Министерство образования и науки РФ Федеральное агентство по образованию

Российский государственный университет нефти и газа

им. И.М. Губкина

Кафедра физики http://physics.gubkin.ru

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 141 ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

Москва

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 141

ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

Цель и содержание работы

Целью работы является изучение затухающих колебаний. Содержание работы со-

стоит в определении декремента и логарифмического декремента затухания.

Краткая теория работы

Колебаниями, или колебательными движениями, называются движения, обладаю-

щие той или иной степенью повторяемости во времени. По своей физической природе ко-

лебания весьма разнообразны. К ним относятся механические колебания (качание маятни-

ка, колебания струны, стержней и т.д.), электромагнитные колебания и др.

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяю-

щихся в процессе колебания, повторяются через одинаковый промежуток времени. Пе-

риодом колебаний T называется тот наименьший промежуток времени, по истечении ко-

торого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебательное

движение точки. За это время совершается одно полное колебание. Частотой периодиче-

ских колебаний ν называется число полных колебаний, совершаемых за единицу време-

ни:

T1

=ν

Простейшим типом периодических колебаний являются гармонические (синусои-

дальные) колебания.

В этом случае смещение колеблющейся точки происходит по гармоническому за-

кону:

( )00 sin ϕ+ω= txx (1)

Величина 0x (наибольшее значение отклонения точки от положения равновесия)

называется амплитудой колебаний, Tπ

=ω2 – круговая (или циклическая) частота коле-

баний, 0ϕ – начальная фаза наблюдений.

Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет величина x , имеет сле-

дующий вид:

022

2

=ω+ xdt

xd

Если на колеблющееся тело действует сила трения, то энергия системы, а вместе с

ней и амплитуда колебаний убывают (энергия расходуется на работу против сил трения и

превращается в тепло). Происходит постепенное затухание колебаний (рис. 1). Затухаю-

щие колебания не являются гармоническими. При рассмотрении негармонических коле-

баний, строго говоря, уже нельзя употреблять термин “амплитуда”, он имеет определен-

ный смысл только для гармонических колебаний. Однако этот термин применяют и к не-

гармоническим колебаниям, понимая под амплитудой наибольшее значение, которого

достигает смещение в течение одного периода колебаний. Закон убывания амплитуды ко-

лебаний зависит от характера сил трения, действующих на колеблющееся тело.

Рис. 1. График зависимости от времени смещения x тела,

совершающего затухающие колебания.

Наиболее простым и вместе с тем распространенным является случай, когда сила трения

f пропорциональна скорости колеблющегося тела:

dtdx

bfx −= .

В этом случае уравнение движения имеет следующий вид:

Fkxdtdx

bdt

xdm =++2

2

, (2)

где m – степень “сопротивления” системы внешним воздействиям, ее инертность (масса –

в механике, индуктивность – в электромагнитных явлениях);

b – степень замедления движения из-за необратимой диссипации энергии (коэффици-

ент трения, активное сопротивление);

x

t

k – степень стремления к положению равновесия (коэффициент упругости в механи-

ке, величина обратная электроемкости в электричестве);

F – внешняя (вынуждающая) сила.

Если F постоянна или отсутствует, то колебания называются собственными или

свободными. Основные параметры колебаний определяются свойствами самой колеба-

тельной системы, за исключением амплитуды, которая задается начальной энергией. Ре-

шение уравнения (2) имеет вид:

( ) 22000 ;sin β−ω=ωϕ+ω= β− texx t , (3)

где mb2

=β – коэффициент затухания;

mk

=ω0 – циклическая частота свободных колебаний системы в отсутствии трения;

0x , 0ϕ – константы, зависящие от начальных условий колебательного процесса.

Амплитуда затухающих колебаний убывает с течением времени по экспоненциаль-

ному закону:texA β−= 0 .

Если в некоторый момент времени 1t амплитуда колебаний имеет значение,

101

texA β−= , то через период T ее значение будет ( )TtexA +β−= 102 . Отношение обоих зна-

чений равно:

TeAA β=2

1 .

Таким образом, отношение значений двух последовательных амплитуд колебаний

const13

2

2

1 ===+n

n

AA

AA

AA

есть величина постоянная, называемая декрементом затухания. Натуральный логарифм

этого отношения

TAA

n

n β==λ+1

ln (4)

называется логарифмическим декрементом затухания.

Логарифмический декремент затухания – величина, обратная числу колебаний N,

по истечении которых амплитуда уменьшается в e раз: N1

=λ (e – основание натуральных

логарифмов). Промежуток времени τ , необходимый для этого, называется временем ре-

лаксации:

β=⋅=τ1

TN . (5)

В зависимости от величины τ колебания в контуре получается слабо или сильно зату-

хающими. Чем меньше трение и чем больше m , тем меньше затухание, то есть тем ближе

кривая (3) приближается к синусоиде (1). При значительном возрастании трения декре-

мент затухания так же, как и период

220

2β−ω

π=T (6)

увеличивается. При 0ω=β выражение (6) обращается в бесконечность и движение из ко-

лебательного превращается в апериодическое (рис. 2).

В настоящей работе определение параметров затухающего колебательного процесса про-

водится для электрического колебательного контура, состоящего из катушки индуктивно-

сти L и емкости C .

Рис. 2. Зависимость смещения x от времени при сильном затухании 0ω≥β .

В этом случае

LR

LC 2;1

0 =β=ω , (7)

где R – полное сопротивление контура, состоящее из собственного сопротивления ка-

тушки индуктивности 0R и добавочного сопротивления 1R (рис. 3).

Для возбуждения колебаний в контуре с X -пластин осциллографа снимается пи-

лообразное напряжение – через конденсатор малой емкости 1C (об устройстве осцилло-

графа см. описание лабораторной работы № 143). Параметры контура L , C , емкость 1C и

период развертки осциллографа подобраны так, что напряжение, подаваемое на контур

x

t

кU , оказывается почти пропорциональным производным по времени от пилообразного

напряжения пU , то есть прямоугольным, а число колебаний за время развертки – доста-

точно большим (рис. 4). Возбуждение колебаний прямоугольным импульсом, по сущест-

ву, означает, что в какой-то момент времени включается постоянное напряжение, которое

через заданное время выключается – в данном случае после окончания периода развертки.

Величина напряжения, подаваемого на контур, определяет начальный запас энергии и,

следовательно, амплитуду колебаний. По истечении времени, равного периоду развертки,

контур получает новый импульс, задающий контуру первоначальную энергию, и процесс

повторяется.

Рис. 3. Схема установки

Рис. 4.

Приборы и принадлежности, необходимые для выполнения работы

1. Осциллограф (1) (рис. 5).

2. Блок (2), в котором смонтированы: электрический колебательный контур, со-

стоящий из катушки индуктивности L с сопротивлением и емкостью C , добавочное со-

t

t

t

кU

противление 1R и тумблер “К”, служащий для замыкания сопротивления 1R . Величины

характеристик элементов блока указаны на установке.

Рис. 5. Блок-схема лабораторной установки

1. Осциллограф (1) (рис. 5).

2. Блок (2), в котором смонтированы: электрический колебательный контур, состоя-

щий из катушки индуктивности L с сопротивлением и емкостью C , добавочное сопро-

тивление 1R и тумблер “К”, служащий для замыкания сопротивления 1R . Величины ха-

рактеристик элементов блока указаны на установке.

Порядок выполнения работы

1. Включить в сеть осциллограф.

2. Поставить тумблер “К” в положение “0”. В этом случае сопротивление 1R замыкается

накоротко, и полное сопротивление контура определяется только сопротивлением ин-

дуктивности 0R .

3. Наблюдают на экране осциллографа картину затухания колебаний. С помощью пере-

ключателя “вольт-дел” и ручки “плавно”, находящихся на передней панели осцилло-

графа, устанавливают амплитуду колебаний, которая составляет примерно 2/3 от высо-

ты экрана 0R .

4. С помощью шкалы, нанесенной на экране осциллографа, измеряют высоту каждого из

пяти первых максимумов. Для более точного отсчета высоты нужно с помощью ручки

“↔ ”, находящейся на осциллографе, передвигать картину затухающих колебаний вле-

во так, чтобы измеряемый максимум находился в центре шкалы. Данные занести в таб-

лицу.

5. Поставить тумблер “К” в положение “R ” и произвести измерения согласно п.п. 3, 4.

С1-68

K

2 1

Таблица 1№

максимума Высота

максимума,мм

0RR = Декремент

затухания

Логарифмический декремент затухания

Высотамаксимума,

мм 0RRR l += Д

екремент

затухания

Логарифмический декремент затухания

12345

Обработка результатов измерений

1. По данным, приведенным в таблице, рассчитать декремент и логарифмический

декремент затухания. Результаты вычислений занести в таблицу.

2. Вычислить относительную и абсолютную погрешности для логарифмического

декремента затухания по методике расчета погрешностей для прямых измерений:

( ) λα ∆=λ∆ Snt

где ( )ntα – коэффициент Стьюдента.

( )

( )11

2

−

λ∆=∆∑=

λ nnS

n

ii

;

окончательный результат записать в виде:

λ∆±λ=λ .

3. Используя константы, указанные на установке, по формулам (5) – (7) рассчитать

λ и сравнить его с величиной, полученной в результате измерений.

Контрольные вопросы

1. Что называется колебательным движением? Дайте определение периода, частоты коле-

баний.

2. Какие колебания называются гармоническими? Напишите дифференциальное уравне-

ние гармонических колебаний.

3. Что такое затухающие колебания? Приведите дифференциальное уравнение затухаю-

щих колебаний для случая, когда сила трения пропорциональна скорости тела.

4. Каковы условия возникновения собственных колебаний?

5. Дайте определение декремента затухания, логарифмического декремента затухания.

6. Напишите закон убывания амплитуды колебаний при затухающих колебаниях. Как в

этом случае понимают термин “амплитуда”?

7. При каком условии периодическое колебание переходит и затухающее?

8. Что называется временем релаксации? Как оно связано c логарифмическим декремен-

том затухания?

9. В чем состоит методика определения логарифмического декремента затухания в данной

работе?

10. Каким образом в настоящей работе происходит возбуждение колебаний в колебатель-

ном контуре?

Литература

Савельев И.В. Курс общей физики. т. 1.