α

63°

45°

l1

l2

α 3x

x

3x

KERTAUSHARJOITUKSIA

KULMA

316. a) Samankohtaisista kulmista180 180 45 63 108( )

b) Kolmion kulmien summa on x x2 180 3 180( )

5 180

36

x 5

x

:( )

Kysytty kulma 180 3 180 3 36 72x

Vastaus: a) 108o b) 72o

317. Kulmien summa on x x x x( ) ( ) ( )2 12 140 3 15 360

5x

x

193 5:

38 6,

Kulmat ;x 38 6, 2 12 89 2x , ; 140 101 4x , ; 3 15 130 8,x

Suurin kulma on 130,8o.

Vastaus: Suurin kulma on 130,8o.

318. Kolmas kulma 180 48 67 65

Suurin kulma on 67o

Suurimman kulman komplementtikulma on 90 67 23

Suurimman kulman suplementtikulma 180 67 113 .

Vastaus: Komplementtikulma on 23o ja suplementtikulma 113o.

319. Kulma x: 80 92 180 54 360x ( )

x

80°

°

y54°

70°

92

x 62Kulma y: 54 180 62 70 360( ) y

y 118

Vastaus: x 8

180

62 y 11 ja .

320. Suurin kulma on x, jolloin kulmien x, y ja z summa on

.x y z

Yksi kulma on yhtä suuri kuin kaksi muuta yhteensä, joten x y z .

Tällöin x x 180

x 90Vastaus: Suurin kulma on 90o.

108

YHDENMUOTOISUUS

35 1538

x

321. a) Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan

x 38

50

38

35

3,

35 1 330 1 900x

x 16

b) Yhdenmuotoisista kolmioista saadaanx

40

110

65

110

x

40

25

α

α65 4 400x

x 67 7,

Vastaus: a) b)x 16, 7,3 x 67

322.

Mittakaava Etäisyys (cm)

1:200 000 25

1:75 000 x

Etäisyys luonnossa on suoraan verrannollinen mittakaavaan.

1

00

75 000

2 000

1

25

x

1

200 000

25

75 000200000x

x 66,7

Vastaus: Matka on 66,7 cm.

323. Puun pituus x m.

10 cm

125 m

60 cmx

Yhdenmuotoisista kolmioista

x

125

10

60

1 25060x

x 21Vastaus: Puun korkeus oli 21 m.

109

324. Poikien välinen etäisyys x (cm)

70 cm

5 cm 170 mx

Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan

x

170

70

5900

400

5 11x

x 2

Vastaus: Poikien välinen etäisyys oli 24 m.

325. A5 -arkin lyhyempi sivu on A4 -arkin pidemmän sivun puolikas mm 149 mm.297

2

Arkin mitat ovat 149 mm x 210 mm.

A3 -arkin lyhyempi sivu on A4 -arkin pidempi sivu eli 297 mm.

A3-arkinn pidempi sivu saadaan kertomalla A4-arkin lyhyempi sivu kahdella

210 mm 2 = 420 mm

Vastaus: A5: 149 mm x 210 mm ja A3: 297 mm x 420 mm.

KOLMIOT

328. Kolmiosta ACD saadaan

A

B

C

D

xh

25,68°

46,76°

12,64

ysin ,,

,25 6812 64

12h

64

h 12 64 25 68 5 477, sin , , ...

Sivun AB osa x:

cos ,,

25 6812 64

12x

,64

...x 12 64 25 68 11 391, cos , ,

Osa y: tan , , ...46 76 5 477h

yh

y5 477

46 765150

, ...

tan ,, ...

Kolmion ala on Ax y h( ) ( , ... , ...) , ...

,2

11 391 5 150 5 477

245 31

Vastaus: Kolmion ala on 45,31.

110

A B

C

y xD

α

h45° 30°(1)

(1) (1)(2)2

3( )

( )

329. Kolmion kolmas kulma 180 30 45 105

Kolmio ei ole suorakulma en.in

Muistikolmioista ja kolmiosta BCD

h 1

4 2

h 2x:Sivu

4

x 3

2

x 2 3

Kolm ADiosta saadaan y h 2

AB h 2( )

C

Kolmion ala A2

2 3 2

22 3 2 5 5,

Vastaus: Ei. Ala on 5,5.

30. Pythagoraan lauseella 2

111

x

3,0 cm

5,0 cm

3 3 52 2x

x2 16

x 4

K 6 colmion ala A3 4

2

cm cmm2

2Vastaus: Kolmion ala 6 cm .

31.3

A D

C

α18 cm

130°

x B

Huippukulman puolikas130

265

Kolmiosta saadaan sin 6518

18x

ADC

x 18 65 16 313sin , ...

Kolmion kanta AB x2 2 16 3, 15 33... cm cm

Vastaus: Kanta on 33 cm.

332.

a

α

Kolmion kanta on a, jolloin kylki on 0,75a

Suorakulmaisesta kolmiosta cos,

,

0 5

0 75

2

3

a

a

48

Vastaus: Kantakulma on 48o.

333. Kulmien summa x x x2 3 180

x 30Kulmat ovat 30 , 60 ja 90 , joten kolmio on suorakulmainen ja

voidaan käyttää trigonometrisia funktioita.

b

a

4,0 cm

30°

Sivu a (cm) tan30,4 0

a

a4 0

30

4 0

1

3

4 0 3 6 9,

tan

,, ,

Sivu b (cm) sin30,4 0

b

b4 0

30

4 0

1

2

8 0,

sin

,,

60°

Vastaus: Muut sivut ovat 6,9 cm ja 8,0 cm.

5 m

4 m

x

334. Pythagoraan lauseella x2 24 52

x 3

Kolmion ala A4 3

26

m m m2

Vastaus: Kolmas sivu on 3 m ja ala 6 m2.

335.

1,68 m

4,2 m 17,5 m

x

Puun korkeus x (m)

Yhdenmuotoisista kolmioistax

17 5

1 68

4 2,

,

,

112

4 2 17 5 1 68 4 2, , , : ,x

x = 7,0

Vastaus: Puun korkeus oli 7,0 m.

336. Kolmion piiri x x x 9 0,

x 3 0,

°

h

x

(1)

(2)3)(

Muistikolmion avullah

3 0

3

2,

h3 0

2

, 3

Kolmion pinta-ala 60

A

3 03 0 3

2

2

9 0 3

43 9

,,

,,

dm dm

dm dm2 2

Vastaus: Kolmion pinta-ala on 3,9 dm2.

337. a) Jyrkkyys 6 %

Vaakasuora etäisyys a

0,06 a

a

α

Pystysuora korkeusero on 0,06a

Tällöin tan,

,0 06a

a0 06

3 4,

b) Jyrkkyys 13 %

tan,0 13a

a,0 13

7 4,

Vastaus: a) 3,4o b) 7,4o

B

C

D

x

x +10

a

65°

62°

10 m

338. Kolmiosta ACD : tan62x

a

ax

tan62

Kolmiosta : tan6520x

a

AABC

ax 20

65tan

Merkitsemällä a:t yhtäsuuriksi saadaan

x x

tan tan62

20

65

x xtan tan65 20 62b g

113

x tan tan tan : tan tan65 62 20 62 65 62b g b gx 142 597, ...

Pilven korkeus järven pinnasta 142 597 10 150, ... m m m

Vastaus: Pilven korkeus järven pinnasta on 150 m

339. Pythagoraan lauseella 13 72 2x x( )2

x +7

x169 14 492 2x x x

2 14 1202 0x x

x14 14 4 2 120

2 2

2 ( )

x1

14 34

412 (ei käy)

x2

14 34

45

Kateettien pituudet ovat 5 cm ja 12 cm

Kolmion piiri p 5 12 13 30 cm cm cm cm

Pinta-ala A5 12

230

cm cm cm2

Vastaus: Kolmion piiri on 30 cm ja pinta-ala 30 cm2.

40°

x

600 m

340. Suorakulmaisesta kolmiosta

tan40600

x600

x 600 40tan 500Vastaus: Kraatterin syvyys on 500 m.

2

9,0 cm

x

341. Pythagoraan lauseella x2 29 0 41,

x2 1 600

x 40Vastaus: Pitempi kateetti on 40 cm.

114

344. a) b) c)

6

7

59,0

5,965437 sin 23 2,33sin

tan 67 sin 23 0,921

345. a) b) c)

tan107

1,2342,7 cos111 sin 79 0,4

sin

cos

120,2

13

346. Tasasivuisen kolmion sivun pituus x (dm)

Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan xx2

22

22 5

FHGIKJ ,

2,5 dm

x2

3

42 5

3

4

2 2x , : x

x x224 2 5

30

,,

x5

3

Kolmion pinta-ala on A

5

32 5

23 6

dm dm

dm2

,

,

Vastaus: Kolmion pinta-ala on 3,6 dm2.

347. Harpin suurin aukeama on suurimman mahdollisien ympyrän säde.

Aukeamiskulman puolikas135

267 5,

x x

135°αSuorakulmaisesta kolmiosta saadaan

sin ,,

67 5115

x,115

...x 11 5 67 5 10 624, sin , ,

Ympyrän säde 2 2 10 624 21 2x , ... , cm cm

Vastaus: Suurimman ympyrän säde on 21,2 cm.

348.Kaltevuus 1:2,5

(1)

(2,5)

α

Suorakulmaisesta kolmiosta tan,

1

2 5

218,

Vastaus: Katon kaltevuuskulma on 21,8o.

115

349. Neljännestunnissa kuljettu matka

s vt 121

43

km

hh km

Bx

°

°

A

C

D

s

y

38

25

Kolmiosta ABC : tan ( )253

3x

yy

x y( ) tan3 25

Kolmiosta DBC : tan38x

yy

x y tan38

Merkitsemällä x:t yhtäsuuriksi saadaany ytan ( ) tan38 3 25

y(tan tan ) tan :(tan tan )38 25 3 25 38 25

y3 25

38 254 441

tan

tan tan, ...

Lyhin etäisyys x y tan ,38 3 5

Loppumatkaan kuluu ty

v

4 441

12

0 370 22, ...

, ...km

km

h

h min .

Vastaus: Saari näkyy 22 minuutin kuluttua 90o kulmassa. Etäisyys on silloin 3,5 km.

350. Pythagoraan lauseella x x2 2 23 10( )

3

10 –x

x x x2 29 100 20

20 91 20x :

x91

204 55, x

Toinen osa 10 1091

20

109

205 45x ,

Vastaus: Osat 4,55 niveltä ja 5,45 niveltä.

351.

x 1,0 m(2)

(1)60°

3( )

1sin 60

sin 60 1 : sin

1

sin 60

1,15

xx

x

x

x

60

Vastaus: Mittarin metrin tulee olla 1,15 m pitkä.

116

352. Pythagoraan lauseella x2 224 7 0, 2

x7,0 cm

24 cm

x x2 625 0,

x 25Vastaus: Hypotenuusa on 25 cm pitkä.

353. Suorakulmaisessa kolmiossa yksi kulma on 90o

Kysytty kulma x

Kolmas kulma x 30

Kolmion kulmien summa 90 30 180x x( )

x 60Kolmion kulmat ovat 90o, 60o ja 30o.

Vastaus: Kulmat ovat 30o, 60o ja 90o.

354. Pythagoraan lauseella

x

B C

D

450 m

200 m

x2 2200 4502

x .

Matkojen suhde

242 500 492 442, ...

492 442

450 2000 757

, ..., ...

Ero prosentteina 1 0 757 0 242 24%, ... , ...

Vastaus: Matka on 24% lyhyempi.

MONIKULMIOT

355.

B

C

D

P

x

x

x

A

E

F

x

x

Koska säännöllinen kuusikulmio muodostuu kuudesta tasasivuisesta

kolmiosta, niin 5 10x ja kuusikulmion sivu on x 2 0, . Kuusikulmion

piiri on p x 2 0 12, , m 6 6 0 m .

Vastaus: Kuusikulmion piiri on 12,0 m.

h2

356.

h

2,5 dm

Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan h , josta

ja kuusikulmioon sisään piirretyn yhden kolmion korkeus on

2 2 22 5 5 0, , 18 75,

117

118

A B

C

hEα α

D

4,0 cm

D

x

h 18 75 4 3, , 30... Kuusikulmion ala on A 65 0 18 75

265

, , dm dm dm2 .

z2 2 24 6 z 52 7 2,

2 2 2h

Vastaus: Kuusikulmion ala on 65 dm2.

357.

Suunnikkaan ala on12 , josta 72h h 6 .

Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan

sin6

10, josta suunnikkaan pienempi

kulma 37 ja suurempi kulma on

180 143 .

Suorakulmaisesta kolmiosta AED saadaan

10 62 2 2x , josta x 8

BDE

. Tällöin

. Kolmiosta saadaan y 12 , mistä .

A B

D C

α

β

x y

h

E12 cm

z

x 4

Vastaus: Suunnikkaan kulmat ovat 37o ja 143o. Lyhyempi lävistäjä on 7,2 cm.

358.

Suorakulmaisesta kolmiosta ABC saadaan 4 6 , josta

h 20 4,

A kh 4 0

472... . Suorakulmion ala on

. Suorakulmaisesta kolmiosta4 472, , cm 18 cm2... cm E

saadaan sin2

3, josta 0...4181, ja 2 2 41810 84, ... .

AD

Vastaus: Suorakulmion ala on 18 cm2 ja lävistäjien välinen kulma 84o.

359.

Suorakulmion ala . Suorakulmaisesta kolmiosta

saadaan

As 6 8 48

x2 2 26 8 , josta x 10 . Neliön ala .

Alojen suhde on

An 10 1002

A

A

n

s

100

48,

1 083 108%, ...

2 083... Neliön ala on

suurempi kuin suorakulmion ala.2 083 1, ...

x

x6

8

Vastaus: Neliön ala on 108% suurempi kuin suorakulmion ala.

360. Levyjen pinta-ala .

Levyjen hinta on

A 5 0 225 0 31 0 348, , , ... m m m2

h 0 348 30 10 46, ... , euroa euroa .

Vastaus: Levyjen hinta on 10,46 euroa.

B

C

D

y

y

4

α β

A

Pythagoraan lauseella x2 22 24 , josta x 12 2 3 3 5, .

Suorakulmaisesta kolmiosta ABD saadaan sin , josta 2

430 ,

361.

2

jolloin 75 30 45 . Kolmiossa BCD kantakulmat ovat yhtä suuret, joten

cos454

y, josta y 4 45 4 2 8cos ,

1

22 2 .

Nelikulmion ala on A2 2 3

2

2 2 2 2

22 3 4 7 5, .

Vastaus: Sivut ovat 2, 2 2 , 2 2 2,8 ja 2 3 3 5, . Ala on 2 3 .4 7 5,

362.

6 m

3 m

5 m

3 m

Päätyseinän ala on A A Ak s

5 3

25 3 23

m m m m m2 .

Vastaus: Päätyseinän ala on 23m2.

363. Yhden setelin ala on .

Peittyvä pinta-ala on

A 0 12 0 062 0 00744, , , m m m2

Akok

2 3 10

50 00744 3 420 000

9, m 2 2 3 42, ,m km2 .

Vastaus: Setelit peittäisivät 3,42 km2.

364. Olympialippu painoi800

75 1050 101

kg

m m

kg

m2, ...

1 200 kg

. Suurimman lipun massa oli

.80 152 0 101, ... kg

Vastaus: Suurin lippu painoi 1 200 kg.

YMPYRÄ

119

365.

Kaaren pituus on1

22 r 110 , josta

r110

35,

A 90 2 3

014... Kentän pinta-ala on

.5 014 35 014 10 000 1 02 m m m m ha2 2, ... , ... ,

90 m

110 m

r

r

Vastaus: Kentän pinta-ala on 1,0 ha.

r366. Ensimmäisen radan säde r metriä. Toisen radan säde 1 23,

2 2s r

metriä. Koska suorat s

ovat molemmilla radoilla yhtä pitkät, niin ratojen pituuksien välinen ero on

2 2 1 23 2 2 2 2 2 1 23 2 1 23 7 73s r s r s r( , ) ( ) , , , .

Vastaus: Lähtöpaikkojen välinen etäisyys tulee olla 7,73 metriä.

A B

C

21

21

14

14 7

F

E

D

X

367.

Tutkitaan kolmiota ABD .

Sivu AB DF FC 14 7 21.

Hypotenuusa BD BE DE AB DE 21 14 35 .

Pythagoraan lauseella x2 2 221 35 , josta x2 784 ja

28 B. Tällöin C x 28 .x

Vastaus: BC 28

368. Käytetään pituusyksikkönä neliön sivua s.

Pystysakaran ala ilman kaarevia osia on 8 neliön ala eli 8s2.

Vaakasakaran ala ilman kaarevia osia on 2 neliön ala eli 2s2.

Kaarevan osan ala saadaan vähentämällä neliön alasta neljäsosaympyrän

alan .s s2 21

4Kaarevien yhteisala on

51

45

5

45

5

4112 2 2 2 2 2F

HGIKJ

FHG

IKJs s s s s s,

6,0 cm

Kirjaimen kokonaisala 8s2 + 2s2 + 1,1s2 = 11,1s2

Vastaus: Ala on 11,1

369. Ala on

A A A A Aisopy pienipy pienipy isopy

1

26 0 572( , ) cm cm2 .

Vastaus: Ala on 57 cm2.

370. Oven ala

Aovi 2 10 3101

21 05 8 2412, , ( , ) , ...m m m m2 .

2,10 m

40 cm

40 cm

Lasin ala Alasi 6 0 401

21 05 2 6912 2( , ) ( , ) , ...m m 2 m .

1,05 m

3,10 mAlojen suhde

A

A

lasi

ovi

2 691

8 2410 33 33%

, ...

, ...,

m

m

2

2.

Vastaus: Ovesta on 33 % lasia.

120

371.

Ikkunoiden pinta-ala on . Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan

, josta 0 ja r

A A Asuorakulmio segmentti

2 2 2)r r 36 0 63 0, ,r r0 60 0 315, ( , 0992252 2, r 0 728, ... .

Tällöin sin , josta ,

,

0 6

0 7 ...

0

2855 398, ... ja 2 110 797, ... .

1,20 m

1,30 m

0,60 m

r= 0,315 m

0,315 m

r

α

Segmentin ala on

2

2

segmentti sektori kolmio

110, 797... 1, 20 m (0, 728... m 0, 315 m)(0, 728... m)

360 2

0, 265... m

A A A

Koko ala on .A 1 20 1 30 0 265 182, , , ... , m m m m2 2

Vastaus: Ikkunoiden ala on 1,82 m2.

84 cm

56 cm

1,20 m

372. Lasimaalauksen pinta-ala

A 9 0 56 1 201

20 84 7 22, , ( , ) , m m m m2 .

Vastaus: Ala on 7,2 m2.

373. Pienen ympyrän ala on , josta r 2 6 0, r6 0,

. Suuren

ympyrän säde on R r5 56 0,

. Ison ympyrän ala on

A RFHG

IKJ

2

2

56 0

256 0

150, ,

cm cm cm2 2 .

Vastaus: Ison ympyrän ala on 150 cm2.

374.

r

r–5

20 cm

5,0 cm

Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan , josta 20 52 2( )r r2

400 10 252 2r r r ja r 43 .

Vastaus: Alkuperäisen ruukun säde on 43 cm.

121

375. Leikkausalue koostuu kahdesta segmentistä.

Segmentin ala on A A Asegmentti sektori kolmio .

Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan

cos

1

2 1

2

r

r, josta 60

2 120

ja sektorin

keskuskulma . Pythagoraan lauseella

x r

221

2r2 F

HGIKJ , josta x r

3

4

2 2 ja x3

2r . Tällöin segmentin ala on

A r

23

2r r

rFHG

IKJ

120

360

1

2

2 3

3

4

2 2segmentti ja kysytyn alueen ala on

A Asegm rentti rFHG

IKJ

2

3

3

21 232 2,2 .

rx

α

α 12

r

Vastaus: Leikkausalueen ala on 2

3

3

21 232 2

FHG

IKJ

r r, .

376.

1

1

x

Kolmion ala Ak

1 1

2

1

2. Pythagoraan lauseella 1 12 2 2x , josta

kolmion hypotenuusan pituus on x 2 . Kuun sirpin ala saadaan

vähentämällä puoliympyrän alasta segmentin ala. Puoliympyrän ala

Apy

FHGIKJ

1

2

22

2 4. Segmentin ala on

A A Asegmentti sektori kolmio

90

3601

1

2 4

2 1

2. Kuun sirpin ala

on A A Asirppi py segmentti

FHGIKJ4 4

1

2

1

2.

Vastaus: Kuun sirpin ala on ja kolmion ala on1

2.

1

2

PALLO

377. Puolipallon säde rd

27 0, m . Puolipallon pinta-ala on

A r1

24

1

24 7 0 98 3082 2( , )m m m2 2 . Koska grammasta kultaa voidaan

takoa neliömetrin suuruinen levy, niin kultaa tarvitaan 308 g.

Vastaus: Kultaa tarvitaan 308 g.

122

378. Veden määrä V A .h r h2

34

2

34 6 370 0 00018 61 0002 2

km km km3b g ,

Vastaus: 61 000 km3

379.

R

R x

100 m

Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan , josta

ja .

x2 2 26 370 6 370 1,

x2 1 274 35 7,01, x

Vastaus: Saaren etäisyys on 35,7 km.

380.

Suorakulmaisesta kolmiosta

cos ,6 370

6 370 20 2000 239... , josta 76 128, ... .

Säteen pituus

R r360

276 128

3602

,6 370 8 500 km km .

R

6370 km

6370 km

20 200 km

αVastaus. Alueen säde maan pinnalla on 8 500 km.

381. a) Lennetään nopeammin kuin maapallo pyörii.

b) Koska paikkakuntien aikaero on 5 h ja saapumisaika

on tuntia ennen lähtöaikaa, on lentoaika 5 h 1 h = 4 h.

c) Keskinopeus on vs

t

5 900

41500

km

h

km

h.

Vastaus: Keskinopeus on 1 500 km/h.

Rx

5 000 km

h382.

Pythagoraan lauseella , josta

Etäisyys maan pinnasta on

x2 25 000 6 3702

956, ...x 8 097

h x R 8 0 00 km.97 956 6 370 1 7, ... km km

Vastaus: Etäisyys maan pinnasta on 1 700 km.

123

383.

r–4,2

r

4,2 cm

7,5 cm

Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan , josta

ja

7 5 4 22 2, ( , )r r 2

2 2,56 25 8 4 17 64, ,r r r r73 89

8 48 8

,

,, .

Vastaus: Pallon säde oli 8,8 cm.

384. Hillan massa1 096 €

0, 00652 kg 6, 52 g€

168 000kg

m . Koska 1 dm3 hilloja

painaa 1 kg = 1000 g, niin hillan tilavuus on . Hillan säde on0 00652 6 52, , dm cm3 3

4

3

3r 6 52, , josta r ja3 6 52

4

, 3r .3

6 52 3

41 2

,,

Vastaus: Hillan massa on 6,5 g, tilavuus 6,5 cm3 ja säde 1,2 cm.

385. Koska tiheys m

V, niin tilavuus V . Rakeen säde

on

m 1

0 917

1 090 kg

kg

dm

dm

3

3

,

, ...

4

3

3r 1 090, ... ja r1 090 3

40 643

, ..., (dm) .

Vastaus: Rakeen tilavuus oli 1,1 dm3 ja säde 6,4 cm.

124

LIERIÖ

125

0

400

00

000

000

0 200, ,

386. R03: V = (mm3)5 25 43 3702,

R6: V = (mm3)7 0 48 72,

R14: V = (mm3)12 5 48 24 02,

R20: V = (mm3)16 5 57 492,

6LR61: V = 25 (mm3)15 44 17

387. Yksikkömuunnos 200 l = 0,200 m3

r = pohjaympyrän säde

r 2 1 20

r0 200

1 200 2

,

,, 30...

Pohjaympyrän halkaisija on 2r 0,46 (m).

Vastaus: 0,46 m

388.

9,

Yksikkömuunnos 25 cm = 2,5 dm

A A AP V2 2 1 0 2 1 0 2 5 21 99 222, , , , (dm2)

V A hP 1 0 2 5 7 85 72, , , (dm3)

Vastaus: 7,9 dm3, 2 200 cm2

389. Yksikkömuunnokset 0,001 mm = 0,000001 m ja 2 km2 = 2 000 000 m2

2 32000000 m 0,000001 m 2,0 mV A h = 2 000 l

Vastaus: 2 000 l

390. a) kehän pituus p 2 6 0 37 699 37 7, , ,

b) Levyn ala- ja yläpuoli saadaan kahden ympyrän alojen erotuksena. Lisäksi lasketaan

levyn ulko- ja sisäreunan ala, jotka ovat lieriöiden vaippoja. Lieriön korkeus on levyn

paksuus 1 mm = 0,1 cm

A 2 6 0 0 75 2 6 0 0 1 2 0 75 0 1 2302 2( , , ) , , , ,

c) tilavuus V 2 26,0 0,10 0,75 0,10 11,133...

tiheys15 0

1 3,

, g

11,133...cm g / cm

3

3

Vastaus: a) 37,7 cm b) 230 cm2 c) 1,3 g/cm3

391.63 948 10

5,640 100,700

m 9V ( dm3)

2 2 )r: (V r h

9 3 6 3

2

6 3

2

20,0 m5,640 10 dm 5,640 10 m , 10,0 m

2

5,640 10 m18000 m = 18 km

(10,0 m)

Vh V r

r

h

Vastaus: 18 km

392.12

12

3

2 10 kg2,857... 10

0,700 kg/dm

mV dm3 = 2,857… 109 m3

2 2 )r: (V r h

9 3

2 2

2,857... 10 m9 100 000 m = 9100 km

(10,0 m)

Vh

r

Vastaus: 9 100 km

393. Kiven tilavuus on yhtä suuri kuin lieriön, jolla on sama pohja kuin vesiastialla ja

korkeutena 2,0 cm.

V A hp 5 0 2 02, , 160 (cm3)

Vastaus: 160 cm3

394. Yksikkömuunnos 0,5 l = 500 cm3

2 3

2

2

500 cm , 15 mm = 1,5 cm

500 1,5 : 1,5

500

1,5

V r h V h

r

r

500

1,

10,300...

r

r

5

cm

2r 21 cm

Vastaus: 21 cm

395. 2,4 kg:n nestemäärän tilavuus on 1 dm3

2,0 kg:n nestemäärän tilavuus on2,0

2, 4 dm3 = 0,8333… dm3 = 833,3… cm3

Lasketaan lieriön korkeus h

126

3 2833,3 cm , 90 cm

833,3... 90 :90

833,3...9,3

90

V Ah V A

h

h

Vastaus: 9,3 cm

396. Poistettavan maan tilavuus V 10000 0 5m m = 5000 m2 3

,

Vlöyhtynyt 1 6 5000 8000, m m3 3

Kuormia8000

15530

Vastaus: 530 kuormaa

397. Kokonaisala on seinien ala vähennettynä ovien ja ikkunoiden alalla.A 2 4 5 2 8 2 3 8 2 8 5 0 41 48, , , , , ,

Maalataan kahteen kertaan

4,5

3,8

2A = 82,96

Maalia82 96

8 0

,

,10 litraa

Vastaus: 10 l2,8

398. Kuution särmä a

Maapallon tilavuus 34(6380 km)

3

a4

3

3 36380

a4

36380 1033 300 km

Vastaus: 10 300 km

399. V3

37 km 295 km 0, 040 km 436, 6 kmnäkyvä

Näkyvä osuus on kymmenesosa koko vuoresta, joten

Vkok 10 436 6 4366 44, 00 ( km3)

V Vvesi kok 0 92 4366 0 92 4016 72 4 000, , , (km3)

V

V

vesi

kulutus

4016 72

3 24 10

4016 72

32401 24

12

,

,

,,

km

m

km

km

3

3

3

3

1,24 vuotta 1 v 3 kk

Vastaus: Tilavuus 4 400 km3, veden tilavuus 4 000 km3 ja se vastaa 1 v 3 kk:n kulutusta.

127

128

m400. h 1200 0 1, mm = 120 m

3 30, 210 m 0, 207 m 0, 0001 m 1000000 = 6, 237 m 6,3mV

20, 210 m 0, 297 m 1000000 62370 mA

m A 80 62 370 80 g / m g 5000 kg2

Vastaus: 12 cm, 6,3 m3, 5 000 kg

401. 19,3 103 kg:n kultamäärän tilavuus on 1 m3

25 kg:n kultamäärän tilavuus on 3

3

25m 0,001295... m

19,3 10

3 = 1 295,0…cm3

Kultaharkon pituus eli lieriön korkeus h

5,0 9,01 295,0..., 5,4

2

5,0 9,01295,0... 5, 4

2

1 295,0... 37,8 : 37,8

1 295,034

37,8

V A h V A

h

h

h

Vastaus: 34 cm

402. a) Vsuklaa

4

35 0

500

3523 53, , ...

b) Palloja on rasiassa 8 kpl ja jokaisella sivulla on 2 palloa rinnakkain jolloin niiden säde

on10,0 cm

2,54

cm

Vsuklaa 84

32 5

500

3523 53, , ...

c) Palloja on rasiassa 27 kpl ja jokaisella sivulla on 3 palloa rinnakkain jolloin niiden säde

on10,0 cm

63

4 10,0 50027 523,5...

3 6 3suklaaV

Vastaus: a) 524 cm3 b) 524 cm3 c) 524 cm3

403. 10 cm palloja mahtuu 3 rinnakkain, joten niitä mahtuu yhteensä 3 3 3 27

Vtyhjä1 = Vkuutio – Vpallot = 30 274

35 0 12862 833 3, , ... cm3 12,9 dm3

5,0 cm palloja mahtuu 6 rinnakkain, joten niitä mahtuu yhteensä 6 6 6 216

Vtyhjä2 = Vkuutio – Vpallot = 30 2164

32 5 12862 833 3, , ... cm3 12,9 dm3

Vastaus: Molemmissa 12,9 dm3

404. Lieriön tilavuus V r 2 25,0 32 800h

Lasketaan lieriöiden pohjien säteet.2

2

:V r h

Vr

h

Vr

h

h

2

800

16r 50

3

800100

8r 10

4

800

4r 200

5

800400

2r 20

Peräkkäisten lieriöiden säteiden suhteet

2

1

501,

5

r

r414...

3

2

101,

50

r

r414...

4

3

2001,

10

r

r414...

5

4

201,

200

r

r414...

Vastaus: Peräkkäisten lieriöiden säteiden suhde on vakio 1,414…

405. Koska korkeuden ja pohjan halkaisijan suhde on 1:2, ovat korkeus ja pohjan säde yhtä

suuret.

h

h

V Ah h h h2 3

6 28,h3

h6 28

3,

A hpohja

FHGIKJ

2 3

2

6 284 985

,, ...

129

A h hvaippa

FHGIKJ

2 26 28

9 9703

2

,, ...

Akok 4 985 9 970 15, ... , ... 0, (m2)

Vastaus: 15,0 m3

406.

0,9x

0,8x

x

x = särmiön pituus

A x x x x x x x2 0 8 2 0 8 0 9 2 0 9 4 84 2, , , , ,

4 84 2, x 484

x2 100

0

x = 10

V x x x0 8 0 9 8 0 10 9 72, , , (cm3)

Vastaus: 720 cm3

407. m V

mpallo

4

30 5 2 23, , 103

03

kg = 1 151,9... kg

mjalusta 0 65 115 115 2 2 1, , , , = 1 891,1... kg

Jalustan sisällä olevan pallosegmentin massa

msegm

FHG

IKJ1 00 0 67 0 5

0 33

32 2 10

2 3, , ,,

,b g =293,5... kg

mkok 18911 1151 9 293 5 2 700, ... , ... , ... kg

Vastaus: 2 700 kg

408. a) 2 2 6 25 39 26 39rulko , , ...

b) 2 2 2 15 13 50 14rsisä , , ...

Kerroksen paperimäärän keskiarvo =39 26 13 50

226 38

, ... , ..., ...

Kerroksia yhteensä62 5 215

0 15273 3

, ,

,, ...

Paperia yhteensä 273,3... 26,38 cm 7 200 cm = 72 m

Vastaus: a) 39 cm b) 14 cm c) 72 m

409.V

V

r

r

pallo

kuutio

4

3

20 5235

3

3b g, ...

joten ulkopuolelle jää 100 % 52,35…% 47,6 %

Vastaus: 47,6 %

130

KARTIO

410. Yksikkömuunnos 1,25 m = 125 cm

131

2180

Kartion korkeus h

h2 2125

2 2125180h

h = 129,5...

2 2 31 1(125 cm) 129,5... cm 2120000 cm 2,12m

3 3V r h 3

22 2(125 cm) 125 cm 180 cm 120 000 cm 12, 0 m

pohja vaippaA A A

Vastaus: 2,12 m3, 12,0 m2

411. Yksikkömuunnos 1,2 dm = 12 cm

Kartion sivujana s

s2 = 262 + 122

s 820

s = 28,63...

A rsvaippa 12 28 63 1100, ... (cm2)

tan26

1265

Vastaus: 1 100 cm2, 65

412.

2 3

2

2

2

125,0 dm , 15,0 dm

3

125,0 15,0 3

3

75,0 15,0 : (15,0 )

75,0

15,0

75,0

15,0

1,2615...

V r h V h

r

r

r

r

r

Pohjan halkaisija

2 2 5r , dm

Vastaus: 2,5 dm

413. Kyseessä on neliöpohjainen pyramidi, jonka sivutahot ovat tasasivuisia kolmioita.

Tasasivuisen kolmion korkeusjana a

a2 + 52 =102

a 75

5

a

10

a = 8,66...

A 10 10 41

210 8 66 27, ... 0

Pyramidin korkeus hh2 + 52 = a2

h 752

e j 25

h 50 7 07, ...

V A h1

3

1

3100 7 07 24, ... 0

Vastaus: Ala 270, tilavuus 240

414. Kyseessä on ympyräkartio, jonka sivujana on 2,4 m.

72°

2,4 mAvaippa

72

3602 4 3 61912, , ...

Kartion pohjaympyrän kehän pituus

272

360r 2 2 4,

...

r = 0,48

Apohja = r 2 20 48 0 7238, ,

Akok = 3,6191…+ 0,7238… 4,3 (m2)

Kartion korkeus h

h2 + 0,482 = 2,42

h 5 5296 2, ,351...

V1

30 48 2 351 02, , ... ,57 (m3)

Vastaus: 4,3 m2, 0,57 m3

415. Kartion sivujana 5,0

Pohjaympyrän kehän pituus1

210 0 5 0, ,

Pohjaympyrän säde r2 5 0r ,

r = 2,5

Kartion korkeus h

h2 + 2,52 = 5,02

h 18 75 4 3, , 30...

132

V1

32 5 4 3302, , .. 28. (cm3)

Vastaus: 28 cm3

416. Pyramidin korkeus h

h2 + 40,02 = 120,02

h 12800

h = 113,13...

V1

380 0 11313 241002, , ... 0 (cm3) = 241 (dm3)

A = Apohja + Avaippa = 80 (cm2)41

280 0 120 0 256002 , ,

Vastaus: 241 dm3, 25 600 cm2

417. Sivutahkokolmion korkeus a

a2 + 11,52 =232

a 396 75,

a = 19,91...

Pyramidin korkeus hh2 + 11,52 = a2

h 396 75 1152, ,

h 264 5 16 2, , 63...

V1

323 16 263 22 , ... 900 (cm3)

A 23 41

223 19 91 142 , ... 00 (cm2)

Vastaus: 2 900 cm3, 1 400 cm2

418. Hiekkaa tunnissa cm3 = 60 cm360 1 0,

Kartion korkeus h

1

3

2h h 60 0,

h180

3 3 9, (cm)

2,2 dm

15,2 cm

Vastaus: 60 cm3 ja 3,9 cm

419. Yksikkömuunnos 2,2 dm = 22 cm

Suppilon kartio-osaan mahtuvan öljyn tilavuus V cm3 = 1

300,69... cm3 = 1 330,69... ml

1

37 6 222,

Suppilo täyttyy nopeudella 150 ml/s – 50 ml/s = 100 ml/s

133

Täyttyminen kestää1330 69

100

, ... s 13 s

Vastaus: 13 s

2,6

1

1,6

26,7

h420. Yhdenmuotoisista kolmioista

h h1 1

1 6,

26 7

2 6

,

,

2,6 h1 = 1,6h1 + 42,72

h1 = 42,72

Alaosan katkaistun kartion tilavuus

V12 21

32 6 42 72 26 7

1

31 6 42 72 119 972, , , , , ,b g

Yläosan kartion tilavuus

V221

31 6 2 9 3 48, , , 9...

Vkok = 119,972 + 3,489... = 123,461...

m V 123 461 2 7 10 3300003, ... , kg kg = 330 t

Vastaus: 330 t

421. Katkaistut pyramidit

Koska katkaistut pyramidit ovat kuution sisällä symmetrisesti vastakkain, on katkaistun

pyramidin korkeus on ison kuution särmä –1

2pienen kuution särmä = 8,0 m

3,4 m = 2,3 m.

1

2

1

2

1

2

8,0

h3,44

2,28

Kokonaisen pyramidin korkeus:

2,3

3,48,0

h h

3,4 h = 8,0 h – 18,4

h = 4

2 21 18,0 4 3, 4 4,0 2,3 78,78...

3 3katkpyrV (m3)

Katkaistun pyramidin sivutahkot ovat puolisuunnikkaita,

joiden kannat ovat 8,0 m ja 3,4 m.

Koska puolisuunnikkaat ovat kuution pohjalävistäjän suuntaisesti, puolisuunnikkaan

korkeus saadaan kuutioiden pohjalävistäjien avulla:

Ison kuution pohjan lävistäjä on 8,0 m (neliön lävistäjä on2 , jossa s on neliön

sivu)

2s

Pienen kuution pohjan lävistäjä 3,4 m2

134

Kun ison kuution pohjalävistäjästä vähennetään pikkukuution pohjanlävistäjä saadaan

kahden puolisuunnikkaan korkeus ja yhden puolisuunnikkaan korkeus on

8,0 2 3,4 23,

2252...

Puolisuunnikkaan muotoisia ja 20 cm paksuisia sivutahkoja on 8 kpl.

8,0 3,48 3, 252... 0, 20 110

2kok alin pyramidiV V (m3)

m V 110 2 0 103, kg 220000 kg = 220 t

Vastaus: 220 t

422. Oktaedrit koostuvat kahdesta neliöpohjaisesta pyramidista.

Pyramidien pohjaneliöiden lävistäjät ovat 5 , 102 ja 202 2

Pyramidien korkeudet:

h12

2

5 2

2

25FHGIKJ

h1 2525

2

h1 = 3,535...

h22

2

10 2

2

210FHGIKJ

h2 100 50

h2 = 7,071...

h32

2

20 2

2

220FHGIKJ

h3 400 200

h3 = 14,142...

Vkok 101

35 3 535 2

1

310 7 071 2

1

320 14 142 45002 2 2, ... , ... , ... (cm3)

Vastaus: 4 500 cm3

135

YHDENMUOTOISTEN KUVIOIDEN JA KAPPALEIDEN PINTA-ALOJEN JA

TILAVUUKSIEN SUHDE

423. Maalin kulutus m on suoraan verrannollinen pinta-alaan A:2

1

16

38

0,15

m

20,15 16 38,4m (cl) = 3,8 dl

Vastaus: 3,8 dl

424.

31

322500 l

V

3

2500 l0,

32V 076 l = 76 ml

Vastaus: 76 ml

425.

33

4

0,2 l

V

3

3

0,2 l 4

3V 0, 47 l

Vastaus: 0,47 l

426. k 2 1 25

500000

,

000

k1 25

5 0 10

1

4 10

1

20008 8

,

, 0

Vastaus: 1 : 20 000

427. k 3 2 4

300000

1

12500

,

0

k1

1250003

1

50

Vastaus: 1 : 50

428. Massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen:

160

m

1

20

3FHGIKJ

m = 160 203 g = 1 280 000 g = 1 280 kg

Vastaus: 1 280 kg

136

GEOMETRIAA KOORDINAATISTOSSA

429. a) PFHG

IKJ

12 16

2

8 8

22 8, ,b g

d 16 12 8 82 2

( )b g b g 28

b) PFHG

IKJ

0 14

2

6 8

2, ,7 7b g

d 14 0 8 6 200 14 12 2b g b g ,

c) PFHG

IKJ

2 7

2

2 1

24 5 0 5, ,b g; ,

d 7 2 1 2 34 52 2

( ) ( ) ,b g b g 8

Vastaus: a) (2,8) , 28 b) (7,7) , 200 14 1,

c) (–4,5 ; –0,5), 34 5 8,

430. a) PFHG

IKJ

4 5 3

2

15 3

20 75 6

, ( ),

( ), ;b g

d 3 4 3 15 373 19 32 2

) ,b g b g

b) PFHG

IKJ

0 12

2

12 4 5

26 8 25

( ),

,; ,b g

d 12 0 4 5 12 200 25 14 22 2

) , , ,b g b g

c) PFHG

IKJ

0 12

2

14 3

26 5, ; 5,b g

d 12 0 3 14 433 20 82 2

) ,b g b gc hVastaus: a) (0,75; 6), 19,3 b) (–6; 8,25), 14,2

x

y

B

A

C

c) (6, –5,5), 20,8

431. A1

23 3 4 5,

1

3

18,4

tan

2

3

33,7

tan

137

138

,6

,3

90 18,4 71B

90 33,7 56C

180 (71,6 56,3 ) 52,1A

Vastaus: Ala 4,5 ja kulmat 52,1 ,56,3 ja 71,6

125°

l1

l2

9

HARJOITUSKOE 1

1. a) 55 ja 125

b) 180 , 90 = 60 , = 30 ja (30 55 )

180 (30 95 ) 55

5 30 90 60

c) d 5 2 7 12 2b g b g 45 P

FHG

IKJ

2 5

2

1 7

23 5 4, , ;b g 30°

55°2. a) 2 2

2

10 (2,0 cm) 12,6 cmA

2 2

1 (20,0 cm) (18,0 cm) 240 cmA

50°

20,2 m

b)50

2 20, 2 m 17,6 m360

b

2 250(20,2 m) 178 m

360A

Vastaus: a) 12,6 cm2, 240 cm2 b) 17,6 m, 178 m2

3. a) sin305

x

30°

5,0x

x 5 30sinx = 2,5

b) cos40,4 0

c

c4 0

40

,

cos5 2,

40°

c

4,0

c) tan,

,

8 0

5 0

58 0,

Vastaus: a) 2,5 b) 5,2 c) 58

8,0

5,0

α

4. a) tan42,218

h

42°

21,8

h 218 42, tan 19 6,h

Vastaus: 19,6 m

5. V = Ah

AV

h

1000

0 000110000000 1000

cm

cm cm m

32 2

,= 10 a

Vastaus: 10 a

6. Kartion sivujana s

s2 250 0 24 0, ,

s 2516 50 15, 9...

A rsvaippa 4 0 50 159 630 32 630, , ... , ...

V1

34 0 50 02, , 840

Maalia tarvitaan630 32

5126

, ...(l).

Maalin kulutus m on suoraan verrannollinen pinta-alaan, pinta-alojen suhde on

mittakaavan neliö.2

,0

000

30

126 5

m

2

2

30,0 126 l0,0045 l =4,5 m

5000m l

Vastaus: A = 630 m2, V = 840 m3. Maalia kuluu pylvääseen 126 l ja pienoismalliin 4,5 ml.

7. a) Kuutio, jonka särmä on pallon halkaisijan 2 9,5 cm = 19 cm suuruinen.

b)V

V

pallo

kuutio

4

39 5

190 523 52 3

3

3

,

, ... , ...% . Tyhjää tilaa jää 100 % – 52,3... % 48 %.

c) d = 19 19 19 322 2 2 9,

Vastaus: a) Kuutio, jonka särmä on 19 cm. b) 48 % c) 32,9 cm

8. a) Pituuspiirin kaaren pituus b60 2 40 8

3602 6 380 2160

, ,

b) Paino on suoraan verrannollinen tilavuuteen, tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio

139

m

5 977 10

0 18

638000021,

,3F

HGt

IKJ

m5 977 10

6 380 0000 134

21

3

,,

t 0,18 t = 134 kg

3

62°

l1l2

Vastaus: a) 2 160 km b) 134 kg

6

HARJOITUSKOE 2

140

1. a) 2 , 118

b) = 180 – 56 (tangenttikulmaa vastaava

ke

= 124

skuskulma)

= 90 (tangentin ja säteen välisenä kulmana)

62 (kehäkulma on puolet vastaavasta

keskusk

90

2

ulmasta)

(tangentin ja säteen välisenä kulmana)

2. Keskusku an ja kehäkulman suhde on 2 : 1, joten keskuskulma on80

α

β

γ

δ

56°

lm2 40

Sektorin ala 28026 470

360A

astausV : 470

verrannollinen tilavuuteen ja tilavuuksien suhde on mittakaavan

kuutio.

°

26

40

3. a) Massa on suoraan

0 5,

m

1

18

3FHGIKJ

2 900 (g) = 2,9 (kg)

b) Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö

0 5 183,m

A

A

kol

str

FHGIKJ

1

18

2

Akol

astaus

A Astr kol 18 3242

V : a) 2,9 kg b) Alaltaan 324-kertainen

4. tan ,5 020

h

h 20 5 0tan , 1 7,

Vastaus: 1,7 km

5. a) A rp2 21 0 31, ,

b) h2 + 1,02 = 1,22

h 0 44 0 6, , 63...

V r h1

3

1

31 0 0 663 0 62 2, , ... , 9

3 8,c) A rsvaippa 1 0 1 2, ,

Vastaus: a) 3,1 m2 b) 0,69 m3 c) 3,8 m2

6. Lasketaan kahden pallon tilavuuksien erotuksena

VFHG

IKJ

2

3

4

36370 0 00001

4

36370 3400

3 3,b g

Vastaus: 3 400 km3

7. Kanta x

152 1 5x x,b g

x

hx +1,5 x +1,5

3x =12

x = 4

Kolmion korkeusjana h puolittaa kannan 4,0.

h2 + 22 = 5,52

h 26 25 5, ,12...

A1

24 512, . 10..

Vastaus: 10 cm2

6370α

h

6370

8. a) Pituuspiirin kaaren pituus

b

6226

6060

9

60

36040000 254

b)

62 26 60 9 2 17 217

60' ' '

cos217

60

63

6370

70

h

141

6370 217

606hb gcos 370

h

6370 6370 217

60

217

60

cos

cos

51,

Vastaus: a) 254 km b) 5,1 km

102°25°

67°α

HARJOITUSKOE 3

17 x

20

40

1. a) =180 – (180 – 102 – 25 ) = 127

b) Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan verranto

40

17

60

x x

6040 17 40x x x = 34

Vastaus: a) 127 b) 34

2. Ala A1 muodostuu neliöstä ,josta on leikattu 2,5 –säteinen neljännesympyrä.

A1 2 51

4

2 22 5, ,

A1

2,5

2,5

5,0

Avarj = 5,02 – 8A1 14

Vastaus: 145,0

3. a) Alojen suhde on mittakaavan neliö

120

A

6

6 12

2FHGIKJ

A120 72

36

2

1 7, (m2)

b) Paino on suoraan verrannollinen tilavuuteen ja tilavuuksien suhde on mittakaavan

kuutio.

m

85

6

6 12

3FHGIKJ

m85 6

72

3

30 049, kg = 49 g

Vastaus: a) 1,7 m2 b) 49 g

142

4. sin ,8 3,1 0

x

x1 0

8 3

,

sin ,6 9, (m)

Vastaus: 6,9 m

5. V (m3)0 8 2 1 0 32 0 53, , , , 76

m V 0 5376 2 7 10 15003, , kg < 2 t eli voidaan nostaa

Vastaus: Kyllä.

6370α

0,0016

6370

6. Oletetaan, että silmät ovat 1,6 m korkeudella.

cos,

6 3

6 370

70

0016

60, ...0 040

b0 04060

3602 6 370

, ...5 km

Vastaus: noin 5 km

7. Sivutahkokolmion korkeus aa2 + 102 = 252

a2 = 525

Pyramidin korkeus h

h2 + 102 = a2

h 425

h = 20,615...

V1

320 20 615 2 72 , ... 00 (m3)

tan20, ...615

1064

Vastaus: 2 700 m3, 64

143

8.(3,4) (9,4)

(7,1)(1,1)

P

d1d2

h

a)

d1

2 29 1 4 1 73 8 5b g b g ,

d2

2 27 3 1 4b g b g 5

b) PFHG

1 9

2,IKJ

4 1

2= (5 ; 2,5)

c) Suunnikkaan kanta a = 7 1 = 6

Suunnikkaan korkeus h = 4 1 = 3

A a h 6 3 18

Vastaus: a) ja 5 b) (5 ; 2,5) c) 1873

144