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P r u e b a d e C a l i d a d d e A p r e n d i z a j e 2 0 1 3

1°a 2°MEDIO

MóduloPedagógico

Matemática

Coordinador Pedagógico: Felipe Calderón ConchaEdición de Estilo: Sonia Ávila UribeDiseño Gráfico: Orlando Guerrero Diedrich

Equipo Matemática

María del Pilar Blanco CasalsProfesora de Matemática Educación Media y licenciada en Educación. Pontificia Universidad Católica de Chile.Magíster en Enseñanza de las Ciencias mención Didáctica de la Matemática. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso.

Juan Díaz VergaraLicenciatura en Educación en Física y Matemática. Universidad de Santiago de Chile.Profesor de Educación Media en Física y Matemática. Universidad de Santiago de Chile.

Yael Del Valle ElguetaProfesora de Educación Básica, mención Matemática. Universidad de Santiago de Chile.

Pablo Leiva PavesLicenciatura en Ciencias, mención Física. Universidad de Chile.

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Estimado docente,

Desde el año 2005 los Módulos Pedagógicos, en sus diversas versiones, han sido un complemento del servicio Prueba de Calidad de Aprendizaje PCA que CEIS Maristas y FIDE ponen al servicio de la educación en Chile.

Esta edición 2013 que tiene en sus manos está basada en actividades desarrolladas en módulos pedagógicos anteriores que han sido revisadas, ajustadas y actualizadas, para responder con coherencia a la propuesta metodológica que sustenta el marco de referencia que tienen las Pruebas.

Cada una de las fichas de trabajo para los estudiantes responde a una teoría educativa que se sustenta en fases que el docente debe comprender correctamente para intencionar acertadamente con sus estudiantes. Este marco conceptual se explicita en las primeras páginas de este módulo pedagógico y pretende cobrar vida en cada intervención pedagógica que se realice en el aula. Especialmente, presentamos la secuencia didáctica diferenciada de acuerdo al tipo de aprendizaje que se desea lograr, ya que si corresponde a uno de tipo CONCEPTUAL los procesos pedagógicos son distintos a los que corresponden si el aprendizaje fuera de tipo PROCEDIMENTAL.

Deseamos que este documento se transforme en una orientación didáctica útil para enfrentar su labor docente, con estrategias innovadoras y de calidad para complementar la información diagnóstica que entrega la Prueba PCA.

Jorge Luis Jerez OrazioSecretario Ejecutivo CEIS Maristas

Santiago, diciembre de 2013

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DESCRIPCIÓN DE LA PCA DE MATEMÁTICA 1ERO MEDIO.

La PCA de Matemática evaluó una selección de aprendizajes construidos con el propósito de integrar los Objetivos Fundamentales Verticales y Contenidos Mínimos Obligatorios presentes en el marco curricular de 1ero Medio. Esta selección se realizó considerando criterios de repre-sentatividad del marco general y atendiendo a las posibilidades reales de la medición, dadas las características de la prueba (instrumento de lápiz/papel, formato y cantidad de ítems, etc.).

En su estructura interna la PCA clasifica cada uno de los ítems que conforman la prueba de acuerdo a la taxonomía propuesta por Pozo1 para diferenciar los tipos de aprendizaje que se evalúan.

Esta distinción cumple un doble propósito: por un lado poder comunicar con mayor precisión qué tipos de desempeños son los que demuestran los alumnos en la ejecución de la prueba y, por otro lado, construir módulos pedagógicos coherentes en su diseño instruccional al tipo de aprendizaje que se ha evaluado.

Esto último se fundamenta en el mismo marco conceptual que da soporte a la prueba, dis-tintos resultados de aprendizaje requieren procesos pedagógicos consistentes a la propia naturaleza de ese aprendizaje. En otras palabras, si se desea que los estudiantes lo-gren aprendizajes de tipo conceptual, se deben implementar procesos acordes a este tipo de aprendizaje, que serán distintos a los que se planean si se desea lograr un aprendizaje de tipo procedimental.

De este modo, las fichas de trabajo para el estudiante que se ponen a su disposición, incorpo-ran esta diferenciación metodológica en su diseño.

Para cada aprendizaje evaluado en la prueba se propone una ficha de trabajo2 destinada prin-cipalmente a los estudiantes cuyo nivel de logro ha resultado como POR LOGRAR.

Cabe advertir que las fichas trabajan solamente algunos de los desempeños asociados al aprendizaje evaluado, que se ha considerado esencial para el progreso del alumno en el sector disciplinar del año siguiente. Se sugiere complementar estas actividades con otras acciones pedagógicas que cada docente estime conveniente.

(1) Mayores detalles de esta taxonomía de los aprendizajes la puede encontrar en www.pca.cl/marcoconceptual.(2) Descargable desde el sitio web de resultados o de la página www.pca.cl/modulos.

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La tabla presenta una descripción general de cada ficha elaborada:

APRENDIZAJES EVALUADOS (AE) APRENDIZAJE tRAbAJADOEN LA fIChA

tIPO DE DESEMPEñO

1. Caracterizar los números raciona-les y sus propiedades.

Cerradura de las operaciones.Operatoria con números racionales. Conceptual.

2. Resolver problemas que involu-cran potencias de base racional con exponente entero.

Multiplicación y división de poten-cias. Procedimental.

3. Aplicar productos notables y facto-rizaciones de expresiones algebrai-cas no fraccionarias.

Aplica los productos notables de ex-presiones algebraicas. Procedimental.

4. Resolver problemas que involu-cran ecuaciones literales de primer grado.

Resuelve ecuaciones literales de pri-mer grado. Procedimental.

5. Analizar representaciones de la función lineal y de la función afín.

Identifica los parámetros de la fun-ción lineal y afín en su gráfico y las modificaciones que se generan al variar uno de ellos.Relaciona el gráfico de una función lineal o afín, con su tabla de valores o expresión algebraica.

Conceptual.

6. Valorizar funciones o composicio-nes de ellas.

Evalúa la pertenencia de puntos a una función. Procedimental.

7. Aplicar las regularidades de las transformaciones isométricas en el plano cartesiano.

Aplica las regularidades de las trans-formaciones isométricas en el plano cartesiano.

Procedimental.

8. Comprender el concepto de con-gruencia en figuras planas.

Identifica vectores y encuentra las componentes resultantes de adicio-nes y sustracciones entre ellos.Resuelve problemas relativos a la congruencia en triángulos utilizando los criterios establecidos.

Procedimental.

9. Aplicar los criterios de congruencia en triángulos para resolver proble-mas.

Reconoce pares de triángulos con-gruentes. Conceptual.

10. Interpretar información de tablas de datos agrupados y gráficos, me-diante el uso de medidas de posi-ción y de tendencia central.

Interpreta las medidas de tendencia central y de posición, a partir de datos agrupados, presentados en distintos formatos.

Procedimental.

11. Obtener la cardinalidad de espa-cios muestrales y eventos, en ex-perimentos aleatorios finitos apli-cados al cálculo de probabilidades.

Resuelve problemas que involucren el cálculo de probabilidades utilizan-do técnicas combinatorias.

Conceptual.

12. Distinguir problemas que se pue-den resolver aplicando el modelo de Laplace o la frecuencia relativa.

Calcula probabilidades mediante el modelo de Laplace o las frecuencias relativas, de acuerdo a las característi-cas del experimento aleatorio.Verifica argumentos acerca de las condiciones que debe cumplir un experimento aleatorio para obtener la probabilidad mediante el modelo de Laplace.

Procedimental.

13. Interpretar información, en diver-sos contextos, a partir de gráficos y tablas.

Interpreta la información presentada en histogramas y polígonos de fre-cuencia.

Procedimental.

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En las siguientes páginas encontrará, en primer lugar, las orientaciones metodológicas gene-rales provenientes del marco teórico de la PCA que se deben seguir para planear la enseñanza de acuerdo al tipo de aprendizaje que se quiere intencionar (Aprendizaje de tipo verbal con-ceptual o de tipo procedimental). Estas orientaciones se han esquematizado como “fases” para facilitar su comprensión y, además, son las mismas que se han diseñado al interior de cada ficha para el estudiante.

Y en segundo lugar, se presentan sugerencias específicas para cada una de las fichas de trabajo elaboradas para esta versión del módulo pedagógico. Esto con el propósito de complementar el recurso impreso con las aportaciones que puede realizar el docente en el momento de su utilización en el aula.

APRENDIZAJES EVALUADOS (AE) APRENDIZAJE tRAbAJADOEN LA fIChA

tIPO DE DESEMPEñO

14. Seleccionar la información necesa-ria para resolver un problema.

Identifica datos relevantes para la solución de un problema en las que se ven involucradas las cuatro ope-raciones con números racionales y potencias.

Procedimental.

15. Modelar situaciones o fenómenos y argumentar utilizando el lengua-je algebraico.

Modela situaciones o fenómenos y utilizando ecuaciones literales. Procedimental.

16. Implementar una estrategia para resolver un problema no rutinario. Resuelve problemas en diversos ám-

bitos numéricos identificando los da-tos relevantes y proponiendo alguna estrategia de resolución.

Procedimental.17. Comunicar el resultado de un pro-blema evaluando la pertinencia al contexto.

18. Argumentar matemáticamente una situación por medio de una operación, teorema, propiedad o combinación de estas.

Evalúa la veracidad de una afirmación y argumenta a través de contraejem-plos cuando es falsa.

Procedimentaldestreza.

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SISTEMA DE APRENDIZAJE

De acuerdo a Pozo (2002) “toda situación de aprendizaje, sea implícito o explícito, espontáneo o inducido a través de la instrucción, puede analizarse a partir de tres componentes básicos”: resultados, procesos y condiciones.

QUé RESULtADOS OCONtENIDOS

Aprendemos o queremos que alguien aprenda.

Se aprende ese o esos resultados buscados.

Debe organizarse la práctica para activar esos procesos, qué requisitos debe reunir esa práctica.

CÓMO PROCESOS

CUÁNtOCUÁNDODÓNDE, Etc.

CONDICIONES

Análisis Intervención

Los resultados de aprendizaje hacen referencia a “lo que se aprende” o, en otros términos, aquello que cambia en el aprendiz como producto de la situación de aprendizaje; el segundo componente del sistema son los procesos de aprendizaje o el conjunto de mecanismos cog-nitivos, afectivos o motores que se ponen en juego para la adquisición de los resultados. Por último, encontramos las condiciones de aprendizaje o el tipo de escenario instruccional que se debe construir para que se generen los procesos que llevan a los resultados de aprendizaje esperados.

¿Por qué consideramos relevante esta distinción? El currículo escolar contempla diferentes resultados de aprendizaje, los que –a su vez– requerirán procesos específicos que se activa-rán bajo condiciones también diversas. En palabras sencillas, lo que es útil para lograr un tipo de resultado, puede resultar ineficaz para otro; el problema es que la mayor parte de las veces no somos conscientes de esta situación y utilizamos la misma metodología para las diferentes categorías de aprendizaje.

En coherencia con esta perspectiva, ofrecemos una metodología específica para favorecer el logro de aprendizajes procedimentales y aprendizajes verbales de tipo conceptual en la sala de clases.

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¿CÓMO INTENCIONAR APRENDIZAJES PROCEDIMENTALES EN LOS ESTUDIANTES?

En el presente apartado proponemos una forma de estructurar el proceso instruccional de modo que pueda favorecer la adquisición, desarrollo y consolidación de las técnicas o métodos y de las destrezas intelectuales. Los pasos sugeridos no pretenden convertirse en una estruc-tura rígida, pues cada situación educativa demandará de parte del profesor la flexibilidad sufi-ciente para adaptarse a los requerimientos del escenario que enfrenta. No obstante, el paso que nunca debe faltar es el tercero, en el cual se detallan los pasos mentales que se deben seguir para desarrollar la destreza. Si éste no se hace presente, sin duda estaremos haciendo la clásica enseñanza centrada en contenidos.

Para ilustrar cómo se desarrollan cada una de las fases en este tipo de fichas, se tomará como ejemplo conductor la ficha Valorización de funciones.

PRIMERA fASE Despertar el INtERéS por aprender.

La finalidad de este paso es mostrar al estudiante que el proceso que va a aprender puede ser utilizado en su realidad concreta, aumentando la motivación por el aprendizaje. Por otra parte, da al profesor la oportunidad de incorporar dentro de la sala de clases los elementos centrales de la cultura infantil o juvenil del medio en que se encuentra. Naturalmente, este es un paso que puede ser pasado por alto cuando se lleva un tiempo prolongado trabajando en torno a una misma destreza o método.

Idealmente, se trata de presentar una situación lo más real posible que ilustre cómo el uso de una determinada destreza resulta beneficiosa para el aprendiz o su falta de dominio le priva de participar con éxito en contextos que le interesan.

Por ejemplo, para mostrar la relevancia de la valorización de funciones, se diseñó la siguiente situación:

Matilde decide contratar un plan para su telefono móvil, para eso cotiza en una compañía que le presenta la promoción “Atínale al precio”.

La información entregada a Matilde está resumida en los siguientes folletos:

Paga según lo que hablas:

P = precio en pesos. m = minutos que hablas.

P = 250 + 90m

Paga según lo que hablas:

P = precio en pesos. m = minutos que hablas.

P = 350 + 70m

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Matilde pretendía hablar 100 minutos mensuales, pero no supo cuál plan contratar para pagar menos, así que contrató un plan al azar.

• SiMatildefuesetuamiga¿Cuálplanlerecomendaríasparaquehableloprevis-to y pague menos? ¿Por qué?

• SiMatildeelprimermeshabló320minutos,¿Cuálplanleconveníamáshabercontratado?

• SiMatildesólopodíapagar5.000pesos¿Cuálplanleeramásconveniente?

Matilde no pudo elegir un plan según su conveniencia, porque no supo evaluar la cantidad de minutos que quería hablar para pagar lo menos posible, lo que a ella le faltó fue aprender la siguiente técnica…

En esta situación, se quiere hacer notar que la carencia de una determinada herramienta men-tal impide realizar con normalidad ciertas tareas, o nos pone en desventaja para enfrentar situa-ciones de la vida cotidiana con éxito.

SEGUNDA fASE Construir una REPRESENtACIÓN MENtAL apropiada de la herramienta que se va a adquirir.

Decíamos anteriormente que el pensamiento debe ser enseñado explícitamente, es decir, indi-cando con claridad cuál es la destreza que se desea desarrollar en un momento determinado. A este elemento apunta el segundo paso metodológico sugerido: el profesor señala claramen-te –ojalá anotándolo en la pizarra para que también se transforme en una imagen mental– la destreza o técnica que se abordará en la sesión.

Pero no se detendrá ahí. Además, buscará alguna forma para indicar con claridad en qué con-siste el proceso de pensamiento que se propone al aprendizaje. ¿Cómo?

•Entregandoélmismoladefinicióndeladestreza.•Construyendoconlosalumnosunadefiniciónapartirdesupropiaexperiencia.

Este último paso nos permite dirigir la atención del aprendiz hacia el objetivo de la clase y activar sus conocimientos previos, pues es posible que la misma destreza haya sido ejer-citada en otros subsectores o en niveles anteriores, o haya sido puesta en juego de manera intuitiva en la vida diaria.

Por otra parte, estimula la coherencia de lenguaje al interior del Centro Educativo, por cuanto las definiciones serán compartidas por todos los docentes del establecimiento (realizando las modificaciones que la edad de los niños o la naturaleza del subsettctor requieran). En este sen-tido, es indispensable que cuando trabajemos una destreza del panel institucional utilicemos la misma terminología allí señalada; de lo contrario, crearemos confusión en los estudiantes que no entenderán por qué el análisis de textos significa una cosa para el profesor de Historia y algo totalmente distinto para el de Biología.

Evidentemente, no es necesario definir la destreza todas y cada una de las ocasiones en las que

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se trabaje; la experiencia profesional nos irá indicando cuando ya no resulta necesario hacerlo pues los alumnos conocen suficientemente el proceso. En el caso de las definiciones que aparecen en cada uno de los Módulos PCA, su elaboración ha corrido por cuenta del equipo de autores que participa en la construcción de estos materiales; en algunos casos puede ser que no corresponda exactamente al concepto que se maneje en un determinado centro educativo. Se recomienda, en estas situaciones, adaptar las fichas de acuerdo a la cultura de cada colegio.

Por ejemplo en la ficha se desarrolla de este modo esta fase:

Se presenta la siguiente definición:

EVALUAR una función en un punto concreto consiste en SUSTITUIR EL VALOR en la fórmula de la función y REALIzAR las operaciones indicadas en ella.

Esta definición puede ser construida con los mismos estudiantes a partir de un diálogo con ellos acerca de su propia experiencia con la destreza, preguntándoles por ejemplo, ¿Qué aspectos creen que son relevantes en la valorización de funciones? El propósito es dar con las siguientes palabras claves variables dependientes, variables indepen-dientes, evaluar la función en un valor, pues a partir de ellas se construye la definición propuesta en el módulo.

tERCERA fASE Detallar los PASOS MENtALES que se deben seguir para desarrollar la herramienta.

Aquí se encuentra el núcleo del proceso. Cada destreza o técnica tiene una serie de pasos mentales más o menos fijos, que es necesario identificar y explicitar para que el alumno pue-da aprender el funcionamiento del proceso y transferirlo posteriormente a nuevas situaciones.

En los módulos PCA presentamos una propuesta inicial de pasos mentales, los que finalmente deberán ser adaptados a la realidad de cada centro; no obstante, servirán como un primer acercamiento al tema (siempre es más fácil pensar sobre una base concreta).

Por ejemplo, para la ficha se propone:

A continuación te propondremos una serie de pasos mentales que te ayudarán a eva-luar funciones.

Identificar la incógnita y los datos entregados.

Remplazar en la fórmula el o los valores dados.

Despejar la incógnita.

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

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CUARtA fASE MODELAR la ejecución de la herramienta mental.

No basta con señalar los pasos de pensamiento “en abstracto”; una vez que ya se han puesto en evidencia los pasos mentales de la destreza, es preciso acompañar a los aprendices en el proceso de pensamiento, con un ejemplo propio del contenido que se está trabajando. Así, es posible identificar y precisar las dificultades de aprendizaje y alertar frente a posibles errores.

En la ficha, se ejemplifica de este modo:

Se tiene el siguiente problema:

Un automóvil recorre 12.000 metros, y se demora 120 minutos. ¿A qué velocidad viajó este automovilista?

Si sabemos que:

v = velocidad en km/hr d = distancia en km t = tiempo en horas

Para resolverlo utilicemos los pasos mentales anteriores:

Identificar cuál es el(los) valor(es) dado(s) y la fórmula de la función.Paso 1:

Al leer el enunciado nos damos cuenta de que se puede resolver el problema reempla-zando los datos en la fórmula pero hay que tener cuidado que en la fórmula los datos están en kilómetros por hora y en el enunciado están dados en metros por minuto.

Remplazar en la fórmula el(los) valor(es) dado(s)Paso 2:

Antes de remplazar debemos realizar los cambios en las unidades de medida corres-pondiente:

1 km = 1.000 m d = 120.000 m d = 120 km

1hr = 60 min t = 120 min t = 2 hr

Luego remplazamos los datos en la fórmula:

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Realizar las operaciones indicadas en la fórmula.Paso 3:

V = 120 : 2 = 60 km/hr

El automovilista viajó a 60 km por hora.

Nótese que el propósito de las explicaciones es el de clarificar las posibles dificultades de cada paso mental, de manera de prever proyectivamente la tarea. Puede complementar preguntan-do a los mismos estudiantes qué otras dificultades pueden aparecer en cada paso.

QUINtA fASE Dar la oportunidad de INtERNALIZAR la destreza con un contenido de la asignatura, en forma individual o grupal.

Una vez que se han dado al estudiante las herramientas básicas, es necesario construir un esce-nario para que dichas herramientas sean puestas en práctica, es decir, para que puedan ejerci-tar la destreza aprendida de manera autónoma.

Para ello, determinamos tiempo de trabajo grupal o personal, y de acuerdo a los recursos que tengamos disponibles. Lo esencial, en todo caso, es que los alumnos vuelvan a detallar los pasos mentales que corresponden a la destreza, aunque se muestren reticentes a hacerlo. De esta forma estamos ayudando a que la instrucción externa en un primer momento, posterior-mente se vaya haciendo interna; que la voz del profesor se transforme con el tiempo en la voz del propio pensamiento, tal como señala Vygotsky de manera teórica.

En esta fase es esencial que el profesor se pasee por la sala de clases monitoreando el trabajo y actuando como mediador frente a las dificultades de aprendizaje que se van suscitando. Así, puede percibir con más claridad dónde se encuentran los aspectos más conflictivos e intro-ducir cambios en su modalidad de enseñanza o sugerir vías alternativas de acción.

En la ficha, se presentan 8 actividades para realizar la ejercitación, estas progresan desde la más simple a la de mayor complejidad donde el estudiante deberá valo-rizar funciones en la resolución de un problema que involucra fórmulas conocidas como el teorema de Pitágoras, el volumen de un cuerpo, incluyendo fórmulas de otras áreas científicas, como la energía cinética, entre otras.

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SExtA fASE REtROALIMENtAR el trabajo realizado, volviendo a explicitar los pasos de pensamiento.

Terminado el trabajo personal o grupal es fundamental revisar la tarea, centrando la atención en los pasos que se han debido llevar a cabo, en las dificultades encontradas y en la forma en la cual ha sido tratado el contenido. Al realizar esto estamos contribuyendo a desarrollar en nuestros aprendices un pensamiento de tipo metacognitivo, que conoce y regula sus propios procesos intelectuales.

Del mismo modo, estamos recogiendo valiosa información respecto a la forma en la cual he-mos diseñado el proceso de enseñanza y cuáles son los mecanismos de aprendizaje especí-ficos de ese grupo de alumnos en particular. Recordemos que –en esta fase– nos interesa tanto el producto como el proceso.

En la ficha, se puede trabajar este punto en la sección “¿Qué hemos aprendido?” que se encuentra al final de ésta.

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¿CÓMO INTENCIONAR APRENDIZAJES VERBALES DE TIPO CONCEPTUAL EN LOS ESTUDIANTES?

En términos generales, consideramos que la construcción de conceptos en la sala de clases debe tener al menos las siguientes etapas:

• Descubrir sus representaciones implícitas sobreel contenido (situaciones que impliquen USO del conocimiento).

•Dejarplanteadaunapreguntaquedesequilibre.

Conectar con la EStRUCtURA DE ACOGIDA

del alumno

• PresentarREDCONCEPTUAL.

• Explicarelsentidodelaunidad(porquéestudiarla unidad en su conjunto; relación entre cada componente).

Proporcionar una EStRUCtURA LÓGICA

para favorecer inclusión

• Desarrollo claro y preciso de los conceptosfundamentales de la unidad, con los debidos EJEMPLOS y CONTRAEJEMPLOS.

Construcción de CONCEPtOS y adquisición

de INfORMACIÓN

• Recoger lo fundamental del módulo en unaestructura gráfica que ayuda a crear una representación mental.

SÍNtESISdel conocimiento

Actividades dePROfUNDIZACIÓN y tRANSfERENCIA

Para desarrollar esta metodología se tomará como ejemplo conductor la ficha Funcio-nes lineal y afín.

PRIMERA fASE Conectar con la EStRUCtURA DE ACOGIDA del alumno.

Como nos enseña la psicología cognitiva, los alumnos no llegan a la sala de clases con la mente en blanco, sino que poseen ciertos conocimientos previos sobre el tema que se abordará, determinadas herramientas mentales para abordar la tarea de aprendizaje y una actitud par-ticular frente a los objetivos propuestos o la disciplina académica de estudio.

Si bien, esta estructura de acogida debe ser tenida en cuenta a lo largo de toda la interven-ción docente, nos parece oportuno comenzar la clase buscando alguna forma de conocer qué es lo que los alumnos saben sobre un determinado tema y cómo han estructurado el conoci-miento del cual disponen.

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En este sentido, estimamos que la lluvia de ideas NO es la mejor alternativa posible, ya que sabemos que cada persona construye verdaderas estructuras de conocimiento organizado –aunque muchas veces implícitas– y no sólo almacenan información aislada.

De este modo, recomendamos presentar diversas situaciones problemáticas que exijan al estudiante USAR su conocimiento. Al verlos en acción, podremos inferir cuáles son sus con-cepciones implícitas respecto a un determinado concepto; también, es conveniente plantear una pregunta que desestabilice lo que el alumno cree saber, generando un mayor interés por aprender.

Por ejemplo, en la ficha se presenta de este modo la fase:

Matilde por distintos motivos ha tenido que pedir un préstamo… pero no sabe en cuál banco le conviene más en relación a los intereses que pagará al final. Al momento de consultar en los bancos “La Guardia” y “Tu ahorro” les dieron la ecuación con la que puede determinar el interés que pagará (i) dependiendo de la cantidad de años (a) en que pedirá el crédito: La Guardia: i = 0,052 a Tu Ahorro: i = 0,062 a

Un amigo que sabía matemáticas graficó el interés que tendría que pagar en ambos bancos dependiendo de la cantidad de años del préstamo.

Al ver las ecuaciones y el gráfico, Matilde quedó aun más confundida y todavía no sabe en cuál banco pedir el préstamo.

• SiMatildefuesetumejoramiga,¿Cuálbancolerecomendarías?,¿Porqué?

• ¿Cómosabríasquerectacorrespondeacadabanco?

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SEGUNDA fASE Proporcionar una EStRUCtURA LÓGICA para favorecer la inclusión.

Una de las condiciones que David Ausubel establece para favorecer el aprendizaje significativo de los conocimientos escolares es que éstos deben tener sentido lógico. En esta perspectiva, sugerimos el uso de recursos gráficos que entreguen una visión panorámica de lo que se es-tudiará en clases y permitan al estudiante ir conectando la nueva información con este marco general.

No se trata, sin embargo, de “mostrar” un esquema. Ante todo, el profesor debe invertir tiempo explicando las relaciones existentes entre los diferentes conceptos y cómo todo lo que se aprenderá puede vincularse con esta estructura. A ella deberá referirse varias veces a lo largo del proceso instruccional.

En la ficha se presenta la siguiente red conceptual:

Lenguaje algebraico. Ecuaciones. funciones.

Álgebra.

•Expresionesalgebraicas.•Traduccióndellenguaje

natural al algebraico.

•Términossemejantes.•Ecuacionesdeprimer

grado con una incógnita

• Lineales.• Afines.

tERCERA fASE Construcción de CONCEPtOS y adquisición de INfORMACIÓN.

Corresponde al momento de trabajo con los nuevos contenidos, que deberá evitar el riesgo de la simple entrega oral de datos.

téCNICAS DE ENSEñANZA RECÍPROCA.

La enseñanza recíproca, una estrategia didáctica desarrollada por Annemarie Palincsar y Ann Brown3 . Es una técnica que obliga tanto al maestro como al alumno al uso del conocimiento de nivel superior. A continuación se presenta una adaptación de la estra-tegia de enseñanza recíproca:

a. Síntesis. Los estudiantes se reúnen en grupos de 5 a 6 integrantes y leen uno o dos párrafos en silencio. Un estudiante del grupo realiza el papel de líder y sin-tetiza lo que acaban de leer. Los otros alumnos, pueden agregar algunas ideas a la síntesis anterior. Si los estudiantes tienen dificultad para resumir, el profesor puede proporcionar algunas claves (ej.: Lista de términos importantes, frases que obviamente están relacionadas con el tema) para ayudar a la construcción de un buen resumen.

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(3) A. Palincsar y A. Brown, “Reciprocal Teaching of Comprehension Fostering and Comprehensión Monitoring Activities”, Cognition and Instruction 1, 1984; 117 – 175

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b. Preguntas. Los estudiantes formulan preguntas o dudas que quedaron de la lectura de los conceptos y el resto de los integrantes del grupo tratan de res-ponderlas basándose en la información recopilada.

c. Clarificación. El estudiante líder trata ahora de esclarecer los puntos confusos del párrafo. Él podría señalarlos o pedir a un compañero que lo haga. Por ejem-plo, el estudiante líder podría decir: “La parte que dice que una función es lineal si ambas variables (x y f(x)) se relacionan mediante una proporcionalidad directa con constante de proporcionalidad m me resultó confusa. ¿Puede alguien ex-plicarla?” El grupo trata entonces de esclarecer las partes confusas. Esto puede abarcar una relectura del párrafo. Si no lo logran el profesor deberá intervenir para clarificar los puntos confusos antes de proseguir en la lectura.

d. Predicción. El estudiante líder solicita ahora que predigan lo que se va a decir en el párrafo siguiente. Los alumnos escriben sus predicciones en sus cuadernos. A continuación, las leen en voz alta y el maestro selecciona un nuevo líder quien resume lo que acaban de leer usando las preguntas de la predicción como una ayuda. El estudiante que está guiando la actividad formula preguntas acerca de la lectura y genera clarificaciones y predicciones.

Repiten el proceso con los siguientes párrafos hasta completar la lectura de los con-ceptos.

CUARtA fASE SÍNtESIS del conocimiento.

La idea en esta fase de la enseñanza es ayudar al alumno a organizar el conocimiento que ha adquirido en la sesión, a través de la elaboración de algún tipo de organizador gráfico, mapa conceptual, diagrama o esquema. En el caso del material que ponemos a su disposición, en muchos casos se ofrece algún tipo de síntesis, que podrá servir como base al trabajo posterior del estudiante.

En la ficha se presenta el siguiente organizador gráfico de síntesis:

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Nótese que el organizador gráfico se centró en la representación gráfica de las funcio-nes tratadas en la ficha y de este modo ejemplificarlas. Todas las rectas que aparecen graficadas en el plano cartesiano tienen alguna característica especial que las relaciona con una de las leyendas. También es importante destacar que no se incluyó la recta vertical porque no es posible ejemplificarla con una función lineal o afín. Se pueden sugerir algunas preguntas simples para responder con la ayuda del organizador con el propósito de familiarizar al estudiante en su lectura y utilidad o por ejemplo pedirles que señalen todas las rectas que representan una función lineal o una función afín y que las destaquen en la ficha con algún color en particular.

QUINtA fASE Actividades de PROfUNDIZACIÓN y tRANSfERENCIA.

Finalmente, se proponen algunas instancias de profundización de los principales conceptos que se han trabajado en el módulo, procurando que éstos impliquen aplicar el conocimiento y no sólo reproducirlo. En muchos casos, se retoman ejercicios indicados al comienzo de la ficha, para tomar conciencia de cómo los conocimientos previos se han visto modificados a partir de la experiencia de aprendizaje.

En particular la ficha propone 10 actividades para la internalización, en donde el estu-diante deberá identificarla, graficarla y aplicarla en la resolución de problemas.

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SUGERENCIAS Y COMENTARIOS A LAS FICHASDE LOS ESTUDIANTES

fIChA 1A: CERRADURA DE LAS OPERACIONES.

La ficha se inicia con una analogía de las operaciones entre números y la combinación de colores pertenecientes a una caja de témperas, para explicar la cerradura entre las operaciones. Una buena pregunta, sería “¿Siempre al combinar colores se obtiene otro que está en la misma caja?” el objetivo de dicha pregunta es demostrar que puede haber otra caja con más colores que contenga a la mezcla, como analogía entre el con-junto numérico de los racionales y el conjunto de los naturales.

El primer aporte teórico es más un resumen de lo visto en los años anteriores sobre la importancia y las razones (matemáticas) que sustentan la creación de los distintos con-juntos numéricos. Se recomienda prestar atención y revisar en conjunto dicho aporte, ya que es la base de la definición de cerradura presentada en este módulo.

La demostración adjunta pretende mostrar la forma en que se crea conocimiento ma-temático y que todo en la matemática tiene causas específicas que provienen de la deducción o inducción lógica. Es importante hacer notar al estudiante la necesidad de plantearse el por qué al momento de realizar una proposición, como “la adición es cerrada en los números racionales”.

Para las actividades y finalización de la clase es importante que los estudiantes realicen demostraciones (si bien no con la formalidad matemática necesaria) en donde justi-fiquen sus proposiciones. Puede ser interesante que se revisen dichas proposiciones frente a la clase para que todos puedan participar de la demostración.

fIChA 1b: OPERACIONES CON NúMEROS RACIONALES.

Es importante que el problema que se plantea como actividad introductoria sirva para dejar en claro que las fracciones no se suman linealmente, ya que tiende a ser un error frecuente y sobretodo persistente en los alumnos, para ello también se hace un pe-queño recordatorio de operaciones básicas con fracciones, en este sentido el docente puede hacerse cargo y explicar cada una de ellas.

Revisar los ejemplos y leer varias veces los pasos. Se sugiere hacer hincapié en el paso 1, ya que algunos estudiantes necesitan leer más de una vez el problema para lograr identificar los datos entregados. También es importante resaltar que deben fijarse bien en qué se está preguntando, por ende el paso 3 cobra importancia.

Al momento de ejercitar la técnica es importante que se revisen todos los problemas y luego realizar una puesta en común de los ejercicios y comentar si los pasos planteados fueron útiles para ellos.

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fIChA 2: POTENCIAS.

En la ficha de producto y división de potencias se ha hecho énfasis al cálculo de po-tencias de 10, por tratarse de la aplicación directa de notación científica. Los proble-mas propuestos al final de la ficha plantean una dificultad un poco mayor y varían un poco de esta aplicación, para ampliar el círculo de aplicaciones. Se sugiere dar variedad de ejercicios con potencias positivas y negativas, así como división de fracciones para practicar la aplicación directa de las propiedades.

fIChA 3: PRODUCTOS NOTABLES.

Lo trascendental en esta ficha es determinar y discriminar cuándo es apropiado utilizar cada producto notable y aplicar su regularidad. Es importante explicar cada una de las regularidades, más que hacer una repetición de ellas como una “regla”. Se sugiere mostrar al estudiante la relación entre lo algebraico y lo geométrico, por ejemplo; en el cuadrado de binomio la regularidad es “se eleva el primero término al cuadrado, se le suma el doble del primer término por el segundo más el segundo término al cuadrado.”

Su parte algebraica. Su parte geométrica.

(a + b)2= a2+2ab+b2

(a+b)2

= a2 + b2 + ab + ab= a2 + 2ab + b2

b

a

b2 ab

ab a2

b a

Es importante fijar criterios para reconocer los productos notables, los cuales saldrán específicamente de las características particulares de cada uno de ellos. Además se sugiere recomendar a sus estudiantes que observen cuidadosamente las expresiones algebraicas y como están presentadas, ya que transformándolas o haciendo algunas equivalencias podría facilitar el trabajo.Para esto se sugiere que se realicen ejercicios además de los que están resueltos en la ficha donde el grado de dificultad va en aumento. A continuación se presenta un lista-do con ejercicios propuestos:

1. (7a + b)2 =2. (a + 3b)(a -3b)=3. (5a-2b-2a)2=4. (2z-e)(2z+e)=5. (x+b - c)(x+b - c)=6. (x+2x+2)(3x+3)=7. (2x + 1)(2x -1)=

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Al finalizar la ficha se sugiere que junto a sus estudiantes lea el listado de productos notables, y fomente la práctica para crear una habilidad en el trabajo con ellos. Es re-comendable también explicitarles que cualquiera de los productos notables puede ser resuelto a través de la multiplicación, y que este recurso lo apliquen como última estra-tegia, ya que la idea de utilizar productos notables es simplificar pasos, evitar errores, disminuir el tiempo de resolución y posteriormente factorizar.

fIChA 4: ECUACIONES LITERALES DE PRIMER GRADO.

Para el inicio de la clase se sugiere que mencione que una ecuación literal es aquella donde se encuentran más de una variable de las cuales una sola será la incógnita o valor desconocido.

A la hora de abordar la destreza es importante mencionar que para resolver una ecua-ción literal se debe tener muy claro cuál es la incógnita que se quiere despejar, y que las demás variables estarán en función de la incógnita. Por ejemplo a = 2s + r, se dice que a está escrita en términos de s y de r.No está demás explicitar a los estudiantes que el objetivo de resolver ecuaciones litera-les en esta ficha no es encontrar el valor numérico de las expresiones algebraicas que se obtienen, sino despejar la incógnita en función de las otras variables.

Se sugiere leer los pasos en conjunto y que los apliquen en las situaciones que se plan-tean, además puede señalar que hay situaciones en las cuales despejar la incógnita es más fácil que en otras, ya que depende de la complejidad de la ecuación, por ende hay pasos que se pueden omitir e incluso fusionar, lo importante es que logren darse cuenta que siguen una regularidad.Algunos ejemplos para ayudar a los estudiantes con el trabajo de la técnica:

Despejar x de las siguientes ecuaciones:

1. 2z + x = 3y2. 2x – z = 5y3. 2(x + y) = 3z4. 3(z + x) – x = 4y5. 2(x – z) + 3(x – y) = y + z

Al finalizar la ficha, señale las dificultades que se evidenciaron durante el trabajo de la actividad. Comente los ejercicios con sus estudiantes, para que se compartan los erro-res frecuentes y se analice por qué se cometieron.

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fIChA 5: FUNCIONES LINEAL Y AFíN.

La ficha se inicia con un ejemplo de interés simple en donde se comparan dos gráficos correspondientes a dos tazas distintas acompañadas de su forma algebraica. La idea es que los estudiantes comparen ambos gráficos para que puedan contestar las pregun-tas que se acompañan.

El primer aporte teórico es importante para quienes no dominen los conceptos de función lineal y afín. El segundo aporte teórico, relacionado con los conceptos de pen-diente y coeficiente de posición y su importancia a la hora de graficar, está más estre-chamente relacionado con el objetivo del módulo.

Se sugiere preparar algunos gráficos de funciones (si no se dispone de un proyector, se pueden hacer algunos gráficos en papelógrafo, con la ayuda de los alumnos) para mostrar la influencia de la pendiente y coeficiente de posición en el gráfico. Revisar en conjunto el organizador gráfico de síntesis e identificar todas las relaciones posi-bles, dejando claro que la función lineal es un caso particular de la función afín con coeficiente de posición igual a cero. Para finalizar, revisar en conjunto las actividades propuestas.

Para gráficos con ayuda de un computador con acceso a internet:

•http://fooplot.com/

fIChA 6: VALORIzACIóN DE FUNCIONES.

Se sugiere leer la actividad y dar tiempo para que los estudiantes trabajen de forma individual, luego compartan las respuestas en una puesta en común. Esto le servirá al docente para identificar los conocimientos de sus estudiantes. No importa en esta eta-pa de la clase que queden preguntas sin respuestas concretas para el alumno.

Lea el ejemplo y los pasos haciendo incapié en la identificación de los datos y que la incógnita será el valor buscado a través de diversas estrategias, algunas más directas que otras.

También es importante que se tome en cuenta que los datos que se reemplacen en las funciones estén en las mismas medidas para que así los resultados sean coherentes.

Para ejercitar la destreza se sugiere ir revisando todos los ejercicios en conjunto.

Para finalizar, pida a sus estudiantes que resuelvan el problema inicial utilizando los pasos y así logren comprender la importancia de valorizar funciones.

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fIChA 7: ROTACIONES.

En esta ficha se focalizará el trabajo en las rotaciones. Se recomienda que antes de co-menzar a trabajar la destreza se les recordara a los estudiantes que para describir una rotación se debe considerar el centro de rotación, el ángulo de giro y el sentido de la rotación (horario o anti-horario).

Para la actividad inicial se sugiere que mencione que el centro de rotación puede estar dentro o fuera de la figura y que se trabajará con la aplicación de algunas regularidades de las rotaciones, que corresponden a los giros en 90º, 180º y 270º en el plano carte-siano.

A la hora de abordar la técnica es importante explicar y ejemplificar que en el plano se observan las siguientes regularidades,

• Sielángulodegiroesde90ºlascoordenadasP(x,y)cambianaP(–y,x).• Sielángulodegiroesde180ºlascoordenadasdeP(x,y)cambianaP(–x,–y).• Sielángulodegiroesde270ºlascoordenadasdeP(x,y)cambianaP(x,–y).

Luego, pida a sus estudiantes que lean los pasos en conjunto y que los apliquen en las figuras, líneas y puntos que se plantean. Se sugiere que realice algunos de los ejemplos que ahí aparecen en la pizarra o proyectando una cuadrícula.

Al finalizar la ficha se sugiere señalar las dificultades que se evidenciaron durante el trabajo de la actividad.

fIChA 8A: ADICIóN Y SUSTRACCIóN DE VECTORES.

La ficha está enfocada en la técnica de la adición y sustracción de vectores, específica-mente a la forma analítica, por lo que una vez concluida la parte introductoria puede ser importante recordar la forma de operar vectores de forma gráfica.

En el inicio de la ficha, se plantean dos preguntas en donde se apunta principalmente a cómo graficar vectores dadas sus coordenadas y la traslación como movimiento en el plano. Es importante señalar la importancia de los vectores para señalar posiciones y movimientos.

El método señalado para realizar sumas y restas de vectores hace hincapié en el orden de las coordenadas para obtener resultados correctos, por lo cual todos los vectores re-sultantes se graficarán en el plano cartesiano como forma de comprobar. Por medio de la gráfica de los vectores involucrados en el problema, se puede deducir la operación necesaria para determinar el vector desconocido. Para mostrar esto, puede determi-nar la operación necesaria para hallar el vector resultante en el problema del segundo ejemplo resuelto.

En los ejercicios, dar tiempo a los estudiantes y llamar al azar para su resolución en la pizarra.

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fIChA 8b: CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS.

Esta ficha está focalizada en el concepto de congruencia y el establecimiento de los cri-terios de congruencia de triángulos. Se sugiere que para la actividad de inicio se dejen las preguntas abiertas, en donde se acepten todas las respuestas de los estudiantes, sin importar si están correctas o no. La idea es que al finalizar la ficha, ellos sean capaces de discriminar cuáles eran correctas.

Luego de señalar los tres criterios de congruencia principales, indique por qué cada conjunto de datos es suficiente, basándose en su construcción. Además señale que el cuarto criterio tiene una condición muy particular que tienen que tener en considera-ción.

Al tratar los contenidos es importante indicar que cada criterio debe ser utilizado en el mismo orden que se señala, además de reforzar cuáles son las mínimas condiciones, y si existe otro criterio que se puede utilizar.

También es importante que el docente señale que hay triángulos congruentes que van formando otras figuras congruentes. Como por ejemplo:

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Donde los triángulos 1 y 2 son congruentes a los triángulos 3 y 4 respectivamente, y las figuras que forman juntos también son congruentes.

Para el cierre de la ficha, se sugiere que se vuelva a la actividad inicial y que se aclaren todas las respuestas, llegando a un consenso en conjunto con los estudiantes. Luego de esto se revise el organizador grafico donde se resumen todos los contenidos tratados.

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fIChA 9: CONGRUENCIA DE TRIáNGULOS.

Esta ficha tiene como objetivo utilizar los criterios de congruencia para determinar cuándo dos triángulos son congruentes. La situación inicial destaca un error frecuente que cometen los estudiantes al pensar que si dos triángulos tienen los mismos ángulos son congruentes. La idea es rescatar los conocimientos previos de los estudiantes y la estructura de acogida.

Se sugiere que al definir la técnica mencione los criterios de congruencia para recordar-los y pídales a sus estudiantes que los expliquen con sus propias palabras.

Complemente el ejemplo que acompaña los pasos mentales con un caso en donde los triángulos sí sean congruentes. Evalúen en conjunto la pertinencia de los pasos, si es necesario agregar más pasos o modificar algunos.

Para la aplicación de los criterios de congruencia en triángulos, deje que los estudiantes trabajen y revisen los ejemplos en parejas. Luego desarrollen ejercicios donde deben encontrar valores desconocidos utilizando los criterios de congruencia.

fIChA 10: INTERPRETACIóN DE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.

Es importante aclarar que el cálculo de medidas de tendencia a central, para efectos del módulo, es un aprendizaje adquirido por lo que se hará hincapié a su interpretación en distintos contextos y con datos en distintas representaciones (tablas o gráficos).

Antes de la actividad inicial se recomienda explicar a los estudiantes por qué estos es-tadígrafos se les denomina de tendencia central (muestran la tendencia general de los datos, son indicadores representativos de los datos, resumen los datos, entre otras). Pre-guntarles si conocen otros indicadores, se espera que contesten, el rango, el mínimo, el máximo, entre otros, entonces preguntarles qué miden estos estadígrafos.

Aprovechando la introducción de la ficha, es importante recordar a los estudiantes las medidas de tendencia central (cuáles son) y la información que entregan (interpreta-ción de forma general). El primer aporte teórico busca recordar las medidas de tenden-cia central e indicar la forma de calcularla, para luego interpretarlas de forma general.

En los ejercicios propuestos procurar que los estudiantes trabajen en parejas para pro-piciar distintas interpretaciones de dichas medidas y la comparación de ellas.

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fIChA 11: OBTENCIóN DE LA CARDINALIDAD DE UN ESPACIO MUESTRAL.

Una vez leído el problema inicial es importante hacer hincapié que la forma de con-tar los distintos eventos que se pueden obtener depende única y exclusivamente de cómo esté pensado el experimento a realizar. Un ejercicio para mostrar este efecto es cambiar o alterar el experimento mostrado en dicho problema con tal de que los estu-diantes determinen el total de eventos que se pueden producir y los comparen con los obtenidos del ejemplo anterior.

Antes de continuar, es conveniente recordar el concepto de probabilidad y el método de Laplace para obtener la probabilidad teórica de eventos equiprobables.

Dentro de los pasos mentales hay tendencia a la obtención de la cardinalidad del espa-cio muestral más que la correcta obtención de la probabilidad por lo que se aconseja contestar dudas de esa área al curso en general. De igual manera, las técnicas combina-torias utilizadas pueden ser engorrosas para los estudiantes por lo que se pide clarificar las dudas de algunos procedimientos o la simbología utilizada (como la factorial) o utilizar un diagrama de árbol.

Los ejercicios propuestos usan esferas de colores o numeradas, dados y monedas; por lo que Ud. podría realizar unas cuantas repeticiones del experimento para permitir la visualización del evento deseado por parte de sus estudiantes.

fIChA 12A: CáLCULO DE PROBABILIDADES.

Lo trascendental para la ficha es determinar y discriminar cuándo, para un cierto evento en un determinado experimento, se puede asignar su probabilidad mediante Laplace o frecuencias relativas. Es conveniente recordar las características necesarias que debe cumplir dicho evento al momento de elegir un método para calcularla.

En está ocasión lo relevante es el cálculo de probabilidades por lo que todos los pasos están referidos a ello. Es necesario recordar la forma de obtener la cardinalidad de es-pacios muestrales cuando se refiera al método de Laplace en los ejercicios propuestos puesto que se hará una vaga mención de ello en esta ficha.

Es recomendable fijar criterios generales para determinar la forma de obtención de la probabilidad por lo que se pide prestar atención por parte de los estudiantes en los ejemplos resueltos.

Los pasos están referidos de forma genérica (ya sea para un método o el otro) por lo que en la parte final puede proponer a sus estudiantes crear pasos distintos de forma paralela a un método o el otro.

Es conveniente que los ejercicios sean revisados en plenario por el curso y que se con-testen las preguntas finales en conjunto.

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fIChA 12b: PROBABILIDADES.

El objetivo del presente modulo es el poder distinguir las características del método de Laplace y el de las frecuencias relativas. En especial las limitaciones que poseen.

Se recomienda que explique “la pesca milagrosa” para poder entender los argumentos que se plantean en la situación inicial. De todas formas se sugiere que en principio, la primera lectura sea individual para luego comentarla en el curso. La idea de esta pri-mera instancia es darse cuenta de que el modelo de Laplace no siempre es aplicable.

En los apartados teóricos se explican las características de ambas formas de obtener porcentajes y además las limitaciones. Puede ser conveniente, realizar el experimento del lanzamiento de una moneda sólo para relacionar ambos métodos de obtener la probabilidad. Posteriormente, dar ejemplos sobre experimentos que requieran la ex-tracción sin reposición (como la pesca) y analizar la pertinencia de determinar la proba-bilidad de un método u otro.

Para los ejercicios, es conveniente dar tiempo a los estudiantes y luego compartir sus resultados.

fIChA 13: INTERPRETACIóN DE INFORMACIóN PRESENTADA EN HISTOGRAMAS.

Para este caso se hará una breve reseña de algunos conceptos importantes como mar-ca de clase, histograma y polígono de frecuencia, por lo que es importante que los primeros minutos de la clase se restituyan dichos aprendizajes.

En la situación inicial, dado que este módulo apunta a una destreza del conocimien-to, puede ser favorable pedir la opinión a los estudiantes y guiarlos en la obtención de conclusiones pertinentes a los estudios reflejados en las distintas representaciones gráficas.

A diferencia de los otros módulos procedimentales los pasos señalados serán tips y datos útiles para la correcta interpretación de dichos gráficos, por lo que una vez re-visados y puestos en práctica en el primer ejemplo resuelto, puede dar tiempo a los estudiantes para agregar un paso, fusionar pasos existentes o simplemente eliminar alguno de ellos.

Una vez en la etapa de los ejercicios, se aconseja nuevamente que los estudiantes tra-bajen en conjunto (máximo 3 estudiantes) para fomentar la discusión entre grupos de trabajo referentes al mismo gráfico.

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fIChA 14: SELECCIóN DE LA INFORMACIóN RELEVANTE.

Esta ficha se basará principalmente en problemas que involucren operatoria básica en números racionales y potencias. Recuerde que no se trata de resolver el problema, sino de llevar a cabo una parte del proceso de resolución, que es discriminar la información relevante de la que no lo es.

Al momento de abordar la destreza se sugiere hacer hincapié en que los estudiantes lean comprensivamente el problema y enfatizar en la pregunta, ya que nuestro obje-tivo es dar respuesta a ésta y para ello debemos buscar una estrategia a través de las operaciones que conocemos. Luego, que identifiquen todos los datos entregados, pa-sen al momento de pensar y plantear una estrategia de resolución, observen los datos y discriminen entre los que son relevantes y útiles, dejando de lado los datos distractores. Solicite que argumenten por qué fueron descartados algunos datos de la actividad de inicio, y anote las respuestas o métodos señalados en un costado en la pizarra, sin borrarlos, de manera que esta información pueda ser utilizada para comparar los pasos que se presentan después, así se facilitará el proceso de discriminación.

Para la comprensión y ejecución de los pasos se sugiere que se lean los pasos en con-junto, se realice el ejemplo y se discuta sobre la pertinencia de éstos.Algunos ejemplos para ayudar a los estudiantes a utilizar la destreza en otras situacio-nes:

1. Un agricultor ha recolectado 1.500 kg de trigo y 895 kg de cebada en 30 días. Ha vendido el trigo a 22,35 ptas. el kilo y la cebada a 19,75 ptas. el kilo. ¿Cuánto es el total recibido por la venta del trigo y la cebada? ¿Cuál es la diferencia entre lo que ha recibido por la venta del trigo y lo que ha recibido por la venta de la cebada?

2. La distancia entre dos ciudades es 356,78 km. Si faltan por recorrer 124,6 km, ¿Cuántos kilómetros se han recorrido?

Al finalizar la ficha comente los ejercicios con sus estudiantes y evalúe la utilización de los pasos para la resolución de la actividad.

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fIChA 15: MODELACIóN DE SITUACIONES.

Esta ficha focalizará el trabajo en el planteamiento de ecuaciones literales. A la hora de abordar la destreza sería importante que señale que en este tipo de ecuaciones hay una incógnita acompañada de valores representados por letras. Importante es destacar que depende de lo que queramos calcular, será la incógnita que deberemos escoger, es decir, puede ser que el valor que se quiera calcular no necesariamente sea el de x.

Para la comprensión y ejecución de los pasos se sugiere que los lea con sus estudiantes y luego los comente. Algunos ejemplos para ayudar a los estudiantes a utilizar la des-treza en otras situaciones:

1. Un boleto de cine para niños tiene el valor de $c. Si Juan fue a comprar 5 boletos para niños y 3 para adulto gastando $24.000, ¿Cuáles el valor de una entrada de adultos?

2. Si j contiene r veces a p, ¿Cuánto vale r?3. Un regalo envuelto cuesta $p, y sin envolver cuesta $1 100 más de los que co-

bran por envolver, ¿Cuánto cobran por envolverlo?

Al finalizar la ficha brinde el espacio para que sus estudiantes señalen o den cuenta de los errores cometidos, para poder intervenir en ellos. Tenga presente revisar los pasos para detectar donde se generan más conflictos a la hora de modelar las situaciones, las más recurrentes son la comprensión del enunciado, otras, su representación.

fIChA 16 y 17: RESOLUCIóN DE PROBLEMAS.

Esta ficha busca generar en el estudiante la necesidad del saber resolver problemas, ya sea utilizando la lógica matemática o la aplicación de algún contenido visto en la asignatura.

En primera instancia, el ejemplo introductorio busca generar en el estudiante la ne-cesidad de esta destreza para resolver un problema cotidiano pero no posee una de-terminada forma de resolución. En este aspecto, es necesario notar que con el mismo contexto se pueden obtener diversas respuestas, de acuerdo a las condiciones dadas en el problema. Por ejemplo, la respuesta puede diferir a la señalada si se pide el plan con mayor cantidad de minutos libres.

Las preguntas están orientadas a la compresión del problema. Es necesario recalcar que el error de Matilde consiste en no considerar la petición de su mamá ni todos los datos entregados, en rigor, debido a que no hubo compresión del problema en sí.

Una vez superado el problema se encuentra la definición de la destreza y posterior-mente un ejemplo resuelto. Al igual que el primero, es un problema cotidiano en el cual todos se han enfrentado alguna vez. Se recomienda preguntar a los estudiantes res-pecto de si los datos son necesarios y/o suficientes; y algún método que los involucre y relacione. La idea es que se muestre la necesidad de entender el problema – desarrollar una estrategia – aplicar dicha estrategia. Nuevamente, sería conveniente realizar el pro-

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blema si se cambia algunas de sus condiciones:

a) El tiempo de espera del microbús fuese menor, (2 minutos)b) Los colectivos viajan a distintas velocidades (50 km/h y 60 km/h; ambos reco-

rren medio trayecto)c) La micro viaja a una velocidad mayor (60 km)d) La micro y los colectivos viajan a la misma velocidad (cualquier valor)

Estos cambios ayudan a mostrar las diferencias en los resultados, los cambios b) y d) sirven para mostrar como estas condiciones afectan la forma de entender el problema y planificar su solución. Al terminar esta parte, se muestran los pasos mentales propuestos para la obtención de esta destreza. Después de leerlos es necesario notar las similitudes entre la propuesta y lo realizado anteriormente.

De forma alternativa al problema desarrollado, puede preguntar si existe alguna otra for-ma de hallar la cantidad de camiones. Por otro lado, puede sugerir el tanteo para resol-verlo, teniendo en cuenta cuantas calles pueden limpiar cinco camiones, por ejemplo.

Se recomienda que los estudiantes realicen los ejercicios propuestos en grupos para que contrasten formas de resolución y comprobación de resultados.

Respecto a las preguntas finales, se recomienda contestarlas a modo de plenario, recor-dando los comentarios del segundo ejemplo.

fIChA 18: ARGUMENTACIóN.

Esta ficha está focalizada en la habilidad de comunicar y argumentar. Esta argumenta-ción debe ser matemática y en general se basa en la búsqueda de un contraejemplo que muestra lo incorrecto de una afirmación.

En la situación inicial, la idea es que los estudiantes identifiquen el concepto de nú-mero cuadrado perfecto y lo relacionen con el concepto de raíz cuadrada, para que identifiquen si el número cuadrado perfecto y el número entero que resulta de obtener su raíz cuadrada son múltiplos de 4. Además se debe motivar a los estudiantes a que comprueben la veracidad del comentario del personaje. Inste a que los estudiantes sean ordenados a la hora de resolver la situación y expliciten su conclusión en forma clara y coherente incluyendo ejemplos y contraejemplos.

A la hora de abordar la destreza sería importante que señale que cuando la proposición es falsa basta con encontrar un ejemplo que invalide la afirmación (llamado contrae-jemplo). En cambio si la proposición es verdadera la argumentación debe ser en gene-ral y fundamentada en las propiedades y teoremas matemáticos.

Para la comprensión y ejecución de los pasos pida a sus estudiantes que los parafraseen y expliquen. Realice el ejemplo junto a ellos, y evalúen si fue necesario utilizar todos los pasos o si pueden omitirse algunos (o fusionarse).

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Algunos ejemplos para ayudar a los estudiantes a utilizar la destreza en otras situacio-nes.

Ejemplos:

1. Si entonces

2. Si entonces

3. Si entonces

4. Si y son funciones lineales entonces

5. Si es una traslación y es una rotación con respecto al punto y án-gulo entonces

Al finalizar la ficha se sugiere que en un plenario pida a sus estudiantes señalar las difi-cultades que se evidenciaron durante el trabajo de la actividad. Comente los ejercicios con ellos.

1 1 1a b a b

+

= +

a b Z, ∈

a b Z, ∈

a b c Z, , ∈ a b c ab c( )+ = +

( )a b a b− = −2 2 2

f g f g g f° = °

T P Tx y O a x y( , ) ( , ) ( , )° = °T P Tx y O a x y( , ) ( , ) ( , )° = °T P Tx y O a x y( , ) ( , ) ( , )° = °T P Tx y O a x y( , ) ( , ) ( , )° = ° T P Tx y O a x y( , ) ( , ) ( , )° = °

3º BÁSICO• LenguajeyComunicación• Matemática• CienciasNaturales• Historia,Geografía

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1º MEDIO• LenguajeyComunicación• Matemática• CienciasNaturales• Historia,Geografía

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