26
MAKALAH “Logisisme, Formalisme,dan Intuisionisme dalam Filsafat Matematika” Nama Kelompok : - Dian Ayu Karunia - Lesya Monica - Nur Fauzyah - Nungky Dwi Kusuma 1

mathematicaww.files.wordpress.com file · Web viewMakalah ini disusun memenuhi tugas presentasi mata kuliah Filsafat Sejarah Matematika yang berisikan tentang informasi “Logisme,

  • Upload
    buique

  • View
    226

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: mathematicaww.files.wordpress.com file · Web viewMakalah ini disusun memenuhi tugas presentasi mata kuliah Filsafat Sejarah Matematika yang berisikan tentang informasi “Logisme,

MAKALAH

“Logisisme, Formalisme,dan Intuisionisme dalam Filsafat Matematika”

Nama Kelompok :

- Dian Ayu Karunia- Lesya Monica- Nur Fauzyah- Nungky Dwi Kusuma

UNIVERSITAS PANCASAKTI TEGAL

1

Page 2: mathematicaww.files.wordpress.com file · Web viewMakalah ini disusun memenuhi tugas presentasi mata kuliah Filsafat Sejarah Matematika yang berisikan tentang informasi “Logisme,

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya kepada kami sehingga kamin berhasil menyelesaikan Makalah ini yang alhamdulillah tepat pada waktunya yang berjudul “Logisme, Formalisme,dan Intuisionisme dalam Filsafat Matematika”

Makalah ini disusun memenuhi tugas presentasi mata kuliah Filsafat Sejarah Matematika yang berisikan tentang informasi “Logisme, Formalisme,dan Intuisionisme dalam Filsafat Matematika” kami menyadari bahwa Makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan Makalah ini.

Akhir kata kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita. Amin.

2

Page 3: mathematicaww.files.wordpress.com file · Web viewMakalah ini disusun memenuhi tugas presentasi mata kuliah Filsafat Sejarah Matematika yang berisikan tentang informasi “Logisme,

DAFTAR ISI

Kata Pengantar .......................................................................................................................................ii

BAB 1 PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG.........................................................................................................4B. RUMUSAN MASALAH.....................................................................................................4

BAB 2 PEMBAHASAN

A. LOGISISME........................................................................................................................5B. INTUISIONISME DAN FORMALISME..........................................................................7

a) Intuisionisme.................................................................................................................7b) Formalisme..................................................................................................................10

BAB 3 PENUTUP

A.KESIMPULAN.....................................................................................................................17

3

Page 4: mathematicaww.files.wordpress.com file · Web viewMakalah ini disusun memenuhi tugas presentasi mata kuliah Filsafat Sejarah Matematika yang berisikan tentang informasi “Logisme,

BAB 1

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Filsafat matematika adalah cabang dari filsafat untuk mencerninkan danmeliputi sifat alami matematika. Filsafat matematika meliputi pernyataan-pernyataanseperti apa yang merupakan dasar untuk pengetahuan matematika? Apa sifatkebenaran matematika? Apa ciri-ciri dari kebenaran matematika? Apa pertimbanganatas peryataan berikut? Mengapa kebenaran matematika, kebenarannya diperlukan?Filsafat matematika adalah cabang dari filsafat yang mengkaji anggapananggapanfilsafat, dasar-dasar, dan dampak-dampak matematika. Tujuan dari filsafatmatematika adalah untuk memberikan rekaman sifat dan metodologi matematika danuntuk memahami kedudukan matematika di dalam kehidupan manusia.Matematika adalah bahasa yang melambangkan serangkaian makna daripernyataan yang ingin kita sampaikan, lambang-lambang matematika bersifatartifisial yang baru mempunyai arti setelah sebuah makna diberikan padanya, tanpaitu maka matematika hanya merupakan kumpulan rumus-rumus yang mati.Filsafat pendidikan adalah pemikiran-pemikiran filsafati tentang pendidikan.Dapat mengkonsentrasikan pada proses pendidikan, dapat pula pada ilmu pendidikan.Jika mengutamakan proses pendidikan, yang dibicarakan adalah cita-cita, bentuk danmetode serta hasil proses belajar itu. Jika mengutamakan ilmu pendidikan maka yangmenjadi pusat perhatian adalah konsep, ide dan metode yang digunakan dalammenelaah ilmu pendidikan. Filsafat pendidikan matematika termasuk filsafat yangmembicarakan proses pendidikan matematika.

Dalam filsafat matematika mengenal pandangan-pandangan Logisme, Formalisme, Intuisionisme filsafat Matematika ini berupaya untuk mengemukakan secara ringkas pandangan-pandangan filosofis utama yang telah mendominasi perdebatan pada awal abad lalu dan masih menjadi beban wacana dalam literatur masa kini.

B. RUMUSAN MASALAHa. Apa aja sifat-sifat umum logisisme?b. Menjelaskan Pokok gagasan dari pandangan Fregec. Menyebutkan Prinsip Humed. Menjelaskan pokok-pokok Pokok-pokok Ruselle. Menjelaskan sifat-sifat umum positivisme logisf. Menyebutkan dua thesis dari neo-logisismeg. Menjelaskan sifat sifat umum Formalismeh. Menjelaskan Formalisme Istilahi. Menjelaskan Formalisme permainanj. Menjelaskan sifat-sifat umum dari intisonisme

4

Page 5: mathematicaww.files.wordpress.com file · Web viewMakalah ini disusun memenuhi tugas presentasi mata kuliah Filsafat Sejarah Matematika yang berisikan tentang informasi “Logisme,

BAB IIPEMBAHASAN

A. LOGISISME

Logisisme memandang bahwa matematika bersifat analitik. Beberapa tokoh menyakini sekurang – kurangnya bagian dalam matematika dapat direduksi dengan logika. Gagasannya yaitu bahwa konsep- konsep, objek- objek dalam matematika dapat diperoleh dari prinsip logika. Sehingga pandangan ini disebut logisime. Tokoh yang menganut paham logisisme contohnya adalah, Gottlob Frege.

a. Gottlob Frege.

Suatu pernyataan bersifat analitik jika ia suatu hukum logika umum atau definisi, atau jika ia mempunyai bukti yang bersandar pada hukum hukum logika dan definisi definisi demikian. Frege menganut pandangan bahwa untuk setiap pernyataan tentang bilangan –bilangan asli atau bilangan –bilangan real ,pernyataan itu atau negasinya bersifat dapat diketahuai. Dia juga memandang bahwa pernyataan – pernyataan dalam matematika memiliki nilai- nilai kebenaran yang objektif. Prinsip huge dalam frege berbunyi : untuk sebaran konsep- konsep hanya jika F,G bilangan dari F adalah identik dengan bilangan dari G jika dan hanya jika F dan G adalah sama banyak. Frege menunjukan bangaimana pronsip Huge disimpulkan dari definisi – definisi dan beberapa ciri umum ekstensi- ekstensi. Dalam teorema Frege ini melengkapi penurunan aritmatika, dan pengkuhan logisisme untuk bilangan- bilangan asli dengan syarat bahwa defini tersebut adalah benar. Berdasarkan asumsi ini frege berhasil menunjukan bahwa aritmatika bersifat analitik. Logisisme bersifat non- starter , bagi Frege bilangan- bilangan asli ada sebagai objek- objek yang independen.

Frege tidak memperluas logisisme dalam geometri. Prinsip – prinsip geometri Euclid bersifat sintetik apriori. Frege meyakini bahwa geometri memiliki suatu bidangan kajian non universal yang khusus ruang.

b. Bertrand Russell

Rusell memandang bahwa penjelasan Frege tentang bilangan- bilangan asli pada substansinya sudah benar.Untuk melihat paradoks Russsell diperoleh kita harus terlebih dahulu melihat bahwa beberapa konsep berlaku pada himpunan – himpunan ,dan ekstensi- ekstensi dari konsep- konsep itu adalah himpunan – himpunan yang memuat himpunan – himpunan sebagai elemen-elemennya. Paradoks russell dapat di anggapkan timbul ari asumsi bahwa jika kita mungkin mengumpulkan beberapa objek-objek itu sudah ada.

Bertrand Russel berhasil memperlihatkan bahwa dua buah klaim aliranlogisisme berikut dapat diselesikan dengan logika (Sukardjono, 2000) yaitu (1)seluruh konsep matematika secara mutlak dapat direduksi ke dalam konsep logika,tercakup dalam konsep teori himpunan atau beberapa sistem yang kekuatannyasama, seperti Teori Type dan (2) seluruh kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma dan aturan-aturan inferensi dalam logika.

5

Page 6: mathematicaww.files.wordpress.com file · Web viewMakalah ini disusun memenuhi tugas presentasi mata kuliah Filsafat Sejarah Matematika yang berisikan tentang informasi “Logisme,

c. Carnap dan Positivisme Logis

Aliran positivisme logis bertolak pada kesuksesan spektakuler sain-sain alam dan perkembangan logika matematis. Mill memandang bahwa kebenaran-kebenaran matematika diketahui secara empirik dengan generalisasi pada pengalaman. Oleh karena itu matematika bersifat sintetik dan aposteriori, Disisi lain positiv logis tertarik dengan tesis dari logisisme bahwa kebenaran-kebenaran ari matematika bersifat analitik dan dengan demikian apriori. Pengathuan apriori adalh pengtahuan tentang bahsa. Michael Dummet menyebut pendekatan ini dengan istilah ‘peralihan linguistik’ dalam filsafat. Frege meyakini bahwa bilangan- bilangan itu ada, secara mesti, lepas dari matematikawan sedangkan Russel memandang bahwa bilangan- bilangan tidak ada

Tidak seperti Mill, Carnap dan para positivis logis lain memandang bahwa kebenaran- kebenaran dari matematika tidak ditentukan oleh pengalaman. Kebenaran – kebenaran matematis bersifat apriori, berlaku tanpa mempersoalkan pengalaman apa yang mungkin kita miliki. Para positivis logis memandang bahwa suatu pernyataan bersifat sintetik atau memiliki muatan faktual, hanya jika kebenaran atau kesalahannya ditentukan oleh fakta- fakta pengalam, suatu pernyataan adalah analitik bila validitasnya hanya tergantung pada dafinisi- definisi dari simbol- simbol yang dikandungnya.

d. Neo-Logisisme

Variasi- variasi pendekatan Frege untuk matematika diupayakan dengan penuh semangat. Pada masa sekarang ini dalam garapan Crispin Wright, diawali dengan Frege’s Conception of numbers as objects (1983) dan tokoh- tokoh lain seperti Bob Hale (1987) dan Neil Tennant (1997), definisakan neo logisis sebagai orag mempertahankan dua tesis berikut ini : (1) suatu inti yang signifikan dari kebenaran-kebenaran matematis dapat dikethui apriori ,dengan turunan dari aturan- aturan yang bersifat analitikatau konstitutif-makna dan (2) matematika ini berkaitan dengan suatu real objek- objek ideal, yang dalam suatu segi bersifat objektif atau tidak terikat oleh pikiran . Neo logisi menarik mereka yang bersimpati pada pandangan tradisional matematika sebagai kumpulan kebenaran- kebenaran objektif yang apriori tetapi khawatir tentang permasalahan epistemologi baru yang dihadapi realisme dalam ontologi

6

Page 7: mathematicaww.files.wordpress.com file · Web viewMakalah ini disusun memenuhi tugas presentasi mata kuliah Filsafat Sejarah Matematika yang berisikan tentang informasi “Logisme,

B. INTUISIONISME DAN FORMALISME

1).INTUISIONISME

Secara bahasa, intuisionisme berasal dari bahasa Latin yaitu intuitio yang berarti pemandangan. Sedangkan ahli yang lain mengatakan bahwa intuisionisme, berasal dari perkataan Inggris yaitu intuition yang bermakna gerak hati atau disebut hati nurani.

Dalam Kamus Umum Bahasa Indonesia, intuisi diartikan dengan bisikan hati, gerak hati atau daya batin untuk mengerti atau mengetahui sesuatu tidak dengan berpikir atau belajar.Perbedaannya dengan firasat atau feeling, kata intuisi lebih banyak digunakan untuk hal-hal yang bersifat metafisika atau di luar jangkauan rasio, biasanya dipakai untuk menyebut indera keenam. 

Dalam bahasa Inggris Intuisionisme berasal kata Intuiton yang berarti manusia memliki gerak hati atau disebut hati nurani. Gerak hati mampu membuat manusia melihat suatu perkara benar atau salah, jahat atau baik. Intuisionisme juga merupakan suatu prosesmelihat dan memahami secara spontan dan intelek. Organ fiskal yang berkaitan dengan gerak hati atau intuisi tidak diketahui secara jelas. Namun, setengah ahli filsafatmenyebutkan jantung dan otak kanan sebagai organ fiskal yang menggerakan intuisi.

Gerak hati yang tidak mampu dijangkau oleh akal yaitu pengalaman emosional dan spiritual. Menurut Immanuel Kant, akal tidak pernah mampu mencapai pengetahuan langsung tentang sesuatu perkara. Akalhanya mampu berpikir perkara yang dilihat terus (fenomena) tetapi hati mampu menafsir suatu perkara dengan tidak terhalang oleh perkara apapun tanpa ada jarak antara subjek dan objek.

Menurut aliran ini, pada dasar yang paling dalam terletak intuisi primitif, bersekutu dan bekerja sama dengan akal duniawi manusia, yang memungkinkan manusia mengangankan suatu obyek tunggal, kemudian satu lagi, satu lagi dan seterusnya tak berakhir. Dengan cara ini diperoleh barisan tak berakhir, yang dikenal dengan barisan bilangan alam. Dengan menggunakan dasar intuitif bilangan asli ini, sebarang obyek matematika harus dibangun dengan cara konstruktif murni, dengan menggunakan operasi dan langkah-langkah yang banyaknya berhingga.

Bagi kaum Intuisionis, suatu himpunan tak boleh dipikirkan sebagai koleksi yang telah siap jadi, akan tetapi harus dipandang sebagai hukum yang elemen-elemennya dapat atau harus dikonstruksi selangkah demi selangkah. Konsep himpunan seperti ini dapat membebaskan matematika dari kemungkinan terjadinya kontradiksi, seperti munculnya kontradiksi pada pernyataan ”himpunan semua himpunan”. Kaum Intuisionis juga menolak pendapat aliran formalisme bahwa hukum excluded midle dan hukum kontradiksi adalah ekuivalen.

7

Page 8: mathematicaww.files.wordpress.com file · Web viewMakalah ini disusun memenuhi tugas presentasi mata kuliah Filsafat Sejarah Matematika yang berisikan tentang informasi “Logisme,

1. Merevisi Logika KlasikFilsafat-filsafat intuisionisme menuntutkan revisi-revisi bagi matematika yang

ada ketika itu, dan juga matematika masa kini.Objek utama dari revisi-revisi tersebut adalah law of excluded middle (LEM), yang kadang-kadang juga disebut law of excluded third dan tertium non Fatur (TND). Misalkanøsuatu pernyataan. Maka contoh excluded middle yang berkorespondensi dengan pernyataan itu adalah pernyataan bahwa ø atau tidak -ø , atau dalam simbol-simbol øv-ø. Di dalam semanti, prinsip bivalensi, yang terkait erat dengan hukum

tersebut, menyebutkan bahwa setiap pernyataan adalah benar atau salah, dan dengan begitu hanya terdapat dua kemungkinan untuk nilaikebenaran.

2. Tokoh-tokoh Intuisionisme

A. Luitzen Egbartus Jan Brouwer  (1881-1966)

Brouwer lahir pada tanggal 27 februari 1881 di kota Overschie, Belanda. Selama berkuliah di Univeristy of Amsterdam, Brouwer belajar tentang matematika dan fisika . Dalam berfilsafat, Brouwer banyak terpengaruh oleh gurunya, Diederik Kortewegdan Gerrit Mannoury. Karya pertama Brouwer adalah "Perubahan Pada Ruang Empat Dimensi" dibawah bimbingan Korteweg.Menurut Brouwer, dasar dari Intuisionisme adalah pikiran. Namun, pemikiran-pemikiran yang dicetuskannya banyak dipengaruhi oleh pandangan Immanuel Kant .Matematika a didefinisaikan oleh Brouwer sebagai aktivitas berfikir secara bebas, namun matematikaadalah suatu aktivitas yang ditemukan dari intusi pada saat tertentu. Pandangan intuisionisme adalah tidak ada realisme terhadap objek dan tidak ada bahasa yang menghubungi sehingga boleh dikatakan tidak ada penentu kebenaran matematika di luar aktivitas berpikir. Proposisi hanya berlaku ketika subjek dapat dibuktikan kebenarannya. Seperti Kant, Brower mencoba untuk mengadakan suatu sintesis antara realisme dan empirisme. Dia pun menyuarakan tema utama dari Kant bahwa manusia bukan pengamat pasif di alam, melainkan berperan aktif dalam mengorganisasikan pengalaman.KeKesimpulannya, Brouwer mengungkapkan bahwa tiada kebenaran tanpa dilakukan pembuktia

B. Arend Heyting  (1898-1980)Arend Heyting lahir pada 9 Mei 1898 di kota Amsterdam, Belanda.[4] Arend

Heyting dalah murid Brouwer yang berpengaruh besar terhadap perkembangan intuisionisme filsafatmatematika. Heyting membangunkan sebuah formula logika intuisionisme yang sangat tepat. Sistem ini dinamakan "Predikat Kalkulus Heyting".Heyting menegaskan bahwa metafisika adalah pokok dalam kebenaran realisme logika klasik. Bahasa matematika klasik adalah pengertian faktor-faktor objektif sebagai syarat-syarat kebenaran yang terbaik.

Heyting menemukan bukti dalam pandangan Brouwer tentang kelaziman alat mental serta pemacu bahasa dan logika. Dalam bukunya berjudul Intuitionism tahun 1956, Heyting mengungkankan bahwa pendapat Bouwer yaitu bahasa adalah media tidak sempurna untuk membincangkan matematika. Sistem utamanya adalah dirinya sendiri

8

Page 9: mathematicaww.files.wordpress.com file · Web viewMakalah ini disusun memenuhi tugas presentasi mata kuliah Filsafat Sejarah Matematika yang berisikan tentang informasi “Logisme,

sebagai peraturan pemacu matematika, tetapi tidak diyakini sistem utama pemacu matematika menggambarkan secara kuat penguasaan pemikiran matematika. Heyting menegaskan logika bergantung pada matematika bukan yang lain.

Heyting mempunyai andil dalam pandangan Brouwer mengenai kelaziman kontruksi mental dan down playing bahasa dan logika. Dalam buku “Intuitionism” (1956: 5) dia mengemukakan pendapat Brouwer, bahasa adalah media tidak sempurna untuk mengkomunikasikan konstruksi nyata matematika. System formalnya adalah dirinya sendiri sebagai sebuah legitimasi konstruksi matematika, tetapi satu yang tidak diyakini system formal menggambarkan secara utuh domain pemikiran matematika. Pada suatu penemuan metode baru memungkinkan kita untuk memperluas system formal. Heyting menegaskan logika bergantung pada matematika bukan pada yang lain. Oleh karena itu, Heyting tidak bermaksud pekerjaannya pada logika untuk menyusun pertimbangan intuisionistik.

C. Sir Michael Anthony Eardley Dummet (1925-2011)

Sir Michael Anthony Eardley Dummett lahir pada tanggal 27 Juni 1925 di kota London, Inggris, adalah seorang filsuf Inggris yang sangat berpengaruh dalam filsafat bahasa, metafisika, logika, filosofi matematika, dan sejarah filsafat analitik.

Brouwer dan Heyting mengatakan bahwa bahasa merupakan media tidak sempurna untuk membicarakan pembinaan mental matematika, dan logika berkaitan bentuk yang berlaku dalam penyebaran media ini dan menjadi tumpuan langsung pada bahasa dan logika.  Sebaliknya, pendekatan utama Dummet adalah bahwa matematika dan logika adalah bahasa dari awal.

Filsafat Dummett lebih mementingakn pada logika intuisionik daripada matematika itu sendiri. Pendapatnya sama dengan Brouwer tetapi tidak sama seperti Heyting. Dummett tidak memiliki orientasi memilih. Dummett mengeksplorasi matematika klasik dengan menggunakan pemikiran yang tidak memperakui pada satu jalan peraturan penguraian pernyataan alternatifnya. Ia mengusulkan beberapa pertimbangan mengenai logika adalah benar yang pada akhirnya harus tergantung pada arti pertanyaan. Ia juga mengambil pandangan yang diperoleh secara luas, yang kemudian disebut sebagai terminologi logika.

D. Kritik dan Kelemahan Aliran IntuisionismeIntusionis   mengklaim   bahwa matematika berasal dan berkembang di dalam pikiran

manusia. Ketepatan dalil-dalil matematika tidak terletak pada simbol-simbol di atas kertas, tetapi terletak dalam akal pikiran manusia. Hukum-hukum matematika tidak ditemukan melalui pengamatan terhadap alam, tetapi Matematika ditemukan dalam pikiran manusia.

Keberatan terhadap aliran ini adalah bahwa pandangan kaum intuisionis tidak   memberikan   gambaran   yang   jelas   bagaimana   matematika   sebagai pengetahuan

9

Page 10: mathematicaww.files.wordpress.com file · Web viewMakalah ini disusun memenuhi tugas presentasi mata kuliah Filsafat Sejarah Matematika yang berisikan tentang informasi “Logisme,

intuitif bekerja dalam pikiran. Konsep-konsep mental seperti cinta dan benci berbeda-beda antara manusia yang satu  dengan yang lain.  Apakah realistis   bila   menganggap   bahwa   manusia   dapat   berbagi   pandangan   intuitif tentang matematika secara persis sama.

Apa yang diketahui secara intuitif bagi seseorang belum tentu sama bagi orang lain. Artinya cara seseorang mendapatkan pengetahuan yang pasti itu, tidak atau belum tentu berlaku bagi orang lain.

Pengetahuan intuisi ini kebenarannya sulit diukur. Karena berasal dari lapisan hati nurani seseorang yang terdalam. Benar tidaknya sangat tergantung kepada keyakinan orang tersebut. Oleh karenanya sulit diterangkan kepada orang lain. Orang lain maksimum hanya bisa meniru perilakunya yang dianggap sesuai dengan hati nuraninya sendiri.

Pengetahuan ini tergolong pengetahuan langsung. Tetapi tidak setiap orang mempunyai pengalaman yang sama

2). FORMALISME

Berbagai filsafat yang berangkat dengan nama ‘formalisme’ mengklaim bahwa esensi dari matematika adalah manipulasi karakter-karakter. Suatu daftar karakter-karakter dan aturan-aturan yang dibolehkan memeras apa yang dihendaknya dikatakan tentang suatu cabang matematika tertentu. Berdasarkan pandangan para formalis, maka, matematika bukanlah, atau tidak seharusnya menjadi, tentang sesuatu, atau sesuatu diluar karakter-karakter tipografis dan aturan-aturan untuk memanipulasi karakter-karakter tipografis itu.

Formalisme memiliki silsilah lebih baik diantara para matematikawan daripada diantara para filsuf matematika. Disepanjang sejarah, para matematikawan telah memperkenalkan simbol-simbol yang , pada masanya,tampak tidak memiliki interpretasi yang jelas. Nama-nama seperti ‘bilangan negatif’, ‘bilangan irrasional’, ‘bilangan transendental’, ‘bilangan imajiner’,dan ’ titik ideal pada intinitas’ menunjukkan suatu ambivalensi. Seorang matematikawan menyatakan bahwa simbol-simbol untuk bilangan-bilangan kompleks, misalnya, hendaknya dimanipulasi berdasarkan (sebagian besar) aturan-aturan yang sama seperti untuk bilangan-bilangan real, dan itulah saja yang tersedia baginya.

Namun demikian, para matematikawan sendiri tidak selalu membangun posisi-posisi filosofis mereka secara dalam. Salah satu penjelasan paling terperinci tentang versi-versi pokok dari formalisme terdapat dalam kritik teliti yang diajukan oleh Gottlob Frege (1893: §86-137). Berikut ini pembahasa ringkasnya.

1. Pandangan-pandangan Pokok dalam Formalismea. Formalisme Istilah

Formalisme Istilah adalah pandangan bahwa matematika hanya tentang karakter-karakter atau simbol-simbol sitem-sistem angka dan bentuk-bentuk linguistiki lainnya. Berdasarkan formalisme istilah, oleh karena itu matematika memiliki bidang kajian, dan pernyataan-pernyataan matematis bersifat benar atau salah. Pandangan ini menawarkan jawaban-jawaban sederhana bagi masalah-masalah metafisik dan epistomologis dalam matematika yang (tampaknya) sukar. Bagaimana matematika diketahui? Apakah yang disebut dengan

10

Page 11: mathematicaww.files.wordpress.com file · Web viewMakalah ini disusun memenuhi tugas presentasi mata kuliah Filsafat Sejarah Matematika yang berisikan tentang informasi “Logisme,

matematis? Ia adalah pengetahuan bagaimana karakter-karakter itu berkaitan satu sama lain, dan bagaimana mereka hendaknya dimanipulasi dalam praktek matematis.

Perhatikan persamaan yang mungkin paling sedehana ini.0=0

Seorang formalis istilah mungklin memaknai bahwa persamaan tadi menyatakan dua cetak tinta itu memiliki bentuk yang sama. Namun ini tampak mensyaratkan eksistensi entitas-entitas yang disebut ‘bentuk-bentuk’. Saat mendiskusikan item-item linguistik seperti huruf-huruf, kalimat-kalimat, para filsuf kontenpoler mengadakan perbedaan istilah types dan tokens. ‘Token’ adalah objek fisik yang terbuat dari tinta, pensil, goresan kapur,dan sebagainya. Sebagai objek-objek fisik, token-token itu dapat diciptakan dan dihancurkan semau kita. ‘Type’ adlah bentuk abstrak dari ‘token’. Kata ‘rentetan’ memiliki dua kejadian (contoh) type ‘t’. Saat kita mengatakan bahwa abjad romawi memiliki dua puluh enam huruf maka kita sedang benar seandainya setiap token dari huruf ‘a’ misalnya, dihancurkan. Dari perspektif ini, seorang formalisistilah mungkin menyatakan bahwa matematika adalah tentang type-type. Oleh karena itu, persamaan tadi merupakan sebuah contoh yang langsung dan sederhana dari hukum identitas. Persamaan itu mengatakan bahwa type ‘0’ adalah identik dengan dirinya sendiri.

Formalisme istilah pada tahap awal perkembangannya dikedepankan (setidaknya untuk sementara) oleh dua matematikawan, E. Heine dan Johannes Thomae, pada sekitar peralihan abad ke-20. Heine (1872:173) mengemukaan, “saya memberi nama bilangan-bilangan kepada tanda-tanda nyata tertentu, sedemikian hingga ekstensidari bilangan-bilangan ini tidak lagi dipertanyakan”. Thomae (1898: §§1-11) menyebutkan “ sudut pandang formal membebaskan kita dari kesukaran-kesukaran metafisik; inilah keunggulan yang diberikannya”

Frege (1893: §§86-137) mengeluarkan komentar panjang dan serangan keras terhadap pandangan-pandangan mereka. Misalkan persamaan:

5+7=6+6Seorang formalis istilah tidak boleh mengklaim bahwa dua simbol itu mewakili bilangan yang sama, karena tesis sentraldari formalisme istilah adalah bahwa kita tidak perlu mempertimbangkan entitas-entitas ektralinguistik yang barangkali ditunjukan oleh istilah-istilah tersebut. Apa yang penting adalah karakter-karakter. Karakter-karakter mewakili diri mereka sendiri. Dengan demikian, seorang formalis istilah tidak dapat mengiterpretasikan tanta ‘=’ sebagai identitas. Selanjutnya, untuk mewakili pihak formalisme istilah, Frage mengusulkan supaya persamaan itu diinterpretasikan sebagai bahwa dalam aritmatika, simbol ‘5+7’ dapat disubstitusikan dimanapun untuk ‘6+6’ tanpa perubahan nilai kebenaran. Ini berarti suatu kalimat yang berbentuk A=B mengatakan bahwa simbol yang berkorespondensi dengan A bersifat dapat saling tukar dengan simbol yang berkorespondensasi dengan B dalam sebarang konteks matematis. Jadi, idendtitas ‘0=0’ tadi menyatakan truisme bahwa type ‘0’ dapat disubstitusikan untuk dirinya sendiri tanpa mengubah nilai kebenaran.

Formalisme istilah barangkali dapat diperluas ke bilangan-bilangan bulat dan bilangan-bilangan rasional, tetapi apakah bilangan-bilngan real itu? Kita tidak dapat mengidentifikasi bilangan-bilangan real dengan nama-nama mereka, karena sebagian besar bilangan real tidak memiliki nama. Seorang formalis istilah mungkin berupaya untuk mengidentifikasi bilangan real ∏ dengan huruf yunani ‘∏’ tetapi apa yang dapat dikatakannya tentang bilangan-bilangan real yang tidak bernama? Bagaimana dia memahami sesuatu pernyataan tentang semua bilangan real? Upaya langsungnya yaitu dengan cara mengidentifikasi ∏ dengan ekspansi desimalnya 3,14159... namun demmikian, ekspansi tersebut adalah suatu

11

Page 12: mathematicaww.files.wordpress.com file · Web viewMakalah ini disusun memenuhi tugas presentasi mata kuliah Filsafat Sejarah Matematika yang berisikan tentang informasi “Logisme,

objek infiniter, dan bukan simbol linguistik. Formalis istilah tadi mungkin mengedepankan suatu teori ‘limit-limit’ bagi desimal-desimal berujung, dan mengidentifikasi ∏ dengan limit dari simbol-simbol ‘3’,’3,1’,’3,14’,... namun demikian, jika rute ini diikuti, sukarlah kita melihat nilai lebih dari formalisme istilah. ‘Limit’ dari simbol-simbol seperti itu tampak sanagat mirip dengan pemahaman ∏ biasa sebagai limit dari bilangan-bilangan rasional 3, 3,1 ,3,14 ,.. kita tampaknya kehilangan jati diri formalisme.

Misalkan formalis istilah tadi berhasil memecahkan persoalan diatas dan memunculkan sebuah wakil linguistik yang layak untuk bilangan-bilangan real. Tetapipandangan ini hanya menangkap kalkulatis matematis.

b. Formalisme permainan

Satu versi pokok lain dari formalisme mempersamakan praktek matematika dengan suatu permainan yang dimainkan dengan karakter-karakter linguistik. Seperti halnya, dalam permainan catur, seorang bisa menggunakan bidak untuk menguasai satu persegi sejarak satu langkah didepan dengan arah diagonal, demikian pula dalam aritmatika seorang bisa menuliskan ‘x=10’ jika seorang telah sebelumnya memahami ‘x=8+2’. Sebutlah ini formalitas permainan.

Versi-versi radikal dari pandangan ini menyatakan secara langsung bahwa simbol-simbol dalam matematika tidak bermakna.formula-formula dan kalimat-kalimat matematis tidak mengungkapkan pernyataan-pernyataan yang benar atau salah tentang sebarang bidang kajian. Pandangan disini yaitu bahwa karakter-karakter matematis tidakmemiliki makna leih daripada buah-buah permainan catur. ‘Muatan’ dari matematika terperas habis oleh aturan-aturan untuk beroperasi dengan bahasanya. Versi-versi yang lebih moderat dari formalisme permainan menakui bahwa bahasa-bahasa matematika munkin memiliki suatu jenis makna tertentu, tetapi jikapun demikian, makna ini tidak relavan denan praktek matematika. Sepanjang bahwa yang diperhatikan adalah matematikawan dalam kerjanya, maka simbol-simbol dari bahasa matematis barangkali juga tidak bermakna.

Pada konteks formalisme permainan, frasa-frasa seperti ‘bahasa’ dan ‘simbol’adalah menyesatkan. Pada hampir sebarang konteks lainnya, tujuan bahasa tetutama adalah untuk berkomunikasi. Kita menggunakan bahasa untuk berbicara tentang hal-hal , biasanya hal-hal selain dari bahasa itu sendiri. Pada penggunaan lazimnya, suatu simbol melambangkan sesuatu. Kata ‘Amir’ mewakili seorang yaitu Amir. Jadi, seorang akan berfikir bahwa angka ‘2’ mewakili bilangan ‘2’. Inilah yang diingkari atau diaragukan, oleh seorang formalis permainan. Angka itu tidak mewakili sesuatupun. Untuk matemtika, apa yang menjadi persoalan adalah angka itu, dan peran angka itu dalam permainan matematika.

Frage mengklaim bahwa salah satu dari tujuan logikanya adalah untuk mengkodifikasikan inferensi yang benar. Untuk menentukan signifikansi epistemik dari suatu derivasi, tidak boleh terdapat kesenjangan dalam penalaran; semua premis harus dibuat eksplisit. Untuk tujuan ini, Frage mengembangkan suatu sistem formal, atau lebih tepatnya, diaa mengemukakansuatu sistem deduktif yang dapat dipahami secara formal: “penulisan konsep saya... dirancang untuk... dioperasikan seperti kalkulusdengan memakai langklah-langkah baku yang sedikit jumlahnya, sedemikian hingga tidak satupun langkah dibolehkan

12

Page 13: mathematicaww.files.wordpress.com file · Web viewMakalah ini disusun memenuhi tugas presentasi mata kuliah Filsafat Sejarah Matematika yang berisikan tentang informasi “Logisme,

bila tidak seuai dengan aturan-aturan yang telah ditetapkandan berlaku umum?” (Frege 1884:§91. Frege menyadari bahwa sifatini dapat ,mengumpankan suatu versi formalisme.

Frage menyebutkan bahwa makna yang kita letakan kepada kalimat-kalimatlah yang menjadikan kalimat-kalimat itu menarik, dan bahwa makna ini menginsyaratkan strategi-strategi untuk derivasi-derivasi. Seorang formalis permainan barangkali sepakat dengannya, tetapi akan menambah bahwa makna dari ungkapan-ungkapan matematis bersifat asing dan tidak berhubungan dengan matematika itu sendiri. Kemanapun matematika berangkat, persoalannya bahwa aturan-aturan permainannya diikuti. Makna hanya bersifat heuristik, sekedar suatu alat bantu psikologis. Matematika tidak perlu memiliki bidang kajian sama sekali.

Formalisme permainan sangat mirip dengan suatu filsafat sains yang disebut instrumentalisme, yang dirancang untuk meredam kekhawatiran-khawatiran tentang entitas-entitas teoretis yang tidak teramati, misalnya elektron-elektron. Berdasarkan instrumentalisme, sains teoretis hanyalah instrumen rumit untuk membuta prediksi-prediksi tentang dunia fisik yang teramati. Seorang ilmuan sains tidak harus menyakini keberadaan entitas-entitas teoretis. Dengan demikian, seorang instrumentalis terhindarkan dari masalah epistemologis untuk menjelaskan pengetahuan kita tentang entitas-entitas teoretis, tetapi dia dibebani dengan masalah untuk menjelaskan manegapa instrumen itu bekerja sedemikian baik, atau mengapa ia bekerja. Serupa demikian, seorang formalis permainan terhindarkan dari masalah untuk menyebutkan tentang apakah matematika itu, dan barangkali dia memiliki pemecahan yang tegas tentang bagaimana matematika diketahui, tetapi, disisi lain, persoalan tentang mengapa matematika bermanfaat tampaknya tidak dapat dengan mudah dijawabnya. Namun demikian,seorang formalis mungkin menjawab dengan keras bahwa, berdasarkan sudut pandangnya, aplikasi-aplikasi bkan bagian dari, dan tidak berkaitan dengan, matematika.

2. Perkembangan-perkembangan dalam Formalisme

a. Deduktivisme

Kehadiran sistem-sistem deduktif yang ketat, terutama disumbangkan oleh Frege, mengisyaratkan suatu filsafat menarik yang memiliki kesamaan dengan formalisme permainan. Seorang penganut deduktivisme menerima pokokpandangan Frage bahwa aturan-aturan inferensi harusmempertahankan kebenaran, tetapi dia berisikeras agar aksioma-aksioma dari berbagai teori matematisdianggapkan seolah-olah telah ditetapkan secara arbitrer. Gagasannya yaitu bahwa praktek matematika meliputi penentuan konsekuensi-konsekuensi logis dari aksioma-aksioma, yang seolah-olah tidak diinterpretasikan. Seorang matematikawan bebas untuk beranggapan bahwa aksioma-aksioma (dan teorema-teorema) dalam matematika adalah tidak bermakna atau mengiterpretasi semua itu sekehendaknya.

Untuk menjelaskan pandangan ini secara lebih teliti, seseorang boleh memperbedakan istilah-istilah logis seperti ‘dan’,’jika’...’maka’,terdapat’,dan ‘untuk semua’, dari peristilahan yang bersifat non-logis, atau khusus matematis, seperti ‘bilangan’, ‘titik’, ‘himpunan’, dan ‘garis’. Peristilahan logis dipahami dengan makna lazimnya, sedangkan peristilahan non-logis dibiarkan tidak diinterpretasikan, atau dianggapkan seolah-olah tidak diinterpretasikan. Misalkan Ф adalah suatu teorema dalam, misalnya aritmatika. Berdasarkan deduktivisme, ‘muatan’ dari Ф adalah bahwa Фdisimpulkan dari aksioma-aksioma aritmatika. Deduktivisme kadang-kadang disebut ‘if-then-ism’.

13

Page 14: mathematicaww.files.wordpress.com file · Web viewMakalah ini disusun memenuhi tugas presentasi mata kuliah Filsafat Sejarah Matematika yang berisikan tentang informasi “Logisme,

Hubungan antara formalisme permainan dan deduktivisme dipicuoleh perkembangan sistem-sistem logis yang dapat ‘diopersikan seperti suatu kalkulus’, sebagaimana disebutkan oleh Frage. Deduktivisme sesuai dengan slogan bahwa logika bersifat netral-topik. Dari sudut pandang model-teoretik yang modern, jika suatu inferensi dari sehimpunan premis I’ ke konklusi Ф valid, maka Ф benar pada sebarang interpretasi yang membuat semua premis I’benar. Gagasan dibalik deduktivisme adalah mengabaikan interpretasi dan taat kepada inferensi-inferensi.

Deduktivisme adalah suatu filsafat yang sejalan dengan perkembangan-perkembangan dalam fondasi-fondasi matematika,terutama geometri, pada abad ke-19 dan awal abad ke-20. Peristiwa-peristiwa pentingnya anatara lain kemunculan dan kesuksesan geometri analitik, dengan geometri proyektif sebagai suatu responnya upaya untuk mengakomodasi elemen-elemen ideal dan imajiner, seperti titik-titik pada infinitas pengembangan geometri n-dimensi, dan asimilasi geometri non-Euclid kepada matematika utama, berdampingan, tanpa menggantikan, geometri Euclid. Tema-tema ini telah membantu meruntuhkan tesis Kant bahwa matematika terikat pada intuisi-intuisi ruang dan waktu. Komunitas matematika semakin tertarik kepada matematika, dan akhirnya kepada pemahaman deduksi yang bersifat independen dri muatan. Perkembangan-perkembangan dalam matematika dan logika ketika itu tampaknya secara alamiah telah begitu mendekatkan kita kepada tesis filosofis bahwa ‘interpretasi’ aksioma-aksioma bukanlah suatu masalah.

b. Finitisme

Pada peralihan ke abad 20 perkembangan-perkembangan dalam analisis real, daripada matematikawan seperti Augustin Louis Cauchy,Bernard Bolzano, dan Karl Weierstrass, mengatasi permasalahaninfinitsimal dan memberikan landasan kokoh bagi kalkulus. Hilbert (1925: 187) menuliskan bahwa analis real dan kompleks adalah “struktur matematika paling estetik dan dibangunsecara teliti.” Meski kuantitas-kuantitas yang kecil takterhingga dan besar tak terhingga tidak diperlukan, tetapi teori-teori baru masih bersandar pada kumpulan-kumpulan infinit. Menurut Hilbert “analisis matematis adalah sebuah simfoni infinitas” pada saat itu terdapat pula penjelasan infinitas yang meriah dalam teori himpunan oleh Georg Cantor.

Meskipun terdapat perkembangan-perkembangan luar biasa, atau justru karena itu, timbul suatu keresahan tentang krisis fondasional. matematika tampaknya dan seharusnya, menjadi yang paling eksak dan apasti diantara semua disiplin ilmu-namun tantangan dan keraguan bermunculan. Dengan mengingat antinom-antinomseperti Paradoks Russell, tidaklah kepastian bahwateori himpunan bersifat konsisten. Krisis tersebut tidak reda meski setelah Cantor menerapkan apa yang di sebutnya ‘inconsistent multitudes’ kumpulan-kumpulan dari himpunan-himpunan yang terlalubesar untuk dikumpulkan kedalam satu himpunan. Antinom-antinom ini menimbulkan serangan-serangan kepada legitimasi beberapa metode matematis, menggiring beberapa matematikawan untuk menerapkan pembatasan ketat bagi metode-metode matematis, pembatasan yang akan meruntuhkan analisis real dan kompleks.

Tanggapan Hilbert terhadap perkembangan-perkembangan itu menggabunghkan aspek-aspek dari deduktivisme, formalisme istilah, dan formalisme permainan. Apapun keuntungan-keuntungan filosofisnya, ‘the Hilbert programme’ menimbulkan era susbur meta-matematika yang bertahan sampai sekarang. Bagi Hilbert, program tersebut memiliki tujuan epistemik yang eksplisit: “tujuan dari teori saya adalah untuk mengukuhkan kepastian dari metode-metode matematis” (Hilbert 1925: 184). Program ini dibangun padda garapan aksiomatisasi cabang-cabang matematika, yang telah dilakukan sebelumnya, berikut upaya-upaya monumental daripada logisis seperti Frage dalam pembangunan sistem-sistem logika

14

Page 15: mathematicaww.files.wordpress.com file · Web viewMakalah ini disusun memenuhi tugas presentasi mata kuliah Filsafat Sejarah Matematika yang berisikan tentang informasi “Logisme,

yang ketat. Gagasan dibalik program ini yaitu memformulasikan secara teliti dan ketat tiap cabang matematika, berikut logikanya kemudianmengkaji koherensi dari sistem-sistem formalnya.

c. Teorema Ketidaklengkapan

Kurt Gödel (1931, 1934) mengukuhkan suatu hasil yang memukul telak-tujuan-tujuan epistemik dari program Hilbert. Misalkan, T suatu sistem deduktif formal yang memuat aritmatika dalam kadar tertentu. Asumsikan sintaks dari T adalah efektif dalam artian terdapat suatu algoritma yang menentukan apakah suatu barisan karakter-karakter tertentu adalah suatu formula yang gramatik, dan suatu algoritma yang menentukan apakah suatu barisan formula-formula tertentu adalah suatu deduksi yang sah dalam T. Misalkan, kondisi-kondidiini esensial bagi T untuk berperan dalam program Hilbert. Pada asumsi-asumsi tersebut, Gödel menunjukan bahwa terdapat suatu kalimat G dalam bahasa dari T, dan (2)jika T memiliki suatu ciri yang sedikit lebih kuat daripada konsistensi, disebut ‘ω-konsistensi’, maka negasi dai G bukanlah teorema dari T. Artinya, jika T adalah ω-konsisten, maka ia tidak’memutuskan’ G, bagaimanapun caranya. Hasil ini, dikenal sebagai teorema ketidaklengkapan (pertama) Gödel, adalah salah satu prestasi intelektual besar pada abad ke-20.

Formulasi G berbentuk suatu peryataan finit(dengan menggunakan huruf-huruf untuk generlitas). kasarnya, G adalah formalisasi dari suatu pernyataan bahwa G tidak dapat dibuktikan dalam T. Jadi, jika T konsisten, maka G benar tetapi tidak dapat dibuktikan. Hasil Gödel ini meruntuhkan harapan untuk menemukan sistem formal tunggal yang menangkap semua matematika klasik. Atau bahkan smeuaa aritmatika.jika seorang mengajukan sistem untuk dicalonkan sebagai sistem formal seperti itu, maka kita dapat menemukan sebuah kalimat yang tidak ‘diputuskan’ oleh sistem tersebut, meski kita melihat bahwa kalimat itu adalah benar.

Dengan demikian, teorema ketidaklengkapan mengangkat keraguan-keraguan tentang sebarang filsafat matematika (formalis atau lainnya) yang menuntutkan sistem deduktif tunggal untuk seluruharitmatika sebagai satu-satunya metode formal untuk mendapatkan setiap kebenaran aritmatika. Namun demikian, impian penemuan sistem formal tunggal untuk semua matematika yang ideal bukanlah bagianresmi (atau esensial) dariprogram Hilbert. Kendalanya, jika memang demikian, terletak pada hal lainnya. Ringkasnya, teorema ketidaklengkapan kedua Gödel ini menyatakan bahwa teori yang konsisten (yang memuat aritmatika dalam kadar tertentu) tidak dapat membuktikan konsistensinya sendiri. Hasil inilah yang menunjukan kendala bagi Program Hilbert.

d. Haskell Curry

Filsafat Curry dimulai dengan pengamatannya bahwa, saat sebuah cabang matematika berkembang, cabang itu semakin ketat metodologinya, dan hasil akhirnya berupa kodifikasinya dalam suatu sistem deduktif formal. Curry memandang proses formalisasi ini sebagai esensi dari matematika. Dia berargumen bahwa semua filsafat matematika lain bersifat ‘kabur’ dan, terlebih filsafat-filsafat itu ‘bergantung pada asumsi-asumsi metafisik’. Matematika menurut Curry, seharusnya bebas dari sebarang asumsi-asumsi seperti itu, dan dia berargumen bahwa fokus pada sistem-sistem formal memberikan kebebasan tersebut. Jadi, dia menyuarakan klaim Thomae bahwa formalisme tidak memiliki asumsi-asumsi metafisik yang asing.

15

Page 16: mathematicaww.files.wordpress.com file · Web viewMakalah ini disusun memenuhi tugas presentasi mata kuliah Filsafat Sejarah Matematika yang berisikan tentang informasi “Logisme,

Tesis utama dari formalisme Curry adalah bahwa pernyataan-pernyataan dari suatu teori matematis yang matang ditafsirkan tidak sebagai hasil-hasil dari langkah-langkah dalam suatu sistem dedktif formal tertentu (seperti dikatakan Hilbert atau seorang formalis permainan), tetapi lebih sebagai pernyataan-pernyataan tentang suatu sistem formal. Pernyataan diakhir suatu laporan penelitian hendaknya diinterpretasikan sebagai suatu berbentuk Ф adalah suatu teorema dalam sistem formal T. Oleh karena itu, bagi Curry matematika adalah sains objektif, ddania memiliki bidang kajian. Dia menuliskan bahwa ‘konsep sentral dalam matematika adalah konsep suatu sistem formal’ dan ‘matematika adalah sains sistem-sistem formal’ (Curry 1954). Jadi, Currylebih dekat dengan formalisme istilah daripada dengan formalisme permainan. Slogan ya tepat baginya yaitu bahwa matematika adalah meta-matematika. Namun demikian, tidak seperti Hilbert, dia tidak membatasi meta-matematika pada aritmatika finit.

BAB 3

16

Page 17: mathematicaww.files.wordpress.com file · Web viewMakalah ini disusun memenuhi tugas presentasi mata kuliah Filsafat Sejarah Matematika yang berisikan tentang informasi “Logisme,

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Logisme Memandang matematika bersifat analitik (atau sepenuhnya analitik) Sekurang-kurangnya bagian dari matematika adalah dapat direduksi kepada logika. Konsep-konsep dari terminologis logis, dan dengan definisi-definisi ini, Teorema – teorema dari matematika dapat diperoleh dari prinsip-prinsip logika.

Prinsip Hume dari Freege berbunyi : untuk sebarang konsep-konsep F,G, bilangan dari F adalah identik dengan bilangan dari G jika dan hanya jika F dan G adalah sama banyak.

Positivisme logis adalah suatu Alira empirisme yang berkembang pada permulaan dan dekade-dekade pertengahan abad ke-20. Pandangan ini bertolak pada kesuksesan spektakuler sains-sains alam dan perkembangan logika matematis.

Formalisme memandang bahwa esensi dari matematika adalah manipulasi karakter-karakter. Matematika seharusnya adalah tentang karakter-karakter tipografis dan aturan-aturan untuk memanipulasi karakter-karakter tipografis itu.

Deduktivisme, salah satu bentuk formalisme, menerima pokok pandangan Frege bahwa aturan-aturan inferensi harus mempertahankan kebenaran, tetapi dia bersikeras agar aksioma-aksioma dari berbagai teori matematis dianggap seolah-olah telah ditetapkan secara Arbitrer.

Intuisionisme adalah penolakan terhadap mode-mode inferensi tertentu dalam matematika. Filsafat intuisionisme menentukan revisi bagi matematika yang ada ketika itu, dan juga matematika masa kini. Intuisionisme memandang matematika terdiri atas konstruksi dan aktifitas mental. Pandangan kant bahwa matematika bersifat sinetik Apriori sangat mempengaruhi pandangan-pandangan intuisionisme.

17