Click here to load reader

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS – TỈNH dethi. · PDF fileĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS – TỈNH BÌNH ĐỊNH . MÔN

  • View
    2

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS – TỈNH dethi. · PDF...

  • THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 9 THCS TNH BNH NH MN TON Thi gian: 150 pht Ngy 18 03 2009 Bi 1: (3 im) Tm tt c cc cp s nguyn (m, n) sao cho 2n3 mn2 3n2 + 14n 7m 5 = 0 Bi 2: (3 im)

    Cho x, y, z l 3 s thc khc 0 v 1 1 1 0x y x+ + =

    Chng minh rng 2 2 2yz zx xy 3x y z

    + + =

    Bi 3: (3 im) Gii h phng trnh:

    x y 7

    x 20 y 3 6

    + =

    + + =

    Bi 4: (4 im)

    Cho im O thuc min trong ca tam gic ABC. Cc tia AO, BO, CO ct cc cnh tam gic ABC ln lt ti G, E, F.

    Chng minh rng OA OB OC 2AG BE CF

    + + =

    Bi 5: (4 im)

    Cho ng trn (O), ng knh AB. Trn tia tip tuyn Ax vi ng trn (O) ly im C sao cho AC = AB. ng thng BC ct ng trn (O) ti D, M l mt im thay i trn on AD. Gi N v P ln lt l chn ng vung gc h t M xung AB v AC, H l chn ng vung gc h t N xung ng thng PD.

    a) Xc nh v tr ca M tam gic AHB c din tch ln nht. b) Chng minh rng khi M thay i, HN lun i qua mt im c nh. Bi 6: (3 im)

    Chng minh: 1 1 117 182 3 100

    < + + +

  • GII THI CHN HC SINH GII MN TON LP 9 THCS TNH BNH NH

    NM HC 2008 2009 Bi 1. Tm tt c cc cp s nguyn (m, n) sao cho 2n3 mn2 3n2 + 14n 7m 5 = 0 (1) Bin i: (1) 2n3 3n2 + 14n 5 m(n2 + 7) = 0

    m = 3 2

    2

    2n 3n 14n 5n 7

    + +

    = 2162n 3

    n 7 +

    +

    V m, n Z, nn (n2 + 7) (16), suy ra (n2 + 7) {8; 16}, do n2 {1; 9}. +) Nu n2 = 1 th n = 1 +) Nu n2 = 9 th n = 3 + Vi n = 1, ta c m = 1 + Vi n = -1, ta c m = -3 + Vi n = 3, ta c m = 4 + Vi n = -3, ta c m = -8. Vy ta tm c 4 cp gi tr (m, n) {(1; 1), (-3; -1), (4; 3), (-8; -3)}. Bi 2.

    Cho x, y, z khc 0 tha 1 1 1 0x y z+ + = .

    Chng minh 2 2 2yz zx xy 3x y z

    + + =

    Trc ht ta chng minh hng ng thc: a3 + b3 + c3 3abc = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 ab bc ca)

    = 12

    (a + b + c)[(a b)2 + (b c)2 + (c a)2]

    Ta c: (a3 + b3) + c3 3abc = (a + b)3 + c3 3ab(a + b) 3abc = (a + b + c)[(a + b)2 (a + b)c + c2] 3ab(a + b) 3abc = (a + b + c)[(a + b)2 (a + b)c + c2] 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 (a + b)c + c2 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ab bc ca)

    = 12

    (a + b + c)[(a b)2 + (b c)2 + (c a)2]

    Do a3 + b3 + c3 3abc = 0 khi v ch khi: a + b + c = 0 hoc a = b = c.

    t 1 1a ,b ,cx y

    = = =1z

    , theo gi thit 1 1 1 0x y z+ + = nn suy ra a + b + c = 0

    Do a3 + b3 + c3 3abc = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc,

    hoc 3 3 31 1 1 3x y z xy

    + + =z

    Nhn 2 v ca ng thc trn cho xyz, ta c 2 2 2yz zx xy 3x y z

    + + = (pcm).

    Bi 3. Gii h phng trnh:

    2

  • x y 7

    x 20 y 3 6

    + =

    + + =

    iu kin xc nh ca h phng trnh l: x 20, y 0. t a = x 20, b y 3 = + (a 0, b 0), suy ra x = a2 + 20, y = b2 3. H phng trnh vit li:

    2 2a 20 b 3 7(1a b 6(2)

    + + =

    + =

    )

    Trong , 0 a 6, b 3 Bnh phng hai v ca (1) ta c:

    a2 + 20 + b2 3 + 2 ( )( )2 2a 20 b 3+ = 49 (3) Thay b = 6 a vo (3), ta c:

    a2 + 20 + (6 a)2 3 + 2 ( ) ( )22a 20 6 a 3 + = 49 a2 + 20 + 36 12a + a2 3 + 2 ( )( )2 2a 20 a 12a 33+ + = 49 ( )( )2 2a 20 a 12a 33+ + = - a2 + 6a 2 (4) Bnh phng hai v ca (4) vi (a 3)2 7, ta c: (a2 + 20)(a2 12a + 33) = (-a2 + 6a 2)2 a4 12a3 + 53a2 240a + 660 = a4 + 36a2 + 4 12a3 + 4a2 24a 13a2 216a + 656 = 0

    a1 = 4: chn, a2 = 164 : loi 613

    >

    Vi a = 4, ta c b = 2. Th li n c: a = 4 x 20 = 4 x = 36

    b = 2 y 3+ = 2 y = 1 Vy h phng trnh cho c mt nghim: x = 36, y = 1. Bi 4.

    Chng minh: OA OB OCAG BE CF

    + + = 2

    t SOAB = S1, SOAC = S2, SOBC = S3 Ta c:

    1 2 1 2

    ABG ACG ABG ACG

    OA S S S SAG S S S S

    = = =+

    1 2

    ABC

    S SS

    + += (1)

    Lp lun tng t, ta c: 1 3

    ABC

    OB S SBE S

    += (2)

    2 3

    ABC

    OC S SCF S

    += (3)

    Cng v theo v (1), (2), (3) ta c:

    3

    A

    FO

    ES1 S2

    S3B C

    GA

    B

    FO

    E

    CG

    S1 S2

    S3

  • 1 2 3 ABC

    ABC ABC

    OA OB OC 2(S S S ) 2S 2AG BE CF S S

    + ++ + = = = .

    Bi 5. a) V tr ca M din tch tam gic AHB ln nht Ta c = 900 + 900 = 1800 nn t gic APHN ni tip (1) PAN PHN+T gic APMN l hnh vung nn ni tip (2) T (1), (2) ta c 5 im A, N, M, P, H cng thuc mt ng trn. Do = 900 AHM APM=Mt khc t gic MPCD ni tip nn MPD MCD= (gc ni tip cng chn cung MD) Tam gic ABC vung cn ti A c AD va l ng cao va l ng trung trc, va l ng phn gic nn: MB = MC MBC cn ti M , do (3) MCD MBD= MPD MBD=

    Ta li c l gc ngoi MBD ti M nn: AMB0AMB MBD MDB MBD 90= + = + (4)

    APH= 0APM MPH 90 MPD+ = + (5)

    T (3), (4), (5) suy ra: (6) APH AMB=V t gic APHM ni tip nn: APH AMH+ = 1800 (7) T (6), (7) suy ra: AMB AMH+ = 1800

    Do ba im H, M, B thng hng, nn = 900 AHBVy H thuc ng trn (O). Suy ra tam gic AHB c din tch ln nht khi di ng cao HK ln nht

    AN O

    B

    M

    DH

    P

    C

    x

    E

    K

    HK = R H D M D. Vy khi M D th SAHB t gi tr ln nht l R2 (R l bn knh ng trn (O)). b) Chng minh HN lun i qua mt im c nh Gi E l giao im th hai ca HN vi ng trn (O). Ta c = 450. V = 900, suy ra NHB = 450. AHN APN= AHB

    Do HN l tia phn gic ca gc , suy ra E l im chnh gia ca cung , nn im E c nh.

    AHB AB

    Vy khi M di ng trn on thng AD th HN lun i qua im E c nh l im chnh gia ca cung trn ca ng trn (O). AB Bi 6. Chng minh:

    1 1 117 182 3 100

    < + + +

  • Ta chng minh bi ton tng qut: 1 1 12 n 3 2 n 22 3 n

    < + + + < L (n N, n 2)

    Ta c:

    *) ( )1 2 2 2 k k 1k k k k k 1= < =

    + + (1)

    Cho k ly cc gi tr t 2 n 100, thay vo bt ng thc (1), ta c:

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    1 2 2 12

    1 2 3 23

    1 2 99 98991 2 100 99100

    < < < <

    LLLLLLL

    Cng v theo v, ta c:

    ( )1 1 1 2 2 1 3 2 100 992 3 100+ + + < + + + L L = ( )2 100 1 18 =

    *) ( )1 2 2 2 k 1 kk k k k 1 k= > = +

    + + +

    Lp lun tng t nh trn, ta c:

    ( )1 1 1 2 101 2 2 101 2 2 2 100 3 172 3 100+ + + > = > =L

    Vy 1 1 117 182 3 100

    < + + +

  • S Gio dc - o to

    TP.H Ch Minh

    K THI HC SINH GII LP 9-THCS CP THNH PH

    Nm hc 2006 2007

    MN TON

    Thi gian lm bi : 150 pht (khng k thi gian pht )

    CHNH THC

    Cu 1 : (3 )Thu gn cc biu thc:

    a) 51229526 A

    b) 402088 B

    c) )116)(

    6312

    264

    1615(

    C

    Cu 2 : (3 )

    a) Chng minh : Rzyxzyxzyx ,,,)(3)( 2222

    b) Cho 41,

    41,

    41,1 zyxzyx

    .

    Chng minh : 4 1 4 1 4 1 21x y z .

  • Du bng xy ra khi x, y, z bng bao nhiu?

    Cu 3 : (4 )

    Gii h phng trnh v phng trnh:

    a)

    1336

    xzzx

    518

    yyz

    512

    yxxy

    z

    b) 22

    2

    844

    xxx

    Cu 4 : (2 ) Cho phng trnh : 02 cbxax c cc h s cba ,, l cc s

    nguyn l.

    Chng minh rng phng trnh nu c nghim th cc nghim y khng th l

    s hu t.

    Cu 5 : (4 )

    Cho na ng trn tm O ng knh AB bng 2R. Gi M l mt

    im chuyn ng trn na ng trn (O) ( M khc A v B). V ng trn tm M

    tip xc vi AB ti H. T A v B v hai tip tuyn tip xc vi ng trn tm M ln

    lt ti C v D.

    a)Chng minh ba im M, C, D cng nm trn tip tuyn ca ng

    trn (O) ti M.

  • b)Chng minh tng AC + BD khng i. Tnh tch s AC.BD theo

    CD.

    c)Gi s CD ct AB ti K. Chng minh OA2 = OB2 = OH.OK.

    Cu 6 : (4 )

    Tam gic ABC ni tip trong ng trn (O) c ACB = 45o.

    ng trn ng knh AB ct AC v BC ln lt ti M v N. Chng minh MN

    vung gc OC v MN = 2AB

    .

  • S GD&T HI DNG K THI CHN HC SINH GII TNH LP 9 THCS NM HC 2012 2013

    MN THI: TON Thi gian lm bi: 150 pht (khng k thi gian giao )

    Ngy thi: 27/03/2013 ( thi gm c 01 trang )

    Cu 1 (2,0 im):

    a) Rt gn biu thc: 2A = x 50 x + 50 x + x 50 vi x 50 b) Cho x + 3 = 2 . Tnh gi tr ca biu thc: B = x5 3x4 3x3 + 6x2 20x + 2018 Cu 2 (2,0 im):

    a) Gii phng trnh 2 2

    4x 3x+ = 6x 5x + 6 x 7x + 6

    b) Gii h phng trnh sau: x + y + 4 xy = 16

    x + y = 10

    Cu 3 (2,0 im): a) Vi a, b l cc s nguyn. Chng minh rng nu 2 24a + 3ab 11b chia ht cho 5 th 4 4a b chia ht cho 5.

    b) Cho phng trnh 2ax +bx+1 0 vi a, b l cc s hu t. Tm a, b bit 5 3

    x =5+ 3

    l nghim ca phng trnh. Cu 4 (3,0 im): Cho 3 im A, B, C c nh nm trn mt ng thng d (B nm gia A v C). V ng trn tm O thay i nhng lun i qua B v C (O khng nm trn ng thng d). K AM v AN l cc tip tuyn vi ng trn tm O ti M v N. Gi I l trung im ca BC, AO ct MN ti H v ct ng trn ti cc im P v Q (P nm gia A v O), BC ct MN ti K. a) Chng minh 4 im O, M, N, I cng nm trn mt ng trn. b) Chng minh im K c nh khi ng trn tm O thay i. c) Gi D l trung im HQ, t H k ng thng vung gc vi MD ct ng thng MP ti E. Chng minh P l trung im ME. Cu 5 (1,0 im):

    Cho n1A =

    (2n +1) 2n 1 vi n * .

    Chng minh rng: 1 2 3 nA + A + A + ... + A

  • Ch k gim th 1 .. Ch k gim th 2 ..

  • S GD&T HI DNG P N V HNG DN CHM THI HC SINH GII TNH

    MN TONLP 9 THCS NM HC 2012 2013

    Lu : Th sinh lm theo cc khc ng vn cho im ti a. im bi thi lm trn n 0,25 im CU PHN NI DUNG IM

    Cu 1 2,0

    im

    a) 1,0

    im

    Ta c :

    22 2

    2 2 2

    2 2 2

    2 2 2

    2

    A = x - 50 - x + 50 x + x - 50

    A = x - 50 + x + 50 - 2 x - 50 x + x - 50

    A = 2x - 2 x -50 x + x - 50

    A = 2 x - x + 50

    A = 100

    Nhng do theo gi thit ta thy 2A = x - 50 - x + 50 x + x - 50 22 3 ( 2) 3 x x 2 4 1 0x x

    B = x5 3x4 3x3 + 6x2 20x + 2018 B = (x5