 26. (-∝, 1)U (4, ∝) 27. 15

28. 4) 29.

0 ,3

2- U (0, 2] 30. [-8, -4]U [2, 6]



1. กาหนดให a, b เปนจานวนจรงใดๆ ขอใดถกตอง (O-NET 49 / 3 คะแนน)1) ถา a < b แลวจะได a2 < b2 2) ถา a < b < 0 แลวจะได ab < a2

3) ถา |a| < |b| แลวจะได a < b 4) ถา a2 < b2 แลวจะได a < b2. ถา x = sin 65° แลวอสมการในขอใดเปนจรง (O-NET 49 / 3 คะแนน)

1) x < x2 < x 1x+ 2) x < x1

x+ < 2

2

x1x+

3) x2 < x < 22

x 1x+

4) 22

x1x+

< x2 < x

3. กาหนดให I เปนเซตของจานวนเตม และ A =

≤∈ 32 |1 x |

1 |1 x | I x --- จานวนสมาชกของเซต A

เทากบขอใด (O-NET 49 / 3 คะแนน)1) 4 2) 53) 6 4) 7

4. 21 2

1 - - |2 - 2 | มคาเทากบขอใด (O-NET 50 / 2 คะแนน)

1) 23 - 2

2 2) 22 - 2

3

3) 25 - 2

23 4) 223 - 2

5

5. ถา x ≤ 5 แลว ขอใดถกตอง (O-NET 50 / 2 คะแนน)1) x2 ≤ 25 2) |x| ≤ 53) x|x| ≤ 25 4) (x - |x|)2 ≤ 25

6. ถา x = - 21 เปนรากของสมการ ax2 + 3x - 1 = 0 แลว รากอกรากหนงของสมการนมคาเทากบขอใด

(O-NET 50 / 2 คะแนน)1) -5 2) - 5

1

3) 51 4) 5

7. เซตของจานวนจรง m ซงทาใหสมการ x2 - mx + 4 = 0 มรากเปนจานวนจรง เปนสบเซตของเซตในขอใด(O-NET 50 / 3 คะแนน)1) (-5, 5) 2) (-∞, -4)U [3, ∞)3) (-∞, 0)U [5, ∞) 4) (-∞, -3)U [4, ∞)


8. กาหนดให a และ x เปนจานวนจรงใดๆ ขอใดถกตอง (O-NET 50 / 3 คะแนน)1) ถา a < 0 แลว ax < 0 2) ถา a < 0 แลว a-x < a3) ถา a > 0 แลว a-x > 0 4) ถา a > 0 แลว ax > a

9. เซตคาตอบของอสมการ 4(2x2 - 4x - 5) ≤ 321 คอเซตในขอใด (O-NET 50 / 3 คะแนน)

1)

25 ,2

5 - 2)

1 ,2

5 -

3)

1 ,2

1 - 4)

25 ,2

1 -

เฉลย

1. 2) 2. 4) 3. 3) 4. 4) 5. 3) 6. 3) 7. 4) 8. 3) 9. 4)


เลขยกกาลง

1. รากท n ของจานวนจรงให n เปนจานวนเตมบวกทมากกวา 1 โดยท a และ b เปนจานวนจรงb เปนรากท n ของ a กตอเมอ bn = aสมบตของรากท n

1.nn a

= a

2. n n a =

<<≥

บวกเปนจานวนค n และ 0 a เมอ a บวกเปนจานวนค n และ 0 a เมอ a

0 a เมอ a

3. n ab = nn b a

4. n ba = n

n

ba

ตวอยาง จงหาคาของ 45 + 125 - 80

วธทา 45 + 125 - 80 = 533 ⋅⋅ + 555 ⋅⋅ - 5 4 4 ⋅⋅

= 3 5 + 5 5 - 4 5= 4 5

ขอสงเกต 45 + 125 - 80 ≠ 8012545 -+

ตวอยาง กาหนดให a = 3 21

- , b = 321+

, 3 = 1.732 คาของ 3a2 + 10ab - 3b2 เทากบเทาใด

วธทา a = 321

- = 321

- × 3232

++

= 3432

-+ = 2 + 3

b = 321+

= 321+

× 3232

--

= 3432

-- = 2 - 3

∴ 3a2 + 10ab - 3b2 = 3(2+ 3 )2 + 10(2 + 3 )(2- 3 ) - 3(2 - 3 )2


= 3 [22 + 2(2)( 3 ) + 3 2] + 10[22- 3 2] - 3[22 - 2(2)( 3 ) + 3 2]= 3[7 + 4 3 ] + 10(1) - 3[7 - 4 3 ]= 21 + 12 3 + 10 - 21 + 12 3= 10 + 24 3= 10 + 24(1.732)= 10 + 41.568= 51.568

2. เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ- a1/n = n a

- am/n = (a1/n)m =mn a

- am/n = (am)1/n = n m a

ตวอยาง 642/3 = (641/3)2 =23 64

= 42 = 16

(-84/3) = (-81/3)4 =43 8

- = (-2)4 = 16

(9-3/2) = (91/2)-3 = ( 9 )-3 = (3)-3 = 331 = 27

1

สมบตของเลขยกกาลง1. am × an = am+n

2. nm

aa = am-n

3. (ab)n = anbn

4.n

ba

= n

n

ba

5. (am)n = amn

ตวอยาง จงทาใหอยในรปอยางงาย 1 n3n

152

--+

× 1 n2n

56

+

+-

วธทา 1 n3 n

152

--+

× 1 n2n

56

+

+-= 1 n1 n

2 n 3 n

53)(52)(3 2

+

++

××

⋅⋅

---

= 1 n1 n1 n2n2n3n

5352 3 2

+

+++

⋅⋅⋅⋅

-- ----

= 1) (n 1) n(1) n( 2)n()2n()3n(

53 2

++

+++ ⋅+ --

-----

= 035

53 2 ⋅ = 1

2723 ⋅ = 864


ตวอยาง จงทาใหอยในรปอยางงาย 1 nn2nn

333 9 3 5 -

-

-- ⋅⋅

วธทา 1 nn2nn

3 33 9 3 5 -

-

-- ⋅⋅ = 1nn

2nn

3333 3 9 3 5

--

--

⋅⋅⋅⋅

= ]3[13]39 [53

1n2n

--

-- ⋅

= 1

2

31 1

319 5

-

- ⋅

= 32

15 -

= 63. การแกสมการทเปนเลขยกกาลงตวอยาง จงหาคา x จากสมการ 8(29x) = 64x+3

วธทา 8(29x) = 64x + 3

23 ⋅ 29x = (26)(x + 3)29x + 3 = 26x + 18

∴ 9x + 3 = 6x + 189x - 6x = 18 - 3

3x = 15x = 5

ตวอยาง จงหาคา x จากสมการ 2x - 2x - 1 = 41

วธทา 2x - 2x - 1 = 41

2x - 2x ⋅ 2-1 = 41

2x

21 1 - = 4

1

2x

21 = 4

1

2x = 41 × 2

2x = 21

2x = 2-1

x = -1



1. คาของ (510)2(105)2 ไมเทากบขอใด1) (520)(1010) 2) (5100)(1025) 3) [(2)(53)]10 4) [(515)(25)]2

2. จงหาคาของ 40 + (0.64)1/2 - (81/3 ⋅ 41/2)(0.0081)1/4

3. จงหาคาของ 45/2 + 8-2/3 (-32)3/5

4. กาหนดให x = 3 4/31 ))(27(9 -- และ y = 3/21/8

2781 จงหาคาของ y

x

5. จงพจารณาขอความตอไปน

ก. 1243

8 93 2

----

++ = 1 ข. 23

35

263 2----

×× = 1

ขอใดถกตอง1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด

6. จงพจารณาขอความตอไปน

ก. n1n2n

3 203 7 3

⋅⋅+ -- = 3

1 ข. 222112

baba ba

------

-- = ba

1+

ขอใดถกตอง1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด

7. ถา 1nn22nn

2 22 4 2 12

--

-- ⋅⋅ = 16 แลวจงหาคา n

8. จงหาคาของ 48 - 3 16 + 108 - 3 54

9. จงหาคาของ 3 32- + 2 3 108 - 3 161

10.32 8 12

32 22-+

+ มคาเทากบขอใด

1) -5 - 2 6 2) -5 + 2 6 3) 5 - 2 6 4) 5 + 2 6

11. กาหนดให a = 3 2

1-

และ b = 32

1+

จงหาคาของ 7a2 + 11ab + 7b2

12. จงหาคาของ 129

1+

+ 15 12

1+

+ 1815

1+

+ ... + 8178

1+

13. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ 31

x-1 = 91 เทากบเทาใด


14. ถา yx

31 -

= 81 และ 2x = 4

1 แลว y มคาเทาใด

15. ถา 2x+4 + 2x+5 + 2x+6 = 7 แลว x มคาเทาใด16. ถา 27x+y = 36 และ 23x+y = 1 แลวคาของ 3x+1 + 3y-1 มคาเทาใด

17. ถา 23x = 51 แลวคาของ 8-4x มคาเทาใด

เฉลย

1. 2) 2. 0.6 3. 304. 9 5. 1) 6. 1)7. 2 8. 10 3 - 5 3 2 9. 415 3 410. 4) 11. 109 12. 213. 0.5 14. 2 15. -416. 10 17. 625



1. ( 2 + 8 + 18 + 32 )2 มคาเทากบขอใด (O-NET 49 / 2 คะแนน)1) 60 2) 60 2 3) 100 2 4) 200

2. 35

2732- + 3/2

6

(64)2 มคาเทากบขอใด (O-NET 49 / 2 คะแนน)

1) - 2413 2) - 6

5 3) 32 4) 24

19

3. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ 2(x2)

= 4(4x)

42 เทากบขอใด (O-NET 49 / 2 คะแนน)

1) 2 2) 3 3) 4 4) 54. อสมการในขอใดตอไปนเปนจรง (O-NET 49 / 3 คะแนน)

1) 21000 < 3600 < 10300 2) 3600 < 21000 < 10300

3) 3600 < 10300 < 21000 4) 10300 < 21000 < 3600

5. ถา 4a = 2 และ 16-b = 41 แลว a + b มคาเทาใด (O-NET 49 / 2 คะแนน)

6. 42/3

1448

⋅ 6(18)1/2 มคาเทากบขอใด (O-NET 50 / 2 คะแนน)

1) 32 2) 2

3 3) 2 4) 3

7. (1 - 2 )2(2 + 8 )2(1 + 2 )3(2 - 8 )3 มคาเทากบขอใด (O-NET 50 / 2 คะแนน)1) -32 2) -24 3) -32 - 16 2 4) -24 - 16 2

8. ถา x3

83 3

+ = 8116 แลว x มคาเทากบขอใด (O-NET 50 / 2 คะแนน)

1) - 94 2) - 9

2 3) - 91 4) 9

1

9. ถา 8x - 8(x+1) + 8(x+2) = 228 แลว x มคาเทากบขอใด (O-NET 50 / 3 คะแนน)1) 3

1 2) 32 3) 3

4 4) 35

10. ขอใดตอไปนผด (O-NET 50 / 3 คะแนน)1) 10 0.9 + < 0.9 + 10 2) ( 0.9 )( 4 9.0 ) < 0.93) ( 0.9 )( 3 1.1 ) < ( 1.1 )( 3 9.0 ) 4) 300 125 < 200 100

เฉลย1. 4) 2. 1) 3. 3) 4. 3) 5. 0.756. 3) 7. 1) 8. 1) 9. 2) 10. 2)


ฟงกชน

1. ความสมพนธและฟงกชน- ผลคณคารทเซยน

ผลคณคารทเซยนของเซต A และเซต B คอ เซตของคอนดบ (a, b) ทงหมด โดยท a เปนสมาชกของเซตA และ b เปนสมาชกของ B สามารถเขยนแทนดวยสญลกษณ A × B

- ความสมพนธบทนยาม r เปนความสมพนธจากเซต A ไปเซต B กตอเมอ r เปนสบเซตของ A × B และเรยก

ความสมพนธจากเซต A ไปเซต A วา ความสมพนธในเซต A- โดเมนและเรนจ

โดเมนของความสมพนธ r คอ เซตของสมาชกตวหนาของทกคอนดบทอยใน r และเขยนแทนดวย Dr ซง

Dr = {x | (x, y) ∈ r}

เรนจของความสมพนธ r คอ เซตของสมาชกตวหลงของทกคอนดบทอยใน r และเขยนแทนดวย Rr ซง

Rr = {y | (x, y) ∈ r}

2. ฟงกชนฟงกชน คอ ความสมพนธทสมาชกในโดเมนแตละตวจบคกบสมาชกในเรนจของความสมพนธเพยงตวเดยว

เทานน

ตวอยาง จงพจารณาวาความสมพนธใดเปนฟงกชนจากแผนภาพท กาหนดให

1. เปนฟงกชน เพราะสมาชกในโดเมนแตละตวจบคกบสมาชกในเรนจเพยงตวเดยวเทานน

2. เปนฟงกชน เพราะสมาชกในโดเมนแตละตวจบคกบสมาชกในเรนจเพยงตวเดยวเทานน

3. ไมเปนฟงกชน เพราะ 2 ซงเปนสมาชกในโดเมนจบคกบสมาชกในเรนจมากกวา 1 ตว คอ จบคกบ 4 และ 5

123

45

1r

123

45672r

123

456

3r


3. ฟงกชนเชงเสนฟงกชนเชงเสน คอ ฟงกชนทอยในรป f(x) = ax + b เมอ a และ b เปนจานวนจรง และ a ≠ 0 กราฟ

ของฟงกชนเชงเสนจะเปนเสนตรงฟงกชนคงตว คอ ฟงกชนทอยในรป f(x) = b โดยกราฟของฟงกชนคงตวจะเปนเสนตรงทขนานกบแกน x

4. ฟงกชนกาลงสองฟงกชนกาลงสอง คอ ฟงกชนทอยในรป f(x) = ax2 + bx + c เมอ a, b และ c เปนจานวนจรงใดๆ และ

a ≠ 0 ลกษณะของกราฟของฟงกชนกาลงสองน จะเปนกราฟพาราโบลา โดย

ถา a > 0 กราฟจะเปนพาราโบลาหงาย

a < 0 กราฟจะเปนพาราโบลาควา

จดวกกลบของกราฟ คอ

4a

b 4ac , 2ab 2

-- โดยคาสงสดหรอคาตาสดของฟงกชน กคอ คาของ y ณ

จดทกราฟวกกลบแตจะเปนคาสงสดหรอคาตาสดขนอยกบวาเปนกราฟพาราโบลาหงายหรอพาราโบลาควาขอสงเกต คาสงสดหรอคาตาสดของฟงกชนเกดจากการแทน x = 2a

b- เขาไปในสมการนนเอง

ในกรณทฟงกชนกาลงสองเขยนอยในรปของ f(x) = ax2 + bx + c เราสามารถเปลยนใหอยในรปของf(x) = a(x - h)2 + k โดยจดวกกลบของกราฟ กคอ จด (h, k)

การแกปญหาโดยใชความรเรองของฟงกชนกาลงสองและกราฟเนองจากลกษณะกราฟของฟงกชนกาลงสอง ซงเขยนอยในรป f(x) = ax2 + bx + c เมอ a ≠ 0 เปน

กราฟพาราโบลาทมลกษณะหงายหรอควา ซงทาใหทราบคาตาสดหรอสงสด เราจงสามารถนาความรในเรองนไปชวยในการแกปญหาทเกยวกบการหาคาตาสดหรอสงสดไดตวอยาง ชายผหนงตองการลอมรวทดน ดงรป ถาเขามลวดสาหรบทารวยาว 80 เมตร เขาจะลอมรวใหมพนทไดมากทสดเทาใด

วธทาให y แทนพนทของทดนทลอมรวและ x แทนความกวางจะได 40 - 2x แทนความยาว∴ y = x(40 - 2x)

y = 40x - 2x2

y = -2x2 + 40x ...(1)

x x x x

2x 40 2 4x 80 -- =


จะได a = -2, b = 40, c = 0 และเนองจาก a มคาเปนลบ ดงนนจดวกกลบจงเปนคาสงสดพนทมากทสด เมอ x = 2a

b-

x = 2)2(40-

-

x = 10แทนคา x = 10 ใน (1) ;จะได y = -2(10)2 + 40(10)

y = -200 + 400y = 200

∴ ดงนน เขาจะลอมรวใหมพนทมากทสดเทากบ 200 ตารางเมตร

5. ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลฟงกชนเอกซโพเนนเชยล เปนฟงกชนทอยในรป y = ax เมอ a > 0 และ a ≠ 1 ซงสามารถแบงไดเปน

2 กรณ ดงน

y = ax a > 0 และ a ≠ 1

(0, 1)

- a > 1 เปนฟงกชนเพมหรอกลาวไดวาเมอ x มคาเพมใน y จะมคาเพมขน

- Dr = R- Rr = R+

(0, 1)

- 0 < a < 1 เปนฟงกชนลดหรอกลาวไดวาเมอ x มคาเพมขน y จะมคาลดลง

- Dr = R- Rr = R+

6. ฟงกชนคาสมบรณฟงกชนคาสมบรณเปนฟงกชนทอยในรป y = a | x - h | + k เมอ a ≠ 0 ซงสามารถแบงไดเปน

2 กรณ ดงน

รปทวไป y = a|x - h| + k

เมอ a > 0 กราฟหงายจดวกกลบ = (h, k)Dr = RRr = [k, ∝)

เมอ a < 0 กราฟควาจดวกกลบ = (h, k)Dr = RRr = (-∝, k]

7. ฟงกชนขนบนไดฟงกชนขนบนได หมายถง ฟงกชนทมโดเมนเปนสบเซตของเซตของจานวนจรง และมคาของฟงกชนเปน

คาคงตวเปนชวงๆ มากกวาสองชวง



1. จงพจารณาขอความตอไปนก. กาหนด A = {1, 2}, B = {4, 5, 6, 7, 8} และ r เปนความสมพนธ “เปนรากทสอง” จาก A ไป B

จะไดวา r = {(1, 1), (2, 4)}ข. ถา A = {x|x2 - 5x - 6 = 0} และ B = {x|x2 - x - 6 = 0} แลว จะไดวา A × B = {(2, 3),

(2, -2), (3, 3), (3, -2)}ขอใดถกตอง1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด

2. กาหนด A = {0, 2, 5}, B = {3, 4} และ r = {(x, y) ∈ B × A | y ≤ x - 2} แลว r คอขอใด1) {(3, 0), (4, 0), (4, 2)} 2) {(3, 0), (3, 2), (4, 0)}3) {(3, 0), (3, 2), (4, 0), (4, 2)} 4) {(3, 0), (3, 2), (3, 5), (4, 0), (4, 2)}

3. ให A = {1, 2, 3, 4, ..., 10}, B = {1, 3, 5, 7, 9} ถา C เปนเซตทมสมาชก 6 ตว โดยท BI C มสมาชก 3 ตว แลว A × (BU C) มสมาชกกตว

4. ถา A = {-2, -1, 0, 1, 2} และ r = {(a, b) ∈ A × A | a = |b| หรอ a = -2b2} แลวจานวนสมาชกของ r เทากบเทาใด

5. ให A = {x ∈ R | x ≥ 0}กาหนดความสมพนธ r1 และ r2 ดงน

r1 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ A และ 2x + 4y ≤ 15}r2 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ A และ x + 3y ≤ 12}

ขอใดถกตอง1) r1 ⊂ r2 2) r2 ⊂ r1 3) r1 = r2 4) r1I r2 = φ

6. กาหนดให f = {(0, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)} และ g = {(0, 0), (3, 4), (5, 5)}ขอใดถกตอง1) Dg ⊂ Df 2) Rg ⊂ Dg 3) Rg ⊂ Rf 4) Rf ⊂ Df

7. ถา r = {(x, y) ∈ R × R | y = 22

x 9 4 x

-- } จงหา Dr และ Rr

8. กาหนดให A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c} ฟงกชนในขอใดตอไปนเปนฟงกชนจาก A ไป B1) {(1, a), (2, b), (3, c)} 2) {(1, a), (1, b), (1, c)}3) {(4, a), (3, a), (2, a), (1, a)} 4) {(a, 1), (b, 2), (c, 3)}


9. ถา 2 ; x < 1f(x) = x7

3x- ; 1 ≤ x ≤ 4

0 ; x > 4แลว f(4) - f(7) เทากบเทาใด

10. ฟงกชน f ในขอใดตอไปนมคณสมบตวา f(x) = f(-x)1) f(x) = x2 - 2x + 4 2) f(x) = |x - 4|3) f(x) = 3x + 4 4) f(x) = x2 + 2

11. คาใชจายในการจดทาหนงสอเลมหนงประกอบดวยคาใชจายสวนหนงคงท และอกสวนหนงขนอยกบจานวนหนงสอทพมพ ถาพมพ 150 เลมจะเสยคาใชจายทงหมด 2,850 บาท และถาพมพ 200 เลม จะเสยคาใชจายทงหมด 3,000 บาท ถาตองการพมพ 300 เลม จะตองเสยคาใชจายทงหมดเทาใด

12. กาหนดให y = 5(x - 3)2 + 1 ขอใดไมถกตอง1) เปนกราฟพาราโบลาหงาย 2) จดยอดหรอจดตาสด คอ (3, -1)3) แกนสมมาตร คอ x = 3 4) คาตาสด คอ คา y = 1

13. สมการในขอใดเมอเขยนกราฟแลวจะไดรปดงทแสดงไว1) y = x2 + 4x - 8

2) y = x2 + 4x + 83) y = x2 + 4x + 2

4) y = x2 + 4x - 214. พาราโบลารปหนงมสมการเปน y = c - 2x - x2 มคาสงสดเทากบ -2 จะมจดตดแกน y คอจดใด

1) (0, -1) 2) (0, -2) 3) (0, -3) 4) (0, -4)15. โรงงานผลตเครองรบโทรทศน ผลตไดวนละ x เครอง ขายไปไดกาไร y บาท โดยท y = 90x - x2 ถา

โรงงานตองการกาไรมากทสด จะตองผลตเครองรบโทรทศนทงหมดกเครอง16. ชาวสวนผหนงสงเกตวา ถาเขาปลกมะมวง 80 ตน ในพนทหนงจะไดผลเฉลย 150 ผลตอตน แตถาเขาปลก

นอยลงจะใหผลเฉลยเพมขนตนละ 5 ผล ตอจานวนมะมวงทลดลง จงหาจานวนตนมะมวงทปลกในพนทนเพอใหไดผลผลตมากทสด

17. ขอใดตอไปนเปนฟงกชนลด

1) y = x

43 -

2) y =

x

.a

1 a

+ ; a > 0

3) y =

+ 22a 1

a ; a ≠ 0 4) y = (tan 60)x


18. กราฟทกาหนดใหมสมการตรงกบขอใด1) y = 4x

2) y = x

41

3) y = 4x + 1

4) y = x

41

+ 1

19. กราฟทกาหนดใหมสมการตรงกบขอใด1) y = |x - 3| + 2

2) y = |x - 3| - 23) y = |x + 3| + 2

4) y = |x + 3| - 2

เฉลย

1. 4) 2. 1) 3. 80 4. 7 5. 1)6. 4) 7. Dr = R - {3, -3}, Rr = (-∝, -1)U

∝ ,9

4-

8. 3) 9. 4 10. 4) 11. 3,300 12. 2)13. 2) 14. 3) 15. 45 16. 55 17. 3)18. 3) 19. 4)


1. กาหนดให A = {a, b, c} และ B = {0, 1} ฟงกชนในขอใดเปนฟงกชนจาก B ไป A (O-NET 49 / 2 คะแนน)1) {(a, 1), (b, 0), (c, 1)} 2) {(0, b), (1, a), (1, c)}3) {(b, 1), (c, 0)} 4) {(0, c), (1, b)}

2. กาหนดให f(x) = -x2 + 4x - 10 ขอความในขอใดถกตอง (O-NET 49 / 2 คะแนน)1) f มคาตาสดเทากบ -6 2) f ไมมคาสงสด

3) f มคาสงสดเทากบ 6 4) f

29 < -6

(0, 2)

-1-2

-51


3. ถา P เปนจดวกกลบของพาราโบลา y = -x2 + 12x - 38 และ O เปนจดกาเนด แลวระยะทางระหวางจด P และจด O เทากบขอใด (O-NET 49 / 2 คะแนน)1) 10 หนวย 2) 2 10 หนวย 3) 13 หนวย 4) 2 13 หนวย

4. ฟงกชน y = f(x) ในขอใดมกราฟดงรป (O-NET 49 / 2 คะแนน)

1) f(x) = 1 - |x|2) f(x) = 1 + |x|3) f(x) = |1 - x|4) f(x) = |1 + x|

5. ถา f = {(1, 0), (2, 1), (3, 5), (4, 3), (5, 2)} แลว f(2) + f(3) มคาเทาใด (O-NET 49 / 2 คะแนน)6. กาหนดให n(A) แทนจานวนสมาชกของเซต A

ถา r1 = {(-1, -2), (0, -1), (1, 2), (2, -3), (3, 4)}และ r2 = {(x, y) | |y + 1| = x}แลว n(r1I r2) เทากบเทาใด (O-NET 49 / 2 คะแนน)

7. ถา A = {1, 2, 3, 4} และ r = {(m, n) ∈ A × A | m ≤ n} แลวจานวนสมาชกในความสมพนธ rเทากบขอใด (O-NET 50 / 2 คะแนน)1) 8 2) 10 3) 12 4) 16

8. พาราโบลารปหนงมแกนสมมาตรขนานกบแกน y และมจดสงสดอยทจด (a, b) ถาพาราโบลารปนตดแกน xทจด (-1, 0) และ (5, 0) แลว a มคาเทากบขอใด (O-NET 50 / 2 คะแนน)1) 0 2) 1 3) 2 4) 3

9. กาหนดให r = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B และ b หารดวย a ลงตว} ถา A = {2, 3, 5} แลว ความสมพนธ r จะเปนฟงกชน เมอ B เทากบเซตในขอใด (O-NET 50 / 3 คะแนน)1) {3, 4, 10} 2) {2, 3, 15} 3) {0, 3, 10} 4) {4, 5, 9}

10. กราฟของฟงกชนในขอใดตดแกน x มากกวา 1 จด (O-NET 50 / 3 คะแนน)

1) y = 1 + x2 2) y = |x| - 2 3) y = |x - 1| 4) y = x

21

11. ถากราฟของ y = x2 - 2x - 8 ตดแกน x ทจด A, B และม C เปนจดวกกลบ แลวรปสามเหลยม ABC มพนทเทากบขอใด (O-NET 50 / 3 คะแนน)1) 21 ตารางหนวย 2) 24 ตารางหนวย 3) 27 ตารางหนวย 4) 30 ตารางหนวย

เฉลย

1. 4) 2. 4) 3. 2) 4. 2) 5. 6 6. 2 7. 2) 8. 3) 9. 4) 10. 2)11. 3)

(0, 1)

y = f(x)

X

Y

0-1 1


อตราสวนตรโกณมต

1. ความสมพนธของดานsin θ = c

aθsin

1 = cosec θ = ac

cos θ = cb

θcos1 = sec θ = b

c

tan θ = ba

θtan1 = cot θ = a

b

2. ความสมพนธของมมตารางคาตรโกณมต

30° = 6π 45° = 4

π 60° = 3π

sin21

22

23

cos23

22 2

1

tan3

11 3

sin (90° - A) = cos A cos (90° - A) = sin A tan (90° - A) = cot A

ตวอยาง กาหนดให cos A = 135 จงหาคาของ A9cosA)(904cos

A)(903sinA2sin--

--°

°

วธทา จากโจทย cos A = 135

หาดาน BC โดยใชทฤษฎบทพทาโกรสAB2 = AC2 + BC2

132 = 52 + BC2

132 - 52 = BC2

BC2 = 144BC = 12

จาก Acos9 A) (90 cos4A)(90 sin 3 A sin2

----

°° = Acos9Asin4

Acos3Asin2-- =

1359 13

1241353 13

122

-

-

=1345 13

481315 13

24

--

= 133139

= 139 × 3

13 = 3

A

B

C

a

b

c

θ

A

12

C

B

13

5A


3. เอกลกษณsin2 θ + cos2 θ = 11 + cot2 θ = cosec2 θtan2 θ + 1 = sec2 θ

4. การประยกตของอตราสวนตรโกณมตความรเกยวกบอตราสวนตรโกณมตสามารถนาไปใชในการคานวณระยะทางและความสงได ซงโจทยใน

ลกษณะดงกลาวจะเกยวของกบมมกมและมมเงยมมกม เปนมมทเกดจากการมองวตถทอยตากวาระดบสายตา

แนวระดบ

วตถ

มมกมตา

มมเงย เปนมมทเกดจากการมองวตถทอยสงกวาระดบสายตา

แนวระดบ

วตถ

มมเงย

ตา

ตวอยาง จากยอดหนาผารมทะเล ชายคนหนงมองเหนเรอ 2 ลา อยในแนวเดยวกนเปนมมกม 60° และ 30°ถาหนาผาสงจากระดบนาทะเล 200 เมตร จงหาวาเรอ 2 ลาอยหางกนกเมตรวธทา ให x แทนระยะหางระหวางเรอ 2 ลา

จากรป ∆ BCD ; tan 60° = CDBC

3 = CD200

CD = 3200 ...(1)

จากรป ∆ ABC ; tan 30° = CABC

tan 30° = DACDBC+

31 =

x 3200

200+

3200 + x = 200 3

200 + x3 = 600x3 = 400

x = 3400 × 3

3 = 33400

ดงนน เรอสองลาจอดอยหางกน 33400 เมตร

AC

B

x

°30

°30

200 เมตร

°60D

°60



1. ถา tan A = 43 แลว Acos 3 A sin 2

Acos A sin 3+- เทากบเทาใด

2. สามเหลยม ABC ม C = 90° และ sin A = 53 เมอ 0° < A < 90° จงหาคาของ Bcot

B cosec A sec +

3. ถา ABC เปนมมฉาก ซงม A เปนมมฉาก และ tan B = 43 แลวคาของ sec C cot B cosec A เทากบ

เทาใด

4. ถา 5 tan A = 4 แลว Acos2 A sinA) (90 sin 3 A sin 5

+-- o

เทากบเทาใด

5. คาของ oooooo

30cot 45sec 45cosec 60 tan 45sin 30 cos เทากบเทาใด

6. X sin 30° cos2 45° = ooooo

60cos30 tan 45 tan30 sin 45sin

22

แลว X มคาเทาใด

7. ถา (sin A + cos A)2 = 45 แลว sin A cos A เทากบเทาใด

8. ถา 0° < A < 90° แลว A tan

12 -

Asin12 + 3 + cos2 A + sin2 A เทากบเทาใด

9. คาของ (sin A - cosec A)2 + (cos A + sec A)2 - tan2 A - cot2 A เทากบเทาใด

10. คาสงสดของ 1 - 3 cos A เทากบเทาใด11. จากรปทกาหนด จงหาคามม θ

เมอกาหนด sin 44° = 0.695sin 45° = 0.707

12. จากรปสามเหลยม ABC จงหาคา xเมอกาหนด cos 40° = 0.766

10 cm 7 cm

θA B

C

24

50°x

A B

C


13. กาหนดรปสามเหลยม ABD ซงมมม ABD = 30°, มม ADB = 60° ดงรป และดาน AC ตงฉากกบดานBD โดยท BC ยาว 12 หนวย จงหาพนทของสามเหลยม ABD

A

C DB30° 60°

14. กาหนดให AOC เปนสามเหลยมมมฉากดงรป โดยทมม AOC = 60° และดาน AC ยาว 8 หนวย ถา Bเปนจดบนสวนของเสนตรง AC โดยทเสนตรง BO แบงครงมม AOC จงหาความยาวของเสนตรง BC

60°

8

C

A O

15. จากรป กาหนดใหมม ABC = 45° มม ACB = 120°ดาน BC ยาว 40 หนวย ดาน AD ตงฉากกบดาน BDขอใดเปนความยาวของดาน AD1) 20(3 + 3 ) หนวย2) 20(1 + 3 ) หนวย3) 20(3 - 3 ) หนวย4) 20(1 - 3 ) หนวย

16. กาหนดใหรปสามเหลยม ABC ม CBAˆ = 30° และ BCAˆ = 45° ถาให BC เปนฐานแลว ∆ ABC จะมสวนสงเทากบ 2 หนวย พนทของรปสามเหลยม ABC มคาเทากบขอใดตอไปน (ตารางหนวย)

1) 1 + 33 2) 1 + 3

32 3) 3 4) 1 + 3

17. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม CBAˆ เปนมมฉาก และมม CABˆ เทากบ 60 องศา ถาผลบวกของความยาวของดาน AB กบ AC เทากบ 6 หนวย แลวความยาวของดาน BC เทากบขอใด1) 2 2 หนวย 2) 2 3 หนวย 3) 3 2 หนวย 4) 3 3 หนวย

18. แดงยนบนดาดฟาของตกสง 150 เมตร สงเกตเหนตกอกหลงหนง ซงถาแดงมองไปทฐานตกนนจะทามมกม60° แตถาแดงมองทยอดตกนนจะทามมกม 30° จงหาความสงของตกทแดงมอง

A

DCB45° 120°

40


19. ชายคนหนงยนอยบนหนาผาสง 150 เมตร มองเหนเรอสองลาในทศทางเดยวกนเปนมมกม 30° และ 45°ตามลาดบ จงหาวาเรอสองลาจอดหางกนอยกเมตร

20. นกทองเทยวคนหนงยนอยบนประภาคารสงเกตเหนเรอสองลาจอดอยในทะเลทางทศตะวนตกของประภาคารในแนวเสนตรงเดยวกน ทามมกม 30° และ 60° กบแนวระดบ ประภาคารแหงนอยสงจากระดบนาทะเลประมาณเทาใด ถาเรอทงสองลาอยหางกน 200 เมตร

เฉลย

1. 185 2. 3

10 3. 920 4. 14

5 5. 46-

6. 6 7. 81 8. 3 9. 3 10. 4

11. 44°42′ 12. 18.384 13. 32 3 14. 316 15. 1)

16. 4) 17. 2) 18. 100 19. 150( 3 - 1) 20. 100 3



1. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B เปนมมฉาก มมม A เทากบ 30° และมพนทเทากบ 24 3ตารางหนวย ความยาวของดาน AB เทากบขอใด (O-NET 49 / 3 คะแนน)1) 12 หนวย 2) 14 หนวย 3) 16 หนวย 4) 18 หนวย

2. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก มดาน BC ยาวเทากบ 10 3 หนวย และดานAB ยาวเทากบ 20 หนวย ถาลากเสนตรงจากจด C ไปตงฉากกบดาน AB ทจด D แลวจะไดวาดาน CDยาวเทากบขอใด (O-NET 49 / 3 คะแนน)1) 5 2 หนวย 2) 5 3 หนวย 3) 10 2 หนวย 4) 10 3 หนวย

3. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมพนทเทากบ 15 ตารางหนวย และมมม C เปนมมฉาก ถา sin B = 3 sin Aแลวดาน AB ยาวเทากบขอใด (O-NET 49 / 3 คะแนน)1) 5 หนวย 2) 5 3 หนวย 3) 5 2 หนวย 4) 10 หนวย

4. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B เปนมมฉาก ถา cot A = 512 แลว 10 cosec A + 12 sec A

มคาเทาใด (O-NET 49 / 2 คะแนน)

5. ถา ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B เปนมมฉาก และ cos A = 53 แลว cos (B - A) มคาเทาใด

(O-NET 49 / 2 คะแนน)

6. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก และดาน BC ยาว 6 นว ถา D เปนจดบนดาน ACโดยท CDBˆ = 70° และ DBAˆ = 10° แลว ดาน AB ยาวเทากบขอใด (O-NET 50 / 2 คะแนน)1) 4 3 นว 2) 5 3 นว 3) 8 นว 4) 10 นว

7. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยม ซงมมม A เปนมมฉาก และมมม B = 30° ถา D และ E เปนจดบนดาน AB และ BC ตามลาดบ ซงทาให DE ขนานกบ AC โดยท DE ยาว 5 หนวย และ EC ยาว 6 หนวยแลว AC ยาวเทากบขอใด (O-NET 50 / 3 คะแนน)1) 7.5 หนวย 2) 8 หนวย 3) 8.5 หนวย 4) 9 หนวย

8. วงกลมวงหนงมรศม 6 หนวย และ A, B, C เปนจดบนเสนรอบวงของวงกลม ถา AB เปนเสนผานศนย-กลางของวงกลม และ BACˆ = 60° แลวพนทของรปสามเหลยม ABC เทากบขอใด(O-NET 50 / 3 คะแนน)1) 15 3 ตารางหนวย 2) 16 3 ตารางหนวย3) 17 3 ตารางหนวย 4) 18 3 ตารางหนวย

เฉลย

1. 1) 2. 2) 3. 4) 4. 39 5. 0.8 6. 1) 7. 2) 8. 4)


ลาดบและอนกรม

1. ลาดบความหมายของลาดบลาดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวกทเรยงจากนอยไปมากโดยเรมตงแต 1 ซงสามารถ

แบงออกได 2 ประเภท ดงน1. ลาดบจากด คอ ฟงกชนทมโดเมนเปน {1, 2, 3, ... n}2. ลาดบอนนต คอ ฟงกชนทมโดเมนเปน {1, 2, 3, ... }ในการเขยนลาดบจะเขยนเฉพาะสมาชกของเรนจเรยงกนไป กลาวคอ ถาเปนลาดบจากดเขยนแทนดวย

a1, a2, a3, ... an ในกรณทเปนลาดบอนนตจะเขยนแทนดวย a1, a2, a3 ...

2. ลาดบเลขคณตและลาดบเรขาคณตลาดบเลขคณต คอ ลาดบทผลตางซงไดจากพจนท n + 1 ลบดวยพจนท n มคาคงตวเสมอ คาคงตวน

เรยกวา “ผลตางรวม” (an + 1 - an = d)ซงการหาพจนทวไปของลาดบเลขคณตสามารถหาไดจากสตร an = a1 + (n - 1)d

ตวอยางของลาดบเลขคณต เชน1. 1, 5, 9, 13, ...

ม 5 - 1 = 9 - 5 = 13 - 9 = 4 ดงนน ผลตางรวม คอ 42. 4, 2, 0, -2, ...

ม 2 - 4 = 0 - 2 = (-2) - 0 = -2 ดงนน ผลตางรวม คอ -2ลาดบเรขาคณต คอ ลาดบทมอตราสวนของพจนท n + 1 ตอพจนท n มคาคงตวเสมอ คาคงตวนเรยกวา

“อตราสวนรวม”

=+ r a

an

1 n

ซงการหาพจนทวไปของลาดบเรขาคณตสามารถหาไดจากสตร an = a1rn - 1

ตวอยางของลาดบเรขาคณต เชน1. 1, 3, 9, 27, ... ม 1

3 = 39 = 3

27 = 3 ดงนน อตราสวนรวม คอ 3

2. 21 , 4

1 , 81 , 16

1 , ... ม 21 4

1 =

41 8

1 =

81

161

= 21 ดงนน อตราสวนรวม คอ 2

1


ตารางเปรยบเทยบลกษณะโจทยของลาดบเลขคณต และลาดบเรขาคณต

ลาดบเลขคณต ลาดบเรขาคณตสตร an = a1 + (n - 1)d

an = พจนทวไปa1 = พจนแรกn = จานวนพจน, ชอพจนd = ผลตางรวม (d = ขวา - ซาย)

สตร an = a1rn - 1

an = พจนทวไปa1 = พจนแรกn = จานวนพจน, ชอพจนr = ผลตางรวม (r = ซาย

ขวา )

ตวอยาง จงหาพจนท 10 ของลาดบเลขคณต1, 3, 5, 7 ...

วธทา a1 = 1, d = 2, n = 10จากสตร an = a1 + (n - 1)dจะได a10 = 1 + (10 - 1)(2)

a10 = 1 + 18a10 = 19

ดงนน พจนท 10 ของลาดบนคอ 19

ตวอยาง จงหาพจนท 10 ของลาดบเรขาคณต1, 2, 4, 8 ...

วธทา a1 = 1, r = 2, n = 10จากสตร an = a1rn - 1

จะได a10 = 1(2)10 - 1

a10 = 1(2)9a10 = 512

ดงนน พจนท 10 ของลาดบนคอ 512ตวอยาง ลาดบเลขคณต 1, 3, 5, 7, ... , 19

จงหาวาลาดบนมทงหมดกพจนวธทา a1 = 1, d = 2, an = 19

จากสตร an = a1 + (n - 1)dจะได 19 = 1 + (n - 1)2

19 = 1 + 2n - 219 = 2n - 120 = 2nn = 10

ดงนน ลาดบชดนมทงหมด 10 พจน

ตวอยาง ลาดบเรขาคณต 1, 2, 4, 8, ..., 512จงหาวาลาดบนมทงหมดกพจน

วธทา a1 = 1, r = 2, an = 512จากสตร an = a1rn - 1

จะได 512 = 1(2)n - 1

29 = 1(2)n - 1

29 = 2n - 1

∴ 9 = n - 1n = 10

ดงนน ลาดบชดนมทงหมด 10 พจน


ตารางเปรยบเทยบลกษณะโจทยของลาดบเลขคณตและลาดบเรขาคณต

ลาดบเลขคณต ลาดบเรขาคณตตวอยาง ถา 1, x, 5 เปนสามพจนทเรยงกนเปนลาดบ

เลขคณต จงหาคา xวธทา เนองจากเปนลาดบเลขคณต ดงนนผลตาง

รวมจะตองเทากนจะได x - 1 = 5 - x

2x = 6x = 3

ดงนน ถา x = 3 แลวลาดบชดนคอ 1, 3, 5

ตวอยาง ถา 1, x, 4 เปนสามพจนทเรยงกนเปนลาดบเรขาคณต จงหาคา x

วธทา เนองจากเปนลาดบเรขาคณต ดงนนอตราสวนรวมจะตองเทากน

จะได 1x = x

4

x2 = 4x = 2, -2

ดงนน ถา x = 2 แลวลาดบชดนคอ 1, 2, 4ถา x = -2 แลวลาดบชดนคอ 1, -2, 4

ตวอยาง กาหนดใหพจนท 3 ของลาดบเลขคณตเปน 5 และพจนท 6 ของลาดบเดยวกนเปน 11จงหาพจนทวไปของลาดบเลขคณตชดน

วธทา โจทยกาหนด a3 = 5 และ a6 = 11จากสตร an = a1 + (n - 1)dจาก a3 = 5

∴ a1 + 2d = 5 ... (1)จาก a6 = 11

∴ a1 + 5d = 11 ... (2)(2) - (1) ; 3d = 6

d = 2แทนคา d = 2 ใน (1)จะได a1 + 2(2) = 5

a1 = 1∴ an = 1 + (n - 1)2

an = 1 + 2n - 2an = 2n - 1

ดงนน พจนทวไปของลาดบเลขคณตคอ 2n - 1

ตวอยาง กาหนดใหพจนท 3 ของลาดบเรขาคณตเปน4 และพจนท 6 ของลาดบเดยวกนเปน 32จงหาพจนทวไปของลาดบเรขาคณตชดน

วธทา โจทยกาหนด a3 = 4 และ a6 = 32จากสตร an = a1rn - 1

จาก a3 = 4∴ a1r2 = 4 ... (1)

จาก a6 = 32∴ a1r5 = 32 ... (2)

(1)(2) ; 21

51rara = 4

32

r3 = 8r = 2

แทนคา r = 2 ใน (1)จะได a1(2)2 = 4

a1 = 1∴ an = 1(2)n - 1

an = 2n - 1

ดงนน พจนทวไปของลาดบเรขาคณตคอ 2n - 1


3. อนกรมอนกรม คอ ผลบวกของพจนทกพจนของลาดบจากด a1, a2, a3, ... , an สามารถเขยนใหอยในรป a1 +

a2 + a3 + ... + an โดยผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมเขยนแทนดวย Sn

4. อนกรมเลขคณตและอนกรมเรขาคณตอนกรมเลขคณต คอ อนกรมทไดจากลาดบเลขคณต ซงผลตางรวมของลาดบเลขคณตจะเปนผลตางรวม

ของอนกรมเลขคณตดวยซงการหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณตสามารถหาไดจากสตร

Sn = 2n [a1 + an] หรอ

Sn = 2n [2a1 + (n - 1)d]

อนกรมเรขาคณต คอ อนกรมทไดจากลาดบเรขาคณต ทมอตราสวนรวมของลาดบเรขาคณต เปนอตรา-สวนรวมของอนกรมเรขาคณตดวย

ซงการหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณตสามารถหาไดจากสตร

Sn = r1)r (1a n1

-- เมอ r ≠ 1

ตารางเปรยบเทยบลกษณะโจทยของอนกรมเลขคณตและอนกรมเรขาคณต

อนกรมเลขคณต อนกรมเรขาคณต

สตร Sn = 2n [a1 + an] หรอ

Sn = 2n [2a1 + (n - 1)d]

สตร Sn = r1)r (1a n1

-- เมอ r ≠ 1

ตวอยาง จงหาผลบวก 10 พจนแรกของอนกรมเลขคณต1 + 3 + 5 + 7 + ...

วธทา a1 = 1, d = 2, n = 10จากสตร Sn = 2

n [2a1 + (n - 1)d]จะได S10 = 2

10 [2(1) + (10 - 1)2]S10 = 5[2 + 18]S10 = 5(20)S10 = 100

ดงนน ผลบวก 10 พจนแรกเทากบ 100

ตวอยาง จงหาผลบวก 10พจนแรกของอนกรมเรขาคณต1 + 2 + 4 + 8 + ...

วธทา a1 = 1, r = 2, n = 10

จากสตร Sn = r 1)r (1a n1

--

จะได S10 = 2 1)2 1(1 10

--

S10 = 11024) 1(1

--

S10 = 1023ดงนน ผลบวก 10 พจนแรกเทากบ 1023


ตวอยาง จงหาผลบวกของอนกรมเลขคณต 1 + 3 + 5 + ... + 19วธทา a1 = 1, d = 2, an = 19 หา n กอน

จากสตร an = a1 + (n - 1)dจะได 19 = 1 + (n - 1)2

19 = 1 + 2n - 219 = 2n - 12n = 20n = 10

จากสตร Sn = 2n [2a1 + (n - 1)d]

จะได S10 = 210 [2(1) + (10 - 1)2]

S10 = 5[2 + 18]S10 = 5(20)S10 = 100

ดงนน ผลบวกของอนกรมดงกลาวเทากบ 100

ตวอยาง จงหาผลบวกของอนกรมเรขาคณต1 + 2 + 4 + ... + 512

วธทา a1 = 1, r = 2, an = 512 หา n กอน

จากสตร an = a1rn - 1

จะได 512 = 1(2)n - 1

29 = (2)n - 1

∴ n - 1 = 9n = 10


--

จะได S10 = 2 1)2 1(1 10

--

S10 = 11024) 1(1

--

S10 = 1023ดงนน ผลบวกของอนกรมดงกลาวเทากบ 1023

ตวอยาง จงหาจานวนพจนของอนกรมเลขคณตซง 1 + 3 + 5 + ... = 100

วธทา a1 = 1, d = 2, Sn = 100จากสตร Sn = 2

n [2a1 + (n - 1)d]จะได 100 = 2

n [2(1) + (n - 1)2]200 = n[2 + 2n - 2]200 = n(2n)200 = 2n2

n2 = 100n = 10, -10 (Qn ∈ I+)

ดงนน อนกรมเลขคณตชดนมทงหมด 10 พจน

ตวอยาง จงหาจานวนพจนของอนกรมเรขาคณตซง 1 + 2 + 4 + ... = 1023

วธทา a1 = 1, r = 2, Sn = 1023


--

จะได 1023 = 2 1)2 1(1 n

--

1023 = 12 1 n

--

1023 = -1 + 2n

2n = 10242n = 210

n = 10ดงนน อนกรมเรขาคณตชดนมทงหมด 10 พจน



1. คาของ ∑=

10

5n5) (2n

-- เทากบขอใด

1) 60 2) 55 3) 25 4) 02. จานวนสมาชกในเซต {100, 101, 102, ..., 600} ซงหารดวย 8 หรอ 12 ลงตว เทากบขอใดตอไปน

1) 84 2) 92 3) 100 4) 1253. กาหนดให a, b, c เปน 3 พจนเรยงตดกนในลาดบเรขาคณต และมผลคณเปน 27 ถา a, b + 3, c + 2 เปน

3 พจนเรยงตดกนในลาดบเลขคณตแลว a + b + c มคาเทากบเทาใด4. กาหนด 2, a, b, 9 เมอ a, b เปนจานวนเตม โดยท 3 พจนแรกจะเปนลาดบเลขคณต และใน 3 พจนหลง

เปนลาดบเรขาคณต จงหาคาของ a + b1) 6 2) 8 3) 10 4) 12

5. ให 5, x, 20, ... เปนลาดบเลขคณตทมผลบวกของ 12 พจนแรกเปน aและ 5, y, 20, ... เปนลาดบเรขาคณตทมพจนท 6 เปน b โดยท y < 0แลว a + b มคาเทาใด1) 205 2) 395 3) 435 4) 845

6. ในการฝากเงนออมของนกเรยนกลมหนงพบวา จานวนเงนฝากของนกเรยนแตละคนเรยงเปนลาดบเลขคณตถาคนท 6 ฝากเงนเปนสามเทาของคนท 15 อยากทราบวาคนท 9 จะฝากเงนเปนสามเทาของคนทเทาใด1) คนท 14 2) คนท 16 3) คนท 18 4) คนท 21

7. นายแดงนาเงนไปฝากธนาคารออมสน โดยฝากเดอนแรก 100 บาท เดอนตอไปฝากเพมขนเดอนละ 5 บาททกเดอน เมอครบ 2 ป นายแดงนาเงนไปฝากทงหมดกบาท1) 215 2) 1530 3) 2580 4) 3780

8. นาฬกาเรอนหนง เมอเขมสนชเลข 1 จะต 1 ครง ถาชเลข 2 จะต 2 ครง ถาชเลข 3 จะต 3 ครง เชนนเรอยๆ ไป ดงนนภายใน 1 วน นาฬกาเรอนนจะตทงหมดกครง1) 300 2) 156 3) 150 4) 78

9. ก และ ข อยหางกน 255 กโลเมตร และตงใจจะเดนทางมาพบกน โดยตงตนเดนทางพรอมๆ กน โดย กเดนทางวนแรก 1 กโลเมตร วนทสอง 3 กโลเมตร วนทสาม 5 กโลเมตร เชนนไปเรอยๆ สวน ข เดนวนแรก20 กโลเมตร วนทสอง 19 กโลเมตร วนทสาม 18 กโลเมตร เชนนเรอยๆ ไป จงหาวาในเวลากวนเขาทงสองจงจะพบกน1) 9 วน 2) 10 วน 3) 11 วน 4) 12 วน

10. ถาผลบวก n พจนแรกของอนกรมชดหนง คอ 2n2 + 5n จงหา a10 + a111) 47 2) 90 3) 297 4) 547

เฉลย

1. 4) 2. 1) 3. 13 4. 3) 5. 2) 6. 2) 7. 4) 8. 2) 9. 2) 10. 2)



1. ลาดบเรขาคณตในขอใดตอไปน มอตราสวนรวมอยในชวง (0.3, 0.5) (O-NET 49 / 2 คะแนน)1) 3, 4

5 , 4825 , ... 2) 2, 3

4 , 98 , ... 3) 4, 3, 4

9 , ... 4) 5, 4, 516 , ...

2. ถาผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมหนง คอ Sn = 3n2 + 2 แลวพจนท 10 ของอนกรมนมคาเทากบขอใดตอไปน (O-NET 49 / 2 คะแนน)1) 57 2) 82 3) 117 4) 302

3. ∑=

+50

1kk k1)( 1 )( - มคาเทากบขอใดตอไปน (O-NET 49 / 2 คะแนน)

1) 1300 2) 1350 3) 1400 4) 14504. ปาจเรมขายขนมครกในวนท 3 มกราคม ในวนแรกขายไดกาไร 100 บาท และในวนตอๆ ไปจะขายไดกาไร

เพมขนจากวนกอนหนาวนละ 10 บาททกวน ขอใดตอไปนเปนวนทของเดอนมกราคมทปาจขายไดกาไรเฉพาะในวนนน 340 บาท (O-NET 49 / 2 คะแนน)1) วนท 24 2) วนท 25 3) วนท 26 4) วนท 27

5. ถาผลบวกและผลคณของสามพจนแรกของลาดบเลขคณตทม d เปนผลตางรวมเทากบ 15 และ 80 ตามลาดบ แลว d2 มคาเทากบขอใดตอไปน (O-NET 49 / 2 คะแนน)1) 1 2) 4 3) 9 4) 16

6. ถา a เปนจานวนจรงลบ และ a20 + 2a - 3 = 0 แลว 1 + a + a2 + ... + a19 มคาเทากบขอใดตอไปน(O-NET 49 / 3 คะแนน)1) -2 2) -3 3) -4 4) -5

7. ถา a1, a2, a3, ... เปนลาดบเลขคณต ซง a30 - a10 = 30 แลว ผลตางรวมของลาดบเลขคณตน มคาเทากบขอใดตอไปน (O-NET 50 / 2 คะแนน)1) 1.25 2) 1.5 3) 1.75 4) 2.0

8. ลาดบในขอใดตอไปน เปนลาดบเรขาคณต (O-NET 50 / 2 คะแนน)1) an = 2n ⋅ 32n 2) an = 2n + 4n 3) an = 3n2 4) an = (2n)n

9. พจนท 16 ของลาดบเรขาคณต 6251 ,

51251 , 125

1 , ... เทากบขอใดตอไปน (O-NET 50 / 3 คะแนน)

1) 25 5 2) 125 3) 125 5 4) 62510. กาหนดให S = {101, 102, 103, ... , 999} ถา a เทากบผลบวกของจานวนคทงหมดใน S และ b เทากบ

ผลบวกของจานวนคทงหมดใน S แลว b - a มคาเทากบขอใดตอไปน (O-NET 50 / 3 คะแนน)1) -550 2) -500 3) -450 4) 450

เฉลย

1. 1) 2. 1) 3. 1) 4. 4) 5. 3) 6. 1) 7. 2) 8. 1) 9. 3) 10. 1)


ความนาจะเปน

1. กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบกฎการคณ ถาการทางานอยางหนงม k ขนตอน โดยท

ขนตอนท 1 มวธเลอกทาได n1 วธขนตอนท 2 มวธเลอกทาได n2 วธ

M

ขนตอนท k มวธเลอกทาได nk วธจะไดจานวนวธทงหมดทจะเลอกทางาน k อยาง เทากบ n1 ⋅ n2 ⋅ ... ⋅ nk วธกฎการบวก ในการทางานอยางหนงมวธการทางานได k แบบ โดยทแตละแบบงานเสรจในตว โดยไม

ตอเนองกบแบบอนแบบท 1 มวธการทางานได n1 วธแบบท 2 มวธการทางานได n2 วธ M

แบบท k มวธการทางานได nk วธจะไดจานวนวธทางานทงหมด n1 + n2 + ... + nk วธ

ตวอยาง มจดหมายทแตกตางกน 3 ฉบบ ตองการนาจดหมายไปทงลงในตไปรษณย ซงมทงหมด 4 ต จงหา1. จานวนวธทงจดหมายทงหมดมกวธ2. จานวนวธทงจดหมายโดยใหจดหมายแตละฉบบไมซาตกน3. จานวนวธทงจดหมายโดยใหจดหมายอยในตเดยวกนทง 3 ฉบบ

วธทา จากโจทยกาหนดใหนาจดหมาย 3 ฉบบ ไปทงในตจดหมาย ดงนนจงมงานทตองทา 3 งาน คอทงจดหมายฉบบท 1 ทงจดหมายฉบบท 2 และทงจดหมายฉบบท 3 โดยกาหนดใหขดแตละขดแทนงานแตละงาน

1. 4 × 4 × 4 = 64 วธ

จดหมายฉบบท 1 จดหมายฉบบท 2 จดหมายฉบบท 3ทงตไหนกไดได 4 ต ทงตไหนกไดได 4 ต ทงตไหนกไดได 4 ต

2. 4 × 3 × 2 = 24 วธ

จดหมายฉบบท 1 จดหมายฉบบท 2 จดหมายฉบบท 3ทงตไหนกไดได 4 ต ทงตทไมใช ทงตทไมใช

ตเดยวกบฉบบท 1 ทง ตเดยวกบฉบบท 1 และ 2 ทงจงเหลอ 3 ต จงเหลอ 2 ต

3. 4 × 1 × 1 = 4 วธ

จดหมายฉบบท 1 จดหมายฉบบท 2 และฉบบท 3ทงตไหนกได ทงไดแบบเดยวคอได 4 ต ตองทงตเดยวกบฉบบท 1


ตวอยาง เลขโดด 0, 1, 2, 3, ..., 9 นามาสรางเลขตามเงอนไขทกาหนดให

ใชตวเลขซากนได หามใชตวเลขซากน

เลขโดด 0-9 สรางเลข 3 หลกวธทา วธทา

9 × 10 × 10 = 900 จานวน 9 × 9 × 8 = 648 จานวน

หลกแรกหามขนตน เปนเลขอะไรกไดตงแต หลกแรกหาม หลกทสองหาม หลกสดทายหามดวย 0 จงเปนได 0-9 จงเปนได 10 แบบ ขนตนดวย 0 ใชซากบหลก ใชซากบสองหลก9 แบบ จงเปนได แรก ซงเลข แรกซงเลขทงหมด

9 แบบ ทงหมดม 10 ม 10 ตว สองหลกตวหลกแรก แรกใชไปแลวใชไปแลว 1 ตว อยางละตวจงเหลอ 8 ตวจงเหลอ 9 ตว

เลขโดด 0-9 สรางเลขค 3 หลก

วธทา วธทา

9 × 10 × 5 = 450 จานวน

หลกแรก เปนเลข เปนเลขค มปญหาตองเปนเลข มปญหาตองเปนเลขหามขนตน อะไรกได คอเลข 0, 2, 4, 6, 8 1-9 0, 2, 4, 6, 8ดวย 0 ตงแต ดงนนจงเปนจงเปนได 0-9 ได 5 แบบ หามใชเลขซา9 แบบ จงเปนได ลองพจารณา

10 แบบ

1 2 3 1 2 3*

1 3 2*** *

*


(1-9) (0, 2, 4, 6, 8)

1 .................... 5 แบบ2 .................... 4 แบบ3 .................... 5 แบบ4 .................... 4 แบบ5 .................... 5 แบบ6 .................... 4 แบบ7 .................... 5 แบบ8 .................... 4 แบบ9 .................... 5 แบบ

จงแยกคดออกเปน 2 กรณI 5 แบบ 5 แบบ = 5 × 8 × 5

(1, 3, 5, 7, 9) = 200มเลข 10 ตวหามใชซากบหลกแรกและหลกทายจงเหลอ8 ตว

II 4 แบบ 4 แบบ = 4 × 8 × 4(2, 4, 6, 8) = 128

จงไดทงหมดเทากบ 200 + 128 = 328 จานวน

2. ความนาจะเปนการทดลองสมการทดลองสม คอ การทดลองซงทราบวาผลลพธอาจจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถบอกไดอยาง

ถกตองแนนอนวาในแตละครงททดลองผลทเกดขนจะเปนอะไรในบรรดาผลลพธทอาจเปนไปไดเหลานนแซมเปลสเปซ คอ เซตทมสมาชกเปนผลลพธทอาจจะเปนไปไดทงหมดของการทดลองสม โดยใช S แทน

เซตของแซมเปลสเปซเหตการณ คอ สบเซตของแซมเปลสเปซ โดยใช E แทนเซตของเหตการณความนาจะเปนของเหตการณถา S เปนแซมเปลสเปซทมสมาชกเปนเซตจากดและผลลพธทจะเกดขนมโอกาสเกดขนไดเทาๆ กน และ E

เปนเหตการณในแซมเปลสเปซ ใชสญลกษณ P(E) แทนความนาจะเปนของเหตการณ E

ดงนน P(E) = n(S)n(E)

ขอสงเกต ถา E เปนเหตการณใดๆ แลว 0 ≤ P(E) ≤ 1

* *


ตวอยาง กลองใบหนงมลกบอลหมายเลข 1, 2, 3 และ 4 อยอยางละลก1. ถาสมหยบลกบอล 2 ลกพรอมกน จงหาความนาจะเปนทลกบอลทหยบขนมาจะมหมายเลขรวมกน

เทากบ 42. ถาสมหยบลกบอล 2 ลก ทละลกโดยไมใสคน จงหาความนาจะเปนทลกบอลทหยบขนมาจะม

หมายเลขรวมกนเทากบ 43. ถาสมหยบลกบอล 2 ลก ทละลกโดยใสคนกอนหยบครงตอไป จงหาความนาจะเปนทลกบอลทจะ

หยบขนมามหมายเลขรวมกนเทากบ 4วธทา 1. โจทยกาหนดใหหยบลกบอล 2 ลกพรอมกน ดงนนลกบอลทหยบขนมาจะมหมายเลขซากนไมไดและไมมลาดบของการหยบ จะได

S = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}∴ n(S) = 6

เหตการณทสนใจคอ ลกบอลทหยบขนมามหมายเลขรวมกนเทากบ 4E = {(1, 3)}

∴ n(E) = 1จะได P(E) = n(S)

n(E) = 61

2. โจทยกาหนดใหหยบลกบอล 2 ลก ทละลกโดยไมใสคน ดงนนลกบอลทหยบขนมาจะมหมายเลขซากนไมได แตในการหยบทละลกจะมลาดบกอน-หลง เชน (1, 2), (2, 1) ถอวาเปนคนละแบบกน จะได

S = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} ∴ n(S) = 12

เหตการณทสนใจ คอ ลกบอลทหยบขนมามหมายเลขรวมกนเทากบ 4E = {(1, 3), (3, 1)}

∴ n(E) = 2จะได P(E) = n(S)

n(E) = 122 = 6

1

3. โจทยกาหนดใหหยบลกบอล 2 ลกทละลกโดยใสคนกอนหยบครงตอไป ดงนนลกบอลทหยบขนมาอาจมหมายเลขซากนได แตในการหยบทละลกจะมลาดบกอน-หลง จะได

S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2),(3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}

∴ n(S) = 16เหตการณทสนใจ คอ ลกบอลทหยบขนมามหมายเลขรวมกนเทากบ 4

E = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}∴ n(E) = 3

จะได P(E) = n(S)n(E) = 16

3



1. จากตวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 จะสรางจานวนทม 3 หลก โดยแตละหลกมตวเลขซากนไดจากตวเลขขางตน และจานวนเหลานหารลงตวดวย 5 ไดทงหมดกจานวน1) 30 2) 36 3) 60 4) 72

2. จานวนวธจดเรยงเลข 3 หลก ทมคามากกวา 300 จากเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 โดยทตวเลขเหลานสามารถใชไดเพยงครงเดยว1) 12 2) 24 3) 60 4) 120

3. กลองใบหนงมลกบอลอย 15 ลก โดยทลกบอลแตละลกมหมายเลขกากบอยหนงหมายเลข เปนเลข 1 ถง15 สมหยบลกบอลมา 2 ลก โดยหยบทละลกแบบไมใสคน จานวนวธทหยบไดลกบอลลกแรกมหมายเลขซงหารดวย 3 ลงตว และลกบอลลกทสองมหมายเลขซงหารดวย 5 ลงตวเทากบขอใดตอไปน1) 7 2) 8 3) 14 4) 15

4. สรางเลขสหลกโดยใชตวเลข 6-9 และผลรวมของตวเลขแตละหลกมคาเปน 34 จะมวธสรางเทากบขอใดตอไปน1) 2 2) 4 3) 6 4) 10

5. กาหนดให วน หมายถง วนอาทตย วนจนทร วนองคาร วนพธ วนพฤหสบด วนศกร วนเสาร ความนาจะเปนทคน 2 คน จะเกดวนตางกนมคาเทากบขอใดตอไปน1) 49

1 2) 71 3) 49

6 4) 76

6. นาย ก เกดในเดอนมนาคม จงหาความนาจะเปนทวนเกดของนาย ก ตรงกบวนททเปนจานวนเฉพาะ1) 31

9 2) 3110 3) 31

11 4) 3112

7. ในการทาขอสอบ 20 ขอ แบบถก-ผด ขอละ 1 คะแนน นกเรยนตองไดคะแนนตงแต 60% ขนไปจงจะถอวาสอบผานจดประสงค ดงนนโอกาสทนกเรยนคนหนงจะทาขอสอบนผานเปนเทาใด1) 20

8 2) 209 3) 21

8 4) 219

8. ในการเลอกประธาน รองประธาน และเลขานการอยางละ 1 คน จากผสมคร 10 คน ซงเปนชาย 6 คนและหญง 4 คน ความนาจะเปนทจะไดประธานเปนชาย และเลขานการเปนหญงเทากบขอใดตอไปน1) 15

4 2) 153 3) 5

2 4) 51

9. ในการเลอกจานวนเตมหนงจากจานวนเตมตงแต 10 ถง 59 จะไดความนาจะเปนทเลขจานวนนนหารดวย 7ลงตว หรอเปนเลขคเทากบขอใดตอไปน1) 0.36 2) 0.50 3) 0.58 4) 0.64


10. ในการออกรางวลเลขทายสองตวของลอตเตอรรฐบาล ความนาจะเปนทรางวลเลขทายสองตวมหลกสบเปนเลขทมากกวาหรอเทากบ 7 หรอหลกหนวยเปนเลขทนอยกวาหรอเทากบ 2 มคาเทากบขอใดตอไปน1) 0.40 2) 0.51 3) 0.54 4) 0.60

11. ลอตเตอรชนดหนงออกงวดละ 1000 ฉบบ และแตละงวดจะมเพยง 1 ฉบบเทานนทถกรางวล ในงวดหนงนาย ก, ข, ค และ ง ซอ 6, 7, 12 และ 15 ฉบบ ตามลาดบ ถา p คอ ความนาจะเปนททง 4 คนนจะไมถกรางวลเลย จงหาคาของ 1000p

12. จากประวตของผปวยของคลนกแหงหนง ทปวยเปนโรคหวใจหรอโรความดนโลหตสง ซงมจานวน 50 คนโดยมผปวยเปนโรคหวใจ 20 คน มผปวยทเปนโรคหวใจและโรคความดนโลหตสง 15 คน ถาสมหยบประวตผปวย 1 ราย แลวความนาจะเปนทผปวยจะปวยดวยโรคหวใจอยางเดยว หรอปวยดวยโรคความดนโลหตสงอยางเดยวเทากบขอใดตอไปน1) 5

2 2) 53 3) 10

7 4) 109

13. ผจดการฝายบคคลของบรษทหนงคดวาการจาแนกใบสมครของผสมครตามวฒ หรอตามประสบการณในการทางานจะเปนประโยชนตอการพจารณาคดเลอกบคคลเขาทางานเปนอยางมาก จากใบสมครตาแหนงวศวกรทงหมด เขาพบวามเพยง 10 เปอรเซนต เทานนทเปนผทมประสบการณแตไมมปรญญา ม 20เปอรเซนตเปนผทจบปรญญาแตไมมประสบการณ มถง 80 เปอรเซนต ทมประสบการณหรอมปรญญา ถาสมตวอยางใบสมครมา 1 ใบ ขอความตอไปนขอใดถก1) ความนาจะเปนทจะไดผสมครทมปรญญาเทากบ 0.702) ความนาจะเปนทไดผทมประสบการณเทากบ 0.603) ความนาจะเปนทจะไดผสมครทไมมปรญญาและมประสบการณเทากบ 0.204) ถกทงขอ 1), 2) และ 3)

14. จากการสารวจประชากรของหมบานแหงหนง ปรากฏวาความนาจะเปนของครอบครวททาสวนลาไยเทากบ0.5 ความนาจะเปนของครอบครวททาสวนลนจเทากบ 0.7 และความนาจะเปนของครอบครวททาสวนลาไยและลนจเทากบ 0.3 ถาหมบานแหงนมประชากรอย 200 ครอบครว แลวจานวนครอบครวททาสวนลาไยหรอสวนลนจเทากบขอใด1) 200 ครอบครว 2) 180 ครอบครว 3) 140 ครอบครว 4) 120 ครอบครว

15. ทอดลกเตาเทยงตรง 2 ลก ความนาจะเปนทจะไดผลตางของแตมมคาอยางนอย 4 คอขอใด1) 36

2 2) 363 3) 36

4 4) 366

เฉลย

1. 3) 2. 4) 3. 3) 4. 4) 5. 4) 6. 3) 7. 4) 8. 1) 9. 3) 10. 2)11. 960 12. 3) 13. 4) 14. 2) 15. 4)



1. ขอสอบชดหนงม 2 ตอน ตอนทหนง ม 5 ขอ ใหเลอกตอบวาจรงหรอเทจตอนทสอง ม 5 ขอ เปนขอสอบแบบ 4 ตวเลอก

ถาตองตอบขอสอบชดนทกขอโดยไมเวนแลวจะมวธตอบขอสอบชดนไดตางๆ กนทงหมดเทากบขอใดตอไปน(O-NET 49 / 2 คะแนน)1) 52 × 54 วธ 2) 25 × 54 วธ 3) 25 × 45 วธ 4) 52 × 45 วธ

2. ในการออกรางวลแตละงวดของกองสลาก ความนาจะเปนทรางวลเลขทาย 2 ตว จะออกหมายเลขทมหลกหนวยเปนเลขคและหลกสบมากกวาหลกหนวยอย 1 เทากบขอใดตอไปน (O-NET 49 / 3 คะแนน)1) 0.04 2) 0.05 3) 0.20 4) 0.25

3. ในการเขยนตวเลข 3 หลก จากเลขโดด 1 ถง 7 โดยทเลขโดดในหลกทงสามไมซากนเลย จะมวธเขยนตวเลขเหลานทแสดงจานวนคไดกวธ (O-NET 49 / 2 คะแนน)

4. มกลอง 2 ใบ แตละใบมลกบอลหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5 อยอยางละลก ถาสมหยบลกบอล 2 ลก จากกลองทงสองใบน กลองละลก แลวความนาจะเปนทจะไดลกบอลหมายเลขตางกนเทากบเทาใด(O-NET 49 / 2 คะแนน)

5. จากการสารวจนกเรยนกลมหนงจานวน 100 คน ไดขอมลวามนกเรยนทสวมรองเทาขนาดตางๆ ดงน

เบอรรองเทา จานวนนกเรยน5 36 127 358 279 1610 7

รวม 100 คน

เมอเลอกนกเรยน 1 คน จากนกเรยนกลมน ความนาจะเปนทจะเลอกไดนกเรยนสวมรองเทาเบอร 6 หรอเบอร 7 เทากบเทาใด (O-NET 49 / 2 คะแนน)

6. ความนาจะเปนทรางวลเลขทาย 2 ตว ของสลากกนแบงรฐบาลจะออกเลขทงสองหลกเปนเลขเดยวกนเทากบขอใดตอไปน (O-NET 50 / 2 คะแนน)1) 10

1 2) 102 3) 9

1 4) 92


7. โยนลกเตา 3 ลก ความนาจะเปนทลกเตาจะขนแตมคอยางนอย 1 ลก เทากบขอใดตอไปน(O-NET 50 / 3 คะแนน)1) 3

2 2) 85 3) 4

3 4) 87

8. จากการสารวจนกเรยนหองหนง จานวน 30 คน พบวา มนกเรยนไมชอบรบประทานปลา 12 คน และชอบรบประทานปลาหรอกง 23 คน ถาสมนกเรยนมา 1 คน ความนาจะเปนทจะไดนกเรยนทชอบรบประทานกงเพยงอยางเดยวมคาเทากบขอใดตอไปน (O-NET 50 / 3 คะแนน)1) 6

1 2) 51 3) 5

2 4) 53

9. แผนภาพ ตน-ใบ ของขอมลแสดงนาหนก (กโลกรม) ของนกเรยนกลมหนงเปนดงน

4 2 1 05 0 8 3 2 26 0 3 1 4

เมอสมเลอกนกเรยนมา 1 คน จากกลมน ความนาจะเปนทจะไดนกเรยนทมนาหนกนอยกวาฐานนยมของกลมมคาเทากบขอใดตอไปน (O-NET 50 / 3 คะแนน)1) 4

1 2) 31 3) 12

5 4) 21

เฉลย

1. 3) 2. 1) 3. 120 4. 0.8 5. 0.47 6. 1) 7. 4) 8. 1) 9. 2)


สถต

1. การวเคราะหขอมลเบองตนการวเคราะหขอมลเบองตน เปนการวเคราะหเพอทราบลกษณะโดยรวมของขอมลนนๆ ซงการวเคราะห

ขอมลเบองตนจะเกยวของกบการแจกแจงความถของขอมล การหาคากลางของขอมล และการหาคาการกระจายของขอมล

2. การแจกแจงความถของขอมลการแจกแจงความถ เปนวธการทางสถตอยางหนงทใชในการจดขอมลทมอยหรอขอมลทเกบรวบรวมมาได

ใหอยเปนพวกๆ เพอความสะดวกในการนาเสนอขอมลและวเคราะหขอมลเหลานน

ตวอยางตารางแจกแจงความถ

อนตรภาคชน ความถ ความถสะสม ความถสมพทธรอยละของความถ

สมพทธความถสะสมสมพทธ

รอยละของความถสะสมสมพทธ

1 - 5 2 2 202 = 0.1 0.1 × 100 = 10 20

2 = 0.1 0.1 × 100 = 10

6 - 10 5 7 205 = 0.25 0.25 × 100 = 25 20

7 = 0.35 0.35 × 100 = 35

11 - 15 3 10 203 = 0.15 0.15 × 100 = 15 20

10 = 0.5 0.5 × 100 = 50

16 - 20 2 12 202 = 0.1 0.1 × 100 = 10 20

12 = 0.6 0.6 × 100 = 60

21 - 25 4 16 204 = 0.2 0.2 × 100 = 20 20

16 = 0.8 0.8 × 100 = 80

26 - 30 4 20 204 = 0.2 0.2 × 100 = 20 20

20 = 1 1 × 100 = 100รวม N = 20 1 100

สงทควรรจากตารางแจกแจงความถ- อนตรภาคชน คอ ชวงคะแนนตางๆ เชน 1-5, 6-10 ฯลฯ

- ขอบลาง = 2คะแนนนอยทสดของชนนน + คะแนนมากทสดในชนทคะแนนตากวา 1 ชน

เชน ขอบลางของอนตรภาคชน 6 - 10 คอ 256 + = 5.5

- ขอบบน = 2คะแนนมากทสดของชนนน + คะแนนนอยทสดในชนทคะแนนสงกวา 1 ชน

เชน ขอบบนของอนตรภาคชน 6 - 10 คอ 21110 + = 10.5


- ความกวางของอนตรภาคชน = ขอบบน - ขอบลางเชน ความกวางของอนตรภาคชน 6 - 10 คอ 10.5 - 5.5 = 5

- จดกงกลางชน = 2ขอบบน + ขอบลาง = 2

ดของชนคะแนนตาสดของชนคะแนนสงส +

เชน จดกงกลางของอนตรภาคชน 6 - 10 คอ 25.510.5 + = 8

- ความถ คอ ตวเลขทแสดงจานวนขอมลในแตละอนตรภาคชน- ความถสะสม คอ ผลรวมของความถของอนตรภาคชนนนกบความถของอนตรภาคชนทมชวง-

คะแนนตากวาทงหมด

- ความถสมพทธ = จานวนขอมลทงหมด

ความถของอนตรภาคชนนน

- รอยละของความถสมพทธ = ความถสมพทธ × 100%

- ความถสะสมสมพทธ = จานวนขอมลทงหมด

ความถสะสมของอนตรภาคชนนน

- รอยละของความถสะสมสมพทธ = ความถสะสมสมพทธ × 100%

3. การแจกแจงความถโดยใชกราฟโดยทวไปการใชกราฟแสดงการแจกแจงความถของตวแปรสามารถทาใหเหนการกระจายของขอมลไดชด

เจนกวาการดจากตารางแจกแจงความถ กราฟทใชแสดงการแจกแจงความถ ไดแก1. ฮสโทแกรม2. แผนภาพตน-ใบ

4. การวดคากลางของขอมลคากลางของขอมล คอ ตวแทนของขอมลทงหมดทสามารถจะนาไปใชในการวเคราะหในการหาคากลางของขอมลมวธหาไดหลายวธ แตละวธตางกมทงขอดและขอเสย และมความเหมาะสมใน

การนาไปใชไมเหมอนกน ขนอยกบลกษณะของขอมลและวตถประสงคของผใชขอมลชนดนนๆ คากลางของขอมลทนยมใชมอย 3 ชนด คอ คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม


1. คาเฉลยเลขคณต ( x )

คาเฉลยเลขคณต ( x ) วธทา1. ขอมลทไมแจกแจงความถ สตร x = N

x∑

ตวอยาง จงหา x จากขอมล 2, 3, 3, 3, 4, 8, 10, 15

วธทา x = Nx∑

= 81510843332 +++++++

= 848 = 6

2. ขอมลทแจกแจงความถ สตร x = Nfx i∑

ตวอยาง จงหา x จากตารางแจกแจงความถทกาหนดใหคะแนนสอบ จานวนนกเรยน

1-56-10

11-1516-2021-2526-30

253244

วธทา

ixคะแนนสอบ จานวนนกเรยน

1-56-10

11-1516-2021-2526-30

253244

จดกงกลางชน ( )

3813182328

64039

112

3692

N = 20 325 fx i =∑

ifx

∴ x = Nfx i∑

= 20325 = 16.25


3. คณสมบตของคาเฉลย เลขคณต

1. Σ(x - a)2 มคานอยทสด เมอ a = x2. Σ(x - a) = 0 เมอ a = x3. Σx = N x4. คาเฉลยเลขคณตถวงนาหนก

x = w...wwwx...wxwx

n21nn2211

++++++

5. คาเฉลยเลขคณตรวม

รวมx = N...NNNx...NxNx

n21nn2211

++++++

ตวอยาง นกเรยนหองหนงมนกเรยนชาย 20 คน และะนกเรยนหญง 30 คน โดยนกเรยนชายสงเฉลย 172 เซนตเมตร และนกเรยนหญงสงโดย

เฉลย 152 เซนตเมตร จงหาความสงเฉลยของนกเรยนหองน

วธทา x รวม =21

2211NN

NxNx++

= 3020152(30)172(20)

++

= 5045603440 +

= 508000 = 160

ดงนน ความสงเฉลยของนกเรยนหองนเทากบ 160 เซนตเมตร4. ขอด 1. การคานวณหาไมยงยากและสามารถใชเครองคดเลขชวยการคานวณได

2. ใชขอมลทกตว3. เปนทแพรหลาย และสวนใหญใชเปนคากลางของขอมล

5. ขอเสย 1. ใชเฉพาะในกรณทขอมลเปนขอมลในเชงปรมาณเทานน2. คาทคานวณไดไมจาเปนตองเปนคาของขอมลตวใดตวหนงเสมอไป3. ถามขอมลในชดทแตกตางจากขอมลตวอนมากจะมผลตอคาเฉลยเลขคณตของ ขอมลชดน


2. มธยฐาน (Med) คอ คาของขอมลทมตาแหนงอยกงกลางระหวางขอมลทงหมด เมอไดเรยงขอมลจากนอยไปมาก

มธยฐาน (Med) วธทา1. ขอมลทไมแจกแจงความถ 1. เรยงลาดบขอมลจากนอยไปมาก

2. หาตาแหนงของมธยฐาน = 21N +

3. หาคามธยฐานจากตาแหนงตามขอ 2.ตวอยาง จงหามธยฐานจากขอมล 2, 3, 3, 3, 4, 8, 10, 15วธทา 1. เรยงขอมล 2, 3, 3, 3, 4, 8, 10, 15 2. หาตาแหนงของมธยฐาน = 2

18 + = 4.5

3. หาขอมลในตาแหนงท 4.5 ∴ มธยฐาน = 2

43 + = 3.5

2. ขอมลทแจกแจงความถ เกนขอบเขตเนอหา O-NET3. คณสมบตของมธยฐาน 1. Σ|x - a| มคานอยทสด เมอ a = มธยฐาน4. ขอด 1. จะเปนคาของขอมล ถามขอมลเปนจานวนค5. ขอเสย 1. ใชไดในกรณทขอมลเชงปรมาณเทานน

2. ถามขอมลเปนจานวนมาก การจดเรยงขอมลจะทาไดคอนขางยาก3. จะไมใชคาทแทจรงของขอมล ถาจานวนขอมลเปนจานวนค

3. ฐานนยม (Mode) คอ คาของขอมลทมความถสงสด

ฐานนยม (Mode) วธทา1. ขอมลทไมแจกแจงความถ ฐานนยม คอ ขอมลตวทซากนมากทสด ซงอาจมหลายคาหรอไมมเลยกได

ตวอยาง จงหาฐานนยม จากขอมล 2, 3, 3, 3, 4, 8, 10, 15วธทา 3 เปนขอมลทมความถสงสด ∴ ฐานนยม = 3

2. ขอมลทแจกแจงความถ เกนขอบเขตเนอหา O-NETหมายเหต ถาขอสอบถามจะถามวาขอมลสวนใหญอยในชวงใด

ใหตอบชวงอนตรภาคชนทมความถมากทสด3. ขอด 1. ใชไดกบขอมลเชงปรมาณและเชงคณภาพ

2. หาไดไมยากโดยการนบจานวนขอมลทมความถสงทสด3. สามารถหาไดงายจากตารางแจกแจงความถ แผนภมแทง แผนภมรปภาพและแผนภมวงกลม

4. ขอเสย 1. คาทไดมกจะไมคอยมความหมาย ถาขอมลมจานวนนอย2. ขอมลบางชดอาจจะมฐานนยมมากกวา 1 คา หรอขอมลบางชดอาจจะไมมฐานนยมกได


5. การวดการกระจายขอมลคาวดการกระจายเปนคาสถตทอธบายถงการกระจายของขอมลในชดขอมล ซงการวดการกระจายนอาจ

ทาไดหลายลกษณะดวยกนทสาคญ คอ การวดการกระจายดวยพสย สวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนการวดการกระจายมความสาคญ ในลกษณะททาใหตดสนใจเกยวกบความเชอถอไดของคาวดแนวโนมสสวนกลางไดดมากขน การวดการกระจายทสาคญ คอ

1. พสย คอ คาทใชวดการกระจายทไดจากผลตางระหวางขอมลทมคาสงสดและขอมลทมคาตาสด

พสย = Xmax - Xmin

การวดการกระจายโดยใชพสยมขอดทสามารถหาไดสะดวกและรวดเรว แตกมขอเสยเพราะการวดการกระจายโดยใชพสย เปนวธวดการกระจายอยางคราวๆ โดยหาไดจากการใชขอมลเพยงสองคาเทานน คาอนๆของขอมลไมไดถกนามาใชในการคานวณเลย

2. สวนเบยงเบนมาตรฐานการวดการกระจายของขอมลโดยใชสวนเบยงเบนมาตรฐาน เปนวธการวดการกระจายทใชขอมลทกคา

มาคานวณโดยหาไดจากสตร คอ

S = N)x (x

N

1 i2

i∑=

-

สวนเบยงเบนมาตรฐานมสมบตทสาคญ ดงน1. สวนเบยงเบนมาตรฐานมคาเปนบวกเสมอ และมหนวยเดยวกบคาของขอมล2. ถาขอมลทกตวมคาเทากนหมด จะไดวาสวนเบยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 03. ถาคานวณหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน โดยใชคากลางของขอมลชนดอนทไมใชคาเฉลยเลขคณต คาของ

สวนเบยงเบนมาตรฐานทไดจะมคามากกวาสวนเบยงเบนมาตรฐานทใชคาเฉลยเลขคณตเสมอ4. กาลงสองของสวนเบยงเบนมาตรฐาน เรยกวา ความแปรปรวน เขยนแทนดวยสญลกษณ S2 และ

S2 = N)x (x

N

1 i2

i∑=

- โดยคาความแปรปรวนไมมหนวย


6. ความสมพนธระหวางการแจกแจงความถ คากลาง และการ-กระจายของขอมลลกษณะของการกระจายของขอมลอาจแบงได 3 แบบ คอ

1. การกระจายแบบสมมาตร

= Med = ModeX

2. การกระจายทเบทางขวา

Mode < Med < X

3. การกระจายทเบทางซาย

< Med < ModeX

7. การวดตาแหนงของขอมลควอรไทล (Q) คอ ตาแหนงขอมลทแบงขอมลออกเปน 4 สวนเทาๆ กน เมอเรยงขอมลจากนอยไปหามากเดไซล (D) คอ ตาแหนงขอมลทแบงขอมลออกเปน 10 สวนเทาๆ กน เมอเรยงขอมลจากนอยไปหามากเปอรเซนไทล (P) คอ ตาแหนงขอมลทแบงขอมลออกเปน 100 สวนเทาๆ กน เมอเรยงขอมลจากนอยไป

หามากการหาควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทลของขอมลทไมแจกแจงความถวธการหาเหมอนกบการหามธยฐานของขอมลทไมแจกแจงความถ กลาวคอ1. เรยงลาดบขอมลจากนอยไปมาก2. หาตาแหนง

ตาแหนง Qr = 41)r(N +

Dr = 101)r(N +

Pr = 1001)r(N +

3. หาคาทตองการจากตาแหนงทหาไดในขอ 2.

8. แผนภาพกลองแผนภาพกลอง เปนการนาขอมลทมคาตาสด ขอมลทมคาสงสด ควอรไทลท 1 ควอรไทลท 2 และควอรไทล

ท 3 มาสรางเปนแผนภาพ จากแผนภาพกลองจะทาใหเราทราบถงลกษณะการกระจายของขอมลได



1. แผนภาพตน-ใบ แสดงคะแนนสอบขอเขยน ดงน

2 93 0 4 94 0 7 95 0 0 1 2 2 3 4 4 4 4 5 6 7 8 8 96 0 1 3 4 4 9 9 97 0 1

บรษทตองการคดเลอกผทคะแนนสงกวาเปอรเซนไทลท 60 ไวสอบสมภาษณ จงหาคะแนนสงสดของผทไมผานการคดเลอก1) 55 2) 56 3) 57 4) 58

2. คะแนนสอบปลายภาคเรยนของนกเรยนหองหนง จานวน 27 คน เรยงจากนอยไปมากเปนดงน18 22 32 33 33 36 37 38 42 4444 47 48 51 51 54 56 56 60 6772 72 83 84 84 93 94

จงหาวานกเรยนจะตองสอบไดกคะแนนจงจะมผทสอบไดคะแนนมากกวาอยประมาณ 7 ใน 103. ในการสอบครงหนง คะแนนสอบของนาย ก เทากบ 70 คะแนน ปรากฏวาตรงกบเปอรเซนไทลท 75 จงหา

วาผเขาสอบครงนกคนทมคะแนนนอยกวาหรอเทากบ 70 คะแนน ถาในการสอบครงนมผเขาสอบทงหมด59 คน

4. ให x1, x2, ..., x10 เปนขอมล 10 จานวนดงน 2, 4, 6, 7, a, b, 12, 12, 12, 19 โดยท a, b เปนจานวนจรงซง a ≠ b ถาฐานนยมของขอมลชดนเทากบ b และคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบ 9.5 แลว

∑=

10

1ii |c x| - มคานอยทสด เมอ c มคาเทากบเทาใด

1) 9 2) 9.5 3) 10 4) 10.55. กาหนดให x1, x2, ..., x10 มคาเปน 5, 6, a, 7, 10, 15, 5, 10, 10, 9 ตามลาดบ โดยท a < 15 ถาพสย

ของขอมลชดนเทากบ 12

b เปนจานวนจรงททาให ∑=

10

1i2

i b) (x - มคานอยทสด และ

c เปนจานวนจรงททาให ∑=

10

1ii |c x| - มคานอยทสด แลว a + b + c มคาเทาใด


6. ขอมลชดหนงม 4 จานวน เรยงจากนอยไปมากดงนx1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ x4 โดยท x1 = 3

ถาขอมลชดนมมธยฐานเทากบฐานนยม เทากบ 5 และ ∑=

4

1i2a) (x - มคานอยทสดเมอ a = 5.5 แลว พสย

ของขอมลชดนเทากบเทาใด1) 3 2) 4 3) 5 4) 6

7. ในการสอบครงหนงมผเขาสอบ 3 คน ปรากฏวา คาเฉลยเลขคณตเทากบ 67 มธยฐานเทากบ 65 และพสยเทากบ 16 จงหาวาผทสอบไดคะแนนสงสดไดคะแนนเทากบเทาใด

8. นกเรยนกลมหนงมอาย 14, 15, 15, 14, 13, 16 และ x ป อก 2 ปขางหนาอายเฉลยของนกเรยนกลมนเทากบ 16 ป จงหาวา x ตรงกบขอใด1) 11 2) 13 3) 23 4) 25

9. คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยน 10 คน เทากบ 72 คะแนน ถาคะแนนของนกเรยน 8 คนเปนดงน 39, 46, 54, 70, 83, 86, 93, 99 สวนคะแนนของนกเรยน 2 คน ครทาหาย แตปรากฏวานกเรยน2 คนนมคะแนนตางกน 4 คะแนน ดงนนมธยฐานของคะแนนสอบของนกเรยน 10 คนนเทากบเทาใด1) 69 2) 72.5 3) 75 4) 76.5

10. ขอมลชดหนงม 10 จานวน เมอเรยงขอมลจากนอยทสดไปหาคามากทสด ไดคาของขอมลตาแหนงท 6 เปน55 และคานวนคาเฉลยเลขคณตไดเทากบ 60 คามธยฐานเทากบ 50 ตอมาพบวามการบนทกขอมลผดพลาดโดยคาของขอมลในตาแหนงท 6 ทแทจรงเปน 60 ถาแกขอมลใหถกตองแลว ผลตางระหวางคาเฉลยเลขคณตและคามธยฐานของขอมลชดนทถกตอง มคาเทากบเทาใด1) 5 2) 7 3) 8 4) 10

11. ในการคานวณคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดหนง ปรากฏวาไดผลลพธเปน 9 แตตอมาตรวจพบวามขอมลตวหนงผด คอ 1.0 ถกอานผดเปน 10 จงคานวณใหม และไดคาเฉลยเลขคณตเปน 8.91 จงหาจานวนขอมลทงหมดขอมลชดนวามกจานวน1) 50 2) 100 3) 150 4) 200

12. สมศรซอเงาะ 5 กโลกรม ราคากโลกรมละ 15 บาท มงคด 6 กโลกรม ราคากโลกรมละ 20 บาท ทเรยน9 กโลกรม ราคากโลกรมละ 25 บาท สมศรซอผลไมโดยเฉลยกโลกรมละเทาใด1) 21 บาท 2) 22 บาท 3) 23 บาท 4) 24 บาท

13. ครคณตศาสตรไดรายงานผลการสอบยอยของนกเรยน 3 กลม ดงน

กลมท 1 กลมท 2 กลมท 3คะแนนเฉลย 15 12 13จานวนนกเรยน 10 8 x

ถาคะแนนเฉลยของวชาคณตศาสตรเทากบ 13.4 จานวนนกเรยนกลมท 3(x) มคาเทากบเทาใด1) 8 2) 10 3) 12 4) 14


14. บรษทแหงหนงจาแนกลกจางเปน 2 กลม คอ คนงานและพนกงาน โดยทคนงานมคาจางรายวนเฉลย 120บาทตอคน พนกงานมคาจางรายวนเฉลย 440 บาทตอคน ถาจานวนคนงานเปน 3 เทาของจานวนพนกงานแลวลกจางของบรษทนมคาจางรายวนเฉลยตอคนเทากบเทาใด1) 200 2) 266 3) 288 4) 360

15. คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนงเปน 43 คะแนน ถาคดคาเฉลยเลข-คณตของคะแนนสอบของนกเรยนชายและหญงแยกกนจะไดเปน 45 และ 40 คะแนน ตามลาดบ แลวอตรา-สวนระหวางจานวนนกเรยนชายและนกเรยนหญงเทากบเทาใด1) 2 : 3 2) 2 : 5 3) 3 : 2 4) 3 : 5

16. จากขอมลในตารางตอไปน

จานวนวนทหยด จานวนนกเรยน0-2 83-5 126-8 109-11 012-14 10

จงหาคาเฉลยเลขคณต17. ในการชงนาหนกกระเปาเดนทาง 4 ใบ ปรากฏวาไดนาหนกเปน 15.5, 14.8, 14.5 และ 15.2 กโลกรม ถา

ชงนาหนกกระเปาเดนทาง 4 ใบนรวมกบกระเปาเดนทางอกใบหนงไดคาเฉลยเลขคณตของนาหนกของกระเปา 5 ใบนเปน 16 กโลกรม แลวมธยฐาน และความแปรปรวนของนาหนกของกระเปาเดนทางทง 5 ใบนมคาเทากบเทาใด1) 15, 4.58 2) 15.2, 4.58 3) 15, 4.116 4) 15.2, 4.116

18. ขอมลชดหนงประกอบดวยคาสงเกต 6, 5, 4, 3, 7, 3, 4 และ a ถา ∑=

8

1i2

i M) (x - มคานอยทสด เมอ

M = 4 แลว ความแปรปรวนของขอมลชดนมคาเทากบเทาใด

19. ขอมลชดหนงม 5 จานวน มฐานนยม มธยฐาน และคาเฉลยเลขคณตเปน 15, 16 และ 17 ตามลาดบ และพสยของขอมลชดนเทากบ 5 ความแปรปรวนของขอมลชดนเทากบเทาใด1) 5

31 2) 524 3) 5

22 4) 519


20. กาหนดให ขอมลชดท 1 คอ -2, 3, -2, -1, 6, 4, -5, 7ขอมลชดท 2 คอ y1, y2, ..., y8

และ yi = axi เมอ xi เปนขอมลในชดท 1 โดยท a < -1จงพจารณาขอความตอไปน

ก. คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1 มากกวาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 2ข. สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดท 1 มากกวาสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดท 2

ขอใดตอไปนถก1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด

เฉลย

1. 3) 2. 39.6 3. 45 4. 4) 5. 19 6. 4) 7. 76 8. 1) 9. 3) 10. 3)11. 2) 12. 1) 13. 3) 14. 1) 15. 3) 16. 6.4 17. 4) 18. 4 19. 3) 20. 2)



1. ถาขอมลชดหนงประกอบดวย 10, 12, 15, 13 และ 10 ขอความในขอใดตอไปนเปนเทจ สาหรบขอมลชดน(O-NET 49 / 2 คะแนน)1) มธยฐาน เทากบ 12 2) ฐานนยม นอยกวา 123) ฐานนยม นอยกวา คาเฉลยเลขคณต 4) คาเฉลยเลขคณต มากกวา 12

2. เมอพจารณาผลการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 39 คน พบวาเปอรเซนไทลท 25 ของคะแนนสอบเทากบ 35 คะแนน และมนกเรยน 30 คน ไดคะแนนนอยกวาหรอเทากบ 80 คะแนน ถามนกเรยนทสอบได35 คะแนนเพยงคนเดยว แลวจานวนนกเรยนทสอบไดคะแนนในชวง 35-80 คะแนน เทากบขอใดตอไปน(O-NET 49 / 2 คะแนน)1) 18 คน 2) 19 คน 3) 20 คน 4) 21 คน

3. ตารางแสดงนาหนกของนกเรยนจานวน 50 คน เปนดงน

นาหนก (กโลกรม) จานวน (คน)30-39 440-49 550-59 1360-69 1770-79 680-89 5

ขอสรปในขอใดตอไปนไมถกตอง (O-NET 49 / 3 คะแนน)1) นกเรยนกลมนสวนใหญมนาหนก 60-69 กโลกรม2) นกเรยนทมนาหนกตากวา 50 กโลกรม ม 9 คน3) นกเรยนทมนาหนกในชวง 50-59 กโลกรม ม 26%4) นกเรยนทมนาหนกมากกวา 80 กโลกรม ม 10%

4. ครอบครวหนงมบตร 4 คน บตร 2 คนมนาหนกเทากนและมนาหนกนอยกวาบตรอก 2 คน ถานาหนกของบตรทง 4 คนมคาฐานนยม มธยฐาน และพสยเทากบ 45, 47.5 และ 7 กโลกรมตามลาดบ แลวคาเฉลยเลขคณตของนาหนกของบตรทง 4 คน มคาเทากบขอใดตอไปน (O-NET 49 / 3 คะแนน)1) 46 กโลกรม 2) 47 กโลกรม 3) 48 กโลกรม 4) 49 กโลกรม

5. ถาในป พ.ศ. 2547 คาเฉลยเลขคณตของอายพนกงานของบรษทแหงหนงเทากบ 23 ป ในปตอมาบรษทไดรบพนกงานเพมขนอก 20 คน ทาใหคาเฉลยเลขคณตของอายพนกงานในป พ.ศ. 2548 เทากบ 25 ป และผลรวมของอายของพนกงานเพมขนจากป พ.ศ. 2547 อก 652 ป เมอสนป พ.ศ. 2548 บรษทแหงนมพนกงานทงหมดจานวนเทากบขอใดตอไปน (O-NET 49 / 3 คะแนน)1) 76 คน 2) 96 คน 3) 326 คน 4) 346 คน


6. ถานาหนก (คดเปนกโลกรม) ของนกเรยน 2 กลม กลมละ 6 คน เขยนเปนแผนภาพ ตน-ใบ ไดดงน

นกเรยนกลมท 1 นกเรยนกลมท 28 6 4 3 4 98 6 6 4 2 2 4

5 0

ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง (O-NET 49 / 3 คะแนน)1) นาหนกเฉลยของนกเรยนกลมท 2 มากกวานาหนกเฉลยของนกเรยนกลมท 12) ฐานนยมของนาหนกของนกเรยนกลมท 2 มากกวาฐานนยมของนาหนกของนกเรยนกลมท 13) มธยฐานของนาหนกของนกเรยนกลมท 2 มากกวามธยฐานของนาหนกของนกเรยนกลมท 14) มธยฐานของนาหนกของนกเรยนทงหมด มากกวามธยฐานของนาหนกของนกเรยนกลมท 1

7. มขอมล 5 จานวนซงเรยงจากนอยไปมาก คอ x1, x2, x3, x4, x5 โดยม x1 = 7 คาเฉลยเลขคณตเทากบ x และความแปรปรวนเทากบ 16 ถากาหนดตารางแสดงคาของ xi - x ดงน

i xi - x1 7 - x2 -33 -14 35 6

แลวคาของ x เทากบขอใดตอไปน (O-NET 49 / 3 คะแนน)1) 10 2) 10.5 3) 12 4) 12.5

8. จากแผนภาพกลองของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน จาแนกตามเพศเปนดงน

คะแนนสอบของนกเรยนหญงคะแนนสอบของนกเรยนชาย

100คะแนนสอบ0

ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง (O-NET 49 / 3 คะแนน)1) คะแนนสอบเฉลยวชาคณตศาสตรของนกเรยนชายสงกวาคะแนนสอบเฉลยวชาคณตศาสตรของนกเรยน

หญง2) คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชายมการกระจายเบขวา3) คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญงมการกระจายมากกวาคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของ

นกเรยนชาย4) คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญงมการกระจายเบขวา


9. ขอมลชดหนงม 10 จานวนประกอบดวยจานวนตอไปน4, 8, 8, 9, 14, 15, 18, 18, 22, 25

ควอรไทลทสามของขอมลชดนมคาเทากบเทาใด (O-NET 49 / 2 คะแนน)10. ขอมลชดหนงประกอบดวย 19 จานวน ตอไปน

6 8 9 12 12 15 15 16 18 1920 20 21 22 23 24 25 30 30

ควอรไทลท 3 มคาตางจากเปอรเซนไทลท 45 เทากบขอใดตอไปน (O-NET 50 / 2 คะแนน)1) 4 2) 5 3) 6 4) 7

11. ผลการสอบวชาคณตศาสตรของนายคณต ในชนมธยมศกษาปท 4 เปนดงน

รหสวชา ค41101 ค42101 ค41102 ค41202จานวนหนวยกต 1 1.5 1 1.5

เกรด 2.5 3 3.5 2

เกรดเฉลยของวชาคณตศาสตรของนายคณต ในชนมธยมศกษาปท 4 เทากบขอใดตอไปน(O-NET 50 / 2 คะแนน)1) 2.60 2) 2.65 3) 2.70 4) 2.75

12. อายเฉลยของคนกลมหนงเทากบ 31 ป ถาอายเฉลยของผหญงในกลมนเทากบ 35 ป และอายเฉลยของผชายในกลมนเทากบ 25 ป แลว อตราสวนระหวางจานวนผหญงตอจานวนผชายในกลมเทากบขอใดตอไปน(O-NET 50 / 2 คะแนน)1) 2 : 3 2) 2 : 5 3) 3 : 2 4) 3 : 5

13. ความสมพนธระหวางกาไร (y) และราคาทน (x) ของสนคาในรานแหงหนงเปนไปตามสมการ y = 2x - 30ถาราคาทนของสนคา 5 ชนด คอ 31, 34, 35, 36 และ 39 บาท แลว คาเฉลยเลขคณตของกาไรในการขายสนคา 5 ชนดน เทากบขอใดตอไปน (O-NET 50 / 2 คะแนน)1) 25 บาท 2) 30 บาท 3) 35 บาท 4) 40 บาท

14. ตารางแจกแจงความถ แสดงจานวนนกเรยนในชวงอายตางๆ ของนกเรยนกลมหนงเปนดงน

ชวงอาย (ป) ความถ (คน)1-56-1011-1516-20

4925

อายเฉลยของนกเรยนกลมน เทากบขอใดตอไปน (O-NET 50 / 2 คะแนน)1) 9 ป 2) 9.5 ป 3) 10 ป 4) 10.5 ป

15. กาหนดใหขอมลชดหนง คอ 10, 3, x, 6, 6 ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน มคาเทากบมธยฐาน แลว xมคาเทากบขอใดตอไปน (O-NET 50 / 2 คะแนน)1) 3 2) 4 3) 5 4) 6


16. กาหนดใหตารางแจกแจงความถสะสมของคะแนนของนกเรยนหองหนง เปนดงน

ชวงคะแนน ความถสะสม30-3940-4950-5960-69

1111820

ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง (O-NET 50 / 3 คะแนน)1) นกเรยนทไดคะแนน 40-49 คะแนน มจานวน 22%2) นกเรยนสวนใหญไดคะแนน 60-69 คะแนน3) นกเรยนทไดคะแนนมากกวา 53 คะแนน มจานวนนอยกวา นกเรยนทไดคะแนน 40-49 คะแนน4) นกเรยนทไดคะแนนนอยกวา 47 คะแนน มจานวนมากกวา นกเรยนทไดคะแนนมากกวา 50 คะแนน

17. ขอมลชดหนงม 5 จานวน ถาควอรไทลทหนง ควอรไทลทสอง และควอรไทลทสาม เทากบ 18, 25 และ 28ตามลาดบ แลวคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบขอใดตอไปน (O-NET 50 / 3 คะแนน)1) 23.4 2) 23.7 3) 24.0 4) 24.3

18. เมอสองปกอน นกเรยนหองหนงม 30 คน แบงออกไดเปนสองกลม กลมทหนงม 10 คน ทกคนมอาย 10 ปและกลมทสองม 20 คน มอายเฉลย 8.5 ป ถาความแปรปรวนของอายนกเรยนในกลมทสอง เทากบ 0 แลวในปจจบน ความแปรปรวนของอายนกเรยนหองนเทากบขอใดตอไปน (O-NET 50 / 3 คะแนน)1) 2

1 2) 32 3) 2

5 4) 38

19. จากการทดสอบนกเรยนจานวน 100 คนใน 2 รายวชา แตละรายวชามคะแนนเตม 150 คะแนน ถาผลการทดสอบทงสองรายวชา เขยนเปนแผนภาพกลองไดดงน

0 20 40 60 80 100 120 140

คะแนนสอบรายวชาท 1

คะแนนสอบรายวชาท 2

แลว ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง (O-NET 50 / 3 คะแนน)1) คะแนนสอบทงสองรายวชามการแจกแจงแบบปกต2) จานวนนกเรยนทไดคะแนนไมเกน 80 คะแนน ในรายวชาท 1 มากกวา จานวนนกเรยนทไดคะแนนไมเกน

80 คะแนน ในรายวชาท 23) คะแนนสงสดทอยในกลม 25% ตาสด ของผลการสอบรายวชาท 1 นอยกวา คะแนนสงสดทอยในกลม

25% ตาสด ของผลการสอบรายวชาท 24) จานวนนกเรยนทไดคะแนนระหวาง 60-80 คะแนน ในการสอบรายวชาท 2 นอยกวาจานวนนกเรยนท

ไดคะแนนในชวงเดยวกน ในการสอบรายวชาท 1


เฉลย

1. 4) 2. 4) 3. 4) 4. 3) 5. 2) 6. 1) 7. 3) 8. 1) 9. 19 10. 2)11. 3) 12. 3) 13. 4) 14. 3) 15. 3) 16. 3) 17. 1) 18. 1) 19. 3)

Documents

01 O NET 1 - · PDF fileคณิตศาสตร (2)_____ โครงการแบรนด ซัมเมอร แคมป 2008