Click here to load reader

© T Madas. Add zero and negative integers Add fractions and decimals which can be represented by fractions Add imaginary numbers Real Numbers ( ) Integers

  • View
    216

  • Download
    3

Embed Size (px)

Text of © T Madas. Add zero and negative integers Add fractions and decimals which can be represented by...

  • Slide 1
  • T Madas
  • Slide 2
  • Add zero and negative integers Add fractions and decimals which can be represented by fractions Add imaginary numbers Real Numbers ( ) Integers ( ) E.g. -3, -2, -1, 0,1, 2, 3 Rational Numbers ( ) E.g. 17, -10, -, -0.65, 0.333 etc Natural Numbers ( ) E.g. 1, 2, 3 Complex Numbers ( ) Add irrational numbers such as the square roots and
  • Slide 3
  • T Madas Add zero and negative integers Add fractions and decimals which can be represented by fractions Add imaginary numbers Real Numbers ( ) Integers ( ) E.g. -3, -2, -1, 0,1, 2, 3 Rational Numbers ( ) E.g. 17, -10, -, -0.65, 0.333 etc Natural Numbers ( ) E.g. 1, 2, 3 Complex Numbers ( ) Add irrational numbers such as the square roots and
  • Slide 4
  • T Madas Rationalor Irrational? It doesnt quite work like this with numbers
  • Slide 5
  • T Madas Rationalor Irrational? It doesnt quite work like this with numbers
  • Slide 6
  • T Madas What is an irrational number? It is a number which when written in decimal form: it has an infinite number of decimal digits which appear with no pattern whatsoever The formal definition of an irrational number: It is a number that cannot be written as a fraction with integer numerator and denominator The constant ratio of a circles circumference is an irrational number, which is given approximately by: 3.141592653589793238462643383279502884197 [ 40 d.p. ] We know this irrational number as Infinite decimal places, no pattern, there is no fraction equal to
  • Slide 7
  • 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816 406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231 725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810 975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326 648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715 364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759 591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891 227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860 943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827 785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279 689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211 349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308 253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147 303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226 806613001927876611195909216420198 1000 decimal places
  • Slide 8
  • T Madas 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253 5940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339 3607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186 1173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171 7629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611 2129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171 0100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164 2019893809525720106548586327886593615338182796823030195203530185296899577362259941389124972177528347913151557485724245415069595082953311686172 7855889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012858361603563707660104710181942955596198946767837449448255379774726847104047534 6462080466842590694912933136770289891521047521620569660240580381501935112533824300355876402474964732639141992726042699227967823547816360093417 2164121992458631503028618297455570674983850549458858692699569092721079750930295532116534498720275596023648066549911988183479775356636980742654 2527862551818417574672890977772793800081647060016145249192173217214772350141441973568548161361157352552133475741849468438523323907394143334547 7624168625189835694855620992192221842725502542568876717904946016534668049886272327917860857843838279679766814541009538837863609506800642251252 0511739298489608412848862694560424196528502221066118630674427862203919494504712371378696095636437191728746776465757396241389086583264599581339 0478027590099465764078951269468398352595709825822620522489407726719478268482601476990902640136394437455305068203496252451749399651431429809190 6592509372216964615157098583874105978859597729754989301617539284681382686838689427741559918559252459539594310499725246808459872736446958486538 3673622262609912460805124388439045124413654976278079771569143599770012961608944169486855584840635342207222582848864815845602850601684273945226 7467678895252138522549954666727823986456596116354886230577456498035593634568174324112515076069479451096596094025228879710893145669136867228748 9405601015033086179286809208747609178249385890097149096759852613655497818931297848216829989487226588048575640142704775551323796414515237462343 6454285844479526586782105114135473573952311342716610213596953623144295248493718711014576540359027993440374200731057853906219838744780847848968 3321445713868751943506430218453191048481005370614680674919278191197939952061419663428754440643745123718192179998391015919561814675142691239748 9409071864942319615679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215030680384477345492026054 1466592520149744285073251866600213243408819071048633173464965145390579626856100550810665879699816357473638405257145910289706414011097120628043 9039759515677157700420337869936007230558763176359421873125147120532928191826186125867321579198414848829164470609575270695722091756711672291098 1690915280173506712748583222871835209353965725121083579151369882091444210067510334671103141267111369908658516398315019701651511685171437657618 3515565088490998985998238734552833163550764791853589322618548963213293308985706420467525907091548141654985946163718027098199430992448895757128 2890592323326097299712084433573265489382391193259746366730583604142813883032038249037589852437441702913276561809377344403070746921120191302033 0380197621101100449293215160842444859637669838952286847831235526582131449576857262433441893039686426243410773226978028073189154411010446823252 7162010526522721116603966655730925471105578537634668206531098965269186205647693125705863566201855810072936065987648611791045334885034611365768 6753249441668039626579787718556084552965412665408530614344431858676975145661406800700237877659134401712749470420562230538994561314071127000407 8547332699390814546646458807972708266830634328587856983052358089330657574067954571637752542021149557615814002501262285941302164715509792592309 9079654737612551765675135751782966645477917450112996148903046399471329621073404375189573596145890193897131117904297828564750320319869151402870 8085990480109412147221317947647772622414254854540332157185306142288137585043063321751829798662237172159160771669254748738986654949450114654062 8433663937900397692656721463853067360965712091807638327166416274888800786925602902284721040317211860820419000422966171196377921337575114959501 5660496318629472654736425230817703675159067350235072835405670403867435136222247715891504953098444893330963408780769325993978054193414473774418 42631298608099888687413260472 5000 decimal places
  • Slide 9
  • T Madas 10000 decimal places 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559 644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360 011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737 190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960 864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303 598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198938095257201065485863278865936153381827968230301952035301852968995773622599413891 249721775283479131515574857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012858361603563707660104710181942955596198946767837449448255379 774726847104047534646208046684259069491293313677028989152104752162056966024058038150193511253382430035587640247496473263914199272604269922796782354781636009341721641219924586315030 286182974555706749838505494588586926995690927210797509302955321165344987202755960236480665499119881834797753566369807426542527862551818417574672890977772793800081647060016145249192 173217214772350141441973568548161361157352552133475741849468438523323907394143334547762416862518983569485562099219222184272550254256887671790494601653466804988627232791786085784383 827967976681454100953883786360950680064225125205117392984896084128488626945604241965285022210661186306744278622039194945047123713786960956364371917287467764657573962413890865832645 995813390478027590099465764078951269468398352595709825822620522489407726719478268482601476990902640136394437455305068203496252451749399651431429809190659250937221696461515709858387 410597885959772975498930161753928468138268683868942774155991855925245953959431049972524680845987273644695848653836736222626099124608051243884390451244136549762780797715691435997700 129616089441694868555848406353422072225828488648158456028506016842739452267467678895252138522549954666727823986456596116354886230577456498035593634568174324112515076069479451096596 094025228879710893145669136867228748940560101503308617928680920874760917824938589009714909675985261365549781893129784821682998948722658804857564014270477555132379641451523746234364 542858444795265867821051141354735739523113427166102135969536231442952484937187110145765403590279934403742007310578539062198387447808478489683321445713868751943506430218453191048481 005370614680674919278191197939952061419663428754440643745123718192179998391015919561814675142691239748940907186494231961567945208095146550225231603881930142093762137855956638937787 083039069792077346722182562599661501421503068038447734549202605414665925201497442850732518666002132434088190710486331734649651453905796268561005508106658796998163574736384052571459 102897064140110971206280439039759515677157700420337869936007230558763176359421873125147120532928191826186125867321579198414848829164470609575270695722091756711672291098169091528017 350671274858322287183520935396572512108357915136988209144421006751033467110314126711136990865851639831501970165151168517143765761835155650884909989859982387345528331635507647918535 893226185489632132933089857064204675259070915481416549859461637180270981994309924488957571282890592323326097299712084433573265489382391193259746366730583604142813883032038249037589 852437441702913276561809377344403070746921120191302033038019762110110044929321516084244485963766983895228684783123552658213144957685726243344189303968642624341077322697802807318915 441101044682325271620105265227211166039666557309254711055785376346682065310989652691862056476931257058635662018558100729360659876486117910453348850346113657686753249441668039626579 787718556084552965412665408530614344431858676975145661406800700237877659134401712749470420562230538994561314071127000407854733269939081454664645880797270826683063432858785698305235 808933065757406795457163775254202114955761581400250126228594130216471550979259230990796547376125517656751357517829666454779174501129961489030463994713296210734043751895735961458901 938971311179042978285647503203198691514028708085990480109412147221317947647772622414254854540332157185306142288137585043063321751829798662237172159160771669254748738986654949450114 654062843366393790039769265672146385306736096571209180763832716641627488880078692560290228472104031721186082041900042296617119637792133757511495950156604963186294726547364252308177 036751590673502350728354056704038674351362222477158915049530984448933309634087807693259939780541934144737744184263129860809988868741326047215695162396586457302163159819319516735381 297416772947867242292465436680098067692823828068996400482435403701416314965897940924323789690706977942236250822168895738379862300159377647165122893578601588161755782973523344604281 512627203734314653197777416031990665541876397929334419521541341899485444734567383162499341913181480927777103863877343177207545654532207770921201905166096280490926360197598828161332 316663652861932668633606273567630354477628035045077723554710585954870279081435624014517180624643626794561275318134078330336254232783944975382437205835311477119926063813346776879695 970309833913077109870408591337464144282277263465947047458784778720192771528073176790770715721344473060570073349243693113835049316312840425121925651798069411352801314701304781643788 518529092854520116583934196562134914341595625865865570552690496520985803385072242648293972858478316305777756068887644624824685792603953527734803048029005876075825104747091643961362 676044925627420420832085661190625454337213153595845068772460290161876679524061634252257719542916299193064553779914037340432875262888963995879475729174642635745525407909145135711136 941091193932519107602082520261879853188770584297259167781314969900901921169717372784768472686084900337702424291651300500516832336435038951702989392233451722013812806965011784408745 196012122859937162313017114448464090389064495444006198690754851602632750529834918740786680881833851022833450850486082503930213321971551843063545500766828294930413776552793975175461 395398468339363830474611996653858153842056853386218672523340283087112328278921250771262946322956398989893582116745627010218356462201349671518819097303811980049734072396103685406643 193950979019069963955245300545058068550195673022921913933918568034490398205955100226353536192041994745538593810234395544959778377902374216172711172364343543947822181852862408514006 660443325888569867054315470696574745855033232334210730154594051655379068662733379958511562578432298827372319898757141595781119635833005940873068121602876496286744604774649159950549 737425626901049037781986835938146574126804925648798556145372347867330390468838343634655379498641927056387293174872332083760112302991136793862708943879936201629515413371424892830722 012690147546684765357616477379467520049075715552781965362132392640616013635815590742202020318727760527721900556148425551879253034351398442532234157623361064250639049750086562710953 591946589751413103482276930624743536325691607815478181152843667957061108615331504452127473924544945423682886061340841486377670096120715124914043027253860764823634143346235189757664 521641376796903149501910857598442391986291642193994907236234646844117394032659184044378051333894525742399508296591228508555821572503107125701266830240292952522011872676756220415420 516184163484756516999811614101002996078386909291603028840026910414079288621507842451670908700069928212066041837180653556725253256753286129104248776182582976515795984703562226293486 003415872298053498965022629174878820273420922224533985626476691490556284250391275771028402799806636582548892648802545661017296702664076559042909945681506526530537182941270336931378 517860904070866711496558343434769338578171138645587367812301458768712660348913909562009939361031029161615288138437909904231747336394804575931493140529763475748119356709110137751721 008031559024853090669203767192203322909433467685142214477379393751703443661991040337511173547191855046449026365512816228824462575916333039107225383742182140883508657391771509682887 478265699599574490661758344137522397096834080053559849175417381883999446974867626551658276584835884531427756879002909517028352971634456212964043523117600665101241200659755851276178 583829204197484423608007193045761893234922927965019875187212726750798125547095890455635792122103334669749923563025494780249011419521238281530911407907386025152274299581807247162591 668545133312394804947079119153267343028244186041426363954800044800267049624820179289647669758318327131425170296923488962766844032326092752496035799646925650493681836090032380929345 958897069536534940603402166544375589004563288225054525564056448246515187547119621844396582533754388569094113031509526179378002974120766514793942590298969594699556576121865619673378 623625612521632086286922210327488921865436480229678070576561514463204692790682120738837781423356282360896320806822246801224826117718589638140918390367367222088832151375560037279839 400415297002878307667094447456013455641725437090697939612257142989467154357846878861444581231459357198492252847160504922124247014121478057345510500801908699603302763478708108175450 119307141223390866393833952942578690507643100638351983438934159613185434754649556978103829309716465143840700707360411237359984345225161050702705623526601276484830840761183013052793 205427462865403603674532865105706587488225698157936789766974220575059683440869735020141020672358502007245225632651341055924019027421624843914035998953539459094407046912091409387001 Never ends It has no pattern No fraction can be found equal to is the most famous irrational number
  • Slide 10
  • T Madas All non exact roots are irrational numbers FACT [it can be proven using more advanced maths ] rational irrational rational Why? rational
  • Slide 11
  • T Madas 2 1000 decimal places 1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732 478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212 644121497099935831413222665927505592755799950501152782060571470109559 971605970274534596862014728517418640889198609552329230484308714321450 839762603627995251407989687253396546331808829640620615258352395054745 750287759961729835575220337531857011354374603408498847160386899970699 004815030544027790316454247823068492936918621580578463111596668713013 015618568987237235288509264861249497715421833420428568606014682472077 143585487415565706967765372022648544701585880162075847492265722600208 558446652145839889394437092659180031138824646815708263010059485870400 318648034219489727829064104507263688131373985525611732204024509122770 022694112757362728049573810896750401836986836845072579936472906076299 694138047565482372899718032680247442062926912485905218100445984215059 112024944134172853147810580360337107730918286931471017111168391658172 688941975871658215212822951848847
  • Slide 12
  • T Madas 2 5000 decimal places 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441 2149709993583141322266592750559275579995050115278206057147010955997160597027453459686201472851741864088919860955232923048430871432145083976260 3627995251407989687253396546331808829640620615258352395054745750287759961729835575220337531857011354374603408498847160386899970699004815030544 0277903164542478230684929369186215805784631115966687130130156185689872372352885092648612494977154218334204285686060146824720771435854874155657 0696776537202264854470158588016207584749226572260020855844665214583988939443709265918003113882464681570826301005948587040031864803421948972782 9064104507263688131373985525611732204024509122770022694112757362728049573810896750401836986836845072579936472906076299694138047565482372899718 0326802474420629269124859052181004459842150591120249441341728531478105803603371077309182869314710171111683916581726889419758716582152128229518 4884720896946338628915628827659526351405422676532396946175112916024087155101351504553812875600526314680171274026539694702403005174953188629256 3138518816347800156936917688185237868405228783762938921430065586956868596459515550164472450983689603688732311438941557665104088391429233811320 6052433629485317049915771756228549741438999188021762430965206564211827316726257539594717255934637238632261482742622208671155839599926521176252 6989175409881593486400834570851814722318142040704265090565323333984364578657967965192672923998753666172159825788602633636178274959942194037777 5368142621773879919455139723127406689832998989538672882285637869774966251996658352577619893932284534473569479496295216889148549253890475582883 4526096524096542889394538646625744927556381964410316979833061852019379384940057156333720548068540575867999670121372239475821426306585132217408 8323829472876173936474678374319600015921888073478576172522118674904249773669292073110963697216089337086611567345853348332952546758516447107578 4860246360083444911481858765555428645512331421992631133251797060843655970435285641008791850076036100915946567067688360557174007675690509613671 9401324935605240185999105062108163597726431380605467010293569971042425105781749531057255934984451126922780344913506637568747760283162829605532 4224269575345290288387684464291732827708883180870253398523381227499908123718925407264753678503048215918018861671089728692292011975998807038185 4333253646021108229927929307287178079988809917674177410898306080032631181642798823117154363869661702999934161614878686018045505553986913115186 0103863753250045581860448040750241195184305674533683613674597374423988553285179308960373898915173195874134428817842125021916951875593444387396 1893145499999061075870490902608835176362247497578588583680374579311573398020999866221869499225959132764236194105921003280261498745665996888740 6795616739185957288864247346358588686449682238600698335264279905628316561391394255764906206518602164726303336297507569787060660685649816009271 8709292153132368281356988937097416504474590960537472796524477094099241238710614470543986743647338477454819100872886222149589529591187892149179 8339810837882781530655623158103606486758730360145022732088293513413872276841766784369052942869849083845574457940959862607424995491680285307739 8938296036213353987532050919989360751390644449576845699347127636450716327915470159773354863893942325727754003826027478567417258095141630715959 7849818009443560379390985590168272154034581581521004936662953448827107292396602321638238266612626830502572781169451035379371568823365932297823 1929860646797898640920856095581426143636310046155943325504744939759339991254195323009321753044765339647066276116617535187546462096763455873861 6488019884849747926404506544489691004079421181692579685756378488149898641685499491635761448404702103398921534237703723335311564594438970365316 6721949049351882905806307401346862641672470110653463493916407146285567980177933814424045269137066609777638784866238003392324370474115331872531 9060191659964553811578884138084332321053376746181217801429609283241136275254088737290512940733947943306194395693670207942951587822834932193166 6411130154959469837897767434443539337709957134988407890850815892366070088658105470949790465722988880892461282816013133701029080290999745647849 5815456146487155163905024198579061310934587833062002622073724716766854554999049940857108099257599288932366154382719550057816251330381531465779 0792686850080698442847915242427544102680575632156532206188575122511306393702536292716196825125919202521605870118959673224423926742373449076464 6727375347964598819149807931718002423855453886038368310800779182466462754117444250018727779518164383451463461299020763343017968554385631667723 5183893366670422221109391449302879638128398893117313084300421255501854985065294556377660314612559091046113847682823595924772286290426427361632 6458544339287726386034314980489639736332975488592568114929683612672589857383321643666348702347730261010613050729861153412994880877447311122954 26527516536659117301423606265
  • Slide 13
  • T Madas 2 10000 decimal places 1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212644121497099935831413222665927505592755799 950501152782060571470109559971605970274534596862014728517418640889198609552329230484308714321450839762603627995251407989687253396546331808829640620615258352395054745750287759961729 835575220337531857011354374603408498847160386899970699004815030544027790316454247823068492936918621580578463111596668713013015618568987237235288509264861249497715421833420428568606 014682472077143585487415565706967765372022648544701585880162075847492265722600208558446652145839889394437092659180031138824646815708263010059485870400318648034219489727829064104507 263688131373985525611732204024509122770022694112757362728049573810896750401836986836845072579936472906076299694138047565482372899718032680247442062926912485905218100445984215059112 024944134172853147810580360337107730918286931471017111168391658172688941975871658215212822951848847208969463386289156288276595263514054226765323969461751129160240871551013515045538 128756005263146801712740265396947024030051749531886292563138518816347800156936917688185237868405228783762938921430065586956868596459515550164472450983689603688732311438941557665104 088391429233811320605243362948531704991577175622854974143899918802176243096520656421182731672625753959471725593463723863226148274262220867115583959992652117625269891754098815934864 008345708518147223181420407042650905653233339843645786579679651926729239987536661721598257886026336361782749599421940377775368142621773879919455139723127406689832998989538672882285 637869774966251996658352577619893932284534473569479496295216889148549253890475582883452609652409654288939453864662574492755638196441031697983306185201937938494005715633372054806854 057586799967012137223947582142630658513221740883238294728761739364746783743196000159218880734785761725221186749042497736692920731109636972160893370866115673458533483329525467585164 471075784860246360083444911481858765555428645512331421992631133251797060843655970435285641008791850076036100915946567067688360557174007675690509613671940132493560524018599910506210 816359772643138060546701029356997104242510578174953105725593498445112692278034491350663756874776028316282960553242242695753452902883876844642917328277088831808702533985233812274999 081237189254072647536785030482159180188616710897286922920119759988070381854333253646021108229927929307287178079988809917674177410898306080032631181642798823117154363869661702999934 161614878686018045505553986913115186010386375325004558186044804075024119518430567453368361367459737442398855328517930896037389891517319587413442881784212502191695187559344438739618 931454999990610758704909026088351763622474975785885836803745793115733980209998662218694992259591327642361941059210032802614987456659968887406795616739185957288864247346358588686449 682238600698335264279905628316561391394255764906206518602164726303336297507569787060660685649816009271870929215313236828135698893709741650447459096053747279652447709409924123871061 447054398674364733847745481910087288622214958952959118789214917983398108378827815306556231581036064867587303601450227320882935134138722768417667843690529428698490838455744579409598 626074249954916802853077398938296036213353987532050919989360751390644449576845699347127636450716327915470159773354863893942325727754003826027478567417258095141630715959784981800944 356037939098559016827215403458158152100493666295344882710729239660232163823826661262683050257278116945103537937156882336593229782319298606467978986409208560955814261436363100461559 433255047449397593399912541953230093217530447653396470662761166175351875464620967634558738616488019884849747926404506544489691004079421181692579685756378488149898641685499491635761 448404702103398921534237703723335311564594438970365316672194904935188290580630740134686264167247011065346349391640714628556798017793381442404526913706660977763878486623800339232437 047411533187253190601916599645538115788841380843323210533767461812178014296092832411362752540887372905129407339479433061943956936702079429515878228349321931666411130154959469837897 767434443539337709957134988407890850815892366070088658105470949790465722988880892461282816013133701029080290999745647849581545614648715516390502419857906131093458783306200262207372 471676685455499904994085710809925759928893236615438271955005781625133038153146577907926868500806984428479152424275441026805756321565322061885751225113063937025362927161968251259192 025216058701189596732244239267423734490764646727375347964598819149807931718002423855453886038368310800779182466462754117444250018727779518164383451463461299020763343017968554385631 667723518389336667042222110939144930287963812839889311731308430042125550185498506529455637766031461255909104611384768282359592477228629042642736163264585443392877263860343149804896 397363329754885925681149296836126725898573833216436663487023477302610106130507298611534129948808774473111229542652751653665911730142360626525869077198217037098104644360477226739282 987415259306956206384710827408218490673723305874302970924289948173924407869375284401044399048520878851914193541512900681735170306938697059004742515765524807844736214410501620084544 412225595620298472594035280190679806809830039645398568593045862526063779745355992774729906488874545124249607637801086390019105809287476472075110923860595019543228160208879621516233 852161287522851802529287618325703717285740676394490982546442218465430880661058020158472840671263025459379890650816857137165668594130053319703659640337667414610495637651030836613489 310947802681293557331890551970520184515039969098663152512411611192594055280856498931958983456233198368349488080617156243911286631279784837197895336901527760054980551663501978555711 014055529763384127504468604647663183266116518206750120476699109872191044474403268943641595942792199442355371870429955924031409171284815854386600538571358363981630945240755700932516 824344168240836197927337282521546224696153321702682995097908903459485887834943961620435842249739718711395892730509219705491717696160044558089942787888036916943289459514722672292612 485069617316380941082186004528610269654757630431025602715231396948213551982140971654909731999283492567409749039229712634869341457493319804171807611196390227866407592243416776246623 623891311027034330457636814112832132630858223945621959808661293999620123415617631817431242008901498384856048087986460839359649236651429681257731432291456871682762199611827826953157 498380262465175905410397618128760421638613450221326272775661244113361077519555774950865636067378665062318564069912280187574178549466125327599769796059776059075648910666101583841720 281853043211904465775255427754379872605488173619826758168628329526078993222668360283851351228105931859102864150815705631971731518313625024359041463212239217663398268936825315053005 989154702909537193266207341123494743367884690201390497842852163414429214589558287847669394646426781221904978563635526336827805186009869924893778600239876916980765662194389854437080 594643336233381058745816235475600136592435242657143083465545768002370814675732525470255074763747163506785159917369379325103268276062864591461820472148637037077192692682362333472037 924596469181052613915308628029144096548256387309273042654466292904589606375191871146934536197332478957270703153093090192119919999361576500350398405406742538792752792272473356677060 783791138448893626136765706026360031513295209539520285489738448625613492441470860708660267634997879342087583612194711699422384848259591430452810706260150896913530301772006271705440 209066951491527459771970594769547409521028787255785688002219371774355811079393088338455864827729100862955456614130672123084874022712105868632338823741388442893815544464710575565146 843570294663506289387356986868837648032651952841465351739530273612013742030098673983851432190043602898269829352939941412923058038456502270721681516194101144982630136490087704839848 838609065336859905458389520318564804149327214239086516499943165920796595356943072311291162928679751715668890543932203569129332457020806719444049730494398140822782960279942454108316 667592142483518272381720504103927428880155622338079614751243351473102128454594489944499600075243751957011668341744749079588209951783676802323651767497230148745774272599476096219843 271483529861119027287358490521797590837419748602670605374623153003937521236786775284869219585713755426968482783631786110993368014391590597484285805451613023014397905701610889862777 961075067333267604865492925139978139053588227689373220494148394013556035656044214017612060513180689198996260618483185340183623782172663758045524719626617492542285280457144204857834 211322800852870420548899234127855481236761537707104254469868521991122835426634999712748366076246241820736466617128394748473280474430403344107200428727127567027956758242926271945458 053002666489965079569778178621942172005237165369467704195111912704624836051130289046437751148694887849615118841471910001255883836660677208411235153558811267789571558590412576261601 067513153580212427331871000635824954504099579407254798900316826512373119055668291519430537084893078691974282904903860372311609928342431712225099454715019286664878710795199518005463 388384431548172463548024451803084527343100062137103462573306001234973744355818096567846464153390514656919324562353140577919369898842364718352537580525771331120079710406831549266540 202604680681839143782721476906324246951712863673844313983337117615941869993466262345373452356794012416809229116360956372167452839170990914664850739205151605604737871061547021699607 465693097944261214692561593425649401912298951473254471518126325836889728226283329524035970072786336460459470712417472946877570595815734996284809956783925547424044899188707106967524 250774520122936081057414265323472406416214103335334055110452126175035902840374545918645047276243420717709297935401021409646450283683418040758608100140721619247717980985968111540446 443728568959286831977797786934641598469745133917741537904877880830022058335046746555323028587325835 Never ends It has no pattern No fraction can be found equal to 2 All non exact roots are irrational numbers
  • Slide 14
  • T Madas All non exact trigonometric ratios are irrational numbers FACT [it can be proven using more advanced maths ] sin 30 = rational irrational tan 60 = cos 71 = irrational rational tan 45 = sin 10 = irrational cos 120 =
  • Slide 15
  • T Madas sin45 1000 decimal places 0.707106781186547524400844362104849039284835937688474036588339868995366 239231053519425193767163820786367506923115456148512462418027925368606 322060748549967915706611332963752796377899975250576391030285735054779 985802985137267298431007364258709320444599304776164615242154357160725 419881301813997625703994843626698273165904414820310307629176197527372 875143879980864917787610168765928505677187301704249423580193449985349 502407515272013895158227123911534246468459310790289231555798334356506 507809284493618617644254632430624748857710916710214284303007341236038 571792743707782853483882686011324272350792940081037923746132861300104 279223326072919944697218546329590015569412323407854131505029742935200 159324017109744863914532052253631844065686992762805866102012254561385 011347056378681364024786905448375200918493418422536289968236453038149 847069023782741186449859016340123721031463456242952609050222992107529 556012472067086426573905290180168553865459143465735508555584195829086 3444709879358291076064114759244236
  • Slide 16
  • T Madas 0.7071067811865475244008443621048490392848359376884740365883398689953662392310535194251937671638207863675069231154561485124624180279253686063220 6074854996791570661133296375279637789997525057639103028573505477998580298513726729843100736425870932044459930477616461524215435716072541988130 1813997625703994843626698273165904414820310307629176197527372875143879980864917787610168765928505677187301704249423580193449985349502407515272 0138951582271239115342464684593107902892315557983343565065078092844936186176442546324306247488577109167102142843030073412360385717927437077828 5348388268601132427235079294008103792374613286130010427922332607291994469721854632959001556941232340785413150502974293520015932401710974486391 4532052253631844065686992762805866102012254561385011347056378681364024786905448375200918493418422536289968236453038149847069023782741186449859 0163401237210314634562429526090502229921075295560124720670864265739052901801685538654591434657355085555841958290863444709879358291076064114759 2442360448473169314457814413829763175702711338266198473087556458012043577550675752276906437800263157340085637013269847351201502587476594314628 1569259408173900078468458844092618934202614391881469460715032793478434298229757775082236225491844801844366155719470778832552044195714616905660 3026216814742658524957885878114274870719499594010881215482603282105913658363128769797358627967318619316130741371311104335577919799963260588126 3494587704940796743200417285425907361159071020352132545282661666992182289328983982596336461999376833086079912894301316818089137479971097018888 7684071310886939959727569861563703344916499494769336441142818934887483125998329176288809946966142267236784739748147608444574274626945237791441 7263048262048271444697269323312872463778190982205158489916530926009689692470028578166860274034270287933999835060686119737910713153292566108704 4161914736438086968237339187159800007960944036739288086261059337452124886834646036555481848608044668543305783672926674166476273379258223553789 2430123180041722455740929382777714322756165710996315566625898530421827985217642820504395925038018050457973283533844180278587003837845254806835 9700662467802620092999552531054081798863215690302733505146784985521212552890874765528627967492225563461390172456753318784373880141581414802766 2112134787672645144193842232145866413854441590435126699261690613749954061859462703632376839251524107959009430835544864346146005987999403519092 7166626823010554114963964653643589039994404958837088705449153040016315590821399411558577181934830851499967080807439343009022752776993456557593 0051931876625022790930224020375120597592152837266841806837298687211994276642589654480186949457586597937067214408921062510958475937796722193698 0946572749999530537935245451304417588181123748789294291840187289655786699010499933110934749612979566382118097052960501640130749372832998444370 3397808369592978644432123673179294343224841119300349167632139952814158280695697127882453103259301082363151668148753784893530330342824908004635 9354646076566184140678494468548708252237295480268736398262238547049620619355307235271993371823669238727409550436443111074794764795593946074589 9169905418941390765327811579051803243379365180072511366044146756706936138420883392184526471434924541922787228970479931303712497745840142653869 9469148018106676993766025459994680375695322224788422849673563818225358163957735079886677431946971162863877001913013739283708629047570815357979 8924909004721780189695492795084136077017290790760502468331476724413553646198301160819119133306313415251286390584725517689685784411682966148911 5964930323398949320460428047790713071818155023077971662752372469879669995627097661504660876522382669823533138058308767593773231048381727936930 8244009942424873963202253272244845502039710590846289842878189244074949320842749745817880724202351051699460767118851861667655782297219485182658 3360974524675941452903153700673431320836235055326731746958203573142783990088966907212022634568533304888819392433119001696162185237057665936265 9530095829982276905789442069042166160526688373090608900714804641620568137627044368645256470366973971653097197846835103971475793911417466096583 3205565077479734918948883717221769668854978567494203945425407946183035044329052735474895232861494440446230641408006566850514540145499872823924 7907728073243577581952512099289530655467293916531001311036862358383427277499524970428554049628799644466183077191359775028908125665190765732889 5396343425040349221423957621213772051340287816078266103094287561255653196851268146358098412562959601260802935059479836612211963371186724538232 3363687673982299409574903965859001211927726943019184155400389591233231377058722125009363889759082191725731730649510381671508984277192815833861 7591946683335211110554695724651439819064199446558656542150210627750927492532647278188830157306279545523056923841411797962386143145213213680816 3229272169643863193017157490244819868166487744296284057464841806336294928691660821833174351173865130505306525364930576706497440438723655561477 132637582683295586507118031326 sin45 5000 decimal places
  • Slide 17
  • T Madas 0.707106781186547524400844362104849039284835937688474036588339868995366239231053519425193767163820786367506923115456148512462418027925368606322060748549967915706611332963752796377899 975250576391030285735054779985802985137267298431007364258709320444599304776164615242154357160725419881301813997625703994843626698273165904414820310307629176197527372875143879980864 917787610168765928505677187301704249423580193449985349502407515272013895158227123911534246468459310790289231555798334356506507809284493618617644254632430624748857710916710214284303 007341236038571792743707782853483882686011324272350792940081037923746132861300104279223326072919944697218546329590015569412323407854131505029742935200159324017109744863914532052253 631844065686992762805866102012254561385011347056378681364024786905448375200918493418422536289968236453038149847069023782741186449859016340123721031463456242952609050222992107529556 012472067086426573905290180168553865459143465735508555584195829086344470987935829107606411475924423604484731693144578144138297631757027113382661984730875564580120435775506757522769 064378002631573400856370132698473512015025874765943146281569259408173900078468458844092618934202614391881469460715032793478434298229757775082236225491844801844366155719470778832552 044195714616905660302621681474265852495788587811427487071949959401088121548260328210591365836312876979735862796731861931613074137131110433557791979996326058812634945877049407967432 004172854259073611590710203521325452826616669921822893289839825963364619993768330860799128943013168180891374799710970188887684071310886939959727569861563703344916499494769336441142 818934887483125998329176288809946966142267236784739748147608444574274626945237791441726304826204827144469726932331287246377819098220515848991653092600968969247002857816686027403427 028793399983506068611973791071315329256610870441619147364380869682373391871598000079609440367392880862610593374521248868346460365554818486080446685433057836729266741664762733792582 235537892430123180041722455740929382777714322756165710996315566625898530421827985217642820504395925038018050457973283533844180278587003837845254806835970066246780262009299955253105 408179886321569030273350514678498552121255289087476552862796749222556346139017245675331878437388014158141480276621121347876726451441938422321458664138544415904351266992616906137499 540618594627036323768392515241079590094308355448643461460059879994035190927166626823010554114963964653643589039994404958837088705449153040016315590821399411558577181934830851499967 080807439343009022752776993456557593005193187662502279093022402037512059759215283726684180683729868721199427664258965448018694945758659793706721440892106251095847593779672219369809 465727499995305379352454513044175881811237487892942918401872896557866990104999331109347496129795663821180970529605016401307493728329984443703397808369592978644432123673179294343224 841119300349167632139952814158280695697127882453103259301082363151668148753784893530330342824908004635935464607656618414067849446854870825223729548026873639826223854704962061935530 723527199337182366923872740955043644311107479476479559394607458991699054189413907653278115790518032433793651800725113660441467567069361384208833921845264714349245419227872289704799 313037124977458401426538699469148018106676993766025459994680375695322224788422849673563818225358163957735079886677431946971162863877001913013739283708629047570815357979892490900472 178018969549279508413607701729079076050246833147672441355364619830116081911913330631341525128639058472551768968578441168296614891159649303233989493204604280477907130718181550230779 716627523724698796699956270976615046608765223826698235331380583087675937732310483817279369308244009942424873963202253272244845502039710590846289842878189244074949320842749745817880 724202351051699460767118851861667655782297219485182658336097452467594145290315370067343132083623505532673174695820357314278399008896690721202263456853330488881939243311900169616218 523705766593626595300958299822769057894420690421661605266883730906089007148046416205681376270443686452564703669739716530971978468351039714757939114174660965833205565077479734918948 883717221769668854978567494203945425407946183035044329052735474895232861494440446230641408006566850514540145499872823924790772807324357758195251209928953065546729391653100131103686 235838342727749952497042855404962879964446618307719135977502890812566519076573288953963434250403492214239576212137720513402878160782661030942875612556531968512681463580984125629596 012608029350594798366122119633711867245382323363687673982299409574903965859001211927726943019184155400389591233231377058722125009363889759082191725731730649510381671508984277192815 833861759194668333521111055469572465143981906419944655865654215021062775092749253264727818883015730627954552305692384141179796238614314521321368081632292721696438631930171574902448 198681664877442962840574648418063362949286916608218331743511738651305053065253649305767064974404387236555614771326375826832955865071180313262934538599108518549052322180238613369641 493707629653478103192355413704109245336861652937151485462144974086962203934687642200522199524260439425957096770756450340867585153469348529502371257882762403922368107205250810042272 206112797810149236297017640095339903404915019822699284296522931263031889872677996387364953244437272562124803818900543195009552904643738236037555461930297509771614080104439810758116 926080643761425901264643809162851858642870338197245491273221109232715440330529010079236420335631512729689945325408428568582834297065026659851829820168833707305247818825515418306744 655473901340646778665945275985260092257519984549331576256205805596297027640428249465979491728116599184174744040308578121955643315639892418598947668450763880027490275831750989277855 507027764881692063752234302323831591633058259103375060238349554936095522237201634471820797971396099721177685935214977962015704585642407927193300269285679181990815472620377850466258 412172084120418098963668641260773112348076660851341497548954451729742943917471980810217921124869859355697946365254609852745858848080022279044971393944018458471644729757361336146306 242534808658190470541093002264305134827378815215512801357615698474106775991070485827454865999641746283704874519614856317434670728746659902085903805598195113933203796121708388123311 811945655513517165228818407056416066315429111972810979904330646999810061707808815908715621004450749192428024043993230419679824618325714840628865716145728435841381099805913913476578 749190131232587952705198809064380210819306725110663136387830622056680538759777887475432818033689332531159282034956140093787089274733062663799884898029888029537824455333050791920860 140926521605952232887627713877189936302744086809913379084314164763039496611334180141925675614052965929551432075407852815985865759156812512179520731606119608831699134468412657526502 994577351454768596633103670561747371683942345100695248921426081707214607294779143923834697323213390610952489281817763168413902593004934962446889300119938458490382831097194927218540 297321668116690529372908117737800068296217621328571541732772884001185407337866262735127537381873581753392579958684689662551634138031432295730910236074318518538596346341181166736018 962298234590526306957654314014572048274128193654636521327233146452294803187595935573467268098666239478635351576546545096059959999680788250175199202703371269396376396136236678338530 391895569224446813068382853013180015756647604769760142744869224312806746220735430354330133817498939671043791806097355849711192424129795715226405353130075448456765150886003135852720 104533475745763729885985297384773704760514393627892844001109685887177905539696544169227932413864550431477728307065336061542437011356052934316169411870694221446907772232355287782573 421785147331753144693678493434418824016325976420732675869765136806006871015049336991925716095021801449134914676469970706461529019228251135360840758097050572491315068245043852419924 419304532668429952729194760159282402074663607119543258249971582960398297678471536155645581464339875857834445271966101784564666228510403359722024865247199070411391480139971227054158 333796071241759136190860252051963714440077811169039807375621675736551064227297244972249800037621875978505834170872374539794104975891838401161825883748615074372887136299738048109921 635741764930559513643679245260898795418709874301335302687311576501968760618393387642434609792856877713484241391815893055496684007195795298742142902725806511507198952850805444931388 980537533666633802432746462569989069526794113844686610247074197006778017828022107008806030256590344599498130309241592670091811891086331879022762359813308746271142640228572102428917 105661400426435210274449617063927740618380768853552127234934260995561417713317499856374183038123120910368233308564197374236640237215201672053600214363563783513978379121463135972729 026501333244982539784889089310971086002618582684733852097555956352312418025565144523218875574347443924807559420735955000627941918330338604205617576779405633894785779295206288130800 533756576790106213665935500317912477252049789703627399450158413256186559527834145759715268542446539345987141452451930186155804964171215856112549727357509643332439355397599759002731 694192215774086231774012225901542263671550031068551731286653000617486872177909048283923232076695257328459662281176570288959684949421182359176268790262885665560039855203415774633270 101302340340919571891360738453162123475856431836922156991668558807970934996733131172686726178397006208404614558180478186083726419585495457332425369602575802802368935530773510849803 732846548972130607346280796712824700956149475736627235759063162918444864113141664762017985036393168230229735356208736473438785297907867498142404978391962773712022449594353553483762 125387260061468040528707132661736203208107051667667027555226063087517951420187272959322523638121710358854648967700510704823225141841709020379304050070360809623858990492984055770223 2218642844796434159888988934673207992348725669588707689524389404150110291675233732776615142936629175 Never ends It has no pattern No fraction can be found equal to sin 45 All non exact trigonometric ratios are irrational numbers sin45 1000 decimal places
  • Slide 18
  • T Madas 0.0163934426229508196721311475409836065573770491803 2786885245901639344262295081967213114754098360655 7377049180327868852459016393442622950819672131147 5409836065573770491803278688524590163934426229508 1967213114754098360655737704918032786885245901639 3442622950819672131147540983606557377049180327868 8524590163934426229508196721311475409836065573770 4918032786885245901639344262295081967213114754098 3606557377049180327868852459016393442622950819672 1311475409836065573770491803278688524590163934426 22950819672 Look at the 500 decimal places of this number Is it rational or irrational?
  • Slide 19
  • T Madas 0.0163934426229508196721311475409836065573770491803 2786885245901639344262295081967213114754098360655 7377049180327868852459016393442622950819672131147 5409836065573770491803278688524590163934426229508 1967213114754098360655737704918032786885245901639 3442622950819672131147540983606557377049180327868 8524590163934426229508196721311475409836065573770 4918032786885245901639344262295081967213114754098 3606557377049180327868852459016393442622950819672 1311475409836065573770491803278688524590163934426 22950819672 Look at the 500 decimal places of this number Is it rational or irrational?
  • Slide 20
  • T Madas 0.0163934426229508196721311475409836065573770491803 2786885245901639344262295081967213114754098360655 7377049180327868852459016393442622950819672131147 5409836065573770491803278688524590163934426229508 1967213114754098360655737704918032786885245901639 3442622950819672131147540983606557377049180327868 8524590163934426229508196721311475409836065573770 4918032786885245901639344262295081967213114754098 3606557377049180327868852459016393442622950819672 1311475409836065573770491803278688524590163934426 22950819672 Look at the 500 decimal places of this number Is it rational or irrational?
  • Slide 21
  • T Madas 0.0163934426229508196721311475409836065573770491803 2786885245901639344262295081967213114754098360655 7377049180327868852459016393442622950819672131147 5409836065573770491803278688524590163934426229508 1967213114754098360655737704918032786885245901639 3442622950819672131147540983606557377049180327868 8524590163934426229508196721311475409836065573770 4918032786885245901639344262295081967213114754098 3606557377049180327868852459016393442622950819672 1311475409836065573770491803278688524590163934426 22950819672 Look at the 500 decimal places of this number Is it rational or irrational?
  • Slide 22
  • T Madas 0.0163934426229508196721311475409836065573770491803 2786885245901639344262295081967213114754098360655 7377049180327868852459016393442622950819672131147 5409836065573770491803278688524590163934426229508 1967213114754098360655737704918032786885245901639 3442622950819672131147540983606557377049180327868 8524590163934426229508196721311475409836065573770 4918032786885245901639344262295081967213114754098 3606557377049180327868852459016393442622950819672 1311475409836065573770491803278688524590163934426 22950819672 Look at the 500 decimal places of this number Is it rational or irrational? This decimal has a 60 digit recurring pattern Recurring decimals are not irrational numbers Recurring decimals can always be written as fractions 1 61
  • Slide 23
  • T Madas An irrational number, when written in decimal form, it has an infinite number of decimal digits with no pattern whatsoever. or more formally: It is a number that cannot be written as a fraction with integer numerator and denominator Summary on Irrational Numbers Examples of irrational numbers: all non exact roots all non exact trigonometric ratios NOTE Recurring decimals are rational numbers
  • Slide 24
  • T Madas An irrational number, is a number that cannot be expressed as a fraction with integer numerator and denominator Loosely this means: when an irrational number is written in decimal form, it has an infinite number of decimal digits with no pattern whatsoever. Summary on Irrational Numbers Examples of irrational numbers are: non exact roots non exact trigonometric ratios or inverse trigonometric ratios e (and most exponentials involving e ) Non exact logarithms to any base Definite integrals which cannot be integrated in terms of known functions
  • Slide 25
  • T Madas
  • Slide 26
  • Suppose we have two numbers and only one of them is irrational. Their sum/difference will be irrational Their product/quotient will be irrational Then: E.g.
  • Slide 27
  • T Madas the irrational number with zero whole part and decimal part such that when it is added to 2, it gives 1.999 When both numbers are irrational, things are not always straightforward. Suppose we have two numbers and only one of them is irrational. Their sum/difference will be irrational Their product/quotient will be irrational Then: is irrational BUT is rational
  • Slide 28
  • T Madas When both numbers are irrational, things are not always straightforward. Suppose we have two numbers and only one of them is irrational. Their sum/difference will be irrational Their product/quotient will be irrational Then: is irrational BUT is rational
  • Slide 29
  • T Madas It gets even more complicated with irrational powers Is rational or irrational? It is almost certain to be irrational. Todays mathematical software running on super-fast computers can calculate billions of decimal places, but no one has actually proved this fact to this date. Here is an interesting example of an irrational number raised to an irrational power being rational! is either rational (R ) or irrational (I ) if it is rational (R ) we found our number !!! if not: !!!!
  • Slide 30
  • T Madas