Статика

§ 39. Условие равновесия для поступательного движения

Возможные типы движения твёрдого тела. До сих пор мы рассматрива­

ли движение материальной точки - тела, обладающего массой, размерами

которого в данных условиях можно пренебречь. Малость размеров тела

предполагает, что все части тела двигаются одинаково, с одной и той же

скоростью.

Поступательное движение - движение, при котором все точ­

ки тела движутся по одинаковым траекториям.

Примерами поступательного движения может служить прямолиней­

ное движение реактивного истребителя, поезда на магнитной подуш­

ке, подводной лодки, поршня в цилиндре, птицы, парящей в небе, и т. д.

(рис. 139). В ряде ситуаций реальное тело нельзя рассматривать как материальную

точку, например из-за того, что его движение не является поступальным.

Так, баскетбольный мяч, летящий в кольцо, зачастую ещё и вращается.

Вокруг своей оси вращается и Земля при обращении вокруг Солнца. Поэто­

му возникает необходимость использовать другую модель - абсолютно

твёрдое тело.

Абсолютно твёрдое тело - тело, для которого расстояние между

любыми точками можно считать неизменным.

а) 6)

~ 139 П оступателъпое движепие: а) реактивноzо истребителя;

6) поезда па магпит­ной подушке

178

а)

б)

140 Вращательное движение:

а) винта вертолёта; 6) пропеллера вентилятора

Механика

Подобная модель является хорошим приближе­нием. Деформации абсолютно твёрдого тела оказы­

ваются значительно меньше его размеров .

В общем случае движение твёрдого тела конеч­

ных размеров является результатом сложения

двух движений - поступательного и враща­

тельного.

Вращательное движение абсолютно твёр­

дого тела - движение, при котором все

точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на неподвижной

прямой (оси вращения).

Вращательное движение встречается тоже достаточно часто: винты вертолёта, вентиля­

тор (рис. 140), CD-ROM в компьютере, карусель ит. д.

Результатом сложения поступательного и вра­

щательного движения является движение велоси­

педного и автомобильного колеса, прыгуна в воду,

акробата.

Условия равновесия для поступательного движения. Ранее мы обсуждали различные типы

равновесия (§ 29). Теперь обсудим условия, при которых возможно равновесие тел.

Статика - раздел механики, в котором изучаются условия равновесия тел.

Статика - греч. statike - учение о равновесии.

Другими словами, в статике формулируются усло­

вия отсутствия движения даже в том случае, ког­

да на тело действуют силы. Рассмотрим сначала

условия равновесия для поступательного движения.

Выделим две произвольные точки А и В в теле массой т, движущемся

поступательно по горизонтальной поверхности (рис. 141). При таком дви---+ / .._...... /

жении перемещения точек А и В одинаковы: АА = ВВ. Соответственно -э- ~' для абсолютно твердого тела АВ = A .tS , т. е. при поступательном дви-

жении вектор, соединяющий две произвольные точки тела, пере­

мещается параллельно самому себе, не изменяясь по длине.

Статика

Равенство перемещений точек А и В за произвольный промежуток времени

означает равенство их скоростей v А = v в И ускорений (iA = (iB = а.

в

" 141

179

В'

Условием отсутствия поступательного

движения, или условием статического

равновесия для поступательного движе­

ния, является равенство нулю началь­

ной скорости и ускорения тела : Поступательное движение ~ ~

v = О· (132) АВ = А'В'

о ' В инерциальной системе отсчёта справедлив второй закон Ньютона ... -

та= J:.F. Следовательно, условие (132) можно сформулировать следующим образом.

---- Условие отсутствия поступательн.оzо движения ___ _

Поступательное движение тела в инерциальной системе отсчёта отсутствует, если векторная сумма всех сил, действующих на тело,

равна нулю:

r.J = о.

Например, чемодан, стоящий в лифте, подни­мающемся с постоянной скоростью, покоится

вследствие равенства по модулю и противополож­

ной направленности действующих на него силы

тяжести и силы реакции опоры (рис. 142). Условие (133) необходимо учитывать при про­

ектировании элементов строительных конструк­

ций. Отметим, что методика расчетов базируется

на стандартном подходе к решению задач дина­

мики, рассмотренном в§ 25. Единственным отли­чием, существенно упрощающим расчеты в ста­

тике, является использование условия (133) вме­сто второго закона Ньютона.

В качестве примера рассчитаем силы натяже­

ния в симметричных растяжках, на которых под­

вешен светофор массой 20 кг (рис. 143). Угол а. между растяжками равен 120°. Изобразим силы, действующие на светофор: силу тяжести тg и силы натяжения 'f\ и Т 2 в растяжках.

(133)

тg

тg = N

" 142

а=О

Равновесие чемода­

на в равномерно

поднимающемся лифте

180

143 Статическое равно­весие для поступа­те.льного движения

Механика

Запишем условие статического равновесия

(133) в векторной форме:

(134)

Направим координатную ось Х по горизонтали

вправо, а ось У вертикально вверх.

Запишем равенство (134) в проекциях на оси Х и У:

1 т . а Т . а О

- 1 SШ 2 + 2SШ 2 = ' а а

-тg + T 1cos 2 + T2cos 2 =О. (135)

Из первого уравнения получаем, что Т1 = Т2 = Т, это также следует из соображений симметрии. С учетом равенства сил из второго уравнения полу­

чаем

тg Т = -- = 196Н.

а 2cos 2

ВОПРОСЫ

1. Почему возникает необходимость введения модели абсолютно твёрдого тела?

2. Какое тело называют абсолютно твёрдым?

З. Какие два движения полностью определяют произвольное движение абсолютно

твёрдого тела?

4. Дайте определение поступательного и вращательного движения абсолютно твёрдо­го тела. Приведите примеры поступательного, вращательного и произвольного дви­

жения тела.

5. Сформулируйте условие статического равновесия тела для поступательного движе­

ния. Приведите примеры , когда тело или конструкция находится в состоянии стати­

ческого равновесия .

ЗАДАЧИ

1. Плакат массой 5 кг подвешен над проезжей частью улицы на двух параллельных стропах, составляющих угол 3° с горизонтом {рис. 144). Найдите силы натяжения в стропах. (240 Н]

2. Цепи, которыми крепится к потолку и стене люстра (рис. 145), выдерживают силу натяжения в 1200 Н . Люстра какой предельной массы может быть на них подве­

шена? (106 кг]

Статика 181

3° Соблюдайте правила

дорожного

движения

... 144 ... 145

З. К неподвижному вертикальному кольцу радиально прикреплены четыре каната: под

углом 30, 90 и 210° к горизонтали. Силы натяжения в канатах равны соответственно

200, 500 и 300 Н . Найдите силу натяжения четвертого каната. Какой угол с горизон­

талью он составляет? (346 Н ; 240°] 4 . Чемодан массой 30 кг скатывается с наклон­

ной плоскости, составляющей угол 30° с го· ризонтом . Коэффициент трения между по­

верхностью чемодана и плоскостью равен

0,3. С какой минимальной силой следует при­жимать чемодан к плоскости, чтобы он скаты­

вался с постоянной скоростью?

[24 Н]

5 . Система грузов и невесомых блоков, приве­

дённая на рисунке 146, находится в равнове­сии. Найдите массу второго груза и силы на­

тяжения нитей.

[0 ,76 кг; 19,6 Н ; 7,4 Н; 5 ,7 Н; 7,4 Н] ... 146

§ 40. Условие равновесия для вращательного движения Центр тяжести симметричных тел. Как отмечалось в§ 39, учёт размеров тела неизбежно приводит к необходимости более подробного анализа дви -жения различных частей тела относительно друг друга .

Рассмотрим условия, при которых возникает вращение тела вокр)'r

жёстко фиксированной оси. Если на ручку двери действует сила .F1 (рис. 147, а) в направлении петель (оси вращения), дверь не открывается (не начинает вращаться вокруг оси). Сила F .L (рис. 14 7, 6), перпендикуляр­ная направлению на ось вращения и самой оси, приводит к вращению двери.

182

147 ... Условия отсутствия

и возникновения

вращательного

движения: .... --7

а) Fн 11 АО; - --7

б)FJ. ..LAO; в) .F

11, F J. - ко_,.мпо­

ненты силы F

Механика

--- - о о

а) 6) в)

Вращение тела относительно Фц.ксированной оси может вызы­

ваться силой (или её компонентой F J.) (рис. 147, в), перпендикуляр-ной оси и отрезку, соединяющему точку приложения силы и ось

вращения.

Вращение тела вок_руг фиксированной оси не вызывается силой (или её компонентой F11), действующей вдоль отрезка, соединяюще­

го точку приложения силы и ось вращения.

Последнее заключение позволяет экспериментально находить центр

тяжести тела, если роль силы .F11 играет сила тяжести.

Центр тяжести тела - точка приложения равнодействующей всех

сил тяжести, действующих на частицы тела при любом ero положении в пространстве.

Е

а)

А

D

А. 148

в

А

6) Е тg

Определение центра тя­

жести при подвешивании

тела

Найдём экспериментально центр тяжес­

ти тонкой прямоугольной однородной плас­

тинки. Пластинка, подвешенная за угол А

(рис. 148, а), оказывается в равновесии, ког­да диагональ AD располагается по вертика­

ли. Отсутствие вращения пластинки означа­

ет, что сила тяжести действует по линииАD. При подвешивании пластинки за угол Врав­новесие возникает, когда вертикально рас­

полагается диагональ ВЕ (рис. 148, б). Это

означает, что точка приложения силы тяжес­

ти (центр тяжести пластинки) находится и на

диагонали ВЕ, а следовательно, в точке С пе­ресечения диагоналей.

Статика 183

• 149 • 150 Статич.еское равновесие для вращательного движения:

Устойчивость тела в зависимос­ти от положения центра

тяжести: а) устойчивое равновесие; 6) неустойч.ивое равновесие

а) менее устойчивое положени€; 6) более устойчивое положение

При подвешивании пластинка может находиться в равновесии в двух положениях, когда центр тяжести С ниже точки подвеса (рис. 149, а) и когда выше (рис. 149, 6) . В первом случае равновесие устойчиво: при от­клонении на небольшой угол тело возвращается к положению равновесия (см. с. 129). Во втором случае равновесие неустойчиво: при отклонении на небольшой угол пластинка поворачивается на угол 180°, переходя в состоя­ние устойчивого равновесия.

Чем ниже центр тяжести над опорой и чем

шире опора, тем труднее перевернуть тело, тем

более оно устойчиво (рис. 150). Для переворота чемодана, находящегося в положении 6, требует­ся переместить его на большее расстояние СС" > > СС', чем в случае а, и соответственно совершить большую работу.

Центр тяжести однородного симметричного

тела лежит в центре симметрии .

Условие равновесия для вращательного дви­

жения. Момент силы. Выполнение условия рав­новесия для поступательного движения (133) не означает отсутствия вращательного движе­

ния. Линейка вращается на поверхности стола

(рис. 151) под действием пары сил, равных по ве­личине и противоположно направленных.

Рассмотрим условие статического равновесия

качелей, которые могут вращаться вокруг гори-

• 151 Возникновение вра­щательного движе­

ния при выполнении

условия равновесия

для поступательно­го движения (LF = О)

184

152 Условие равновесия для вращательного

движения: а) начальное положение качелей; 6) положение качелей при повороте на угол

Ла.

Механика

а)

зонтальной оси Q (п~пендикулярной плоскости чертежа) , при дейст­вии на них сил F 1 и F2. Эти силы действуют перпендикулярно качелям в плоскости чертежа и приложены в точках А и В на расстоянии х1 и х2 от оси (рис . 152, а). К оси О приложены сила тяжести тg качелей и сила реакции опоры N, которые не могут вызвать вращательное движение качелей . ....

Сила F 1 стремится повернуть качели против часовой стрелки, а сила

F 2 - по часовой. Если качели остаются в покое, то изменение их кинетиче­ской энергии оказывается равным нулю. В этом случае согласно теореме о

кинетической энергии (см. (101)) работа всех сил, действующих на тело, равна нулю:

(136)

где А1 , А2 - работа сил F 1 и F 2 при повороте качелей на угол Ла. При возможном повороте качелей на угол Ла против часовой стрелки

(рис. 152, t5) сила F1 совершает работу (см . (87))

А1 = F1ЛX1COS0° = F1ЛХ1·

Сила F 2 при этом совершает работу

А2 = F2ЛX2COS 180° = -F2Лх2 .

Подставл.я.я выражения дл.яА1 иА2 в формулу (136), получаем

F1ЛХ1 - F2ЛХ2 = о.

При малом угле поворота длина хорды равна длине дуги:

(137)

(138)

(139)

Статика

а)

х

-110 1 F11

F , = Fsin а

185

153 Моменты сил:

а) М0 = Fl; 6) М1 = F 1l; М2 = - F 2l; М3 = О (l3 = О)

Тогда условие равновесия для вращательного движения приобретает вид

(140) или в других обозначениях

М1 + М2 = 0, (141)

где М1 = F 1x 1 - момент силы F 1; М2 = -F2x 2 - момент силы F2 •

Момент силы - физическая величина, равная произведению мо­

дуля силы на ее плечо:

M=Fl.

Плечо силы - длина перпендикуляра, опущенного от оси враще­

ния на линию действия силы.

Знак момента силы зависит от направления вращения тела. Момент

считают положительным, если сила вращает тело относительно выбранной

оси против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке .

Единица момента - ньютон-метр (Н • м) .

В случае, если сила F , действующая на качели, направлена произвольно (рис . 153), момент силы можно определить через перпендикулярную состав­ляющую силы М = F ..L х и через её модуль М = Fl, где l - плечо силы .

Учитывая выражение (141), сформулируем условие статического равновесия тела для вращательного движения при нулевой

начальной угловой скорости (ю0 = О).

--- Условие отсутствия вращательного движения ---­

Вращательное движение твердого тела в иверциаJIЬной системе

отсчёта не возникает, если алгебраическая сумма моментов (отно­сительно произвольной оси О) всех сил, действующих на тело,

равна нулю

I.M0 =О. (142)

186

154 Нагрузка на подъёмный кран 1 4м

Механика

10 м

т

Mg

Тело покоится в инерциальной системе отсчёта, если отсутствует как

его поступательное, так и вращательное движение, т. е. одновременно вы­

полняются условия (133) и (142). Определим, груз какой максимальной массы может переносить подъём­

ный кран (рис. 154, а) и силу давления его на землю. При этом массой кра­на можно пренебречь. Противовес массой М = 10 т находится на стреле крана на расстоянии а= 4 мот вертикальной стойки . Груз подвешен на

расстоянии l = 10 мот стойки. Изобразим все силы, действующие на кран (рис . 154, 6). В равновесии,

при отсутствии вращательного движения, алгебраическая сумма моментов

сил относительно точки Р равна нулю:

Тогда

Mga-mgb=O.

а т = Мь = 4т.

(143)

Одновременно должно выполняться условие статического равновесия

для поступательного движения

__, __. .... Mg+N+ тg =О.

В проекции на ось У получаем

- Mg + N - mg= О. Тогда N = (М + т)g = 137,2 кН.

ВОПРОСЫ

1 . Как должна быть направлена сила, чтобы тело начало вращаться относительно фик­

сированной оси? При каком направлении силы такое вращение не возникает?

2 . Что такое центр тяжести тела? Как он определяется экспериментально? Где будет на­

ходиться центр тяжести однородного диска, кольца, тонкой треугольной пластинки?

З . Дайте определения момента силы , плеча силы . Как определяется знак момента

силы?

Статика 187

Mg

" 155 " 156 " 157

4 . Сформулируйте условие статического равновесия для вращательного движения.

5. При каких условиях тело находится в равновесии в инерциальной системе отсчета?

ЗАДАЧИ

1 . Найдите суммарный момент сил F 1 = 100 Н и F 2 = 100 Н (рис. 155). [- 13 , 4Н·м]

2 . Какая сила потребуется рабочему для вертикального смещения камня массой М = = 100 кг {рис. 156), если R = 120 см, r = 24 см? [196 Н]

3 . Найдите направления и числовые значения сил реакции в местах крепления

трамплина (рис . 157). Масса прыгуна 60 кг, массой однородного трамплина можно пренебречь. [1760 Н , вниз ; 2350 Н, вверх]

4. Однородная лестница прислонена к стене. При каком минимальном угле а. с поверх­

ностью пола она начнёт скользить (рис. 158)? Коэффициенты трения покоя лестни­цы о пол µ1 = 0,5, о стенку µ2 = 0,4. [ 1 - µ , µ 2 J

а= arctg 2µ1

= 38°40'

" 158 " 159

188 Механика

5 . Четыре кирпича находятся в равновесии над столом, образуя как бы часть арки . Най ­

дите предельные расстояния , на которые каждый следующий кирпич сверху может

выступать на расположенном под ним (рис. 159). [ ! . ! . ! . ! J 2 ' 4' 6 ' 8

§ 41. Центр тяжести (центр масс) системы материальных точек и твёрдого тела

Центр тяжести системы материальных точек. Возможности экспери­

ментального метода определения положения центра тяжести объектов, конечно, ограничены. С его помощью невозможно найти центр тяжести

молекул или звёздных скоплений. Получим формулу для координа­

ты центра тяжести наиболее простой модели твёрдого тела - двух матери­

альных точек одинаковой массы т, соединённых невесомым нерастяжи­

мым стержнем. Для невесомого стержня его масса т0 много меньше т -массы соединённых стержнем тел. Для нерастяжимого стержня его удли­

нение Лl много меньше l - длины стержня. Подставляя под стержень па­

лец, найдем положение, когда стержень окажется в равновесии (рис. 160). Из соображений симметрии ясно, что это произойдёт в точке С - в середи­

не стержня.

При этом алгебраическая сумма моментов сил относительно точки С,

действующих на гантелю, будет равна нулю, так как отсутствует враща­

тельное движение.

или

l l тg · 2 + N • О - тg • 2 = О.

Так как отсутствует и поступательное движение, то r.F2 = О:

тg-N + тg= О,

т . е . N = 2тg. По третьему закону Ньютона на руку со стороны гантели будет действо­

вать полная сила тяжести 2тg, приложенная в точке С. Таким образом,

точка С является центром тяжести гантели, т. е. точкой приложения её

силы тяжести.

Если массы т1 и т2 (т2 < т1 ) материальных точек разные (рис. 161), равновесие гантели наступит, когда точка С будет находиться ближе к

большей массе.

Статика

о т

/ тg у

zt • 160 Определение центра масс симметричной гантели

тg

• 161 Определение центра масс несимметричной гантели

189

Условие статического равновесия для вращательного движения име­

ет вид:

или

m 1g (хе - х1) + N ·О - т2g (х2 - хе) = О.

Сокращая на g и раскрывая скобки, получаем

т1хс - т1х1 - т2х2 + т2хс = О.

Тогда

(144)

Если бы тела массами m 1 и m 2 были расположены на оси У и имели ко­

ординаты у 1 и у2 соответственно, их центр тяжести имел бы координату

т1У1 + m2Y2 Ус = m 1 + m 2

Условие равновесия гантели для поступательного движения 'f.F z = О в явном виде дает

m 1g - N + т2g = О, N = (т1 + m 2)g.

Следовательно, полная сила тяжести гантели, равная (m1 + m 2)g, при­

ложена в точке С, которая является центром тяжести системы. Внеш-

190 Механика

нее гравитационное поле действует на данную систему тел как на мате­

риальную точку с суммарной массой т1 + т2 , помещённую в центре тя-

жести .

Центр масс. В однородном гравитационном поле (g = const} , когда ус­корение свободного падения принимают одинаковым для всех материаль­ных точек системы, координаты Хе, Ус называют координатами центра

масс системы.

Центр масс - точка, положение которой характеризует распре­

деление массы системы в пространстве.

Координата центра масс - средняя координата системы тел.

Покажем, что координата центра масс действительно является средней

координатой рассмотренной системы из двух тел. Массу т1 можно предста­вить как N 1 материальных точек с массой т0 каждая, имеющих координа­ту х1(т1 = тоN1). Аналогично т2 = тоN2 . Тогда согласно (144)

Значит,

N1X1 + N 2X2 Хе = N 1 + N 2

Данное выражение есть среднее арифметическое значение :координаты

системы тел .

Для системы из п материальных точек :координаты центра масс по осям

Х и У определяются подобно формуле (144):

Система тел может быть связана не жёсткими стержнями, а, например,

гравитационным взаимодействием.

Найдём положение центра масс планетной системы «Земля-Луна•. Вы­

брав за нуль отсчёта по оси Х центр Земли (х1 = О), из формулы (144) получаем

М® · О + М( · l Хе= М + М = 4660 КМ,

@ (

где m 1 = Ме = 5,98•1024 кг; m 2 = m< = 7,35· 1022 кг; l = 3,84 ·105 км.

Статика 191

Радиус Земли составляет примерно 6370 км . Это означает, что центр

масс планетной системы «Земля-Луна» находится на глубине 1710 км внутри Земли. Земля и Луна вращаются по круговым орбитам радиусами 4660 км и 379 ООО км вокруг центра масс системы.

В свою очередь, по орбите вокруг Солнца вращается центр масс системы

«Земля-Луна» с общей массой М€> + т( = 6,05 · 1024 кг под действием силы гравитационного притяжения.

Таков же характер движения звёзд и их планетных систем. Однако ма­лость размеров и небольшая яркость планет далеких звёзд не позволяют

видеть их в телескоп непосредственно. Поэтому о наличии или отсутствии

планет вблизи звезды судят по характеру движения самой звезды. При на­

личии планетной системы звезда и планеты вращаются относительно обще­

го центра масс. При этом наблюдатель видит колебания («дрожания•) звез­

ды. Измеряя амплитуды этих колебаний, можно оценить параметры орбит

планет и их массы. Подобные наблюдения позволили обнаружить пла­

нетные системы на расстояниях порядка 50 ООО световых лет от Земли, а также рассчитать массы спутников Юпитера.

Движение центра масс определяется только внешними силами,

действующими на систему. Внутренние силы взаимодействия не влияют на

положение центра масс.

Центр .масс системы тел - точка приложения внешних сил,

действующих на систему, движущуюся таким образом, как буд·

то суммарная .масса системы тел сосредоточена в этой точке.

В качестве примера рассмотрим движение двухступенчатой баллисти­

ческой ракеты. В верхней точке траектории от ракеты массой т, движу-u u т

щеися со скоростью vc, отстреливается первая ступень массои 2 и падает

на землю (рис. 162). Головная часть ракеты равной массы продолжает бал­листическое движение. Система замкнута по оси Х(тgх = О), поэтому за­

кон сохранения импульса имеет вид

т т тис = 2 . о + 2 ()2. (145)

~ 162 Движение центра масс двухступен· чатой баллисти­ческой ракеты

192

• 163 Сложение поступательного движе-ния центра масс и вращательного

движения вокруг центра масс

Механика

Следовательно, v2 = 2vc. Это зна­чит, что головная ступень улетит от

точки А' по горизонтали на расстоя­ние, вдвое большее, чем без отделе­

ния первой ступени.

Умножив обе части равенства

(145) на время движения, получаем

(146)

где х0 = v0 t, х2 = v2t. Формула (146) определяет поло­

жение центра масс ракеты по оси Х:

(147)

Центр масс ракеты всё время бу-

дет находиться по оси Х посередине между первой ступенью и головной частью. По оси У он будет двигаться

под действием внешней силы - силы тяжести, как будто отделения голов­

ной части не происходило.

В гравитационном поле центр масс движется по баллистической траек­

тории. Поступательное движение тела можно представить как движение

центра масс. Движение различных частей тела относительно центра масс

характеризует вращательное движение. Например, центры масс булав, ко­

торыми обмениваются жонглеры, летят по траектории, близкой к парабо­

лической, и одновременно вращаются относительно центра масс (рис. 163). Особенно сложным может быть вращение вокруг осей, проходящих через центр масс, при акробатических прыжках гимнастов, прыгунов в воду и в

высоту, лыжников, скейтбордистов.

ВОПРОСЫ

1 . Какие положения равновесия возможны при подвешивании тела? Где при этом относительно опоры находится центр тяжести тела?

2 . Почему наиболее устойчивы широкие автомобили с низко расположенным центром

тяжести? 3 . Дайте определение центра масс системы тел .

4. По каким формулам рассчитываются координаты центра масс системы материаль­

ных точек?

5. Как влияют на движение центра масс системы тел внешние и внутренние силы?

Статика 193

ЗАДАЧИ

1. Расстояние между атомами углерода и кислорода в молекуле угарного газа СО со­

ставляет 1, 13 • 10- 10 м. На каком расстоянии от атома кислорода находится центр масс молекулы , если масса углерода 12 а. е . м . , а кислорода- 16 а. е. м . ? (а. е. м . -атомная единица массы . 1 а. е. м . = 1,66 • 10-27 кг (подробнее см . с . 223) .)

[4 ,8 · 10- 11 м] 2 . Пять шаров расположены на одинаковом расстоянии друг от друга {рис . 164). Най­

дите положение центра масс данной системы тел .

5т

.... 164

З . Найдите координаты центра масс тонкой однородной пластинки (рис . 165). [19 см, 11 см]

4 . Найдите положение центра масс трёх планет массами т, 2т , 3т, находящихся

в вершинах равностороннего треугольника со стороной l (рис. 166). [ 7 '3 J 12Z; z-:q.

5 . В цилиндрической шайбе радиусом R вырезано сквозное отверстие радиусом r. Центр отверстия находится на расстоянии l от оси шайбы (рис . 167). Найдите расстояние, на котором находится центр масс шайбы от её оси . [ _ r

2 J Xc --l- -­R2 - r2

Зт

у. см yt

::2] -х о 10 20 30 ',СМ и

" 165 " 166 " 167

194 Механика

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖ ЕН ИЯ

Статика - раздел механики , в кото­

ром изучаются условия равновесия

тел (отсутствия движения) .

Произвольное движение твёрдого те­

ла конечных размеров описывается

как результат сложения двух движе­

ний - поступательного и враща­

тельного.

8 Поступательное движение абсо­

лютно твёрдого тела - движение,

при котором все точки тела движутся

по одинаковым траекториям .

8 Вращательное движение абсолют­но твёрдого тела - движение, при

котором все точки тела движутся по

окружностям, центры которых лежат

на неподвижной прямой (оси враще­

ния).

Условие статического равновесия

для поступательного движения : по­

ступательное движение тела в инер­

циальной системе отсчёта отсутству­

ет, если векторная сумма всех сил,

действующих на тело, равна нулю :

r} = о. Момент силы - физическая величи­

на, равная произведению модуля си­

лы на её плечо:

M = Fl.

Плечо силы - длина перпендику­

ляра, опущенного из оси вращения

на направление действия силы.

Момент силы считают положитель­

ным , если сила вращает тело против

часовой стрелки , и отрицательным ,

если по часовой стрелке.

Единица момента - Н • м .

Условие статического равновесия

тела для вращательного движе­

ния : вращательное движение тела в

инерциальной системе отсчета не

возникает, если алгебраическая сум­

ма моментов (относительно произ­

вольной оси 0) всех сил, действую­щих на тело, равна нулю:

LМ0 = 0.

Центр тяжести тела - точка прило­

жения равнодействующей всех сил

тяжести , действующих на частицы

тела при любом его положении в пространстве.

Центр масс - точка, положение

которой характеризует распреде­

ление массы системы тел в прост­

ранстве. Координата центра масс -средняя коодината системы тел.

Для системы из п материальных точек

координаты центра масс по осям Х и

У определяются формулами :

m1X1 + m2X2 + ... + тпхп Хе = ' т1 + т2+ . .. + тп

Ус т1У1 + т2У2 + ... + тпУп

Оглавление

6. Статика § 39. Условие равновесия для поступательного движения ............. 177 § 40. Условие равновесия для вращательного движения ... . ... . . ..... 181 § 41. Центр тяжести (центр масс) системы материальных точек

и твёрдого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Основные положения . ........ . .... . .................... .. 194