Indice...SESION 1 Campos escalares y vectoriales 1.1 Introducci on En los cursos de C alculo I y II se ha trabajado con funciones reales de una variable real. En este curso de C alculo

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1 Campos escalares y vectoriales 11.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Interpretacion fısica de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Divergencia y rotacional 72.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Divergencia de un CV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Rotacional de un CV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.7 Interpretacion fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.7.1 Interpretacion fısica de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . 92.7.2 Interpretacion fısica del rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.8 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.9 Desafıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Curvas 153.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Curvas en el plano y el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Ejemplos claves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.1 Segmento de recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1

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3.3.2 Circunferencia en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3.3 Helice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4 Curvas orientadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.5 Derivada de una funcion vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.5.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.6 Tipos especiales de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.7 Movimiento de partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.8 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.9 Desafıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.10 APENDICE: Ecuaciones parametricas de algunas curvas . . . . . . . 24

4 Integral de lınea I 29

4.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Trabajo realizado por un campo de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2.1 Fuerza constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2.2 Fuerza seccionalmente constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.3 Fuerza continuamente variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3 Integral de lınea para campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4 Propiedades de las integrales de lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.5 Integral de lınea para campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.6 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.7 Desafıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.8 Integral de lınea de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.9 Integral de lınea de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 Integral de lınea II 41

5.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2 Teorema fundamental para integrales de lınea . . . . . . . . . . . . . 42

5.3 Teorema. Criterio de las componentes para un campo conservativo . . 42

5.4 Un campo conservativo...¿que conserva? . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.5 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.6 Desafıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.7 Integral de lınea de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.8 Integral de lınea de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6 Teorema de Green 31

6.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.2 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.3 Teorema de Green y areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.4 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.5 Desafıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

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7 Superficies parametricas 437.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.2 Representacion parametrica de superficies . . . . . . . . . . . . . . . 437.3 Plano tangente a una superficie parametrica . . . . . . . . . . . . . . 457.4 Area de una superficie parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.5 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.6 APENDICE: Ecuaciones parametricas de algunas superficies . . . . . 48

8 Integrales de Superficie 438.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.2 IdS de un campo escalar sobre una superficie definida parametricamente 438.3 IdS de campo escalar sobre una superficie definida explıcitamente . . 458.4 Superficies orientadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.5 IdS de un campo vectorial sobre una superficie definida parametricamente 478.6 Algunas aplicaciones de las integrales de superficie . . . . . . . . . . . 498.7 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9 Teorema de Gauss 519.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.2 Primera forma vectorial del Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . 529.3 Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.4 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

10 Teorema de Stokes 5710.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5710.2 Segunda forma vectorial del Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . 5810.3 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.4 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3

SESION 1

Campos escalares y vectoriales

1.1 Introduccion

En los cursos de Calculo I y II se ha trabajado con funciones reales de una variablereal. En este curso de Calculo III se han introducido y trabajado las funciones devarias variables. Estas funciones reciben, en el contexto de la unidad que se inicia, elnombre de campos escalares, como contrapunto a las nuevas funciones que aparecen,las cuales reciben el nombre de campos vectoriales. Ası entonces:

1.2 Campos escalares

Un campo escalar ∗ es una funcion de D ⊆ R2 o D ⊆ R3 en R, es decir se llamacampo escalar a una funcion real de varias variables reales. Luego, asociado a uncampo escalar estan todos los conceptos ya estudiados: derivadas parciales, derivadasdireccionales, gradientes, planos tangentes, etc.

1.3 Campos vectoriales

Se denomina campo vectorial † en Rn a una funcion de D ⊆ Rn en Rn (con n ≥ 2).En este curso se trabajara de preferencia los casos n = 2 y n = 3.

∗ Anotaremos campo escalar por CE † Anotaremos campo vectorial por CV

1

Calculo vectorial. Sesion 1 Campos escalares y vectoriales

Ejemplo 1.1. Ejemplos de CV.

• F (x, y) = (x,−y) = x ı− y es un campo vectorial en R2.

• G(x, y) = (x+ y, x− y) = (x+ y) ı + (x− y) es un campo vectorial en R2.

• H(x, y, z) = (−x+ y+ z, x− y+ z, x+ y− z) = (−x+ y+ z) ı + (x− y+ z) +

(x+ y − z) k es un campo vectorial en R3.

Ejercicio 1.1. Determinar cual(es) de las siguientes aplicaciones constituye(n) uncampo escalar o un campo vectorial:

1) La aplicacion que asocia, en un determinado momento, a cada punto de la tierrala velocidad del viento en dicho punto.

2) La aplicacion que asocia, en un determinado momento, a cada punto de la tierrala temperatura a 10 metros de altura sobre dicho punto.

3) La aplicacion que asocia a cada punto de la tierra su altura sobre el nivel delmar.

Nota 1.1. En general un campo vectorial en D ⊂ R2, viene dado por

−→F (x, y) = P (x, y) ı +Q(x, y)

o equivalentemente, por

−→F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y))

Donde P y Q son campos escalares, en este caso, funciones de D ⊂ R2 en R, que

reciben el nombre de funciones componentes de−→F .

Ejercicio 1.2. ¿Que forma tiene, en general, un campo vectorial en R3?

1.4 Interpretacion fısica de un campo vectorial

Como una manera de visualizar de mejor manera un campo vectorial−→F , digamos en

D ⊂ R2, se acostumbra a dibujar en el plano, el vector−→F (x, y) a partir del punto

(x, y). De manera analoga se procede con campos vectoriales en R3. El conjunto devectores ası graficados recibe el nombre de campo de direcciones o flujo.

Instituto de Matematica y Fısica 2 Universidad de Talca


Ejemplos de CV en R2

Flujo de−→F (x, y) = (x,−y) Flujo de

−→G(x, y) = (x+ y, x− y)

Flujo de−→H (x, y) = (y,−x) Flujo de

−→J (x, y) = (y, 1)

Ejemplos de CV en R3

Flujo de−→F (x, y, z) = (x, y, z) Flujo de

−→G(x, y, z) = (−x,−y,−z)



Flujo de−→H (x, y, z) = (y, x, 1) Flujo de

−→J (x, y, z) = (1, 1, 1)

1.5 Actividades

1) Analizar si la afirmacion El gradiente de un campo escalar es un campo vectorial,es verdadera o falsa. Justificar su respuesta.

2) Dibujar el campo de direcciones de−→F (x, y) = (y, x) en los puntos indicados.

3) Realizar un esbozo de los campos de direcciones de−→F (x, y) = (x + 1, y − 1) y

−→G(x, y, z) = i+ j + zk. Chequear sus respuesta con el software MVT (Mathe-matical Visualization Toolkit).



4) Hacer corresponder los campos vectoriales gradientes de los siguientes CE enR2

F1(x, y) = xy F2(x, y) = x2 − y2

F3(x, y) = x2 + y2 F4(x, y) =√x2 + y2

con uno de los siguientes graficos:

5) Hacer corresponder los siguientes CV en R3

−→F1(x, y, z) = ı + 2 + 3 k

−→F2(x, y, z) = ı + 2 + z k

−→F3(x, y, z) = x ı + y + 3 k

−→F4(x, y, z) = x ı + y + z k

con uno de los siguientes graficos:



6) Ley de gravitacion de Newton. La ley de gravitacion universal establece que lamagnitud de la fuerza gravitacional entre dos objetos de masas m y M , vienedada por:

||−→F || = mMG

r2

donde, r es la distancia entre los objetos y G la constante gravitacional∗.

a) Sea M la masa de la tierra, su centro ubicado en el origen de R3 y mla masa de un objeto con vector posicion −→x = (x, y, z). Deducir que eneste caso, la fuerza gravitacional que actua sobre el cuerpo ubicado en −→x ,llamado campo vectorial gravitatorio, es

−→F =

−→F (−→x ) = −mMG

||−→x ||3−→x

b) Explicitar las funciones componentes de−→F .

c) Esbozar el campo de direcciones de−→F .

7) Un campo vectorial−→F se dice campo vectorial conservativo, cuando existe un

campo escalar f , de modo que−→F = ∇f . En tal caso, la funcion f recibe el

nombre de funcion potencial de−→F

a) Verificar que f(x, y) = 12y2+x2y es una funcion potencial de

−→F =

−→F (x, y) =

(2xy, x2 + y)

b) Decidir si el CV−→G =

−→G(x, y) = (x+ 4y, 4x+ y) es o no conservativo.

c) Idem anterior para−→H =

−→H (x, y) = (x+ 4y, x+ 4y)

8) a) Sean P y Q dos funciones C1 en un disco abierto del plano. Verificar que

si el CV−→F (x, y) = (P,Q) es conservativo entonces ∂Q

∂x= ∂P

∂y.

b) Verificar que el CV−→F (x, y) = xy2−→i + xyj no es conservativo

c) El CV−→F (x, y) = (x2, y3) es conservativo. ¿Es posible comprobar esta

afirmacion usando (a)?

∗ G ≈ 6.67428 · 10−11Nm2kg−2


SESION 2

Divergencia y rotacional

2.1 Introduccion

En esta sesion se revisan dos operaciones sobre campos vectoriales, de frecuente usoel resto del curso. Una de ellas produce un campo escalar (divergencia) y la otra uncampo vectorial (rotor).

2.2 Divergencia de un CV

Sea−→F un campo vectorial en R3, definido por

−→F =

−→F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))

con P , Q y R campos escalares con derivadas parciales.

Se llama divergencia de−→F , anotado div(

−→F ), al campo escalar:

div(−→F ) =

∂P

dx+∂Q

dy+∂R

dz

Nota 2.1. Si se considera el operador gradiente∗ ∇ = ( ∂dx, ∂dy, ∂dz

), la divergencia de−→F se puede anotar simbolicamente como el producto punto entre ∇ y

−→F , es decir,

div(−→F ) = ∇ ·

−→F

∗ Este operador diferencial es conocido con el nombre de nabla o del.

7

Calculo vectorial. Sesion 2 Divergencia y rotor

En efecto:

div(−→F ) = ∇ ·

−→F =

(∂

dx,∂

dy,∂

dz

)· (P,Q,R) =

∂P

dx+∂Q

dy+∂R

dz

Ejercicio 2.1. Calcular la divergencia de−→F (x, y, z) = sin(xy) ı+sin(yz) +sin(zx) k

Nota 2.2. No confundir ∇f con ∇ ·−→F .

∇f = (fx, fy, fz) es el gradiente del CE f , mientras que ∇ ·−→F corresponde al la

divergencia del CV−→F .

Algunas relaciones que involucran a la divergencia, se presentan en el siguiente teo-rema:

2.3 Teorema

Sean−→F ,−→G campos vectoriales y φ, ψ campos escalares, entonces

1) div(−→F +

−→G) = div(

−→F ) + div(

−→G)

2) div(φ−→F ) = φ div(

−→F ) +

−→F · grad(φ)

3) div(∇φ×∇ψ) = 0

2.4 Rotacional de un CV

Sea−→F un campo vectorial en R3, definido por

−→F =

−→F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))

con P , Q y R campos escalares con derivadas parciales.

Se llama rotor de−→F , anotado rot(

−→F ), al campo vectorial:

rot(−→F ) =

(∂R

∂y− ∂Q

∂z

)ı +

(∂P

∂z− ∂R

∂x

) +

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)k

Nota 2.3. Si se considera el operador gradiente ∇ = ( ∂dx, ∂dy, ∂dz

), el rotor de−→F se

puede anotar simbolicamente como el producto cruz entre ∇ y−→F , es decir,

rot(−→F ) = ∇×

−→F =

∣∣∣∣∣∣∣∣ı k∂

dx

∂

dy

∂

dzP Q R

∣∣∣∣∣∣∣∣Ejercicio 2.2. Calcular el rotor de

−→F (x, y, z) = sin(xy) ı + sin(yz) + sin(zx) k



2.5 Teorema

Verificar que si−→F = (P,Q,R) es un CV con P,Q,R ∈ C2 y f(x, y, z) un CE C2,

entonces

1) div(rot−→F ) = ∇ · (∇×

−→F ) = 0

2) rot(∇f) = ∇× (∇f) =−→0

Algunas relaciones que involucran al rotacional, se presentan en el siguiente teorema:

2.6 Teorema

Sean−→F ,−→G campos vectoriales y φ campo escalar, entonces

1) rot(−→F +

−→G) = rot(

−→F ) + div(

−→G)

2) rot(φ−→F ) = φ rot(

−→F ) + (∇φ)×

−→F

3) rot(−→F ×

−→G) =

−→G · rot(

−→F )−

−→F · rot(

−→G)

2.7 Interpretacion fısica

Si−→F corresponde al campo de velocidades de un fluido, entonces

2.7.1 Interpretacion fısica de la divergencia

La divergencia de−→F representa la razon neta de cambio de la masa del fluıdo que

fluye desde un punto por unidad de volumen. En otras palabras la divergencia midela tendencia de un fluıdo a divergir desde un punto.

• Si la div(F )(P ) < 0, el campo se esta convergiendo (comprimiendo, concen-

trando) en torno al punto P . En este caso, se dice que−→F tiene un sumidero en

el punto P .

• Si la div(F )(P ) > 0, el campo se esta divergiendo (expandiendo, alejandose)

del punto P . En este caso, se dice que−→F tiene un manantial en el punto P .

• Si la div(F ) = 0, el campo se dice incompresible.



2.7.2 Interpretacion fısica del rotacional

El rot(−→F )(P ) representa la tendencia de las partıculas cercanas al punto P a rotar en

torno al eje que apunta en la direccion del rot(−→F )(P ). El vector rot(

−→F ), apunta en la

direccion en la cual el fluıdo gira mas rapido, siendo el valor ||rot(−→F )|| una medidad

de de la rapidez de esta rotacion. Cuando rot(−→F ) =

−→0 , el fluıdo se dice irrotacional.

Ejemplo 2.1. Si el campo de velocidades−→F de un fluıdo tiene el siguiente campo de

direcciones

determinar si en origen

1) la divergencia es positiva, negativa o 0

2) una rueda con paletas girarıa positivamente (en las direccion de las manecillasde un reloj), negativamente o no girarıa.

3) Sabiendo que el campo de vectores corresponden al campo vectorial−→F = x

(1+x2+y2)3/2ı−

y(1+x2+y2)3/2

, verificar algebraicamente las respuestas anteriores.

Solucion:

1) Como el campo apunta hacia el origen, es razonable pensar que el fluıdo se

acumula en torno al origen. Por lo tanto div(−→F )(0, 0, 0) debe tener un valor

negativo.

2) Como el campo actua radialmente, la rueda no girarıa. Por lo tanto rot(−→F ))(0, 0, 0) =

−→0 .

3) div(−→f ) = 3(x2+y2)

1+x2+y2)5/2− 2

1+x2+y2)3/2+ 0 = −2

rot(−→F ) = (0− 0) ı + (0− 0) + ( 3yx

1+x2+y2)3/2− 3xy

1+x2+y2)3/2) k =

−→0



2.8 Actividades

1) Calcular la divergencia y el rotor de los siguientes CV:

a)−→F1(x, y, z) = x2 ı + y2 + z2 k b)

−→F2(x, y) = sin x ı− sin y

2) Calcular el rotor y la divergencia del siguiente campo vectorial

−→F (x, y) =

−yx2 + y2

ı +x

x2 + y2

Respuesta: Rotor−→0 , Divergencia 0.

3) Sean f un CE y−→F un CV, determinar cual(es) de las siguientes expresiones

tienen sentido. Justificar su respuesta.

a) rot(f), b) rot(grad(f)) c) div(div(f)) d) div(div(−→F )) e) rot(rot(

−→F ))

4) Encontrar un campo vectorial cuya divergencia sea:

a) 1 b) x2y c)√x2 + z2

5) Sea −→r = x ı + y + z k y r = ||−→r ||, verificar que:

a) ∇ · −→r = 3 b) ∇ · (r−→r ) = 4r c∗) ∇2r3 = 12r

6) Con las mismas notaciones del ejercicio precedente, comprobar que

a) ∇r =−→rr

b) ∇×−→r =−→0 c) ∇(1/r) = −

−→rr3

7) Verificar que la divergencia del gradiente de un CE f viene dada por

∇ · (∇f) = ∇ · ∇f = ∇2f =∂2f

dx2+∂2f

dy2+∂2f

dz2

La expresion recien obtenida recibe el nombre de laplaciano de f y la ecuacion

∇2f =∂2f

dx2+∂2f

dy2+∂2f

dz2= 0

se denomina ecuacion de Laplace, y a toda funcion que cumpla con esta ecuacionse le llama funcion armonica.

Estudiar cuales de las siguientes funciones son armonicas:

a) f(x, y, z) =k

x2 + y2 + z2

b) g(x, y, z) = ax2 + by2 + cz2

∗ Mirar ejercicio 7



c) h(x, y) = ln(√x2 + y2)

Pierre Simon Laplace

Matematico Frances (1749-1827)

8) Verificar que si f(x, y, z) es armonica, tambien lo es la funcion

1

rf( xr2,y

r2,z

r2

),

donde r =√x2 + y2 + z2.

9) Considerar el campo vectorial

−→F (−→r ) =

−→rrp

con −→r = x ı + y + z k y r = ||−→r ||.

a) Calcular div(−→F ).

b) Determinar los valores de p para los cuales div(−→F ) = 0.

10) Si el campo de velocidades−→F de un fluıdo tiene el siguiente campo de direcciones



determinar si en origen

a) la divergencia es positiva, negativa o 0

b) una rueda con paletas girarıa positivamente (en las direccion de las manecil-las de un reloj), negativamente o no girarıa

c) Los mismo si el campo de vectores es

2.9 Desafıo

Un campo vectorial−→F se dice radial, cuando tiene la forma

−→F (r) = φ(r)−→r

donde φ es una funcion derivable, −→r = (x, y, z), y r = ||−→r || =√x2 + y2 + z2

Verificar que:

1) grad(−→F ) =

φ′(r)

r−→r

2) div(−→F ) = rφ′(r) + 3φ(r)

3) rot(−→F ) =

−→0


Calculo vectorial. Sesion 2 Curvas


SESION 3

Curvas

3.1 Introduccion

En esta sesion se revisa el concepto de curva, el cual resulta ser clave en el resto deesta unidad.

3.2 Curvas en el plano y el espacio

Informalmente se denomina curva a la traza de una partıcula que se mueve en el planoo el espacio. Formalmente, se llama curva en el espacio al grafico de una funcion

−→r (t) = f1(t) ı + f2(t) + f3(t) k = (f1(t), f2(t), f3(t)) (3.1)

donde f1, f2 y f3 son funciones reales definidas en un intervalo I = [a, b].

Curva en el espacio

15


Nota 3.1. .

• Una funcion del tipo recien definido (−→r ) recibe el nombre de funcion vectorial.

• Las funciones f1, f2 y f3 se llaman funciones componentes de −→r .

• En el caso que f3 = 0, la funcion f queda:

−→r (t) = f1(t) ı + f2(t) = (f1(t), f2(t)) (3.2)

y en tal caso la curva asociada (su grafico) es una curva en el plano.

• Es frecuente presentar las funciones componentes de una funcion vectorial me-diante las ecuaciones

x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t)

llamadas ecuaciones parametricas de la curva asociada. Ademas, a la ecuacion(3.1) se le llama una parametrizacion de la curva correspondiente y la variablet parametro.

• Una parametrizacion es continua, cuando sus funciones componentes lo son.

• En lugar de curva, a veces se habla de camino o trayectoria.

3.3 Ejemplos claves

3.3.1 Segmento de recta

La curva en el espacio, correspondiente al segmento de recta que une los puntosA = (a1, a2, a3) y B = (b1, b2, b3) viene dada por la funcion vectorial:

−→s (t) = (a1 + (b1 − a1)t, a2 + (b2 − a2)t, a3 + (b3 − a3)t); con t ∈ [0, 1]

Ası, por ejemplo, el segmento de recta, S, que une los puntos (1, 1, 1) y (2, 2, 2) tieneecuaciones parametricas:

x = 1 + t, x = 1 + t, y = 1 + t; t ∈ [0, 1]

y su grafico es:

Segmento de recta



Observar que cuando t varıa entre 0 y 1, los puntos del segmento varıan desde elpunto (1, 1, 1) al punto (2, 2, 2).

Ejercicio 3.1. Determinar y esbozar las ecuaciones parametricas del segmento

1) en el espacio, que une los puntos (1, 2, 3) y (3, 2, 1).

2) en el plano, que une los puntos (a, b) y (c, d).

3.3.2 Circunferencia en el plano

Las ecuaciones parametricas de la circunferencia con centro (0, 0) y radio r son:

x = r cos(t), y = r sin(t); t ∈ [0, 2π]

Ejercicio 3.2. Determinar las ecuaciones parametricas de la circunferencia de centro(2, 3) y radio 3. En general, ¿cuales son las ecuaciones parametricas de una circun-ferencia de radio r y centrada en el punto (x0, y0)?

3.3.3 Helice

Considerando la curva en el espacio con ecuacion vectorial

−→h (t) = cos(t) ı + sin(t) + t

−→k , 0 ≤ t ≤ 4π

o sus equivalentes ecuaciones parametricas

x = cos(t), y = sin(t), z = t; t ∈ [0, 4π]

corresponde a una curva que parte del punto (1, 0, 0) (cuando t = 0), y que a medidaque t crece, los puntos correspondientes de la curva van subiendo, pero siempre sobreel cilindro x2 + y2 = 1.

Helice circular



3.4 Curvas orientadas

Asociado a una curva, se considera su orientacion, la cual hace referencia a la direccionen la cual son descritos sus puntos. Ası, por ejemplo para la helice circular del ejemplo

anterior, ella parte desde el punto−→h (0) y termina en el punto

−→h (4π). Este sentido

se define como el positivo, y negativo el contrario. El sentido de la curva se anota, talcomo allı se senala, incorporando una flecha sobre ella.

−→r (t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ π/2 −→r (t) = (cos(π/2− t), sin(π/2− t)), 0 ≤ t ≤ π/2

Nota 3.2. En general, si C es una curva con ecuacion −→r (t) con t ∈ [a, b], la curva−C tiene por ecuacion −→r (a+ b− t), con t tambien en [a, b].

3.5 Derivada de una funcion vectorial

La derivada −→r ′ de una funcion vectorial del tipo (3.1) se define analogamente al casode funciones reales:

−→r ′(t) =d−→rdt

= limh→0

−→r (t+ h)−−−→r(t)

h(3.3)

siempre que este lımite exista.Geometricamente, −→r ′(t) representa un vector tangente a la curva C en su puntoP = −→r (t) que sigue la direccion del sentido de la curva.

Vectores secante y tangente a una curva



Nota: El calculo de (3.3) se facilita, luego del siguiente teorema:

3.5.1 Teorema

Si−→r (t) = f1(t) ı + f2(t) + f3(t)

−→k = (f1(t), f2(t), f3(t))

es una funcion vectorial con sus funciones componentes diferenciables, entonces

−→r ′(t) = f ′1(t) ı + f ′2(t) + f ′3(t)−→k = (f ′1(t), f ′2(t), f ′3(t))

Nota 3.3. Cuando la curva −→r = −→r (t) representa la trayectoria del movimiento deuna partıcula:

• −→v (t) = −→r ′(t), representa la velocidad del movil, y ||−→r ′(t)|| su rapidez.

• −→a (t) = −→v ′(t) = −→r ′′(t), corresponde a la aceleracion del movil.

Ejercicio 3.3. Dada la curva −→r (t) = cos(t)−→i + sin(t)

−→j + t

−→k con 0 ≤ t ≤ 4π,

encontrar su vector tangente y recta tangente en su punto P = −→r (2π) = (1, 0, 2π).

Vector tangente Recta tangente

3.6 Tipos especiales de curvas

Una curva del tipo (3.1) se dice:

1) suave, cuando su derivada es continua y no se anula en ningun punto interioral intervalo I.

2) simple, cuando la funcion −→r (t) es inyectiva.

3) cerrada, cuando −→r (a) = −→r (b), con t ∈ [a, b].



suave y simple no simple simple cerrada simple y no suave

3.7 Movimiento de partıculas

Si la posicion de una partıcula viene dada por la curva

−→r (t) = (x(t), y(t), z(t))

donde las funciones componentes son C2, entonces la velocidad, rapidez y aceleracionde la partıcula se definen por:

• Velocidad: −→v (t) = (x′(t), y′(t), z′(t))

• Rapidez: ||−→v (t)|| =√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2

• Aceleracion: −→a (t) =−→v′ (t) = (x′′(t), y′′(t), z′′(t))

Nota 3.4. Observar que la velocidad de la partıcula coincide con el vector tangentea la curva.

3.8 Actividades

1) Determinar las ecuaciones cartesianas de las siguientes curvas. Hacer un esbozode cada una de ellas e indicar la direccion en que la curva es descrita cuando elparametro crece en su correspondiente intervalo.

a) x = 1 + t, y = 4− 2t, t ∈ [−2, 4]

b) x = 1 + t2, y = 4− 2t, t ∈ [0, 2]

c) x =√

1 + t, y = t− 1, t ∈ [3, 6]

d) x = sec t, y = 2 tan t, t ∈ [0, 2π]

e) x = 2 + t, y = t− 2, z = 2− t, t ∈ [−2, 2]

f) x = t, y = t2, z = 2, t ∈ [−1, 1]

g) x = 2 cos(t), y = −1, z = 3 sin(t), t ∈ [0, 2π]

h) x = 2 + cos(t), y = −1 + 2 sin(t), z = 3, t ∈ [0, π]

2) Encontrar las ecuaciones cartesianas de las curvas (a), (b), (c) y (d) del ıtemprecedente.



a) Determinar las ecuaciones correspondiente al siguiente segmento de rectaen el espacio. Poner atencion a la direccion indicada.

Segmento de recta

b) Encontrar unas ecuaciones parametricas para la curva C correspondientea la interseccion del cilindro x2 + y2 = 1 y el plano y + z = 2.

C: interseccion del cilindro x2 + y2 = 1 y el plano y + z = 2

3) Es frecuente que una curva C no sea suave, pero que corresponda a la con-catenacion de ciertas curvas suaves, digamos C1 y C2. En este caso se anotaC = C1 +C2. Para las siguientes curvas encontrar sus ecuaciones parametricas.



4) Para las siguientes curvas, hacer un esbozo de ellas y encontrar y graficar −→r (t)y −→r ′(t) para el valor indicado del parametro:

a) x = 1 + t, y =√t; en t = 1

b) −→r (t) = (et, e−t) en t = 0

5) Determinar el vector tangente unitario y una ecuacion de la recta tangente a lacurva −→r (t) = (cos(t), 2t, 2 sin(2t)) en t = 0.

6) Considerar las curvas

C1 : −→r1 (t) = t−→i + (1− t)−→j + (3 + t2)

−→k

C2 : −→r2 (s) = (3− s)−→i + (s− 2)−→j + s2−→k

Determinar

a) El (o los) punto(s) en los cuales se intersectan C1 y C2.

b) Calcular el angulo de interseccion en uno de sus puntos de interseccion∗.

7) Longitud de una curva. La longitud de una curva en el plano de ecuacionesparametricas x = f1(t), y = f2(x) con t ∈ [a, b] viene dada por

L =

∫ b

a

√f ′1(t)2 + f ′2(t)2dt

Analogamente, para una curva en el espacio (3.1), su longitud es

L =

∫ b

a

√f ′1(t)2 + f ′2(t)2 + f3(t)2dt

Observar que la longitud de una curva, en ambos casos, se puede expresar por

L =

∫ b

a

||−→r ′(t)||dt.

Hallar las longitudes de las siguientes curvas:

a) −→r (t) = (sin(t), 1, cos(2t)) con −1 ≤ t ≤ 1.

b) −→r (t) = (t2, sin(t)− t cos(t), cos(t) + t sin(t)) con 0 ≤ t ≤ π.

c) la helice circular con el siguiente grafico:

∗ Este angulo se define como el angulo que forman sus vectores tangentes en el punto de interseccion.



8) Verificar que la curva

x = x(t) = t cos t, y = y(t) = t sin t, z = z(t) = t

se ecuentra sobre un cono, y usando este hecho, hacer un esbozo de su grafico.

9) Encontrar la ecuacion parametrica de la curva correspondiente a la intersecciondel cono z =

√x2 + y2 y el plano z = 1 + y.

10) Una partıcula de masa m0 se mueve siguiendo una trayectoria circular de radior0:

−→r (t) =

(r0 cos

ts

r0

, r0 sints

r0

)a) Verificar que su rapidez es constante e igual a s.

b) Comprobar que −→a (t) = − s2

r20

−→r (t)

11) Una partıcula se mueve sobre la curva

−→r (t) = (t2, t3 − 4t, 0)

a) Calcular su velocidad, rapidez y aceleracion en el instante t = 2

b) Encontrar una ecuacion de la recta tangente en su punto −→r (2)

c) Suponer que la partıcula sale por su tangente en el instante t = 2. Encon-trar la posicion de la partıcula en t = 4

12) Una particula se mueve sobre la curva plana C, llamada cicloide,

−→r (t) = (t− sin t, 1− cos t)

a) Hacer un esbozo del grafico de C

b) Calcular su velocidad y rapidez en el punto −→r (t). ¿En que instante surapidez es 0?



c) Verificar que su longitud entre t = 0 y t = 2π es igual a 8 (unidades delong.)

13) Una partıcula sigue la trayectoria −→r (t) = (t2, 5t, t2 − 16t). ¿Donde es mınimasu rapidez?.

3.9 Desafıo

Decidir si la curva

−→r (t) = (1 + t) ı + (1 + t2) + (1 + 2t− t2) k

es plana, es decir si esta completamente contenida en un plano, y en caso afirmativo,encontrar el plano que la contiene.

3.10 APENDICE: Ecuaciones parametricas de al-

gunas curvas

1) Recta∗

2) Circunferencia

∗ Los siguientes graficos se realizaron con el applet CalcPlot3D, disponible (on line) enhttp://web.monroecc.edu/manila/webfiles/calcNSF/JavaCode/CalcPlot3D.htm



3) Una circunferencia en el espacio

4) Una circunferencia ondulada

5) Elipse



6) Una elipse en el espacio

7) Una elipse inclinada

8) Lissajous



9) Cicloide

10) Helice

11) Mariposa


SESION 4

Integral de lınea I

4.1 Introduccion

En esta sesion se revisa el concepto de un nuevo tipo de integral: integral de lınea, demanera analoga al caso de la integral de Riemann de una funcion de una variable real,y que tiene multiples aplicaciones, particularmente en el ambito de la Fısica. Estanueva integral se puede aplicar, con alguna modificaciones, tanto a campo vectorialescomo escalares.

Partiremos definiendo la integral de lınea para campos vectoriales. Ası como la inte-gral de Riemann se introduce con el problema del area, La integral de lınea se iniciacon la determinacion del trabajo realizado por un campo de fuerzas al actuar sobreuna partıcula que se mueve sobre una curva.

4.2 Trabajo realizado por un campo de fuerzas

4.2.1 Fuerza constante

Supongamos que una fuerza−→F actua sobre un objeto que se deplaza desde un punto

A hasta un punto B, a traves del segmento AB. En este caso se define el trabajo

29

Calculo vectorial. Sesion 4 Integral de lınea I

realizado por la fuerza−→F , por

T =−→F ·−→d

donde−→d =

−→AB.

Notar que, equivalentemente

T = ||−→F || ||

−→d || cosα

donde α = ∠(−→F ,−→d ), es decir α es el angulo que forma el vector fuerza

−→F con el

vector desplazamiento−→d =

−→AB.

Observacion: Una unidad de trabajo es el Joule que corresponde al trabajo realizadopor una fuerza de 1 Newton cuando se produce un desplazamiento de 1 metro.

4.2.2 Fuerza seccionalmente constante

Supongamos ahora, que se tiene un camino poligonal, P , en el espacio que une lospuntos A0, A1, A2 y A3; y que en cada segmento del camino poligonal actuan fuerzas

constantes:−→F1 en el camino

−→d1=−−−→A0A1,

−→F2 en el camino

−→d2=−−−→A1A2, etc. En este caso el

trabajo total realizado por estas fuerzas cuando se desplaza un objeto sobre P , desdeA0 hasta A4 es:

T =−→F1 ·−→d1 +

−→F2 ·−→d2 +

−→F3 ·−→d3 +

−→F4 ·−→d4

En caso que el camino poligonal este conformado por n segmentos que unen lospuntos A0, A1, A2, · · · An, de modo que en cada uno de estos segmentos actuan

fuerzas constantes−→Fi , correspondientemente, entonces el trabajo total realizado por

este conjunto de fuerzas cuando se desplaza un objeto sobre P , desde A0 hasta An es:

T =−→F1 ·−→d1 +

−→F2 ·−→d2 +

−→F3 ·−→d3 + · · ·+

−→Fn ·−→dn =

n∑i=1

−→Fi ·−→di

donde−→di =

−−−−→Ai−1Ai.



4.2.3 Fuerza continuamente variable

El caso general, asociado a las dos situaciones recien comentadas, corresponde altrabajo realizado por un campo de fuerzas variable, que actua en cada punto de unacurva C, cuando se desplaza un objeto desde el punto inicial al punto terminal dedicha curva. Para fijar ideas, sean

• C : −→r (t) = f1(t)−→i + f2(t)

−→j + f3(t)

−→k = (f1(t), f2(t), f3(t)), con t ∈ [a, b],

una curva, y

•−→F : Ω ⊆ R3 → R3 una campo (vectorial) de fuerzas, de modo que −→r ([a, b]) ⊂ Ω,

para que−→F actue en cada punto de C.

Para resolver esta situacion, se observa que cada particion π del intervalo [a, b]:

π : a = t0 < t1 < · · · < tn = b

induce una particion π en la curva C:

π : P0 = −→r (t0) = (x0, y0, z0), P1 = −→r (t1) = (x1, y1, z1), · · · , Pn = −→r (tn) = (xn, yn, zn)



Nota: Como siempre ∆t = b−an

.

Ahora bien, aproximando el trabajo realizado por−→F en el i− esimo sub-arco que va

desde −→r (ti) a −→r (ti+1), donde ti+1 = ti + ∆t, por

Ti =−→F (−→r (ti)) · (−→r (ti + ∆t)−−→r (ti))

y como, por definicion de derivada, −→r ′(ti)∆t ≈ −→r (ti + ∆t)−−→r (ti), se tiene

Ti ≈−→F (−→r (ti)) ·

−→r′ (ti)∆t

se tiene que el trabajo total realizado por−→F cuando se mueve un objeto sobre toda

la curva C, es aproximadamente igual a la siguiente suma de Riemann:

T ≈n−1∑i=0

−→F (−→r (ti)) · −→r ′(ti)∆t

Por lo tanto, es natural definir el trabajo total realizado por la fuerza−→F , como∗

T = limn→∞

n−1∑i=0

−→F (−→r (ti)) · −→r ′(ti)∆t

es decir,

T =

∫ b

a

−→F (−→r (t)) · −→r ′(t)dt

lo que suele anotarse por,

T =

∫C

−→F · d−→r

Ejemplo: Encontrar el trabajo que realiza el campo vectorial−→F (x, y, z) = (x, xy, yz)

cuando se mueve una partıcula sobre la parabola y = x2 en el plano z = 3 desde elpunto (0, 0, 3) al punto (1, 1, 3).

Ahora bien, en general se define:

∗ Es claro que, cuando n→∞, la norma, ∆t, de las particiones tiende a 0.



4.3 Integral de lınea para campos vectoriales

Sean

• C : −→r (t) = f1(t)−→i + f2(t)

−→j + f3(t)

−→k = (f1(t), f2(t), f3(t)), con t ∈ [a, b],

una curva suave, y

•−→F : Ω ⊆ R3 → R3 una campo vectorial continuo, de modo que −→r ([a, b]) ⊂ Ω,

para que−→F actue en cada punto de C.

la integral de lınea del campo vectorial−→F sobre la curva C, se anota y define:∫

C

−→F · d−→r =

∫ b

a

−→F (−→r (t)) · −→r ′(t)dt

Ejemplo 4.1. Sea −→r (t) = (a cos t, a sin t, bt) una porcion de la helice entre t = 0 y

t = 2π. Si−→F (x, y, z) = (x+ y, x+ y + z, z). Verificar que∫

C

−→F · d−→r = 2πb2.

4.4 Propiedades de las integrales de lınea

1) El valor de la integral de lınea no depende de la parametrizacion de la curva C,siempre que se conserve su sentido.

2) Si −C es la curva C orientada en sentido contrario, se tiene que

∫−C

−→F · d−→r = −

∫C

−→F · d−→r

3) Si una curva C es la union (yuxtaposicion) de dos curvas C1 y C2,



se tiene que ∫C

−→F · d−→r =

∫C1

−→F · d−→r +

∫C2

−→F · d−→r

Observacion: Como −→r = (x, y, z), se suele anotar d−→r = (dx, dy, dz).

Ademas , como−→F = (P,Q,R), se obtiene formalmente que

−→F · d−→r = (P,Q,R) · (dx, dy, dz) = Pdx+Qdy +Rdz

Luego, usando estas notaciones, se tiene que∫C

−→F · d−→r =

∫C

Pdx+Qdy +Rdz

ademas, si −→r = (x(t), y(t), z(t)), con t ∈ [a, b], se tiene

−→F (−→r (t)) = (P (−→r (t), Q(−→r (t)), R(−→r (t))))−→r ′(t) = (x′(t), y′(t), z′(t))

Entonces,∫C

−→F · d−→r =

∫ b

a

[P (−→r (t))x′(t) +Q(−→r (t))y′(t) +R(−→r (t))z′(t)]dt

Ejercicio 4.1. Si el campo vectorial−→F tiene el siguiente campo de direcciones

y C1, C2 y C3 son las curvas indicadas. Determinar el signo, de ser posible, de cadauna de las siguientes integrales de lınea

a)∫C1

−→F · d−→r b)

∫C2

−→F · d−→r c)

∫C3

−→F · d−→r

Solucion:



1) Positiva. Pues como el campo de vectores forman un angulo agudo con los

vectores tangentes a la curva C1,−→F · −→r ′ = ||

−→F || ||−→r ′|| cos(∠(

−→F ,−→r ′)) > 0.

2) Positiva. Razon analoga.

3) Cero. En este caso el campo de fuerzas es perpendicular a la curva, luego

cos(∠(−→F ,−→r ′)) = cos(90) = 0

4.5 Integral de lınea para campos escalares

Tambien es posible definir integrales de lınea para campos escalares. Sean:

• C una curva suave con ecuacion vectorial

−→r (t) = x(t)i+ y(t)j + z(t) k, con a ≤ t ≤ b

• u = f(x, y, z) un campo escalar continuo definido en un conjunto que contienea la curva C.

La integral de lınea de f sobre la curva C se anota y define por∫C

f d−→r =

∫ b

a

f(−→r (t)) ||−→r ′(t)||dt

Observaciones:

1) La integral de lınea de campos escalares comparte las 3 propiedades de integralesde lınea para campos vectoriales senaladas previamente.

2) Si s(t) es la longitud de la curva C desde −→r (a) hasta −→r (t), es decir,

s(t) =

∫ t

a

||−→r ′(u)||du

se tiene ques′(t) = ||r′(t)|| =

√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2.

La integral de linea de f sobre C con respecto a la longitud de arco s se definepor ∫

C

f ds =

∫ b

a

f(−→r (t)) s′(t)dt

Ejemplo: Calcular∫C

(2x+ 9z)ds, donde C : x = t, y = t2, z = t3; 0 ≤ t ≤ 1.



Desarrollo: En primer lugar se calcula√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2 =

√12 + (2t)2 + (3t2)2 =

√1 + 4t2 + 9t4.

Luego,

∫C

(2x+ 9z)ds =∫ 1

0(2t+ 9t3)

√1 + 4t2 + 9t4dt = 1

6(143/2 − 1)

3) Si C es una curva suave definida por

C : −→r (t) = x(t)−→i + y(t)

−→j + z(t)

−→k , con a ≤ t ≤ b

entonces∫C

fdx+ fdy + fdz =

∫ b

af(x(t), y(t), z(t))x′(t)dt+f(x(t), y(t), z(t))y′(t)dt+f(x(t), y(t), z(t))z′(t)dt (4.1)

Ejemplo: Calcular∫Czdx + xdy + ydz, donde C : x = t2, y = t3, z = t2;

0 ≤ t ≤ 1.

Desarrollo:∫Czdx+ xdy + ydz =

∫ 1

0t2 · 2tdt+ t2 · 3t2dt+ t3 · 2tdt =

∫ 1

0(2t3 + 5t4)dt = 3

2

4) En Fısica, si la curva C representa un delgado alambre con densidad linealρ(x, y, z) en su punto (x, y, z), entonces la masa de este alambre se define por

m =

∫C

ρ ds

y su centro de masa (x, y, z), viene dado por

x =

∫C

xρ(x, y, z)ds, y =

∫C

yρ(x, y, z)ds, z =

∫C

zρ(x, y, z)ds,

4.6 Actividades

1) a) Para−→F (x, y, z) = (yz, xz, xy), −→r (t) = (t, t2, t3), 0 ≤ t ≤ 2, verificar que∫

C

−→F · d−→r = 64

b) Para−→F (x, y, z) = zi + yj − xk, −→r (t) = ti + sin tj + cos tk, 0 ≤ t ≤ π,

verificar que∫C

−→F · d−→r = π



2) Calcular las siguientes integrales de lınea:

a)

∫C

(x+ y)dx+ (x− y)dy + (y − z)dz donde C(t) = (t2, t, 1) t ∈ [0, 2]

b)

∫C

2xydx− ydy donde C es el arco de parabola y = x2 que va de (−2, 4)

hasta (0, 0) seguido del segmento que va de (0, 0) hasta (2, 6)

3) Calcular∫Cxy4ds, si C es la mitad derecha de la circunferencia x2 + y2 = 16.

Respuesta: 1638.4

4) Calcular∫Cxz dx+x dy− yz dz, donde C es la curva que consiste en un cuarto

de circulo en el plano XZ y los segmentos de recta en los planos XY e Y Z, talcomo se indica en la siguiente figura:

Respuesta: 13, pues

∫C1xz dx+ x dy − yz dz = 1

3,∫C2xz dx+ x dy − yz dz = 1

2,∫

C3xz dx+ x dy − yz dz = −1

2

5) Encontrar el trabajo realizado por el campo de fuerzas−→F (x, y) = (x, y + 2)

moviendo un objeto a lo largo de la cicloide −→r (t) = (t − sin t, 1 − cos t), 0 ≤t ≤ 2π.

Respuesta: 2π2 (unidades de fuerza)

6) Al doblar un delgado alambre se forma un semicırculo de ecuacion aproximada-mente igual a x2 + y2 = 4 con x ≥ 0. Si su densidad lineal es constante e iguala k, encontrar la masa y centro de masa de este alambre.

Respuesta: m = 2kπ (x, y) = ( 4π, 0)

7) Determinar la masa y centro de masa de un alambre con la forma de la helicex = t, y = cos t, z = sin t, 0 ≤ t ≤ 2π, si la densidad en cualquier punto de estealambre es igual al cuadrado de su distancia al origen.

Respuesta: m =√

2(83π3 + 2π), (x, y, z) = (3π(2π2+1)

4π2+3, 0, 0)



8) Encontrar el trabajo realizado por el campo de fuerza

−→F (x, y, z) = (y + z, x+ z, x+ y)

sobre una partıcula que se mueve en el segmento de recta que va del punto(1, 0, 0) al punto (3, 4, 2). Respuesta: 26 (unidades de fuerza).

9) a) Verificar que una fuerza constante realiza trabajo cero sobre una partıculaque se mueve uniformemente una vez sobre la circunferencia x2 + y2 = 1.

b) ¿Sucede lo mismo si la fuerza viene dada por−→F (x, y) = (kx, ky), con k

constante?.

10) Si el campo vectorial−→F tiene el siguiente campo de direcciones

y C1, C2 y C3 son las curvas indicadas. Determinar el signo, de ser posible, decada una de las siguientes integrales de lınea

a)∫C1

−→F · d−→r b)

∫C2

−→F · d−→r c)

∫C3

−→F · d−→r

4.7 Desafıo

Un objeto se mueve sobre la curva C desde el punto (1, 2) al punto (9, 8). En el

siguiente dibujo se muestra la curva C y algunos vectores del campo vectorial−→F . La

longitud de estos vectores estan medidos en newton. Encontrar un valor aproximado

del trabajo realizado por−→F


Calculo vectorial. Integral de lınea I

4.8 Integral de lınea de un campo vectorial

Sea−→F (x, y, z) = P (x, y, z) ı +Q(x, y, z) +R(x, y, z) k

un campo vectorial continuo definido sobre una region que contiene la curva suave

C : −→r (t) = x(t) ı + y(t) + z(t) k, con a ≤ t ≤ b (4.2)

La integral de lınea del CV−→F sobre la curva C se anota y define por:

∫C

−→F · d−→r =

∫ b

a

−→F (−→r (t)) · −→r ′(t)dt (4.3)


t = 2π. Si−→F (x, y, z) = (x+ y, x+ y + z, y). Verificar que∫

C

−→F · d−→r = 2πa2.





−→F · d−→r =

∫C

Pdx+Qdy +Rdz



Entonces,∫C

−→F · d−→r =

∫ b

a



Calculo vectorial. Integral de lınea I

4.9 Integral de lınea de un campo escalar

Sea f un campo escalar y C la curva (1). La integral de lınea del CE f sobre la curvaC se anota y define por:

∫C

f ds =

∫ b

a

f(−→r (t)) ||r′(t)|| dt (4.4)

donde s es la funcion longitud e arco de la curva C, es decir,

s = s(t) =

∫ t

a

||r′(u)|| du

de donde

s′(t) = ||r′(t)|| o bien ds = ||r′(t))||dt

Ejemplo 4.3. Sea −→r (t) = (a cos(ωt), a sin(ωt), bt) con 0 ≤ t ≤ 2π. Verificar que∫C

x2yds =a2√a2ω2 + b2

3ω(1− cos3(2πω)).


SESION 5

Integral de lınea II

5.1 Introduccion

En esta sesion se revisa el Teorema Fundamental de integrales de lınea y el analisis de lascondiciones para que la integral de lınea de un campo vectorial sea independiente de la curvade integracion.

Actividad 5.1. Para el campo vectorial F (x, y) = (xy, y2), evaluar la integral de lınea∫C

−→F ·−→dr, para cada uno de los caminos que unen los puntos A = (0, 0) y B = (1, 1):

1) C1 : x = t, y = t, t ∈ [0, 1]

2) C2 : x = t, y = t2, t ∈ [0, 1]

Respuesta: a) 2/3 b) 9/20

Actividad 5.2. Para el campo vectorial F (x, y) = (2xy, x2), evaluar la integral de lınea∫C

−→F ·−→dr, para cada uno de los caminos que unen los puntos A = (0, 0) y B = (1, 1):

1) C1 : x = t, y = t, t ∈ [0, 1]

2) C2 : x = t, y = t2, t ∈ [0, 1]

3) C3 = C31 + C32, dondeC31 : x = t, y = 0, t ∈ [0, 1] y C32 : x = 1, y = t, t ∈ [0, 1]

Respuesta: a) 1 b) 1 c) 1

Nota 5.1. Las actividades precedentes sugieren que algunas integrales de lınea dependendel camino que une dos puntos (actividad 1) y otras no (actividad 2).

41

Calculo vectorial. Sesion 5 Integral de lınea II

5.2 Teorema fundamental para integrales de lınea

Sea C una curva suave, contenida en un disco abierto D de R2 (o una esfera abierta de

R3), que va desde el punto A =−→(a) hasta el punto B = −→r (b). Si

−→F es una campo vectorial

conservativo continuo sobre D y ϕ una funcion diferenciable, potencial para−→F (∇ϕ =

−→F ),

entonces ∫C

−→F ·−→dr

es independiente de la trayectoria C, y∫C

−→F ·−→dr = ϕ(B)− ϕ(A)

Demostracion: ∫C

−→F ·−→dr =

∫C∇ϕ ·

−→dr

=

∫ b

a∇ϕ(−→r (t)) ·

−→r′ (t)dt

=

∫ b

a

d

dtϕ(−→r (t))

= ϕ(−→r (b))− ϕ(−→r (a))

= ϕ(B)− ϕ(A)

Corolario: Sea C una curva cerrada y suave contenido en disco abierto D de R2 (o una

esfera abierta de R3). Si−→F es una campo vectorial conservativo continuo sobre B , entonces∫

C

−→F ·−→dr = 0

Nota 5.2. Cuando la integral de lınea es sobre una curva cerrada C, esta se acostumbra adenotarla como ∮

C

−→F ·−→dr

Nota 5.3. El siguiente teorema establece una condicion bastante simple para decidir si uncampo vectorial es o no conservativo, y luego del teorema precedente si su integral de lıneaes no independiente de la trayectoria.

5.3 Teorema. Criterio de las componentes para un

campo conservativo

Sea−→F = P ı +Q una campo vectorial sobre un disco abierto de R2, con P y Q funciones

C1 en este disco, entonces

−→F es conservativo ⇐⇒ ∂P

∂y=∂Q

∂x



Nota 5.4. En caso que−→F = P ı +Q + R k una campo vectorial sobre una esfera abierta

de R3, con sus componentes C1 en esta esfera, se tiene que


∂y=∂Q

∂x,

∂P

∂z=∂R

∂x,

∂Q

∂z=∂R

∂y

Nota 5.5. Observar que el teorema (5.3) y la nota precedente se pueden enunciar:

−→F es conservativo ⇐⇒ rot(

−→F ) =

−→0

Ejemplo 5.1. Determinar si−→F (x, y) = (3x2 + 6xy) ı + (3x2 + 4y3) ı es conservativo, y en

caso que lo sea, determinar una funcion f de la cual es su gradiente.

Solucion: Es claro que, en esta situacion, P (x, y) = 3x2 + 6xy y Q(x, y) = 3x2 + 4y3. Enel caso de dos variables, las condiciones del teorema anterior se reducen a verificar que

∂P

∂y=∂Q

∂x

En este caso:∂P

∂y= 6x, y

∂Q

∂x= 6x

Luego, se cumple la condicion y existe la funcion f .

Como ∇f = (∂f∂x ,∂f∂y ), se tiene que

∂f

∂x= 3x2 + 6xy y

∂f

∂y= 3x2 + 4y3 (5.1)

Integrando con respecto a x la primera ecuacion de (5.1), se tiene

f(x, y) = x3 + 3x2y + h(y) (5.2)

donde la constante de integracion es una funcion que puede depender de la variable y. Laderivada parcial con respecto a y de (5.2) debe ser igual a 3x2 + 4y3, luego

∂f

∂y= 3x2 + h′(y) = 3x2 + 4y3 (5.3)

de donde h′(y) = 4y3, luegoh(y) = y4 + C (5.4)

donde C es una constante (no depende de x ni de y). Reemplazando (5.4) en (5.2), se tienefinalmente que

f(x, y) = x3 + 3x2y + y4 + C

Ejemplo 5.2. Para el campo vectorial−→F (x, y) = (3x2 + 6xy) ı + (3x2 + 4y3) ı calcular∫

C

−→F · d−→r , donde C es cualquier curva que va del punto A = (1, 1) al punto B = (1, 0).

Solucion: Del ejemplo precedente, se tiene que f(x, y) = x3 + 3x2y+ y4 es un potencial de−→F , luego por el teorema (5.2):∫

C

−→F · d−→r = f(B)− f(A) = 1− 5 = −4



Ejercicio 5.1. Considerar el campo vectorial−→F (x, y) = (2x sin y, x2 cos y + 2y) y C una

curva que va del punto A = (1,−π) al punto B = (1, π). Calcular∫C

−→F ·−→dr.

5.4 Un campo conservativo...¿que conserva?

Suponer que un objeto de masa m se mueve sobre una curva suave C:

−→r = −→r (t) = x(t) ı + y(t) + z(t) k

por la accion de una fuerza conservativa−→F (−→r ) = ∇f(−→r ). En cada instante t se tiene:

• Por la segunda Ley de Newton: F = ma

−→F (−→r (t)) = m−→a (t) = m−→r ′′(t) (5.5)

• Energıa cinetica: Ec = 12mv

2

Ec =1

2m||−→r ′(t)||2 (5.6)

• Energıa potencial: Ep = −f(x, y, z)

Ep = −f(−→r ) (5.7)

Ahora bien:

d

dt(Ec + Ep) =

d

dt

(1

2m||−→r ′(t)||2 − f(x, y, z)

)=

m

2

d

dt

(||−→r ′(t)||2

)− d

dt(f(x, y, z))

= m−→r ′′(t) · −→r ′(t)−(df

dx

dx

dt+df

dy

dy

dt+df

dz

dz

dt

)= m−→r ′′(t) · −→r ′(t)−∇f(−→r ) · −→r ′(t)= (m−→r ′′(t)−∇f(−→r )) · −→r ′(t)= (

−→F (−→r )−

−→F (−→r )) · −→r ′(t)

= 0

Luego, Si es−→F es un campo vectorial de fuerza conservativo, la suma de las energias cinetica

y potencial es constante. Por esta razon este campo se dice conservativo.

5.5 Actividades

1) a) En el siguiente grafico se muestra una curva C y las curvas de nivel de un campoescalar f diferenciable con gradiente continuo. Hallar el valor de

∫C ∇f · d

−→r .



b) Idem ejercicio precedente, para las curvas D y E:

2) Para el campo vectorial dado−→F , encontrar una funcion f tal que ∇f =

−→F y usar

esta funcion para calcular∫C

−→F · d−→r para la curva dada C.

a)−→F (x, y) = (y, x+ 2y), C es el semicırculo superior que parte en (0, 1) y terminaen (2, 1).

b)−→F (x, y) = ( y2

1+x2, 2y arctanx), C : r(t) = (t2, t), 0 ≤ t ≤ 1.

c)∫C yzdx + xzdy + (xy + 2z)dz, C el segmento de recta que va del (1, 0,−2) al

punto (4, 6, 3).

3) Establecer si las siguientes integrales de lınea son o no independientes de la trayectoria.Evaluar la integral propuesta.

a)∫C tan ydx+ x sec2 ydy, C es una curva que va del origen al punto (1, 1).

b)∫C (1− ye−x)dx+ exdy, C es una curva que va del (−1, 1) al punto (1, 1).

c)∫C ydx+xdy+xyzdz, C el segmento de recta que va del origen al punto (1, 1, 1).

4) Sea−→F = ∇f , donde f(x, y) = sin(x − 2y). Determinar curvas no cerradas C1 y C2

de modo que:

a)∫C1

−→F · d−→r = 0 b)

∫C2

−→F · d−→r = 1



5) Determinar, en caso que exista, una valor del parametro k de modo que el campovectorial

−→F (x, y) = (kx− y, y − 2k)

sea conservativo.

Respuesta. k = 0.5

6) Para el campo vectorial−→F (x, y) =

−y ı + x

x2 + y2:

a) Comprobar que∂P

∂y=∂Q

∂x.

b) Sean C1 y C2 las semi circunferencias superior e inferior de la circunferencia con

centro en el origen y radio 1, respectivamente. Calcular∫C1

−→F ·d−→r y

∫C2

−→F ·d−→r .

¿Que se puede concluir?.

c) La conclusion precedente, ¿contradice el teorema 5.3?.

7) Como se comento en el ejercicio (6) de las actividades (1.4), el campo gravitacionalviene dado por:

−→F =

−→F (−→x ) = −mMG

||−→x ||3−→x

Verificar que el trabajo realizado por este campo vectorial al mover una partıculadesde el punto (4, 0, 0) al punto (0, 0, 2) es igual a 1

4mMG.

Hint. Verificar que f(x, y, z) =mMG√

x2 + y2 + z2es una funcion potencial de

−→F .

8) Para cada (x, y, z), sea−→F (x, y, z) un vector que apunta hacia el origen, con magnitud

inversamente proporcional a la distancia al origen, es decir:

−→F (x, y, z) =

−k(x ı + y + z k)

x2 + y2 + z2

a) Verificar que−→F es conservativo, mostrando una funcion potencial para

−→F .

b) Comprobar que tambien es conservatico el campo vectorial−→G(x, y, z) dirigido

alejandose del origen, con magnitud proporcional a la distancia al origen.

c) Para generalizar las dos situaciones precedentes, verificar que si

−→H (x, y, z) = g(x2 + y2 + z2)(x ı + y + z k)

donde g es una funcion continua (en una variable), entonces−→H es conservativo.

Hint : Mostrar que−→H = ∇f , donde f(x, y, z) = 1

2h(x2 + y2 + z2), donde h esuna primitiva de g, es decir h(u) =

∫g(u)du.



9) Suponer que un objeto de masa m se mueve sobre una curva suave C:

−→r = −→r (t) = x(t) ı + y(t) + z(t) k, con a ≤ t ≤ b

sujeto unicamente a la accion de una fuerza continua−→F .

Verificar que el trabajo realizado corresponde al cambio en la energıa cinetica delobjeto, es decir que: ∫

C

−→F · d−→r =

m

2(||−→r ′(b)||2 − ||−→r ′(a)||2)

Hint: Recordar que−→F (−→r (t)) = m−→r ′′(t) y que −→r ′′(t) · −→r ′(t) = d

dt(||−→r ′(t)||)2

5.6 Desafıo

Sea−→F un campo de fuerza de la forma

−→F (−→r ) =

k−→r||−→r ||3

para alguna constante k y con −→r = x ı + y + z k.

Calcular el trabajo realizado al mover un objeto desde un punto P1 hasta un punto P2 atraves de un camino suave, en termino de las distancias d1 y d2 de estos puntos al origen.

Hint. ¿Que es f(−→r ) =k

||−→r ||de−→F ?.


Calculo vectorial. Integral de lınea II

4.7 Integral de lınea de un campo vectorial

Sea−→F (x, y, z) = P (x, y, z) ı +Q(x, y, z) +R(x, y, z) k

un campo vectorial continuo definido sobre una region que contiene la curva suave


La integral de lınea del CV−→F sobre la curva C se anota y define por:

∫C

−→F · d−→r =

∫ b

a

−→F (−→r (t)) · −→r ′(t)dt (4.9)


t = 2π. Si−→F (x, y, z) = (x+ y, x+ y + z, y). Verificar que∫

C

−→F · d−→r = 2πa2.





−→F · d−→r =

∫C

Pdx+Qdy +Rdz



Entonces,∫C

−→F · d−→r =

∫ b

a



Calculo vectorial. Integral de lınea II

4.8 Integral de lınea de un campo escalar

Sea f un campo escalar y C la curva (1). La integral de lınea del CE f sobre la curvaC se anota y define por:

∫C

f ds =

∫ b

a

f(−→r (t)) ||r′(t)|| dt (4.10)

donde s es la funcion longitud e arco de la curva C, es decir,

s = s(t) =

∫ t

a

||r′(u)|| du

de donde

s′(t) = ||r′(t)|| o bien ds = ||r′(t))||dt

Ejemplo 4.4. Sea −→r (t) = (a cos(ωt), a sin(ωt), bt) con 0 ≤ t ≤ 2π. Verificar que∫C

x2yds =a2√a2ω2 + b2

3ω(1− cos3(2πω)).


SESION 6

Teorema de Green

6.1 Introduccion

En esta sesion se revisa el primero de los 3 teorema claves del calculo vectorial: elTeorema de Green∗. Este teorema establece que una integral doble sobre una regionD del plano es igual a una integral de lınea a lo largo de la curva cerrada C queconstituye la frontera de D.

∗ Matematico Ingles, 1973-1841.En su biografıa ubicada en http://es.wikipedia.org/wiki/George−Green, se destaca que “El jovenGeorge Green solo asistio de forma regular a la escuela durante un ano entre los 8 y 9 anos ayudandoa su padre posteriormente...”

31

Calculo vectorial. Sesion 6 Teorema de Green

6.2 Teorema de Green

Sean

•−→F (x, y) = P (x, y)i + Q(x, y)j = (P (x, y), Q(x, y)) un campo vectorial en R2,C1 en un dominio R del plano∗.

• C una curva simple, cerrada y orientada en sentido positivo que conforma lafrontera de una region D, contenida en R.

entonces ∮C

−→F · d−→r =

∫ ∫D

(∂Q

dx− ∂P

dy

)dA (6.1)

Nota 6.1. Formalmente, poniendo d−→r = (dx, dy), se tiene que

−→F · d−→r = (P,Q) · (dx, dy) = Pdx+Qdy

Luego, el teorema de Green tambien puede presentarse de la siguiente manera∮C

P (x, y)dx+Q(x, y)dy =

∫ ∫D

(∂Q

dx− ∂P

dy

)dA (6.2)

Demostracion: Notar que el teorema de Green (6.2) quedara demostrado si severifica que: ∫

C

Pdx = −∫∫D

∂P

∂ydA (6.3)

y ∫C

Qdy =

∫∫D

∂Q

∂xdA (6.4)

∗ Recordar que un campo escalar es C1 en un dominio, cuando el y sus derivadas parciales soncontinuas en dicho dominio.



Se comprobara (6.3) para el caso en que D sea una region del tipo I (verticalmentesimple):

D =

(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)

Dominio vericalmente simple (tipo I)

en donde g1 y g2 son funciones continuas. Esto nos permite calcular la integral dobledel miembro derecho de la ecuacion (6.3), de la siguiente manera

∫∫D

∂P

dydA =

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

∂P

∂ydydx

=

∫ b

a

P (x, y)

∣∣∣∣g2(x)

g1(x)

dx

=

∫ b

a

[P (x, g2(x))− P (x, g1(x))] dx

=

∫ b

a

P (x, g2(x))dx−∫ b

a

P (x, g1(x))dx

= −∫C

Pdx

Por otra parte, ahora se calcula el lado izquierdo de la ecuacion (6.3), expresando Ccomo la union de la cuatro curvas C1, C2, C3 y C4. Sobre C1, se toma a x como elparametro y se escriben las ecuaciones parametricas como x = x, y = g1(x), a ≤ x ≤ b.Luego ∫

C1

P (x, y)dx =

∫ b

a

P (x, g1(x))dx

Las ecuaciones parametricas de −C3 son: x = x, y = g2(x), a ≤ x ≤ b. Luego∫C3

P (x, y)dx = −∫−C3

P (x, y)dx = −∫ b

a

P (x, g2(x))dx



Sobre C2 o C4, x es constante, por lo que dx = 0. Ası∫C2

P (x, y)dx =

∫C4

P (x, y)dx = 0

Finalmente∫C

P (x, y)dx =

∫C1

P (x, y)dx+

∫C2

P (x, y)dx+

∫C3

P (x, y)dx+

∫C4

P (x, y)dx

=

∫ b

a

P (x, g1(x))dx−∫ b

a

P (x, g2(x))dx

Por lo tanto ∫C

P (x, y)dx = −∫∫D

∂P

∂ydA (6.5)

de igual forma se puede probar (6.4), es decir:

∫C

Q(x, y)dy =

∫∫D

∂Q

∂xdA (6.6)

Sumando (6.5) y (6.6), se tiene que:∮C


∫∫D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dA

Por lo tanto, se tiene lo pedido.

Nota: Sobre el teorema de Green, en general, se realizan 3 tipos de actividades, asaber:

• Actividad tipo 1: Calcular una integral de lınea.

Usando el teorema de Green, calcular

∮C

−→F · d−→r =

∮C

P (x, y)dx+Q(x, y)dy.

En este caso, se debe en (6.2), calcular el lado (2), y el valor obtenido sera,luego de este teorema, el valor de la integral de linea pedido.

Ejemplo 6.1. Usando el teorema de Green, calcular

∫C

−→F · d−→r para el campo

vectorial −→F (x, y) = arctan

y

xi+ ln(x2 + y2) j

y C es la siguiente curva, orientada en sentido positivo



Solucion: Sea Como P = arctan yx

y Q = ln(x2 + y2), se tiene que:

∂Q

dx− ∂P

dy=

2x

x2 + y2−

1x

1 + y2

x2

=2x

x2 + y2− x

x2 + y2=

x

x2 + y2

Luego ∮C


∫∫D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dA

=

∫∫D

x

x2 + y2dA

=

∫ π

0

∫ 2

1

r cos θ

r2rdrdθ

=

∫ π

0

∫ 2

1

cos θ drdθ

= 0

Ejercicio 6.1. Usar el teorema de Green para comprobar que∮C

x2ydx+ x2y3dy = − 1

12

donde C es el cuadrado de vertices (0, 0), (1, 0), (1, 1) y (0, 1).

• Actividad tipo 2: Calcular una integral doble

Usando el teorema de Green, calcular

∫ ∫D

(∂Q

dx− ∂P

dy

)dxdy.

En este caso, se debe en (6.2), calcular el lado (1), y el valor obtenido sera,luego de este teorema, el valor de la integral doble pedido.

Ejemplo 6.2. Usando el teorema de Green, calcular∫ ∫R

(x− y)dA



donde R es la cırculo de radio 2 y centrada en el origen

Solucion: Aquı se debe buscar un campo vectorial−→F = (P,Q), de modo que

∂Q

dx− ∂P

dy= x− y.

Un campo vectorial que satisface esta condicion es:

−→F =

(y2

2,x2

2

)La ecuacion de la circunferencia de radio 2 y centrada en el origen es

r(t) = (2 cos t, 2 sin t) con t ∈ [0, 2π]∫ ∫R

(x− y)dA =

∮C

−→F · d−→r

=

∫ 2π

0

(2 sin2 t, 2 cos2 t) · (−2 sin t, 2 cos t)dt

=

∫ 2π

0

(−4 · sin3 t+ 4 · cos3 t)dt

= 4 ·∫ 2π

0

(− sin3 t+ cos3 t)dt

= 4 ·∫ 2π

0

− sin2 t · sin t+ 4 ·∫ 2π

0

cos2 t · cos tdt

= 4 ·∫ 2π

0

−(1− cos2 t) · sin t+ 4 ·∫ 2π

0

(1− sin2 t) · cos tdt

= 0

• Actividad tipo 3: Verificar el teorema de Green.

En este caso, se debe en (6.2), calcular el lado (1) y el lado (2), y verificar queambos valores son iguales.

Ejemplo 6.3. Comprobar el teorema de Green para la curva C:.



y el campo vectorial−→F (x, y) = −2x2y ı + 2xy2 .

Solucion: Calculemos en primer lugar,∫C

−→F · d−→r .

La curva C, se debe descomponer en 3 curvas

C1 :

x = 2 cos ty = 2 sin t

conπ

2≤ t ≤ π

C2 :

x = ty = 0

con − 2 ≤ t ≤ 0

C3 :

x = 0y = t

con 0 ≤ t ≤ 2

Haciendo los calculos correspondientes, se obtiene:∫C1

−→F · d−→r = 4π,

∫C2

−→F · d−→r = 0,

∫C3

−→F · d−→r = 0

Por lo tanto:∫C

−→F · d−→r =

∫C1

−→F · d−→r +

∫C2

−→F · d−→r +

∫C3

−→F · d−→r = 4π (6.7)

Por otra parte,∫ ∫D

(∂Q

dx− ∂P

dy

)dxdy =

∫ ∫D

(2y2 + 2x2

)dxdy =︸︷︷︸

coord. polares

4π (6.8)

Comparando (6.7) y (6.8), se verifica el Teorema de Green.

Ejercicio 6.2. Comprobar el teorema de Green para el caso particular en queD es un rectangulo:



Nota 6.2. El teorema de Green tambien es valido para regiones como la siguiente:

Aquı la curva C = C1 + C2, y se tiene que∮C

Pdx+Qdy =

∮C1

Pdx+Qdy +

∮C2

Pdx+Qdy =

∫ ∫D

(∂Q

dx− ∂P

dy

)dxdy

Ejercicio 6.3. Evaluar

∮C

y2dx+ 3xydy, donde C es la frontera de la region anular

D de la parte del plano que esta entre las circunferencias x2 + y2 = 1 (curva C2, conorientacion negativa) y x2 + y2 = 4 (curva C1, con orientacion positiva).

Solucion:Por el teorema de Green



∫C

y2dx+ 3xydy =

∫∫D

[∂

∂x(3xy)− ∂

∂y(y2)

]dA

=

∫∫D

ydA =

∫ 2π

0

∫ 2

1

(r sin θ) · rdrdθ

=

∫ 2π

0

sin θdθ

∫ 2

1

r2dr

= [− cos θ]2π0 ·[r3

3

]2

1

= 0

6.3 Teorema de Green y areas

Verificar que el area de una region D del plano, viene dada por:

Area de(D) = −∮C

ydx, Area de(D) =

∮C

xdy, Area de(D) =1

2

∮C

xdy−ydx

Ejercicio 6.4. Determinar el area encerrada por la elipse x2

a2+ y2

b2= 1

Solucion: La elipse tiene ecuaciones parametricas x = a cos t y y = b sin t, en donde0 ≤ t ≤ 2π. Entonces

A =1

2

∮C

xdy − ydx

=1

2

∫ 2π

0

(a cos t) · (b cos t)− (b sin t) · (−a sin t)dt

=ab

2

∫ 2π

0

dt

= πab

6.4 Actividades

1) Verificar el teorema de Green con el campo vectorial−→F (x, y) = (3x+2y , x−y)

y la curva C dada por r(t) = (cos t, sin t), para t ∈ [0, 2π]

2) Usar el teorema de Green para calcular las integrales del campo vectorial−→F (x, y)

a lo largo de la curva dada:



a)−→F (x, y) = (5x3 + 4y) ı + (2x−4y4) , a lo largo del cırculo (x−2)2 +y2 = 4recorrido en sentido antihorario.

b)−→F (x, y) = (α(x)− y) ı + (x+ β(y)) , donde α y β son funciones reales conprimera derivada continua definidas en R, a lo largo de un cuadrado delado a recorrido positivamente.

c)−→F (x, y) = (x3 − y3) ı + (x3 + y3) , donde C es la frontera de la regioncomprendida entre las circunferencias x2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 9.

3) Evaluar∮Cxydx + x2y3dy, donde C es el triangulo con vertices (0, 0), (1, 0) y

(1, 2):

a) directamente

b) usando el teorema de Green

Respuesta. 23.

4) Usar el teorema de Green para calcular I1 − I2, donde

I1 =

∫C1

(2x+ y)2dx− (x− 2y)2dy e

I2 =

∫C2

(2x+ y)2dx− (x− 2y)2dy

C1 : λ(t) = (t, t2) t ∈ [0, 1] y C2 : µ(t) = (t2, t) t ∈ [0, 1].

5) Usando el teorema de Green, determinar el area de la region limitada por

a) la curva con ecuacion vectorial −→r (t) = (cos t , sin3 t), t ∈ [0, 2π].

b) la elipse, con ecuacion vectorial −→r (t) = (a cos t , b sin t), t ∈ [0, 2π], cona y b constantes.

6) a) Sea C el segmento de recta que une el punto (x1, y1) con el punto (x2, y2).Verificar que ∫

C

xdy − ydx = x1y2 − x2y1

b) Si los vertices de un polıgono P , ordenados contra-reloj, son (x1, y1),(x2, y2), . . . , (xn, yn), verificar que el area de este polıgono viene dadapor:

Area de P = 12 [(x1y2−x2y1)+(x2y3−x3y2)+ . . .+(xn−1yn−xnyn−1)+(xny1−

x1yn)]

c) Hallar el area del pentagono de vertices en los puntos (0, 0), (2, 1), (1, 3),(0, 2) y (−1, 1).

Respuesta. (c) 4.5.



7) Sea D una region en el plano delimitada por una curva simple y cerrada C.

a) Usando el teorema de Green, verificar que las coordenadas del centroidede D, (x, y), viene dado por:

x =1

2A

∮C

x2dy y y =1

2A

∮C

y2dx

donde A es el area de D.

b) Encontrar el centroide del triangulo con vertices (0, 0), (1, 0) y (0, 1).

Respuesta. (b) (x, y) = (13, 1

3).

6.5 Desafıo

Dados

• el campo vectorial

−→F (x, y) =

−y ı + x

x2 + y2=

−yx2 + y2

ı +x

x2 + y2

• La curva C, correspondiente al cırculo x2 + y2 = 1, con orientacion positiva.

1) Calcular la integral de lınea de−→F sobre la curva C.

2) Calcular

∫ ∫D

(∂Q

dx− ∂P

dy

)dxdy, donde D es la region encerrada por la curva

C.

3) Discutir si estos resultados estan de acuerdo o no con el Teorema de Green.


Calculo vectorial. Sesion 6 Superficies parametricas


SESION 7

Superficies parametricas

7.1 Introduccion

En este curso ya se han estudiando superficies S que corresponden a graficos defunciones de dos variables con dos tipos de representaciones:

• Representacion explıcita de S, cuando la ecuacion que define a S es del tipoz = f(x, y), como por ejemplo, el paraboloide de ecuacion z = x2 + y2, y

• Representacion implıcita de S, cuando la ecuacion que define a S es del tipoF (x, y, z) = 0, como por ejemplo, la esfera de ecuacion x2 + y2 + z2 = a2

En esta sesion se estudia otra forma de presentar una superficie, llamada formaparametrica.

7.2 Representacion parametrica de superficies

43


Sea D una region del plano UV y

−→r = −→r (u, v) = x(u, v)i+ y(u, v)j + z(u, v)k (7.1)

una funcion vectorial de D en R3. Cuando (u, v) varıa en D, los puntos imagenes(x, y, z) con

x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v) (7.2)

describen una superficie S, llamada superficie parametrica, la ecuacion (7.1) se de-nomina ecuacion vectorial de S y las ecuaciones (7.2) se denominan ecuacionesparametricas de S.

Ejemplo 7.1. Considerar la superficie con las siguientes ecuaciones parametricas:

x = x(u, v) = 2 cosu y = y(u, v) = 2 sinu z = z(u, v) = v (7.3)

con u ∈ [0, 2π] y v ∈ [0, 3].

En este caso, es facil verificar que x2 + y2 = 4. Luego esta superficie corresponde auna porcion de este cilindro con z (= v) entre 0 y 3.

Ejemplo 7.2. Representacion parametrica de una esfera.Usando las coordenadas esfericas, se tiene que

x = x(u, v) = a sinu cos v y = y(u, v) = a sinu sin v z = z(u, v) = a cosu (7.4)

con u ∈ [0, π] y v ∈ [0, 2π], corresponden a ecuaciones parametricas de una esferacentrada en el origen y de radio a. Verificarlo!.

Ejemplo 7.3. Representacion parametrica de un cono.Una ecuacion parametrica del cono

x2 + y2 = a2z2



viene dada por

S :

x = av cosuy = av sinuz = v

con 0 ≤ u ≤ 2π, v ∈ R.

Nota 7.1. Cuando una superficie S viene dada por la ecuacion z = f(x, y), con(x, y) ∈ D una parametrizacion de S viene dada por

−→r (u, v) = (u, v, f(u, v)),

con (u, v) ∈ D.Asi por ejemplo, una parametrizacion de la silla de montar z = x2−y2 con |x|+|y| ≤ 1,es −→r (u, v) = (u, v, u2 − v2), con |u|+ |v| ≤ 1.

Nota 7.2. Recordar que para una superficie con ecuacion explıcita z = f(x, y), laecuacion del plano tangente en su punto P = (a, b, c), viene dado por:

z − c = fx(a, b)(x− a) + fy(a, b)(y − b)

y cuando su ecuacion viene dada en forma implıcita, F (x, y, z) = 0, la ecuacion delplano tangente en P viene dada por

Fx(a, b, c)(x− a) + Fy(a, b, c)(y − b) + Fz(a, b, c)(z − c) = 0

A continuacion se revisa la formula del plano tangente a una superficie definidaparametricamente.

7.3 Plano tangente a una superficie parametrica

Consideremos la superficie parametrica S:

−→r = −→r (u, v) = x(u, v)i+ y(u, v)j + z(u, v)k (7.5)

de D ⊆ R2 en R3:



Sea (u0, v0) un punto interior a D y P0 = −→r (u0, v0) su correspondiente imagen. Laimagen del segmento de ecuacion u = u0 (en D), es una curva C1 : −→r (u0, v) sobre Sque tiene a

−→r v = xv(u0, v0)i+ yv(u0, v0)j + zv(u0, v0)k

como vector tangente en P0

Analogamente, la imagen del segmento de ecuacion u = v0 (en D), es una curvaC2 : −→r (u, v0) sobre S que tiene a

−→r u = xu(u0, v0)i+ yu(u0, v0)j + zu(u0, v0)k

como vector tangente en P0.

Luego, si−→N = −→r u × −→r v es un vector no nulo, es un vector normal a la superficie

S en P0. Cuando este vector nunca se anula, se dice que la superficie es suave. Asıentonces, para una superficie suave el plano tangente es el plano que pasa por le punto

P0 y tiene como vector normal al vector−→N = −→r u ×−→r v.

Ejemplo 7.4. Determinar la ecuacion del plano tangente a la superficie x = u2, y =v2, z = uv en su punto correspondiente a u = 1 y v = 1.

Desarrollo: Es claro que:

• −→r (u, v) = u2 ı + v2 + uv k

• −→r u(u, v) = 2u ı + v k

• −→r v(u, v) = 2v + u k

• −→r u(1, 1)×−→r v(1, 1) = (2 ı + k)× (2 + k) = −2 ı− 2 + 4 k

Luego, el plano tangente buscado es el plano que pasa por el punto (1, 1, 1) y esperpendicular al vector (−2,−2, 4). Luego su ecuacion es:

−2(x− 1)− 2(y − 1) + 4(z − 1) = 0

es decir,x+ y − 2z = 0.

7.4 Area de una superficie parametrica

Definicion. El area de una superficie S suave, definida parametricamente, con ecua-ciones parametricas (7.1), viene dada por

Area de S =

∫ ∫D

||−→r u ×−→r v||dA (7.6)



Ejemplo 7.5. Verificar que el area de una esfera de radio a es 4πa2.

Desarrollo: Trabajando con las ecuaciones (7.4), se tiene:

−→r u = (−a sin v cosu, a sin v cosu, 0)−→r v = (a cos v cosu, a cos v sinu,−a sin v)

Luego, ||ru × rv|| = a4 sin2 v. Luego,

A(S) =

∫ ∫D

||−→r u ×−→r v||dA =

∫ π

0

∫ 2π

0

√a4 sin2 v dudv = 4πa2.

7.5 Actividades

1) Verificar que las ecuaciones parametricas:

x = x(u, v) = u sinα cos v y = y(u, v) = u sinα sin v z = z(u, v) = u cosα

con u ≥ 0 y v ∈ [0, 2π], representan un cono.

2) Encontrar una representacion parametrica de las siguientes superficies

a) z = x2 + 3y2.

b) 3x+ 2y − z = 4

c) y2 + z2 = 4

d) x2 + y2 + z2 = 2z

3) Hallar una ecuacion del plano tangente a las superficies parametricas:

a) x = u+ v, y = 3u2, z = u− v; en su punto (2, 3, 0).

b) x = u2 − v2, y = u+ v, z = u2 + 4v; en su punto (−1/4, 1/2, 2).

c) x = u2, y = v2, z = u2 + v2; en su punto correspondiente a u = 1 yv = 1.

Respuesta. (a) 3x− y + 3z = 3

4) Verificar que la ecuacion del plano tangente a la superficie S de funcion vectorial−→r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) en su punto P = (u0, v0), se puede presentarpor ∣∣∣∣∣∣

x− x(u0, v0) y − y(u0, v0) z − z(u0, v0)∂x∂u

(u0, v0) ∂y∂u

(u0, v0) ∂z∂u

(u0, v0)∂x∂v

(u0, v0) ∂y∂v

(u0, v0) ∂z∂v

(u0, v0)

∣∣∣∣∣∣ = 0



5) Comprobar, a partir de (7.6), que area de una superficie con ecuacion explıcitaz = f(x, y) con dominio D, viene dada por∫ ∫

D

√1 + (fx)2 + (fy)2 dA

6) Comprobar que el area del cono z =√x2 + y2 para 0 ≤ z ≤ a es π

√2a2.

7) Verificar que el area del paraboloide S : z = x2 + y2, para 0 ≤ z ≤ 6 es 62π/3.

8) Comprobar que el area de la parte del plano x+ 2y+ z = 4 que se encuentra alinterior del cilindro x2 + y2 = 4 es igual a 4

√6 π.

7.6 APENDICE: Ecuaciones parametricas de al-

gunas superficies

1) Paraboloide∗

2) Planos

∗ Los siguientes graficos se realizaron con el applet CalcPlot3D, disponible (on line) enhttp://web.monroecc.edu/manila/webfiles/calcNSF/JavaCode/CalcPlot3D.htm



3) Esfera

4) Elipsoide

5) Hiperboloide de una hoja



6) Hiperboloide de dos hojas

7) Cilindro

8) Helicoide



9) Toro

10) Trompeta


SESION 8

Integrales de Superficie

8.1 Introduccion

Aquı se presenta un nuevo tipo de integral: integral de superficie (IdS). Esta integralesgeneralizan las integrales dobles de funciones de 2 variables. En primer lugar serevisan la integrales de superficies para campos escalares, en los casos en que lasuperficie viene definida explıcita o parametricamente. En segundo lugar se revisanlas integrales de superficie para campos vectoriales.

8.2 IdS de un campo escalar sobre una superficie

definida parametricamente

Sea S una superficie correspondiente al grafico de la funcion definida parametricamentepor

−→r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

de D ⊆ R2 en R3, y f un campo escalar continuo cuyo dominio (en R3) incluye a S.

En este caso, la integral de superficie de la funcion f sobre la superficie S, se anotay define por ∫ ∫

S

f(x, y, z)dS =

∫ ∫D

f(−→r (u, v)) ||−→r u ×−→r v|| dA (8.1)

Ejemplo 8.1. Evaluar la integral de superficie∫ ∫

Sxy dS, donde S es la superficie

−→r (u, v) = (u sin v, u cos v, u2), con 0 ≤ u ≤ 1 y 0 ≤ v ≤ π2.

43

Calculo vectorial. Sesion 8 Integrales de Superficie


• −→r u = (sin v, cos v, 2u)

• −→r v = (u cos v,−u sin v, 0)

• −→r u ×−→r v = (2u2 sin v, 2u2 cos v,−u)

• ||−→r u ×−→r v|| = u√

1 + 4u2

• f(−→r (u, v)) = u2 sin v cos v

Luego, ∫ ∫S

xy dS =

∫ π/2

0

∫ 1

0

u2 sin v cos v u√

1 + 4u2 dudv =5√

5

48+

1

240.

Ejemplo 8.2. Evaluar la integral de superficie

∫ ∫S

z4 dS, donde S es la esfera x2 +

y2 + z2 = a2, a > 0.

Desarrollo: Es claro que, en este caso, f(x, y, z) = z4. Parametrizando la esfera S:

−→r (φ, θ) = (a sinφ cos θ, a sinφ sin θ, a cosφ)

sobre la region D:0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π.

Entonces:

• f(−→r (θ, φ)) = f(x, y, z) = z4 = a4 cos4φ

• −→r φ ×−→r θ = a2 sin2 φ cos θ ı + a2 sin2 φ sin θ + a2 sinφ cosφ k

• ||−→r θ ×−→r φ|| = a2 sinφ

Luego, aplicando (8.1):∫ ∫S

z4 dS =

∫ ∫D

a4cos4φ||−→r θ ×−→r φ||dφdθ =

∫ 2π

0

∫ π

0

a6 cos4 φ sinφdφdθ =4

5πa6.

Nota 8.1. .

• Al igual que para las integrales dobles, cuando f(x, y, z) ≡ 1, el valor de laintegral de superficie corresponde al area de la superficie S, es decir

area de(S) =

∫ ∫S

1 · dS =

∫ ∫D

||−→r u ×−→r v|| dA



• Cuando la superficie S es la union de un numero finito de superficies suaves,digamos que S = S1 + S2 + S3, entonces∫ ∫

S

f(x, y, z)dS =

∫ ∫S1

f(x, y, z)dS +

∫ ∫S2

f(x, y, z)dS +

∫ ∫S3

f(x, y, z)dS

8.3 IdS de campo escalar sobre una superficie definida

explıcitamente

Sea S una superficie correspondiente al grafico de la funcion C1, z = g(x, y) deD ⊂ R2

en R, y f un campo escalar continuo cuyo dominio (en R3) incluye a S.

La integral de superficie del campo escalar f sobre la superficie S, se anota y definepor ∫ ∫

S

f(x, y, z)dS =

∫ ∫D

f(x, y, g(x, y))√

[gx(x, y)]2 + [gy(x, y)]2 + 1 dA (8.2)

Ejemplo 8.3. Evaluar la integral de superficie

∫ ∫S

x dS, donde S es la superficie

definida por z = x2 + y y D es la region 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1.

Desarrollo: En este caso z = g(x, y) = x2 + y y f(x, y, z) = x. Entonces, aplicando(8.3):∫ ∫S

x dS =

∫ ∫D

x√

[gx]2 + [gy]2 + 1dxdy =

∫ 1

−1

∫ 1

0

x√

4x2 + 2dxdy =

√2

3(3√

3− 1)

Nota 8.2. .

1) Cuando f(x, y, z) ≡ 1, el valor de la integral de superficie corresponde al areade la superficie S, es decir

area de(S) =

∫ ∫D

√[gx(x, y)]2 + [gy(x, y)]2 + 1 dA

2) Cuando la superficie S viene dada por la funcion C1, y = g(x, z) de D ⊂ R2

en R, la integral de superficie del campo escalar f sobre la superficie S, vienedada por∫ ∫

S

f(x, y, z)dS =

∫ ∫D

f(x, g(x, y), z)√

[gx(x, y)]2 + [gz(x, y)]2 + 1 dA (8.3)



8.4 Superficies orientadas

Las integrales de superficies para un campo vectorial se definen sobre superficiesorientadas. Por esta razon se consideran solamente superficies de 2 lados∗ y quetengan un plano tangente en cada uno de sus puntos (excepto sus puntos frontera).Para esta superficies se tendran 2 vectores unitarios normales en cada uno de suspuntos: n1 y n2 = −n1

Ahora bien, una superficie S se dice orientada u orientable, cuando es posible elegirun vector unitario normal en cada uno de sus puntos, de modo que este vector varıecontinuamente en S. La eleccion de este vector entrega una orientacion de S. Todasuperficie orientable tiene 2 posibles orientaciones.

Ası, por ejemplo

• Para una superficie z = g(x, y), se suele considerar la orientacion inducida porel siguiente vector tangente unitario:

n =−gx ı− gy + k√

1 + g2x + g2

y

En este caso como la componente de k es positiva, se dice que esta eleccionorienta la superficie hacia arriba.

• Para una superficie suave orientable −→r (u, v), se tiene la orientacion entregadapor

n =−→r u ×−→r v||−→r u ×−→r v||

• Para una superficie cerrada, se acostumbra considerar la orientacion positivacuando se eligen los vectores normales unitarios apuntando hacia afuera de lasuperficie.

• Una superficie S orientada, se suele anotar por−→S .

∗ Un clasico ejemplo de una superficie que solo tiene un solo lado, es la llamada “cinta de Moebius”.Un dibujo de ella aparece al final de esta sesion.



Ejemplo 8.4. Verificar que la orientacion positiva en una esfera

−→r (φ, θ) = a sinφ cos θ ı + a sinφ sin θ + a cosφ k

viene inducida por los vectores unitarios 1a−→r (φ, θ).

Desarrollo: Del ejemplo (8.2), se tiene:

n =−→r u ×−→r v||−→r u ×−→r v||

= sinφ cos θ ı + sinφ sin θ + cosφ k =1

a−→r (φ, θ)

Observar que estos vectores apuntan en la misma direccion que −→r (φ, θ), es decir, ellosapuntan hacia afuera de la esfera. Luego, ellos inducen la orientacion positiva de laesfera.

8.5 IdS de un campo vectorial sobre una superficie

definida parametricamente

Sea−→F un campo vectorial sobre R3 y S una superficie orientada definida parametri-

camente por −→r (u, v). La integral de superficie de−→F sobre la sobre la superficie S, se

anota y define por ∫ ∫S

−→F · d

−→S =

∫ ∫D

−→F (−→r (u, v)) · (−→r u ×−→r v) dA (8.4)

Recordando que dS = ||−→r u ×−→r v|| dA y n =−→r u ×−→r v||−→r u ×−→r v||

, y anotando d−→S = −→n dS,

tambien se suele escribir:

∫ ∫S

−→F · d

−→S =

∫ ∫S

−→F · n dS (8.5)

Nota 8.3. La integral de superficie de un campo vectorial sobre una superficie S

tambien recibe el nombre de flujo de−→F a traves de S.

Ejemplo 8.5. Calcular ∫ ∫S

−→F · d

−→S ,

para el campo vectorial−→F (x, y, z) = y ı + x + z2 k y S es el helicoide de ecuaciones

parametricas:

−→r = −→r (u, v) = u cos v ı + u sin v + v k, 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 4π



Helicoide


• −→r u = cos v ı + sin v

• −→r v = −u sin v ı + u cos v + k

• −→r u ×−→r v = sin v ı− cos v + u k

•−→F (−→r (u, v)) = u sin v ı + u cos v + v2 k

Luego, ∫ ∫S

−→F · d

−→S =

∫ 4π

0

∫ 1

0

(−u cos(2v) + uv2)dudv =32π3

3.

Actividad 8.1. Verificar que la integral de superficie (8.5) se expresa por∫ ∫S

−→F · d

−→S =

∫ ∫D

−→F (x, y, g(x, y)) · (−gx ı− gy + k) dA

cuando S viene definida explıcitamente por la ecuacion z = g(x, y) y se ha elegido suorientacion hacia arriba.

Actividad 8.2. Comprobar que∫ ∫S

−→F · d

−→S =

713

180,

si−→F (x, y, z) = (xy, yz, zx) y S es la superficie correspondiente a la porcion del

paraboloide z = 4− x2− y2 que se encuentra sobre el cuadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1y tiene orientacion hacia arriba.



8.6 Algunas aplicaciones de las integrales de su-

perficie

1) Valor promedio. El valor promedio de un campo escalar u = f(x, y, z) sobreuna superficie S, se define por:

1

area de S

∫ ∫S

f(x, y, z)dS

2) Centroide. Las coordenadas del centroide (x, y, z) de una superficie S de areaA, se definen por:

x =1

A

∫ ∫S

xdS, y =1

A

∫ ∫S

ydS, z =1

A

∫ ∫S

zdS

3) Flujo de un fluido. Si−→F es el campo vectorial de velocidad de un fluido que

fluye a traves de la superficie S, de ecuacion z = f(x, y) y definida en D, sedefine el flujo de S a traves de S a la integral de superficie:∫ ∫

S

−→F · d

−→S .

8.7 Actividades

1) Calcular la integral de superficie de f(x, y, z) = xyz cuando S es la porcion delcilindro x2 + z2 = 4 que se encuentra entre

a) los planos y = 1, y = 3. (Resp. 0).

b) los planos y = 1, y = 3 y el primer octante. (Resp. 16).

2) Comprobar que

∫ ∫S

√x2 + y2dS = 2π

3(2√

2− 1), donde S es la superficie:

S : r(u, v) = u cos(v)i+ u sin(v)j + vk; 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π

3) Calcular el area de la superficie de una esfera de radio a cortada por un cilindroque tiene este radio como diametro.



Resp. (π − 2)a2

4) Verificar que la integral de superficie de−→F (x, y, z) = xi + yj + z

−→k sobre la

superficie S correspondiente a la porcion del plano 3x + 2y + z = 6 del primeroctante, es igual a 18.

5) El campo de velocidad de un fluido viene dado por F (x, y, z) = (y,−z, 8) y S esla superficie correspondiente a la esfera x2 + y2 + z2 = 9 ubicada sobre la regionD del plano XY acotada por la circunferencia x2 +y2 = 4. Verificar que el flujode F a traves de S es igual a 32π (unidades cubicas de volumen por unidad detiempo).

6) Si−→F (x, y, z) = y i+ x j + z k y S la frontera de la region solida encerrada por

el paraboloide z = 1− x2 − y2 y el plano z = 0. Verificar que

∫ ∫S

−→F · d

−→S =

π

2.

Observar que en este caso S = S1∪S2, donde S1 es la parte superior (paraboloide)de la superficie y S2 la parte inferior (circulo). Luego:∫ ∫

S

−→F · d

−→S =

∫ ∫S1

−→F · d

−→S +

∫ ∫S2

−→F · d

−→S



7) Sea−→F (x, y, z) = x2 i + xy j + 2z k y S el cubo en el primer octante limitado

por los planos coordenados y los planos x = 1, y = 1 y z = 1. Verificar que el

flujo de−→F a traves de S, calculando 6 integrales de superficie (una para cada

cara del cubo), es igual a 3.5.

8) Considerar:

• El campo escalar f(x, y, z) = x + y + zg(x − y), donde g es una funcionreal con derivada continua

• S la superficie x+ y = 10, con 0 ≤ z ≤ 8

Verificar que el flujo del gradiente de f es igual a 128.

Banda de Moebius


SESION 9

Teorema de Gauss

9.1 Introduccion

En la presente sesion se revisa un teorema clave del calculo vectorial, el teorema deGauss o teorema de la divergencia. Este teorema establece una relacion entre unaintegral de superficie sobre una superficie cerrada y una integral triple sobre el solidodelimitado por esta superficie.

Carl Friedrich Gauss∗

∗ Matematico aleman, 1777-1855. Gauss trabajo en una amplia variedad de campos tanto de lamatematica como de la fısica incluyendo la teorıa de numeros, analisis, geometrıa diferencial, geode-sia, magnetismo, astronomıa y optica. Su trabajo ha tenido una gran influencia en diversas areas.

51

Calculo vectorial. Sesion 9 Teorema de Gauss

9.2 Primera forma vectorial del Teorema de Green

Recordemos que si P (x, y) y Q(x, y) son campos escalares C1 en un dominio D de R2

y C la curva simple, cerrada y orientada en sentido positivo que conforma la fronterade la region D, entonces el teorema de Green establece que:∮

C


∫ ∫D

(∂Q

dx− ∂P

dy

)dxdy (9.1)

Sea C dada por su ecuacion vectorial:

C : −→r (t) = x(t) i+ y(t) j, a ≤ t ≤ b

entonces el vector tangente unitario a C, viene dado

−→T (t) =

x′(t)

||−→r ′(t)||i+

y′(t)

||−→r ′(t)||j

de donde el vector normal unitario exterior es

−→n (t) =y′(t)

||−→r ′(t)||i− x′(t)

||−→r ′(t)||j

Luego, haciendo−→F (x, y) = P (x, y) ı +Q(x, y) , se tiene∮

C

−→F · −→n ds =

∫ b

a

(−→F · −→n )(t)||−→r ′(t)||dt

=

∫ b

a

[P (x(t), y(t))y′(t)

||−→r ′(t)||− Q(x(t), y(t))x′(t)

||−→r ′(t)||

]||−→r ′(t)||dt

=

∫ b

a

P (x(t), y(t))y′(t)dt−R(x(t), y(t))x′(t)dt

=

∫C

Pdy −Qdx =

∫ ∫D

(∂P

∂x+∂Q

∂y

)dxdy =

∫ ∫D

∇ ·−→F dxdy



Ası entonces, la primera forma vectorial del Teorema de Green, que recibe el nombrede Teorema de Gauss (o de la divergencia) en el plano, es:∮

C

−→F · −→n ds =

∫ ∫D

∇ ·−→F dA (9.2)

que establece que la integral de lınea de la componente normal de−→F a lo largo de C

es igual a la integral doble de la divergencia de−→F sobre la region D encerrada por la

curva C.

Nota 9.1. El teorema de Gauss en el plano tiene una extension natural al espacioR3, conocido con el nombre de Teorema de Gauss:

9.3 Teorema de Gauss

Sea E una region solida simple∗ en R3 y sea S la superficie cerrada correspondiente

a la frontera de E con orientacion positiva†. Sea−→F = (P,Q,R) un campo vectorial

con componentes C1 sobre una region que contiene a E, entonces∫ ∫S

−→F · d

−→S =

∫∫ ∫E

div(−→F ) dV (9.3)

o bien, ∫ ∫S

−→F · −→n dS =

∫∫ ∫E

(∂P

∂x+∂Q

∂y+∂R

∂z

)dV (9.4)

Ejemplo 9.1. Comprobar el teorema de Gauss para−→F (x, y, z) = yi + xj + zk y E

la region solida encerrada por el paraboloide z = 1− x2 − y2 y el plano z = 0.Desarrollo: En la actividad 6 del tema sobre integrales de superficies se verifico que∫ ∫

S

−→F · d

−→S =

π

2(9.5)

Ahora bien,∫∫ ∫E

div(−→F ) dV =

∫∫ ∫E

dV = 4

∫ π/2

0

∫ 1

0

∫ 1−r2

0

rdzdrdθ =π

2. (9.6)

Luego (9.5) y (9.6) comprueban (9.3) para el campo vectorial y solido de este ejemplo.

∗ Aquı E corresponde a uno de los tipos considerados en el calculo de las integrales triples.† Orientacion positiva corresponde a trabajar con el vector normal unitario exterior.



9.4 Actividades

1) Verificar el teorema de Gauss para−→F (x, y, z) = (2x− z)i+x2yj−xz2k tomada

sobre la superficie S correspondiente al siguiente cubo de lado 1:

Respuesta.∫ ∫DEFG

−→F · d

−→S =1.5,

∫ ∫ABCO

−→F · d

−→S =0.5,

∫ ∫ABEF

−→F · d

−→S =1/3,

∫ ∫OGDC

−→F · d

−→S =0

∫ ∫BCDE

−→F ·d−→S = −0.5,

∫ ∫AFGO

−→F ·d−→S =0,

∫ ∫S

−→F ·dS =11/6,

∫∫∫V

div(−→F )dV =11/6.

2) Verificar el teorema de Gauss para−→F (x, y, z) = x2 ı +xy +z k y S la superficie

acotada por el paraboloide z = 4− x2 − y2 y el plano XY .

Respuesta.

∫∫∫V

div(−→F )dV = 8π.

∫ ∫S1

−→F · d

−→S = 8π,

∫ ∫S2

−→F · d

−→S = 0.

Donde S1 es la parte de la superficie en el paraboloide y S2 la parte de lasuperficie en el plano XY .



3) Comprobar que

∫ ∫S

−→r · ndS = 3vol(V ), donde S es una superficie cerrada

encerrando un solido V y −→r = x−→i + y

−→j + z

−→k .

4) Calcular el flujo del campo vectorial−→F (x, y, z) = 3xy2 ı + xez + z3 k a traves

de la superficie acotada por el cilindro y2 + z2 = 1 y los planos x = −1 y x = 2.

Respuesta. 9π2

.

5) Calcular el flujo del campo vectorial−→F (x, y, z) = (x3+y sin z) ı+(y3+z sinx) +

3z k a traves de la superficie acotada por z =√

4− x2 − y2, z =√

1− x2 − y2

y el plano z = 0.

Respuesta. 194π5

.

6) Usar el teorema de la divergencia para calcular∫ ∫

S(2x+ 2y + z2)dS, donde S

es la esfera unitaria centrada en el origen.

Hint: En este caso−→F ·−→n = 2x+2y+z2 y como para la esfera −→n = x ı+y +z k√

x2+y2+z2=

x ı + y + z k, se tiene que−→F = 2 ı + 2 + z k. Respuesta. 4π

3

7) Sea E un solido con frontera S. Comprobar que

a)

∫ ∫S

−→a · n dS = 0, donde −→a es un vector constante.

b) vol(E) = 13

∫ ∫S

−→F · d

−→S , donde

−→F (x, y, z) = x ı + y + z k.

c)

∫ ∫S

rot(−→F ) · d

−→S = 0


Calculo vectorial. Sesion 9 Teorema de Stokes


SESION 10

Teorema de Stokes

10.1 Introduccion

En la presente sesion se revisa el ultimo teorema clave del calculo vectorial, el teoremade Stokes. Este teorema establece una relacion entre una integral de lınea sobre unacurva del espacio y una integral de superficie. Si bien este teorema lleva el nombredel fısico matematico Stokes∗, en realidad este fue descubierto por el, tambien fısicoy matematico irlandes William Thomson†, mas conocido por Lord Kelvin.

George Gabriel Stokes William Thomson

∗ Matematico y Fısico irlandes, 1819-1903. Stokes establecio la ciencia de la hidrodinamica consu ley de viscosidad que describe la velocidad de una pequena esfera a traves de fluido viscoso.† Matematico y Fısico irlandes, 1824-1907. Thomson hizo importantes contribuciones en muchasareas de la fısica, incluyendo la electricidad, magnetismo y termodinamica.

57


10.2 Segunda forma vectorial del Teorema de Green

Recordemos que si P (x, y) y Q(x, y) son campos escalares C1 en un dominio D de R2

y C la curva simple, cerrada y orientada en sentido positivo que conforma la fronterade la region D, entonces el teorema de Green establece que:∮

C


∫ ∫D

(∂Q

dx− ∂P

dy

)dxdy (10.1)

Con respecto al campo vectorial

−→F = P ı +Q

se tiene ∮C

−→F · d−→r =

∮C

P (x, y)dx+Q(x, y)dy (10.2)

y su rotor viene dado por

rot(−→F ) =

∣∣∣∣∣∣ı k∂∂x

∂∂y

∂∂z

P Q 0

∣∣∣∣∣∣ =

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)k (10.3)

luego,

rot(−→F ) · k =

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)k · k =

∂Q

∂x− ∂P

∂y(10.4)

Ası entonces, la segunda forma vectorial del Teorema de Green, que recibe el nombrede Teorema de Stokes en el plano, luego de (10.1), (10.2) y (10.4) es:∮

C

−→F · d−→r =

∫ ∫D

(rot−→F ) · kdA (10.5)

que establece que la integral de lınea de la componente tangencial de−→F a lo largo de

C es igual a la integral doble de la componente vertical del rot(−→F ) sobre la region D

encerrada por la curva C.

Nota 10.1. El teorema de Stokes en el plano (10.5) tiene una extension natural alespacio R3, conocido con el nombre de Teorema de Stokes. Este teorema relacionauna integral de superficie sobre una superficie orientada S con una integral de lıneasobre la curva C correspondiente a la frontera de dicha superficie. La orientacion dela superficie S induce la orientacion positiva de su curva frontera C, de modo que laorientacion de la curva y la direccion de los vectores normales a S cumplen la reglade la mano derecha. En otras palabras, si se camina en la direccion positiva de C,manteniendo la cabeza en la direccion del vector normal a S, la superficie se mantienea la izquierda.



Orientacion positiva de C inducida por la orientacion positiva de S

10.3 Teorema de Stokes

Sean

• S una superficie−→d (u, v) = (α(u, v), β(u, v), γ(u, v)), con (u, v) ∈ D, orientada

y suave en R3 (con vector unitario exterior n)

• C : −→r (t) = (x(t), y(t), z(t)), con a ≤ t ≤ b, la curva suave, cerrada y simplecorrespondiente a la frontera de S con orientacion positiva

•−→F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) un campo vectorial con compo-nentes C1 sobre una region que contiene a S,

entonces ∮C

−→F · d−→r =

∫ ∫S

rot(−→F ) · d

−→S (10.6)

o, equivalentemente

∫ b

a

−→F (−→r (t)) ·

−→r′ (t) dt =

∫ ∫R

(Ry −Qz, Pz −Rx, Qx − Py) · (−→d u ×

−→d v) dA (10.7)

Ejemplo 10.1. Verificar el teorema de Stokes para el campo−→F (x, y, z) = yi− xj =

(y,−x, 0) sobre el paraboloide S : z = x2 +y2 con la circunferencia x2 +y2 = 1, z = 1como su frontera.



Desarrollo: Se debe comprobar que∮C

−→F · d−→r =

∫ ∫S

rot(−→F ) · ndS

1) Calculo de

∮C

−→F · d−→r .

−→r : x = cos t y = sin t z = 1 t ∈ [2π, 0]Luego,d−→r : dx = − sin t dt dy = cos t dt dz = 0

Entonces ∮C

−→F · d−→r =

∮(sin t,− cos t, 0) · (− sin t dt, cos t dt, 0)∮

C

−→F · d−→r =

∫ 0

2π

(− sin2 t− cos2 t)dt =

∫ 2π

0

dt = 2π (10.8)

2) Calculo de

∫ ∫S

rot(−→F ) · n dS.

Ahora, rot(−→F ) = (0, 0,−2),

−→N = (2x, 2y,−1) (¿por que?). Luego,∫ ∫

S

rot(−→F ) · n dS =

∫ ∫R

2dA = 2π (10.9)

Luego, (10.8) y (10.9) verifican el teorema de Stokes para el caso pedido.

Ejemplo 10.2. Verificar el teorema de Stokes para el campo−→F (x, y, z) = 2yzi−(2−

x− 3y)j + (x2 + z)k = (2yz, 2− x− 3y, x2 + z) sobre el lado exterior de la superficieS interseccion de los cilindros x2 + y2 = a2, x2 + z2 = a2 (a > 0) situada en el primeroctante.



Desarrollo: Se debe comprobar que∮C

−→F · d−→r =

∫ ∫S

rot(−→F ) · n dS

1) Calculo de

∮C

−→F · d−→r .

En este caso C = C1 + C2 + C3 + C4, donde

C1: z = a cos t x = sin t y = 0 t ∈ [0, π/2]Luego,

dz = −a sin t dt dx = a cos t dt dy = 0

Entonces ∮C1

−→F · d−→r =

∮(2yz, 2− x− 3y, x2 + z) · (dx, dy, dz)

=

∫ π/2

0

(a3 sin3 t− a2 sin t cos t)dt

= −a2

2− 2

3a3 (10.10)

C2: x = a cos t y = sin t z = 0 t ∈ [0, π/2]Luego,

dx = −a sin t dt dy = a cos t dt dz = 0

Entonces∮C2

−→F · d−→r =

∮(2yz, 2− x− 3y, x2 + z) · (dx, dy, dz)

=

∫ π/2

0

(−a2 cos2 t− 3a2 sin t cos t+ 2a cos t)dt

= −a2π

4− 3a2

2+ 2a (10.11)



C3: x = 0 z = t y = a t ∈ [0, a]Luego,

dx = 0 dz = dt dy = 0

Entonces ∮C3

−→F · d−→r =

∮(2yz, 2− x− 3y, x2 + z) · (dx, dy, dz)

=

∫ a

0

t dt

=a2

2(10.12)

C4: x = 0 y = t z = a t ∈ [a, 0]Luego,

dx = 0 dy = dt dz = 0

Entonces ∮C4

−→F · d−→r =

∮(2yz, 2− x− 3y, x2 + z) · (dx, dy, dz)

=

∫ a

0

(−3t+ 2) dt

=3a2 − 4a

2(10.13)

Por lo tanto, luego de (10.10), (10.11), (10.12) y (10.13):

∮C

−→F · d−→r =

∮C1

−→F · d−→r +

∮C2

−→F · d−→r +

∮C3

−→F · d−→r +

∮C4

−→F · d−→r

=

(−a

2

2− 2

3a3

)+

(−a

2π

4− 3a2

2+ 2a

)+

(a2

2

)+

(3a2 − 4a

2

)= −a

2

12(3π + 8a) (10.14)

2) Calculo de

∫ ∫S

rot(−→F ) · n dS.

Es claro que rot(−→F ) = (0, 2y − 2x,−2y − 1).

Como S = S1 + S2, se tiene:

• S1 = (x, y, z) / z = f(x, y) =√a2 − x2 , sobre

D1 = (x, y) / 0 ≤ x ≤ a, y 0 ≤ y ≤√a2 − x2



N1 = (−fx,−fy, 1) =

(x√

a2 − x2, 0, 1

). Luego:

∫ ∫S1

rot(−→F ) · n dS =

∫ ∫D1

(0, 2y − 2x,−2y − 1) · (√a2 − x2, 0, 1)dA

=

∫ ∫D1

(−2y − 1)dxdy

coord. polares : x = r cos θ, y = r sin θ, 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ r ≤ a

=

∫ π/2

0

∫ a

0

(−2r sin θ − 1)rdrdθ

= −2

3a3 − π

4a2 (10.15)

• S2 = (x, y, z) / y = g(x, z) =√a2 − x2 , sobre

D2 = (x, z) / 0 ≤ x ≤ a, y 0 ≤ z ≤√a2 − x2

N2 = (−gx, 1,−gz) =

(x√

a2 − x2, 1, 0

). Luego:

∫ ∫S2

rot(−→F ) · n dS =

∫ ∫D2

(0, 2y − 2x,−2y − 1) · (√a2 − x2, 1, 0)dA

=

∫ ∫D2

(2y − 2x)dxdy

= 2

∫ ∫D2

(√a2 − x2 − x)dxdz

coord. polares : x = r cos θ, z = r sin θ, 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ r ≤ a

= 2

∫ π/2

0

∫ a

0

(r sin θ − r cos θ)rdrdθ

= 0 (10.16)

Luego, de (10.15) y (10.16), se tiene:∫ ∫S

rot(−→F ) · n dS =

∫ ∫S1

rot(−→F ) · n dS +

∫ ∫S2

rot(−→F ) ·−→NdA

= −2

3a3 − π

4a2 = −a

2

12(3π + 8a) (10.17)

Finalmente, comparando (10.14) y (10.17), se verifica el teorema de Stokes para elcaso en cuestion.



10.4 Actividades

1) En el siguiente dibujo H es una semi esfera y P una porcion de un paraboloide

Sea−→F un campo vectorial con componentes C1, explicar por que:∫ ∫

H

−→F · d

−→S =

∫ ∫P

−→F · d

−→S

2) Verificar el teorema de Stokes para el campo−→F = (2xy−z, x+y+z, x2 +y2 +z)

y S la superficie del hiperboloide z = xy+ 1 cortado por el cilindro x2 + y2 = 1.

Hint : Para parametrizar la interseccion cilindro-hiperboloide se puede tomarx = cos t, y = sin t, z = sin t cos t+ 1. Respuesta: Ambas integrales son igualesa π.

3) Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial radial−→F = (x, y, z) y S

la semiesfera superior z =√

1− x2 − y2 y z ≥ 0.

Respuesta: Ambas integrales son iguales a 0.

4) Usar el teorema de Stokes para calcular

∫ ∫S

rot(−→F ) · d

−→S , para

−→F (x, y, z) =

yz ı + xz + xy k y S la parte del paraboloide z = 9− x2 − y2 que se encuentrasobre el plano z = 5, orientada hacia arriba.

Respuesta. 0

5) Usar el teorema de Stokes para calcular∫C

−→F · d−→r , para

−→F (x, y, z) = e−x ı +

ex +ez k y C es la frontera de la parte del plano 2x+y+2z = 2 que se encuentraen el primer octante y orientada contrareloj cuando se la mira desde arriba.

Respuesta. 2e− 4



6) Comprobar que∫C

−→F · d−→r = π, donde

−→F = (−y2, x, z2) y C es la curva de

interseccion del plano y + z = 2 y el cilindro x2 + y2 = 1 (C orientada contra-reloj cuando se mira desde arriba).

7) Usar el teorema de Stokes para calcular

∫ ∫S

rot(−→F )·d

−→S , donde

−→F = (xz, yz, xy)

y S la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 que esta en el interior de cilindrox2 + y2 = 1 y sobre el plano z = 0.

Respuesta: 0.


Calculo vectorial. Formulario

1) Divergencia y rotor de un campo vectorial

a) div(−→F ) = ∇ ·

−→F =

∂P

dx+∂Q

dy+∂R

dz

b) rot(−→F ) = ∇×

−→F =

(∂R

∂y− ∂Q

∂z

)ı +

(∂P

∂z− ∂R

∂x

) +

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)k

2) Integral de lınea

a) Integral de lınea de un campo vectorial

Sea −→F (x, y, z) = P (x, y, z) ı +Q(x, y, z) +R(x, y, z) k

un campo vectorial continuo definido sobre una region que contiene la curvasuave


La integral de lınea del CV−→F sobre la curva C se anota y define por:∫

C

−→F · d−→r =

∫ b

a

−→F (−→r (t)) · −→r ′(t)dt (10.19)

b) Integral de lınea de un campo escalar

Sea f un campo escalar y C la curva (1). La integral de lınea del CE fsobre la curva C se anota y define por:∫

C

f ds =

∫ b

a

f(−→r (t)) s′(t) dt =

∫ b

a

f(−→r (t)) ||r′(t))|| dt (10.20)

donde s es la funcion longitud de arco de la curva C, es decir,s = s(t) =

∫ ta||r′(u)|| du

3) Campo vectorial conservativo

a) Un campo vectorial−→F se dice campo vectorial conservativo, cuando existe

un campo escalar f , de modo que−→F = ∇f . En tal caso, la funcion f

recibe el nombre de funcion potencial de−→F

b) Criterio de las componentes

i) Sea−→F = P ı + Q una campo vectorial sobre un disco abierto de R2,

con P y Q funciones C1 en este disco, entonces


∂y=∂Q

∂x


Calculo vectorial. Formulario

ii) Si−→F = P ı +Q + R k es un campo vectorial sobre una esfera abierta

de R3, con sus componentes C1 en esta esfera, se tiene que


∂y=∂Q

∂x,

∂P

∂z=∂R

∂x,

∂Q

∂z=∂R

∂y

4) Teorema de Green

Sea−→F =

−→F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)), con P (x, y) y Q(x, y) campos escalares

C1 en un dominio D de R2. Sea C la curva simple, cerrada y orientada ensentido positivo que conforma la frontera de la region D, entonces∮

C

−→F · d−→r =

∫ ∫D

(∂Q

dx− ∂P

dy

)dxdy

o bien, ∮C


∫ ∫D

(∂Q

dx− ∂P

dy

)dxdy

5) Integral de superficie

a) Campo escalar sobre una superficie definida parametricamente∫ ∫S

f(x, y, z)dS =

∫ ∫D

f(−→r (u, v)) ||−→r u ×−→r v|| dA

b) Campo vectorial sobre una superficie definida parametricamente∫ ∫S

−→F · d

−→S =

∫ ∫S

−→F · n dS =

∫ ∫D

−→F (−→r (u, v)) · (−→r u ×−→r v) dA

6) Teorema de Gauss

Sea E una region solida simple en R3 y sea S la superficie cerrada correspon-

diente a la frontera de E con orientacion positiva. Sea−→F un campo vectorial

con componentes C1 sobre una region que contiene a E, entonces∫ ∫S

−→F · d

−→S =

∫∫ ∫E

div(−→F ) dV

7) Teorema de Stokes Sea S una superficie orientada y suave en R3 (con vectorunitario exterior n) y sea C la curva correspondiente a la frontera de S con

orientacion positiva. Sea−→F un campo vectorial con componentes C1 sobre una

region que contiene a S, entonces∮C

−→F · d−→r =

∫ ∫S

rot(−→F ) · d

−→S


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Indice...SESION 1 Campos escalares y vectoriales 1.1 Introducci on En los cursos de C alculo I y II se ha trabajado con funciones reales de una variable real. En este curso de C alculo