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Angel Fierros Palacios
Temas selectos del conocimiento contemporáneo
Primera edición: 2015
D.R. © Instituto de Investigaciones EléctricasReforma 113, colonia Palmira, C.P. 62490, Cuernavaca, Morelos, México
Diseño de portada:Arturo Fragoso Malacara
ISBN: 978-607-8182-04-6Se imprimió en octubre de 2015, en los talleres de Dicograf, S.A. de C.V.Av. Poder Legislativo 304, colonia Prados de Cuernavaca, C.P. 62239,
Cuernavaca, Morelos, México
El tiraje consta de 100 ejemplares
Este libro está dedicado A mi amada esposa y compañera Rosa María y a mis hijos Rosa María, Luis Javier, Fernando, Carla y Ara-Antz-Azu, quienes han llenado mi vida de felici-dad. Por su paciencia y comprensión. A mis dos maravillosas nietas, Mariana y Valeria que me dan mucho más de lo que les puedo retribuir. A mis padres Angel y Catalina, a mi amado hijo Angel Arsenio, y a mi hermana Angelina, a los que recuerdo cotidianamente con mucho amor por todo lo que me dieron en vida y lo que siempre significarán para mí.
Lo importante no es ser el que más sabe, sino el que sabe qué hacer con
lo que sabe.
vii
Contenido
Acerca del autor xi
Prólogo xiii
La termodinámica clásica y la edad
El principio cero de la termodinámica 1
Termodinámica, actitud y calidad de vida 2
La edad como un estado de ánimo 4
Referencias 6
La relación masa-energía
Dinámica de los fluidos y termodinámica 7
Mecánica analítica 8
Dinámica relativista 10
El invariante masa-energía 10
Referencias 12
Campos magnéticos estelares
La estructura interna y la estabilidad de las estellas 13
Origen y magnitud del campo magnético autogenerado 14
La estructura del campo magnético autogenerado 17
El campo magnético de las manchas solares 19
El equilibrio magnetomecánico entre los mecanismos
reguladores
21
La velocidad del fluido en las manchas 23
El valor del campo magnético de las manchas 25
Persistencia de las manchas solares 27
viii Contenido
Origen, permanencia, desaparición y propiedades de
las manchas solares
29
Referencias 31
El campo Geomagnético
El origen del campo Geomagnético 33
La magnitud del campo magnético autogenerado 34
La estructura del campo Geomagnético 36
Los cambios de polaridad del campo Geomagnético 39
La variación secular y el arrastre hacia el oeste 40
Conclusiones 42
Referencias 43
La clasificación de las estrellas
La magnitud absoluta 46
Clases espectrales 47
El diagrama de Hertzsprung-Russell 49
La relación masa-luminosidad 51
La temperatura efectiva 52
Conclusiones 55
Referencias 55
Las estrellas variables
Variables pulsantes 58
Naturaleza de la variación de las estrellas 59
La relación período-densidad de masa 60
El campo magnético general de las estrellas 61
El problema de las estrellas variables cefeidas 62
Cálculo de la magnitud absoluta 66
El campo magnético residual 68
Conclusiones 68
Referencias 69
Variables eruptivas
La presión de la radiación 72
Contenido ix
El campo magnético autogenerado 73
La relación masa-luminosidad modificada 75
La nova de Hércules (Nova Herculis) 77
Conclusiones 79
Referencias 80
Sistemas planetarios semejantes al sistema solar
El radio estelar, la temperatura efectiva, y la magnitud
absoluta
82
La masa estelar 83
Ejemplo ilustrativo 86
El problema de la rotación de las estrellas 88
Conclusiones 91
Apéndice 91
Referencias 92
La temperatura central de las estrellas
La temperatura central 93
El campo magnético 96
Ejemplos ilustrativos 97
Conclusiones 99
Referencias 99
La migración iónica en las estrellas
El problema de la fuerza 102
La velocidad de los iones 104
Conclusiones 105
Referencias 106
Los quasars y la constante de Hubble
La emisión de energía y el tamaño de los quasars 108
La lente relativista 110
El corrimiento hacia el rojo y la constante de Hubble 111
viii Contenido
Referencias 116
La constante de Hubble y la edad del Universo
Técnicas para medir distancias astronómicas 118
Cúmulos de galaxias 121
Distancias, energía total y velocidades de recesión 122
La edad del Universo 125
Referencias 126
Origen y destino final del Universo
La paradoja de Olbers 127
La lente de Herschel 128
La cuestión de la eternidad 129
El efecto Doppler 132
El espectro 133
Líneas espectrales 133
La expansión del Universo 134
La masa perdida 136
La vida en el Universo 138
Referencias 141
x
xi
Acerca del autor
Angel Fierros Palacios nace en marzo de 1933 en Pochutla, Oaxaca, México. Estudia física en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) en donde obtiene la licen-ciatura en física, la maestría y el doctorado en ciencias. Ha sido profesor de distintas disciplinas de la UNAM e investigador en el Instituto Nacional de Investigaciones Nucleares y en el Instituto Mexicano del Petróleo. Ha trabajado en el Instituto Mexicano del Seguro Social, en la Comisión Federal de Electricidad, CFE, y en otras áreas de la administración pública. Es uno de los autores, en colaboración con otros tres científicos mexicanos y amigos, del pro-yecto que dio origen al Instituto de Investigaciones Eléctricas (IIE), y también fue Director General del Museo Tecnológico de la CFE. Actualmente es el Director de la División de Energías Alternas del IIE.
xiii
Prólogo El asunto de concebir, elegir el material y finalmente escribir con la mayor claridad posible un libro de divulgación científica adecuada-mente estructurado, no resultó ser una tarea trivial y por supuesto, es muy difícil predecir si se alcanzará el objetivo propuesto. A lo largo de la escritura del material fue inevitable la utilización de cálcu-los matemáticos, aún cuando se trató de reducir su uso al mínimo necesario para establecer algunas fórmulas y ecuaciones que susten-tan las hipótesis físicas de trabajo propuestas y también para justifi-car los resultados presentados. Sin embargo, sí los posibles lectores son generosos con el autor y acep-tan que la matemática utilizada se manejó decentemente y con aseo, se pueden saltar las fórmulas y solo dedicar su atención a la palabra escrita. Es necesario mencionar que a lo largo del texto se van a tro-pezar con un buen número de ideas y desarrollos originales que son las contribuciones del autor al conocimiento contemporáneo, que sí bien es posible que pueden ser modestas y sin muchas pretensiones, ciertamente son de buena calidad. El contenido del libro se centra en algunas cuestiones de carácter ge-neral de la termodinámica clásica, de la teoría de la relatividad espe-cial, de la astrofísica y de la cosmología, que quizás resulten ser in-teresantes y motivadoras no solo para el público no especializado, sino también para estudiantes no graduados, para profesores de edu-cación media y aún para los profesionales de la enseñanza superior. Mi sincero agradecimiento va para Elizabeth Casarín Corpus quien con su profesionalismo y excelente trabajo transformó el manuscrito
en una hermosa edición. A mis amigos y colegas Alejandro Salcido,
Juan Arellano, Víctor Arellano y a otros más que me es imposible listar, agradezco su apoyo y entusiasmo por mis ideas y proyectos. Angel Fierros Palacios
Ciudad de México
1
La termodinámica clásica y la edad
La termodinámica clásica es una parte de la física teórica que estudia las relaciones que se establecen entre la materia y los cambios de temperatu-ra. Es una ciencia fenomenológica que se dedica al tratamiento analítico de los fenómenos que ocurren en sistemas macroscópicos considerados como medios continuos, es decir, sin tomar en cuenta la constitución in-terna de los materiales. Su estructura formal es elegante y el ámbito de la aplicación de sus conceptos fundamentales es tan amplio que se extiende a todo el Universo. Su contenido se asienta en un pequeño conjunto de pos-tulados básicos denominados los principios, o también, las leyes de la termodinámica. 1. El Principio cero de la Termodinámica
En el área de la competencia de la termodinámica clásica se establece que el recíproco del cambio de la entropía total S con respecto a un cambio en la energía total interna E, que en el lenguaje de la matemática es lo que se conoce como la derivada total de una cantidad dada con respecto a otra, es una constante para el sistema. Así,
TdEdS 1
; (1.1)
en donde T es la temperatura absoluta. Así, se afirma que las temperaturas de dos sistemas que se encuentran en equilibrio térmico entre sí son iguales, esto es
21 TT . (1.2)
Este resultado es válido para cualquier número de sistemas en equili-brio térmico entre ellos. Es una expresión de lo que se conoce como el
2 La termodinámica clásica y la edad
principio cero o la ley cero de la termodinámica, mientras que la fórmula (1.1) es una relación analítica que define el concepto de temperatura. En particular y a manera de ejemplo, es interesante mencionar que cuan-do las personas no se encuentran en equilibrio térmico con el medio ambien-te y éste tiene una temperatura menor que la corporal, como ocurre en los inviernos fríos, el cuerpo humano le cede calor al entorno en una cantidad y a una velocidad de flujo que dependen de la diferencia de temperaturas entre ambos sistemas. En consecuencia, las personas pierden calor corpo-ral y sienten frío y esa sensación es mayor cuando la temperatura del me-dio ambiente es más baja. Por el contrario, si la temperatura ambiental es alta, como en los veranos cálidos y mayor que la corporal, el entorno le transfiere energía térmica al cuerpo humano incrementando con ello su temperatura, razón por la que las personas sienten calor. Esa sensación también es mayor entre más grande sea la diferencia de temperaturas entre ambos sistemas. En termodinámica se demuestra que la transferencia de energía térmica o lo que es lo mismo, el flujo de calor, siempre va del sistema más caliente al
más frío hasta que eventualmente se alcance el equilibrio térmico o termo-dinámico, momento en el que cesa el proceso de intercambio [1]. 2. Termodinámica, actitud y calidad de vida A diferencia de lo que ocurre con el Universo, los organismos vivos son sistemas termodinámicos abiertos que afortunadamente pueden y tienen que interaccionar con el medio ambiente, porque si así no fuese no serían capaces de sobrevivir. La vida considerada como el único y auténtico mi-lagro del Universo está seriamente amenazada con toda suerte de calami-dades, fenómenos naturales, accidentes y enfermedades de todo tipo que a menudo la aniquilan. Pero también resultan peligrosas para ese maravillo-so milagro las leyes que gobiernan el Cosmos. En particular, se hará refe-rencia de la manera más sencilla posible al efecto que tienen sobre ella los principios de la termodinámica clásica. Para que los procesos vitales no se interrumpan los individuos tienen que mantener un equilibrio dinámico con el medio ambiente por medio de la realización de ciertas interacciones que en términos generales pueden ser las siguientes [2]. 1. Interacciones mecánicas, que se dan cuando el sistema realiza trabajo
mediante la aplicación de esfuerzos de cualquier tipo. Esos esfuerzos tonifican la musculatura corporal y oxigenan los órganos vitales favo-
Termodinámica, actitud y calidad de vida 3
reciendo una mejor calidad de vida y proporcionando a las personas un aspecto juvenil, vigoroso y saludable.
2. Interacciones térmicas, que se refieren a intercambios de energía en la forma de transferencia de calor con el medio ambiente y que tienen el efecto de mantener la temperatura corporal en su correcto valor cons-tante.
3. Intercambios de masa, que consideran los intercambios de materia en-tre los individuos y el medio que los rodea. Esto no es otra cosa más que la ingesta de alimentos, la bebida de líquidos, así como también el desalojo de los desechos orgánicos.
De acuerdo con el primer principio de la termodinámica clásica, en la parte íntima de los organismos vivos se puede definir una cierta cantidad conocida como la energía total interna que también se puede identificar como el nivel energético óptimo requerido para conservar los procesos vi-tales en un excelente estado de funcionamiento y con la capacidad de man-tener a raya al desorden natural. Sea E ese nivel energético óptimo reque-rido tal que la diferencia entre dos posibles estados termodinámicos es la siguiente
MQW 12 EE . (2.1)
en donde W se refiere a los intercambios mecánicos que se pueden relacio-nar con el trabajo físico, los deportes, el ejercicio, el adecuado reposo, etc. La interacción térmica con el medio ambiente es Q que puede ser debida a dos mecanismos, la conducción y la radiación de calor. Finalmente, M toma en cuenta los intercambios de materia. Para man-tener el equilibrio dinámico entre el nivel de energía disponible para con-servar la vida y el proceso de desorden que tiende a aniquilarla, es impor-tante que los individuos restituyan cotidiana y constantemente la energía consumida por los procesos vitales mediante la realización de esas activi-dades o intercambios. Cualquier exceso o defecto de alguno de ellos va a repercutir en una pér-dida del equilibrio, en una degradación del estado de salud, en un no desea-do incremento del desorden y a menudo, en una muy disminuida calidad vital; efectos que se reflejarán en el aspecto externo de las personas en la forma de una muy pobre actitud frente a la vida y que harán que luzcan muy deterioradas y mayores de lo que en realidad son.
4 La termodinámica clásica y la edad
De acuerdo con el segundo principio de la termodinámica clásica el ni-vel energético óptimo, o lo que es lo mismo, la cantidad de energía dispo-nible para mantener en excelente funcionamiento los procesos vitales, se puede relacionar con el proceso que mide el desorden natural de la manera siguiente
TdSd E ; (2.2) en donde T es la temperatura constante del organismo y dS es el cambio en la entropía total S que es la medida del desorden que se produce a ex-pensas de la energía total interna E como una consecuencia natural de la evolución de los procesos vitales. En suma, para las personas consideradas como sistemas termodinámi-cos abiertos y altamente organizados es de importancia capital mantener a toda costa el equilibrio dinámico entre esas dos variables de estado para que su calidad de vida conserve su nivel óptimo el mayor tiempo posible, su actitud frente a la vida se fortalezca, luzcan jóvenes y vigorosos y fi-nalmente, representen una edad menor que la que realmente tienen. 3. La edad como un estado de ánimo Decía un viejo pelotero de las Ligas Mayores ¿cuántos años dirías que tienes si no conocieras tu edad? Todos aceptamos como una verdad que la edad es el resultado de un proceso evolutivo y natural que se mide co-mo el intervalo temporal transcurrido desde el nacimiento hasta un instan-te dado. Normalmente se expresa en forma aproximada en años sin consi-derar fracciones, es decir, meses, días, etc. Cuándo se habla de la edad se está haciendo referencia al tiempo y más específicamente, a lo que los científicos denominan la flecha del tiempo, concepto que tiene la cualidad física de asignar una dirección y sentido al tiempo para distinguir el pasa-do del futuro. De acuerdo con los estudiosos de esas cuestiones [3] existen al menos las siguientes tres posible flechas del tiempo. En primer lugar está la flecha termodinámica que apunta en la direc-ción y sentido en la que se incrementa el desorden en los sistemas y que esencialmente se mide con un parámetro importante conocido como la en-tropía del sistema. Se cuenta además con la flecha psicológica que indica la dirección y sentido en la que se siente el constante y monotónico paso del tiempo. Per-mite recordar el pasado pero impide penetrar en el futuro.
La edad como un estado de ánimo 5
Finalmente, se tiene la flecha cosmológica que se refiere a la dirección y sentido en el que evoluciona el Cosmos como un todo mediante ese in-quietante proceso natural conocido como la expansión del Universo. Los investigadores científicos especializados en esos asuntos [3] afir-man que la flecha psicológica está regida por la flecha termodinámica de tal suerte que ambas flechas siempre apuntan en la misma dirección y sen-tido. Algunos estudiosos argumentan [3] que únicamente cuando ambas flechas están de acuerdo con la cosmológica se da la posibilidad de que exista vida inteligente en el Universo con la capacidad de preguntarse el porqué el desorden se incrementa en la misma dirección y sentido del tiem-po en el que aquel evoluciona, es decir, se expande. El asunto de la edad y su relación con la actitud considerada ésta como una disposición anímica que se manifiesta externamente, parece estar ínti-mamente relacionada no solo con la energía de los sistemas sino también con la disponibilidad del contenido energético susceptible de ser utilizado en los procesos que soportan la existencia, es decir, con el primero y segun-do principios de la termodinámica clásica. Si se considera el Universo como un todo y como un sistema cerrado, esto es, que no interacciona con nada externo a él, el primer principio de la termodinámica asegura que su contenido energético es una constante y que la energía es un ente misterioso que no se crea ni se destruye, solo se transforma. Por otra parte el segundo principio afirma que la cantidad de energía disponible para ser utilizada en sus procesos naturales disminuye de manera constante de modo que inevitablemente, ésta llegará a su fin. Según el estado actual del conocimiento científico ambos principios son inviolables. En consecuencia, el Universo tuvo un inicio y tendrá un final, de tal suerte que existe la posibilidad de calcular la edad que tiene en este momento. En el caso de los sistemas animados y de acuerdo con el primer princi-pio de la termodinámica, existe un confortable nivel energético que cuan-do es óptimo mantiene los procesos vitales en equilibrio dinámico con el entorno ambiental, funcionando perfectamente bien y en condiciones físi-cas, anímicas y mentales, excelentes y muy sanas. Condiciones que se re-flejan en la apariencia física en muchas formas y que además favorecen la realización de toda suerte de tareas y colman a los individuos de fortalezas y actitudes insospechadas. Sin embargo y de acuerdo con el segundo prin-cipio, ese nivel energético disminuye constantemente y por tanto se in-crementa el desorden orgánico, disminuye el equilibrio vital y se degrada visiblemente el estado de salud. Si no se restituye esa energía transforma-
6 La termodinámica clásica y la edad
da y utilizada por los procesos vitales, los organismos vivientes se deterio-ran física y mentalmente y ese deterioro se manifiesta externamente en la forma de un desastroso incremento de la edad real. Afortunadamente, los seres vivientes no son sistemas termodinámicos cerrados y pueden inter-accionar con el medio ambiente de muchas formas; interacción que les permite reestablecer cotidianamente el equilibrio perdido y ese nivel energético óptimo capaz de alejarlos en el tiempo de ese pavoroso estado totalmente desordenado que es la muerte. Cuándo se dispone de un balanceado nivel energético óptimo, mejora la apariencia y la actitud frente a la vida es muy positiva. Se tienen gran-des deseos de triunfar, el trabajo y el estudio se vuelven una diversión y se construye poco a poco un futuro promisorio y longevo, en donde el amor, la esperanza, la comunicación y la alegría de vivir son los ingredientes principales. Todos esos factores y quizás algunos otros más hacen que los individuos parezcan más jóvenes de lo que en realidad son, de modo que es posible afirmar categóricamente que la edad no es más que un simple
estado de ánimo.
Referencias 1. Angel Fierros Palacios. The Hamilton-Type principle in fluid dyna-
mics. Fundamentals and applications to magnetohydrodynamics, ther-modynamics, and astrophysics. Springer Wien New York, 2006.
2. Ryogo Kubo. Thermodynamics. North-Holland Publishing Company-Amsterdam. 1968.
3. S. W. Hawking. The Theory of Everything. The Origin and fate of the Universe. New edition. Phoenix Books, Beverly Hills C.A. USA, 1996.
7
La relación masa-energía En la formulación de la mecánica relativista se demuestra que la energía de una partícula que se mueve libremente como por ejemplo, electrones, protones, neutrones, moléculas o cuerpos extendidos como un vaso, un planeta, una estrella, etc., desplazándose con rapidez constante no desapa-rece cuando su velocidad es cero con respecto a un observador, sino que alcanza un valor finito llamado la energía en reposo. Es uno de los resul-tados más conocidos, importantes y espectaculares de la teoría especial de la relatividad de Albert Einstein. La ecuación E=mc2, en donde E es la energía total, m la masa del obje-to y c2 el cuadrado de la velocidad de la luz en el espacio vacío, expresa el hecho que la masa y la energía son equivalentes. Conforman un solo inva-riante denominado la relación masa-energía. Su validez ha sido confirma-da en múltiples aplicaciones prácticas, como por ejemplo en los reactores de la industria nucleoeléctrica, en las bombas atómicas y termonucleares y
en otros desarrollos no bélicos. La existencia del Sol y de las estrellas co-mo grandes generadores de energía no se podría explicar si no se conocie-ra ese invariante. De acuerdo con A. Einstein esa relación es válida en todo el Universo. Sin embargo, nunca se preocupó por demostrar su existencia ni en el ámbi-to de los medios continuos ni tampoco en el campo de los sistemas termo-dinámicos. 1. Dinámica de los fluidos y termodinámica El Universo está compuesto casi en su totalidad por fluidos de diferente naturaleza. Para estudiar su estado dinámico en la física teórica se han desarrollado dos teorías importantes con las que se explican muchas de las características relevantes del flujo de fluidos y también de sistemas conti-nuos que se encuentran en reposo como un todo. Esas áreas de la física teórica son la dinámica de los fluidos y la termo-dinámica clásica.
8 La relación masa-energía
La primera estudia los fluidos perfectos o ideales, los reales o newto-nianos llamados así en honor a Isaac Newton, así como también los flui-dos portadores de carga eléctrica. Bajo ciertas condiciones constituyen el llamado plasma que es el cuarto estado de la materia y son el material que forma casi la totalidad del Universo. Las propiedades que se consideran de esos sistemas son macroscópicas o fenomenológicas debido a que se describen por medio de cantidades promedio, es decir, sin considerar estructura molecular o atómica alguna. Los fluidos cargados eléctricamente son de la competencia de la teoría denominada la magnetohidrodinámica, a veces también llamada hidro-magnetismo. La segunda de esas ramas de la física teórica estudia las propiedades de la materia en relación con los cambios de temperatura. Es una teoría elegante y su campo de aplicación se extiende a todo el Universo. Su contenido y estructura se asientan en un pequeño conjunto de postu-lados básicos llamados las leyes de la termodinámica, a menudo también denominados los principios de la termodinámica clásica. Por tanto, resulta muy interesante investigar y descubrir en donde se en-cuentra ese invariante dentro de esas disciplinas.
2. Mecánica Analítica
Para alcanzar ese objetivo es necesario recurrir a otra rama de la física teórica que es la mecánica analítica; debido a que es la herramienta meto-dológica adecuada para obtener a partir de primeros principios las ecua-ciones matemáticas que describen el estado dinámico de cualquier sistema en mecánica clásica, electrodinámica clásica, mecánica cuántica, relati-vidad general, dinámica de los fluidos y termodinámica clásica. En otras palabras, es el esquema teórico más básico y fundamental de la física matemática. Es un procedimiento sencillo y elegante que utiliza dos funciones analíticas conocidas como la acción y la densidad lagran-giana o lagrangiana por unidad de masa y un principio variacional. La primera de esas funciones es una integral definida en el tiempo y en el espacio euclídeo tridimensional, es decir, es un ente matemático que se establece en el espacio-tiempo. Dentro de la integral, esto es en el integran-do, se tiene la otra función que depende de la posición, la velocidad, el tiem-po y de otras cantidades denominadas variables. En otras palabras, contie-ne toda la información relevante del sistema.
Mecánica Analítica 9
Es importante mencionar que la integral de acción se extiende a todo el espacio y al tiempo, considerado éste como el parámetro de evolución. Todo esto forma parte del principio variacional de Hamilton clásico, lla-mado así en honor al matemático irlandés que lo propuso. A continuación y como parte básica del esquema se fijan los requisitos que debe satisfacer el sistema en las posiciones y tiempos inicial y final, y que técnicamente se conocen como las condiciones de frontera. Se exige que la acción sea invariante o al menos extremal con respecto a su variación con relación a un conjunto de ciertos parámetros y se utiliza
como herramienta de análisis una parte de la matemática que es el cálculo de variaciones. Como resultado de esa metodología se obtienen ciertas relaciones entre la posición, la velocidad y otras cantidades relevantes del sistema referidas como variables de campo; relaciones que son denominadas las ecuaciones diferenciales de campo. Finalmente, se propone una forma explícita para la densidad lagran-giana o simplemente la lagrangiana, que contiene las energías de movi-miento o cinética, y de posición o potencial. La expresión resultante se introduce en las ecuaciones diferenciales de campo para obtener las ecuaciones que describen el estado dinámico del sistema y que en general, son conocidas como las leyes de conservación, esto es la ley de conservación de la cantidad de movimiento o del momen-to lineal, la de conservación de la energía, y la de conservación de la cantidad de movimiento de rotación o del momento angular, entre otras. En la dinámica de los fluidos y también en la termodinámica clásica y dentro de lo que en física teórica se conoce como la teoría clásica de campos, se utiliza un esquema semejante en sus aspectos generales pero en lugar del principio de Hamilton clásico, se propone el principio varia-cional tipo Hamilton como el esquema analítico apropiado para el trata-miento matemático del estado dinámico de cualquier fluido. De esa manera se obtienen las ecuaciones diferenciales de campo y tam-bién las correspondientes ecuaciones diferenciales de movimiento, ener-gía y masa. Sin embargo, a diferencia de lo que ocurre en el caso clásico, las ecua-ciones que se obtienen no tienen la forma de las leyes de conservación or-dinarias, sino más bien, tienen la forma de ecuaciones de balance. Así, lo que resulta de esa metodología teórica son las ecuaciones de balance de momento, de energía, y de masa para cualquier fluido.
10 La relación masa-energía
3. Dinámica relativista En el caso de la dinámica relativista se encuentra que la lagrangiana L para una partícula libre de masa m que se mueve con rapidez constante v tiene la forma siguiente
.1 2
22
cvmcL (3.1)
Para obtener la forma que tiene la densidad lagrangiana para un fluido cualquiera se considera alguna región R del espacio euclídeo tridimensio-nal que lo contiene de modo que la lagrangiana clásica L es
R
dVL ; (3.2)
con la densidad lagrangiana y dV el elemento de volumen en la región R. Por otra parte, la masa m del fluido contenida en esa región es
R
dVm ; (3.3)
en donde es la densidad de masa del sistema. En ese caso, se cumple que
012/1
2
22
R
dVcvc . (3.4)
Como dV es un elemento de volumen que se elige en forma arbitraria y por tanto es diferente de cero, para que se cumpla la relación anterior es necesario que el término encerrado en el paréntesis cuadrado se anule y entonces se tiene que
2/1
2
22 1
cvc (3.5)
y esta es la densidad lagrangiana relativista para cualquier fluido libre de fuerzas. Sí el sistema se encuentra en reposo con respecto al observador se cumple que = c2. 4. El invariante masa-energía En la física teórica existe otra función analítica muy importante deno-minada la hamiltoniana del sistema que representa a la energía total. En el campo de la dinámica de los fluidos y dentro del esquema de Hamilton se
El invariante masa-energía 11
define la densidad hamiltoniana en términos de la densidad lagrangiana de la siguiente manera
vH ; (4.1)
en donde H es nuevamente la densidad de energía del sistema. El término / v representa el cambio de cuando cambia v y se le conoce con el nom-bre técnico de la derivada parcial de con respecto a v. Así, si el fluido está en reposo con relación al observador, su velocidad de flujo v es cero y en-tonces H = . En consecuencia,
2cH . (4.2)
Dado que H es la energía total E contenida en el volumen V que con-tiene al sistema y es la masa total del fluido en ese mismo volumen, se cumple que
2cmE ; (4.3) y esta es la relación masa-energía para cualquier medio contínuo. En la termodinámica clásica se considera que el sistema más sencillo consiste de un solo medio continuo homogéneo. Su estructura fundamenta la hidrodinámica de los fluidos compresibles. Una sola fase es descrita por ciertas cantidades llamadas variables de estado, como son el volumen V, la energía total interna E, la presión p, la entropía total S y la temperatura absoluta T. La estructura de la fase se especifica por medio de ciertas relaciones
entre las variables termodinámicas conocidas con el nombre de ecuaciones de estado. En este caso, la relación masa-energía se refiere a la energía total in-terna que es la función termodinámica por excelencia. Es una función que depende en el caso más general del volumen V, de la entropía total S y del tiempo t. Dentro del esquema teórico de la mecánica analítica y mediante el uso del principio variacional tipo Hamilton, se demuestra que es posible hacer de la termodinámica clásica una rama de la física teórica utilizando tanto la formulación de Lagrange como la de Hamilton, proponiendo la existen-cia de una densidad lagrangiana general de la forma siguiente
tSV ,, , (4.4)
12 La relación masa-energía
de tal suerte que la densidad hamiltoniana satisfaga la ecuación siguiente
tVStVS ,,,, H . (4.5) Como por otra parte también se demuestra que la energía total interna E(S,V,t) es igual a (S,V,t) se tiene que
tVSEtVS ,,,, H . De acuerdo con los argumentos dados en el caso de la dinámica de los fluidos y debido a que los sistemas termodinámicos están siempre en re-poso como un todo con respecto al observador, se cumple nuevamente que
2,, ctVSE , que es otra vez la relación masa-energía. Por tanto y como lo aseguró A. Einstein, esa relación es válida en todo el Universo. Referencias 1. Angel Fierros Palacios. The Hamilton-Type principle in fluid dynam-
ics. Fundamentals and applications to magnetohydrodynamics, ther-modynamics, and astrophysics. Springer Wen New York, 2006.
2. Ryogo Kubo. Thermodynamics. North-Holland Publishing Company-Amsterdam, 1968.
3. Herbert B. Callen. Thermodynamics and an Introduction to Thermo-statics. Second Edition John Wiley & Sons. New York Chichester Brisbane Toronto Singapore, 1985.
4. L. D. Landau and E. M. Lifshitz. Fluid Mechanics Pergamin Press. London. Paris. Frankfurt, 1959. Addison-Wesley Publishing Compa-ny, Inc. Reading, Massachusetts, U.S.A.
5. L. D. Landay and E. M. Lifshitz. Statistical Physics. Pergamon Press LTD. London, 1958. Addison-Wesley Publishing Company, INC. Reading, Massachsetts, U.S.A.
6. L. D. Landau and E. M. Lifshitz. The Classical Theory of Fields. Pergamm Press. Oxford. London. Paris. Frankfurt. Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Reading, Massachushetts U.S.A., 1962.
13
Campos magnéticos estelares Se sabe que de manera natural todas las estrellas gaseosas generan un in-tenso campo magnético en una etapa muy temprana de su evolución. Ese campo magnético autogenerado tiene la misión de contribuir en forma de-terminante a la estabilidad de las estrellas. En efecto y como es bien sabido de pruebas de laboratorio, un campo magnético aplicado a un fluido conductor tiene la propiedad de crear en él una viscosidad magnética que lo hace más rígido. Como el material estelar es un fluido conductor, esa rigidez se puede in-terpretar como si ese objeto celeste estuviera soportado por una superestruc-tura configurada por las líneas de fuerza del campo magnético autogenera-do. Se puede suponer que esa superestructura magnética tiene el encargo de auxiliar a conservar la forma y las dimensiones de la estrella aún cuan-do esté animada por un movimiento de rotación en torno a su eje, debido a que se sabe que las líneas de fuerza magnética están congeladas en el plas-ma estelar y se mueven con él. 1. La estructura interna y la estabilidad de las estrellas Considérese una gran masa de fluido gaseoso, compresible, viscoso y con-ductor, en condiciones de presión y temperatura muy elevadas, aislada en el espacio y cuyas partes se mantienen unidas por el efecto de la atracción de su enorme fuerza de gravedad y en equilibrio dinámico con la fuerza ge-nerada por la suma de las presiones de la radiación y de los gases calien-tes. La fuente generadora de potencia se encuentra situada en la parte central de esa gigantesca masa de gas ocupando una región probablemente esféri-ca y relativamente pequeña. Enseguida se encuentra lo que se conoce con el nombre de la zona convectiva y después de ella está la superficie o at-mósfera denominada la fotosfera.
14 Campos magnéticos estelares
En la zona convectiva se generan las llamadas corrientes convectivas que son las responsables de remover el calor producido por el proceso de la combustión termonuclear y de alimentar al mismo tiempo a la fuente generadora de energía de nuevo combustible nuclear. Las cenizas de esa combustión y que en general consisten de helio iso-térmico, se acumulan en la parte central empujando poco a poco al horno termonuclear hacia la superficie. Se supone que esas corrientes convectivas están formadas por átomos neutros y por una enorme cantidad de partículas cargadas tanto positivas como negativas. También se supone que la zona convectiva contiene una distribución de corriente estacionaria y localizada en alguna región de ella, producida por un proceso de máxima ionización que es la responsable de la generación del campo magnético que en primera aproximación se puede afirmar que
es semejante al campo magnético bipolar producido por una barra imanta-da. Como existen ciertas irregularidades en el campo magnético autogene-rado, se propone que éstas son atribuibles al hecho que la estructura de la distribución de corriente antes mencionada cambia debido a que las co-rrientes convectivas no siempre son las mismas porque su intensidad de-pende de la magnitud de las explosiones termonucleares producidas por el horno. Es importante recalcar la importancia que tiene el campo magnético au-togenerado para el equilibrio y la estabilidad de esa enorme masa gaseosa. Finalmente, esa gigantesca concentración de materia se encuentra distribui-da en una configuración que es esféricamente simétrica. Un objeto celeste con las características anteriores es una estrella. 2. Origen y magnitud del campo magnético autogenerado El campo magnético autogenerado por las estrellas gaseosas es originado por una clase especial de mecanismo que se produce en alguna región de la zona convectiva. Es un mecanismo dinámico que depende de la existencia de un proceso de máxima ionización originado por las condiciones de densidad y tempe-ratura ahí existentes. Por otra parte, la distribución de corriente estacionaria y localizada está formada por un sistema de partículas cargadas eléctricamente cada una de ellas con carga q, que se mueven hacia la superficie estelar por el efecto de
Origen y magnitud del campo magnético autogenerado 15
las corrientes convectivas provenientes del horno termonuclear con un mo-vimiento estacionario con velocidad v. Cuando las partículas cargadas pasan por la región en donde se localiza la distribución de corriente, hacen su contribución a ella y siguen su camino hacia la superficie, siendo reemplazadas continuamente por otras partículas. Este es un proceso dinámico semejante en forma al que produce el arco iris. En efecto, las gotas de agua se mueven a través de la región en donde la luz del Sol genera el fenómeno, le dan su contribución y continúan con su movimiento de caída siendo también reemplazadas continuamente por otras gotas. Es por esa razón que se puede afirmar que el arco iris es un fenó-meno óptico estacionario y localizado. Como la distribución de corriente es producida en última instancia por un proceso de ionización que depende de ciertas condiciones de densidad y temperatura que se dan en la región en donde esa distribución se asienta, el campo magnético autogenerado también depende de esas cantidades co-mo se verá a continuación. Considérese el caso de una estrella gaseosa cualquiera de radio R y con las características mencionadas en el párrafo 1. De acuerdo con A. S. Edding-ton, el fluido gaseoso que configura a las estrellas, esto es, el plasma este-lar, se comporta como un gas ideal desde el punto de vista de la termodiná-mica clásica. Esa enorme concentración de materia compresible, viscosa y que porta
una carga eléctrica, gira en torno a su eje con una velocidad de rotación v(x,t), es decir, que en general depende de la posición y del tiempo. Además, está bajo la influencia de un campo magnético autogenerado H (x,t) que también es función de la posición y del tiempo. Para determinar el estado dinámico de la estrella se utilizan las ecuaciones de la magneto-hidrodinámica que para el caso presente tienen la forma siguiente
0Hdiv ; (2.1) en donde el término div es la abreviatura de divergencia que es una opera-ción matemática que indica un cierto cambio espacial de la cantidad H. La otra relación es la ecuación de balance momento que ha sido modi-ficada adecuadamente para el problema de las estrellas, es decir,
411 ji
ijjr
HHx
ppt
gradvgradvv
; (2.2)
16 Campos magnéticos estelares
en donde ij son las componentes de un objeto matemático llamado el ten-sor de esfuerzos viscosos, es la densidad de masa, mientras que p y pr son la presión total y la presión de la radiación, respectivamente. Debido a que la estrella gira de forma estacionaria, la velocidad de rota-ción no depende explícitamente del tiempo y entonces, el cambio parcial de v con respecto a t es cero, es decir, v/t = 0. Como tampoco depende explícitamente de la posición ya que solo es función de la latitud estelar, todos los términos de (2.2) que la contienen son cero. Esto es así, porque de acuerdo con el descubrimiento de R. Carrington con relación al Sol, se supone que todas las estrellas gaseosas giran en torno a su eje con una ve-locidad de rotación que es diferencial. En ese caso de la relación (2.2) se obtiene el siguiente resultado
3
84 42 eaTTH
R. (2.3)
Para el centro de la estrella y también para cualquier otra región interior el término dominante es el primero del miembro derecho de (2.3), es decir
2/1
4
TH R; (2.4)
en donde es el peso molecular promedio, R la constante universal de los gases; en tanto que y T se refieren a la densidad de masa y a la tempera-tura en el centro estelar o en alguna región particular del interior de la es-trella. Por otra parte, en la superficie de la estrella se puede asegurar que la densidad de masa prácticamente desaparece de modo que el primer térmi-no del miembro derecho de (2.3) es cero y entonces, la magnitud del cam-po magnético autogenerado en la superficie estelar es proporcional a la temperatura efectiva Te , como es fácil ver de la siguiente expresión
2
es mTH ; (2.5)
en donde el subíndice s se refiere a la superficie y
La estructura del campo magnético autogenerado 17
272/1
.1053.23
8
Kgaussam
(2.6)
es una constante universal y a es la constante de la ley de Stefan. Evidentemente el campo magnético autogenerado satisface diferentes leyes perfectamente bien establecidas tanto para la superficie estelar como para las regiones interiores de la estrella. 3. La estructura del campo magnético autogenerado En magnetohidrodinámica siempre se considera que H B, con B la induc-ción magnética debido a que la constante de proporcionalidad que existe
entre esas cantidades y que se le denomina la permeabilidad magnética del
medio es prácticamente irrelevante y porque además, su valor numérico di-fiere muy poco de la unidad. En ese caso, la inducción magnética satisface las siguientes leyes básicas de la magnetostática que son la ecuación (2.1) y la relación siguiente
jBrotc4
; (3.1)
en donde rot que es la abreviatura de rotacional, es una operación analítica
que indica un cierto cambio espacial de B , c es la velocidad de la luz en el
vacío y j representa a la distribución de corriente ya mencionada. De acuerdo con (2.1) se puede afirmar que
xArotxB ; (3.2) en donde A(x) es llamado el potencial vectorial. Para el caso de una distribución de corriente estacionaria y localizada en alguna región del espacio relativamente pequeña, el potencial vectorial se expresa como sigue
xdc
31xx
xjxA ; (3.3)
18 Campos magnéticos estelares
en donde se integra a todo el espacio, x´ es alguna distancia medida con respecto a un origen dentro de la región que contiene a la distribución de corriente y x es la coordenada de algún punto situado a gran distancia de esa región, como se puede ver en la figura siguiente
Ahora, si se desarrolla el denominador en (3.3) en una serie de poten-cias de x´ hasta el término más bajo de aproximación, se obtiene para al-guna componente del potencial vectorial la siguiente expresión ..1 3
33 xdj
cxxdj
cxA iii xx
xxx (3.4)
Se puede demostrar que el primer término del miembro derecho de (3.4) es cero. Como ese término corresponde al de un monopolo en el desarrollo anterior, se muestra que en ese desarrollo está ausente. Eso significa que no existen en la naturaleza polos magnéticos aislados. La integral del segundo término se puede transformar considerando un campo magnético promedio producido por el sistema de cargas antes men-cionado y haciendo un poco de álgebra. De esa manera, se obtiene el si-guiente resultado
xdxdji
33
21
jxxxx . (3.5)
Es costumbre definir la densidad de momento magnético o magnetiza-ción como sigue
xjxx c2
1M ; (3.6)
y su integral como el momento magnético
P x x´
J (x´ )
El campo magnético de las manchas solares 19
xdc
3
21
xjxxm . (3.7)
En ese caso, el vector potencial del segundo término del miembro de-recho de (3.4) es el dipolo magnético de ese vector; esto es
3xxm
xA
. (3.8)
La inducción magnética correspondiente se obtiene evaluando el rota-cional de (3.8), es decir,
3xxm
rotB
. (3.9)
Se puede demostrar que de ésta última fórmula se obtiene el siguiente resultado
33
xmmnn
B
; (3.10)
en donde n es un vector unitario. La inducción magnética B tiene exactamente la forma del campo de un dipolo. Muy lejos de la distribución de corriente estacionaria y localizada la inducción magnética es la de un dipolo magnético que tiene un momen-to dipolar dado por la ecuación (3.7). En consecuencia, todas las estrellas gaseosas y con ellas el Sol, generan un campo magnético general que cuan-do se le observa desde muy lejos se ve como un campo magnético bipolar semejante al de una barra imantada. 4. El campo magnético de las manchas solares Las manchas solares son regiones del disco del Sol más frias y obscuras que la fotosfera. Fueron los astrónomos chinos los primeros en advertir su presencia en el astro. Siglos más tarde Galileo y sus contemporaneos las redescubrieron y observaron con detenimiento.
20 Campos magnéticos estelares
Son fenómenos que hasta hace poco tenían un origen desconocido, pro-piedades muy peculiares y un comportamiento tan desconcertante que dió
pie para suponer que bajo la superficie del Sol tienen lugar ciertos proce-sos locales que tienden a desestabilizar las regiones en donde aparecen las manchas. Su presencia en el disco del astro se relaciona con un incremen-to substancial de la actividad solar representada por la emisión de grandes cantidades de partículas cargadas en lo que se conoce con el nombre de viento solar. La interacción de este último con el campo magnético de la Tierra en la llamada ionosfera, produce por una parte las gigantescas y hermosísimas auroras boreales y por otro lado serias perturbaciones en los sistemas de telecomunicación terrestres. La gran mayoría de las manchas se observan en ciertas regiones del Sol en dos bandas de igual latitud al norte y al sur de su ecuador en lo que se podría llamar las regiones de los trópicos. Tie-nen la tendencia a aparecer en grupos pero también en parejas en cada una de las cuales sus dos miembros siempre tienen polaridades opuestas. Una mancha solar típica tiene la siguiente estructura y dimensiones. En el centro posee un núcleo obscuro llamado Umbra de unos 18,000 km. de diámetro y un halo un poco más claro llamado Penumbra de 20,000 km. de ancho. Se sabe que la menor luminosidad de la mancha con relación a la fotosfera es debida a que su temperatura es menor. El astrónomo norteamericano George Ellery Hale (1868-1938) descu-brió intensos campos magnéticos en las manchas cuya magnitud es de al-rededor de 4,000 gauss. Después se descubrió que en las parejas bipolares de manchas siempre una de ellas presentaba un polo norte mientras que la otra tenía un polo sur, de tal suerte que vistas desde la Tierra semejaban ser los polos de un imán de herradura. Otro hecho notable es que la polaridad de las parejas de manchas en el hemisferio norte es siempre opuesta a la polaridad de las parejas del hemis-ferio Sur. Esa disparidad cambia periódicamente con un semiperiodo de 11 años a lo largo de lo que se conoce con el nombre de ciclo solar. El problema es semejante al de una inestabilidad mecánica que ocurre en algunas regiones de la atmósfera terrestre; fenómeno que es conocido como la convección térmica o libre. En el caso de las manchas solares el problema es algo más complejo. En un fluido real se puede producir una inestabilidad térmica que dis-pare las corrientes convectivas si se le expone a un calentamiento unifor-me desde su parte baja.
El equilibrio magnetomecánico entre los mecanismos reguladores 21
Sin embargo, esa tendencia a la inestabilidad se puede deprimir mucho si el fluido es conductor y está bajo la influencia de un intenso campo mag-nético debido a que éste le genera a aquel una viscosidad magnética que tiene la virtud de hacerlo rígido en cierto grado. Este hecho es importante porque si el campo magnético puede reducir los movimientos convectivos, tal reducción solo se puede lograr a expensas de la energía térmica de esas regiones. Como consecuencia de ello, se tendrá como resultado regiones frías y obscuras que son las manchas solares. En cualquier caso, la persistencia del campo magnético es una prueba de la existencia en las manchas de un mecanismo de regulación magnética de la convección térmica; mecanismo que tiene la misión de retrasar lo más posible la generación de otro mecanismo que da lugar a los movimientos convectivos. 5. El equilibrio magnetomecánico entre los mecanismos regula-
dores En el ámbito de la magnetohidrodinámica se puede demostrar que la ecua-ción térmica de estado surge de la expresión general siguiente
H,,Tpp ; (5.1) en donde p es la presión hidrostática, la densidad de masa, T la tempera-tura y H el campo magnético. Como el fluido solar se comporta como un gas ideal, de (5.1) se obtiene la siguiente ecuación térmica de estado que es válida en los sistemas magnetohidrodinámicos; esto es
ipHp 8
2
, (5.2)
con H
2/8 la presión hidrostática magnética y
Tk
cp oi
2 (5.3)
la presión en el interior de las manchas. En (5.3), 2
oc es el cuadrado de la velocidad del sonido en las manchas y
22 Campos magnéticos estelares
TV
V1
pV
Vk 1
son el coeficiente de expansión volumétrica y la compresibilidad isotér-mica, respectivamente. Como el fluido solar está sujeto a la atracción gravitacional del Sol, pi no es una constante, sino más bien se espera que su magnitud varíe con la altitud de la siguiente manera
constantep oi xg , (5.4) en donde o es la densidad de masa de las manchas y g es la aceleración de la gravedad en la superficie solar. La relación anterior es conocida co-mo la ecuación hidrostática. En ese caso, de las relaciones (5.2) y (5.4) se obtiene el siguiente resultado
constanteHp o
xg
8
2
. (5.5)
Cuando se calcula el gradiente de (5.5), esto es un cierto cambio espa-cial de esa ecuación, se tiene que
ggrad
8
2Hp . (5.6)
Esta es la condición para que exista el equilibrio magnetomecánico en-tre los mecanismos de regulación magnética de la convección térmica y el que propicia los movimientos convectivos en la atmósfera solar. En (5.6) se utilizó el siguiente resultado
gggg -o , debido a que ´ es una cantidad muy pequeña, hablando en términos rela-tivos, y entonces, el término dominante en el desarrollo anterior es g.
La velocidad del fluido en las manchas 23
6. La velocidad del fluido en las manchas De la ecuación de movimiento de la magnetohidrodinámica se puede ob-tener la siguiente ecuación
vooo
rotTpdtd
FhHggradv
4
11; (6.1)
en donde h es el campo magnético de las manchas y se utilizaron las si-guientes relaciones
;11
1
2
2
vo
jij
oo
oo
ooo
o
Tpx
Tp
p
pppp
Fgggrad
ggrad
ggrad
gradgradgradgrad
(6.2)
en donde
T
1
es el coeficiente de expansión térmica y Fv es la fuerza viscosa, esto es,
divv1
F
y ´ es el tensor de esfuerzos viscosos. A partir de la ecuación (6.1) y después de hacer algo de álgebra y utili-zar algunas aproximaciones físicamente razonables, se llega a la siguiente expresión
24 Campos magnéticos estelares
vMHD Tdtd
FgFv
; (6.3)
en donde
oMMHD pT gradgradF (6.4)
es la fuerza magnetohidrodinámica responsable del equilibrio dinámico en-tre los mecanismos de regulación magnética de la convección térmica y el que propicia los movimientos convectivos. El otro término de (6.3) es el que representa al efecto de la gravedad en la superficie del Sol. En (6.4),
o
o kc
2
es una constante; en tanto que
o
oM
hp8
2
es la presión hidrostática magnética característica de las manchas, entre o. Por otra parte, en (6.3) se puede ignorar el término Fv debido a que a lo largo del proceso de equilibrio la fuerza viscosa es irrelevante. Una vez que ese equilibrio se rompe, los movimientos convectivos se establecen rápidamente hasta que se establece la temperatura promedio de la fotosfe-ra. Es posible que durante ese proceso la viscosidad del medio y por su-puesto la fuerza viscosa, lleguen a ser muy importantes. Sin embargo, en ese momento las manchas han desaparecido porque el campo magnético que las produce es cero y desde luego, el gradiente térmico se anula y la actividad solar también llega a su fin. Como los términos que quedan en (6.3) no dependen explícitamente del tiempo, esa expresión se puede inte-grar para obtener el siguiente resultado 1
ooMo ttpTT gradggradvv . (6.5)
Sin embargo, vo= 0 debido a que es la suma vectorial promedio de la velocidad dentro de las manchas correspondiente a la situación de equili-
El valor del campo magnético de las manchas 25
brio. Si adicionalmente se supone que to= 0, de (6.5) se obtiene el siguiente resultado
tzd
dpTgzd
TdvoM
c
1 ; (6.6)
en donde el subíndice c indica que se trata del proceso de convección tér-mica y solo se está considerando la dirección Z. 7. El valor del campo magnético de las manchas Se puede demostrar que de la expresión para la ecuación general de trans-ferencia de calor que se extrae de la ecuación de balance de energía de la magnetohidrodinámica, se obtiene el siguiente resultado
02
Ttd
Td , (7.1)
que es la forma final de la ecuación general de transferencia de calor para el fenómeno completo de la generación, persistencia y desaparición de las manchas solares. A lo largo del tiempo de vida de las manchas solares se considera que la temperatura T´ solo es función de las coordenadas de tal suerte que T´/t 0. En ese caso, de (7.1) se obtiene lo siguiente
0
TgradvTx i
ii .
De aquí se obtiene como resultado de la integración que
vgrad TT ; que con el auxilio de la ecuación (6.6) en su forma vectorial se transforma en lo que siguiente
tTpTtTT oM gradggrad . (7.2)
26 Campos magnéticos estelares
En todas las expresiones anteriores
pc
es la conductividad termométrica, la conductividad térmica y cp el calor específico a presión constante. Supóngase que para la condición de equilibrio dinámico puede ser ignorada debido a que puede ser muy interesante observar el fenómeno como si estuviera congelado en el tiempo, condición que por otra parte, se satisface prácticamente en el estado de madurez de las manchas. En ese caso, de (7.2) se obtiene lo siguiente
TTpoM ggradgrad . (7.3)
De esta última expresión se obtiene la siguiente condición para que el equilibrio dinámico se satisfaga
TgTgradhgrad zoz 82 ; (7.4) en donde las barras indican el valor absoluto. De aquí se obtiene que
TgpTdzd o
M ;
y entonces,
zgTh o 82 . (7.5) De aquí se obtienen los campos magnéticos de cada uno de los miem-bros de la pareja de manchas y que claramente tienen polaridades opues-tas, es decir
2/122 zgTh o (7.6) y
2/122 zgTh o . (7.7)
Persistencia de las manchas solares 27
Evidentemente, tienen la misma magnitud y dirección de tal suerte que como se dijo antes, observados desde la Tierra se ven como si fueran los polos de un imán de herradura. Ahora, de la ecuación (7.3) se puede ver que cuando la intensidad del campo magnético de las manchas se empieza a debilitar su influencia declina en favor del gradiente térmico de tal modo que cuando h = 0 se tiene que
TgzdTd
. (7.8)
Integrando la ecuación anterior se obtiene el siguiente resultado
zgexpTT o . (7.9)
Esta última relación da la temperatura a la que se inicia la convección térmica con To la temperatura típica de las manchas. Con los datos que se pueden obtener en la literatura especializada se tiene que
KT 344,2 ; de modo que
KTTT o 044,6 , que es la temperatura promedio de la fotosfera solar. Finalmente, es fácil calcular que
gaussh 836,3 ; valor que está dentro del órden de magnitud de los campos magnéticos de las manchas solares medidos por G. E. Hale con el auxilio del llamado Efec-to Zeeman. 8. Persistencia de las manchas solares De la relación (6.6) se obtiene el siguiente resultado
28 Campos magnéticos estelares
Tgzd
dpqT
qt oM
; (8.1)
en donde
zd
Tdq
(8.2)
es el gradiente térmico en la dirección Z. La persistencia de las manchas en el disco solar parece depender de la componente z de los gradientes térmico y del cuadrado del campo mag-nético generador de ellas, respectivamente. El mecanismo dominante al inicio del fenómeno es el de regulación magnética de los movimientos convectivos; mientras al final de él, la desaparición de las manchas está determinada por el predominio del gradiente térmico sobre las otras canti-dades. Es posible que el inicio y también el final del fenómeno ocurra con gran rapidez debido a la magnitud de las cantidades involucradas; de mo-do que parece razonable suponer que la vida media de las manchas se pue-de determinar a partir del equilibrio dinámico entre los mecanismos ya mencionados. Así, para el caso en el que FMHD= 0, en (8.1) se tiene que
2Tgq
; (8.3)
que no es otra cosa más que la vida media de las manchas solares. Las ob-servaciones astronómicas muestran que en general la vida media es algo mayor que una revolución solar que es de aproximadamente 28 días. De la relación anterior y de acuerdo con los datos aceptados por la comunidad as-tronómica, se tiene que
días31 . (8.4) Así, la persistencia en el tiempo de una pareja particular de manchas en el disco solar depende de la diferencia entre la temperatura To y la de la fo-tosfera T, esto es, depende de T´. Así se cumple que entre mayor es la tem-
Origen, permanencia, desaparición y propiedades de las manchas solares 29
peratura de las manchas, menor es T´ y en consecuencia, mayor es el tiem-po de vida media de las manchas solares. 9. Origen, permanencia, desaparición y propiedades de las
manchas solares De los resultados obtenidos, se puede suponer que las manchas solares son fenómenos muy relacionados con procesos que ocurren bajo la superficie solar a muy poca profundidad de ella; es decir, son básicamente fenóme-nos de superficie. Su generación, evolución y desaparición se pueden ex-plicar en términos de la competencia entre dos mecanismos dinámicos; uno de naturaleza magnética que controla y retrasa la convección térmica, y el otro de naturaleza térmica que favorece los movimientos convecti-vos. En efecto, el campo magnético inicia su creación en algunas regiones de la fotósfera. Mientras su intensidad crece, se genera en el fluido una vis-cosidad magnética creciente que poco a poco lo hace más rígido. La rigidéz deprime la agitación térmica de modo que el fluido se mueve con dificul-tad en esas regiones. En consecuencia, la temperatura de esas regiones decrece creando las condiciones requeridas para la aparición de un gradiente térmico cuyo va-lor se ajusta automáticamente a la intensidad creciente del campo magné-tico. Así, como la intensidad del campo magnético crece, la rigidéz del fluido se incrementa y entonces la magnitud del gradiente térmico se hace más grande oponiéndose firmemente al establecimiento del gradiente del cuadrado del campo magnético. La lucha entre esos dos mecanismos ge-nera una pérdida gradual de energía térmica en esas regiones, y como re-sultado se tienen áreas más obscuras y frias que sus alrededores que no son otra cosa más que las manchas solares. Por otra parte, la actividad solar crece en esas regiones y alcanza su máximo valor cuando la creación de ambos gradientes se completa. Ense-guida viene un periodo de evolución caracterizado por el estado de equili-brio dinámico entre los mecanismos y por el hecho de que existe una máxima actividad solar proveniente de esas áreas. En ese estado intermedio, la fuerza dominante es la enorme fuerza de gravedad solar que se deja sentir sobre el fluido. A través de ese periodo, el fluido muy caliente fluye más o menos paralelamente a la superficie so-lar divergiendo desde el centro de las manchas y desbordándose por sus fronteras.
30 Campos magnéticos estelares
Al mismo tiempo, aparecen diversas variedades de las llamadas Facu-las en la forma de chispas, antorchas y flamas, dependiendo de su tamaño, cuyo origen se puede explicar suponiendo que se trata de salpicaduras pro-ducidas por fluctuaciones térmicas que ocurren en los bordes de las man-chas. En la etapa final cuando h = 0, los procesos térmicos son los dominan-tes, se completa el mecanismo que inicia la convección térmica y se pro-ducen los violentos movimientos convectivos que mezclan el fluido dentro de las manchas igualando la temperatura de esas regiones con la de sus al-rededores. En consecuencia, las manchas solares desaparecen y la activi-dad solar en ellas llega a su fin. La polaridad de las manchas se puede explicar suponiendo que las pa-rejas son producidas por el campo magnético generado por gigantescos solenoides que se forman bajo la superficie del Sol por el fluido ionizado que gira a gran velocidad creando monstruosas corrientes eléctricas que son las que producen y mantienen el campo magnético característico de esas regiones. El fluido solar altamente ionizado está formado por una mezcla no ho-mogénea de iones positivos y negativos y también por átomos neutros. Así, a través de un ciclo solar, el contenido de iones positivos puede ser mayor que el de iones negativos, de modo que la corriente eléctrica pro-ducida por tal exceso de carga determina la polaridad de las manchas en cada hemisferio. Por otra parte y debido a que las manchas son regiones relativamente pe-queñas que se mueven a través del disco solar, al cabo de un cierto tiempo que coincide con su vida media, el número de iones positivos y negativos que giran en el solenoide se iguala. Ambos tipos de iones se mueven de la misma manera. Sin embargo, una partícula positiva en movimiento es equivalente a una partícula negativa que se mueve en dirección opuesta y entonces, la corriente neta en el solenoide es cero y por tanto el campo magnético se cancela. Este hecho es suficiente para explicar el origen, la duración y la desapari-ción de las manchas, así como también su polaridad y el fin de la activi-dad solar en esas regiones. Para explicar el cambio de polaridad en ámbos hemisferios en cada ci-clo solar, es suficiente suponer que en las latitudes del Sol en donde se ob-servan las manchas, tienen lugar flujos gigantescos de fluido semejantes a los que ocurren en la Tierra en las zonas de ciclones. Los flujos y los re-molinos turbulentos en el hemisferio norte se mueven en dirección opues-
Referencias 31
ta a los que se producen en el hemisferio sur debido a la llamada Fuerza de Coriolis. Si a través de un ciclo el fluido altamente ionizado tiene una carga neta de signo dado la polaridad de los electroimanes estará invertida en un hemisferio con respecto al otro. Este hecho sugiere que en un ciclo las enormes corrientes eléctricas de los solenoides son generadas por un exceso de carga del mismo signo en ambos hemisferios y en el siguiente ciclo, por un exceso de carga del signo opuesto. La pregunta que surge es la siguiente. ¿Cuál es el mecanismo físico que origina tal cambio en la polaridad con esa regularidad y en tan corto tiem-po? Considérese la siguiente argumentación. Las condiciones de elevadas temperaturas y presiones en las regiones profundas del Sol propician la creación del fluido altamente ionizado que esta sujeto a la influencia de una tremenda agitación termal que influye en su movimiento hacia la su-perficie solar; movimiento que es favorecido por las poderosas ondas de choque provenientes del horno. Sin embargo, esas ondas arrastran a los iones positivos y negativos de diferente manera, y esa diferencia puede depender de la masa de cada tipo de partícula. En efecto, aún en el caso del hidrógeno ionizado H
+, la diferencia entre su masa y la de los electro-nes libres e- producidos durante el proceso de ionización, es de alrededor de 2,000. Para otros elementos ionizados por la pérdida de uno o más electrones, esa diferencia puede ser aún más grande; como ocurriría con el helio ionizado H
+e cuya masa es cuatro veces mayor que la del hidrógeno
también ionizado. En ese caso, la migración de los iones positivos tiene que ser más lenta que la de los iones negativos y tal diferencia hace que los primeros alcancen las regiones donde se producen las manchas con un retraso de 11.5 años en cada ciclo solar. Para finalizar, se propone una prueba indirecta de la periodicidad y el origen de ese fenómeno que consiste en determinar si en el viento solar del presente ciclo existe un exceso de carga de un cierto signo y sí coinci-de con la presente polaridad de las manchas. El siguiente paso sería medir si en el siguiente ciclo solar existe un ex-ceso de carga del signo opuesto que claramente, generará también la pola-ridad opuesta en las manchas solares. Referencias 1. A. Fierros Palacios. La generación de un estímulo atmosférico y el
problema de la contaminación del Valle de México. Rev. del IMP, Vol. XXVI No. 2, Julio-Diciembre. Pag. 47-55.
32 Campos magnéticos estelares
2. A. Fierros Palacios. The Hamilton-Type Principle in Fluid Dynamics. Fundamentals and Applications to Magnetohydrodynamics. Thermo-dynamics, and Astrophysics. Springer-Verlag.Wien-New York (2006).
3. Cowling, T. G. Magnetohidrodinámica; Editorial Alhambra, S. A. Madrid, B. Aires, México (1968).
4. Abell. G. Exploration of the Universe. Holt, Rinehart and Winston (1964).
5. Eddington. A. S. The Internal Constitution of Stars Cambridge Uni-versity Press (1988).
6. Wilson, P.R. Solar and Stellar Activity Cycles. Cambridge Astrophy-sics series : 24. Cambridge University Press (1994).
7. Unsold.A.El Nuevo Cosmos. Editorial Siglo Veintiuno, S. A. (1979).
33
El campo Geomagnético
De acuerdo con la literatura especializada, la Tierra tiene una cierta estruc-tura en la que los geofísicos y geólogos distinguen tres regiones bien deli-mitadas. La más exterior es conocida con el nombre de la Corteza. Es una delgada envoltura en donde se asientan las ciudades y pueblos del hombre; así como también los mares, ríos, montañas, etc. La siguiente zona conoci-da como el Manto se extiende desde donde termina la anterior hasta la última región situada en las profundidades del planeta. Esa segunda zona es totalmente sólida, aún cuándo a lo largo de las eras geológicas se com-porta como un material plástico. El corazón terrestre es el Núcleo Central que ocupa un espacio relativamente pequeño y normalmente se le divide en dos partes denominadas el Núcleo Exterior y el Núcleo Interior. 1. El origen del campo Geomagnético Existen suficientes evidencias que provienen de los resultados obtenidos por geofísicos y geólogos en sus estudios sobre la transmisión de las on-das sísmicas a través de la Tierra, que demuestran que el Núcleo Exterior es un fluido muy viscoso y que el Núcleo Interior es sólido. Esa última región parece estar compuesta casi totalmente de hierro fun-dido a muy elevada temperatura, de modo que se puede considerar como una gigantesca masa de hierro fundido isotérmico, esto es, a la misma tem-peratura. Como además está sujeta a una enorme presión su densidad es muy gran-de, casi cercana al valor de la densidad de masa del hierro sólido. En con-secuencia, resulta difícil pensar que bajo esas condiciones se den las dife-rencias de temperatura requeridas para la generación de corrientes convec-tivas. Por otra parte, en el Núcleo Exterior los valores de la presión, la densi-dad y la temperatura se incrementan continuamente desde su superficie has-ta el Núcleo Interior, de modo que en aquel ciertamente existen las condi-
34 El campo geomagnético
ciones para que se generen los gradientes térmicos necesarios para que se produzcan corrientes convectivas. Por todo lo anterior, se propuso al Núcleo Exterior como la zona con-vectiva del planeta y se colocó en ese sitio el origen del campo magnético autogenerado por la Tierra. Adicionalmente y como en el caso de las estrellas gaseosas, se consi-deró que ese campo es generado por una distribución de corriente estacio-naria y localizada, que también es el producto de un proceso de máxima io-nización. Además y ésto es muy importante, el Núcleo Exterior es arrastrado por el movimiento de rotación terrestre; pero como está compuesto por un flui-do muy viscoso, gira en torno al eje geográfico de la Tierra con una velo-cidad rotacional que como en el caso de las estrellas gaseosas, es diferen-cial. 2. La magnitud del campo magnético autogenerado Considérese un objeto celeste esféricamente simétrico, compuesto por una masa de fluido muy viscoso, compresible en cierto grado, y conductor, ais-lado en el espacio, sujeto a condiciones de presión, densidad y temperatura cuyos valores crecen desde su superficie hacia el interior, y que además, gi-ra en torno a su eje con una velocidad rotacional diferencial. Para plantear adecuadamente el problema en este momento todas las cantidades que se requieren se escribirán como funciones de x y de t. Así, v (x, t ) es la velocidad que aparecerá en las ecuaciones. Además, ese objeto está bajo la influencia de un campo magnético H (x, t ). Aquí, x es la distancia medida desde cualquier punto interior al centro de esa masa de fluido y t es el tiempo. Finalmente, un objeto celeste como el descrito anteriormente es el Núcleo Exterior. De la ecuación de balance de momento de la magnetohidrodinámica si-guiente
fv
odivdtd
; (2.1)
en donde f es conocida como la fuerza de cuerpo por unidad de masa y que
en este caso es igual a g que es la aceleración de la gravedad terrestre, (x, t) es la densidad de masa y
La magnitud del campo magnético autogenerado 35
ijjiijij
oij HHHp
2
21
41
son las componentes del tensor de esfuerzos generalizado, ij las compo-nentes de la llamada delta de Kronecker y
xv
xv
xv
xv
ijiji
j
j
i
ij
32
son las componentes del tensor de esfuerzos viscosos, con y los coefi-cientes de viscosidad, se obtiene la siguiente relación
g
48
2ji
ijji
HHx
Hpx
. (2.2)
Para llegar a esta última relación se tomó en cuenta el hecho que la ve-locidad de rotación es diferencial de modo que solo depende de la latitud. Además, como el movimiento de rotación ocurre a régimen estacionario, v/ t 0. Por otra parte, H (x, t ) es el campo magnético autogenerado. Como ij es una función de las derivadas parciales de v con respecto a x y claramente v no depende explícitamente de x, ese término es cero. Adi-cionalmente y dado que / x
j ij / xi, de (2.2) se obtiene el siguiente re-
sultado
g
8
2Hpx i . (2.3)
Esta última ecuación es la que gobierna el estado de equilibrio magneto-mecánico del Núcleo Central terrestre. Dado que depende del radio del núcleo, la relación anterior se puede integrar para obtener lo siguiente
constantexHp g8
2 . (2.4)
En la literatura especializada se utiliza la siguiente ecuación térmica de estado para la presión; esto es
´
36 El campo geomagnético
TCpp vo ; (2.5) en donde Cv es el calor específico a volumen constante, T la temperatura, el llamado parámetro termodinámico de Grüneisen, y po es una presión ini-cial ambiental que satisface la ecuación hidrostática siguiente
constantetpo xgx , . (2.6) En ese caso, con el auxilio de (2.5) y (2.6), en (2.4) se obtiene el siguien-te resultado
2/1TconstanteH ; (2.7) en donde
2/18 vCconstante . (2.8) Por tanto, la magnitud del campo Geomagnético en las regiones interio-res de la Tierra es directamente proporcional a la raíz cuadrada del pro-ducto de la densidad de masa y la temperatura. 3. La estructura del campo Geomagnético Como ocurre en el caso de las estrellas gaseosas y dentro del marco teórico de la magnetohidrodinámica, también en este caso se considera que H = B . En consecuencia, la inducción magnética B satisface las siguientes ecuacio-nes
0Bdiv , (3.1)
y
jBrotc4
; (3.2)
en donde j es la distribución de corriente estacionaria y localizada en algu-na región de la zona convectiva del planeta y c es nuevamente la velocidad de la luz en el espacio vacío.
La estructura del campo geomagnético 37
De acuerdo con (3.1), la inducción magnética B(x ) debe ser el rotacio-nal de un campo vectorial A(x ) llamado el potencial vectorial; es decir,
xArotxB . (3.3) Siguiendo el mismo procedimiento analítico que se utilizó para obtener la estructura del campo magnético autogenerado por las estrellas gaseosas, se puede demostrar que también para este caso se cumple que
33
xmmnn
B
; (3.4)
en donde n es un vector unitario en la dirección de x. Claramente, B tiene exactamente la forma del campo de un dipolo, de modo que lejos de la dis-tribución de corriente estacionaria y localizada la inducción magnética es la de un dipolo magnético que tiene el siguiente momento magnético
xdc
3
21
xjxm . (3.5)
Considérese cualquier punto de la superficie del Núcleo Exterior. La in-tensidad de la inducción magnética se puede obtener de la ecuación (3.4) con la ayuda de los datos siguientes
.1094.2
.1094.78
325
cmrcmgaussm
nc
En ese caso,
gaussrmBnc
nc 2.656.2
94.7223
Ahora, el valor de Cv se calcula usando las relaciones (2.7) y (2.8), el re-sultado anterior y los siguientes datos
38 El campo geomagnético
.1075.4.11
4.1
3
3
KTcmgr
Así se obtiene que
115 ..101.2 KgrergsCv .
La intensidad de la inducción magnética en la Corteza y cerca de la su-perficie de la Tierra se puede calcular con la ayuda de los datos siguientes
,103.8.2
25.0
2
3
KTcmgr
y con los resultados obtenidos previamente, de (2.7) y (2.8) se obtiene el resultado siguiente
gaussBc 333.0 ;
en donde el subíndice c se refiere a la Corteza. Este es el valor de la induc-ción magnética, o lo que es lo mismo, del campo magnético autogenerado para una cierta profundidad en la envoltura de la Tierra, y en el Ecuador. Por otra parte, la intensidad de ese campo medida en la superficie del pla-neta y también en el Ecuador, tiene la siguiente magnitud
gaussBs 307.0
Como es fácil ver, el cálculo teórico y la medición directa tienen el mis-mo orden de magnitud. Sin embargo, el primero está calculado a una dis-tancia ligeramente menor de la región en donde se origina el campo magné-tico, por lo que se puede asegurar que si se toman distancias iguales am-bos valores deben ser iguales.
Los cambios de polaridad del campo Geomagnético 39
4. Los cambios de polaridad del campo Geomagnético De formaciones geológicas como son las producidas por los flujos de lava solidificados, o también de capas de sedimentos, se han determinado perió-dicas alteraciones de polaridad magnética probablemente debida a un pro-ceso de reordenamiento iónico en el Núcleo Exterior. Ese mecanismo pare-ce ser el responsable de la inversión de la polaridad del campo Geomagné-tico la última de las cuales ocurrió hace 700,000 años. Con el objeto de dar una explicación a tal mecanismo, considérese el campo magnético promedio producido por un sistema de partículas carga-das cada una de ellas con una carga q, en movimiento estacionario y a gran distancia del punto en donde se calcula el campo. Se puede demostrar que el momento magnético de ese sistema está dado por la siguiente expresión
vrm qc2
1; (4.1)
en donde r es el radio vector del punto en donde se calcula el campo y v dr/dt es la velocidad promedio de cada carga. Por otra parte, de acuer-do con (3.4)
32rm
B ; (4.2)
en donde r es la distancia desde el Núcleo Exterior a la superficie de la Tie-rra y se ha considerado que n 1. Combinando las ecuaciones anteriores se tiene que
vrB qcr 3
1. (4.3)
La polaridad del campo magnético autogenerado está cercanamente re-lacionado con el signo del sistema de cargas. Así, en un ciclo geológico existirán oleadas de partículas ionizadas principalmente formadas por car-gas negativas y en el siguiente, con predominio de cargas positivas. En-tonces, la polaridad del campo Geomagnético tiene que ser la que se espe-ra de acuerdo con la clase de partículas cargadas en cada ciclo. Con esto se da una explicación del proceso de cambios de polaridad de la inducción
40 El campo geomagnético
magnética, o lo que es lo mismo, del campo magnético autogenerado por la Tierra. 5. La variación secular y el arrastre hacia el oeste El campo Geomagnético puede ser representado por un dipolo magnético situado en el Núcleo Exterior, que como ya se menciono antes, es la zona convectiva del planeta, y que tiene un momento bipolar con su eje inclina-do alrededor de 11 grados con respecto al eje geográfico de la Tierra. Desde hace cerca de 400 años se sabe que experimenta una variación se-cular, esto es, a lo largo del tiempo, debida a un cambio estacionario y pro-gresivo en su declinación magnética, es decir, del ángulo formado por el norte magnético y el norte geográfico. Ese movimiento es debido a un arras-tre estacionario hacia el oeste del campo Geomagnético que se sabe que está íntimamente relacionado con la posición excéntrica del dipolo. Considérese al Núcleo Exterior como un objeto celeste cargado eléctri-camente girando con velocidad de rotación diferencial en presencia del campo magnético autogenerado. Además, contiene un sistema de partícu-las cada una de ellas con carga q y masa m, en movimiento estacionario debido a un proceso convectivo, con velocidad v << c. El sistema de partí-culas constituye la distribución de corriente estacionaria y localizada que es el responsable de la generación del campo Geomagnético. Con el objetivo de obtener una solución al problema, solo se conside-rará el sistema de partículas y su interacción con el campo magnético au-togenerado. En ese caso, la razón del cambio en el tiempo del momento angular total del sistema es igual a la torca total aplicada; es decir,
Tdtd
. (5.1)
Se puede suponer que todas las partículas tienen la misma razón q/m, de tal manera que
Qmq
; (5.2)
en donde Q es la carga total y la masa total. Así, el momento angular total del sistema de partículas es
La variación secular y el arrastre hacia el oeste 41
pr , (5.3) con p v el momento lineal de ese sistema. Debido a que el campo magnético es uniforme no existe fuerza neta al-guna sobre el sistema; pero sí existe una torca neta que aproximadamente, está dada por la relación siguiente
BmT ; (5.4) en donde m es el momento magnético del sistema. Por tanto,
Bm dtd
. (5.5)
En Física Teórica, existe una relación única entre el momento angular del sistema de partículas y su momento magnético dada por la siguiente expresión
c
Q2
m , (5.6)
de tal suerte que la ecuación de movimiento es
dtd
. (5.7)
Esta es la ecuación de movimiento para un vector constante que gira al-rededor de la dirección de B con velocidad angular
Bc
Q2
. (5.8)
El movimiento es similar al que en Física Nuclear se le conoce con el nombre de la precesión de Larmor, y a la velocidad angular se le llama la frecuencia de Larmor. La precesión de un sistema de cargas en torno a un campo magnético es real y ocurre siempre y cuando el centro de masa del
42 El campo geomagnético
sistema esté en reposo. Por otra parte, para un sistema de partículas carga-das, el momento angular total y con él, el momento magnético, gira con la velocidad angular (5.8) en torno a la dirección del campo mientras su
magnitud absoluta y el ángulo que hace con esa dirección permanecen fi-jos. En otras palabras, ambos vectores experimentarán una precesión de Larmor con el único requisito que todas las partículas tengan la misma re-lación q/m. Por otra parte, el Núcleo Exterior gira en torno al eje geográfico con una velocidad de rotación diferencial. La interacción de ambos movimientos in-dependientes tiene como consecuencia la llamada variación secular del cam-po Geomagnético debida a un arrastre hacia el oeste. Conclusiones Se propuso una hipótesis fundamental que consiste en asumir que el origen del campo Geomagnético autogenerado se localiza en el Núcleo Exterior considerado como la zona convectiva de la Tierra. Ese campo magnético es generado por un mecanismo especial como el que produce el campo magnético autogenerado por las estrellas gaseosas. Efectivamente, debido a las condiciones de densidad y temperatura existe en alguna región de la zona convectiva un proceso de máxima ionización. Así, las partículas cargadas eléctricamente son movidas por las corrien-tes convectivas a través de esa región, hacen su contribución a la distribu-ción de corriente estacionaria y localizada y siguen su ruta, siendo conti-nuamente reemplazadas por otras partículas. Como la distribución de co-rriente es generada en última instancia por la elevada ionización de la re-gión y ese proceso está ligado a las condiciones de densidad y temperatura que ahí existen, la magnitud del campo Geomagnético depende de esas cantidades. Por otra parte, los cambios de polaridad del campo Geomagnético son debidos aparentemente a un proceso de reordenamiento iónico que ocurre periódicamente en el Núcleo Exterior, de tal manera que en un ciclo geoló-gico la inducción magnética tiene la polaridad (N-S) y en el siguiente, la polaridad (S-N). Finalmente, el campo Geomagnético sufre una variación secular debi-da a un arrastre hacia el oeste que se relaciona con una combinación de la precesión de Larmor del momento angular total y también del momento magnético del sistema de partículas en torno al campo autogenerado, y el
Referencias 43
movimiento de rotación diferencial del Núcleo Exterior en torno al eje te-rrestre; fenómeno que es observado en grandes áreas de la Tierra. Referencias 1. Bullen, E.K. (1979). El interior de la Tierra. El redescubrimiento de la
Tierra. Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología, México. 2. Stacey, F.D. (1977). Physics of the Earth. Second Edition. John Wiley
& Sons. New York. Santa Barbara. London Sydney. Toronto. 3. Fierros, P.A. (1999). El Principio Tipo Hamilton en la Dinámica de
los Fluidos. Segunda Edición. Mc Graw-Hill. México. “The Hamilton-Type Principle in Fluid Dynamics. Fundamentals and Applications to Magnetohydrodynamics, Thermodynamics, and Astro-physics”. Springer-Verlag. Wien. (2006).
4. Landau, L.D. & Lifshitz, E.M. (1960). Electrodynamics of Continu-ous Media. Addison-Wesley Publishing Co. London England.
5. Landau, L.D. & Lifshitz, E.M. (1958). Statistical Physics. Pergamon Press LTD: London-Paris and Adisson-Wesley Publishing Co.
6. Callen H.B. (1960). Thermodynamics. Jonh Wiley & Sons, Inc. New York. London Sydney.
7. Landau, L.D. & Lifshitz, E.M. (1959). Fluid Mechanics. Addison-Wesley Publishing Co. London England.
8. Jackson, J.D. (1962). Classical Electrodynamics. Jonh Wiley & Sons, Inc. New York. London.
9. Fierros, P.A. (2002). The magnetic field in the stability of the stars. Submited.
10. Spigel, M.R. (1959). Vector Analysis and Introduction to Tensor Analysis. Shaum Publishimg Co. New York.
11. Parker, E.N. (1955). Hidromagnetic dynamo models. Astrophysics. J. 122, 293-314. E. N. Parker ha publicado un gran número de artículos sobre el tópico. Aquí solo se consigna uno de los más relevantes, a manera de ejemplo. Los modelos de la dynamo autoinducida han sido desarrollados por muchos investigadores como son Elsasser, W. M.; Bullard, E. C.; Cuwling, T. G.; Moffatt, H. K.; Piddington, S: H.; entre otros.
12. Cowling, T.G. (1981). The present status of dynamo theory. Ann. Rev. Astron. Astrophysics 19, 115-135.
13. Larmor, J., (1919) Brit Assoc. Reports, 159. 14. Cowling, T.G.(1934) Monthly Notices. Roy. Astron. Soc. 94,39.
44 El campo geomagnético
15. Goldstein, H; (1959). Classical Mechanics. Addison-Wesley Publish-ing, Inc. U.S.A., London, England.
16. Landau, L.D., E Lifshitz, E.M. (1962). The Classical Theory of Fields. Pergamon Press; Addison-Wesley Publishing, Inc. London, Paris, U.S.A.
45
La clasificación de las estrellas Cuando se hace un examen cuidadoso de las estrellas las primeras diferen-cias que se observan se relacionan con su posición en el espacio y con su brillo. En algunos casos hay diferencias de color, como por ejemplo, Anta-res y Betelgeuse son rojas, Capella amarilla, Sirio blanca y Vega blanca azu-lada. Pero existe otra diferencia importante que es la distancia; algunas es-tán próximas mientras que otras se encuentran muy alejadas. Sin embargo, es posible calcular el brillo real o luminosidad de las estrellas que están a
distancias conocidas. Los resultados de esos cálculos arrojan diferencias notables de lumino-sidad. En la segunda mitad del siglo XIX se empezó a usar la espectroscopia como la metodología adecuada para averiguar si las distintas estrellas producían o no diferentes tipos de espectros. En 1867 el astrónomo italiano Pietro Angelo Seechi (1818-1878) tra-bajando con el material de que disponía, sugirió la posibilidad de clasifi-car los espectros estelares en cuatro clases distintas. En años posteriores se confirmó la existencia de esas clases espectrales y se introdujeron divisiones más sutiles a la luz de las diferencias importan-tes que se daban en los espectros. Aparentemente existían elementos atómicos desconocidos que produ-cían líneas extrañas en los espectros; conclusión que pronto se demostró que era errónea. Sin embargo, el método resultó ser acertado en el caso del Helio. Ese elemento fue descubierto por el astrónomo inglés Joseph Norman Lockyer (1836-1892) quien sugirió que ciertas líneas no identifi-cadas del espectro solar eran producidas por un elemento hasta ese mo-mento desconocido al que le dió el nombre que tiene en honor del dios griego Helios que significa Sol. Las diferencias observadas pronto se atribuyeron a los cambios que ge-neraba la temperatura en la estructura atómica de los diversos elementos que componen el material estelar. Así, se llegó a la conclusión de que a
46 La clasificación de las estrellas
medida que la temperatura se incrementaba se producían cambios estruc-turales debidos a la pérdida de uno o más electrones orbitales. Un átomo que contenga menos electrones en su estructura normal es conocido como un ion y al proceso que origina la pérdida de electrones orbitales se le de-nomina ionización. Por tanto, las diferencias que se observaron en los espectros no son debi-das a la existencia de elementos atómicos desconocidos en el material es-telar, sino más bien, a distintos estados de ionización de elementos ya co-nocidos. Este hecho indica que las diferencias de temperatura son las que realmente producen las diferentes clases espectrales. En consecuencia, se puede determinar la temperatura de la fotosfera es-telar a partir de la estructura de las líneas espectrales de tal suerte que se puede afirmar que las diferencias entre las clases espectrales son debidas a las diferencias de temperatura que existen entre las superficies radiantes de las distintas estrellas, y solo en menor medida a la diversidad de elemen-tos atómicos que pudieran existir en ellas. En realidad, la constitución de la inmensa mayoría de las estrellas exhibe una uniformidad muy notoria. El Sol y la mayor parte de esos astros están compuestos principalmente por hidrógeno y helio. Las clases espectrales fueron clasificadas usando literales por orden de-creciente de temperatura; esto es, O, B, A, F, G, K y M. Existen cuatro cla-ses adicionales que representan grupos bastante especiales denominados con las letras R, N, S y W. Las tres primeras incluyen estrellas frías y la últi-ma estrellas calientes. Más tarde se ordenaron los espectros pertenecientes a una misma clase usando los números del 0 al 9. 1. La magnitud absoluta
Se define la magnitud absoluta de una estrella cualquiera como la que ten-dría a la distancia patrón de 10 parsecs. Es así que se obtiene una medida real de la rata de luz visible emitida por ella. Por supuesto, esa medida es independiente de la distancia a la que se encuentra. Por otra parte, la magnitud aparente es una medida de cuán brillante parece ser y en consecuencia, esa medida depende tanto de la rata real de la luz emitida como de la distancia a la que está situada. La diferencia entre ambas magnitudes depende únicamente de la distan-cia a la que se encuentra. Así, para medir distancias estelares se usa la si-guiente expresión
Clases espectrales 47
10024.5 rlogMM bolvis ; (1.1)
en donde Mvis es la magnitud visual, Mbol la magnitud absoluta o bolomé-trica y r la distancia que se desea calcular. A la fórmula (1.1) se le llama el módulo de distancia. La magnitud absoluta de cualquier estrella depende de su tamaño y de su temperatura superficial o efectiva; es decir, de su luminosidad. En este caso, la cuestión importante se centra en la manera en que la masa y el ra-dio estelar determinan el valor de la temperatura efectiva, o equivalente-mente, el flujo emergente de radiación. Este es un problema esencialmen-te del interior estelar y no de las condiciones en la superficie. Una estrella no radía una cierta cantidad de energía por unidad de área y por unidad de tiempo porque su superficie está a una temperatura efectiva dada, sino más bien, su superficie se encuentra a esa temperatura porque ese flujo de ener-gía está pasando a través de ella. La intensidad del flujo de energía proveniente del interior de la estrella y que pasa por su superficie depende de dos factores. Uno que ayuda al flu-jo y otro que opone resistencia al paso. Es bien sabido que el flujo de calor va de regiones de alta temperatura a aquellas que tienen temperatura baja. Así, el flujo radiante dentro de una estrella se debe atribuir a la existencia de un gradiente térmico originado por el incremento gradual de temperatu-ra de la superficie hacia el interior estelar. El factor que trata de impedir la transmisión del flujo calorífico es la obs-trucción que opone la materia estelar. En general, el calor generado por el horno termonuclear que se encuentra en la parte central de la estrella, se transmite hacia el exterior casi enteramente por radiación, de modo que la oposición que enfrenta ese flujo de calor a lo largo de su jornada hacia el espacio exterior, es conocida en la literatura especializada con los nom-bres de la opacidad, el coeficiente de opacidad, o también el coeficiente de absorción de la substancia estelar. 2. Clases espectrales
Las diferencias de presión en la superficie de estrellas de diferentes tama-ños tienen como consecuencia ligeras pero medibles diferencias en los grados de ionización para una temperatura efectiva dada. En 1913, Adams y Kohlschüter observaron esas pequeñas diferencias en los grados a los que
48 La clasificación de las estrellas
los diferentes elementos son ionizados en estrellas de la misma clase espec-tral pero de diferentes luminosidades y por tanto, de distintos tamaños. Con el descubrimiento de esos astrónomos es ahora posible clasificar a las estrellas por su espectro, no solo de acuerdo con su temperatura efecti-va que da la clase espectral, sino también por su luminosidad o tamaño. El sistema para clasificar estrellas tomando en consideración su lumino-sidad o tamaño más ampliamente usado fue propuesto por W.W. Morgan y sus asociados. Ese esquema divide a las estrellas de una misma clase espec-tral en las siguientes seis categorías denominadas clases de luminosidad. Ia. Supergigantes muy brillantes Ib. Supergigantes menos luminosas II. Gigantes brillantes III. Gigantes IV. Subgigantes V. Estrellas de la Serie Principal
Fig. 1 Clases de Luminosidad
Las subgigantes son estrellas de tamaño intermedio entre las gigantes y las de la Serie Principal. En el siguiente párrafo se mencionará el origen de este último término.
Ib
Ia
II
III
IV
V
0 B A F G K M
Clases Espectrales
-10
-5
0
+5
+10
+15
Mag
nit
ud
es
Ab
solu
tas
Foto
gráf
icas
El diagrama de hertzsprung-Russell 49
Existe un pequeño número de estrellas llamadas Subenanas que se loca-lizan por debajo de la Serie Principal. Las enanas blancas son estrellas mu-cho más pálidas. Las estrellas de la Serie Principal que tienen luminosida-des de clase V son llamadas a veces enanas para distinguirlas de las gigan-tes. El término enanas es aún aplicado a esas estrellas que tienen alta lumi-nosidad y que pueden tener diámetros varias veces más grandes que el del Sol. Cuando ese término es aplicado a esas estrellas no se debe confundir su significado con el que se utiliza para designar a las enanas blancas. La especificación completa de una estrella debe contener a su clase de luminosidad. Por ejemplo, una estrella de la clase espectral F3 de la Serie Principal se debe denotar como F3V. Para otra estrella gigante de la clase espectral M2 la clasificación completa debe ser M2II. Una vez conocida la magnitud absoluta de una estrella se puede calcu-lar la distancia a la que se encuentra utilizando su magnitud visual y la re-lación (1.1). Las distancias así medidas se dice que se obtienen usando el método de paralajes espectroscópicos. 3. El diagrama de Hertzsprung-Russell
Una vez que se dispone de dos tipos de información como son la lumino-sidad y la temperatura superficial acerca de una serie de estrellas, el si-guiente paso lógico consiste en relacionarlos. Durante los años en que Ejnar Hertzsprung descubrió las gigantes ro-jas, Henry Norris Russell confeccionó en 1913 un gráfico, independien-temente de E. Hertzprung que algunos años antes había construido uno similar, en donde en el eje horizontal colocó las clases espectrales en or-den descendente de temperaturas, comenzando con la clase O a la izquier-da y terminando con la M a la derecha. En el eje vertical estaba represen-tada la luminosidad o magnitud absoluta. Como cada estrella posee cierta magnitud absoluta y pertenece a una de-terminada clase espectral se podía representar en el gráfico mediante un pun-to. Claramente el lugar concreto del gráfico en modo alguno representa la posición de la estrella en el espacio físico. A ese gráfico se le denomina en la literatura especializada el diagrama de Hertzsprung-Russell, o simple-mente el diagrama H.R.En general, cuanto más caliente es una estrella, ma-yor es su brillo, de forma que al localizar los puntos en el diagrama las es-trellas pertenecientes a las clases espectrales de la izquierda, que son las de mayor temperatura, son asimismo las de mayor magnitud absoluta. Como resultado de ese hecho, la mayor parte de las estrellas represen-tadas en el diagrama se sitúan en la diagonal que va desde el ángulo supe-
50 La clasificación de las estrellas
rior izquierdo al inferior derecho. Esas estrellas configuran lo que se co-noce en la literatura especializada con el nombre de la Serie Principal. Actualmente se afirma que el 99 por ciento de las estrellas que se pueden observar pertenecen a esa serie. Las excepciones más notables a esta regla son naturalmente, las gigan-tes rojas que pertenecen a la clase espectral M y están situadas a la dere-cha del diagrama. Como también poseen una gran luminosidad debido a su enorme tamaño, se aglomeran en la parte derecha superior del diagra-ma H-R sin contacto alguno con la Serie Principal. Cuando se construyó por primera vez el diagrama H-R, los conocimien-tos que se tenían sobre las reacciones nucleares en el interior de las estrellas eran más bien muy vagos y los esquemas mentales que los astrónomos te-nían acerca de las estrellas eran más bien rudimentarios. La idea que pre-valecía era que esos objetos celestes experimentaban una contracción sis-temática y constante a lo largo de su vida. Desde ese punto de vista, el diagrama H-R parecía ofrecer una imagen clara y espectacular de la evolución estelar, consistente en la creencia que las estrellas nacen, pasan a través de diversos estados y finalmente mueren dejando de radiar.
Figura 2. Diagrama de Hertzsprung-Russell para estrellas que
están a distancias conocidas
La relación masa-luminosidad 51
4. La relación masa-luminosidad La interesante concepción de la evolución estelar como un deslizamiento a lo largo de la Serie Principal fue muy efímera, ya que al cabo de un de-cenio ya había perecido. Según esa teoría, el Sol debería estar sumamente evolucionado y habría dejado muy atrás sus épocas cálidas y gloriosas. Cuando se comprendió que el hidrógeno era el combustible estelar y que ese elemento se encontraba presente en el Sol en cantidades abruma-doras, se vió con claridad que debía tener una vida muy larga por delante ya que era una estrella relativamente joven. En consecuencia, ningún pro-ceso evolucionario que convierta al Sol en una estrella vieja puede ser co-rrecto. Como ya se dijo antes, en 1924 Eddington demostró que la temperatura del interior estelar se ajustaba de tal forma que balanceaba el efecto de compresión de la fuerza de gravedad generada por su enorme peso. A partir de la relación masa-luminosidad se puede demostrar que a me-dida que crece la masa estelar el ritmo de consumo de combustible nuclear aumenta más rápido que la provisión de hidrógeno. En consecuencia, cuan-to más grande y caliente es una estrella menos durará su combustible y más breve será su estancia en la Serie Principal.
Figura 3. Relación masa-luminosidad
Mag
nit
ud
ab
solu
ta b
olo
mét
rica
Masa (en masas solares)
Lum
ino
sid
ad (
un
idad
es s
ola
res)
52 La clasificación de las estrellas
La relación masa-luminosidad en su versión modificada se puede ex-presar como sigue
14
ckGcML ; (4.1)
en donde G es la constante gravitacional, c la velocidad de la luz en el es-pacio vacío, M la masa estelar, un parámetro que normalmente se toma como igual a 2.5, kc es la opacidad en el centro estelar y es un parámetro introducido por Eddington en la teoría. Ese investigador obtuvo esa relación suponiendo que las estrellas pose-ían las propiedades de los gases a lo largo y ancho de toda su estructura de tal forma que el material estelar se comportaba como un gas ideal desde el punto de vista de la termodinámica clásica. Esa premisa fundamental de su teoría resultó ser cierta, como se com-probó años más tarde. De ahí, Eddington concluyó que todas las estrellas, incluidas las enanas, eran gaseosas en su totalidad; conclusión que se acepta actualmente con carácter general. 5. La temperatura efectiva En astrofísica la temperatura efectiva se considera como una medida con-vencional que solo especifica la rata de flujo de calor radiante por unidad de área y por tanto, no debe ser considerada como la temperatura de cual-quier nivel particularmente significativo en las estrellas. Sin embargo, junto con la magnitud absoluta, la temperatura efectiva es un parámetro muy importante para el cálculo de las características rele-vantes de cualquier estrella, como son el radio y la masa estelar, el campo magnético tanto en la superficie de la estrella como en su interior, etc. La explicación teórica del porqué esos dos parámetros son suficientes para la caracterización de cualquier estrella está vinculada con los proce-sos termonucleares del interior estelar; como se verá a continuación. De la siguiente relación
2/71
Tkk , (5.1) que es la expresión comúnmente aceptada en astrofísica para la ley de la ab-sorción de la radiación y de la siguiente fórmula que se utiliza para calcu-lar la temperatura en el centro de cualquier estrella
La temperatura efectiva 53
aT
133 R
, (5.2)
se puede obtener la siguiente relación
2/11
1ccTkconstantek
. (5.3)
En esas fórmulas, k1 es una constante, k la opacidad, R la constante uni-versal de los gases, a la constante de Stefan, el peso molecular y kc, Tc son respectivamente, el coeficiente de opacidad y la temperatura calculados en el centro de la estrella. Además,
a
3onstantec R . (5.4)
La razón (1- )/ es igual a la relación que existe entre las presiones de la radiación y de los gases calientes pr/pg. El valor numérico de esa razón para una estrella particular se usa en astrofísica para tener una idea del grado de su estabilidad. Por otra parte, el producto kcTc
1/2 es una combina-ción entre el factor que ayuda al flujo térmico en su ruta hacia la atmósfe-ra estelar y el factor que se opone a ese flujo. De esa manera tal combina-ción no solo determina la magnitud del flujo de calor radiante emitido a través de la superficie hacia el espacio exterior, sino que también estable-ce el estado termodinámico requerido para que la fotosfera ajuste su tem-peratura efectiva al nivel que corresponde a ese flujo de energía. En consecuencia, se puede afirmar que para cualquier estrella gaseosa y para un valor dado del peso molecular promedio, existe una relación muy cercana entre el estado termodinámico al que se mantiene su fotosfera y los procesos dinámicos y energéticos que se generan en su interior. Como la relación (5.3) es válida para cualquier estrella gaseosa se pue-de hacer la siguiente comparación
11
2/1
1
1
c
c
c
c
TT
kk
kk
; (5.5) * * * *
*
54 La clasificación de las estrellas
en donde las cantidades sin asterisco se refieren a los parámetros caracterís-ticos de la componente más brillante del sistema binario Capella considera-da como la unidad de medida, mientras que las que no tienen asterisco son los parámetros de otra estrella cualquiera cuyos valores numéricos sean co-nocidas. Ahora bien, de acuerdo con el significado que tiene la temperatura efec-tiva, se propone como hipótesis de trabajo que para estrellas gaseosas las constantes k1 y k1 guardan la misma proporción entre ellas que la que tie-nen sus respectivas temperaturas efectivas. En ese caso, se considera que las razones k1/k1 y Te/Te son numérica-mente iguales y por tanto, siempre se cumple que
e
e
TT
kk
1
1 . (5.6)
Comparando V Puppis con Capella cuyas temperaturas efectivas son conocidas, se tiene que
2704.0*1
1 kk
; y 2737.0e
e
TT
.
Para el caso del Sol, se obtienen los resultados siguientes
9028.01
1 kk
; y 9058.0e
e
TT
.
Finalmente y dado que Capella y -Cefeida tienen la misma temperatu-ra efectiva, el siguiente resultado es válido
1**1
1 e
e
TT
kk
.
Es importante aclarar que la razón k1/k1* se calcula utilizando en (5.5) los datos conocidos de Capella y los de la estrella que se compara con ella; mientras que la razón Te/Te se obtiene de los datos observacionales que se tienen de esos astros. De los resultados obtenidos, es claro que la hipótesis
*
* *
* *
*
*
Referencias 55
de trabajo propuesta es valida y sumamente útil para la teoría desarrollada para sustentar físicamente el diagrama H-R. Conclusiones La tarea de clasificar estrellas se realizó a lo largo de mucho tiempo y re-quirió de los esfuerzos de muchos astrónomos y científicos así como tam-bién de la creación de ingeniosos equipos con los que fue posible efectuar observaciones astronómicas cada vez más exactas. La contribución de mu-chos investigadores desembocó en una metodología que se fue enriquecien-do con nuevos descubrimientos y teorías propuestas para explicar los hechos novedosos, así como también las características más relevantes de los dife-rentes tipos de estrellas. Desde luego, los estudios continúan para caracte-rizar otros muchos objetos celestes que la astronomía ha descubierto pau-latinamente con el auxilio de nuevas tecnologías y con las modernas teo-rías que se han propuesto. A lo largo de ese proceso han sido de gran importancia el descubrimien-to que la fuente de generación de la energía de las estrellas se debía a la transformación del hidrógeno en helio a través de la combustión termonu-clear generada en el interior estelar. Así, se propusieron los esquemas de las clases espectrales y de luminosidad, este último derivado del proceso de ionización. Todos esos esfuerzos y algunos más originaron teorías ge-nerales acerca de la estructura y estabilidad de las estrellas como la de A. S. Eddington; quien propuso la celebrada relación masa-luminosidad; re-lación que fue modificada por el autor de éste libro mediante la introduc-ción en la teoría del campo magnético autogenerado por las estrellas. Otra propuesta de gran importancia fue el Diagrama de Hertzsprang-Russell y el descubrimiento de la llamada Serie Principal. En años recien-tes el autor propuso una explicación teórica al Diagrama H-R. Referencias
1. Angel Fierros Palacios The Hamilton-Type principle in fluid dyna-mics. Fundamentals and application to magnetohydrodynamics, ther-modynamics, and Astrophysics. Springer Wien New York, (2006).
2. A.S. Eddington. The internal Constitution of Star. Cambridge Univer-sity Press (1988).
3. G. Abell. Exploration of the Universe. Holt, Rinehart and Winston (1964).
56 La clasificación de las estrellas
4. A. Fierros the effective temperature and the absolute magnitude of the Stars. Selectec topics of Theoretical Physics, astrophysics, and Cos-mology. To be publishing in Springer Wien New York (2011).
57
Las estrellas variables La gran mayoría de las estrellas que se pueden observar en la Vía Láctea, que es el lugar del Cosmos en donde se localiza el Sistema Solar, son ob-jetos celestes muy estables. Sin embargo, también existe una minoría de estrellas que se desvían del buen comportamiento exhibiendo cambios pe-riódicos que se pueden observar y consignar en catálogos específicos; co-mo por ejemplo, en el Catálogo General de Estrellas Variables en donde se asienta la existencia de tres tipos de esos objetos celestes, a saber, 1. Variables pulsantes 2. Variables eruptivas 3. Variables eclipsantes. El primer grupo está integrado por aquellas estrellas que periódicamen-te se expanden y luego se contraen alrededor de una posición de equilibrio con una regularidad muy precisa. Además, están sujetas a cambios de tama-ño que coinciden con los incrementos y disminuciones de sus brillos apa-rentes. Las variables eruptivas son estrellas que sufren cambios repentinos en sus emisiones de luz generalmente impredecibles, que se observan en la forma unas veces de incrementos y en otras de disminuciones de brillan-tez. El tercer grupo está formado por sistemas binarios de estrellas que pe-riódicamente se eclipsan una a la otra cuando por casualidad los planos de sus órbitas se sitúan cercanamente de canto con respecto al observador. Por supuesto, no son auténticas estrellas variables ya que la pérdida y ga-nancia de brillo ocurre cuando el plano de sus órbitas coincide con la línea visual. Evidentemente, la variabilidad de la luz debida a los eclipses no guar-da relación alguna con la estructura o las propiedades intrínsecas de la es-trella. Los sistemas binarios de estrellas son muy comunes en el Universo; aunque también existen muchos sistemas de más de dos estrellas que se mueven unas en torno a las otras. En realidad, esos sistemas múltiples de estrellas describen órbitas complejas debido a que giran en torno a un pun-to común que técnicamente se llama el centro de masa del sistema.
58 Las estrellas variables
1. Variables pulsantes
La historia de las estrellas variables es sorprendentemente breve sí se toma en cuenta el hecho que existen estrellas suficientemente brillantes que se pueden observar a simple vista y cuya luz varía de manera ostensible. Entre las que se pueden ver a simple vista, la más notable es Beta Per-seo que ocupa el segundo lugar en la escala de brillo de la Constelación de Perseo. Esa estrella se apaga y se ilumina de manera perceptible cada dos días y veintiuna horas. Este es un ejemplo de una binaria eclipsante. Los griegos imaginaron a Perseo situada en la cabeza de Medusa que era un ser demoniaco con su cabello formado por serpientes vivas y con un rostro tan horrible que quien la veía quedaba convertido en piedra. La mitología griega dice que Perseo la sostenía como escudo. Perseo es conocida como la Estrella del Diablo. Los árabes la llamaron Algol que significa el vampiro para in-dicar algo espeluznante. Muy diferente es el caso de una estrella de la Constelación de la Balle-na denominada Omicron Ceti. En sus momentos de máximo brillo es ob-servable a simple vista; pero en sus momentos más tenues es demasiado obscura para que se le pueda observar. Este fenómeno le valió el nombre de Mira que significa maravillosa. Es una variable intrínseca que disminuye y aumenta periódicamente su tamaño y también su brillo con una regularidad o período de 11 meses. El período de variación es el tiempo que transcurre entre dos momentos de máximo brillo. Como el período de Mira es largo para una estrella varia-ble, esa estrella se incluye entre las de período largo. Este es el grupo más grande de variables pulsantes. Esta conformado por estrellas gigantes ro-jas del tipo Mira. Un ejemplo es Betelgeuse que es una estrella gigante ro-ja de la Constelación de Orión. Betelgeuse varia su tamaño expandiéndo-se y contrayéndose de manera algo irregular sobre períodos de más o me-nos un año. Se puede observar a simple vista y se encuentra a 500 años luz del Sis-tema Solar. Existen otras variables intrínsecas que son relativamente raras pero que históricamente son muy importantes. Son las variables cefeidas, denomina-das así por el prototipo que se estudió primero. Esta es la llamada delta de la Constelación de Cefeo o Cefeida. Es la cuarta estrella en la escala de brillo de esa constelación.
Naturaleza de la variación de las estrellas 59
Son estrellas supergigantes amarillas que laten como corazones aumen-tando y disminuyendo periódicamente su brillo y su tamaño con una regu-laridad y exactitud muy notables. Un ejemplo de ese tipo de estrellas es la bien conocida Estrella Polar del Norte, también llamada Polaris o Estre-lla del Norte. Ese astro incrementa y luego atenúa su brillo cada 4 días aproximadamente. Está situado a 45 años luz de distancia del Sistema So-lar y se puede observar a simple vista. 2. Naturaleza de la variación de las estrellas La naturaleza física de la variación del brillo de esas estrellas viene asocia-da a sus espectros ya que cuando se encuentran en el momento de máximo brillo sus clases espectrales coinciden con temperaturas elevadas de sus su-perficies radiantes. Las variaciones de luminosidad, entendida ésta como la emisión total de energía liberada por la estrella por unidad de masa y por unidad de tiempo, son debidas en parte a cambios en la temperatura de sus fotosferas y en parte a variaciones de tamaño. Las cuidadosas mediciones espectroscópicas evidenciaron el hecho que las variaciones de temperatura van acompañadas de pulsaciones reales del tamaño de esas estrellas. Los resultados observacionales demostraron que las líneas espectrales de una cefeida cualquiera experimentan corrimientos, o lo que es lo mis-mo, desplazamientos Doppler que cambian con exactamente el mismo pe-riodo con el que ocurren las variaciones de la luz que proviene de esas es-trellas haciendo evidente el hecho que los cambios en la luminosidad están asociados a las elevaciones y caídas periódicas de la superficie radiante. A la gráfica que se construye con los cambios en los corrimientos Doppler de las líneas espectrales se le conoce técnicamente como la curva de la velo-cidad radial. Cuando esa gráfica se compara con otra que se traza con los cambios de brillo, conocida en el lenguaje técnico como la curva de luz, la concordancia entre ellas es completa. En otras palabras, se puede afirmar que las variables cefeidas experimentan cambios observables de brillo y de tamaño de tal suerte que aumentan y disminuyen periódicamente su tamaño al mismo tiempo que emiten más o menos luz, de tal forma que esos fenómenos se correlacionan y ocurren con una regularidad muy mar-cada. Así, cuando la superficie radiante se expande, se aproxima al obser-vador con respecto al resto de la estrella, y entonces cada línea espectral se desplaza de su posición promedio hacia la región de las longitudes de onda cortas; y cuando la fotosfera se contrae, esas líneas se desplazan tam-
60 Las estrellas variables
bién de su posición media, hacia la zona de las longitudes de onda largas. El movimiento se repite una y otra vez expandiendo y colapsando la fo-tosfera estelar alrededor de una posición de equilibrio como si la variable cefeida fuera una clase de resorte. El periodo o tiempo requerido para completar un ciclo es mayor para una estrella gigante, generalmente roja de baja densidad de masa, que para una estrella algo más pequeña y compacta de mayor densidad de masa, justamente como ocurre con las cuerdas de un piano, en donde una cuerda larga y gruesa vibra más lentamente que otra más corta y delgada. Es por esa razón que para todas las estrellas pulsantes el período es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su densidad media. 3. La relación período-densidad de masa La gran importancia de las variables cefeidas reside en el hecho de que se pensaba que existía una relación entre sus períodos de pulsación que son congruentes con las variaciones de brillo, y sus luminosidades medias; es-to es, con sus magnitudes absolutas promedio. Esa relación fue descubier-ta en 1912 por Henrietta Swan Leavitt, que era una astrónoma del Obser-vatorio de la Universidad de Harvard instalado en Arequipa, Perú, cuan-do localizó y estudió sistemáticamente un gran número de variables cefei-das de la Nube Pequeña de Magallanes. Como todas esas estrellas se encontraban en el mismo sistema estelar, consideró correctamente que prácticamente estaban a la misma distancia del observador, distancia que coincidía con la de la Nube Pequeña de Ma-gallanes; de modo que podía suponer que su brillo relativo era esencialmen-te igual a su luminosidad real sin que tuviera que especular con el factor distancia. En otras palabras, las distancias que separaban a esas estrellas dentro de ese sistema estelar eran despreciables en comparación con la distancia total. Así, Miss Levitt concluyó que las luminosidades o magni-tudes absolutas de las variables cefeidas estaban correlacionadas con sus períodos. Sin embargo, las observaciones astronómicas del fenómeno fue-ron interpretadas erróneamente tanto por Miss Levitt como por Harold Shapley, al suponer una relación directa entre el período y la luminosidad. Los resultados que se obtuvieron con esa hipótesis muy pronto se conside-raron disparatados a tal grado que su validez para medir distancias inter-galácticas se puso en tela de juicio. A principios de la década 1950-59 Walter Baade centró su atención en ese problema y para resolverlo propu-so la existencia de dos tipos de cefeidas; las de la Población I y las de
El campo magnético general de las estrellas 61
la Población II, y afirmó en 1952 que la relación período-luminosidad tal y como había sido establecida por H. Levitt y H. Shapley solo era aplica-ble a la variedad de la Población II. Sin embargo, sus conclusiones tampo-co son válidas como se vera enseguida. En realidad, la relación correcta es la que se da entre el período y la den-sidad de masa promedio, debido a que como se dijo antes, el período es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la densidad media. Es de-cir,
constantem . (3.1) Así, entre menor es la densidad media mayor es el período, como ocu-rre en las estrellas pulsantes del tipo Mira. En las variables cefeidas que son más compactas y masivas que las gigantes rojas la densidad media es mayor y por tanto, son estrellas pulsantes de período corto. En consecuencia, entre más masiva y compacta es una cefeida, mayor es su luminosidad y por consiguiente, menor es su período. La correlación entre la cantidad de materia que tiene una estrella y la energía radiante que libera fue descubierta en 1924 por Arthur S. Edding-ton, quien argumentó correctamente que la temperatura interna de las es-trellas tenía que ser tal que balanceara el efecto de compresión de las fuer-zas de gravedad con el fin de mantener su estructura y estabilidad. De esa manera, a mayor masa estelar, mayor compresión gravitatoria y por tanto, mayor temperatura interna para contrarrestar el efecto gravitacional y evi-tar el colapso de la estrella. En consecuencia, la luminosidad también tendría que ser mayor. Esto es lo que se conoce en la literatura especializada como la relación masa-luminosidad. Sin embargo, esa teoría es incompleta, algunos de sus resultados no son totalmente satisfactorios y tampoco se puede aplicar para obtener una solu-ción final al problema de la variabilidad de las cefeidas. 4. El campo magnético general de las estrellas De acuerdo con Eddington, las estrellas son cuerpos esféricamente simétri-cos constituidos por masas muy grandes de fluido gaseoso, compresible, viscoso, y conductor aislados en el espacio y sujetos a condiciones muy elevadas de temperatura y presión cuyas partes se mantienen juntas por el efecto de su propia atracción gravitacional y en equilibrio dinámico con la
62 Las estrellas variables
fuerza producida por la suma de las presiones de la radiación y de los ga-ses calientes. Sin embargo, sujetas a esas condiciones extremas, es muy posible que las estrellas sufrieran los efectos de la inercia de sus propios movimientos que seguramente cambiarían su tamaño en cantidad suficien-te como para violar su estabilidad, contradiciendo con ello los resultados que arrojan las observaciones astronómicas. Por las razones anteriores, hubo la necesidad de modificar la teoría de Eddington introduciendo en ella un campo magnético como elemento fundamental para preservar el equilibrio de las estrellas. Como una hipótesis básica, se propuso que to-das las estrellas gaseosas generan un campo magnético en el momento mismo de su nacimiento. Ese campo magnético general es perfectamente real como lo demuestran los resultados observacionales. Su contribución al estado de equilibrio se incluyó en la teoría en la forma una presión hi-drostática magnética. Como es bien sabido, un campo magnético tiene la propiedad de gene-rar en un fluido conductor una viscosidad magnética que le produce una cierta rigidéz que depende de la magnitud del campo. Esa rigidéz en el fluido estelar conductor se puede interpretar como si la estrella estuviera soportada por una superestructura formada por las líneas de fuerza magné-tica, evitando con ello que se colapse o explote. 5. El problema de las estrellas variables cefeidas Para hacer un adecuado análisis teórico del problema, es necesario tomar en cuenta que las cefeidas son objetos celestes gaseosos en donde el cam-po magnético general autogenerado ha perdido mucho de su intensidad original, pero que en la posición de máxima compresión es lo suficiente-mente grande como para detener la oscilación evitando el colapso final. En seguida y con el auxilio de las presiones de la radiación y de los gases calientes, ese campo magnético disminuido rebota iniciando así la subse-cuente expansión. Sujetas a esas condiciones dinámicas, las variables cefeidas y más apro-piadamente dicho, sus superficies radiantes, oscilan en torno a alguna po-sición de equilibrio perdiendo y recobrando brillantez alternativamente cuando se expanden y contraen, con una regularidad muy notable y con un periodo perfectamente determinado. De acuerdo con las leyes de los gases, cuando la estrella se colapsa de-bido a su enorme peso alcanzando una posición extrema o un tamaño míni-
El problema de las estrellas variables cefeidas 63
mo, el fluido gaseoso se calienta y la brillantez de la cefeida se incremen-ta. Enseguida, los gases calientes, la presión de la radiación y el campo magnético residual que se comporta como un resorte, actúan contra la gra-vedad expandiendo la fotosfera hasta otra posición extrema de máxima am-plitud originando que el fluido estelar se enfríe y la cefeida pierda brillan-tez. El ciclo se repite una y otra vez con una regularidad como la que es observada en el movimiento de un oscilador armónico simple; movimien-to que es característico de un resorte, o también, de un péndulo. De la expresión matemática, que en el lenguaje técnico se conoce con el nombre de ecuación diferencial ordinaria que se obtuvo de la teoría en términos de los parámetros relevantes de una cefeida cualquiera, fue posi-ble demostrar que
2/1
1208.0
díasm ; (5.1)
en donde es un parámetro introducido por Eddington en su teoría que re-laciona a las presiones de la radiación y de los gases calientes con la pre-sión total y que es de importancia capital para calcular las masas estelares. Como era de esperarse, el producto del período y la raíz cuadrada de la densidad media es una constante que puede ser calculada de la teoría, como demandan los especialistas. A continuación se mostrará la bondad de la relación (5.1) comparando el cálculo teórico con las observaciones astronómicas de los periodos de dos cefeidas. En el caso de Cefeida, los datos calculados de la teoría son los siguientes
.455.12455.01545.0
.105.3 34
cmgrm
En ese caso,
días61.5 .
El periodo medido directamente es de 5.366 días. Para la Estrella Polar del Norte se tienen los datos siguientes
64 Las estrellas variables
;42.1242.0158.0
.108 34
cmgrm
por tanto días97.3 . El periodo medido es igual a 3.968 días. Las discrepancias observadas se deben a que son estrellas que tienen va-riaciones en sus parámetros de modo que los cálculos se centran en valo-res promedio. Las variables de periodo largo tienen, con algunas excepciones, perío-dos que van de 100 a 500 días, con una fuerte preferencia por períodos cer-canos a los 300 días. La periodicidad no es perfecta y las estrellas pueden adelantar o atrasar por algunas semanas la fase predicha. La amplitud de la variación no es siempre la misma en sucesivos períodos. Sin embargo, existe suficiente evidencia que apunta en la dirección de que la variación de período largo y la variación de las Cefeidas son esencialmente el mis-mo fenómeno. Las muy bajas densidades de masa y temperaturas de las estrellas variables de período largo exageran y hacen más erráticos los efectos de la misma clase de pulsación que experimentan las Cefeidas [3]. En general, entre más largo es el período de la variable roja, menos regu-lar es su pulsación; como ocurre en los casos de Betelgeuse y Mira (Omi-cron Ceti). Así, se puede demostrar que para esa clase de variables la rela-ción período-densidad de masa es la siguiente
2/12/1
1224.0
m . (5.2)
Esto es así porque, sí 1 seg 0.115710-4 días, y el período de la varia-ble roja que se utilizó como la unidad de medida es igual a 3102 días, se tiene que
224 10347.0103101157.0 . Por tanto, 6.87103
0.347102 24, y en ese caso y dado que la varia-
ción de las estrellas de período largo y la de las Cefeidas son el mismo fenó-meno, se cumple que
El problema de las estrellas variables cefeidas 65
2/12
2/1
1210308.0
1224
,
y entonces, 0.240.083. En ese caso, basta multiplicar por 3 el factor nú-merico de la relación (5.1) para obtener (5.2). Así, los resultados que se obtienen para Betelgeuse son los siguientes
Betelgeuse días21065.3 37 .105.4 cmgrm
245.02/1 m 32/1 1067.0 m 392.0 grM 34101.4
608.01 cmR 13103 KTe
3103 11.2
gaussH s 28.2 5.5bolM 41.0visM
luzañosssecparr 500150 Omicron Ceti, también llamada Mira, es una variable roja que tiene un período igual a 3.3102 días, es decir, su período es menor que el de Betel-geuse y por tanto, su densidad de masa promedio tiene que ser mayor que la de Betelgeuse. En consecuencia, y dado que o 0.9 B, mo 1.11mB; y entonces se tienen los siguientes resultados
Mira días2103.3 37 .104.5 cmgrm
244.02/1 m 32/1 1074.0 m 39.0 grM 34101.4
61.01 cmR 13108.2 KTe
3106.2 11.2
45.0visM 7.4bolM luzañosssecparr 23070
66 Las estrellas variables
6. Cálculo de la magnitud absoluta La magnitud absoluta de cualquier variable cefeida se puede obtener a par-tir de un solo dato observacional que es su temperatura efectiva promedio y uilizando la constante de la relación período-densidad de masa (5.1)
2/1
1208.0
constante , (6.1)
de la siguiente manera. Se propone un valor numérico para ella, magnitud que va a depender del período medido en días. En general, se estima que ese valor va desde 0.1 hasta 0.13. Así y dentro de ese intervalo, esa magnitud se acerca al límite inferior sí el período es de días y al límite superior sí es de horas. En otras palabras y hablando en términos relativos, ese valor es pequeño sí el período es largo y es grande sí el período es corto. En consecuencia y de acuerdo con (5.1)
;2
m (6.2)
En donde es un número, es el período medido en días y m la densidad de masa promedio. Además y utilizando ese número en (6.1) se obtiene una ecuación de se-gundo grado y de su solución los valores de y de 1. Con esos resulta-dos y con 2.11, de la relación
2443 /1009.31 M (6.3) se obtiene la masa estelar M en términos de la masa solar . Utilizando los valores de m y M obtenidos, se usa la siguiente relación
3/1
43
m
MR
(6.4)
Cálculo de la magnitud absoluta 67
para calcular el radio de la variable cefeida. Ahora, con la temperatura efectiva promedio y las siguientes relaciones
;.1053.2
38 27
2/1
2
Kgaussam
mTH es
(6.5)
en donde a es la constante de la ley de Stefan, se obtiene la magnitud que tiene en la superficie estelar el campo magnético autogenerado por la va-riable cefeida. Con ese resultado y utilizando al Sol como unidad de medida, de la fórmu-la siguiente
024.5bolbols MM
sHRRHlog
(6.6)
se obtiene directamente la magnitud absoluta o bolométrica. Con el valor de R y de Te promedio se obtiene la luminosidad prome-dio de la cefeida a partir de la relación siguiente
22eTcRaL . (6.7)
Finalmente, con la ayuda de la siguiente fórmula
10024.5 rlogMM bolvis (6.8)
se obtiene la distancia a la que se encuentra la estrella. Con la metodogía propuesta se tienen todos los elementos para obtener otros parámetros de cualquier estrella variable cefeida, como son, la den-sidad de masa, el coeficiente de opacidad y la temperatura centrales, entre otros.
68 Las estrellas variables
7. El campo magnético residual Del esquema teórico desarrollado es posible derivar expresiones para cal-cular el valor promedio del campo magnético residual que actúa en las va-riables cefeidas, tanto en la máxima compresión gravitacional, como en la máxima expansión. Para cada cefeida particular se estableció que el campo magnético resi-dual es inversamente proporcional al producto del periodo por la raíz cua-drada del radio. Así, para máxima compresión se tiene que
2/1mín
máx RH
; (7.1)
mientras que para máxima expansión
2/1máx
mín RH
; (7.2)
en donde la barra indica valores promedio y
2/1189.8 M . (7.3) Aquí es una constante que depende de los parámetros básicos de la estrella que se esté estudiando y M es la masa estelar. Los valores máximo y mínimo del radio R se pueden calcular fácilmente de la teoría. Conclusiones El comportamiento de las estrellas variables cefeidas se puede explicar en términos del campo magnético general autogenerado por ellas. Para esos ca-sos se propuso que el campo magnético está muy debilitado debido a que esas estrellas están en un estado evolucionario muy avanzado. No obstante, no lo están tanto como para no ser capaces de detener el colapso gravitacional actuando como un resorte que se comprime cuando la estrella alcanza su mínimo tamaño. De ese mínimo volumen, el campo magnético residual, auxiliado por la suma de las presiones de la radiación
_
_
Conclusiones 69
y de los gases calientes, expanden la Cefeida hasta un cierto volumen máxi-mo desde el que el ciclo compresión-expansión se-reinicia otra vez. Dada la
regularidad de las oscilaciones, se consideró que el movimiento es armóni-camente simple. De ese resultado fundamental de la teoría y de la relación
masa-luminosidad se obtuvo la correcta relación que es la del periodo y la raíz cuadrada de la densidad media. Finalmente, es importante dar una explicación del porqué el campo mag-nético general autogenerado por las estrellas se debilita en las variables cefeidas. Como parte de la teoría, se propuso que ese campo se autogene-raba en la zona convectiva de las estrellas debido a la existencia en esa zona de una distribución de corriente estacionaría localizada. Inicialmente, la fuente de la generación de potencia se encuentra en el horno termonuclear que yace en el centro de las estrellas. A medida que transcurre el tiempo, el horno se desplaza hacia las afueras del astro des-plazando también a la zona convectiva. Así, si inicialmente el horno ter-monuclear era una zona probablemente esférica en el centro estelar, al moverse hacia la superficie ese centro lo ocupan las cenizas de la combus-tión termonuclear, que no son otra cosa más que grandes cantidades de helio isotérmico. Como consecuencia de ese desplazamiento el horno se transforma en una especie de dona en tres dimensiones que se mueve hacia la superficie estelar, del mismo modo que el incendio de un campo de yerba seca se desplaza hacia las orillas dejando atrás un conjunto de cenizas isotérmicas. Ese desplazamiento de la fuente de poder empuja a la zona convectiva hacia la superficie debilitando la intensidad del campo magnético autoge-nerado debido a que sus líneas de fuerza también se van desplazando ha-cia la superficie estelar y propiciando con ello que la estrella se convierta en un objeto pulsante de alguna de las variedades antes mencionadas. Referencias 1. Angel Fierros Palacios. The Hamilton-type principle. Fundamentals and
applications to magnetohydrodynamics, thermodynamics, and astro-physics. Springer Wien New York, 2006.
2. Abell, G. Exploration of the Universe. Holt, Rinchart and Winston. 1964. 3. Eddington. A.S. The Internal Constitution of the Stars. Cambridge Uni-
versity Press. 1988. 4. Rosseland S. Pulsation Theory of Variable Stars. Clarendon Press, Ox-
ford. 1949.
70 Las estrellas variables
5. A. Unsold. El Nuevo cosmos. Siglo veintiuno Editores. 1977. 6. I. Asimor. El Universo. Alianza Editorial. Madrid. 1975.
71
Variables eruptivas Las variables eruptivas son estrellas que experimentan cambios repentinos
de brillantez y pérdida de masa. En general, son objetos masivos que de ma-nera impredecible sufren explosiones, fenómeno que aparentemente ocurre como un recurso para que la estrella adelgace. La pregunta que surge es la siguiente. ¿Cómo sabe una estrella masiva que tiene que desprenderse de su exceso de masa antes de que se convierta en una enana blanca, un pul-sar o un agujero negro? Muchos astrónomos creen que ese proceso se rea-liza en la forma de explosiones de nova y de supernova, así como también como un flujo continuo de gas [1], pero desconocen el mecanismo que las provoca. Existen muchos tipos de variables eruptivas. Van desde las que des-pliegan incrementos de luminosidad rápidos e irregulares como ocurre con las novas y con las espectaculares supernovas. También hay otras que ex-hiben súbitas e impredecibles disminuciones en brillantez. Desde luego las más famosas estrellas eruptivas son las novas. El término nova signifi-ca nueva. Los astrónomos chinos las llamaron estrellas huéspedes. En rea-lidad, una nova es una estrella que ya existe y que de pronto emite una ex-plosión que la hace visible a simple vista debido a su gran aumento de luminosidad; pareciendo que es una estrella nueva. Las novas, antes y des-pués de sus explosiones, son estrellas sub-enanas calientes. Son cuerpos celestes de muy elevada temperatura pero de pequeño tamaño [2]. Una nova típica, durante su explosión, incrementa a mil y aún a diez-mil veces su luminosidad normal. Al lado de los más espectaculares cata-clismos naturales están las supernovas. En contraste con una nova ordina-ria, una supernova es una estrella que cuando explota, exhibe un brillo que es miles de millones de veces su luminosidad normal. Son objetos celestes tan luminosos que llegan a opacar el brillo del resto de las estrellas de una galaxia. Las tres supernovas más famosas que han sido observadas en la Vía Láctea en los últimos mil años son, la supernova de 1054 en la conste-lación de Taurus, la estrella de Tycho Brahe de 1572 en la constelación de Casiopeia, y la supernova de 1604 en Serpens, descrita tanto por Kepler
72 Variables eruptivas
como por Galileo. En una galaxia típica, las supernovas parecen ocurrir a razón de al menos una cada pocos cientos de años [2]. Las preguntas que surgen con relación a esos fenómenos son las siguientes. ¿Cómo sabe una estrella muy masiva que debe desprenderse de parte de su masa?; o en otras palabras, ¿Cuál es el mecanismo que obliga a una estrella masiva a perder masa? 1. La presión de la radiación Para dar una respuesta apropiada al problema antes mencionado, es nece-sario tomar en cuenta un fenómeno que tiene la mayor importancia en el equilibrio de una estrella. Ese factor es la presión de la radiación [3]. Or-dinariamente, ese fenómeno es extremadamente diminuto y es difícil me-dirlo en los laboratorios terrestres; pero en el interior de las estrellas la ra-diación es tan intensa que la presión de ella no es de ninguna manera des-preciable cuando se trata de establecer las condiciones de equilibrio del material estelar. Es bien sabido que todas las ondas electromagnéticas po-seen masa y momento lineal, de modo que ejercen una fuerza sobre cual-quier obstáculo que les cierra el paso [3]. Por otra parte, la presión de la ra-diación es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura; es decir,
4
31 aTpr (1.1)
en donde a = 7.6410-15 es la constante de Stefan [4]. El flujo saliente de la radiación se puede comparar con un vendaval que sopla a través de la estrella ayudando a distenderla en contra de la gravedad. Una parte del pe-so del material estelar lo soporta la presión de la radiación y el resto es so-portado por la presión de los gases calientes. La proporción que existe en-tre ellas es la misma en todas las partes de la estrella. Además, se afirma que no depende ni de la densidad de masa ni del coeficiente de opacidad [3]. Esto es así, porque para un flujo de radiación dado, la materia transpa-rente ofrece menos obstrucción que la materia opaca. Sin embargo, ese efecto se compensa porque el flujo de radiación se incrementa con la transparencia del material estelar [3]. En realidad, solo depende de la ma-sa estelar y del peso molecular promedio. En general, se observa que las estrellas más masivas están constituidas por hidrógeno que es el elemento más ligero [3].
El campo magnético autogenerado 73
Sin embargo, es necesario tomar en cuenta el campo magnético auto-generado por las estrellas gaseosas, como un elemento fundamental para el equilibrio estelar [4]. Como se demuestra en el laboratorio, un campo magnético tiene la propiedad de generar en un fluido conductor una visco-sidad magnética que le confiere una cierta rigidez. En el fluido estelar que ciertamente es conductor, esa rigidez puede ser interpretada como si la es-trella estuviera soportada por una superestructura construida por las líneas de fuerza magnética. Se puede afirmar que la superestructura magnética tiene la misión de mantener la forma de la estrella aún cuando ese objeto celeste esté animado por un movimiento de rotación, porque se sabe que las líneas de fuerza magnética están congeladas en el fluido estelar y se mueven con él [4]. 2. El campo magnético autogenerado El esquema teórico desarrollado por A. S. Eddington para resolver el pro-blema de la estructura interna y la estabilidad de las estrellas [3], fue mo-dificado por el autor al introducir una nueva hipótesis que consiste en pro-poner que todas las estrellas gaseosas en una etapa muy temprana de su evolución, generan un intenso campo magnético que tiene la misión de con-tribuir a mantener su estabilidad y equilibrio [4]. Así, para determinar el estado dinámico de un fluido gaseoso, viscoso, compresible y conductor que gira con velocidad v (x,t) en alguna región del espacio en donde existe un campo magnético H (x,t), se usan las ecuaciones siguientes [4]
0Hdiv , (2.1) y
;4
1311
1 2
HrotH vgrad
vgradvgradvv
div
pt
(2.2)
en donde p(x,t) es la presión total, (x,t) la densidad de masa y , los co-eficientes de viscosidad [5]. La relación (2.2) es la ecuación de balance de momento de la magnetohidrodinámica. Para cualquier estrella gaseosa, la densidad de masa es una función del tiempo t y del radio R, de modo que (R, t) [4]. Se puede demostrar directamente que (2.2) toma la siguien-te forma equivalente
74 Variables eruptivas
;4
´11
jiijjr
HHx
ppt
gradvgradvv
(2.3)
en donde )( ,~ tx es el tensor de esfuerzos viscosos [4,5]; además se usaron
la relación de equivalencia [5]
,8
2
Hpr (2.4)
la siguiente bien conocida fórmula del análisis vectorial
HrotHgradHgradH 2/2H , (2.5)
se realizó una integración por partes y se tomó en cuenta la condición (2.1). Si ahora se supone que la estrella gira sobre su eje de tal manera que el flu-jo del fluido estelar se realiza a régimen estacionario; entonces, se tiene que v /t 0. En ese caso, se cumple que
02/2 vrotvgradvgradv v . (2.6)
Esto es así, porque todas las estrellas giran en torno a sus ejes con una velocidad diferencial [1,6]; es decir, v (,t) con la latitud estelar. Por tan-to, v es independiente de x [6]. Así, se tiene finalmente que
42
384
eTaTH
R; (2.7)
en donde Te es la temperatura efectiva. Es fácil ver que en las regiones internas de cualquier estrella, el primer término de (2.5) es mucho mayor que el segundo y por tanto, éste último se puede despreciar. En consecuencia, para el interior de las estrellas, la magnitud del campo magnético autogenerado se puede calcular de la ecua-ción siguiente
La relación masa-luminosidad modificada 75
2/1
4
TH R. (2.8)
En (2.7) y (2.8), R es la constante universal de los gases [4]. En la superficie estelar, la densidad de masa es prácticamente cero, y entonces la magnitud del campo magnético se puede obtener de la siguien-te relación
2es mTH (2.9)
en donde Te es nuevamente la temperatura efectiva y
272/1
1053.23
8
Kgaussam
(2.10)
es una constante universal [4]. 3. La relación masa-luminosidad modificada Con la introducción del campo magnético autogenerado, la relación masa-luminosidad tomó la siguiente forma [4]
14
ckGcML ; (3.1)
en donde L es la luminosidad, M la masa, G la constante gravitacional, c la velocidad de la luz en el espacio vacío, una constante igual a 2.5 y kc el coeficiente de opacidad en el centro estelar. Además, es un parámetro de la teoría que se usa para determinar la masa. En general, se sabe que entre más masiva es una estrella, también es más luminosa. La relación (3.1) en-tre la masa y la luminosidad no es accidental o misteriosa sino que es el re-sultado de las leyes fundamentales que gobiernan la estructura interna de las estrellas [3]. La atracción gravitacional mutua entre las porciones de masa de las varias regiones interiores de una estrella produce gigantescas fuerzas que tienden a colapsar la estrella hacia su centro; de tal suerte que
76 Variables eruptivas
la temperatura interna y las presiones de la radiación y la de los gases ca-lientes se ajustan a sí mismas en contra de la presión gravitatoria. La gra-vitación es la fuerza que mantiene unida a la materia estelar de modo que cuando se agrega más y más material, la gravedad tiende a construir estre-llas de enorme tamaño. Se puede asegurar que oponiéndose a eso, la pre-sión de la radiación es la principal fuerza de ruptura. En efecto, es un hecho conocido que una estrella sin la presión de la radiación es estable [3]. Pero como se ha observado también, las masas estelares cesan abrup-tamente cuando la presión de la radiación empieza a ser importante [3]. Es solo cuando la masa alcanza los 1033 gr. que se comprueba que con el in-cremento gravitatorio, la presión de la radiación emerge de su insignifi-cancia y a medida que se incrementa la masa, su valor crece rápidamente [3]. Por otra parte, y dado que las líneas de fuerza del campo magnético au-togenerado se interpretan como la superestructura que no sólo da un impor-tante soporte a la estrella, sino que también tiene la misión de contribuir a su estabilidad ayudando a mantener su estructura, esa superestructura mag-nética evita que la estrella se colapse gravitacionalmente o que explote debido a la suma de la presión de la radiación y la de los gases calientes. De alguna manera, las líneas de fuerza magnética se comportan en la es-trella como un poderoso amortiguador que actúa en ambos sentidos: en contra de la compresión gravitacional y también contra la expansión de la presión combinada de los gases calientes y de la radiación. Sin embargo, la presión de los gases calientes depende de la temperatu-ra; es decir
TRpg , (3.2)
mientras que la magnitud del campo magnético autogenerado en el inte-rior estelar, es proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura, como es fácil ver de la ecuación (2.8). Entonces, y de acuerdo con (1.1), la presión de la radiación es el término dominante; de modo que la radiación en el interior de una estrella masiva es tan intensa que la presión hace que ex-plote ya sea como una nova o como una supernova. La magnitud de la ex-plosión va a depneder de la cantidad de material de la estrella. Además, en el proceso de la formación de las estrellas, la acumulacón de masa parece estar limitada por la acción o la amenaza de la presión de la radiación.
La nova de Hércules (Nova Herculis) 77
Normalmente, después de emitir posiblmente un cienmilésimo de su masa en una explosión tipo nova, una estrella regresa en el curso de unas pocas décadas a su estado prenova; algunas veces sin que en su espectro existan líneas de emisión o de absorción, y eventualmente muestran solo variaciones menores e irregulares [1]. Existe alguna indicación de que muchas estrellas semejantes a novas for-man parte de sistemas binarios, en los que un componente es pequeño y caliente mientras el otro miembro del sistema es grande y frio. En tales bi-narias, la estrella grande y fría a veces expele gar que llega a ser atrapado por la estrella pequeña y caliente. Cuando la cantidad de gas atrapada ex-cede un cierto límite, en la estrella caliente se produce una erupción en la forma de una nova. Merle F. Walker, que trabajaba en el Observatorio del Monte Wilson, hizo el sorpresivo descubrimiento que la nova de la Conste-lación de Hercules (DQ Herculis) era una binaria eclipsante [1]. Solo exis-te otro caso conocido de una nova en un sistema binario. Sin embargo, es-to no es indicativo de que se ingnore la posibilidad de que muchas novas tengan compañeras cercanas que sean muy difíciles de detectar [1]. 4. La nova de Hércules (Nova Herculis) La curva de luz de la nova de la Constelación de Hércules contiene pe-queñas oscilaciones estrictamente rítmicas cuyo periodo es igual a 71 se-gundos; con un altísimo grado de precisión. La estricta periodicidad sugie-re que la nova es pulsante como una variable Cefeida, pero mucho más rápida puesto que se contrae y se expande en un ciclo de 71 segundos [1]. Como fue demostrado por el autor [4], para todas las estrellas pulsantes el periodo en días multiplicado por la raíz cuadrada de la densidad de ma-sa promedio, es una constante [3]. La relación período-densidad de masa para las estrellas variables del tipo Cefeida, propuesta por el autor, es [5]
2/1
2/1
1208.0
mdías . (4.1)
Se puede asegurar que la anterior relación es también válida para la nova de Hércules de modo que se cumple que
2/12/1
mccmNN ; (4.2)
78 Variables eruptivas
en donde los subíndice N y C indican que se trata de la nova y de alguna ce-feida, respectivamente. Considérese la estrella variable conocida como Cefeida. La densidad de masa media de esa estrella es igual a 3.42 10-4 gr. cm-3, y su periodo es de 5.37 días. Así, y de acuerdo con (4.2) la den-sidad de masa media de la nova es igual a 15,000 gr.cm-3. Aplicando la re-lación (4.1) a la nova de Hércules se obtiene que
2/1
1208.010.0
. (4.3)
Entonces, de (4.3) se calculan los siguientes datos
.49.0151.0
(4.4)
Para estrellas gaseosas, el valor de la masa se determina a partir de la siguiente ecuación de cuarto grado
4423 /1009.31 M ; (4.5) en donde = 2.11 es el peso molecular promedio y el símbolo indica la masa del Sol que es igual a 1.9851033 gm [1,5]. Haciendo el cálculo se tiene que
.1016.29.10 34 gmM (4.6) El valor del radio R de la nova está dado en términos de mN y M, por la siguiente expresión,
3/1
43
mN
MR
. (4.7)
De aquí se obtiene que
kmR 000,70 . (4.8)
Conclusiones 79
No existe duda alguna que la Nova de Hercules se parece a una enana blanca debido a su enorme densidad de masa. Por otra parte, la estricta pe-riodicidad de sus pulsaciones sugiere que es una estrella pulsante del tipo de las variables Cefeidas. Además, es pequeña, muy caliente y extrema-damente densa. En consecuencia, se puede decir que la nova de Hercules es una nova recurrente que se parece a una enana blanca, y se comporta como una estrella pulsante como si fuera una variable Cefeida. Por otra parte, las explosiones del tipo nova son fenómenos recurren-tes. La cantidad de masa que pierden en una sola explosión es absoluta-mente pequeña, alrededor de 10-5 de la masa de la estrella [1]. Posible-mente, esto es así porque en las novas su enorme densidad de masa juega un papel importante como un factor adicional que se opone a la expansión de la presión de la radiación. Conclusiones Al estudiar las condiciones de equilibrio de una estrella es necesario tomar en cuenta a la presión de la radiación. Las fórmulas obtenidas de la teoría son suficientes para calcular la proporción del peso del material estelar que soporta la presión de la radiación, y la parte que es soportada por la presión de los gases calientes. En primera aproximación, la proporción es la misma en todas las partes de la estrella [3,5]. Solo depende de la masa y del peso molecular promedio y no de la densidad de masa o del coeficien-te de opacidad [3]. Las estrellas difieren en brillantez, densidad de masa y otras características, pero en general contienen más o menos la misma cantidad de material. La gran mayoría tienen entre 1033 gr. y 1034 gr., en donde se inicia el reto de la presión de la radiación en su competencia con la presión de los gases calientes [3]. Aparentemente, la naturaleza tiene un modelo estándar para la formación de las estrellas y no tolera muchas desviaciones. Se puede ver desde un punto de vista muy general, las causas de esa uniformidad. Las fuerzas de gravitación mantienen a la materia unida y tiende a construir estrellas muy grandes. Sin embargo, cuando se acumula más y más material, la temperatura dentro de la estrella incrementa su va-lor para mantener el equilibrio estelar; y ese hecho hace que la presión de la radiación también incremente su valor. Dado que es el término domi-nante sobre las otras condiciones de equilibrio, como la presión de los ga-ses calientes y la magnitud del campo magnético autogenerado, ese fenó-meno resulta ser la principal fuerza expansiva. Es un hecho significativo
80 Variables eruptivas
que las masas estelares se congregan justo en el punto donde la presión de la radiación amenaza la seguridad de las estrellas [3].En consecuencia, la presión de la radiación es el agente regulador del tamaño estelar [3]; ya que no solo limita la acumulación de masa sino que también se convierte en un serio peligro para la estabilidad de las estrellas, de tal suerte que en-tre más masiva es una estrella menor es su probabilidad de que sobreviva [3]. Finalmente, si se considera que las leyes de la Física como las conoce-mos actualmente, son válidas en el Átomo Primigenio, algunas veces lla-mado también el Huevo Cósmico; es posible proponer que la monstruosa presión de la radiación generada en su interior por las condiciones extre-mas de presión, densidad de masa, temperatura, etc., fue el mecanismo que utilizó la naturaleza para iniciar el fenómeno evolucionario conocido como la Expansión del Universo, en la mas fantástica y catastrófica explo-sión denominada por G. Gamow El Gran Estallido (Big Bang). Referencias 1. Struve. O. The Universe. The M.I.T. Press Massachusetts Institute of
Technology Cambridge, Massachusetts. 1963. 2. Abell. G. Exploration of the Universe. Holt, Rinehart and Winston.
1964. 3. Eddington. S.A. the Internal Constitution of the Stars. Cambridge Uni-
versity Press New York-New Rochelle-Melbourne-Sidney. 1988. 4. Fierros. A. The Hamilton-Type Principle in Fluid Dynamics. Funda-
mentals and Applications to Magnetohydrodynamics, Thermodynamics, and Astrophysics. Springer-Verlag Wien. 2006.
5. Fierros. A. The magnetic field in the stability of the stars. To be pub-lishing.
6. Fierros. A. The problem of the existence of planetary systems similar to the Solar System. To be publishing.
81
Sistemas planetarios semejantes al
sistema solar El Sistema Solar es único en el Universo en el sentido que no se conoce otro sistema planetario que tenga sus muy particulares características y estructu-ra. Consiste del Sol y de un gran número de objetos celestes más pequeños asociados gravitacionalmente con él. Esos otros cuerpos siderales son los planetas, sus satélites, los asteroides o planetas menores, los cometas y los meteoritos; todo ello inmerso en un medio interplanetario consistente de una gran cantidad de gas muy esparcido y de partículas sólidas microscópicas. Los planetas de la familia solar son pequeños, relativamente fríos, y cinco de ellos son sólidos. No brillan con luz propia y solo son visibles porque reflejan la luz del Sol. Los cuatro planetas más cercanos al astro son Mercurio, Venus, la Tie-rra, y Marte. Son llamados Planetas Interiores, o a veces cuando se inclu-ye a Plutón que es el que está más lejos del Sol y que recientemente le fue retirada por los astrónomos la categoría de planeta, se les llama también Planetas Terrestres. Los cuatro planetas más grandes son Júpiter, Saturno, Urano, y Nep-tuno, son gaseosos. Son los gigantes del Sistema Solar y a menudo se habla de ellos como los Planetas Jovianos. Se tiene la convicción de que solo Venus, la Tierra y Marte y posible-mente una de las lunas de Júpiter llamada Europa, poseen las cualidades que se requieren para que existan en ellos organismos vivos. Hasta donde se sabe, de esas cuatro posibilidades solo la Tierra ofrece las mejores con-diciones naturales que son compatibles con la existencia de formas de vi-da superiores como son las plantas, los animales irracionales y algunas especies de vida inteligente con diversos grados de racionalidad. A menudo se dice que el Sol es una estrella típica y que en la inmensa vastedad del Cosmos debe de haber muchas otras estrellas con sistemas pla-netarios semejantes al Sistema Solar y con planetas que más o menos reú-nan las cualidades terrestres para que se dé la vida superior.
82 Sistemas planetarios semejantes al sistema solar
Con relación al Sol, se sabe que es una enana amarilla de quinta mag-nitud que pertenece a la Serie Principal. Su periodo de rotación promedio es de 26.5 días; pero como lo descubrió Richard Christopher Carrington, su rotación es diferencial debido a su estructura gaseosa, con un período de rotación polar de alrededor de 35 días. Para dar una solución al problema de identificar estrellas que puedan te-ner sistemas planetarios semejantes al Sistema Solar, se deben descartar todos los sistemas binarios y múltiples del conjunto de estrellas de la Serie Principal y enfocar la atención a estrellas solitarias de rotación lenta y de dimensiones y características básicas como aquellas que tiene el Sol. 1. El radio estelar, la temperatura efectiva, y la magnitud absoluta Los valores de los parámetros relevantes de cualquier estrella gaseosa, co-mo son el radio, la masa, el volumen, la densidad de masa, etc., se pueden calcular directamente a partir del conocimiento de dos datos observaciona-les que son la temperatura efectiva y la magnitud absoluta o bolométrica. Para calcular el radio estelar es necesario conocer de antemano el valor del campo magnético autogenerado por la estrella. Se puede demostrar que la magnitud de ese campo magnético en la superficie estelar se obtiene de la siguiente relación
2es mTH ; (1.1)
en donde Te es la temperatura efectiva y el índice s indica la superficie es-telar. Además
72/1
1053.23
8
am (1.2)
es una constante universal que tiene unidades de intensidad magnética en-tre grados Kelvin al cuadrado. En (1.2), a es la constante de la ley de Ste-fan. El radio estelar se puede calcular de la siguiente expresión
024.5
bolbol
s
s MMHRHRlog
; (1.3)
La masa estelar 83
en donde Hs y Hs son los valores del campo magnético en la superficie de la estrella en cuestion y del Sol, respectivamente; Mbol es la magnitud abso-luta o bolométrica, y el símbolo indica al Sol considerado como la unidad de medida. La palabra log es la abreviatura de logaritmo. La luminosidad se expresa en términos del radio estelar y de la tempera-tura efectiva de la siguiente manera
42eTacRL . (1.4)
En ese caso,
512.2
bolbol MMLLlog
. (1.5)
Claramente, de estas dos últimas ecuaciones es fácil obtener la relación (1.3). Como la búsqueda propuesta se debe realizar dentro del conjunto de las estrellas enanas amarillas de la Serie Principal, la magnitud absoluta se puede leer directamente en el Diagrama de Hertzspring-Russell. Con ese dato y con el valor de la magnitud absoluta del Sol, que es bien conocida, se tiene todo lo que se necesita para calcular el radio estelar con la ayuda la relación (1.3). 2. La masa estelar En la teoría sobre la estructura interna de las estrellas propuesta y desarro-llada por A. S. Eddington se utiliza el parámetro como un paso interme-dio para desarrollar la ecuación con la que se determina la masa estelar. Ese parámetro se define como sigue
;1
pppp
g
r
(2.1)
en donde pr es la presión de la radiación, pg la de los gases calientes, y p la presión total. En ese caso, es la razón entre pr y p; en tanto que (1 ) es la razón entre pg y p. De esa manera la razón (1 )/ se considera como una medida del grado de estabilidad de la estrella. Enseguida se utilizan algunas ecuaciones desarrolladas dentro de la teo-ría, como son la relación masa-luminosidad modificada siguiente
84 Sistemas planetarios semejantes al sistema solar
14ck
GcML ; (2.2)
en donde G es la constante gravitacional, c la velocidad de la luz en el vacío, M la masa estelar, kc el coeficiente de opacidad calculado en el centro de la
estrella, y =2.5 una constante que indica una intensa y uniforme concen-tración de fuentes generadoras de energía en el centro estelar. Otra de las ecuaciones importantes que se utilizan para el cálculo de las masas estelares es la siguiente relación
2/71
Tkk , (2.3) que es la ley de absorción de la radiación comúnmente aceptada en astrofí-sica. Finalmente, también se utilizan las siguientes dos ecuaciones que sirven para calcular con cualquiera de ellas la temperatura central de la estrella. La primera de esas relaciones es la que sigue
aT
133 R
. (2.4)
La segunda de ellas y que proviene de una teoría matemática denomi-nada la teoría de la esfera de gas politrópica, tiene la forma siguiente
R
RM
GMn
T
1R
. (2.5)
En estas tres últimas relaciones, es la densidad de masa, R la constan-te universal de los gases, el peso molecular promedio y M ´, R´ son pará-metros extraidos de la teoría matemática antes citada. Además, n es un nú-mero entero positivo. Así, combinando las anteriores relaciones y después de hacer un poco de algebra y utilizar los valores numéricos de las constantes, se obtiene la siguiente expresión para la luminosidad
52/72/11
4/1171 11044.1
RkL . (2.6)
La masa estelar 85
Ahora, se pueden comparar dos estrellas cualesquiera si una de ellas es considerada como la apropiada unidad de medida. Usualmente se usa la
componente más brillante del sistema binario Capella porque son conoci-dos los valores numéricos de sus parámetros básicos. Así, de la relación anterior se obtiene que
5
*
4/11*
2/1
**1
1*
11
RR
kk
LL
; (2.7)
en donde el asterisco se refiere a la estrella particular que se compara con Capella. Con los datos numéricos de esta última estrella se puede demos-trar que
5*
4/11*
5
*
4/11* 10981.6
11
. (2.8)
En ese caso, de (2,8) y (2.7) se obtiene el siguiente resultado
5*
4/11*42
1
12/1**
11086.2
kkRL . (2.9)
Sin embargo, como se demostró en el capítulo dedicado a la clasifica-ción de las estrellas
e
e
TT
kk
1
1 ; (2.10)
de tal manera que en (2.9) se obtiene lo siguiente
5**
4/11*1 A ; (2.11)
en donde
462/1*** 1067.0 RTLA e (2.12)
es una constante para cada estrella particular que se estudie. Como las can-tidades encerradas en el paréntesis se pueden calcular y conocer, el valor
*
* *
*
86 Sistemas planetarios semejantes al sistema solar
numérico que se obtiene en (2.12) se sustituye en (2.11) de modo que lo que resulta es una ecuación numérica que se puede resolver utilizando el llamado método de Newton. Una vez calculado el valor numérico del parámetro * se usa la siguiente relación para determinar la masa de la estrella que esté investigando, es decir,
2*4*
43* /1009.31 M ; (2.13)
en donde el símbolo indica la masa solar considerada como la unidad de medida y se propone que 2.11. Con la metodología previamente desarro-llada se tienen todas las relaciones requeridas para calcular la masa, el vo-lumen y la densidad de masa promedio. El valor de la densidad de masa en el centro de la estrella se obtiene de la fórmula siguiente que surge de la teoría de la esfera de gas politrópica
mc 36.54 ; (2.14)
en donde los índices c y m se refieren a las densidades de masa central y promedio respectivamente. Adicionalmente, el valor del campo magnético autogenerado por la es-trella y para cualquier región de su interior se puede obtener de la siguiente relación general
2/112
H ; (2.15)
en donde es el potencial gravitacional. Finalmente, la distancia a la que se encuentra la estrella se calcula del módulo de distancia que se obtuvo en el capítulo dedicado a la clasifica-ción de las estrellas, esto es,
10
024.5 *rlogMm bolv ;
en donde mv es la magnitud visual. 3. Ejemplo ilustrativo Considérese el caso de la componente más brillante del sistema binario de-nominado en la literatura especializada como VPuppis. De esa estrella se
* *
* *
*
Ejemplo ilustrativo 87
sabe que es una variable eclipsante de la clase espectral BI. Su temperatu-ra efectiva es igual a 1.9104 K mientras que su magnitud bolométrica es 4.75 y su magnitud visual 3.12. De las fórmulas previamente desarrolla-das en el párrafo 1 se obtienen los resultados siguientes
..1067.21033.5
3.91
137*
11*
*
segergsLcmR
gaussH s
(3.1)
De la ecuación (2.11) se tiene la siguiente ecuación numérica
4/11*
5* 125 . (3.2)
Utilizando el método de Newton se obtienen los siguientes valores
592.01408.0
*
*
(3.3)
que sustituidos en la ecuación (2.12) dan como resultado que
grM 34* 1071.3 . (3.4)
Como el volumen de la estrella es
3353** 1034.6
34 cmRV ,
la densidad media es
3* .0585.0 cmgrm . (3.5)
En ese caso, de (2.13) se obtiene el siguiente valor para la densidad de masa en el centro de la estrella; esto es,
3* .18.3 cmgrc . (3.6)
Sustituyendo (3.3) y (3.6) en (2.5) se obtiene el siguiente valor para la temperatura central
88 Sistemas planetarios semejantes al sistema solar
KTc7
* 1012.4 . (3.7) La constante k1* que aparece en la ley de absorción de la radiación se calcula de la manera siguiente. De la relación masa-luminosidad modifi-cada (2.2) y considerando que para esta estrella 1.55, se obtiene el si-guiente resultado
12* .6.32 grcmkc . (3.8)
Ahora, usando éste resultado en la relación (2.3) se tiene que
27*1 106.4 k . (3.9)
Finalmente, del módulo de distancia se obtiene directamente que ese
sistema se encuentra a 427 parsecs de la Tierra; distancia que equivale a 1,391 años-luz. 4. El problema de la rotación de las estrellas La rotación del Sol alrededor de su eje fue demostrada por Galileo Galilei cuando observó el movimiento de las manchas solares a través del disco solar. Años más tarde, en 1859 R. Carrington encontró que la rotación so-lar se efectuaba de manera diferencial de modo que el periodo de rotación ecuatorial es de alrededor de 25 días mientras que en latitudes altas es de 35 días. La rotación del Sol se puede determinar a partir de la diferencia entre los corrimientos Doppler de la luz proveniente de los bordes del disco so-lar cuando se aproximan y cuando se alejan del observador. Los resulta-dos de las mediciones Doppler confirman que el Sol rota más rapidamente en latitudes bajas y más lentamente en latitudes altas. Su dirección de ro-tación es de Oeste a Este. Si una estrella cualquiera está rotando y a menos que suceda que su eje de rotación esté dirigido directamente hacia el Sol, uno de los bordes de su disco se aproxima al observador mientras que el otro retrocede con res-pecto al punto de observación y a la estrella como un todo. Sin embargo, una estrella aparece en el firmamento como un simple pun-to de luz por lo que el observador se ve forzado a analizar la luz emitida por todo su disco. Pero si la estrella está rotando, parte de su luz incluyen-
El problema de la rotación de las estrellas 89
do sus líneas espectrales están desplazadas hacia las longitudes de onda corta y parte hacia las longitudes de onda largas. Cada línea espectral de la estrella está compuesta de líneas espectrales que se originan en diferen-tes partes del disco estelar que se mueven a distintas velocidades con rela-ción al observador. El efecto producido por esa situación es que todas sus líneas espectrales aparecen ensanchadas con perfiles que tienen la forma característica de un plato. Por fortuna esa forma es muy notable de modo que se puede discri-minar normalmente del ensanchamiento producido por otras fuentes. La magnitud de ese ensanchamiento que es debido a la rotación estelar, si éste es observable, se puede medir y esa medida se usa para estimar un límite inferior para la velocidad de rotación de la estrella. La fórmula exacta del corrimiento Doppler es la siguiente
1/1/1
2/1
2/1
cvcv
; (4.1)
en donde es la longitud de onda de la luz emitida por la estrella, es la diferencia entre y la longitud de onda medida por el observador, c es otra vez la velocidad de la luz en el espacio vacío y v es la velocidad relativa de la línea visual entre el observador y la estrella, que se cuenta como positiva si la velocidad es de recesión y negativa si es de aproximación. Si esa velo-cidad es pequeña comparada con la velocidad de la luz la ecuación (4.1) se reduce a la relación siguiente
cv . (4.2)
Por otra parte, para cualquier estrella gaseosa siempre se cumple que
4eaTE ; (4.3)
en donde E es la densidad de energía radiada por la estrella considerada co-mo cuerpo negro. La ecuación anterior es conocida como la ley de Stefan. Ahora, EV es la energía total ET radiada por la estrella como radiación tér-mica. Por otra parte, ET = n E , en donde n es el número de fotones con longitud de onda en el volumen V y E es la energía de cada fotón. Así,
90 Sistemas planetarios semejantes al sistema solar
EVnaTe 4 ; (4.4)
en donde n/V es la densidad de la radiación térmica. Por otra parte se tiene la siguiente relación
hcE , (4.5)
que es la ecuación de Max Planck con h la celebrada constante de Planck. Comparando (4.4) con (4.5) se tiene que
41eT
nhcVa
. (4.6)
Sustituyendo (4.6) en (4.3) se obtiene el siguiente resultado que es váli-do para cualquier estrella gaseosa
4
eTnhVav . (4.7)
Finalmente, cualquier estrella gaseosa se puede comparar con el Sol pa-ra obtener el siguiente resultado
*
4
**
e
e
TT
vv . (4.8)
Sin embargo, en (4.8) el término dominante es el correspondiente al de las temperaturas efectivas de modo que se puede suponer que * en cuyo caso se tiene en buena aproximación que
4
**
e
e
TTvv . (4.9)
Ahora bien, se sabe que el Sol es una estrella de rotación lenta. Un ele-mento de volumen de materia solar del ecuador efectua una revolución completa en alrededor de 25 días, esto es, con una velocidad de 2 km. seg-1. En ese caso y dado que Te = 5.741 K, en (4.9) se tiene que
Apéndice 91
154 1084.1
eTv
. (4.10)
En ese caso para cualquier estrella gaseosa que sea visible y sin impor-tar la orientación de su eje de rotación se cumple que
4*
15* 1084.1 eTv . (4.11)
Con este resultado es fácil calcular la velocidad de rotación de la compo-nente más brillante del sistema binario VPuppis. De la primera de las rela-ciones (3.1) y con el auxilio de (1.1) y (1.2) se obtiene que Te* =1.9104 K, de modo que
1* .240 segkmv . (4.12)
Conclusiones Con el auxilio de la metodología teórica presentada se puede configurar un programa observacional sobre las estrellas de la Serie Principal que con-siste en una búsqueda sistemática de enanas amarillas solitarias cuyos pará-metros básicos sean similares a los del Sol con la esperanza de identificar estrellas que tengan alta probabilidad de poseer una familia planetaria del tipo solar y en donde en alguno de esos sistemas exista un planeta que pue-da ofrecer las condiciones naturales para que puedan surgir organismos vi-vos superiores. Apéndice
Parámetros básicos del Sol
Parámetros básicos de Capella
= 1.985 1033 gr M = 8.30 1033 gr L = 3.78 1033 ergs. seg-1 L = 4.8 1035 ergs. seg-1 Rm= 6.951 1010 cm R = 9.55 1011 cm = 0.9502 = 2.2 1 = 0.0498 = 0.717 = 1 1 = 0.283 Vrot = 2 km. seg-1 m = 0.00227 gr. cm-3
92 Sistemas planetarios semejantes al sistema solar
c= 77 gr. cm-3 c = 0.1234 gr. cm-3 m= 1.414 gr. cm-3 Te = 5200 K Te= 5741 K Tc = 9.08 106 K Tc= 24.2 106 K
Constantes físicas y astronómicas G = 6.66 10-8 ergs.cm.gr-2 R = 8.26 107 ergs. mol. gr-1. K-1 a = 7.64 10-15 ergs. cm-3. K-4 c = 3 1010 cm. seg-1
Referencias 1. Adell, G. Exploration of the Universe. Holt, Rinchart and Winston. New
York, Chicago, Sn. Francisco, Atlanta, Dallas, Montreal, Toronto, London, Sidney, 1964, 1969.
2. Wilson, P. R. Solar and Stellar Activity Cycles. Cambridge Astro-physics Series 24. Cambridge University Press, 1994.
3. Fierros, A. Selected Topics of Theoretical Physics, Astrophysics, and Cosmology. To be publishing. (2011).
4. Eddington, A. S. The Internal Constitution of the Stars. Cambridge University Press. New York Rochele Melbourne Sidney, 1988.
5. Fierros, A. The Hamilton-Type Principle in Fluid Dynamics. Funda-mentals and applications to Magnetohydrodynamics, Thermodynam-ics, and Astrophisics. Springer Wien New York, 2006.
6. Wehr, M. R. and Richards, J. A. Physics of the atom. Addison-Westey Publishing Co. Reading Massachusets, USA, London, England, 1965.
7. Shwarzchild M.Structure and Evolution of the stars. Dover Publica-tions, Inc. New York, 1965.
93
La temperatura central de las
estrellas Una estrella es una gran masa esféricamente simétrica de fluido gaseoso compresible, viscoso y conductor; que se encuentra aislada en el espacio
sideral y en condiciones de presión y temperatura muy elevadas. Sus partes constitutivas permanecen unidas por su propia atracción gravitacional y en equilibrio dinámico con la fuerza producida por la suma de las presiones de la radiación y de los gases calientes [1,2]. A pesar de las condiciones extremas que lo afectan, se afirma que el fluido estelar se comporta como un gas ideal desde el punto de vista de la termodinámica clásica [2]. Por otra parte, ese fluido está sujeto a la influencia del campo magnético general que todas las estrellas gaseosas autogeneran en una etapa temprana de su evolución [1]. Ese factor resulta ser un elemento fundamental para el equilibrio y la estabilidad de esas enormes distribuciones de material estelar [1]. La temperatura en el centro de las estrellas se puede estimar a partir de
una expresión analítica que se obtiene cuando se toman en cuenta todos los factores responsables de su comportamiento. En principio, está la presión gravitacional que tiende a acumular mate-rial estelar para construir estrellas cada vez más grandes y comprimirlo
hacia su centro. Por otra parte, están los factores que se oponen al colapso estelar, como son las presiones de la radiación y de los gases calientes, así como también la influencia del campo magnético autogenerado [1]. Como resultado de la lucha de esos elementos dinámicos, el equilibrio estelar es magneto-mecánico y no solamente mecánico como se considera en la lite-ratura especializada [2]. 1. La temperatura central Un resultado muy importante para entender la estructura y la estabilidad de las estrellas es la celebrada relación que existe entre la masa y la lumi-
94 La temperatura central de las estrellas
nosidad de las estrellas obtenida por el científico inglés A.S. Eddington [2]. Sin embargo, algunos resultados de esa teoría no son totalmente satisfacto-rios y tampoco son adecuados para tratar con ellos algunos fenómenos este-lares que surgen de la observación; como son entre otros, el cálculo de la temperatura central estelar, y el problema de las estrellas variables intrín-secas tanto de periodo corto como de período largo. Esa incapacidad se debe a que en esa teoría no se tomó en consideración al campo magnético general autogenerado por las estrellas [1]. Cuando ese campo magnético se incluye en ella, la mencionada relación y otros resultados se modifican ligera pero substancialmente [1]. La novedad en esa teoría modificada consiste en introducir en una de las ecuaciones básicas un término extra que es la presión hidrostática magné-tica [1]. Así, se enriquece el esquema original para hacerlo más transparen-te, amplio y más útil para la solución de los problemas antes citados, y tam-bién algunos otros más [3]. De acuerdo con la relación antes citada, a medida que la atracción gra-vitacional aglutina material estelar para construir estrellas, la temperatura interior de esas grandes concentraciones de masa se ajusta a sí misma para conservar la forma, el equilibrio y la estructura de esos cuerpos celestes. Es un hecho conocido que las estrellas más masivas son las más lumino-sas [2,4]. La relación que existe entre esas dos propiedades características de todas las estrellas gaseosas, es lo que se conoce con el nombre la rela-ción masa-luminosidad [1,2]; esto es,
14
ckGcML ; (1.1)
en donde L es la luminosidad, M la masa, G la constante de la gravitación universal, c la velocidad de la luz en el espacio vacío, kc el coeficiente de absorción, de opacidad o simplemente la opacidad del material estelar en el centro de las estrellas, y es el factor que se opone al flujo de energía ra-diante, es un parámetro numérico cuya magnitud es igual a 2.5 e indica una uniforme e intensa concentración de fuentes de producción y liberación de energía en el centro de esos astros [1,2,3]. Finalmente, es un paráme-tro introducido por A.S. Eddington [2] en su teoría para estimar el grado de estabilidad de una estrella cualquiera, y también para calcular masas estelares en términos de la masa solar considerada como la unidad de me-
La temperatura central 95
dida [1,2]. Con el auxilio de ese parámetro se definen las presiones de la radiación y de los gases calientes de la siguiente manera
g
r
pppp
1, (1.2)
respectivamente. Aquí p es la presión total que está dirigida hacia el cen-tro de la estrella [1,2]. Por otra parte, se sabe que [1,2]
Tp
aTp
g
r
R
4
31
. (1.3)
En esas últimas fórmulas, T es la temperatura, la densidad de masa, R la constante universal de los gases, el peso molecular promedio que usualmente tiene un valor numérico igual a 2.11, y a es la constante de Stefan que es igual a 7.6410-15. El problema del campo magnético autogenerado por las estrellas es de la competencia de la Magnetohidrodinamica a veces también conocida como Hidromagnetistmo [1,3,4]. Es una teoría relativamente nueva que tra-ta de la interacción de los fluidos con carga eléctrica, conocidos con el nombre de plasma, que es el cuarto estado de la materia, con campos elec-tromagnéticos [1]. Se trata de una rama muy especializada de la Física Teórica en donde confluyen la Hidrodinámica Clásica y el Electromagne-tismo. De esa unión surgen las ecuaciones diferenciales de campo y las ecuaciones de balance de momento, energía y masa de la Dinámica de los Fluidos y de la Magnetohidrodinámica [1]. A partir de ellas se obtienen expresiones para el campo magnético autogenerado, tanto para el interior de las estrellas como para su superficie [1,2,3]. Así, para alguna región in-terna de cualquier estrella se cumple que
TH R42 . (1.4)
Esta última fórmula relaciona la temperatura interior con el cuadrado del campo magnético autogenerado; ámbos calculados en la misma región del interior estelar.
96 La temperatura central de las estrellas
Si en (1.4) se usan las relaciones (1.2) y (1.3) se obtiene el siguiente re-sultado
134 4
2 TaH ; (1.5)
y por tanto,
4/12 143
aHTc ; (1.6)
en donde el subíndice c se refiere al centro estelar. La expresión anterior
contiene todos los elementos que son fundamentales para la estabilidad y el equilibrio estelar. En particular, el valor numérico de la razón (1)/ se considera en Astrofísica como un indicador que sirve para tener una idea de lo estable que es una estrella cualquiera [1,2,3]. De la relación (1.6) es fácil ver que la temperatura central de las estre-llas es directamente proporcional a la raíz cuarta de una combinación de
los elementos dinámicos que se oponen a la presión gravitacional y al co-lapso estelar. Es importante aclarar que el campo magnético autogenerado actúa en el
interior de las estrellas gaseosas como una especie de amortiguador que por una parte se opone a la presión gravitatoria que tiende a comprimir el mate-rial estelar para evitar el colapso; y por otra, impide que el astro explote de-bido a la suma de las presiones de la radiación y de los gases calientes[1]. Sin embargo, dado que H
2 y Tc están directamente relacionados, se requie-re de una metodología alternativa para calcular una relación para el campo magnético autogenerado. Ese esquema teórico existe, como se verá a con-tinuación. 2. El campo magnético El otro equema alternativo que se puede utilizar es una metodología pu-ramente matemática que en la literatura especializada es conocida como la teoría de la esfera de gas politrópica [1,2]. Se construye en términos del potencial gravitacional para obtener una ecuación diferencial ordinaria
Ejemplos ilustrativos 97
que es de mucha utilidad para tratar un buen número de problemas astrofí-sicos. En particular, de ella se obtiene el siguiente resultado [1]
122H ; (2.1)
en donde es nuevamente la densidad de masa, y
RGM
(2.2)
es el potencial gravitacional en términos del radio R y de la masa M, este-lares. De las relaciones (2.1), (2.2) y (1.1) se obtiene la siguiente ecuación
cR
LkH c
22 . (2.3)
Finalmente, si se sustituye (2.3) en (1.6) se obtiene la siguiente expre-sión para la temperatura central
4/11
83
caRLkT cc
c . (2.4)
Si en esta ecuación se hace un análisis dimensional, se demuestra que (2.4) tiene unidades de grado Kelvin. En consecuencia, para cualquier estrella se cumple que su temperatu-ra central se mantiene en un valor constante dado por sus características básicas; en tanto exista combustible para alimentar los procesos dinámi-cos que ocurren en el horno temonuclear; procesos que constituyen la fuente generadora de la energía emitida por esos objetos celestes. 3. Ejemplos ilustrativos A continuación se calcularán las temepraturas de dos estrellas conocidas
para probar la bondad de la relación (2.4). Como primer ejemplo, se to-mará al Sol que es la estrella más cercana a la Tierra. Es una enana amari-lla de la clase espectral G0 que pertenece a la Serie Principal. Sus datos relevantes son los siguientes
98 La temperatura central de las estrellas
9502.00498.015.2
..1064.7.103
10951.6.1076.2
.107.7.1078.3
4215
110
10
122
3
133
KcmdinasasegcmccmR
grcmkcmgr
segergsL
c
c
Es fácil demostrar por cálculo directo que usando estos datos en (2.4) se obtiene el siguiente resultado
KTc6107.16 ; (3.1)
en donde el símbolo se refiere al Sol. En la literatura especializada, tanto la temperatura central del Sol como
su luminosidad están sobre valuadas [2]. Para Tc se tiene que su valor es igual a 39.5106 K; que ciertamente es inaceptable debido a la manifiesta estabilidad y equilibrio del Sol. Del mismo modo, la magnitud de L , que la observación indica que es igual 3.781033 ergs. seg-1, los cálculos teóri-cos elevan ese valor a 5.621033 ergs. seg-1 [2]. Como segundo ejemplo, se considerará el caso de la componente más brillante del sistema binario conocido como Capella. Es una estrella de la misma clase espectral que el Sol y también forma parte de la Serie Princi-pal. A pesas de su tamaño, se le considera como una enana amarilla. Sus datos relevantes son los siguientes
717.00283.01
1055.9
.109.6.1234.0
.108.4
11
12
3
135
cmRgrcmk
cmgrsegergsL
c
c
.
Referencias 99
Nuevamente, de la relación (2.4) y con la ayuda de los datos anteriores, se obtiene que
KTc6105.6 ; (3.2)
que es la temperatura correcta para esa estrella. El valor dado en la litera-tura es ligeramente mayor; es decir, es igual a 9.09106 K. Conclusiones La literatura especializada cuenta con esquemas teóricos que son extraor-dinariamente útiles para enfrentar muchos de los problemas que se rela-cionan con fenómenos naturales. En particular, esas teorías son pilares fundamentales para entender el comportamiento de las estrellas y muchas de sus características. En el ámbito de la Astrofísica, son muy importantes las contribuciones de A. S. Eddington [2]; de S. Chamcrasekhar [6]; y de M. Schwarzchild [7]; entre otros. Sin embargo, no siempre los resultados obtenidos se ajustan a las ob-servaciones, y a menudo resultan ser inadecuados. Es por eso que se hacen
necesarias algunas modificaciones a esos trabajos, para proponer esquemas más amplios con la capacidad de estudiar y explicar fenómenos que esca-pan al campo de su aplicación. Esa situación es común en la Física Teórica debido a que sus esquemas teóricos a veces fallan al enfrentar nuevos fenómenos que surgen de la ob-servación o del experimento. En general, las teorías físicas se consideran aproximaciones razonables pero falibles. En el caso presente, la inclusión del campo magnético autogenerado en la teorías sobre la estructura y la es-tabilidad de las estrellas ha sido muy afortunada. Desde luego, no se pre-tende que con ello, ya se a alcanzado el resultado final y se han encontra-do soluciones para todos los fenómenos propios de la astrofísica. En reali-dad, solo se ha dado un pequeño paso más en la tarea de extender la fronte-ra del conocimiento. Referencias 1. Angel Fierros Palacios. The Hamilton-Type principle in fluid dynamics.
Fundamentals and applications to magnetohydrodynamics, Thermody-namics, and Astrophysics. Springer Wien New York, 2006.
100 La temperatura central de las estrellas
2. A. S. Eddington. The Internal Constitution of Stars. Cambridge Univer-sity Press, 1988.
3. Angel Fierros Palacios. Selected Topics of Theoretical Physics, Astro-physics, and Cosmology. Por publicarse, 2012.
4. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Electrodynamics of Continuous Media. Addison Publishing Co., 1960.
5. G. Abell. Exploration of the Universe, Rinehart and Winston, 1964. 6. S. Chandrasekhar. An Introduction to Study of Stellar Structure. Dover
Publications Inc. New York, 1958. 7. M. Schwarzchild. Structure and Evolution of the Stars, Dover Publica-
tions Inc. New York, 1965.
101
La migración iónica en las estrellas Un ión es una partícula con carga eléctrica que se crea en el proceso de ionización. De acuerdo con condiciones energéticas diferentes, todos los átomos pueden perder uno o más electrones orbitales para convertirse en iones con carga positiva. Los electrones libres resultantes del proceso son iones con carga eléctrica negativa. En el interior estelar y debido a que ahí se tienen densidades de masa muy grandes y temperaturas elevadas, se producen ingentes cantidades de iones tanto positivos como negativos que migran de las regiones interiores hacia la superficie. La migración iónica es un fenómeno que ocurre en todas las estrellas gaseosas; como todas ellas poseen una zona convectiva, el tránsito iónico a través de esos sitios genera fenómenos que afectan sus características básicas y su comportamiento. Por otra parte, el flujo iónico es el elemento constitutivo de las corrien-tes de convección generadas por inestabilidades térmicas. En cualquier fluido real se puede crear una inestabilidad térmica si se le sujeta a un calentamiento no uniforme desde su parte inferior. En la at-mósfera terrestre ese fenómeno es conocido con el nombre de la convec-ción libre o térmica [1]. Todas las estrellas gaseosas están formadas por un fluido real conductor denominado plasma, que sufre un calentamiento no uniforme debido al pro-ceso de combustión termonuclear, y también está bajo la influencia de un campo magnético autogenerado muy intenso [2]. Así, en la zona convectiva de esos cuerpos celestes existen corrientes de convección que tienen la misión de remover el calor producido y al mismo tiempo, alimentar con nuevo combustible al horno termonuclear [2]. Como es bien sabido, están formadas por una mezcla no homogénea de átomos neu-tros y de una gran cantidad de iones tanto positivos como negativos [2]. La migración iónica genera una distribución de corriente estacionaria localizada en alguna región de la zona convectiva que es la responsable de la creación del campo magnético autogenerado por todas las estrellas ga-
102 La migración iónica en las estrellas
seosas [3]. Ese campo es semejante al campo magnético bipolar de una ba-rra imantada [2]. En el caso del Sol la migración iónica produce intensas corrientes eléc-tricas que alimentan a los gigantescos electroimanes que se forman bajo la superficie solar a muy poca profundidad, en las que se podrían llamar las regiones de los trópicos. Esos enormes torbellinos iónicos son los genera-dores de los campos magnéticos típicos de las manchas solares [3]. Las manchas solares son regiones que se mueven en la superficie del Sol. Tienen la tendencia a aparecer en grupos bipolares con polaridades opues-tas como si fueran los polos de un imán de herradura. La polaridad de las parejas de manchas del hemisferio norte está siem-pre invertida con respecto a la de las parejas del hemisferio sur. Esa carac-terística de las manchas cambia cada 11.5 años en lo que se conoce como el Ciclo Solar [1]. El cambio de polaridad de los grupos bipolares de ambos hemisferios solo se puede explicar en términos de la influencia que tiene la llamada fuerza de Coriolis sobre el flujo iónico [3]. El Ciclo Solar es producto de esa misma influencia sobre la migración iónica de partículas con cargas opuestas. Así, en cada Ciclo Solar el flujo iónico está formado de manera predominante por cargas negativas, y en el siguiente ciclo que ocurre 11.5 años después, por iones positivos [3]. En consecuencia, se puede afirmar que la migración iónica no solo es responsable de que en las estrellas exis-ta un intenso campo magnético autogenerado; sino también en el caso del Sol, se produzcan las manchas solares, Evidentemente, ámbos fenómenos son creados por mecanismos dinámicos diferentes, aunque tengan raíces comunes. 1. El problema de la fuerza
El mecanismo generador del movimiento iónico tiene que estar regido por algún tipo de fuerza que tenga una dependencia con el agente que cree las inestabilidades térmicas responsables de la generación de las corrientes con-vectivas. Para hacer un análisis adecuado del problema, es necesario utilizar la ecuación de balance de momento de la Magnetohidrodinámica [ ]. A par-tir de ella se obtiene la siguiente ecuación de movimiento válida para cual-quier estrella gaseosa [1]
4ji
ijjr
HHx
ppdtd
gradv
; (1.1)
El problema de la fuerza 103
en donde v es la velocidad, la densidad de masa, p la presión total, pr la presión de la radiación, y H el campo magnético autogenerado. El término ij es la parte viscosa del tensor de esfuerzos generalizado [5]. Para el caso de la migración iónica y dado que la viscosidad de cualquier
medio continuo es un concepto fenomenológico en donde no se toma en
cuenta alguna estructura interna del sistema [1], se puede suponer que el término viscoso en (1.1) es irrelevante para el presente análisis. Por tanto, v es la velocidad promedio de cada especie iónica. Por otra parte, se supon-drá que la densidad de masa es solo función del radio estelar [1]. En consecuencia, de (1.1) se obtiene el siguiente resultado
42
2Hppdtd
rggradv ; (1.2)
en donde se ha realizado una operación analítica que técnicamente recibe el nombre de una integración por partes, y se ha usado el hecho que
rg ppp ;
en donde [2]
g
r
g
pH
aTp
Tp
431
2
4
R
(1.3)
En estas relaciones, R es la constante universal de los gases, T la tempe-ratura, el peso molecular promedio, y a = 7.6410-15 la constante de la ley de Stefan. En ese caso, de (1.2) se obtiene el siguiente resultado final
gradv dtd
; (1.4)
en donde
4
32 aT (1.5)
´
104 La migración iónica en las estrellas
es el potencial mecánico. Por tanto,
4
32 aTgradf (1.6)
es la fuerza por unidad de volumen que es el mecanismo dinámico que mueve al flujo iónico, y que claramente, es una función de la temperatura que a su vez, es el agente generador de las inestabilidades térmicas que producen las corrientes convectivas. 2. La velocidad de los iones De la mecanánica de partículas se tiene que el cambio en el momento de un cuerpo cualquiera durante el tiempo que actua sobre él una fuerza im-pulsiva es igual al impulso. Así, para cualquier ión se cumple que
tdfvd . (2.1) Como el impulso es igual para todos los iones, de (2.1) se obtiene el siguiente resultado
eeHH vv ; (2.2) En consecuencia, se tiene que
eeHH vmvm ; (2.3) en donde los subíndices se refieren a la masa y a la velocidad de cada es-pecie iónica, respectivamente. La masa del átomo de hidrogeno ionizado es aproximadamente igual a 2000 veces la masa del electrón libre; de mo-do que de (2.3) se obtiene el siguiente resultado
He vv 3102 . (2.4) En otras palabras, los electrones libres se mueven más rápido que los iones de hidrógeno. Eso significa que éstos últimos alcanzan las regiones
Conclusiones 105
en donde se generan las manchas solares con mucho retraso con respecto a los electrones libres; y esa diferencia en el tiempo de tránsito esta regida por el tamaño de sus masas. Si se ignora la enorme agitación térmica a la que están sujetas ámbas especies de iones, se puede hacer una estimación muy tosca de esas velo-cidades. Así, los iones de hidrógeno deben recorrer una distancia que es aproximadamente igual al radio del Sol, en 11.5 años. Es decir, si
;105.3
10951.68
5
segtkmR
y los iones hidrogeno se mueven con velocidad constante, se tiene que
13 .109.1
segkmvH ; y por tanto,
1.8.3
segkmve Conclusiones El problema de la migración iónica en estrellas gaseosas es de interés por-que es la causa primaria de la creación de ciertos procesos que dan origen a notables fenómenos estelares; que sólo se pueden explicar admitiendo la existencia de ese movimiento en el interior de esos astros. En el caso de todas las estrellas gaseosas, el tránsito de esos iones a través de la zona convectiva produce las condiciones requeridas para que exista el mecanis-mo dinámico responsable de la generación del campo magnético general que todos esos cuerpos celestes poseen. Una vez que ese movimiento migratorio hace su contribución a la distri-bución de corriente estacionaria y localizada en alguna región de las respec-tivas zonas convectivas; continúan su camino hacia la superficie para propi-ciar el otro mecanismo dinámico que genera las manchas estelares; que po-siblemente, sean un fenómeno que ocurre en todas las estrellas gaseosas. En otras palabras, el campo magnético autogenerado por todas las es-trellas gaseosas, y el fenómeno de las manchas que seguramente se da en todas ellas; tienen como causa primaria a la migración iónica.
106 La migración iónica en las estrellas
Referencias 1. Angel Fierros Palacios. The Hamilton-Type principle in fluid dyna-
mics. Fundamentals and applications to magnetohydrodynamics, Thermodynamics, and Astrophysiscs. Springer Wien New York, 2006.
2. Angel Fierros Palacios. The magnetic field in the stability of the stars. Por publicarse.
3. Angel Fierros Palacios. The Sunspots. Por publicarse.
107
Los quasars y la constante
de Hubble
Por definición, un Quasar es un objeto celeste muy brillante que muestra en su espectro un gran corrimiento hacia el rojo. Esa propiedad es carac-terística de los quasars y es lo que les da su misteriosa naturaleza. Para 1974 los espectros de alrededor de 200 quasars habían sido analizados y todos ellos exhibían enormes corrimientos hacia el rojo. La manera más sencilla de explicar ese hecho es suponer que los quasars son objetos ex-tremadamente lejanos que obedecen la ley de Hubble de modo que son los objetos extragalácticos más distantes que se conocen. Además, si sus corrimientos hacia el rojo son originados por la Expan-sión del Universo también resultan ser objetos muy luminosos. En efecto, se sabe que las galaxias no son los especimenes más luminosos del Cos-mos debido a que ese honor le pertenece a los quasars que pueden llegar a ser cientos de veces más luminosos que ellas. Originalmente los Quasars fueron descubiertos como intensas fuentes emisoras de radio por lo que se les llamó Radio Fuentes Cuasiestelares (Quasistellar Radio Sources), nombre que luego se abrevió para ser llama-dos Quasars. La cantidad total de energía emitida por ellos en el intervalo de las on-das de radio es un poco menor que su luminosidad óptica de manera que también son grandes emisores de radiación en la región visible del espec-tro. Por esa razón, el más intrigante de los problemas relacionados con los
quasars es su fuente de energía. Otro aspecto muy extraño surge de su tamaño, problema con el que se
tropezaron los investigadores cuando trataron de explicar la radiación óptica
procedente de fuentes rápidamente variables. Las observaciones hechas en la parte visible de su espectro mostraron que la radiación contínua emitida por esos objetos es variable con el tiempo. Muchos quasars muestran va-riaciones relativamente lentas incrementando y luego disminuyendo sus luminosidades sobre períodos de alrededor de un año, pero unos pocos son
108 Los quasars y la constante de Hubble
mucho más violentos incrementando su luminosidad en períodos de un día o un poco menos. Como ninguna señal puede viajar más rápido que la luz se tuvo que con-cluir que esos objetos tendrían que ser muy pequeños. Cuando el tamaño de los quasars fue señalado por primera vez en 1966, algunos científicos dijeron que el problema era lo suficientemente serio como para poner en tela de juicio sus distancias cosmológicas debido a que si se les considera-ba como objetos más cercanos, no habría necesidad de admitir que su lu-minosidad fuera tan grande y por supuesto el problema del tamaño estaría automáticamente resuelto. Sin embargo, de acuerdo con las observaciones más recientes, actualmen-te se tiene la certeza de que la radiación óptica de los quasars proviene de una
región muy pequeña y por tanto resulta desconcertante que tanta radiación proceda de un objeto tan pequeño. De acuerdo con todo lo anterior la pre-gunta que surge es la siguiente: ¿cómo es posible que un volumen tan pe-queño produzca tanta energía? 1. La emisión de energía y el tamaño de los quasars
Si algunos resultados de la Teoría Especial de la Relatividad de Einstein son tomados en cuenta es posible proponer una solución que explique si-multáneamente el problema del tamaño y también el de la gran luminosi-dad de los quasars. De acuerdo con esa teoría, ningún cuerpo material tiene la posibilidad de viajar con una velocidad mayor que la velocidad de la luz en el espacio vacío de modo que es obvio que ninguno de ellos puede ser acelerado más allá de la barrera de la luz. Este argumento es válido en la actualidad. Con relación a los quasars, todos ellos son objetos materiales que tienen una masa propia diferente de cero. Esto significa que solo pueden moverse
a velocidades menores que la velocidad de la luz en el espacio vacío y des-de luego, solo es posible que lo hagan mediante un proceso de aceleración. Sin embargo, en su artículo original Einstein dijo que existe un límite superior para la velocidad de los cuerpos materiales, barrera que no pue-den alcanzar y mucho menos superar. En efecto, la energía total emitida
por esos objetos llegaría a ser infinitamente grande si su velocidad fuera igual a la velocidad de la luz, como es fácil ver de la siguiente ecuación relativista de transformación
La emisión de energía y el tamaño de los quasars 109
2
2
2
1cv
cmo
. (1.1)
Este importantísimo resultado relativista muestra en particular, que la
energía total de un cuerpo libre no se hace cero cuando v = 0 sino que más bien toma el siguiente valor finito = 2cmo ; (1.2) en donde mo es la masa propia. Este último resultado es llamado la energía en reposo del cuerpo. Existe además otra ecuación relativista de transformación para el volumen de los cuerpos materiales. Como las dimensiones transversales no cambian debido al movimiento, el volumen V de un cuerpo disminuye de acuerdo con la siguiente fórmula
2
2
1cvVV o ; (1.3)
en donde Vo es el volumen propio del cuerpo. Una inspección cercana de las ecuaciones (1.1) y (1.3) muestra que cuando v c ,E y V 0. Así, cuando la velocidad de un quasar se acerca a la velocidad de la luz en el espacio vacío su energía total emitida tiende al infinito y su volumen o tamaño tiende a cero. Puesto que es absurdo admitir que cualquier quasar con masa propia finita igual a mo tenga energía infinita y al mismo tiempo tamaño cero, se debe concluir que es imposible que se pueda mover con la velocidad de la luz en el espacio vacío. Sin embargo, las ecuaciones relativistas de transformación (1.1) y (1.3) muestran que en un caso la gran energía total emitida por los quasar y en el otro su tamaño pequeño son consecuencias de sus enormes velocidades de recesión de tal suerte que tomando en cuenta los grandes corrimientos hacia el rojo de sus espectros, las anteriores conclusiones son suficientes para explicar la gran luminosidad de esos objetos y al mismo tiempo su tamaño pequeño, como es fácil ver de las siguientes gráficas
E
E
110 Los quasars y la constante de Hubble
2. La lente relativista El efecto relativista sobre la emisión total de energía y tambien sobre el tamaño de los quasars aparentemente actúa como una clase de lente. En efecto, de acuerdo con la fórmula (1.3) el volumen V disminuye cuando la velocidad de recesión del quasar tiende a la velocidad de la luz. Al mismo tiempo la energía total por él emitida y también su masa, tienden al infini-to cuando v tiende a c. Es bien sabido de la Optica que la razón del tamaño de la imagen de un objeto q al tamaño del objeto p es lo que se llama la Amplificación M , de modo que M=q/p. De acuerdo con la ecuación relativista de transformación (1.3), se puede considerar que V es el volumen imagen y Vo el volumen ob-jeto de tal manera que
2
2
1cvM . (2.1)
Como v es menor que c siempre, M es menor que 1 y entonces V es me-nor que Vo siempre. Esto significa que el efecto de una velocidad de recesión muy grande es el de disminuir el tamaño del volumen imagen. Por otra parte, de la otra ecua-ción de transformación relativista, es decir, la relación (1.1), E es la energía total imagen y Eo = moc 2 la energía total objeto de modo que
1/ MoEE . (2.2)
2cmo
E
v c c v
oV
V
El corrimiento hacia el rojo y la constante de Hubble 111
Como M es menor que 1, M – 1 es mayor que 1 siempre y entonces, una velocidad de recesión v muy grande produce en este caso un efecto de am-plificación de tal suerte que la energía total imagen E es siempre mayor que la energía total objeto E o
Todo lo anterior implica que debido a las grandes velocidades de recesión de los quasars la imagen que vemos de la energía total emitida está ampli-ficada por efecto relativista en tanto que por el mismo efecto, la imagen del tamaño que percibimos está disminuida. 3. El corrimiento hacia el rojo y la constante de Hubble El corrimiento hacia el rojo de un quasar se denota usualmente de la si-guiente manera
z ; (3.1)
en donde es el corrimiento en longitud de onda de una línea espectral y la longitud de onda que esa línea tenía cuando dejó el quasar. Los valores de los corrimientos hacia el rojo de los quasars son relativa-mente pequeños; van desde 0.158 para el quasar 3C 273 hasta 3.53 para el quasar OQ 172 que es el objeto extragaláctico más distante que se conoce en la actualidad. Los corrimientos hacia el rojo también se pueden expre-sar como una velocidad usando la fórmula del corrimiento Doppler. Sin embargo, si la velocidad es pequeña comparada con la velocidad de la luz normalmente se usa la siguiente forma simplificada
cv
; (3.2)
en donde v es la velocidad del objeto y c la velocidad de la luz. Dado que los quasars tienen corrimientos hacia el rojo muy grandes en sus espectros que muestran que esos objetos se están moviendo a veloci-dades de recesión relativistas, es necesario usar la fórmula exacta relati-vista para el corrimiento Doppler
1
/1/1
2/1
2/1
cvcv
. (3.3)
112 Los quasars y la constante de Hubble
De esta ecuación se obtiene que
22
22
2
zzzz
cv
; (3.4)
en donde z es el corrimiento hacia el rojo medido del espectro. Considérese ahora que
cvZ , (3.5)
con Z el corrimiento hacia el rojo relativista correspondiente a una veloci-dad de recesión v que siempre es menor que la velocidad de la luz en el espacio vacío. De acuerdo con el fenómeno evolutivo conocido como la Expansión del Universo la velocidad de recesión y la distancia están correlacionadas. A mayor distancia más grande es la velocidad. A esa relación se le llama la ley del corrimiento hacia el rojo o tam-bién la ley de Hubble que se puede expresar como sigue: La velocidad de
recesión es igual a la constante de Hubble por la distancia
Hrv ; (3.6)
en donde H es la constante de Hubble. Así, sustituyendo (3.5) en (3.6) se obtiene que
r
ZcH (3.7)
con Z el corrimiento hacia el rojo relativista. En ese caso, se puede comparar cualquier pareja de quasars y conside-rar a uno de ellos como la unidad de medida de tal suerte que
oo rr
ZZ 11 ; (3.8)
El corrimiento hacia el rojo y la constante de Hubble 113
en donde Zo y ro son el corrimiento hacia el rojo relativista y la distancia de la unidad de medida, en tanto que Z1 y r1 son el corrimiento hacia el ro-jo relativista y la distancia del otro quasar. Así, para calcular distancias extragalácticas solo es necesario utilizar la ecuación (3.4) para obtener el corrimiento hacia el rojo relativista a partir del corrimiento hacia el rojo medido directamente en el respectivo espectro y luego utilizar la relación siguiente
0
0
ZZr
r . (3.9)
Aún cuando no es posible usar el grupo local de galaxias para calcular la constante de Hubble debido a que a las distancias a las que se encuen-tran los movimientos locales pueden enmascarar el movimiento debido a la Expansión del Universo, sí se pueden utilizar como paso previo para calcular los datos requeridos para la unidad de medida. El cúmulo de Virgo es el más cercano de los conglomerados de galaxias. Se encuentra a 23.9 Megaparsecs de distancia y de acuerdo con el corri-miento hacia el rojo de su espectro su velocidad de recesión es igual a 1200 km.seg –1. Como esta velocidad es pequeña en comparación con la de la luz, se puede usar la ecuación (3.2) del corrimiento Doppler simpli-ficado para obtener que z = 0.410-2. Por otra parte, el corrimiento hacia el rojo obtenido directamente del espectro del quasar 3C 273 que es el más brillante conocido, es igual a z = 0.158 de modo que de la ecuación (3.4) se obtiene el correspondiente corrimiento hacia el rojo relativista que es igual a Z = 0.1457. Utilizando los datos anteriores para el cúmulo de Virgo y la ecuación (3.9) se tiene que 871r Megaparsecs. Considérese como unidad de medida al quasar 3C 273 del que se sabe que
.871
1457.0
0
0
ecsMegaparsrZ
(3.10)
Con estos datos y mediante el uso de la ecuación (3.9) y de la fórmula (3.4) para calcular los corrimientos hacia el rojo relativistas a partir de los respectivos corrimientos hacia el rojo medidos directamente de los espec-tros y reportados en la literatura especializada se obtienen los siguientes re-sultados.
114 Los quasars y la constante de Hubble
QUASAR
CORRIMIENTO
HACIA EL ROJO
z
CORRIMIENTO
HACIA EL ROJO
RELATIVISTA
Z
DISTANCIA EN
MEGAPARSECS
3C 273 0.158 0.1457 871 3C 48 0.367 0.3028 1810
3C 147 0.545 0.4095 2448 4C 39.25 0.698 0.485 2899 3C 196 0.871 0.5556 3322 OQ 172 3.53 0.9071 5422
De la relación (3.7) y mediante el uso de los datos numéricos de la ta-bla anterior se obtiene en todos los casos que el valor actual de la constan-te de Hubble es de 50.2 kilómetros por segundo por Megaparsec. Es importante hacer notar lo siguiente: cuando se observan objetos extra-galácticos cada vez más lejanos lo que en realidad se hace es internarse en las profundidades de un pasado cada vez más remoto de tal suerte que esos objetos se ven como eran en esas distantes épocas y no como son en la ac-tualidad. Por ejemplo, el Quasar OQ172 se encuentra situado a la distan-cia de 5,422 millones de parsecs, lo que es lo mismo a 17,676 millones de años – luz. Como la luz procedente de él ha tardado 17,676 millones de años en alcanzar la Tierra, lo que se observa es a ese Quasar como era en
ese remotísimo pasado y no se tiene posibilidad alguna de saber como es en este momento. Si entonces se movía a la velocidad de 272,300 km.seg
-1 como está determinado por la magnitud de su corrimiento hacia el rojo re-lativista que es igual a 0.9071, actualmente podrá haber disminuido su enor-me velocidad relativista y quizás estará próximo a detenerse. Esta misma argumentación se aplica a los otros Quasar de la tabla anterior. Así, cuando se grafica el corrimiento hacia el rojo relativista Z, que siem-pre es menor que 1 para todos esos casos, contra las respectivas distancias en millones de parsecs, se obtiene una línea recta como era de esperarse. Sin embargo, y dado que Z no puede ser igual o mayor que 1 la recta se puede extender en la forma como se hace en la siguiente gráfica y conside-rar que para el caso en que Z=0.9987… se está alcanzando la velocidad límite a la que le es permitido moverse a cualquier objeto material con masa propia finita, y a ese valor hipotético de Z le corresponde una dis-tancia igual a 19,463 millones de años – luz que se puede interpretar como el Radio Máximo del Universo. En otras palabras, si el cero de la gráfica se toma como si fuera el Gran estallido (Big Bang) el tamaño del Universo es igual a 38,926 millones de
El corrimiento hacia el rojo y la constante de Hubble 115
años – luz magnitud que corresponde al diámetro de una esfera en cuatro dimensiones. Por otra parte, si en verdad el Universo comenzó como un Gran Esta-llido (Big Bang) esa explosión tuvo que emitir una ingente oleada de ra-diación sumamente energética en la forma de rayos X y rayos gama. A la distancia a la que se detectaría el balón de fuego el corrimiento hacia el rojo sería tan gigantesco que esas radiaciones se verías desplazadas hasta la re-gión de las microondas en el espectro electromagnético. Así, en cualquier dirección que se enfocara un radiotelescopio se de-bería detectar un fondo general de microondas. En efecto, después de eli-minar la influencia de todas las emisiones de microondas los astrónomos han observado todavía un fondo general muy débil de radiación de micro-ondas correspondiente a la temperatura de 3 grados Kelvin. Con esto el hombre ha escuchado el eco del Gran Estallido (Big Bang) resonando aún por todo el espacio. Finalmente y de acuerdo con todo lo dicho anteriormente, existen sufi-cientes razones para afirmar que los quasars parecen ser cierto tipo de ga-laxias que forman el grupo de las llamadas Galaxias de Seyfert y también de otro grupo conocido con el nombre de N-galaxias que están tan aleja-das que solo es visible su núcleo central. En un sentido, las N-galaxias son los equivalentes ópticos de las fuentes de radio compactas ya que mucha
Barrera Lumínica
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1500 3000 4500 6000
3C273 3C48
3C147 4C29.25 3C196
OQ172 Z
r
Radio del Universo
0: El Gran Estallido (Big Bang) Z: Corrimiento hacia el rojo relativista r: Distancia en millones de parsecs
Radio Máximo del Universo
r
116 Los quasars y la constante de Hubble
de su luminosidad está contenida en un pequeño y brillante cuasiestelar núcleo. Sus propiedades se parecen mucho a las de los quasars. Tanto los espectros de las N-galaxias como los de las galaxias de Seyfert se pueden explicar de la misma manera como se explican los espectros de los quasars. También es posible suponer que la rapidez con que varían las luminosi-dades de algunos quasars, quizás los más distantes, se deba al efecto relati-vista sobre el tamaño de esos objetos. Para concluir, con el auxilio del esquema del corrimiento hacia el rojo de las líneas espectrales es posible proponer otra metodología para calcu-lar el valor exacto de la constante de Hubble. Referencias 1. Fierros Palacios A. Origen y destino final del Universo (2007) Bo-
letín IIE. Año 30 Julio – Septiembre (2006), Vol. 30, num. 3 2. Fierros Palacios A. La constante de Hubble y la edad del Universo
Por publicarse en el Boletín IIE. 3. Weinberg, Steven. Gravitation and Cosmology. Principles and Ap-
plications of the General Theory of Relativity. (1972) Wiley & Sons. Inc. New York London Sydney Toronto
4. Resnick, Robert. Basic concepts in Relativity and early Quantum Theory. (1997). (Versión en español de la Editorial Limusa). John Wiley & Sons.
5. Shipman L. Harry. Black Holes, Quasars & the Universe (1976). Honghton Mifflin Company, Atlanta Dallas Geneva, Illinois Hopewell, New Jersey Palo Alto London.
6. L.D. Landau and E.M. Lifshitz. The Classical Theory of Fields. (1962). Pergamon Press, Oxford. London. Paris. Frankfurt. Addi-son-Wesley Publishing Company, Inc. Reading. Massachusetts U.S.A.
7. G. Gamow and J.M. Cleveland. Physics. Foundations and Frontiers. (1960). Prantice-Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey.
117
La constante de Hubble y la edad
del Universo
Uno de los aspectos más interesantes del modelo cosmológico conocido en la literatura especializada como el Gran Estallido (Big Bang) es ese ex-traordinario fenómeno evolutivo denominado la Expansión del Universo. Otro es aquel que se refiere al hecho que ese proceso se inició en algún momento definido de un pasado remoto pero finito. Las Cosmologías Evo-lucionistas afirman que el Universo se ha estado expandiendo por mucho tiempo y aún lo sigue haciendo con un movimiento característico que es visible en la actualidad. También se dice que la rata de expansión determi-na la edad del Universo y que la llamada constante de Hubble es la que mi-de con qué rapidez está ocurriendo ese proceso. Esa constante está conte-nida en la ley de Hubble que es la expresión analítica que describe la Ex-pansión del Universo. De acuerdo con esa ley, la velocidad de recesión v de un objeto extragaláctico cualquiera es igual a la constante de Hubble H por la distancia d a la que se encuentra ese objeto, es decir v = Hd. Si el valor de H es grande la expansión procede con rapidez y el Universo es joven y si por el contrario su valor es pequeño, la expansión ocurre con lentitud y el Universo es viejo. Lo anteriormente dicho lleva implícita la presunción de que no ha habido cambios en la rata de expansión. La edad del Universo estimada de esa manera es llamada el tiempo de Hubble. La constante de Hubble es también usada en otras áreas de la Astronomía Extragaláctica, como por ejemplo para estimar las distancias a las que se encuentran los Quasars. Por definición, un quasar es un objeto brillante cuyo espectro presenta un corrimiento hacia el rojo muy grande. Son tam-bién intensas fuentes emisoras de radio. El valor exacto de H es muy importante para la Cosmología. Sus unida-des son kilómetros por segundo por Megaparsec. Así, un objeto extragalác-tico que está un Megaparsec mas distante que otro objeto también extraga-láctico, su velocidad de recesión es el doble de la del primer objeto, es de-cir si r2=2r1, de acuerdo con la ley de Hubble v2=2v1. Incidentalmente, el
118 La constante de Hubble y la edad del Universo
parsec es una unidad que se usa en Astronomía para medir grandes distan-cias. Equivale a 3.26 años-luz, en tanto que el año-luz es la distancia que recorre la luz en un año a la velocidad de 300,000 kmseg-1. Un megaparsec equivale a un millón de parsecs o también a 3.26 mi-llones de años-luz. La constante de Hubble se puede medir con facilidad si se usa el esque-ma del corrimiento hacia el rojo de las líneas espectrales. El procedimien-to es el siguiente. Se observa una galaxia cualquiera y se determina su ve-locidad de recesión a partir del corrimiento Doppler de las líneas de su es-pectro. Enseguida y usando alguna metodología se mide la distancia a la que se encuentra y con ello se obtiene H como la velocidad de recesión entre la distancia. Sin embargo, ese método tiene algunas dificultades debido a que solo se pueden medir distancias con exactitud observando galaxias cercanas en donde sea posible distinguir estrellas individuales. El proble-ma reside en el hecho que los movimientos caóticos de esas galaxias a través del espacio pueden enmascarar la Expansión del Universo. Esos movimientos al azar pueden ser en general de algunos cientos de kilómetros por segundo. Es necesario pues, explorar regiones del espacio que se encuentren a decenas o aún centenas de megaparsecs de distancia de la Tierra para estar seguros que lo que se observa es la Expansión del Universo y no algún movimiento local. Infortunadamente a tan grandes distancias no es posible distinguir es-trellas individuales en galaxias muy lejanas. Entonces, ¿cómo es posible medir distancias extragalácticas? Una posibilidad consiste en utilizar co-mo pasos intermedios a las galaxias del llamado Grupo Local o también a otras galaxias cercanas; pero aún así el problema antes mencionado sub-siste. Para realizar esa tarea básica es necesario hacer un alto para examinar algunos métodos que se utilizan en Astronomía para medir distancias. 1. Técnicas para medir distancias astronómicas
Las distancias a las estrellas más cercanas se pueden medir por triangula-ción o paralaje examinando la posición de la estrella desde los extremos opuestos de la órbita terrestre. Si la estrella está cerca subtenderá un ángu-lo grande cuando es observada desde esos extremos. Si por el contrario está muy lejos el ángulo será más pequeño. En cualquier caso el tamaño del ángulo determina la distancia a la que se encuentra la estrella. Así, un ángu-lo de paralaje de un segundo de arco equivale a un parsec.
Técnicas para medir distancias astronómicas 119
Otra técnica que se usa está basada en el movimiento de las estrellas a través del espacio. Sin embargo, es importante mencionar que los movi-mientos estelares se deben visualizar en tres dimensiones. Es posible que una estrella se mueva en una dirección exactamente perpendicular a la línea visual o exactamente paralela a ella; pero esas situaciones son extremada-mente improbables. Es mucho más probable que lo hagan en alguna direc-ción intermedia, en cuyo caso el movimiento se puede separar en dos com-ponentes, una en la dirección de la línea de observación y otra formando un ángulo recto con ella; como es fácil ver en el siguiente diagrama La componente situada a lo largo de la línea visual es la velocidad ra-dial debido a que representa un movimiento hacia el observador o aleján-dose de él. La componente perpendicular a la línea visual es la velocidad transversal y es la que desplaza al astro a través del espacio. Las dos com-ponentes de la velocidad real se calculan de manera completamente dife-rente. La velocidad radial se refleja en el espectro de la estrella en virtud del Efecto Doppler. Así, midiendo el desplazamiento de las líneas espec-trales se puede calcular directamente la velocidad radial en kilómetros por segundo. El cálculo es absolutamente independiente de la distancia a la que se encuentra el astro. La velocidad transversal no se refleja en el espectro pero si se manifies-ta en la forma de un desplazamiento a través del espacio como un movimien-
Orbita de la Tierra
Sol Estrella cercana
Estrella lejana
Angulo de paralaje
radial velocidad
velo
cid
ad
tran
sver
sal
real velocidad
Observador
120 La constante de Hubble y la edad del Universo
to propio y se mide en ángulos de arco. Si se desea convertir el movimien-to propio en segundos de arco en una velocidad transversal en kilómetros por segundo, es necesario conocer la distancia a la que se encuentra la estre-lla. La forma más elemental y común de determinar distancias en Astrono-mía es medir el brillo aparente de objetos familiares. Supóngase que un astro se mueve alejándose de la Tierra de modo que se va haciendo más y más pálido siguiendo una ley matemática exacta. De acuerdo con ella, siempre que no exista nada en el espacio entre la estrella y el observador la cantidad de energía luminosa que llega a éste disminuye como el inver-so cuadrado de la distancia, es decir como 1/d
2. De esta manera, si un astró-nomo está observando un astro y lo reconoce como algún tipo familiar de estrella puede saber lo brillante que sería si estuviera a alguna distancia dada de la Tierra. En ese caso podría medir lo brillante que es realmente y con ello determinaría lo lejos que está. El método funciona bastante bien cuando se hace la suposición de que ese astro es idéntico al Sol. Infortu-nadamente la aplicación de esa técnica es tosca en sus resultados ya que en la mayoría de los casos éstos son erróneos porque muchas de las estre-llas distan bastante de ser iguales al Sol. A pesar de eso el principio es váli-do y parcialmente por razones históricas, los astrónomos han adoptado un formalismo diferente para hacer tales mediciones. Lo que se utiliza en ge-neral es el brillo de las estrellas debido a que la brillantez de un astro como se ve en el cielo es medida por su magnitud aparente o visual. El brillo que la estrella tendría si estuviera situada a una distancia patrón de diez parsecs es su magnitud absoluta. La diferencia entre las magnitudes apa-rente y absoluta cuidadosamente corregida tomando en cuenta la absorción de la luz por el material interestelar, es llamada el módulo de distancia que da la distancia de la estrella mediante la aplicación de la ley que relaciona el brillo con la distancia. Resumiendo, si se conoce la magnitud absoluta de una estrella se puede saber que tan brillante sería si estuviera a la dis-tancia patrón de diez parsecs. De esa manera es fácil determinar lo brillan-te que es en realidad. La diferencia entre esos dos brillos usualmente se expresa en magnitudes y muestra lo cercana o lejana que está la estrella con respecto a la distancia de diez parsecs propuesta. La parte difícil de éste método se centra en la determinación de la magnitud absoluta de una estrella dada. Desde luego que sería muy hermoso que la luz estelar arriba-ra al observador portando una pequeña banderita que indicara la clase de estrella que la está emitiendo. En ese caso se podría buscar su magnitud en las tablas que se tienen con las magnitudes absolutas de las estrellas más
Cúmulos de galaxias 121
cercanas y comparar su distancia con las distancias de esos astros que se han determinado por el método de triangulación. En muchos casos el espectro de una estrella puede actuar como bande-ra debido a que estrellas similares tienen también espectros similares. Pero esto tampoco ayuda mucho. Las estrellas en la galaxia Andrómeda por ejemplo simplemente son demasiado pálidas como para poder obtener su espectro. En ese caso, ¿cómo resolver el problema? Para medir las distancias a las galaxias cercanas como aquellas que for-man el Grupo Local es necesario observar objetos luminosos en esas ga-laxias cuyas magnitudes absolutas pueden ser determinadas. Por fortuna, existe un cierto tipo de estrella cuya luz apropiadamente interpretada, in-dica su magnitud absoluta como si sus fotones portaran una pequeña se-ñal. Esas estrellas son las llamadas Variables Cefeidas cuyo brillo no se mantiene constante. Sobre periodos que pueden ser en cada caso de horas, días o unos pocos meses, incrementan su brillo y luego declinan una y otra vez con una regularidad muy marcada. En 1912 Henrietta Leavitt propuso
que a un periodo largo le corresponde un brillo mayor. Ese descubrimiento hizo posible que los astrónomos pudieran medir las distancias a las ga-laxias cercanas. Esto es así porque el periodo de pulsación de una Variable Cefeida es como una etiqueta de la estrella que indica su magnitud absolu-ta. Sin embargo, las distancias a las galaxias que están el Grupo Local tam-poco pueden ser usadas para determinar el valor de la constante de Hubble
debido a que sus movimientos locales son mucho más grandes que el mo-vimiento debido a la Expansión del Universo. 2. Cúmulos de galaxias
Mientras que las Cefeidas no pueden ser usadas para medir directamente las distancias a las galaxias más lejanas, las distancias que se obtienen con el auxilio de esas estrellas variables intrínsecas dentro del Grupo Local, ha-cen posible usar a las galaxias más cercanas como punto de partida. El pro-cedimiento está basado en él supuesto que las estrellas más brillantes en el Grupo Local parecen tener todas la misma magnitud absoluta; es decir, la misma luminosidad. Como esas estrellas existen en las galaxias más aleja-das y también ahí son visibles se podría usar al Grupo Local de galaxias en las que las Variables Cefeidas se puedan utilizar para obtener distancias, como eslabones intermedios. El procedimiento es el siguiente. Determinar las distancias al Grupo Local utilizando a las Variables Cefei-das.
122 La constante de Hubble y la edad del Universo
Determinar las magnitudes absolutas de las estrellas más brillantes en esas galaxias a partir de las distancias obtenidas con las Cefeidas. Estimar las distancias a las galaxias más lejanas usando las magnitudes absolutas obtenidas para esas estrellas muy brillantes. La metodología anterior se ha ido refinando mediante el uso de un núme-ro mayor de pasos eslabonados para pasar de las galaxias más cercanas has-ta las más alejadas. De esa manera se han calculado diferentes valores pa-ra la constante de Hubble que van desde el primer valor propuesto por el propio Hubble de 526 kilómetros por segundo por megaparsec que muy rápidamente fue desechando por improbable, hasta el valor de 53 kilóme-tros por segundo por megaparsec que es el que se acerca más al valor exacto de esa constante. El procedimiento anterior se hace un poco más claro si se siguen los pasos realizados por los astrónomos G. Abell y J. Eastmand. Esos científicos utilizaron el Cúmulo de Virgo, que es el siste-ma de galaxias más rico y cercano a la Tierra como paso intermedio y compararon ese cúmulo con cúmulos de galaxias similares que se encuen-tran a grandes distancias como son el Cúmulo Cabellera de Berenice (Co-ma Berenices) y el Cúmulo Corona Boreal (Corona Borealis). Puesto que todos esos cúmulos son del mismo tipo, es razonable suponer que las mag-nitudes absolutas de las galaxias que se encuentran en los cúmulos más dis-tantes son las mismas que las de las galaxias comparables con ellas del Cúmulo de Virgo. Es decir, la galaxia más brillante del Cúmulo Cabellera de Berenice tendría la misma magnitud absoluta que la galaxia más brillan-te del Cúmulo de Virgo. Las siguientes galaxias menos brillantes se com-pararían del mismo modo. Lo dicho anteriormente también es válido para el caso del Cúmulo Corona Boreal. Así, usando la distancia de 14.8 me-gaparsecs para el Cúmulo de Virgo pudieron determinar las magnitudes absolutas de las galaxias mismas. De esa manera esos astrónomos encon-traron distancias de 130 megaparsecs para el Cúmulo Cabellera de Bere-nice y 410 megaparsecs para el Cúmulo Corona Boreal. Los corrimientos hacia el rojo de esos dos cúmulos proporcionan sus velocidades de recesión y con ello dan como resultado para la Constante de Hubble un valor de 53 kilómetros por segundo por megaparsec en cada caso. 3. Distancias, energía total y velocidades de recesión A continuación se presentará un método analítico desarrollado por el autor para calcular la constante de Hubble como un procedimiento alternativo al esquema del corrimiento hacia el rojo de las líneas espectrales. La meto-
Distancias, energía total y velocidades de recesión 123
dología siguiente está basada en la ley del inverso cuadrado de la luz y en un importante resultado de la Teoría Especial de la Relatividad de Albert Einstein. Como ya se dijo antes, las distancias en el Universo son tan grandes que no pueden ser medidas directamente. La única manera de realizar observa-ciones que entren en el esquema es suponer que existen algunos tipos se-lectos de sistemas astronómicos uniformes llamados Luminarias Patrón que son objetos cuya luminosidad es la misma en cualquier parte del Uni-verso de tal suerte que sus distancias pueden ser estimadas a partir de su brillo aparente o magnitud visual. En consecuencia, usando una galaxia de algún cúmulo de galaxias que se encuentra a cientos de megaparsecs de distancia como unidad de medida y a un quasar como un objeto cosmoló-gico extremadamente distante como Luminaria Patrón, se puede obtener una expresión analítica para la constante de Hubble sin tener que utilizar el esquema del corrimiento hacia el rojo de las líneas espectrales. El pro-cedimiento es el siguiente. Considérese una galaxia de cualquier cúmulo de la que sea posible co-nocer su luminosidad ( r ) y su distancia r, de tal suerte que sea la unidad de medida. Enseguida, es necesario utilizar otro cuerpo extragaláctico co-mo un quasar por ejemplo, que se encuentre a la distancia r y que tenga una luminosidad ( r ). Utilizando la ley inverso cuadrado de la luz se pue-de hacer la siguiente comparación
.2
*
**
rr
rr
(3.1)
De ésta relación se obtiene el siguiente resultado
.11 2/1*
*
rr (3.2)
Debido a la Expansión del Universo, el quasar utilizado como Lumina-ria Patrón se aleja de la Tierra con una velocidad de recesión v cuyo va-lor se puede obtener de la siguiente ecuación relativista de transformación
2
2*
*
1cv
o
; (3.3)
en donde E * es la energía total emitida por el quasar, Eo = mo c2 su energía en reposo, mo su masa propia y c la velocidad de la luz en el espacio vacío.
* * *
*
E E *
* * *
124 La constante de Hubble y la edad del Universo
De la relación anterior se obtiene el siguiente resultado
cv 1457.0* . (3.4) Usando la ley de Hubble v =Hr y los resultados (3.2) y (3.4) se obtie-ne la siguiente expresión analítica para la constante de Hubble
2/1rAH ; (3.5)
en donde 2/1
*1457.0 cA (3.6) es una constante. Considérese al quasar 3C273 que se encuentra a la dis-tancia
csmegaparser 871* . En ese caso, usando a Messier 87, que es la más cercana galaxia elípti-ca gigante del Cúmulo de Virgo como punto de partida y de la que se co-nocen los datos siguientes
,9.23.1092.2 145
csmegaparsergseergs
y a la ecuación (3.1), se obtiene directamente que
142* 102.2 segergs ,
que es la luminosidad del quasar 3C273 que se usará como Luminaria Pa-trón. De esa manera se obtiene para A el siguiente valor numérico
225 ..1048.6 segergskmA ; (3.7) de modo que en (3.5)
...1048.6 112/1
25
mpcsegkmr
H
(3.8)
*
*
La edad del Universo 125
Supóngase que como unidad de medida se utiliza como primer ejemplo a la galaxia más brillante del Cúmulo Cabellera de Berenice que se encuen-tra a 130 megaparsecs de distancia. En ese caso, con los datos de la Lumina-ria Patrón y usando la ecuación (3.1) se tiene que
143 .1088.9 segergs , y entonces en (3.8) se obtiene el siguiente resultado
11.2.50 mpcsegkmH . Como segundo ejemplo se usó la galaxia más brillante del Cúmulo Co-rona Boreal y se hizo un cálculo semejante al anterior tomando en cuenta que ahora r 410 megaparsecs; para obtener que para ese objeto extraga-láctico
142 .1093.9 segergs . Para este caso también se obtuvo que
11.2.50 mpcsegkmH . Ese mismo valor para H se obtiene cuando se utiliza el método propues-to y se consideran como unidades de medida al Cúmulo Osa Mayor y a los quasars 3C147 y 3C196. Por tanto, es razonable concluir que el valor numé-rico obtenido para H es el correcto. 4. La edad del Universo Dado que la rata de expansión determina la edad del Universo y la cons-tante de Hubble mide la rapidez con que el Universo se está expandiendo, se puede hacer un simple análisis dimensional de la ley de Hubble v = Hr para asegurar que H también tiene unidades de recíproco de tiempo. En consecuencia, sea
H1
(4.1)
126 La constante de Hubble y la edad del Universo
el tiempo de Hubble que mide el tiempo transcurrido desde el instante en que ocurrió el Gran Estallido (Big Bang) hasta la época actual y que se puede interpretar como la edad del Universo. Así y de acuerdo con el va-lor numérico de H
kmmpcseg ..
2.501
. (4.2)
Ahora,
.1032.0110085.31
7
19
añossegkmcmegaparse
(4.3)
En ese caso,
años61212
10665,1910019665.02.50
1032.0085.3
. (4.4)
En otras palabras, la edad actual del Universo es igual a diecinueve
mil seiscientos sesenta y cinco millones de años. Referencias 1. Fierros, Angel. Hubble´s Constante (2005). Por publicarse. 2. Heinberg. Steven. Gravitation and Cosmology. Principles and Ap-
plications of the General Theory of Relativity (1972). J. Wiley & Sons. Inc. New York London Sydney Toronto.
3. Resnick, Robert. Basic concepts in Relativity and Early Quantum
Theory (1997). John Wiley & Sons. 4. Shipman L, Harry. Black Holes, Quasars & the Universe (1976)
Hongthon Mifflin Company, Atlanta Dallas Geneve, Illinois Hopewell, New Jersey, Palo Alto London
5. Abell, George. Exploration of the Universe. Second Edition (1969) olt, Rinehart and Winston, New York Chicago Atlanta Dallas Mon-treal Toronto London Sydney.
127
Origen y destino final del Universo
Cuando se observa el cielo a simple vista en una noche obscura el Uni-verso aparenta ser estático, plano e infinitamente grande. Se extiende en todas direcciones hasta el infinito y no se ve que tenga algún principio o fin. Aparentemente siempre ha sido y siempre será así de modo que lo más que se podría decir es que el Universo simplemente es. Sin embargo, y debido a que todos los objetos que contiene están sujetos a fuerzas gra-vitacionales que son atractivas, un Universo estático sería inestable por lo que hace mucho se habría colapsado gravitacionalmente. Como también parece ser infinitamente grande, la Tierra estaría inundada de luz y calor de modo que tampoco la vida sería posible en ella. Claramente, todo lo que se ha dicho no concuerda con la realidad y la observación lo contradice. La idea del infinito siempre ha incomodado a los científicos. Inevitable-mente surgen preguntas bastante razonables como por ejemplo ¿en dónde acaban las estrellas? o ¿a qué distancia se localiza la estrella más lejana?
En consecuencia, fue también inevitable que la hipótesis de la existencia de un posible Universo infinito hubiese sido cuestionada desde dos fren-tes: uno teórico y otro basado en la observación. 1. La paradoja de Olbers Las razones teóricas en contra del infinito surgieron de algunas ideas ex-puestas por el astrónomo alemán Olbers quien en 1826 sugirió lo que más tarde se conocería como la paradoja de Olbers. Lo que esencialmente hizo ese astrónomo fue formular una simple pregunta: sí el Universo se exten-día en todas direcciones hasta el infinito, ¿porqué las noches eran obscuras? Para hacer un análisis adecuado del problema, Olbers partió de los si-guientes supuestos: 1. El Universo tiene una extensión infinita. 2. Contiene un número infinito de estrellas distribuidas uniforme-
mente a través de todo el espacio.
128 Origen y destino final del Universo
3. Las estrellas tienen una luminosidad media uniforme a lo largo y
ancho de todo el Universo. Imagínese al sistema Solar situado en el centro de tal Universo y a éste como una gigantesca esfera que se puede concebir como dividida en finas capas concéntricas como las de una cebolla. En ese caso, se sabe que el volumen encerrado por cada capa aumenta como el cuadrado de su radio. Es decir, sí V = 4/3 r3 es el volumen encerrado por cada capa y r el radio, el cambio en el volumen cuando cambia el radio es dV/dr = 4 r2. Si una capa está tres veces más alejada del centro que otra tendrá un volumen adicional de 32 = 9 veces más grande que el encerrado por ésta. Si las estrellas están distribuidas uniformemente en todo el espacio (su-puesto 2) esa capa contendrá 9 veces más estrellas que la capa cercana. Por otra parte, se sabe que la luz de una estrella cualquiera disminuye co-mo el cuadrado de la distancia. Entonces, si la capa más distante contiene 9 veces más estrellas y todas las estrellas son igualmente luminosas (su-puesto 3) cada estrella de la capa distante tiene una luminosidad equiva-lente a 1/32 = 1/9 de la luminosidad de cada estrella de la capa cercana y por tanto, la cantidad total de luz suministrada al Sistema Solar por la ca-pa lejana sería de 91/9 = 1 de la luz entregada por la capa cercana, es de-cir, ambas capas proporcionan al Sistema Solar la misma cantidad total de
luz. Como este argumento se aplica a cualquier otra capa y como el nú-mero de capas es infinito (supuesto 1), el Sistema Solar estaría recibiendo una cantidad infinita de luz y de calor de manera que la vida sería imposi-ble en la Tierra. Evidentemente, lo que en realidad se observa contradice a ese resultado.
2. La lente de Herschel Olbers concluyó que algo andaba mal en sus supuestos. Quizás la exten-sión del Universo no es infinita o el número de estrellas no es ilimitado. Cabe la posibilidad de que el número de estrellas sea finito aunque muy grande y que estén distribuidas a lo largo y ancho de un espacio finito pe-ro vastísimo. Las conclusiones de Olbers concordaban con las cuidadosas observa-ciones astronómicas que por aquel tiempo realizaba W. Herschel, quien había sospechado que las estrellas parecían ser más numerosas en unas di-recciones que en otras. No contento con una descripción puramente cuali-tativa decidió contar las estrellas y determinar como variaba su abundan-cia de un lugar a otro mediante la realización de un muestreo del cielo. Pa-ra alcanzar su objetivo eligió 683 regiones diseminadas a lo largo y ancho
La cuestión de la eternidad 129
del espacio y contó las estrellas que se podían observar a través del teles-copio. Con ese penoso trabajo Herschel demostró que en el Universo existen sistemas finitos de estrellas que después fueron llamadas galaxias que tienen formas definidas. En particular, la Vía Láctea que es el sitio del Universo en donde vivimos tiene forma lenticular. Su semieje mayor mi-de 105 años-luz y su espesor es de 1.6 104 años-luz. Contiene alrededor de 4 1011 estrellas. Es una galaxia espiral en uno de cuyos brazos se en-cuentra situado el Sistema Solar bastante alejado del centro galáctico. El sistema sideral de Herschel representó un nuevo golpe para las pre-tensiones del hombre en cuanto a su posición en el Universo. Después de que la teoría heliocéntrica de Copernico desplazó a la Tierra como el cen-tro del Universo el hombre continuó afirmando que el Sol era el centro in-amovible del mismo. El modelo excéntrico de Herschel colocó al Sistema Solar a unos 3 104 años-luz del centro de la Vía Láctea en uno de los brazos de la espiral. Las conclusiones de Olbers y las observaciones de Herschel enterraron por algún tiempo la posibilidad de la existencia de un Universo infinito. 3. La cuestión de la eternidad Sin embargo, cuando se habla de galaxias los astrónomos tienen que en-frentar nuevamente el problema del infinito y a la paradoja de Olbers. El hecho de el Universo sea o no infinitamente grande está íntimamente liga-do con la cuestión de si es o no eterno, es decir con la extensión del Uni-verso en el tiempo. El uso de mejores instrumentos astronómicos y la práctica de observa-ciones más cuidadosas demuestran que el número de galaxias visibles au-menta con la distancia de tal suerte que el número de ellas que se puede
observar con los instrumentos más perfectos es superior a los 1011 pero
quizás no mucho más. En consecuencia y dado que la escala del Universo es tan descomunal, los científicos se vieron obligados a preguntarse donde está el fin; de tal suerte que se enfrentaron ahora con el problema del infinito con relación no sólo con la cuestión de la eternidad sino también con respecto al prin-cipio del Universo y con la pregunta de si es o no posible postular una edad definida para el Cosmos. En general todas esas especulaciones se relacionan con el contenido energético del Universo y con algún proceso natural que utilice esa ener-gía. Se puede argumentar desde luego que la energía del Universo, inclui-
130 Origen y destino final del Universo
da la materia como una forma de energía, ha existido siempre y siempre existirá toda vez que de acuerdo con los conocimientos actuales es impo-sible crear energía de la nada o destruirla por completo. Eso significaría que la sustancia del Universo es eterna y por lo tanto el Universo también lo es. Sin embargo, lo que es importante en este momento es algo más que la mera sustancia del Universo. El problema consiste en saber si dicha sustancia siempre ha tenido y siempre tendrá la forma que caracteriza al Cosmos o si por el contrario éste Universo en el que habitamos tuvo un principio perfectamente bien definido y tendrá un fin también bien defini-do. Según los conocimientos actuales, el Universo existe en su forma pre-sente gracias a la producción de energía disponible suministrada por el pro-ceso de fusión del hidrógeno. Antes de que ese mecanismo se iniciara el Cosmos se podía imaginar como una gigantesca masa de gas turbulento caliente al rojo en algunos si-tios aislados. Después de algún tiempo, en algunas regiones se iniciaría la combustión del hidrógeno para producir helio y la energía disponible para ser utilizada por los procesos naturales del Universo. Una vez fusionado todo el hidrógeno en helio, el Universo llegaría a su fin debido a que ya no tendría energía disponible. En otras palabras, el Uni-verso solo existiría durante el período en el que el proceso de fusión del hidrógeno se desarrolla. En consecuencia, cuando se especula si el Univer-so es eterno se hace referencia esencialmente al hecho de si la fusión del hidrógeno es capaz de perdurar para siempre. Cuando se planteó la cuestión de si el Universo era infinito en el espa-cio sin mencionar al tiempo, en realidad también se debió mencionar el problema de la eternidad del Cosmos debido a que evidentemente ambas cuestiones están íntimamente ligadas en algunos aspectos. Por ejemplo, si la cantidad de hidrógeno en el Universo fuera infinita-mente grande ese hidrógeno podría seguir fusionándose en helio indefini-damente con tal de que la velocidad de fusión fuese finita. En otras pala-bras, un Universo infinito tendría también que ser un Universo eterno. Por otra parte, un Universo finito tal vez tendría que ser inevitablemente finito tanto en el tiempo como en el espacio. Para que un Universo finito fuese eterno a pesar de su tamaño finito, tendría que existir algún mecanismo capaz de revertir el proceso de fusión del hidrógeno, reestablecer el nivel del mismo y de ponerlo otra vez a dis-posición del proceso de fusión; y esto debe ocurrir necesariamente a ex-pensas de otra fuente de energía como podría ser la gravitacional. Aparen-
La cuestión de la eternidad 131
temente esto no es posible, pero más adelante se verá que existe esa posi-bilidad. Es verdad que de acuerdo con la doctrina científica aceptada univer-salmente la energía se conserva y jamás puede ser destruida. Esta afirma-ción es conocida como el primer principio de la termodinámica. Sin em-bargo y a pesar de que la energía total del Universo se mantiene en un va-lor constante no siempre se encuentra disponible para ser utilizada, y es precisamente esa disponibilidad lo que constituye uno de los requisitos fun-damentales para la existencia de los procesos naturales que se dan en el Universo. En efecto, existe otro principio generalizado conocido como el segundo principio de la termodinámica tan válido universalmente y tan importante como el primero, que afirma que la cantidad de energía dispo-nible en el Cosmos para su utilización disminuye constantemente y según el estado actual de nuestros conocimientos ese segundo principio de la ter-modinámica es inviolable. De acuerdo con lo anterior, se puede concluir que poco a poco se irá agotando la energía disponible del Universo e inevitablemente éste llegará a su fin. Esta conclusión se asienta en la hipótesis de que los principios primero y segundo de la termodinámica tienen validez universal y se cumplen bajo cualquier condición. Por otra parte y de acuerdo con las ideas de los astrónomos de los siglos XVII y XVIII, el Sol era el centro inamovible del Universo en torno al cual giraba la rígida bóveda celeste arrastrando consigo al resto de los ob-jetos que se encontraban sólidamente fijos a ella. Pero a medida que se desvanecía la noción de una bóveda celeste rígi-da se veía cada vez más improbable que el Sol pudiese tener una impor-tancia tan categórica. Si las estrellas estaban diseminadas en una región vastísima del espacio y el Sol no era sino otra más de dichas estrellas, ¿qué razón había para suponer que fuera el centro del Universo?. Por otra parte, si se admitía la existencia de una galaxia del tamaño su-gerido por Herschel y otros astrónomos, poblada por cientos de miles de millones de estrellas, ¿cómo era posible afirmar seriamente que el Sol era el más importante entre ese sinfín de astros diseminados en todo el espa-cio? Mas tarde, conforme se observaron los movimientos propios de un núme-ro cada vez mayor de estrellas se vio que no parecía existir indicio alguno que señalara que las estrellas en general describieran órbitas gigantescas en torno al Sol.
132 Origen y destino final del Universo
La naturaleza de esos movimientos parecía más bien aleatoria, de tal suerte que como las abejas en un enjambre se sospechó que las estrellas se movían en forma más o menos caótica. En tales condiciones también era razonable suponer que el Sol se mo-viera pues de otro modo, ¿qué argumentos había para sostener que era el único astro inmóvil en un Cosmos poblado de estrellas errantes? En efecto, se pudo determinar finalmente que el Sol gira en una órbita aproximadamente circular alrededor del centro galáctico y a una velocidad con respecto a ese centro de 220 km/seg. completando una revolución en 230 millones de años y arrastrando consigo a todo el Sistema Solar. 4. El efecto Doppler A continuación es necesario hablar de un fenómeno interesante que se re-fiere al cambio de tono del silbato de un tren o de la sirena de una ambu-lancia o patrulla policíaca. Todos sabemos que el sonido del silbato de un tren es más agudo cuando se aproxima y que cuando se aleja es más grave que cuando se encuentra quieto con respecto al observador. Este fenómeno fue explicado con todo detalle en 1842 por el físico aus-triaco C.J.Doppler. Como es sabido el sonido es una onda longitudinal. Consiste de una se-rie de compresiones y rarificaciones del aire. La distancia media entre una región cualquiera de compresión y la siguiente es la longitud de onda del sonido. A una longitud de onda mayor le corresponde una altura menor o un tono más grave del sonido percibido y cuanto más corta es esa longitud de onda mayor será la altura o más agudo el tono. Supóngase que un tren en reposo con respecto al observador está sonando
su silbato con una altura de sonido constante de manera que las regiones de compresión están separadas por una cierta distancia también constante. Pero imagínense que el tren y el silbato se mueven hacia el observador. En ese caso, la segunda región de compresión será emitida un poco más cerca del observador que la primera y lo mismo ocurre con las demás ondas de compresión, de manera que las regiones de compresión apare-cerán más apretadas unas a otras que si el tren se encontrara en reposo. En
resumen, la longitud de onda del sonido será más corta y su frecuencia más alta. Cuando el tren se aleja ocurre lo contrario. Las regiones de compresión estarán más separadas entre sí de manera que la longitud de onda de un
Líneas espectrales 133
sonido producido por un silbato que se aleja es más larga y la frecuencia más baja que en el caso de que el tren se encontrara en reposo. Cuanto mayor sea la velocidad con que el tren se aproxima al observa-dor menos separadas entre sí estarán las ondas sonoras y mayor será la al-tura del sonido; y cuanto más de prisa se aleje el tren mayor será la sepa-ración de las ondas sonoras y menor la altura del sonido. Conociendo la altura normal del silbato y la altura del sonido que se escucha cuando el tren se está moviendo, es posible determinar sin ningún otro dato adicional, si el tren se aleja o se acerca y a que velocidad lo hace. Este cambio de frecuencia debido al movimiento se denomina el efecto Doppler. 5. El espectro En teoría, ese mismo efecto se debe poder observar en el caso de cualquier tipo de ondas emitidas por una fuente, y en particular se debe poder detec-tar en el caso de la luz, como Doppler mismo señaló. La luz al igual que el sonido, es un movimiento ondulatorio aunque no del mismo tipo. También posee longitud de onda y las diferencias en esas longitudes de onda pueden ser percibidas como diferencias de color. Las longitudes de onda visibles más largas se ven rojas. A medida que la lon-gitud de onda disminuye el color va pasando por el naranja, amarillo, ver-de, azul y violeta. Los colores no se diferencían de manera tajante sino que pasan de unos
a otros de manera gradual como ocurre en el arco iris. Newton fue el pri-mero en estudiar un arco iris artificial y a la banda de colores que observó en sus experimentos la llamó el espectro. Además demostró que la luz so-lar no era una entidad pura sin mezcla sino que estaba formada por dife-rentes colores con distintas longitudes de onda. Cuando se aplica el efecto Doppler a la luz se puede saber si un objeto luminoso se está alejando o acercando al observador y a que velocidad lo hace. 6. Líneas espectrales
En 1814 el óptico alemán Fraunhofer que era constructor de prismas solía verificar la calidad de sus productos observando el espectro que producían al hacer pasar un rayo de luz por una ranura muy fina antes de que atrave-sara el prisma.
134 Origen y destino final del Universo
Cada longitud de onda se refractaba en un ángulo característico y pro-ducía sobre una pantalla una imagen de la ranura en cada uno de los colo-res. El resultado era un espectro casi continuo a modo de arco iris porque
algunas longitudes de onda no estaban presentes en la luz solar. Esas ausen-cias se manifestaban como líneas obscuras en el espectro como si fueran imágenes ausentes de la ranura. Fraunhofer observó cientos de líneas y no solo las estudió con detalle si-no que también localizó su posición exacta en el espectro. Por esa razón a
esas líneas se les llama líneas de Fraunhofer y más generalmente, líneas es-pectrales. Para que se den una idea, esas líneas se parecen a los códigos de barras pero son más complejas. Las líneas espectrales del espectro solar son muy típicas. Otros objetos luminosos como las estrellas y las galaxias en general, exhiben también líneas obscuras en sus respectivos espectros pero normalmente ellos son marcadamente diferentes al espectro solar. Sin embargo, ciertas líneas es-pectrales, especialmente las más definidas, aparecen como elementos in-variables del espectro de la mayor parte de las estrellas. Poco tiempo después de que Doppler explicara la variación de la fre-cuencia de un sonido como una consecuencia del movimiento, el físico francés Fizeau señaló que para detectar este efecto en la luz no era preciso preocuparse por los cambios de color sino que solo bastaba con medir la posición exacta de las líneas espectrales y observar su desplazamiento con respecto a un espectro patrón. Si el objeto celeste se está alejando del ob-servador sus líneas espectrales estarán desplazadas hacia el rojo y la mag-nitud de ese desplazamiento es proporcional a la velocidad con que se está alejando. Esta es precisamente la razón del porque las líneas espectrales permiten detectar cualquier desplazamiento Doppler en la luz proveniente de las estrellas, galaxias, etc. 7. La expansión del Universo Después de que los corrimientos hacia el rojo de las líneas espectrales de las galaxias fueron observados en 1912, en la década de 1920-29 fue descubier-to el fenómeno evolucionario conocido como la Expansión del Universo. En el ámbito de la Astronomía la atención fue dirigida particularmente hacia el principio y el destino final del Cosmos así como también a la pro-posición de algunos modelos teóricos basados en la Teoría General de la Relatividad de A. Einstein para explicar el comportamiento del Universo como un todo.
La expansión del Universo 135
Con relación al principio del Universo, el abate de origen belga G.E. Lemaitre propuso una interesante teoría física. Propuso que en el principio todas las galaxias en el Universo estaban concentradas en un solo objeto que
él llamó el Atomo Primigenio. Este átomo primigenio explotó en algún mo-mento en la más fantástica y catastrófica explosión llamada por G. Gamow el Gran Estallido (Big Bang) esparciendo las galaxias en todo el espacio. El gran estallido envió al espacio todos los fragmentos del átomo pri-migenio de tal forma que se movieran alejándose unos de otros. Este mo-vimiento es aún visible en la actualidad. Se estableció que entre más dis-tante está una galaxia mayor es su velocidad de alejamiento como está de-terminada por el corrimiento de sus líneas espectrales hacia las longitudes largas, es decir cuando están desplazadas hacia el rojo. De acuerdo con Lemaitre, las velocidades de alejamiento de esas ga-laxias eran en efecto proporcionales a sus distancias. En otras palabras en-tre más alejadas estaban con mayor rapidez lo hacían. Esta relación es co-nocida como la ley del corrimiento hacia el rojo o a veces, la ley de Hub-ble. Con respecto al destino final del Universo, dos alternativas parecen po-sibles en última instancia. Ya sea que la gravedad sea lo suficientemente intensa para detener la expansión universal y convertirla en una contrac-ción general o la expansión es lo suficientemente rápida para que la dis-tancia entre las galaxias se incremente rápidamente en contra de la grave-dad de tal suerte que el Universo se siga expandiendo por siempre. El Universo que detiene la expansión es llamado un Universo cerrado y aquel que se expansiona por siempre es un Universo abierto. Por otra parte, la presente forma del Universo también está relacionada con su futuro si se supone que la gravedad es la única fuerza que gobierna su evolución. Aparentemente el futuro del Universo también depende críti-camente de su curvatura. A su vez, la curvatura depende de la densidad media de materia existente en el espacio. De cualquier manera, si el Universo es abierto se expanderá para siem-pre mientras que si es cerrado, su expansión presente eventualmente cesará y será reemplazada por una contracción general. De acuerdo con las cosmologías evolucionistas el Universo se está ex-pandiendo actualmente y lo ha estado haciendo por mucho tiempo. Ya sea
que la expansión continúe o eventualmente se detenga dando paso a una contracción, depende de la existencia en el espacio de una gigantesca can-tidad de materia.
136 Origen y destino final del Universo
Infortunadamente, esa cantidad de materia que puede ser tan grande como otro universo, necesaria para detener la expansión no ha sido encon-trada al presente porque es algo que está y no está en el Universo. A ese hecho es lo que a veces se le llama el problema de la masa perdida. 8. La masa perdida
Si alguno de los resultados de la Teoría Especial de la Relatividad de A. Einstein son usados, es posible proponer una solución al problema de la masa perdida. De acuerdo con la teoría de A. Einstein ninguna partícula material puede viajar con una velocidad mayor que la velocidad de la luz en el vacío. Así, es obvio que ninguna partícula material puede ser acele-rada para que alcance una velocidad que esté más allá de la barrera de la luz. Este argumento es válido en la actualidad. Por otra parte, el Universo contiene muchos tipos de objetos: galaxias, sistemas de galaxias, estrellas, planetas, polvo y gas, así como también muchos otros objetos como agu-jeros negros y quasars. Todos ellos son objetos materiales que tienen masa propia distinta de cero y por tanto, son cuerpos que solo pueden viajar a velocidades menores que la velocidad de la luz en el espacio vacío. Además, la única manera que ellos se pueden mover es mediante un proceso de ace-leración. En su artículo original sobre la relatividad especial, Einstein dijo que existe un límite superior para la velocidad de los objetos materiales; límite que no pueden alcanzar jamás. En efecto, la masa de esos cuerpos llegaría a ser infinitamente grande cuando su velocidad se aproxime a la velocidad límite c, como es fácil ver de la siguiente ecuación relativista para la transformación de la masa
2
20
1cv
mm
;
en donde mo es la masa propia y m es la masa observada del cuerpo que viaja con la velocidad v. En consecuencia, cuando v c, m . Así cuan-do la velocidad de un objeto se incrementa hacia la velocidad de la luz en el espacio vacío la masa del cuerpo se incrementa hacia el infinito como es fácil ver en las siguientes gráficas, y esto es un hecho experimentalmen-te comprobado.
La masa perdida 137
En efecto, cuando un electrón cuya masa en reposo es igual a 9.1110-31 kgr se acelera a una velocidad igual 297,000 km/seg en un acelerador de partículas, su masa aumenta tanto que golpea al blanco con una fuerza co-rrespondiente a una masa de 1 kilogramo. En tales condiciones se tendría que una masa infinita moviéndose a una velocidad muy baja tendría una energía infinita. En consecuencia y puesto que es absurdo para cualquier objeto que tiene
una masa propia finita tener una energía infinita, se debe concluir que es imposible para tal objeto moverse con la velocidad de la luz en el espacio vacío y esto es válido para todos los cuerpos celestes contenidos en el Uni-verso. Por tanto, ninguno de ellos puede viajar a velocidades iguales a la ve-locidad de la luz en el vacío. Sin embargo, el proceso de transformación relativista de la masa pro-duce un incremento en la masa inercial con la velocidad de tal manera que este hecho parece ser otra fuerza capaz de detener la expansión y llevar otra vez al Universo a colapsarse. Finalmente, cuando se aplica el Principio de Equivalencia entre la Gra-vitación y la Inercia es fácil ver que la masa gravitacional necesaria para frenar y detener el proceso de expansión es justamente el incremento de la masa inercial con la velocidad de los cuerpos celestes contenidos en el Universo. De acuerdo con los argumentos previos parece ser que el proce-so de transformación relativista de la masa es justamente la masa perdida necesaria para frenar y detener la expansión del Universo. El efecto relati-vista es el mecanismo que se requiere para que con la ayuda de la grave-dad se colapse el Cosmos, se restablezca el nivel original de hidrógeno y se ponga otra vez al servicio del proceso de fusión para que con su auxilio se recree nuevamente otro Universo quizás con nuevas leyes y a partir de condiciones iniciales diferentes.
Velocidad
Tiempo
c
o Velocidad c om
Masa
138 Origen y destino final del Universo
Lo anterior significa que el Universo es finito, que tuvo un principio y tendrá un final. De acuerdo con esa imagen, es eterno debido a que la gra-vedad lo va a colapsar de nuevo una vez que se detenga la expansión para formar otro Átomo Primigenio que a su vez explotará para reiniciar el ci-clo universal nuevamente. 9. La vida en el Universo
Para finalizar, pueden ser interesantes para el lector las siguientes reflexio-nes acerca del papel que juega la vida en general y la del ser humano en particular en el plan de creación del Universo, para ver si es posible con-cluir algo relacionado con sus probables objetivos y metas. Se puede partir del hecho que la sustancia constitutiva del Atomo Pri-migenio y que en general es lo que se conoce como la energía, fue inven-tada o producida por los misteriosos poderes que yacen más allá del prin-cipio del Universo e iniciar la discusión en el momento dado en el que esos poderes construyen el Cosmos al establecer las condiciones iniciales de presión, temperatura, densidad de masa, etc., del Atomo Primigenio e im-ponerle las reglas del juego en la forma de las leyes que rigen su compor-tamiento para que una vez hecho esto se produzca el Gran Estallido. Bajo
esas circunstancias el Universo inicia su evolución pero, y eso es muy im-portante, sin intervención alguna probablemente porque como parte del esquema de creación es importante que el proceso evolutivo transcurre li-bremente. En consecuencia, la evolución del Universo se sigue realizando con la más absoluta y completa libertad y sólo de acuerdo con las condi-ciones iniciales y sujeta a las leyes naturales impuestas. Con respecto a la vida, se puede afirmar que siempre que se den las condiciones adecuadas ésta va a surgir en el Universo. Sin embargo, ese proceso solo aparecerá en ciertos lugares cuidadosamente escogidos y dentro de márgenes muy estrechos como correspondería a un experimento muy bien controlado. Como la vida es una característica del Cosmos porque surge una vez que éste ha sido creado, necesariamente su evolución y destino quedan firme-mente sujetas a las rígidas leyes naturales. Consecuentemente, se puede afirmar que la vida es un proceso universal que se ha dado, se da y seguirá dando en muchos sitios del Cosmos y a lo largo de muchos miles de millo-nes de años. Ciertamente no estamos solos. En efecto, solo en la Vía Láctea deben
existir 500,000 lugares propicios para que surja la vida. Así, en promedio existen en la galaxia 5 sitios adecuados para que se desarrolle la vida por
La vida en el Universo 139
cada 4 millones de estrellas. La proporción no es muy grande, pero si el proceso se repite en todas y cada una de las galaxias y el número de éstas
es muy grande se puede decir con justicia que la vida es un proceso que ocurre en todo el Cosmos. Sin embargo, la vida en el Universo es de una fragilidad asombrosa de-bido a que éste no es nada amigable ni compatible con ella. Para poder con-servar, hacer prosperar y evolucionar su existencia, el hombre tiene que mantener una lucha constante en contra de las leyes naturales de modo que estrictamente hablando, es un auténtico sobreviviente, porque cierta-mente esas leyes están decidida y abiertamente en contra de la vida. Entonces, ¿cuál es el objetivo de la vida, hacia adonde se dirige y por qué se le colocó en una situación tan angustiosa y precaria como parte de un Universo feroz, violento y despiadado y a merced de un conjunto de leyes naturales que conspiran contra ella y fatalmente la aniquilan? Como el hombre es el ser más organizado y evolucionado de la crea-ción en esta etapa evolutiva del Universo, está más expuesto al exterminio en todo momento, porque ciertamente la muerte es también otra carac-terística básica del Universo. En efecto, la segunda ley de la termodinámi-ca desorganiza los sistemas y los lleva a un estado de máximo desorden que para los seres vivientes significa la muerte. Pero además, la vida está amenazada por terremotos, tsunamis, inundaciones, erupciones volcánicas y toda suerte de calamidades naturales. Adicionalmente, están las enfermedades, el mundo microscópico, los
insectos y los animales salvajes que atacan a la vida y a menudo terminan con ella. Pero no contento con eso el ser humano forma parte de una espe-cie animal depredadora, agresiva, belicosa y peleonera que se mata entre sí y a las demás especies con una determinación y alegría dignas de mejor causa. Finalmente, si se piensa que la Tierra es comparable con una manzana, todos sus mares, ríos, lagos, selvas, desiertos, ciudades, la misma corteza terrestre y la atmósfera, están contenidos en la cáscara de la manzana. Ese es el insignificante habitat del hombre y sin embargo, con una enorme irresponsabilidad el género humano está acabando con él: talando los bos-ques, contaminando el agua y el ambiente, envenenando el aire y todo para satisfacer su avaricia sin pensar que este planeta es el único lugar que tiene en el Universo para sobrevivir; pues no existe ni la ciencia y mucho me-nos la tecnología que le permita alcanzar otro sitio que le sea propicio para vivir porque a muchos años-luz a la redonda no hay otro lugar que le sirva de hogar. ¿Por qué es así? Porqué quizás así surge la vidad en el plan uni-
140 Origen y destino final del Universo
versal, y también quizás con tales restricciones se evita toda contamina-ción entre esos sitios. En esas condiciones, es un auténtico y verdadero milagro la vida en es-te planeta y en los demás sitios que le son favorables y en este momento, el lector debe sentirse muy afortunado de poder estar leyendo este ensayo. Con tantas amenazas sobre el hombre, se puede afirmar que su estado más probable es estar muerto y desde el punto de vista de su integridad física y
de acuerdo con las rígidas leyes del Universo, se puede concluir que la vi-da es un proceso degenerativo y mortal. Por otra parte, si al final del camino lo único que queda del ser humano son huesos y cenizas, se podría pensar que desde el horizonte puramente físico, la vida carece de un objetivo definido y por tanto el hombre queda reducido a la condición de un simple animal de laboratorio que no sabe a que vino a la Tierra. Se podría decir entonces que el fenómeno de la vida en el Universo es un experimento muy desafortunado y muy cruel para con el ser humano. Pero supóngase que existe alguna finalidad muy elevada e importante propia del proceso vital y que podría consistir en lo siguiente: Al mismo tiempo que el hombre posee un cuerpo material que queda sujeto a las le-yes del Universo en cuya evolución global no existe intervención alguna, también cuenta con una cualidad misteriosa en la forma de una cierta energía que no se puede crear ni destruir de tal suerte que esa sustancia que se po-dría llamar la energía vital primordial es una propiedad o cualidad indes-tructible que tiene el hombre para que a lo largo de su vida terrenal la en-riquezca y la haga crecer no solo con conocimientos, habilidades y destre-zas, sino también y eso es muy importante, con sentimientos elevados co-mo son el amor, la amistad, la lealtad, la compasión, la bondad, la justicia, la tolerancia y la capacidad de perdón, etc., para que su paso por la Tierra sea lo más feliz y venturoso posible, contribuya positivamente al desarro-llo, producción y engrandecimiento de la energía vital primordial y al mis-mo tiempo forme parte importante de la historia del planeta. Por otra parte, si a lo largo de su vida el ser humano ha cultivado los an-teriores principios éticos que conforman las cualidades más elevadas del intelecto humano, enriqueciendo con ello esa energía vital original y si es lo único realmente valioso que queda de él, quizás eso sea ese algo que per-mita la continuidad de la vida más allá de la barrera de la muerte. Se pue-de tener una vida maravillosa o una existencia miserable dependiendo de la elección que se haga y en esa elección del estilo de vida que se quiera tener radica lo que se llama el libre albedrío.
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La diferencia entre cuerpo y energía vital se puede ver con más clari-dad si se observa su evolución a lo largo de la vida. A medida que transcu-rre el tiempo, el cuerpo material se desarrolla hasta una etapa después de la cual inicia su declinación y deterioro hasta que muere y se convierte en polvo. En cambio la energía vital, si se ha hecho un buen uso del soplo original, crece y se enriquece al llenarse de muchas cualidades extraordi-narias hasta alcanzar algún nivel de plenitud. Como se trata de una forma de energía y ésta no se puede destruir, debe trascender a la muerte debido a que posiblemente esa energía vital enrique-cida es lo único que interesa de lo que queda del hombre. Reflexionen acer-ca de la tremenda asimetría temporal que existe entre la duración de la vi-da y la eternidad de la muerte y también en el hecho que en tanto el cuer-po material pertenece al Universo, la energía vital es propiedad exclusiva de los extraños y desconocidos poderes primordiales. Desde tal punto de vista, se podría afirmar que la muerte es el proceso natural que le da sentido a la vida. Pero si adicionalmente se admite la po-sibilidad de que el hombre como el ser viviente más evolucionado de la Tierra sea el único que tiene la capacidad de crear energía de calidad a partir de su energía vital original a través de las cualidades más elevadas de su intelecto y esa posibilidad se repite en todos los sitios en donde se da la vida y con la especie favorecida por la evolución propia de esos lu-gares, se podría concluir con justicia que ese es el objetivo real y la verda-dera meta de la presencia de la vida en el Universo y también que la razón última de ser de éste es la de servir de receptáculo de aquella. Referencias 1. Shipman L. Harry. Black Holes, Quasars, & the Universe (1976).
Houghton Mifflin Company, Atlanta Dallas Geneva, Illinois Hopewell, New Jersey, Palo Alto London.
2. Weinberg, Steven. Gravitation and Cosmology. Principles and Ap-plications of the General Theory of Relativity (1972). John Wiley & Sons, Inc. New York London Sydney Toronto.
3. Resnick Robert. Basic Concepts in Relativity and Early Quantum Theory (1997). (version en español de la Editorial Limusa). John Wi-ley & Sons.
4. Fierros Palacios, Angel. The missing mass problem (2005). Por pu-blicarse.
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5. George Abell. Exploration of the Universe. Second Edition. Holt, Rinchar t and Winston. New York Chicago San Francisco Atlanta. Dallas Montreal Toronto London Sydney, 1964.
6. Issac Asi mov. El niverso. Alianza Editorial Madrid. Primera Edition, 1973. Segunda Edicion 1975.
