Perbandingan Sudut yang Berelasi | 1

A. Rumus Perbandingan Sudut yang Berelasi

Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut α adalah sudut (90° ± α),

(180° ± α), (360° ± α), dan -α°. Dua buah sudut yang berelasi ada yang

diberi nama khusus, misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut α° dengan

(90° - α) dan pelurus (suplemen) untuk sudut α° dengan (180°-α).

Contoh: penyiku sudut 50° adalah 40°, pelurus sudut 110° adalah 70°.

1. Perbandingan trigonometri untuk sudut α dengan (90° - α).

Gambar 8. Sudut yang Berelasi di Kuadran I

Dari gambar 8 diketahui Titik P1 (x1,y1) adalah bayangan dari P (x,y) akibat

pencerminan garis y=x , sehingga diperoleh:

a. ∠XOP=α dan∠ XOP1=90 °−α

b. x1=x , y 1= y dan r1=r

Dengan menggunakan hubungan diatas diperoleh:

a. sin (90−α )=y1

r1= xr=cosα

b. cos ( 90−α )=x1

r1= yr=sinα

c. tan ( 90−α )=y1

x1= xy=cotα

Perbandingan Sudut yang Berelasi | 2

Dengan perbandingan tersebut, kita peroleh:

a . sin(90°−α )=cosα d . csc(90 °−α )=sec α

b .cos (90 °−α )=sin α e . sec(90 °−α)=cosec α

c . tan (90°−α)=cotα f . cot(90°−α )=tan α

2. Perbandingan trigonometri untuk sudut α dengan (180° - α).

Gambar 9 . Sudut yang Berelasi di Kuadran II

Dari gambar 9 diketahui Titik P1 (x1,y1) adalah bayangan dari P (x,y) akibat

pencerminan terhadap sumbu y, sehingga diperoleh:

a. ∠XOP=α dan∠ XOP1=180 °−α

b. x1=−x , y 1= y dan r 1=r

Dengan menggunakan hubungan diatas diperoleh:

a. sin (180−α )=y1

r1= yr=sinα

b. cos (180−α )=x1

r1=−xr

=−cosα

c. tan (180−α )=y1

x1= y

−x=−tan α

Dengan perbandingan tersebut, kita peroleh:

a . sin(180 °−α)=sinα d .csc(180 °−α)=csc α

b .cos (180 °−α )=−cosα e . sec (180°−α )=−sec α

c . tan (180°−α )=− tanα f .cot (180 °−α )=−cot α

3. Perbandingan trigonometri untuk sudut α dengan (180° + α).

Perbandingan Sudut yang Berelasi | 3

Gambar 10 . Sudut yang Berelasi di Kuadran III

Dari gambar 10 diketahui Titik P1 (x1,y1) adalah bayangan dari P (x,y) akibat

pencerminan terhadap garis y=−x, sehingga diperoleh:

a. ∠XOP=α dan∠ XOP1=180 °+α

b. x1=−x , y 1=− y dan r 1=r

Dengan menggunakan hubungan diatas diperoleh:

a. sin (180+α )=y1

r 1=− yr

=−sinα

b. cos (180+α )=x1

r1=−xr

=−cosα

c. tan (180+α )=y1

x1=− y

−x=tan α

Dengan perbandingan tersebut, kita peroleh:

a . sin (180 °+α )=−sinα d . csc (180 °+α )=−csc α

b .cos (180 °+α )=−cos α e . sec (180 °+α )=−sec α

c . tan (180°+α )=tan α f .cot (180 °+α )=cot α

4. Perbandingan trigonometri untuk sudut α dengan – α.

Gambar 11. Sudut yang Berelasi di Kuadran IV

Perbandingan Sudut yang Berelasi | 4

Dari gambar 11 diketahui Titik P1 (x1,y1) adalah bayangan dari P (x,y) akibat

pencerminan terhadap sumbu x, sehingga diperoleh:

a. ∠XOP=α dan∠ XOP1=−α

b. x1=x , y 1=− y dan r 1=r

Dengan menggunakan hubungan diatas diperoleh:

a. sin (−α )=y1

r 1=− yr

=−sin α

b. cos (−α )=x1

r1= xr=cos α

c. tan (−α )=y1

x1=− yx

=−tan α

Dengan perbandingan tersebut, kita peroleh:

a . sin (−α )=−sin α d .csc (−α )=−csc α

b .cos (−α )=cosα e . sec (−α )=secα

c . tan (−α )=−tan α f .cot (−α )=−cotα

Relasi α dengan (−α )tersebut identik dengan relasi α dengan (360 °−α). Misalnya

sin (360 °−α).= −sin α .

Dengan memperhatikan nilai perbandingan sudut yang berelasi, dapat

disimpulkan bahwa nilai perbandingan sudut, nilai positif atau negatifnya terletak

pada kuadran dimana sudut itu berada.

Gambar 12. Kuadran di koordinat kartesius

Perbandingan Sudut yang Berelasi | 5

Untuk menghafalkannya, dapat digunakan kalimat : “semua sindikat tangan

kosong”, yang artinya nilai perbandingan trigonometri positif di:

Kuadran I : semua ( sinus, cosinus, tangen, cosecan, cotangen, secan).

Kuadran II : sinus dan cosecan.

Kuadran III : tangen dan cotangen.

Kuadran IV : cosinus dan secan.