١٣-٧ص ص، ١، شماره ١٠، دوره ٨١٣٩بهار ،مجله مهندسي مكانيك و ارتعاشات

فصلنامه

مهندسي مكانيك و ارتعاشات

jvibme.semnaniau.ac.ir

Please cite this article using: :براي ارجاع به اين مقاله از عبارت ذيل استفاده نماييدMohammad sadeghi, Ali asghar jafari, Free and forced vibration analysis of Timoshenko composite beam with piezo-electric layers, Journal of Mechanical Engineering and Vibration, Vol. 10, No. 1, pp. 7-13, 2019 (In Persian)

تحليل ارتعاشات ازاد واجباري تير تيمو شينكو كامپوزيت با لايه هاي پيزوالكتريك

*٢، دكترعلي اصغر جعفري ١محمد صادقي

كارشناسي ارشد ، گروه مهندسي مكانيك ، واحد تهران غرب ، دانشگاه ازاد اسلامي ، تهران ، ايران -١

دانشگاه خواجه نصير طوسي ، تهران ، ايراناستاد ، گروه مهندسي مكانيك ، -٢ Ajafari@Kntu.ac.ir*تهران،

چكيده اطلاعات مقاله پژوهشي يادداشت مقاله

١٣٩٥ آذر ٢٧دريافت: ١٣٩٧ اسفند ٢٨: ذيرشپ

١٣٩٨ ارديبهشت ٢٥: ارائه در سايت

اجباري تير تيمو شينكو كامپوزيت با لايه هاي پيزو الكتريك عملگر و در اين مقاله ارتعاشات آزاد و به دست ١حسگر بررسي شده است. ميدان جا به جايي با استفاده از تئوري مرتبه اول برشي تير ها

آورده شده و معادلات حاكم بر حركت تير با استفاده از اصل هميلتون استخراج گرديده است. شرايط گاه ساده در نظر گرفته شده است. حل معادلات حركت با مرزي مكانيكي دوانتهاي تير از نوع تكيه

طبيعي تير به دست آمده استفاده از برنامه نويسي در نرم افزار متلب انجام يافته است و فركانس هاي مقايسه شده است.دربخش ارتعاش اجباري بارگذاري بار گسترده با شدت يكنواخت و با تحريك ] ١با [

هارمونيك و بار پله اي در نظر گرفته شده است.

واژگانكليد

مواد كامپوزيت پيزوالكتريك

عملگر حسگر

Free and forced vibration analysis of Timoshenko composite beam with piezo-electric layers

Mohammad sadeghi1, Ali asghar jafari2* 1-MA, Department of mechanic,West Tehran Branch, IslamicAzadUniversity, Tehran, Iran 2-Professor, Department of mechanic, khaje nasir University, Tehran, Iran * Tehran, Iran, Ajafari@Kntu.ac.ir

Article Information ABSTRACT Research Note Received 17 December 2016 Accepted 19 March 2019 Available Online 15 May 2019

relocation field using First shear deformation beam theory obtained and governor equations on moving beam derivated with using Hamilton,s rule.mechanical boundery conditions of beam bipolar from simple supported is discussed.resolution of moving equations with using programming in matlab software achieved and natural frequencies obtained and compared with [1].in part forced vibration loading, explode load with uniform tensity with harmonic excitation and stepper load is discussed.

Keywords Composite materials piezo-electric actuator sensor

١ .First shear deformation beam theory

و همكاران محمد صادقي تحليل ارتعاشات ازاد واجباري تير تيمو شينكو كامپوزيت با لايه هاي پيزوالكتريك

١، شماره ١٠دوره ،١٣٩٨ بهار ،مجله مهندسي مكانيك و ارتعاشات ٨

مقدمه - ١

كامپوزيت ها رده اي از مواد پيشرفته هستند كه در آنها از ساده به منظور ايجاد موادي جديد با خواص مكانيكي تركيب

وفيزيكي برتر استفاده شده است. از قديم نيز انسان از كامپوزيت اين مواد شروع به جلب ١٩٦٠استفاده مي كرده است. در سال

توجه كردند، با ورودكامپوزيت هاي پليمري در صنعت از آن زمان ايج مهندسي تبديل شده اند.و به بعد، مواد كامپوزيتي، به مواد ر

براي كاربردهاي مختلف ازجمله خودرو ، طراحي وتوليد قطعات، لوازم ورزشي، قطعات و هوا فضاكالاهاي مصرفي ودريايي وصنايع

حسگر هاي ]٢ Nagesh bab ,Hanagud[هوفضا بكاربرده شدند. ارتعاش يك ]٣[ Hajela ,Teboub پيزو الكتريك را معرفي كردند.

كامپوزيت با لايه هاي پيزو الكتريك تحت بار استاتيكي را تير] به ارتعاشات ازاد يك تير ٤[ Moita ,soareبررسي كردند.

كامپوزيت به روش المان محدود پرداختند. بر پايه مطالب فوق در مي يابيم كه بيشترتحقيقات صورت گرفته تاكنون به بررسي

ت با لايه هاي پيزوالكتريك به ازاد سازه هاي كامپوزي ارتعاشاتروش المان محدود پرداخته اند. بر پايه مطالب فوق در مي

صورت گرفته تاكنون به بررسي يابيم كه بيشتر تحقيقات ارتعاشات ازاد سازه هاي كامپوزيت با لايه هاي پيزوالكتريك به

شات روش المان محدود پرداخته اند وتعداد كمي از ان ها ارتعااجباري اين سازه ها را بررسي كرده اند. در اين مقاله ارتعاشات

ژي بررسي شده ازاد و اجباري تيرتيموشينكو كامپوزيت به روش انر است.

مدل سازي و استخراج معادلات حركت -٢

روابط كرنش و جا به جاييميدان جا به جايي تير بر مبناي تئوري مرتبه اول برشي تير

]؛٥شكل زير در نظر گرفته شده است [ها به

)١ (

u x , z , t = u x , t + zψ x , t

v =

,w = w x t

0

0

0

، zبه ترتيب جا به جايي در راستاي w ،v ،u) ١كه در روابط (y ،x ،چرخش سطح مقطع عمود بر لايه هر نقطه از تير مي باشند

براي معين مياني تير است. انديس صفر در مولفه هاي جا به جايي كردن جا بجايي لايه مياني تير است.

جا به جايي تير به فرم زير قابل -بر اين پايه روابط كرنش حصول است؛

)٢ (

ψuε = + z ε , ε =x y z

x x

wy = + ψ x, t γ , γ =xz xy yz

x

x, t0 0

0 0

با استفاده از اصل هميلتون معادله حاكم بر حركت تير به فرم

ان و تنش استخراج كلي زير بر حسب جا به جايي و منتجه هاي مم شده است؛

)٣ (

Nxx = I u x, t + I x, tx

Mxx - Q = I u x, t + I x, txx

Qx = I u

ψ

ψ

x, t + I x, tψx

0

0

1 0

1 2

2 3

2

به ترتيب نيروي خارجي در P ،N ،M ،Q) ٣كه در روابط (

جهت قائم، نيروي در صفحه بر واحد طول، ممان خمشي بر واحد به صورت I ،I ،I طول و نيروي برشي بر واحد طول مي باشند.

د؛زير تعريف شده ان

)٤ (

zI , I , I = ρ , z , z dzzNL

21 1 1 2 3 روابط لايه كامپوزيت -٣

رابطه ي تنش هاي نرمال و با كرنش ها براي يك ماده كامپوزيت در حالت كلي به صورت زير مي باشد؛

همكارانو محمد صادقي تحليل ارتعاشات ازاد واجباري تير تيمو شينكو كامپوزيت با لايه هاي پيزوالكتريك

٩ ١، شماره ١٠دوره ،١٣٩٨بهار ،مجله مهندسي مكانيك و ارتعاشات

σx Q Q Qσy Q Q Q

Q Qτ =yzQ K Q

τxzQ Q

ε

ε

K Qτxy

x

y

γyz

γxz

γxy

0 011 12 160 021 22 26

0 0 044 450 0 054 5 55

0 061 62 6 66

)٥(

θ𝑖 = اويه ي بين جهت الياف با محور طولي تير روابط پيزوالكتريك -٤

به zبا در نظر گرفتن مولفه جا به جايي الكتريكي در راستاي ]؛٥دليل نازك بودن لايه پيزو خواهيم داشت [

)٦ (

σ = c ε - e Exx xx z

D = ε E - e ε , D = 0z z xx x

11 31

33 31

E,∈ , D ,e به ترتيب بيانگر شدت ميدان الكتريكي، ضريب

–ديضريب پيزوالكتريك مي باشند. الكتريكي و الكتريك، جابجايي نحوه

بكار گيري لايه پيزو در اين مقاله به اين صورت است كه لايه پاييني حسگر بوده ولايه بالايي عملگر مي باشد.

روابط لايه حسگر -٥الكتريكي در حسگر وجود ندارد جابجايي چون هيچ گونه شارژصفر است لذا شدت ميدان الكتريكي zالكتريكي در راستاي

راين داريم؛حسگر به دست مي آيد. بناب

)٧ (

se u Ψs xσ = c + + zxxε x x

231 0

1133

بر اين پايه با برابر قرار دادن شدت ميدان الكتريكي در حسگر

Eو رابطه تجربي = φ,ولتاژ حسگر به دست مي آيد؛ ،

)٨ (

e h u ψs ss xV = - + hmε x x

z + zs NL Sh =m

31 0

33

2 روابط لايه عملگر -٦

پتانسيل الكتريكي و شرايط مرزي الكتريكي در لايه توزيع عملگر به صورت زير فرض شده است؛

)٩ (

aφ = φ + zφ + z φ

aφ = V at z = z = h / + ha

φ = at z = z = h /

20 1 2

20

0 21 با اعمال شرايط مرزي فوق، و اعمال معادله ماكسول در لايه عملگر ضرايب مجهول در رابطه پتانسيل الكتريكي به دست مي

Eند. با استفاده از رابطه تجربي آي = φ, شدت ميدان الكتريكي در لايه عملگر به دست مي آيد .

با قرار دادن شدت ميدان الكتريكي لايه عملگر در رابطه تنش لايه پيزوالكتريك و نوشتن ولتاژ لايه عملگر بر حسب ولتاژ لايه حسگر و ضريب بهره تنش لايه عملگر به صورت زير به دست

خواهد آمد.

εε xxxx =γkτ xyxz

i= Q cos θ + Q + Qi

sin

Q

Q

Q

θi

Q

θ cos + Q cos θi i

i= Q cos θ + Q sin θi i

EQ =

- γ γ

EQ =

- γ γ

EQ = G =

+ γ

Q = G

Q = G

0110 5

42 211 11 12 66

2 2 222

2 255 55 44

1111

1 12 21

2222

1 12 21

1266 12

2 1 12

55 13

44

55

13 شرايط مرزي

شرايط مرزي

و همكاران محمد صادقي تحليل ارتعاشات ازاد واجباري تير تيمو شينكو كامپوزيت با لايه هاي پيزوالكتريك

١، شماره ١٠دوره ،١٣٩٨ بهار ،مجله مهندسي مكانيك و ارتعاشات ١٠

)١٠ (

ae h Gu Ψa sxσ = c +z -xx

x x h εa

aeu Ψ Ψs ax x+h - h - zm mx x ε x

z +zs sNLh =m

2310

1133

2310

33

2 معادله حركت تير -٧

) در روابط منتجه هاي ممان و تنش ١٠) و (٧)، (٥روابط (

جايگذاري روابط حاصل در با سپس است. شده داده قرار تير تيموشينكو كامپوزيت حركت بر حاكم معادله ي )٣رابطه (

ي پيزو الكتريك به دست مي آيد. با لايه ها )١١(

u x, t x, t u x, t x, t* *A + A = I +I

x x x x

u x, t x, t W x, tA + A - K A x + =

x x x

u x, t x, t* * I +I

x x

W x, t W x, tx *K A + +P x, t = I

xx

* *I I

Ψ Ψ

ΨΨ

Ψ

Ψ

x

I

2 2 2 20 0 0 0

1 2 1 22 2 2 2

2 20 0 0

3 5 52 24

2 20 0

32 2

2 20 0

5 5 1 22

1 2 0

2

2

u x, t

xA β A β

x, t* *I + A β A β +k A k A β =

x* k A β k A βIW x, t

x

Ψ

2

22 2

2 11 2 02 2

3 0 2 4 5 5 5 522

0 5 5 5 520 0 1

2

0

0

0

) نشان داده شده است.١براي درك بهتر هندسه تير در شكل (

هاي هندسه تير متشكل از لايه كامپوزيت و لايه )١شكل (

پيزوالكتريك.

β) ١٢در رابطه ( = ، و براي به دست آوردن فركانس هاي

تيردترمينان ماتريس ضرايب برابر صفر قرار داده شده طبيعي است . )١٢ (

k - m ω =

* *A β -I ω A β -I ω

* *A β -I ω A β +k A -I ω k A β =

* k A β k A β -

I ω

20

2 2 2 201 1 2 2

2 2 2 202 2 4 4 5 3 5 5

2 2 0 5 5 5 5 1

مولفه هاي جا به جايي براي تحليل ارتعاش اجباري تير به

] .٦صورت زير فرض مي شوند [ )١٣ (

mπxu(x , t) = A cos sinΩtm= m

L

mπxψ x , t = B cos sinΩtm= m

L

mπxW x , t = C sin sinΩtm= m

L

1

1

1

همكارانو محمد صادقي تحليل ارتعاشات ازاد واجباري تير تيمو شينكو كامپوزيت با لايه هاي پيزوالكتريك

١١ ١، شماره ١٠دوره ،١٣٩٨بهار ،مجله مهندسي مكانيك و ارتعاشات

ده و با فركانس يكنواخت گستر هم چنين نيروي هارمونيكبر تير فرض مي در راستاي قائم pو شدت يكنواخت Ωتحريك

گردد. )١٤(

p(x . t) =4p sin(Ωt)

(2 − 1)πsin

mπx

L

) داريم .١١) در معادلات (١٣) و (١٤با جايگذاري معادلات (

→

I∗ I∗ 0I∗ I∗ 00 0 I∗

u (t)

Ψ (t)

w (t)

+

A β A β 0

A β A β + k A k A β

0 k A β k A β

=

00

4p sin (Ωt)

(2 − 1)π

)١٥(

) معادله ديفرانسيل معمولي ١٥ملاحظه مي گردد كه رابطه (با متغير زماني است كه از روش هاي عددي براي حل آن مي توان

استفاده كرد. صحه گذاري نتايج -٨

خواص مكانيكي لايه كامپوزيت؛ مشخصات هندسي تير و نظر گرفته شده ) در ١خواص ماده پيزو الكتريكي مطابق جدول (

است.

مشخصات هندسي تير و خواص مكانيكي لايه )١جدول ( كامپوزيت و خواص ماده پيزو الكتريك

مشخصات هندسي تيرL=٠/٣٨١m , b =٢٥/٤ mm

h= ٢٥/٤ mm ضخامت هر لايه h = h = 0 25 × 10⁄ m

PZT−5H خواص ماده پيزو الكتريكe = − 6 5⁄ coulomb m⁄ c = 126 × 10 E = 1 302⁄ × 10 c (volt. m)⁄ P = 7500 kg m⁄

) فركانس هاي طبيعي تا سه مود اول ارتعاشي با ٢در جدول (] براي حالتي كه ولتاژ لايه هاي پيزو الكتريك صفر باشند ١نتايج [

مقايسه شده است.

) فركانس هاي طبيعي تا سه مود اول ارتعاشي با ٣در جدول (

] براي حالتي كه ولتاژ لايه هاي پيزو الكتريك صفر نباشد ١نتايج [ و

١٠٠ G= .(ضريب بهره) در نظر گرفته شود مقايسه شده اند

مقايسه فركانس هاي طبيعي )٣جدول (

thfreq ٣

th freq ٢

th freq ١

٢٠٢ ٩٦١ ١٨٦٣ Present

١ [ ١٨٨ ٩٣٨ ١٨٤٢ [ (FEM)

%٦,٩٦ ٢,٤% ١,١٣ %Difference

نتايج ارتعاش اجباري -٩p بار گسترده با دامنه ثابت = ١٠٠KN و تحريك هارمونيك

Ω = به تير تيمو شينكو = t ٠,٠٠٠١٥٧٠٨ sدر 4000كامپوزيت بدون لايه هاي پيزو الكتريك وارد شده است نمودار

) امده است.١خيز تير در راستاي طول تير در شكل(

مقايسه فركانس هاي طبيعي )٢جدول (

th freq٣

th freq ٢

th freq ١

٦٩/٢١٧٠

٣/١٠٧٣

٧٥/٣٥٠

Present

٢/١٠٥ ٤/٢١٥٤٤

١ [ ٣٤٠

[ (FEM)

٠٧/٣ %٨/١ %٧٦/٠% Difference

و همكاران محمد صادقي تحليل ارتعاشات ازاد واجباري تير تيمو شينكو كامپوزيت با لايه هاي پيزوالكتريك

١، شماره ١٠دوره ،١٣٩٨ بهار ،مجله مهندسي مكانيك و ارتعاشات ١٢

خيز تير تيموشينكو كامپوزيت بدون لايه هاي )١شكل ( پيزوالكتريك

pبار گسترده با دامنه ثابت = ١٠٠KN و تحريك هارمونيكΩ = به تير تيمو شينكو =t ٠,٠٠٠١٥٧٠٨ sدر 4000

كامپوزيت با لايه هاي پيزو الكتريك وارد شده است نمودار خيز ) امده است.٢تير در راستاي طول تير در شكل(

خيز تير تيموشينكو كامپوزيت با لايه هاي پيزوالكتريك) ٢شكل (

نتيجه مي گيريم وقتي لايه هاي پيزو الكتريك به تيراضافه

خيز تير در راستاي طول تير كاهش مي يابد مطابق مي شوند شكل مود اول مي باشد.

) خيز تير تيموشينكوكامپوزيت بدون لايه هاي ٣درشكل (

يز تيرتيموشينكو كامپوزيت با لايه هاي پيزوالكتريك با خ

Ω تحريك فركانس و KN 100گسترده بار پيزوالكتريك تحت =

مقايسه شده است. 4000

مقايسه خيز تيرتيموشينكو كامپوزيت بدون لايه هاي )٣شكل(

پيزوالكتريك با خيزتيرتيموشينكو كامپوزيت با لايه هاي پيزوالكتريك

مپوزيت با لايه هاي پيزوالكتريك تحت خيز تير تيموشينكو كاpبار پله اي گذرا با = ١٠٠KN كه در زمانt = 0 011⁄ s بار

) نمايش داده شده است ملاحظه ٤برداشته شده است در شكل (دامنه نوسان ثابت بوده و s 0/011مي شود كه تا قبل از زمان

پس از ان ارتعاش ازاد ميرا شده است. فركانس ارتعاش مرحله اول همان فركانس تحريك بوده و فركانس ارتعاش دوم همان فركانس طبيعي تير با لايه هاي پيزوالكتريك مي باشد.

خيز تير تيموشينكو كامپوزيت با لايه هاي پيزوالكتريك )٤شكل(

تحت بار پله اي گذرا

همكارانو محمد صادقي تحليل ارتعاشات ازاد واجباري تير تيمو شينكو كامپوزيت با لايه هاي پيزوالكتريك

١٣ ١، شماره ١٠دوره ،١٣٩٨بهار ،مجله مهندسي مكانيك و ارتعاشات

پيوست -١٠

A = Q dz + Q +e

∈

h + Q −e e h G

h ∈h

A = Q zdz + Q +e

∈

z + z − z − z

2−

e e

∈

h

hGh + h h

A = Q zdz + Q −e h G

h ∈

z − z

2+ Q +

e

∈

z − z

2

A = Q z dz + Q +e

∈

z + z − z − z

3−

e e

∈

h

hGh + h

z − z

2

A = Q dz

I∗ و I∗ ∗I و = ρ z و z و 1 dz

I∗ = ρ h + ρ h + ρdz

I∗ = ρz − z

2+ ρ

z − z

2+ ρzdz

I∗ = ρz − z

3+ ρ

z − z

3+ ρz dz

مراجع -١١

[1] Lijun, HuaHongxing, shen Rongying, Dynamic finite element method for generally Laminated composite beams with piezoelectric layers. International of Mechanical Sciences 50 (2008) ; 466-480.

[2] NageshBabu,Gl.andHanagud,s.,1990:"Delaminations" In smart composite structures:A parametric Study on

vibrations,"AIAA paper90-1173-cp,31STAIAA/ASME/ ASCE/AHS/ASC SDM conference part4, pp, 2417-2426 Hanagud, S., Nagesh Babu,G.L And won, c, c., 1990 :

"Delaminationsin smart composite" structures,'' proceedings,The1990SEMSpringconferenceon Experimental Mechanics, Bethel, CT; Societyfor

Experimental Mechanics,Inc.,pp.776-781.

[3] Teboub,Y.and Hajela,p.,"A neural Network Based Damage Analysis of Smart Composite beams, "AIAA, Paper92-4685,Fourth AIAA/USAF/NASA/OAI Symposium on Multidisciplinary Analysis And optimization

September 21-23,1992, ceveland,OH.