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Le mardi 15 novembre 2011 Master Enseignement 1

Master Mathématiques et applications : Enseignement et formation.

Histoire des sciences mathématiques 1

Eléments d’histoire de l’analyse 2/2 :

« L’histoire du concept de fonction au XVIIIe siècle et le problème des cordes

vibrantes »

Plan du cours (1/2)

Introduction :

II. La querelle des cordes vibrantes

1. La naissance du calcul différentiel et intégral de fonctions de plusieurs variables 2. Le problème des cordes vibrantes : mise en équation moderne du problème 3. Le problème des cordes vibrantes avant D’Alembert (1ère moitié du XVIIIe siècle). 4. Le mémoire de D’Alembert de 1747 5. La polémique entre D’Alembert et Euler sur la question des solutions admissibles 6. Daniel Bernoulli et la question du développement en séries trigonométriques

I. Emergence et premières définitions du concept de fonction

1. L’émergence de la notion de fonction (XVIIe et première moitié du XVIIIe siècles) 2. Les définitions eulériennes du concept de fonction (1748 et 1755)


-  l’Encyclopédie de Diderot et D’Alembert (1751-1772) -  la question de l’organisation des savoirs mathématiques -  mathématiques pures et mathématiques mixtes.

Conclusion : la naissance de l’analyse harmonique


Introduction (1/3) – L’Encyclopédie de Diderot et D’Alembert (1751-1765)

« Le but d'une encyclopédie est de rassembler les connaissances éparses sur la surface de la terre; d'en exposer le système général aux hommes avec qui nous vivons, et de le transmettre aux hommes qui viendront après nous; afin que les travaux des siècles passés n'aient pas été inutiles pour les siècles qui succèderont ; que nos neveux devenant plus instruits, deviennent en même temps plus vertueux et plus heureux; et que nous ne mourions pas sans avoir bien mérité du genre humain. » (Diderot, article ENCYCLOPÉDIE)



« Faites naître, s'il est possible, des géometres parmi ces peuples ; c'est une semence qui produira des philosophes avec le tems, & presque sans qu'on s'en aperçoive. L'orthodoxie la plus délicate & la plus scrupuleuse n'a rien à démêler avec la Géométrie. Ceux qui croiroient avoir intérêt de tenir les esprits dans les ténebres, fussent-ils assez prévoyans pour pressentir la suite des progrès de cette science, manqueroient toûjours de prétexte pour l'empêcher de se répandre. Bientôt l'étude de la Géométrie conduira à celle de la méchanique ; celle-ci menera comme d'elle-même & sans obstacle, à l'étude de la saine Physique ; & enfin la saine Physique à la vraie Philosophie, qui par la lumiere générale & prompte qu'elle répandra, sera bientôt plus puissante que tous les efforts de la superstition; car ces efforts, quelque grands qu'ils soient, deviennent inutiles dès qu'une fois la nation est éclairée. »

  D’Alembert, art. GÉOMÈTRE, t. VII (celui de l’art. GENÈVE et de l’interdiction) :



  1745 – Association de libraires pour traduire la Cyclopaedia or an Universal dictionary of arts and sciences d'Ephraim Chambers (2 vol., 1728). Gua de Malves, académicien, organise le travail.

  1747 – Diderot et D’Alembert remplacent Gua de Malves et mettent en place un projet plus ambitieux (35 volumes au final, dont 17 de textes)

  1749 – Diderot emprisonné à Vincennes (suite à la parution de sa Lettre aux aveugles), puis libéré.

  1751 – Parution du premier tome contenant le Discours préliminaire de D’Alembert ainsi que le « Système figuré des connaissances humaines ».

  1752 – Violentes attaques des jésuites et des jansénistes suivies d’un arrêt du conseil d’Etat. La publication reprend cependant.

  1759 – Après une violente campagne, nouvelle interdiction (définitive), suivie d’une condamnation papale.

  1765 – Parution des dix derniers volumes de textes, sans privilège et sous une adresse étrangère (+ onze volumes de planches publiés entre 1765 et 1772).




Introduction (2/3) – L’organisation des savoirs mathématiques


Introduction (3/3) – Mathématiques pures et mathématiques mixtes

« Les Mathématiques se divisent en deux classes ; la première, qu’on appelle Mathé-matiques pures, considère les propriétés de la grandeur d’une manière abstraite : or la grandeur sous ce point de vue, est ou calculable, ou mesurable ; dans le premier cas, elle est représentée par des nombres, dans le second, par l’étendue ; dans le premier cas les Mathématiques pures s’appellent Arithmétique, dans le second Géométrie. […] La seconde classe s’appelle Mathématiques mixtes ; elle a pour objet les propriétés de la grandeur concrette, en tant qu’elle est mesurable ou calculable ; nous disons de la grandeur concrette, c’est-à-dire de la grandeur envisagée dans certains corps ou sujets particuliers. […] Du nombre des Mathématiques mixtes sont la Méchanique, l’Opti-que, l’Astronomie, la Géographie, la Chronologie, l’Architecture militaire, l’Hydro-statique, l’Hydraulique, l’Hydrographie ou Navigation, &c. »

  D’Alembert, art. MATHÉMATIQUE OU MATHÉMATIQUES (Encyclopédie, t. X, 1765) :


I.1. L’émergence de la notion de fonction   A la fin de la 1ère moitié du XVIIe siècle, Fermat et Descartes appliquent l’algèbre à la géométrie et introduisent une relation de fonctionnalité par l’intermédiaire des équations algébriques :

  Fermat, dans son Ad locos et solidos isagoge (écrit en 1637, publié en 1679) : « Aussitôt que deux quantités inconnues apparaissent dans une ultime égalité, il y a un lieu et le point terminal de l’une des deux quantités décrit une ligne droite ou courbe. »

  Descartes, dans sa Géométrie (1737) : « Prenant successivement infinies diverses grandeurs pour la ligne y, on en trouvera aussi infinies pour la ligne x, et ainsi, on aura une infinité de divers points tels que celui qui est marqué C, par le moyen desquels on décrit la ligne courbe demandée. »

-  Descartes fait pour la première fois le lien entre une équation en x et y et la dépendance entre deux quantités variables.

-  Il restreint cette relation fonctionnelle aux courbes « géométriques » (c’est-à-dire algébriques) et en exclut donc les courbes « méchaniques » (c’est-à-dire transcendantes).


I.1. L’émergence de la notion de fonction.

  A la fin du XVIIe siècle, la notion de fonction en tant qu’objet mathématique n’est pas encore isolée. Il faudra, de fait, attendre le milieu du XVIIIe pour en avoir une première définition.

  Néanmoins, l’introduction de la méthode de développement en séries entières (par Mengoli, Mercator et Newton) va permettre de représenter analytiquement les courbes transcendantes laissées de côté par Descartes :

-  Dans le Logarithmotechnia (1668), Nicolas Mercator parvient à calculer l’aire sous l’hyperbole grâce à la réduction en série géométrique de 1/(1+x) puis à son intégration terme à terme.

-  Isaac Newton obtient le développement en séries entières des fonctions sinus, cosinus, des fonctions trigonométriques inverses, etc.

  De nouvelles courbes transcendantes sont ainsi découvertes et leur étude se popularise.

  Leibniz, qui développera une dizaine d’années plus tard le calcul différentiel et intégral à partir de la géométrie des courbes, introduit pour la première fois le terme de « fonction » dans un manuscrit d’août 1673, non publié et intitulé « la Méthode inverse des tangentes ou à propos des fonctions ».


I.1. L’émergence de la notion de fonction

  L’introduction du calcul différentiel et intégral par Leibniz et Newton va donner une place prépondérante au problème de recherche des lois de variations de quantités inconnues, permettant ainsi à la relation de fonctionnalité de devenir un objet mathématique à part entière.

  En 1718, suite à une correspondance nourrie avec Leibniz, Jean Bernoulli donne une première définition de la notion de fonction :

« On appelle fonction d’une grandeur variable une quantité composée de quelques manières que ce soit de cette grandeur variable et de constantes. »

  Cette définition ouvre la voie à celle donnée par Euler quelques trente années plus tard…


I.2. Les définitions eulériennes de la notion de fonction (1748, 1755)

  Dans son Introductio in analysin infinitorum, publié en 1748, définit la fonction comme :

« une expression analytique composée d’une manière quelconque de cette quantité variable et de nombres ou de quantités constantes. »

  Le terme « analytique » désigne ici une expression obtenue à partir d’une combinaison d’opérations et de modes de calcul connus (opérations algébriques usuelles, exponentielle, logarithme, passage d’un arc à ses lignes trigonométriques), certaines de ces opérations pouvant être itérées un nombre infini de fois.

  Partant de là, Euler établit une classification des fonctions sur la base des opérations et modes de calcul utilisés :

« Je les ai d’abord divisées en algébriques et transcendantes. Les premières sont composées de quantités variables combinées entre elles par les opérations ordinaires de l’algèbre, et les secondes dépendent d’autres opérations ou des mêmes combinaisons que les précédentes, mais répétées une infinité de fois ».

  Il considère que toute fonction peut être développée en série.

  Dans son application du concept de fonction à la géométrie, il distingue les fonctions « continues » (une seule expression analytique !) des fonctions « discontinues »…


Extrait de l’Introductio in analysin infinitorum

d’Euler (1748)



  Dans ses Institutiones calculi differentialis, publiés en 1755, Euler fait état d’une évolution significative de sa définition de la notion de fonction :

« Si des quantités dépendent d’autres quantités de telle manière que si les autres changent, ces quantités changent aussi, alors on a l’habitude de nommer ces quantités fonctions de ces dernières ; cette dénomination a la plus grande étendue et contient en elle-même toutes les manières par lesquelles une quantité peut être déterminée par d’autres. Si, par conséquent, x désigne une quantité variable, alors toutes les autres quantités qui dépendent de x de n’importe quelle manière, ou qui sont déterminées par x, sont appelées fonctions de x ».

Comment s’explique cette évolution de la définition eulérienne du concept ?...


Leonhard Euler (1707-1783)


II.1. La naissance du calcul différentiel et intégral de fonctions de plusieurs variables

  La naissance du calcul différentiel et intégral de fonctions de plusieurs variables résulte d’un processus entamé à la fin du XVIIe siècle par les recherches de Leibniz, Jean I, Jacques I et Nicolas Bernoulli sur les familles de courbes dépendant d’un paramètre.

  Le travail est continué par Euler qui, dans deux mémoires présentés en 1734 devant l’Académie de Pétersbourg (et publiés en 1740), parvient à la formulation d’un critère (dit « critère d’Euler ») assurant l’équivalence entre une équation aux différences partielles (EDP) du 1er ordre et la « différentielle complète » associée :

« différentielle complète »… est une

… c’est-à-dire telle qu’il existe une fonction y(x,t) vérifiant :

  Clairaut est le premier à en faire usage dans le cadre d’une application à un problème physico-mathématique. Fontaine et lui retrouveront ce critère de façon indépendante d’Euler à la fin des années 1730.


II.1. La naissance du calcul différentiel et intégral de fonctions de plusieurs variables

  Dans la foulée, D’Alembert généralise l’application du calcul différentiel et intégral de fonctions de plusieurs variables à la mise en équation de phénomènes physiques en « mathématisant » les milieux continus : problèmes des « cordes vibrantes » et de l’élasticité, écoulements (mécanique des solides) et résistance des fluides (mécaniques des fluides / hydrodynamique).

  Avec D’Alembert, Euler, Lagrange, Laplace, Condorcet, Monge contribueront au développement de la théorie des EDP dans la seconde moitié du XVIIIe siècle en suivant des diverses approches : géométrique, physico-mathématique ou purement mathématiques (étude de classes d’EDP).

  Ces travaux seront à l’origine de nombreuses discussions et questionnements sur la notion de fonction : définition de la notion, « continuité », développement en séries polynomiales et trigonométriques, sauts de courbure, etc.

  Il s’attaque conjointement à la question de l’intégration des EDP obtenues en tenant compte des caractéristiques physiques des problèmes étudiés (conditions initiales et conditions aux limites) : il est, en cela, considéré comme le fondateur de la théorie des EDP.

Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783)


II.2. Le problème des cordes vibrantes : méthode moderne de mise en équation

Problème : équation du mouvement longitudinal d’une corde d’amplitude y(x,t), de masse linéique µ, de longueur l, fixe en ses deux extrémités A et B (dans l’hypothèse de petites vibrations et en négligeant la force de pesanteur)

-  dx un élément infinitésimal de cette corde, -  T(x,t) le module de la force de tension au point (x,y(x,t)) à l’instant t (force exercée par la partie droite de la corde sur la celle de gauche),

Soient :

  Hypothèse des petites vibrations (α <<1) :

-  et α(x,t) l’angle entre la force de module T(x,t) et l’axe horizontal


II.3. Le problème des cordes vibrantes : méthode moderne de mise en équation

  Suivant l’axe des y :

c’est-à-dire, sachant que :

  L’excursion y(x,t) de la corde vérifie donc l’équation :

  L’application du principe fondamental de la dynamique à l’élément dx (de masse µdx) donne :

  Suivant l’axe des x :

d’où l’on déduit que :


II.3. Le problème des cordes vibrantes avant D’Alembert

  Le problème des cordes vibrantes est abordé au début du XVIIIe siècle.

  Jusqu’en 1713, les recherches concernent essentiellement le calcul du temps de vibration d’une corde tendue fixe entre deux extrémités.

  En 1713, Brook Taylor (1685-1731) publie un mémoire intitulé « De motu nervi tensi » (dans les Philosophical Transactions) dans lequel il est le premier à tenter de déterminer la courbe que forme une telle corde au cours de ses oscillations :

-  il utilise, pour cela, le calcul différentiel et intégral (mais ne manipule encore que des fonctions d’une variable) -  il conclut que la corde forme une sinusoïde (la « compagne de la cycloïde ») à chaque instant.

  Le problème des cordes vibrantes est ensuite abordé par Jean Bernoulli et Euler sans qu’ils ne parviennent à l’équation générale du mouvement.

  D’autres problèmes lié à celui des cordes vibrantes font également l’objet de recherches mathématiques : le problème de la courbe élastique, le problème des lames vibrantes, le problème d’une corde chargée de poids suspendue par l’une de ses extrémités, etc.


II.4. Le problème des cordes vibrantes : le mémoire de D’Alembert de 1747

  Dans le volume de l’Histoire de l’Académie des sciences et belles-lettres de Berlin pour l’année 1747, D’Alembert publie un mémoire intitulé « Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration », dans lequel :

  Il établit l’« équation aux dérivées partielles » gouvernant le mouvement de la corde (avec y(x,t) l’excursion du point de la corde d’abscisse x à l’instant t) :

ou en posant

  Il parvient à l’expression générale de la solution en utilisant notamment le « critère d’Euler » :

  Il pose : pdt+qdx est une « différentielle complète » (exacte)

et

  Puis : pdx+qdt est une « différentielle complète » (exacte)


II.4. Le problème des cordes vibrantes : le mémoire de D’Alembert de 1747

  Il considère deux types de conditions initiales… (+ fixité des extrémités en A et en B) :

-  corde en position rectiligne (position d’équilibre) et vitesse non nulle : « corde frappée »

-  corde écartée de sa position d’équilibre et vitesse nulle : « corde pincée »

- cas mixtes

  Il parvient ainsi à un système de deux « différentielles complètes » :

d’où il déduit l’expression générale de la solution au problème :

p +q fonction de x + t p – q fonction de x – t

et montre que y(x,t) est alors complètement déterminée :

par la courbe de la vitesse initiale de la corde

par la courbe de la position initiale de la corde


II.4. Le problème des cordes vibrantes : le mémoire de D’Alembert de 1747   Dans les deux cas (corde « pincée » ou « frappée » respectivement), les conditions initiales et les conditions aux limites (fixité des extrémités en A et B) imposent que la « courbe génératrice » (vitesse initiale ou position initiale de la corde respectivement) soit impaire et 2l-périodique.

  Exemple – cas de la « corde pincée » :

fixité de la corde au point A

fixité de la corde au point B

figure initiale de la corde (pour x dans [0,l])

vitesse initiale nulle avec φ impaire et 2l-périodique

  Dès ce mémoire, D’Alembert est par ailleurs conscient que l’équation des cordes vibrantes gouverne également le problème de la propagation du son...


II.5. Le problème des cordes vibrantes : désaccord entre D’Alembert et Euler

  En 1748, Euler présente à son tour un mémoire intitulé « Sur la vibration des cordes » et très proche de celui de D’Alembert (il reconnaît d’ailleurs explicitement la priorité de ce dernier).

  En 1750, D’Alembert présente une addition à ses recherches de 1747. Il y réagit au mémoire d’Euler et ajoute une condition pour que la solution soit admissible : il faut que :

D’Alembert associe le mot de fonction à une expression

analytique

Euler conçoit une fonction comme une courbe donnée arbitrairement

(c’est-à-dire graphiquement)

Contrairement à Euler, D’Alembert rejette les fonctions changeant d’expression, c’est-à-dire les « fonctions

discontinues » dans le sens du XVIIIe siècle.

  Ce point de désaccord entre les deux savants est issu de leurs conceptions respectives de la notion de fonction :

« les différentes figures de la corde vibrante [soient] renfermées dans une seule & même équation. »


II.6. Le problème des cordes vibrantes : le mémoire de Daniel Bernoulli (1753)

-  il établit sans calcul l’expression générale de la solution sous la forme d’une combinaison de vibrations simples (c’est-à-dire de fonctions sinusoïdales du type

(avec α(t) une fonction du temps t, n un entier et l la longueur de la corde), de telle sorte que :

-  il affirme avoir ainsi présenté « ce que les nouvelles vibrations de Mrs D’Alembert et Euler ont de physique ».

  En 1753 (toujours dans HAB), Daniel Bernoulli publie deux mémoires sur le sujet. Dans le premier des deux, intitulé « Réflexions et éclaircissemens sur les nouvelles vibrations des cordes exposées dans les mémoires de l'Académie de 1747 & 1748 » :

-  il reproche à D’Alembert et Euler d’avoir admis de nouvelles courbes (autres que la sinusoïde de Taylor) « dans un sens tout-à-fait impropre ».

Daniel Bernoulli

(1700-1782)


II.6. Le problème des cordes vibrantes : la réponse d’Euler (1753)

  Dans un mémoire présenté en 1753, Euler entreprend de montrer que toutes les courbes représentant les vibrations de la corde ne sont pas forcément comprises dans l’équation exhibée par Daniel Bernoulli. Il y rejette également la restriction imposée par D’Alembert dans son mémoire de 1750.


Conclusion : la naissance de l’analyse harmonique   Dans sa Théorie analytique de la chaleur (1822), Fourier exhibe la décomposition en série qui porte son nom. Il y affirme que toute fonction d’une variable peut être représentée sous forme d’une série trigonométrique.

Joseph Fourier(1768-1830)

  Dans son mémoire de 1829 « Sur la convergence des séries trigonométriques... », Dirichlet démontre la proposition de Fourier et précise sous quelles conditions une fonction arbitraire sur un intervalle fini donné peut être développée en série de Fourier.

  Les recherches de Dirichlet vont exercer une influence profonde sur la théorie de l’intégration et conduiront à l’émergence de la notion de convergence uniforme.

  Dans sa thèse d’habilitation de 1854, Riemann développe une théorie de l’intégration plus générale que celle de Cauchy afin de pouvoir développer en séries de Fourier des fonctions présentant une infinité de discontinuités…

Lejeune Dirichlet(1805-1859)

Bernhard Riemann(1826-1866)

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