PREDGOVOR Profesori zaposleni u srednjim stru čnim školama kao što su poljoprivredno prehrambene, veterinarske, šumarske davno su uo čili da takmi čenje matemati čara u org

RRREEEPPPUUUBBBLLLIIIKKKEEE SSSRRRBBBIIIJJJEEE

UUUDDDRRRUUUŽŽŽEEENNNJJJEEE SSSRRREEEDDDNNNJJJIIIHHH ŠŠŠKKKOOOLLLAAA PPPOOODDDRRRUUUČČČJJJAAA RRRAAADDDAAA

PPPOOOLLLJJJOOOPPPRRRIIIVVVRRREEEDDDAAA,,, PPPRRROOOIIIZZZVVVOOODDDNNNJJJAAA III PPPRRREEERRRAAADDDAAA HHHRRRAAANNNEEE

SSSTTTRRRUUUČČČNNNOOO VVVEEEĆĆĆEEE ZZZAAA MMMAAATTTEEEMMMAAATTTIIIKKKUUU

ZZZ BBB III RRR KKK AAA ZZZAAADDDAAATTTAAAKKKAAA ZZZAAA PPPRRRIIIPPPRRREEEMMMUUU UUUČČČEEENNNIIIKKKAAA ZZZAAA RRREEEPPPUUUBBBLLLIIIČČČKKKOOO TTTAAAKKKMMMIIIČČČEEENNNJJJEEE IIIZZZ MMMAAATTTEEEMMMAAATTTIIIKKKEEE UUU PPPOOODDDRRRUUUČČČJJJUUU RRRAAADDDAAA

ZZZbbbiiirrrkkkuuu uuurrreeedddiiiooo

LLLjjjuuubbbooommmiiirrr MMMiiillleeennnkkkooovvviiiććć

PPPrrreeedddssseeedddnnniiikkk ssstttrrruuučččnnnoooggg vvveeećććaaa zzzaaa mmmaaattteeemmmaaatttiiikkkuuu

ŠŠŠkkkooolllssskkkaaa 222000111777///111888... gggooodddiiinnnaaa

PREDGOVOR

Profesori zaposleni u srednjim stručnim školama kao što su poljoprivredno prehrambene, veterinarske, šumarske davno su uočili da takmičenje matematičara u organizaciji Ministarstva prosvete i Društva matematičara Srbije ili Arhimedes-a nisu prihvatljiva za učenike ovih škola jer, sa postojećim fondom časova i prema sadržaju nastavnih programa, oni su u podređenom položaju u odnosu na učenike iz gimnazija i tehničkih škola. Učešćem na ovim opštim takmičenjima u ranijim godinama je kao rezultat imalo razočarenje učenika poljoprivrednih škola što je dalje značilo njihovo odbijanje da se pripremaju i učestvuju na takmičenjima. Iz ovih razloga 1976. godine na inicijativu g-dina Dušana Alavanje, tadašnjeg profesora matematike Poljoprivredno-prehrambenog školskog centra "Sonja Marinković" u Požarevcu, ova škola i Republički zavod za unapređenje vaspitanja i obrazovanja iz Beograda organizovali su Prvo takmičenje matematičara poljoprivrednih vodoprivrednih, šumarskih i cvećarskih škola Srbije van pokrajina. Pokazalo se da je ovakvo takmičenje dobro jer učenici veoma sličnih znaja i sposobnosti, a koji proučavaju slične nastavne oblasti međusobno odmeravaju svoju oštroumnost pri rešavanju matematičko-logičkih zadataka što sve učenike ovih škola motiviše da dodatno rade na proučavanju matematike i razvijanju apstraktnog mišljenja. Sem toga organizovanje ovih takmičenja je dobar povod i dodatna prilika za dobru stručnu saradnju matematičara, ali i drugih nastavnika iz ovih škola. Ovo takmičenje se sada održava pod nazivom Republičko takmičenje učenika iz matematike u području rada poljoprivreda, proizvodnja i prerada hrane.

Kao rezultat saradnje na organizovanju ovog takmičenja došlo se do ideje da se priredi ovakva zbirka koja treba da pomogne učenicima da se pripreme za takmičenje, ali i da dodatno usavršavaju svoje znanje u okviru redovnog školovanja. Istovremeno zbirka je okvir za izbor zadataka po modelu i težini pri organizaciji takmičenja.

Zbirka sadrži za svaki razred po 10 tema zajedničkih za sve obrazovne profile u području rada. Izbor zadataka je dat od strane profesora članova Aktiva matematičara u području rada poljoprivreda proizvodnja i prerada hrane. Pri tome je korišćena odobrena nastavna literatura, zbirke za pripremanje prijemnih ispita na fakultetima, zbirke sa nekih drugih takmičenja, ali i zadaci koje su sastavljali sami nastavnici.

Ove godine je u zbirci dopunjena prva tema za II razred (teme Sistemi linearnih jednačina sa dve nepoznate je dopunjena linearnim nejednačinama i sistemima nejednačina sa jednom nepoznatom). Sem toga izvršene su neke uočene tehničke ili organizacione greške. Ova izmena je predložena i usvojena na sastanku stručnog veća održanog 02.02.2018. godine u Somboru.

Zbog kratkog vremena za uređivanje zbirke i načina izbora zadataka od više nezavisnih predlagača moguće je ponavljanje sličnih pa čak i identičnih zadataka. Takođe su moguće i tehničke greške. Zbog svega toga unapred se zahvaljujem svima koji mi pošalju primedbe i sugestije u smislu poboljšanja zbirke.

Na sledećoj strani je sadržaj sa linkovanim nazivima koji će vam olakšati pretragu zbirke ako je koristite u elektronskoj formi.

Zahvaljujem se svim kolegama koji su do sada priložili materijal i svima koji mi budu poslali svoje mišljenje o zbirci i predlog ispravke ili dopune.

Ljubomir Milenković,

profesor matematike u Požarevcu

Sadržaj

Zbirka zadataka za republičko takmičenje učenika u području rada poljoprivreda, proizvodnja i prerada hrane

školska 2017/2018. godina - 3 -

SADRŽAJ Predgovor .................................................................................................................................. 2

PRVI RAZRED 1. Realni brojevi ............................................................................................................................. 4 2. Skupovi ........................................................................................................................................ 6 3. Primena proporcije. ................................................................................................................... 7 4. Račun smeše i procentni račun ................................................................................................. 9 5. Rastavljanje polinoma na činioce ............................................................................................ 9 6. Operacije sa algebarskim izrazima (razlomcima) ................................................................... 10 7. Geometrija .................................................................................................................................. 11 8. Linearna jednačina .................................................................................................................... 13 9. Primena linearnih jednačina .................................................................................................... 15 10. Logički zadaci ............................................................................................................................ 15

DRUGI RAZRED 1. Sistem linernih jednačina, linearne nejednačine .................................................................... 17 2. Pravila stepenovanja ................................................................................................................. 19 3. Korenovanje i racionalisanje imenioca .................................................................................... 20 4. Kompleksni brojevi ................................................................................................................... 21 5. Kvadratna f-ja ........................................................................................................................... 22 6. Kvadratne j-ne i primene ......................................................................................................... 23 7. Vietove formule i priroda rešenja kvadratne jednačine ......................................................... 24 8. Kvadratna nejednačina ............................................................................................................. 25 9. Trigonometrija pravouglog trougla .......................................................................................... 26 10. Logički zadaci ............................................................................................................................. 27

TREĆI RAZRED 1. Eksponencijalna f-ja i eksponencijalne j-ne ............................................................................ 30 2. Logaritamska f-ja i logaritmovanje, logaritamske jednačine ................................................ 30 3. Trigonometrijske f-je proizvoljnih uglova ............................................................................... 31 4. Sinusna i kosinusna teorema ..................................................................................................... 33 5. Analitička geometrija u ravni .................................................................................................. 34 6. Poliedri ........................................................................................................................................ 35 7. Obrtna tela .................................................................................................................................. 35 8. Nizovi ........................................................................................................................................... 37 9. Sistemi jednačina i primene ...................................................................................................... 38 10. Logički zadaci ............................................................................................................................. 40

ČETVRTI RAZRED 1. Grafik i osobine linearne, stepene, kvadratne, logaritamske i eksponencijalne f-je i

odgovarajuće jednačine i nejednačine 2. Grafik i osobine trigonometrijskih f-ja, trigonometrijske j-ne i nejednačine 3. Određivanje limesa 4. Asimptote funkcije 5. Izvod f-je po definiciji, tangenta krive, brzina promene f-je... 6. Izračunavanje izvoda zbira, proizvoda, količnika i složenih f-ja 7. Primene izvoda na monotonost i ekstremne vrednosti, konveksnost i konkavnost 8. Ekstremalni problemi - primena na geometrijskim figurama 9. Kombinatorika i Njutnov binomni obrazac 10. Logički zadaci i zadaci za sistematizaciju gradiva



ZADACI SA ODRŽANIH TAKMIČENJA 1. I razred 1994. godine u Požarevcu ............................................................................................ 52 2. II razred 1994. godine u Požarevcu .......................................................................................... 52 3. III razred 1994. godine u Požarevcu ......................................................................................... 53 4. IV razred 1994. godine u Požarevcu ......................................................................................... 53 5. I razred 2008. godine u Požarevcu ............................................................................................ 54 6. II razred 2008. godine u Požarevcu .......................................................................................... 57 7. Pozarevac, takmičenje 2015,_izabrana_varijanta ................................................................... 60 8. Pozarevac, takmičenje 2015,_rezervna_varijanta ................................................................... 63

PRVI RAZRED

1. Realni brojevi

Izračunavanje brojevnih izraza, prevođenje broja iz decimalnog periodičnog zapisa u razlomak, iracionalni brojevi

1. Izračunaj tačnu vrednost izraza 8

3:

4

3

2

1

4

3:

4

31

+−+

− .


3:

4

3

2

1

4

31:

4

3+−

− .


3821,1:8,0

8

11

5

3:72,6 −

⋅+

4. Izračunaj tačnu vrednost izraza ( )cbaM −−= ako je

+

−=+

−=+−=

5

2

5

4:

3

2

2

1;

5

2

5

4:

3

2

2

1;

5

2

5

4:

3

2

2

1cba

5. Izračunaj tačnu vrednost izraza ( )bacbaM +⋅−= : ako je 5,0;2,1;3

12 =−=−= cba .

6. Ako je 5

13−=x izračunaj tačnu vrednost izraza xxxA ⋅−⋅+⋅= 2

6

5

3

2

7. Ako je 5,1−=xy izračunaj tačnu vrednost izraza ( )yxyxA −⋅⋅⋅⋅= 1,02,05,0

8. Ako je 10=− yx izračunaj 5

112,2

2

110 ⋅+−= yxA

9. Dati su brojevi

−⋅=

−⋅=−⋅=

2

1:

3

2

3

2

2

1;

2

1:

3

2

3

2

2

1;

2

1:

3

2

3

2

2

1cba . Poređaj brojeve

po vrednosti od najmanjeg do najvećeg.

Sadržaj



10. Izračunaj tačnu vrednost izraza 2516,0

75

623

32

−

−

=A

11. Izračunaj tačnu vrednost izraza 1525,0

12

135

28

−

−

=A

12. Izračunaj tačnu vrednost razlike brojeva ...123123123,3=a i ...121212,2=b

13. Izračunaj tačnu vrednost zbira brojeva ...666,2=a i ...565656,1=b

14. Dati su brojevi 222 1

0,120120120...; = ; =55 6

a b c= napiši u obliku razlomka broj a , a

zatim izračunaj tačnu vrednost izraza 1

x a cb

= − +

15. Izračunaj tačnu vrednost izraza ( )2 1 1

12 3 1 : 12 2

A

= − − + −


0,212121...; = ; =15 4

x y z= napiši u obliku razlomka broj x , a zatim

izračunaj tačnu vrednost izraza 1

A x yz

= − + .

17. Izračunaj tačnu vrednost izraza ( )2 1 2

18 2 2 : 13 3

A

= − − + −

18. Izračunaj tačnu vrednost izraza ( ) 3 3 1 348 3 : 1 1

2 3 4A

= − − + ⋅ −

19. Izračunaj tačnu vrednost izraza ( ) 4 2 1 450 2 : 2 1

3 3 7A

= − − + ⋅ −

20. Izračunaj tačnu vrednost izraza 72435 −++−−=a

21. Izračunaj tačnu vrednost izraza ( )( ) ( )23122626 −−+−=a

22. Izračunaj tačnu vrednost izraza ( )( ) ( )21823535 −++−=a

23. Izračunaj tačnu vrednost izraza ( )( )312274875 −+−=A

24. Izračunaj tačnu vrednost izraza ( )( )3527204845 −−−+=A

25. Izračunaj tačnu vrednost izraza ( )( )

2

35,0

2626

+

+−=A



26. Izračunaj tačnu vrednost izraza ( )( )

75,02

13535

−

+−=A

2. Skupovi

Osnovne skupovne operacije. Prebrojavanje konačnih skupova

27. Anketirano je 40 građana da li su putovali u neku od tri države: Italiju, Francusku ili Grčku. Rezultati ankete su sledeći: Grčku je posetilo 15 građana, Francusku 13, Italiju 11. Grčku i Francusku je posetilo 5, Grčku i Italiju 4, Italiju i Francusku 3, a jedan građanin je posetio sve tri države. Koliko anketiranih građana nije posetilo ni jednu od navedenih zemalja?

28. Na kontrolnoj vežbi iz matematike učenici jednog odeljenja rešavaju 3 zadatka. Prvi zadatak je rešilo 18 učenika, drugi je rešilo 16, a treći 17. Prva dva zadatke je tačno uradilo 9 učenika, prvi i treći su znala 11 učenika, 10 učenika je rešilo drugi i treći, a sva tri zadatke je rešilo 7 učenika. Jedan učenik nije rešio ni jedan zadatak. Koliko učenika je je radilo kontrolnu vežbu?

29. Na poljoprivrednom dobru ima 40 oglednih parcela, koje se đubre đubrivima A,B ili C. Đubrivo A baca se na 24 parcele, B i C na 3 parcele, a A i B na 7 parcela. Samo C baca se na 8 parcela. Samo dve vrste bacaju se na 15 parcela, a sve tri vrste na 2 parcele. Na koliko se parcela ukupno baca đubrivo B, a na koliko C?

30. U školskom izveštaju dati su podaci o sportskim aktivnostima učenika: 50% učenika igra košarku, 40% igra rukomet, 10% rukomet i fudbal, 5% se bavi sa sva tri sporta. Za fudbal nije zainteresovano 40%, 30% igra fudbal ali ne i košarku, 20% igra rukomat a ne košarku.

a) Koliko % učenika se ne bavi ni jednim navedenim sportom?

b) Koliko % se bavi samo jednim od tri navedena sporta?

31. Na republičkom takmičenju poljoprivrednih škola svaki ud 80 učenika rešio je bar jedan od prva tri zadatka.Treći zadatak je rešilo 30 takmičara, a prvi zadatak nije rešilo 48 takmičara. Prva dva zadatka je rešilo 11 takmičara, prvi i treći 9, a sva tri je tačno rešilo 5 učenika. Bar dva od prva tri zadatka je rešilo 23 učenika.

a) Koliko je učenika tačno rešilo drugi zadatak?

b) Koliko je učenika rešilo samo jedan od ova tri zadatka?

32. U jednom prevodilačkom birou radi 52 prevodioca. Među njima: 20 govori ruski, 35 govori engleski 19 govori francuski, 11 govori ruski i engleski, 7 govori francuski i ruski, a 9 govori francuski i engleski.

a) Koliko prevodioca govori sva tri jezika?

b) Koliko njih govori samo ruski?

33. U jednom odeljenju svaki od 30 učenika odgovarao je bar jedan od tri predmeta: matematiku, fiziku ili istoriju. Matematiku je odgovaralo 19 učenika, fiziku 14, istoriju 16, matematiku i istoriju 12, a fiziku i istoriju 5 učenika. Ako je dva učenika odgovaralo sva tri predmeta.

a) Koliko učenika je odgovaralo tačno 2 od tri navedena predmeta?

b) Koliko učenika je odgovaralo tačno jedan od navedenih predmeta?

34. Ako je: { }1,2,3, 4,5,6,7 ;A B C∪ ∪ = ( ) ( ) ;A B A C∩ ∪ ∩ = ∅ { }\ 1,3,4,5 ;A B =

{ }\ 2,4C B = i ( ) { }\ 6C B A∩ = odredi elemente skupova A, B i C

Sadržaj



35. U grupi od 20 učenika svako od njih se bavi jednom od sportova – košarka, fudbal, rukomet i to: 1 se bavi svim sportovima, 2 se bave košarkom i rukometom, 4 se bave fudbalom i rukometom, a 3 se bavi fudbalom i košarkom. Fudbalom se bavi 7, a samo košarkom 4 učenika. Koliko se učenika bavi samo rukometom?

36. U školi ima 60 nastavnika. Od tog broja njih 39 pije kafu, 28 pije čaj, 16 pije i čaj i kafu. Ima li nastavnika koji ne piju ni čaj ni kafu?

37. U jednoj porodici bilo je mnogo dece. Sedmoro od njih volelo je kupus, šestoro šargarepu, petoro krompir. Četvoro je volelo kupus i šargarepu, troje kupus i krompir, dvoje šargarepu i krompir. A samo jedno dete je volelo i kupus i šargarepu i krompir. Koliko je ukupno bilo dece u toj porodici.

38. Dat je skup S={ }12,11,...,3,2,1,0 . Odredi skupove: 2 3

x xA x x S S

= ∈ ∧ − ∈

i

2

yB y y S y S

= ∈ ∧ + ∈

. Zatim odredi i skupove:

( ), , \ , \ , , \A B A B A B B A A B A B∪ ∩ × Ρ .

39. U jednoj školi svaki od 100 učenika uči bar jedan od stranih jezika: engleski, francuski ili ruski. Ruski jezik uči 57 učenika, ruski i francuski 28, engleski i francuski 34 a 5 učenika uči samo francuski. Samo dva strana jezika uči 49 učenika, a sva tri 11 učenika. Koliko učenika govori samo engleski? Koliko učenika ne uči francuski jezik?

40. U košarkaskom timu igra 5 bekova, 4 centra i 3 krila. Na koliko načina se može sastaviti prva petorka, ako u njoj moraju da budu bar 2 beka i bar 1 centar?

3. Primena proporcije

Produžene proporcije, račun podele, složen srazmerni račun

41. Ako 2kg šećera vredi koliko 3kg soli, a 4kg soli kao 3kg brašna koliko kg brašna vredi kao 8kg šećera?

42. Šest svezaka košta isto koliko i 7 gumica, a 2 sveske kao 3 olovke. Koliko gumica vredi kao 9 olovaka?

43. Koliko je puta veličina a veća/manja od b ako je 1:3: =cb i 3

7=

a

c? (a, b, i c su pozitivne

veličine).

44. Ako je je a 4,5 puta veće od c, a c je 1,5 puta manje od b, koliko je puta a veće/manje od b? (a, b, i c su pozitivne veličine).

45. Podeliti 2080 din. na tri dela, tako da se ti delovi budu obrnuto proporcionalni brojevima 2, 3 i 4.

46. Četiri učenika: Jelena, Dragan, Ivan i Marko su na takmičenju iz matematike ostvarili dobar rezultat pa su nagrađeni sa ukupno 46500 dinara, Iznos nagrade treba da podele srazmerno broju osvojenih poena na takmičenju. Koliko je svako od njih dobio ako je Jelena osvojila 86, Dragan 82, Ivan 74, a Marko 68 poena?

47. Ružica, Olgica, Dragana i Toma dobili su na lotou 123500 dinara i dobitak podelili srazmerno ulozima.Olgicin ulog prema Tominom se odnosi kao 5:2, dok je Ružica uložila 3 puta manje od

Dragane.Tomin ulog prema Draganinom je3

2:

2

1Koliko je dobio svako od njih?

Sadržaj



48. Trgovina je nabavila 520kg banana, 340kg narandži, 240kg limuna i 750kg jabuka. Prevozniku je za transport ukupne količine voća plaćeno 7400dinara. Koliki je transportni trošak za svaku od četiri vrste voća ako su troškovi srazmerni količinama voća?

49. Trgovac je za nabavio voće i za 225kg banana platio 17320 dinara, za 125kg mandarina 8625 dinara, a za 50kg limuna 5750 dinara. Ako ukupni transportni troškovi iznose 2200 dinara i dele se srazmerno količini nabavljenog voća kolika je stvarna nabavna cena za 1kg svake vrste voća?

50. Neki posao 6 radnika mogu da završe za 5 dana. Za koliko dana će biti završen ceo taj posao ako posle dva dana dođe još tri radnika i svi nastave da rade pod istim uslovima?

51. Pumpa izvuče za 8 minuta 18hl vode sa dubine od 200m. Za koje će vreme ista pumpa izvući 36hl vode sa dubine od 150m?

52. Planirano je da 5 radnika izvrši popis robe za 4 dana radeći 8 časova dnevno. Međutim, drugog dana, zbog bolesti, na posao ne dođu 2 radnika, pa se ostali dogovore da svaki dan rade 2 sata duže. Da li je popis završen na vreme?

53. Za izradu 100 komada letnjih odela treba 300 m tkanine , širine 140 cm . Koliko metara tkanine treba za izradu 150 komada odela, ako je tkanina širine 150 cm ?

54. Radeći dnevno po 6 časova 40 radnika završi neki posao za 20 dana i za to primi 192000 dinara. Koliko dana treba da rade 50 radnika ako rade po 8 časova dnevno da bi zaradili 160000 dinara?

55. Sedam lekara za 6 sati pregleda 210 pacijenata. Koliko pacijenata će biti pregledano za 4 sata, ako radi 9 lekara?

56. Pet radnika zasadi 5000 lala za 12 dana radeći 6 časova dnevno. Koliko časova dnevno treba da radi 6 radnika da bi zasadili 8000 lala za 16 dana?

57. Za 40 dana rada, radeći dnevno po 10 sati, 20 radnika zaradi 5000 din. Koliko bi zaradila grupa od 50 radnika za 30 dana, radeći dnevno po 8 sati?

58. Dva zupčanika su spregnuta i okreću se. Zupčanik koji ima 20 zubaca obrne se 24 puta za 1 minut. Koliko puta će se obrnuti zupčanik koji ima 16 zubaca za 1 minut i 30 sekundi?

59. Dvanaest radnika je za 10 dana, radeći dnevno po 8 časova proizvelo robu u vrednosti od 4000000 dinara. Koliko dana treba da radi 8 radnika da bi radeći dnevno po 6 ,asova proizveli robu u vrednosti od 6000000 dinara?

60. Pri rekonstrukciji školske zgrade 28 radnika su za 17 dana obnovili 5440 2m fasade, radeći

dnevno 8 časova. Koliko dana će raditi 42 radnika ako treba da obnove 5040 2m fasade sa skraćenim radnim vremenom od 7 časova dnevno?

4. Račun smeše i procentni račun

61. Napravi 3,5% rastvor NaOH za dezobarijeru dimenzija: dužine 8m, širine 2,5m i dubine 25cm. Koliko je potrebno rastvora, koliko natrijum hidroksida (NaOH), a koliko vode.

62. Koliko vode treba dodati u 450ml 8% rastvora soli da bi se dobio rastvor koncentracije 5%?

63. Sveže pečurke sadrže 90% vode, a suve 12%. Koliko se suvih pečuraka može dobiti od 22kg svežih?

64. Sveze pečurke sadrže 88% vode, a suve 12 % vode. Koliko svežih pečurki je potrebno da bi se dobilo 8 kg suvih pečurki?

65. U tri prodavnice cena jedne košulje je bila ista. U Vanjinoj prodavnici košulja je prvo poskupela 20%, a zatim pojeftinila za isti procenat. Kod Cveleta je ista takva košulja prvo pojeftinila 20%, a zatim poskupela za isti procenat. Boško u svojoj prodavnici nije menjao cene. U kojoj prodavnici je ta košulja sada najjeftinija, a u kojoj najskuplja?

Sadržaj



66. Roba je poskupela 20%, a zatim pojeftinila 20%.

a) Koliko procenata se promenila cena u odnosu na prvobitnu?

b) Ako je sada cena te robe 800 dinara kolika je bila prvobitna cena?

67. Roba je poskupela 30%.

a) Kolika je nova cena ako je prvobitna bila 1000 dinara?

b) Koliko % sada treba da pojeftini ta roba da bi se dobila prvobitna cena?

68. Sveže grožđe sadrži 85% vode a suvo 10%.

a) Koliko treba svežeg grožđa da bi se dobilo 8kg suvog?

b) Koliko se dobija suvog od 100kg svežeg grožđa?

69. Robi je snižena cena za 20% i sada iznosi 4640 dinara. Kolika je bila stara cena te robe?

70. Trgovinsko preduzeće želi da pomeša 250 kg pirinča po ceni od 8,2 dinara sa izvesnom količinom pirinča od po 8,6 dinara po kilogramu tako da kilogram mešavine košta 8,5 dinara za kilogram. Koliko treba uzeti pirinča po ceni od 8,6 din/kg?

71. Sastaviti 1000 litara vina jačine 10% od vina jačine 11,8% i vina jačine 8,1%. Koliko litara vina treba uzeti od svake vrste vina?

72. Koliko je potrebno kiseline, a koliko vode da bi se napravilo 30 litara 5% rastvora kiseline?

73. Odredi koncentraciju soli (u %) u rastvoru koji se dobije kada pomešamo 1,5 kg soli sa

48,5 kg vode.

74. Od dugog čuvanja ječam gubi u prvoj godini od svoje težine 3%, a za svaku narednu gubi po 1% od težine. Koliko ostane ječma od 100 tona nakon 3 godine?

75. Za koliko procenata se promeni površina pravougaonika ako mu se dužina poveća za 10%, a širina smanji za 10%?

76. Cena neke robe smanjena je za 4%. Za koliko procenata treba povećati novu cenu da bi se dobila prvobitna cena?

77. Jedna knjiga je 25% skuplja od druge knjige. Za koliko procenata je druga knjiga jeftinija od prve knjige?

78. Koliko litara vode treba sipati u 180 l špiritusa jačine 90% da bi se dobio špiritus jačine 81%?

79. U posudi je bilo 400ml 6% rastvora soli. Posle izvesnog vremena, zbog isparenja, u posudi je ostalo 300ml rastvora. Kolika je procenata soli u novom rastvoru?

5. Rastavljanje polinoma na činioce

80. Rastavi polinome na činioce:

a) 22 25257049 yxx −+− b) 2233 yxyx +−+ c) 144402 +− xx


a) 2 2 29 12 4 4x xy y z− + − b) 2323 48 yyxx −++ c) 64202 ++ xx


a) 2 29 30 25a ab b− + b) 2 2 2 21 a x a x+ − − c) 2 26 9a a b+ + −


a) 2 29 49a b− b) 4 8 12ab a ac+ − c) 2 24 4a a b+ + −

Sadržaj



84. Rastaviti date polinome na činioce:

a) 22 34 −−+ xxx b) 22 222 yxyxyx −+−−


a) 12102 2 −− xx b) 88 235 −+− xxx

86. Rastavi na činioce

a) 4 4x + ; b) 2 2x y x y− − +


a) 44 4yx + b) 125 +++ xxx


a) 1072 ++ xx b) 24112 +− xx


a) 22 24 yxyx −+− b) 22 222 yxyxyx −+−−

90. Rastaviti polinome na činioce:

a) 127 63 −yx b) ( ) ( )22 19124 +−− yx

91. Rastaviti polinome na činioce

a) 2 2 2 2a b c bc− − + b) 2 2 8x x− − c) ( )3

8 1x− + .


a) ( ) ( )22 124 +−− aba b) 2727 235 −+− xxx


a) 2 2 2 2a b c abc+ − b) 3 3 3 3 1x y x y− − + c) 2 10 9x x− + .

6. Operacije sa algebarskim izrazima (razlomcima)

94. Srediti izraz ( ) ( )2425 2−−+ xxx .

95. Uprosti algebarski izraz

−

−−⋅

+−

4

122

4

81

x

x

x i odredi uslov definisanosti

96. Uprosti algebarski izraz

−

−−⋅

+

−+

yx

yx

yx

yx

23

61

2

62 i odredi uslov definisanosti

97. Uprosti algebarske izraz i odredi uslov definisanosti 2 2

2 2

5 10 4 4:

3 6 4

a b a ab b

a b a b

− − +

+ −

98. Uprosti algebarski izraz 24 2

3 : 13 3

x xa

a a

− −

;

20;

3a a x≠ ≠

Sadržaj



99. Uprosti algebarske izraz i odredi uslov definisanosti 2

2

9 1 61 3

1 3 1 3 9 1

x xx

x x x+ + − −

+ − −

100. Uprosti algebarske izraz i odredi uslov definisanosti

+

−

−− 1

1:

1

31

2

2

x

x

x

x.

101. Uprosti izraz 31

:1

333

1

3 2

3

4

2

2 aa

a

aa

a

aa

a

−⋅

+

−

−

++−

−; { }0,1, 1a ∉ −

102. Uprosti algebarske izraz i odredi uslov definisanosti 22

13

4

62

2

−−

−−

−

−−

a

a

a

aa.

103. Uprostiti izraz:

−⋅

+

+⋅

−

yxxy

yx

yxxy

yx 11:

11 22

.

104. Uprostiti izraz: 2 3

1 3:

1 1 1

ab a b

b b b b

+ +

− + + + .

105. Sredi izraz 23 1

12 2 1 2

x x x

x x

− + − ⋅ −

+ −

106. Uprostiti izraz 2 2

2: 2

x y x y

y xy x y x xy y x

− + − +

+ + +

107. Odredi realne parametre a, b i c tako da su identički jednaki polinomi

( ) 3 22 9 13 6P x x x x= − + − i ( ) ( ) ( )22Q x x ax bx c= − + +

108. Odredi parametre a i b tako da je za sve vrednost promenljive 2−≠x i 3≠x jednakost

326

42 −

++

=−−

−

x

b

x

a

xx

x bude tačna.

7. Geometrija

Odnos stranica i uglova trougla značajne tačke trougla, zbir uglova u trouglu, mnogougao, Talesova teorema (komentar: zadatak iz te oblasti da bude prepisan

iz zbirke)

109. Razlika dva oštra ugla iznosi 60o. Odrediti razliku njihovih komplementarnih uglova.

110. Neka je O centar upisane kružnice u trouglu ∆ABC i neka je 5:1: =βα , a 0123AOB∠ = .

Odredi unutrašnje uglove βα , i γ

111. Neka je H ortocentar trougla ∆ABC i neka je ;AHB ACBϕ γ= ∠ = ∠ . Ako je 2:7: =γϕ

odredi uglove ϕ i γ

112. Odredi dva komplementna ugla ako se odnose kao 3:2.

113. Simetrale dvaju unutrašnjih uglova trougla seku se pod uglom koji je jednak trećem unutrašnjem uglu tog trougla. Odredi taj treći ugao.

Sadržaj



Sl. 7.1.

cm

d15

=

cm

b8

=

cma 17=

114. U trouglu ABC∆ sa uglom 045=α uglovi β i γ odnose se kao 2:3. Odredi unutrašnje uglove tog trougla

115. Ako je u jednakokrakom trouglu osnovica a jednaka visini koja odgovara toj osnovici tada je

poluprečnik opisanog kruga oko tog trougla aR8

5= . Dokazati.

116. Tetiva kruga je za 2cm manja od prečnika, a odstojanje od centra kruga je za 2cm manje od poluprečnika. Odredi dužinu tetive.

117. Dva ugla trougla iznose 060=α i 072=β . Odrediti ugao koji obrazuju visine koje polaze iz temena datih uglova.

118. U trouglu ABC∆ simetrala CD ugla γ seče stranicu AB pod uglom 0110=ϕ . Izračunati uglove trougla ako se zna da je CD=BC.

119. Simetrala ugla između dijagonale i stranice romba obrazuje sa drugom dijagonalom ugao od 072 . Izračunati uglove romba.

120. Spoljašnji ugao jednakokrakog trougla je 72o . Izračunati ugao između visine i simetrale unutrašnjeg ugla,ako one sadrže isto teme osnovice.

121. Oštar ugao α i šestina njemu uporednog ugla su komplementni uglovi. Izračunati ugao α

122. U pravouglom trouglu ugao koji zaklapaju hipotenuzina visina i hipotenuzina težišna duž je 028 . Odredi ugao između hipotenuzine težišne duži i simetrale pravog ugla tog trougla.

123. Izračunaj površinu paralelograma sa slike 7.1.

124. Ako je na slici 7.2. BDAC // i AS=6cm, AB=3 cm, SC=4 cm, BD=6cm odredi dužine duži CD=x i AC=y sa slike

125. Izračunati površinu pravouglog trougla ∆ABC ( 090=∠ACB ) ako visina CD ima dužinu cmCD 6= i na hipotenuzi AB gradi odsečak cmAD 9= (slika 7.3.)

126. Izračunaj površinu deltoida sa slike 7.4.

S

C

D

B

A

4

x

3

6

6

y

Slika 7.2.

C

D BA

cmcb 9= ac

cm

h6

=

b a

•

•

Slika 7.3.



127. Ako je na slici 7.5. je EDAB // i cmABcmDC 20,6 == . Odredi dužinu duži xBD = .

128. Izračunati površinu pravouglog trougla ∆ABC ( 090=∠ACB ) ako visina CD na hipotenuzi AB gradi odsečke cmAD 25= i cmDB 4= (slika 7.6.)

129. Visina manjeg kružnog odsečka nad tetivom AB je cmCD 1= . Izračunaj poluprečnik kruga r ako je dužina tetive cmAB 8= (slika 7.7.)

130. Na slici 7.8. data su dva koncentrična kruga 1K i 2K sa

zajedničkim centrom S. Tetiva ED većeg kruga 1K je za

cm2 manja od prečnika tog kruga i dodiruje manji krug 2K . Izračunaj površinu kružnog prstena ako je poluprečnik manjeg kruga cmr 52 = .

131. Prema podacima sa slike 7.9. odredi meru ugla ϕ u stepenima.

8. Linearna jednačina

sa nepoznatom u imeniocu uz uslov definisanosti

132. Reši jednačinu 1

14

22

12

1

22 −

+=

+

−−

−

+

x

x

x

x

x

x.

Slika 7.7.

O

A BC

r

D

cm1

Slika 7.6.

C

D BA

cmca 4=cmcb 25=

ba

•

•

20

8

6

x E

C

B

A

D

Slika 7.5.

Slika 7.4. cm

d13

1=

cm

a12

= cm

a12

=

cm

b5=

cm

b5=

Slika7.8.

Sadržaj




51

1

3

3

12 −+

−=

−

−−

+

−

xx

x

x

x

x

x.


32

2

1

63

5

−

−+=

−

+

x

x

x

x.


132

186

27

3

10

+

−+=

+

+−

x

x

x

x.

136. Reši jednačinu ( )

0329

5

2718

4

32

1

2712

18102

=−

−−

++

−−

−

xxxx

x.

137. Pokazati da je rešenje jednačine po x 2222

42

ax

ax

axx

bax

axx

bax

−

+=

+

−+

−

+ pozitivno ako su dati realni

brojevi a i b istog znaka i ako je 0≠x i ax ±≠ .


16

12

43

3

122

2

=+

+−

−+

−−−

−

−

x

x

xx

xx

x

x

139. Rešiti jednačinu 136

98

61

3

16

22 −

+=

−−

+ x

x

xx.


12 1 3 1 3

1 9 1 3 3 1

x x

x x x

− += −

− + −

141. Rešiti jednačinu ( )

2

3 11 10

4 6 8 12 4 9

x

x x x

++ − =

− + −

142. Rešiti jednačinu 222 4129

4

49

3

4129

1

xxxxx ++=

−−

+−.

143. Rešiti jednačinu:( )

5018

13

2012

1

3018

1222 −

++

−−

− x

x

xxxx=

x6

1


56

6

2

6

42

2

=−

−−

+−

− x

x

x

x

x

x .

145. Reši jednačinu: 2

3 15 70

4 20 50 2 6 30x x x+ + =

− − +.


2

2 3

2 2 4

x x x

x x x

−− =

− + −.


2

5 4 13 3 2 3 9

4 4 16

x x x x

x x x

+ − + −+ =

+ − −.

148. Koliko iznosi zbir rešenja jednačine 122|23| =++ xx .

149. Reši jednačinu 743 =+−− xx .

150. Reši jednačinu 116236 =++− xx .




1

2

23

12

3

13

=

−⋅

+

x

9. Primena linearnih jednačina

152. U odeljenju je 7

3 devojčica. Kada bi u odeljenje došle još 4 devojčice onda bi ih bilo isto koliko i

dečaka. Koliko je učenika u tom odeljenju?

153. Vertikalni stub visine 18m se pod udarom vetra prelomi tako da mu samo vrh padne na tlo i to na odstojanju 12m od podnožja stuba. Na kojoj se visini prelomio stub, ako je tlo u okolini stuba horizontalno i ravno?

154. Razlika cifara jednog dvocifrenog broja je 4. Kada ciframa promenimo mesta, prvobitni broj biđe

4

7 puta veći od novodobijenog. Odredi prvobitini broj.

155. Jedan radnik može da završi neki posao za 9 dana, a drugi za 12 dana. Ako se njima pridruži treći radnik, oni će taj posao završiti za 4 dana. Za koje vreme bi treći radnik sam završio taj posao?

156. Jedan pešak ide iz mesta A u mesto B brzinom 5h

km. Tri časa kasnije pođe iz istog mesta u

istom smeru biciklista koji prelazi 15h

km. Posle koliko vremena će biciklista stići pešaka?

157. Otac je pre deset godina bio 4 puta stariji od svog sina, a kroz 10 godina će biti dva puta stariji od sina. Koliko godi na ima otac, a koliko sin?

158. Učenik je prvog dana pročitao 4

1 knjige; drugog dana

3

2 od ostatka knjige, a trećeg dana je

pročitao poslednjih 40 stranica. Koliko stranica ima ta knjiga?

159. Jedan bazen može da se napunivodom jednom cevi za 45 minuta, a drugom cevi za 36 minuta. Za koje vreme će se napuniti bazen, ako ga istovremeno pune obe cevi?

160. Na prijemnom ispitu trebalo je rešiti 20 zadataka. Za svaki rešeni zadatak učenik dobija 4 poena, a za svaki nerešeni zadatak gubi 3 poena. Ako je učenik na kraju imao 38 poena, koliko je zadataka rešio?

161. Odredi takav prirodan broj da razlika proizvoda dva sledeća broja i proizvoda dva prethodna broje bude 600.

162. Koji broj treba dodati brojiocu i imeniocu razlomka 3

5 da bi se dobio

7

11?

163. Turista je prešao 105km. Da je dnevno prelazio po 6km manje na putu bi proveo dva dana više. Koliko kilometar dnevno je prelazio turista?

10. Logički zadaci

(komentar: obavezan zadatak iz ove teme ali da nije istovetan sa nekim iz zbirke)

164. Dača sad ima četiri puta više godina nego što je imala Maca kad je bila dva puta mlađa od Dače. Koliko godina ima Dača, a koliko Maca, ako će kroz 15 godina imati zajedno 100 godina.

Sadržaj

Sadržaj



165. Pas je udaljen od lisice 30 m . Jedan skok psa iznosi 2 m , a skok lisice je dug 1 m . Za vreme za koje pas načini 2 skoka, lisica načini 3 skoka. Koliko će rastojanje preći pas dok ne uhvati lisicu?

166. Otac je ostavio 8600 talira de se razdeli među njegova 4 sina. Prema očevoj želji, prvi treba da dobije dva puta više nego drugi manje 100 talira; drugi 3 puta više od trećeg manje 200 talira, a treći 4 puta više nego četvrti manje 300 talira. Koliko će talira dobiti svaki sin? (Algebra-Ojler, 1707-1782.g).

167. Rep ribe je težak 4 kg, glava – onoliko koliko rep i pola trupa, a trup – koliko glava i rep zajedno. Koliko kg je teška cela riba?

168. Za realne brojeve , , , i a b c d e važi da je a b c d e< < < < i da je razlika između susednih

brojeva jednaka. Kolika je vrednost broja b ako je 5,5a = i 10e = ?

169. Dva planinara od kojih jedan prelazi 7km/h, a drugi 5km/h, krenu istovremeno jedan drugom u susret iz dva mesta udaljena 63km. Posle koliko vremena će se sresti?

170. U jednom mesecu u jednoj godini, tri utorka su pala na parni datum. Koji je 21. dan tog meseca? (Obavezno je obrazloženje)

171. Dokaži da je 21 555 ++ ++ nnn deljivo brojem 155 za svaki prirodan broj n.

172. Dokaži da je 21 222 ++ ++ nnn deljivo brojem 14 za svaki prirodan broj n.

173. Rasipač mineralnog đubriva zahvata 20m na dužini od 120m bacio je 100kg mineralnog đubriva. Ako je zadata norma Q=400kg/ha sa dozvoljenim odstupanjem 5%± proveri da li je rasipač pravilno podešen ili ne?

174. Koliko prirodnih brojeva manjih od 1000 ima zbir cifara 17?

175. Pravougaoni mozaik površine 2864cm napravljen je od pločica kvadratnog oblika. Sve

pločice su istih dimenzija. Mozaik je širok cm36 i visok 8 redova. Kolika je dimenzija jedne pločice.

176. Koliko ima prirodnih brojeva da im je zbir cifara 2012, a da im je proizvod 3?

177. Automobil troši 6 litara goriva na 100km. Dužina puta do Beograda i nazad iznosi 240km. Litar goriva košta 132 dinara, a povratna karta do Beograda košta 880 dinara. Za koliko najmanje osoba je ekonomičnije (isplativije) putovat automobilom do Beograda?

178. Koliko šećera treba dodati u 510ml 10% rastvora šećera da bi se dobio rastvor koncentracije 15%?

Sadržaj



DRUGI RAZRED

1. Sistem linernih jednačina, linearne nejednačine

(sistemi dve linearne j-ne sa dve nepoznate i primena, linearne nejednačine i sitemi)

1. Reši sistem jednačina 52

4

1

38

2

3

1

2−=

++

−∧=

++

− yxyx.

2. Reši sistem jednačina 5 4 4 5 41

22 2 2 2 20x y x y x y x y

+ = ∧ + =+ + + +

.


32 2 2 2 35x y x y x y x y

+ = ∧ + =+ + + +

.

4. Resiti sistem jednacina yxyx +

+−

64=1.6

8 9

x y x y∧ −

− +=1.1

5. Rešiti sistem jednačina: 6 2 9 4

1,1 0,1x y x y x y x y

+ = ∧ − = −+ − + −

6. Reši sistem jednačina 1 1 1 1

a bx y x y x y x y

+ = ∧ − =− + − +

.

7. Reši sistem jednačina 6 4 12 8

5 21 2 7 1 2 7x y x y x y x y

− = ∧ + =+ − + − + − + −


32 2 35 2 2x y x y x y x y

+ = ∧ + =+ + + +

9. Reši sistem jednačina: 3

211

3

411−=

−−

+∧=

−+

+ yxyxyxyx.

10. Uvođenjem smene reši sistem jednačina 23

4

2

513

3

3

2

2−=

−−

+∧=

−−

+ yxyx

11. Rešiti sistem 2

1

1

5

2

51

1

5

2

6−=

−−

+∧−=

−−

+ yxyx.

12. Jedan bazen se puni iz dve slavine. Ako je prva slavina otvorena 4 sati, a druga 5 sati napuniće se 1

3bazena. Ako je prva slavina otvorena 3 sata, a druga 2 sata napuniće se

1

5 bazena. Za koliko

sati može da napuni bazen svaka slavina ponaosob?

Sadržaj



13. Dva radnika Milan i Zoran treba da završe neki posao. Ako rade zajedno završiće posao za 12

dana. Ako radi prvo Milan 9 dana, a zatim nastavi Zoran narednih 6 dana završiće 2

3 posla.

Koliko dana je potrebno svakom od njih da završe isti posao ako rade sami i ako se zna da radni učinak ne zavisi od toga da li rade pojedinačno ili u paru?

14. Otac želi da podeli jabuke deci. Ako im da po 3 jabuke preostanu mu dve jabuke, a ako im daje po 4 jabuke jedno dete ostane bez jabuka. Koliko je dece, a koliko jabuka imao otac?

15. Na kvizu takmičar odgovara na 24 pitanja. Ako tačno odgovori na postavljeno pitanje osvaja 4 poena, a u suprotnom gubi 1,4 poena. Na koliko pitanja takmičar nije znao odgovor ako je na kraju osvojio 69 poena

16. Na prijemnom ispitu trebalo je rešiti 20 zadataka. Za svaki rešeni zadatak učenik dobija 3 poena, a za svaki nerešeni zadatak gubi 1,5 poena. Ako je učenik na kraju imao 42 poena, koliko je zadataka rešio?

17. Jedna stranica pravougaonika je za 2cm kraća od dijagonale, a druga stranica je 8cm . Odredi nepoznatu stranicu i dijagonalu pravougaonika.

18. Jedna kateta trougla je za 1cm manja od hipotenuze, a druga kateta je5cm . Odredi nepoznatu katetu i hipotenuzu trougla.

19. Trapez visine 8h cm= ima površinu 2120P cm= , a jedna osnovica je za 6cm manja od druge osnovice. Odredi osnovice tog trapeza.

20. Srednja duž trapeza je 12m cm= , a jedna osnovica je za 4cm veća od druge osnovice. Odredi osnovice tog trapeza.

21. Zbir dva broja je 189. Ako se veći podeli manjim dobiće se količnik 3 i ostatak 1. Odredi te brojeve.

22. Razlika dva broja je 106. Ako se veći podeli manjim količnik je 3 a ostatak 4. Odredi te brojeve.

23. Reši nejednačinu 1 3 2 7

3 2 3

x x xx

− + −− < + i skup rešenja prikaži grafički.

24. Reši nejednačinu i skup rešenja predstavi grafički ( )2 21 1

1 2 13 2

x xx x x

+ −+ + < + + + .

25. Reši nejednačinu i skup rešenja predstavi grafički

( ) ( )1 4 3 7

5 4 2 2 5 12 3 6

x x xx x

− − −⋅ − − + ≥ ⋅ − −

26. Rešenje sistema nejednačina xxxx +<−∧+≤− 27471211

27. Reši nejednačinu 1

06 3

x

x

−<

−.

28. Reši nejednačinu 1 5

6 3 2

x x

x x

− −<

− −


1 21

x

x

−< ≤

+

30. Reši nejednačinu ( ) ( )1 2

06 3

x x

x

+ −>

−.



31. Okredi vrednosti parametra k tako da f-ja 3 4

2 3

k ky x

− + = −

tako da funkcija bude rastuća.

32. Okredi vrednosti parametra k tako da grafik f-je 3 4

2 3

k ky x

− + = −

seče osu Ox u tački

čija je prva koordinata negativna (tako da koren f-je ima negativnu vrednost).

33. Odredi zbir svih celih brojeva x za koje važi 2 1 3 1

6 2 3

x x x− − +≤ < .

2. Pravila stepenovanja

(sređivanje izraza ili izračunavanje vrednosti izraza)

34. Izračunati

−−⋅

−

+−

−

x

x

x

x 121

1

11

1

, za 1

2

−=

ax .

35. Uprostiti izraz:

2 23 3 3 3

2 2

x x x x− − + −−

36. Odredi vrednost izraza 5

3

12

5

13

2

2

1

256

2512504,0

⋅−=

−−

A

37. Uprostiti izraz: 1,0,21

1

24

31

4

±≠≠−

−+−

−

−−

−

−

−

xxxx

xx

xxx

x.

38. Dokazati da je 11

111111

11

11

2 −−

−−−−−−

−−

−−

⋅

−−

++

+

+

ba

abba

baab

ab=2b, ( )0,0 ≠≠ ba

39. Uprostiti izraz 35

3

1

12

2

6

1052

5 −

−

−

−−

−⋅

yx

x

y

y

x

40. Izračunati vrednost izraza 2

11082 9)

2

1()5()1(2 +−−−+−− −−− .

41. Odrediti vrednost izraza:

3

9

1243

10

642520273

1−

−−−−

−

+⋅+⋅

,

42. Uprostiti izraz: 22

11122

11

22

ba

ba:

ab

ba

ba

ba

−

−

+⋅

+

+ −−−

−−

−−


9428

1018)25(

)4(75))12((

⋅⋅

−⋅⋅−−

−−−−

.

Sadržaj



44. Uprostiti izraz ( ) 3

2

3 23 23 2

2

3

12

1

3

2

3

2

11−

−−

+⋅−+−

⋅

−+ yyyxyyx , ako su ,x y pozitivni

realni brojevi.

45. Uprostiti izraz )1(:

1

1 2

3

2

1

2

1

−

+

++x

x

xx za x >0 i 1≠x .

46. Uprosti izraz ( ) ( )

( )

4 22 1 2 1

32 2 1 1

ab a b abA

a b a b a b

− − −

− − −= i izračunaj njegovu vrednost za 3 210 , 10a b− −= = .

47. Uprosti izraz

21 2

2

1 11 :

x

x x

−− − − −

48. Uprosti izraz

1

2

2

1 1 1

x x

x x x

a a

a a a

−− − − +

− − +

49. Uprosti izraz 22 )2

55()

2

55(

xxxx −− −+

+.

50. Predstavi dati izraz 3 2

3 5

4 0,25 0,125,

2

m m

mA m Z

− −

−

⋅ ⋅= ∈ .

51. Uprosti izraz ( )

124 2

2 1 2 1

39

3

b aa b

a b a b

−− −

− − − −

+−⋅

−.

52. Izračunaj a) 1 2

3 3 13

4 3

− −

− −

; b) 23

7 4

2

4 8

−

− −⋅

53. Uprosti izraz

3 22 2

3 11 7

3 9 1:

4 4 12

a a b

b a b

− −−

− − −

⋅

54. Uprosti izraz ( ) ( )( )1

1 12 21

:a a b

b a b b a ba a b

−− −

−

+− + +

−

3. Korenovanje i racionalisanje imenioca

55. Izračunati 3

1:

128

2

23

1

++

−.

56. Izračunati 4 7 1

:5 3 2 5 3 3 2 3

+

− + ;

Sadržaj



57. Izračunati 3 2 3 2 2 2

:73 2 3 2

− +− + −

58. Racionališi imenilac izraza 372

35

−

59. Racionališi imenilac izraza 1

1 2 3+ −

60. a) Racionališi imenilac 2 5

2 2 5

−

+ b) Svedi na jedan koren 2 2 2


3

3

2

x

zy

y

zx

z

xy.

62. Dokazati jednakost: 3 35 2 7 5 2 7 2+ − − = .


2

x y x y y y

x xy xy x xy x xy

+ − −+ + + − +

za 0, 0x y> > .

64. Izračunati 1)53)(33

15

23

3

13

2( −+

−+

−+

−.

65. Izračunati 5

5

520

5

25

3−

−−

−

66. Izračunaj 4

1

4

1

3

80

5

8

33 −=X .

67. Uprosti izraz 12 833 53 yyyxxA +−⋅= , x>0, y>0

68. Uprosti izraz 5 7

5103

5 2

aA p p p

a= − + , a>0, p>0

69. Uprosti izraz 1 2 1

111

a

aa a

+ ⋅ − −+

; 1a ≠ ± .

4. Kompleksni brojevi

(operacije, jednakost kompleksnih brojeva, broj i, realni i imaginarni deo)

70. Izračunati 2005

32

32

+

−

i

i.

71. Izračunaj

20081

2

i−

Sadržaj



72. Izračunati 105

3 4

4 3

i

i

−

+ .

73. Izračunati ( )50

1 i−

74. Odredi komplaksan broj z=a+bi ako je ( ) )32(1332 iiz +⋅=−⋅

75. Odrediti realne brojeve x i y iz jednačine yixiyix −−=+− 6235 .

76. Resiti po z jednačinu ( y x yi= + ) ( ) ( ) ( )( )iziiiz 43121 −+++⋅+ =1+7i

77. Izračunati: 16

2

1

1

3

++

+ i

i

i.

78. Izračunaj:

2007

1

1

−

+

i

i

79. Odrediti x i y iz jednačine ii

iyx52

1

)1()4(−=

+

−+−.

80. Pokazati da je 44 )1()1( ii −−+ realan broj.

81. Odrediti realni i imaginarni deo komplesnog broja 257

135

2

3

i

iz

−

+= .

82. Odrediti realni i imaginarni deo komplesnog broja i

i

i

iz

+

−+

+

−=

3

2

2

23.

83. Odrediti realan i imaginaran deo broja z: 42 )1()2(1

1)43)(32( ii

i

iiiz ++++

+

−++−= .

84. Rešiti jednačinu ( ) izi 523 −=⋅− .

85. Reši jednačinu po z: 2 6z z i+ = − .

86. Reši jednačinu po z: 1 2z z i− = + .

87. Dokazati da je 9 9( 3 1) ( 3 1) 1024i i− − + = .

88. Ako je 1

(1 3)2

z i= − + naći 24z .

5. Kvadratna funkcija

(ekstremum, nule, monotonost, grafik, znak)

89. Dat je skup funkcija 522 −−= xaxy . Odredi koeficijent a tako da odgovarajuće funkcija

dostiže maksimalnu vrednost 2max −=y , a zatim nacrtati grafik te funkcije.

90. Odrediti realan broj k takav da f-ja 32 −++−= kkxxy dostiže maksimum za x=1, a zatim odredi tu maksimalnu vrednost ymax.

Sadržaj



91. Odrediti realan broj k takav da f-ja 32 +++= kkxxy dostiže minimum za x=-3, a zatim odredi tu minimalnu vrednost ymin.

92. Dat je skup parabola ( ) ( )2 2 1 2 1y ax a x a= − + + + .Odrediti onu parabolu ovog skupa koja

dostize ekstremnu vrednost za 2x = . Konstruisati grafik dobijene parabole.

93. U funkciji 13)2(2 +−++−= mxmxy odrediti realan parametar m tako da funkcija ima

maksimum za 3x = , a zatim ispitati njen tok i nacrtati grafik.

94. U funkciji ( ) 122 +−−−= xmxy odrediti vrednost realnog parametra m tako da funkcija

ima maksimum 4

5max =y .

95. Kod funkcije 2( ) 2f x x bx c= + + odrediti realne parametre ,b c tako sa teme njenog grafika nalazi u tački T(2-2).

96. Kod funkcije 2 6 4y ax x= + − odrediti a tako da funkcija ima maksimum max 3y = . Za nađene

vrednosti skicirati grafik i ispitati tok funkcije.

97. Odredi realan parametar m takav da f-ja ( ) ( )22 1 1y m x m x m= − − + + + bude pozitivna za

svako x R∈ .

98. Komad žice dužine 56cm treba podeliti na dva dela; od jednog dela napraviti kvadrat, a od drugog pravougaonik čija je osnovica 3 puta duža od visine. Gde treba preseći žicu da bi zbir površina tako nastalih figura bio minimalan?

99. Iz skupa funkcija qpxxy ++= 2 odrediti onu funkciju koja ima nule 21 −=x i 32 =x ,a zatim ispitati tok i nacrtati grafik te funkcije.

100. U skupu f-ja ( ) ( )21 4 1, 1y m x m x m m= − − − − − ≠ odredi realan parametar m tako da f-ja

dostiže najmanju vrednost za 1x = , a zatim odredi tu najmanju vrednost f-je.

101. Ispitaj i nacrtaj grafik funkcije 2 4 5y x x= − − . (ispitivanje funkcije podrazumeva: odrediti nule, presek sa y-osom, ekstremum, monotonost i znak).

6. Kvadratne j-ne i primene

(kvadratne j-ne, j-ne koje se svode na kvadratnu, sistem j-na od kojih je bar jedna kvadratna, primenae kvadratnih j-na i sistema j-na)


63

2

2

1

32 −+

−=

+−

− xx

x

x

x

x

x

103. Reši jednačinu: x

x

x

x

x

x

x

x

+

+−

−

+=

−

−−

+

−

3

4

3

3

9

1

3

122

.

104. Reši bikvadratnu j-nu ( ) ( ) 0363133 24=+−−− xx .

105. Reši simetričnu (recipročnu) jednačinu 01512829012815 234 =+−+− xxxx .

106. Reši j-nu 5 4 3 24 4 6 24 0x x x x x+ − − − − = .

107. Naći tri uzastopna cela broja čiji je zbir kvadrata jednak 110.

108. Zbir kvadrata tri uzastopna parna cela broja je 200. Odredi te brojeve.

Sadržaj



109. Naći dvocifreni broj čija je cifra jedinice za 1 veća od cifre desetica, a proizvod traženog broja i zbira hjegovih cifara jednak je 616.

110. Visina jednakokrakog trougla je 2

3 osnovice. Odredi stranice i visinu trougla ako je njegova

površina 248P cm= .

111. Stranica jednog kvadrata je za m2 duža od stranice drugog kvadrata. Odrediti stranice tih kvadrata ako se njihove površine odnose kao 9:4.

112. Duž AB je podeljena u zlatnom odnosu ako je odnos krćeg prema dužem odsečku jednaka odnosu dužeg odseka prema celoj duži. Ako je duž mAB 1= podeljena u zlatnom odnosu odredi dužinu većeg odsečka.

113. Odrediti stranice pravouglog trougla ako je poluprečnik opisanog kruga oko tog trougla cmR 5= , a poluprečnik upisanog kruga u tom trouglu cmr 2= .

114. Reši sistem jednačina 062362 22 =+−∧=+ yxyx

115. Rešiti sistem 01842 22 =−−∧=−−−+ yxyxxyyx .

116. Reši j-nu: 3 8 24x x x+ + + = + .

117. Reši j-nu: 2 23 5 8 3 5 1 1x x x x+ + − + + = .

118. Rešiti jednačinu: 2832 2 +=−+ xxx .

7. Vietove formule i priroda rešenja kvadratne jednačine

119. Odredi vrednost realnog parametra k tako da rešenja kvadratne jednačine 03 22 =++ kkxx

zadovoljavaju jednakost: 11222

21 =+ xx .

120. U jednačini 0)1(2 =++− mxmx , odrediti realan broj m tako da njena rešenja 1x i 2x

zadovoljavaju jednakost 1022

21 =+ xx .

121. Za koje vrednosti parametra realnog a nejednačina 2

3

4 2

ax

x<

+ važi za sve vrednosti realne

promenljive x.

122. Dokaži a j-na ( ) ( )2 25 2 3 3 0m x m x+ + + + = nema realnih rešenja ni za jednu vrednost

realnog parametra m.

123. Za koje vrednosti realnog parametra k kvadratna jednačina 02)1(2)1( 2 =−++−− kxkxk

ima realna i dvostruka rešenja?

124. Izračunaj 2

1

1

2

x

x

x

x+ ako su 21 xix rešenja jednačine 0

6

25

2

3

3

2 2 =++− xx .

125. U jednačini: ( )2 22 5 6 0x a a+ − + + = odredi parametar a tako da važi uslov 2 21 2 10x x+ = .

126. U jednačini: ( ) 22 2 2 3 0a x ax a− − + − = odredi parametar a tako da važi uslov1 2

1 1 10

3x x+ =

Sadržaj



127. U jednačini 082 =+− pxx odrediti realan broj p tako da jedan koren bude tri puta veći od drugog.

128. Data je jednačina 2( 4) ( 2) 2 0, 4m x m x m m− + + − − = ≠ . Za koje vrednosti realnog

parametra m su rešenja te kvadratne jednačine brojevi različitog znaka?

129. U jednačini 062 =+− qxx odrediti realan broj q tako da jedno rešenje bude jednako polivini drugog rešenja.

130. Ne rešavajući jednačinu 2( 4) ( 2) 2 0, 4m x m x m m− + + − − = ≠ odredi m tako da njena

rešenja zadovoljavaju uslov: 1 22 1x x− = .

8. Kvadratna nejednačina

(oblika 0,≥≤B

A ili 0, ≥≤⋅ BA gde su A i B kvadratni ili linearni polinomi)


2

≤+−

−

xx

xx.

132. Reši nejednačinu: 11

672

2

−≤−

+−

x

xx.

133. Reši nejednačinu: 2

2

61

2 3

x x

x x

− −≥

− −

134. Rešiti nejednačinu 2

2

4 5 60

3

x x

x x

+ −≤

−.


322

2

−≥+−

+−

xx

xx.


432

2

≥−+

+−

xx

xx.

137. Resiti nejednacinu 2

2

2 3 10

1

x x

x x

− + −<

+ +


122

2

≤−

++−

x

xx.

139. Rešiti nejednačinu: 02

42

2

≥−

−

xx

x.


2

3 40

1

x x

x

− −<

−


2

2 7 50

1

x x

x

− +<

+


2

30

20

x x

x x

−≥

− −.

Sadržaj



9. Trigonometrija pravouglog trougla

(trigonometrijske identičnosti ili rešavanje pravouglog trougla)

143. Dokazati da za svaki oštar ugao φ važi jednakost ϕϕϕ 2cos

2

sin1

1

sin1

1=

++

−.

144. A je 090=+ βα i 17

8sin =β izračunati vrednost izraza

α

α

α

α

tg

ctgA

cos1:

cos1

−

+=

145. Ako je 17

8sin =α izračunati vrednost izraza:

αα

αα

cos2sin3

cos3sin2

+

−=A .

146. Dokazati identitet: αααα

αα 22cossin

cossin2tg

ctg=

−, oo 900 << α

147. Dokazati identičnost: 1

1

sincos

cos

sincos

sin2

2

−

+=

−−

+ xtg

xtg

xx

x

xx

x.

148. Ako je °=+ 90βα i 1cos3sin2 =+ βα izračunati αsin .

149. Odrediti αsin i αcos ako je 3cos3sin2 =+ αα .

150. Ako je 2cossin2

cos3sin9=

+

−

αα

αα odrediti αtg i ugao α .

151. Ako je α ostar ugao i ako važi relacija 1cos2sin

cossin3=

+

−

αα

βα, odrediti αtg .

152. Ako je 4=+ αα ctgtg koliku vrednost ima αα 22 ctgtg + ?

153. Odrediti tgα oštrog ugla α ako je 4

7sin =α , a zatim izračunaj vrednost izraza

α

α

α

α

tgA

sin1:

sin1

cos +

−= .

154. Dokazati da važi 1coscos

sinsin42

42

=−

−

αα

αα.

155. Šupu širine 4m treba pokriti kosim ravnim krovom „na jednu vodu“. Ako je zahtevani nagib

krova odredi: a) koliko treb dozidati jedan zid (kolika je visinska razlika između dva zida na koje se oslanja krov)? b) kolika je najmanja dužina rogova (kosih greda)?

156. Izračunati površinu romba kod koga je stranica a=20 cm i oštar ugao α=45

157. Uprosti izraz 1 cos 1 cos

1 cos 1 cos

x x

x x

− +−

+ − gde je x oštar ugao.

158. Dokazati 1 cos 1 cos 2

1 cos 1 cos sin

α α

α α α

− ++ =

+ −.

159. Dokazati 1 sin 1 sin

21 sin 1 sin

tgα α

αα α

+ −− =

− +.

Sadržaj



A

B

C

β

E D090

090

xED=

xEC =

cmCA 15=

cmEB 4=

Slika 10.1.

160. Dokazati identitet αααα 2224 cossincossin ⋅++ =1

161. Dokazati identičnost x

x

x

x

sin

cos1

cos1

sin +=

− .

162. Uprosti izraz 1 sin 1 sin

1 sin 1 sin

α α

α α

− +−

+ −.

10. Logički zadaci

(logički zadaci i zadaci koji služe za sistematizaciju ili primenu nekih tema)

163. Odredi βtg gde je β oštar ugao prvouglog trougla ABC sa slike 10.1.

164. Osnova prave četverostrane prizme je paralelogram stranica a = 4 cm i b = 7cm, koje obrazuju oštar ugao od 30o . Izračunati površinu prizme, ako je površina omotača jednaka 110 cm2.

165. Ako je 4 9x = i 9 256y = koliko je x y⋅ ?

166. Ako je 13 2012m = i 2012 169n = koliko je m

n?

167. Ako za oštar ugao α važi 2 22sin 3cos 2,64α α+ = izračunati tgα .

168. Odrediti oštar ugao α ako je 23sin 2cosα α= .

169. Reši simetričnu (recipročnu) jednačinu 01512829012815 234 =+−+− xxxx .

170. Date su funkcije ( ) 173 2 +−= xxxf i ( ) 1232 2 ++= xxxg . Odredi najmanje vertikalno rastojanje između njihovih grafika.

171. Izračunaj 5522 +− xx za 1=x

172. Pomoću slike 10.2. možemo zaključiti da je 24447531 =⋅=+++ .

Sadržaj



Slika 10.2.

a) Koliko je 191715131197531 +++++++++ ?

b) Koliko je 2018161412108642 +++++++++ ?

c) Koliko iznosi zbir prvih 100 prirodnih brojeva.

173. Pomoću slike 10.2. možemo zaključiti da je 24447531 =⋅=+++ . Koliko je

199...109107105103101 ++++++ tj. koliki je zbir svih neparnih brojeva druge stotine?

174. Krug poluprečnika cm4 podeljen je kružnim lucima poluprečnika cm2 na 4 podudarna dela kao na slici 10.3. Odredi obim i površinu jednog od tako dobijenih delova.

175. Deda Milivoje je na velikoj livadi napravio kolibu kvadratnog oblika dimenzija a metara. On ima kozu i želi da ona pase oko kolibe. Da koza ne pobegne moraće da je veže pa je spremio konopac dužine 2a metara tako da koza može da obiđe oko cele kolibe. Sada deda Milivoje ima problem jer nije siguran kada će koza imati veću površinu za pašu: ako kozu veže po sredini jedne strane kolibe (tačka H na slici 10.4.) ili na uglu kolibe (tačka H). Pomozi deda Milivoju da izabere pravu poziciju kao bi njegova koza imala više trave na raspolaganju.

Slika 10.4.



176. U podvodnom kraljevstvu žive šestokrake, sedmokrake i osmokrake hobotnice raznih boja. One koje imaju 7 krakova uvek lažu, a one sa 6 ili osam krakova uvek govore istinu. Jednog dana su se sastale 4 hobotnice . Plava je rekla: "Zajedno imamo 28 krakova", zelena: "Zajedno imamo 27 krakova", žuta "Zajedno imamo 26 krakova" i crvena: "Zajedno imamo 25 krakova". Koliko krakova ima crvena hobotnica?

177. Na grafiku (slika 10.5.) je prikazano rastojanje koje je svako od pet učenika pretrčao, kao i vreme potrebno da to rastojanje pretrči. Poređaj imana učenika od nabržeg do najsporijeg.

178. Rastojanje SB tačke S od manjeg kruga 1K jednako je

poluprečniku 1r tog kruga. Veći krug 2K dodiruje krug

1K i sa njim ima zajedničke tangente iz tačke S (slika 10.6.)

a) Odredi ugao α pod kojim se ovi krugovi vide iz tačke S .

b) Ako je cmr 11 = izračunaj površinu većeg kruga 2K

179. Marko je odlučio da zasadi vinograd na trapeznoj površi prikazanoj na slici 10.7. tako što će prvi red biti na osnovici a i poslednji na osnovici b . Rastojanje između biljaka u istom redu je

cm75 , a rastojanje između redova je m5,2 . Koliko će sadnica vinove loze biti potrebno ako su

dimenzije mhmbma 100,30,120 === ?

180. Ako se broj stranica pravilnog mnogougla poveća za 3 tada se njegov ugao poveća za 027 . Koliko stranica ima taj mnogougao.

181. Dat je iskaz: „Svi učenici su položili ispit“. Soprotan iskaz (negacija datog iskaza) je:

a) Nijedan učenik nije položio ispit.

b) Bar jedan učenik je položio ispit.

c) Najmanje jedan učanik je položio ispit.

d) Samo jedan učenik nije položio ispit.

e) Bar jedan učenik nije položio ispit.

. Slika 10.7.

Sadržaj



TREĆI RAZRED

11. Eksponencijalna funkcija i eksponencijalne j-ne


3

42

2x+ =


432

x =

3. Reši jednačinu: 033432 =+⋅− xx

4. Reši jednačinu: 0164816 =+⋅− xx

5. Reši jednačinu: 13 2 3 15x x+ + ⋅ =

6. Reši eksponencijalnu jednačinu 3525 232 +⋅= −− xx .

7. Resiti eksponencijalnu jednacinu 042332 112 =+⋅− −+ xx

8. Reši eksponencijalnu jednačinu 35 5 20x x−− = .

9. Reši eksponencijalnu jednačinu 3 3 1 12 3 2 3 288x x x x− +⋅ − ⋅ = − .

10. Reši eksponencijalnu jednačinu: 039103 =⋅+− − xx .

11. Reši jednačinu: 20 6 5 10 0x x x− ⋅ + =

12. Reši jednačinu: 1 1 5

2 2 23 3 3 31x x x− + +

+ + =

13. Reši jednačinu: 1 17 7 50x x+ −+ =

14. Rešiti jednačinu xxx 365812163 ⋅=⋅+⋅ .

15. Rešiti jednačinu: 302222 321 =+++ +++ xxxx .

16. Rešiti jednačinu 522 2 =+ −xx .

17. Reši jednačinu 3 81 10 9 3 0x x− + = .

18. Reši jednačinu: 3 1 3 1 3 34 13 4 2 2x x x x+ + − −− ⋅ = −

19. Reši jednačinu ( )2

11 11 11 99x x− = + .

12. Logaritamska funkcija i logaritamske j-ne

20. Rešiti jednačinu 5log4log2

13log2log −−=x .

21. Rešiti jednačinu ( ) 3loglog2log =+− xx .

22. Reši j-nu 1log2log3 828 =− xx .

23. Reši logaritamsku jednačinu (Odredi x tako da važi jednakost): ( )( ) 23log23log 42 =++ x .

Sadržaj

Sadržaj



24. Rešiti jednačinu 2))1(log45(log 33 =−+ x .

25. Rešiti jednačinu ( )( )3 3log 1 log 2 7 1x+ − =

26. Odredi vrednost izraza:

⋅ 8log

2

1loglog

2

12

9

1

27. Izračunati vrednost izraza 25logloglog 526 .

28. Ako je a=4log5 i b=3log5 naći 20log9

29. Izračunati vrednost izraza: )24log3(log3log24log35log3 1010101010 +−++ ;

30. Izračunati vrednost izraza: 27log64

1log64log 324 −+ .

31. Izračunaj tačnu vrednost izraza (bez upotrebe računskih pomagala) 2log 5

2A = .

32. Rešiti jednačinu ( ) ( )3 3 3log 4 log 1 1 log 2x x+ + − = + ;

33. Rešiti jednačinu ( ) ( )log 2 log 2 3 2x xx x+ + − =

34. Rešiti jednačinu 4loglog 32

22 =− xx .

35. Odrediti x iz jednačine 1

1 log log 7 log 9 2log 22

x+ = + − .

36. Izračunaj vrednost izraza

0,2log 0,1412 12 12 3 2

3log 2 2log 3 log 6; log 27 log 2; 5A B C= + − = − =

13. Trigonometrijske f-je proizvoljnih uglova

(trigonometrijska kružnica, identičnosti, adicione formule...)

37. Na trigonometrijkoj kružnici odnosno u koordinatnom

sistemu prikaži tačke A, B i C koje predstavljaju vrednosti

A=sinα, B=cosα, i C=ctgα ako je 4

cos 05

tg iα α= − >

38. Ako je ( )0 4sin 270 0

5 2i

πα α+ = − < < izračunaj tgα .

39. Izračunaj tačnu vrednost izraza 2 0 2 0sin 737 sin 107A = + (bez upotrebe tablica ili kalkulatora).

Sadržaj



40. Ako je 3

sin5

x = − i 3

,2

xπ

π

∈ izračunaj ( )cos 2x .

41. Izračunaj tačnu vrednost izraza ( )

5 53 2

13sin cos 3

6

tg ctgA

π π

ππ

− −

=

+ −

.

42. Izračunaj tačnu vrednost izraza ( )0 0

3 7sin cos

4 360 225

Atg ctg

π π−

=− −

.

43. Izračunaj tačnu vrednost izraza ( ) ( )0 0sin 135 cos 300

5 4

4 3

Atg ctg

π π

− +=

−

.

44. Ako je 2

sin2

α = , ,2

πα π

∈

i 3

cos2

β = , 3

,22

πβ π

∈

izračunaj ( )cos α β+

45. Ako je 3

sin2

α = − , 3

,2

πα π

∈

i 1

cos2

β = , 3

,22

πβ π

∈

izračunaj ( )sin α β−

46. Uprosti izraz ( )( ) ( )1 cos 1 costgx ctgx x x+ + − .

47. Uprosti izraz ( ) ( )2

2

11 sin 1 sin

1

tg xx x

tg x

−+ + −

+.

48. Dokaži identičnost sin 2 cos 2x tgx x tgx− = ⋅

49. Dokaži identičnost ( )sin 2 2tg ctgβ β β+ =

50. Izračunaj tačnu vrednost izraza A=0 0

0 0

57 12

1 57 12

tg tg

tg tg

−

+ ⋅ i 0 0 0 0sin103 cos13 sin13 cos103B = ⋅ − ⋅ .

51. Izračunaj tačnu vrednost izraza A=0 0

0 0

73 13

1 73 13

tg tg

tg tg

−

+ ⋅ i 0 0 0 0cos 78 cos12 sin 78 sin12B = ⋅ − ⋅ .

52. Ako je ( ) 3tg α β+ = i ( ) 2tg α β− = naći 2tg α i 2tg β .

53. Odrediti zbir oštrih uglova ,α β i γ ako je 1 11 3 11

sin , sin , sin3 33 11

α β γ= = = .

54. Izračunati vrednost izraza: 2 2 23 5

12 12 12tg tg tg

π π π+ + .

55. Dokazati da za svaki α važi ααα

αα 622

22

cos

sintg

ctg

tg=

−

−

56. Dokazati da za svaki α važi αα

ααtg

tg=

+

+

cos1

sin



57. Dokazati da za svaki α važi αα

α

α

α

sin

2

sin

cos1

cos1

sin=

++

+

58. Izračunaj ( )α−045sin ako je ( )00 180,90,13

12sin ∈= αα .

59. Izračunaj

−

3cos

πα ako je

∈= π

παα 2,

2

3,

25

7cos .

60. Ako je 4

3

4=

+

πxtg odredi tgx .

61. Odredi ( )βα +sin ako je 5

4coscos −== βα ,

∈ π

πα ,

2 i

∈

2

3,

ππβ

62. Za oštre uglove α i β važi da je 12

12

−

+=αtg i

2

1=βtg . Odredi razliku βα − tih uglova.

63. Ako su α i β oštri uglovi i 65

632cos −=α , a

130

7cos =β odredi zbir uglova βα + .

14. Sinusna i kosinusna teorema, trigonometrijske j-ne

64. Odredi stranice b i c trougla ABC∆ ako je: stranica 2 2a = , naspramni ugao 045=α , i

nalegli ugao 0120=β .

65. Odredi stranicu c trougla ABC∆ ako se stranice 1 3a = + i 2b = i površina trougla

( )332

1+=P .

66. Odredi stranicu c trougla ABC∆ ako se stranice 3 3a = + i 3 2b = , a ugao naspram

stranice a je 075=α .

67. Odredi ugao α (naspram stranice a ) i površinu opisanog kruga oko trougla ABC∆ čije su

starnice 6a = , 2 3b = i 33−=c .

68. Odredi treću stranicu a i površinu opisanog kruga oko trougla ABC∆ čije su starnice 6b = ,

3 3c = + i ugao između njih 045=α .

69. Osnova prave prizme je trougao čije su dve stranice dužine 6a cm= i 6 2b cm= , a ugao

između njih je 045γ = . Dužina visine prizme je 20H cm= . Odredi površinu te prizme.

70. U trouglu ABC∆ je stranica aAB = , stranica 2aBC = , a spoljašnji ugao kod temena B je

za 030 veći od unutrašnjeg ugla kod temena A . Odredi unutrašnje uglove tog trougla.

71. Ako je u trouglu ABC∆ : zbir dve stranice 11=+ ca , ugao između njih 030=β i površina

trougla 7=P , izračunaj dužine stranica tog trougla.

72. U trouglu ABC∆ je: stranica 19a = , zbir ostale dve stranice 7=+ cb , a ugao naspram

stranice a je 060=α . Odredi starnice b i c i proizvod βα sinsin ⋅=A

Sadržaj



73. Reši jednačinu ( ) 16

tg x tgxπ

+ ⋅ = .

74. Dokaži da je 2

(3 2 2)2 4

arctg arctgπ

+ − = .

75. Reši jednačinu 4 4tgx tg x= .

15. Analitička geometrija u ravni

(rastojanje tačaka, podela duži, j-na prave, odstojanje tačke i prave, odnos dve prave, krug, prava i krug)

76. Na datoj duži ( ) ( )4,86,7 −− BA naći tačke P i Q , koje dele datu duž u produženoj razmeri

1:3:6:: =QBPQAP .

77. Naći koordinate centra S kruga opisanog oko trougla ( ) ( ) ( )( )1,1,7,7,0,6 CBAABC −−∆ .

78. Napiši jednačinu kružnice opisane oko trougla ( ) ( ) ( )( )2,3,1,6,5,2 CBAABC −∆ .

79. Napiši jednačinu kružnice upisane u trouglu ( ) ( ) ( )( )6,0,0,8,0,0 CBAABC −∆ .

80. Naći pravu koja seče prave: 3 0x y+ + = i 2 5 0x y− − = redom u tačkama A i B , tako da je

tačka ( )1,1M središte duži AB .

81. Napisati jednačinu prave koja prolazi kroz tačku ( )1,3 −A i normalna je na pravu 013 =−+ yx .

82. Napisati jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M(-2,1) , a paralelna je sa pravom

0123 =−+ yx .

83. Naći jednačinu kružnice čiji je centar C(1,2) , a koja prolazi kroz tačku M(2,3) .

84. Naći jednačinu kružnice koja dodiruje x -osu, a prolazi kroz tačke A(-1,2) i B(6,9) .

85. Naći jednačine tangenti kružnice 922 =+ yx koje su paralelne sa pravom 033 =−+ yx .

86. Odrediti jednačine stranica trougla ABC∆ , ako su mu date jednačine: visine :2 3 11 0ch x y+ − = težišne duži: : 4 5 3 0bt x y− + = i stranice : 3 1 0BC x y− − = .

87. Krug sa centrom ( )1,3 −O odseca na pravoj 2 5 18 0x y− + = tetivu dužine 6. Naći jednačinu ovog kruga.

88. Na datom krugu 2 2 2 4 20 0x y x y+ − − − = odrediti tačku A najbližu i tačku B najudaljeniju

od prave 3 4 34 0x y+ + = .

89. Odrediti ugao pod kojim se seku krugovi: 2 2 6 2 2 0x y x y+ − − + = i 2 2 4 4 6 0x y x y+ − + + = .

90. Odrediti jednačinu kruga koji prolazi kroz koordinatni početak, a prave 3 4 8 0x y− + = i

3 4 8 0x y+ + = su mu tangente.

Sadržaj



91. Kako glasi jednačina prave kojoj pripada tačka 3

;2

A a

, a koja sa pozitivnim delovima

koordinatnih osa obrazuje trougao površine 6P = ?

92. Izračunati ugao pod kojim se vidi kružnica 2 2 2 4 4 0x y x y+ − − + = iz tačke ( )3;3M .

93. Ako je dužina tetive kružnice ( ) ( ) 222 43 ryx =−+− na osi Ox jednaka 6, kolika je dužina

tetive te kružnice na osi Oy ?

16. Poliedri

(prizme, pramide, zarubljene piramide, pravilni poliedri, složeni poliedri)

94. Izračunati površinu i zapreminu pravilne četvorostrane prizme, koja ima omotač 212 6M cm= ,

a nagib dijagonale prema ravni osnove je 030α = .

95. Osnova prave prizme je jednakokraki trapez sa krakom dužine cm17 i osnovicama cm44 i cm28 , a dijagonalni presek je kvadrat. Izračunati joj površinu i zapreminu.

96. Dokazati da je zbir rastojanja proizvoljne unutrašnje tačke pravilnog tetraedra do njegovih strana konstantan i jednak njegovoj visini.

97. Izračunati površinu i zapreminu tela čija su temena centri strana date kocke, ivice a .

98. Izračunati odnos zapremine kocke ivice a i zapremine pravilnog tetraedra čije su ivice jednake dijagonali jedne strane kocke.

99. Izračunati odnos zapremine kocke ivice a i zapremine pravilnog oktaedra čije su ivice jednake dijagonali kocke.

100. Izračunati odnos zapremine prave pravilne šestostrane piramide čija je ivica osnove a i bočne ivice a2 prema zapremini pravilnog tetraedra ivice a .

101. Sve bočne ivice pravilne trostrane piramide imaju dužinu 2 7s = , a dužina visine te piramide je 4H cm= . Odredi površinu i zapreminu te piramide.

102. Sve bočne ivice pravilne trostrane piramide imaju dužinu 12s = i nagnute su prema ravni

osnove pod uglom 030α = . Odredi površinu i zapreminu te piramide.

103. Sve apoteme pravilne trostrane piramide nagnute su prema ravni osnove pod uglom 060α = , a ivica osnove je dužine 6a = . Odredi površinu i zapreminu te piramide.

104. Sve apoteme pravilne trostrane piramide imaju dužinu 4h cm= , a dužina visine te piramide je 2H cm= . Odredi površinu i zapreminu te piramide.

105. Osnova prave četverostrane prizme je paralelogram stranica a = 4 cm i b = 7cm, koje obrazuju oštar ugao od 30o . Izračunati površinu prizme, ako je površina omotača jednaka 110 cm2.

106. Osnova prave prizme je trougao čije su dve stranice dužine 4 3c m= i 8b m= , a ugao između

njih je 060α = . Dužina visine prizme je 2H m= . Odredi zapreminu te prizme.

107. Prava pravilna šestostrana prizma čije su osnovne ivice a i visina 3H a= , presečena je manjim dijagonalnim presekom na dva dela. Odredi površinu manjeg od tih delova.

Sadržaj



17. Obrtna tela

(valjak, kupa, zarubljna kupa, lopta, delovi lopte)

108. Jednakokraki trapez sa osnovicama cm2 i cm4 i oštrim uglom od 060 rotira oko kraka. Izračunati površinu i zapreminu dobijenog tela.

109. Pravilan šestougao površine 224 3P cm= obrće se oko jedne stranice. Izračunati površinu i zapreminu dobijenog tela.

110. Trougao sa stranicama dmdmdm 21,17,10 rotira oko najveće stranice. Izračunati površinu i zapreminu dobijenog tela.

111. Na rastojanju cm6 od centra lopte postavljena je ravan, koja seče loptu po krugu površine 264P cmπ= . Izračunaj površinu i zapreminu manjeg odsečka te lopte?

112. Izvodnica kupe je nagnuta prema ravni osnove pod uglom 030α = . Odredi odnos površine baze i površine omotača te kupe.

113. Jednakokraki trougao čiji je krak 10b = i ugao pri vrhu 2α rotira oko svoje ose. Izrazi površinu i zapreminu obrtnog tela u funkciji ugla α .

114. Dezobarijera je posuda sa polukružnom osnovom prečnika m4 i dubine cm7 . Koliko je litara dezinfekcionog sredstva potrebno da se napuni dezobarijera u kojoj je materijal sunđeraste

strukture koji zapreminu smanjuje za 25%. Računati da je 7

22≈π .

115. Oko lopte poluprečnika r opisan je valjak. Odredi odnos površine te lopte i tog valjka.

116. Oko valjka poluprečnika r i visine rH 2= opisana je lopta. Odredi odnos zapremina tog valjka i te lopte.

117. Odredi odnos zapremina upisanog i opisanog valjka oko preve previlne trostrane prizme.

118. Duži krak pravouglog trapeza sa osnovicom gradi ugao 060α = i ima dužinu 10c = , a veća osnovica ima dužinu 8a = . Odredi površinu i zapreminu obrtnog tela koje nastaje rotacijom tog trapeza oko kraćeg kraka.

119. Oko valjka poluprečnika 3r = i zapremine 72V π= opisana je lopta. Odredi površinu i zapreminu lopte i valjka.

120. Krak jednakokrakog trapeza sa osnovicom gradi ugao 0120α = i ima dužinu 12c = , manja osnovica ima dužinu 4b = . Odredi površinu i zapreminu obrtnog tela koje nastaje rotacijom tog trapeza oko svoje ose simetrije.

121. Oko lopte površine 100P π= opisan je valjak. Odredi površinu i zapreminu tog valjka.

122. Tri lopte poluprečnika r leže na ravnom stolu i međusobno se dodiruju. Četvrta lopta istog poluprečnika postavljena je na prve tri lopte tako da ih sve dodiruje. Odrediti odstojanje najudaljenije tačke četvrte lopte od ravni stola.

123. Tri lopte poluprečnika r leže na ravnom stolu i međusobno se dodiruju. Četvrta lopta postavljena je na sto tako da istovremeno dodiruje i prve tri lopte. Odrediti površinu i zapreminu četvrte lopte.

Sadržaj



124. Četiri lopte poluprečnika cmr 23= leže na ravnom stolu i svake dve susedne se

međusobno dodiruju. Peta lopta poluprečnika cmr 24= postavljena je na prve četiri lopte tako da ih sve dodiruje. Odrediti zapreminu piramide čija su temena u centrima ovih pet lopti.

125. Četiri lopte poluprečnika r leže na ravnom stolu i svake dve susedne se međusobno dodiruju. Peta lopta istog poluprečnika postavljena je na prve četiri lopte tako da ih sve dodiruje. Odrediti odstojanje najbliže tačke pete lopte od ravni stola.

18. Nizovi

126. Dat je niz

...,

6

25,

5

16,

4

9,

3

4,

2

1. Odredi njegov šesti član 6a i njegov opšti član.

127. Izračunaj 3

55...

3

23

3

227

3

20

3

196 +++++++=B

128. Izračunaj 1024

111...

8

14

4

13

2

12 ++++=C

(uputstvo razdvojiti mešovite razlomke na zbirove celih i razlomljenih delova i koristiti zbir prvih n članova aritmetičkog odnosno geometrijskog niza. Takođe uočiti da je 4=22, 8=23, ... , 1024=210)

129. Odredi deseti član a10 aritmetičkog niza kod koga je peti član a5=-3, a zbir prvih pet članova je S5=5.

130. Reši jednačinu 1+3+5+...+x=225 po x.

131. Reši jednačinu 3+7+11+...+x=741 po x.

132. Odredi broj x tako da brojevi 2x+1, 3x+3 i 5x+4 budu prva tri člana aritmetičkog niza, a zatim odredi zbir prvih 20 članova tog niza.

133. Odredi četrnaesti član geometrijskog niza ako je 2

33 =a i

16

36 =a .

134. Izračunaj 16

17

3

2...

27

16

9

8

3

42 +++++=A

135. Izračunaj ...125

81

25

27

5

93 ++++=B

136. Odredi 0>x tako da brojevi 25,21,25 +− xxx čine prva tri člana geometrijskog niza.

137. Izračunaj 325

233lim

2

2

+−

+−

∞→ nn

nnn

.

138. Izračunaj 34

53lim

2 +−

−

∞→ nn

nn

.

139. Izračunaj )12(lim nnn

−−∞→

.

Sadržaj



140. Izračunaj 23

)23(...741lim

2 −

−++++

∞→ n

nn

.

141. Naći zbir prvih 9 članova aritmetičkog niza: 1 3 1

, , ,...23 1 3 1+ −

.

142. Tri različita broja zyx ,, u tom zadatom redosledu čine geometrijski niz, a brojevi

xzzyyx +++ ,, aritmetički niz. Odrediti količnik geometrijskog niza.

143. Tri broja, čiji je zbir 26, obrazuju geometrijski niz. Ako se tim brojevima doda redom 1, 6 i 3, dobijaju se brojevi koji obrazuju aritmetički niz. Odredi te brojeve.

144. Odrediti x -ti član geometrijskog niza čija su prva tri člana: log log log11 , 5, 35x x xx x x− − −

145. Koristeći definiciju granične vrednosti niza dokazati 2

2

2 3 2lim

3 4 3n

n

n→∞

+=

−.

146. Dat je niz sa opštim članom 2

2

4 1

3 2n

na

n

+=

+. Odrediti granicu ovog niza. Koliko treba da je n da

bi 0,001na a− < .

147. Odrediti graničnu vrednost niza 1

2 3

2 1

n

n

na

n

++

= +

.

148. Brojevi 321 ,, aaa su tri uzastopna člana geometrijskog niza s količnikom 2=q , a brojevi

432 ,, aaa su tri uzastopna člana aritmetičkog niza čija je razlika 6=d . Odredi zbir sva četiri

broja 4321 aaaa +++

149. Odrediti graničnu vrednost niza 3 3 3 32

log 3 log 9 log 27 ... log 3n

nan

+ + + += .

150. Izračunati 3 5 3 5... .

151. Ako se prvom, drugom i trećem članu aritmetičkog niza, čija je diferencija 3=d , doda respektivno 1, 2 i 7, dobija se geometrijski niz. Kako glase ti nizovi i koliko iznosi zbir prvih sto članova aritmetičkog niza?

152. Zbir prvih n članova jednog niza iznosi: 29,5 89,5nS n n= −

a) Naći opšti član tog niza i pokaži da je aritmetički. Odrediti prvi član i razliku.

b) Pokazati da u tom nizu postoji član koji je dva puta veći od zbira svih predhodnih članova .

19. Sistemi jednačina i primene j-na i sistema j-na

153. Reši sistem jednačina

=−+−

=−+

=−+

0472

4583

123

zyx

zyx

zyx

Sadržaj




2 5 6

2 2 5

3 3 4 8

x y z

x y z

x y z

+ − =

− + + =− + − =


=−+−

=+−

−=+−

7293

0872

435

zyx

zyx

zyx

156. Rešiti sistem jednačina:

3 2 2

4 3 2

2 5 4 3

x y z

x y z

x y z

+ − =

− + =− + − = −


3 2 4

2 7 3 5

3 5 7 10

x y z

x y z

x y z

+ + =

− − + = + + =


2 3 5

3 2 2

4 3 6

x y z

x y

x z

− + =

+ = + =


2 3 1

2 4 6 2

2 6 4

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ − = − − + + =

.

160. U zavisnosti od realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem:

2 1

2 2

4

x y z

x y z

x y az

− + + =

− + = − + + =

161. Rešiti homogeni sistem jednačina:

2 3 0

2 5 0

3 2 0

x y z

x y z

x y z

− − =

+ + = + + =

.

162. U parku sede deda, sin i unuk. Ljubopitljivi prolaznik upita: deda koliko godina imaš ti, koliko tvoj sina, a koliko unuk? Deda odgovara: ja i moj sin imamo zajedno 92 godina, a ja i unuk 67. Kada mi se rodio sin bio sam za jednu godinu stariji nego on kada mi se rodio unuk. Koliko godina ima deda, koliko otac, a koliko sin.

163. Zbir svih ivica kvadra je cm80 . Zbir dve duže susedne ivice je tri puta veći od najmanje ivice kvadra, a ako se najkraća ivica poveća za cm1 tada će dužine susednih ivica obrazovati aritmetički niz. Odredi zapreminu kvadra?

164. Odredi uglove trougla ako je jedan od njih za 026 manji od zbira druga dva, a četiri puta veći od razlike ostala dva. Odredi mere tih uglova u stepenima.

165. Zbir cifara zamišljenog trocifrenog broja je 18. Ako se cifra jedinica premesti na prvu poziciju dobija se broj za 513 manji od tog broja, a ako cifru stotina premestimo iza ostale dve dobije se broj za 135 veći od zamišljenog. Koji je broj zamišljen?



20. Logički zadaci

(logički zadaci i zadaci koji služe za sistematizaciju ili primenu nekih tema)

166. Ana, Branka, Ceca, Danica i Eva su bliske rođake. Jedna od njih je Brankina baka, a Evina sestra. Eva je Daničina tetka. Jedna od njih je pet je Anina sestra, a Brankina majka. U kakvom su srodstvu Branka i Ceca.

(REŠENJE ... Ceca može biti samo Brankina baka. Ostale joj ne mogu biti bake. Eva ne može jer joj je Brankina baka sestra, Danica ne može jer joj je Eva tetka, a Ana ne može jer joj je Brankina majka sestra.)

167. Pet takmičara A, B, V, G, D zauzeli su prvih pet mesta u jednoj trci. Na pitanje: koji je takmičar zauzeo koje mesto, dobijeni su od pet gledalaca sledeći odgovori :

a) V je bio drugi, B treći.

b) D je bio treći, a G peti.

v) D je bio drugi, a G prvi.

g) V je bio drugi, a C prvi.

d) B je bio prvi,a A četvrti.

U svakom od tih odgovora jedan deo je tačan, a jedan netačan. Odredite koji je redosled takmičara. Rešenje (C,D,B,A,G)

168. Vlasnik želi da sagradi kuću na parceli koja ima oblik jednakostraničnog trougla. Pri tome želi da zbir rastojanja od kuće do ivica parcele bude što manji. Gde treba da sagradi kuću ako zanemarimo oblik i dimenzije kuće?

169. Jovan je istisnuo celu pastu za zube na trotoar u jednoj liniji dužine 10 metara. Ako bi prečnik otvora na pasti bio dva puta manji kolika bi bila dužina linije.

170. U čašu cilindričnog oblika koja je napunjena vodom uronjena je metalna kugla dva puta manjeg prečnika od prečnika čaše. Zbog toga se izvesna količina vode prelila iz šaše. Za koliko će se dubna vode u čaši smanjiti kada se ova kugla izvadi iz čaše.

171. Tegovi za terazije su napravljeni u obliku valjaka od istog homogenog materijala. Dimenzije tegova su: crni teg cmHcmr 4,1 == ; plavi teg cmHcmr 2,2 == i crveni teg

cmHcmr 1,4 == ( r je poluprečnik tega, a H njegova visina). Ako na I tasu stoje jedan plavi i jedan crveni teg koliko crnih tegova treba staviti na drugi tas da bi se terazije dovele u ravnotežu.

172. Prdmet oblika trostrane piramide napravljen je od gvožđa gustine 3

9,7cm

g=ρ ima masu

kg8,15 i površinu 210dmP = . Ako se od tog predmeta izbrusi kugla maksimalne veličine koliki će biti prečnik te kugle.

173. Bazen oblika kvadra ima površinu dna 21 45mP = , a površine bočnih strana su 2

2 15mP = i 2

3 12mP = . Koliko litara vode može da stane u taj bazen

174. Da li kroz cev valjkastog oblika mogu da se mimoiđu dve kugle od kojih je obim jedne za m1 manji od obima cevi, a prečik druge kugle je dm3 ? Odgovor obrazložiti.

Sadržaj



175. Ako su , ,α β γ tri uzastopna člana aritmetičkog niza onda je sin sin

cos costg

α γβ

α γ

+=

+. Dokazati!

176. Izračunaj ( )323

22 2logcos2

2sin21log

6sin

4

3sinlog π

πππ+

+−

+

177. Kvadar sa susednim ivicama ba, i c ima zapreminu 4 eV = . Izračunaj zbir svih ivica kvadra

čije su susedne ivice ba ln,ln i cln .

178. Kanal za vodu dugačak je m5 i može da prihvati l1440 vode. Poprečni presek je oblika jednakokrakog trapeza čiji je krak

cm52 i visina cm48 . Koliko litara vode može da prihvati kanal do polovine svoje dubine?

179. Figuru na slici 3.1. podeli po naznačenim linijama na 4 podudarne figure tako da svaka od njih sadrži po jednu zvezdicu

180. Dat je iskaz: „Živojinović nikad nije pobedio Lendla“. Soprotan iskaz (negacija datog iskaza) je:

a) Lendl nikad nije pobedio Živojinovića.

b) Živojinović je bar jednom pobedio Landla.

c) Živojinović je bar jednom izgubio od Lendla.

d) Lendl je bar jednom pobedio Živojinovića.

e) Živojinović nikad nije izgubio od Lendla.

181. Pauk je ispleo mrežu sa 50 niti šestougaonog oblika povezanih sa tri niti koje prolaze kroz centar mreže (kao na slici 3.2). Rastojanje između temena susednih šestougaonih niti je cm1 . Pri kretanju po mreži pauk uvek, pre nego što pređe iz jedne na susenu šestougaonu nit, pređe bar jednom njenom stranicom. Koliki najmanji put treba da pređe pauk da bi sa oboda mreže stigao u centar?

182. Dat je pravougli jednakokraki trougao osnovice cma 100= . Kraci i osnovica su podeljenai tačkama na po 100 jednakih delova. Kroz te tačke su postavljene duži paralelno i normalno prema osnovici.

a) Kolika je ukupna dužina svih duži na toj slici ne računajući stranice trougla?

b) Koliko je presečnih tačaka u unutrašnjosti trougla.

Slika 3.1.

Slika 3.2.

Sadržaj



ČETVRTI RAZRED

1. Grafik i osobine linearne, stepene, kvadratne, logaritamske i eksponencijalne f-je i odgovarajuće jednačine i nejednačine

1. Odrediti oblast definisanosti f-je: ( )2log 2 8y x x= + −

2. Odrediti oblast definisanosti f-je: ( )2log 2 8y x x= − − +

3. Odrediti oblast definisanosti f-je: 2 3 10y x x= − −

4. Odrediti oblast definisanosti f-je: 2 3 10y x x= − + +

5. Odrediti oblast definisanosti f-je: 3 2

3 2

3 10

2 15

x x xy

x x x

− −=

− −

6. Odrediti domen, nule i znak f-je: 2

2

4 3

7 6

x xy

x x

− +=

− + −

7. Odrediti domen, nule i znak f-je: ( )2log 4 4y x x= − +

8. Odrediti domen, nule i znak f-je: ( )2log 3 3y x x= + −

9. Odrediti nule f-je: 4 3 2

4 3 2

3 2

6

x x xy

x x x

− − +=

+ −

10. Odrediti nule f-je: 4 3 2

4 3 2

2 6

5

x x xy

x x x

− + +=

+ −

11. Data je f-ja ( ) ( )1

; 11

xf x x

x

−= ≠ −

+. Odrediti:

(a) ( )( )f f x ;

(b) Rešenje jednačine ( )( ) 0,5f f x = .

12. Data je f-ja ( ) ( ); 1x x

x x

a af x x

a a

−

−

−= >

+. Pokazati da je:

(a) Funkcija ( )f x neparna;

(b) ( )1 1log

1a

xf x

x− +

=−

.

13. Data je f-ja ( )( )1

log .2x

x xf x

x

+=

+. Pokazati da je:

(a) Odrediti oblast definisanosti f-je ( )f x ;

Sadržaj



(b) Rešiti j-nu ( ) 1f x = ;

(c) Rešiti nejednačinu ( ) 0.f x >

14. Naći eksplicitni analitički izraz ( )y f x= koja je implicitno definisana jednačinom:

( ) ( )2ln 1 3ln 2 3x y− + + = . Odrediti zatim oblast definisanosti f-je ( )f x i njenu inverznu f-ju

( )1f x− za 1x > .

15. Odrediti f-ju ( )f x koja zadovoljava funkcionalnu jednačinu 2

5 32 1

xf x

x

+ = +

+ .

2. Grafik i osobine trigonometrijskih f-ja, trigonometrijske j-ne i nejednačine

16. Reši jednačinu ( )1 cos sin 02

xx

ππ

+ − − + =

.

17. Reši jednačinu ( )3 sin 3 1 cosx x= − .

18. Reši jednačinu 3 sin 1 cosx x= − .

19. Odredi zbir svih rešenja jednačine 2 sin 14

xπ= na intervalu ( )0,10x ∈ .

20. Reši jednačinu 2 2 2cos sin

3 3 2x x

π π − − − =

.

21. Reši nejednačinu 2sin 2 1x < −

22. Reši nejednačinu 3 cos 4 sin 4 2x x+ > .


01 3

tgx

tgx

+<

− ⋅ na intervalu ,

2 2x

π π ∈ −

.

24. Odredi period funkcije 3

cos sin4 2

y x xπ

= + +

.

25. Odredi period funkcije 2 4y tg x ctg x= − .

26. Odredi znak f-je 1y tgx= − na intervalu ,2 2

xπ π

∈ −

.

27. Odredi znak i ekstremne vrednosti f-je 1

sin2

y x= + na intervalu [ ]0,2x π∈ .

28. Odredi znak f-je 2cos 2y x= + na intervalu [ ]0,2x π∈ .

29. Nacrtaj grafik f-je 14

y ctg xπ

= − +

na intervalu3

,4 4

xπ π

∈ − .

30. Nacrtaj grafik f-je 3

sin2 2 6

xy

π = − −

.

Sadržaj



31. Nacrtaj grafik f-je 2cos 23

y xπ

= +

.

3. Određivanje limesa

32. Izračunati 3

5

125lim

5x

x

x→

−

−.

33. Izračunati 35

4lim

64x

x

x→

−

−.

34. Izračunati 2

1lim 1

5

x

x x

−

→∞

+

.

35. Izračunati 3

1lim 1

6

x

x x→∞

−

.

36. Izračunati 4026

2013 1lim

2013

x

x

x

x→∞

+

.

37. Odredi graničnu vrednost f-je: ( )( )lim ln 1 lnx

x x x→∞

+ − .

38. Odredi graničnu vrednost f-je: 2

6lim

2x

x x

x→

− −

−.


lim 3 sinx

xx→∞

.

40. Odredi graničnu vrednost f-je: ( )0

sin 3lim

ln 1 2x

x

x→ +.

41. Odredi graničnu vrednost f-je: lim1

x

x

x

x→∞

+ .


lim ln2x

xx

x→∞

+

− .

43. Odredi graničnu vrednost f-je:

3 2

2

2lim

1x

x xx

x→∞

−−

− .

44. Odredi graničnu vrednost f-je: 2 3

lim2 1

x

x

x

x→∞

+

+ .

45. Odredi graničnu vrednost f-je: ( )2 2lim 3 4x

x x x→∞

+ − + .

Sadržaj



46. Odredi graničnu vrednost f-je:

3

4 32

4lim

2 3 6x

x x

x x x→

−

− + − .

47. Odrediti parametre a i b tako da f-ja ( )

12 , 1,

5, 1,

4 , 1.

xae x

f x x

ax b x

− <

= = + >

4. Asimptote funkcije

48. Odredi asimptote f-je 1

4 1y xx

= + + .


2

x xy

x

−=

−.


2 3 4

x xy

x x

−=

+ −.


2

2

3 4

x xy

x x

−=

− −.


2

2 3

2

x xy

x x

− −=

−.

53. Odredi asimptote f-je ( )

3

22 1

xy

x=

+.

54. Odredi asimptote f-je 2 2y x x x= + + .


2 3

5

xy

x x

−=

−.


xy xe=


y xx

= +

58. Ako je ( )1

2

x

xy f x

e

−= = , odredi asimptote te funkcije.

5. Izvod f-je po definiciji, interpretacija izvoda (tangenta krive, brzina promene f-je...)

59. Odredi izvod f-je po definiciji ( ) 26 5f x x= − + .

60. Odredi izvod f-je po definiciji 29 4y x x= − .

Sadržaj

Sadržaj



61. Odredi izvod f-je po definiciji xy e= .

62. Odredi izvod f-je po definiciji lny x= .

63. Odredi po definiciji prvi izvod funkcije 2 3y x= −

64. Odredi jednačinu one tangente krive 3 23 5y x x= + − koja je normalna na prvoj

2 6 1 0x y− + = .

65. Odredi jednačinu tangente i normalu elipse 2 22 54x y+ = u njenoj tački ( )6,3M .

66. Odredi tačke u kojima tangente grafika funkcije ( )1

3

xf x

x

+=

− grade sa osom Ox ugao od

3

4

π.

67. Na paraboli 2y x= odrediti tačku koja je najbliža pravoj 2 5 0x y− − = .

68. Odredi jednačinu tangente sinusoide siny x= u tački dodira 0,3

M yπ

6. Pravila diferenciranja f-ja i tablice izvoda (Izračunavanje izvoda zbira, proizvoda, količnika i složenih f-ja)

69. Odredi izvod f-je 7 3 43

53y x x

x= − +

70. Odredi izvod f-je 9 3 45

35 6y x x

x= − +

71. Odredi izvod f-je 1,5 32 1

3 2y x x x

x= − + .

72. Odredi prvi izvod f-je 31

2 3 2

x xy tg tg= + .

73. Odredi prvi izvod f-je 1

ln ln cos2

y tgx x= + .

74. Odredi prvi izvod f-je sin xy x= .

75. Odredi izvod implicitno date f-je y: siny x y− =

76. Pokazati da f-ja 1 ln

ln

xy

x x x

+=

− zadovoljava jednačinu 2 2 22 1x y x y′ = + .

77. Odredi izvod f-je: 1 sin

1 sin

xy

x

+=

−.

78. Odredi izvod f-je: 1 cos

1 cos

xy

x

−=

+.

79. Odredi izvod f-je: 1

1

xy arctg

x

+=

−.

Sadržaj



80. Odredi izvod f-je: sin cos

cos sin

x x xy

x x x

−=

+.

81. Odredi izvod f-je: sin 2

ln1 sin 2

xy

x=

−

82. Odredi izvod f-je: ( )2ln 1y x x= + + .

83. Odredi izvod f-je: ( )2 2ln 1 1y x x x x= ⋅ + + − + .

84. Dokazati da za f-ju cosxy e x= ⋅ važi jednakost ( )4 4 0y y+ ⋅ = ( )( )4y je četvrti izvod f je− .

85. Dokaži da za f-ju ( )21 1

xf x arctg

x=

+ − važi ( ) 0f x′ > .

86. Ispitati da li funkcija 1

ln 5 31

xy a a

x

−= ⋅ + −

+ zadovoljava jednačinu ( )2 1 2x y a′− ⋅ = .

7. Primene izvoda f-je

(određivanje monotonosti, ekstremnih vrednosti, konveksnosti, prevojnih tačaka)

87. Odredi intervale monotonosti, tačke ekstremuma, intervale konveksnosti/konkavnosti i prevojne

tačke f-je 2

2

1

xy

x=

+.


tačke f-je ( )1

2 xy x e= + .


tačke f-je ( )2

2 1 xy x e= − ⋅ .


tačke f-je 2lny x x= ⋅ .

91. Odredi monotonost, ekstremne vrednosti i konveksnost f-je 2 xy x e= ⋅ .

92. Odredi monotonost i ekstremne vrednosti f-je 2

4y x

x= + .


1y x

x= + .


2

xy

x=

−.

95. Odredi monotonost i ekstremne vrednosti f-je 4 28 9y x x= − + .

96. Odredi monotonost i ekstremne vrednosti f-je 5 4 34 4y x x x= − + .

Sadržaj



97. Odredi monotonost i ekstremne vrednosti funkcije 2

21

1

xy

x= −

+.

98. Odredi graničnu vrednost f-je (primenom Lopitalovog pravila): ( )

3

1

2

8 1lim

arcsin 2 1x

x

x→−

+

+.

99. Odredi graničnu vrednost f-je (primenom Lopitalovog pravila): 0

1 1lim ln

1x

x

x x→

+

−.

8. Ekstremalni problemi (u geometriji)

100. U loptu poluprečnika R upisan je valjak maksimalne zapremine. Odrediti dimenzije i maksimalnu zapreminu tog valjka.

101. U loptu poluprečnika R upisan je valjak maksimalne površine omorača. Odrediti dimenzije (poluprečnik osnove i visinu) tog valjka.

102. U kružnicu poluprečnika r upisan je pravougaonik maksimalne površine. Odrediti dimenzije i maksimalnu površinu tog pravougaonika.

103. U odsečak parabole 2 12y x= − , određen osom Ox , upisati pravougaonik maksimalne površine

tako da jedna stranica pravougaonika leži na osi Ox .

104. Odrediti dimenzije valjka čija je zapremina 354V cmπ= tako da mu površina bude minimalna.

105. Od kartona oblika pravougaonika osnovice 32cm i visine 20cm napraviti otvorenu kutiju maksimalne zapremine. Odredi tu zapreminu.

106. Zapremina otvorenog rezervoara sa kvadratnim dnom je 3256m . Odredi stranicu osnove i dubinu rezervoara tako da se za oblaganje zidova i dna utroši najmanje pločica.

107. U polukrug poluprečnika 2r cm= upisan je trapez čija je veća osnovica prečnik polukruga. Odredi visinu i manju osnovicu tog trapeza tako da površina trapeza bude maksimalna.

108. Odredi visinu kupe maksimalne zapremine ako je dužina izvodnice kupe s .

109. Od 270m lima treba napraviti silos (oblika valjka) tako da mu zapremina bude maksimalna. Odredi dimenzije silosa.

110. Brod A je u 10 časova bio udaljen 70 morskih milja zapadno od broda B. Ako se brod A kreće brzinom 16 milja na čas u smeru ka severu, a brod B brzinom 12 morskih milja na čas u smeru ka zapadu. U koje vreme će brodovi biti na najmanjem rastojanju i koliko će iznositi to rastojanje?

111. U trougao osnovice a i visine h treba upisati pravougaonik maksimalne površine tako da jedna stranica praqvougaonika leži na osnovici trougla. Odedi stranice i površinu tog pravougaonika.

9. Kombinatorika i Njutnov binomni obrazac

112. Učenik bira između 5 različitih knjiga iz matematike i 6 različitih knjiga iz hemije. Na koliko načina može izabrati 6 knjiga, tako da bar 4 budu iz matematike?

113. Na polici su složene različite knjige i to: 2 plave, 5 crvenih i 3 žute. Na koliko načina se mogu rasporediti ove knjige tako da knjige iste boje stoje jedna do druge?

Sadržaj

Sadržaj



114. Od 10 osoba treba formirati 3 grupe od po 3, 5 i 2 osobe. Na koliko načina se to može učiniti?

115. Deset različitih predmeta treba podeliti na tri osobe tako da jedna osoba dobije 3 predmeta, druga 5 predmeta i treća 2 predmeta. Na koliko načina se može izvršiti podela?

116. Treba poređati 5 plavih i 8 crvenih različitih knjiga na polici. Na koloiko se načina to može učiniti tako da:

(a) sve plave budu spojene u jednoj grupi,

(b) između bilo koje dve plave stoji bar jedna crvena,

(c) sve plave stoje u sredini, a po 4 crvene budu levo i desno od plavih?

117. Koliko trocifrenih brojeva sa različitim ciframa možemo napisati korićenjem nekih od cifara

šestočlanog skupa { }2,3,5,6,7,9 ?

(a) Koliko njih je manjih od 400?

(b) Koliko njih je neparnih?

(c) Koliko njih je parnih?

(d) Koliko je njih deljivo sa 5?

118. Odrediti 57. permutaciju elemenata skupa { }1,2,3,4,5 .

119. Od slova { }A,Д,Е,И,М,Р,Х idući ćiriličnim redosledom koja je po redu reč АРХИМЕД?

120. Polazeći od slova reči METAR, tim redosledom, permutovanjem se dobija reč TREMA. Koja je to permutacija po redu?

121. U kutiji je 10 belih i 4 crne kuglice koje su numerisane brojevima od 1 do 14. Ako biramo tri kuglice iz te kutije koliko se različitih izbora može ostvariti tako da izabrane kuglice nisu iste boje?

122. U kupeu ima 6 sedišta. Na koliko načina se na ta sedišta može rasporediti:

(a) 6 putnika

(b) 4 putnika

(c) 8 putnika (2 stoje i 6 sede)

123. Odrediti član koji ne sadrzi x u razvijenom obliku binoma ( )122x x−+

124. Dat je binom 11

2

3

1a

a

−

. Odredi u razvoju tog binoma koeficijent uz 8a .

125. U razvoju binoma 24 52

1n

a xax

+

koeficijenti petog i desetog člana su jednaki. Odredi član

koji ne sadrži x .

126. Naći racionalne članove u razvoju binoma ( )24

75 3 2+ .

127. U razvoju binoma 1

n

xx

+

koeficijent trećeg člana je za 35 veći od koeficijenta drugog člana.

Odredi onaj član koji ne sadrži x .

128. U razvijenom binomu ( )1 1n

x x+ + − koeficijent trećeg člana je 28. Odredi srednji član razvoja.



129. Koliko četvorouglova postoji na slici na kojoj je 7 horizontalnih pravih presečeno sa 10 vertikalnih pravih?

130. Pravougaonik ABCD� širine 4m i visine 7m , podeljen je horizontalnim i vertikalnim dužima

na kvadrate površine 21m (kao na slici). Na koliko se načina može iz donjeg levog ugla A doći do gornjeg desnog ugla C ako je dozvoljeno kretanje udesno ili nagore (najkraćim putem)?

10. Logički zadaci

(logički zadaci i zadaci koji služe za sistematizaciju više tema)

131. Dokazati da je ( ) ( )2P x A x x= ⋅ − , gde je A realna konstanta, jedini polinom koji zadovoljava

jednakost ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2x P x x P x− ⋅ + = + ⋅ .

132. Odredi funkciju ( ) xx f x a b c→ = + ⋅ , ako je. ( ) ( ) ( )0 15; 2 30; 4 90f f f= = = .

133. Ako je ( )1

log log log log 22 2

a ba b

−= + − , gde su a i b katete pravouglog trougla, odrediti

uglove tog trougla.

134. Dva ugla trougla, x i y , određena su jednačinama: 4 8tgx tgy+ = i 2 2

16 8tg x tg y− = . Odredi tangens

trećeg ugla tog trougla ( tg z ).

135. a) Dokaži da za svaka dva realna broja ia b važi nejednakost 2 2 2a b ab+ ≥

b) Dokaži da za svaka tri različita realna broje , ,a b c važi nejednakost 2 2 2a b c ab ac bc+ + > + + .

136. a) Reši jednačinu 4 9 25 6 10 15x x x x x x+ + = + + u skupu realnih brojeva.

b) Reši jednačinu 9 4 1 6 3 2x x x x x+ + = + + u skupu realnih brojeva.

137. Reši jednačinu 3 211 119 909 0x x x+ + + = .

138. Reši jednačinu 3 29 79 1111x x x− + = .

139. Reši jednačinu 4 22 400 9999x x x− − = .

140. Reši jednačinu ... 2014x x x = (koren na levoj strni jednačine ponavlja se beskonačno

mnogo puta).

Sadržaj

A B

D C



141. Reši j-nu po x u skupu relnih brojeva: 4 2log 3 3log 4 4, 0, 1a ax x a a− + = > ≠ . (previše

složena, logaritam, Bezuov stav, uslovi definisanosti)

142. Reši j-nu po x u skupu relnih brojeva: 3 9 9

3

1log log log

3log

x

x= . (previše složena, logaritam,

smena promenljive,kvadratna jednačina, uslovi definisanosti)

143. Formulom ( )2 2 1 3 1,y x k x k k= + + + − ∈� , dat je skup parabola.

(a) Dokazati da sve parabole imaju zajedničku tačku.

(b) Koja od tih parabola ima minimum u zajedničkoj tački? (odrediti k )

(c) Odrediti jednačinom skup temena svih parabola iz ovog skupa.

144. Da li postoji k uzastopnih prirodnih brojeva čiji je zbir 2014 ?

145. Koliki je zbir cifara petocifrenog broja abcde u kome svake dve uzastopne cifre predstavljaju

dvocifreni broj koji je potpuni kvadrat nekog prirodnog broja tj. (brojevi , , ,ab bc cd de su kvadrati)?

146. Jedan majstor dade svom šegrtu 20 novčića da mu kupi 20 jaja, nešto ćurčijih, nešto guščijih, nešto kokošijih. Šegrt je za 20 jaja dao svih 20 novčića. Ćurčija su se prodavala po 3 novčića za komad, guščija po dva novčića za komad, a kokošija dva komada za jedan novčić. Koliko je kojih jaja kupio šegrt?

147. Izračunaj 2 3 4 20141 i i i i i+ + + + + +L .

148. Izračunati 4 4− .

149. Izračunati 3 2 2i− + .

150. Broj je „dobar“ ako je jednak zbiru dva uzastopna i zbiru tri uzastopna prirodna broja (na primer broj 9 je „dobar“ jer je 9 4 5= + i 9 2 3 4= + + ). Dokaži da je proizvod dva „dobra“ broja „dobar“ broj.

151. Neka je „hvatanje“ binarna operacija u skupu prirodnih brojeva koju ćemo označavati znakom pravougaonika� . Rezultat hvatanja dva prirodna broja a i b je prirodan broj a b� koji određujemo na sledeći način: uočimo proizvoljan čvor mreže prikazane sa desne strane, a zatim nacrtamo pravougaonik čija je vertikalna ivica dužine a čvorova, a horizontalna ivica dužine b tačaka, pri čemu je uočeni čvor teme pravougaonika. Broj a b� je broj čvorova koje je „uhvatio“ pravougaonik (računajući i one koje su na ivicama). Na primeru sa slike vidi se da je 3 4 18=� .

(a) Izračunaj 5 6� . (da li se operacija „hvatanja“ može predstaviti osnovnim aritmetičkim operacijama množenja i sabiranja?)

(b) Reši jednačinu 5 23x =�

(c) Da li postoji prirodan broj c takav da je 41c c =� .

Sadržaj



RAZNI ZADACI

1. Zadaci sa takmičenja iz aprila 1994. godine u Požarevcu

I razred

1. Ako je 0=− cdab , onda je 2 2

2 2 2 21

d c

b d a c+ =

+ +. Dokaži!

2. Dokaži da je ( ) ( )4 15 10 6 4 15+ ⋅ − ⋅ − racionalan broj.

3. Na hipotenuzi AB pravouglog trougla ABC∆ date su tačke M i N tako da je AM AC= i BN BC= . Odredi ugao MCN∠ .

4. Bazen se puni vodom kroz tri cevi. Samo kroz prvu cev bazen se napuni za 5h , samo kroz drugu za 6 i15h ′ , ako su otvorene sve tri cevi bazen se napuni za 2,5h . Da li se bazen može napuniti za jedan dan ako se puni samo iz treće cevi?

5. Cena neke robe je smanjena za 20% , a zatim još za 20% te nove cene. Ako se zatim cena robe uveća za 56, 25% za koliko će se (procenata) ta najnovija cena razlikovatiod početne?

II razred

1. Pokazati da za svako 0≠a i 1≠a izraz 1 1 1

2 2 1 1

a a a a a

a a a

− + +− ⋅ − − + −

ima

konstantnu vrednost.

2. Reši jednačinu log 5 3

log 25 270,6 ; 1, 1

9 125

a

a

xx a a

−

⋅ = > ≠

.

3. Izračunati

20

30 20

12

1 12 3

i iRe

i iIm

i i

+ +

− + +

.

4. Ako za nule funkcije 22 6 1y x x k= − + + − ; ( )0k < važi jednakost 2 21 2 1 2

51

2x x x x+ ⋅ = ⋅ ⋅ ,

odrediti k i nacrtati grafik te funkcije.

5. Rešiti jednačinu ( )log8 log 5

1log 7 log 2

x

x

− −= −

+ −.

Sadržaj



III razred

1. Kako glasi jednačina prave kojoj pripada tačka 3

;2

A a

, a koja sa pozitivnim delovima

koordinatnih osa obrazuje trougao površine 6P = ?

2. Ako su , ,α β γ tri uzastopna člana aritmetičkog niza onda je sin sin

cos cosctg

α γβ

γ α

−=

−.

Dokazati!

3. Izračunati odnos zapremine kocke ivice a i zapremine pravilnog tetraedra čije su ivice jednake dijagonali jedne strane kocke.

4. Ako se prvom, drugom i trećem članu aritmetičkog niza, čija je diferencija 3, doda respektivno 1,2 i 7 , dobija se geometrijski niz. Kako glase ti nizovi i koliko iznosi zbir prvih sto članova aritmetičkog niza?

5. Izračunati ugao pod kojim se vidi kružnica 2 2 2 4 4 0x y x y+ − − + = iz tačke ( )3;3M .

IV razred

1. Reši jednačinu 2 13 3: 5 : 6n nC V+ + = .

2. Izračunati 2

2

2 1 2 3lim

3 2 3x

x

x→

− −

−.

3. Ispitati da li funkcija 1

ln 5 31

xy a a

x

−= ⋅ + −

+ zadovoljava jednačinu ( )2 1 2x y a′− ⋅ = .

4. Ispitati osobine i nacrtati grafik funkcije 2

21

1

xy

x= −

+.

5. Na paraboli 2y x= odrediti tačku koja je najbliža pravoj 2 4 0x y− − = .

Sadržaj



2. Zadaci sa takmičenja iz aprila 2008. godine u Požarevcu

(zadatke prema zbirci sastavio Regionalni centar za talente Požarevac)

Zadaci za I razred

-prva kombinacija-

1. U školi ima 55 nastavnika. Od tog broja njih 46 pije kafu, 28 pije čaj, 19 pije i čaj i kafu.

Ima li nastavnika koji ne piju ni čaj ni kafu?

2. Neki posao 6 radnika može da završi za 5 dana. Za koliko dana ukupno će biti završen taj posao ako posle dva dana dođe još tri radnika?


a) 22 259 bа − b) 22 44 baa −++ .

4. Uprostiti dati algebarski izraz i odrediti uslov definisanosti:

22

22

4

44:

36

918

ba

baba

ba

ba

−

+−

+

− .

5. Odrediti realan parametar m tako da polinom ( ) 5 3 23 2 8P x x mx x x= − + + − bude deljiv

binomom 2x + .

6. U ABC∆ simetrala CD ugla γ seče stranicu AB pod uglom 0110=ϕ . Izračunati uglove trougla ako se zna da je CD=BC.


14

22

12

1

22 −

+=

+

−−

−

+

x

x

x

x

x

x .

8. Sa stovarišta je prvog dana prodata 3

1 ukupne količine uglja, drugog dana

4

3 preostale količine, a

trećeg dana preostalih 75 tona. Koliko tona uglja je bilo na tom stovarištu?

9. Dva automobila od kojih jedan prelazi 60km/h, a drugi 80km/h, kreću istovremeno jedan drugom

u susret iz dva mesta udaljena 420 km. Posle koliko vremena će se ti autumobili sresti?

10. U košarkaškom timu igra 4 beka, 3 centra i 5 krila. Na koliko načina se može sastaviti prva petorka, ako u njoj moraju da budu 2 beka i bar 2 centra?

Sadržaj



-druga kombinacija-

1. Na poljoprivrednom dobru ima 40 oglednih parcela, koje se đubre đubrivima A, B ili C. Đubrivo

A baca se na 24 parcele, B i C na 3 parcele, a A i B na 7 parcela. Samo C baca se na 8 parcela. Samo dve vrste đubriva bacaju se na 15 parcela, a sve tri vrste na 2 parcele. Na koliko se parcela ukupno baca đubrivo B, a na koliko C?

2. Trgovina je nabavila 520 kg banana, 340 kg narandži, 240 kg limuna i 750 kg jabuka. Prevozniku je za transport ukupne količina voća plaćeno 7400 dinara. Koliki je transportni trošak za svaku od četiri vrste voća ako su troškovi srazmerni količinama voća?

3. Roba je poskupela 25%.

a) Kolika je nova cena ako je prvobitna bila 1000 dinara?

b) Koliko procenata sada treba da pojeftini ta roba da bi se dobila prvobitna cena?


a) xx 182 3 − b) 2 4 5x x− + .

5. Uprostiti algebarski izraz i odrediti uslov definisanosti 2 2

1 1 1 1:

x y x y

− −

.

6. Podeliti polinome: ( ) ( )1:1 26 ++− xxx .


2 3 8 9

6 1 1 6 36 1

x

x x x

+− =

+ − −.

8. Jedan pešak ide iz mesta A u mesto B brzinom 5km

h. Tri časa kasnije pođe iz istog mesta u

istom smeru biciklista koji prelazi 15km

h. Posle koliko vremena će biciklista stići pešaka?

9. Cigla je teška kao pola cigle i 2 kg. Blok je težak kao dve cigle i pola bloka. Koliko su teški dva bloka i tri cigle?

10. Odrediti dva komplementna ugla ako se oni odnose kao 3:2.

Sadržaj



-treća kombinacija-

1. U jednom prevodilačkom birou radi 52 prevodioca. Među njima 20 govori ruski, 35 engleski, 19 francuski, 11 govori ruski i engleski, 7 francuski i ruski, a 9 govori francuski i engleski.

a) Koliko prevodioca govori sva tri jezika?

b) Koliko njih govori samo ruski?

2. Od 16 kg pamuka može se izatkati 32m platna širine 110cm. Koliko se metara platna širine

80cm može izatkati od 40 kg pamuka?

3. Trgovinsko preduzeće želi da pomeša 250 kilograma pirinča po ceni od 8,2 dinara sa

izvesnom količinom pirinča od po 8,6 dinara po kilogramu tako da kilogram mešavine košta 8,5 dinara za kilogram. Koliko kilograma pirinča treba uzeti po ceni od 8,6 dinara po kilogramu?

4. Rastaviti na činioce:

A) 1582 +− xx B) 272735 −+− xxx .

5. Uprostiti algebarski izraz 24 2

3 : 13 3

x xa

a a

− −

;

20;

3a a x≠ ≠ .

6. Odrediti količnik i ostatak deljenja polinoma ( ) ( )1:4752 23 −+++ xxxx .

7. U pravouglom trouglu ugao koji zaklapaju hipotenuzina visina i hipotenuzina težišna duž je

28o. Odrediti ugao između hipotenuzine težišne duži i simetrale pravog ugla tog trougla.

8. Rešiti jednačinu: x

x

x

x

x 31

31

13

31

218

242 +

−+

−

+=

−.

9. Razlika cifara jednog dvocifrenog broja je 4. Kada ciframa promenimo mesta, prvobitni broj

biće 4

7 puta veći od novodobijenog. Odrediti prvobitni broj.

10. U jednom odeljenju 7

3 učenika su devojčice. Ako bi došle još četiri devojčice, tada bi u tom

odeljenju broj devojčica i broj dečaka bio jednak. Koliko učenika ima u tom odeljenju?

Sadržaj



Zadaci za II razred

-prva kombinacija-

1. Rešiti sistem:

=++

=−−

=−+

6324

23

5232

yyx

zyx

zyx


11122

11

22

:ba

ba

ab

ba

ba

ba

−

−

+⋅

+

+ −−−

−−

−−

.

3. Racionalisati imenilac izraza 332

33

− .

4. Izračunati: 2007

1

1

−

+

i

i.

5. Odrediti realan parametar m takav da kvadratna funkcija

( ) ( )22 1 1y m x m x m= − − + + + bude negativna za svako x R∈ .

6. U jednačini 082 =+− pxx odrediti realan broj p tako da jedan koren bude tri puta veći od drugog.


432

2

≤−+

+−

xx

xx .

8. Rešiti jednačinu xxx 365812163 ⋅=⋅+⋅ .

9. Odrediti vrednost izraza:

⋅ 16log

2

1loglog

2

12

8

1 .

10. Ako je 2sin 3cos 3x x+ = izračunati sin x i cos x .

Sadržaj



-druga kombinacija-

1. Rešiti sistem jednačina: 272

8

1

125

72

4

1

6=

−++

−+∧=

−+−

−+ yxyxyxyx.

2. Uprostiti izraz: .0,0,0,8

3

9

44

5

122

3

2

≠≠≠

⋅

−−−

zyxx

zy

z

yx

3. Izračunati: 5

5

520

5

25

3−

−−

−.

4. Odrediti realni i imaginarni deo kompleksnog broja

( )2132

6i

iz −+

+= .

5. U funkciji ( ) 122 +−−−= xmxy odrediti vrednost realnog parametra m tako

da funkcija ima maksimum 4

5max =y .

6. U jednačini ( ) 012132 =−+−− mxmx odrediti Rm ∈ tako da rešenja jednačine budu realna i jednaka (dvostruka rešenja).

7. Rešiti nejednačinu: .02

42

2

≥−

−

xx

x

8. Rešiti jednačinu: 322 5395321 +++ −⋅=−⋅ xxxx .

9. Uprostiti izraz: α

α

α

α

cos1

cos1

cos1

cos1

−

+−

+

−.

10. Rešiti jednačinu: ( ) xx +=+ − 176log7 .

Sadržaj



-treća kombinacija-

1. Rešiti sistem jednačina

−=−

−+

=−

++

3

211

3

411

yxyx

yxyx

2. Uprostiti izraz

⋅

−

−

−−

−

−2

1

23

3

2

9

5

5

3

x

y

y

x ( )0,0 ≠≠ yx .

3. Izračunati 1)53(33

15

23

3

13

2 −+⋅

−+

−+

−.

4. Odrediti Ryx ∈, iz jednačine ixyiiyx 32104 −=−+ .

5. Odrediti realan broj k takav da funkcija 32 −++−= kkxxy dostiže maksimum za x=1, a zatim odrediti tu maksimalnu vrednost ymax.

6. Odrediti vrednost realnog parametra k tako da rešenja kvadratne jednačine

( ) 0222 =++− xkx zadovoljavaju uslov 522

21 =+ xx .


2

≤+−

−

xx

xx.

8. Rešiti jednačinu 1522 22 =− −+ xx .

9. Rešiti jednačinu ( ) ( ) 33log9lo 33 =++− xxg .

10. Odrediti oštar ugao α ako je 23sin 2cosα α= .

Sadržaj

Sadržaj



3. Republičko takmičenje učenika područja rada poljoprivreda, proizvodnja i prerada hrane

Poljoprivredna škola sa domom učenika „Sonja Marinković“

Požarevac, 25.04.2015. godine - varijante zadataka koje su rađene

PRVI RAZRED

1. Izračunaj tačnu vrednost izraza ( )cbaM −−= ako je

+

−=+

−=+−=

5

2

5

4:

3

2

2

1;

5

2

5

4:

3

2

2

1;

5

2

5

4:

3

2

2

1cba .

2. Svaki učenik jedne škole uči bar jedan od tri strana jezika (engleski, ruski, francuski) i to: 280 učenika uči engleski jezik, 230 francuski, 230 ruski, 120 engleski i francuski, 110 engleski i ruski, 80 uči francuski i ruski, a 56 učenika uči sva tri jezika. Koliko u toj školi ima učenika?

3. Ružica, Olgica, Dragana i Toma dobili su na lotou 123500 dinara i dobitak podelili srazmerno ulozima. Olgicin ulog prema Tominom se odnosi kao 5:2, dok je Ružica uložila 3 puta manje od

Dragane. Tomin ulog prema Draganinom je3

2:

2

1

Koliko je dobio svako od njih?

4. Koliko litara rakije po ceni od 1340 dinara, 1165 dinara po litru treba pomešati da bi se dobilo 525 litara rakije po ceni od 1240 dinara.

5. Rastaviti na činioce:

3 2) 4 8 3 6a x x x− + − 3 2) 3 6 3 .b x x x+ +


2 4.

4 4 6 3 2

a a a a

a a a a

− + +

− − − +

7. Izračunati površinu pravouglog trougla ∆ABC

( 090=∠ACB ) ako visina CD ima dužinu cmCD 6= i na hipotenuzi AB gradi odsečak cmAD 9= (slika 1.).

8. Rešiti jednačinu: 2

2

6 5 2 23 61.

5 6 30

x x x x

x x x x

+ − + ++ =

− + + −

9. Otac je pre deset godina bio 4 puta stariji od svog sina, a kroz 10 godina će biti dva puta stariji od sina. Koliko godi na ima otac, a koliko sin?

10. Neka je broj a deljiv sa 9 i ima 1000 cifara. Zbir cifara broja a je broj .b Zbir cifara broja b je broj .c Koliko iznosi broj .c

C

D BA

cmcb 9= ac

cm

h6

=

b a

•

•

Slika 1.



DRUGI RAZRED


27 327

2 3.

45 481

2 3

x y x y

x y x y

+ = − +

− = − − +

2. Uprostiti izraz: 3 5 4

: , .a b a b a b

a ba b a b a b

−+ − −

≠ ± − + +

3. Izračunati:

1 1 1

2 2 2

1

2

1,

11

a a a

aa

− −

− −−

−+

za 5.a =

4. Pokazati da je 44 )1()1( ii −−+ realan broj.

5. U funkciji ( )2 1 2,y x k x k= − + + − odrediti realan parametar ,k tao da funkcija ima

minimum jednak -2.

6. Rešiti jednačinu: 3 8 24x x x+ + + = + .

7. Za koje vrednosti realnog parametra m jednačina ( ) ( )22 1 2 3 0,m x m x m+ − + + − = ima

dvostruka realna rešenja.


122

2

≤−

++−

x

xx.

9. Odrediti sin α i αcos ako je 2 sin 3cos 3α α+ = . 10. Dato je 12 na oko jednakih kuglica od kojih je jedna lakša od drugih. Kako ćeš pomoću tri

merenja na vagi bez tegova odrediti koja je to kuglca?

TREĆI RAZRED

1. Rešiti eksponencijalnu jednačinu: 039103 =⋅+− −xx .

2. Rešiti jednačinu 1log2log3 828 =− xx .

3. Ako je 2

sin2

α = , ,2

πα π

∈

i 3

cos2

β = , 3

,22

πβ π

∈

izračunati ( )cos α β+

4. Dužine stranica su: 2,a − a i 2.a + Jedan ugao trougla jednak je 0120 . Odrediti a .

5. Napisati jednačinu prave koja prolazi kroz tačku ( )1,3 −A i normalna je na pravu 013 =−+ yx .

6. Sve bočne ivice pravilne trostrane piramide imaju dužinu s a dužina visine te piramide je H . Odrediti površinu i zapreminu te piramide.

7. Oko lopte poluprečnika 5r = opisan je valjak. Odredi odnos površine te lopte i tog valjka.



8. Izračunati: ( )1 3 5 ... 2 1

lim .2 4 6 ... 2n

n

n→∞

+ + + + −

+ + + +


6

2 3 13 .

5 2 3

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ + =− + − =

10. Tri kugle poluprečnika 3, 4 i 5 pretopljene su u jednu. Koliki je poluprečnik te kugle?

ČETVRTI RAZRED

1. Odrediti domen, nule i znak funkcije: ( )2log 4 4y x x= − +

2. Rešiti jednačinu 3sin 1 cosx x= − .

3. Odrediti graničnu vrednost: .3

12lim

3 −

−−

→ x

xxx

4. Odrediti asimptote funkcije .3

2

−

−=

x

xxy

5. Odrediti izvod funkcije po definiciji ( ) 26 5f x x= − + .

6. Odrediti prvi izvod funkcije: .tgxxy =

7. Ako je ,arccosarcsin)( xxxf += naći ekstremne vrednosti funkcije.

8. U loptu poluprečnika R upisan je valjak maksimalne zapremine. Odrediti dimenzije i maksimalnu zapreminu tog valjka.

9. Dvanaest različitih predmeta treba podeliti na tri osobe tako da jedna osoba dobije 4 predmeta, druga 6 predmeta i treća 2 predmeta. Na koliko načina se može izvršiti podela?

10. Rešiti jednačinu: .361

1=

−

+

n

n

Sadržaj



Slika 1.

C

D BA

cmca 4=cmcb 25=

ba

•

•

Republičko takmičenje učenika područja rada poljoprivreda, proizvodnja i prerada hrane

Poljoprivredna škola sa domom učenika „Sonja Marinković“

Požarevac, 25.04.2015. godine – rezervne varijante

PRVI RAZRED


0,120120120...; = ; =55 6

a b c= napiši u obliku razlomka broj a , a

zatim izračunaj tačnu vrednost izraza 1

x a cb

= − + .

2. Na Balkanskom kongresu matematičara svaki od 100 učesnika govori bar jedan od sledeća tri jezika: engleski, francuski i ruski. Ruski jezik govori 57 učesnika, ruski i francuski 28, engleski i francuski 34, a 5 učesnika govori samo francuski. Samo dva strana jezika govori 49 učesnika, a sva tri 11 učesnika. a) Koliko učesnika govori francuski jezik? b) Koliko učesnika govori samo engleski? c) Koliko učesnika ne govori francuski?

3. Neki posao 6 radnika mogu da završe za 5 dana. Za koliko dana će biti završen ceo taj posao ako posle dva dana dođe još tri radnika i svi nastave da rade pod istim uslovima?

4. Kako treba pomešati pasulj po ceni od 300 dinara po kilogramu i pasulj po ceni od 440 dinara po kilogramu sa 50 kolograma pasulja po ceni od 500 dinara po kilogramu da bi se dobila mešavina čija je cena 400 dinara po kilogramu? Koliko se dobije mešavine?

5. Rastaviti na činioce: 3 2) 12 4 9 3a x x x+ + + 4 3 2) 8 4 .b 4x x x− +

6. Uprostiti izraz: 2 2

2 2

1 1 2: .

a ab ba b

a b a b a b

+ + + + −

+ − −

7. Izračunati površinu pravouglog trougla ∆ABC

( 090=∠ACB ) ako visina CD na hipotenuzi AB gradi odsečke cmAD 25= i cmDB 4= (slika 1.).

8. Rešiti jednačinu:

2

1 2 40.

1 3 2 3

x x

x x x x

+ +− + =

− + + −

9. Na prijemnom ispitu trebalo je rešiti 20 zadataka. Za svaki rešeni zadatak učenik dobija 4 poena, a za svaki nerešeni zadatak gubi 3 poena. Ako je učenik na kraju imao 38 poena, koliko je zadataka rešio?

10. Neka je broj a deljiv sa 9 i ima 1000 cifara. Zbir cifara broja a je broj .b Zbir cifara broja b je broj .c Koliko iznosi broj .c

DRUGI RAZRED


( )2 4 5 3 71

13 84 5 3 7

813 8

x y x y

x y x y

− +− =

− + + =

.



2. Uprostiti izraz: ( )

11 1 2 2 2 2

23 3: , 0, .

3

a b a b a bab a b

a b aba b ab

−− −

− −

− −≠ ≠ ±

+ + −

3. Izračunati:

1 1 3 3

2 2 4 4

1 3

4 4

1 1,

11

x x x x

xx x x

+ + −⋅ +

−+ +

za 16 .x =

4. Odredi komplaksan broj z=a+bi ako je ( ) )32(1332 iiz +⋅=−⋅ .

5. U kvadratnoj funkciji ( ) ( )22 1 ,y m x m x m= + + − + odrediti realan parametar m tako da

funkcija ima maksimum za .2=x

6. Rešiti jednačinu: 2832 2 +=−+ xxx .

7. Za koje vrednosti realnog parametra m jednačina ( )2 1 2 1 0,x m x m− + + − = ima dvostruka

realna rešenja.


2

4 5 60

3

x x

x x

+ −≤

−.

9. Dokazati identičnost: 1

1

sincos

cos

sincos

sin2

2

−

+=

−−

+ xtg

xtg

xx

x

xx

x.

10. Dato je 12 na oko jednakih kuglica od kojih je jedna lakša od drugih. Kako ćeš pomoću tri merenja na vagi bez tegova odrediti koja je to kuglca?

TREĆI RAZRED

1. Rešiti jednačinu: 1 17 7 50x x+ −+ = .

2. Rešiti logaritamsku jednačinu (Odredi x tako da važi jednakost): ( )( ) 23log23log 42 =++ x .

3. Ako je 3

sin2

α = − , 3

,2

πα π

∈

i 1

cos2

β = , 3

,22

πβ π

∈

izračunaj ( )sin α β−

4. Ako je u trouglu ABC∆ 11,a c+ = 030β = i površina 7,P = izračunati dužine stranica trougla.

5. Napisati jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M(-2,1) , a paralelna je sa pravom

0123 =−+ yx .

6. Sve bočne ivice pravilne trostrane piramide imaju dužinu s i nagnute su prema ravni osnove pod

uglom 030 .α = Odrediti površinu i zpreminu te piramide.

7. Oko valjka poluprečnika 5r = i visine rH 2= opisana je lopta. Odredi odnos zapremina tog valjka i te lopte.

8. Izračunati: ( )

2 4 6 ... 2lim .

1 3 5 ... 2 1n

n

n→∞

+ + + +

+ + + + −




3 2 11

2 5 4 20.

3 8 9 37

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ + = + + =

10. Tri kugle poluprečnika 3, 4 i 5 pretopljene su u jednu. Koliki je poluprečnik te kugle?

ČETVRTI RAZRED

1. Odrediti domen, nule i znak funkcije: ( )2log 3 3y x x= + − .

2. Rešiti nejednačinu 2sin 2 1x < − .

3. Odrediti graničnu vrednost: .2

11lim

5x

x x

−

∞→

4. Odrediti asimptote funkcije .65

92

2

−+

−=

xx

xy

5. Odredi izvod funkcije po definiciji 29 4y x x= − .

6. Odrediti prvi izvod funkcije: .sinlnln2

1xctgxy +=

7. Ako je ( ) arcsin arccosf x x x= + naći ekstremne vrednosti funkcije.

8. U kružnicu poluprečnika r upisan je pravougaonik maksimalne površine. Odrediti dimenzije i maksimalnu površinu tog pravougaonika.

9. Od 12 osoba treba formirati tri grupe od po: 4, 6 i 2 osobe. Na koliko načina se to može učiniti?

10. Rešiti jednačinu: .361

1=

−

+

n

n

Sadržaj

Documents

PREDGOVOR Profesori zaposleni u srednjim stru čnim školama kao što su poljoprivredno prehrambene, veterinarske, šumarske davno su uo čili da takmi čenje matemati čara u org