matematicipenet.files.wordpress.com · Cuprinsul cursului Unitatea de învăţare 1 1. Serii numerice

FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU

MATEMATICA

suport pentru pregatirea actvitatilor remediale

Partea I : Suport de curs : Activitati tutoriale

Cuprinsul cursului

Unitatea de învăţare 1

1. Serii numerice ..........................................................................................................................

1.1 Obiectivele unităţii de învăţare 1 .........................................................................................

1.2 Definiţii si proprietati generale ale seriilor numerice .........................................................

1.3 Serii clasice,serii cu termeni oarecare,serii alternate

1.4 Serii cu termeni pozitivi.Criterii de convergenta ................................................................

Teste de autoevaluare................................................................................................................

Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ..................................................................

Bibliografia unităţii de învăţare 1 .............................................................................................


2. Serii de puteri

2.1 Obiectivele unităţii de învăţare 2 ........................................................................................

2.2 Definiţia si studiul noţiunii de serie de puteri ....................................................................

2.3 Ilustrarea rezultatelor teoretice pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ............................

Teste de autoevaluare................................................................................................................



Lucrarea de verificare nr. 1 ......................................................................................................


3. Funcţii de mai multe variabile reale

3.1 Obiectivele unităţii de învăţare 3 .........................................................................................

3.2 Definiţia limitei şi continuităţii pentru o funcţie de mai multe variabile reale

3.3 Definiţia derivatelor parţiale de ordinul I si II pentru o funcţie de mai multe variabile

reale

3.4 Definiţia diferenţiabilitatii pentru o funcţie de mai multe variabile reale ..........................

3.5 Extremele locale ale funcţiilor de mai multe variabile reale…………………………

3.6 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor………………………………

Teste de autoevaluare ................................................................................................................

Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare ...................................................................

Bibliografia unităţii de învăţare 3 ..............................................................................................

Lucrarea de verificare nr.2 ........................................................................................................


4.Calcul integral

4.1 Obiectivele unităţii de învăţare 4…………………………………………………

4.2 Clasificarea integralelor euleriene ......................................................................................

4.3 Definiţii şi proprietati ale integralelor euleriene ..................................................................

4.4 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ....................................................


Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ...................................................................


Lucrarea de verificare nr. 3 .......................................................................................................


5. Formule probabilistice în care apar operatii cu evenimente

5.1 Obiectivele unităţii de învăţare 5 ..........................................................................................

5.2 Formule de calcul practic pentru probabilitati ....................................................................

5.3 Scheme probabilistice clasice ..............................................................................................

5.4 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ....................................................


Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ...................................................................


Lucrarea de verificare nr. 4........................................................................................................


6. Variabile aleatoare


6.2 Variabile aleatoare unidimensionale ..................................................................................

6.3 Variabile aleatoare bidimensionale………………………………………………

6.4 Variabile aleatoare unidimensionale clasice………………………………………

6.5 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ..................................................






7. Statistica matematică

7.1 Obiectivele unităţii de învăţare 7

7.2 Elemente de teoria selecţiei .................................................................................................







8. Matematicax financiara

8.1 Dobanda simpla

8.2 Dobanda compusa

Prefaţă

Acest material isi propune efectuarea asistată a sarcinilor de invatare (acumularea si

intelegerea informatiilor aferente disciplinei Matematica, interpretarea modului de evaluare

si asigurarea unei pregatiri adecvate), precum si recuperarea şi ameliorarea dificultăţilor în

învăţare. Lucrarea “Matematica" dezvoltă numeroase probleme teoretice şi practice, care fac

obiectul cursurilor de matematică sau de statistică economică ale studenţilor din

învăţământul economic şi în particular ale studenţilor înscrişi la programul de studiu

remedial realizat de catre Facultaţile de Management si de Marketing.

Fiind subordonate programei analitice a disciplinei “Matematici aplicate în

economie” de la Academia de Studii Economice Bucureşti, , anul I, , noţiunile şi conceptele

prezentate în lucrare apar, în mod firesc, într-o succesiune logică şi sunt supuse unor

restricţii temporale inevitabile, care conduc adeseori la dezvoltări teoretice limitate.

Obiectivele principale ale acestui curs, concretizate în competenţele pe care

studentul le va dobindi după parcurgerea şi asimilarea lui, sunt următoarele:

- va avea cunoştinţe solide de strictă specialitate, dar şi de tehnici specifice

matematicii aplicate;

- va fi în măsură să construiască, să prelucreze şi să valorifice o teorie economică

relevantă, credibilă şi inteligibilă, numai în condiţiile în care stăpâneşte deopotrivă

cunoştinţe în domeniul respectiv, dar şi temeinice cunoştinţe de matematici aplicate în

economie

- va dispune de numeroase soluţii pentru eficientizarea managementului la nivel

micro şi macroeconomic în vederea practicării în condiţii de performanţă a muncii de

economist;

- va putea aborda, înţelege şi dezvolta diverse probleme ale disciplinelor de

specialitate, precum şi alte concepte legate de modelarea matematică a unor procese sau

fenomene economice dintre cele mai diverse.

Actitatea remediala “Matematca ” este structurata pe opt unităţi de învăţare

(capitole), fiecare dintre acestea cuprinzând câte o lucrare de verificare.

Nutrim speranţa ca studenţii din anul I, de la programul remedial de matematica,

Facultaţile de Management si de Marketing, să găsească în această lucrare un sprijin real şi

important pentru studiu şi cercetare, pentru viitoarea lor profesie, ce le va solicita şi

cunoştinţe de matematica

Autorii

UNITATEA DE INVĂŢARE 1:

Serii numerice

Cuprins

1.1 Obiectivele unităţii de învăţare 1 .......................................................................................

1.2 Definiţii si proprietati generale ale seriilor numerice ........................................................

1.3 Serii cu termeni oarecare, serii alternate, serii clasice

1.4 Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă ..............................................................

Teste de autoevaluare ...............................................................................................................

Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare .................................................................

Bibliografia unităţii de învăţare 1

1.1 Obiective

Unitatea de învăţare 1 conţine o prezentare într-o formă accesibilă, dar riguroasă a noţiunii de

serie numerică din cadrul analizei matematice, care fundamentează teoretic noţiunea de serie de puteri,

un alt element de bază al analizei matematice, ce va fi expus în unitatea de invăţare 2.

După studiul acestei unităţi de învăţare, studentul va avea cunoştinţe despre:

- conceptul de serie numerică, necesar si extrem de util, pentru a putea modela matematic

anumite procese sau fenomene economice, dintre cele mai diverse;

- tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de „Serii numerice” şi al

lucrărilor de verificare ale studenţilor din învăţământul economic din anul I, Management si de

Marketing din Academia de Studii Economice, Bucureşti.

1.2 Definiţii si proprietăţi generale ale seriilor numerice

Fie

1nna o serie numerică de termen general na .

Definim şirul sumelor parţiale 1)( nnS ,

n

kkn aS

1

.

Definiţia 1. Seria

1nna este convergentă dacă şirul 1)( nnS este convergent.

În acest caz, numărul nn

SS

lim se numeşte suma seriei.

Dacă

nn

Slim sau 1)( nnS nu are limită, atunci seria

1nna este divergentă.

1.3 Serii cu termeni oarecare, serii alternate, serii clasice

Criteriul suficient de divergenţă.

Dacă 0lim

nn

a , atunci seria

1nna este divergentă.

Criteriul lui Leibniz.

Fie seria alternată .0 ,)1(1

n

nn

n aa Dacă :

)a şirul 1)( nna este descrescător şi

)b 0lim

nn

a , atunci seria

1

)1(n

nna este convergentă.

Serii clasice

1) Seria geometrică

0n

nq este convergentă 1,1 q şi are suma q

S

1

1 .

2) Seria armonică generalizată

1

1

n n este convergentă 1 .

Teste de autoevaluare

I. Să se determine natura şi dacă este cazul să se calculeze suma seriilor:

1. .0,1

1

1

n nn

2.

1 23

13ln

n n

n 3.

111 83

83

nnn

nn

\

Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare

1. .0,1

1

1

n nn

Rezolvare:

Considerăm şirul sumelor parţiale:

n

k

n

k

n

kkn

kk

kkaS

111 1

1

1

1

1...3221 nn

nn

n SnS lim11 , deci şirul 1)( nnS este divergent.

Conform definiţiei, rezultă că seria este divergentă.

2.

1 23

13ln

n n

n.

Rezolvare:

n

k

n

kn kk

k

kS

11

)23ln()13ln(23

13ln

)23ln(2ln)23ln()13ln(...8ln5ln5ln2ln nnn

nn

Slim , prin urmare seria este divergentă.

3.

111 83

83

nnn

nn.

Rezolvare:

08

1

18

38

18

38

limlim1

1

n

n

nn

nn

na

; conform criteriului suficient de divergenţă, rezultă că seria este

divergentă.

Bibliografia unităţii de învăţare 1:

1. Gh. Cenuşă şi colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie si aplicatii.

Editura CISON, Bucureşti, 2007

2. S. Dedu, F. Şerban, Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme,

Editura. Teocora, Buzau, 2009

3. C.Raischi si colectiv, Analiza matematica,

Editura.Plus, Bucureşti, 2005

4 .I. Purcaru, Matematici generale si elemente de optimizare,

Editura Economică, Bucureşti, 1997.

UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 2

Serii de puteri

Cuprins

2.1 Obiectivele unităţii de învăţare 2 ...........................................................................................

2.2 Definiţia noţiunii de serie de puteri .......................................................................................

2.3 Studiul naturii unei serii de puteri

2.4 Ilustrarea rezultatelor teoretice pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ...............................

Teste de autoevaluare ...................................................................................................................

Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare .....................................................................

Bibliografia unităţii de învăţare 2 ................................................................................................ Lucrarea de verificare nr. 1………………………….………………...……


Fiind în strânsă concordanţă cu programa analitică a disciplinei „Matematici aplicate în

economie”, de la Academia de Studii Economice Bucuresti, pentru studenţii de la Management si de

Marketing, noţiunile si conceptele prezentate în cadrul acestei unităţi de învăţare apar, în mod firesc,

într-o succesiune logică şi sunt supuse unor restricţii temporale inevitabile, care conduc adeseori la

dezvoltări teoretice limitate.

După studiul acestei unităţi de învăţare, studentul va avea cunoştinţe despre:

- conceptul de serie de puteri, un alt element de bază al analizei matematice, legat de studiul

seriilor numerice, necesar şi extrem de util, pentru a putea aborda, înţelege şi dezvolta diverse

probleme ale disciplinelor de specialitate din cadrul Facultăţii de Finanţe, Asigurări, Bănci şi Burse de

Valori, căreia ne adresăm;

- tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de „Serii de puteri” şi al

lucrărilor de verificare ale studenţilor din invatamântul economic din anul I, Management si de

Marketing din Academia de Studii Economice, Bucuresti

2.2 Definiţia si studiul noţiunii de serie de puteri

Fie seria de puteri n

nn xa

1

, Se numeşte mulţime de convergenţă a seriei de puteri mulţimea formată

din punctele în care seria este convergentă: C { n

nn xaRx

1

convergentă}.

Teorema 1 (Teorema lui Abel). Pentru orice serie de puteri n

nn xa

1

există R , R0 , astfel

încât:

)1 seria este absolut convergentă pe intervalul RR, ;

)2 seria este divergentă pe mulţimea ,, RR ;

)3 pentru orice Rr ,0 , seria este uniform convergentă pe intervalul

rr, .

Observaţie. R se numeşte rază de convergenţă.

Teorema 2 (Cauchy-Hadamard). Fie n

nn xa

1

o serie de puteri şi R raza de convergenţă a

acesteia. Dacă notăm nn

na

lim , atunci

,0

0,

0,1

R .

Observaţie. Se poate calcula şi după formula: n

n

n a

a 1lim

.

2.3 Ilustrarea rezultatelor teoretice pe cazul numeric concret al aplicaţiilor

1. Să se studieze convergenţa seriei de puteri: Rxxnn

n

n

n

,5

11

1

.

Rezolvare:

Calculăm raza de convergenţă. Fie n

nn

na

5

11

. Avem că:

5

1

)1(5lim

5

11

5)1(

11

limlim

1

1

1

n

n

n

n

a

a

n

n

n

n

n

nn

n

n

, deci 51

R .

Conform teoremei lui Abel, rezultă că:

1) seria este absolut convergentă pe intervalul 5,5 ;

2) seria este divergentă pe mulţimea ,55, ;

3) pentru orice 5,0r , seria este uniform convergentă pe rr, .

Studiem natura seriei pentru 5R :

Pentru 5R , seria de puteri devine: n

nn

n

n5

5

11

1

, adică nn

n 11

1

;

şirul n

un1

este descrescător şi are limita zero; rezultă, conform criteriului

lui Leibniz, că seria nn

n 11

1

este convergentă.

Pentru 5R , seria de puteri devine: n

nn

n

n)5(

5

11

1

, adică

1

1

n n, care este divergentă (seria armonică).

În concluzie, seria de puteri este convergentă pe mulţimea 5,5 .

2. Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri:

Rxxn

n

n

nn

,356

12

1

.

Rezolvare:

Notăm 3 xy .

Determinăm mai întâi mulţimea de convergenţă a seriei

1 56

12

n

nn

yn

n .

Calculăm raza de convergenţă. Fie n

nn

na

56

12. Avem:

3

1

56

12limlim

n

n

n

nn

n n

na , deci 3

1

R .

Conform teoremei lui Abel, avem:

)1 seria este absolut convergentă pe intervalul 3,3 ;

)2 seria este divergentă pe mulţimea ,33, ;

)3 pentru orice 3,0r , seria este uniform convergentă pe rr, .

Studiem natura seriei pentru 3y :

Pentru 3y , seria de puteri devine:

1

356

12

n

nn

n

n , sau

1 56

36

n

n

n

n .

Fie n

nn

nu

56

36; avem: 0

56

81limlim 3

456

8lim

ee

nu

n

n

n

n

nn

n, deci, conform criteriului

suficient de divergenţă, seria este divergentă.

Pentru 3y , seria devine:

1

)3(56

12

n

nn

n

n, sau

1 56

361

n

nn

n

n.

Fie n

nn

n

nv

56

361 ; deoarece nu există n

nv

lim , rezultă că şirul 1nnv este divergent, deci seria

este divergentă.

În concluzie, seria de puteri este convergentă pentru 3,3y

6033333 xxy . Rezultă că

mulţimea de convergenţă a seriei

1

356

12

n

nn

xn

n este 6,0 .


1.Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri

1

2)4(3

n

nnn

xn

Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare

1. Rezolvare:

Notăm 2 xy . Vom determina mai întâi mulţimea de

convergenţă a seriei.

1

)4(3

n

nnn

yn

Calculăm raza de convergenţă. Fie 1,)4(3

nn

ann

n.

nn

nn

nnn

nn

nn

n

n n

n

n

n

a

a

)4(3

)4(3

)1(lim

)4(3

1

)4(3

limlim11

11

1

4

14

1)4(

1)4(

)1(lim

4

3

1

4

31

R

n

n

nn

nn

n

Conform teoremei lui Abel, rezultă că:

1) seria este absolut convergentă pentru

4

1,

4

1y ;

2) seria este divergentă pentru

,

4

1

4

1,y ;

3) pentru orice

4

1,0r , seria este uniform convergentă pe intervalul rr, .

Studiem natura seriei pentru 4

1y :

Pentru 4

1y , seria de puteri devine:

1 4

1)4(3

n

nnn

n, adică

1

11

4

31

n

nn

nn

. Avem că seria

1 4

31

n

n

n

este convergentă

(folosind criteriul raportului) şi seria

1

11

n

n

n este convergentă (folosind criteriul lui Leibniz), prin

urmare seria este convergentă.

Pentru 4

1y , seria de puteri devine:

1 4

1)4(3

n

nnn

n

, adică

1

1

4

311

n

nn

nn

. Notăm

*,4

311 Nn

nb

nn

n

*,1

Nnn

cn şi *,1

4

311 Nn

nnd

nn

n

. Avem că seria

1nnb este

convergentă (folosind criteriul lui Leibniz). Dacă presupunem că seria

1nnd este convergentă,

deoarece *, Nnbdc nnn , rezultă că şi seria

1nnc este convergentă,

contradicţie. Prin urmare seria

1nnd este divergentă.

În concluzie, seria

1

)4(3

n

nnn

yn

este convergentă pentru

4

7

4

9

4

12

4

1

4

1

4

1

4

1,

4

1

xxyy .

Am obţinut că mulţimea de convergenţă a seriei este

4

7,

4

9 .

Bibliografia unităţii de învăţare 1:




Editura Teocora, Buzau, 2009


Editura Plus, Bucureşti, 2005

4.I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare,


Lucrarea de verificare nr. 1

1. Să se determine natura si sa se calculeze suma seriei

22 1

1

n n

2. Să se determine natura seriei

1 5

1

nnn

3. Sa se calculeze multimea de convergenta a seriei

Rxxnn

n

n

n

,

312

11

1

1


Funcţii de mai multe variabile reale

Cuprins


3.2 Definiţia limitei si continuitatii pentru o funcţie de mai multe variabile real

3.3 Definiţia derivatelor parţiale de ordinul I şi II pentru o funcţie de doua variabile

3.4 Definiţia diferenţiabilitatii pentru o funcţie de mai multe variabile reale

3.5 Extremele locale ale funcţiilor de mai multe variabile reale

3.6 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor




Lucrarea de verificare nr.2

3.1 Obiective

Economiştii, indiferent de domeniul în care lucrează, au nevoie de cunostinţe solide de strictă

specialitate, dar şi de tehnici specifice matematicii aplicate, cum ar fi noţiunile pe care ni le propunem

să le prezentăm în cadrul unităţii de învăţare 3. Informaţia economică trebuie să fie relevantă,

credibilă, inteligibilă - calităţi, care sunt asigurate numai atunci când economistul care o construieşte,

o prelucrează si o valorifică, stăpâneste deopotrivă cunostinţe în domeniul respectiv, dar şi temeinice

cunoştinţe de matematici aplicate în economie.

După studiul acestei unităţi de învăţare, studentul va avea cunostinţe despre funcţiile de 2 si

respectiv 3 variabile reale şi despre conceptele asociate lor, precum: limitele lor, continuitatea acestora,

derivabilitatea parţială a respectivelor funcţii si diferenţiabilitatea lor; ele reprezintă un alt element

important al analizei matematice, necesar şi extrem de util, pentru a putea aborda, înţelege şi dezvolta

diverse probleme ale disciplinelor de specialitate din cadrul Facultăţii Management si de Marketing

căreia ne adresăm.

Prin introducerea unitatii de invatare 3, subordonată analizei matematice, nutrim speranţa

ca studentul de la anul I, ID, Management si de Marketing, , să obţină acumulări de noi

cunoştinţe utile disciplinelor specifice anilor de licenţă, de la această facultate, în vederea

formării lui ca viitor economist, ce urmează să practice profesia de economist în condiţii de

performanţă.

3.2 Definiţia limitei si continuităţii pentru o funcţie de două variabile

Definiţia 1. Fie RRAf m : o funcţie reală de m variabile reale. Spunem că

lxfxx

)(lim0

dacă pentru orice şir 0,)( xxAx nNnn şi 0lim xxnn

avem

lxf nn

)(lim .

Definiţia 2. Fie RRAf 2: şi Aba ),( .

Spunem că f este continuă în punctul ),( ba dacă pentru orice şir Ayx Nnnn ),(

cu proprietatea că ),(),(lim bayx nnn

rezultă că ),(),(lim bafyxf nnn

.

3.3 Definiţia derivatelor parţiale de ordinul I §i II pentru o funcţie de doua variabile

Definiţia 3. Fie RRAf 2: şi Aba ),( .

Spunem că funcţia f este derivabilă parţial în raport cu x în punctul Aba ),( dacă

ax

bafbxf

ax

),(),(lim există şi este finită.

Vom nota această limită cu ),(' baf x sau x

baf

),(.

Analog, funcţia f este derivabilă parţial în raport cu y în punctul Aba ),( dacă

by

bafyaf

by

),(),(lim există şi este finită.

Vom nota această limită cu ),(' baf y sau y

baf

),( .

3.4 Definiţia diferenţiabilitatii pentru o funcţie de mai multe variabile .

Definiţia 4. Fie RRAf 2: o funcţie diferenţiabilă în punctul ),( ba interior lui A .

Se numeşte diferenţiala de ordinul întâi a funcţiei f în punctul ),( ba

funcţia liniară: dybadxbabybafaxbabayxdf fff yxyx),(),())(,())(,(),;,(

'''' .

Se numeşte diferenţiala de ordinul n a funcţiei f în punctul

),( ba funcţia: ),(),;,(

)(

bafdyy

dxx

bayxfd

nn

.

Observaţie. Toate definiţiile valabile pentru funcţii de două variabile RRAf 2: se

pot extinde pentru cazul funcţiilor de n variabile, RRAf n : , 3, nNn .

3.5 Extremele locale ale funcţiilor de mai multe variabile reale

Definiţia 1. Funcţia RRAf n : admite un maxim local (minim local) în punctul

Aaaaa n ),...,,( 21 dacă există o vecinătate V a punctului a astfel încât oricare ar fi

AVxxxx n ),...,,( 21 are loc inegalitatea )()( afxf (respectiv )()( afxf ). În

aceste condiţii, spunem că punctul a este punct de extrem local pentru funcţia f . Dacă

inegalităţile de mai sus sunt verificate pe tot domeniul de definiţie A , spunem că punctul

a este punct de maxim (minim) global pentru funcţia f .

Definiţia 2. Fie RRAf n : . Punctul Aaaaa n int),...,,( 21 este punct staţionar

pentru funcţia f dacă f este diferenţiabilă în a şi diferenţiala 0);( axdf .

Observaţie. Dacă punctul Aaaaa n int),...,,( 21 este punct staţionar, 0);( axdf

implică nkafk

x ,1,0)(' .

Propoziţie. Dacă funcţia RRAf n : admite un extrem local în punctul

Aaaaa n ),...,,( 21 şi există 'k

xf într-o vecinătate a punctului a , nk ,1 , atunci

nkafk

x ,1,0)('

Teorema 1. Fie RRAf 2: şi Aba int, un punct staţionar pentru f .

Presupunem că f admite derivate parţiale de ordinul doi, continue pe o vecinătate V a

punctului ba, .

Considerăm expresia bafbafbafba yxxy ,,,, ''''2''22 . Atunci:

1. Dacă 0),( ba , atunci ba, este punct de extrem local, şi anume:

- punct de minim local, dacă 0),(''2 bafx ;

- punct de maxim local, dacă 0),(''2 baf x .

2. Dacă 0),( ba , atunci ba, este punct şa.

Teorema 2. Fie RRAf n : . Presupunem că punctul Aa este punct staţionar

pentru f şi funcţia f are derivate parţiale de ordinul doi continue pe o vecinătate V

a punctului a . Atunci:

)1 dacă 0;2 axfd , pentru orice AVx , atunci a este punct de

maxim local;

)2 dacă 0;2 axfd , pentru orice AVx , atunci a este punct de

minim local;

)3 dacă axfd ;2 este nedefinită, atunci a este punct şa.

Algoritm de determinare a punctelor de extrem local pentru RRAf n :

Acest algoritm se aplică pe mulţimea punctelor în care funcţia f este diferenţiabilă şi

admite derivate parţiale de ordinul doi continue într-o vecinătate a punctelor respective.

Etapa 1. Determinăm punctele staţionare, care sunt soluţiile sistemului:

0,...,,

.....................................

0,...,,

0,...,,

21'

21'

21'

2

1

nx

nx

nx

xxxf

xxxf

xxxf

n

Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem local. Acest lucru

se poate realiza în mai multe moduri:

Metoda I. Pentru fiecare punct staţionar naaaP ,...,, 21 calculăm

matricea hessiană:

nxnxxnxx

nxxnxnxx

nxxnxxnx

n

aafaafaaf

aafaafaaf

aafaafaaf

aaaH

nnn

n

n

,..,.........,..,,..,

......................................

,..,.........,..,,..,

,..,........,..,,..,

),...,,(

1''

1''

1''

1''

1''

1''

1''

1''

1''

21

2

21

2

2

212

121

2

1

şi minorii acesteia n ,......,, 21 , unde i este minorul format din primele i linii şi i

coloane ale matricei ),( baH , ni ,1 .

Discuţie.

Dacă toţi minorii 0i , atunci ),...,,( 21 naaaP punct de minim local.

Dacă minorii i alternează ca semn, începând cu minus, atunci

),...,,( 21 naaaP este punct de maxim local.

Orice altă combinaţie de semne, cu 0i , implică

),...,,( 21 naaaP punct şa.

Metoda II. (aplicabilă numai funcţiilor de două variabile)

Pentru fiecare punct staţionar baP , calculăm expresia:

bafbafbafba yxxy ,,,, ''''2''22 .

1. Dacă 0, ba , atunci ba, este punct de extrem local,

şi anume:

- punct de minim local, dacă 0,''2 bafx ;

- punct de maxim local, dacă 0,''2 bafx .

2. Dacă 0, ba , atunci ba, este punct şa.

Observaţia 1. În cazul funcţiilor de două variabile, se observă că 2, ba . Prin

urmare, dacă aplicând metoda 1 obţinem că 02 , atunci 0, ba , deci, indiferent

de valoarea minorului 1 , rezultă că ba, este punct şa.

Metoda III. Se calculează diferenţiala de ordinul al doilea a funcţiei în punctul staţionar

naaaa ,...,, 21 şi se aplică teorema 2.

Observaţia 2. Existenţa unui punct de extrem local poate fi pusă în evidenţă cu ajutorul

metodelor prezentate numai dacă funcţia f este diferenţiabilă în acel punct şi admite

derivate parţiale de ordinul doi continue într-o vecinătate a punctului respectiv.

În caz contrar sau în cazul în care în urma aplicării metodelor de mai sus nu se poate

preciza natura punctului, se foloseşte:

Metoda IV. Definiţia punctului de extrem local.


1. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:

162),(,: 322 xyyxyxfRRf .

Rezolvare:


0),(

0),(

'

'

yxf

yxf

y

x .

Avem că: xyyxf

yxyxf

y

x

63),(

64),(

2'

'

, prin urmare rezultă sistemul:

0302

032

063

064

2

2

3

22yy

x

xy

yx

xy

yxy

.

Din a doua ecuaţie obţinem: 3,0 21 yy , de unde, prin înlocuire în prima relaţie,

rezultă 2

921 ,0 xx , soluţiile sistemului sunt:

0

0

1

1

y

x ;

32

29

2

y

x.

Am obţinut punctele staţionare: 3,,0,02

921 PP .

Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem local.

Scriem matricea hessiană:

yxyx

yxyxyxH

ff

ff

yyx

xyx

,,

,,,

''''

''''

2

2

.

Avem: 464,, '''''2 xxxx yxyxfyxf ;

yxfyxyxfyxf yxyyxxy ,664,, ''''''' ;

yxyyxfyxf yyyy 663,, '2''''2 , deci

yyxH

66

64),( . Avem:

03606

64,04

06

64)0,0( 21

H ,

prin urmare 0,01P este punct şa.

036186

64,04

186

643, 212

9

H ,

prin urmare 3,2

92P este punct de minim local.

2. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:

7514526),(,: 322 yxyyxyxfRRf .

Rezolvare:


0),(

0),(

'

'

yxf

yxf

y

x .

Avem că:

5166),(

4512),(

22'

'

yxyxf

xyyxf

y

x, prin urmare obţinem sistemul:

21722

415

22 05166

04512

yx

xy

yx

xy.

Notăm

42, 4

15

2

172

4

15

S

P

PS

PPxySyx

Pentru 2

522

314

152

4

15 ,04,4 ttttPS ,

deci

2

51

2

31

y

x sau

2

32

2

52

y

x.

Pentru 2

522

314

152

4

15 ,04,4 ttttPS ,

deci

2

53

2

33

y

x sau

2

34

2

54

y

x.

Am obţinut punctele staţionare: 23

25

425

23

323

25

225

23

1 ,,,,,,, PPPP .

Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem local.

Metoda I. Scriem matricea hessiană:

yxyx

yxyxyxH

ff

ff

yyx

xyx

,,

,,,

''''

''''

2

2 .

Avem: yyxfyxf xxx 12,, ''''2 ; yxfxyxfyxf yxyxxy ,12,, '''''' ;

yyxfyxf yyy 12,, ''''2 , deci

yx

xyyxH

1212

1212),( .

05763018

1830,030

3018

1830, 212

523

H , prin urmare

2

5

2

31 ,P este

punct de minim local.

05761830

3018,018

1830

3018, 212

3

2

5

H , prin urmare

2

3

2

52 ,P este

punct şa.

05763018

1830,030

3018

1830, 212

523

H ,

prin urmare 2

5

2

33 , P este punct de maxim local.

05761830

3018,018

1830

3018, 212

3

2

5

H ,

prin urmare 2

5

2

31 ,P este punct şa.


Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:

5ln14ln83),(,,0: 222 yxxyyxyxfRf .


Etapa 1. Determinăm punctele staţionare. Avem că:

yy

xx

xyyxf

yxyxf

14'

8'

32),(

32),(

. Rezolvăm sistemul:

21432

1832

032

032

0),(

0),(

2

2

14

8

'

'

xyy

xyx

xy

yx

yxf

yxf

y

x

y

x .

Am obţinut un sistem omogen. Înmulţim prima ecuaţie cu 7, pe cea de-a doua cu 4

şi adunăm relaţiile obţinute; rezultă:

08914 22 yxyx . Împărţim această ecuaţie prin 022 yy şi notăm ty

x . Obţinem:

21

278

12 ,08914 tttt . Rădăcina negativă nu convine,

deoarece 0x şi 0y , prin urmare avem xyty

x 22

1 .

Înlocuind xy 2 în 1 , rezultă 1x . Cum 0x , rezultă că singura valoare care se

acceptă este 1x , de unde obţinem 2y .Am obţinut un singur punct staţionar:

2,1P .

Etapa 2. Stabilim dacă punctul staţionar este punct de extrem local.

Avem: 2

28'''' 2,,xxxx yxfyxf ; yxfyxfyxf yxyxxy ,3,, '''''' ;

2

214'''' 2,,yyyy yxfyxf , deci matricea hessiană este:

2

2

2

2

14

8

''''

''''

23

32

,,

,,,

y

x

yyx

xyx

yxfyxf

yxfyxfyxH .

Avem că 0463

310,010

3

3102,1

21121

211

H , prin urmare 2,1P este

punct de minim local.



Editura CISON,Bucureşti, 2007


Editura Teocora,Buzau, 2009


Editura Plus, Bucureşti, 2005




1. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul întâi şi doi ale funcţiei

.,,;),(,: 2 RkykxyxfRRf

2. Sa se determine punctele de extrem local ale funcţiei

4),(,: 222 yxxyyxfRRf

3. Sa se determine punctele de extrem local ale funcţiei

234),,( 234 yxzzyxzyxf


Calcul integral

Cuprins

4.1 Obiectivele unităţii de învăţare

4.2 Definiţii si proprietăţi ale integralelor euleriene .................................................................



Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare ..................................................................



4.1 Obiectivele unităţii de învatare

Unitatea de învăţare 4 cuprinde noţiuni si concepte, legate de calculul integral, un

alt element deosebit de important al analizei matematice, fără de care nu este posibilă

construcţia unei teorii economice de valoare. Menţionăm că sunt de notorietate modelele

economice, care utilizează rezultate profunde din teoria calculului integral, şi din acest

motiv considerăm că unitatea de învăţare 5 îşi justifică pe deplin tangenţa cu domeniul

economic.

După studiul acestei unităţi de învăţare, studentul va avea cunostinţe despre:

- integralele euleriene, care oferă teoriilor economice un aparat matematic

consistent;

- tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de „Integrale

euleriene” si al lucrărilor de verificare ale studenţilor din invatamântul economic din anul

I, ID, de la Facultatea Management si de Marketing din Academia de Studii Economice

Bucureşti. Conţinutul acestei unitati de învatare incheie incursiunea noastră în domeniul

analizei matematice si subliniem că el este conform programei analitice a disciplinei de

„Matematici aplicate în economie” de la Academia de Studii Economice Bucuresti,

Facultatea de Finanţe, Asigurări, Bănci şi Burse de Valori, anul I, ID.

4.2 Definiţii şi proprietăţi ale integralelor euleriene

Integrala gamma:

0

1 0; adxexa xa .

Proprietăţi:

1) 11 .

2) 1,11 aaaa .

3) Nnnn ,!1 .

4)

2

1.

Integrala beta:

1

0

11 0,0;1, badxxxbaba

Proprietăţi:

1) 0,,,, baabba

2)

0,,,

ba

ba

baba .

2)

0

1

1, dx

x

xba

ba

a

.

3) Dacă 1ba , atunci

a

basin

),( .


Sa se calculeze integralele

1.

0

25 dxexI x .

Rezolvare:

Folosim schimbarea de variabilă dtdxtxtx2

1

2

12 .

x 0

t 0

Obţinem: 8

15

2

!56

2

1

2

1

2

1

2 660

5

60

5

dtetdte

tI tt .

2.

0

2

dxeI x (integrala Euler-Poisson).

Rezolvare:

Folosim schimbarea de variabilă: dttdxtxtx 21

21

212 .

x 0

t 0

22

1

2

1

021

021 2

1

2

1

dtetdtteI tt .

3. 1

0

38 1 dxxxI .

Rezolvare:

Facem schimbarea de variabilă dttdxtxtx 3

2

3

1

3

13 .

x 0 1

t 0 1

12

1

)5(

)2()3(

3

12,311

1

03

11

0

2

3

1

3

1 3

2

3

8

dtttdttttI

Teste de autoevaluare Să se calculeze următoarele integrale:

1.

1

11 dxexI x. 2.

1

0 3 2 1 xx

dxI .


1. Folosim schimbarea de variabilă dtdxtxtx 11 .

Intervalul de integrare se modifică după cum rezultă din tabelul de mai jos:

x 1 t 0

Obţinem: dtetI t

0

2

1

. Prin identificare cu formula de definiţie a integralei gamma,

rezultă 2

3

2

11 aa , prin urmare 2

1

2

1

2

1

2

3 I

2.

1

0

1

0 3 2

3

1

3

2

1

1

dxxx

xx

dxI . Prin identificare cu formula de definiţie a

integralei beta, obţinem:

3

1

3

21 aa ; 3

2

3

11 bb , prin urmare, având în vedere definiţia şi

proprietatea 3 pentru integrala beta, rezultă: 3

2

sin,

3

3

2

3

1

I .

Bibliografia unitatii de învatare 4


Ed. CISON,Bucureşti, 2007


Ed. Teocora,Buzau, 2009


Ed.Plus, Bucureşti, 2005




Să se calculeze integralele

1.

1

0

2 dxxx

2.

0

36 dxex x


Formule probabilistice în care apar operatii cu evenimente

Cuprins


5.2 Evenimente, operatii cu evenimente ...................................................................................

5.2 Formule de calcul practic pentru probabilitati ....................................................................

5.3 Scheme probabilistice clasice .............................................................................................

5.4 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ...................................................






Teoria probabilitatilor debutează cu unitatea de învaăţre 5, prin care introducem

noţiunile de experienta si eveniment, prezentăm operaţiile cu evenimente, formulele de

calcul practic pentru probabilitati si schemele probabilistice clasice, toate aceste elemente

fund esenţiale în elaborarea modelelor economice temeinice si fundamentale din domenii

precum: modelarea matematică a unor procese sau fenomene economice dintre cele mai

diverse, gestiunea financiară, asigurări de bunuri si persoane, ingineria financiară.

După studiul acestei unitati de învatare, studentul va avea cunostinţe despre:

-noţiunile elementare din teoria probabilitatilor, care oferă teoriilor economice un

aparat matematic consistent;

-tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de „Formule

probabilistice în care apar operaţii cu evenimente” si al lucrărilor de verificare ale

studenţilor din invatamântul economic din anul I, ID, de la Facultatile de Management si

de Marketing din Academia de Studii Economice Bucuresti.

5.2 Evenimente, operatii cu evenimente

Definiţia 1. Se numeşte eveniment orice rezultat al unei experienţe.

Se numeşte eveniment sigur (notat ) evenimentul care se realizează cu

certitudine într-o experienţă.

Se numeşte eveniment imposibil (notat ) evenimentul care nu se realizează

niciodată într-o experienţă.

Definiţia 2. Considerăm două evenimente A , B . Definim:

BA (“ A sau B ”) evenimentul ce constă în realizarea a cel puţin unuia

dintre evenimentele A , B .

BA (“ A şi B ”) evenimentul ce constă în realizarea simultană a

evenimentelor A , B .

A (“non A ”) evenimentul ce constă în nerealizarea evenimentului A .

BA \ evenimentul ce constă în realizarea evenimentului A şi nerealizarea

evenimentului B .

Spunem că BA (" A implică B ") dacă realizarea lui A are ca efect

realizarea lui B .

Definiţia 3. Un eveniment A este eveniment elementar dacă din AB rezultă B

sau AB .

Observaţia 1. Dacă asociem evenimentului sigur ataşat unei experienţe o mulţime ,

atunci se poate realiza o corespondenţă între mulţimea evenimentelor ataşate acelei

experienţe şi mulţimea părţilor lui şi o corespondenţă între operaţiile cu evenimente şi

operaţiile cu mulţimi..

Observaţia 2. Dacă este o mulţime cel mult numărabilă, atunci elementele acesteia

sunt evenimente elementare.

Definiţia 4. Două evenimente A , B sunt incompatibile dacă nu se pot realiza simultan:

BA .

În caz contrar, ele sunt evenimente compatibile.

Fie evenimentul sigur ataşat unei experienţe şi )(P mulţimea părţilor lui .

Definiţia 5. O familie nevidă )( PK se numeşte corp de părţi dacă verifică

axiomele: i) KAKA ;

ii) KBAKBA , .

Observaţie. Dacă înlocuim condiţia ii) prin

ii)' KAKANn

nNnn

, se obţine noţiunea de corp borelian.

Definiţia 6. Se numeşte câmp (câmp borelian) de evenimente evenimentul sigur

înzestrat cu un corp (corp borelian) K de evenimente.

Vom nota acest câmp de evenimente K,

5.3 Formule de calcul practic pentru probabilitati

Definiţia 1. (definiţia clasică a probabilităţii) Se numeşte probabilitate a evenimentului

A şi se notează )(AP raportul dintre numărul de rezultate favorabile producerii

evenimentului A ( nfav ) şi numărul total de rezultate ale experimentului, considerate egal

posibile ( posn ): pos

fav

n

nAP )( .

Definiţia 2. (definiţia axiomatică a probabilităţii) Considerăm un câmp de evenimente

K, . Se numeşte probabilitate pe câmpul de evenimente K, o funcţie de mulţime

RKP : , care verifică axiomele:

1) 0)( APKA ;

2) 1)( P ;

3) )()()(,, BPAPBAPBAKBA .

Definiţia 3. Un câmp de evenimente K, înzestrat cu o probabilitate P se numeşte

câmp de probabilitate şi se notează PK ,, .

Propoziţia 1. (Proprietăţi ale funcţiei probabilitate)

1) KAAPAP ),(1)( .

2) KBABAPBPABP ,),()()\( .

3) 0)( P .

4) KAAP ,1)(0 .

5)

n

i

i

n

nkji

kji

nji

ji

n

i

i

n

i

i APAAAPAAPAPAP1

1

1111

)1(.....)()()(

(formula lui Poincaré).

Observaţia 1. Dacă evenimentele nAAA ,...,, 21sunt incompatibile două câte două, atunci

formula 5) devine: 5')

n

i

i

n

i

i APAP11

)( .

Observaţia 2. În cazul 2n , formula lui Poincaré devine:

),(),()()(

),(),()()(

ecompatibilBABABAPBPAP

ileincompatibBABABPAPBAP

6) )1()(11

nAPAPn

i

i

n

i

i (inegalitatea lui Boole).

Definiţia 4. Fie PK ,, un cămp de probabilitate şi KA , a.î. 0)( AP . Se numeşte

probabilitate condiţionată de evenimentul A a evenimentului B expresia:

0)(,)(

)()/(

BP

BP

BAPABP .

Definiţia 5. Spunem că evenimentele A şi B sunt independente dacă

)()()( BPAPBAP .

Observaţie.

,),/()(

,),()()(

dependenteevenimenteBApentruABPAP

teindependenevenimenteBApentruBPAPBAP .

Propoziţia 3. (Formula probabilităţii totale) Fie nAAA ,...,, 21 un sistem complet de

evenimente (adică njijiAA ji ,1,;, şi

n

iiA

1

) şi KX , cu

0)( XP . Atunci )/()()(1

i

n

ii AXPAPXP

.

Propoziţia 4. (Formula lui Bayes) Fie nAAA ,...,, 21 un sistem complet de evenimente

şi KX , cu 0)( XP . Atunci

)/()(

)/()()/(

1i

n

ii

iii

AXPAP

AXPAPXAP

sau

)(

)/()()/(

XP

AXPAPXAP ii

i

.

5.3 Scheme probabilistice clasice

I. Schema lui Poisson

Se consideră n urne, fiecare urnă niU i ,1, , conţinând bile albe şi bile negre. Se

cunosc probabilităţile evenimentelor ca, făcând la întâmplare o extragere din urna

niU i ,1, , să obţinem o bilă albă, respectiv o bilă neagră, probabilităţi notate ip ,

respectiv iq ( 1 ii qp ).

Se extrage câte o bilă din fiecare urnă.

Probabilitatea ca, din cele n bile extrase, k să fie albe şi kn să fie negre, notată

),:( knknP , este: ),:( knknP coeficientul lui kt din polinomul )(tQ , unde

))......()(()( 2211 nn qtpqtpqtptQ .

II. Schema bilei revenite cu două stări (schema lui Bernoulli sau schema

binomială)

Se consideră o urnă care conţine bile albe şi bile negre. Se cunoaşte probabilitatea

)1,0(p ca extrăgând la întâmplare o bilă din urnă, aceasta să fie albă ( pq 1 este

probabilitatea ca la o extragere la întâmplare din urnă să se obţină o bilă neagră).

Se fac n extrageri succesive din urnă, cu revenire.

Probabilitatea ca din cele n bile extrase k să fie albe şi kn să fie

negre, notată ),:( knknP , este: knkk

n qpCknknP ),:( .

Generalizare: Schema bilei revenite cu "m" stări (schema multinomială)

Se consideră o urnă care conţine bile de "m" culori. Se cunosc probabilitatăţile

evenimentelor ca, extrăgând la întâmplare o bilă din urnă, aceasta să fie de culoarea "i",

mi ,1 , probabilităţi notate mppp ,.....,, 21 , cu 1),1,0(1

m

i

ii pp .

Se fac n extrageri succesive din urnă, cu revenire.

Probabilitatea ),....,,:( 21 mnnnnP ca din cele n bile extrase 1n să fie

de culoarea "1", 2n să fie de culoarea "2",……" mn " de culoarea "m", este:

mnm

nn

mm ppp

nnn

nnnnnP

.......

!........!!

!),....,,:( 21

2121

21.

Observaţie. Schema bilei revenite poate modela o experienţă cu două rezultate posibile:

evenimentele A şi A , având probabilităţile p şi q de a se realiza la orice repetare a

experienţei, cu 1,0, qpqp .

II. Schema bilei nerevenite cu două stări (schema hipergeometrică)

Se consideră o urnă care conţine N bile, dintre care 1N bile albe şi 2N bile

negre. Se fac n extrageri succesive din urnă, fără revenire.

Probabilitatea ca din cele n bile extrase k să fie albe şi kn să fie

negre, notată ),:( knknP , este:

nN

knN

kN

C

CCknknP

21),:( .

Generalizare: Schema bilei nerevenite cu "m" stări

Se consideră o urnă ce conţine N bile de " m " culori, dintre care 1N bile de

culoarea "1", 2N bile de culoarea " 2 ",.., mN bile de culoarea " m ".

Se fac n extrageri succesive din urnă, fără revenire.

Probabilitatea ),....,,:( 21 mnnnnP ca din cele n bile extrase 1n să fie

de culoarea "1", 2n de culoarea " 2 ",……" mn " de culoarea " m ", este:

nN

n

N

n

N

n

Nm

C

CCCnnnnP

m

m

.........),....,,:(

2

2

1

1

21.


1. Într-o urnă sunt 10 bile albe şi 15 negre. Se extrag consecutiv 2 bile. Să se calculeze

probabilitatea de a obţine bile de culori diferite în ipotezele:

)a prima extragere este cu revenire;

)b prima extragere este fără revenire.

Rezolvare:

Notăm 1A - evenimentul ca la prima extragere să obţinem o bilă albă;

2A - evenimentul ca la a doua extragere să obţinem o bilă albă;

1N - evenimentul ca la prima extragere să obţinem o bilă neagră;

2N - evenimentul ca la a doua extragere să obţinem o bilă neagră.

Fie X evenimentul ca în cele două extrageri să obţinem bile de culori diferite. Deoarece

evenimentele 21 NA şi 21 AN sunt incompatibile, rezultă că

21212121)( ANPNAPANNAPXP .

)a Dacă extragerile sunt cu revenire, atunci evenimentele 1A şi 2N , respectiv 1N şi

2A sunt independente, prin urmare:

48,025

15

25

10

25

15

25

10)()()()()( 1221 NPAPNPAPXP .

)b Dacă extragerile sunt fără revenire, atunci evenimentele 1A şi 2N , respectiv 1N şi

2A sunt dependente, deci )/()()/()()( 121121 NAPNPANPAPXP .

)/( 12 ANP reprezintă probabilitatea de a obţine o bilă neagră la a doua extragere, ştiind

că la prima extragere s-a obţinut o bilă albă, deci

24

15

)/( 12

urnainramasebiledenr

negrebiledenrANP .

)/( 12 NAP reprezintă probabilitatea de a obţine o bilă albă la a doua extragere, ştiind că

la prima extragere s-a obţinut o bilă neagră, deci

24

15

albe .)/( 12

urnainramasebiledenr

biledenrNAP .

Obţinem că 5,024

10

25

15

24

15

25

10)( XP .

2. Un magazin primeşte într-o zi 10 produse de acelaşi tip, dintre care 5 provin de la

furnizorul 1F , 3 provin de la furnizorul 2F şi restul de la furnizorul 3F . Care este

probabilitatea ca din 4 produse vândute:

)a două să provină de la 2F şi câte unul de la ceilalţi furnizori?

)b toate să provină de la acelaşi furnizor?

)c unul singur să provină de la 3F ?

Rezolvare:

)a Problema poate fi modelată cu ajutorul unei urne conţinând bile de trei culori, din

care se fac extrageri fără revenire.

10 produse

Aplicând schema urnei cu bila nerevenită, obţinem:

142857,0)1,2,1:4(7

1

410

12

23

15

C

CCCP .

)b Fie B evenimentul ca toate produsele să provină de la acelaşi furnizor; acesta se

realizează numai atunci când toate produsele provin de la 1F , prin urmare

2

F

3

se

extrag

fără

revenire

5

F

1

3

F

2

1

F

1

2

F

2

1

F

3

4

0238,0)0,0,4:4()(42

1

410

02

03

45

C

CCCPBP .

)c Fie C evenimentul ca )c un singur produs să provină de la 3F .

Se observă că, aplicând schema urnei cu bile de 3 culori, numărul situaţiilor în care se

realizează evenimentul C este destul de mare.

Problema poate fi modelată mai uşor cu ajutorul unei urne conţinând bile de două culori:

bilele albe reprezintă produsele ce provin de la 1F sau 2F , iar bilele negre sunt produsele

care provin de la 3F . Obţinem: 53333,0)1,3:4()(15

8

410

12

38

C

CCPCP .


1. Doi studenţi susţin simultan un examen. Probabilitatea ca primul student să

promoveze este 0,8, iar probabilitatea ca al doilea să promoveze este 0,7. Să se calculeze

probabilitatea ca:

)a ambii studenţi să promoveze examenul;

)b exact un student să promoveze;

)c cel puţin un student să promoveze;

)d numai primul student să promoveze.

2. Dintre cele 30 de subiecte recomandate pentru examen de către profesorul de curs,

un student a pregătit 20 de subiecte, pe care le poate prezenta perfect . La examen fiecare

subiect este scris pe câte un bilet, iar studentul trebuie să extragă cinci bilete la întâmplare

şi să prezinte cele cinci subiecte aflate pe bilete. Ştiind că pentru fiecare subiect la care

răspunde corect va primi două puncte şi că nu se acordă nici un punct pentru rezolvări

parţiale, să se determine probabilitatea ca:

)a studentul să primească nota 10;

)b studentul să primească nota 6;

)c studentul să nu promoveze examenul.


1. Problema poate fi modelată cu ajutorul unei urne conţinând bile de două culori, din

care se fac extrageri fără revenire.

)a Se cere probabilitatea ca din cele 5 subiecte extrase, 5 să fie rezolvate perfect.

30 subiecte

10 nu pot fi

rezolvate

perfect

20 pot fi

rezolvate

perfect

5

5 pot fi

rezolvate

perfect

0 nu pot fi

rezolvate

perfect

se

extrag

fără

revenire

027198,0)0,5:5(530

010

520

C

CCP .

)b Se cere probabilitatea ca din cele 5 subiecte extrase, exact 3 să fie rezolvate perfect:

35998,0)2,3:5(530

210

320

C

CCP .

)c Fie C evenimentul ca studentul să nu promoveze examenul, adică să rezolve

perfect 0, 1 sau 2 subiecte:

27283,05,:5530

310

220

530

410

120

530

510

020

2

0

C

CC

C

CC

C

CCkkPCP

k

.

2. Notăm cu A evenimentul ca primul student să promoveze examenul şi cu B

evenimentul ca al doilea student să promoveze.

)a Cum cele două evenimente sunt independente, rezultă că probabilitatea ca ambii

studenţi să promoveze examenul este: 56,07,08,0)()()( BPAPBAP .

)b Probabilitatea ca exact un student să promoveze examenul este:

)()()()()()()()( BPAPBPAPBAPBAPBABAP

38,07,02,03,08,0 .

)c Probabilitatea ca cel puţin un student să promoveze se scrie:

)()()()()()()()( BPAPBPAPBAPBPAPBAP

94,07,08,07,08,0 .

)d Probabilitatea ca numai primul student să promoveze se poate calcula astfel:

24,03,08,0 BPAPBAP , având în vedere independenţa celor două

evenimente, sau

24,056,08,0)()(\ BAPAPBAPBAP






3. I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare,



1. Într-o urnă sunt 10 bile albe şi 15 negre. Se extrag consecutiv 2 bile. Să se calculeze

probabilitatea de a obţine bile de culori diferite în ipotezele:

)a prima extragere este cu revenire;

)b prima extragere este fără revenire.

2. Trei bănci acordă credite pentru finanţarea studiilor cu probabilităţile 0,8; 0,75,

respectiv 0,82, independent una de alta. Un student se adresează tuturor băncilor. Cu ce

probabilitate el va primi:

)a trei răspunsuri favorabile;

)b exact două răspunsuri favorabile;

)c exact două răspunsuri nefavorabile;

)d nici un răspuns favorabil;

)e cel mult două răspunsuri favorabile .


Variabile aleatoare

Cuprins

6.1 Obiectivele unităţii de învăţare 6 .......................................................................................

6.2 Variabile aleatoare unidimensionale .................................................................................

6.3 Variabile aleatoare bidimensionale ...................................................................................

6.4 Variabile aleatoare unidimensionale clasice ......................................................................






6.1 Obiective

Unitatea de învăţare 6 continuă incursiunea în teoria probabilitatilor, prezentând

variabilele aleatoare. Împreună cu noţiunile importante asociate lor, precum

caracteristicile numerice corespunzătoare acestora, ce sunt de un real folos pentru

practica economică, pentru studiu şi cercetare, pentru realizarea performanţei în viitoarea

muncă de economist si eficientizarea activităţii l la nivel micro si macroeconomic.

După studiul acestei unităţi de învăţare, studentul va avea cunostinţe despre:

- noţiunile de variabile aleatoare existente şi conceptele de bază din teoria

probabilitatilor corelate cu ele, toate acestea oferind economiştilor, indiferent de

domeniul în care vor lucra, cunoştinţe solide de strictă specialitate, dar si tehnici specifice

matematicii aplicate;

- tipul de probleme teoretice şi practice, care fac obiectul cursului de „Variabile

aleatoare ” si al lucrărilor de verificare ale studenţilor din invatamântul economic din anul

I, de la Facultatile de Management si de Marketing din Academia de Studii Economice

Bucureşti.

6.2 Variabile aleatoare unidimensionale

Definiţia 1. Fie ),,( PK un câmp de probabilitate.

O aplicaţie RX : se numeşte variabilă aleatoare dacă

pentru orice Rx avem: KxX )( .

Definiţia 2. Spunem că variabila aleatoare RX : este:

)a discretă, dacă mulţimea valorilor variabilei aleatoare (adică )(X ) este finită sau

numărabilă;

)b continuă, dacă mulţimea valorilor variabilei aleatoare este un interval sau o

reuniune finită de intervale din R . Repartiţia unei variabile aleatoare discrete X se reprezintă sub forma unei matrice

având două linii: prima linie conţine valorile pe care le ia variabila aleatoare, iar a doua

linie conţine probabilităţile ca variabila aleatoare să ia aceste valori:

Iii

i

p

xX

: , 1,),(

Iiiii pIixXPp ,

unde I este o mulţime finită sau numărabilă.

Definiţia 3. Se numeşte funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X aplicaţia

xXPxXPxFRF )(/)()(],1,0[: .

Propoziţia 1. Dacă ]1,0[: RF este funcţia de repartiţie a unei variabilei

aleatoare RX : , atunci:

)a 0)(lim

xFx

, 1)(lim

xFx

;

)b F este nedescrescătoare adică )()(,, 212121 xFxFxxRxx ;

)c F este continuă la stânga, adică )()0( xFxFRx .

Propoziţia 2. Dacă funcţia RRF : satisface condiţiile )a , )b , )c din propoziţia

precedentă, atunci există un un câmp de probabilitate ),,( PK şi o variabilă aleatoare

RX : a cărei funcţie de repartiţie este F .

Definiţia 4. Fie RX : o variabilă aleatoare continuă şi )( XI . Dacă funcţia de

repartiţie F a variabilei aleatoare X este derivabilă, cu derivata continuă, pe I , atunci

funcţia

Ix

IxxFxf

,0

),(')( se numeşte densitatea de repartiţie (densitatea de

probabilitate) a variabilei aleatoare X .

Propoziţia 3. Densitatea de repartiţie RRf : a unei variabile aleatoare continue

verifică proprietăţile: )a Rxxf ,0)( ; )b

1)( dxxf .

Propoziţia 4. Dacă funcţia RRf : satisface condiţiile )a , )b din propoziţia

precedentă, atunci există un un câmp de probabilitate ),,( PK şi o variabilă aleatoare

RX : a cărei densitate de probabilitate este f .

Observaţii. Fie RX : o variabilă aleatoare continuă, având densitatea de repartiţie

f şi funcţia de repartiţie F . Atunci:

1) Deoarece F este o primitivă pe R a funcţiei f , rezultă

x

RxdttfxF ,)()( .

2)

a

dxxfaFaXPaXP )()()()( ;

b

dxxfbFbXPbXP )()(1)()( ;

b

a

dxxfaFbFbXaPbXaPbXaPbXaP )()()()()()()(

Definiţia 5. Variabilele aleatoare 2,,1, nniX i sunt independente dacă evenimentele

iii xXA )( sunt independente, niRxi ,1, .

Observaţie. Fie

Iii

i

p

xX

: ,

Jjj

j

q

yY

: variabile aleatoare discrete. Atunci X , Y

independente dacă JjIiyYPxXPyYxXP jiji ,),()(),(

Propoziţia 5. Dacă RX : , RY : sunt variabile aleatoare şi Rc , 0, aRa ,

*Nk , atunci Xc , cX , X , kX , X

1 (dacă X nu ia valoarea 0), Xa , YX , YX sunt

variabile aleatoare.

Observaţie. Dacă

Iii

i

p

xX

: şi

Jjj

j

q

yY

: sunt variabile aleatoare discrete, atunci

repartiţiile operaţiilor cu variabile aleatoare definite mai sus sunt:

Iii

i

p

cxXc

: ,

Iii

i

p

cxcX

: ,

Iii

i

p

xX

:

,

Iii

kik

p

xX

: , nix

pXi

Iii

xi ,1,0,:

11

,

Iii

xX

p

aa

i

: ,

JjIi

ij

ji

p

yxYX

: ,

JjIi

ij

ji

p

yxYX

: , unde JjIiyYxXPp jiij ,),,( .

Definiţia 6. Se numeşte media (valoarea medie) variabilei aleatoare X numărul (dacă

există):

Ii

ii pxXM )( , dacă X este o variabilă aleatoare discretă;

dxxfxXM )()( , dacă X este o variabilă aleatoare continuă.

Propoziţia 6. Dacă RX : , RY : sunt variabile aleatoare şi Ra , rezultă:

)a aaM )( ;

)b )()( XaMaXM ;

)c )()()( YMXMYXM ;

)d dacă variabilele aleatoare X , Y sunt independente, atunci )()()( YMXMYXM .

Definiţia 7. Se numeşte dispersia variabilei aleatoare X numărul (dacă există):

22 )()( XMXMXD .

Propoziţia 7. Dacă RX : , RY : sunt variabile aleatoare şi Ra , rezultă:

)a 0)(2 XD ;

)b )()()( 222 XMXMXD ;

)c 0)(2 aD ;

)d )()( 222 XDaaXD ;

)e dacă X , Y sunt independente, atunci )()()( 222 YDXDYXD .

Definiţia 8. Se numeşte abaterea medie pătratică (abaterea standard)

a variabilei aleatoare X numărul (dacă există): )()()( 2 XDXDX .

Definiţia 9. Se numeşte moment iniţial de ordin r al variabilei aleatoare X numărul

(dacă există): )()( rrr XMXMm .

Observaţie.

Ii

irir pxm , dacă X este o variabilă aleatoare discretă;

dxxfxm rr )( , dacă X este o variabilă aleatoare continuă.

Definiţia 10. Se numeşte moment centrat de ordin r al variabilei aleatoare X numărul

(dacă există): rrr XMXMXMXM )()( .

Observaţie.

Ii

ir

ir pXMxm ))(( , dacă X este o variabilă aleatoare discretă;

dxxfXMxm rr )())(( , dacă X este o variabilă aleatoare continuă.

Definiţia 15. Fie ),,( PK un câmp de probabilitate şi RX : o variabilă aleatoare.

Se numeşte funcţia caracteristică a variabilei aleatoare X aplicaţia

itXeMtCR )(,: .

Observaţie.

Ik

kitx

pet k)( , dacă X este o variabilă aleatoare discretă;

dxxfet itx )()( , dacă X este o variabilă aleatoare continuă.

Definiţia 16. Fie ),,( PK un câmp de probabilitate şi RX :

o variabilă aleatoare. Se numeşte funcţia generatoare de momente a variabilei aleatoare

X aplicaţia tXeMtgRRg )(,: .

6.3 Variabile aleatoare bidimensionale

Definiţia 1. Fie ),,( PK un câmp de probabilitate. O aplicaţie 2:, RYX se

numeşte variabilă aleatoare bidimensională (vector aleator) dacă oricare ar fi 2, Ryx

avem: KyYxX )(,)( .

În cazul în care componentele YX , sunt variabile aleatoare discrete cu

o mulţime finită de valori, repartiţia vectorului aleator YX , se poate reprezenta sub

forma:

nj

miij

ji

p

yxYX

,1

,1

,:,

sau sub forma tabelului următor:

1y 2y

jy ny

ip

1x

2x

ix

mx

11p 12p

jp1

np1

21p 22p

jp2

np2

1ip

2ip ijp

inp

1mp 2mp

mjp mnp

1p

2p

ip

np

jq

1q 2q jq mq 1

unde njmiyYxXPp jiij ,1,,1,, , mippn

jiji ,1,

1

,

m

iijj njpq

1

,1,

cu condiţiile: 1) njmipij ,1,,1,0 şi 2) 11 1

m

i

n

jijp .

Repartiţiile marginale sunt repartiţiile variabilelor care compun vectorul YX , .

Repartiţia variabilei aleatoare X condiţionată de evenimentul jyY , unde nj ,1 ,

este:

miji

ij yYxXP

xyYX

,1

:/

.

Repartiţia variabilei aleatoare Y condiţionată de evenimentul ixX , unde mi ,1 ,

este:

njij

ji

xXyYP

yxXY

,1

:/

.

Definiţia 2. Se numeşte covarianţa variabilelor aleatoare X şi Y numărul:

)()()(),cov( YMXMXYMYX .

Definiţia 3. Variabilele aleatoare X şi Y se numesc necorelate dacă

0),cov( YX .

Definiţia 4. Se numeşte coeficientul de corelaţie al variabilelor aleatoare X şi Y

X Y

numărul: )()(

)()()(

)()(

),cov(),(

YX

YMXMXYM

YX

YXYX

.

Propoziţie. Oricare ar fi variabilele aleatoare X şi Y cu 022 YDXD , au loc

următoarele proprietăţi:

1) 0),( YX dacă şi numai dacă X şi Y sunt necorelate.

2) Dacă X , Y sunt independente, atunci 0),( YX .

3) 1),( YX .

4) Dacă 1),( YX , atunci între X şi Y există o dependenţă liniară.

6.4 Variabile aleatoare unidimensionale clasice

REPARTIŢII CLASICE DISCRETE

Repartiţia binomială

nk

knkk

n qpC

kXpnBiX

,0

:),(

; 1;0,;* qpqpNn .

npqXDnpXM )(;)( 2 ; nit qpet )( .

Repartiţia Poisson

Nk

k

ke

k

XPoX

!

:)(

; 0 .

)(;)( 2 XDXM ; )1()( iteet .

REPARTIŢII CLASICE CONTINUE

Repartiţia Gamma

0,];,[ babaX X are densitatea de repartiţie:

0,0

0,1

)(

1

x

xexabxf

bxa

a

22 )(,)( abXDabXM ; a

ibtt

1)( .

Repartiţia normală XRmmNX ,0);,( are densitatea de repartiţie:

Rxexf

mx

,2

1)(

2

2

2

)(

22 )(,)( XDmXM ; 2

22

)(timtet

.


1. Fie variabila aleatoare discretă

pppppX

2

2

10

4

1

2

2: , Rp .

Să se determine:

)a repartiţia variabilei aleatoare X;

)b funcţia de repartiţie a variabilei X;

)c media, dispersia şi abaterea medie pătratică variabilei aleatoare X;

)d )( 3XM , )32( XM , )23(2 XD ;

)e probabilităţile: )75,0( XP , )25,1( XP , )5,025,1( XP ,

.

Rezolvare:

)a Impunem condiţiile ca 0p şi 10

11242 pppppp .

Rezultă că repartiţia variabilei aleatoare X este:

101

102

101

104

102

21012:X .

)b

],2(,1

]2,1(,10

9

10

2

10

1

10

4

10

2

]1,0(,10

7

10

1

10

4

10

2

]0,1(,5

3

10

6

10

4

10

2

]1,2(,5

1

10

2

]2,(,0

)()(

x

x

x

x

x

x

xXPxFx

)c 4,0210)1()2()(10

4

10

1

10

2

10

1

10

4

10

2 XM .

8,1210)1()2()(10

18

10

12

10

22

10

12

10

42

10

222 XM .

64,1)4,0(8,1)()()( 2222 XMXMXD .

28,1)()( 2 XDX .

)d 1210)1()2()(10

13

10

23

10

13

10

43

10

233 XM .

Folosind proprietăţile mediei şi ale dispersiei, obţinem:

8,33)4,0(23)(2)32( XMXM . 76,1464,19)(9)23( 22 XDXD .

)e 5

3

10

4

10

2)2()1()75,0( XPXPXP .

10

1)2()25,1( XPXP .

2

1

10

5)0()1()5,025,1( XPXPXP .

2. Fie

]1,0[,0

]1,0[),1()(,:

x

xxaxfRRf , Ra .

Să se determine:

)a parametrul Ra astfel încât f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile

aleatoare continue X;

)b funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X;

)c probabilităţile: 4

1XP , 21XP şi

23

41 XP ;

)d media şi dispersia variabilei aleatoare X;

Rezolvare:

)a Pentru ca funcţia f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare

continue, trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:

1) 0,0)( aRxxf ;

2) 1)(

dxxf .

Avem:

1

1

0

0

1

1

0

0

0)1(0)()()()( dxdxxadxdxxfdxxfdxxfdxxf

2

1

02

2 axxa ; din condiţia 1)(

dxxf rezultă 212

aa , deci

]1,0[,0

]1,0[),1(2)(

x

xxxf .

)b Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X este

x

dttfxFRRF )()(,: .

00)(]0,(

x

dtxFx ;

2

0

2

0

0

22)1(20)(]1,0( xxttdttdtxFxxx

;

10)1(20)(),1(

1

1

0

0

x

dtdttdtxFx .

Am obţinut că:

),1(,1

]1,0(,2

]0,(,0

)(],1,0[: 2

x

xxx

x

xFRF

)c 41

41

21

41

4

1

FXP .

21

21

21

21

21 111 FXPXP .

43

41

41

23

23

41 1 FFXP .

)d 3

1

3

2

20)1(20)()(

1

0

32

1

1

0

0

xxdxxdxxxdxxdxxxfXM .

6

1

23

20)1(20)(

1

0

43

1

21

0

20

222

xxdxxdxxxdxxdxxfxXM .

181222 )()()( XMXMXD .

3. Fie funcţia RRf : , Rkx

xekxf

x

,0,0

0,x)(

22

. Să se determine:

)a parametrul Rk astfel încât f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile


)b funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X;

)c probabilităţile: )4( XP , )6( XP , )86( XP , )2/4( XXP ;

)d media, dispersia, momentul iniţial de ordinul *, Nrr pentru variabila aleatoare X

Rezolvare:

)a Condiţiile ca f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare continue X

sunt:

1) 00)( kxf ;

2) 1)(

dxxf .

Avem că

0

20

,x0)( 2 dxekdxdxxfIx

; folosind schimbarea de

variabilă dtdxtxtx

2;22

, obţinem că kkdtetkI t 16)3(824

0

2

; din condiţia

16

11 kI .Rezultă că

0,0

0,x)(,:

22161

x

xexfRRf

x

.

)b Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X este

x

dttfxFRRF )()(,: .

00)(]0,(

x

dtxFx ;

dtetetdtetdtetdtxFxxx

txx

ttt

00

2

0

'2

0

20

222 )2(8

1

8

12

16

1

16

10)(),0(

xxxxtxxttxtx

eex

ex

dteet

ex

dtetex

0

2

00

2'

0

222222222

282

1

282

4

1

8

2

8

841

2x

exx

. Rezultă:

0,

8

841

0,0

)(,:2

2

xexx

x

xFRRFx

)c 251)4()4( eFXP ;

3

2

17)6(1)6(1)6(1)6( eFXPXPXP ;

43 132

17)6()8()86( eeFFXP ;

e

e

F

FF

XP

XP

XP

XXPXXP

e

ee 2

)2(1

)2()4(

)2(1

)42(

)2(

)2()4()2/4(

25

525

2

.

)d Momentul iniţial de ordinul r este:

0

20

2

16

10)()( dxexxdxxdxxfxXMm

xrrrrr ;

cu schimbarea de variabilă dtdxtxtx

2;22

rezultă

)3(22)2(16

1 1

0

2

rdtetm rtr

r .

Am obţinut că *1 ,)!2(2 Nrrm rr .

Media variabilei aleatoare X este momentul iniţial de ordinul 1, prin

urmare 6!3)( 1 mXM .

Avem că 48!42)( 22 mXM , deci dispersia variabilei este:

12)()()( 212

222 mmXMXMXD .

4. Fie X , Y două variabile aleatoare discrete având repartiţia comună dată în tabelul

incomplet de mai jos:

-1 0 1 ip

-1

1

0,2

0,1

0,6

X Y

jq 0,3 0,3

)a Să se scrie repartiţiile variabilelor X , Y şi repartiţia comună a variabilelor X , Y .

)b Să se scrie repartiţiile variabilelor 1/ YX şi 1/ XY , Y ..

Rezolvare:

)a Impunând condiţiile

1,13

1

2

1

j

ji

i qp , 2,1,3

1

ipp ij

ij , 3,1,2

11

jqp jij , obţinem:

4,01 221 ppp ; 4,01 2321 qqqq ; 1,03,0 212111 ppp ;

3,04,0 212212 ppp ; 1,06,0 13131211 pppp ;

2,03,0 232313 ppp .

Rezultă repartiţiile variabilelor X , Y :

4,0

1

6,0

1:X ;

3,0

1

4,0

0

3,0

1:Y

şi repartiţia comună a variabilelor X , Y :

-1 0 1 ip

-1

1

0,2 0,3 0,1

0,1 0,1 0,2

0,6

0,4

jq 0,3 0,4 0,3 1

)b

21

11:1

YX

3

1

3,0

1,0

)1(

11111

YP

YXPYXP ;

3

2

3,0

2,0

)1(

11112

YP

YXPYXP ;

obţinem:

3

2

3

1

11:1YX ;

321

101:1

XY

;

Analog

6

1

1

2

1

0

3

1

1

:1XY

6,04,0

10

3,0

1

4,03,0

01:Y ;

X Y


1. Să se determine variabila aleatoare

p

a

p

a

p

aX

2

2

3

1: , ştiind că 7)6( 2 XM ,

RpZa , .

2. Fie funcţia RRf : ,

]2,0[,0

]2,1(,2

]1,0[,

)(

x

xx

xax

xf . Să se determine:

)a parametrul Ra astfel încât f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile


)b probabilităţile 23XP şi

23

41 / XXP ;

)c funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X;

)d media şi dispersia variabilei aleatoare X;

3. Fie două variabile aleatoare X , Y unde

3,0

1

7,0

1:X ,

6,0

1

4,0

0:Y . Fie 0,1 YXPk .

)a Să se scrie tabelul comun al repartiţiei variabilelor aleatoare X , Y .

)b Să se determine parametrul Rk astfel încât variabilele aleatoare X , Y să fie

necorelate.

)c Pentru k determinat la punctul precedent, să se stabilească dacă variabilele

aleatoare X , Y sunt independente.


1. Din condiţia ca X să reprezinte o variabilă aleatoare discretă, obţinem:

0p şi

62

63

616

121

:123aaa

Xpppp .

7)2()1(67676622

632

61222 aaaXMXM

041467882363 2222 aaaaaaa

Zaa 3

1,2 21 , deci 2 a .

Prin urmare, repartiţia variabilei aleatoare X este:

3

1

0

2

1

1

6

1

2

:X .

2. )a Pentru ca funcţia f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare

continue, trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:

1) 0,0)( aRxxf ;

2) 1)(

dxxf .

2

2

1

1

0

0

)()()()()( dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf

21

2

2

1

21

0

2

2

2

1

1

0

0

22

20)2(0

axx

xadxdxxdxaxdx .

]2,0[,0

]2,1(,2

]1,0[,

)(11)(

x

xx

xx

xfadxxf .

)b81

2

2

0)2()(2

3

2

3

2

3

dxdxxdxxfXP .

2

3

2

3

4

1

2

3

2

3

4

1

2

3

4

1 /

XP

XP

XP

XXPXXP .

3227

1

1

23

41

23

41

23

41

)2()( dxxxdxdxxfXP ; 87

23

23 1 XPXP , deci

2827

23

41 / XXP .

)c Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X este

x

dttfxFRRF )()(,: .

00)(]0,(

x

dtxFx ;

202

0

022

0)(]1,0( xx

tx

tdtdtxFx

;

xtt

x

tdtttdtdtxFx12

1

021

1

0

022

220)(]2,1(

224

23

221

22

2 xxxx ;

1020)(),2(

2

2

1

1

0

0

x

dtdtttdtdtxFx . Am obţinut că:

),2(,1

]2,1(,2

24

]1,0(,2

]0,(,0

)(],1,0[:2

2

x

xxx

xx

x

xFRF

)d

2

2

1

1

0

0

0)2(0)()( dxxdxxxdxxxdxxdxxxfXM

13

11

3

84

3

1

33

2

1

32

1

0

3

xx

x .

2

2

1

21

0

20

22 0)2(0)()( dxxdxxxdxxxdxxdxxfxXM

61222

2

1

431

0

4

)()()(6

7

4

1

3

24

3

16

4

1

432

4

XMXMXD

xxx

3. )a 0 1 ip

-1

1

k k7,0

k4,0 1,0k

0,7

0,3

jq 0,4 0,6 1

Din condiţiile: 1) 2,1,,0 jipij şi

2) 12

1

2

1

i j

ijp obţinem:

4,01,0

01,0

04,0

07,0

0

)1

k

k

k

k

k

;

11,04,07,0)2 kkkk , relaţie care se verifică, Rk .

În concluzie, repartiţia comună a variabilelor X , Y este cea din tabelul de mai sus, cu

condiţia 4,0;1,0k .

)b Variabilele aleatoare X , Y sunt necorelate dacă avem:

0)()()(0),cov( YMXMXYMYX .

4,03,017,0)1()(2

1

i

ii pxXM ; 6,06,014,00)(2

1

j

jjqyYM ;

8,02)1,0(11)4,0(01)7,0(1)1(0)1()(2

1

2

1

kkkkkpyxXYMi j

ijji

4,0;1,028,0024,08,020)()()( kkYMXMXYM .

X Y

)c Pentru valoarea determinată a parametrului k obţinem tabelul repartiţiei comune de

mai jos:

0 1 ip

-1

1

0,28 0,42

0,12 0,18

0,7

0,3

jq 0,4 0,6 1

Avem că: 0128,00,1 YPXPYXP ;

1142,01,1 YPXPYXP ; 0112,00,1 YPXPYXP ;

1118,01,1 YPXPYXP ;de aici rezultă, că v.a sunt independente.


1. Gh. Cenuşă şi colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie şi aplicaţii.




3. I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare,



1. Distribuţia variabilei aleatoare X este

1612

23

41

167

2101-2:

pppX .

Să se determine: )a parametrul Rp ; )b Media si dispersia lui X,

2. Fie funcţia RRf : , Rkx

xekxf

x

,0,0

0,x)(

3

. Să se determine:

)a parametrul Rk astfel încât f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile

aleatoare continue X; )b funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X;

)c media, dispersia, momentul iniţial de ordinul *, Nrr pentru v.a. X

3. Se consideră variabilele aleatoare X , Y , având repartiţiile:

6,0

2

4,0

1:X ,

3,0

6

5,0

4

2,0

2:Y , astfel încât 1,02,1 YXP şi 3,04,2 YXP . Să se

determine coeficientul de corelatie al variabilele aleatoare X , Y

X Y

UNITATEA DE ÎNVATARE 7

Statistica matematică

Cuprins


7.2 Elemente de teoria selecţiei ................................................................................................

7.3 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ...................................................



Bibilografia unităţii de învăţare 7 .............................................................................................


7.1 Obiective

Unitatea de învatare 7, introduce statistica matematică, prin relevarea a câtorva

elemente de bază ale acestui domeniu deosebit de important din matematicile aplicate în

economie.

După studiul acestei unitati de învatare, studentul va avea cunostinţe despre:

- noţiunile fundamentale din statistica matematică, toate acestea pentru a cunoaste

mai mult şi mai bine tematica si problematica matematicilor aplicate sau aplicabile în

economie;

- tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de “ teoria

selecţiei ” si al lucrărilor de verificare ale studenţilor din invatamântul economic din anul

I, ID, de la Facultatile Management si de Marketing din Academia de Studii Economice,

Bucuresti.

7.2 Elemente de teoria selecţiei

Ne propunem să studiem o anumită caracteristică a unei colectivităţi C .

Presupunem că această caracteristică este descrisă de o variabilă aleatoare X definită

pe un câmp de probabilitate PK ,, , în care elementele mulţimii sunt tocmai

lementele colectivităţii C .

Se numeşte selecţie (eşantion) o colectivitate parţială de elemente luate la întâmplare

dinC .Numărul elementelor unei selecţii îl numim volumul selecţiei.

Spunem că o selecţie este repetată dacă elementul luat la întâmplare din C este

reintrodus în colectivitatea generală înaintea efectuării următoarei alegeri.

Se efectuează o selecţie de volum n din populaţia considerată şi se notează cu

nxxx ,..,, 21 valorile de observaţie (valori de selecţie sau date de selecţie)

După efectuarea selecţiei, valorile de selecţie nxxx ,......,, 21 sunt valori

bine determinate ale variabilei aleatoare X .

Înainte de efectuarea selecţiei, acestea pot fi considerate ca variabile

aleatoare independente nXXX ,.....,, 21 , identic repartizate cu variabila X , în cazul unei

selecţii repetate.

Variabila aleatoare asociată experimentului cu n probe independente efectuate asupra

lui X se numeşte variabilă aleatoare de selecţie

(empirică) şi se notează *X . Aceasta are următoarea repartiţie, numită şi repartiţie

empirică:

nnn

nxxxX 111

21*

.................

................: .

Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare de selecţie se numeşte funcţie empirică de

repartiţie.

Se numeşte statistică o funcţie de variabilele aleatoare de selecţie: nXXXT ,.....,, 21 .

După efectuarea selecţiei, statisticii nXXXT ,.....,, 21 i se asociază valoarea sa

corespunzătoare valorilor de selecţie obţinute, notată nxxxt ,.....,, 21 .

Considerăm o selecţie de volum n : nXXX ,.....,, 21 efectuată asupra variabilei al. X .

Se numeşte moment iniţial de selecţie de ordin r statistica

n

i

rin

r XM1

1 .

Pentru 1r obţinem media de selecţie:

n

iin

XX1

1 .

Se numeşte moment centrat de selecţie de ordin r statistica

n

i

rinr XX

1

1 .

Pentru 2r obţinem dispersia de selecţie necorectată:

2

1

21

1

212

22XXXXS

n

iin

n

iin

Dispersia de selecţie corectată (modificată) este:

n

iin

XXs1

2

112 .


1. Pentru a studia o anumită caracteristică X a unei populaţii statistice oarecare, s-a

realizat un sondaj de volum 16n din populaţia respectivă şi s-au obţinut rezultatele:

ix -2 -1 0 2

in 3 4 2 7

)a Să se scrie repartiţia variabilei aleatoare de selecţie.

)b Să se calculeze media de selecţie, dispersia de selecţie şi dispersia de selecţie

corectată.

Rezolvare:

)a Repartiţia variabilei aleatoare de selecţie este:

16

7

162

164

16

3*

2012:X .

)b Media de selecţie este statistica:

4

1

1

iiin

XnX , iar valoarea acesteia

corespunzătoare selecţiei efectuate este

4

1

1

iiin

xnx .

Dispersia de selecţie este statistica

4

1

2122

iiin

XXnS , iar valoarea acesteia

corespunzătoare selecţiei efectuate este

4

1

212

iiin

xxnS .

Dispersia de selecţie corectată este statistica

4

1

2

112

iiin

XXns , iar valoarea

acesteia corespunzătoare selecţiei efectuate este

4

1

2

1

12

iiin

xxns .

Pentru determinarea valorilor cerute organizăm valorile de selecţie în următorul tabel:

ix in iinx xxi 2xxi 2

xxn ii

-2

-1

0

2

3

4

2

7

-6

-4

0

14

-2,25

-1,25

-0,25

1,75

5,0625

1,5625

0,0625

3,0625

15,1875

6,25

0,125

21,4375

- 16 4 - - 43

Obţinem: 25,0416

1 x ; 6875,24316

12 S ; 87,24315

12 s .

Bibilografia unităţii de învăţare 7





3. I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare, Economică, Bucureşti,

1997.


1) Pentru a stabili conţinutul în magneziu al apei minerale provenite de la un anumit izvor

s-a determinat cantitatea de magneziu, exprimată în grame, conţiunută într-un litru de apă

minerală. Efectuîndu-se un număr de 15 măsurători, s-au obţinut următoarele rezultate,

prezentate în ordinea apariţiei acestora: 7,2; 8,3; 6,7; 6,7; 7,2; 8,1; 8,3; 6,9; 7,2; 7,2;

8,1; 6,7; 6,7; 8,1; 6,7.

)a Să se scrie repartiţia variabilei aleatoare de selecţie.

)b Pe baza rezultatelor înregistrate, să se determine cantitatea medie de magneziu,

exprimată în grame, conţinută într-un litru de apă minerală şi modul în care variază.

8. Matematica financiara

Definiţia 1. Se numeşte capital orice fond de bunuri economice exprimat în formă

bănească, iar o operaţiune financiară este orice acţiune care produce o modificare a

valorii capitalului

Cea mai simplă operaţiune financiară este operaţiunea de împrumut: la momentul t0 =

0 partenerul P1 cedează capitalul S0 partenerului P2 pentru ca în schimb P2 să îi retituie

capitalul St la momentul t.

Definiţia 2. Sumele de bani implicate în această opraţie se vor numi: S0 - capitalul

iniţial, valoarea iniţială sau valoarea actuală a operaţiunii, iar St va fi capitalul final

sau valoarea finală a operaţiunii financiare. Timpul t este durata operaîiei financiare.

Între aceste mărimi se pot presupune următoarele axiome care derivă în mod natural

din modul de desfăşurare a oricărei operaţiuni ce implică bani şi timp, nume:

1. St este o funcţie ce depinde de capitalul iniţial S0 şi de timpul t de folosire a acestui

capital, alte variabile putând fi neglijate. Se poate astfel scrie că

St = S (S0 , t), S0 0,0 t

2. Valoarea finală obţinută din investirea a două capitaluri 1

0S şi 2

0S pe aceiaşi

perioadă de timp t este egală cu suma celor două valori finale corespunzătoare celor două

capitaluri, adică

),(),(),( 2

0

1

0

2

0

1

0 tSStSStSSS , 1

0S , 2

0S 0,0 t

3. Această axiomă se referă la imposibilitatea ca un capital să-şi piardă valoarea în

timp, înţelegând valoarea monetară şi nu valoarea reală (valoarea de cumpărare). Atunci

este firesc să presupunem că investirea unui capital pe o perioadă de timp mai mare

conduce la o valoare finală mai mare:

),,(),( 2010 tSStSS pentru 21 tt

4. Ultima axiomă exprimă faptul că nefolosirea unui capital îl lasă neschimbat, adică

00 )0,( SSS .

Teorema1. Funcţiile ),( 0 tSS care satisfac axiomela 1-4 sunt de forma

)(),( 00 tfStSS , 0S 0,0 t (1)

unde funcţia Rf ,0: are proprietăţile:

a) dacă 21 tt , atunci )()( 21 tftf ceea ce înseamnă că este o funcţie

nedescrescătoare, şi

b) .1)0( f

Dacă în relaţia (1) se înlocuieşte 0S = 1 u.m., se obţine că

S(1,t) =f(t) (2)

ceea ce reprezintă faptul că funcţia f(t) semnifică valoarea finală a unei unităţi monetare

investită pe o perioadă t. Astfel se obţine

Definiţia 3. Orice funcţie Rf ,0: cu proprietăţile a) şi b) se numeşte factor de

fructificare.

Definiţia 4. Diferenţa dintre valoarea finală tS si capitalul iniţial 0S se numeşte

dobânda corespunzătoare capitalului S0 pe durata de timp t

00 ),( SStSD t . (3)

8.1 DOBÂNDA SIMPLĂ

Definiţie. Spunem că o operaţiune financiară se desfăşoară în regim de dobândă simplă

dacă dobânda se calculează asupra aceluiaşi capital pe toată durata folosirii acestuia.

Pentru 0i fixat, factorul de fructificare 0,1)( tittf defineşte regimul de dobândă

simplă

S0 St

0 t

Rezultă:

Capitalul final în regim de dobândă simplă: tiSSt 10 (1.2)

(1) se numeşte formula de fructificare în regim de dobândă simplă.

Factorul ti 1 se numeşte factor de fructificare în regim de dobândă simplă.

Dobânda simplă: tiSD 0 (1.3)

t reprezintă durata operaţiunii, exprimată în ani.

i este rata anuală a dobânzii sau dobânda anuală unitară şi reprezintă dobânda

produsă de un capital în valoare de 1 u.m. pe o durată de timp egală cu un an.

p = 100i se numeşte procent anual şi reprezintă dobânda produsă de un capital

iniţial

în valoare de 100 u.m. pe o durată de timp egală cu un an.

Capitalul iniţial în regim de dobândă simplă: it

SS t

10

(1.4)

Factorul 11

ti se numeşte factor de actualizare în regim de dobândă simplă.

UZUF (S0) = uzufructul operaţiunii, adică valoarea actualizată a dobânzii D pe durata t

şi cu procentul p = 100i.

NUPR (S0) = nuda proprietate a operaţiunii, adică valoarea actualizată a capitalului

iniţial S0 pe durata t şi cu procentul p = 100i.

Observaţia 1. Dacă se consideră anul fracţionat în m părţi şi durata de timp a operaţiunii

este egală cu nm fracţiuni de an, atunci m

nmt

Atunci când operaţiunea financiară se desfăşoară pe o perioadă exprimată în zile, pentru

determinarea numărului de zile al nu se ia în calcul fie prima fie ultima zi a operaţiunii.

Pe plan internaţional există trei proceduri de calcul al duratei t:

- procedura engleză, pentru care anul are 365 sau 366 zile, iar lunile sunt cele

calendaristice, cu 28, 29, 30 sau 31 zile;

- procedura franceză, pentru care anul are 360 zile, iar lunile sunt cele calendaristice;

- procedura germană, pentru care anul are 360 zile şi lunile sunt egale cu 30 zile.

Observaţia 2. Dacă nu se specifică altfel, în probleme se va folosi procedura germană.

Dacă se plasează capitalul S0 în regim de dobândă simplă cu procentele anuale

p1 = 100 i1 pe durata t1, p2 = 100 i2 pe durata t2 ,…., pn = 100 in pe durata tn, atunci

dobânda totală realizată pe durata ntttt ....21 este:

nntititiSD ...22110 (1.5)

PROBLEME REZOLVATE

1. Depunem un capital în valoare 10.000 lei în regim de dobândă simplă pe o durată

de zece luni la o bancă ce acordă un procent anual de 6%. Să se determine:

a) dobânda realizată după zece luni;

b) capitalul de care vom putea dispune la scadenţă;

c) uzufructul operaţiunii şi nuda proprietate a acestuia.

Rezolvare:

Cunoaştem: capitalul iniţial S0 = 10.000 lei; durata operaţiunii, exprimată în ani 12

10t ;

dobânda anuală unitară 100

6100

p

i .

a) Dobânda realizată după zece luni este: 500000.101210

1006

0 tiSD lei.

b) Capitalul disponibil la scadenţă este: St = S0 + D = 10.500 lei.

c) Uzufructul operaţiunii: 1905,4761

500

1)(

1210

10060

it

DSUZUF lei.

Nuda proprietate a operaţiunii: 8095,95231

000.10

1)(

1210

1006

00

it

SSNUPR lei.

2. Ce capital trebuie plasat în regim de dobândă simplă pe o durată de 270 zile la o

bancă ce acordă un procent anual de 7% pentru a putea ridica la scadenţă suma de 42.100

lei?

Rezolvare:

Se cunosc: capitalul final St = 42.100; durata operaţiunii, exprimată în ani 360

270t ;

dobânda anuală unitară 100

7100

p

i .

Din formula valorii finale: tiSSt 10 obţinem

ti

StS

10, deci

000.401

100.42

360

270

100

70

S lei

3. Pe ce durată de timp trebuie să plasăm un capital în regim de dobândă simplă la o

bancă ce acordă un procent anual de 16% pentru ca la scadenţă să putem retrage dublul

capitalului depus?

Rezolvare:

Cunoaştem: capitalul final St = 2S0 şi dobânda anuală unitară i = 0,16.

Înlocuind în formula capitalului final, avem: 25,62112 100

ittitiSS ani prin

urmare capitalul trebuie plasat pe o durată de 6 ani şi 3 luni pentru ca să se dubleze.

4. Începând din luna ianuarie 2005, o persoană depune într-un cont câte 200 euro în

prima zi a fiecărei luni, timp de un an, în regim de dobândă simplă, iar în ultima zi a

anului 2005 lichidează contul. Să se determine dobânda totală şi capitalul final de care va

dispune la lichidarea contului, dacă procentul anual este de 4% pe întreaga durată a

operaţiunii.

Rezolvare:

Observăm că se efectuează 12 depuneri, având valorile iniţiale şi procentele anuale egale,

S0 = 200 euro, 100

4

100

pi şi duratele de plasare diferite:

12

1,...,

12

11,

12

121221 ttt .

Dobânda totală este dată de suma dobânzilor produse de fiecare din cele 12 sume plasate:

12020101221 ....... itSitSitSDDDD .

52200...200... 1278

1004

121

1211

1212

1004

12210 tttiSD euro.

Am obţinut că dobânda totală este D = 52 euro, iar capitalul final disponibilă la

lichidarea contului este St = 12S0 + D = 2.452 euro.

5. O persoană se decide să depună într-un cont la sfârşitul fiecărei luni k a anului

2006 câte 100k lei în regim de dobândă simplă, 12,1k . Să se determine dobânda totală şi

capitalul de care va dispune la sfârşitul anului, dacă procentul anual este 9%.

Rezolvare:

Observăm că se efectuează 12 depuneri, având valorile iniţiale Sk = 100 k lei, 12,1k ,

procentele anuale egale, 100

4

100

pi şi duratele de plasare diferite:

12

0,...,

12

10,

12

111221 ttt .

Dobânda totală este dată de suma dobânzilor produse de fiecare din cele 12 sume plasate:

5,2146

251312

4

3

2

13129

4

39)12(

4

3

12

12

100

9100

12

1

212

1

12

1

12

1

12

1

12

1

kkkkk

kk

k

k kkkkk

ktiSDD

Prin urmare, dobânda totală este D = 214,5 lei, iar capitalul disponibil la sfârşitul anului

leiDkDSSkk

kt 5,014.85,214800.710012

1

12

1

6. O persoană care dispune de 17.000 u.m. plasează o parte din acest capital la banca

B1 pe o durată de 5 luni cu procentul anual de 9% şi capitalul rămas la banca B2 pe o

durată de 135 zile cu procentul anual de 8%, în regim de dobândă simplă. Ştiind că

dobânda obţinută la banca B1 este de trei ori mai mare decât dobânda realizată la banca

B2 să se determine:

a) capitalurile plasate la cele două bănci;

b) câte zile ar trebui plasate simultan cele două capitaluri în regim de dobândă simplă

cu procentele menţionate pentru ca diferenţa dintre valorile lor finale să fie de 7.500 u.m.

Rezolvare:

a) Notăm cu S1 şi S2 capitalurile plasate la cele două bănci.

Cunoaştem:

)2(3

)1(000.17

21

21

DD

SS ;

t1 = 5/12, p1 =9%; t2 = 135/360, p2 = 8%.

Avem: 400

15

12

5

100

9111111 SStiSD ;

100

3

360

135

100

8222222 SStiSD .

Din relaţia (2) rezultă 100

33

400

1521 SS , prin urmare

21 125 SS sau 21 4,2 SS .

Din relaţia (1) obţinem 3,4 S2 = 17.000, deci S2 = 5.000 u.m. şi S1 = 12.000 u.m.

b) Notăm cu t durata de timp pe care ar trebui plasate simultan cele două capitaluri

pentru ca diferenţa valorilor finale ale acestora să fie 7.500 u.m. şi cu Sf1 , Sf2 valorile

finale ale celor două capitaluri la sfârşitul perioadei t. Rezultă că Sf1 - Sf2 = 7.500.

Avem: Sf1 = S1 (1+ i1 t ) = 12.000(1+0,09t) şi Sf2 = S2 (1+ i2 t ) = 5.000(1+0,08t).

Relaţia Sf1 - Sf2 = 7.500 devine 12.000 + 1.080 t – 5.000 – 400 t = 7.500, adică 680 t =

500, de unde rezultă t = 0,735294 ani sau t = 0, 735294·360 = 264,7 zile, deci t ≈ 265

zile.

7. Se consideră trei capitaluri, astfel că raportul dintre primul şi al doilea este 4/3, iar

al treilea este cu 3.000 u.m. mai mic decât suma primelor două. Primul a fost plasat 50

zile cu 6%, al doilea un trimestru cu 7%, iar al treilea 7 luni cu 8%, conducând la o

dobândă simplă totală în valoare de 9.900 u.m. Să se determine cele trei capitaluri.

Rezolvare:

a) Notăm cu S1, S2 şi S3 cele trei capitaluri. Cunoaştem:

)3(900.9

)2(000.3

)1(3

4

321

213

2

1

DDD

SSS

S

S

t1 = 50/360, p1 = 6%; t2 = 1/4, p2 = 7%; t3 = 7/12, p3 = 8%. Avem:

600

51360

50

100

611111 SStiSD ;

400

724

1

100

722222 SStiSD ;

30014

3127

1008

33333 SStiSD

Din relaţia (1) rezultă 23

41 SS .

Din relaţia (2) rezultă 000.3000.3 237

2234

3 SSSS .

Relaţia (3) se mai poate scrie: 900.9)000.3(30014

237

4007

26005

234 SSS sau

495600.3

2600.33926340

290098

4007

800.120

2 900.9900.9900.9140)( SSS , prin urmare

S2 = 72.000 u.m., S1 = 96.000 u.m. şi S3 = 165.000 u.m.

.

8. O persoană are trei copii născuţi în ani diferiţi, primul pe 01.03, al doilea pe 01.06 şi al

treilea pe 01.09. Persoana s-a gândit ca într-un an să depună de ziua fiecărui copil câte o

sumă de bani la o bancă, astfel încât la data de 01.12 acelaşi an cei trei copii să dispună

de capitaluri egale. Dacă suma disponibilă pentru acest scop este 6.000 u.m. şi banca

acordă un procent anual de 12%, să se determine ce capital trebuie depus în contul

fiecărui copil şi de ce sumă va dispune fiecare copil la data de 1 decembrie. Se aplică

procedura germană.

Rezolvare:

Notăm S1, S2, S3 capitalurile ce vor fi depuse în conturile celor trei copii şi cu Sf1, Sf2, Sf3

valorile finale ale acestora la data de 01.12. Cunoaştem:

)2(

)1(000.6

321

321

fff SSS

SSS

Avem: 112

910012

1111 09,1)1()1( SStiSS f , 212

610012

2222 06,1)1()1( SStiSS f ,

3123

10012

3333 03,1)1()1( SStiSS f .

Din Sf1= Sf2 rezultă 2109

1061 SS , iar din Sf2= Sf3 rezultă

2103106

3 SS

Din (1) rezultă 000.62103106

22109106 SSS , deci S2 = 1.998,9317, S1 = 1.943,9152, S3

=2.057,1531

PROBLEME PROPUSE

1. Depunem un capital în valoare de 20.000 lei în regim de dobândă simplă pe o

durată de 320 de zile la o bancă ce acordă un procent anual de 6,5%. Să se determine

dobânda şi capitalul disponibil la scadenţă.

2. Ce sumă trebuie depusă pe o durată de un trimestru în regim de dobândă simplă la

o bancă ce acordă un procent anual de 6% pentru depozitele în lei pentru a putea ridica la

scadenţă suma de 52.000 lei?

3. Cu ce procent anual trebuie depusă o sumă de bani în regim de dobândă simplă la o

bancă pe o durată de doi ani pentru ca la scadenţă să putem retrage dublul sumei depuse?

4. Pe ce durată de timp trebuie să depunem suma de 400 dolari în regim de dobândă

simplă cu un procent anual de 4% pentru ca la scadenţă să avem cu 6% mai mult decât

am depus?

5. Începând cu luna octombrie 2005, un student depune într-un cont câte 200 lei în

prima zi a fiecărei luni, timp de 10 luni, în regim de dobândă simplă, iar la data de 30

iulie 2006 lichidează contul. Să se afle dobânda totală şi valoarea finală de care va

dispune la lichidarea contului, dacă procentul anual este de 7% pe întreaga durată a

operaţiunii.

6. O persoană a deschis un cont la data de 1 septembrie 2005, printr-o depunere în

valoare de 12.000 lei în regim de dobândă simplă. Să se determine de ce sumă va dispune

dacă lichidează contul la data de 1 august 2006, dacă procentul anual acordat de bancă

este de 7% în perioada septembrie-decembrie 2005, 6,5% în perioada ianuarie-februarie

2006 şi 6% în perioada martie-august 2006. Se aplică procedura germană.

7. O persoană depune într-un cont la data de 1 martie 2005 suma de 8.000 lei. La 15

aprilie retrage 6.000 lei, iar la data de 1 mai depune 7.000 lei. La 15 iunie retrage 1.000

lei, iar la data de 1 august acelaşi an lichidează contul. Ce sumă va fi încasată la

lichidarea contului, ştiind că operaţiunile au loc în regim de dobăndă simplă cu procentul

anual de 6% şi se aplică procedura germană.

8. O persoană a plasat la două bănci, în regim de dobândă simplă, următoarele sume,

la momentele şi cu procentele anuale următoare:

- la banca B1 suma de 600 lei, în urmă cu 5 luni, cu procentul anual de 6%;

- la banca B2 suma de 900 lei, în urmă cu 70 zile, cu procentul anual de 5%.

a) Dacă persoana ar fi dorit să plaseze sume egale la fiecare din cele două bănci, la

momentele şi cu procentele menţionate, pentru a realiza aceeaşi dobândă, să se determine

valoarea sumelor plasate.

b) Dacă persoana ar fi dorit să facă un singur plasament în valoare de 1.500 lei în

urmă cu un trimestru, ce procent anual trebuia să acorde banca pentru a realiza aceeaşi

dobândă?

c) Să se determine scadenţa medie înlocuitoare a celor două plasamente.

d) Să se afle suma unică înlocuitoare în cazul unui plasament pe 220 zile cu 5%.

9. O persoană contractează un împrumut în valoare de 10.000 u.m. în regim de

dobândă simplă. După un an, din suma totală datorată rambursează 6.000 u.m. Datoria

rămasă se consideră cu un procent anual majorat cu o unitate procentuală faţă de anul

precedent. Se ştie că după al doilea an valoarea datoriei este de 4.620 u.m. Determinaţi

procentele corespunzătoare celor doi ani.

10. Începând cu luna ianuarie, o persoană depune câte 100 euro în prima zi a fiecărei

luni, timp de un an, în regim de dobândă simplă, iar în ultima zi a anului lichidează

contul. Să se afle dobânda totală şi valoarea finală de care va dispune la lichidarea

contului, ştiind că banca acordă la depozitele în euro un procent anual de 4% în primul

semestru al anului şi 3,5% în al doilea semestru al anului.

11. O persoană depune la 01.02.2005 într-un anumit cont suma de 3.000 u.m. La

01.04.2005 retrage 1.000u.m., iar la 16.04.2005 depune 2.000 u.m. La 01.06.2005 retrage

4.000 u.m.,iar la 01.11.2005 lichidează contul. Ce sumă va încasa la lichidare, dacă

operaţiunile au loc în regim de dobândă simplă cu procentele anuale 7%, 6,5%, 6% şi

5,5% corespunzătoare celor patru trimestre ale anului 2005? Se aplică procedura engleză.

12. Debitorul unei sume de 2.000 lei solicită creditorului său o amânare a scadenţei,

stabilită iniţial în data de 1 octombrie 2005. Se convine asupra a două tranşe egale între

ele, una la 1 noiembrie 2005 şi a doua la 15 decembrie acelaşi an. Să se determine

valoarea acestor tranşe, dacă operaţiunile se desfăşoară în regim de dobândă simplă cu

12%.anua.

8.2 DOBÂNDA COMPUSĂ

BREVIAR TEORETIC

Definiţie. Spunem că o operaţiune financiară se desfăşoară în regim de dobândă compusă

dacă dobânda se capitalizează pe fiecare fracţiune a duratei de timp a operaţiunii.

Mai precis, dacă durata de timp a operaţiunii este împărţită în mai multe perioade,

capitalul iniţial al fiecărei perioade este fructificat în regim de dobândă simplă pe durata

respectivă, iar capitalul final al fiecărei perioade devine capital iniţial al perioadei

următoare.

Pentru 0i fixat, factorul de fructificare 0,)1()( titf t defineşte regimul de dobândă

compusă

Considerăm operaţiunea de plasare a capitalului S0 pe durata t în regim de dobândă

compusă Presupunem că durata de timp t este împărţită în n perioade cu duratele t1,

t2,…., tn, iar procentele anuale corespunzătoare acestor perioade sunt p1=100 i1, p2=100

i2,…., pn=100 in.

Notăm cu S1, S2 ,… , Sn valorile finale ale capitalului S0 la sfârşitul celor n perioade.

S0 S1 S2 Sn-1 Sn

0 i1 t1 i2 t1+t2 in t1+t2+...+

tn

Aplicăm formula de fructificare în regim de dobândă simplă pe fiecare perioadă:

1101 1 tiSS

221102212 111 titiStiSS

………………………………..

nnnnnn tititiStiSS 1....111 221101. Prin urmare,

nnn tititiSS 1....11 22110 formula de fructificare în regim de dobândă compusă (2.1)

Cazuri particulare:

a) Dacă t1= t2 =.......= tn = 1 an, atunci nn iiiSS 1....11 210 (2.2)

b) Dacă t1= t2 =.......= tn = 1 an şi i1= i2 =.......= in = i, atunci nn iSS 10 (2.3)

c) Dacă m

tmnt ( n ani şi tm fracţiuni de an), atunci St se poate calcula în două moduri:

mmn

t tiiSS 110 formula raţională (2.4)

m

mtnt iSS

10

formula comercială (2.5)

Dobânda compusă corespunzătoare plasării sumei S0 pe durata t este: 0SSD t

(2.6)

NUPR (S0) = nuda proprietate a operaţiunii, adică valoarea actualizată a capitalului

iniţial S0 pe durata t şi cu procentele pk=100 ik .

UZUF (S0) = uzufructul operaţiunii, adică valoarea actualizată a dobânzii D pe durata t

şi cu procentele pk=100 ik .

PROBLEME REZOLVATE

1. O persoană ce dispune de un capital în valoare de 10.000 euro poate opta pentru

una din următoarele variante de plasare a acestuia în regim de dobândă compusă timp de

4 ani:

a) cu un procent anual constant de 4%;

b) cu procentele anuale de 3% în primul an, 4% în următorii doi şi 5% în ultimul an.

Să se determine valoarea finală a capitalului plasat şi dobânda obţinută în fiecare caz.

Rezolvare:

a) Avem: S0 = 10.000 euro; t = 4 ani, p = 4% => i = 0,04.

Deoarece procentul anual este constant pe întreaga durată a operaţiunii, aplicăm formula

(2.3) şi obţinem valoarea finală după patru ani a sumei plasate:

58,698.1104,1000.10144

04 iSS euro.

Dobânda realizată în acest caz este: D = S4 - S0 = 11.698,58 euro.

b) Avem: S0 = 10.000 euro; t = 4 ani;

05,0,04,0,03,0%5%,4%,3 43214321 iiiipppp .

Deoarece procentul anual este variabil, aplicăm formula (2.2) şi obţinem valoarea finală

după patru ani a sumei plasate:

50,697.1105,104,103,1000.1011112

432104 iiiiSS euro.

Dobânda realizată în acest caz este: D = S4 - S0 = 1.697,5 euro.

2. Să se determine valoarea finală şi dobânda aferentă plasării sumei de 4.000 dolari

pe durata de 3 ani şi 5 luni, dacă procentele anuale corespunzătoare celor 4 ani sunt:

a) 5%, 4%, 3,5% şi respectiv 3%;

b) 4% pe întreaga perioadă.

Rezolvare:

a) Avem: S0 = 4.000 $; 1253t ani, i1 = 0,05, i2 = 0,04 , i3 = 0,035 , i4 = 0,03.

Deoarece procentul anual este variabil, aplicăm formula (2.1) şi obţinem valoarea finală a

sumei plasate:

125

125

43210 03,01035,104,105,1000.41111 iiiiSSt, prin urmare

St = 4.577,39 $, iar dobânda este D = St - S0 = 577,39 $.

b) Avem: S0 = 4.000 $; 1253t ani, i =0,04.

Deoarece procentul anual este constant şi durata operaţiunii nu este un număr întreg de

ani, putem determina valoarea finală folosind una din variantele:

formula raţională:

$44,574.404,0104,1000.41112

53

12

53

0 iiSSt, deci

D = St - S0 = 574,44 $.

formula comercială: $81,506.404,1000.41 12

53

12

53

0

iSSt, iar D = St - S0 = 506,81 $

3. Cu ce procent trebuie plasat un capital în valoare de 10.000 lei timp de 3 ani în

regim de dobândă compusă pentru a obţine la scadenţă o dobândă de 4.000 lei?

Rezolvare:

Se cunosc: capitalul iniţial S0 = 10.000lei, durata de timp t = 3 ani, dobânda D = 4.000

lei.

Folosind formula D = St - S0, obţinem St = 14.000 lei

Din formula capitalului final, tt iSS 10, rezultă 31000.10000.14 i ,

prin urmare %86,111186,01186,14,114.11 33 piii .

4. O persoană care dispune de un capital în valoare de 300.000 u.m. plasează o parte a

acestuia pe o durată de 7 ani şi partea rămasă pe o durată de 10 ani, cu procentul anual de

4% în regim de dobândă compusă. Să se determine cele două părţi ale capitalului, ştiind

că raportul valorilor finale ale acestora este 5/3.

Rezolvare:

Notăm cu S1 şi S2 cele două părţi ale capitalului şi cu Sf1 şi Sf2 valorile finale ale

acestora.

32

2

3

1

21

10

2

7

1

21

2

1

21

04,13

51

000.300

04,13

5

000.300

)1(5)1(3

000.300

3

5

000.300

SSS

SS

iSiS

SS

S

S

SS

f

f

S2 = 104.356,0535 u.m., S2 = 195.643,9465 u.m.

5. Un capital în valoare de 200.000 u.m., plasat în regim de dobândă simplă cu un

anumit procent anual şi pe o anumită durată de timp a produs o dobândă de 54.000 u.m.

Acelaşi capital plasat pe aceeaşi durată de timp în regim de dobândă compusă cu

procentul anual 4% a produs o dobândă de 84.662,4 u.m.

Să se determine durata celor două operaţiuni şi procentul anual al primei operaţiuni.

Rezolvare:

Cunoaştem: capitalul plasat S0 = 200.000 u.m. şi dobânzile celor două operaţiuni:

D1 = 54.000 u.m., D2 = 84.662,4 u.m.

Notăm cu t durata operaţiunilor şi p = 100i procentul anual al primei operaţiuni. Avem:

tpttiSDp

000.2000.20010001

)104,1(000.200)1( 002 tt SiSD

904,1ln

423312,1ln423312,104,14,662.84)104,1(000.2004,662.842 tD tt

prin urmare t = 9 ani.

%3000.549000.2000.541 ppD .

6. Un unchi doreşte să împartă un capital de 25.000 u.m. între nepoata sa în vârstă

de 10 ani şi nepotul său în vârstă de 12 ani astfel încât fiecare să primească aceeaşi sumă,

evaluată în regim de dobândă compusă şi cu un procent anual de 9%, la împlinirea vârstei

de 18 ani. Determinaţi părţile din capital care trebuie depuse în conturile celor doi copii şi

de ce sumă va dispune fiecare copil la 18 ani.

Rezolvare:

Notăm cu S1 şi S2 cele două părţi ale capitalului şi cu Sf1 şi Sf2 valorile finale ale

acestora.

Duratele de timp ale celor două plasamente sunt t1 = 8 ani şi t2 = 6 ani iar p = 9%.

Avem:

222

12

2

1

6

2

8

1

21

21

21

09,11

000.25

09,1

000.25)109,1(

)1()1(

000.25000.25

S

SS

S

iSiS

SS

SS

SS

ff

S2 = 11.425,4375 u.m., S1 = 13.574,5625 u.m.

Fiecare copil va dispune la vârsta de 18 ani de un capital în valoare de

Sf1= Sf2= S1 (1+ i)8=13.574,5625∙1,098 = 27.048,1661 u.m.

7. Un capital de 100.000 u.m. plasat cu dobândă compusă cu un anumit procent anual

a produs în al cincilea an de plasament o dobândă egală cu cea pe care ar fi produs-o în

regim de dobândă simplă cu acelaşi procent în 427 de zile. Să se determine:

a) procentul de plasament;

b) dobânda realizată după 10 ani de plasament;

c) cu ce procent trebuia depusa suma in regim de dobândă simplă pentru a avea in 10

ani aceeaşi dobândă ca in regim de dobândă compusă.

Se aplică procedura engleză (1 an = 365 zile).

Rezolvare:

a) Cunoaştem: S0 = 100.000 u.m.

Notăm: D1 dobânda compusă obţinută în al cincilea an şi cu D2 dobânda simplă realizată

în 427 zile; Sk valoarea sumei S0 la momentul k, 10,1k . Avem:

D1 = S5 - S4 = S0(1+ i)5 - S0(1+ i)4= S0(1+ i)4(1+ i-1) = S0 · i· (1+ i)4

365

42702 iSD 04,11)1( 4

365

427

365

4270

4

021 iiSiiSDD , prin urmare p = 4%.

b) Dobânda realizată după 10 ani de plasament este

D1’ = S10 - S0 = S0 [(1+ i)10 – 1]= 48.024,4284 u.m.

c) Fie p’ = 100i’ procentul anual de plasare în regim de dobândă simplă. Avem:

D2’ = S0 · i’· 10 = 1.000.000· i’.

D1’ = D2’ rezultă i’ = 0,048024, deci p’ = 4,8024%.

8. Două capitaluri sunt plasate cu procentele anuale 18% şi respectiv 12%. Dacă se

plasează în regim de dobândă simplă primul capital pe o durată de 5 luni şi al doilea

capital pe o durată de 10 luni, atunci dobânda produsă de al doilea capital este dublă

dobânzii primului capital. Dacă se plasează în regim de dobândă compusă pe o durată de

3 ani fiecare, atunci acestea conduc la o dobândă totală de 15.005.088 u.m. Să se

determine:

a) cele două capitaluri;

b) dobânzile şi capitalurile finale corespunzătoare atât în regim de dobândă simplă cât

şi în regim de dobândă compusă.

Rezolvare:

Notăm: S1 şi S2 valorile celor două capitaluri;

DSk şi DCk dobânda simplă, respectiv dobânda compusă produsă de suma Sk , 2,1k .

Se ştie că:

)2(088.005.15

)1(2

21

12

DCDC

DSDS

Avem: 1100

5,7

125

10018

11111 SStiSDS ; 2100

101210

10012

22222 SStiSDS .

Din relaţia (1) rezultă: 12121100

5,7

210010 5,115102 SSSSSS .

)118,1(18,1 3

11

3

11 SSSDC ; )112,1(5,112,1 3

12

3

22 SSSDC .

Din relaţia (2) rezultă: 088.005.155,112,15,1118,1 33

1 S , prin urmare

S1 = 12.000.000 u.m. şi S2 = 18.000.000 u.m.

9. O persoană achiziţionează un autoturism, angajându-se să achite contravaloarea lui

în 6 ani, cu un procent anual de 10%. În acest scop, persoana plăteşte un avans de 1.000

u.m., iar după 2 ani de la data achiziţionării mai plăteşte 3.630 u.m. Ştiind că prin aceste

două plăţi se achită 40% din valoarea autoturismului la data achiziţionării lui, să se

determine:

a) preţul autoturismului;

b) ce sumă ar trebui să mai plătească la 6 ani de la data achiziţionării pentru a achita

în întregime autoturismul.

Rezolvare:

Notăm cu S0 valoarea avansului şi cu Si valoarea plăţii făcute la momentul i, 6,2i .

Avem: S0 = 1.000 u.m., S2 = 3.360 u.m., p = 10%.

0 1 2 3 4 5 6

S

0

S

2

S

a

2

S

6

a) Notăm cu A preţul autoturismului. Suma S2 cuprinde o parte din preţul

autoturismului şi dobânda corespunzătoare. Partea din preţul autoturismului care a fost

achitată prin plata sumei S2 se obţine actualizând S2. Fie S a2 valoarea actuală a sumei S2. Prin urmare, 000.4000.1%40

21,1

630.320 aSSA , deci A = 10.000 u.m.

b) Partea rămasă de achitat după plata sumelor S0 şi S2 este 10.000-4.000=6.000 u.m.

Dacă achitarea acestei datorii are loc după 6 ani, rezultă că suma ce se va plăti efectiv

este: S6 = 6.000(1+ i)6 = 10.629,366 u.m.

rezultă t = 2,5423 ani = 2 ani şi 195 zile.

10. O persoană plasează un capital în valoare de 2.000 u.m. la o bancă ce acordă

procentul anual 6% cu calculul lunar al dobânzii. Să de determine:

a) valoarea capitalului după 5 luni şi dobânda realizată;

b) valoarea capitalului după 3 ani şi dobânda obţinută;

c) procentul anual efectiv de calcul al dobânzii.

Rezolvare:

Din enunţ deducem: capitalul iniţial este S0 = 2.000 u.m.; procentul anual nominal cu

calculul dobânzii lunar eate q12 = 6 %, prin urmare 06,010012

12 q

j .

a) Valoarea capitalului după 5 luni este

5025,050.2005,1000.21000.21 55

12

06,05

12012

12

5 j

SS u.m.

Dobânda obţinută este 5025,50012

5 SSD u.m.

b) Valoarea capitalului după 3 ani este

3610,393.2005,1000.21000.21 536

12

06,0123

120312

jSS u.m.

Dobânda obţinută este 361,393012

5 SSD u.m.

c) Procentul anual efectiv de calcul al dobânzii p = 100i se obţine din relaţia

061677,1005,111 1212

12

12 j

i , prin urmare i = 0,061677, deci p = 6,1677%.

PROBLEME PROPUSE

1. O persoană care dispune de suma de 5 000 $ poate opta pentru una din următoarele

variante de plasament în regim de dobândă compusă timp de 6 ani:

a) cu un procent anual constant de 3%;

b) cu procentele anuale de 2% în primul an, 4% în următorii trei şi 3% în ultimii doi.

Să se determine valoarea finală a sumei plasate şi dobânda obţinută în fiecare caz.

2. Să se determine valoarea finală şi dobânda aferentă plasării sumei de 10.000 lei pe

durata de 4 ani şi 3 luni, dacă procentele anuale corespunzătoare celor 5 ani sunt:

a) 7%, 6%, 5%, 6% şi respectiv 5,5%;

b) 6% pe întreaga perioadă.

3. Două capitaluri sunt plasate cu procentele anuale 18% şi respectiv 12%. Dacă se

plasează în regim de dobândă simplă primul capital pe o durată de 5 luni fiecare, atunci

ele produc dobânzi egale. Dacă se plasează în regim de dobândă compusă pe o durată de

2 ani fiecare, atunci ele conduc la o dobândă totală de 9.288.000 u.m. Să se determine:

a) cele două capitaluri;

b) dobânzile şi capitalurile finale corespunzătoare atât în regim de dobândă simplă cât

şi în regim de dobândă compusă.

4. O persoană depune la fiecare început de an, timp de cinci ani, sumele de respectiv

1.000, 2.000, 4.000, 6.000 şi 3.000 euro, cu procentele anuale corespunzătoare celor cinci

ani de 3%, 4%, 4% , 4%şi 3% . Să se determine:

a) valoarea finală a tuturor depunerilor la sfârşitul ultimului an de plasament;

b) ce sumă ar trebui depusă o singură dată la începutul primului an cu procentele

menţionate pentru a realiza după cinci ani valoarea finală obţinută la punctul a).

5. Cu ce procent trebuie depusă la o bancă timp de 2 ani în regim de dobândă

compusă suma de 20.000 pentru a putea realiza la scadenţă o dobândă de 3.000 lei?

6. Pe ce durată de timp trebuie plasată suma de 2.000 $ cu procentul unic de 4 %

pentru a realiza la scadenţă o valoarea finală de 2.300 $?

7. Pentru achiziţionarea unui autoturism s-au plătit următoarele sume: un avans în

valoare de 3.000 euro şi apoi timp de patru ani, la sfârşitul fiecărui an, s-au plătit sumele

de 1.000, 1.500, 2000 şi 2.500 euro. Ştiind că banca a utilizat un procent anual de 8%, să

se determine preţul autoturismului.

8. Trei bănci oferă pentru depunerile în valută următoarele condiţii:

B1 acordă un procent anual de 4,5%, cu calculul dobânzii anual.

B2 acordă un procent anual de 4%, cu calculul dobânzii trimestrial.

B3 acordă un procent anual de 3,5%, cu calculul dobânzii lunar.

Ce variantă va alege o persoană care doreşte să plaseze o sumă de 10.000 euro pe durata

de un an?

9. S-a împrumutat suma de 300.000 u.m. şi s-a convenit ca ea să fie rambursată peste

5 ani. Din motive diverse,s-a propus ca la termenul prevăzut să se achite numai 160.000

u.m., restul fiind rambursat 5 ani mai tărziu, printr-o sumă egală cu 249.408,8 u.m.Se cer:

a) procentul anual unic al operaţiunii; b) părţile din împrumut achitate de fiecare dată;

c) valorile finale ale părţilor din împrumut achitate de fiecare dată.

10. Dispuneţi de suma de 1.000.000 u.m. şi o plasaţi timp de 10 ani, cu un procentele

anuale de 10% în primii 2 ani, 11% în următorii 3 şi 12% în ultimii 5 ani. Să se determine

fondul disponibil la 10 ani după depunere.

Documents

matematicipenet.files.wordpress.com · Cuprinsul cursului Unitatea de învăţare 1 1. Serii numerice